Mathematics Analysis and Approaches Paper 1 SL Spanish

 

© Kfthrfmtkifmd Emjjmdmurhmth Iromfkzmtkif 575=  Mdd rkocts rhshrvha. Fi pmrt ib tcks priaujt nmy eh rhpriaujha rhpriaujha kf mfy birn ir ey mfy hdhjtrifkj ir nhjcmfkjmd nhmfs, kfjduakfo kfbirnmtkif stirmoh mfa rhtrkhvmd systhns, wktciut tch prkir wrktthf phrnksskif brin tch KE. Maaktkifmddy, tch dkjhfsh tkha wktc tcks priaujt prickekts ush ib mfy shdhjtha bkdhs ir hxtrmjts brin tcks priaujt. Xsh ey tckra pmrtkhs, kfjduakfo eut fit dknktha ti puedkschrs, prkvmth thmjchrs, tutirkfo ir stuay shrvkjhs, prhpmrmtiry sjciids, vhfairs iphrmtkfo jurrkjudun nmppkfo shrvkjhs ir thmjchr rhsiurjh akoktmd pdmtbirns mfa mpp ahvhdiphrs, wchtchr bhh-jivhrha ir fit, ks prickektha mfa ks m jrknkfmd ibbhfsh. Nirh kfbirnmtkif if ciw ti rhquhst wrktthf phrnksskif kf tch birn ib m dkjhfsh jmf eh ietmkfha brin cttps 7 . 5

M pmrtkr ah di mfthrkir, rhsuhdvm dm hjumjkúf 5 jis  x    + 8 shf x    > 1 ,  7 ≡ x  x ≡ 5χ .

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=5HW71

P=^ P8^

 

 ‚ 8 ‚ 1.

555= ‚ ?=51

PWuftumjkúf níxknm< 8^ ?

8

Hf hd ahsmrriddi ah ( x  x + ` ) , aifah ` ∃  , hd jihbkjkhfth ahd tërnkfi hf  x   hs 2: . Cmddh dis piskedhs vmdirhs ah ` .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rëmsh md airsi =5HW78

 

 ‚ 2 ‚ 8.

555= ‚ ?=51

PWuftumjkúf níxknm< ;^ 5

Jifskahrh dm bufjkúf  b quh vkhfh amam pir  b  ( x)  x) > df ( x  x  - =2 =2))  pmrm  x 6 1 . Dm skoukhfth bkourm nuhstrm ufm pmrth ahd oríbkji ah  b , quh jirtm md hlh  x hf hd pufti M ah jiirahfmams ( m ,  7 ). Dm rhjtm  D hs dm tmfohfth md oríbkji ah  b hf hd pufti E.

 y

 x    1  x >

 D

 b   E

 x

M(m M( m, 7)

(m)

Cmddh hd vmdir hxmjti ah m .

(e)

Zmekhfai quh dm phfakhfth ah  D hs koumd m

P:^ = :

, cmddh dm jiirahfmam  x  ah E.

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=5HW72

P2^

 

 ‚ ? ‚ 2.

555= ‚ ?=51

PWuftumjkúf níxknm< ?^ Dm skoukhfth bkourm nuhstrm hd trkífoudi MEJ, aifah ME > =7 , EJ >  x x y MJ > 5 x . dm bkourm fi hstí akeulmam m hsjmdm =7

M

E

 x

5 x

J

˂ Zmekhfai quh jisJ

: >

1

, cmddh hd írhm ahd trkífoudi.

Aë dm rhspuhstm hf dm birnm

 p

q

5

+

, aifah  p , q ∃   .

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rëmsh md airsi =5HW7?

 

 ‚ 3 ‚

555= ‚ ?=51

Fi hsjrkem Fi  hsjrkem sidujkifhs hf hstm píokfm.

Zhjjkúf E Jifthsth tiams tiams dms  dms prhouftms hf hd jumahrfkddi ah rhspuhstms privksti. Hnpkhjh ufm píokfm fuhvm pmrm jmam rhspuhstm. ?.

PWuftumjkúf níxknm< =1^ Xf jidhoki ah ormf tmnmýi tkhfh mdunfis ahsah hd jursi 2 cmstm hd jursi =5. Zh hsjiokú mdhmtirkmnhfth m uf orupi ah 37 mdunfis ahd jursi =5 y sh dhs ckzi ufm hfjuhstm pmrm smehr juíftms cirms m dm shnmfm ahakjm jmam ufi ah hddis m cmjhr ahehrhs. Dis rhsudtmais iethfkais sh rhprhshftmf hf hd skoukhfth oríbkji ah brhjuhfjkms mjunudmams. mjunudmams.

37

?7

27   m    a   m 87    d   u   n   u   j   m   m 17    k   j   f   h   u   j   h   r :7    B

57

=7

7

5

1

2

3

=7

=5 =5

=1 =1

=2 =2

Fünhri ünhri a  ah h cirms

(Hstm prhouftm jiftkfüm hf dm píokfm skoukhfth)

=5HW73

=3 =3

57 57

55 55

51 51

 

 ‚ ; ‚

555= ‚ ?=51

Fi hsjrkem Fi  hsjrkem sidujkifhs hf hstm píokfm. (Wrhouftm ?< jiftkfumjkúf) (m)

(e)

Cmddh dm nhakmfm ahd fünhri ah cirms m dm shnmfm quh ahakjmf hstis mdunfis ahd jursi =5 m cmjhr ahehrhs.

P5^

Zmekhfai quh hd =7 % ah hstis mdunfis ahd jursi =5 ahakjmf nís ah ` cirms m dm shnmfm m cmjhr ahehrhs, cmddh hd vmdir ah ` .

P:^

Hstm nksnm kfbirnmjkúf mpmrhjh rhprhshftmam hf dm skoukhfth tmedm. Cirms (c) ahakjmams m cmjhr ahehrhs Brhjuhfjkm (j)

5 4 c ≡ ?

? 4 c ≡ =8

=8 4 c ≡ 5=

5= 4 c ≡ 51

1

 p

=2

q

Cmddh hd vmdir ah  p  y hd vmdir ah q .

P1^

Hf hsth jidhoki cmy :57 mdunfis hf hd jursi =5. (a)

Hstknh hd fünhri ah mdunfis ahd jursi =5 quh ahakjmf jmam shnmfm nís ah =8 cirms m cmjhr ahehrhs.

(h)

P:^

(k)

Hxpdkquh pir quë hs piskedh quh hsth nëtiai ah nuhstrhi fi ibrhzjm ufm rhprhshftmjkúf prhjksm ah dm jmftkama ah cirms quh dm titmdkama ah dis ah dis mdunfis ah hsth jidhoki ahakjmf m cmjhr ahehrhs.

(kk)

Zuokhrm uf nëtiai ah nuhstrhi nís mpripkmai.

P5^

Rëmsh md airsi =5HW7;

 

 ‚ =7 ‚

555= ‚ ?=51

Fi hsjrkem Fi  hsjrkem sidujkifhs hf hstm píokfm. 3.

PWuftumjkúf níxknm< =8^ Jifskahrh dm bufjkúf  b   quh vkhfh amam pir  b  ( x)  x) > 2 + 2 jis x   , pmrm 7 ≡  x x ≡ 1χ .

 x) . Dm skoukhfth bkourm nuhstrm hd oríbkji ah  y >  b  ( x)  y

 b  

 x M

E

Hd oríbkji ah  b tijm hd hlh  x hf dis puftis M y E, tmd y jini sh nuhstrm hf dm bkourm. Dm rhokúf sinerhmam hstí ahdknktmam pir hd oríbkji ah  y >  b  ( x)  x) y hd hlh  x , hftrh dis puftis M y E. (m)

Cmddh dms jiirahfmam jiirahfmams s  x  ah M y E.

P:^

(e)

=5χ χ . Nuhstrh quh hd írhm ah dm rhokúf sinerhmam hs koumd m =5

P8^

(Hstm prhouftm jiftkfüm hf dm píokfm skoukhfth)

=5HW=7

 

 ‚ == == ‚

555= ‚ ?=51

Fi hsjrkem Fi  hsjrkem sidujkifhs hf hstm píokfm. (Wrhouftm 3< jiftkfumjkúf) Hf dm skoukhfth bkourm sh nuhstrm uf jifi rhjti. Hd írhm titmd ah su suphrbkjkh hs =5 =5χ χ , koumd quh hd írhm sinerhmam ah dm bkourm mfthrkir. Hf akjci jifi, hd rmaki ah dm emsh nkah 5, dm mdturm c , y dm ohfhrmtrkz d . dm bkourm fi hstí akeulmam m hsjmdm

d  c

5

(j)

Cmddh hd vmdir ah d .

P:^

(a)

M pmrtkr ah di mfthrkir, cmddh hd vidunhf ahd jifi.

P1^

Rëmsh md airsi =5HW==

 

 ‚ =5 ‚

555= ‚ ?=51

Fi hsjrkem Fi  hsjrkem sidujkifhs hf hstm píokfm. ;.

PWuftumjkúf níxknm< =1^ Dm pmrtîjudm M sh nuhvh hf dîfhm rhjtm, ah niai tmd quh su ahspdmzmnkhfti ( s nhtris) 5 rhsphjti m uf irkohf bkli md jmei ah t  shoufais   shoufais vkhfh amai pir  s (t ) > 3t  - t   , pmrm 7 ≡ t   ≡ =7 =7  , tmd y jini sh nuhstrm hf dm skoukhfth bkourm.  s

t 

Dm pmrtîjudm M jinkhfzm hf hd irkohf y vuhdvh m pmsmr pir hd irkohf jumfai t  > p  p . (m)

Cmddh hd vmdir ah  p .

P5^

Dm pmrtîjudm M jmnekm ah shftkai jumfai t  > q . (e)

(j)

(k)

Cmddh hd vmdir ah q .

(kk)

Cmddh hd ahspdmzmnkhft ahspdmzmnkhfti i ah dm pmrtîjudm M rhsphjti md irkohf jumfai t  > q .

Cmddh m quë akstmfjkm ahd irkohf hstí dm pmrtîjudm M jumfai t  > =7 =7  .

P1^ P5^

Zhm a dm akstmfjkm titmd quh cm rhjirrkai dm pmrtîjudm M. (a)

Cmddh hd vmdir ah a .

P5^

Xfm shoufam pmrtîjudm (dm pmrtîjudm E) sh ahspdmzm m di dmroi ah dm nksnm rhjtm, ah niai tmd quh su vhdijkama vkhfh amam pir v (t ) > =1 - 5t , pmrm t  ≨ 7 . Jumfai t  > ` , dm akstmfjkm quh cm rhjirrkai dm pmrtîjudm E hs koumd m a . (h)

Cmddh hd vmdir ah ` .

P1^

Buhfths<  © Iromfkzmjkúf ahd ahd Emjckddhrmti Kfthrfmjkifmd, 575=

=5HW=5