Matlab - Apostila [FEI]

Faculdade de Engenharia Industrial Fundação de Ciências Aplicadas

 Matlab & Simulink São Bernardo do Campo - Dezembro de 1994 Departamento de Eletricidade

 Índice Analítico 1. Tutorial do Matlab & Simulink......... Simulink ................... .................... .................... .................... .................... .................... .............. .... 2 1.1 Matlab Básico.......................... Básico.................................... .................... ................... ................... .................... .................... ................... ......... 2 1.1.1 Introdução................... Introdução............................. .................... .................... .................... .................... .................... .................... .............. .... 3 1.1.2 Operações Matriciais........................ Matriciais................................. ................... .................... .................... .................... ............. ... 8 1.1.3 Operações em Array ................... ............................. ................... ................... .................... .................... ................. ....... 10 1.1.4 Manipulação Matricial e Vetorial Vetorial .................... .............................. .................... .................... .............. .... 13 1.1.5 Análise de Dados....................... Dados................................. .................... .................... .................... .................... ................. ....... 18 1.1.6 Funções Matriciais .................... .............................. .................... .................... .................... .................... ................. ....... 20 1.1.7 Polinômios e Processamento de Sinais Sinais .................... .............................. ..................... ................ ..... 20 1.1.8 Funções de Funções ................... ............................. .................... .................... .................... .................... ................ ...... 23 1.1.9 Gráficos .................... .............................. .................... .................... .................... .................... .................... ................... .............. ..... 27 1.1.10 Controles de Fluxo .................... .............................. .................... .................... .................... .................... ............... ..... 37 1.1.11 Arquivos M ................... ............................. .................... .................... .................... .................... .................... ................. ....... 39 1.1.12 Arquivos de Disco......... Disco ................... .................... .................... .................... .................... .................... ................. ....... 46 1.1.13 O Depurador do Matlab ................... ............................. ................... ................... .................... ................... ......... 48 1.2 Toolboxes do Matlab..................... Matlab............................... .................... .................... ................... ................... .................... ............ 49 1.2.1 Sistemas de Controle.......... Controle .................... .................... .................... .................... .................... .................... .............. .... 50 1.2.2 Outros Toolboxes .................... ............................. ................... .................... .................... .................... ................... ........... 54 1.3 Simulink Básico ................... ............................. ................... ................... .................... .................... ................... ................... ............ 55 1.3.1 Linhas Gerais................... Gerais............................ ................... .................... .................... .................... .................... .................. ........ 55 1.3.2 Construção Cons trução de Modelos............................ Modelos...................................... .................... .................... .................... .............. 56 1.3.3 Análise dos Modelos .................... ............................. ................... .................... .................... ................... ............... ...... 69 1.3.4 Como o Simulink Funciona ................... ............................. .................... ..................... ..................... ............. ... 80 1.3.5 S-Functions ................... ............................. .................... .................... .................... .................... .................... ................... ......... 80 1.3.6 Mascarando Blocos .................... .............................. .................... .................... ................... ................... ................. ....... 84 1.3.7 Adicionando um novo bloco ................... ............................. .................... .................... .................... ............. ... 87 2. Bibliografia...................... Bibliografia................................ ................... ................... .................... .................... ................... ................... .................... .............. 93

1. Tutorial do  Matlab & Simulink 1.1 Matlab Básico MATLAB é um ambiente de computação técnica de visualização e processamento numérico de alto desempenho. Ele integra análise numérica, cálculo matricial, processamento de sinais, vários aplicativos e gráficos num ambiente amigável onde problemas e soluções são expressos como eles são representados matematicamente sem a necessidade da programação tradicional. O nome MATLAB é acrônimo de laboratório de matemática. Ele foi originalmente escrito para permitir permitir um acesso fácil aos programas de cálculo matricial desenvolvidos pelos projetos LINSPACK e EISPACK, que juntos representam o estado da arte em programas de cálculo matricial. matricial. MATLAB também contempla uma família de aplicativos específicos chamados “toolboxes”. Esses aplicativos foram desenvolvidos por profissionais de expressão em cada uma das áreas e foram totalmente concebidos na forma de coleções de funções MATLAB (M-files), estendendo o ambiente MATLAB na solução de problemas particulares. Entre outros, temos os seguintes toolboxes: Processamento de Sinais; Projeto de Sistemas de Controle; Simulação de Sistemas Dinâmicos; Identificação de Sistemas; Redes Neurais; Splines; Otimização ; Análise e Síntese µ , etc. Provavelmente a característica mais importante do MATLAB é sua ampliabilidade. Isto permite que qualquer um possa ser um autor de um toolbox . Aplicativos matemáticos complexos são facilmente desenvolvidos em poucas linhas no ambiente MATLAB sem a necessidade de programação de uma única linha de código C, FORTRAM ou outro código de baixo nível.

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1.1.1 Introdução O MATLAB trabalha essencialmente com um tipo de objeto: Matriz retangular numérica (real ou complexa). Em algumas situações existe significado especial agregado à matrizes de dimensão 1 (escalares) e matrizes com uma só linha ou coluna (vetores). A linguagem MATLAB não usa declaração preliminar ou dimensionamento de variáveis. Isso é feito de forma automática. Matrizes podem ser adicionadas no ambiente de várias formas, contudo a forma mais simples para matrizes pequenas é entrando com a lista dos elementos, seguindo a seguinte convenção:

• • •

Separe os elementos com espaços ou vírgulas. Delimite os elementos com colchetes []. Use ; (ponto-e-vírgula) para indicar o final da linha.

Exemplo: » A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

Resulta: A= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

Elementos de uma matriz podem ser quaisquer expressões MATLAB. Por exemplo: » x = [-1.3 sqrt(3) (1+2+3)*4/5]

Resulta: x= -1.3000

1.7321

4.8000

Elementos individuais podem ser referenciados pelo seu índice assim. para acrescentar elementos ao exemplo anterior

(linha,coluna):

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» x(5) = abs(x(1))

Resulta: x= -1.3000

1.7321

4.8000

0

1.3000

Ao atribuir um valor numérico à  x(5), automaticamente x(4) é criado com valor nulo. Você pode construir matrizes maiores usando matrizes menores como seus elementos. Por exemplo, vamos adicionar uma linha a matriz  A: » r = [10 11 12]; » A = [A; r]

Isto resulta em: A= 1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

Você pode extrair sub-matrizes de uma matriz maior usando : (dois pontos). Por exemplo: » A = A(1:3,:);

Remove as três primeiras linhas e todas as colunas da matriz atual  A e coloca o resultado em A. A= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

Variáveis e Declarações do MATLAB

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Declarações no MATLAB são freqüentemente feitas da seguinte forma: »

variável = expressão

ou simplesmente, »

expressão

Quando o nome da variável é omitido, o nome ans é usado como variável default . Uma definição normalmente termina com ENTER. Contudo, se o último caracter é um ponto-e-vírgula, ele suprime a apresentação no vídeo, embora faça a atribuição do mesmo jeito. Isto é especialmente importante nas situações que o resultado é muito grande, tal como uma matriz de 10 linhas e 10 colunas. Se a expressão é muito grande e não cabe em uma linha, use continuar a definição na linha seguinte. Exemplo:

(...)

para

» s = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -1/6 + 1/7 ... - 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11 - 1/12;

Você pode formar uma variável ou nome de função com uma letra seguida de qualquer quantidade de letras (ou underscore) . MATLAB diferencia letras maiúsculas de minúsculas e usa somente os primeiros 19 caracteres do nome.

Obtendo Informação da Área de Trabalho (workspace ) Para listar as variáveis ativas use o comando who. Para obter mais informações sobre as variáveis como: nome, tamanho, número de elementos, etc., use o comando whos.

O Utilitário de HELP  

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O comando  help produz informação on-line da maioria dos tópicos do MATLAB, mostrando uma lista dos diretórios que contém arquivos do MATLAB. Para listar as funções de um diretório particular, digite  help seguido do nome do diretório. Exemplo: » help matfun

Para obter auxílio sobre uma função específica digite  help e o nome da função. Exemplo: » help inv

Para localizar palavras-chaves em todos os arquivos do MATLAB, use o comando lookfor. Exemplo: » lookfor inverse » INVHILB ACOS ACOSH ACOT ACOTH ACSC ACSCH



Inverse Hilbert matrix Inverse cosine Inverse hyperbolic cosine Inverse cotangent Inverse hyperbolic cotangent Inverse cosecant Inverse hyperbolic cosecant



Salvando e Saindo Para sair do MATLAB digite exit. Encerrando uma seção do MATLAB, apaga-se todas as variáveis da área de trabalho (workspace). Se for necessário, salve suas variáveis digitando save. Este comando salvará todas as variáveis em um arquivo chamado matlab.mat. Para recuperar as variáveis use o comando load . Você também pode salvar somente algumas variáveis e usar o nome de um arquivo qualquer. O exemplo a seguir salva as variáveis  x,  y e  z no arquivo temp.mat. » save temp x y z

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Números e Expressões Aritméticas O MATLAB usa notação convencional com potência de dez ou unidade complexa como sufixo: -4.534i 1.760217e-11

O MATLAB usa 16 dígitos significativos e expressões aritméticas são calculadas com a seguinte prioridade ^     * +

potenciação divisão à esquerda divisão à direita multiplicação subtração adição

\ /

Algumas funções internas retornam valores especiais. A função pi retorna o valor de π, a função inf  retorna ∞, etc. O MATLAB dispões das funções matemáticas elementares normalmente encontradas em calculadores científicas. Essas funções incluem por exemplo:  abs,  sqrt, log,  sin. Se uma operação resultar em infinito isso não implica em erro, simplesmente aquela variável terá o valor infinito. O mesmo ocorre para operações inválidas como ∞ / ∞ ou 0/0. O  Not a Number ). resultado é NaN ( Not ).

Formato de Saída Para alterar a formatação do número a ser apresentado na tela, utilize o comando format. Exemplos: » x = [4/3 1.2345e-6] » format short 1.3333

0.0000

» format short e 1.3333e+00

1.2345e-06

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Funções Grande parte do poder do MATLAB vem do enorme conjunto de funções. Algumas das funções são internas ao processador MATLAB e outras são disponíveis como bibliotecas externas na forma de M-files. O conjunto de funções aplicadas a uma área específica são denominadas toolboxes. Cada usuário pode criar suas próprias funções que se comportam como se fossem funções internas. As seções adiante discutem cada uma das diferentes categorias de funções analíticas do MATLAB básico. É possível combinar funções de várias formas. Exemplo: » x = sqrt(log(z))

Algumas funções usam dois ou mais argumentos, e cada argumento pode ser uma expressão. Exemplo: » angulo = atan2(y,3*x)

Existem funções que retornam dois ou mais valores. Nestes casos, os valores de saída devem estar entre colchetes [] e separados por vírgula. Exemplo: » [V,D] = eig(A)

A função eig calcula os autovetores e os autovalores de  A, respectivamente. Havendo dúvida, deve-se usar help eig.

1.1.2 Operações Matriciais Transposta de uma Matriz O caracter ' (apóstrofe) denota transposta de uma matriz. Se  z for complexo, z' é o transposto conjugado complexo de z. Exemplo: » A = [1 2; 3 4]

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A= 1 3

2 4

1 2

3 4

» B = A' B=

Adicionando e Subtraindo Matrizes Os símbolos + e - denotam adição e subtração de matrizes. A operação é definida sempre que as matrizes tenham a mesma dimensão. Exemplo: » C=A+B C= 2 5

5 8

A adição e subtração também é definida quando um dos operandos for um escalar. Exemplo: » D=C-2 D= 0 3

3 6

Multiplicação de Matrizes O símbolo * denota multiplicação de matrizes e é válida sempre que dimensões internas dos dois operandos for igual. Exemplo: » E=A*B E= 5 11

11 25

Naturalmente, um escalar (matriz de dimensão 1) pode multiplicar ou ser multiplicado por qualquer matriz. Exemplo: » F = 2*E

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F= 10 22

22 50

Divisão de Matrizes Existe dois símbolos de divisão de matrizes: / e \ . Os significados são: X = A\B é solução do sistema A*X = B X = B/A é solução do sistema X*A = B

Funções Elementares e Transcendentais O MATLAB enxerga expressões como exp(A) e sqrt(A) como operação sobre cada um dos elementos de um vetor (linha ou coluna). Existem funções para calculo de funções transcendentais de matrizes, quando essas são quadradas. Exemplos:

• • •

expm logm sqrtm

exponencial de uma matriz logaritmo de uma matriz raiz quadrada de uma matriz

Outras funções elementares sobre matrizes incluem:

• • •

poly det trace

polinômio caraterístico determinante traço

1.1.3 Operações em Array Refere-se a operações em array as operações aritméticas realizadas elemento a elemento ao invés da operação matricial algébrica usual definida pelos símbolos * \ / ^ e '. Para indicar que a operação é elemento-a-elemento usase um ponto (.) antes do símbolo da operação.

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Somando e Subtraindo Arrays  Para a adição e subtração, as operações de arrays e as de matrizes são as mesmas. Neste caso + e - podem ser usados sem o ponto.

Multiplicando e Dividindo Arrays  O símbolo .* denota multiplicação elemento-a-elemento. Se  A e  B têm mesma dimensão, então A.*B resulta num array cujos elementos são o produto dos elementos individuais de A e de B. Exemplo: » x = [1 2 3]; y = [4 5 6]; » z = x.*y z= 4

10

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A expressão A./B e A.\B resulta no quociente de cada elemento. Exemplo: » z = x.\y z= 4.0000

2.5000

2.000

Usando Potenciação com Arrays O símbolo .^ denota potenciação elemento-a-elemento. Exemplo: » z = x.^y z= 1

32

729

Operadores Relacionais Para comparar-se matrizes de dimensões idênticas existem seis (6) operadores relacionais. < >= == ~=

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maior maior ou igual igual diferente

O MATLAB compara os pares de elementos correspondentes. O resultado é uma matriz de "uns" e "zeros", onde "um" representa "verdadeiro" e "zero" representa "falso". Exemplo: » 2 + 2 ~= 4 ans = 0

O exemplo abaixo, ilustra como encontrar os elementos das matriz  A que são divisíveis por 3: » A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]; » G = rem(A,3); » P = (G == 0) P= 0 1 0

0 0 1

1 0 0

A função rem(A,3) retorna a matriz dos restos da divisão por 3. Cada um dos elementos de G informa se a operação relacional é falsa (0) ou verdadeira (1). A função find é muito usada em conjunto com operadores relacionais. O exemplo abaixo ilustra como localizar todos os elementos de Y  que são maiores que 3 e substituí-los por 10. » Y = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]; » i = find(Y > 3.0); » Y(i) = 10*ones(size(i));

Operadores Lógicos

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Os operadores &, |, e ~ são os operadores lógicos "e", "ou" e "não" respectivamente. As funções  any e  all  são muito utilizadas em conjunto com operadores lógicos. A função any(x) retorna "1" se qualquer elemento de  x for não nulo e retorna "0" caso contrário. A função all(x) retorna "1" somente se todos os elementos de  x são não nulos. Essas funções são particularmente úteis na declaração de um if . if all(A < 0.5) faça alguma coisa  end

Funções Matemáticas Um conjunto de funções matemáticas elementares são aplicáveis elemento-a-elemento num array. » A = [ -1 2 -3; 4 -5 6]; » B = abs(A) B= 1 4

2 5

3 6

1.1.4 Manipulação Matricial e Vetorial A capacidade de indexação do MATLAB permite manipulação de linhas e colunas, elementos individuais e submatrizes de matrizes. Os vetores são o ponto central da indexação e eles são gerados com o uso de : (dois pontos).

Gerando Vetores A declaração abaixo ilustra a criação de um vetor usando (:) dois pontos: » x = 1:5 x= 1

2

3

4

5

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Você pode também criar o vetor com incrementos diferentes da unidade. No exemplo a seguir o passo é de π /4. » y = 0 : pi/4 : pi y= 0.0000 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

» z = 6: -1 : 1 z= 6 5 4 3 2 1

A uso de (:) permite a criação rápida de tabelas como ilustrado a seguir: » x = (0 : 0.2 : 3)'; » y = exp(-x).*sin(x); » [x y] ans = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 2.2000 2.4000 2.6000 2.8000 3.0000

0 0.1627 0.2610 0.3099 0.3223 0.3096 0.2807 0.2430 0.2018 0.1610 0.1231 0.0896 0.0613 0.0383 0.0204 0.0070

Existem outras funções para a geração de vetores tal como logspace que gera um vetor espaçado logaritmicamente: » w = logspace(-1,1,5) w= 0.1000

0.3162

1.0000

3.1623 10.0000

Indexando

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Elementos individuais de matrizes podem ser referenciados inserindo seus índices de linha e coluna entre parênteses. Se uma expressão for usada como índice, o resultado é aproximado aproximado paro o inteiro mais próximo. » A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; » A(3,3) = A(1,3) + A(3,1) A= 1 4 7

2 5 8

3 6 10

Usando (:) dois pontos, podemos indexar todas as linhas ou colunas ou uma parte: » A(:,1) A= 1 4 7

» A(2:3,1:2) A= 4 7

5 8

O exemplo a seguir mostra como fazer referência explícita a algumas linhas ou colunas. Coloca-se os números das linhas e colunas dentro de colchetes: » A([1 3],[1 3]) A= 1 3 7 10

Um outro uso para os dois pontos (:) é no empilhamento das colunas de uma matriz qualquer. No caso de vetores, obteremos sempre o vetor coluna: » A = [1 2; 3 4; 5 6]; » B = A(:) B= 1

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2 3 4 5 6

Usando Vetores de 0s-1s na Indexação Você pode usar vetores de "uns", usualmente criados a partir de operadores relacionais no referenciamento de submatrizes. Suponha que A é uma matriz de dimensão m-por-n e  L um vetor linha de "zeros" e "uns" de dimensão m. Então, » A(L,:)

especifica as linhas de  A cujos elementos de L são não nulos. Ou seja, os uns de  L apontam para as linhas de  A. O exemplo a seguir mostra como extrair de  X  as linhas cuja terceira coluna é maior ou igual a 100. » L = X(:,3) > 100; » Y = X(L,:);

Matrizes vazias A declaração, » X = []

atribui a matriz de dimensão zero-por-zero à  X , sendo possível usar a variável  X  em cálculos. Criar a matriz  X vazia é diferente do que apagar a variável  X com o comando  clear  X . Com o uso de matrizes vazias é possível remover linhas e colunas de uma matriz, como mostra o exemplo a seguir que apaga as colunas 2 e 4 da matriz A: » A(:,[2 4]) = []

Matrizes Especiais

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Existe uma coleção de funções que geram matrizes que são encontradas nos problemas de álgebra linear e processamento de sinais. Exemplos:

• • • • • • • • • • •

compan - gera a matriz a partir do polinômio caraterístico diag - matriz diagonal pascal - constrói o triângulo de Pascal zeros - matriz de "zeros" ones - matriz de "uns" eye - matriz identidade logspace - vetores espaçados logaritmicamente linspace - vetores espaçados linearmente rand - elementos randômicos uniformemente distribuídos randn - elementos randômicos normalmente distribuídos etc ...

Construindo Matrizes Grandes É possível formar matrizes maiores a partir de matrizes menores, envolvendo as matrizes menores entre colchetes . Por exemplo, se  A é uma matriz quadrada, » C = [A A'; ones(size(A)) A.^2]

cria a matriz C  com o dobro do tamanho de  A. Note que na construção de matrizes usando matrizes, as dimensões das matrizes menores devem ser compatíveis ou então aparecerá uma mensagem de erro.

Manipulando Matrizes Várias funções estão disponíveis para a manipulação matricial como:  rot90 (rotação),  tril (parte triangular superior),  triu (parte triangular inferior),  reshape (alteração da dimensão) etc.

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1.1.5 Análise de Dados Esta seção apresenta uma introdução à análise de dados usando o MATLAB. Técnicas mais poderosas estão disponíveis usando funções de álgebra linear e funções de processamento de sinais na seção 1.1.7 (polinômios e processamento de sinais).

Convenção Por convenção, as diferentes variáveis em um conjunto de dados são colocadas em colunas, permitindo observação vertical dos dados através das linhas. Portanto, um conjunto de dados de 50 amostras de 13 variáveis é armazenado numa matriz de dimensão 50-por-13. O conjunto de dados armazenados na matriz count será usado para ilustrar o uso de algumas funções count = 11 43 38 61 12

57 178 163 420 59

291 1011 1095 2407 287

Para esse exemplo temos 5 observações para 3 variáveis. Isso pode ser obtido como segue: » [n,p] = size(count) n= 5 p= 3

Um grupo de funções (abaixo) confere a capacidade de análise de dados básica: • max - máximo valor • min - mínimo valor • mean - valor médio • median - mediana • std - desvio padrão

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• • • • • • • •

sort sum prod cumsum cumprod diff  corrcoef  cov

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- ordenação - soma dos elementos - produto dos elementos - soma cumulativa dos elementos - Produto cumulativos dos elementos - Aproximação da derivada - Coeficientes de correlação - Matriz de covariância

Para argumentos vetoriais não faz diferença se o vetor é linha ou coluna. Para arrays as funções são orientadas por colunas. Continuando com o exemplo anterior, as declarações abaixo » mx = max(count); » mu = mean(count); » sigma = std(count);

resultam em: mx = 61

420

2407

mu = 1.0e+003 * 0.0330

0.1754

1.0182

sigma = 21.4126 147.9503 865.7639

Ajuste de Curvas Uma das alternativas possíveis no MATLAB para encontrarmos os coeficientes de p(x) a partir de dados tabelados é através da função polyfit, onde n é o grau do polinômio. p( x)

=

d

c1 x

+ c2 xd −1 +  + cn

A sintaxe de chamada é a seguinte, onde  x é a abcissa, p o valor da função para cada x(i) e n o grau do polinômio.

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» c = polifit(x,p,n)

1.1.6 Funções Matriciais Autovalores e Autovetores Se  A é uma matriz n-por-n, os n números λ  que satisfazem a equação  Ax = λ  x, são os autovalores de A. Eles são encontrados usando » eig(A)

Se o comando for usado com dois parâmetros de saída, obteremos os autovalores em D e os autovetores em X : » [X,D] = eig(A)

Norma, Posto e Condicionamento As funções MATLAB que calculam a norma, posto e número de condicionamento de uma matriz são:

• • • •

cond norm rank rcond

- número de condicionamento usando norma 2 - norma 1, norma 2, norma F e norma ∞ - posto da matriz - estimativa do condicionamento

1.1.7 Polinômios e Processamento de Sinais O MATLAB possui funções para manipulação polinomial e para o processamento digital de sinais. Essas funções operam primordialmente com vetores.

Representação de Polinômios O MATLAB representa polinômios como vetores linha contendo os coeficientes ordenados em ordem decrescente dos expoentes. Por exemplo, o polinômio característico de

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A= 1 4 7

2 5 8

3 6 0

é calculado com » p = poly(A) p= 1 -6 -72 -27

Esta é a representação MATLAB do polinômio equação são

s

3

− 6s2 − 72s − 27. As raízes dessa

» r = roots(p) r= 12.1229 -5.7345 -0.3884

Essas raízes são os mesmos que os autovalores da matriz  A. Você pode remontar o polinômio original com a função poly » p2 = poly(r) p2 = 1 -6 -72 -27

Considere os polinômios a(s) = s2 + 2s + 3 e b(s) = 4s2 + 5s + 6 . O produto dos polinômios é a convolução dos seus coeficientes » a = [1 2 3]; b = [4 5 6]; » c = conv(a,b) c= 4 13 28 27 18

Você pode utilizar a convolução inversa para dividir dois polinômios, e no caso do exemplo, obter b novamente.

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» [q,r] = deconv(c,a) q= 4 5 6 r= 0 0 0 0 0

A lista de funções de polinômios inclui:

• • • • • • • • •

poly roots polyval polyvalm conv deconv residue polyder polyfit

- polinômio característico - raízes de um polinômio - cálculo do valor numérico do polinômio - cálculo do polinômio de matrizes - multiplicação (convolução) - divisão (deconvolução) - expansão em frações parciais - derivada do polinômio - ajuste polinomial de curva

Processamento de Sinais Vetores são usados para armazenar sinais de dados amostrados, ou seqüências, para o processamento dos sinais. Para sistemas com múltiplas entradas, cada linha da matriz corresponde a uma amostra. O MATLAB básico contém as funções a seguir, enquanto que o Signal Processing Toolbox contém muitas funções adicionais.

• • • • • • • • • • •

abs angle conv deconv fft ifft fftshift fft2 ifft2 fftshift conv2

- magnitude complexa - ângulo de fase - convolução - deconvolução - transformada rápida de Fourier - transformada rápida inversa de Fourier - alterna quadrantes de matrizes - FFT de duas dimensões - FFT inversa de duas dimensões - rearranja os resultados da FFT - convolução de duas dimensões

Filtragem de Dados

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A função, » y = filter(b,a,x)

filtra os dados do vetor  x com o filtro descrito pelos vetores a e b, criando o dado y filtrado. x

y

H(z)

A estrutura do filtro é dada a seguir pela sua função de transferência de tempo discreta  H (z) =

Y (z )  X (z)

b(1) + b( 2)z − ++ b(nb)z − nb − 1

=

(

1)

1 + a(2)z−1 ++ a(na)z − ( na −1)

A função  freqz do Signal Processing Toolbox, calcula a resposta em freqüência de filtros digitais. Além dessa, exemplificada abaixo, esse Toolbox contém inúmeras funções para o projeto de filtros digitais. » » » » »

[h,w] = freqz(b,a,n); mag = abs(h); fase = angle(h); semilogy(w,mag) plot(w,fase)

1.1.8 Funções de Funções A classe de funções MATLAB para cálculo que não é sobre matrizes numéricas, mais sim com funções matemáticas é aqui designada por funções de funções e incluem:

• • •

Integração Numérica Equações não lineares e Otimização Solução de Equações Diferenciais

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O MATLAB representa funções matemáticas através de arquivos-M (Mfiles). Por exemplo, a função  f (x ) =

1 1 + −6 ( x − 0,3)2 + 0,01 (x − 0,9)2 + 0,04

torna-se disponível no MATLAB se criarmos um arquivo com extensão exemplo chamado humps.m, cuja listagem é mostrada a seguir:

.m,

por

% listagem do arquivo humps.m function y = humps(x) y = 1./((x-.3).^2 + .01) + 1./((x-.9).^2 + .04) - 6;

O gráfico dessa função é obtido como segue » x = -1:.01:2; » plot(x,humps(x)) 100

80

60

40

20

0

-20 -1

-0.5

0

0 .5

1

1 .5

2

Integração Numérica Uma função, tal como  humps, pode ser integrada numericamente pelo processo chamado de quadratura. Exemplo:

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» q = quad('humps',0,1) q= 29.8583

O MATLAB oferece duas funções para o processo de quadratura:

• •

quad - regra de Simpson adaptativa quad8 - regra de Newton adaptativa

Note que o primeiro argumento da função quad  é uma string que contém o nome de uma função. Isso mostra porque essa função é chamada função de função (é uma função que opera com outras funções). Os outros dois argumentos são os limites de integração.

Equações Não Lineares e Funções de Otimização No MATLAB básico encontramos algumas funções para a manipulação de equações não lineares e para otimizações.

• • •

fmin - mínimo de uma função de uma variável var iável fmins - mínimo de uma função multivariável fzero - zero de uma função de uma variável

Continuando com o exemplo definido pela função humps.m, a localização do mínimo da função na região de 0.5 a 1 é calculada com fmin: » xm = fmin('humps',0.5, 1) xm = 0.6370

e o seu valor no mínimo é » y = humps(xm) y= 11.2528

A localização do zero da função que está próximo de x = 0 e de x = 1 é,

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» xz1 = fzero('humps',0) xz1 = -0.1316 » xz2 = fzero('humps',1) xz2 = 1.2995

No Optimization Toolbox temos inúmeras outras funções como por exemplo,

• • • • • • •

attgoal constr fminu fsolve leastsq minimax seminf 

- goal attainment multi-objetivo - minimização com restrições - minimização sem restrições - solução de equações não lineares - mínimos quadrados não linear - solução do problema pr oblema minimax - minimização semi-infinita

Equações Diferenciais As funções disponíveis para a solução de equações diferenciais ordinárias são:

• •

ode23 ode45

- método Runge-Kutta de 2ª/3ª ordem - método Runge-Kutta-Fehlberg de 4ª/5ª ordem

Considere a equação diferencial de segunda ordem conhecida como equação de Van der Pol. x  + ( x2

− 1) x + x = 0

Esta equação pode ser escrita como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem

= x1 (1 −  x 2 = x1 x1

x22 ) − x2

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O primeiro passo para simular este sistema é criar um arquivo que contem este sistema de equações diferenciais. Chamaremos este arquivo ar quivo de vdpol.m function xponto = vdpol(t,x) xponto(1) = x(1).*(1-x(2).^2)-x(2); x(1).*(1-x(2).^2)-x(2); xponto(2) = x(1);

Para simular a equação diferencial no intervalo 0 ≤ t  ≤ 20 , use a função  ode23. » » » »

t0 = 0; tf = 20; x0 = [0 0.25]'; % condicoes iniciais [t,x] = ode23('vdpol',t0,tf,x0); plot(t,x) 3

2

1

0

-1

-2

-3

0

5

10

15

20

Para aqueles que trabalham com equações diferenciais recomenda-se o SIMULINK que é uma extensão gráfica do MATLAB para a simulação de equações diferenciais.

1.1.9 Gráficos O sistema gráfico do MATLAB oferece uma variedade de técnicas sofisticadas para representar e visualizar dados. São funções gráficas em 2-D e 3-D.

Gráficos 2-D

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O MATLAB fornece uma variedade de funções para a visualização de dados em duas dimensões (2-D).

Funções Gráficas Elementares A lista abaixo sumariza as funções gráficas básicas. Elas diferem apenas na escala dos eixos. Cada entrada pode ser um vetor ou uma matriz e as escalas são ajustadas automaticamente para acomodar os dados de entrada.

• • • • • • • • • •

plot loglog semilogx semilogy title xlabel ylabel text gtext grid

- cria um plot de vetores ou colunas de matrizes - escala logarítmica nos dois eixos - escala logarítmica no eixo x e linear em y - escala logarítmica no eixo y e linear em x - adiciona um título ao gráfico - adiciona um nome ao eixo x - adiciona um nome ao eixo y - mostra um texto na posição especificada - coloca o texto no gráfico usando o mouse - coloca linhas de grid 

Criando um Plot  Se  y é um vetor, plot(y) produz um gráfico linear dos elementos de  y em função do indexador de  y. Se você especificar dois vetores como argumentos, plot(x,y) produz um gráfico de  y versus  x. Você pode também especificar vários conjuntos de dados e definir o estilo da linha e sua cor para cada conjunto de dados, tudo isso num mesmo comando: » » » » » » » »

t = 0:pi/100:2*pi; x = sin(t); y1 = sin(t + 0.25); y2 = sin(t + 0.5); plot(x,y1,'r-',x,y2,'g--') title('Defasagem') xlabel('x=sin(t)') ylabel('y=sin(t+)')

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Defasagem 1 0.8 0.6 0.4 0.2 y=sin(t+)

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0

0.5

1

x=sin(t)

Estilos de Linhas, Marcadores e Cores Tal como mostrou-se no exemplo anterior, você pode passar um caractere como um argumento à função  plot para especificar um dos vários estilos de linha, símbolos e cores. Na declaração plot(X,Y,S), S é uma string de 1, 2 ou 3 caracteres (delimitados por apóstrofes) com as funções definidas pela tabela a seguir. Se você não especificar uma cor, ele usa as cores da tabela automaticamente.

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Símbolo y m c r g b w k

Cor yellow magenta cyan red green blue white black

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Símbolo . o x + * : -. --

Linha ponto círculo marca x marca + marca * sólida pontilhada traço-ponto tracejada

Adicionando Linhas num Gráfico Existente Você pode adicionar outras curvas em um gráfico que já foi construído usando o comando  hold . Quando você seleciona  hold on, o MATLAB não remove as linhas atuais, ao invés disso ele adiciona as linhas atuais ao gráfico atual. O que ele pode fazer é mudar a escala dos eixos automaticamente se os novos dados não se acomodarem dentro da escala anterior. Exemplo: » » » » »

plot(x) hold on plot(y1,'--') plot(y2,'-.') hold off

Resulta,

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1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

50

100

150

20 0

25 0

Dados Imaginários e Complexos Quando os argumentos da função  plot são complexos, isto é, eles têm parte imaginária diferente de zero, a parte imaginária é ignorada exceto quando  plot é usado com um único argumento. Nesta situação, o comando é um comando gráfico resumido da parte real versus a parte imaginária. Portanto, plot(z) ,  , quando  z é um vetor ou matriz complexa, é equivalente à, plot(real(z),imag(z)). Para ilustrar isso, o exemplo a seguir usa a distribuição dos autovalores de uma matriz 20-por-20 randômica: » plot(eig(randn(20,20)),’x’) Distribuição de Autovalores 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4 -4

-2

0

2

4

6

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Plotando Matrizes A função  plot pode ter um único argumento, como plot(Y). Ela desenha uma curva para cada coluna de Y . O eixo  x é formado pelo índice de cada linha. Se X e Y são matrizes, plot(X,Y) plota as coluna de X versus cada as colunas de Y . » » » »

X = 0:pi/50:2*pi; Y = sin(X); Z = cos(X); W = log(X); A = [Y' Z' W']; plot(A)

Resulta, 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3

0

20

40

60

80

10 0

12 0

Importando Dados Você pode importar e plotar dados gerados fora do MATLAB. Suponha você tenha um arquivo chamado dados.dat contento valores de duas funções e da variável independente.

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dados.dat 2.3 3.1 4.5 5.6 4.8 4.7 4.4 4.0 4.2

1.0 1.9 2.2 2.6 3.5 4.7 5.3 6.0 7.1

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

O comando load dados.dat produz uma matriz chamada dados, 9-por-3. A seguir, mostra-se como renomear cada uma das variáveis e como plotar cada função separadamente. » » » » » »

load dados.dat F1 = dados(:,1); F2 = dados(:,2); X = dados(:,3); subplot(211), plot(X,F1) subplot(212), plot(X,F2)

Resulta, 6 5 4 3 2 0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

8 6 4 2 0

Funções Gráficas Especializadas em 2-D

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O MATLAB inclui uma variedade de funções especializadas, conforme descrito resumidamente a seguir.

• • • • • • • • • • •

bar compass errorbar feather fplot hist polar quiver rose stairs fill

- gráfico de barras - gráfico de ângulos com setas - gráfico de barras de erros - gráfico de ângulos - calcula e plota uma função - cria um histograma - gráfico em coordenadas polares - cria um gráfico de um gradiente - histograma em ângulo - gráfico similar ao de barras sem linhas internas - desenha um polígono e preenche o interior

Plotando Funções Matemáticas Você pode plotar o gráfico de uma função, y = f ( x) . A solução pela força bruta é calcular a função para algumas centenas de pontos no intervalo de interesse. Por exemplo, a função a seguir oscila com freqüência tendendo para infinito quando  x = 0,5. » x = (0:1/2000:1)'; » plot(x,cos(tan(pi*x)))

Resulta,

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y = cos(tan(pi*x))

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

0.2

0. 4

0.6

0. 8

1

No exemplo, a função é plotada no intervalo [0,1]. Neste caso, a função  fplot é mais efetiva para obtermos a representação gráfica da função pois ela escolhe automaticamente uma quantidade maior de pontos na faixa que é necessário maior resolução gráfica. Para usar a função  fplot, primeiro crie um arquivo que conterá a função a ser plotada, por exemplo com o nome fofx.m function y = fofx(x) y = cos(tan(pi*x)); cos(tan(pi*x));

Agora basta passar o nome da função como argumento de fplot. » fplot('fofx',[0 1], 25,20,10)

Resulta,

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y = cos(tan(pi*x))

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

0. 2

0.4

0 .6

0 .8

1

Gráficos 3-D O MATLAB oferece uma variedade de funções para a visualização de dados em 3-D, conforme sumarizado pelas funções a seguir. Contudo, não faremos um detalhamento, visto que o assunto é muito longo e pouco interessante para os objetivos iniciais deste trabalho.

• • • • • • • • • •

plot3 - plota linhas e pontos em 3-D. contour, contour3 - plotagem de contornos pcolor - desenha uma matriz retangular de células cujas cores são determinadas pelos elementos da matriz. image - mostra uma matriz como uma imagem mapeando os elementos da matriz para o mapa de cores cor es atuais. mesh, meshc, meshz - cria uma perspectiva em 3-D dos elementos da matriz. fill3 - cria um polígono 3-D e preenche com uma cor sólida ou interpola cores. zlabel - cria um label para o eixo z. clabel - adiciona um label à plotagem de contorno. view - determina o ponto de visualização atual. viewmtx - calcula uma transformação 4x4.

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1.1.10 Controles de Fluxo O MATLAB possui declarações para controle de fluxo tal como aqueles encontrados na maioria das linguagem de computador. O controle de fluxo torna o MATLAB mais do que uma calculadora científica, permitindo que seja usado como uma linguagem de programação de alto nível completa.

FOR O MATLAB possui a sua versão própria dos loops DO ou FOR. Com isso é possível repetir um grupo de declarações por um número predeterminado de vezes. Por exemplo, » for i = 1:n, x(i) = 0, end

impõe o valor "0" para todos os primeiros n elementos de  x. Se n é menor que "1", a construção ainda é permitida, mas as declarações internas ao loop não são executadas. Se  x não existe ou tem menos elementos que  x, então espaços adicionais são alocados automaticamente. Você pode criar loops dentro de loops e pode fazer as declarações diretamente no  prompt  do MATLAB, embora o uso de um  M-file seja recomendado nestes casos. » for i = 1:1:m for j = 1:1:n » » A(i,j) = 1/(i+j-1); » end » end » A

A expressão do for é usualmente do tipo m:i:n, onde m é o valor inicial, n o final e i o incremento, sendo que esse pode ser negativo.

WHILE

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Tal como o for, a declaração while, também é para realizar um grupo de declarações um certo número de vezes. A diferença básica é que no while, o controle do loop é feito por uma condição lógica. Para ilustrar, vamos resolver um problema: Qual é o primeiro inteiro n para o qual n! (fatorial de n) é um número de 100 dígitos ? » n = 1; » while prod(1:n) < 1.e100, n = n+1; end » n

A função prod realiza o produtos dos elementos do argumento. Logo, é o fatorial de n.

prod(1:n)

Declarações IF e BREAK Os exemplos a seguir ilustram a utilização da declaração if . O primeiro exemplo mostra como um cálculo pode ser dividido em três casos dependendo do sinal e da paridade de n. if n < 0 A = negative(n) elseif rem(n,2) == 0 A = even(n) else A = odd(n) end

O segundo exemplo envolve um problema não resolvido da teoria dos números: "Pegue um número inteiro. Se ele for par, divida por dois; se for impar, multiplique ele por 3 e some 1. Repita esse processo até que o inteiro seja igual a um. O problema é saber se existe algum inteiro para o qual o processo nunca termina".

Este programa MATLAB ilustra as declarações while e if . Também é mostrado o uso da função input que interrompe a execução para a entrada de dados e da declaração break que permite interromper um loop.

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% Problema classico "3n+1" da teoria dos números while 1 n = input('Entre com n [negativo aborta]. '); if n 1 if rem(n,2) == 0 n = n/2 else n = 3*n+1 end end end

1.1.11 Arquivos M O MATLAB normalmente é usado no modo de comando. Quando você entra com uma linha de comando, ele processa e imediatamente mostra o resultado. O MATLAB também pode executar uma seqüência de comandos que está armazenada num arquivo. Estes dois modos formam um ambiente interpretativo. Os arquivos que contém declarações MATLAB são chamados Mfiles porque usam a extensão .m. Por exemplo, o arquivo bessel.m contém declarações MATLAB para o cálculo de funções Bessel. Um M-file consiste de uma seqüência de declarações MATLAB normais, podendo incluir referencias à outros M-files. Um M-file pode chamar ele próprio de forma recursiva. Você pode criar um M-file usando um editor de texto tal como o  Notepad  do Windows™,  Edit  do DOS ou outro qualquer. Dois tipos de M-files podem ser usadas: manuscritas ( scripts) e funções. Arquivos scripts automatizam uma seqüência longa de comandos. Arquivos de função permite criar novas funções às existentes. Ambos, scripts e funções são arquivos texto tipo ASCII.

Arquivos Scripts  O exemplo a seguir ilustra como calcular os primeiros 16 números de Fibonacci usando um arquivo script . Suponha que o nome do arquivo seja fibno.m. Digitando fibno no prompt do MATLAB, faz com os comandos contidos no arquivo sejam executados. Note que depois da execução do programa as variáveis  f  e i permanecem na área de trabalho (workspace) do MATLAB. Verifique isso com who. Isso acontece porque os scripts operam globalmente

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com dados no workspace. Os demos fornecidos junto como MATLAB são bons exemplos de como usar scripts para realizar tarefas mais complexas. Para chamar os demos digite demo no prompt do MATLAB. % M-file (script) para calcular números de Fibonacci f = [ 1 1]; i = 1; while f(i) + f(i+1) < 1000 f(i+2) = f(i) + f(i+1); i = i + 1; end plot(f)

Quando você chama o MATLAB, ele automaticamente executa um script  chamado startup.m (se voce o criou). Nesse arquivo você pode colocar as definições iniciais do workspace tal como constantes, fatores de conversão, etc.

Arquivos de Funções Um M-file que contém a palavra function no início da primeira linha é um arquivo de função. Uma função difere de um script  no fato de que argumentos podem ser passados; variáveis definidas e manipuladas no arquivo são locais à função e não operam globalmente no workspace. A função listada à seguir é do seu disco e tem o nome mean.m.

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function y = mean(x) % MEAN Average or mean value. % For vectors, MEAN(X) is the mean value value of of the % elements in X. % For matrices, MEAN(X) is a row vector containing containing % the mean value of each column.

[m,n] = size(x); if m == 1 m = n; end y = sum(x) / m;

Por exemplo, se z é um vetor de inteiros de 1 à 99, sua média pode ser calculada como segue: » z = 1:99; » mean(z) ans = 50

A seguir, descreve-se alguns detalhes de mean.m:

• • • • •

•

A primeira linha declara o nome da função, os argumentos de entrada e os de saída. Sem esta linha, o arquivo é um script  ao invés de função; O símbolo % indica que o resto da linha é um comentário e deve ser ignorado; As primeiras linhas documentam um M-file e são mostradas quando pedimos help mean; A primeira linha de help, conhecida como linha "H1", é incluída no arquivo contents.m e é usada pelo comando lookfor; As variáveis m, n e  y são locais à função e não existem no workspace depois que do término da função. (Caso a variável já existisse antes da chamada de mean, ela continuaria existindo depois e inalterada); Não foi necessário colocar os inteiros inteiros de 1 a 99 numa variável chamada  x. De fato, nós usamos mean com um variável chamada  z. O vetor  z foi passado ou copiado dentro da função onde ela tornou-se uma variável local chamada x.

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Você pode criar uma função um pouco mais mais complexa que mean, chamada stat, que também calcula o desvio padrão. Neste exemplos ilustramos o uso de múltiplos argumentos de saída. function [mean,stdev] = stat(x) [m,n] = size(x); if m == 1 m = n; end mean = sum(x) / m; stdev = sqrt(sum(x.^2)/m - mean.^2);

Uma função que calcula o posto de uma matriz usa múltiplos argumentos de entrada: No caso geral teríamos múltiplos argumentos de entrada e de saída. function r = rank(x,tol) % rank (posto em Portugues) da matrix s = svd(x); if (nargin == 1) tol = max(size(x)) * s(1) * eps; end r = sum(s > tol);

Este exemplo também mostra o uso da variável permanente nargin para encontrar o número de argumentos de entrada. A variável nargout, embora não usada neste exemplo, contém o número de argumentos de saída.

Criando um Help  para Seus Arquivos Pessoais você pode criar um help online para os seus M-files pessoais entrando o texto em uma ou mais linhas de comentário, começando sempre pela segunda linha do arquivo. Por exemplo, o arquivo da função angle,

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function p = angle(h) % ANGLE Phase angle. % ANGLE(H) returns the phase angles, in radians, of a % matrix with complex elements. % % See also ABS, UNWRAP. p = atan2(imag(h), atan2(imag(h), real(h));

têm 5 linhas contíguas de comentário a partir da segunda linha. Quando digitamos help angle, todo esse bloco é mostrado. O mecanismo de help ignora linhas de comentário que aparecem mais a frente, depois de uma declaração ou mesmo uma linha em branco.

Informações Úteis Quando você chama uma função pela primeira vez, o MATLAB compila a função e a coloca na memória. Ela estará então disponível para os usos subseqüentes sem a necessidade de ser compilada. Permanecerá na memória até o final da seção ou até que você fique com pouca memória, acarretando na sua eliminação automática. O comando what mostra uma listagem dos M-files no diretório atual do disco. O comando type lista os M-files e ! é usado para comandos do DOS. De uma maneira geral, quando você digita um nome de algo no MATLAB, por exemplo whoopie, o interpretador do MATLAB executa os seguintes passos: 1. 2. 3. 4.

Procura por whoopie como variável; Verifica se whoopie é uma função interna; Procura um o arquivo whoopie.m no diretório atual; Procura um o arquivo whoopie.m nos diretórios especificados pelo path do MATLAB.

ECHO, INPUT, KEYBOARD, PAUSE

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Normalmente, enquanto um M-file está sendo executado, os comandos contidos no arquivo não são mostrados na tela. O comando echo permite visualizar o comando a medida que ele vai sendo executado. Isso é especialmente útil na depuração de uma programa ou para a confecção de um programa demonstrativo. A função input permite obter dados do usuário. por exemplo, n = input('Entre com o valor de n = ')

interrompe a execução, mostra a frase na tela, espera, e então atribui o valor ou expressão digitada para a variável n. Similar à input, mas muito mais poderosa, é a função  keyboard . Esta função torna o teclado do computador um script . Quando colocada dentro de Mfiles, torna ágil a depuração e permite a modificação de variáveis durante a execução. O comando  pause interrompe a execução até que o usuário pressiona uma tecla qualquer. pause(n) interrompe por n segundos antes de continuar.

Variáveis Globais Cada função MATLAB possui suas próprias variáveis locais que são separadas daquelas de outras funções e daquelas que estão no workspace. Contudo, se você declarar uma variável como global, todas as funções e o workspace vão enxergar a mesma variável. Para diferenciar das demais variáveis, costuma-se identificar uma variável global declarando-a com um nome longo e em letras maiúsculas, embora isso não seja uma imposição. Suponha que você queira estudar o comportamento dos coeficientes α  e  β  no problema do modelo predador-vítima de Latka-Volterra. y1 y2

y1

α y2 y1 y2 β y2 y1

Crie o arquivo lotka.m:

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function yp = lotka(t,y) % modelo Votka-Voltera global ALFA BETA yp = [y(1) - ALFA*y(1)*y(2); -y(2) + BETA*y(1)*y(2)];

Interativamente, entre como as seguintes declarações: » » » » »

global ALFA BETA ALFA = 0.01; BETA = 0.02; [t,y] = ode23('lotka',0,10,[1; 1]); plot(t,y)

Uma vez que ALFA e BETA são globais você pode altera-las interativamente e novas soluções podem ser obtidas sem ter que editar nenhum arquivo e sem passar os valores como argumentos.

Variáveis Alfanuméricas Variáveis tipo texto são introduzidas no MATLAB envolvendo o texto com quotas simples (apóstrofos). Por exemplo, » s = 'Ola' s= Ola

O texto é armazenado num vetor, um caracter por elemento. Desejando concatenar textos, use colchetes: » s = [s, ' Pessoal'] s= Ola Pessoal

Valores numéricos são convertidos em variáveis tipo texto via  sprintf ,  num2str e int2str. Exemplo, » c = 23; » title(['A temperatura é',num2str(c),' graus C'])

A Função EVAL

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A função eval lida com variáveis tipo texto para implementar recursos de macros de texto. eval(t) força que o texto contido na variável t  seja "resolvido". O exemplo a seguir mostra como usar o comando load  para carregar 10 arquivos seqüencialmente numerados: dados1.mat, dados2.mat, ... » fname = "dados"; » for i = 1:10 » eval(['load ',fname,int2str(i)]) » end

A função eval  é especialmente útil na passagem de argumentos de funções cujo parâmetro é um nome de outra função. Um exemplo típico é o função  fplot que passa como argumento o nome da função a ser plotada, exemplo: » fplot('sin',[0 10])

1.1.12 Arquivos de Disco Os comandos load  e  save recuperam e armazenam dados do workspace no disco.

Manipulação de Arquivos de Disco Os comandos dir,  type,  delete e  cd  servem à manipulação de arquivos. Para a maioria desses comandos devemos especificar o path, wildcards e o drive de destino como normalmente se faz no DOS. O comando type difere do comando type usual de uma forma importante. Se nenhuma extensão é especificada, o MATLAB assume .m como default . Portanto, esse comando é bastante usado para obtermos a listagem de um M-file na teta do computador. O comando  diary cria um diário (log) da sua seção MATLAB na forma de um arquivo ASCII. Todos os comandos e resultados, exceto gráficos, são automaticamente acrescentados ao arquivo de diário.

Rodando Programas Externos

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O ponto de exclamação ! é a forma de acessar o DOS de dentro do MATLAB. Você pode executar qualquer programa externo tal como o editor EDIT do DOS. » ! edit c:\usuario\teste.doc

Transferência de Dados Você pode introduzir dados de outros programas dentro do MATLAB. Similarmente, você pode exportar dados do MATLAB para outros programas. Também é possível usar o formato que o MATLAB usa para armazenar dados: MAT-files.

Importando Dados O melhor método de importar dados depende de quantos dados existem, qual o seu formato, etc. A seguir, listamos algumas opções:

•

Entre com os dados como uma lista explícita dos elementos. Se o número de elementos for pequeno (10-15 elementos) é mais simples digitar os dados explicitamente usando colchetes.

•

Crie um M-file e escreva os dados de forma explícita usando um editor de texto.

•

Carregue do dados de um arquivo ASCII.

•

Escreva um programa em C ou FORTRAN para converter seus dados no formato dos MAT-files e então use o comando load .

Exportando dados do MATLAB Para exportar dados também existem várias opções, das quais algumas são listadas a seguir:

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•

Para matrizes pequenas use o comando  diary para criar uma arquivo de diário e então liste as variáveis neste arquivo. Você pode, mais tarde, usar um editor de texto para manipular os dados.

•

Salve os dados num formato ASCII usando o comando  save com a opção -ascii. Por exemplo, » A = rand(4,3); » save temp.dat A -ascii

cria um arquivo ASCII chamado temp.dat

•

Salve os dados como MAT-files usando o comando  save e então escreva um programa em C ou FORTRAN para reformatar os dados conforme necessário para a aplicação.

1.1.13 O Depurador do Matlab Embora o MATLAB seja uma linguagem menos complexa que outras linguagens de programação, ele tem sua sintaxe própria e você pode precisar corrigir alguns erros. O MATLAB encontra erros de sintaxe durante a fase de compilação e esses erros, em geral, são simples de corrigir. O MATLAB também encontra erros na fase de execução do programa; esses erros tendem a ser mais mais difíceis de solucionar por causa do workspace local às funções ser perdido quando um erro interrompe a execução. Quando isto ocorre, retornamos ao workspace base do MATLAB. Se você usou ponto-e-vírgula para suprimir os resultados intermediários da tela, não terá como saber onde o erro ocorreu. Para mostrar os resultados intermediários, você pode usar um dos métodos a seguir:

• • •

Remova os ponto-e-vírgula de interesse; Use a declaração keyboard para permitir que o workspace seja examinado no ponto da declaração; Torne a primeira linha da função uma linha de comentário, de tal forma que a função possa ser executada como um script ,

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•

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fazendo com que os resultados intermediários sejam acessíveis no workspace base do MATLAB; Use o depurador do MATLAB.

Comandos de Depuração • • • • • • • • • •

dbstop - coloca um brekpoint  - remove um brekpoint  dbclear dbcont - continua a execução dbdown- troca o contexto do workspace dbstack - lista quem chamou quem - lista todos os brekpoint  dbstatus - executa uma ou mais linhas dbstep dbtype - lista um M-file com número de linhas - troca o contexto do workspace dbup dbquit - sai do modo de depuração

Usando o Depurador Quando você encontra um erro num M-file, use os comandos de depuração para inserir breakpoints para ajuda-lo da depuração do erro. Quando a execução pára num breakpoint  você pode introduzir qualquer comando válido do MATLAB. Lembre-se que os comandos de depuração funcionam com arquivos de funções, não com scripts.

1.2 Toolboxes do Matlab O MATLAB possui um rica coleção de funções imediatamente úteis. Os toolboxes estendem essa capacidade com funções especializadas. A seguir, resume-se as funções disponíveis no toolbox de sistema de controle e enumerase outros toolboxes. É importante perceber que as ferramentas que não são encontradas nos toolboxes podem ser criadas escrevendo-se novos M-files.

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1.2.1 Sistemas de Controle O toolbox de sistema de controle usa ffunções unções de matrizes do MATLAB na construção de funções especializadas para o engenheiro de controle. Esse toolbox é uma coleção de algoritmos expresso, na sua maior parte, por M-files, que implementam projetos comuns de sistemas de controle, análises e técnicas de modelamento. Aqui, sistemas de controle podem ser representados por funções de transferências ou na forma de espaço de estado, permitindo que você use técnicas clássicas e modernas. Trata-se tanto dos sistemas de tempo contínuo como os de tempo discreto. Estão disponíveis funções de conversão entre as várias formas de representação de um modelo. Respostas temporais, respostas em freqüência, lugar das raízes, etc, podem ser calculados e plotados. Outras funções fornecem recurso para a alocação de pólos, controle ótimo e estimação/filtragem.

Construção de Modelos • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

append - concatena sistemas dinâmicos augstate - aumenta estados às saídas blkbuild - obtém equação de estado a partir do diag. em blocos cloop - fecha a malha connect - modelagem via diagrama em blocos conv - convolução de dois polinômios destim - estimar de tempo discreto dreg - estimador/controlador discreto drmodel - cria um modelo discreto randômico estim - estimador de tempo contínuo d ois sistemas numa realimentação feedback - conexão de dois ord2 - cria A, B, C, D de um sistema de segunda ordem pade - aproximação Padé de um atraso parallel - conexão de sistemas em paralelo reg - controlador/estimador contínuo rmodel - cria um modelo contínuo randômico ra ndômico series - conexão série de sistemas ssdelete - apaga, entradas, saídas ou estados de um sistema ssselect - seleciona um subsistema de um sistema maior

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Conversão de Modelos • • • • • • • • • • • • •

c2d - conversão de tempo contínuo para tempo discreto c2dm - conversão de contínuo para discreto com método c2dt - conversão de tempo contínuo para discreto com atraso d2c - conversão de tempo discreto para contínuo co ntínuo com método d2cm - tempo discreto para contínuo poly - conversão de raízes para polinômio residue - expansão em frações parciais ss2tf - espaço de estado para função de transferência ss2zp - espaço de estado para zero-pólo tf2ss - função de transferência para espaço de estado tf2zp - função de transferência para zero-pólo zp2tf - zero-pólo para função de transferência zp2ss - zero-pólo para espaço de estado

Redução de Modelos • • • • •

balreal - realização balanceada dbalreal - realização balanceada discreta dmodred - redução da ordem de modelos discretos minreal - realização mínima e cancelamento de pólos e zeros modred - redução da ordem do modelo

Realização de Modelos • • • •

canon - forma canônica ctrbf - forma controlável obsvf - forma observável ss2ss - aplica transformação de similaridade

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Propriedade de Modelos • • • • • • • • • • • • • • • • •

covar - resposta contínua ao ruído branco ctrb - matriz de controlabilidade damp - fator de amortecimento e freqüência natural dcgain - ganho DC de regime permanente contínuo dcovar - resposta discreta ruído branco ddamp - fator de amortecimento e freqüência natural discreta ddcgain - ganho DC de regime permanente discreto dgram - gramianos discretos controlabilidade/observabilidade dsort - ordena autovalores discretos pela tamanho eig - autovalores e autovetores esort - ordena autovalores contínuos pela parte real gram - gramianos de controlabilidade/observabilidade obsv - matriz de observabilidade printsys - mostra o sistema formatadamente roots - raízes de polinômio tzero - zeros de transmissão tzero2 - zeros trans. usando método randômico de perturbação

Resposta Temporal • • • • • • • • • • •

dimpulse - resposta discreta ao impulso dinitial - resposta discreta às condições iniciais dlsim - simulação discreta a entradas arbitrárias dstep - resposta discreta ao degrau filter - simulação SISO da transformada Z impulse - resposta impulsiva initial - resposta contínua às condições iniciais lsim - simulação contínua a entradas arbitrárias ltitr - função de baixo nível para cálculo de resposta temporal step - resposta ao degrau stepfun - função degrau

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Resposta em Freqüência • • • • • • • • • • • • • •

bode - diagrama de Bode (resposta em freqüência) dbode - diagrama de Bode discreto (resposta em freqüência) dnichols - diagrama de Nichols discreto dnyquist - diagrama de Nyquist discreto dsigma - diagrama em freqüência de valores singulares discretos fbode - diagrama rápido de Bode para sistemas contínuos freqs - resposta em freqüência da transformada de Laplace freqz - resposta em freqüência da transformada Z ltifr - função de baixo nível para resposta em freqüência margin - margem de ganho e fase nichols - diagrama de Nichols ngrid - desenha um grid de linhas no diagrama de Nichols nyquist - diagrama de Nyquist sigma - diagrama em freqüência de valores singulares contínuos

Lugar das Raízes • • • • •

pzmap - mapeamento de pólos e zeros rlocfind - determinação interativa do ganho no lugar das raízes rlocus - lugar das raízes de Evans sgrid - grid para o lugar das raízes contínuo zgrid - grid para o lugar das raízes discreto

Seleção de Ganhos • •

acker - alocação SISO de pólos dlqe - projeto do estimador linear quadrático discreto

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dlqew - estimador linear quadrático discreto generalizado dlqr - projeto do regulador linear quadrático discreto dlqry - regulador discreto com penalização nas saídas lqe - projeto do estimador linear quadrático lqed - estimador discreto a partir do funcional contínuo lqe2 - estimador linear quadrático usando método Schur lqew - estimador linear quadrático contínuo generalizado. lqr - projeto do regulador linear quadrático lqrd - regulador discreto a partir do funcional contínuo lqry - regulador contínuo com penalização nas saídas lqr2 - regulador linear quadrático usando método Schur place - alocação multivariável de pólos

Solução de Equações • • • •

are - solução da equação algébrica de Riccati dlyap - solução da equação discreta de Lyapunov lyap - solução da equação contínua de Lyapunov lyap2 - solução da equação de Lyapunov usando diagonalização

Demonstrativos • ctrldemo - Introdução ao toolbox de sistemas de controle • boildemo - projeto LQG para uma caldeira •  jetdemo - o clássico projeto do jet transport yaw damper . • diskdemo - projeto do controlador digital de um winchester  • kalmdemo - projeto e simulação de um filtro de Kalman

1.2.2 Outros Toolboxes Processamento de Sinais, Otimização, Identificação de Sistemas, Controle Robusto, Análise e Síntese µ , Splines, Redes Neurais, Estatística, Projeto de Controle Não Linear, etc.

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1.3 Simulink Básico O SIMULINK é uma extensão gráfica do MATLAB para a simulação dinâmica de sistemas. Existem duas fases distintas de uso: a definição do modelo e análise do modelo. Para facilitar a definição do modelo, o SIMULINK fornece uma ferramenta gráfica de edição em blocos, onde o modelo é criado e editado tipicamente via mouse. Depois de definir o modelo, você pode analisá-lo diretamente do menu na   janela atual do SIMULINK ou entrando os comandos devidos pela janela de comando do MATLAB. Dentre as ferramentas de análise de modelos temos a simulação propriamente dita, linearização de modelos, etc.

1.3.1 Linhas Gerais Descreve-se brevemente a seguir as ações que são necessárias para iniciar o uso do SIMULINK: 1. Entre com o comando simulink no  prompt  do MATLAB para abrir a biblioteca principal de blocos. 2. Clique no menu File e selecione New. O SIMULINK abre uma  janela em branco como o nome "Untitled". Esse nome pode ser alterado na hora de salvar o arquivo. 3. Abra uma ou mais bibliotecas e arraste os blocos para a janela ativa. 4. Depois de alocar os blocos, desenhe linhas para ligar os blocos, movendo a ponta do seta do mouse enquanto segura o botão esquerdo do mouse apertado. 5. Abra os blocos (dois cliques) e altere seus parâmetros. Os parâmetros podem ser qualquer expressão válida do MATLAB. 6. Salve o arquivo com o Save do menu File.

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7. Execute a simulação selecionando Start no menu Simulation. Durante a simulação o menu Start é alterado para Stop. Se você seleciona-lo, voltará a aparecer Start. 8. Você pode alterar os parâmetros de simulação selecionando  Parameters no menu Simulation. 9. Você pode monitorar o comportamento do seu sistema com um osciloscópio (bloco Scope), ou você pode usar o bloco To Worksspace para enviar os dados para a área de trabalho do MATLAB e manipular os resultados com funções do MATLAB.

1.3.2 Construção de Modelos O SIMULINK permite que você represente um sistema dinâmico por meio de diagramas em bloco.

Construção de um Modelo Elementar Para definir um sistema, os blocos são copiados das bibliotecas de blocos padrões do SIMULINK ou daquelas criadas por você mesmo. A biblioteca padrão é organizada em vários subsistemas que agrupam blocos de acordo com sua função. Para rodar o SIMULINK, primeiro inicialize o MATLAB clicando duas vezes sobre o ícone do Windows e então entre o comando simulink. » simulink

Este comando mostra uma nova janela contendo ícones dos blocos de subsistemas que constituem a biblioteca padrão.

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Estes blocos podem ser abertos (clicando duas vezes), abrindo janelas de onde os blocos serão copiados para a sua janela de trabalho. Abra uma nova   janela vazia selecionando New no menu  File. Para copiar os blocos, clique sobre o bloco desejado e arraste-o para a sua janela enquanto mantém o botão esquerdo do mouse apertado. Inicialmente clique sobre a biblioteca Sources e arraste um gerador de funções para a nova janela (untitled).

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Os blocos arrastados são copiados com os seus parâmetros originais. A maioria dos blocos pode ser aberta mostrando seus parâmetros numa janela independente. Modificando os parâmetros você personaliza o bloco.

Clicando 2 vezes sobre o bloco gerador de sinais abre-se a janela de parâmetros. Selecione a forma de onda da saída como senoidal, sua freqüência e amplitude iguais a 1, arrastando o cursor ou introduzindo o novo valor diretamente no campo numérico. Quando terminar clique sobre o OK. Abra agora a biblioteca Sinks e arraste um bloco de osciloscópio (scope) para dentro da nova janela de sistema.

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Para abrir a janela do osciloscópio, clique duas vezes sobre ele. Posicione a janela num lugar conveniente com o mouse e escolha a faixa horizontal e vertical igual a 10 e 3 respectivamente. Não clique sobre OK , pois fecharia a  janela de observação do osciloscópio.

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Usando mouse conecte a saída do gerador de sinais com a entrada do osciloscópio. Aperte e mantenha o botão esquerdo do mouse arrastando a linha da entrada para a saída ou vice-versa.

Enquanto puxa a linha, você poderá apertar também o botão central do mouse para obter qualquer angulação da reta. Quando você solta o botão esquerdo muito próximo do ponto a ser conectado, ele indica a conexão preenchendo a seta de preto. Caso você solte o botão muito longe do ponto, ele interrompe a linha com uma seta não preenchida e desconectada. A partir daí  você pode ligar esse pedaço de linha ao destino com uma outra linha, não precisando desenhar tudo novamente. Desta forma é possível traçar uma ligação

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com qualquer formato. A cada vez que você solta o botão esquerdo e aperta novamente inicia-se uma nova linha ligada a anterior a partir desse ponto. Se você não gostou do resultado apague a linha selecionando-a com um clique em qualquer ponto da linha e então pressione a tecla DELETE ou use Cut ou Clear no menu Edit. Depois de terminado o modelo você pode disparar a simulação. Para selecionar o método de integração e demais parâmetros clique no menu Simulation e escolha Parameteres.

Selecione o quadrado do parâmetro de máximo passo de integraçao e altere o valor default  para 0.01. Ao final clique sobre OK . Inicie a simulação escolhendo Start no menu Simulation. Os controle do osciloscópio e do gerador de sinais permanecem ativos durante a simulação. Você pode selecionar uma forma de onda diferente e verificar o resultado imediatamente no osciloscópio. Mova os cursores dos osciloscópio para ver o efeito. A simulação termina quando o tempo máximo de simulação é atingido ou quando selecionamos s elecionamos Stop no menu Simulation.

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Você possui agora um modelo que pode ser salvo em disco como um arquivo do MATLAB do tipo M-file. Selecione Save no menu  File e selecione um diretório, um nome para seu modelo e depois clique sobre o OK .

Para encerrar a edição do seu modelo selecione Close no menu File.

Construção de outro Modelo Simples

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Se você salvou o modelo anterior com o nome novo.m, você pode abrir a  janela com o diagrama simplesmente, digitando "novo" na linha de comando do MATLAB. » novo

Os blocos dentro de uma janela do SIMULINk podem ser movidos livremente. Se mais de um bloco de movido simultaneamente, eles mantém sua posição relativa e as linhas de conexão também são movidas. Selecione o gerador de sinais, osciloscópio e a linha de conexão envolvendo-os com o mouse. Para tanto, aperte o botão esquerdo do mouse estando acima e a esquerda ou abaixo e a direita dos objetos, e ai arrastando o mouse até envolver todos os objetos. Os objetos objetos serão então marcados com pequenos quadrados nos vértices dos blocos e na linha de conexão. Arraste os blocos selecionados para o topo da   janela e solte o botão do mouse. Agora copie um bloco Gain do subsistema  Linear .

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Scope Scope

Signal Signal Gen. 1 Gain

Clique duas vezes sobre o bloco Gain para abrir a janela de configuração do bloco e altere o valor do ganho para 2. Para ligar a entrada do bloco Gain à linha de conexão entre o gerador e o osciloscópio, você pode começar o traçado da entrada do bloco de ganho ou por exemplo, da saída do gerador

Signal Signal Gen.

Scope Scope 2 Gain

Scope

Signal Signal Gen. 2 Gain

Signa Signall Gen.

Scope 2 Gain

Para mover o ponto onde dois segmentos de reta se encontram, clique no vértice e arraste o círculo

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Signal Gen.

S co p e 2 Gain

Você também pode mover o segmento de linha, clicando no meio do segmento e arrastando-a enquanto mantém o botão esquerdo do mouse apertado. Adicione agora um osciloscópio na saída do ganho, sendo que para isso não é necessário copia-lo da biblioteca. Copie daquela que já existe no diagrama, segurando o botão direito do mouse enquanto arrasta o bloco para a posição desejada. O bloco copiado tem os mesmos parâmetros do bloco original.

Scope

Signal ignal Gen en.. 2 Gain

Scope1

A seguir, conecte o ganho do segundo osciloscópio, abra os dois e inicie a simulação. Para parar a simulação clique sobre Stop no menu Simulation. Para remover blocos ou linhas, selecione os objetos que deseja remover e aperte a tecla DEL ou escolha Cut ou Clear no menu  Edit. Para selecionar mais de um objeto, mantenha apertada a tecla SHIFT enquanto aperta o botão esquerdo do mouse. No exemplo anterior, selecione o segundo osciloscópio e a linha que liga este bloco ao bloco de ganho e então remova estes objetos. Insira um bloco Mux da biblioteca Connections. Mux Signal Signal Gen.

Mux

Scope

2 Gain

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Abra o bloco Mux e altere o número de entradas para 2 e então feche a caixa de diálogo.

O  Mux tem agora 2 entradas. Conecte o gerador de sinais e o bloco de ganho nas entradas do  Mux e ligue a saída deste ao osciloscópio. Os dois sinais comporão um vetor de dimensão 2 que será visualizado simultaneamente no osciloscópio.

Mux Signal Signal Gen.

Mux

Scope

2 Gain

Agora, copie um bloco To Workspace da biblioteca Sinks e então abra a caixa de diálogo.

Mux Signa Signall Gen. Mux

2 Gain

Scope

yout To Workspace

O bloco To Workspace envia um vetor de qualquer tamanho para o workspace do MATLAB como uma matriz. Essa matriz tem uma linha para cada

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instante de tempo até o limite especificado na caixa de diálogo. Na caixa de diálogo também podemos mudar o nome da variável que conterá o vetor.

Altere o nome da variável para matriz1 e conecte o bloco To Workspace na saída do Mux.

Mux Signal Signal Gen.

Mux

Scope

2

matriz1

Gain

To Workspace Workspace

Inicie a simulação desse modelo e obtenha a figura a seguir. Pare a simulação e salve o modelo. Para verificar se a variável matriz1 foi criada no workspace do MATLAB, use o comando whos na janela de comando do MATLAB: Name Size Elements matriz1 1000 by 2 2000

Bytes Density Complex 16000 Full No

Grand total is 2000 elements using 16000 bytes

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Como a variável matriz1 está disponível, qualquer manipulação poderá ser realizada. A coisa mais simples que podemos fazer é plotar o gráfico da matriz matriz1 usando comando plot(matriz1). Cada uma das linhas contém 1000 pontos que foram capturados durante a simulação. 2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 0

20 0

4 00

60 0

80 0

1000

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1.3.3 Análise dos Modelos Nesta seção discutiremos como usar o SIMULINK numa simulação e num processo de linearização.

Níveis de Uso Existem três formas distintas de usar o SIMULINK. A forma mais interativa, e também a mais fácil, é controlar a simulação de dentro da janela do diagrama em blocos e observar os resultados com osciloscópios. Esta é a forma recomendada quando você simular um novo sistema pela primeira vez, pois será mais fácil para depura-lo. O segunda forma é simulando o sistema através da linha de comando do MATLAB. Esse método não é tão interativo como o primeiro mas proporciona maior flexibilidade. Obtendo os resultados da simulação no workspace do MATLAB, você poderá fazer outras análises e também plotar os resultados usando todos os recursos do MATLAB. A forma mais complexa e flexível de usar o SIMULINK é acessando diretamente a S-function do modelo. Todo modelo SIMULINK é disponível no MATLAB como uma S-function de mesmo nome que o diagrama. O próprio simulador usa essas funções para realizar suas tarefas. Nessas S-functions estão presentes informações como o número de entradas e saídas, a equação de estado que descreve o diagrama, etc.

Simulação Simular um modelo do SIMULINK significa resolver numericamente um conjunto de equações diferenciais ordinárias. Estão disponíveis para isso um conjunto de métodos de integração. Infelizmente, devido à diversidade de comportamentos dinâmicos que os sistemas podem apresentar, não existe um método único capaz de garantir sempre a melhor exatidão e eficiência de simulação. Logo, a escolha do método e dos parâmetros de simulação são cruciais para uma simulação apurada.

Simulação via Menu

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A simulação pode ser iniciada tanto pela linha de comando como pelo menu Simulation. Selecione Start nesse menu depois de colocar o valor de cada parâmetro ou o nome da variável MATLAB correspondente.

A linha Return Variables pode ser usada para colocar o tempo, vetor de estado e vetor de saída no workspace do MATLAB. Se este campo for deixado em branco nenhuma variável será enviada ao workspace.

Simulação a partir da Linha de Comando O exemplo a seguir realiza a mesma simulação anterior. » [t,x,y] = euler('novo',[T_inicial, T_final],... » x0, [Tolerancia, Passo_Minimo_Integracao,... » Passo_Maximo_Integracao]);

As condições iniciais, as quais não podem ser definidas no menu de simulação, são definidas no vetor  x0. O valor numérico de  x0 sobrepõe as condições iniciais impostas aos blocos, a menos que  x0 seja uma matriz vazia "[]".

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A simulação a partir da linha de comando tem as seguintes vantagens quando comparada com a simulação via menu:

• • • • •

Condições iniciais dos blocos podem ser sobrepostas; Não especificando argumentos de saída na linha de comando, o gráfico das saídas as trajetórias de estado (quando não houver saídas), é automaticamente plotado; Entradas externas podem ser especificadas usando variáveis extras na linha de comando; A simulação pode ser incorporada a um M-file maior como uma linha do programa, permitindo por exemplo a alteração de parâmetros dos blocos; Para modelos pequenos, a simulação é um pouco mais rápida;

Todos os algoritmos de integração têm a mesma sintaxe de chamada, de tal forma que métodos diferentes podem ser selecionados simplesmente trocando o nome da função: [t,x,y] = euler('nome_modelo', tfinal); [t,x,y] = rk23('nome_modelo', tfinal); [t,x,y] = rk45('nome_modelo', tfinal); [t,x,y] = linsim('nome_modelo', tfinal); [t,x,y] = adams('nome_modelo', tfinal); [t,x,y] = gear('nome_modelo', tfinal);

Para obter informações detalhadas sobre os argumentos de entrada digite, por exemplo: type rk45.m

Plotando as Variáveis de Saída Os gráficos das variáveis de saída do SIMULINK podem ser obtidos de uma das três formas:

• • •

Blocos Scope (osciloscópio) Variáveis de retorno e comandos gráficos do MATLAB Blocos To Workspace e comando gráficos do MATLAB

Usando o bloco Scope:

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1 s +1

Step Fcn

Transfer ransfer Fcn

Scope

Usando variáveis de retorno, você pode usar os comandos gráficos do MATLAB. A saída, neste exemplo, é obtida por um bloco do tipo output  aqui denominado saida. A integração pode ser iniciada pela linha de comando do MATLAB como segue: 1 s +1

Step St ep Fcn

Transfer ransfer Fcn

1 Saida

» [t,x,y] = linsim('novo1', 2); » plot(t,y)

Usando o bloco To Workspace: Como o passo de integração durante a simulação pode ser variável, é necessário enviarmos também a base temporal para o workspace quando usamos o bloco To Workspace.

Step St ep Fcn

1 s +1 Transfer ransfer Fcn

saida To Workspace orkspace

tempo Clock

To Workspace1 orkspace1

» plot(tempo,saida)

Condições Iniciais As condições iniciais, as quais são impostas no instante inicial de simulação, são geralmente colocadas dentro dos blocos. Essas condições iniciais

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que colocamos como parâmetros de um dado bloco pode ser sobreposta usando um argumento extra na chamada da simulação: » [t,x,y] = linsim('modelo',tfinal,x0);

Quando o vetor  x0 é uma matriz vazia " []" ou não é especificada, a condição definida no bloco é usada. Caso contrário, os valores definidos em  x0 serão os usados. Para determinar quais condições iniciais foram definidas nos blocos do modelo digite, » [sizes,x0] = modelo

onde "modelo" é o nome do modelo. O nome do bloco associado a cada uma das variáveis de estado é obtido com um terceiro argumento de saída: » [sizes,x0,nome_bloco] [sizes,x0,nome_bloco] = modelo

Loops Algébricos algébricos, ou implícitos, ocorrem quando blocos que possuem ligação direta (ganho) da entrada para a saída, formam uma malha fechada. Quando isso ocorre, o SIMULINK precisa fazer iterações à cada passo da simulação para determinar se existe uma solução para o problema.  Loops algébricos reduzem consideravelmente a velocidade de simulação e podem ser insolúveis. Portanto, evite-os sempre que possível. Alguns blocos com ligação direta da entrada para saída são:  Loops

• • • • •

Blocos de ganho; A maioria dos blocos não lineares; Função-de-transferência quando numerador e denominador são da mesma ordem; Blocos Zero-Pólo-Ganho quando existem tantos zeros quanto pólos; Blocos Espaço-de-Estado quando a matriz D é não nula;

O sistema abaixo é um exemplo de loop algébrico:

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1 Inport

+ + Sum

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s +2 s +1 Transfer Transfer Fcn Fcn

1 Outport

1 Gain

Interpolação de Dados As funções de integração do SIMULINK são de passo variável. Isso significa que a integração pode resultar em intervalos não igualmente espaçados no tempo, tornando difícil a comparação de diferentes simulações. Nestas situações recomenda-se o uso de funções de interpolação. O exemplo a seguir mostra como gerar um gráfico com uma resolução temporal maior. » » » »

[t,x,y] = rk45('modelo',10,[],[tol mstep Mstep]); tfino = 0:mstep/100:10; yfino = spline(t,y,tfino); plot(tfino,yfino,t,y)

Escolha do Algoritmo de Simulação O desempenho da simulação em termos de velocidade e exatidão, é função do modelo e das condições. A seguir dá-se algumas sugestões para a seleção do método.

linsim É usado para modelos lineares. Modelos lineares são aqueles compostos por blocos lineares tais como: funções de transferência, ganhos, somadores, espaço de estado, etc. Se o sistema é quase que totalmente composto por blocos lineares e poucos blocos não lineares, então linsim ainda funciona bem. Esse algoritmo é particularmente recomendado quando os blocos lineares têm dinâmicas muito distintas (problemas mal condicionados " stiff "). ").

rk45, rk23

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Os métodos de Runge-Kutta de terceira e quinta ordem, em geral, têm desempenho superior aos outros métodos quando o sistema é altamente não linear e/ou possui descontinuidades. Este método não funciona bem para problemas stiffs, sendo que nestes casos recomenda-se o linsim e gear.

gear Use este método quando o sistema não apresentar descontinuidades e for não linear. Ele funciona comparativamente muito bem para problemas stiff  e é menos eficiente que os demais quando o problema não é stiff .

adams Use este método quando o sistema não apresentar descontinuidades e for não linear e não for stiff .

euler Use este método apenas para fins didáticos.

Controle do Passo de Integração O parâmetro tol, usado na integração, especifica o valor aceitável do erro relativo em cada passo da simulação. [t,x,y] = linsim('modelo',tf,x0,[tol,mpasso,Mpasso]);

Como regra geral, este parâmetros está entre 0.1 e 1e-6. Quanto menor o valor de tol, mais passos serão necessários na simulação.

Sistemas de Tempo Discreto O SIMULINK possui a habilidade de simular sistemas discretos (dados amostrados). Os modelos podem ter múltiplas taxas de amostragem e conter tanto blocos discretos como contínuos. Todos os blocos discretos encontrados nas bibliotecas possuem embutido um amostrador nas entradas e seguradores de ordem zero nas saídas. O período de amostragem é introduzido na caixa de diálogo dos blocos. Normalmente o período de amostragem é definido por um escalar; contudo, é

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possível definir um offset  ao período, usando um vetor de 2 elementos no mesmo campo.

O vetor [Ts, offset] define o período de amostragem Ts e o valor do offset , significando que o bloco só é atualizado nos instantes múltiplos inteiros do período de amostragem mais o offset : t = n*Ts + offset

onde n é um inteiro e o offset  pode ser tanto positivo como negativo. O offset  é especialmente útil quando desejamos que certos blocos sejam atualizados antes ou depois que outros. Nos Sistemas puramente discretos, para obtermos a informação somente nos períodos de amostragem, basta selecionar o passo de integração mínimo maior que o passo de integração máximo.

Linearização O SIMULINK oferece as funções linmod  e  dlinmod  para extrair modelos lineares do diagrama, na forma de espaço de estado, x= Ax+ Bu

y= Cx+ Du

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onde  x, u e  y são vetor de estado, vetor de entrada e vetor de saída, respectivamente. Crie o modelo a seguir e chame-o de modelo. 2 y(2) 1

1

+ -

Inport

2

s +2s+ 2s+1

1 y(1)

Planta 1 s +1 Realimentacao

Para extrair o modelo linear associado a esse diagrama entre com o comando: » [A,B,C,D] = linmod('modelo') A= -1 -1 0

0 -2 1

1 -1 0

0 0

1 0

B= 0 1 0 C= 0 -1 D= 0 1

As entradas e saídas do modelo devem ser definidas usando blocos Input e Output  da biblioteca Connections. Note que geradores de sinais e osciloscópios não funcionam como blocos desse tipo. Blocos  Input  podem ser usados junto com geradores de sinais usando blocos somadores. Uma vez que o dado está na forma de espaço de estado, as funções do Control System Toolbox podem ser utilizadas para outras análises, tais como:

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•

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conversão para a forma de função de transferência [num,den] = ss2tf(A,B,C,D)

•

diagramas de Bode bode(A,B,C,D)

•

resposta temporal linearizada step(A,B,C,D) impulse(A,B,C,D) lsim(A,B,C,D,u,t)

Quando o modelo é não linear, um ponto de operação deve ser escolhido para o qual o modelo linearizado será obtido. O modelo não linear também é sensível ao tamanho da perturbação utilizada para extrair o modelo. Argumentos extras permitem escolher o ponto de operação e as perturbações: [A,B,C,D] = linmod('modelo',x,u,xpert,upert)

Para sistemas de tempo discreto ou sistemas mistos, use a função  dlinmod para a linearização. Utilize o help para saber mais sobre essa função.

Determinação do Estado Estacionário A função trim do SIMULINK permite determinar os pontos de equilíbrio do estado estacionário. Considere, por exemplo, o modelo chamado modelo:

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2 y(2) 1

+ -

Inport

1 2

s +2s+ 2s+1

1 y(1)

Planta 1 s +1 Realimentacao

Determine os valores da entrada e dos estados que fazem as duas saídas serem iguais à 1. Primeiro, forneça uma estimativa inicial para as variáveis e para a entrada: » x = [0; 0; 0]; » u = 0;

Em seguida, imponha os valores desejados para as saídas: » y = [1; 1];

Use os índices das variáveis para indicar quais delas podem variar livremente e quais devem ficar inalteradas: % permita a variacao dos estados » ix = []; » iu = []; % permita a variacao da entrada » iy = [1;2]; % fixe tanto a saida 1 como a 2

Chame a função trim: » [x,u,y,dx] = trim('modelo',x,u,y,ix,iu,iy) x= 1.0000 0.0000 1.0000 u= 2

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y= 1.0000 1.0000 dx = 1.0e-015 * -0.3331 -0.2244 0.0567

1.3.4 Como o Simulink Funciona No SIMULINK. o diagrama em blocos é convertido numa estrutura mais apropriada à simulação. Primeiro, cada um dos parâmetros dos blocos é calculado pelo MATLAB, trocando variáveis pelo valor numérico. Em seguida, os blocos são ordenados, desfeitos os agrupamentos de blocos e os loops algébricos são detectados. Finalmente, ele confere as ligações entre os blocos. Terminada a conversão de estrutura, a simulação está pronta para ser iniciada. O sistema é então simulado via integração numérica e o modelo é tratado como uma função do tipo S-function que fornece as derivadas de todos os estados a cada passo. Sabendo o valor das derivadas num instante, a integração determina qual o novo vetor de estado e assim por diante.

1.3.5 S-Functions Quando você cria um modelo no SIMULINK, uma nova função do tipo S-function, com o mesmo nome do diagrama, fica disponível no MATLAB. Essa função define as dinâmicas do modelo e se comporta operacionalmente como qualquer outra função MATLAB. É essa função que será usada pelo método de integração para simular o modelo. Sua sintaxe de chamada é, » sys = modelo(t,x,u,flag)

onde modelo é o nome do modelo e flag é quem define qual informação vai ser colocada de volta em sys. Por exemplo, se flag é colocado em 1, o conteúdo de sys após a chamada da função será o vetor de estado no instante t. Note portanto que você pode criar seu modelo diretamente escrevendo uma S-function sem ter que desenhar o diagrama em blocos. Essa forma é aconselhada nos casos que seu modelo pode ser escrito de forma concisa como um conjunto de equações diferenciais.

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Tal como qualquer outra função, as S-function podem ser encadeadas, fazendo com que uma S-function chame outras. Um outro mecanismo interessante é o mascaramento de blocos que permite que você defina uma janela particular de diálogo com o usuário, seu ícone, e os comandos de inicialização. Você pode então mascarar uma S function e tornar um modelo inteiro, disponível como um bloco.

Argumentos das S-function As possíveis opções numéricas da variável flag e o conteúdo retornado no argumento de saída são:

• • • • •

flag = 0 flag = 1 flag = 2 flag = 3 flag = 4

- tamanho dos parâmetros e condições iniciais - derivadas dos estados de tempo contínuo - estados de tempo discreto - vetor de saída - próximo t para atualização de tempo discreto

Para entender melhor as S-functions, coloque-se na posição do SIMULINK. Cada um dos valores possíveis do flag corresponde a algo que você vai precisar em instantes distintos da simulação. Por exemplo, no início da simulação você precisa saber quantas variáveis serão simuladas, quantas delas são de tempo contínuo, quantas são discretas e as condições iniciais associadas com essas variáveis. Para ter a resposta a essas perguntas, chame a S-function com flag = 0: » [sizes,x0] = modelo([],[],[],0);

onde x0 contém as condições iniciais de cada estado e informações:

• • • • • •

sizes(1) sizes(2) sizes(3) sizes(4) sizes(5) sizes(6)

sizes

as seguintes

- número de estados contínuos - número de estados discretos - número de saídas - número de entradas - número de raízes descontínuas - usado para encontrar loops algébricos

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Nas outras etapas da simulação você chamará novamente a S-function com outros valores em flag para obter outras informações.

Exemplo de uma S-function Considere a equação diferencial de segunda ordem conhecida como equação de Van der Pol. x  + ( x2

− 1) x + x = 0

Esta equação pode ser escrita como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

= x1 (1 −  x 2 = x1 x1

2

x2 ) − x2

Como neste caso, muitas vezes é mais interessante transcrever o sistema de equações como uma S-function ao invés de criar o diagrama de blocos associado. X2 1 f(u)

*

+

X1' 1/s

1/s Scope

(1-x2*x2) X1

A  M-file que realiza a S-function com as equações de Van der Pol resulta:

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function [sys, x0] = vdpm(t,x,u,flag) % equacao de Vanderpol como uma M-file. if abs(flag) == 1, % Retorna as derivadas sys(1) = x(1) .* (1 - x(2).^2) - x(2); sys(2) = x(1); elseif flag == 0, % Retorna as condicoes iniciais sys = [2;0;0;0;0;0]; x0 = [0.25; 0.25]; else sys = []; end

Esta função pode ser chamada com diversos valores de flag para retornar a informação necessária. Os algoritmos de integração tal como o  rk45, lidam convenientemente com o  flag durante a simulação. Note portanto, que seria muito fácil você desenvolver seu próprio algoritmo de integração. » [t,x] = rk45('vdpm',10); » plot(t,x) Van der Pol 3

2

1

0

-1

-2

-3

0

2

4

6

8

10

Tempo (seg) (seg)

Você pode preferir construir o diagrama em blocos que realiza as equações. Contudo, quando você salvar o diagrama um arquivo será criado com o mesmo nome da diagrama e com um conteúdo muito parecido com o do vdpm. A grande diferença é que o SIMULINK também salva todos os desenhos para reconstruir o diagrama.

Convertendo uma S-function em Bloco

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Um recurso bastante poderoso é converter a S-function criada num bloco. Ou seja, você optou por escrever diretamente a S-function que realiza as equações, mas está interessado que sejam usadas dentro do ambiente do SIMULINK. Para converter a S-function vdpm.m num bloco, simplesmente coloque seu nome dentro de um bloco do tipo S-function, que é encontrado na biblioteca  Nonlinear .

Os campo Function parameters, permite que parâmetros adicionais sejam passados a cada iteração.

1.3.6 Mascarando Blocos A função Masking permite que você altere a característica de um bloco. É possível marcar qualquer bloco, incluindo subsistemas e blocos S-function. O exemplo a seguir mostra como converter um bloco  Zero-Pole em um bloco de filtro  Butterworth que mostra sua resposta impulsiva no próprio ícone. Inicie com um bloco Zero-Pole:

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(s-1) s(s+1) Zero-Pole

As variáveis z, p e k são respectivamente os zeros, pólos e o ganho. Selecione o bloco com um clique único do mouse e altere o nome o bloco marcando o nome dele e digitando filtro PB. Selecione então  Mask  no menu Options. O caixa de diálogo a seguir é então mostrada:

Os campos da caixa de diálogo são descritos a seguir:

Block Type filtro LP

Este nome define o tipo do bloco mascarado.

Dialog Strings

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Butterworth passa baixas | Freqüência de corte (rad/s) | Ordem Esta string define a nova caixa de diálogo que aparecerá quando o bloco for clicado duas vezes. Separe os dados com o símbolo "|". O primeiro dos dados é o título da caixa de diálogo. Os demais são os nomes dos campos que apareceram na nova caixa de diálogo. O número máximo de campos é seis. Ao invés de abrir a caixa de diálogo quando você clica sobre o novo bloco, você pode fazer com que um comando do MATLAB seja executado. Isso é possível usando a função eval . Por exemplo, entrando com eval('plot(1:10')

no campo  Dialog Strings , uma linha é plotada na janela gráfica do MATLAB toda vez que o bloco é clicado duas vezes.

Initialization Commands [z,p,k] = buttap(@2); z = @1*z; p = @1*p; [a,b,c,d] = zp2ss(z,p,k); t = [0:0.2:3*@2]/@1; [y,x] = impulse(a,b,c,d,1,t);

Os comandos de inicialização definem as funções que serão executadas pelo bloco durante a simulação. Os valores das expressões MATLAB colocadas como parâmetros na caixa de diálogo do novo bloco, podem ser acessados com @1, @2, etc. Neste exemplo, o valor da freqüência de corte é obtida com @1 e o parâmetro associado à ordem do filtro é obtido com @2. Qualquer expressão MATLAB pode ser usada. As variáveis são locais e elas não se sobrepõem às do workspace do MATLAB.

Drawing Commands plot(t,y,[0;max(t),[0;0])

Os três comandos a seguir são reconhecidos no processo de mascaramento:

•

desenha o numerador e denominador da função de transferência. dpoly(num,den)

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• •

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desenha a função de transferência no formato ZeroPólo-Ganho. plot(x,y,x1,y1) plota o gráfico no bloco. droots(z,p,k)

O comando  plot  é similar ao  plot do MATLAB, exceto que a opção tipo de linhas não é disponível. Qualquer outra informação colocada neste campo aparece desenhada no interior do bloco.

Help String Este bloco realiza um filtro Butterworth passa baixas

Esta mensagem é mostrada quando você clica no botão  Help na caixa de diálogo criada.

1.3.7 Adicionando um novo bloco Nesta seção mostra um exemplo completo da criação de um novo bloco usando uma S-function e mascarando-a. Imagine que você deseja criar um integrador com limite superior e inferior. Este modelo pode ser descrito facilmente por uma equação diferencial lb e u < 0) ou ( x  x ≥  ub e u > 0), então de primeira ordem. Por exemplo, se ( x ≤  lb

dx = 0 dt  Caso contrário,

dx u = dt 

⇒

∫ 

x = u dt  

onde  x é o estado, u é a entrada do integrador e lb e ub são respectivamente o limite inferior e superior. Existem três etapas na definição de um novo bloco do tipo S-function: 1. Crie uma S-function através de um diagrama no SIMULINK ou escrevendo diretamente o arquivo da função.

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2. Converta a S-function num bloco S-function. 3. Mascare o bloco S-function criando seu ícone personalizado, sua caixa de diálogo e os comandos de inicialização.

Passo 1: Crie a S-function Uma das várias formas de entrar com a equação diferencial e as condições que descrevem o integrador com limitação é usando o bloco de propósito geral chamado Fcn:

1 Inport

Mux

f(u)

1 s

Mux

Fcn

Integrador

1 Outport

O bloco Fcn contem a expressão relacional a seguir: u[2]*((((u[1]>lb)+(u[2]>=0))>0)*(((u[1], >=,