Mathcad - Ejercicio Extra 4 PDF

Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ingeniería

Ejercicio: Se propone enfriar con aire los cilindros de una cámara de combustión mediante la unión de una cubierta de aluminio con aletas anulares de conductividad térmica kc=240 W/m K, a la pared del cilindro kp=50 W/m K. El aire está a 320K y el coeficiente de convección correspondiente es de 100 W/m 2 K. Aunque el calentamiento en la superficie interna es periódico, es razonable suponer condiciones de estado estable con un flujo de calor promedio respecto al tiempo de 105 W/m 2. Suponiendo una resistencia de contacto insignificante entre la pared y la cubierta, determine la temperatura interna de la pared Tsi, la temperatura de la interfaz T1 y la temperatura de la base de la aleta Tb. Determine estas temperaturas si la resistencia de contacto de la interfaz es Rc=10 -4 m2 K/W. Comparar los resultados para un cilindro sin cubierta. Datos: Radio interior

ri := 60mm

Radio exterior del cilindro:

r1 := 66mm

Radio exterior de la cubierta

r2 := 70mm

Radio de la punta de la aleta

ro := 95mm

Conductividad de la cubierta

kc := 240

Conductividad de la pared del cilindro:

kp := 50

Temperatura del aire

Te := 320K

Coeficiente de convección exterior:

W he := 100 2 m ⋅K

Flujo de calor:

q := 10

W m⋅ K

W m⋅ K

5 W 2

m

− 4 m⋅ K

Resistencia de contacto:

Ri := 10

Medio espesor de la aleta

t := 1mm

Luz entre aletas:

δ := 2mm

67.31-Transferencia de Calor y Masa

W

(por unidad del longitud de cilindro)

Ing. Sergio Juskoff

Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ingeniería

Solución: Cilindro con cubierta - Sin resistencia interfacial Esquema eléctrico equivalente

Se hace el análisis por unidad de logitud del cilindor Qi = qi⋅ Ai = q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri =

Ti − Te Req

Obsoervado el dibujo, podemos ver que el patrón del aletado se repite cada 4mm. Por lo tanto habrá 250 aletas por metro lineal del cilindro.

67.31-Transferencia de Calor y Masa

Ing. Sergio Juskoff

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Aletas m

Γ := 250⋅

Aletas por metro:

2

Area del tubo desnudo:

At := 2 ⋅ π⋅ r2 ⋅ δ⋅ Γ

Parámetro de aleta:

β :=

m

At = 0.22 m

he kc ⋅ t

β = 20.4

 r1    ri 

1 m

ln 

− 4 m⋅ K

Rp := 2 ⋅ π⋅ kp

Resistencia de la pared del cilindro:

Rp = 3.03 × 10

 r2  ln   r1 Rc :=   2 ⋅ π⋅ k

Resistencia de la pared de la cubierta

Rc = 3.9 × 10

c

− 5 m⋅ K

W

m⋅ K Rt = 0.045 W

1 Rt := he⋅ At

Resistencia a la convección del tubo

W

Eficiencia de la aleta Puede utilizarse la eficiencia para aleta aislada, usando la logitud extrema corregida. Tener en cuenta que, el área de la aleta ahora si incluye el extremo activo. roc := ro + t Rendimineto de la aleta circunferencial

ηf :=

2 ⋅ r2

( (

) ( ) (

) )

( (

) ( ) (

) )

K1 β⋅ r2 ⋅ I1 β⋅ roc − I1 β⋅ r2 ⋅ K1 β⋅ roc 2 2 β⋅  roc − r2  K0 β⋅ r2 ⋅ I1 β⋅ roc + I0 β⋅ r2 ⋅ K1 β⋅ roc  

Area de la aleta:

67.31-Transferencia de Calor y Masa

⋅

2 2 Af := 2π⋅  ro − r2  ⋅ Γ + 4 ⋅ π⋅ ro⋅ Γ⋅ t  

ηf = 0.902

2

m Af = 6.78 m

Ing. Sergio Juskoff

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Resistencia de la aleta:

1 Rf := ηf⋅ Af⋅ he

Resistencia equivalente:

Rt⋅ Rf Req := Rp + Rc + Rt + Rf

Rf = 1.63 × 10

(

)

− 3 m⋅ K

Req = 1.92 × 10

W

− 3 m⋅ K

W

Cálculo extra: Podemos obtener el mismo resultado reemplazando el paralelo aleta-tubo con el concepto de eficiencia de la superficie:

Rendimiento de la aleta:

Af ηs := 1 − ⋅ 1 − ηf Af + At

(

)(

)

ηs = 0.905

Resistencia equivalente:

1 Req1 := Rp + Rc + ηs⋅ At + Af ⋅ he

Temperatura interior

Ti := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅ Req

Ti = 392 K

Temperatura de interface

1  T1 := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅ Rc + ηs⋅ At + Af ⋅ he   

T1 = 381 K

Temperatura de la base:

1  Tb := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅    ηs⋅ At + Af ⋅ he 

Tb = 379 K

(

(

(

(

Req1 = 1.92 × 10

)

)

)

)

(

(

)

)

− 3 m⋅ K

W

Teniendo en cuenta la resistencia de interface

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Resistencia equivalente

1 Req' := Rp + Ri + Rc + ηs⋅ At + Af ⋅ he

Temperatura interior

Ti := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅ Req'

Temperatura de interface interior:

1   T1i := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅ Rc + Ri +  ηs⋅ At + Af ⋅ he  

T1i = 385 K

Temperatura de interface exterior:

1   T1e := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅ Rc + ηs⋅ At + Af ⋅ he   

T1e = 381 K

Temperatura de la base:

1  Tb := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅    ηs⋅ At + Af ⋅ he 

Tb = 379 K

(

(

Req' = 2.02 × 10

)

)

(

(

)

(

)

W

Ti = 396 K

)

(

− 3 m⋅ K

(

(

)

)

)

Vemos que solo se ven incrementadas las temperatura de las superficies anteriores a la resistencia de contacto, ya que lo que permanece constante es el flujo de calor y no la temperatura de la pared interior. Para cilindro descubierto Temperatura interior:

1   Ti := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅  Rp + he⋅ 2 ⋅ π⋅ r1   

Temperatura exterior:

1 T1 := Te + q⋅ 2 ⋅ π⋅ ri ⋅ he⋅ 2 ⋅ π⋅ r1

(

)

Ti = 1241 K

(

)

T1 = 1229 K

Puede verse el efecto que produce en el prefil de temperaturas la ausencia de aletas y pone además en evidencia la importancia que le corresponde a estas en el enfriamiento correcto. Queda para el alumno evaluar el uso de aletas hiperbólicas.

Ejercicio recomendado: Ejemplo 2.7 página 95 Mills. Referencias: [1] "Fundamentos de Transferencia de Calor" - F. Incropera - D. Dewitt - Pearson

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