Matlab Basico Aplicado a Ingenieria Electrica(3)
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Objetivo General. 1. Manejar el software de MatLab básico. 2. Conocer y aplicar los comandos básicos de MatLab. 3. Aplicar los conocimientos a adquiridos a circuitos eléctricos.
Objetivo General. 1. Manejar el software de MatLab básico. 2. Conocer y aplicar los comandos básicos de MatLab. 3. Aplicar los conocimientos a adquiridos a circuitos eléctricos.
Aplicar los conceptos básicos de MatLab orientado a la solución de: a)Ecuaciones Lineales. a)Ecuaciones b)Ecuaciones b) Ecuaciones Diferenciales. c)Transformada c) Transformada de Laplace d)Graficar d) Graficar funciones.
¿QUÉ ES MATLAB?
Matlab es una herramienta poderosa usada por ingenieros para resolver diversos problemas que requieren cálculos complejos.
MatLab es un programa interactivo para computación numérica y visualización de datos. Es ampliamente usado para resolver problemas de matemática aplicada, física, química, eléctrica, finanzas para su análisis y diseño.
Está basado en un sofisticado software de matrices para el análisis de sistemas de ecuaciones. El nombre de MATLAB proviene de la contracción de los términos MATrix LABoratory
MATLAB C Math Library proporciona una amplia gama de funciones clásicas, proporcionadas como librerías objeto, incluyendo las siguientes categorías de funciones presentes en MATLAB y ficheros M compilados: · Algebra lineal. ·Funciones matemáticas elementales y especializadas. · Operadores lógicos y aritméticos. ·Matrices elementales y manipulación de vectores. · Matrices especiales. · Interpolación. · Gestión de cadenas de caracteres. Etc.
INICIANDO MATLAB
Después de ejecutar el programa MatLab haciendo doble click sobre el icono de MatLab en ambientes Windows.
Sobre las pantallas que aparecen al abrir el programa de MatLab. Al abrir MATLAB normalmente aparecen tres pantallas:
1. La primera de la izquierda (launch pad) en donde se localizan todos los directorios y demos. 2. La segunda abajo a la izquierda (command history) en la parte inferior donde se genera un histórico de los comandos y variables que se usan. 3. La tercera de la derecha (command window) se considera la pantalla principal y es precisamente donde se declaran las variables y comandos de un programa en la cual se ubica el símbolo ‘»’. Ver Fig.1.
MATLAB BASICO APLICADO A INGENIERIA ELECTRICA
Aparece el indicador de comandos el cual está listo para recibir instrucciones en lenguaje MatLab. Este indicador es de la siguiente forma (prompt):
>>
Comandos
Algunos comandos para tener en cuenta en las operaciones son: clear borra toda de la memoria. clc borra toda la pantalla pero deja internamente el valor de las variables. who enumera todas las variables usadas hasta el momento. help (tema) proporciona ayuda sobre el tema seleccionado. round (operación) redondea al entero más cercano: >> round(9/4) ans = 2 sqrt calcula raíz cuadrada. solve resuelve una ecuación o sistema de ecuaciones. ↑ Con este botón se pueden recuperar sentencias anteriormente usadas.
Nota: (Los comando se escriben con minúscula) syms sirve para declarar variables.
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente
suele expresarse en la forma A =(a ij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Introducir una matriz
La primera forma de interactuar con MatLab es a través de la línea de comandos. Puede ejecutarse un comando si este está escrito después del símbolo:
>> y se presiona la tecla Enter .
Si se quiere introducir por ejemplo la matriz
MATLAB trabaja esencialmente con matrices numéricas rectangulares. La manera más fácil de entrar matrices es enumerando los elementos de ésta de tal manera que: los elementos estén separados por blancos ó comas. los elementos estén cerrados entre corchetes, [ ]. muestre el final de cada fila con ; (punto y coma).
Se define A como una matriz de cuatro elementos. Estos elementos deben separase con espacios en blanco o comas (,). Para definir una matriz se deben separar las filas con punto y coma (;) o con retorno (Enter).
>> A=[4,2;3,3]
También se puede escribir A=[4 2;3 3]
Si se agrega un punto y coma al final ( A=[4,2;3,3]; ), no sale la matriz en la pantalla quedando grabada en la memoria del programa.
Tipos de matrices Matriz
fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n. B 3 5
9
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1. 2 9 C 5 4
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n. Los elementos a ij con i = j, o sea a ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
1 3 0 D 2 1 4 3 7 9 La diagonal principal esta formada por (1,1,9) y al diagonal secundaria es (0,1,3)
En MATLAB para determinar la diagonal de una matriz solo es necesario escribir el comando diag de la siguiente manera:
>>diag(D) y se obtendrá: ans = 1 1 9
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n ´ m.
4 7 3 E 9 5 6 8 1 2 En MATLAB la matriz transpuesta se puede realizar colocando el apostrofe a la matriz que se requiere transponer.
>>F=E’
4 9 8 F 7 5 1 3 6 2
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
2 0 G 0 3 0 0
0
0 1
3 0 H 0 0
0
0
0
4 0 0 0 9 0 0 0 7
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
2 0 0 I 0 2 0 0 0 2
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se identifica como I
1 K 0 0
0 1 0
0
0 1
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij =0 “ itril(E) ans = 4 0 0 -9 5 0 8 1 -2
Para MATLAB el determinar la parte superior triangular de la matriz E se denota por el comando siguiente:
>>triu(E) ans = 4 0 0
7 3 5 6 0 -2
Operaciones matriciales básicas : Adición (sustracción) A+B ó A-B Multiplicación A*B Producto por un escalar α*A Cálculo de la inversa inv(A) ó A^(-1) Cálculo del determinante det(A) La división no existe.
Suma y diferencia de matrices La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma o diferencia de las matrices A y B se denota por A+B ó A-B respectivamente
>> S=D+E
>> S1=D-E
4
A
2
+ B 3 5 9 3 3
NO SE PUEDE SUMAR
Producto de una matriz por un número. ij) por un El producto de una matriz A = ( a ij) número real k es otra matriz T = ( b ij) ij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento tij de T se obtiene multiplicando a ijij por k, es decir, t ijij = k· a ij. ij.
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, de escalares por matrices.
T=3*A
4 A 3
2
3
3 * 4 3 * 2 A 3 * 3 3 * 3
Producto de matrices Dadas dos matrices D y E, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de D por las columnas de E.
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Pij
n
d
e * ik kj
k 1
T=D*E
Multipliquemos las siguientes matrices:
4 7 3 E 9 5 6 8 1 2 4 7 3 E 9 5 6 8 1 2
B 3 5
2 U 4 6
9
INVERSA DE UNA MATRIZ. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Propiedades de la inversión de matrices La matriz inversa, si existe, es única A-1*A=I (A*B)-1=B-1*A-1 (A-1)-1=A (kA) -1=(1/k*A-1 (At) –1=(A-1)t
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada. En MATLAB la inversa de una matriz se realiza rápidamente con el comando inv: Por ejemplo:
>> inv(A) o con ^ Por ejemplo
>> A^-1
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Seno sin Coseno cos Seno hiperbólico sinh Coseno hiperbólico cosh Tangente tan Tangente hiperbólico tanh Secante sec Secante hiperbólico sech Cosecante csc Cosecante hiperbólico csch Cotangente cot Cotangente hperbólico coth
Para graficar se requieren una serie de puntos los cuales debemos unir con una línea. En MATLAB se grafica muy sencillo, primeramente determinando un rango. El rango lo determinamos como sigue:
Ejemplo: Deseamos graficar la onda senoidal. La función seno esta evaluada en radianes, ángulo. Determinamos primero el rango, como t.
>>t=(0:2:10); Después definimos la función a evaluar.
>>y=sin(t);
El comando para graficar en MATLAB es plot y definiremos cuales son las variables que queremos graficar. >>plot(t,y) Aparecerá una ventana donde simula la grafica de la función seno.
Para que la grafica salga mas definida los puntos de los rangos deben ser mas cortos. El ejemplo podemos evaluarlo con un intervalo de:
>>t=(0:0.01:10); >>y=sin(t); >>plot(t,y) La grafica será más definida.
Los datos en MATLAB se pueden graficar con marcas, sin estar conectados en líneas. Punto Más Estrella Circulo Marca x
. + * o x
Se pueden disponer de 4 líneas: Continua Guiones -Punteada : Guiones y puntos -. Se dispone de los siguientes colores: Rojo r Amarillo y Magenta m Turquesa c Verde g Blanco w Azul b Negro k
Si se desea graficar con un tipo de marca y/o color, coloque el símbolo y/o letra de la marca y/o del color como una cadena después de las coordenadas en los argumentos de plot por ejemplo:
>>t=(0:0.01:10); >>y=sin(t); >>plot(t,y,’+r’)
Una vez que se tiene la grafica en la pantalla, se puede cuadricular o poner una rejilla, con el comando grid. Se puede colocar título a la grafica con el comando title por ejemplo:
>>title(‘Grafica del seno’)
En MATLAB se puede colocar etiquetas para el eje x y para el eje y con los comandos: >>xlabel(‘segundos’) para el eje x >>ylabel(‘y=seno de (t)’) para el eje y
También se pueden colocar textos dentro de las graficas con el comando text seguido de las coordenadas a colocar y el texto que se quiera introducir:
>>text(3,0.4,’Seno de (t)’)
Resolver el siguiente circuito
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
Un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse en forma matricial
A matriz de m filas y n columnas x es un vector que contiene las n incógnitas del problema. b es un vector columna de m coeficientes Cuando b 0 el sistema es homogéneo
Ax b
Cuando b 0 el sistema es no homogéneo Un sistema lineal puede ser:
consistente (solución única o infinitas soluciones) inconsistente (no posee solución)
Supongamos que m n , si existe matriz inversa A1 tal que A 1 A AA1 I entonces podemos multiplicar ambos miembros de la ecuación para obtener la solución buscada: A x
1
Ax A
1
b
A
1
b
DETERMINANTES.
a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A. A Determinante de A se puede escribir de dos formas: determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un número real). Det A; esta se utiliza a veces en lugar de para A evitar la confusión.
Asociado
Ahora
si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo que: a11 a12 A a21 a22
Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:
a11 a12 A a 21 a 22
a11*a22-a21*a12
Regla de CRAMER Se un sistema tal que:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm
Sea el determinante de la matriz de coeficientes.
Sean: Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:
Número Complejo.-Es el que esta representado por un número en dos partes, una parte real y otra imaginaria.
Número imaginario.- Son raíces indicadas pares de cantidades negativas.
Ejemplos de cantidades imaginarias:
1; 8 4
Unidad Imaginaria.Cantidad imaginaria 1 es llamada unidad imaginaria. La unidad imaginaria se representa por la letra i designado por la mayor parte de matemáticos, pero se acostumbra emplear j en la Ingeniería Eléctrica, para evitar confusiones con el símbolo de la corriente. Por lo tanto j 1
Potencias de la unidad imaginaria.- Hallar las potencias de 1
1 1 1 1
j 1
1 1 * 1 1* 1 1
j 3 1
1 1 * 1 1 * 1 1
1 1 * 1 1* 1 1
1
j
2
3
4
5
1
2
2
2
2
4
j 1 4
j 5 j
1
Simplificación de las imaginarias puras. Toda raíz imaginaria puede reducirse a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria 1 b 2 b 2 * 1 b 2 * 1 b 1 bj
4 4 * 1 4 * 1 2 1 2 j 3 3 * 1 3 * 1 3 * j j 3 8 8 * 1 8 * 1 2 2 * 2 * 1 2 * 2 * 1 2 2 j
Operaciones con imaginarias puras. Suma y resta Se reducen a la forma de una cantidad real multiplicada por y se reducen como radicales semejantes. 4 9
4 4 * 1 2 1. 9 9 * 1 3 1. 4 9 2 1 3 1 2 3 1 5 1 5 j
2 36
25 12
2 36 2 * 6 1 12 1
25 5 1
12 2
36
12
12 *
1
25
52
3
4*3 *
1 2 *
12 12 1 5 1 2
1
7
2
3
1
7
2
3
1
3
1
3 j
Multiplicación. Se reducen las imaginarias a la forma típica a 1 y se procede como se indica a continuación, teniendo muy presente las potencias de la unidad imaginaria.
4 * 9 2 1 * 3 1 2 * 3 1 6 * 1 6 2
5* 2
5
1 *
2
1
10
1 2
10 *
1
10
9 5 2* 4 2 2 3
1
5
2
1
2
1
2
2
1
6
1 10 2 1 2
2
6
1 20 1 2
2
2
6 1 4 2 1 20 1
6 4 2 20 14 4 2
Dividir:
84 / 7 84 1 84 84 84 12 2 3 7 7 1 7 7
Cantidades Complejas conjugadas. Son dos cantidades complejas que difieren solamente en el signo de la parte imaginaria, así z x jy y z x jy son cantidades complejas conjugadas. Del propio modo la conjugada de 5 2 j y 5 2 j.
Operaciones con cantidades complejas. Suma y Resta. Para sumar cantidades complejas se suman las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Sumar: 2 j5 y 3 j2 2 j5 3 j 2 2 3 j5 j 2 5
j3
Restar:
5 j 7 de
4 j2
5 j 7 4 j 2 5 4 j 7 j 2 1
j5
Multiplicación Las cantidades complejas se multiplican como expresiones compuestas, pero teniendo presente que 1 1 2
3 j 5 4 j 3
12 j 20
j 9 15 j 2 12 j11 15(1) 12 j11 15 27 j11
División Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador.
5 j 2 4 j 3
5 j 2 4 j 3
*
4 j 3 4 j 3
20 j 23 6 4 j 3 2
2
14 j 23 16 9 * 1
14 j 23 16 9
14 j 23 25
La evaluación de límites es de primordial interés en cálculo. MATLAB nos proporciona el comando limit para este fin. LA sintaxis para calcular el límite de una función f(x) cuando x tiende a x0 es:
limit(f,x,x0) Ejemplo: f(x)=x2, límite cuando x tiende a 3, se obtiene con:
>>syms x >>limit(x^2,x,3)
Derivadas Podemos evaluar las variables. Si deseamos evaluar la derivada de f(x)=2x 2, lo podemos realizar primero escribir syms x y la evalúa como una variable y no numéricamente. La podemos escribir así:
>>syms x >>f=2*x^2; >>diff(f) ans = 4*x
Para determinar la segunda derivada la instrucción es:
>>diff(f,2) En el caso de que otra función este dada por g(x,y) y deseamos derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y. Para esto tenemos que definir las variables x,y.
>>syms x y >>g=2*x^3*y; >>g1=diff(g,x) >> 6*x^2*y >>g2=diff(g,y) >> 2*x^3
Integración De igual forma podemoos evaluar las variables. Si deseamos evaluar la integración de f(x)=4*x, lo podemos realizar primero escribir syms x y la evalúa como una variable y no numéricamente. La podemos escribir así:
>>syms x >>f=4*x; >>int(f) ans = 2*x^2
1
Para integrales definidas 2 xdx debemos escribir en MATLAB de la siguiente forma: 0
>>syms x >>f=2*x; >>int(f,0,1) ans = 1
ECUACIONES DIFERENCIALES. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias : aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales : aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Ejemplos: es una ecuación diferencial ordinaria donde: es la variable dependiente.
x la variable independiente. es la derivada de y con respecto a x.
es una ecuación en derivadas parciales. A la variable dependiente también se le llama función incógnita.
Tipos de soluciones. Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Existen tres tipos de soluciones: Solución General. Solución Particular. Solución Singular.
En MATLAB también nos permite resolver ecuaciones diferenciales. Cuando se describe una ecuación diferencial en MATLAB, la primera derivada se representa como Dy. Si aparece la segunda derivada se representa como D2Y. Para resolver una ecuación diferencial el comando es dsolve.
Sea la expresión siguiente:
2
d y 2
dt
y4
>>dsolve(‘D2y+y=4’) ans = 4+C1*sin(t)+C2*cos(t) Donde: C1 y C2 son constantes. Si se tienen las condiciones iniciales, y(0)=1 y’(0)=0
>>dsolve(‘D2y+y=4’,y(0)=1’,’Dy(0)=0’)
ans = 4-3*cos(t)
MATLAB proporciona, aparte de dsolve otros comando para resolver ecuaciones diferenciales. ODE23 y ODE45 que utilizan el método de Runge-Kuta. ODE23 la solución se calcula usando primero un método de segundo orden y luego de tercer orden. ODE45 usa métodos de cuarto y quinto orden.
La sintaxis de estas funciones es: [t,y]=ode23(F,[t_incial.t_final],y0) [t,y]=ode45(F,[t_incial.t_final],y0) Donde: F es una cadena de texto, que indica dónde está definida la ecuación diferencial. t_inicial y t_final son los tiempos inicial y final de la simulación. y(0) es la condición inicial
Consideremos el siguiente ejemplo: dy dt
2 yt
Generando la sintaxis
>>y0=2 >>[t,y]=ode45(‘dy’,[0,2],y0);
>>plot(t,y) t 2
La solución exacta es yt 2 * e El resultado de la grafica es la siguiente.
Aplicación de la solución de ecuaciones diferenciales a los circuitos eléctricos . Sea el siguiente circuito R-L
.
De acuerdo a la ley de voltajes de Kirchhoff tenemos: di L dt
Ri
0
Esta es una ecuación diferencial homogénea lineal de primer orden con coeficientes constantes.
Se puede resolver si es posible separar las variables. Reordenando la ecuación anterior tenemos: di i
R
dt L
La ecuación se puede integrar:
di i
R
dt L
Quedando como sigue: R
ln
i
t L
K
Para simplificar la forma de esta ecuación, la constante K se vuelve a definir por el logaritmo de otra constante, como sigue: K
ln k
La ecuación integrada se puede expresar como: Rt ln i ln e l ln K De acuerdo con la definición de logaritmo: ln
e
x
x
log 10 10
x
x
La ecuación final se expresa como: Rt
ln i ln( ke L ) Sacando a la ecuación anterior antilogaritmo se obtiene: Rt
i ke Esta ecuación es la respuesta o solución de la red, expresa la relación entre las variables dependientes e independientes. Esta ecuación se conoce como Solución General L
A partir de la ecuación diferencial obtenida del circuito tenemos: di
L dt
Ri
0
Tomando valores de las constantes L=1, R=1, nos queda: di
dt
t
0
La solución de esta ecuación es:
t
i ke
Utilizando MATLAB para la solución de ecuaciones diferenciales tenemos: >>dsolve(‘Dy+y=0’)
ans = C1*exp(-t) Comparando las dos ecuaciones tenemos: C1=k exp(-t)=e-t , teniendo en cuenta que R=1 y L=1
Si evaluamos la constante de integración (k ), se convierte en solución particular , para evaluar la constante k se debe saber algo nuevo respecto al problema, cuando se hace la conmutación se sabe que la corriente es la misma que antes del cambio. Por lo tanto, cuando t=0 se sabe que la corriente tiene el valor de: V i
0
R
El valor anterior se denomina condiciones iniciales del circuito. Cuando se substituye esta condición en la solución de la ecuación diferencial, se obtiene: V R
ke
0
k
La solución particular de este ejemplo se convierte en: V i
Rt
e
R
V i
R
L
t
0
t
0
Con estas condiciones se puede realizar análisis del circuito inicial con valor de los parámetros V y R constantes y se varia L; R variable con V y L constantes, con MATLAB es mas rápido . Las instrucciones son:
» t=0:0.001:3; » V=12; » R=10; » L1=1; » L2=10; » k=V/R; » I1=k*exp(-R*t/L1); » I2=k*exp(-R*t/L2); » plot(t,I1,t,I2) » title('Respuesta de la corriente en un circuito R-L') » text(0.1,1.2,'V/R') » text(0.25,0.21,'Con L pequeña') » text(1.25,0.5,'Con L grande') » xlabel('Segundos') » ylabel('Corriente')
Forma exponencial decreciente con L variable, V y R constantes
» t=0:0.001:3; » V=12; » L=1; » R1=0.5; » R2=1; » k1=V/R1; » k2=V/R2; » I1=k1*exp(-R1*t/L I1=k1*exp(-R1*t/L); ); » I2=k2*exp(-R2*t/L); » plot(t,I1,t,I2) » title('Respuesta de la corriente en un circuito R-L') » text(0.01,12,'V/R2') » text(0.01,24,'V/R1') » text(0.5,8,'Con R grande') » text(1.25,16,'Con R pequeña') » xlabel('Segundos') » ylabel('Corriente')
CONCLUSIÓN: La interpretación de las graficas, la energía almacenada en el inductor se disipa por medio de la resistencia a una velocidad, esta velocidad del decrecimiento lo determina la relación R/L y la corriente se hace cero.
TRANSFORMADA DE LAPLACE Definición de la Transformada Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como cuando tal integral converge
Notas La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s
Condiciones para la existencia de la transformada de una función: De orden exponencial
Tabla de Transformadas
Tabla de Transformadas
Transformada de la Laplace de la derivada
L y t s L yt sy0 y ' 0 2
Transformada de la Laplace de la 2ª derivada.
Transformada de la Laplace de la integral
MATLAB nos permite evaluar la Transformada de Laplace directa e inversa usando los comandos laplace e ilaplace respectivamente, sean las funciones: f 1(t)=t2 f 2(t)=e-st Las transformadas de Laplace las obtenemos con: >>syms t a w >>f1=t^2; >>F1=laplace(f1) F1 = 2/s^3
>>F2=laplace(f2) F2 = 1/(s+a) Para la transformada inversa es: >>g1=ilaplace(F1) g1 = t^2 >>g2=ilaplace(F2) g2 = exp(-a*t)
Aplicación de la Transformada de la Laplace a la solución de circuitos eléctricos.
Sea un circuito R-L con una fuente de corriente directa y un interruptor, cuando se cierra es en el tiempo t=0. De acuerdo con la ley de voltajes de Kirchhoff, la ecuación diferencial es: di L Ri V (t ) dt La ecuación correspondiente de transformada es: LsI s i0 RI s
V s
La condición inicial por la última ecuación es i(0-). Puesto que la inductancia no tiene flujo, i(0-)=0. Ahora se puede manejar la ecuación para resolver en función de I(s). Además considerando los parámetros de R=1 ohms , L=1 henrios, V=12 volts, tenemos: 12
1sI s 0 1 I s
Y nos queda:
sI s I s
12
s
s
Resolviendo en función de I(s), tenemos: I s
12
s 1s Pero esta transformada no aparece en la tabla de la inversa de Laplace, tenemos que evaluarla por fracciones parciales, los cual nos queda: 12 12 I ( s)
s
s 1
Buscando en la inversa de Laplace nos queda: t i (t ) 12 12 e Utilizando MATLAB podemos encontrar el valor de Laplace con la siguiente sintaxis » syms t a w s » I=12/s-12/(s+1); » ilaplace(I) ans = 12-12*exp(-t) Este valor es igual al encontrado manualmente.
Para un mejor análisis grafiquemos el resultado anterior: » t=0:0.01:10; » I=12-12*exp(-t); » plot(t,I) » title('Respuesta de la corriente en un circuito RL con una fuente de C.D.') » xlabel('Segundos') » ylabel('Amplitud de la Corriente') » text(6,11.85,'Llega en este tiempo') » text(6,11.00,'a su voltaje nominal')
CONCLUIMOS: Del circuito podemos analizar que cuando se cierra el interruptor “K” en el tiempo t=0, va tomando valores poco a poco hasta que la corriente toma valores de hasta12 amperes en un tiempo de casi 6 segundo, decimos que en estos instantes la corriente a alcanzado su estado permanente
BIBLIOGRAFIA 1. 2. 3. 4. 5.
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