MATRICES y DETERMINANTES

 

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO TECNOLÓGICO DE ORIZABA

Tema: MATRICES Y DETERMINANTES Presenta: Oscar Marín Peña

Orizaba, Ver., a 28 de agosto de 2019

 

INTRODU

IÓN

Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento ordenamiento de datos, así como su m manejo. anejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los in los ingl gles eses es J. J.J. J. Sy Sylv lves este terr y Ar Arthu thurr Ca Cayl yley ey y el irla irland ndés és Will Willia iam m Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularme tra men nte ord ordenad ado os y aparecen en situaciones prop opiias de las ciencias sociales, econ onó ómicas y biológicas.

 

M TRI ES DEFINICIÓN Se llama  matriz  de orden   m×n  a todo conjunto rectangular de elementos   aij   dispuestos en   m   líneas horizontales (filas) y   n verticales (columnas) de la forma: 2ª columna

3ª fila

A= (aij) i = 1,2…,m  j = 1,2…,n

  a11   a12   a13  ...... a1n      a21   a22   a23  ...... a2n   a31   a32   a33  ...... a3n  = (aij)    .. .. .. .. ..   am1   am2   am3 ...... amn  Dimensión de la matriz

m n

 

CLASIFICACIÓN DE MATRICES Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n.



a

11

a

12

 

a

13



a

1n



Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.  a11     a21  a   31     a   

m1

 

 

Matriz cuadrada:  Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n.

 a  a a   a  

11

21

a

12

a

a

31

n1

22

32

 a

n2

 a    a  a  a  a      a  a   a

13

1n

23

2n

33

3n

n3

nn

Los elementos aij  con i   =  j, o sea aii  forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j =  n +1 la diagonal secundaria

 

Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa represent a por 0 La matriz

es una matriz nula de orden 3

La matriz

es una matriz nula de orden 2 x 4

Matriz escalonada:  una matriz A no necesariamente cuadrada, es una matriz escalonada cuando: una fila tiene a la izquierda una secuencia de ceros más larga que la fila anterior, o bien la fila es toda ceros. 3 0 0

0 4 0

5 -1 5

Escalonada por filas

3 2 -4 6  

0 0 1 4

0 -0 0 3

Escalonada por columnas

 

Matr Ma triz iz trian triangu gula larr supe superi rior or::   es es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.

A

=

æ 1 ç ç0 ç è 0

6 ö

3  

÷ 3÷ ÷ 4 ø

2 0

Matriz Mat riz triangu triangular lar infe inferio rior: r:   es un u na matriz elementos por encima de la diagonal son ceros.

A

=

æ 1 ç ç3 ç è 3

0  

2 5

0 ö

÷ 0÷ ÷ 4 ø

donde todos los

 

Matriz diagonal:   matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal, son cero.

A

=

æ 2 çç 0 ç è 0

0  

3 0

0 ö 0÷ ÷

÷

1 ø

  todos los elementos de la diagonal principal son Matriz iguales escalar:

A

=

æ 2 ç ç0 ç0 è 

0 2 0

0 ö

÷ 0÷ ÷ 2 ø

 

Matriz identidad o unidad: matriz cuadrada escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1

A

=

ç1 æ  ç0 ç0 è 

0 1

0 ö ÷ 0÷

0

1 ø

÷

una matriz A, se lllama lama traspuest traspuesta a de A, y Matriz traspuesta: traspuesta:   Dada t se representa por A , a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

A

At

 

Matrizz simétrica: Matri simétrica:   es un una a matr matriz iz cuad cuadrrad ada a que que coinc oincid ide e con su traspuesta, es decir, decir, las columnas de A son también las filas de At

=

t 

 A  A



=



i , j

a ji

aij  1

2

4

2

3

5

4

5 -1

Matriz antisimétrica:  es una matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta

,j  A=  At  aij  = a ji   i   j

  0   -2   4

2

-4 

0

 3

-3

0  

 

OPERACIONES CON MATRICES SUMA:   La sum suma a de matr matrice icess C = A + B se def define ine co como mo cij   =aij   + bij. Esto es, la suma es igual a la sumaelde los elementos correspondientes correspondient es de de matrices ambas matrices m atrices que tienen mismo orden.

La operación suma cumple con las siguientes propiedades: Propiedad asociativa: Propiedad conmutativa: conmutativa:

 

OPERACIONES CON MATRICES Diferencia:  La diferencia o resta de matrices   C   =   A   −   B   se define como   cij   =   aij   −   bij  . Esto es, la diferencia de matrices es igual a la resta de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden.

 

Multiplicación de una matriz por un escalar. El producto de una matriz A por un escalar k se define como: k ∙ A = k ∙ aij 

Esto es, se multiplica cada uno de los elementos de la matriz por po r el escalar.

 

Mult Mu ltip ipli lica caci ción ón de matr matric ices. es.   Pa Para efectuar el producto de dos matric matr ices es,, se req equi uier ere e que que el núme númerro de col olum umna nass de la prim primer era a matriz sea igual que el número de renglones de la segunda. Cuando esto sucede, se dice que las matrices son conformables son  conformables para  para la multiplicación. Esto es, si A es de orden  p x n y B es de orden  n x q el orden de la matriz producto es  p x q

 

Mult Mu ltip ipli lica caci ción ón de matr matric ices. es.   Pa Para efectuar el producto de dos matric matr ices es,, se req equi uier ere e que que el núme númerro de col olum umna nass de la prim primer era a matriz sea igual que el número de renglones de la segunda. Cuando esto sucede, se dice que las matrices son conformables son  conformables para  para la multiplicación. Esto es, si A es de orden  p x n y B es de orden  n x q el orden de la matriz producto es  p x q

 

Trans ransformaciones formaciones elementales por renglón. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Estos números pueden ser los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones, con lo que la matriz se llamará matriz de coeficientes del sistema. Una matriz con m  renglones y n  columnas se llama una matriz de m  x  n. Si en una matriz se vacía, además de los coeficientes de las ecuaciones, el lado derecho de éstas, entonces entonces la matriz se denomina matriz aumentada.

Operaciones elementales con renglones. 1.Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero. 2.Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón, . 3.Intercambiar renglones. Con estas operaciones se obtiene un nuevo renglón que resulta ser una combinación lineal del primero o bien, lo que se traduciría en una nueva ecuación equivalente.

 

Escalonamiento de una matriz. Una matriz se encuentra en la forma escalonada por renglones si se cumplen las siguientes condiciones: 1.Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte la  parte inferior de inferior de la matriz. 2.En el primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero es 1. 3.Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer enarriba. el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón1de

Rango de una matriz. Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. Si el rango fila y la columna son iguales, éste número es llamado simplemente rango de A. El número de columnas independientes de una matriz A de  m  x  n  es igual a la dimensión del espacio columna de dicha matriz A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno o menor o igual que el mínimo entre m y n.

 

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Si A y B son 2 matrices de orden nxn y el producto de A ∙  B es igual a la matriz AB se  se le conoce como  inversa de la matriz A  y se representa identidad, entonces   AB como:

A-1 A ∙ B = I

A

I

 

∼

  I

A-1

Formas para calcular la inversa de la matriz:

1. Aplicando la definición y resolvien resolviendo do los sistemas de ecuaciones correspondient correspondientes. es. 2.  Por el método de Gauss. 3.   Por determinantes y adjuntos

 

Inversa de una matriz (directamente) Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo  –1 1. la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A –

Ejemplo: Dada A =

   –1 1    2 –     1 1  

   x    z

-1

para obtener A =      2   – 1      1 1  

 .

  x    z

   1    0

y  

   t 

y   se ha de cumplir  t  

=

0      1

Y de aquí se deduce que:    2x –  z    x + z

2y –  t    1 0     =  y + t     0 1 

2x x

=1 x=1/3 +z =0 y=1/3  2y   –  t = 0 z =  – 1 1/3 /3 y +t=1 t=2/3  

–  z

  1  3 -1 Por tanto A =   –   11   3

1   3  2  3  

 

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa El método de   Gauss-Jordan   para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa Dada una matriz  A  de orden  n , para calcular su inversa hay que transformar la matriz  ( A  I  I n) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz   (I n   I   B).  La matriz B será la inversa de  A . Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

Las transformaciones elementales son las siguientes: 

Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.



Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.



Suprimir las filas o columnas que sean nulas, Ejemplo

A=

3

2

-1

1

6

3

-2

-4

0

 

DETERMIN NTES La función determ rmiinante se define como la suma de todos los prod pr oduc ucto toss el elem emen enta tale less (c (con on su sign signo) o),, toma tomado doss de la matr matriz iz y se denota como detA Un determinante es un valor  numrico κ  que  est relacionado con una matriz cuadrada y que sigue ciertas reglas para su clculo .

 

Cálculo de determinantes de 2do y 3er Orden. Regla de Sarrus Para calcular de y ,tercer grado, el método simp simple le es eldeterminantes de mu mult ltiiplic plicac ació ión nsegundo diag diagon onal al, cono conoci cido do com omo o Regla eglamás de Sarrus.

El determinante de segundo orden es el producto de los elementos de produc uctto de los ele leme men ntos de la la di diag agon onal al pri princ ncip ipal al   MENOS   el prod diagonal secundaria

 

Ejemplos

 

Matriz de tercer orden La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden, establece que su determinante se calcula como:

Esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los produc prod ucttos de lo loss el elem emen enttos de la dia iag gonal prin rincip cipal y su suss do doss paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus dos paralelas

 

Ejemplos

 

Propiedades de los Determinantes 1. Si todos los elementos de una columna o de un renglon son cero, entonces el determinante es cero.

2. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz AT

 

3. Si cada elemento de un rengln o una columna es multiplicado por un escalar k , el determinante es tambin multiplicado por k .

4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia.

Intercambiando renglones

Intercambiando columnas

 

5. Si un renglon (o columna) se traslada  p renglones (o columnas) entonces el determinante obtenido es igual a:

 

6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es cero.

 

APLICACIÓN DE MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirv sirve en para ra clasificar   clasificar  va vallores numérico cos s aten tendiendo a dos criterios o variables. Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se ven ve nden den al pre preci cio o (en (en eur euros) os) in ind dicad icado o po porr la tabl tabla a sigu siguie ient nte: e:

Sab Sa biendo que en un año se venden el si sig guiente número de paquetes:

 

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B). Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño con co ncret creto o. Si nos fijamos os fijamos en la las s tab tabla las, s, es se sen nci cilllo obt bten ener er las las ma matr tric ice es:

•   Esta Estass matrices matrices se denomina denominan n matrices matrices de informac información, ión, y simplemen simplemente te recog recogen en los

datos numéricos del problema en cuestión. •   La util utiliz izac ació ión n de matr matric ices es const onstit ituy uye e un unaa part parte e esc escenci encial al de los los leng lengua uaje jess de

programación, ya que la mayoróa de los datos se intrducen en los ordenadores como tablas organizadas organizadas en filas y columnas

 

Álgebra lineal: • En esta rama destaca la utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma AX = B, mediante el cálculo de la matriz inversa: • Estudio de las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales mediante la matriz asociada, que nos permite calcular el núcleo y la imagen.

Geometría: Para expresar la ecuación de un giro de ángulo α alrededor del eje OZ jacobianas, que se usan Análisis: En la rama del análisis se utilizan las  matrices jacobianas,

para ex para expr pres esa ar la las s de deri riv vada das s pa parc rcia iale les s de un una a fu func nció ión n en var aria ias s vari ria abl ble es: Si f( f(x, x,y y,z ,z)) es está tá defi fin nid ida a de la si sigu guie ien nte fo forrma ma::

Física. La aplicación más importante en este campo son las   transformaciones de Lorenz , que dan las ecuaciones del movimiento de un punto en línea recta y sobre el plano conocida la ve vellocidad de la luz.

Economía. Las matrices se utilizan para la presentación de datos de un problema en forma de tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es el modelo Input-Output , que permite solucionar problemas macroeconómicos, algunos de los cuáles son: Orientar o estructurar los sectores productivos, poder predecir las demandas de p roctore dures ccsióde n e intucci erp rón etar las relaciones económicas existentes entre los distintos secto se prod pr oduc ción

 

Bibliografía consultada Del Valle, J. C. (2012).   Algebra lineal para estudiantes de  ingenier a y ciencias. Mexico. Mc Graw-Hill Grossman, S. I. (2012). lgebra Lineal . (7a ed). Mxico. Mc Graw-Hill. Lay, D. C. (2013).  lgebra lineal para cursos con enfoque por competencias .   Mxico. Pearson. Mathem Math emat atic icss res esou ourrce ce cent nter er,, de depa part rtme ment nt of ma math them emat atic icss in indi dian an in inst stit itut ute e of  technology Bombay, Bombay, India (2010). Applets in Linear Algebra. Consultado en 02,11,2014 en http://www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/appletsla.html. Dr.  Jos  Manuel Becerra Espinosa. Matrices y determinantes. Colegio de Matemáticas Dr. UNAM. Consultado en: http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m63unidad05.pdf 

 

GRACIAS POR SU ATENCIÓN