MAtlab - Limites Derivadas

Departamento de Matem´ atica atica Aplicada 

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS. Ingeni Ing enier er´ ´ıa Qu´ Qu´ımica ımi ca (Curso (Cur so 2005-0 200 5-06) 6) L´ımites, Derivadas Derivadas e Integrales con Matlab. Pr´ actica actica 1

1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

En esta pr´actica actica vamos a a utilizar los comandos del programa Matlab de C´alculo Simb´ olico. olico. En particular vamos a ver c´omo omo se pueden calcular l´ımites, derivadas derivadas e integrales.

2.

L´ımites

Ejemplo Ejem plo 1 C´ alculo alc ulo de l´ımites. ımi tes. Queremos calcular el l´ımite ımite siguiente: siguient e: l´ım

3

x→

x2 3 3x5 + 5x

−

Procedemos de la manera siguiente: >>syms x Definimos la variable simb´  olica  x: >>syms Definimos ahora la funci´  on simb´  olica  y = 3 +53 : >>y=(x^2-3)/(3*x^5+5*x) Escribimos >>l=limit(y,x,3) Ejecutamos el comando, nos dar´  a el resultado que en este caso es x

2

5 x

−

x

1 124 Observaci´ on on 1 Podemos esbozar la grafica de funciones simb´  olicas de la siguiente forma: >>ezplot(y,[1,4])

Observar lo que aparece en la gr´  afica si a continuaci´  on se da la orden: >>grid >>grid on

Ejercicio 1 Calcular Calcular los siguientes siguientes l´ımites ımites y esbozar esbozar la grafic grafica a de algunas algunas de las funciones funciones en alg´  un intervalo apropiado que contenga el punto donde se est´  a calculando el l´ımite: e −1 a) l´ım 0 log(1 + x) x + sen(πx ) b) l´ım 0 x − sen(πx ) c) l´ım (e + x) x

x→

x→

1

x

x

0

x→

sen(3x) 1 − 2cos x 1 4 e) l´ım (x + 1) ln x d) l´ım x→

π

3

x→∞

xe

ax

f ) l´ım

0

x→

3.

−x

1 − cos(ax)

,

(a ∈ IR) (habr´  a que definir tambi´en  en  a como variable simb´  olica)

Deri Deriv vadas adas

Ejemplo 2 Queremos calcular la derivada tercera de la funci´  on: y = 4x sen x

Escribimos la funci´  on simb´  olica, despu´ des pu´es es de haber definido defi nido la variable v ariable x. >>y=4*x*sin(x)

Escribimos el comando >>diff(y,3) 1

Y nos debe dar como resultado:

−4x cos x − 12sen x Si hacemos: >>d3=diff(y,3) >>subs(d3,x,pi/2)

Obtenemos como respuesta  −12, es decir, el valor de la derivada tercera de la funci´ on  y en  x =

π

2

.

Ejercicio 2 Calcular las derivadas primeras y segundas de las siguientes funciones en el punto x = 2: a)f (x) =



x2

2

x

−3



b)f (x) = (7x − 5)2 c)f (x) =

(7 − 5x6 )2

4x3 + 3x (x − 1)2

dx2 + ex + f  x2 x 1 + + a b c

d)f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) 1 3

e)f (x) = (x + a) (x − a)

 

1 + ( x2 − 7)

f )f (x) =

4.

1

−

3

1 2

Integrales

Ejemplo 3 Queremos calcular la integral indefinida 

 

x x2 + 1

dx

Despu´es de definir la variable simb´  olica  x, definimos la funci´  on: >>y=x/(x^2+1)

Calculamos la integral con el comando >>int(y) Nos dar´  a la soluci´  on: 1 ln(x2 + 1) 2 Ejercicio 3 Calcular las siguientes integrales indefinidas: log x √ dx a)

    b)   c)   d)   e)  

x

√

arctg xdx a 2

x + b2

dx

x+1 dx x + 4x + 5

f)

2

x2

x2 dx x+1

−

x2 dx x2 + x + 1

2

Ejemplo 4 Queremos calcular la integral definida: 1

  0

x 2

x +1

dx

Una vez definida la funci´  on simb´  olica, como en el ejemplo anterior, escribimos el comando >>int(y,0,1)

Que nos ofrece la soluci´  on simb´  olica: 1/2*log(2)

Si queremos el resultado en forma num´erica: >>numeric(ans) ans = 0.3466

Para producir m´  as decimales: >>vpa(ans,6) ans = .346574

Ejercicio 4 Calcular las integrales que se calcularon en el ejercicio anterior, pero haci´endolas todas ellas definidas en el intervalo [10, 12], ofreciendo el resultado en forma algebraica y en forma num´erica, con 6 decimales.

5.

Polinomios de Taylor

Ejemplo 5 Calcular el Polinomio de Taylor de grado 6 de la funci´  on  f (x) = sin(x) en  x =

π

2

.

>>taylor(sin(x),pi/2,6) ans= 1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4

Pero tambi´en podemos hacer  >>taylortool y seguir las indicaciones. Ejercicio 5 Sea la funci´  on  f (x) = e : a) Calcular los polinomios de McLaurin de grados n=2,4,10 y representarlos, utilizando ezplot , junto a la  gr´  afica de la funci´  on. b) Calcular los polinomios de Taylor en torno a  x = 1 para los grados n=2,4,10 y representarlos junto a la  gr´  afica de la funci´  on. x

Ejercicio 6 Sea la funci´  on  f (x) = sen(x): a) Calcular los polinomios de McLaurin de grados n = 3 , 5, 11 y representarlos junto a la funci´  on. b) Calcular los polinomios de Taylor en  x = 2 para los grados n = 3, 5, 11 y representarlos junto a la funci´  on. π

Ejercicio 7 Investigar qu´e hace el comando >>funtool

3