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1.-Rep 1.-R epre rese sent ntac ació iónn de la po posi sicció iónn. 2.-Representación de la orientación. 3.-Matrices de transformación  homogénea. 4.-Cuaternios. 5..-R Rela lacció iónn y compar araación entr tre  e  métodos.

1. Para Para que el Ro Robo bott pu pued edaa re reali aliza zarr la las  s  tar area eass de ma mani nipu pullac ació iónn qu quee so sonn lo los  s  encomendados es necesario que conozca  la posición y orientación de los  elementos a manipular con respecto a la  base del Robot. 2. Se en enti tien ende de en ento tonc nces es la ne nece cesi sida dadd de  cont co ntar ar co conn una se seri riee de he herr rram amie ient ntas  as  matemáticas que permitan especificar la   posición y orientación en el espacio de   piezas, herramientas, y en general, cualquier objeto.

Normalmente los sistemas de referencia se definen  mediante ejes perpendiculares entre sí con un origen  definido. Se trabaja en un sistema coordenado OXYZ. Cualquier punto a está expresado por las componentes (x,y,z). Este punto tiene asociado un vector p(x,y,z).

r es la distancia origen o al extremo del vector p, θ es el ángulo que forma el vector p con el eje OX, z representa la proyección sobre el eje OZ

1. Un punto queda totalmente definido en  el espacio a través de los datos de su   posición. Sin embargo, para el caso de  un sólido rígido, es necesario además  definir cuál es su orientación con  respecto a un sistema de referencia. 2. En al caso de un robot no es suficiente  con especificar cuál debe ser la posición  de su extremo, sino que, en general, es  también necesario indicar su  orientación.

 En el caso de un Robot que tenga que  realizar sobre una pieza curva una  operación de pulido, no bastaría con  especificar los puntos de la superficie para  situar adecuadamente la herramienta, sino que será necesario también conocer  la orientación con que la herramienta ha  de realizar la operación.

  R

: Matriz de Rotación(Matriz de Cosenos Directores)



Define la orientación del sistema OUV con respecto al sistema  OXY, y que sirve para transformar las coordenadas de un vector en  un sistema a las del otro.



En el caso de 2D, la orientación viene definida por un único  parámetro independiente.

   Si

se considera la posición relativa del sistema OUV girado un  ángulo α  sobre OXY.

  Para

el caso en que  α=0, en el que los ejes coordenados de ambos  sistemas coinciden R corresponderá a la matriz unitaria.

  R

: Matriz de Rotación(Matriz de Cosenos Directores)

  Define

la orientación del sistema OUVW con respecto al  sistema OXYZ 

  Se

trata de una matriz ortonormal, tal que la inversa de la  matriz R es igual a su transpuesta: R -1=R T .

α   La

orientación del sistema OUVW, con el eje OU   coincidente con el eje  OX, vendrá representada mediante la matriz.

Ejemplo Rotación OX 1.- Sea el punto Puvw=[1,2,3], referenciado a un sistema rotado 90° con respecto al eje OX. Encontrar el punto Pxyz en el sistema fijo

2.- Repetir el problema anterior con un ángulo de 30°

Rpta: 1 -3 2

1 0.232

Comprobar en matlab

3.598

Ф 

La  orientación  del sistema  OUVW, con el eje  OV  coincidente  con el eje  OY, vendrá  representad  a mediante  la matriz.

EJEMPLOS: 1.- Encontrar el vector Pxyz, cuando el punto Puvw=[1,1,2], con φ=90° con respecto al eje OY

2.- Sea el sistema OUVW rotado 45° con respecto al eje OY fijo. El punto Puvw= [1, 2, 3], encontrar el punto con respecto al sistema OXY

Rptas: 1: 2 1 -1

2: ( 2.828 2 1.4142)

Comprobar en MATLAB

Ф

  La

orientación del sistema OUVW, con el eje OW coincidente con el eje  OZ, vendrá representada mediante  la matriz.



Las matrices de rotación pueden  componerse para expresar la  aplicación continua de varias  rotaciones.

  Orden

de la composición: 

1) Rotación de ángulo α  sobre OX  2) Rotación de ángulo

sobre OY 

3) Rotación de ángulo θ  sobre OZ 

Donde:  

C θ  : cos θ 



S θ  : sen θ 

  Es

importante considerar el orden el  orden en que se realizan las  rotaciones, pues el producto de  matrices no es conmutativo.

  Orden

de la composición: 

1) Rotación de ángulo θ  sobre OZ  2) Rotación de ángulo

sobre OY 

3) Rotación de ángulo α  sobre OX 

Donde:  

C θ  : cos θ 



S θ  : sen θ 



Todo sistema OUVW solidario al  cuerpo cuya orientación se quiere  describir, puede definirse con respecto al  sistema OXYZ mediante tres ángulos:  ,θ ,Ψ , denominados ángulos de Euler que representan los valores de los giros a realizar sobre los tres ejes ortogonales entre si, de modo que girando sucesivamente el sistema OXYZ sobre estos ejes octonormales los valores de se obtendrá el   θ  Ψ 



Estos giros sobre los ejes fijos  denominados guiñada, cabeceo, alabeo(Yaw, Pitch, Roll) se trata de la  representación utilizada generalmente  en aeronáutica.

   Si

se parte de los sistemas OXYZ, OUVW, al igual que en el caso anterior, se puede colocar al sistema  OUVW en cualquier orientación.

  Mediante

la definición de un vector k (kx,ky.kz) y un ángulo de giro θ   , tal  que el sistema OUVW corresponde al  sistema OXYZ girado un ángulo θ  sobre el eje k.



Para la definición de orientación con  este método, es necesario definir cuatro  parámetros distintos kx, ky, kz, θ 

  Se 

puede representar como Rot(k, θ  )

(k, θ  ) : Par de rotación 

   La

aplicación de un par de rotación  que rote un vector  p   un ángulo θ  alrededor del vector unitario k se  realiza a través de la siguiente 



Las matrices de transformación  homogénea permiten la representación  conjunta tanto de la posición y  orientación (Localización)



Un elemento de un espacio n-  dimensional, se encuentra representado en coordenadas homogéneas por   (n+1)  dimensiones, de tal forma que un vector   p(x,y,z)  vendrá representado por   p(wx,wy,wz,w)    con w=factor de  escala.

  De

forma general: 

   p=ai+bj+ck   Donde:    i,

j, k: Vectores unitarios (OX,OY,OZ)

  Se

representa en coordenadas homogéneas  mediante el vector columna:    Por 

ejemplo: 

(2i+3j+4k), se puede representar en  coordenadas homogéneas como: 

  [2,3,4,1] T    [4,6,8,2] T    [-6,-9,-12,-3] T    Vector

nulo: [0,0,0,n] T 

  Es

una matriz 4x4 que representa la  transformación de un vector en  coordenadas homogéneas de un sistema  de coordenadas a otro



En robótica generalmente solo interesará conocer el valor de R3x3 y  de P3x1, considerándose las  componentes de F1x3 nulas y la de  W1x1 la unidad.

1) Representar la posición y orientación de un sistema girado y  trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia  OXYZ., que es lo mismo que representar una rotación y traslación  realizada sobre un sistema de referencia. 2) Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un  sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de  referencia OXYZ. 3) Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia   fijo OXYZ 

Supóngase que el sistema   O’UVW   únicamente se encuentra trasladado un vector  p=pxi+py j+pzk  con respecto al sistema OXYZ. T: Matriz básica de traslación 

Un vector cualquiera r, representado en el sistema   O’UVW  por  ruvw  , tendrá como componentes del vector con respecto al sistema OXYZ  (Cambio en el Sistema de Coordenadas)

Y a su vez, un vector   rxyz desplazado según T tendrá como componentes  r’xyz:

1) Según la figura el sistema O'UVW  está trasladado un vector p(6,-3,8) con respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw (-2,7,3)

11

4 4

Tp=[1 0 0 6;0 1 0 -3; 0 0 1 8;0 0 0 1]; ruvw=[-2 7 3 1]’; rxyz=Tp*ruvw

2)

Calcular el vector r’ xyz resultante

de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8)

19

10

1

 Ahora supóngase que el sistema  O’UVW    sólo se encuentra  rotado con respecto al sistema  OXYZ. La submatriz de  rotación R3x3 será la que defina  la rotación.

Se define tres matrices homogéneas  básicas de rotación según realice  ésta alrededor de cada uno de los  tres ejes coordenados OX,OY,OZ  del sistema de referencia OXYZ.

Un vector r, representado en el  sistema girado   O’UVW  por  ruvw =(ru,r v ,r w  ),   tendrá como componentes en el sistema OXYZ  rxyz=(rx,ry ,rz ) , dadas por: 

Y a su vez, un vector  rxyz , rotado según T vendrá expresado por  r’xyz  según:  (Cambio de coordenadas)

sistema

de  

3)   Según la figura, el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si sus coordenadas en el sistma OUVW son ruvw =[4,8,12] T 12

8

4