Mathematik-Abitur-Formelsammlung

Mathematik-Formelsammlung OStR Dipl.-Vw. Dipl.-Hdl. Kai Nissen; Jens Liebenau 6. Dezember 2011

Teil I. Grundlagen 1. Geometrie 1.1. Deltoid (Drachen[viereck]) e·f 2

(1)

A=g·h

(2)

A=

1.2. Parallelogramm

1.3. Trapez A=m·h=

a+c · h; akc 2

(3)

1.4. Kreis A = π · r2 u = 2πr

(4) (5)

V =G·h O =2·G+M

(6) (7)

1.5. Prisma

1

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2. Trigonometrie

1.6. Zylinder V = π · r2 · h M =2·π·r·h O = 2 · π · r · (r + h)

(8) (9) (10)

1.7. Pyramide 1 ·G·h 3 O =G+M

V =

(11) (12)

1.8. Kegel 1 · π · r2 · h 3 M =π·r·s O = π · r · (r + s) V =

(13) (14) (15)

1.9. Kugel 4 · π · r3 3 O = 4 · π · r2

(17)

m=V ·% =V ·ρ

(18) (19)

g·h 2

(20)

V =

(16)

1.10. Masse eines Körpers

2. Trigonometrie 2.1. Dreieck 2.1.1. Allgemein A= 2.1.2. Rechtwinklig 2.1.2.1. Pythagoras a2 + b 2 = c 2

2

(21)

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3. Logarithmenrechnung

2.1.2.2. Kathetensatz a2 = c · p b2 = c · q

(22) (23)

2.2. Winkelfunktionen G H A cos(α) = H G tan(α) = A sin(α) =

(24) (25) (26)

2.3. Sinussatz α β γ = = sin(α) sin(β) sin(γ)

(27)

a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(α)

(28)

2.4. Kosinussatz

2.5. Flächenformel A=

1 · a · b · sin(γ) 2

(29)

Teil II. Arithmetik (Zahlentheorie) 3. Logarithmenrechnung 3.1. Schreibweise ax = n → x = loga (n) x =: Logarithmus; a =: Basis; n =: Numerus

(30) (31)

3.2. Logarithmengesetze loga (x · y) = loga (x) + loga (y)   x loga = loga (x) − loga (y) y loga (xy ) = y · loga (x)

3

(32) (33) (34)

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4. Ganz-rationale Funktionen

3.3. Spezielle Logarithmen 3.3.1. Dekadischer Logarithmus log10 (a) = lg(a)

(35)

log2 (a) = lb(a)

(36)

loge (a) = ln(a)

(37)

3.3.2. Binärlogarithmus

3.3.3. Natürlicher Logarithmus

3.4. Rechengesetze a1 = a → loga (a) = 1 a0 = 1 → loga (1) = 0

(38) (39)

aloga (b) = b loga (ax ) = x

(40) (41)

an = bx → x = n · logb (a) → x = n ·

lg(a) lg(b)

(42)

Teil III. Analysis 4. Ganz-rationale Funktionen 4.1. Lineare Funktionen 4.1.1. Funktionsdarstellungen 4.1.1.1. Normalform f (x) = y(x) = m · x + b

(43)

f (x) = m · (x − x0 )

(44)

4.1.1.2. Produktform

4.1.2. Funktionsbestimmungen 4.1.2.1. 2-Punkte-Form f (x) =

f (x2 ) − f (x1 ) · (x − x1 ) + f (x1 ) x2 − x1 | {z } m

4

(45)

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4. Ganz-rationale Funktionen

4.1.2.2. Punkt-Richtungs-Form f (x) = m · (x − x1 ) + f (x1 )

(46)

4.1.3. Steigungsmaß/Sekantensteigung

m = mS =

f (x2 ) − f (x1 ) f (∆x) = = tan(α) x2 − x 1 ∆x

(47)

4.1.4. Schnittpunkt f1 (xS ) = f2 (xS ) → S (xS |f (xS ))

(48)

f1 kf2 → m1 = m2

(49)

f1 ⊥f2 → m1 · m2 = −1

(50)

4.1.5. Eigenschaften 4.1.5.1. Parallelität

4.1.5.2. Orthogonalität

4.1.5.3. Proportionalität f (x) = m · x → m =

f (∆x) f (x) = x ∆x

(51)

4.2. Quadratische Funktionen f (x) = a · x2 + b · x + c 2

= a · (x − xS ) + f (xS ) = a · (x − x1 ) · (x − x2 ) r  p p 2 x2 + p · x + q = 0 → x1;2 = − ± −q 2 2

(52) (53) (54) (55)

4.3. Ganz-rationale Funktionen n-ter Ordnung 4.3.1. Normalform f (x) = an · xn + an−1 · xn−1 + . . . + a1 · x + a0 ; n ∈ N

(56)

4.3.2. Produktform (Nullstellen-Satz) f (x) = an · (x − x1 ) · (x − x2 ) · . . . · (x − xn n) ; n ∈ N

5

(57)

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5. Infinitesimalrechnung

4.3.3. Sattelpunkt-Form (für n = 3) f (x) = a · (x − xS )3 + f (xS ) → S (xS |f (xS ))

(58)

4.3.4. Biquadratische Form f (x) = a · x4 + b · x2 + c → z-Transformation: z = x2

(59)

4.4. Gebrochen-rationale Funktionen (Hyperbeln) f (x) =

g(x) ; x 6= 0 x

(60)

5. Infinitesimalrechnung 5.1. Differenzialrechnung 5.1.1. Sekantensteigung Durchschnittlichen/Mittlere (absolute) Änderungsrate:

mS =

f (x1 ) − f (x0 ) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = x1 − x 0 (x0 + ∆x) − x0

(61)

5.1.2. Tangentensteigung Momentane (absolute) Änderungsrate:

mT (x0 ) = lim

x1 →x0

f (x1 ) − f (x0 ) x1 − x0

(62)

5.1.3. Winkelberechnung tan(α) = mT

(63)

f (x) = a · xn → f 0 (x) = a · n · xn−1 ; a 6= 0, n ∈ R

(64)

5.1.4. Konstantenregel

5.1.5. Summenregel f (x) = u(x) ± v(x) → f 0 (x) = u0 (x) ± v 0 (x)

6

(65)

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5. Infinitesimalrechnung

5.1.6. Produktregel f (x) = u(x) · v(x) → f 0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)

(66)

5.1.7. Quotientenregel u(x) u0 (x) · v(x) − u(x) · v 0 (x) f (x) = = v(x) [v(x)]2

(67)

5.1.8. Kettenregel f [z(x)] → f 0 (x) =

df df · → f 0 (x) = f 0 (z) · z 0 (x) dz dx

(68)

5.1.9. Wurzelfunktion f (x) =

p g(x) → f 0 (x) =

g 0 (x) p 2 · g(x)

(69)

5.1.10. Tangentialbedingung (Stetigkeit und Differenzierbarkeit) f1 (x) = f2 (x) ∧ f10 (x) = f20 (x)

(70)

5.1.11. Kritische Punkte einer Funktion f (x) 5.1.11.1. Ordinatenschnittpunkt x=0

(71)

f (x) = 0

(72)

5.1.11.2. Abszissenschnittpunkte

5.1.11.3. Extrema/Extrempunkte: Maxima/Hochpunkte und Minima/Tiefpunkte ( 0→T 5.1.11.4. Wendepunkte f 00 (x) = 0 ∧ f 0 (x) 6= 0

(74)

f 00 (x) = 0 ∧ f 0 (x) = 0

(75)

5.1.11.5. Sattelpunkte

7

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5. Infinitesimalrechnung

5.1.12. Grenzwerte 5.1.12.1. Polstellen lim f (x) = ±∞; f (x) =

x→xW

u(x) ; v (xP ) = 0; u (xP ) 6= 0 v(x)

(76)

5.1.12.2. Asymptote gAs = lim f (x)

(77)

x→∞

5.1.12.3. Grenzwertsatz (Regel von L’Hospital) lim f (x) = lim

x→x0

x→x0

u(x) u0 (x) u00 (x) = lim 0 = lim 00 v(x) x→x0 v (x) x→x0 v (x)

(78)

5.1.13. Grafen-Eigenschaften 5.1.13.1. Monotonie steigend: f 0 (x) > 0; fallend: f 0 (x) < 0

(79)

konvex: f 00 (x) > 0; konkav: f 00 (x) < 0

(80)

5.1.13.2. Krümmung

5.2. Integralrechnung 5.2.1. Stammfunktion Z F (x) =

f (x) · dx ⇒ F 0 (x) = f (x)

(81)

5.2.2. Unbestimmtes Integral Z I(x) =

f (x) · dx + C

(82)

5.2.3. Integralfunktion Bestand(sveränderung): Bestand

z

Z

Ia (x) =

x

}|

{

f (x) ·dx = F (b) − F (a)

a |{z} Bestandsveränderung

8

(83)

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6. Exponentialfunktionen

5.2.4. Hauptsatz Zb f (x) · dx = F (b) − F (a)

I=

(84)

a

5.2.5. Mittelwertsatz Mittlerer Bestand:

1 · mf = b−a

Zb f (x) · dx

(85)

a

5.2.6. Linearität Zb

Za f (x) · dx = −

a

f (x) · dx

(86)

b

5.2.7. Grundintegral Z

a · xn dx = a ·

1 · xn+1 + C n+1

(87)

5.2.8. Besondere Integrale Z Z

a · x−1 · dx = a · ln(x) + C

(88)

f 0 (x) · dx = ln (f (x)) + C f (x)

(89)

6. Exponentialfunktionen 6.1. Grundtyp f (x) = a · q x ⇔ f (x) = a · eln(q)·x

(90)

6.2. Exponentielles Wachstum b = fˆ(x) := momentane Wachstumsrate/momentane relative Änderungsrate

f (x) = a · eb·x → b = fˆ(x) =

9

f 0 (x) f (x)

(91)

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7. Trigonometrische Funktionen

6.3. Beschränktes Wachstum f (x) = a − b · ec·x

(92)

f (x) = a · eg(x) → f 0 (x) = g 0 (x) · a · eg(x)

(93)

6.4. Ableitung

6.5. Linear verkettete und verknüpfte Funktion f (x) = (a0 + a1 · x) · eb0 +b1 ·x

(94)

6.6. Stammfunktion Z

a · eb·x+c · x = a ·

1 b·x+c ·e +C b

(95)

7. Trigonometrische Funktionen 7.1. Sinusfunktion 7.1.1. Grundtyp f (x) = sin(x)

(96)

f 0 (x) = cos(x)

(97)

f 00 (x) = − sin(x)

(98)

F (x) = − cos(x) + C

(99)

sin(x) = sin(π − x)

(100)

p=l =2·π

(101)

7.1.2. 1. Ableitung

7.1.3. 2. Ableitung

7.1.4. Stammfunktion

7.1.5. Einheitskreis

7.1.6. Periodenlänge

10

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7. Trigonometrische Funktionen

7.1.7. Allgemeine Sinusfunktion f (x) = a · sin(b · x + c) + d

(102)

f 0 (x) = a · b · cos(b · x + c)

(103)

f 00 (x) = −a · b2 · sin(b · x + c)

(104)

a F (x) = − · cos(b · x + c) + d · x + C b

(105)

7.1.8. 1. Ableitung

7.1.9. 2. Ableitung

7.1.10. Stammfunktion

7.1.11. Periodenlänge p(b) = l(b) =

2·π b

(106)

Streckung Verschiebung x-Richtung b c y-Richtung a d

7.2. Kosinusfunktion 7.2.1. Grundtyp f (x) = cos(x)

(107)

f 0 (x) = − sin(x)

(108)

f 00 (x) = − cos(x)

(109)

F (x) = sin(x) + C

(110)

7.2.2. 1. Ableitung

7.2.3. 2. Ableitung

7.2.4. Stammfunktion

11

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7. Trigonometrische Funktionen

7.2.5. Einheitskreis cos(x) = cos(2 · π − x)

(111)

p=l =2·π

(112)

f (x) = a · cos(b · x + c) + d

(113)

f 0 (x) = −a · b · sin(b · x + c)

(114)

f 00 (x) = −a · b2 · cos(b · x + c)

(115)

7.2.6. Periodenlänge

7.2.7. Allgemeine Kosinusfunktion

7.2.8. 1. Ableitung

7.2.9. 2. Ableitung

7.2.10. Stammfunktion F (x) =

a · sin(b · x + c) + d · x + C b

(116)

7.2.11. Periodenlänge p(b) = l(b) =

x-Richtung y-Richtung

2·π b

Streckung Verschiebung b c a d

12

(117)

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8. Vektorrechnung

Teil IV. Lineare Algebra 8. Vektorrechnung 8.1. Spaltenvektor

a = ~a = a1 a2 · · ·

  a1 
T  a2   an =  ..  ∈ Rn . an

(118)

8.2. Zeilenvektor  T b1  b2    b = ~b =  ..  = b1 b2 · · · . bn


bn ∈ Rn

(119)

8.3. Einheitsvektor
e= 0 1 0 0

(120)

      a1 b1 a1 + b 1  a2   b 2   a2 + b 2         ..  +  ..  =  ..  . .  .  an bn an + b n

(121)

8.4. Vektor-Addition

8.5. Skalar-Multiplikation     a1 λ · a1  a2   λ · a2      λ ·  ..  =  ..  .  .  λ · an an

13

(122)

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8. Vektorrechnung

8.6. Skalar-Produkt Punkt-Produkt/Skalares/Inneres Produkt:

a · b = ha, bi = a1 a2 · · ·

  b1 n 
 b2   X an ·  ..  = ai · b i  .  i=1 bn

(123)

= a1 · b 1 + a2 · b 2 + · · · + an · b n = λ

8.7. Vektor-Produkt Kreuz-Produkt/Vektorielles/Äußeres Produkt: a2 b 2       . a3 b 3 a1 b1 a2 · b 3 − a3 · b 2 a1 b 1 a × b = a2  × b2  = a3 · b1 − a1 · b3  ←− a b 3 3 a3 b3 a1 · b 2 − a2 · b 1 a b - 1 1 a2 b 2

(124)

8.8. Norm p-Normen:

kakp :=

n X

! p1 |xi |p

v u n uX p =t |xi |p

(125)

i=1

i=1

(Euklidische) Norm/Länge/(Euklidischer) Betrag: v u n p uX kak2 := ha, ai = t |xi |2

(126)

i=1

8.9. Winkel   cos ^ ~a, ~b = cos(α) =

~a · ~b



k~ak · ~b

(127)

8.10. Kosinussatz   ~c 2 = ~a 2 + ~b 2 − 2 · ~a · ~b · cos ^ ~a, ~b = ~a 2 + ~b 2 − 2 · ~a · ~b · cos(α)

14

(128)

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9. Matrizenrechnung

8.11. Linearkombination n X

λi · a(i)

(129)

= λ1 · a(1) + λ2 · a(2)

(130)

a=

i=1

9. Matrizenrechnung 9.1. Matrizen-Definition/-Notation 

Am×n = (ai,j ) = (A)i,j

a1,1  a2,1  =  ..  .

a1,2 a2,2 .. .

··· ··· ...

am,1 am,2 · · ·

  a1,n a1,1  a2,1 a2,n    ..  =  .. .   . am,n

a1,2 a2,2 .. .

··· ··· .. .

am,1 am,2 · · ·

 a1,n a2,n   ..  . 

(131)

am,n

9.2. Quadratische Matrix  a1,1 a1,2 · · · a1 m  a2,1 a2,2 · · · a2,n    =  .. .. ..  . .  . . . .  an,1 an,2 · · · an,n 

An×n

(132)

9.3. Skalar λ = A1×1

(133)

9.4. Diagonalen 

 a1,1 a1,2 · · · a1,n  a2,1 a2,2 · · · a2,n    A = (ai,j ) =  .. .. ..  ; i, j = 1, . . . , n . .  . . . .  am,1 am,2 · · · am,n Hauptdiagonale (von links oben): (Gegen-/)Nebendiagonale (von rechts oben): k-te obere Nebendiagonale: k-te untere Nebendiagonale:

(134)

(ai,i ), i = 1, . . . , n (ai,n+1−i ), i = 1, . . . , n (ai+k,i ), i = 1, . . . , n − k (ai,i+k ), i = 1, . . . , n − k

(135) (136) (137) (138)

9.5. Obere Dreiecksmatrix   u1,1 u1,2 · · · u1,n  0 u2,2 · · · u2,n    R=L= ..  ...  0 0 .  0 0 0 un,n

15

(139)

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9. Matrizenrechnung

9.6. Untere Dreiecksmatrix 

 l1,1 0 0 0  l2,1 l2,2 0 0    L =  ..  .. ..  . . . 0  ln,1 ln,2 ln,n−1 ln,n

(140)

9.7. Symmetrische Matrix ai,j = aj,i

(141)

T

(142)

A=A

9.8. Diagonalmatrix 

 d1 0 · · · 0  0 d2 · · · 0    D = Diag (d1 , d2 , . . . , dn ) =  .. .. . . ..  . . . . 0 0 · · · dn

(143)

9.9. Skalarmatrix 

 0 ··· 0 d · · · 0  .. . . ..  . . . 0 0 ··· d

d 0  D = Diag (d) =  .. .

(144)

9.10. Einheitsmatrix 

 0 ··· 0 1 · · · 0  .. . . ..  . . . 0 0 ··· 1

1 0  E =  .. .

(145)

9.11. Spur 

 a1,1 a1,2 · · · a1,n  a2,1 a2,2 · · · a2,n    A =  .. .. ..  ...  . . .  an,1 an,2 · · · an,n Spur (A)Sp (A) = Trace (A) = Tr (A) =

(146)

n X i=1

16

aj,j = a1,1 + a2,2 + . . . + an,n

(147)

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9. Matrizenrechnung

9.12. Matrizen-Addition 

a1,1  a2,1   ..  .

a1,2 a2,2 .. .

  a1,n b1,1   a2,n   b2,1 ..  +  .. .   .

··· ··· .. .

am,1 am,2 · · · am,n  a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2  a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2  = .. ..  . . am,1 + bm,1 am,2 + bm,2

b1,2 b2,2 .. .

 b1,n b2,n   ..  . 

··· ··· .. .

bm,1 bm,2 · · ·

··· ··· ...

a1,n + b1,n a2,n + b2,n .. .

···

am,n + bm,n

bm,n 

(148)

   

Es gilt: A + B = B + A sowie (A + B) + C = A + (B + C).

9.13. Matrizen-Skalar-Multiplikation 

a1,1  a2,1  α ·  ..  .

a1,2 a2,2 .. .

  a1,n α · a1,1   a2,n   α · a2,1 ..  =  .. .   .

··· ··· .. .

am,1 am,2 · · ·

am,n

α · a1,2 α · a2,2 .. .

··· ··· .. .

α · am,1 α · am,2 · · ·

 α · a1,n α · a2,n   ..  . 

(149)

α · am,n

Es gelten das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz.

9.14. Matrizen-Multiplikation Ar×s × B s×t = C r×t  a1,1 a1,2 · · · a2,1 a2,2 · · ·   .. .. ..  . . . ar,1 ar,2 · · · P n a ·b k=1 1,k k,1 P  n  a2,k · bk,1 = k=1 .  ..  n P ar,k · bk,1 ci,j =

k=1 n X

(150) 





· · · b1,t · · · b2,t   .  .. . ..  · · · bs,t  n P a1,k · bk,t  k=1  n P  ··· a2,k · bk,t   k=1  .. ..  . .  n  P ··· ar,k · bk,t

a1,s b1,1 a1,2   a2,s  b2,1 b2,2 ..  ×  .. .. .   . . ar,s bs,1 bs,2 n P a1,k · bk,2 · · · k=1 n P k=1 n P

a2,k · bk,2 .. . ar,k · bk,2

k=1

ai,k · bk,j

(151)

k=1

(152)

k=1

9.15. Transponierte Matrix AT = At = A0

17

(153)

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9. Matrizenrechnung

9.16. Inversmatrix (für 2 × 2-Matrizen)   a b A= c d   1 d −b −1 A = · ; a · d 6= b · c −c a a·d−b·c

(154) (155)

Eigenschaft:

A·A

−1

        1 1 a b d −b a b d −b = · · = · · c d −c a c d −c a c·d−b·c a·d−b·c     1 a · d − b · c −a · b + a · b 1 0 = · = =E c · d − c · d −b · c + a · d 0 1 a·d−b·c

(156)

9.17. Determinante (Regel von Sarrus) Ist A eine 2 × 2-Matrix, dann ist: 

a a det (A) = ∆ (A) = |A| = det 1,1 1,2 a2,1 a2,2

 = a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1 .

(157)

Ist A eine 3 × 3-Matrix, so gilt: 

 a1,1 a1,2 a1,3 det A = det a2,1 a2,2 a2,3  a3,1 a3,2 a3,3 = a1,1 · a2,2 · a3,3 + a1,2 · a2,3 · a3,2 + a1,3 · a2,1 · a3,2 −a1,3 · a2,2 · a3,1 − a1,2 · a2,1 · a3,3 − a1,1 · a2,3 · a3,2 .

(158)

9.18. Lineare Gleichungssysteme (LGS) 9.18.1. Grundform A·x=b x = A−1 · b

(159) (160)

(A|b) → (E|x)

(161)

9.18.2. Gauß-Algorithmus

9.18.3. Cramersche Regel (Determinanten-Methode) 

 x1  ..   . = xn



 det (A1 ) 1   .. ·  ; det (A) 6= 0 . det (A) det (An )

18

(162)

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

10. Deskriptive Statistik

9.18.4. Rang Rang(A) = Rg(A) = Rank(A) = Rk(A) = Anzahl linear unabhängiger LG (A)
= Rang AT

(163) (164)

9.18.5. Lösbarkeit 9.18.5.1. Eindeutig lösbar Rang (A) = Rang (A|b) = n ⇒ Rang (A) 6= 0

(165)

9.18.5.2. Mehrdeutig lösbar Rang (A) = Rang (A|b) < n ⇒ Rang (A) = 0

(166)

9.18.5.3. Nicht lösbar Rang (A) < Rang (A|b) = n ⇒ Rang (A) = 0

(167)

Teil V. Stochastik 10. Deskriptive Statistik 10.1. Häufigkeiten Gegeben sei das Merkmal A mit den Ausprägungen Ai , i = 1, 2, . . . , k. 10.1.1. Absolute Häufigkeit n (Ai ) = ni ;

X

n (Ai ) =

i

X

ni = n

(168)

i

10.1.2. Relative Häufigkeit f (Ai ) = fi ; fi =

n (Ai ) ni X 1X = ; fi = ni = 1 n n n i i

(169)

10.1.3. Kumulierte relative Häufigkeit

Fk =

k X

fi

(170)

i=1

Gegeben sei das Merkmal A mit den Ausprägungen Ai ; i = 1, 2, . . . , k und das Merkmal B mit den Ausprägungen Bj ; j = 1, 2, . . . , l.

19

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

10. Deskriptive Statistik

10.1.4. Verbund-/Schnitthäufigkeit f (Ai ∩ Bj ) = n (Ai ∩ Bj ) =

n (Ai ∩ Bj ) n

(171)

10.1.5. Randhäufigkeit n (Ai ) =

X

n (Ai ∩ Bj )

(172)

n (Ai ∩ Bj )

(173)

j

n (Bj ) =

X i

10.1.6. Bedingte Häufigkeit f (Ai |Bj ) = n (Ai |Bj ) =

n (Ai ∩ Bj ) f (Ai ∩ Bj ) = n (Bj ) f (Bj )

(174)

10.1.7. Statistische Unabhängigkeit f (Ai ) = f (Ai |Bj ) ⇒ f (Ai ∩ Bj ) = f (Ai ) · f (Bj )

(175) (176)

10.1.8. Theoretische Häufigkeit (bei Unabhängigkeit) ⇒ n∗ (Ai ∩ Bj ) =

n (Ai ) · n (Bj ) n

(177)

Gegeben sei das Merkmal X mit den Ausprägungen xi ; i = 1, 2, . . ..

10.2. Lagemaße 10.2.1. Modus M (X) = max (x) ; x = (x1 (n1 ) , . . . , xk (nk )) i

(178)

10.2.2. Median (Zentralwert) Z(X) = x[ n+1 ] = 2

 1  · x[ n ] + x[ n +1] 2 2 2

(179)

10.2.3. Mittelwerte (arithmetisch) M W (X) = x¯

20

(180)

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

11. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

10.2.3.1. Einfache Daten n 1 X · xi n i=1

(181)

k k X 1 X · ni · xi = f i · xi n i=1 i=1

(182)

k k X 1 X ni · xi = fi · x¯i x¯ = · n i=1 i=1

(183)

R(X) = xmax − xmin

(184)

n 1 X V (X) = · (xi − x¯)2 = x2 − x¯2 n i=1

(185)

x¯ =

10.2.3.2. Gehäufte Daten x¯ =

10.2.3.3. Klassierte Daten

10.3. Streuungsmaße 10.3.1. Spannweite

10.3.2. Varianz

10.3.3. Standardabweichung k k X p 1 X 2 ni · (xi − x¯) = fi · (xi − x¯)2 S(X) = VX ; VX = · n i=1 i=1

(186)

10.3.4. Variationskoeffizient k k X SX 1 X 2 C(X) = ; VX = · ni · (xi − x¯i ) = fi · (xi − x¯)2 x¯ n i=1 i=1

(187)

11. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.1. Laplace-Wahrscheinlichkeit p(A) =

21

|A| |Ω|

(188)

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

11. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

11.2. Additionssatz p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

(189)

11.3. Multiplikationssatz (bei Unabhängigkeit) p(A ∩ B) = p(A) · p(B)

(190)

11.4. Bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) =

p(A ∩ B) p(B)

(191)

11.5. Kombinatorik n! P = n!; V = ; K= (n − k)!

  n k

(192)

11.6. Totale Wahrscheinlichkeit p(A) = p(B) · p(A|B) + p(B) · p(A|B)

(193)

11.7. Bayes-Satz/-Theorem p(B|A) =

p(B) · p(A|B) p(B) · p(A|B) + p(B) · p(A|B)

(194)

11.8. Urnenmodell I (hypergeometrische Verteilung)     M N −M · k n−k   p(X = k) = N n

(195)

11.9. Urnenmodell II (Binomialverteilung)   n p(X = k) = · pk · (1 − p)n−k k

22

(196)

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

12. Verteilungen

12. Verteilungen 12.1. Parametrische diskrete Verteilungen 12.1.1. Hypergeometrische Verteilung M k

p(A) = p(X = k) =




·

N −M
n−k N n


(197)

12.1.1.1. Verteilungsmomente E(X) = n · p;

  M M N −n · 1− · S (X) = n · N N N −1 2

(198)

12.1.2. Binomialverteilung   n p(A) = p(X = k) = · pk · (1 − p)n−k k

(199)

12.1.2.1. Verteilungsmomente E(X) = n · p;

S 2 (X) = n · p · (1 − p)

(200)

12.2. Nicht-parametrische diskrete Verteilungen 12.2.1. Erwartungswert E(X) = µ =

X

xi · p i

(201)

x2i · pi − µ2

(202)

i

12.2.2. Standardabweichung S(X) = σ =

X i

12.3. Nicht-parametrische stetige Verteilungen 12.3.1. Erwartungswert Z+∞ E(X) = µ = x · f (x) · dx

(203)

−∞

12.3.2. Standardabweichung Z+∞ S(X) = σ = x2 · f (x) · dx − µ2 −∞

23

(204)

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

12. Verteilungen

12.4. Parametrische stetige Verteilungen: (Standard-)Normalverteilung Für die stetige Zufallsvariable X mit f : x 7→ f (x), R → R>0 : "

1

1 f (x) = √ · exp − · 2 2πσ 2



x−µ σ

2 # (205)

12.4.1. Erwartungswert E(X) = µ

(206)

S(X) = σ

(207)

12.4.2. Standardabweichung

12.4.3. Wahrscheinlichkeit  p (X ≤ x0 ) = Φ

x0 − µ σ

 (208)

12.4.4. Symmetrie Φ(−z) = 1 − Φ(z)

(209)

12.4.5. Standardisierung z=

x−µ σ

(210)

12.5. Approximationen 12.5.1. Hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung  pHV (x|N ; M ; n) ≈ pBV

M x|n; N

 , falls gilt: n < 0,05 · N

(211)

12.5.2. Binomialverteilung durch die (Standard-)Normalverteilung: Satz von de Moivre/Laplace σ=

p n · p · (1 − p) > 3

24

(212)

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

12. Verteilungen

12.5.3. Lokale Näherung  pBV (X = k) = √

1 1 · exp − · 2 2π · σ

k−n·p p n · p · (1 − p)

!2  (213)



12.5.4. Globale Näherung

p (x1 ≤ X ≤ x2 ) =

x2   X n k=x1

|

k

k

· p · (1 − p) {z

BV



n−k

≈Φ } |

x2 + 0,5 − µ σ



 −Φ {z

x1 − 0,5 − µ σ

 (214) }

NV

12.6. Tabelle der Standard-Normalverteilung z 0,0 . . . 0,1 . . . 0,2 . . . 0,3 . . . 0,4 . . . 0,5 . . . 0,6 . . . 0,7 . . . 0,8 . . . 0,9 . . . 1,0 . . . 1,1 . . . 1,2 . . . 1,3 . . . 1,4 . . . 1,5 . . . 1,6 . . . 1,7 . . . 1,8 . . . 1,9 . . . 2,0 . . . 2,1 . . . 2,2 . . . 2,3 . . . 2,4 . . . 2,5 . . . 2,6 . . . 2,7 . . . 2,8 . . . 2,9 . . .

...0 0,5 000 0,5 398 0,5 793 0,6 179 0,6 554 0,6 915 0,7 257 0,7 580 0,7 881 0,8 159 0,8 413 0,8 643 0,8 849 0,9 032 0,9 192 0,9 332 0,9 452 0,9 554 0,9 641 0,9 713 0,9 773 0,9 821 0,9 861 0,9 893 0,9 918 0,9 938 0,9 953 0,9 965 0,9 974 0,9 981

...1 0,5 040 0,5 438 0,5 832 0,6 217 0,6 591 0,6 950 0,7 291 0,7 611 0,7 910 0,8 186 0,8 438 0,8 665 0,8 869 0,9 049 0,9 207 0,9 345 0,9 463 0,9 564 0,9 649 0,9 719 0,9 778 0,9 826 0,9 865 0,9 896 0,9 926 0,9 940 0,9 955 0,9 966 0,9 975 0,9 982

...2 0,5 080 0,5 478 0,5 871 0,6 255 0,6 628 0,6 985 0,7 324 0,7 642 0,7 939 0,8 212 0,8 461 0,8 686 0,8 888 0,9 066 0,9 222 0,9 357 0,9 474 0,9 573 0,9 656 0,9 726 0,9 783 0,9 830 0,9 868 0,9 898 0,9 922 0,9 941 0,9 956 0,9 967 0,9 976 0,9 983

...3 0,5 120 0,5 517 0,5 910 0,6 293 0,6 664 0,7 019 0,7 357 0,7 673 0,7 967 0,8 238 0,8 485 0,8 708 0,8 907 0,9 082 0,9 236 0,9 370 0,9 485 0,9 582 0,9 664 0,9 732 0,9 788 0,9 834 0,9 871 0,9 901 0,9 925 0,9 943 0,9 957 0,9 968 0,9 977 0,9 983

...4 0,5 160 0,5 557 0,5 948 0,6 331 0,6 700 0,7 054 0,7 389 0,7 704 0,7 995 0,8 264 0,8 508 0,8 729 0,8 925 0,9 099 0,9 251 0,9 382 0,9 495 0,9 591 0,9 671 0,9 738 0,9 793 0,9 838 0,9 875 0,9 904 0,9 927 0,9 945 0,9 959 0,9 969 0,9 977 0,9 984

25

...5 0,5 199 0,5 596 0,5 987 0,6 368 0,6 736 0,7 088 0,7 422 0,7 734 0,8 023 0,8 289 0,8 531 0,8 749 0,8 944 0,9 115 0,9 265 0,9 394 0,9 505 0,9 599 0,9 678 0,9 744 0,9 798 0,9 842 0,9 878 0,9 906 0,9 929 0,9 946 0,9 960 0,9 970 0,9 978 0,9 984

...6 0,5 239 0,5 636 0,6 026 0,6 406 0,6 772 0,7 123 0,7 454 0,7 764 0,8 051 0,8 315 0,8 554 0,8 770 0,8 962 0,9 131 0,9 279 0,9 406 0,9 515 0,9 608 0,9 686 0,9 750 0,9 803 0,9 846 0,9 881 0,9 909 0,9 931 0,9 948 0,9 961 0,9 971 0,9 979 0,9 985

...7 0,5 279 0,5 675 0,6 064 0,6 443 0,6 808 0,7 157 0,7 486 0,7 794 0,8 079 0,8 340 0,8 577 0,8 790 0,8 980 0,9 147 0,9 292 0,9 418 0,9 525 0,9 616 0,9 693 0,9 756 0,9 808 0,9 850 0,9 884 0,9 911 0,9 932 0,9 949 0,9 962 0,9 972 0,9 980 0,9 986

...8 0,5 319 0,5 714 0,6 103 0,6 480 0,6 844 0,7 190 0,7 517 0,7 823 0,8 106 0,8 365 0,8 599 0,8 810 0,8 997 0,9 162 0,9 306 0,9 429 0,9 535 0,9 625 0,9 699 0,9 762 0,9 812 0,9 854 0,9 887 0,9 913 0,9 934 0,9 951 0,9 963 0,9 973 0,9 980 0,9 986

...9 0,5 359 0,5 753 0,6 141 0,6 517 0,6 879 0,7 224 0,7 549 0,7 852 0,8 133 0,8 389 0,8 621 0,8 830 0,9 015 0,9 177 0,9 319 0,9 441 0,9 545 0,9 633 0,9 706 0,9 767 0,9 817 0,9 857 0,9 890 0,9 916 0,9 936 0,9 952 0,9 964 0,9 974 0,9 981 0,9 986

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

13. Hypothesentest: Alternativtest

13. Hypothesentest: Alternativtest 13.1. Prüfgröße

X ∼ BV(n; p);

Zufallsvariable X p E(X) = n · p; S(X) = n · p · (1 − p) mit S(X) > 3 ⇒ X ∼ N V(µ; σ)

(215) (216) (217)

13.2. Einseitiger Test 13.2.1. Linksseitiger Test H0 : p ≥ p0 ; H1 : p = p1 < p0 V = {0, . . . , (C − 1)}; A = {C, . . . , n} p(A) = p(X ≥ C) = 1 − p(X ≤ C − 1) = 1 − α   (C − 1) + 21 − µ0 ⇒ p(A) ≈ 1 − Φ σ0   C−1 X n · px0 · (1 − p0 )n−x ⇒ p(A) = 1 − pBV,H0 (X ≤ C − 1) = 1 − x x=0 2 · Φ(z) − 1 = 1 − 2 · α α = 1 − pBV,H0 (X ≤ (C − 1)) C−1 X n β = 1 − pBV,H1 (X ≤ (C − 1)) = 1 − · px1 · (1 − p1 )n−x x x=0

(218) (219) (220) (221) (222) (223) (224) (225)

13.2.2. Rechtsseitiger Test H0 : p ≤ p0 ; H1 : p = p1 > p0 A = {0, . . . , C}; V = {(C + 1), . . . , n} p(A) = p(X ≤ C) = p (X ≤ µ + z · σ) = 1 − α   C + 21 − µ ⇒ p(A) ≈ Φ σ   C X n ⇒ p(A) = pBV,H0 (X ≤ C) = · px0 · (1 − p0 )n−x x x=0 2 · Φ(z) − 1 = 1 − 2 · α α = 1 − pBV,H0 (X ≤ C) C   X n β = pBV,H1 (X ≤ C) = · px1 · (1 − p1 )n−x x x=0

26

(226) (227) (228) (229) (230) (231) (232) (233)

OStR Kai Nissen; Jens Liebenau

13. Hypothesentest: Alternativtest

13.3. Zweiseitiger Test 13.3.1. Nullhypothese H1 : p = p1 6= p0

H0 : p = p0 ;

(234)

13.3.2. Annahmebereich A = {C0 , . . . , C1 }

(235)

V = {0, . . . , (C0 − 1)} ∪ {(C1 + 1) , . . . , n}

(236)

13.3.3. Verwerfungsbereich

13.3.4. Sicherheitsniveau p(A) = p (C0 ≤ X ≤ C1 ) = 1 − α     C0 − 12 − µ C1 + 21 − µ ⇒ p(A) ≈ Φ −Φ σ σ   C 1 X n ⇒ p(A) = pBV,H0 (C0 ≤ X ≤ C1 ) = · px0 · (1 − p0 )n−x x x=C

(237)

2 · Φ(z) − 1 = 1 − α

(240)

(238) (239)

0

13.3.5. Kritische Stellen C0 = µ − z · σ;

C1 = µ + z · σ

(241)

13.3.6. Signifikanzniveau (Fehler/Risiko 1. Art) αR = 1 − pBV,H0 (C0 ≤ X ≤ C1 )

(242)

13.3.7. Fehler/Risiko 2. Art C1   X n βR = pBV,H1 (C0 ≤ X ≤ C1 ) = · px1 · (1 − p1 )n−x x x=C0     C0 − 12 − µ C1 + 21 − µ −Φ ⇒β≈Φ σ σ

27

(243) (244)