Matrices Modales

Se dara una introduccion de lo que son las matrices modales y se mostrara un ejemplo muy sencillo de su utilizacion.

El acoplamiento estático o dinámico resulta de la escogencia de coordenadas y que, para un sistema amortiguado, existe un conjunto de coordenadas principales que expresara las ecuaciones de movimiento, en la forma no acoplada. Tales coordenadas no acopladas son deseables puesto que cada ecuación puede resolverse independientemente. Para un sistema con muchos grados de libertad y masas concentradas, las coordenadas escogidas en cada punto-masa generan una matriz de masa diagonal pero, a matriz de rigidez contendrá términos no diagonales, indicando acoplamiento estático. Las coordenadas escogidas en otra forma pueden conducir a acoplamiento dinámico o mixto.

Es posible desacoplar las ecuaciones de movimiento de un sistema con n-grados de libertad, siempre que conozcamos previamente los modos normales del sistema. Cuando se arreglan los n modos normales(o vectores propios) en una matriz cuadrada, con cada modo normal representado por una columna, la llamamos la matriz modal P. así, la matriz modal para un sistema con tres grados de libertad puede aparecer  como:

      P =      =[   ]      

La matriz modal hace posible inducir todas las relaciones de ortogonalidad en una ecuación. Para esta operación

necesitamos también la transpuesta de P, que es :

(    ) P’ = (     ) = [   ]′ (     ) Con cada fila representando un modo. Si formamos ahora el producto P´PM o P´KP, el resultado será una matriz diagonal puesto que, los términos fuera de la diagonal expresan simplemente las relaciones de ortogonalidad, que son nulas.

Como ejemplo tenemos un sistema con dos grados de libertad. Realizando la operación indicada con la matriz modal tenemos:

P’MP =    ]´  [    ´  =  ´   = 0

 ´   ´  0 

En la ecuación anterior, los términos por  fuera de la diagonal son nulos por razones de ortogonalidad y los términos diagonales son la masa generalizada M. Es evidente que una formulación similar se aplica también a la matriz de rigidez K que resulta en a siguiente ecuación. P´MP=

 0

0 

Los términos diagonales son la rigidez generalizada K.

Si cada una de las columnas de la matriz modal P se divide por la raíz cuadrada de la masa generalizada M, la nueva matriz es la matriz modal reducida y se la designa por ‘P se ve fácilmente que en la

diagonalización de la matriz de masa por  la matriz modal reducida resulta en la matriz unitaria:

  =  ´

−  

= λ  , la matriz de rigidez Como tratada similarmente por la matriz modal reducida se convierte en la matriz diagonal de los valores propios.

  = ´

λ 

0 λ 

0

λ 

Ejemplo: Consideremos el sistema simétrico, con dos grados de libertad. La ecuación de movimiento en forma matricial es:

 0

0 

    

+

2 

 2

 

= (0)

Y los valores y vectores propios son:

λ  =  

 



=

 

1 = 1

λ  =  

 



=3

 

1 = 1

La masa generalizada para ambos modos es 2m, la matriz modal y matriz modal reducida son

P=

1 1

1 1

 =

 

1 1

1 1

Para desacoplar la ecuación original utilizaremos  en la trasformación

 

=

 

1 1

1 1

 

Y multiplicando por P’ Obtenemos

    = 0    + ′ ′ O 1 0

0 1

    

 + 

1 0

0 3

 

= 0

Así la ecuación (e) ha sido transformada en la ecuación (e) no acoplada por  medio de la transformación de coordenadas de la ecuación (d). Las coordenadas y1 y y2 son las coordenadas normales o principales. Las ecuaciones de arriba, en términos de coordenadas normales, son similares a las de un sistema con un grado de libertad y pueden escribirse como:    +   = 0

Su solución general ha sido discutida antes y es: 1     =  0   +  0   

La solución del sistema original de dos grados de libertad esa entonces dada por  la ecuación (d).

  =   =

1 2 1 2

[     ] [  +   ]

Que es la suma de las soluciones de modo normal, multiplicadas por constantes apropiadas. As condiciones iniciales  (0) y   (0) puede ser transformadas en términos de  (0) y   (0) por el inverso de la ecuación (d),  0 = −(0). Sin embargo, no es necesario llevar acabo la inversión de . Como ′ = , postmultiplicando esta ecuación por  −, obtenemos:  −   =

Así, el inverso de la ecuación (d) será

−   =   = ′

Ó  

2 (0) = (0) 2

1 1

1 1

 (0)  (0)

La ecuación (g) puede entonces escribirse en términos de las condiciones iniciales (0) y (0) como: 1   = 2 [  0 +  0   2 1 +  0 +   0   ]  1   = 2 [  0 +  0   2 1 +  0 +   0   ] 

Sustituyendo en la ecuación la solución queda enteramente en términos de las coordenadas originales.