Matrices Circulantes

Matrices circulantes Fiordelisi Lucas Gattás Samir Mattanó Juan Cruz Ullmann Gustavo

Introducción teórica Dado un vector asociada está descrita por la forma:

, de dimensión n, la matriz circulante

ej:

Observando la matriz del ejemplo B podemos conocer algunas de las características de estas:

Las diagonales y sus paralelas se forman con el mismo número La suma de cada fila y columna da el mismo resultado, igual a la suma del vector generador de la matriz

Características generales Siendo A y B de orden 3, la suma de A+B es:

El producto por un escalar:

El producto entre A y B:

La transpuesta de A:

La inversa de A:

Propiedades La suma entre matrices circulantes, el producto de una matiz por un escalar, el producto entre matrices, la traspuesta y la inversa de una matriz circulante dan siempre como resultado otra matriz circulante.

Por cumplirse el axioma de la suma y producto por un escalar de matrices circulantes, decimos que el conjunto de matrices circulantes de orden n forman un sub-espacio de las matrices cuadradas de orden n x n

Raíces de la unidad La raíz n de 1 son n resultados diferentes Para cualquier n la primera raíz es 1 Para n > 2 se tendrán raíces reales y complejas conjugadas

e Considerando la unidad como el numero complejo z= 1+0i donde

Donde cada raíz estará a

la raíz de un numero complejo esta dada por:

radianes de la raíz anterior

Valores propios A=

Podemos observar que el primer autovalor es generado tanto por la suma de los elementos de la filas como por los de las columnas de la matriz circulante A

A continuación mostraremos una particularidad que presentan los valores propios de estas matrices

Podemos ver que cada uno de los valores propios de A pueden ser obtenidos a partir de polinomios, en los cuales los coeficientes son las componentes del vector que genera a la matriz circulante y se encuentran evaluados en cada raíz de la unidad

Generalizando: los autovalores de una matriz circulante C generada por un vector se pueden expresar como:

Donde los son las n raíces de la unidad, numeradas en sentido antihorario a partir de la raíz 1 en el circulo complejo Vectores propios Los espacios de los vectores propios podemos obtenerlos de la ecuación: Obtenemos los autovectores para la matriz A utilizada anteriormente

Para

Para

Para

el autovector es

el autovector es

el autovector es

Si prestamos atención a los vectores propios obtenidos podemos ver que estos están formados por la raíz de la unidad correspondiente a la dimensión de la matriz, elevada a distintas potencias

Entonces el autovector de una matiz circulante n x n es:

Como conclusión respecto a los valores y vectores propios para matrices circulantes, podemos decir que estos son muy sencillos de calcular

Sólo es necesario plantear polinomios con las componentes del vector como coeficientes, evaluando el polinomio en cada raíz de la unidad se tendrá cada autovalor.

El autovector asociado a cada autovalor es el mismo polinomio pero con coeficientes igual a 1 y con cada sumando como una componente del vector.

Relación con la matriz de Fourier Transformada de Fourier

f (t ) 

1 2





 f (t ) .e  i d  f (t ) 







f (t ).e it



Transformada discreta de Fourier En el caso discreto, la entrada es un vector y en lugar de una función de x, y la salida es un vector de coeficientes c (de igual longitud que y) N 1

k  0,1,..., N  1

ck   yn e

2 i kn N

n 0

Fc  y Esta relación es lineal por lo que existe una matriz tal que:

Podemos observar que:

La primera fila y primera columna de F están completas de unos. Los demás elementos son las raíces de la unidad elevadas a las potencias j*k. La La matriz de Fourier es también una matriz de Vandermonde La matriz de Fourier es ortogonal La matriz de Fourier puede transformarse en ortonormal dividiendo por La matriz de Fourier ortonormal tiene como inversa sólo su conjugada, su determinante es 1, sus valores propios sólo pueden valer 1,-1,i,-i

Si se analiza un poco la expresión de la matriz de Fourier se puede apreciar que las columnas son los vectores propios de una matriz circulante de orden n, por ende todas las matrices circulantes son diagonalizadas por F y sus autovalores son los elementos de la diagonal de la matriz diagonalizada

Ejemplo: dada la matriz A=

Premultiplicando por la inversa de F y postmultiplicando por F obtenemos los autovalores de A

Otra forma interesante de obtener los autovalores es multiplicar el vector fila que genera a la matriz circulante por F Convolución: es una de las operaciones matemáticas avanzadas más importantes. Para el caso de la convolución entre dos vectores el resultado es otro vector de la siguiente forma:

Este vector de convolución se puede expresar como el producto de una matriz por un vector, y la matriz asociada al vector y es una matriz circulante, en este caso está dada por la primera columna.

�∗�=������0������−1�������−2��… �����2�����1�������1�����0�������−1��… �����3�����2�������2�����1������0� � … �����4�����3�������⋮ �⋮ � ⋮� �⋱ ��⋮� ⋮ ��������−2 ������−3�������−4� �… �����0 ������−1����������−1 ������−2�������−3� �… �����1 �����0�����������0�����1������2��⋮������−2������−1��� ��

Donde �=���.�, por lo tanto � es la Transformada Discreta de Fourier de z: =���(�). En la diagonal Dy está la Transformada discreta de Fourier de y, entonces la diagonal de Dy= DFT(y). Por otra parte el producto Dy. � es la multiplicación elemento a elemento del vector de la diagonal de Dy por el vector z. Por último, este producto está multiplicado por F, por lo cual se tiene una transformada inversa de Fourier, y la convolución queda como sigue:

y*z=IDFT(DFT(y).*DFT(z)).

Aplicación: la convolución puede usarse para multiplicar polinomios. P(x) es un polinomio de grado m y Q(x) es un polinomio de grado n, entonces su producto P(x)Q(x) se puede hallar de la siguiente manera: si escribimos dos vectores cp y cq que contiene los coeficientes P y Q en potencias decrecientes de x y se rellenan con ceros hasta que sean de dimensión m+n+1, entonces la convolución de estos vectores es el vector de los coeficientes de P(x)Q(x) en potencias decrecientes de x.