Matlab Para Dinamica de Estructuras RevB

PROHIBIDA SU REPRODUCCION TOTAL O PARCIAL

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA Apuntes de MatLab para Dinámica de Estructuras USM Campus Santiago II Semestre 2012

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NOCIONES BÁSICAS

3

NOMENCLATURAS Y COMANDOS GRÁFICOS PROGRAMACIÓN DECLARACIÓN DE FUNCIÓN DECLARACIÓN DE FOR SIMPLE DECLARACIÓN DE FOR ANIDADA DECLARACIÓN DE WHILE DECLARACIÓN DE IF DECLARACIONES INTERACTUANDO

3 11 15 15 15 16 16 17 17

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

18

CASO DE ANÁLISIS MATRIZ DE RIGIDEZ VIGAS COLUMNAS MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL CONDENSACIÓN ESTÁTICA

18 18 19 20 20 26

DINÁMICA ESTRUCTURAL

28

SUBRUTINA ‘ODE45’ FACTORES DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA (FAD) RESPUESTA ANTE CARGA “RAMPA-ESCALÓN” RESPUESTAS A PARTIR DE UN REGISTRO DE ACELERACIONES ESPECTRO LINEAL DE ACELERACIÓN ESPECTRO NO LINEAL DE ACELERACIÓN SUPERPOSICIÓN MODAL

28 31 37 39 43 54 65

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Nociones básicas Nomenclaturas y comandos La interfaz al ejecutar MatLab es la que se detalla a continuación.

Se aprecia que aparece el indicador de comandos >>, el cual indica que el programa está listo para recibir instrucciones. MATLAB trabaja esencialmente con matrices numéricas rectangulares. La manera más fácil de entrar matrices pequeñas es enumerando los elementos de ésta de tal manera que:   

los elementos estén separados por blancos ó comas. los elementos estén cerrados entre corchetes, [ ]. muestre el final de cada fila con ; (punto y coma).

Así, algunos caracteres especiales de MatLab son:  

[ ] Se utilizan para formar vectores y matrices ( ) Define precedencia en expresiones aritméticas. Encierra argumentos de funciones en forma usual

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  

, Separador de elementos de una matriz, argumentos de funciones y declaraciones en líneas con declaraciones múltiples ; Termina filas de una matriz, separador de declaraciones % Permite agregar un comentario comentario

Entonces un ejemplo sería ingresar una matriz de dimensiones 3x3, con números correlativos, como: [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]. El resultado, como lo entrega el programa, se indica a continuación: ans = 1 4 7

2 5 8

3 6 9

Ahora bien, se puede guardar esta matriz bajo un nombre. Para ello se tiene que ingresar el nombre de la variable seguida por una igualdad. Así, la matriz queda como: A=[ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]. El resultado que entrega el programa es A = 1 4 7

2 5 8

3 6 9

Usualmente no se requiere que el programa entregue los resultados. Para no presentar el valor de la variable que se creó, se debe agregar un punto y coma (;) al final del comando. Como alternativa se puede crear la matriz sin la necesidad de puntos y comas como separadores. Así, la matriz A también se puede generar como: A =

[1 2 3 4 5 6 7 8 9];

Si se requiere una fila o columna de la matriz A, o tal vez un valor particular de la matriz o añadir una fila adicional, se realiza lo siguiente: 

se requiere el segundo vector columna: A(:,2) ans = 2 5 8



se requiere el primer vector fila: A(1,:) ans = 1 2 3



se requiere el valor del elemento en la fila 2 y columna 3: A(2,3) ans = 8



se requiere añadir una fila con los valores b=[ 10 11 12], redefiniendo A: A=[A;b]: A = 1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

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También se pueden generar vectores con instrucciones. Para ello, una alternativa es definir x=[1:5]. Esta instrucción permite generar un vector fila de 5 columnas. También se puede omitir los paréntesis cuadrados para simplificar el proceso. Así, se obtiene: x = 1 2 3 4 5

El vector transpuesto se genera agregando el carácter apóstrofe (‘) a la variable, es decir, x’ ans = 1 2 3 4 5

Se pueden crear vectores generando una secuencia, con un punto de inicio y uno de término. Un ejemplo es definir un vector cuyo valor inicial sea 5 y que disminuya su valor en una unidad hasta llegar a 1. De esta manera, x=5:-1:1 x = 5 4 3 2 1

Con anterioridad se evidenció la posibilidad de pedir valores específicos a la matriz. De igual manera, se pueden reasignar valores dentro de la matriz sin necesidad de cambiarla. Para ello se tienen las siguientes opciones:  cambiar un valor en específico de manera directa: A(3,3)=10 A = [1 2 3 4 5 6 7 8 10];



cambiar un valor en específico de manera directa: A(3, 3) = A(1, 3) + A(3, 1) A = [1 2 3 4 5 6 7 8 10];

Ahora bien, un índice también puede ser un vector. Si x y v son vectores, entonces x(v) es [x(v(1)),x(v(2)), ...,x(v(n))]. Para matrices, los índices de vectores permiten acceso a submatrices contiguas y no contiguas. Por ejemplo, suponga que B es una matriz 12 por 12. Entonces B(1:5, 2) especifica la submatriz 5 x 1, ó vector columna, que consiste de los primeros cinco elementos en la segunda columna de B. De igual manera, B(1:5, 9:12) es la submatriz 5 x 4 de las primeras cinco filas y las últimas cuatro columnas. Las operaciones suma (+) y resta (-) son definidas para las matrices siempre y cuando éstas tengan la misma dimensión. El resultado de la operación es por defecto almacenado en la variable ans, la cual se puede almacenar en otra variable. Así, definiendo A=[1 2 3;4 5 6]; y B=[6 5 4; 3 2 1]; se puede originar C=A+B. C = 7 7

7 7

7 7

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La operación de multiplicación de matrices (*) está definida siempre que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. De esta manera, D=A*B sólo es posible si D=A’*B. D = 18 27 36

13 20 27

8 13 18

La operación de multiplicación de matriz con vector es un caso especial de la multiplicación de matrices. En la operación de división de matrices, si A es una matriz cuadrada no-singular, entonces A\B y B/A corresponden a la multiplicación izquierda y derecha de B por el inverso de A, esto es, inv(A) * B y B * inv(A) respectivamente. Así, 

X = A\B es una solución a A * X = B



X = B/A es una solución a X * A = B

>> A = [3,4,7;5,2,-9;-1,13,3] A = 3 5 -1

4 2 13

7 -9 3

>> B = [6;1;8] B = 6 1 8 >> x=A\B x = 0.5123 0.5848 0.3034 >> x=inv(A)*B x = 0.5123 0.5848 0.3034

Notar que A\B es definido cuando B tiene la misma cantidad de filas que A. Si A es cuadrada, el método usado para su resolución es la Eliminación Gaussiana. El resultado es una matriz con las mismas dimensiones que B. Ahora bien, si A no es cuadrada, el procedimiento se factoriza utilizando la ortogonalización de Householder con pivoteo de columnas. Para dividir los valores de una matriz por un escalar se requiere utilizar un operador que le indique al arreglo que el denominador debe dividir cada valor. Así, si A=[1 2;3 4] y se requiere dividir cada valor por 2, la operación es: A=[1 2;3 4]./2

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A = 0.5000 1.5000

1.0000 2.0000

Para generar matrices o arreglos con valores aleatorios existe un comando llamado rand(). Los valores están entre cero y uno. De esta manera se tiene: 

matriz de dimensiones 3x3 con rand(3) A = 0.8235 0.6948 0.3171



0.9502 0.0344 0.4387

0.3816 0.7655 0.7952

vector de dimensiones 3x1 con rand(3,1) A = 0.1869 0.4898 0.4456



matriz de nxn de ceros: zeros(n)

>> A=zeros(4) A = 0 0 0 0



0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

matriz de mxn de ceros: zeros(m,n)

>> B=zeros(3,4) B = 0 0 0



regresa el número de filas y columnas de la matriz A ó B: size(A) ó size(B)

>> size(A) ans = 4

4

3

4

>> size(B) ans = >> [m,n]=size(B) m = 3 n = 4



matriz de nxn de unos: ones (n)

>> C=ones(4) C = 1 1

1 1

1 1

1 1

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1 1



1 1

1 1

1 1

matriz de mxn de unos: ones(m,n)

>> D=ones(3,4) D =



1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

matriz identidad de nxn: eye(n)

>> E=eye(4) E =



matriz identidad de mxn: eye(m,n)

>> F=eye(3,4) F = 1 0 0



0 1 0

0 0 1

0 0 0

matriz transpuesta: transpose(A)

>> A=rand(3) A = 0.8147 0.9058 0.1270

0.9134 0.6324 0.0975

0.2785 0.5469 0.9575

0.8147 0.9134 0.2785

0.9058 0.6324 0.5469

0.1270 0.0975 0.9575

>> B=transpose(A) B =



determinante de una matriz: det(A)

>> det(A) ans = -0.2767



inversa de una matriz: inv(A)

>> inv(A) ans =

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-1.9958 2.8839 -0.0291



3.0630 -2.6919 -0.1320

-1.1690 0.6987 1.1282

valores propios de una matriz: eig(A)

>> eig(A) ans = -0.1879 1.7527 0.8399



vectores y valores propios de una matriz: [V,D]=eig(A)

>> [V,D]=eig(A) V = 0.6752 -0.7375 -0.0120

-0.7134 -0.6727 -0.1964

-0.5420 -0.2587 0.7996

D = -0.1879 0 0



0 1.7527 0

0 0 0.8399

obtiene la diagonal de una matriz: diag(D)

>> diag(D) ans = -0.1879 1.7527 0.8399



agrupar de forma creciente: sort(v)

>> x=rand(5,1) x = 0.6948 0.3171 0.9502 0.0344 0.4387 >> v=sort(x) v = 0.0344 0.3171 0.4387 0.6948 0.9502

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

obtener la suma de los términos de un arreglo: sum(x)

w=sum(x) w = 2.4353



obtener el máximo valor de un arreglo: max(x)

y=max(x) y = 0.9502



obtener el mínimo valor de un arreglo: min(x)

>> y=min(x) y = 0.0344



redondea los términos: round(x)

>> r=round(x) %redondea por defecto al entero más cercano ó 0 r = 1 0 1 0 0 >> r=round(10*x) %idem anterior pero ahora se multiplica el arreglo por 10 r = 7 3 10 0 4



Los operadores relacionales son < >= == =~



menor que menor o igual a mayor que mayor o igual a igual a no igual a

Comando de limpieza de variables - clear - clear all - clc

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Gráficos La estructura básica del gráfico se compone por un comando que crea una gráfica de vectores o columnas de matrices a través de ‘plot’. Una vez ingresado el comando y los vectores a representar gráficamente es posible agregar descripciones al gráfico, a través de títulos, encabezamientos de ejes, líneas segmentadas o texto mediante etiquetas. De igual manera se puede asignar un color específico al trazado y/o con algún estilo. Cabe destacar que por defecto el gráfico tiene una línea continua y de color azul. Para ello se enumeran las opciones disponibles: Colores y

amarillo

m

magenta

c

cyan

r

rojo

g

verde

b

azul

w

blanco

k

negro

Tipología línea .

punto

o

circulo

x

cruz

+

signo '+'

*

estrella

s

cuadrado

d

diamante

v

triangulo

-

línea solida

:

segmentado

-.

línea - punto

--

línea - línea

Se considerará el siguiente ejemplo para ilustrar el uso de la función plot y sus etiquetas. Sea x=1:8; y=2.^x; plot(x)

plot(y)

Si x es un vector, plot(x) produce una gráfica lineal de los elementos de x versus el índice de estos. Si especifica dos vectores como argumentos, plot(x, y) produce una gráfica de y versus x como se indica en la figura.

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Para introducir las etiquetas es necesario colocar (,) después del vector y abrir una llamado a la etiqueta, ingresando el llamado entre (‘’) plot(y,’m’) plot(y,’mx’)

El gráfico de la izquierda grafica el vector ‘y’, agregándole color magenta a la línea trazada. El gráfico de la derecha mantiene el color magenta pero cambia la línea por cruces; es decir, añade una característica adicional insertando una nueva etiqueta de manera continua. plot(y,’d’)

plot(y,’k--’)

El gráfico de la izquierda grafica el vector ‘y’, indicando sólo los valores del vector con un símbolo de diamante. El gráfico de la derecha segmenta el gráfico y le cambia el color a negro.

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Para agregar títulos al gráfico plot(y,'k.-'); title('Gráfico y(x)');

plot(y,'k.-'); title('Gráfico y(x)'); xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');

De manera adicional se puede agregar cambios en los espesores de línea. Algunas de las etiquetas son: ,'LineWidth',2,

espesor de linea en 2

,'MarkerEdgeColor','r',

dato en color rojo

,'MarkerSize',30,

tamaño dato

Así, se puede generar gráficos como: plot(y,'k.','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r','MarkerSize',15); title('Gráfico y(x)');

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Para graficar de manera simultánea dos gráficos se puede utilizar un comando que permita agregar tantas funciones cómo se requiera. Para ello se definirá lo siguiente: >> >> >> >> >> >> >> >>

x=0:6; y1=x.^2; y2=sqrt(x); y3=x; plot(y1); hold on plot(y2); plot(y3); hold off

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Programación Declaración de función La idea de es utilizar funciones predeterminadas y de uso recurrente agregando sólo una línea. Para los casos que se verán en Dinámica de Estructuras se implementarán para:   

Llamar una matriz de rigidez elemental de un elemento viga o columna Llamar un registro Llamar una función específica previamente creada y guardada, por ejemplo, una función que resuelva la ecuación diferencial de movimiento mediante la integración directa con aceleración constante

Por ejemplo, si se crea un archivo .m a través de una función (File->New->Function) se puede agregar una matriz de rigidez de un elemento viga en posición horizontal con 6 grados de libertad, como se detalla a continuación: function Kviga = Kviga(EA,EI,L) Kviga = [EA/L,0,0,-EA/L,0,0; 0,12*EI/L^3,6*EI/L^2,0,-12*EI/L^3,6*EI/L^2; 0,6*EI/L^2,4*EI/L,0,-6*EI/L^2,2*EI/L; -EA/L,0,0,EA/L,0,0; 0,-12*EI/L^3,-6*EI/L^2,0,12*EI/L^3,-6*EI/L^2; 0,6*EI/L^2,2*EI/L,0,-6*EI/L^2,4*EI/L]

De esta manera se define una matriz de rigidez elemental para una viga horizontal de propiedades ‘EA’, ‘EI’ y largo ‘L’. Para hacer uso de ella se debe llamar por el nombre ‘Kviga’, agregando las propiedades requeridas en su definición. Definiendo EA, EI & L, se obtiene: >> EA=10000; %EA de la viga >> EI=500000; %EI de la viga >> L=500; %L de la viga >> Kviga(EA,EI,L) Kviga = 1.0e+003 * 0.0200 0 0 0 0.0000 0.0120 0 0.0120 4.0000 -0.0200 0 0 0 -0.0000 -0.0120 0 0.0120 2.0000

-0.0200 0 0 0.0200 0 0

0 -0.0000 -0.0120 0 0.0000 -0.0120

0 0.0120 2.0000 0 -0.0120 4.0000

Declaración de FOR simple >> for i=1:101 x(i)=2*pi*(i-1)/100; end >> y=sin(x) >> plot(x,y)

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Declaración de FOR anidada Se utiliza cuando se posee más de 1 parámetro al cual se requiere hacer un barrido. Por ejemplo, se puede crear una matriz de dimensiones ‘mxn’, creando cada término en función de las dimensiones de la matriz. Así, si m=4 y n=5, se tiene >> for i = 1:m for j = 1:n A(i, j) = 1/(i+j- 1); end end A A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500

0.5000 0.3333 0.2500 0.2000

0.3333 0.2500 0.2000 0.1667

0.2500 0.2000 0.1667 0.1429

0.2000 0.1667 0.1429 0.1250

Declaración de WHILE Este comando permite a una o más instrucciones repetirse un número indefinido de veces, bajo el control de una condición lógica. La ventaja radica en que WHILE tiene una condición de parada definida, mientras que otros comandos, como IF, pueden no tener la condición de parada, lo que implica que nunca deja de buscar. Como ejemplo, suponer se desea iterar para encontrar un número tal satisfaga una suma. Así, >> e=1.0; while (1.0+e)>1.0001 e=e/2.0; end >> e e= 6.1035e-005

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Declaración de IF Permite establecer casos particulares en los cuales si se cumple una afirmación se proceda a generar una rutina con el valor al caso que se cumple. if i==j rho=1; else rho=-1 end

Declaraciones interactuando Supongamos que se tienen las frecuencias de un marco de 5 pisos ordenadas como un vector columna llamado w, tal que w= 31.4159 100.5183 183.8185 276.7465 360.8302

Si se requiere realizar un análisis CQC (Complete Quadratic Combination, para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Cuadrática Completa descrita por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo (1981)), se debe determinar el coeficiente de acoplamiento modal, cuya es expresión corresponde a

ij 



i

8 2 i   j  i 3 j 3

2

  j 2   4 2i j i   j  2

2

La expresión obliga a ocupar los comandos anteriormente vistos para generar los coeficientes de acoplamiento modal. for i=1:5 for j=1:5 if i==j rho=1; else rho=(8*bi^2*(w(i)+w(j))*(w(i)^3*w(j)^3)^0.5)/((w(i)^2w(j)^2)^2+4*bi^2*w(i)*w(j)*(w(i)+w(j))^2); end end

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Análisis estructural Caso de análisis Suponga que deben calcular el desplazamiento de un edificio de 5 pisos. Ese edificio tiene ciertas cualidades que se detallan abajo. Lo importante es que deben conocer el desplazamiento de techo y los desplazamientos de entrepiso (drifts), por lo cual les interesa saber los desplazamientos desde 1 a 5. ¿Pero qué sucede? Hay más grados de libertad que contribuyen a la rigidez del edificio. Detallando los grados de libertad del marco de 5 pisos, donde las vigas son axialmente indeformables, los grados de libertad a considerar son:

Esa rigidez del edificio se puede expresar como una rigidez lateral (que es la que nos interesa porque es la que mueve toda la masa), una rigidez al giro y una rigidez a la deformación vertical. Pues de esta forma se entiende que el problema a resolver no son los 25 grados de libertad, sino que los 5 que relacionan el problema que debo solucionar. Así, sabiendo que tengo una matriz de grandes dimensiones, ordeno convenientemente los grados de libertad para luego aplicar condensación a los grados de libertad requeridos. ¿Qué significa eso? Que la matriz de 25x25 se reducirá a 5x5, de los cuales se hará una equivalencia en comportamiento dada su condición estática.

Matriz de Rigidez Se requiere obtener la matriz de rigidez de un edificio de 5 pisos compuesto por columnas y vigas. Las vigas se considerarán flexurablemente deformables y las columnas axial-flexurablemente deformables.

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Para mayor facilidad en el desarrollo se consideraran primero los grados de libertad que representan el desplazamiento lateral de cada piso, para luego considerar el resto. De esta forma los primero cinco términos de la matriz de rigidez resultante serán los que se usarán para determinar la respuesta a nivel de piso debido al registro. La siguiente figura indica los grados de libertad globales considerados para el edificio de 5 pisos.

Vigas La matriz de rigidez elemental de la viga considera sólo los grados de libertad axiales, por lo que el elemento queda como lo indica la figura:

Considerando la matriz elemental para una viga horizontal y tomando en cuenta sólo los 4 grados de libertad locales indicados, la matriz de rigidez local del elemento viga se expresa como

6 3L   6 3L 3L 2 L2 3L L2  EI  kv  2 c 3 v   6 3L  L  6 3L   2 3L 2 L2  3L L

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Columnas En relación a la matriz de rigidez de la columna, se consideran todos los grados de libertad de la matriz de rigidez elemental. De esta forma, se tiene que el elemento columna se expresa en coordenadas locales como:

Considerando los grados de libertad locales de la columna, la matriz de rigidez local del elemento columna se expresa como  Ec I c  12 h 3 i   0    Ec I c  6 2 hi kc    Ec I c  12 3 hi   0    EI  6 c 2c hi 

0

6

Ec I c hi 2

Ec Ac hi



0

0



Ec Ac hi

Ec I c hi 2

0

Ec I c hi 2

12

Ec I c hi 3

0

0

6

0 2

0

6

4

Ec Ac hi

Ec I c hi 3

Ec I c hi

0

0

12

0

Ec I c hi

6

Ec I c hi 2

Ec Ac hi 0

Ec I c  hi 2    0   EI  2 c c  hi  Ec I c  6 2  hi   0   Ec I c  4  hi  6

Se debe hacer la diferencia sobre la altura del primer piso con la del resto de los pisos, para lo cual se generarán matrices de rigidez para el primer piso y para el resto. Todas las vigas tienen las mismas propiedades, por lo cual no se hará diferencia con las matrices de rigidez de éstas. Los valores a utilizar son

 tonf Ec  2038.902  2  cm

   29000  ksi 

Ac  62 cm2  I c  9230 cm4 

I v  12250 cm4 

Lv  750 cm

  400  cm , para el primer piso hi    350  cm , para el resto delos pisos

Matriz de rigidez global Realizado lo anterior, será necesario establecer la relación entre los grados de libertad locales y globales. Para ello se enumeran los elementos, con la finalidad de establecer los vectores de

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conectividad que permitan ensamblar la matriz de rigidez del sistema. La figura que se indica a continuación establece la numeración de los elementos. Se requieren 5 vectores de conectividad para las 5 vigas y 10 vectores de conectividad para las 10 columnas.

Utilizando lo visto en el capítulo 1, se definirán 2 funciones para llamar las matrices de rigidez de la viga y de la columna. Así, creando un nuevo archivo de extensión .m, se tiene Matriz de rigidez elemental viga 4x4 function kviga4x4 = kviga4x4(Ec,Iv,L) kviga_ad4x4=Ec*Iv/L^3*[12 6*L -12 6*L; 6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2; -12 -6*L 12 -6*L; 6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2];

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Matriz de rigidez elemental columna function kcol = kcol(EI,EA,h) kcol = [12*EI/h^3,0,6*EI/h^2,-12*EI/h^3,0,6*EI/h^2; 0,EA/h,0,0,-EA/h,0; 6*EI/h^2,0,4*EI/h,-6*EI/h^2,0,2*EI/h; -12*EI/h^3,0,-6*EI/h^2,12*EI/h^3,0,-6*EI/h^2; 0,-EA/h,0,0,EA/h,0; 6*EI/h^2,0,2*EI/h,-6*EI/h^2,0,4*EI/h];

Notar que se consideran los parámetros Ec, Iv & L como los datos de entrada cuando se llame a la matriz de rigidez de la viga, mientras que para la columna los datos de entrada son EI, EA & h. La idea será generar que la matriz de rigidez global de la estructura se armará con las matrices de rigidez de cada elemento (método de rigidez directa). Esto se implementará mediante vectores que relacionarán el grado de libertad de cada elemento con una ubicación dentro de la matriz de rigidez global, de dimensiones 25x25. Si la viga 1 tiene los grados de libertad 6, 7, 8 & 9, el vector será p=[6:9]' y lo que hará será vincular, en el orden específico en el cual se ingresan los valores en el vector, la matriz de 4x4 de la viga del primer piso y ubicarla dentro de la matriz de dimensiones 25x25 entre las filas 6 y 9, y las columnas 6 y 9. Para las columnas se procede de la misma forma, salvo las columnas del primer piso, que requieren que se añadan grados de libertad adicionales. Esto sucede porque la matriz a la cual se llama tiene dimensiones de 6x6 y el vector p=[0;0;0;1;6;7] tendría sólo 3 grados de libertad, lo que genera un problema de dimensiones al generar la matriz. De esta forma, la manera más simple de generar una solución es añadiendo 5 grados de libertad en la base. De esta forma, se tienen 30 grados de libertad.

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Así, Kg=zeros(30); %definición de una matriz de 25x25 para ir completando %Para el primer piso p=[6:9]'; %posicion de los GL de la viga Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte de la primer piso p=[26;27;28;1;6;7]; %posición de la columna izquierda Kg(p,p)=Kcp1+Kg(p,p); %aporte de la columna izquierda p=[26;29;30;1;8;9]; %posición de la columna derecha Kg(p,p)=Kcp1+Kg(p,p); %aporte de la columna derecha %Para el segundo piso p=[10:13]'; %posicion de los GL de la viga Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte del segundo piso p=[1;6;7;2;10;11]; %posición de la columna izquierda Kg(p,p)=Kcp2+Kg(p,p); %aporte de la columna izquierda p=[1;8;9;2;12;13]; %posición de la columna derecha Kg(p,p)=Kcp2+Kg(p,p); %aporte de la columna derecha %Para el tercer piso p=[14:17]'; %posicion de los GL de la viga Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte del tercer piso p=[2;10;11;3;14;15]; %posición de la columna izquierda Kg(p,p)=Kcp2+Kg(p,p); %aporte de la columna izquierda p=[2;12;13;3;16;17]; %posición de la columna derecha Kg(p,p)=Kcp2+Kg(p,p); %aporte de la columna derecha %Para el cuarto piso p=[18:21]'; %posicion de los GL de la viga Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte del cuarto piso p=[3;14;15;4;18;19]; %posición de la columna izquierda Kg(p,p)=Kcp2+Kg(p,p); %aporte de la columna izquierda p=[3;16;17;4;20;21]; %posición de la columna derecha Kg(p,p)=Kcp2+Kg(p,p); %aporte de la columna derecha %Para el quinto piso p=[22:25]'; %posicion de los GL de la viga Kg(p,p)=Kv+Kg(p,p); %aporte del quinto piso p=[4;18;19;5;22;23]; %posición de la columna izquierda

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Kg(p,p)=Kcp2+Kg(p,p); %aporte de la columna izquierda p=[4;20;21;5;24;25]; %posición de la columna derecha Kg(p,p)=Kcp2+Kg(p,p); %aporte de la columna derecha

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Matriz de rigidez global Kg queda como se indica la figura

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Condensación estática Ahora bien, mediante condensación estáticamente se debe reducir la matriz a los grados de libertad asociados al desplazamiento horizontal del marco. En este caso se condensarán los asociados al desplazamiento lateral del marco.

 K aa K  ba

K ab  u   F     Kbb     0 

Con u=grados de libertad activos (desplazamientos laterales) y el resto de los grados de libertad. De esta manera,

 Kaa   u   K ab      F   Kba   u   Kbb      0 Finalmente la rigidez lateral queda expresada como

 K    Kaa    Kab    Kbb   Kba  1

Se condensará para la submatriz de dimensiones 25x25, considerando que sólo se agregaron estos términos para determinar un procedimientos de ensamble de la matriz de rigidez global eficiente. Truncado los últimos 5 GL, se tiene a=[1:5]; % GL activos b=[6:25]; % GL pasivos K=Kg(a,a)-Kg(a,b)*inv(Kg(b,b))*Kg(b,a) %condensacion a GL laterales

K= 14.7948 -9.8816 -9.8816 15.4632 2.6659 -10.0323 -0.4655 2.6500 0.0756 -0.3583

2.6659 -0.4655 -10.0323 2.6500 15.4597 -9.8125 -9.8125 14.1538 2.0987 -6.5904

0.0756 -0.3583 2.0987 -6.5904 4.7790

Una alternativa al procedimiento anterior consiste en generar los vectores de conectividad de manera individual. El problema radica en la lentitud en relación al procedimiento anterior.

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% vigas Kv=kviga4x4(Es,Iv,L); % columnas EA=Es*Ac; EI=Es*Ic; Kcp1=kcol(EI,EA,hp1); Kcp2=kcol(EI,EA,hp2); % Matrices de compatibilidad para cada barra % vigas a1=zeros(4,25); a1(1,6)=1; a1(2,7)=1; a1(3,8)=1; a1(4,9)=1; a2=zeros(4,25); a2(1,10)=1; a2(2,11)=1; a2(3,12)=1; a2(4,13)=1; a3=zeros(4,25); a3(1,14)=1; a3(2,15)=1; a3(3,16)=1; a3(4,17)=1; a4=zeros(4,25); a4(1,18)=1; a4(2,19)=1; a4(3,20)=1; a4(4,21)=1; a5=zeros(4,25); a5(1,22)=1; a5(2,23)=1; a5(3,24)=1; a5(4,25)=1; % columnas a6=zeros(6,25); a6(4,1)=-1; a6(5,6)=1; a6(6,7)=1; a7=zeros(6,25); a7(4,1)=-1; a7(5,8)=1; a7(6,9)=1; a8=zeros(6,25); a8(1,1)=-1; a8(2,6)=1; a8(3,7)=1; a8(4,2)=-1; a8(5,10)=1; a8(6,11)=1; a9=zeros(6,25); a9(1,1)=-1; a9(2,8)=1; a9(3,9)=1; a9(4,2)=-1; a9(5,12)=1; a9(6,13)=1; a10=zeros(6,25); a10(1,2)=-1; a10(2,10)=1; a10(3,11)=1; a10(4,3)=-1; a10(5,14)=1; a10(6,15)=1; a11=zeros(6,25); a11(1,2)=-1; a11(2,12)=1; a11(3,13)=1; a11(4,3)=-1; a11(5,16)=1; a11(6,17)=1; a12=zeros(6,25); a12(1,3)=-1; a12(2,14)=1; a12(3,15)=1; a12(4,4)=-1; a12(5,18)=1; a12(6,19)=1; a13=zeros(6,25); a13(1,3)=-1; a13(2,16)=1; a13(3,17)=1; a13(4,4)=-1; a13(5,20)=1; a13(6,21)=1; a14=zeros(6,25); a14(1,4)=-1; a14(2,18)=1; a14(3,19)=1; a14(4,5)=-1; a14(5,22)=1; a14(6,23)=1; a15=zeros(6,25); a15(1,4)=-1; a15(2,20)=1; a15(3,21)=1; a15(4,5)=-1; a15(5,24)=1; a15(6,25)=1; % Matriz de rigidez Kvigas=a1'*Kv*a1 + a2'*Kv*a2 + a3'*Kv*a3 + a4'*Kv*a4 + a5'*Kv*a5; %aporte de las vigas Kcolumnas=a6'*Kcp1*a6 + a7'*Kcp1*a7 + a8'*Kcp2*a8 + a9'*Kcp2*a9 + a10'*Kcp2*a10 + a11'*Kcp2*a11 + a12'*Kcp2*a12 + a13'*Kcp2*a13 + a14'*Kcp2*a14 + a15'*Kcp2*a15; %aporte de las columnas Kt=Kvigas+Kcolumnas; %matriz de rigidez completa a=[1:5]; %grados de libertad horizontales b=[6:25]; %resto de los grados de libertad del sistema Kaa=Kt(a,a); Kab=Kt(a,b); Kba=Kt(b,a); Kbb=Kt(b,b); K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; %matriz de rigidez condensada a grados de libertad laterales con masa asociada Kt=Kv+Kc; %matriz de rigidez completa

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Dinámica estructural Subrutina ‘ode45’ ‘ode45’ corresponde a un método adaptativo; es una combinación de un método Runge-Kutta de ordenes cuatro y cinco de cinco y seis evaluaciones respectivamente. La combinación de estos métodos permite estimar el error en la aproximación numérica en cada paso y así la subrutina puede ajustar el largo de paso "h" en forma dinámica para mantener el error global menor de una tolerancia especificada por el usuario. Requiere del nombre de la función ‘f’, los tiempos inicial y final, la condición inicial, la tolerancia para cada iteración, y un indicador si la rutina imprime o no los resultados calculados. Normalmente este indicador se toma como cero que es su valor por omisión. A continuación se detalla un ejemplo que permite visualizar su uso. En específico, se resolverá la ecuación general de movimiento para un caso particular. Sea la ecuación del movimiento:

mx(t )  cx (t )  kx(t )  F0 sin  t , 0  t  10 Considerar el siguiente caso: m = 10; c = 0,05; k = 50; Fo = 5 Las condiciones iniciales serán las siguientes:

x(0)  0

x (0)  0 Para usar ode45 con ecuaciones de 2do orden, como es el caso de la ecuación general de movimiento:

mx  cx  kx  F (t )  x(t 0 )  x0   x (t 0 )  x1  se debe convertir la ecuación en un sistema equivalente de primer orden, haciendo y1 = x, y2 = x’:

y '1  y 2    k  y1  c  y 2  F (t ) y  2  m 

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Con

y1 (t 0 )  x0 y 2 (t 0 )  x1 Luego se debe crear y guardar un archivo .m que retornará una función evaluada en cada t. Para el caso del ejemplo, se procedería de la siguiente forma: function dy = dfun(t,y) Fo=5; A=Fo*sin(pi*t); c=0.05; k=50; m=10; dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(A-c*y(2)-k*y(1))/m; end

Notar que el sistema está descrito en las dos últimas filas antes de end y lo anterior es para definir los coeficientes del sistema. Este archivo se guardará como “dfun.m”. Finalmente, para obtener los resultados, se tiene que ingresar lo siguiente: [t,x]=ode45(@”nombre del archivo.m”,[to tf],[x(0) x’(0)]);

t0 y tf son el tiempo inicial y final del análisis y x(0) y x’(0) las condiciones iniciales. Reemplazando en el caso ejemplo, queda: [t,x]=ode45(@dfun,[0 10],[0 1]);

t será el vector de los instantes de tiempo en que se efectuó el cálculo según el criterio de error de este proceso, x será una matriz de dos columnas, de las cuales, la primera irá definiendo la posición y la segunda la velocidad según el vector t. Con lo cual, si se desea mostrar el resultado en un gráfico, se implementará el siguiente código: hold on plot(t,w(:,1),'b') plot(t,w(:,2),'r') xlabel('tiempo') ylabel('Posición y Velocidad') title('Solución EDO') legend('Posición','Velocidad',3) grid on hold off

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Y el resultado por pantalla será el siguiente: Solución EDO 2 1.5

Posición y Velocidad

1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

Posición Velocidad 0

1

2

3

4

5 tiempo

6

7

8

9

10

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Factores de Amplificación Dinámica (FAD) En el análisis de sistemas dinámicos, un punto que importa conocer es la amplificación que sufre la respuesta del sistema ante solicitaciones con respecto a la respuesta estática. De esta manera, se define el Factor de amplificación dinámico de un sistema, para una cierta razón de amortiguamiento, como el cociente entre la amplitud de la respuesta (para una cierta excitación) y el desplazamiento (velocidad, aceleración) estático. Para poder definir este parámetro, es necesario conocer la frecuencia que posee la excitación a la cual se esta sometiendo el sistema. Conocida esta, es posible analizar lo que ocurre con la respuesta del sistema para diferentes excitaciones, y a su vez, analizar el comportamiento para un determinado amortiguamiento. Para un mejor entendimiento, veamos un ejemplo: Sea la EDM:

mu(t )  cu (t )  ku(t )  F0 sin p  t  Rescrita en forma canónica:

u(t )  2      u (t )   2 u (t ) 

F0 sin  p  t  m

La solución a esta ecuación diferencial de segundo orden, esta dada por una parte homogénea y otra particular. Resolviendo, se obtiene la siguiente solución para un sistema amortiguado de un grado de libertad:

u (t ) 

F0 m 2

1 2

2   p 2   1       2    p       w  

sin  p  t   

   2     p        tan 1  2   1   p         Donde:

 : Razón de amortiguamiento crítico. F0 : Amplitud de la carga.

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p : Frecuencia angular de la carga.

u st : Desplazamiento estático del sistema. Luego, el factor de amplificación dinámica para desplazamiento se define numéricamente de la siguiente manera:

FAD u 

1 2

2   p 2   1       2    p       w  

Es posible conocer también, los factores de amplificación dinámica para la velocidad y la aceleración: Diferenciando la respuesta del sistema, se tiene que la velocidad es de la forma:

u (t ) 

 p    

F0 cos  p  t    m  2 2 2  1   p     2    p       w  

De esta manera, el FAD para velocidad es:

FAD v 

 p     2

2   p 2   1       2    p       w  

La aceleración:

u(t ) 

F0 m

 p     2

2

2   p 2   1       2    p       w  

sin  p  t   

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De esta manera, el FAD para aceleración es:

FAD a 

 p    

2

2

2   p 2   p  1       2          w  

N   m 

Por ejemplo, sea: m=100 [kg], k  5.2  10 3 

Se realiza un barrido de la frecuencia de la carga desde 0 hasta 100 [rad/s] y un barrido de la razón de amortiguamiento crítico comenzando en 0.1 hasta 1.1. Implementando el siguiente código en MATLAB se obtiene la gráfica que ilustra el FAD para desplazamiento, velocidad y aceleración: %FACTORES DE RESPUESTA DINÁMICA (FAD) %Para una excitación conocida de la forma: F(t)=Fo*sin(p*t) tic clear all clc %Para un oscilador de 1 Grado de Libertad con distintos niveles de amortiguamiento... %Sea m=100;%[kg] k=5.2*10^3;%[N/m] w=(k/m)^(1/2);%[rad/s] p=(0:.5:100);%Frecuencias de la carga aplicada al sistema. beta=[0.1 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 1 1.1];%razones de amortiguamiento aux1=size(p,2); aux2=size(beta,2); FADu=zeros(aux1,aux2); FADv=zeros(aux1,aux2); FADa=zeros(aux1,aux2); for j=1:1:aux2 for i=1:1:aux1 aux3=((1-(p(i)/w)^2)^2+(2*beta(j)*(p(i)/w))^2)^(1/2); FADu(i,j)=1/aux3; FADv(i,j)=(p(i)/w)/aux3; FADa(i,j)=((p(i)/w)^2)/aux3; end end p_w=p/w; figure(1) hold on plot(p_w,FADu(:,1),'-k') plot(p_w,FADu(:,2),'-r')

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plot(p_w,FADu(:,4),'-b') plot(p_w,FADu(:,5),'-g') plot(p_w,FADu(:,6),'-m') plot(p_w,FADu(:,7),'-y') legend('\beta=0.1','\beta=0.2','\beta=0.5','\beta=0.7','\beta=0.9','\beta =1') hold off xlabel('p/\omega') ylabel('FAD') title('FAD DESPLAZAMIENTO OSCILADOR SIMPLE AMORTIGUADO-CARGA SINUSOIDAL') grid on figure(2) hold on plot(p_w,FADv(:,1),'-k') plot(p_w,FADv(:,2),'-r') plot(p_w,FADv(:,4),'-b') plot(p_w,FADv(:,5),'-g') plot(p_w,FADv(:,6),'-m') plot(p_w,FADv(:,7),'-y') legend('\beta=0.1','\beta=0.2','\beta=0.5','\beta=0.7','\beta=0.9','\beta =1') hold off xlabel('p/\omega') ylabel('FAD') title('FAD VELOCIDAD OSCILADOR SIMPLE AMORTIGUADO-CARGA SINUSOIDAL') grid on figure(3) hold on plot(p_w,FADa(:,1),'-k') plot(p_w,FADa(:,2),'-r') plot(p_w,FADa(:,4),'-b') plot(p_w,FADa(:,5),'-g') plot(p_w,FADa(:,6),'-m') plot(p_w,FADa(:,7),'-y') legend('\beta=0.1','\beta=0.2','\beta=0.5','\beta=0.7','\beta=0.9','\beta =1') hold off xlabel('p/\omega') ylabel('FAD') title('FAD ACELERACION OSCILADOR SIMPLE AMORTIGUADO-CARGA SINUSOIDAL') grid on toc

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Respuesta ante carga “Rampa-Escalón” Considerando que se tiene una excitación como

200  t kN  para t  0.5 s  F (t )    100 kN  para t  0.5 s  Considerando un sistema de 1 GL, se tiene que la EDM es

100  t para t  t d s   mu(t )  cu (t )  ku(t )   t d  100 para t  t d s  La respuesta por tanto debe separarse en 2 tramos. i)

Respuesta en la fase de carga lineal creciente t  t d La solución es

u  u (t )  st e  wt t d  ii)

  2   2   2   2  1    sin  d  t    cos d  t     t      d      

Respuesta en la fase de carga lineal creciente t  t d La solución es

   u (t )     u (td )  ust    sin d  t  td   ust u (t )  e  wt td  u (t d )  ust  cosd  t  td    d d     Donde u (t d ), u (t d ) corresponde a las condiciones iniciales provistas por la fase anterior.

De esta manera, se obtiene la respuesta, que de manera gráfica, permite apreciar que en la fase de carga creciente la respuesta del sistema crece linealmente hasta la posición de equilibrio estático, siendo igual para distintas razones de amortiguamiento. Luego, oscila en torno a ella hasta mantenerse en dicha posición.

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%RESPUESTA OSCILACIONES FORZADAS %Para una excitación tipo rampa-escalon m=5000;%[kg] a=.3;%[m] I=(a^4)/12;%[m^4] E=2.94*10^(10);%[N/m^2] K=768*E*I/875;%[N/m] d=0.05; Fo=100000;%[N] i=0; tr=.5; H=@(t)(((Fo*t/tr)*(t>=0 & ttr & tm*dt m = tt/dt; ug(m) = 0; end t = zeros(1,m); q = zeros(n,m); qd = zeros(n,m); qdd = zeros(n,m); for i=1:m-1 dQ =-(ug(i+1)-ug(i))*Me + 2*M*qdd(:,i) + Cm*qd(:,i); z = R'\dQ; dq = R\z;

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t(i+1) = dt + t(i); q(:,i+1) = dq + q(:,i); qd(:,i+1) = 2*dq/dt - qd(:,i); qdd(:,i+1) = 4*dq/dt^2 -4*qd(:,i)/dt - qdd(:,i); end

c) mediante superposición modal con 2, 3 y 5 modos El procedimiento de superposición modal supone encontrar soluciones ligadas a las formas de vibrar, por lo que se puede encontrar para cada modo ‘i’ lo siguiente:

Vi : vector propio del modo ‘i’

i : frecuencia de vibración del modo ‘i’ i : amortiguamiento del modo ‘i’ M i*  viT  M  vi  1 K i*  viT  K  vi  i 2 Qi*  u g Li  u g  viT  M  e Ci*  viT  M  vi  2  i  i Lo anterior se reemplaza en la ecuación diferencial de movimiento para el modo ‘i’ como:

viT  M  vi  y  viT  C  vi  y  viT  K  vi  y  ug  viT  M  e y  2  i  i  y  i 2  y  ug  Li Para obtener la respuesta completa se requiere la combinación modal sumando todos los modos ‘i’. De esta forma, n

q(t )   y (t ) Vi i 1

for i=1:5 [t_sm,y_sm(i,:),yd_sm(i,:),ydd_sm(i,:)] =consacc(Km(i,i),1,Cm(i,i),fi(:,i)'*M*e1,S,DT,t2); end x_sm_2modo=fi(:,1:2)*y_sm(1:2,:); % con 2 modos x_sm_3modo=fi(:,1:3)*y_sm(1:3,:); % con 3 modos x_sm_5modo=fi(:,1:5)*y_sm(1:5,:); % con 5 modos

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Resolución gráfica de respuestas a la excitación de la componente ‘ux’ del registro de Melipilla Para el contraste de las soluciones se determinará el desplazamiento del último piso para el registro de Melipilla, para luego contrastarlos entre sí utilizando colores para diferenciar los desplazamientos obtenidos por los distintos métodos. Los gráficos indican el desplazamiento del último piso (piso 5), en la ordenada del gráfico, en el tiempo, en la abscisa del gráfico. Integrando directamente con ‘ode23’ figure; plot(t_ode,x_ode(:,10), 'g'); title('ode23');

Integrando directamente con aceleración constante figure(2); plot(t_ac,x_ac(5,:), 'c'); title('aceleracion constante');

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Mediante superposición modal con 2 modos figure(3); plot(t_sm,x_sm_2modo(5,:), 'k'); title('sp 2 modos');

Mediante superposición modal con 3 modos figure(4); plot(t_sm,x_sm_3modo(5,:), 'b'); title('sp 3 modos');

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Mediante superposición modal con 5 modos figure(5); plot(t_sm,x_sm_5modo(5,:), 'r'); title('sp 5 modos');

Contraste entre los métodos En el gráfico que se indica a continuación se bosquejan todas las soluciones enumeradas con anterioridad, superpuestas en un solo gráfico.

Por inspección se aprecia que no hay diferencia notable en la comparación de los métodos, por lo que se puede aseverar que existen diferencias numéricas muy menores entre los métodos.

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c) Valores por CQC

Se requiere determinar los desplazamientos modales que son los valores de entrada para realizar el CQC. Los desplazamientos modales se definen como la multiplicación entre la forma modal ‘i’, expresada como vector, por el valor del máximo desplazamiento producto de un registro dado para el período (o frecuencia) asociada a la forma modal, expresada como un escalar. De esta forma se tienen que determinar los valores del espectro de desplazamiento asociados a las frecuencias (períodos) de las formas modales. El espectro de desplazamiento se obtiene a partir de un oscilador de un grado de libertad, del cual se requerirá el máximo desplazamiento para una frecuencia dada del oscilador. Así, se tiene que n

n

 x (a,1)  V (:, i)  S i 1

i

i 1

d

(i) 

L(i) abs( L(i ))

Donde

x(a,1) : desplazamiento modal máximo asociado a los grados de libertad activos ‘a’ del modo ‘i’ V (:,1) : vector de vectores propios Sd (i) : desplazamiento obtenido del espectro de desplazamiento asociado al modo ‘i’ L(i ) : inclusión del signo de las masas modales consideradas en la integración de la respuesta abs( L(i ))

Ahora bien, se hace alusión a los grados activos. Esto se refiere a que se debe condensar estáticamente la matriz para reducirla a los grados de libertad asociados de los desplazamientos horizontales del modelo.

 K aa K  ba

K ab  a   F     Kbb  b   0 

 Kaa   a   Kab   b  F   Kba   a   Kbb   b  0 La rigidez asociada a los términos no activos queda expresada como

 Kb    Kbb   Kba  1

n

n

i 1

i 1

 xi (b,1)   Kbb 

1

 Kba   xi (a,1)

De esta manera se pueden determinar los esfuerzos requeridos al multiplicar los términos de la matriz de rigidez local del elemento por los desplazamientos modales correspondientes. Basta con asociar los desplazamientos de los grados de libertad al vector de desplazamientos modales.

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a=[1:5]; b=[6:25]; for i=1:5 x=zeros(25,1); L(i)=V(:,i)'*M*e1; Sd(i)= max(abs(y_sm(i,:)))*L(i)/abs(L(i)); x(a,1)=-V(:,i)*Sd(i); %desplaz. laterales maximos de cada forma modal x(b,1)=inv(Kbb)*Kba*x(a,1); %desplaz. laterales maximos de cada forma modal vi=[1;6;7]; Fzas_izq(:,i)=Kcp1*[zeros(3,1);x(vi,1)]; vd=[1;8;9]; Fzas_der(:,i)=Kcp1*[zeros(3,1);x(vd,1)]; end Notar que hay un signo menos en los desplazamientos laterales máximos de cada forma modal puesto que la definición del elemento columna se definió en sentido contrario al supuesto para el desplazamiento, por lo que los desplazamientos son en sentido contrario y requieren de un signo menos. Con lo anterior se debe aplicar la combinación CQC. Esta se hace para un esfuerzo en particular, es decir, si se requiere conocer el momento en la base de la columna izquierda se obtienen los momentos de en la base de la columna izquierda asociados a cada modo ‘i’ para luego aplicar el operador ij , definido el coeficiente de acoplamiento modal, cuya es expresión corresponde a

ij 



i

8 2 i   j  i 3 j 3

2

  j 2   4 2i j i   j  2

2

El valor requerido se desprende de la ecuación: n

n

r 2   ij  ri  rj i 1 j 1

Donde ri : corresponde al valor del esfuerzo mediante CQC. Notar que se debe aplicar la raíz cuadrada.

ri : corresponde al valor del esfuerzo para el modo i, a combinar con el coeficiente de acoplamiento modal. Mizq_cqc=0; Mder_cqc=0; Nizq_cqc=0; Nder_cqc=0; N_Mizq_cqc=0; N_Mder_cqc=0; for i=1:5 for j=1:5

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if i==j rho=1; else rho=(8*bi^2*(w(i)+w(j))*(w(i)^3*w(j)^3)^0.5)/((w(i)^2w(j)^2)^2+4*bi^2*w(i)*w(j)*(w(i)+w(j))^2); end Mizq_cqc=Mizq_cqc+rho*Fzas_izq(3,i)*Fzas_izq(3,j);% Momento en la base columna izquierda primer piso Mder_cqc=Mder_cqc+rho*Fzas_der(3,i)*Fzas_der(3,j);% Momento en la base columna derecha primer piso Nizq_cqc=Nizq_cqc+rho*Fzas_izq(2,i)*Fzas_izq(2,j);% Carga axial en la base columna izquierda primer piso Nder_cqc=Nder_cqc+rho*Fzas_der(2,i)*Fzas_der(2,j);% Carga axial en la base columna derecha primer piso N_Mizq_cqc=N_Mizq_cqc+rho*Fzas_izq(3,i)*Fzas_izq(2,j);% Interaccion N-M en la base columna izquierda primer piso N_Mder_cqc=N_Mder_cqc+rho*Fzas_der(3,i)*Fzas_der(2,j);% Interaccion N-M en la base columna izquierda primer piso end end Mizq_cqc=Mizq_cqc^0.5; Mder_cqc=Mder_cqc^0.5; Nizq_cqc=Nizq_cqc^0.5; Nder_cqc=Nder_cqc^0.5;

De esta manera, los esfuerzos solicitados son Columna izquierda

M  247.3253Tf ·cm N  2.3730 Tf 

N  M  580.8136 Tf 2·cm Columna derecha

M  247.3253Tf ·cm N  2.3730 Tf  N  M  580.8136 Tf 2·cm

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d) Superposición modal para la respuesta Mediante superposición modal se puede obtener la respuesta para cada modo. Esto induce a pensar que también se puede obtener la respuesta completa sumando la respuesta de cada modo. El procedimiento de superposición modal supone encontrar soluciones ligadas a las formas de vibrar, por lo que se puede encontrar para cada modo ‘i’ lo siguiente:

Vi : vector propio del modo ‘i’

i : frecuencia de vibración del modo ‘i’ i : amortiguamiento del modo ‘i’ M i*  viT  M  vi  1 K i*  viT  K  vi  i 2 Qi*  u g Li  u g  viT  M  e Ci*  viT  M  vi  2  i  i Lo anterior se reemplaza en la ecuación diferencial de movimiento para el modo ‘i’ como:

viT  M  vi  y  viT  C  vi  y  viT  K  vi  y  ug  viT  M  e

y  2  i  i  y  i 2  y  ug  Li Para obtener la respuesta completa se requiere la combinación modal sumando todos los modos ‘i’. De esta forma, n

x(t )   y (t ) Vi i 1

ti=0; tf=160; % tiempo integración registro for i=1:5 [t_sm,y_sm(i,:),yd_sm(i,:),ydd_sm(i,:)]=consacc(Km(i,i),1,Cm(i,i),1,S,DT,tf); L(i)=V(:,i)'*M*e1; end x_modo1=V(:,1)*y_sm(1,:); % respuesta modo 1 x_modo2=V(:,2)*y_sm(2,:); % respuesta modo 2 x_modo3=V(:,3)*y_sm(3,:); % respuesta modo 3 x_modo4=V(:,4)*y_sm(4,:); % respuesta modo 4 x_modo5=V(:,5)*y_sm(5,:); % respuesta modo 5

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x_sm=x_modo1+x_modo2+x_modo3+x_modo4+x_modo5; % superposicion d1_th=0; d1_max=0; d5_th=0; d5_max=0; drift3_th=0; drift3_max=0; Vb_th=0; Vb_max=0; V3_th=0; V3_max=0; a=[1:5]; b=[6:25]; fin_reg=size(x_sm,2); for i=1:fin_reg x_th=zeros(25,1); x_th(a,1)=x_sm(:,i); %desplazamientos laterales maximos de cada forma modal x_th(b,1)=-inv(Kbb)*Kba*x_th(a,1); %desplazamientos pasivos maximos de cada forma modal Ftot=Kt*x_th; d1_th=x_th(1,1); if (abs(d1_max)