Mathematica

1

Mathematica  Mathematica Nedir?  Mathematica, her türlü sembolik ve nümerik hesaplamalar yapabilen, 2 ve 3 boyutlu grafikler  çizebilen  etkin  bir  programlama  dilidir.  İşlevsel  ve  kural  temelli  bir  programlama  dili  olan  Mathematica’da ilk başta biraz güçlük çıkabilmekte ancak kısa bir süre sonra global yapısının  yöntemsel programlamadan çok daha kolay anlaşılır olduğu görülecektir.  Basit  bir  işlemden  büyük  ölçekteki  programlamaya,  bilimsel  araştırmalardan,  mühendislik  analizi  ve  modellemelerine,  lise’den  üniversiteye  kadar  teknik  eğitimde,  kısaca  sayısal  yöntemlerin kullanıldığı her alanda Mathematica temel bir araçtır. 2 

Mathematica Programının Kullanımı ve Menüler  Bu  bölümde  sizlere  Mathematica  menülerinin  ve  program  yazma  penceresinin  nasıl  kullanıldığı anlatılacaktır. Öncelikle programımızı Şekil 1’deki gibi çalıştıralım. 

Şekil 1  Şekil  2’deki  beyaz  zeminli  Untitled­1  adlı  pencere  programlarımızı  yazıp  sonuçları  göreceğimiz  yerdir. Hemen  yanındaki  sembolik  yardımcılar  ise File/Palettes/Basic Input’dan  açılabilir. Benzer şekilde File/Palettes altındaki diğer yardımcı menüleri de inceleyebilirsiniz. 3 

Şekil 2  Eğer  yazı  tipi  ile  ilgili  özellikleri  değiştirmek  istiyorsanız  Edit/Preferences  menüsünden  Formatting Options/Font Options’tan istediğiniz değişikliği yapabilirsiniz  Komutlarımızı  yazdığımız  satırlar  Mathematica  tarafından  In  (Input)  ismi  ile  adlandırılacak  ve  yanında  işlem  numarası  yazılacaktır. Çıktı satırları  ise Out (Output)  ile adlandırılacaktır. 4 

Örneğin, In[12]:= ve Out[12]= gibi. Komutunuzun çalışmasını sağlamak için imleciniz satırın  herhangi bir yerinde iken Shift+Enter tuşlarına birlikte basmalısınız.  Eğer komutun birden fazla satırdan oluşuyorsa her satırın (ya da alt komutun) sonunda Enter  tuşuna  basıp  en  sonda  Shift+Enter tuşlarına  basmanız  gerekir.  In  ve  Out  satırlarının  her  biri  için  sağ tarafta  birer  mavi köşeli  parantez oluşur. Böylece In  ve Out satırlarını  biri  birinden  kolayca ayırabilirsiniz.  Dosyalarınızı kaydetmek için File/Save veya File/Save As menülerini kullanabilirsiniz. Şimdi  aritmetik bir dört işlem örneği verelim ve yukarıdaki açıklamalarımızı Şekil 3’te görelim.

5 

Şekil 3  İki  farklı  işlemi tek  bir  satırda  nasıl  yapacağımıza ait  bir örneği de Şekil 4’te görebilirsiniz.  Burada ikinci dereceden bir denklemin kökleri bulunup bu denklemin grafiği çiziliyor.

6 

Şekil 4

7 

Mathematica Yardım Menüsü  Mathematica, tüm komutların kullanım şekli ve örneklerin bulunduğu oldukça gelişmiş bir  yardım menüsüne sahiptir. Buna Help/Master Index yolu ile ulaşabilir ve aradığınız kelimeyi  yazarak Go ile arama yaptırabilirsiniz. 

Temel Bilgiler  Dört İşlem ve Parantezler  + toplama, ­ çıkarma, * çarpma ve / bölme için kullanılır. Ayrıca ^ üs almak için kullanılır.  Mathematica’da  (  ),  [  ]  ve  {  }  şeklinde  üç  değişik  parantez  farklı  amaçlar  için  kullanılmaktadır. 8 

·  (  )  normal  parantez,  aritmetik  işlemlerde  ve  fonksiyon  yazımlarında  gruplandırma  amacıyla kullanılır. 

Örnek  In[1]:= 

1+(2­4)*3+2/7  Out[1]= -

33 7

·  [ ] köşeli parantez, fonksiyon argümanları ve tüm komutlar için kullanılır. 9 

Örnek  In[2]:= 

Sin[Pi/2]  Out[2]=  1 

Örnek  In[3]:=  Solve[2*x­6Š7­3*x,x]  Out[3]=

10 

::x ®

13  >> 5

·  { } süslü parantez, aralık tanımlamaları, listeler ve sayaçlar için kullanılır. 

Örnek 

In[4]:=  A={a,b,c,d}  Out[4]= 

{a,b,c,d}

11 

Örnek 

In[5]:=  M={{1,2},{3,5}}//MatrixForm  Out[5]= J

1  2  N  3  5

Örnek 

In[6]:=  Plot[x^3,{x,­4,4}];

12 

1.5  1  0.5 

­4 

­2 

2 

4 

­0.5  ­1  ­1.5 

Açıklama Satırları, Nümerik Çözüm Bulma ve Önceki Sonuçlara  Başvurma  Mathematica’da  açıklama  satırları  için  (*  ….  *)  kullanabiliriz.  Eğer  işlem  sonucunu  sayısal  istersek  satır  sonuna  //N  ifadesini  koymamız  yeterlidir.  Eğer  virgülden  sonra  belirli  bir 13 

basamağa kadar ondalık sayıyı göstermesini istersek N[ifade,basamak sayısı] şeklinde komutu  kullanabiliriz.  Eğer  N[  ]  veya  //N  kullanılmazsa  Matematica  tüm  sonuçları  default  olarak  kesirli gösterir.  Eğer  In[  ]  satırının  sonucunun  görünmesi  istenmiyorsa  satır  sonuna  ;  (noktalı  virgül)  konulabilir. Eğer birden fazla atama aynı anda yapılacaksa araya birer boşluk konularak aynı  satırda yazılabilir. Örneğin x=14; y=15; z=­4; gibi. Grafik çiziminde kullanılırsa grafik çizilir  ama Out[ ]: …Graphics… satırı görünmez.  Mathematica’da  bir  oturum  boyunca  %  sembolü  ile  son  elde  edilen  değer  bellekten  çağrılabilir. Her yeni işlem ile bu % değeri de güncellenmiş olur. %% ile de iki işlem önceki  sonuç kullanılabilir.

14 

Örnek 

In[7]:=  Solve[2*x^3­5*x^2+10Š0,x]//N  Out[7]= 

{{x®­1.1676},{x®1.8338 +0.958888 ä},{x®1.8338 ­0.958888 ä}}  Örnek 

In[8]:=  N[Pi,20]  Out[8]= 

3.1415926535897932385 15 

Eşit İşaretleri  Mathematica’da  =,  =  =,  =  =  =  ve  :=  şeklinde  dört  değişik  eşit  işareti  farklı  amaçlar  için  kullanılmaktadır. ·  =  işareti,  atama  yapmak  için  kullanılır.  Bu  atama  sonrası  Mathematica  programı  kapanana  kadar  bu  atama  geçerli  olur.  Bunu  kaldırmak  için  Clear[  ]  komutu  kullanılmalıdır.  Eğer  anlık  atama  yapılmak  isteniyorsa  “/.”  şeklindeki  ikili  sembol  kullanılabilir.  Ancak  bu  atama  sadece  o  an  içindir,  bir  sonraki  satırdan  itibaren  bu  atama Mathematica tarafından dikkate alınmaz.  Örnek 

In[9]:=  a=5; 16 

Örnek 

In[10]:=  2*x^2+5*y/.x­>2  Out[10]= 

8+5 y 

Örnek 

In[11]:=  Clear[a]

17 

·  =  =  işareti,  bir  eşitliği  (denklemi)  göstermek  amacıyla  kullanılır.  Ayrıca  If  kontrol  komutunda da kullanılır. 

Örnek 

In[12]:=  Solve[x^3­5*x^2+xŠ0,x]  Out[12]= :8x ® 0, :x ® I5 + 21 M>> 2 2

18 

·  = = = işareti, If kontrol komutunda kullanılır. 

Örnek 

In[13]:=  y[x_]:=x^4­3*x^2+5  If[y[x]= = =y[­x],Print["simetrik"],Print["simetrik değil"]]  Out[13]= 

Simetrik

·  := işareti, fonksiyon tanımlamalarında kullanılır. 19 

Örnek 1.14 

In[14]:=  f[x_]:=Sin[2*x]­Cos[x]  f[Pi] 

Out[14]=  1

20 

Sabitler ve Sayı Türleri  Mathematica’da p  için  Pi,  e  (doğal  logaritmik  taban)  için  E  ve  i  (kompleks  sayılar)  için  I  sabitleri kullanılmaktadır. Ayrıca C, D, N ve O harfleri de başka anlamları ve komut oldukları  için değişken ismi olarak kullanılmamalıdır.  Ondalıklı sayılar . (nokta) ile yazılmalıdır. Örneğin; ­2.34. 

Bazı Matematiksel  İşlemler ve Rastgele Sayı Üretimi  Mathematica’da  faktöriyel  işlemi  için  !  sembolü  kullanılabilir.  Mutlak  değer  için  Abs  [  ]  komutu, modüler aritmetik için Mod [n,m] komutu kullanılır. Burada n’nin m ile bölümünden  kalan bulunacaktır. En büyük ve en küçük elemanlar için ise Max [ ] ve Min [ ] kullanılabilir.

21 

Logaritmik  işlemler  için  Log[b,n]  komutu  kullanılır.  Burada  b  tabanı  göstermektedir.  Eğer  doğal logaritma (ln) söz konusu ise Log[n] kullanılabilir. 

Örnek 

In[15]:=  Mod[11,2]+Log[E^3] 

Out[15]=  4 

Random [ ] komutu ile 0 ve 1 arasında rastgele ondalıklı bir sayı üretilir. 22 

Örnek 

In[16]:=  Table[Random[Integer,{1,10}],{15}](*1 ile 10 arasında 15 tane  rastgele tamsayı seçmek için*) 

Out[16]=  {5,7,7,3,9,3,10,10,4,2,2,5,6,3,2}

23 

1

Liste İşlemleri  Mathematica’da  nesnelerin  bir  kümesini  Liste  yöntemiyle  oluşturabiliriz.  Bunun  için  {  }  parantezlerini  içindeki  her  elemandan  sonra  ,  (virgül)  koyarak  kullanabiliriz.  Bu  listeler  üzerinde her türlü aritmetik işlem yapılabilir. Eğer listenin bir elemanını öğrenmek istiyorsak  [[n]] yardımcı komutunu kullanmalıyız. Örneğin; L adlı bir listenin 5­inci elemanı L[[5]] ile  bulunabilir.  Bu  L  listesinin  3­üncü  elamanını  v  ile  değiştirmek  istiyorsak  L[[3]]=v  şeklinde  tanımlama yapmalıyız.  Örnek 

In[17]:=  A={3,a,0,­3,b,c}; 2 

Örnek 

In[18]:=  B={0,4,1,9,7,­4};  B+4  3*B 

Out[18]=  {4,8,5,13,11,0} 

{0,12,3,27,21,­12}

3 

Matematiksel İfadeleri Açma, Çarpanlarına Ayırma ve Sadeleştirme  Mathematica’da bir ifadenin en açık hali Expand[ ] (yerli olmazsa ExpandAll[ ] kullanılmalı),  çarpanlarına  ayrılmış  hali  ise  Factor  [  ]  ile  bulunur.Sadeleştirme  için  Simplify[  ]  komutunu  kullanabiliriz.  Eğer  logaritmik,  üstel  veya  trigonometrik  ifadeler  var  ise  FullSimplify[  ]  komutunu  kullanmamız  gerekir.  İstediğimiz  değişkene  göre  ifadeyi  gruplandırmak  için  Collect[ifade,değişken] komutunu kullanabiliriz. Bunların dışında trigonometrik  ifadeler  için  TrigExpand[  ],  TrigFactor[  ],  TrigReduce[  ],  kompleks  ifadeler  için  ComplexExpand[  ]  ve  üslü ifadeler için de PowerExpand[ ] komutları kullanılabilir. Bir çok terimli ifadede istenilen  değişkenin  katsayısını  Coefficient[ifade,değişken]  komutu  ile  bulabiliriz.  Eğer  istenilen  değişkene  ait  en  büyük  kuvveti  bulmak  istersek  Exponent[ifade,değişken]  komutunu  kullanmamız  gerekir.  Part[ifade,n]  ile  verilen  ifadenin  n­inci  terimi,  Denominator[kesirli  ifade] ile kesrin paydası bulunabilir. 4 

Simplify[ ] komutu bazı durumlarda sadeleştirme yapamaz. Böyle ifadelerde değişkenin değer  aralığını vermemiz gerekir. 

Örnek 

In[19]:=  FullSimplify[Sqrt[x^2],x>0] 

Out[19]=  X

5 

Örnek 

In[20]:=  Simplify[Sqrt[x^2],Element[x,Reals]] 

Out[20]=  Abs[x] 

Örnek 

In[21]:=  Factor[x^2+2*x+1]

6 

Out[21]= H1 + xL2 

Mantıksal ve İlişkisel Operatörler  Mathematica’da && bağlacı VE anlamında, || bağlacı ise VEYA anlamında kullanılır. Tablo  1’de operatörleri görebilirsiniz.

7 

Tablo 1  x==y 

Eşit 

x!=y 

Far klı 

x>y 

Büyük 

x>=y 

Büyük eşit 

xz 

Sıralı artan 

Örnek 

In[22]:=  7>4&&2!=3 

Out[22]=  True

9 

Mathematica’da Analiz  Denklem Çözümü  Mathematica’da denklem çözümü için Solve[ ] komutu kullanılır.  Örnek 

In[23]:=  Solve[x^2+5*x+6Š0,x] 

Out[23]=  {{x®­3},{x®­2}}

10 

Bu  örnekte  x 2 + 5 x + 6 = 0  denkleminin  çözümü  bulunmuştur.  Çok  bilinmeyenli  denklem  sistemlerinin çözümlerini de Mathematica’da bulmak mümkündür. 

Örnek 

In[24]:=  Solve[{x+5*yŠ­3,2*x­4*yŠ5},{x,y}] 

Out[24]= ::x ®

13  11  , y® >>  14  14

Bu örnekte ise x+5y=­3 ve 2x­4y=5 şeklindeki iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülmüştür.  Trigonometrik denklemleri de Solve[ ] komutu ile çözmek mümkündür. 11 

Örnek 

In[25]:=  Solve[Cos[x]Š0,x] 

Out[25]= ::x ® -

p

2

>, :x ®

p

2

>> 

Verilen  ifadelerde  çözümü  bulurken  istenilen  değişken  yok  edilerek  sonuç  isteniyorsa  Eliminate[  ]  komutu  kullanılabilir.  Reduce[  ]  komutu  da  kullanılabilecek  bir  diğer  komut  olarak verilebilir.  Trigonometrik  denklemlerin  kökünü  bulmak  için  FindRoot[denklem,{değişken,civar  noktası}]  komutunu  kullanmak  gerekmektedir.  Örneğin;  3sin(2x)=ln(x)  denkleminin  x=1 12 

civarındaki  çözümü  için  FindRoot[3*Sin[2*x]=Log[x],{x,1}]  şeklinde  bir  Mathematica  komutu yazmamız gerekir.  Örnek 

In[26]:=  Eliminate[{a*x+yŠ0,2*x+(1+a)*yŠ1},y] 

Out[26]= 2 H-2 + a + a  L x Š - 1 

Örnek 

In[27]:=  Reduce[{a*x­bŠ0},x] 13 

Out[27]= Hb Š 0&& a Š 0L ÈÈ Ja ¹ 0 &&x Š

b  N a

Eşitsizlik Çözümü  Mathematica’da  eşitsizleri  çözmek  için  öncelikle  kütüphane  çağırmak  gerekmektedir.  Kütüphane  çağrımı