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MBA EM GESTÃO EMPRESARIAL
MATEMÁTICA FINANCEIRA EXERCÍCIOS
Ricardo Araújo
MAtemática Financeira - Exercícios
1
JUROS COMPOSTOS: 1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Determine o valor acumulado no final deste período.
3
n
3
M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 3 = C0 × (1 + i ) = 80.000 × (1 + 0, 025)3 = 80.000 × (1, 025 ) = $86.151, 25
Usando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN
80.000 CHS CHS PV 3 n 2,5 2, 5 i 86.151 151,, 25 FV → $ 86.
2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $239.018,51 o montante acumulado. Determinar o valor do empréstimo.
n
M n = C0 × (1 + i ) ⇒ C0 =
M n
(1 + i )
n
=
239.0 239 .018 18,51 ,51 (1 + 0, 02) 02)9
=
239.0 239 .018 18,51 ,51 9
(1, 02 )
= $200.000, 00
Usando as teclas financeiras da HP-12C:
MAtemática Financeira - Exercícios
2
f FIN
239.018,51 CHS CHS FV 9 n 2i 200.000,00 00 PV → $ 200.000,
3) Um capital de $40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um montante de $60.000,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. n
M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 11 = C0 × (1 + i )11 ⇒ 60.000 = 40.000× (1+ i )11
60.000 60.000 ⇒ (1 + i ) = ⇒ 1+ i = 40.000 40.000 11
1 11
60.000 111 ⇒ i = − 1 × 100% ⇒ i = 3, 75% a .m. 4 0 . 0 0 0
Usando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN CHS FV 60.000 CHS
40.000 PV 11 n a.m.. i → 3,75% a.m
4) Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor dos juros ao final deste período. 8
n
8
M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 8 = 18.000 × (1+ i ) ⇒ M 8 = 18.000× ( 1, 015) = $20.276, 87 J8 = M8 − C0 = 20.27 20.276,87 6,87 − 18.0 18.000 00 = $2.27 $2.276,87 6,87 ou Jn = C0 × (1 + i) − 1 ⇒ J8 = 18.000× (1, 015) − 1 = $2.276, 87 8
n
MAtemática Financeira - Exercícios
3
Usando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN CHS PV 18.000 CHS
8 n 1, 5 i FV → 20.276,87
18.000 − → $2.276,87
5) Uma aplicação que rende taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de 50 meses, juros no valor de $359.998,70. Calcular o valor da aplicação.
Jn = C0 × (1 + i) − 1 ⇒ J50 = C0 × (1 + i) − 1 50
n
359.998,70 50 ⇒ 359.998, 70 = C0 × (1+ 0, 018) − 1 ⇒ C0 = ⇒ C 0 = $250.000, 00 50 (1, 01 018) − 1
6) Uma pessoa aplica $120.000,00 a uma determinada taxa de juros ao mês, durante 18 meses. Se o valor dos juros auferidos ao final deste período é de $67.159,05, qual o valor da taxa de juros desta operação?
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4
Jn = C0 × (1 + i) − 1 ⇒ J18 = C0 × (1+ i) − 1 18
n
67.159, 05 = 120.000× (1+ i ) − 1 ⇒ ( 1+ i ) − 1 = 18
18
67.159,05 120.000
67.159, 05 67.159, 05 ⇒ (1 + i ) = + 1 ⇒ (1 + i ) = + 1 1 2 0 . 0 0 0 120.000 18
1 18
67.159,05 118 50% a.m. ⇒ i = + 1 − 1 ×100% ⇒ i = 2, 50 120.000
7) Uma dívida de $50.000,00 irá vencer em 4 meses. O devedor está oferecendo pagar uma taxa de juros composta de 2% ao mês ao credor caso haja a antecipação do pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
n
M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 4 = C0 × (1 + i ) 4
4
50.000 = C0 × (1+ 0, 02) ⇒ 50.000 = C 0 × ( 1, 02) C 0 =
50.000 (1, 02) 4
4
= $46.192,27
Usando as teclas financeiras da HP-12C:
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5
f FIN
50.000 CHS FV 4 n 2i PV → $ 46.192,27
8) Calcular o montante de um capital de $600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de 1 ano e 5 meses.
n
17
17
M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 17 = C0 × (1 + i ) ⇒ M 17 = 600.000× (1+ 0, 023) 17
⇒ M 17 = 600.000 × (1, 023) ⇒ M 17 = $883.155,19
Usando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN
600.000 CHS PV 17 n 2,3 i FV → $ 883.155,19
9) Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira $20.000,00 resgatando $23.850,37 oito meses depois. Calcular a taxa mensal de juros auferida nesta aplicação. n
8
8
8
M n = C0 × (1 + i ) ⇒ M 8 = C0 × (1 + i ) ⇒ 23.850, 37 = 20.000× ( 1+ i ) ⇒ ( 1+ i ) =
23.850,37 20.000
1 23.850, 37 18 23.850, 37 8 ⇒ (1 + i ) = ⇒ i = 20.000 − 1 × 100% ⇒ i = 2, 23% a .m . 20.000
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6
Usando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN
20.000 CHS PV 23.850,37 FV 8 n i → 2, 23% a.m.
10) Determinar a taxa de inflação anual em um ano que registrou as seguintes taxas mensais: 1,20%; 0,45%; -0,52%; 1,85%; 0,77%; -0,34%; 2,08%; 1,36%; 3,15%; -1,10%; 3,20%; 0,66%. n
(1 + i )
n
= (1 + 0,012) × (1+ 0,0045)× (1− 0,0052)× (1+ 0,0185)× (1+ 0,0077)× (1− 0,0034)×
i =1
×(1 + 0,0208) × (1 + 0,0136)× (1+ 0,0315)× (1− 0,011)× (1+ 0,032)× (1+ 0,0066)= 13,42% a .a .
11) Determinar a taxa de inflação anual em um ano que registrou as seguintes taxas mensais: 0,75%; 0,49%; -0,31%; 2,42%; 0,13%; -0,68%; 1,44%; -0,95%; 2,35%; 1,77%; 0,54%; 0,63%. n
(1 + i)
n
= (1 + 0,0075) × (1+ 0,0049)× (1− 0,0031)× (1+ 0,0242)× (1+ 0,0013)× (1− 0,0068)×
i =1
×(1 + 0,0144) × (1 − 0,0095)× (1+ 0,0235)× (1+ 0,0177)× (1+ 0,0054)× (1+ 0,0063)= 8,85% a .a .
12) Calcular o montante de uma aplicação financeira de $80.000,00 admitindo-se os seguintes prazos e taxas: a) i = 2,5% a.m. e n = 2 anos
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7
f FIN
80.000 CHS PV 2,5 i 24 n FV → $144.698,08
b) i = 6% a.b. e n = 1 ano e 8 meses f FIN
80.000 CHS PV 6 i 10 n FV → $143.267, 8 2
c) i = 12% a.a. e n = 108 meses f FIN
80.000 CHS PV 12 i 108 ENTER 12 / n FV → $221.846,30
13) Determinar o juro de uma aplicação de $100.000,00 nas seguintes condições de taxa e prazo: a) i = 1,5% a.m. e n = 1 ano f FIN
100.000 CHS PV 1,5 i 12 n FV ← 119.561,82
100.000 − → $19.561,82
f FIN
100.000 CHS PV 1, 5 i 12 n FV ← 119.561,82 RCL PV → −100.000, 00
+ → $19.561, 82
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8
b) i = 3,5% a.t. e n = 2 anos e 6 meses f FIN
100.000 CHS PV 3,5 i 10 n FV ← 141.059,88
100.000 − → $41.059,88
f FIN
100.000 CHS PV 1,5 i 12 n FV ← 141.059,88 RCL PV → −100.000, 00
+ → $41.059, 88
c) i = 5% a.s. e n = 3 anos f FIN
100.000 CHS PV 5 i 6 n FV ← 134.009,56
100.000 − → $34.009,56
f FIN
100.000 CHS PV 5 i 6 n FV ← 134.009, 56 RCL PV → −100.000, 00
+ → $34.009, 56
d) i = 4,2% a.q. e n = 84 meses f FIN
100.000 CHS PV 4, 2 i 21 n FV ← 237.258,67
100.000 − → $137.258,67
f FIN
100.000 CHS PV 4, 2 i 21 n FV ← 237.258,67 RCL PV → −100.000,00
+ → $137.258, 67
14) Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $6.600,00 que produz um montante de $7.385,81 ao final de 7 meses. f FIN
6.600 CHS P V 7.385,81 FV 7 n i → 1, 62% a.m.
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9
15) Uma aplicação de $78.000,00 gerou um montante de $110.211,96 numa certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o prazo da aplicação. Solução com auxílio da HP-12C: f FIN
78.000 CHS PV 110.211,96 FV 2,5 i n → 14
Solução matemática: n
n
n
M n = C0 × (1 + i ) ⇒ 110.211, 96 = 78.000× ( 1+ 0, 025) ⇒ ( 1, 025) =
⇒ ln (1, 025)
n
110.211,96
78.000 110.211,96 ln 78.000 110.211,96 110.211, 96 = ln ⇒ n × ln (1, 025) = ln 78.000 ⇒ n = 78.000 ln ( 1, 025)
⇒ n = 14 meses
16) Um título com valor de resgate de $7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros composta de 2,5% ao mês, pede-se calcular o valor deste título: a) hoje. f F IN
7.200 CHS FV 2,5 i 4 n PV → $6.522,84
b) cinco meses após o seu vencimento. f FIN
7.200 C HS PV 2,5 i 5n FV ← 8.146,14
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10
17) Seja uma taxa de juros de 2,5% a.m. Encontre as taxas trimestral, quadrimestral, semestral e anual equivalentes. n
ieq = (1 + i ) − 1 i3 = (1 + i )
3 1
3 − 1 × 100% = (1+ 0, 025) − 1 × 100% = 7, 69% a .t . 4 4 i4 = (1 + i ) 1 − 1 × 100% = (1+ 0, 025) − 1 × 100% = 10, 38% a .q .
i6 = (1 + i )
6 1
6 − 1 × 100% = (1+ 0, 025) − 1 × 100% = 15,97% a s. . 12 12 i12 = (1 + i ) 1 − 1 × 100% = (1+ 0, 025) − 1 × 100% = 34,49% a.a.
18) Seja uma taxa de juros de 20,52% a.a. Encontre as taxas mensal, bimestral, trimestral, quadrimestral e semestral equivalentes. n
ieq = (1 + i ) − 1 i1 = (1 + i )
1 12
1 − 1 × 100% = (1+ 0, 2052) 12 − 1 × 100% = 1,57% a .m .
2 1 i2 = (1 + i ) 12 − 1 ×100% = (1+ 0, 2052) 6 − 1 × 100% = 3,16% a .b . 3 1 i3 = (1 + i ) 12 −1 × 100% = (1 + 0, 2052) 4 − 1 × 100% = 4, 78% a .t . 4 1 i4 = (1 + i ) 12 − 1 × 100% = (1+ 0, 2052) 3 − 1 × 100% = 6, 42% a .q. 6 1 i6 = (1 + i ) 12 − 1 × 100% = (1+ 0, 2052) 2 − 1 × 100% = 9, 78% a .s .
19) Admita que um banco esteja pagando 16,50% a.a. de juros na colocação de um título de sua emissão. Apurar a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos (admitir ano comercial, com 360 dias): a) 32 dias. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i32 d = (1+ 0,1650)
32
n
360
− 1 × 100% = 1,37% p / 32 dias
b) 170 dias. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i170 d = (1+ 0,1650)
170
n
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360
− 1 × 100% = 7, 48% p /170 dias 11
c) 250 dias. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i250d = (1 + 0,1650) n
250
360
− 1 × 100% = 11,19% p /250 dias
360
− 1 × 100% = 18, 49% p / 400 dias
d) 400 dias. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i400 d = (1+ 0,1650) n
20)
400
Com relação à formação das taxas de juros, pede-se:
a) Em 77 dias uma aplicação rendeu 9,4% de juros. Apurar as taxas mensal e anual equivalentes. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ imensal = (1+ 0, 094)
77 − 1 × 100% = 3,56% a .m . 360 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ianual = (1+ 0, 094) 77 − 1 × 100% = 52, 20% a .m . 30
n
b) Um banco cobra atualmente 17,30% a.a. de juros. Para uma operação de 148 dias, determinar a taxa efetiva equivalente que será cobrada. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i148d = (1+ 0,1730)
148
n
360
− 1 × 100% = 6, 78% p /148 dias
c) Uma empresa está cobrando juros de 4% para vendas a prazo de 32 dias corridos. Determinar a taxa efetiva mensal e anual da venda a prazo. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ imensal = (1+ 0, 04)
32 − 1 × 100% = 3, 75% a .m . 360 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ianual = (1+ 0, 04) 32 − 1 × 100% = 55, 46% a .m . 30
n
d) Determinar a taxa equivalente para 44 dias de 83,7% ao ano. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ianual = (1+ 0,837) n
21)
44
360
− 1 × 100% = 7, 72% p / 44 dias
Com relação à formação das taxas de juros, pede-se:
a) Em 102 dias uma aplicação rendeu 11,55% de juros. Apurar a taxa anual equivalente.
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12
360 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i = (1+ 0,1155) 102 − 1 × 100% = 47, 08% a .a .
b) Um banco cobra atualmente 26,90% a.a. de juros. Para uma operação de 62 dias, determinar a taxa efetiva equivalente que será cobrada. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i = (1 + 0, 269)
62
n
360
− 1 × 100% = 4,19% p / 62 dias
c) Uma empresa está cobrando juros de 5,60% para vendas a prazo de 35 dias corridos. Determinar a taxa quadrimestral equivalente. ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ i = (1 + 0, 056)
120
n
35
− 1 × 100% = 20,54% a .q .
d) Determinar a taxa equivalente para 75 dias de 15,30% ao semestre. ieq = (1 + i ) − 1 ×100% ⇒ i = (1+ 0,153) n
75 180
− 1 × 100% = 6,11% p/ 75 dias
22) Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nomi nal de 60% ao ano. Determinar o custo efetivo anual desta operação, admitindo que os juros sejam capitalizados: a) Mensalmente.
Taxa mensal proporcional à taxa nominal de 60% a.a
12 1 0,60 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq = 1 + − 1 × 100% = 79, 59% a .a . 12 1
( )
b) Trimestralmente.
Taxa trimestral proporcional à taxa nominal de 60% a.a.
12 3 0,60 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq = 1+ − 1 × 100% = 74, 90% a .a . 12 3
( )
c) Semestralmente
Taxa semestral proporcional à taxa nominal de 60% a.a.
12 6 0,60 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq = 1+ − 1 × 100% = 69% a .a . 12 6
( )
MAtemática Financeira - Exercícios
13
23) Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal de 30% ao ano. Determinar o custo efetivo anual desta operação, considerando: a) capitalização mensal;
Taxa mensal proporcional à taxa nominal de 30% a.a
12 1 0,30 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq = 1+ − 1 × 100% = 34, 49% a .a . 12 1
( )
b) capitalização trimestral;
Taxa trimestral proporcional à taxa nominal de 30% a.a.
12 3 0,30 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq = 1+ − 1 × 100% = 33, 55% a .a . 12 3
( )
c) capitalização quadrimestral.
Taxa quadrimestral proporcional à taxa nominal de 30% a.a.
12 4 0,30 n ieq = (1 + i ) − 1 × 100% ⇒ ieq = 1+ − 1 × 100% = 33,10% a .a . 12 4
( )
24) Uma pessoa irá necessitar de $200.000,00 daqui a 6 anos. Quanto ela deverá depositar mensalmente num fundo de poupança para obter o montante desejado? Considere que a taxa de juros seja de 1,24% a.m. f FIN
200.000 CHS FV 1,24 i 72 n PMT → D = $1.735,98
25) Sua caderneta de poupança tem hoje um saldo de $5.000,00. A cada mês, a partir de t=1, você deposita mais $300,00. Você pretende aplicar por 12 meses a mesma quantia todo mês. A taxa de retorno de sua poupança é de 1,2% a.m. Quanto você terá ao final do último mês? 12
FV = 5.000 × (1 + 0, 012) +
11
∑ 300 × (1 + 0, 012) j = 0
j
FV = $9.616,84
MAtemática Financeira - Exercícios
14
Com auxílio da HP-12C: f REG
1,012 ENTER
300 CHS PMT
12 y X
12 n
5000 ×
1, 2 i
+ → $9.616,84
FV
26) Quanto acumularia um investidor no fim de 1 ano se fizesse a partir de hoje 12 depósitos mensais de $800,00 em uma instituição financeira que remunera à taxa composta de 4,2% a.m.? FV =
12
∑ 800 × (1 + 0, 042) j =1
j
FV = $12.670,1 7 f REG
12 n
g BEG
4, 2 i
800 CHS PMT
FV → $12.670,17
27) Quanto acumularia um investidor no fim de dois anos se fizesse a partir de hoje 24 depósitos mensais de $20.000,00 em uma instituição financeira que paga juros à taxa composta de 3,5% ao mês? F V =
24
∑ 20.000 × (1+ 0, 035) ⇒ FV = $758.997,13 j
j =1
f FIN g BEG
20.000 CHS PMT 24 n 3,5 i FV → $758.997,13
28) Quanto um investidor deve depositar mensalmente, durante 60 meses, a partir de hoje para dispor de $1.000.000,00 no fim de 5 anos se os depósitos são remunerados à taxa de 2% a.m.? f F IN
1.000.000 FV 61 n
2 i PMT → $8.522, 7 8
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15
29) Uma pessoa irá necessitar de um montante de $60.000,00 daqui a 5 anos. Ela deposita hoje $3.000,00 e planeja fazer depósitos mensais no valor de $400,00 numa conta de poupança. Que taxa de juros deve esta conta pagar mensalmente para que o poupador receba o montante desejado ao final dos 5 anos? f FIN
3.000 PV 400 PMT
⇒ i = 2,20% a.m.
60 n 60.000 CHS FV i ← 2,20
30) Uma pessoa deve dois títulos no valor de $25.000,00 e $56.000,00 cada. O primeiro título vence daqui a 2 meses, e o segundo três meses após. O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 10° mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros compostos, determinar o valor deste pagamento único.
Equilibrando os fluxos de caixa em t = 0:
∑
Fluxos (+) =
25.000
(1, 03)
2
+
∑
56.000 5
(1, 03)
=
Fluxos (- ) X 10
(1, 03)
⇒ X = $96.588,60
Note que por se tratar de juros compostos, qualquer outra data poderia ter sido escolhida, sem alterar o resultado calculado anteriormente. Por exemplo, se escolhermos t = 10 meses:
∑
Fluxos (+) =
∑
Fluxos (- )
8
5
25.000 × (1, 03) + 56.000 × ( 1, 03) = X ⇒ X = $96.588, 60
MAtemática Financeira - Exercícios
16
31)
Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:
a) $35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses; b) $65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança que rende 5% ao mês de juros compostos. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimento sem deixar saldo final na conta.
∑ X =
Fluxos (+) =
35.000
(1, 05)
3
+
∑
Fluxos (- )
65.000 5
(1, 05)
⇒ X = $81.163,52
32) Uma dívida de $1.000.000,00 vence daqui a 1 ano. Decorridos 4 meses o devedor propõe pagar $350.000,00 de imediato, $250.000,00 3 meses após e o saldo 3 meses após. Se por ocasião da proposta a taxa de juros corrente no mercado é de 2% ao mês, pede-se indicar o valor do saldo devedor.
∑
lu F xos( + ) =
350.000 4
(1, 02 )
+
∑
250.000
(1, 02)
7
Fluxos (- )
+
X 10
(1, 02 )
=
MAtemática Financeira - Exercícios
1.000.000 12
(1, 02 )
⇒ X = $301.709,93
17
33) Uma pessoa, ao comprar um apartamento cujo preço à vista é de $600.000,00 deu 20% de sinal concordando em pagar 3% ao mês de juros compostos sobre o saldo devedor. Se o comprador pagar $200.000,00 2 meses após a compra e $280.000,00 3 meses mais tarde, que pagamento teria que efetuar no fim de 9 meses contados da data da compra?
∑
Fluxos (+) =
∑
Fluxos (- )
( 600.000 − 120.000) =
200.000
(1, 03)
+
2
280.000 5
(1, 03)
+
X 9
(1, 03)
⇒ X = $65.173,89
34) Uma pessoa deve a outra a importância de $15.400,00. Para a liquidação da dívida, propõe os seguintes pagamentos: $4.000,00 ao final de 2 meses; $2.500,00 ao final de 5 meses; $3.200,00 ao final de 7 meses e o restante em um ano. Sendo de 2,5% ao mês a taxa efetiva de juros cobrada no empréstimo, pede-se calcular o valor do último pagamento.
∑
Fluxos (+) =
∑
4.000
+
15.400 =
(1, 025)
2
Fluxos (- )
2.500 5
(1, 025)
+
3.200
(1, 025)
7
+
X 12
(1, 025)
⇒ X = $8.998, 73
35) Um débito de $350.000,00 contraído há 60 dias está sendo amortizado com um pagamento de $45.000,00 hoje, $130.000,00 de hoje a 3 meses e $85.000,00 de hoje a 8 meses. Que pagamento no fim de 5 meses, contados de hoje, ainda é necessário ser feito para uma taxa de juros composta de 2% a.m.?
MAtemática Financeira - Exercícios
18
∑
Fluxos (+) =
∑
2
Fluxos (- )
350.000 × (1, 02) = 45.000 +
130.000 3
(1, 02 )
+
85.000 8
(1, 02)
+
X 5
(1, 02)
⇒ X = $137.006, 95
36) Uma loja oferece duas opções para o pagamento de uma determinada mercadoria que possui preço de $2.000,00: a) desconto de 5% para pagamento à vista ou; b) pagamento sem desconto após 30 dias. Qual a taxa efetiva correspondente do pagamento a prazo? n
n
1
1
= C0 × (1 + i ) ⇒ M 1 = C0 × (1 + i ) ⇒ 2.000 = 1.900× (1+ i )
⇒ (1 + i ) =
2.000 ⇒i= − 1 × 100% ⇒ i = 5, 26% a .m. 1.900 1.900 2.000
Resolvendo com auxílio das teclas financeiras da HP-12C: Valor com desconto = 0,95×2.000 = $1.900,00 f FIN
1.900 CHS PV 2.000 FV 1 n i → 5, 26 % a.m.
MAtemática Financeira - Exercícios
19
37) Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: a) $ 20.000,00 vencíveis em 35 dias; b) $ 45.000,00 vencíveis em 65 dias; c) $ 70.000,00 vencíveis em 90 dias; Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema: a) $ 30.000,00 em 55 dias; b) $ 50.000,00 em 80 dias; c) e o restante em 160 dias. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros composta adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento desconhecido.
Em regime de juros compostos, ambas as propostas de pagamento deverão gerar o mesmo montante em qualquer data. Sendo assim, em t = 0:
∑ ( Fluxos1ª 20.000 35
(1, 025 )
+ 30
proposta em t= 0 ) =
45.000 65
(1, 025)
+ 30
∑ ( Fluxos2ª
70.000
(1, 025)
90
= 30
proposta em t= 0 )
30.000
( 1, 025)
55
+
30
50.000
( 1, 025)
80
30
+
X 160
( 1, 025)
30
⇒ X = $58.867,58
38) Uma empresa apresenta o seguinte fluxo de desembolso de um financiamento de $75.000,00: VALOR A PAGAR $10.700,00 $17.200,00 $14.500,00 X $9.800,00 $13.300,00 MAtemática Financeira - Exercícios
MOMENTO DO PAGAMENTO 22 dias 47 dias 66 dias 83 dias 102 dias 137 dias 20
Para uma taxa de juros efetiva de 30% a.a., determinar o montante do pagamento previsto para daqui a 83 dias, considerando o ano comercial.
75.000 =
10.700
(1, 30 )
22 360
+
17.200
(1,30)
47 360
14.500
+
(1,30)
66 360
+
X
(1,30)
83 360
9.800
+
(1, 30)
102 360
+
13.300
(1,30)
137 360
⇒ X = $13.700,34
39) Uma empresa contrata um empréstimo de $48.000,00 e prazo de vencimento de 30 meses. Sendo a taxa de juro anual de 22,50% pede-se calcular o montante a pagar utilizando as convenções linear e exponencial.
M n = C0 × (1 + i )
Pela convenção exponencial
n+
m k
M n = 48.000 × (1 + 0, 2250)
2+
6 12
M n = $79.722,60 n
M n = C 0 × (1 + i ) × 1 + i ×
Pela convenção linear
m
k 2
M n = 48.000 × (1 + 0,2250) × 1 + 0, 2250 ×
6 12
M n = $80.133, 38 MAtemática Financeira - Exercícios
21
Utilizando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN
f FIN
STO EEX (indicador "C" some do visor)
48.000 CHS PV
48.000 CHS PV
22,50 i
22,50 i
30 ENTER
30 ENTER
12 /
12 /
n
n
FV → $79.722, 60
FV → $80.133,38
(convenção exponencial)
(convenção linear)
40) Determinar o valor de resgate de uma aplicação de $260.000,00 pelo prazo de 190 dias, e uma taxa composta de 5,5% a.m., pelas convenções linear e exponencial.
Pela convenção exponencial: M n = C0 × (1 + i )
n+
m k
M n = 260.000 × (1 + 0,055)
6+
10 30
M n = $364.954,67
Pela convenção linear: n
M n = C0 × (1 + i ) × 1 + i ×
m
k 6
M n = 260.000 × (1 + 0, 055) × 1+ 0, 055×
10 30
M n = $365.071,61
MAtemática Financeira - Exercícios
22
Utilizando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN
f FIN
STO EEX (indicador "C" some do visor)
260.000 CHS PV
260.000 CHS PV
5,5 i
5,50 i
190 ENTER
190 ENTER
30 /
30 /
n
n
FV ← 364.954,67
FV ← 365.071,61
(convenção exp onencial )
(convenção linear )
41) Determinar o valor da aplicação de uma operação cujo resgate é de $300.000,00, sabendo-se que o prazo é de 200 dias e a taxa composta é de 6% a.m., pelas convenções linear e exponencial.
M n = C0 × (1 + i )
Pela convenção exponencial
n+
300.000 = C 0 × (1, 06) C0 =
300.000
(1,06) n
6+
20 30
Pela convenção linear
20 30
6
m
k
300.000 = C 0 × (1 + 0, 06) × 1+ 0, 06 × C0 =
MAtemática Financeira - Exercícios
6+
⇒ C 0 = $203.430,23
M n = C0 × (1 + i ) × 1 + i ×
m k
300.000 20 (1 + 0, 06) × 1 + 0, 06 × 30 6
20
30
⇒ C 0 = $203.354,00
23
Utilizando as teclas financeiras da HP-12C: f FIN
f FIN
300.000 CHS FV
STO EEX (indicador "C" some do visor)
6 i
300.000 CHS FV
200 ENTER 30 /
6 i
n
200 ENTER 30 / n
PV ← 203.430,23
PV ← 203.354,00
(convenção exp onencial )
(convenção linear )
FLUXOS DE CAIXA: VALOR PRESENTE, VALOR FUTURO E ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO 42) Determinar o valor presente de cada fluxo de caixa identificado a seguir. Admita uma taxa de juros de 3,5% ao mês. a) 40 prestações mensais, iguais e sucessivas de $1.850,00 cada. (1 + i )n − 1 PV= PMT × n i i 1 + × ( ) (1 + 0, 035)40 − 1 PV = 1.850 × 40 (1 + 0,035) × 0,035 P V = $39.506,88 f F IN
1.850 CHS PMT 3,5 i 40 n PV → $39.506,88
b) 36 prestações mensais, iguais e sucessivas de $900,00 cada, vencendo a primeira ao final do 3° mês.
MAtemática Financeira - Exercícios
24
(1 + i )n − 1 PV 2 = PMT × n (1 + i ) × i (1, 035)36 − 1 PV 2 = 900 × 36 (1,035) × 0,035 P V 2 = $18.261,44 P V =
PV 2
(1, 035)
=
2
18.261,44
(1, 035)
2
f FIN
f FIN
900 CH S PMT
CHS FV
3, 5 i
3,5 i
36 n
2 n
PV → $18.261, 44
PV → $17.047,25
P V = $17.047,25
43) Determinar o valor presente de cada fluxo de caixa identificado a seguir. Admita uma taxa de juros de 2,0% ao mês. a) 5 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $4.200,00; $5.300,00; $7.700,00; $8.400,00 e $10.000, 00.
f REG P V =
4.200 1
(1, 02) +
+
8.400
(1, 02 )
4
5.300
(1, 02) +
2
+
7.700
(1, 02)
3
+
10.000
(1, 02)
5
4.200 g CF J 5.300 g CF J 7.700 g CF J 8.400 g CF J 10.000 g CF J
PV = $33.285,33
2 i f NPV → $33.285, 33
b) 4 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $3.760,00; $5.230,00; $6.740,00 e $8.650,00, vencendo a primeira no final do 5º mês.
MAtemática Financeira - Exercícios
25
PV =
3.760
(1, 02 )
5
+
5.230 6
(1, 02)
+
6.740 7
(1, 02)
+
f REG
8.650
0 g CF J 4 g NJ
8
(1, 02)
3.760 g CF J 5.230 g CF J
PV = $21.299,91
6.740 g CF J 8.650 g CF J 2 i f NPV → $21.299,91
44) Determinar o valor presente de cada fluxo de caixa identificado a seguir. Admita uma taxa de juros de 2,5% ao mês. a) 4 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $2.960,00; $4.510,00; $6.450,00 e $10.705,00, com carência de 6 meses.
f REG
0 g CF J 6 g NJ PV =
2.960
(1, 025)
7
+
4.510 8
(1, 025)
+
6.450 9
(1, 025)
+
10.705 10
(1,025)
2.960 g CF J 4.510 g CF J 6.450 g CF J
PV = $19.719,1 4
10.705 g CF J 2, 5 i f NPV → $19.719,14
b) 5 prestações mensais e sucessivas de, respectivamente, $1.450,00; $3.920,00; $4.750,00; $7.860,00 e $9.340,00 a partir de hoje.
MAtemática Financeira - Exercícios
26
PV = 1.450 +
+
3.920 1
(1, 025)
7.860 3
(1,025)
+
+
f RE G
4.750
(1, 025)
9.340
(1,025)
2
+
1.450 g CF 0 3.920 g CF J 4.750 g CF J
4
7.860 g CF J 9.340 g CF J
PV = $25.555,88
2,5 i f NP V → $25.555,88
45) Determinar o valor presente de cada fluxo de caixa identificado a seguir. Admita uma taxa de juros de 3,2% ao mês. a) prestações mensais e perpétuas de $1.500,00 cada. PV =
PMT i
⇒ PV =
1.500 0,032
= $46.875,00
b) prestações mensais e perpétuas de $2.000,00 cada, vencendo a primeira no final do 4º mês. PV 3 =
PMT i
=
2.000 0,032
2.000 0,032 PV 3 PV = = 3 3 (1 + i ) (1, 032 ) PV = $56.864,46
c) prestações mensais e perpétuas de $1.700,00 cada, com carência de 3 meses. PV 3 =
PMT i
=
1.700 0,032
1.700 0,032 PV 3 PV = = 3 3 (1 + i ) (1, 032 ) PV = $48.334,79 MAtemática Financeira - Exercícios
27
46) Uma TV a cores é vendida nas seguintes condições: preço à vista $800,00. À prazo, 30% de entrada e $580,00 em 30 dias. Determine a taxa efetiva de juros compostos cobrada na venda a prazo. FV=
n
PV × (1 + )i ⇒
⇒ (1 + i ) =
1
FV=
1
PV × (1 + )i ⇒ 580 = 0, 7 × 800× (1+ )i
580 ⇒i = − 1 × 100% ⇒ i = 3,57% a .m . 560 560 580
Resolvendo com auxílio das teclas financeiras da HP-12C: Valor financiado = 0,7×800 = $560,00 f FIN
560 CHS PV 580 FV 1 n i → 3,57 % a.m.
47) Um financiamento de $50.000,00 está sendo negociado à taxa de 1,5% a.m. Determine o valor de cada prestação admitindo os seguintes planos de pagamento: a) 6 prestações mensais com três meses de carência; 3
3
PV 3 = PV× (1 + )i = 50.000 × ( 1+ 0, 015) PV 3 =
(1 + i )n − 1 PMT × ⇒ n i i + × 1 ( )
(1 + i )n × i PV 3 × n i + − 1 1 ( )
PMT = 6
(1,015) × 0,015 PMT = 50.000 × (1 + 0, 015) × = $9.177,15 6 (1, 015) − 1 3
MAtemática Financeira - Exercícios
28
Resolvendo com auxílio da HP-12C: P-12C: f FIN
f FIN
50000 CHS PV
CHS PV
3n
6 n
1,5 i
1,5 i
FV → PV 3 = $52.283,92
PMT → $9.177,15
b) prestações iguais, vencíveis no final do 3º, 5º e 10º meses.
PV =
PMT 3
(1 + i )
+
PMT 5
(1 + i )
50.000 = PMT ×
+
PMT 10
(1 + i )
1 3
(1, 015)
=
+
1 5
(1, 015)
50.000 PMT 1
+
10 (1, 015)
1 1 + + 3 5 10 (1, 015) (1, 015) (1, 015)
MAtemática Financeira - Exercícios
1
⇒
PMT = $18.206,68
29
48) Uma pessoa deseja comprar um apartamento que custa $300.000,00 à vista. Existem duas opções de pagamento a prazo. Qual é a melhor opção para o comprador? a) $50.000,00 de entrada e 100 prestações mensais, iguais e sucessivas de $5.000,00 cada. Nota-se que esta opção significa financiar $250.000,00 em 100 meses. Restanos calcular qual a taxa de juros mensal aplicada ao financiamento.
=
(1 + i )n − 1 (1 + i )100 × i PV× PMT n ⇒ 250.000 = 5.000× ⇒ = ??? 100 (1 + i ) × i (1 + i ) − 1
i
A solução analítica deste problema implica em calcular o valor de “i” na expressão acima. Isso é inviável, o que nos obriga a resolver com a HP-12C: f REG
250.000 CHS PV 5.000 PMT
i = 1,58% a.m.
100 n i → 1,58
b) $30.000,00 de entrada e 110 prestações mensais, iguais e sucessivas de $5.500,00 cada.
MAtemática Financeira - Exercícios
30
Esta opção é similar à anterior e significa financiar $270.000,00 em 110 meses. Resta-nos calcular qual a taxa de juros mensal aplicada ao financiamento. f FIN
270.000 CHS PV i = 1,73% a.m.
5.500 PMT 110 n i → 1,73
A melhor opção é a “A”, pois oferece a menor taxa de juros. 49) Uma televisão está sendo negociada em termos de uma entrada mais 5 pagamentos mensais de $60,00 cada. Qual deve ser a entrada para que o finananciamento seja equivalente a um preço à vista de $350,00? Considere que a taxa de juros mensal é de 2,5% a.m.
O valor presente das 5 prestações de $60,00 é igual a: PV =
(1 + i )n − 1 × PMT n ⇒ (1 + i ) × i
(1, 025)5 − 1 = 60PV × ⇒ 5 (1, 025) × 0, 025
PV 75 = $278,
Como o valor total à vista da televisão é igual a $350,00, o valor da entrada é igual a: 00 − $278, 75 ⇒ Entrada = $350,
25 Entrada = $71,
Resolvendo com auxílio da HP-12C: f FIN
60 CHS PMT 5 n 2,5 i PV → 278,75 CHS
350 + → $71, 25
MAtemática Financeira - Exercícios
31
50) Uma pessoa deseja acumular $15.000,00 ao final de um semestre. Para tanto, deposita mensalmente num fundo a importância de $1.500,00, sendo corrigida à taxa de 3% a.m. Qual deve ser o valor do depósito inicial de forma que se possa obter o montante desejado ao final do período?
(1 + i )n − 1 FV= Di× (1 + )i + PMT× i (1, 03)6 − 1 6 15000 = Di × (1, 03) + 1500 × 0,03 (1, 03)6 − 1 15000 − 1500× 0,03 Di = n
(1,03)
6
Di = $4.436,48
Resolvendo com auxílio da HP-12C: f FIN
15.000 CH S FV 1.500 PMT 6 n 5 i PV → $4.436,48
51) São efetuados, a partir do final do 1º mês, 15 depósitos mensais de $5.000,00 num fundo de investimentos que rende juros à taxa de 1,25% a.m. Calcular o montante acumulado ao final de 2 anos.
MAtemática Financeira - Exercícios
32
1
(1 + i )n − 1 PMT × ⇒ i
FV =
FV 2 =
9
1
1, 0125) ⇒ × (FV
(1, 0125)15 − 1 × = 5.000 ⇒ FV 1 = $81.931,67 1 FV 0,0125 9
2
671 × ( 1, 0125) ⇒ FV 2 = $91.623,55 81.931, =FV
Com auxílio da HP-12C: f FIN
5000 CHS PMT 1,25 i 15 n FV → FV 1 = $81.931, 67 f FIN CHS P V
1, 25 i 9 n FV → FV 2 = $91.623,55
52) Um veículo é vendido à vista por $30.000,00, ou a prazo com $5.000,00 de entrada e 6 prestações mensais de $4.772,15 cada. Determinar a taxa interna de retorno mensal.
MAtemática Financeira - Exercícios
33
A determinação da taxa interna de retorno mensal significa, na verdade, calcular a que taxa foram financiados os $25.000,00 restantes, após o pagamento da entrada de $5.000,00.
( 30.000 − 5.000) =
4.772,15 1
(1 + i )
+
4.772,15
(1 + i )
2
+
4.772,15 3
(1 + i )
+
4.772,15
(1 + i )
4
4.772,15
+
5
(1+ i )
i = ???
A solução analítica deste problema implica em calcular o valor de “i” na expressão acima. Isso é inviável, o que nos obriga a resolver o problema com auxílio da HP-12C: f FIN
25.000 PV 4.772,15 CHS PMT 6 n i → 4,02% a.m.
53) Determinar a taxa interna de retorno referente a um empréstimo de $ 126.900,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e sucessivos de $ 25.000,00, $ 38.000,00, $45.000,00 e $ 27.000,00.
4
25.000
∑ FC = −126.900 + (1 + j
j = 0
1
+
38.000
IRR ) (1 +
2
+
IRR )
45.000
(1 +
3
+
27.000
IRR ) (1 +
4
=0
IRR )
IRR = ??? f REG
126.900 CHS g CF 0 25.000 g CF J 38.000 g CF J
i = IRR = 2, 47% a.m.
45.000 g CF J 27.000 g CF J f IRR ← 2,47 MAtemática Financeira - Exercícios
34
54)
Determinar a taxa efetiva de juros composta nas seguintes ofertas:
a) Máquina de lavar com preço de $800,00 parcelado em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de $141,87 cada, sendo a primeira paga no ato da compra. f FIN
800 CHS PV 141,87 PMT 6 n i → 1,80% a.m.
b) Geladeira com preço de $1.100,00 parcelado em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas de $126,01 cada, sem entrada. f FIN
1100 CHS PV 126,01 PMT 10 n i → 2,55% a.m.
55)
Determinar a taxa efetiva de juros mensal das seguintes ofertas:
a) Televisão de $850,00 em 7 x $127,33 sem entrada. f FIN
850 CHS PV 127,33 PMT 7 n i → 1,20% a.m.
b) Geladeira de $1.350,00 em 10 x $147,97, a primeira paga no ato da compra. f FIN
10 n
1.350 CHS PV
g B E G
147,97 PMT
i → 2,10% a.m.
MAtemática Financeira - Exercícios
35
56)
Com base no investimento abaixo, pede-se determinar:
a) a taxa interna de retorno; b) o valor presente líquido; A taxa mínima de atratividade do investimento é de 15% a.a.
Invest.
Ano 1
Ano 2
Ano 3
Ano 4
Ano 5
- $12.000
$2.000
$4.000
$4.000
$6.000
$6.000
f REG
12.000 CHS g CF 0 2.000 g CF J 4.000 g CF J 2 g N J 6.000 g CF J 2 g N J f IRR ← 20,20
15 i f NPV ← 1.807,35
Resposta: a) TIR=20,20% a.a.; b) NPV=$1.807,35 57) Com base no investimento abaixo, pede-se determinar: a) a taxa interna de retorno; b) o valor presente líquido;
Investimento - $ 50.000
Mês 3
Mês 6
Mês 7
Mês 11
Mês 12
$ 7.000
$ 12.000
$ 12.000
$ 17.000
$17.000
A taxa mínima de atratividade do investimento é de 2% a.m.
MAtemática Financeira - Exercícios
36
12.000 g CF J 2 g NJ
f REG
50.000 CHS g CF 0 0 g CF J 2 g NJ 7.000 g CF J 0 g CF J 2 g NJ
0 g CF J 3 g NJ 17.000 g CF J 2 g NJ f IRR→ 3,10% a.m.
2 i f NPV → $4.775, 49
Resposta: a) TIR=3,10% a.m.; b) NPV=$4.775,49 58) Com base no investimento abaixo, pede-se determinar o valor presente líquido. Sua taxa mínima de atratividade é de 2,6% a.m.
Investimento
4º ao 8º meses
12º ao 15º meses
-$40.000,00
$5.250,00
$8.350,00
f FIN
40.000 CHS g CF 0 F J 3 g N J 0 g C
5.250 g CF J 5 g N J 0 g CF J 3 N J 8.350 g CF J 4 g N J 2,6 i f NPV ← 6.146,56
59) Você tem a chance de investir suas economias num projeto que lhe pagará $1.500,00 em cada um dos próximos 6 meses. A taxa mínima de atratividade deste projeto é de 2,5% a.m. O custo para investir (comprar) este projeto é de $10.000,00 à vista. Qual o VPL deste projeto? Você faria o investimento? MAtemática Financeira - Exercícios
37
f REG
10.000 CHS g CF 0 1.500 g CF J 6 g NJ 2,5 i f NPV → −$1.737,81
Como o VPL é negativo, você não deveria fazer o investimento. 60) Uma empresa tem atualmente as seguintes dívidas junto a um banco: $15.000,00, $20.000,00, $23.000,00, $32.000,00 e $40.000,00 vencíveis sucessivamente ao final dos próximos 5 meses. Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de juros de 5% a.m. A empresa está negociando o refinanciamento desta dívida em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas. O banco está exigindo uma taxa de juros de 8% a.m. para aceitar o negócio. Determine o valor de cada pagamento do refinanciamento.
Dívida original
PV 1 =
15.000 1
(1, 05) +
+
32.000
(1, 05)
4
20.000
(1, 05) +
2
+
Refinanciamento
f REG
23.000
15.000 g CF J
3
(1, 05)
20.000 g CF J
40.000
23.000 g CF J
5
(1, 05)
32.000 g CF J
PV 1 = $109.962,09
(1 + i )n − 1 PV 2 = PV PMT × = ⇒ PMT 1 = n (1 + i ) × i (1, 08)10 × 0, 08 09 × PMT = 109.962, ⇒ 10 (1, 08) − 1
40.000 g CF J 5 i
(1 + i )n × i PV 1 × n (1 + i ) − 1
f NPV → $109.962,09 f FIN CHS PV
59 PMT = $16.387,
10 n 8 i PMT → $16.387,59
MAtemática Financeira - Exercícios
38
61) Uma empresa captou um financiamento de $100.000,00 para ser liquidado em 30 prestações mensais, iguais e sucessivas. Após o pagamento da 16ª prestação, passando por dificuldades financeiras, solicitou ao banco que refinanciasse o seu saldo devedor para 20 prestações mensais, iguais e sucessivas. O empréstimo foi levantado com juros de 3% a.m. e o refinanciamento foi processado cobrando juros de 4,5% a.m. Determinar o valor de cada prestação do refinanciamento. Originalmente a dívida pode ser representada pelo seguinte fluxo de caixa da figura (a). No entanto, após o pagamento da 16ª prestação ocorre um pedido de refinanciamento. O valor presente do saldo devedor após o pa gamento da 16ª prestação pode ser calculado por meio do fluxo de caixa da figura (b):
Da figura (a): PV =
⇒ P M T 1 =
(1 + i )n − 1 PMT ⇒ 100.000 = 1× n (1 + i ) × i 100.000
(1, 03)30 − 1 30 × 1, 03 0, 03 ( )
(1, 03)30 − 1 PMT 1× 30 (1, 03) × 0,03
⇒ PM T 1 = $5.101,93
Da figura (b): PV =
SD
(1 + i )n − 1 PMT ⇒ 1× n (1 + i ) × i
(1, 03)14 − 1 PV = 5.101,93 × SD 14 (1, 03) × 0, 03
⇒ PV SD = $57.631,77
O refinanciamento do saldo devedor (PV SD) em 20 prestações mensais à taxa de 4,5% a.m. pode ser visualizado pelo fluxo de caixa da figura (c), a seguir:
MAtemática Financeira - Exercícios
39
SD
(1 + i )n − 1 PMT ⇒ 57.631,77 = 2× n (1 + i ) × i
=PV
⇒ PMT 2 =
57.631, 77
(1, 045)20 − 1 20 (1, 045) × 0, 045
(1, 045)20 − 1 PMT 20 2× (1, 045) × 0, 045
⇒ PMT 2 = $4.430, 51
Resolvendo com auxílio da HP-12C: f FIN
100.000 CHS PV 30 n
f FIN
100.000 CHS PV
3 i PMT → PMT 1 = $5.101,93 f FIN
30 n 3 i PMT ← 5.101,93
CHS PMT
16 f AMORT
14 n
RCL PV ← −57.631,65 (
3 i PV → P V SD = 57.631,73 f FIN
) saldo devedor
f FIN PV
20 n
CHS PV
4,5 i
14 n
PMT ← 4.430,50
4,5 i PM T → PMT 2 = $4.430,51 Método 1
Método 2
62) Determinar a taxa interna de retorno referente a um empréstimo de $126.900,00 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e sucessiv os de $25.000,00, $38.000,00, $45.000,00 e $ 27.000,00. MAtemática Financeira - Exercícios
40
f REG
126.900 CHS g CF 0 25.000 g CF J IRR= 2, 47%
38.000 g CF J
.a m .
45.000 g CF J 27.000 g CF J f IRR→ 2,47% a. m.
63) Uma pessoa deve a um determinado banco 24 prestações mensais de $1.350,00. Até o final do 7º mês, não havia efetuado nenhum pagamento. Nesta data, o devedor procura o credor para liquidar toda sua dívida, vencida e vincenda. Para uma taxa de juros de 3% a.m., determinar quanto foi pago. (1 + i ) N − 1 PMT × + i 1
=X
7
X = 1.350 ×
(1, 03) − 1 0,03
(1 + i ) N − 1 PMT × N (1 + i ) × i 2
2
17
(1, 03) − 1 + 1.350 × = $28.118,58 17 × 1, 03 0, 03 ( )
Resolvendo com auxílio da HP-12C: f FIN
f FIN
1.350 CHS PMT 7 n
1.350 CHS PMT 17 n 3 i
3 i FV → $10.344,32
PV ← $17.744,26
+ ← 28.118,58
64) Com base no investimento abaixo, pede-se determinar o valor presente líquido para o investimento. A taxa mínima de atratividade é de 2,15% a.m.
Investimento
4º ao 10º meses
15º ao 24º meses
-$40.000,00
$4.500,00
$6.200,00
MAtemática Financeira - Exercícios
41
f REG
40.000 CHS g CF 0 0 g CF J 3 g NJ 4.500 g CF j 7 g Nj 0 g CF J 4 g NJ 6.200 g CF J 10 g NJ 2,15 i f NPV → $28.192,07
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: 65) Seja um financiamento de $1.000.000 a ser pago em 40 prestações mensais pela Tabela Price. Considerando a taxa de juros de 3% a.m., calcule (alguns resultados numéricos não batem pelas fórmulas e HP-12C): a) o valor de cada prestação; b) a amortização da 1a prestação; c) a amortização da 7a prestação; d) os juros da 15ª prestação; e) o somatório de Amort 17 + ... + Amort 20 f) o somatório de J 25 + ... + J 30 g) o saldo devedor após o pagamento da 33a prestação. Vamos inicialmente resolver o problema por meio das fórmulas. Em seguida faremos uso da HP-12C para checar os resultados obtidos. O sistema de amortização da Tabela Price é idêntico ao SAF. Como neste caso o prazo da taxa de juros coincide com o período de cada prestação (ambos em base mensal), tanto a Tabela Price quanto o SAF produzem os mesm os resultados. Sendo assim:
MAtemática Financeira - Exercícios
42
a)
(1 + i )n × i =PMT× PV n ⇒ (1 + i ) − 1
(1 + 0, 03)40 × 0, 03 1.000.000 × =PMT ⇒ 40 (1 + 0, 03) − 1
$43.262, 38 =PMT
O fluxo de caixa representativo da operação é o seguinte:
b) Em t = 1: PMT 1 = $43.262,38 J = ×i SD 0 ⇒ 1J = 0,03 × 1.000.000 ⇒ 1J = $30.000,00
1
Amort 1 = PMT $13.262,38 1 − 1J ⇒ Amort 1 = S D 1 = PV− Amort 1 ⇒ SD 1 = $986.737,62
c) Em t = 7: t −1
Amo rt t = Amort 1 × (1 + )i
t −1
= [ PMT− ×i PV] × (1 + )i
Amort 7 = Amort 1 × (1 + 0, 03)
7 −1
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03)
6
Amort 7 = $15.835,98
d) Em t = 15: t −1
Amort t =
Amort 1 × (1 +
)i = [
Amort 15 =
Amort 1 × (1 + 0, 03)
t −1
PMT − i × PV ] × (1 + i )
15−1
14
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03)
Amort 15 = $20.060,54 J15 = P MT15 − Amort15 ⇒ J 15 = $23.201,84
e) somatório
Amort Amort Amort Amort 17 + 18 + 19 + 20 t −1
Amort Amort t = 1 × (1 + )i Amort 17 =
t −1
= [ PMT− ×i PV] × (1 + )i 17 −1
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $21.282, 23
18 −1
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $21.920, 69
19 −1
= [ 43.262,38 − 0,03× 1.000.000] × ( 1+ 0,03) = $22.578,31
Amort 1 × (1 + 0, 03)
Amort 18 = Amort 1 × (1 + 0, 03) Amort 19 =
Amort 1 × (1 + 0, 03)
MAtemática Financeira - Exercícios
16
17
18
43
Amort 20 =
20−1
Amort 1 × (1 + 0, 03)
19
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $23.255, 66
20
∑ Amort = $89.036,89 i
i =17
Alternativamente pode-se resolver esta questão tendo em mente que no SAF as amortizações formam uma PG de razão (1 + i ) . Logo: a1 × (1 - q n )
Sn =
1− q
(soma de n termos de uma PG)
Neste caso, a1 = Amort17, q = (1 + i ) =1,03 e n = 4. Sendo assim: Amort Amort Amort Amort 17 + 18 + 19 + 20 =
Amort 17 × (1 − 1,034 )
1 − 1,03
=
( Amort ×1, 03 ) × (1 − 1, 03 ) = ( 13.262, 38× 1, 03 ) × ( 1− 1, 03 ) = $89.036,90 = 16
4
16
4
1
1 − 1, 03
f) somatório
1 − 1, 03
J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30
Amort Amort t = 1 × (1 + i )
t −1
t −1
= [ PMT − i × PV ] × (1 + i )
Jt = PMTt − Amo rtt Amort 25 =
Amort 1 × (1 + 0, 03)
25−1
24
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $26.959, 69
J = PMT 25 − Amort 25 = 43.262,38 − 26.959,69 = $16.302, 69
25
Amort 26 =
26 −1
Amort 1 × (1 + 0, 03)
25
= [ 43.262,38 − 0,03 × 1.000.000] × ( 1+ 0,03) = $27.768,48
J = PMT 26 − Amort 26 = 43.262,38 − 27.768,48 = $15.493,90
26
Amort 27 =
Amort 1 × (1 + 0, 03)
27 −1
26
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $28.601, 53
J = PMT Amort 27 − 27 = 43.262,38 − 28.601,53 = $14.660,85
27
Amort 28 =
Amort 1 × (1 + 0, 03)
28−1
Amort 29 =
Amort 1 × (1 + 0, 03)
29−1
27
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $29.459, 58 J 28 = PMT Amort 28 − 28 = 43.262,38 − 29.459,58 = $13.802,80 28
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $30.343, 37
J = PMT 29 − Amort 29 = 43.262,38 − 30.343, 37 = $12.919, 01
29
Amort 30 =
30−1
Amort 1 × (1 + 0, 03)
29
= [ 43.262, 38 − 0, 03× 1.000.000] × ( 1+ 0, 03) = $31.253, 67
J = PMT 30 − Amort 30 = 43.262,38 − 31.253, 67 = $12.008, 71
30 30
∑ J = $85.187,96 i
i = 25
MAtemática Financeira - Exercícios
44
Alternativamente esta questão pode ser resolvida tendo-se em mente que: PMT 25 + PMT 26 + PMT 27 + PMT 28 + PMT 29 + PMT 30 = 6 × PMT J25 + Amort 25 + J 26 + Amort 26 + J 27 + Amort 27 + J 28 + Amort 28 J + Amort PMT + 29J + Amort 29 + 30 30 = 6 × J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 = 6 × PMT−
30
∑
Amort i
i = 25
J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 = 6 ×
Amort 25 × (1 − 1, 036 ) PMT− 1 − 1,03 Amort × 1, 03 ) × (1 − 1, 03 ) ( PMT− 24
J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 = 6 ×
6
1
1 − 1,03
(13.262,38× 1,03 ) × ( 1− 1,03 ) = 6 × 43.262, 38 − 24
J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30
6
1 − 1,03
J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 = $85.187,97
g) Em t = 33: (1 + i )n −t − 1 SDt = PMT × n −t (1 + i ) × i (1 + 0, 03)40−33 − 1 SD33 = 43.262, 38 × ⇒ SD33 = $269.536,86 40−33 × 0, 03 (1 + 0, 03)
Resolvendo com auxílio da HP-12C: f FIN
1.000.000 CHS PV 40 n 3 i PMT → $43.262,38 (valor da prestaçã o do SAF )
1 f AMORT → $30.000, 00 ( J 1 ) X ⇔ Y → $13.262,38 ( AMORT 1 )
MAtemática Financeira - Exercícios
45
5 f AMORT → $143.787, 77 (J 2 + J 3 + J 4 + J 5 + J 6 ) 1 f AMORT → $27.426, 40 ( J 7 ) X ⇔ Y → $15.835,98 ( AMORT 7 )
7 f AMORT → $177.853,82 ( J8 + J9 + J10 + J11 + J12 + J13 + J14 ) 1 f AMORT → $23.201,84 ( J 15 ) 1 f AMORT → $22.600,02 ( J 16 ) 4 f AMORT → $84.012,63 ( J17 + J18 + J19 + J 20 ) X ⇔ Y → $89.036,89 ( Amort Amort Amort Amort 17 + 18 + 19 + 20 )
4 f AMORT → $84.012, 63 ( J21 + J22 + J23 + J24 ) 6 f AMORT → $85.187, 96 ( J25 + J26 + J27 + J28 + J29 + J30 ) 3 f AMORT → $30.287,11 ( J31 + J32 + J33 ) RCL PV → −$269.536,73 (SD33 )
66) Seja um financiamento de $1.000.000 a ser pago em 50 prestações mensais pelo SAC. Considerando a taxa de juros de 5% a.m., calcule: a) o valor de cada amortização. AMORT =
PV n
=
1.000.000 50
= $20.000,00
b) os juros da 32ª prestação. JT =
PV n
× ( n− t+ 1) × i⇒ J32 =
1.000.000 50
× (50 − 32 + 1)× 0, 05 ⇒ J32 = $19.000, 00
c) o saldo devedor após o pagamento da 20ª prestação. SDT =
PV n
× (n − t ) =
1.000.000 × (50 − 20) ⇒ SD20 = $600.000,00 50
d) a 45ª prestação.
45
PV
× 1 + ( n − t + 1) × i n 1.000.000 PMT = × 1 + ( 50 − 45 + 1) × 0, 05 ⇒ 50
PMT t =
45
00 = $26.000,PMT
67) Seja um financiamento de $2.000.000 a ser pago em 100 prestações mensais pela Tabela Price. Considerando a taxa de juros de 3,4% a.m., calcule:
MAtemática Financeira - Exercícios
46
a) o valor de cada prestação; b) a amortização da 15a prestação; c) os juros da 32ª prestação; d) o somatório de Amort 60 + ... + Amort 75 e) o somatório de J 80 + ... + J 87 f) o saldo devedor após o pagamento da 95a prestação. f FIN
2.000.000 CHS PV 100 n 3,4 i PMT → $70.489,25 (valor de cada prestação) 14
∑ J = $943.145,88
14 f AMORT →
i
i =1
1 f AMORT → $ 66.514,08 ( J 15 ) X ⇔ Y → $3.975,17 ( Amort 15 ) 31
∑ J = $1.042.312,16
16 f AMORT →
i
i =16
1 f AMORT → $63.471,38 ( J 32 ) 27 f AMORT →
59
∑ J = $1.590.253,17 i
i =33
16 f AMORT →
75
∑ J = $755.478,94 i
i = 60
X ⇔ Y →
75
∑ Amort = $372.349,06 i
i =60
4 f AMORT →
79
∑ J = $153.353,43 i
i = 76
8 f AMORT →
87
∑ J = 248.866,16 i
i =80
8 f AMORT →
95
∑ J = 152.252,00 i
i =88
RCL PV → −$319.168,45 (SD95 )
68) Seja um financiamento de $500.000,00 a ser pago em 50 prestações mensais pelo SAC. Considerando a taxa de juros de 4,5% a.m., calcule: a) o valor de cada amortização. AMORT =
PV n
=
500.000 50
= $10.000,00
MAtemática Financeira - Exercícios
47
b) os juros da 20ª prestação. Jt =
PV n
×(
n− t+ 1) × i⇒ J 20 =
500.000 50
× (50 − 20 + 1) × 0, 045 ⇒ J 20 = $13.950, 00
c) o saldo devedor após o pagamento da 35ª prestação. SDt =
PV n
× (n
− t ) ⇒ SD35 =
500.000 50
× (50 − 35) ⇒ SD35 = $150.000, 00
d) a 43ª prestação.
43
PV
× 1 + ( n − t + 1) × i n 500.000 × 1 + ( 50 − 43 + 1) × 0, 045 ⇒ = PMT 50
PMT t =
43
= $13.600,PMT 00
DESCONTOS: 69) Calcular o valor atual no desconto racional simples nas seguintes condições: a) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto:
$20.000,00 4 meses 40% a.a.
b) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto:
$48.000,00 5 meses 72% a.a.
c) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto: 70)
$35.000,00 3 meses 36% a.a.
A =
A =
A =
N
1+ d × n
N
1+ d × n
N
1+ d × n
=
=
=
20.000 4 1 + 0, 40 × 12 48.000 5 1 + 0, 72 × 12
35.000 3 1 + 0,36 × 12
= $17.647,06
= $36.923,08
= $32.110,09
Calcular o desconto comercial simples nas seguintes condições:
a) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto: D = N × d × n = 64.000 × 0, 327 ×
$64.000,00 140 dias 32,7% a.a. 140
MAtemática Financeira - Exercícios
360
= $8.138, 67 48
b) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto: D = N × d × n = 85.000 × 0, 35 ×
$85.000,00 20 dias 35% a.a. 20 = $1.652, 78 360
c) Valor Nominal: Prazo de Desconto: Taxa de Desconto: D = N × d × n = 120.000 × 0, 45×
$120.000,00 80 dias 45% a.a. 80 360
= $12.000, 00
71) Um título de valor nominal de $37.000,00 é descontado comercialmente 5 meses antes de ser pago. A taxa de desconto é de 3,5 % a.m. Calcular o valor liberado, o valor do desconto e a taxa efetiva de juros mensal da operação. A = N × (1 − d × n) = 37.000 × (1− 0, 035× 5) = $30.525, 00 D= N− A⇒ D= 37.000 − 30.525 ⇒ D= $6.475,00 f FIN
30.525 CHS PV 37.000 FV 5 n i → 3,92% a.m. 1 5 1 1 1 n 5 ⇒ (1 + i ) = ⇒ i = (1 + i ) = − 1 × 100% ⇒ i = 3,92% a.m. 1 0,035 − × 5) (1 − d × n ) (1 − 0, 035 × 5) (
72) Sendo de 5% a.m. a taxa de desconto comercial simples, pede-se calcular a taxa efetiva de juros mensal da operação para os seguintes prazos de desconto (utilize a figura a seguir como auxílio para visualização da operação):
MAtemática Financeira - Exercícios
49
a) 1 mês. A = N× (1 − d× n) = 100 × (1 − 0, 05 × 1) = $95, 00 f F IN
95 CHS PV 100 FV 1 n i → 5,26% a.m. i=
d
1 − d
⇒i=
0,05 ⇒ i = 0, 0526 ou 5, 26% a.m. 1 − 0, 05
b) 2 meses. A = N × (1 − d × n) = 100 × (1 − 0, 02 × 5) = $90, 00 f FIN
75 CHS PV 100 FV 5 n i → 5,41% a.m. 1 2 1 1 1 n 2 ⇒ (1 + i ) = ⇒ i = (1 + i ) = − 1 × 100% ⇒ i = 5,41% a.m. 1 − 0, 05 × 2) (1 − d × n ) (1 − 0, 05 × 2 ) (
c) 3 meses. A = N × (1 − d × n) = 100 × (1 − 0, 05× 3) = $85, 00 f F IN
85 CHS PV 100 FV 3 n i → 5,57% a.m.
MAtemática Financeira - Exercícios
50
1 3 1 1 1 n 3 ⇒ (1 + i ) = ⇒ i = (1 + i ) = − 1 × 100% ⇒ i = 5,57% a.m. 1 − 0, 05 3 × (1 − d × n ) (1 − 0, 05 × 3) ( )
73) Um banco concede empréstimos de acordo com o conceito de desconto bancário. São propostas duas alternativas a um cliente, em termos de taxa de desconto e prazo. Determine a taxa implícita mensal de cada proposta de empréstimo. Obs: Note que, diferentemente do que fizemos na questão anterior, não é necessário assumir nenhum fluxo de caixa auxiliar para a resolução deste tipo de questão. a) d = 25,2% ao ano e prazo de 15 meses. n
(1 + i ) =
15 1 1 ⇒ (1 + i )12 = (1 − d × n ) 1 − 0,252 × 15 12
(
1 ⇒ i = 1 − 0, 252 × 1512
(
)
− 1 × 100% ⇒ i = 35, 35% a.a. ou 2, 55%a.m. 12 15
)
b) d = 31,4% ao ano e prazo de 18 meses. n
(1 + i ) =
18 1 1 ⇒ (1 + i )12 = (1 − d × n ) 1 − 0,314 × 18 12
(
1 ⇒ i = 1 − 0, 314 × 1812
(
)
− 1 × 100% ⇒ i = 52, 88% a.a. ou 3, 60%a.m. 12 18
)
74) Um banco auferiu uma rentabilidade efetiva de 37,40% a.a. em operações de desconto bancário. Calcule a taxa de desconto mensal para operações nos seguintes prazos (Você pode assumir o diagrama a seguir como auxílio à visualização da operação):
MAtemática Financeira - Exercícios
51
a) 10 meses. f FIN
100 CHS FV
D = N − A = 100 − 76,74 = 23,26
37,40 i
D = N × d × n ⇒ 23,36 = 100 × d × 10
10
⇒ d = 2,33% a.m.
n
12 PV → $76,74
Alternativamente:
(1 + i )
n
10 1 = ⇒ (1 + 0,374 )12 = d n × 1 − ( )
1
10 1 − d × 12
⇒ d = 27, 91% a.a. ou 2, 33% a.m.
b) 14 meses. f FIN
100 CHS FV
D = N − A = 100 − 69,03 = 30,97
37,40 i
D = N × d × n ⇒ 30,97 = 100 × d × 14
14
⇒ d = 2,21% a.m.
n
12 PV → $69,03
Alternativamente:
(1 + i )
n
14 1 = ⇒ (1 + 0,374 )12 = (1 − d × n )
1
14 d − × 1 12
⇒ d = 26,55% a.a . o u 2, 21% a.m.
75) Um banco desconta um título de valor nominal $100.000,00 45 dias antes do vencimento. O banco está cobrando uma taxa de desconto comercial simples de 5% a.m. e 1,5% de despesa administrativa. Qual o valor líquido liberado ao cliente e a taxa efetiva de juros mensal da operação? A = N − N × d × n − N × t ⇒ A = N × (1 − d × n − t) A = 100.000 × (1 − 0, 05×
45 30
− 0, 015) ⇒ A = $91.000, 00 45 30
A× (1 + )i = N⇒ 91.000 × (1 + i) n
MAtemática Financeira - Exercícios
= 100.000 ⇒ i= 6, 49% a.m .
52
Ou pela HP − 12C f F IN
91.000 CHS PV 100.000 FV 45/30 n i → 6, 49 % a.m.
Alternativamente: 1
n
(1 + i ) =
(1 − d × n − t )
⇒ (1 + i )
45
30
=
1 45 1 − 0, 05 × 30 − 0, 015
30 45 1 − 1 × 100% ⇒ i = 6, 49% a .m. ⇒ i = 45 1 − 0, 05 × − 0, 015 30
76) Qual a taxa de juros efetiva anual de um título descontado à taxa de desconto de 18,50% a.a. 65 dias antes de seu vencimento? Arbitre N = $1.000,00 A = N × (1 − d × n) = 1.000 × (1 − 0,185 ×
65 ) = 966,60 360
f FIN
966,60 CHS PV 1.000 FV 65 n 360 i ← 20,70% a.a.
Alternativamente:
(1 + i )
n
65 1 360 = ⇒ (1 + i ) = (1 − d × n )
MAtemática Financeira - Exercícios
1
65 1 − 0,185 × 360
⇒ i = 20, 70% a.a. ou 1,58% a.m.
53
77) Uma empresa devedora de três títulos de $50.000,00 cada e cujos vencimentos são hoje e daqui a 2 e 5 meses, deseja substituí-los por um único título com vencimento para 6 meses. Pede-se:
a) o valor deste título para uma taxa de desconto comercial simples de 6% ao mês. N × (1 − 0,06× 6) = 50.000 + 50.000× (1− 0,06× 2)+ 50.000× (1− 0,06× 5) N =
50.000 + 50.000× (1− 0,06× 2) + 50.000× (1− 0,06× 5) ⇒ N = $201.562,50 (1 − 0,06× 6)
b) o custo efetivo mensal desta empresa.
ATOTAL =
∑N
i ×
(1 −
d× ni ) = 50.000 + 50.000 × (1 − 0, 06 × 2 ) + 50.000 × (1 − 0, 06 × 5 )
i
ATOTAL = $129.000,00
f REG
79.000 CHS g CF 0 0 g CF j 50.000 g CF j
custo efetivo = 7,13% a.m.
0 g CF j 2 g Nj 50.000 g CF j f IRR → 7,13 MAtemática Financeira - Exercícios
54
78) Uma empresa devedora de três títulos de $70.000,00, $80.000,00 e $90.000,00 com vencimentos daqui a 3, 4 e 5 meses, respectivamente, deseja substituí-los por um único título com vencimento daqui a 8 meses. Pede-se:
a) o valor nominal deste título para uma taxa de desconto bancário de 4% a.m. N × (1 − 0,04 × 8) = 70.000× (1− 0,04× 3) + 80.000× (1− 0,04× 4)+ 90.000× (1− 0,04× 5)
⇒ N =
70.000 × (1 − 0,04× 3) + 80.000× (1− 0,04× 4)+ 90.000× (1− 0,04× 5) ⇒ N = $295.294,12 (1 − 0,04 × 8)
b) o custo efetivo mensal desta empresa.
ATOTAL =
∑N
i ×
(1 −
d× ni ) = 70.000 × (1 − 0, 04 × 3) + 80.000 × (1 − 0, 04 × 4 ) + 90.000 × (1 − 0, 04 × 5 )
i
ATOTAL = $200.800,00 f REG
200.800 CHS g CF 0 0 g CF j 2 g Nj 70.000 g CF j
⇒ custo efetivo = 4,48% a.m.
80.000 g CF j 90.000 g CF j f IRR → 4,48 MAtemática Financeira - Exercícios
55
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