Matrices de Leslie

Matrices de Leslie Juan Luis Corcobado Cartes Departamento de Matemáticas

Antes que nada Sé bienvenido a esta modesta página, dedicada a las matrices de Leslie, o matrices de transición. Como podrás comprobar, las matrices de Leslie constituyen un buen ejemplo de aplicación de una sencilla teoría matemática a actividades propias de las ciencias sociales, y su conocimiento puede ser de interés para los estudiantes de las "Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales" del primer y segundo curso de bachillerato. Todas las críticas o comentarios, incluso los elogiosos ;-) , serán gustosamente acogidos: Anímate a escribirme. Es obligado decir que este trabajo está inspirado en la publicación titulada Matrices de la que son autores Jan de Lange y Martin Kindt, publicada en Holanda en 1985 y difundida entre nosotros gracias, especialmente, al ICE de la Universidad de Zaragoza.

Introducción Es difícil encontrar mejor ejemplo de lo útil que puede resultar el Algebra a las Ciencias Sociales que el constituido por las matrices de Leslie, o de transición, o de probabilidad, distintas formas de referirse a lo mismo. El nombre no se lo deben al matemático escocés John Leslie, sino al zoólogo inglés homónimo que las utilizó por primera vez finalizada la segunda guerra mundial; y ello es buena señal de a qué deben su interés: las matrices de Leslie permiten e studiar con gran economía de medios la evolución de las poblaciones. Por otra parte, simulaciones y comprobación de hipótesis que hace años hubieran supuesto cálculos ímprobos, hoy, gracias a las matrices y al ordenador, se convierten en un juego de niños, que recomendamos que el lector, aunque la infancia le quede ya un tanto lejana, le jana, practique en clase o donde mejor le parezca. Entrando ya en materia, la verdad es que no hacen falta matrices y basta con el sentido común para sacar alguna conclusión a la vista de las siguientes pirámides de población, correspondientes a Inglaterra en los años 1891 y 1956:

Podríamos aventurar, incluso, que una pirámide más moderna tendría una base aún más estrecha e strecha y una cúspide más ancha; pero, ¿cómo será la pirámide del año 2100? ¿Nos basta con el sentido común para saberlo?

Primer ejemplo Supongamos que los movimientos migratorios entre dos poblaciones, A y B, en cierto período de tiempo son los reflejados en el gráfico. En él é l se observa que a lo largo de ese plazo 1/8 de la población de A emigra a B (quedándose en A, pues, 7/8), mientras que 1/16 de la población de B emigra a A.

Supongamos, asimismo, que las poblaciones iniciales de A y B, expresadas en forma matricial, son: P =(40000, 16000) o

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Entonces, al cabo del período de tiempo considerado, las nuevas poblaciones serán:

Segundo ejemplo Sean ahora tres poblaciones, A, B y C, cuyo grafo de migración, para el período de un año, es el siguiente:

al que corresponde una matriz de migración:

y sean las poblaciones iniciales: (55, 98, 112) Puede sorprender cómo se distribuye la población (caso de mantenerse fija la matriz de migración) al cabo de cierto número de años:

Explicar esta periodicidad (que no lo es en el sentido teórico estricto, pero sí en la práctica) resulta fácil si echamos mano del ordenador (hemos introducido la matriz M y calculado distintas potencias de M): M:={{0.6,0.2,0.2},{0.1,0.8,0.1},{0.1,0.3,0.6}} MatrixPower[M,32] {{0.2, 0.56, 0.24}, {0.2, 0.56, 0.24}, {0.2, 0.56, 0.24}} MatrixPower[M,50] {{0.2, 0.56, 0.24}, {0.2, 0.56, 0.24}, {0.2, 0.56, 0.24}} MatrixPower[M,450] MatrixPower [M,450] {{0.2, 0.56, 0.24}, {0.2, 0.56, 0.24}, {0.2, 0.56, 0.24}}

Una matriz de migración como la anterior permite asegurar, pues, la estabilidad de la distribución de las poblaciones. El cálculo de las sucesivas potencias de M nos indicará en cada caso particular si se presenta ese fenómeno.

Otro ejemplo Ahora nos hallamos en una granja avícola. La población --gallinas y pollos--, se distribuye en tres e dades a lo largo de dos años sucesivos como sigue:

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Con eso, sin embargo, no tendríamos suficiente para re solver el problema, porque ¿quiénes y en qué proporción producen las crías?

.... Necesitamos más información. Partamos, por ejemplo, de que sólo los individuos ancianos producen nuevas crías y que el factor de reproducción re producción por anciano sea 4. Lo que sucedería podría sorprendernos, porque... ... ¡volvería a aparecer la pirámide original!

y la gráfica de evolución del tamaño de la población sería periódica:

La pregunta que podemos formularnos es: ¿Por qué sucede lo anterior? ¿Se produciría l a periodicidad si se partiese de otra pirámide? Si observamos el grafo de transición

y su correspondiente matriz:

3

podremos concluir, sin más que multiplicar M por sí misma un par de veces y comprobar qué pasa con M ...

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De modo que al cabo de 3n años la población sería:

n

Se reduciría, pues, con factor (1/2) , y se llegaría a la extinción. exti nción.

Segundo caso: ¿Y si el factor de reproducción en los ancianos siguiera siendo 2, pero también se reprodujeran los de edad intermedia, con factor 2? Se tendría:

y partiendo de una población inicial de, por ejemplo: (6000, 6000, 6000) k

tras efectuar los productos P.T (k=1, 2...23) el ordenador da estos resultados:

Y gráficamente:

Podemos concluir al menos un par de cosas: Primera: La gráfica a escala logarítmica de la evolución de la población es e n la práctica una línea recta. El crecimiento sería exponencial de base o factor de crecimiento, una vez estabilizado (a partir

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Llegados a este punto, podríamos formalizar el concepto concepto de matriz de Leslie y aplicar lo anterior al estudio de una situación real. Con ello terminaremos. Formalización: En general, dada una población distribuida en n+1 grupos (que pueden ser de edad, pero no necesariamente):

llamaremos matriz de Leslie correspondiente a P a una matriz de la forma:

donde: f : fertilidad del grupo de edad i. p : probabilidad de paso del grupo de edad i al i+1. i

i

Para terminar, un caso real Supongamos que ante la siguiente tabla, correspondiente a la distribución en tres intervalos de edad de la población femenina en EEUU de hasta 44 años en 1940 y 1955 (expresada en miles), se tratara de calcular la población en los años 1970 y 1985:

Se tendría:

Y por otra parte: P

1940

= (14459, 15264, 11346)

Bastaría entonces con aplicar lo anterior y, con la ayuda del ordenador, obtendríamos: P

:={14459,15264,11346} 

1940

M:={{0.3216,0.9861,0},{0.6815,0,0.9720},{0.1 M:={{0.3216,0.9861 ,0},{0.6815,0,0.9720},{0.121 211,0,0}}  1,0,0}}  P

=P1940.M {16426.4, 14258., 14836.6} 

P

:=P1955.M {16796, 16198, 13858}

P

=P1970.M {18119., 16562.8, 15744.6}

1955

1970 1985

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