Matrices para trabajar una lluvia de datos.

Matrices para trabajar una lluvia de datos Abel Martín IES Pérez de Ayala de Oviedo

Marta Martín Sierra Facultad de Matemáticas. Universidad de Oviedo.

NIVEL CURRICULAR Segundo de Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

Tema: matrices. Aplicaciones.

Plataforma Moodle…

aulamatematica.com

Actividad on-line (a) Se inicia en casa. (b) Puesta común inicial en una sesión de clase. (c) Se finaliza en casa.

OBJETIVOS

- Utilizar el lenguaje matricial, representar e interpretar tablas de números mediante matrices, identificando sus elementos concretos y aplicando las operaciones necesarias como instrumento para el tratamiento de situaciones que manejen datos estructurados en forma de tablas, resolviendo situaciones. - Fomentar que los alumnos desarrollen las capacidades de "pensar" y “tomar decisiones”, objetivo fundamental de las Matemáticas… - Valorar la importancia de los medios TIC que tenemos a nuestra disposición, en el tratamiento de información: calculadoras, ordenadores con emulador, etc

Nos planteamos

¿Cómo organizo los datos? ¿Qué operaciones tengo que realizar? Reflexionar acerca de los resultados que voy obteniendo

ACTIVIDAD EN PEQUEÑO GRUPO… 1 hoja con viñetas

2 hojas con cuestiones

En profesorado hará de moderador… Descarga on-line

MATRICES PARA TRABAJAR UNA LLUVIA DE DATOS DEPARTAMENTOS… MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS Libretas: 18 Libretas: 18 MATEMÁTICAS Lápices:MATEMÁTICAS 20

Lápices: 20 Libretas: 22 Bolígrafos:Libretas: 32 22 Bolígrafos: 32 Lápices: 15 Rotuladores:Lápices: 21 15 Rotuladores: Bolígrafos: 21 40 Paquete folios: 6 Bolígrafos: 40 Paquete folios: 6 Rotuladores: 6 Rotuladores: 6 Paquete folios: 2 Paquete folios: 2

HISTORIA HISTORIA Libretas: 8

Libretas: 8 Lápices: 39 HISTORIA Lápices: 39 HISTORIA Libretas: 6 Bolígrafos: 62Libretas: Bolígrafos: 62 Lápices: 617 Rotuladores: 7Lápices: 17 Rotuladores: 7 Bolígrafos: 34 Paquete folios: 8 34 Paquete folios:Bolígrafos: 8Rotuladores: 6 Rotuladores: 6 Paquete folios: 8 Paquete folios: 8

LENGUA LENGUA

Libretas: 15 Libretas: 15 LENGUA Lápices: 16 LENGUA Lápices: 16 Libretas: 9 Bolígrafos: 36Libretas: Bolígrafos: 36 Lápices: 913 Rotuladores: 4Lápices: 13 Rotuladores: 4 Bolígrafos: 18 Paquete folios: 8 18 Paquete folios: Bolígrafos: 8Rotuladores: 6 Rotuladores: 6 Paquete folios: 8 Paquete folios: 8

Pedido de materiales fungibles solicitados por 3 departamentos Didácticos. Cada uno de ellos hace unas peticiones iniciales pero, como consecuencia del aumento del presupuesto, hacen una segunda demanda.

MATRICES PARA TRABAJAR UNA LLUVIA DE DATOS PROVEEDORES… PROVEEDOR A: /unidad Libretas: 4.6 € Lápices: 0.55 € Bolígrafos: 1.25 € Rotuladores: 2.1 € Paquete folios: 4 €

PROVEEDOR B: €/unidad Libretas: 5 € Lápices: 0.5 € Bolígrafos: 1.1 € Rotuladores: 2.5 € Paquete folios: 4.1 €

PROVEEDOR C: €/unidad Libretas: 4 € Lápices: 0.6 € Bolígrafos: 1.3 € Rotuladores: 2.45 € Paquete folios: 3.95 €

El administrador hace el pedido a 3 proveedores, que le ofertan estos presupuestos en euros y por unidad.

CUESTIONES (A) Resume, inicialmente, las informaciones de la viñeta en 2 matrices: (a1) Matriz A: Segundo pedido de materiales, según los departamentos.

- Debemos dejar claro que hay unos primeros minutos en los que el alumnado tiene que empezar a tomar decisiones y anotar las dudas que surjan de cara a una primera puesta en común… - ¿Cuál corresponde al primer pedido? ¿La que vemos en la viñeta encima o la que está debajo? ¿Qué colocamos en las filas y las columnas? ¿Los departamentos? ¿Los pedidos?

ANÁLISIS PREVIO MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS Libretas: 18 Libretas: 18 MATEMÁTICAS Lápices:MATEMÁTICAS 20

Lápices: 20 Libretas: 22 Bolígrafos:Libretas: 32 22 Bolígrafos: 32 Lápices: 15 Rotuladores:Lápices: 21 15 Rotuladores: Bolígrafos: 21 40 Paquete folios: 6 Bolígrafos: 40 Paquete folios: 6 Rotuladores: 6 Rotuladores: 6 Paquete folios: 2 Paquete folios: 2

- Unos pocos se decantan por la de arriba como primer pedido y la de abajo como el segundo, siguiendo una especie de orden cronológico directo. Por la misma razón, otros las colocan al revés, ya que el segundo iría encima del primero. - Este último caso es el que escogen la mayoría, pero basándose en la observación de que los presupuestos aumentaron y, parece ser, que la hoja de encima suele tener, en general, cantidades superiores. Sólo un equipo expone sus dudas y menciona la aclaración "suponiendo que el primero está en la hoja de abajo…", argumentando su respuesta en el sentido anteriormente expuesto.

- Nadie decide que las hojas puedan estar colocadas al azar, sin una norma, cosa que podría ser lo más lógico.

HERRAMIENTA TIC A UTILIZAR…

fx – CG 20 CASIO

(A) RESUMIENDO… (A) Resume, inicialmente, las informaciones de la viñeta en 2 matrices: (a1) Matriz A: Segundo pedido de materiales, según los departamentos. (a2) Matriz B: Primer pedido de materiales, según los departamentos.

Departamentos Artículos

Artículos

Departamentos

Artículos [Libretas, lápices, bolígrafos, rotuladores y paquetes de folios] Departamentos [Matemáticas, Historia, Lengua]

(A) ELEMENTOS DE UNA MATRIZ Artículos [Libretas, lápices, bolígrafos, rotuladores y paquetes de folios] Departamentos [Matemáticas, Historia, Lengua] (a3) Las dimensiones de ambas matrices…

Artículos

5x3

(a4) El elemento a12 = 8, señala que… …en el segundo pedido, el Departamento de Historia reclama 8 libretas…

Artículos

Departamentos

El elemento b34… …no nos da información pues, sencillamente, no existe, no hay ningún elemento en la fila 3 y columna 4.

(B) MATRIZ PRECIOS (B) El administrador acude a tres proveedores que le dan los precios señalados en la viñeta… (b1) Representa, en forma de matriz, los distintos precios de los proveedores según los artículos, denomínala matriz P (Precios) y señala sus dimensiones.

Precios

Proveedores

Precio €/u [Libretas, lápices, bolígrafos, rotuladores y paquetes de folios] Proveedores [A, B, C]

(B) MATRIZ PRECIOS (b2) Haz un boceto con las operaciones aritméticas que habría que hacer, sin utilizar matrices, para calcular el presupuesto que se le presentará a cada departamento cada uno de los proveedores solicitados… Aritméticamente, para saber el presupuesto de cada departamento, según el proveedor utilizado, habrá que realizar las siguientes operaciones: Por ejemplo, al Departamento de Matemáticas, el proveedor A le presentará el siguiente presupuesto siendo, en cada sumando, el número de unidades en el primer factor y el precio, en el segundo: Σ (Unidades · Precio) = = 18 · 2.1 + 20 · 0.55 + 32 · 1.25 + 21 · 2.1 + 6 · 4 = 156.9 € Proveedores A, B, C Precios

Artículos

Departamentos

(B) PRESUPUESTOS… (b3) Si utilizamos matrices, ¿a qué operaciones matriciales corresponden? A la matriz resultante llámala matriz D (Departamentos/presupuestos) y señala sus elementos. ¿Qué dimensiones tiene esta matriz D? ¿Cómo colocamos las matrices y qué operación tenemos que realizar para obtener la solución en forma matricial?

D = At · P Proveedores Departamentos

Proveedores Artículos

Departamentos

Artículos

(B) ANÁLISIS CRÍTICO… (b4) Realiza un comentario crítico de los resultados obtenidos, explicando la matriz resultante y señalando qué proveedor será el más aconsejable para cada departamento con el segundo pedido.

Departamentos

Proveedores

Al Departamento de Matemáticas le resulta más económico el proveedor A, que le cobrará 156.9 euros, al de Historia el proveedor B, que le cobra 159.4 euros y al de Lengua el C, que le cobra 156.65 euros.

(C) CONSEJO ESCOLAR… (C) El Consejo Escolar, en un guiño a los momentos de crisis, decide reducir en el último pedido 3 unidades de cada uno de los materiales del departamento de matemáticas, 2 del de lengua y 1 unidad en los del departamento de historia.. (c1) Indica una matriz R que simbolice dicha reducción.

(c2) Expresa la matriz E que nos indique la nueva matriz pedido de los departamentos, una vez aplicada la reducción…

Departamentos

Artículos

Artículos

Departamentos

(C) CONSEJO ESCOLAR… (c3) ¿Cuáles son los nuevos presupuestos ofertados por los proveedores, una vez aplicada la decisión del Consejo Escolar? Llámala matriz N. ¿Cómo colocamos las matrices y qué operación tenemos que realizar para obtener la solución en forma matricial?

N = Et · P Proveedores Departamentos

Departamentos

Proveedores

Se mantendrán los proveedores ya que, para cada departamento, siguen siendo más baratos los que ya se habían elegido.

(D) AÑADIENDO IMPUESTOS… Si hay que añadirle un 6% en concepto de IVA, construye una matriz V con el nuevo importe presupuestario por departamento y proveedor. A cobrar →

106 100

= 1.06

V = 1.06 · N Proveedores Departamentos

Departamentos

Proveedores

(E) UNIFICANDO PROVEEDORES… (e1) Si queremos hacer el pedido a un solo proveedor para ahorrar gastos de envío, diseña y comenta una estrategia que nos pudiese permitir averiguar "matricialmente" cuánto va a ser el total de cada uno de los proveedores, independientemente de los departamentos. Comenta lo que haces. A la nueva matriz obtenida denomínala matriz U y señala sus dimensiones. Pista: Tenemos que conseguir que la operación a realizar sea algo así... Presupuesto del proveedor A para los distintos departamentos: = 134.514 + 161.597 + 150.202

U = Vt · I Euros Proveedores

Departamentos

Proveedores

(E) UNIFICANDO PROVEEDORES U = Vt · I Proveedores

Euros

Los proveedores A, B y C pasan al instituto un presupuesto conjunto de, respectivamente, 446.31, 442.34 y 461.68 €, IVA incluido, por lo que el más económico, en conjunto, será el proveedor B.

(F) PREVISIÓN DE AUMENTO DE PRECIOS… PREVISIÓN PREVISIÓN AUMENTO DE DE AUMENTO PRECIOS: PRECIOS:

Enero: 0.23% 0.23% Enero: Febrero: 0.17% 0.17% Febrero: Marzo: 0.35% 0.35% Marzo: Abril: 0.5% 0.5% Abril: Mayo: 0.4% 0.4% Mayo: Junio: 0.3% 0.3% Junio:

(F) SUBIENDO PRECIOS… PREVISIÓ AUMENTODE DE PREVISIÓNAUMENTO PREVISIÓN PRECIOS: PRECIOS:

Enero:0.23% 0.23% Enero: Febrero:0.17% 0.17% Febrero: Marzo:0.35% 0.35% Marzo: Abril:0.5% 0.5% Abril: Mayo:0.4% 0.4% Mayo: Junio:0.3% 0.3% Junio:

(f1) Si la previsión del aumento de los precios es la que aparece en la viñeta del enunciado, ¿cuáles serán los presupuestos, según los Departamentos dados, por los distintos proveedores si se hace el pedido a finales de junio? Llama a la nueva matriz S.

NOTA: En febrero, por ejemplo, no sube un 0.17 simplemente, sino un 0.17 de lo que había subido en enero más el 0.23 que ya había subido. Se trata pues de un problema de los que denominamos de INCREMENTOS COMPUESTOS

(F) SUBIENDO PRECIOS… PREVISIÓ AUMENTODE DE PREVISIÓNAUMENTO PREVISIÓN PRECIOS: PRECIOS:

Enero:0.23% 0.23% Enero: Febrero:0.17% 0.17% Febrero: Marzo:0.35% 0.35% Marzo: Abril:0.5% 0.5% Abril: Mayo:0.4% 0.4% Mayo: Junio:0.3% 0.3% Junio:

Enero y febrero

Marzo y abril

Nuevo precio: 101.01965555·Z

Mayo y junio

(F) SUBIENDO PRECIOS Realmente el IVA se aplica después de obtenidos los nuevos precios; así que a quien hay que aplicarle la subida con el 1.0196 es a la matriz N y luego añadirle el 6% de IVA.

S1 = 1.01965555·N Departamentos

Proveedores

Preparamos la calculadora para trabajar con solo 2 decimales , al tratarse de €

Departamentos

Proveedores

(F) SUBIENDO PRECIOS…

Ahora aplicamos el IVA y llamamos a la nueva matriz S

S = 1.06·S1 Proveedores Departamentos

Departamentos

Proveedores

Matriz S, después de las subidas y con el IVA incorporado.

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES

Matriz L

Matriz M

Materiales nuevos

Precios Proveedores

Departamentos

(g1) Los departamentos solicitan añadir otros dos artículos en sus pedidos, en concepto de tinta para impresora y correctores de escritura, respectivamente, con las siguientes unidades: Matemáticas, 2 y 4, Historia, 3 y 6, Lengua, 2 y 7. Los precios que los proveedores les ofertan son, respectivamente: Proveedor A, 7.1 y 0.8 €, proveedor B, 8.05 y 0.6 €, proveedor C, 9.45 y 0.4 €. Plasma en una matriz L sólo los nuevos artículos pedidos por departamento y en una matriz M los proveedores y precios de los artículos.

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES (g2) Escribe una nueva matriz K con el nuevo pedido total por departamentos. Departamentos Artículos

Departamentos

Artículos nuevos

Reordenamos las matrices para poder añadir las columnas correspondientes Matriz K

Augment( Trn Mat E, Mat L)

Departamentos

Todos los artículos

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES (g3) Escribe una nueva matriz Q con todos los precios ofertados por cada proveedor. Precios

Precios

Proveedores

Proveedores

Reordenamos las matrices para poder añadir las columnas correspondientes Matriz Q

Augment( Trn Mat P, Mat M)

Proveedores

Todos los precios

(G) Departamentos/presupuestos (g4) Calcula el presupuesto en forma de matriz O que se le presentará a cada departamento según el proveedor donde se haga el pedido sin IVA, señalando las operaciones matriciales realizadas, etc.

Departamentos

Todos los artículos

K 3x7

3x7

7x3

O= K · Qt

Proveedores

Todos los precios por artículo

Q

(G) Departamentos/presupuestos O = K · Qt Departamentos

Proveedores

3x3

Matriz O

(G) Nuevos presupuestos con IVA (g5) La matriz W será la que indique el precio final, con IVA. Realiza un comentario crítico del proveedor más interesante, por departamento.

1.06 · Mat O

Mat W

Departamentos

Proveedores

Al Departamento de Matemáticas, con pedidos de las nuevas cosas, le cobran respectivamente, 152.96, 156.46 y 172.83 €, según se trate del proveedor A, B o C Al Departamento de Historia le cobran respectivamente, 189.26, 187.57 y 198.33 €, según se trate del proveedor A, B o C. Al Departamento de Lengua le cobran respectivamente, 171.19, 168.86 y 167.85 €, según se trate del proveedor A, B o C.

(G) Nuevos presupuestos con IVA 1.06 · Mat O

Mat W Proveedores Departamentos

Departamentos

Proveedores

Al Departamento de Matemáticas le resulta más económico el proveedor A, que le cobrará 152.96 €, al de Historia el proveedor B, que le cobra 187.57 € y al de Lengua el proveedor C que le cobra y 167.85 €.

(G) Pedido a un solo proveedor (g6) Si queremos hacer todo el pedido a un solo proveedor, ¿cuánto va a ser el total de cada uno de los proveedores, independientemente de los departamentos? A la nueva matriz obtenida denomínala matriz C y haz un breve comentario de los resultados obtenidos.

Wt · I

Mat C Presupuesto total Proveedores

Proveedores

Presupuesto total

Los proveedores A, B y C pasan al instituto un presupuesto conjunto de, respectivamente, 513.41, 512.88 y 539.01 €, IVA incluido, por lo que el más económico será el proveedor B.

(H) Seguimos pensando… Dada la siguiente matriz X, donde se expresan, en las filas, los departamentos de matemáticas, tecnología y física, y en las columnas, las unidades de libros, calculadoras y cajas de DVD y la matriz Z, que nos da los presupuestos suministrados a cada uno de estos 3 departamentos por los almacenes (A, B y C) en los conceptos antes mencionados… Artículos

L

C

DVD

Z

Presupuestos suministrados

A

B

C

Departamentos

Departamentos

X

Calcula los distintos precios por unidad a los que cada Almacén A, B, C han puesto los libros, calculadoras y cajas de DVD.

(H) Seguimos pensando… Artículos

L

C

Z

DVD

Presupuestos suministrados

A

B

C

Departamentos

Departamentos

X

10 12 5     7 7 12  14 10 4   

a: €, libros, Sum. A d: €, calcul, Sum. A g: €, DVD, Sum. A

·

a b  d e g h 

c  f i 

=

 304 338 339.5     223 269.5 255   218 248 256  

b: €, libros, Sum. B e: €, calcul, Sum. B h: €, DVD, Sum. B

c: €, libros, Sum. C f: €, calcul, Sum. C i: €, DVD, Sum. C

(H) Utilización de la matriz inversa… Departamentos

Artículos

10 12 5     7 7 12  14 10 4   

·

a b  d e g h 

c  f i 

=

 304 338 339.5     223 269.5 255   218 248 256  

Las operaciones a realizar son las siguientes:

X·Y=Z X-1 · X · Y = X-1 · Z Y = X-1 · Z

El proveedor A pone los libros, las calculadoras y los paquetes de DVD, respectivamente a 8€, 17€ y 4€. El B, a 7.5€, 19€ y 7€ y el C a 6€, 21€ y 5.5€

Consideraciones finales (I) El objetivo es que todo el profesorado pueda ir introduciendo este tipo de metodología con calculadoras, bien sea con la ayuda del modelo de mano o con el emulador cargado en nuestro PC, en su netbook, etc. Para hacer esta actividad hay que tener las ideas muy claras y relacionar con presteza el lenguaje usual y el lenguaje matricial. Existen multitud de cálculos, de conceptos, de operaciones matriciales, con muchos números que pueden hacer que nos perdamos en cualquier momento

Consideraciones finales (II)

Es importante hacer hincapié en que el alumno haga un comentario de lo que está haciendo. Lo normal es que nos coloque operaciones y resultados, sin más, sin análisis crítico de resultados y sólo preocupado por la aritmética y los cálculos, sin ningún tipo de reflexión ni conclusiones, cercenando la posibilidad de valorar por parte del profesor el trabajo realizado, pues sólo se muestra el resultado final.

Consideraciones finales (III)

Como se puede apreciar, los cálculos numéricos son cada vez más largos y tediosos y la calculadora cobra cada vez más importancia a la hora de resolver los problemas y tomar decisiones. Lo verdaderamente difícil es pensar cómo organizar los datos y qué operaciones hay que realizar.

Consideraciones finales (III)

La idea final es ir proponiendo, en un intento de desarrollar el concepto de "inteligencia distribuida", actividades y prácticas de manera TEMÁTICA. En nuestro caso, desde las Web www.aulatematica.com con el objetivo de trabajar los temas desde puntos de vista alternativos, con un PDF que incluye la actividad para el alumnado, otro, con clave, como cuaderno del profesorado, con todo matizado muy al detalle…

CONCLUSIONES

En la construcción del conocimiento, los medios tecnológicos son herramientas esenciales para enseñar, aprender y, en definitiva, para hacer matemáticas…

CONCLUSIONES

Las aulas de Nuevas Tecnologías están cada día más saturadas y no siempre se pueden utilizar cuando se necesitan. Un aula con ordenadores, la disposición de las mesas, etc. suponen unas barreras difíciles de salvar a la hora de agrupar a los alumnos, de fomentar el trabajo en grupo y la ayuda entre iguales. Con las máquinas calculadoras se sortean con éxito estas murallas.

CONCLUSIONES

No sólo permiten validar nuestras respuestas y consolidar conceptos aprendidos.

CONCLUSIONES

Son un elemento de investigación matemática importantísimo. En multitud de casos, con una calculadora gráfica, se pueden contrastar conjeturas, verificar hipótesis…

CONCLUSIONES

El objetivo fundamental de las Matemáticas es aprender a pensar, abrir la mente, y las operaciones, en sí mismas, no deben ser el fin de las matemáticas, sino uno de los caminos que nos lleven al objetivo final: el análisis crítico de los resultados…

CONCLUSIONES

También se puede analizar, razonar, representar, comunicar y valorar ideas matemáticas a través de "ejercicios" y prácticas.

¿Quién puede decir que no se han hecho matemáticas en la realización de esta actividad, con la ayuda de herramientas TIC como son las calculadoras?