Math Diffc

Outils mathématiques Différentielle - Complexes

1- Différentielle Considérons une fonction à trois variables : f(X,Y,Z) ; la différentielle de f notée df est définit par :

df = Avec

∂f ∂f ∂f dX + dY + dZ ∂X ∂Y ∂Z

∂f représente la dérivée partielle de f par rapport à la variable u. ∂u Exemple : f ( x, y, z ) = x 2 + xy + y 2

Soit df = PdX + QdY + RdZ ; df est dite différentielle totale exacte si et seulement si :

 ∂P   ∂Q  et   =   ∂Y  X , Z  ∂X Y , Z

 ∂P   ∂R    =   ∂Z  X ,Y  ∂X Y , Z

et

 ∂Q   ∂R    =   ∂Z  X ,Y  ∂Y  X , Z

Exercice : Soit df = (8xy – 3z2)dx + (4x2 + 3z2)dy – 6z(x – y)dz a- Montrer que df est une différentielle totale exacte b- Déterminer f(x,y,z) 2- Gradient d’un champ scalaire Champ scalaire : grandeur physique qui dépend de la position. JJJJJG Soit f un champ scalaire, le gradient de f est un vecteur noté grad f défini par : G JJJJJG G G df = grad f .dr avec dr : vecteur déplacement élémentaire.

JJJJJG Expression de : grad f . •

En coordonnées cartésiennes : f(x,y,z) ; JJJJJG ∂f G ∂f G ∂f G grad f = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

•

En coordonnées cylindriques : f ( ρ , ϕ , z ) ; JJJJJG ∂f G 1 ∂f G ∂f G grad f = eρ + eϕ + ez ∂ρ ∂z ρ ∂ϕ

•

En coordonnée sphériques : f (r ,θ , ϕ ) ; JJJJJG ∂f G 1 ∂f G 1 ∂f G grad f = er + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ

M.Afekir

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Outils mathématiques

3- Développement limité Le principe du développement limité consiste à « approximer » localement une fonction par un polynôme. Considérons une fonction une fonction f (x), n fois dérivable en un point xo. Le développement limité de f(x) à l’ordre p au voisinage de xo est donné par la Formule de Taylor : p

1 (k ) f ( xo )( x − xo ) k + ο ( x − xo ) k ; k =0 k !

f ( x) = ∑

Avec lim ο ( x − xo ) k = 0 quant x tend vers xo et f ( k ) ( xo ) : dérivée kème de f(x) au point xo . Exemple :

D.L10 (sin( x))  x

et

D.L20 (cos( x))  1 −

x2 2

4- Nombres complexes Considérons le nombre complexe z = a + ib ; z peut encore s’écrire sous la forme : z = r.eiθ Avec : r = a 2 + b 2 : norme de z et θ : arg(z) = argument de z.

b  arctan( a ) θ = π + arctan( b )  a Autres formules : eiθ = cos θ + i sin θ

a>0 a