Mathcad - Meli Modal Espectral

UNAM, Fac. de Ing. Dinámica Estructural profr: F. Monroy semetre 2002-1 febrero 2002 Análisis Sísmico Dinámico Modal Espectral (ejemplo Meli Diseño Sísmico de Edificios) Matriz de masas W3 := 200 m1 :=

W2 := 400

W1

m2 :=

g

W1 := 400

W2

m3 :=

g

⎛ m1 0 0 ⎞ M := ⎜ 0 m2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 m3 ⎠

g := 981

W3 g

0 ⎞ ⎛ 0.4077 0 ⎜ M= 0 0.4077 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 0.2039 ⎠ ⎝ 0

Matriz de rigidez k1 := 200

k2 := 200

k3 := 80

0 ⎞ ⎛ k1 + k2 −k2 ⎜ −k2 k2 + k3 −k3 ⎟ K := ⎜ ⎟ −k3 k3 ⎠ ⎝ 0

⎛ 400 −200 0 ⎞ K = ⎜ −200 280 −80 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −80 80 ⎠

Matriz dinámica del sistema y sus Eigenvalores

A := M

0 ⎞ ⎛ 981 −490.5 ⎜ A = −490.5 686.7 −196.2 ⎟ ⎜ ⎟ −392.4 392.4 ⎠ ⎝ 0

−1

⋅K

⎛ 1375.2615 ⎞ λ = ⎜ 562.8822 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 121.9563 ⎠

λ := eigenvals( A)

Frecuencias y periodos ω2 := sort ( λ)

ω :=

⎛ 121.9563 ⎞ ω2 = ⎜ 562.8822 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1375.2615 ⎠ T T

2

ω2

1

2⋅ π

f :=

ω

⎛ 11.0434 ⎞ ω = ⎜ 23.7251 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 37.0845 ⎠ T

= 0.4655

T :=

T

3 1

T

T1 := T

⎛ 0.569 ⎞ T = ⎜ 0.2648 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.1694 ⎠ T

= 0.2978

1

T

3

1

T2 := T

2

T3 := T

3

⎛ 1.7576 ⎞ f = ⎜ 3.776 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5.9022 ⎠

= 0.6398

2

Eigenvectores de la matriz dinámica

AA := eigenvecs( A)

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⎛ −0.7561 −0.4235 0.3082 ⎞ AA = ⎜ 0.6078 −0.361 0.5398 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.2426 0.8309 0.7833 ⎠

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1/13

Las columnas de AA son las formas modales 〈3〉 A1 := AA

〈2〉 A2 := AA

〈1〉 A3 := AA

⎛ 0.3082 ⎞ A1 = ⎜ 0.5398 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.7833 ⎠

⎛ −0.4235 ⎞ A2 = ⎜ −0.361 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.8309 ⎠

⎛ −0.7561 ⎞ A3 = ⎜ 0.6078 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.2426 ⎠

A1 = 1

A2 = 1

A3 = 1

Dibujándo formas modales

⎛⎜ 0 ⎞⎟ 1 z := ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

i := 1 .. 3

v := 0 1

v

i+ 1

:= A1

w := 0

i

1

w

i+ 1

:= A2

i

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0 −3

0

Primer modo

3

0 −3

0

3

Segundo modo

0 −3

y := 0

y

0

3

1

i+ 1

:= A3

i

Tercer modo

Verificación de la ortogonalidad con respecto a la matriz de masas y rigideces , masas y rigideces generalizadas

T

0 ⎞ ⎛ 0.3957 0 ⎜ MG = 0 0.267 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 0.2827 ⎠ ⎝ 0

T

−0 −0 ⎞ ⎛ 544.2507 ⎜ ⎟ KG = −0 150.2902 0 ⎜ ⎟ 0 34.4723 ⎠ ⎝ −0

MG := AA ⋅ M ⋅ AA

KG := AA ⋅ K⋅ AA

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2/13

Comprobación k* = w2 m* −0 −0 ⎞ ⎛ 544.2507 ⎜ ⎟ diag( λ) ⋅ MG = −0 150.2902 0 ⎜ ⎟ 0 34.4723 ⎠ ⎝ −0 Ahora trabajándo las formas modales en forma vectorial, normalizadas respecto al desplazamiento del primer nivel a1 :=

1 A1

a2 :=

A1 1

⎛ 1 ⎞ a1 = ⎜ 1.7514 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2.5411 ⎠

A2 A2

a3 :=

1

⎛ 1 ⎞ a2 = ⎜ 0.8524 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1.962 ⎠

A3 A3

1

⎛ 1 ⎞ a3 = ⎜ −0.8038 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.3209 ⎠

Dibujándo formas modales

⎛⎜ 0 ⎞⎟ 1 z := ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

i := 1 .. 3

v := 0 1

v

i+ 1

:= a1

w := 0

i

1

w

i+ 1

:= a2

i

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0 −3

0

Primer modo

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3

0 −3

0

3

Segundo modo

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0 −3

y := 0

y

0

3

1

i+ 1

:= a3

i

Tercer modo

3/13

Masas generalizadas 0 ⎞ ⎛ 0.4077 0 ⎜ M= 0 0.4077 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 0.2039 ⎠ ⎝ 0 T

T

T

mg1 := a1 ⋅ M ⋅ a1

mg2 := a2 ⋅ M ⋅ a2

mg3 := a3 ⋅ M ⋅ a3

mg1 = 2.9749

mg2 = 1.4889

mg3 = 0.6922

1

1

= 0.5798

mg1

1

= 0.8195

mg2

= 1.202

mg3

Desplazamientos normalizados (con respecto a las masas generalizadas) a1

Φ1 :=

Φ2 :=

mg1

a2

Φ3 :=

mg2

⎛ 0.5798 ⎞ Φ1 = ⎜ 1.0154 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1.4733 ⎠

a3 mg3

⎛ 0.8195 ⎞ Φ2 = ⎜ 0.6986 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1.608 ⎠

⎛ 1.202 ⎞ Φ3 = ⎜ −0.9661 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.3857 ⎠

Φ1 = 1.8809

Φ2 = 1.9353

Φ3 = 1.5896

Comprobación Φ := augment( augment( Φ1 , Φ2 ) , Φ3 )

⎛ 0.5798 0.8195 1.202 ⎞ Φ = ⎜ 1.0154 0.6986 −0.9661 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1.4733 −1.608 0.3857 ⎠ ⎛1 0 0⎞ Φ ⋅ M⋅ Φ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 1⎠ T

−0 0 ⎛ 121.9563 ⎞ ⎜ ⎟ Φ ⋅ K⋅ Φ = −0 562.8822 −0 ⎜ ⎟ −0 1375.2615 ⎠ ⎝ 0 T

Obtención de los coeficientes de participación (utilizando modos normalizados)

⎛1⎞ J := ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ T

T

T

Cp1 := Φ1 ⋅ M ⋅ J

Cp2 := Φ2 ⋅ M ⋅ J

Cp3 := Φ3 ⋅ M ⋅ J

Cp1 = 0.9508

Cp2 = 0.2912

Cp3 = 0.1748

2

Cp1 = 0.904 C:\Curso Conferencia FI ene-feb 2008\

2

Cp2 = 0.0848

2

Cp3 = 0.0306 F Monroy Fac. Ing. UNAM

4/13

c1 := Cp1⋅ Φ1

c2 := Cp2⋅ Φ2

c3 := Cp3⋅ Φ3

⎛ 0.5513 ⎞ c1 = ⎜ 0.9654 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1.4008 ⎠

⎛ 0.2386 ⎞ c2 = ⎜ 0.2034 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.4682 ⎠

⎛ 0.2101 ⎞ c3 = ⎜ −0.1689 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.0674 ⎠

⎛1⎞ c1 + c2 + c3 = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ Espectro de diseño Estructuras grupo B, zona I (suelo firme) c := .16

Ta := .2

Tb := .6

r :=

T c ab1( T) := ⎡⎢⎡⎢⎛⎜ 1 + 3 ⋅ ⎞⎟ ⋅ ⎤⎥⎤⎥ if T < Ta Ta ⎠ 4⎦⎦ ⎣⎣⎝

1 2

c if Ta ≤ T ≤ Tb

⎡ ⎛ Tb ⎞ r⎤ ⎢c⋅ ⎜ ⎟ ⎥ if T > Tb ⎣ ⎝ T ⎠⎦ T := 0 , .01 .. 6 Espectro elástico, DF grupo B zona I

a/g

0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

2

4

6

Periodo (seg)

Estructuras grupo B, zona II (suelo de transición) c := .32

Ta := .3

Tb := 1.5

T c ab2( T) := ⎡⎢⎡⎢⎛⎜ 1 + 3 ⋅ ⎞⎟ ⋅ ⎤⎥⎤⎥ if T < Ta Ta ⎣⎣⎝ ⎠ 4⎦⎦

r :=

2 3

c if Ta ≤ T ≤ Tb

⎡ ⎛ Tb ⎞ r⎤ ⎢c⋅ ⎜ ⎟ ⎥ if T > Tb ⎣ ⎝ T ⎠⎦

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5/13

Espectro Elástico DF grupo B zona II

a/g

0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

2

4

6

Periodo (seg)

Estructuras grupo B, zona III (suelo blando) c := .4

Ta := .6

ab3( T) :=

Tb := 3.9

r := 1

⎡⎡⎛ 1 + 3 ⋅ T ⎞ ⋅ c ⎤⎤ if T < Ta ⎢⎢⎜ ⎟ ⎥⎥ Ta ⎠ 4⎦⎦ ⎣⎣⎝ c if Ta ≤ T ≤ Tb

⎡ ⎛ Tb ⎞ r⎤ ⎢c⋅ ⎜ ⎟ ⎥ if T > Tb ⎣ ⎝ T ⎠⎦ Espectro elástico DF grupo B zona III

a/g

0.4 0.3 0.2 0.1

0

2

4

6

4

6

Periodo (seg)

Espectro elástico DF grupo B

a/g

0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

2 Periodo (seg) Zona I Zona II Zona III

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6/13

Factor reductivo (dúctilidad, factor de comportamiento sísmico) Ta := .2

Estructuras grupo B, zona I (suelo firme)

QP ( Q , T) :=

T ⎡⎡ ⎤⎤ ⎢⎢1 + ( Q − 1 )⎥⎥ if T ≤ Ta ⎣⎣ Ta ⎦⎦ Q if T > Ta Factor reductivo Zona I (suelo firme)

5 4

Q'

3 2 1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Periodo (seg) Q=1 Q=2 Q=3 Q=4

Estructuras grupo B, zona II (suelo de transición)

QP ( Q , T) :=

Ta := .3

T ⎡⎡ ⎤⎤ ⎢⎢1 + ( Q − 1 )⎥⎥ if T ≤ Ta ⎣⎣ Ta ⎦⎦ Q if T > Ta Factor reductivo Zona II (Transición)

5 4

Q'

3 2 1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Periodo (seg) Q=1 Q=2 Q=3 Q=4

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7/13

Ta := .6

Estructuras grupo B, zona III (suelo blando)

QP ( Q , T) :=

T ⎡⎡ ⎤⎤ ⎢⎢1 + ( Q − 1 )⎥⎥ if T ≤ Ta ⎣⎣ Ta ⎦⎦ Q if T > Ta Factor reductivo Zona III (Suelo blando)

5 4

Q'

3 2 1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Periodo (seg) Q=1 Q=2 Q=3 Q=4

Obtención de desplazamientos en cada modo Ordenadas espectrales (divididas entre g) en función de los periodos Estructuras grupo A, zona I (suelo firme) c := .16⋅ 1.5

Ta := .2

Tb := .6

r :=

T c aaI( T) := ⎢⎡⎡⎢⎛⎜ 1 + 3 ⋅ ⎞⎟ ⋅ ⎤⎥⎤⎥ if T < Ta Ta ⎠ 4⎦⎦ ⎣⎣⎝

1 2

c if Ta ≤ T ≤ Tb

⎡ ⎛ Tb r⎤ ⎢c⋅ ⎜ ⎞⎟ ⎥ if T > Tb ⎣ ⎝ T ⎠⎦ Q := 4 QP ( Q , T) :=

T ⎡⎡ ⎤⎤ ⎢⎢1 + ( Q − 1 )⎥⎥ if T ≤ Ta ⎣⎣ Ta ⎦⎦ Q if T > Ta

ae1 := aaI( T1 ) qp1 := QP( Q , T1 )

ae2 := aaI( T2 ) qp2 := QP( Q , T2 )

ae1 = 0.24

qp1 = 4

ae2 = 0.24

qp2 = 4

ae3 = 0.2125

qp3 = 3.5414

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ae3 := aaI( T3 ) qp3 := QP( Q , T3 )

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8/13

Aceleraciones de diseño AD1 := ae1⋅

g

AD2 := ae2⋅

qp1

g

AD3 := ae3⋅

qp2

g qp3

AD1 = 58.86 AD2 = 58.86 AD3 = 58.86 Desplazamientos totales (en cada modo) U1 := AD1⋅ Cp1⋅

Φ1 ω2

U2 := AD2⋅ Cp2⋅

1

⎛ 0.2661 ⎞ U1 = ⎜ 0.466 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.6761 ⎠

⎛ 0.025 ⎞ U2 = ⎜ 0.0213 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.049 ⎠

⎛⎜ 0 ⎞⎟ 1 z := ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

v := 0

i := 1 .. 3

1

v

i+ 1

Φ2 ω2

U3 := AD3⋅ Cp3⋅

2

:= U1

w := 0

i

1

w

i+ 1

:= U2

i

3

3

2

2

2

1

1

1

0

Primer modo

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1

0 −1

3

⎛ 0.009 ⎞ U3 = ⎜ −0.0072 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.0029 ⎠

3

0 −1

Φ3 ω2

0

1

Segundo modo

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0 −1

y := 0

y

0

1

1

i+ 1

:= U3

i

Tercer modo

9/13

Desplazamientos relativos para la obtención de cortantes en cada modo i := 2 .. 3 ur1 := U1 1

ur2 := U2

1

1

ur1 := U1 − U1 i

i

i

⎛ 0.2661 ⎞ ur1 = ⎜ 0.1999 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.2101 ⎠

i

i

i

i

⎛ 53.2106 ⎞ V1 = ⎜ 39.9805 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 16.8098 ⎠ Cortantes para el primer modo

V1

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i

i

i− 1

⎛ 0.009 ⎞ ur3 = ⎜ −0.0162 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.0101 ⎠ k := k3

2

V2 := k ⋅ ur2

1

ur3 := U3 − U3

i− 1

k := k2

1

i

i

⎛ 0.025 ⎞ ur2 = ⎜ −0.0037 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.0702 ⎠ k := k1

V1 := k ⋅ ur1

1

ur2 := U2 − U2

i− 1

i := 1 .. 3

ur3 := U3

1

3

V3 := k ⋅ ur3

i

i

i

i

⎛ 4.991 ⎞ V2 = ⎜ −0.7365 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −5.6188 ⎠

⎛ 1.7984 ⎞ V3 = ⎜ −3.244 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.8091 ⎠

Cortantes para el segundo modo

V2

Cortantes para el tercer modo

V3

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10/13

Cortante Dinámico máximo en cada entrepiso, regla RCSC (raiz cuadrada de la suma de los cuadrados)

(V1i) + (V2i) + (V3i) 2

Vmax := i

2

⎛ 53.4744 ⎞ Vmax = ⎜ 40.1186 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 17.7424 ⎠

2

N := 3 j := 1 .. N − 1 Fd := Vmax − Vmax j

j

Cortantes máximos, criterio RSC (SRSS)

j +1

Fd := Vmax N

N

⎛ 13.3558 ⎞ Fd = ⎜ 22.3762 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 17.7424 ⎠

Vmax

Desplazamientos totales máximos en cada nivel (contribución de todos los modos) Umax := i

(U1i) + (U2i) + (U3i) 2

2

2

⎛ 0.2674 ⎞ Umax = ⎜ 0.4665 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.6779 ⎠ Desplazamientos relativos máximos en cada entrepiso (contribución de todos los modos) Urmax := i

(ur1i) + (ur2i) + (ur3i)

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2

2

2

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11/13

⎛ 0.2674 ⎞ Urmax = ⎜ 0.2006 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.2218 ⎠

Los desplazamientos relativos máximos obtenidos anteriormente NO se deben de obtener como: i := 2 .. 3 ur := Umax 1

1

ur := Umax − Umax i

i

i− 1

⎛ 0.2674 ⎞ ur = ⎜ 0.1991 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.2114 ⎠ Análisis Sísmico Estático i := 1 .. 3 W := W1

W := W2

1

Wtotal :=

W := W3

2

∑W

3

Wtotal = 1000

⎛ 4.58 ⎞ h := ⎜ 7.63 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 10.68 ⎠ h =

W =

i

i

W ⋅h = i i

4.58

400

1832

7.63

400

3052

10.68

200

2136

T

wh := W ⋅ h c Q

wh = 7020

= 0.06

Vbase :=

c Q

⋅ Wtotal

Vbase = 60

f1 :=

Vbase wh

f1 = 0.0085

F := f1⋅ W ⋅ h i

i i

⎛ 15.6581 ⎞ F = ⎜ 26.0855 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 18.2564 ⎠

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12/13

FF := augment( F , Fd)

Fuerzas máximas, estáticas (atrás) y dinámicas (frente)

⎛ 15.6581 ⎞ F = ⎜ 26.0855 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 18.2564 ⎠

⎛ 13.3558 ⎞ Fd = ⎜ 22.3762 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 17.7424 ⎠

FF

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