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Índice

0. Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Máximo común divisor y mínimo común múltiplo . . . . . . Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones combinadas con números enteros . . . . . . . . Razón y proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polígonos y circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triángulos y cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9 10 11 12 13 14 15 16

1. Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fracciones y números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 21 23 24 27 28 30 36

2. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Potencias de números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notación científica. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximación de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 40 42 44 45 46 47 48 50 56

3. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Igualdades notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 59 60 62 64 65 67 68 70 74

2

4. Ecuaciones de primer y segundo grado . . . . . . .

75

Identidades y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos de una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas con ecuaciones . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 77 78 81 84 86 88 94

5. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Métodos de resolución de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución de problemas con sistemas . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 97 99 103 104 106 112

6. Proporcionalidad numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla de tres simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repartos proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proporcionalidad compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas con porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 115 116 118 120 121 123 124 126 132

⺞

⺪

⺡ 7. Progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 136 139 143 144 146 152

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8. Lugares geométricos. Figuras planas . . . . . . . . . 153

11. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Rectas y puntos notables en el triángulo . . . . . . . . . . . . . . . 155 Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Aplicaciones del teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . 158 Área de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formas de expresar una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Características de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212 213 215 222 224 228

12. Funciones lineales y afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . Rectas secantes y paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230 231 232 233 234 236 238 240 244

13. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

9. Cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de poliedros. Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuerpos de revolución. Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen de cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La esfera terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172 173 176 178 181 182 184 190

Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frecuencias y tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráficos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas de centralización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 248 251 253 254 255 256 258 262

10. Movimientos y semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimientos en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homotecias y semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones del teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192 193 194 195 196 198 199 200 201 202 204 210

14. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Experimentos aleatorios. Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilidad de un suceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frecuencia y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264 266 268 269 270 271 272 274 278

3

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Esquema de unidad La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

5 PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer sistemas de ecuaciones y clasificarlos según sus soluciones. • Obtener soluciones de un sistema mediante tablas y a partir de su representación gráfica. • Calcular las soluciones de un sistema por los métodos de sustitución, igualación y reducción. • Plantear y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Página inicial: Muestra

Sistemas de ecuaciones Una clase improvisada Estar invitado a la «fiesta de la Primavera», que cada año se celebraba en el palacio del maharajá, era un honor reservado tan solo a los personajes más influyentes. Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane, coincidieron en reconocer que el maharajá era muy generoso al enviar a su séquito para llevarlos a palacio. El joven ayudante pasó la mitad del camino quejándose de las disciplinas que tenía que estudiar: –Maestro, ¿por qué tengo que estudiar álgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incógnitas… Y que la incógnita pueda ser cualquier cosa es antinatural. Brahmagupta tomó la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explicó a su discípulo la utilidad del álgebra: –Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharajá, y la cruz coronada de cuatro círculos no es solo un dibujo, es el símbolo de la ciudad. En Matemáticas lo más sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con números y, después, interpretar el resultado. Tras estas palabras, maestro y discípulo permanecieron en silencio durante el kilómetro que faltaba para llegar al palacio.

la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas. Concluye con una actividad donde pondrás a prueba tus conocimientos previos.

Con ayuda de una ecuación, calcula la distancia que ambos recorrieron a lomos del elefante.

Páginas de contenidos: En ellas 1 F F F

Cara Cada polígono que limita al poliedro.

Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro

Arista Lado de cada cara.

Convexo Ninguna cara, al prolongarla, corta al poliedro.

G

Diagonal Segmento que une dos vértices no consecutivos.

F

G

Vértice Donde concurren tres o más caras. Coinciden con los vértices de las caras.

Llamamos desarrollo plano de un poliedro a la figura que se obtiene al extenderlo sobre un plano. A partir de él podemos reconstruir el poliedro.

F

1

Cóncavo Alguna cara, al prolongarla, corta al poliedro.

En todos los poliedros convexos se cumple la relación de Euler:

C

N.o de caras

+

V

N.o de vértices

=

A

N.o de aristas

+

2

EJEMPLO 2

Clasifica estos poliedros y comprueba si se verifica la relación de Euler.

a)

b)

PRACTICA. Son actividades para que

a) Es un poliedro convexo. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2 b) Es un poliedro cóncavo. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2

2.1 Poliedros regulares

EJEMPLO Determina el nombre de los siguientes poliedros. ¿Cuántas caras tienen? ¿Y cuántas aristas?

encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos. Al final de cada página se proponen ejercicios clasificados en tres niveles:

Clasificación de poliedros. Áreas

Según su forma, los poliedros pueden ser cóncavos o convexos.

F

F

Poliedros

Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por caras planas de forma poligonal.

Los poliedros se nombran según su número de caras: 4 caras 5 caras 6 caras 7 caras ...

2

Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice se une el mismo número de caras.

Los principales poliedros convexos son los poliedros regulares, los prismas y las pirámides.

APLICA. Son actividades en las que

Solo existen cinco poliedros regulares:

tendrás que aplicar ese procedimiento.

En ambos casos, el número de caras es 5, luego son pentaedros; sin embargo, el primero tiene 8 aristas y el segundo 9. Tetraedro

PRACTICA

1

APLICA

Determina el nombre de los poliedros y su número de caras y aristas. a)

2

b)

Realiza el desarrollo plano de los poliedros del ejercicio anterior, indicando los pasos que sigues al hacerlo.

REFLEXIONA

3

172

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

REFLEXIONA. Una vez que seas capaz

EJERCICIOS

EJERCICIOS

Dibuja dos heptaedros que tengan distinto número de aristas y de vértices. (Fíjate en los ejemplos anteriores.)

repitas de forma prácticamente exacta el procedimiento que has estudiado.

PRACTICA

4 Este poliedro es un cubo

truncado (cada vértice del cubo ha sido cortado formando un triángulo equilátero). ¿Es el poliedro cóncavo o convexo? Comprueba que se cumple la fórmula de Euler.

APLICA

5

Indica el poliedro regular que se puede formar con: a) Triángulos equiláteros. b) Cuadrados. ¿Cuántas caras coinciden en cada vértice?

REFLEXIONA

6

¿Podrías formar un poliedro regular utilizando solo hexágonos regulares? ¿Y utilizando polígonos regulares de más de seis lados?

173

de repetirlo y aplicarlo, te proponemos que hagas una reflexión sobre él.

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Lo esencial: Esta doble página

Lo esencial

es de resumen y autoevalución.

COMPRENDE ESTAS PALABRAS

2. CALCULAR EL ÁREA

Cilindros

h r

PRIMERO. Determinamos

Conos

Pirámides

g

A = πr(g + r)

g

h

2πr r

a

V=

r

1 2 πr h 3

Esferas A = 4πr2

r

A = ABase +

4 3 πr 3

V=

Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.

3 cm 3 cm

Determinamos el tipo de cuerpo de revolución y los datos para calcular su área. a) Cilindro: r = 3 cm h = 4 cm b) Cono: r = 3 cm Calculamos su generatriz: g 2 = 4 2 + 32 → g =

HAZLO DE ESTA MANERA. Son los

4 2 + 32 = 5 cm

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.

procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

a) A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3 ⋅ (4 + 3) = = 131,88 cm2 b) A = πr(g + r) = π ⋅ 3 ⋅ (5 + 3) = 75,36 cm2

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.

a'

4 cm

PRIMERO.

a2 = 52 − 32 → a = 52 − 32 = 4 cm ABase → Área de un cuadrado ABase = 62 = 36 cm2

a

P ⋅a A = ABase + Base 2 1 V = ABase ⋅ h 3

Obtén el área de estos cuerpos de revolución.

5 cm a

el tipo de poliedro 6 cm y los datos necesarios para calcular su área. Pirámide cuadrangular regular: n = 4 → PBase = 4 ⋅ 6 = 24 cm Calculamos su apotema:

r PB

A = PBase ⋅ h + 2ABase V = ABase ⋅ h

DE REVOLUCIÓN

Halla el área de este poliedro.

A = 2πr(h + r) V = πr2h

h

2πr

COMPRENDE ESTAS PALABRAS.

3. CALCULAR EL ÁREA DE UN CUERPO

DE UN POLIEDRO

h

h

4 cm

Prismas

PBase ⋅ a 24 ⋅ 4 = 36 + = 84 cm2 2 2

4. CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CUERPO GEOMÉTRICO Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos.

a)

Determinamos el tipo de cuerpo geométrico y los datos necesarios para calcular su volumen. a) Prisma octogonal regular: P⋅a (8 ⋅ 2) ⋅ 2,41 ABase = = = 19,28 cm2 h = 4 cm 2 2 b) Cono: r = 3 cm h = 4 cm

b)

EN CUERPOS GEOMÉTRICOS

a)

b)

c)

5 cm

4 cm

3 cm

4 cm

g 3 cm

3 cm F

2,41 cm

2 cm

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.

G

Calcula el dato desconocido en estos cuerpos geométricos.

4 cm

1. APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS

4 cm

PRIMERO.

HAZLO DE ESTA MANERA

a) V = ABase ⋅ h = 19,28 ⋅ 4 = 77,12 cm3

a

b) V =

1 2 1 πr h = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3 3 3

a' 6 cm

Y AHORA… PRACTICA

PRIMERO. Determinamos el triángulo rectángulo que relaciona los datos conocidos y el dato desconocido, y se aplica el teorema de Pitágoras.

4 cm

m

52 = (a')2 + 32

a) g = 3 + 4 g=

b) 5 = (a') + 3 → (a') = 5 − 3

2

2

32 + 4 2 = 5 cm

a' =

2

2

2

2

c) a = 3 + 4

2

2

2

a=

52 − 32 = 4 cm

Calcular el área de un cuerpo de revolución

1. La altura de un cono con 5 cm de radio de la base y 12 cm de generatriz, es:

a2 = 32 + 42

6 cm = 3 cm 2

SEGUNDO. Resolvemos la ecuación resultante. 2

a

a) 10,91 cm

a'

3 cm

2

Aplicar el teorema de Pitágoras en cuerpos geométricos

c) 5c

g2 = 32 + 42

4 cm

b) g

3 cm

a)

2

32 + 4 2 = 5 cm

b) 13 cm

c) 7 cm

3. El área de un cono de radio 4 cm y altura 3 cm, es: a) 87,96 cm2

b) 113,04 cm2

Calcular el volumen de un cuerpo geométrico

2. El área de un prisma triangular regular de arista básica 3 cm y arista lateral 2 cm, es:

4. ¿Cuál es el volumen de un tetraedro de arista de la base 2 cm y altura 1,63 cm?

a) 18 cm2

b) 25,8 cm2

c) 22,3 cm2

a) 2,82 cm3

b) 0,94 cm3

Y AHORA… PRACTICA. Es una

c) 96,7 cm2

Calcular el área de un poliedro

autoevalución cuyas soluciones aparecen al final del libro.

c) 6,52 cm3

182

183

Actividades de la unidad:

Actividades FRACCIONES

HAZLO ASÍ

36. G Expresa estos enunciados utilizando una fracción. a) Una pizza se ha partido en 8 partes y Juan se ha comido 2. b) De una clase de 20 alumnos, 15 han ido de excursión. c) De un grupo de 7 amigas, 3 son pelirrojas. d) Una de cada 5 personas tiene problemas de espalda. 37. G Escribe la fracción que representa la parte

¿CÓMO SE REPRESENTAN FRACCIONES IMPROPIAS EN LA RECTA NUMÉRICA? 16 . 3 PRIMERO. Se expresa la fracción como un número entero más una fracción propia.

41. Representa en la recta numérica la fracción

16 3 16 16 1 = 5+ → → 3 3 3 1 5 La fracción está comprendida entre 5 y 6. SEGUNDO. Se divide el trozo de recta comprendido

entre 5 y 6 en tantas partes como indica el denominador, 3, y se toman las que señala el numerador, 1. Para dividir el trozo de recta se traza una semirrecta con origen en 5, con la inclinación que se desee, y se dibujan tres segmentos iguales.

coloreada de cada figura. a) c)

b)

d)

5

38. G Representa, utilizando figuras geométricas, las siguientes fracciones. a) b)

3 7 5 2

39. G Colorea los

c) d)

7 6 4 9

6

Se une el extremo del último segmento con el punto que representa a 6, y se trazan paralelas a esa recta desde las otras dos divisiones.

2 de la figura. 3

5

6

16 3

5

6

Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad.

42. G Representa estos números racionales. a) 40. G Calcula.

2 9

b)

13 3

−7 5

c)

d)

−28 −8

43. G ¿Qué fracción representa cada letra?

1 a) de 180 2 5 b) de 420 6 −2 c) de 40 5

4 d) de 540 9 5 e) de 320 8 3 f) − de 1.342 11

A

a) −3

b)

−2

B

1

6

90. GG Tenemos una pieza de alambre de 90 m. 2 1 Vendemos las partes a 3 €/m, del resto 3 6 a 4 €/m y los metros que quedan a 2 €/m. ¿Cuánto hemos ganado si habíamos comprado el metro de alambre a 2 €? 91. GG Tres amigos se reparten 90 € que han ganado en la quiniela de la siguiente manera: el primero se queda con la quinta parte, el segundo con la tercera parte de lo que recibe el primero, y el tercero con la mitad de lo que recibe el segundo. a) ¿Qué fracción representa lo que obtiene cada uno? b) ¿Cuánto dinero se queda cada amigo? c) ¿Y cuánto dinero dejan de bote?

INVESTIGA 95. GGG Calcula las siguientes diferencias.

1−

1 2

1 1 1 1 − − 2 3 3 4 1 1 1 1 − − 4 5 5 6

1 1 1 1 1 + + + + 2 6 12 20 30 b) A la vista del resultado anterior, ¿cuál crees que será el resultado de esta suma?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIENDO

UNA PARTE?

7 de su 9 capacidad. Aún se necesitan 880 litros para que esté completamente llena. ¿Qué capacidad tiene la piscina? 92. Una piscina está llena hasta los

PRIMERO. Se calcula la fracción que representa la parte vacía de la piscina. 7 9 7 2 1− = − = 9 9 9 9 SEGUNDO. Se designa por x la capacidad total de la piscina. 2 2 de x = ⋅ x = 880 9 9 Despejando x: 2 880 ⋅ 9 7.920 x = 880 : = = = 3.960 9 2 2 La piscina tiene 3.960 litros de capacidad.

93. GGG De un calentador, primero se gasta la mitad del agua y luego la cuarta parte de lo que quedaba. Si todavía quedan 12 litros, ¿cuál es la capacidad del calentador?

7

94. GGG Unos amigos organizan una excursión a la montaña: el primer día recorren un cuarto de lo programado, el segundo día un tercio, dejando el resto (que son 25 km) para el tercer día. ¿Qué fracción representan los kilómetros recorridos el tercer día? ¿Cuántos kilómetros han recorrido en total?

a) Con los resultados, efectúa esta suma.

−1 2

C

c)

Investiga:

30

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + +…+ 2 6 12 20 30 42 1.001.000 96. GGG Si vaciamos estos dos recipientes en una jarra, ¿cuál es la proporción de agua y de vinagre en la jarra?

MEZCLA

MEZCLA

2 partes de agua

3 partes de agua

1 parte de vinagre

1 parte de vinagre

97. GG Esta figura contiene nueve cuadrados, todos de lado 1. Los puntos señalados verifican: 1 苶 苶=苶 QR 苶=苶 RS 苶=S 苶T 苶= PQ 4 Una recta une a X con uno de esos puntos T S R y divide la figura Q en dos regiones P de igual área. ¿Cuál es esa recta? X

35

En la vida cotidiana: En la vida cotidiana 99. GGG A Mariam le quedan pocos días para dar a luz. En su trabajo tienen la costumbre de hacer un regalo a los recién nacidos. Sus compañeros Roberto y Pilar se han encargado de recoger el dinero. Mariam es muy popular en su empresa, la conoce casi todo el mundo, por eso la mayoría de sus compañeros han participado en el regalo.

100. GGG Marcelino es herrero y se ha encontrado con bastantes problemas a lo largo de su trayectoria profesional. Muchas veces le piden encargos que son difíciles de realizar. En la terraza tengo un trozo de pared que mide 1,30 m. Quiero colocar, sobre los extremos de la pared, una barra de hierro que forme un ángulo recto para instalar un toldo que tiene 1,70 m de longitud.

Ayer, Roberto y Pilar estuvieron en unos grandes almacenes y han propuesto comprar un coche de bebé que está de oferta y por el que tendrían que poner 8 € cada uno. Como todos estaban de acuerdo, fueron a comprarlo, pero resultó que la oferta había terminado y les faltaban 4 €.

Lo que podemos hacer es poner cada uno 9 € y con los 8 € que sobran compramos una camiseta para el niño.

Finalmente, Roberto y Pilar me han dicho que de los 14 compañeros hay una persona que no ha puesto dinero para el regalo de Mariam. ¿Crees que es cierto lo que dicen?

94

En ocasiones, la dificultad no está solo en el trabajo que hay que realizar, sino también en interpretar lo que el cliente desea. Por eso, cuando alguien le plantea un problema como este, Marcelino tiene que traducirlo a las tareas que él debe realizar en su herrería.

Lo que usted necesitaría es una barra de hierro que mida 1,70 m. Esa barra hay que doblarla hasta que forme un ángulo recto, de tal manera que la distancia entre sus extremos sea 1,30 m.

¿Cómo tendrá que doblar Marcelino la barra de hierro?

La última página de la unidad se dedica a la propuesta de problemas con datos reales. Mediante su resolución descubrirás la utilidad práctica de todo lo aprendido, que te puede ayudar en tu vida cotidiana.

Actividades en las que tendrás que aplicar todo tu ingenio para descubrir regularidades y propiedades de los contenidos que acabas de estudiar.

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0

Repaso En esta unidad vamos a repasar algunos contenidos que ya has trabajado en cursos anteriores, y que nos van a servir como punto de partida para entender los nuevos conceptos que estudiarás en este curso de 3.º ESO. Aunque te resulte sencillo, conviene que le dediques un poco de tiempo y atención, ya que la mayoría de los contenidos que vas a estudiar en este curso se basan en otros que ya has estudiado. PLAN DE TRABAJO

En esta unidad repasarás… • Los múltiplos y divisores de un número. • El cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de varios números. • Los números enteros y sus operaciones. • La razón y la proporción entre números. • Los elementos de un polígono y sus clasificaciones. • La representación de puntos en un sistema de ejes coordenados.

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Números DIVISIBILIDAD • Un número b es múltiplo de un número a si la división de b entre a es exacta. • Un número a es divisor de un número b si la división de b entre a es exacta. 12 : 4 es una división exacta F

12 es divisible por 4 F

F

12 es múltiplo de 4 El número 1 solo tiene un divisor, él mismo. No se considera un número primo pero tampoco compuesto.

4 es divisor de 12

Números primos y compuestos

• Un número a es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Div (7) = {1, 7} → 7 es un número primo. • Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número compuesto. Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} → 12 es un número compuesto. Criterios de divisibilidad

Divisible por…

1

Si la última cifra es 0 o par.

3

Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

5

Si la última cifra es 0 o 5.

b) 10

c) 50

d) 72

b) 15

f) 450

g) 600

h) 723

c) 150

d) 190

e) 320

f) 450

g) 600

h) 725

Completa los huecos con la palabra adecuada (múltiplo o divisor). a) 24 es … de 6

b) 12 es … de 24

c) 125 es … de 25

4

Averigua cuáles de los siguientes números son primos o compuestos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 y 6.723.

5

Busca los números primos comprendidos entre 100 y 120.

6

Completa los huecos. a) Div (30) = {1, 2, 3,
,
,
, 15,
} b) Div (100) = {1, 2,
,
, 10,
, 25,
, 100}

8

e) 100

Obtén dos divisores de los siguientes números. a) 25

3

2

Halla seis múltiplos de cada número. a) 5

2

Criterio de divisibilidad

d) 51 es … de 17

c) Div (97) = {
, 97} d) Div (48) = {
, 2, 3, 4, 6,
,
,
,
,
}

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Números MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO • Para calcular el máximo común divisor de varios números: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente. 3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números. 12 2 30 2 2 15 3 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 6 2 12 = 2 ⋅ 3 3 3 5 5 1 1 m.c.d. (12, 30) = 2 ⋅ 3 = 6

Si a y b no tienen divisores comunes: m.c.d. (a, b) = 1 m.c.m. (a, b) = a · b

• Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números. 20 2 18 2 9 3 18 = 2 ⋅ 32 10 2 20 = 22 ⋅ 5 5 5 3 3 1 1 2 2 m.c.m. (20, 18) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180

7

Obtén el m.c.d. de cada pareja de números. a) 6 y 14 b) 9 y 10

8

e) 76 y 85 f) 102 y 104

g) 160 y 180 h) 281 y 354

e) 61 y 49 f) 280 y 416

g) 150 y 415 h) 296 y 432

Obtén el m.c.m. de estos números. a) 7 y 14 b) 12 y 7

9

c) 5 y 15 d) 42 y 4

c) 9 y 16 d) 8 y 25

Obtén el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de números. a) 25, 50 y 100 b) 6, 7 y 8

c) 40, 42 y 48 d) 12, 18 y 20

e) 8, 10, 12 y 14 f) 2, 4, 6, 8 y 10

10 Dos buques mercantes salen de un puerto

el día 1 de enero. El primero tarda en regresar 26 días, y el segundo, 30 días. Ambos van y vienen constantemente. ¿Cuántos días tardan los buques en coincidir de nuevo en el puerto? 11 Se dispone de dos rollos de cuerda que tienen 144 y 120 m de longitud,

respectivamente. ¿Cuál es el número de trozos iguales, de tamaño máximo, que se puede hacer con los rollos de cuerda?

9

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Números NÚMEROS ENTEROS Los números enteros son números precedidos del signo + o −, dependiendo de si la cantidad expresada es mayor o menor que cero. El conjunto de los números enteros, que designamos por Z, está formado por: – Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4 … – El número 0. – Números enteros negativos: −1, −2, −3, −4 … … −5 −4 −3 −2 −1

El valor absoluto de 0 es 0.

0

1

2

3

4

5

…

  

El 0 es el único número entero que no es positivo ni negativo.

Números enteros positivos

 Números enteros negativos

Valor absoluto de un número

El valor absoluto de un número entero es igual al número sin su signo. ⏐+b⏐ = b

⏐−a⏐ = a

Opuesto de un número

El opuesto de un número entero es ese mismo número cambiado de signo. Op (+a) = −a

Op (−a) = +a

12 Escribe todos los números enteros.

a) Mayores que −4 y menores que +2. b) Menores que +3 y mayores que −5.

c) Menores que +1 y mayores que −2. d) Mayores que −5 y menores que +6.

13 Representa en la recta numérica los siguientes números: −6, 0, −8, +3, −5 y +4. 14 Indica el número entero que corresponde a cada punto marcado en la recta numérica.

a)

A

B

C

D

b)

A

B

C

0

D 0

15 Completa con números enteros.

a) −3 <  <  < +1 b) +3 >  >  > −1

c) −9 <  <  < −6 d) −15 <  <  < −10

¿Puedes colocar más de un número en cada hueco? 16 Calcula.

a) ⏐+3⏐

b) ⏐−3⏐

c) ⏐−7⏐

d) ⏐−4⏐

e) ⏐+5⏐

f) ⏐−9⏐

d) −40

e) +125

f) −134

17 Obtén los opuestos de estos números.

a) −5

10

b) +8

c) −15

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Números OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Suma de números enteros

• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tienen los sumandos. (+2) + (+3) = +5 ⏐+2⏐ + ⏐+3⏐ = 5 (−1) + (−5) = −6 ⏐−1⏐ + ⏐−5⏐ = 6 • Para sumar dos enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos (el menor del mayor) y se pone el signo que tiene el sumando de mayor valor absoluto. →⏐+5⏐ = 5 (+5) + (−3) = +2 ⎯→ ⏐−3⏐ = 3

5>3→5−3=2

Resta de números enteros

Recuerda la regla de los signos. ( + ) · (+ ) = + (-) · (-) = + (+) · (-) = (-) · (+) = -

(+) : (+) = + (-) : (-) = + (+) : (-) = (-) : (+) = -

Para restar dos números enteros hay que sumar al primer sumando el opuesto del segundo. (−5) − (+3) = (−5) + op (+3) = (−5) + (−3) = −8 Multiplicación y división de números enteros

Para multiplicar o dividir dos números enteros, se multiplican o dividen sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo + si los dos factores tienen el mismo signo, o el signo − si tienen distinto signo. (−5) ⋅ (+3) = −15 (−15) : (+3) = −5

18 Calcula.

a) (−11) + (+4)

b) (+13) + (+12)

c) (−20) + (−12)

d) (+11) + (−15)

b) (+3) − (−7)

c) (−15) − (−17)

d) (+8) − (+7)

19 Realiza estas restas.

a) (−5) − (+5) 20 Calcula.

a) (−4) + (+5) − (−18) b) (+30) − (+7) + (−18)

c) (+20) − (−5) − (+5) d) (−12) − (+3) − (−7)

21 Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.

a) (+13) +
= (+12)

b)
+ (−20) = (−12)

c) (−15) −
= (+9)

d)
− (+8) = (+7)

b) (−40) ⋅ (+8)

c) (−40) ⋅ (−10)

d) (+2) ⋅ (+15)

b) (−21) : (+3)

c) (−18) : (−2)

d) (+40) : (−10)

22 Calcula.

a) (+4) ⋅ (−5) 23 Haz estas divisiones.

a) (+35) : (−7)

24 Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.

a) (+13) ⋅
= (+39)

b)
⋅ (−6) = (−42)

c) (−15) :
= (+5)

d)
: (+8) = (+2)

11

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Números OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS Sumas y restas con paréntesis

Signo − → Signos opuestos F

F

−4 − (5 − 7) + (−2 + 3) = −4 − 5 + 7 − 2 + 3 = −11 + 10 = −1 Signo + → Mismos signos

F

+ (+a) = +a + (-a) = -a - (+a) = -a - (-a) = +a

• Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime manteniendo los sumandos del interior con sus signos. • Si el paréntesis viene precedido por el signo −, al suprimirlo se transforman en sus opuestos los signos de los sumandos del interior.

F

En la práctica:

Jerarquía en las operaciones

[(−5) ⋅ 3] : [10 : (−2)] + (−6) F

F

F

F

−15 :

+ (−6)

(−5)

F

F

+ (−6)

3 F

F

−3

1.º Resolvemos los corchetes y paréntesis. 2.º Realizamos las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen. 3.º Efectuamos las sumas y restas en el mismo orden.

25 Realiza estas operaciones.

a) b) c) d)

6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9)

e) f) g) h)

10 − (8 − 7) + (−9 − 3) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)

26 Halla el valor de estas expresiones.

a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 b) (−12) ⋅ 7 : 3

c) 9 − 12 : 4 d) 100 − 22 ⋅ 5

e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2

27 Haz estas operaciones.

a) (−4) − (−6) : (+3) b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9)

d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)]

28 Calcula.

a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7

c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1]

29 Completa los huecos para que se cumplan las igualdades.

a) (−6) ⋅ [(−1) +
] = −18 b) 8 ⋅ [4 −
] = 32

12

c) 3 − [
⋅ 5] = 18 d) 1 + [3 :
] = −2

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Números RAZÓN Y PROPORCIÓN Una razón entre dos números a y b es el cociente

a . b

Una proporción es la iguadad entre dos razones. a ⎫⎪ La razón entre a y b es ⎪⎪ c b⎪ a → a, b, c y d forman una proporción. = ⎬ Si c ⎪⎪ b d La razón entre c y d es ⎪ d ⎪⎪⎭ 5 7, 5 La proporción = Si con 5 kg de pintura pintamos 4 m2 de pared, ¿podremos pintar 6 m2 4 6 de pared con 7,5 kg? se lee: «5 es a 4 5 7, 5 como 7,5 es a 6». = Sí, ya que se cumple que . 4 6 5 7, 5 La igualdad de las razones y forma una proporción. 4 6 Porcentaje

Para calcular el tanto por ciento, o porcentaje, de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. a a % de b = b ⋅ 100 12 120 = 18 = 180 12 % de 150 = 150 ⋅ 120 % de 150 = 150 ⋅ 100 100

30 Expresa mediante una razón.

a) b) c) d)

De las 55 preguntas del test he acertado 36. Teníamos 68 huevos y se han roto 12. En el primer turno de comida comen 94 alumnos, y en el segundo, 65. Una frutería tiene 7 cajas de tomates y 3 de pimientos.

31 En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos. Hoy hemos

comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, ¿se ha mantenido la proporción? 32 Identifica las razones que forman una proporción.

a)

2 8 6 9 , , , 1 2 3 5

b)

10 50 30 20 , , , 2 10 8 5

c)

7,5 4 3 10 , , , 3 6 2 4

33 «PUEBLA DE MONTEALBO: SOLO EL 8 % DE LOS ENCUESTADOS CRITICA LA LABOR MUNICIPAL.»

Si Puebla de Montealbo tiene 7.000 habitantes, ¿cuántos, aproximadamente, aprueban la labor del alcalde? 34 A la derecha ves la composición de un yogur:

Calcula el peso de sus componentes si pesa 125 g.

VALOR NUTRITIVO Proteínas: 3,5 % Carbohidratos: 13,4 % Grasas: 1,9 %

13

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Geometría POLÍGONOS Un polígono es una figura plana limitada por segmentos. D

Los lados son los segmentos que limitan el polígono. La suma de las longitudes de los lados es su perímetro.

Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula.

F

F

F

C F

E

F

Los ángulos son las regiones que forman los lados al cortarse. Se escriben así: E$.

Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

F

B A

El nombre de los polígonos está relacionado con su número de lados. Nombre

N.º de lados

Regular

Irregular

Nombre

N.º de lados

Triángulo

3

Heptágono

7

Cuadrilátero

4

Octógono

8

Pentágono

5

Eneágono

9

Hexágono

6

Decágono

10

Arco G

Cuerda

F

O G

Radio Diámetro

Longitud de la circunferencia: L = 2πr

B

35 Dibuja este polígono en tu cuaderno y señala sus lados, vértices

y ángulos. Traza sus diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene? Octógono regular 8 lados iguales y 8 ángulos iguales

36 Dibuja un octógono, un eneágono y un decágono

que no sean regulares y dibuja sus diagonales. 37 Contesta si es verdadero o falso.

a) Un polígono puede tener más vértices que lados. b) Un polígono puede tener más vértices que ángulos. c) Un polígono puede tener más vértices que diagonales. 38 Dibuja una circunferencia con un compás. Después,

traza una cuerda y los dos arcos que determina. 39 En esta circunferencia, señala los segmentos

que son cuerdas, radios y diámetros.

14

Irregular

A

CIRCUNFERENCIA

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

Regular

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Geometría TRIÁNGULOS Según sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en: C

C C

C

A

B

Equilátero Lados y ángulos iguales.

A B Isósceles Dos lados y dos ángulos iguales.

A

B

Escaleno Lados y ángulos desiguales.

C

A

B

Acutángulo Ángulos agudos.

C

A B Obtusángulo Un ángulo obtuso.

A

B Rectángulo Un ángulo recto.

CUADRILÁTEROS Según sus lados y sus ángulos, los cuadriláteros se clasifican en: PARALELOGRAMOS Lados paralelos dos a dos. Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

TRAPECIOS Dos lados paralelos. Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

TRAPEZOIDES No tienen lados paralelos.

40 Contesta a estas preguntas.

a) Un triángulo rectángulo, ¿puede ser equilátero? b) ¿Cuál es el valor de los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles? c) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo con un ángulo agudo que mide el triple que el otro ángulo agudo? C

41 Un triángulo isósceles tiene

el ángulo desigual de 50°. ¿Cuánto miden los ángulos iguales?

A

La suma de los ángulos de un triángulo es 180° y la de un cuadrilátero es 360°.

B

42 Si dibujamos un triángulo rectángulo, uno isósceles y otro escaleno,

y los cortamos por una recta paralela a la base, ¿qué polígonos obtenemos en cada caso? C D $ 43 Calcula la medida de C en este trapecio rectángulo sabiendo que B$ = 45°. A

B

15

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Funciones Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes, que se llaman cuadrantes. Y Segundo cuadrante

Primer cuadrante

COORDENADAS CARTESIANAS Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas perpendiculares denominadas ejes de coordenadas. En este sistema de coordenadas llamamos: Y Eje de – Eje de abscisas a la recta horizontal, ordenadas A y se representa por X. Origen – Eje de ordenadas a la recta vertical, y se representa por Y. O X Eje de – Origen de coordenadas al punto abscisas de intersección de los ejes, B y se representa por O. G

Tercer cuadrante

X Cuarto cuadrante

Y B(−3, 3)

3

Los puntos del plano se denotan con dos números entre paréntesis que representan cada una de sus coordenadas: la primera se representa gráficamente en el eje X, y la segunda, en el eje Y.

1 −3

1

3

X

−3 A(2, −3)

Y

44 Indica las coordenadas de cada punto.

Y

A

C

C

G B

A

B

1

E 1

F

X D

E

45 Dados los siguientes puntos: A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) y D(−2, −3):

a) Represéntalos en el plano. b) Únelos en orden alfabético y une también D con A. ¿Qué figura obtienes? 46 Haz lo mismo con estos puntos: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) y E(0, −4). 47 Representa los siguientes puntos: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) y E(−1, 2).

a) Indica los puntos que tienen la misma ordenada. b) ¿Cuántos puntos tienen la misma abscisa? ¿Cuáles son? 48 Dibuja los ejes de coordenadas

para que el punto sea A(2, −1). A

16

1 D

X

1 F

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1

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Números racionales La senda de los recuerdos La sala del trono papal aparecía enorme y vacía a los ojos de Silvestre II. El otrora poderoso pontífice romano había perdido todo su poder político aunque a los ojos de cualquiera su presencia aún imponía un respeto casi místico. Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único sitio adonde solo podía llegar él y se sentía libre. Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia que venía del sur.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Identificar y calcular fracciones equivalentes. • Efectuar operaciones con fracciones. • Expresar fracciones como números decimales y números decimales en forma fraccionaria. • Identificar números racionales.

A su memoria volvían algunos de sus recuerdos iluminando su rostro, como aquel ábaco que él mismo construyó con los números arábigos escritos en sus fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto de aquella máquina que fraccionaría el tiempo, sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia… Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras líneas decían: Día y noche son las dos partes en que se divide el día, mas no son iguales, el primero de diciembre durante el día se han consumido 3 velas y 6 durante la noche… De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneció al oír la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba de su próxima audiencia. ¿Qué fracción del día le asignarías al día y a la noche?

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1

a en la que a y b son números enteros b llamados numerador, a, y denominador, b.

Una fracción es una expresión

Cualquier número entero se puede poner en forma de fracción: 2=

2 1

=

4 2

=

8

Fracciones

Una fracción se puede interpretar como parte de una unidad, como cociente entre dos números o como el operador de un número.

= ...

4 6 -3 = - = - = ... 1 2 3

EJEMPLOS 1

2

Tomamos 4 partes de las 5 que representan la unidad. 4 → 4 : 5 = 0,8 5 4 4 ⋅ 40 160 = = 32 € de 40 € → 5 5 5

1.1 Fracciones equivalentes a c Dos fracciones, y , son equivalentes, y lo escribimos como b d a c = , si se cumple que: a ⋅ d = b ⋅ c. b d EJEMPLOS DATE CUENTA

3

Comprueba si son equivalentes estas fracciones.

Dos fracciones equivalentes representan el mismo cociente.

7 8 ⎪⎧7 ⋅ 9 = 63 y → ⎨ → 63 ⫽ 32 → No son equivalentes. ⎪⎪⎩4 ⋅ 8 = 32 4 9

2 6 = 5 15

4

Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes. 6 2 15 ⋅ 2 = → 6 ⋅ x = 15 ⋅ 2 → x = → x=5 15 x 6

6 : 15 = 0,4 F 2 : 51 = 0,4

F

EJERCICIOS PRACTICA

1

Calcula. a)

2

4 de 450 5

3

b)

3 de 350 7

Comprueba si son equivalentes estas fracciones. a)

18

APLICA

7 21 y 2 6

b)

12 10 y 60 25

Representa, mediante un gráfico, estas fracciones como partes de la unidad. a)

4 10

b)

7 4

c)

5 5

d)

6 3

REFLEXIONA

4

Escribe fracciones cuyo valor numérico sea: a) 2

b) −2

c) 0,5

d) 1,5

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1.2 Amplificación y simplificación de fracciones Existen dos métodos para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada: • Amplificar fracciones consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. • Simplificar fracciones consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción entre un divisor común a ambos.

a a⋅n = b b⋅n a a:n = b b:n

EJEMPLO 5

Escribe dos fracciones equivalentes a Amplificando:

15 15 ⋅ 2 30 = = 35 35 ⋅ 2 70

15 , amplificando y simplificando. 35 Simplificando:

15 15 : 5 3 = = 35 35 : 5 7

1.3 Fracción irreducible La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción equivalente en la que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes. Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el numerador y el denominador entre su máximo común divisor. a a : m.c.d. ( a, b) x x a = = → es la fracción irreducible de . b b : m.c.d. ( a, b) y y b

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.

EJEMPLO Calcula la fracción irreducible de

45 . 60

45 45 : 15 3 45 = 32 ⋅ 5 ⎫⎪⎪ = = ⎬ → m.c.d. (45, 60) = 3 ⋅ 5 = 15 → 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5⎪⎪⎭ 60 60 : 15 4

F

6

Fracción irreducible

EJERCICIOS PRACTICA

5

Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificación y otras dos por simplificación. a)

6

APLICA

120 60

b)

690 360

c)

12 28

Calcula la fracción irreducible de estas fracciones. a)

18 40

b)

60 75

c)

42 56

7

Halla fracciones de denominador 100 que sean 13 39 11 equivalentes a las fracciones , y . 25 50 20

REFLEXIONA

8

a es irreducible. ¿Seguirá siendo b irreducible si multiplicamos el numerador y el denominador por 7? La fracción

19

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1.4 Reducción a común denominador Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener otras fracciones equivalentes a ellas que tengan todas el mismo denominador. El denominador común de dos o más fracciones es el m.c.m. de los denominadores.

EJEMPLO 7

7 11 y . 15 18 Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores: 15 = 3 ⋅ 5 ⎪⎫ ⎬ → m.c.m. (15, 18) = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 = 90 18 = 2 ⋅ 32 ⎪⎪⎭ Reduce a común denominador las fracciones

El m.c.m. será el denominador común de las fracciones. Para hallar el numerador de cada fracción, dividimos el m.c.m. entre el denominador de cada fracción, y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 42 90

11 18

F

F

11 ⋅ 5 = 55

F

90 : 18 = 5

55 90 F

90 : 15 = 6

F

F

F

7 ⋅ 6 = 42

F

F

F

7 15

1.5 Comparación de fracciones Para comparar fracciones las reducimos primero a denominador común. Será mayor la fracción que tenga mayor numerador. EJEMPLO 8

7 11 3 5 , , y . 15 15 5 9 Reducimos las fracciones a común denominador: Ordena, de menor a mayor, estas fracciones:

21 3 ⎪⎧⎪ 7 = = ⎪⎪ 15 45 5 ⎪ m.c.m. (15, 5, 9) = 45 → ⎨ ⎪⎪ 11 5 333 ⎪⎪ = = 45 9 ⎩⎪ 15 21 25 27 33 7 < < < → Ordenando los numeradores: 45 45 45 45 15

27 45 25 45 <

5 3 11 < < . 9 5 15

EJERCICIOS PRACTICA

9

Ordena, de menor a mayor.

10 Ordena, de menor a mayor:

4 , 9 3 b) , 5

REFLEXIONA

a)

20

APLICA

1 , 3 3 , 4

2 , 5 3 , 7

11 30 4 9

5 −2 −3 8 6 , , , , . 9 3 4 5 7

11 ¿Cuánto tiene que valer a para que

a 7 > ? 5 5

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Operaciones con fracciones

2

2.1 Suma y resta de fracciones Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador. Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador primero se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los numeradores. EJEMPLO 9

Realiza la siguiente suma de fracciones. m.c.m. (6, 3, 1) = 6 F

5 7 5 7 4 5 14 24 5 + 14 − 24 −5 5 + −4 = + − = + − = = =− 6 3 6 3 1 6 6 6 6 6 6

2.2 Multiplicación de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores. a c e a ⋅ c ⋅…⋅ e ⋅ ⋅…⋅ = b d f b ⋅ d ⋅…⋅ f

Al operar con fracciones es conveniente simplificar al máximo la fracción que obtenemos como resultado.

EJEMPLO 10 Calcula este producto de fracciones. Simplificando F

5 4 5⋅4 20 10 ⋅ = = = 6 9 6⋅9 54 27

Fracción irreducible

F

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

12 Calcula.

14 Haz las siguientes operaciones.

7 3 + 8 8 7 b) 5 + 8 a)

5 4 − 3 3 8 d) 4 − 3 c)

12 7 ⋅ 5 3

b) (−4) ⋅

7 9 5 + − 2 4 8

b) −5 −

9 3 − 4 14

REFLEXIONA

15 Completa con una fracción.

13 Realiza estos productos.

a)

a) −

11 2

a)

1 + 3

=

1 4

b)

3 − 7

=

−1 21

21

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2.3 División de fracciones Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. a c a d a⋅d : = ⋅ = b d b c b⋅c

Fracción inversa a La fracción inversa de b b es . a

EJEMPLO 11 Calcula esta división de fracciones. 2 6 2 11 2 ⋅ 11 22 11 : = ⋅ = = = 7 11 7 6 7⋅6 42 21

2.4 Jerarquía de las operaciones Para realizar operaciones combinadas entre fracciones es necesario seguir el orden de prioridad entre las operaciones: 1.o Se efectúan las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes. 2.o Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. o 3. Se calculan las sumas y restas en el orden en que aparecen. EJEMPLO 12 Efectúa las siguientes operaciones. 9 3 7 5 27 42 27 84 57 ⋅ − : = − = − = 8 5 4 6 40 20 40 40 40 ⎛4 2 ⎞ ⎛8 5 ⎞ ⎛ 12 2 ⎞ ⎛8 15 ⎞ + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = b) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎝7 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 21 21 9 3 21 ⎠ ⎝ 9 9 ⎟⎠ a)

=

14 21

⎛ −7 ⎞⎟ 126 6 ⎟=− : ⎜⎜ =− ⎜⎝ 9 ⎟⎟⎠ 147 7

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

16 Realiza las divisiones.

18 Opera.

9 4 : 5 7 8 3 : b) 11 5 a)

17 Calcula.

5 ⎛⎜ 7 4 ⎞ + ⎜ − ⎟⎟⎟ ⎜ 9 ⎝5 15 ⎟⎠ ⎛8 4 7 ⎞⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ − b) 25 ⎜⎝ 2 20 ⎟⎠ a)

22

c) 4 :

7 2

d) (−5) :

7 ⎛⎜ 3 5 7 ⎞ ⋅ ⎜ + − ⎟⎟⎟ 3 ⎜⎝ 5 6 12 ⎟⎠ ⎛9 5 8⎞ ⎛ 6⎞ b) ⎜⎜⎜ − + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝4 6 9 ⎟⎠ ⎝ 5 ⎟⎠ a) −

10 9

REFLEXIONA

19 Completa con una fracción para que estas

igualdades sean ciertas. a)

3 : 5

=

21 20

b)

:

3 6 = 5 3

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Números decimales

Los números decimales expresan cantidades con unidades incompletas. Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, situada a la derecha. PARTE ENTERA

PARTE DECIMAL





Decenas 3

Unidades 7,

décimas 0

centésimas milésimas diezmilésimas 9 0 7

37,0907 → Treinta y siete unidades novecientas siete diezmilésimas

Tipos de números decimales

Para abreviar la escritura de los decimales periódicos colocamos un arco sobre las cifras del período. 1,666… = 1,6

• Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales. • Un número decimal es periódico si tiene infinitas cifras decimales y, además, una o varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama período. – Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es un decimal periódico puro. – En caso contrario, es un decimal periódico mixto. La cifra o cifras decimales que no se repiten se llaman anteperíodo. • Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.

1,0666… = 1,06

EJEMPLO 13

5 3 5 → 20 1,666… → 3 120 1120 7 7 → 20 5 10

5 1,4 →

Decimal periódico puro

Decimal exacto

16 15 16 → 1100 1,066… → 15 11100 11110 2 = 1,4142135… →

Decimal periódico mixto

Decimal no exacto y no periódico


230,569

F

Período

F

Anteperíodo

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

20 Indica la parte entera, la decimal, el período

22 Completa hasta diez cifras decimales.

y el anteperíodo. a) 0,333… b) 234,4562525…

a) 1,347347… b) 2,7474…

c) 3,37888… d) 0,012333…

c) 3,2666… d) 0,253737…

REFLEXIONA

21 Clasifica estos números.

a) 0,333…

b) 34,45666…

23 Escribe dos números decimales no exactos

c) 125,6

y no periódicos.

23

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Fracciones y números decimales

4

4.1 Paso de fracción a número decimal

Hay que simplificar las fracciones antes de aplicar estas reglas.

Cualquier fracción, dividiendo su numerador entre su denominador, puede expresarse mediante: • Un número entero, si el numerador es múltiplo del denominador. • Un número decimal exacto, cuando su denominador solo tiene como factores 2, 5 o ambos números. • Un número decimal periódico, en el caso de que no ocurra ninguna de las condiciones anteriores. EJEMPLO 14 Determina el tipo de número que expresan estas fracciones. 8 es múltiplo de 4 8 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Número entero 4 8 es múltiplo de 4 8 − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Número entero 4 7 8 = 23. Solo factor 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Número decimal exacto 8 7 25 = 52. Solo factor 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Número decimal exacto 25

8 =2 4 8 − = −2 4 7 = 0,875 8 7 = 0,28 25

Simplificando

Simplificando

Periódico mixto

−

 46 = 2,5 18 F

46 23 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Número decimal periódico =− 18 9 F

−

9 = 32. Factores distintos de 2 y 5

69 = −2,3 30  13 = 0,43 30 F

69 23 10 = 2 ⋅ 5. Solo factores 2 y 5 =− ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Número decimal exacto − 30 10 13 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5. Factores distintos de 2 y 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯→ Número decimal periódico 30 F

−

Periódico puro

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

24 Sin realizar la división, clasifica estas

25 Escribe dos fracciones que expresen:

fracciones según se expresen como un número entero, decimal exacto o periódico. Explica cómo lo haces. 5 3 7 b) 6 9 c) 5 a)

24

175 25 111 e) 240 17 f) 6 d)

85 17 84 h) − 210 −346 i) −222

a) Un número entero. b) Un número decimal exacto. c) Un número decimal periódico.

g) −

REFLEXIONA

26 Una fracción cuyo numerador no es múltiplo

del denominador y el denominador tiene factores distintos de 2 y 5, ¿qué tipo de número decimal expresa?

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4.2 Paso de número decimal a fracción La fracción generatriz de un número decimal es la fracción irreducible tal que, al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es ese número decimal. EJEMPLO 15 Escribe en forma de fracción los siguientes números decimales. a) 6,39. Para expresar un número decimal exacto en forma de fracción, seguimos estos pasos. N = 6,39

Llamamos N al número decimal.

Despejamos N, obteniendo la fracción buscada.

100 ⋅ N = 100 ⋅ 6,39 100N = 639 6,39 =

639 N= 100 6,39 =

639 100

F

Parte entera y decimal sin coma

F

Unidad seguida de tantos 0 como cifras decimales haya

639 100

Fracción generatriz

F

Multiplicamos ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.

DATE CUENTA


b) 4,65 . Para expresar un número decimal periódico puro en forma de fracción, seguimos estos pasos.
N = 4,65 65

Multiplicamos ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período.

DATE CUENTA Parte entera y decimal F

Restamos a este resultado el primer número.


100 ⋅ N = 100 ⋅ 4,65
100N = 465,65
100N = 465,65
−0 N = 004,65 099N = 46100,

4, 65 =

461 99

F

465 − 4 99

Parte entera

F

Despejamos N, obteniendo la fracción buscada.

4, 65 =

461 N= 99

F

Llamamos N al número decimal.

Tantos 9 como cifras tiene el período

Fracción generatriz

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

27 Obtén la fracción generatriz de estos números

28 Expresa en forma de fracción.

decimales. a) 3,54

f)

b) 9,87

g)

c) 0,000004

h)

d) 24,75

i)

e) −7,002

j)


0,8
0,7
5,211
37,117
−2,02


a) 3,9


b) 17,9


c) 15,9

¿A qué equivale el período formado por 9? REFLEXIONA

29 Completa:

a) 5,33 =

533 

b) 5,6 =

 5

25

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EJEMPLOS
16 Escribe, en forma de fracción, el número decimal 3,745. Para expresar un decimal periódico mixto en forma de fracción, seguimos estos pasos.

DATE CUENTA Parte entera y decimal

Multiplicamos ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo.

F

F

F

 = 3.745 − 37 3,745 990


N = 3,745

Llamamos N al número decimal.

Parte entera y decimal no periódica

Tantos 9 como cifras tiene el período y tantos 0 como cifras tiene el anteperíodo


10 ⋅ N = 10 ⋅ 3,745
10N = 37,45

Multiplicamos ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período.


100 ⋅ 10N = 100 ⋅ 37,45
1.000N = 3.745,45

A este resultado le restamos el primero.


1.000N = 3.745,45
− 10N = 00.37,45 0990N = 3.70800,

Simplificamos la fracción obtenida. = 3,745

N=

3.708 990

N=

3.708 206 = 990 55

206 55

F

Despejamos N.

Fracción generatriz

17 Calcula, utilizando sus fracciones generatrices: 0,7777… + 2,3444… 1.o Expresamos como fracción 0,7777…:
7−0 7 = 0,7 = 9 9 Expresamos como fracción 2,3444…:
234 − 23 211 = 2,34 = 90 90 m.c.m. (9, 90) = 90 F

2.o Sumamos:

7 211 = 0,7777… + 2,3444… = + 9 90 70 211 281 = + = 90 90 90

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

30 Obtén la fracción generatriz de estos números.


a) 3,24


b) 11,87


c) 5,925

APLICA

31 Calcula, utilizando fracciones generatrices.

a) 2,75 + 3,8

26



b) 5,06 − 2,95

32 Razona, sin hallar la fracción generatriz,

por qué son falsas las igualdades.
55  = 241 a) 0,243 c) 12,37 = 999 45
56 321 = b) 0,023 d) 0,124 = 990 495

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Números racionales

5

Al conjunto de todos los números que se pueden expresar mediante fracciones se le llama conjunto de los números racionales y se representa por ⺡.

Números racionales




Números enteros

Números naturales: 1, 2, 3, … El número cero: 0 Enteros negativos: −1, −2, −3, …

⺞







Hemos visto en esta unidad que tanto los números enteros como los decimales exactos y periódicos se pueden expresar mediante fracciones:

Decimales exactos: 0,2; 0,34; …

Decimales periódicos: 0,7 ; 0,894 ; …

⺡

Números decimales

⺪

Los números decimales no exactos y no periódicos no se pueden expresar en forma de fracción, y por tanto, no son racionales. A estos números se les llama números irracionales. EJEMPLO 18 Completa la siguiente tabla con estos números. Ten en cuenta que cada número puede estar colocado en más de una casilla.

0,125 −7 14,019 11,223344… 1 −0,75 −4,1234567… Número Número natural entero 1

Número decimal exacto

1 −7

0,125

Número decimal periódico
14,019
−0,75

Número decimal no exacto y no periódico 11,223344… −4,1234567…

Número racional
0,125; −7; 14,019
1; −0,75

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

33 Completa esta tabla, teniendo en cuenta que

34 Escribe cuatro fracciones que representen

un número puede estar en más de una casilla.

números racionales que sean:

−0,224466881010… −0,67543

a) Menores que 1 y mayores que −1. b) Mayores que −1 y menores que 0.

−1,897897897… −3,0878787…

−24 −1,5

Decimal Número Número Decimal Decimal no exacto Número natural entero exacto periódico y no racional periódico

REFLEXIONA

35 Escribe cuatro números que no sean racionales

y que estén comprendidos entre: a) −1 y 1

b) −1 y 0

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Número decimal

Denominador ⎯→

3 4

Anteperíodo

F

Período

17,208

Fracciones equivalentes

Parte entera

2 4 = ↔ 2 ⋅ 14 = 7 ⋅ 4 7 14

Exacto: 0,03
Periódico puro: 0,03
Periódico mixto: 0,03

Fracción irreducible 24 : m.c.d. (24, 30) 4 24 = = 30 : m.c.d. (24, 300) 5 30

Parte decimal

−12,2
−12,2
−12,02

9,1586
9,1586
9,1586

NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS RACIONALES




No exacto y no periódico: 1,234… Números naturales: 1, 2, 3, … El número cero: 0 Enteros negativos: −1, −2, −3, …







F

F

Numerador ⎯⎯→

F

Fracción

Decimales exactos: 0,2; 0,34;
…
Decimales periódicos: 0,7 ; 0,894 ; …

NÚMEROS DECIMALES

1,112233…

HAZLO DE ESTA MANERA

1. DETERMINAR EL TIPO DE NÚMERO DECIMAL QUE EXPRESA UNA FRACCIÓN

Determina el tipo de número decimal que expresan estas fracciones: a) PRIMERO. Si el numerador es múltiplo del denominador, la expresión decimal de la fracción es un número entero.

a)

14 14 es múltiplo de 7 Número ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ entero 7

14 7

b)

19 25

c)

33 63

SEGUNDO. En caso contrario, si el denominador

de la fracción irreducible solo tiene como factores 2, 5 o ambos, es un número decimal exacto. b)

19 25 = 52. Solo factor 5 Número decimal ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ exacto 25

TERCERO. Si contiene otros factores, su expresión decimal es un número decimal periódico.

c)

33 11 21 = 3 ⋅ 7. Factores distintos de 2 y 5 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯→ Número decimal periódico 63 21

2. EXPRESAR UN NÚMERO DECIMAL EXACTO EN FORMA DE FRACCIÓN Expresa 2,309 como una fracción. PRIMERO. El denominador de la fracción será la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.

2,309 → 3 cifras decimales → → Denominador = 1.000

28

SEGUNDO. El numerador de la fracción es la parte

entera y decimal del número, sin la coma. 2,309 → Numerador = 2.309 2.309 2,309 = 1.000

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3. EXPRESAR UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO EN FORMA DE FRACCIÓN

4. EXPRESAR UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO EN FORMA DE FRACCIÓN

 Expresa el número 3,14 como una fracción.

 Expresa el número 0,2317 como una fracción.

Llamamos A al número decimal.  A = 3,14 SEGUNDO. Multiplicamos esa igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica. 100 ⋅ A = 100 ⋅ 3,1414… 100A = 314,1414… TERCERO. Restamos a ese resultado el número decimal periódico de partida y, después, despejamos A. La fracción resultante es la expresión fraccionaria del número decimal. − 100A = 314,1414… − 100A = 003,1414…

PRIMERO.

PRIMERO.

SEGUNDO. Multiplicamos esa igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica y no periódica. 10.000A = 2.317,317317… TERCERO. Multiplicamos la igualdad inicial por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica.

10A = 2,317317… CUARTO.

Restamos los resultados obtenidos. − 10.000A = 2.317,317317… − 10.010A = 2.312,317317…

− 199A = 31100…,00 A=

Llamamos A al número decimal.  A = 0,2317

9.990A = 2.3150….00

311 99

A=

2.315 463 = 9.990 1.998

Y AHORA… PRACTICA Determinar el tipo de número decimal que expresa una fracción 7 expresa un número: 64 a) Entero c) Decimal periódico b) Decimal exacto d) Decimal no exacto y no periódico

1. La fracción

7 expresa un número: 14 a) Entero c) Decimal periódico b) Decimal exacto d) Decimal no exacto y no periódico

2. La fracción −

50 expresa un número: 25 a) Entero c) Decimal periódico b) Decimal exacto d) Decimal no exacto y no periódico

3. La fracción

Expresar un número decimal exacto en forma de fracción 4. La expresión en forma de fracción del número decimal 0,102 es: 51 51 51 51 a) b) c) d) 5 50 500 5.000 Expresar un número decimal periódico puro en forma de fracción 5. La expresión en forma de fracción del número decimal 0,102 es: 34 34 34 17 a) b) c) d) 33 333 330 150 Expresar un número decimal periódico mixto en forma de fracción  6. La expresión en forma de fracción de 0,102 es: 23 23 51 51 a) b) c) d) 25 225 450 900

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Actividades FRACCIONES

HAZLO ASÍ

36. ● Expresa estos enunciados utilizando una fracción. a) Una pizza se ha partido en 8 partes y Juan se ha comido 2. b) De una clase de 20 alumnos, 15 han ido de excursión. c) De un grupo de 7 amigas, 3 son pelirrojas. d) Una de cada 5 personas tiene problemas de espalda. 37. ● Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura. a) c)

b)

¿CÓMO SE REPRESENTAN FRACCIONES IMPROPIAS EN LA RECTA NUMÉRICA? 16 . 3 PRIMERO. Se expresa la fracción como un número entero más una fracción propia.

41. Representa en la recta numérica la fracción

16 3 1 16 16 = 5+ → → 3 3 3 1 5 La fracción está comprendida entre 5 y 6. SEGUNDO. Se divide el trozo de recta comprendido

entre 5 y 6 en tantas partes como indica el denominador, 3, y se toman las que señala el numerador, 1. Para dividir el trozo de recta se traza una semirrecta con origen en 5, con la inclinación que se desee, y se dibujan tres segmentos iguales.

d)

5

38. ● Representa, utilizando figuras geométricas, las siguientes fracciones. 3 7 5 b) 2 a)

39. ● Colorea los

7 6 4 d) 9

6

Se une el extremo del último segmento con el punto que representa a 6, y se trazan paralelas a esa recta desde las otras dos divisiones.

c)

2 de la figura. 3

5

6

16 3

5

6

42. ● Representa estos números racionales. a) 40. ● Calcula. 1 de 180 2 5 b) de 420 6 −2 c) de 40 5 a)

30

2 9

b)

13 3

−7 5

c)

d)

43. ● ¿Qué fracción representa cada letra? 4 de 540 9 5 e) de 320 8 3 f) − de 1.342 11 d)

A

a) −3

−2

−1

B

b) 1

2 C

c) 6

7

−28 −8

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FRACCIONES EQUIVALENTES 44. ● Indica si son o no equivalentes estos pares de fracciones. 3 y 10 −1 y b) 7 6 y c) 10 a)

−2 −4 y 3 5 2 8 y e) 5 20 20 120 y f) 50 450

21 7 −14 30 3 8

d)

x 10 = 4 6 9 6 = b) x 4

22 11 + 11 11 = = 13 11 + 2 2 22 2 ⋅ 11 11 = = b) 14 2⋅7 7 a)

x 6 = 12 9 14 x = d) 42 9

COMPARACIÓN DE FRACCIONES 53. ● Ordena, de mayor a menor.

c)

4 −7 , 9 8 −11 −7 , b) 8 8 3 10 20 , c) , 8 24 48 a)

46. ● Completa. 2 4  =  = 30 = = 3  6 30  47. ● Agrupa las fracciones que sean equivalentes. 20 4 −1 −10 2 −3 , , , , , 40 2 2 −5 4 6 48. ● Obtén dos fracciones equivalentes a cada una de las dadas por amplificación y otras dos por simplificación. 8 100

60 36

30 45

504 72

49. ●● Amplifica las siguientes fracciones, de forma que el denominador de la fracción amplificada sea un número mayor que 300 y menor que 400. 5 18 27 b) 52 a)

3 11 −3 d) 37 c)

3 8 −11 f) 5 e)

50. ● Simplifica hasta obtener la fracción irreducible de estas fracciones. 20 40 210 b) 8 8 c) 18 a)

15 12 16 e) 18 40 f) 60 d)

20 15 + 5 5 = = 18 15 + 3 3 40 40 : 20 2 = = d) 80 80 : 20 4 c)

1 52. ●● Escribe una fracción equivalente a y otra 5 4 equivalente a , ambas con el mismo denominador. 6

45. ● Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes. a)

51. ●● Señala cuáles de estas simplificaciones de fracciones están mal hechas y razona por qué.

55 11 30 h) 21 6 i) 18 g)

−4 −21 −5 , , 6 6 12 −43 10 −8 , , e) 60 40 10 2 4 8 1 , , , f) 5 7 35 2 d)

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE OBTIENE UNA FRACCIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS FRACCIONES? 54. Encuentra y escribe una fracción comprendida 4 7 entre las fracciones y . 9 6 PRIMERO. Se suman ambas fracciones. 4 7 8 21 29 + = + = 9 6 18 18 18 SEGUNDO. Se divide entre 2 la fracción obtenida. 29 29 :2= 18 36 29 4 7 La fracción está comprendida entre y . 36 9 6

55. ●● Escribe una fracción comprendida entre: 4 7 y 5 8 9 11 y b) 7 9 7 8 y c) 6 6 a)

3 2 y− 7 5 −1 1 y e) 6 5 5 6 f) − y − 9 9 d) −

31

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OPERACIONES CON FRACCIONES

3 5 1 + + 4 4 4 7 8 b) + 2 + 2 6

5 3 9 − − 2 2 2 5 6 d) 9 + − 7 7 c)

57. ● Haz las siguientes restas. 33 10 − 11 11 5 1 − b) 10 15 a)

3 1 2 − − 2 7 12 7 1 1 d) − − 3 2 11 c)

7 2 1 − − 15 3 6 9 5 + −8 e) 12 8 6 7 f) − − 3 − 7 3 d)

60. ● Efectúa estas operaciones. −5 −2 + 16 16 5 −1 b) + 7 10 1 −1 2 + + c) 2 9 18 a)

10 10 + 11 7 7 1 5 + + e) 11 12 14 13 1 11 + + f) 11 13 9 d) 5 +

1 2 4 = 6 =

3 3 3 + = 7 8 9 1 1 1 d) − − = 4 5 6 c)

62. ● Realiza estos productos. 2 6 ⋅ 3 5 5 ⋅8 b) 14 a)

32

7 21 : 5 2 3 b) 8 : 8

c)

48 10

d) 21⋅

11 :7 3 5 ⎛⎜ 10 ⎞⎟ : ⎜− ⎟⎟ d) 6 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ c)

66. ●● Completa los huecos. 1 ⋅ = 3 4 : = b) 5 3 3 c) ⋅ ⋅ 7 8

1 4 −4 6 =

d)

3 9

f)

4 : 5

1 6 10 =− 3 =

= −2

67. ●● Calcula. 4 1 7 − ⋅ 5 4 3 ⎛4 1⎞ 7 b) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝5 4 ⎟⎠ 3 3 4 3 c) 2 ⋅ − : 5 7 4 3 4 3 d) : : − 1 5 7 4

1 7 2 ⋅ + 4 3 5 1 ⎛⎜ 7 2⎞ f) 9 − ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟⎟ 4 ⎝3 5 ⎟⎠ ⎛ 1⎞ 7 2 g) ⎜⎜⎜9 − ⎟⎟⎟ ⋅ + ⎝ 4 ⎟⎠ 3 5 2 3 1 3 h) : − ⋅ 3 4 5 7 e) 9 −

68. ●● Realiza las operaciones. 7 ⎛⎜ 3 8 ⎞⎟ 2 3 5 ⎟⎟ −⎜ + ⋅ − a) e) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 20 15 5 4 4 ⎛ ⎞ 4 5 4 2 3 7 − ⎟⎟⎟ : − b) ⋅ ⎜⎜⎜ f) 5 ⎝ 24 9 ⎠⎟ 5 10 18 8 ⎛⎜ 3 11 ⎞⎟ ⎟⎟ :⎜ + 5 ⎜⎝ 5 30 ⎟⎠ ⎛8 5⎞ ⎛6 1⎞ d) ⎜⎜⎜ : ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎟ ⎝3 9⎠ ⎝5 3 ⎟⎠ c)

4 9

1 1 : : 4 5

e) (−5) ⋅

a)

61. ●● Completa los huecos. 1 + 3 4 b) − 5

9 6 : 5 7 8 ⎛⎜ −6 ⎞⎟ ⎟⎟ :⎜ d) 15 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ c)

a)

a)

3 5 3 + − 2 16 8 5 5 5 b) + + 6 3 4 −2 3 + −1 c) 5 4

a)

5 3 : 8 2 5 7 : b) 12 4 a)

65. ● Efectúa las divisiones. 1 7 d) 4 − + 6 6 1 5 − e) 1 + 12 13 1 1 2 − + f) 3 − 21 7 9

59. ● Opera. a)

9 6 ⋅ ⋅3 7 5 9 3 11 ⋅ ⋅ f) 4 11 3

e)

64. ● Calcula.

58. ● Calcula. 25 11 2 + − a) 7 7 7 5 1 1 + b) − 7 10 3 10 10 12 + − c) 11 7 11

⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞⎟ ⎟ d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎠ ⎝ 6 ⎟⎟⎠

12 3 ⋅ 5 6 2 ⎛ 7⎞ b) ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ 9 ⎝ 4 ⎟⎠ 9 3 ⋅ c) 6 7 a)

56. ● Calcula. a)

63. ●● Opera.

g)

2 21 +3: 7 35

h)

1 6 7 4 ⋅ + : 2 5 5 3

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NÚMEROS DECIMALES 69. ● Señala la parte entera y decimal de los siguientes números. a) 0,75 b) 274,369 c) 1,8989…

d) 127,4555… e) 2,161820… f) −7,0222…

70. ●● Expresa, mediante una fracción y mediante un número decimal, la parte coloreada de cada una de las figuras. a)

c)

75. ● Expresa en forma de fracción estos números.

a) −7 d) 9,6 g) 9,54

b) 6,05 e) 4,07 h) 0,315

c) −0,00182 f) −14,413 i) 0,0123 76. ● Expresa en forma decimal las fracciones, y en forma fraccionaria, los decimales. 9 8 b) 7,35
c) 13,7
d) 8,91 a)

48 e) 10 b)

f) g) h) i) j)

9 11 0,278
6,16
18,57
2,265

101 90 l) 1,0435
m) 1,274
n) 0,315
ñ) 0,012

k)

77. ●● Calcula, utilizando las fracciones generatrices.

d)

a) 0,2777… + 2,333… b) 3,5666… − 2,2727…

c) 0,44… ⋅ 2,5151… d) 1,13888… : 0,9393…

78. ●● Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando tu respuesta. 71. ●● Indica cuáles de los números son periódicos y cuáles no. Señala el período para los que sean periódicos. a) 1,333… b) 2,6565… c) 3,02333…

d) 6,987654… e) 0,010101… f) 1,001002003…

72. ●● Clasifica estos números decimales en exactos, periódicos puros, periódicos mixtos o no exactos y no periódicos. a) b) c) d) e)

1,052929… 0,89555… −7,606162… 120,8 −98,99100101…

f) g) h) i) j)

13,12345666… −1.001,034034… 0,0000111… −1,732 0,123456777…

a) Todo número decimal puede expresarse en forma de fracción. b) Un número entero se puede expresar como una fracción. c) En un número decimal periódico, las cifras decimales se repiten indefinidamente después de la coma. d) Si un número decimal tiene como período 0, es un número exacto.

PROBLEMAS CON FRACCIONES 79. ● Se dispone de 30 metros de tela. Calcula cuántos metros son:

73. ● Razona qué tipo de número: entero, decimal exacto o periódico, expresan las siguientes fracciones. 27 36 44 b) − 11 4 c) 24 a)

51 20 −34 e) 30 15 f) 21 d)

74. ● Obtén la fracción generatriz.
a) 5,24 c) 3,7
b) 1,735 d) 5,43

22 −1 21 h) 420 19 i) 90 g)


e) 5,12
f) 0,235

30 m

a)

3 de la tela 5

b)

7 de la tela 30

c)

5 de la tela 6

80. ● Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de 12.300 €. Calcula el dinero que ha ingresado la empresa.

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81. ● Un padre le da a su hija mayor 30 €, y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la mayor. ¿Cuánto ha recibido el hijo menor?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LOS QUE SE CONOCE UNA PARTE DEL TOTAL?

1 de sus ingresos 15 mensuales en el alquiler del piso, 1 1 en el teléfono y en transporte y ropa. 60 8 ¿Cómo se distribuyen los gastos si sus ingresos mensuales son de 3.000 €?

87. ●● Una familia gasta

2 partes son chicos. 5 ¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos en total? 2 PRIMERO. Se resta la parte conocida, , al total, 1, 5 para calcular la parte desconocida. 82. En la clase, las

1−

2 5 2 3 = − = son chicas 5 5 5 5

SEGUNDO. Se calcula lo que representa esa parte

en el total de alumnos, 25. 3 3 3 ⋅ 25 75 de 25 = ⋅ 25 = = = 15 chicas 5 5 5 5

83. ●● Para el cumpleaños de mi madre, le hemos regalado una caja de bombones. Hemos comido 3 ya las partes de la caja. Si la caja contenía 4 40 bombones, ¿cuántos bombones quedan?

3 88. ●● En un campamento, de los jóvenes son 8 1 europeos, asiáticos y el resto africanos. 5 Si hay en total 800 jóvenes: a) ¿Cuántos jóvenes europeos hay? b) Si la mitad de los asiáticos son chicas, ¿cuántas chicas asiáticas habrá? c) ¿Cuántos de estos jóvenes son africanos?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN? 84. ●● Los tres octavos del total de alumnos de un IES llevan gafas. Si llevan gafas 129 alumnos, ¿cuántos alumnos son en total? 85. ●● Un granjero quiere vallar un terreno 3 de 2.275 m de largo. El primer día hace los 7 2 del trabajo, y el segundo día, los . ¿Cuántos 5 metros faltan por vallar? 86. ●● Unos amigos recorren 105 km en bicicleta. 1 El primer día hacen del camino y el segundo 3 4 día , dejando el resto para el tercer día. 15 ¿Cuántos kilómetros recorren cada día?

34

89. Cristina debe leer un libro para el colegio. El primer día lee la cuarta parte del libro, y el segundo día, la mitad de lo que le quedaba. ¿Qué fracción representa lo que lee el segundo día? PRIMERO.

Se calcula la fracción de la que se hallará

su parte. 1 1 3 , y le quedan: 1 − = . 4 4 4 SEGUNDO. Se calcula la parte de la fracción. 3 3 :2= . El segundo día lee: 4 8 3 Por tanto, el segundo día lee del libro. 8

El primer día lee

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90. ●● Tenemos una pieza de alambre de 90 m. 2 1 Vendemos las partes a 3 €/m, del resto 3 6 a 4 €/m y los metros que quedan a 2 €/m. ¿Cuánto hemos ganado si habíamos comprado el metro de alambre a 2 €? 91. ●● Tres amigos se reparten 90 € que han ganado en la quiniela de la siguiente manera: el primero se queda con la quinta parte, el segundo con la tercera parte de lo que recibe el primero, y el tercero con la mitad de lo que recibe el segundo. a) ¿Qué fracción representa lo que obtiene cada uno? b) ¿Cuánto dinero se queda cada amigo? c) ¿Y cuánto dinero dejan de bote?

94. ●●● Unos amigos organizan una excursión a la montaña: el primer día recorren un cuarto de lo programado, el segundo día un tercio, dejando el resto (que son 25 km) para el tercer día. ¿Qué fracción representan los kilómetros recorridos el tercer día? ¿Cuántos kilómetros han recorrido en total?

INVESTIGA 95. ●●● Calcula las siguientes diferencias.

1−

1 2

1 1 1 1 − − 2 3 3 4 1 1 1 1 − − 4 5 5 6

a) Con los resultados, efectúa esta suma. 1 1 1 1 1 + + + + 2 6 12 20 30 b) A la vista del resultado anterior, ¿cuál crees que será el resultado de esta suma?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIENDO UNA PARTE? 7 92. Una piscina está llena hasta los de su 9 capacidad. Aún se necesitan 880 litros para que esté completamente llena. ¿Qué capacidad tiene la piscina? PRIMERO. Se calcula la fracción que representa la parte vacía de la piscina. 7 9 7 2 1− = − = 9 9 9 9 SEGUNDO. Se designa por x la capacidad total de la piscina. 2 2 de x = ⋅ x = 880 9 9 Despejando x: 2 880 ⋅ 9 7.920 x = 880 : = = = 3.960 9 2 2 La piscina tiene 3.960 litros de capacidad.

93. ●●● De un calentador, primero se gasta la mitad del agua y luego la cuarta parte de lo que quedaba. Si todavía quedan 12 litros, ¿cuál es la capacidad del calentador?

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + +…+ 2 6 12 20 30 42 1.001.000 96. ●●● Si vaciamos estos dos recipientes en una jarra, ¿cuál es la proporción de agua y de vinagre en la jarra?

MEZCLA

MEZCLA

2 partes de agua

3 partes de agua

1 parte de vinagre

1 parte de vinagre

97. ●● Esta figura contiene nueve cuadrados, todos de lado 1. Los puntos señalados verifican: 1 苶 苶=苶 QR 苶=苶 RS 苶=苶 ST 苶= PQ 4 Una recta une a X con uno de esos puntos T S R y divide la figura Q en dos regiones P de igual área. ¿Cuál es esa recta? X

35

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En la vida cotidiana 99. ●●● Las noticias sobre los accidentes ocurridos durante la Semana Santa destacan un importante aumento de siniestros.

98. ●●● Una comunidad de vecinos quiere instalar placas solares para abastecer parte de la energía eléctrica que se consume en el edificio. Han consultado con una empresa instaladora y les ha proporcionado los siguientes datos.

rretera en la ca a t n a S mana o te la Se n a r u d muer t ad n d li a a r h t s a s Sinie rreter rsona

108 pe ntes de ca ide en acc idos en

Según nuestros informes, la instalación de placas solares permite un ahorro de 2 del consumo energético actual del edificio. 7

N IÓ AC L A 3 ST IN ES l, 2 LA LAR So l A O R S de PA S C/ O CA 0€ s: ST PLA o 00 E n . i U 2 E c UP D ve l: 2 ES de ota PR

d ida es un olar n. m s Co cas lació Pla insta e

lec los fal ón. ad de ba el cintur t i m a a L z li ti u os en os no fallecid o. turism s e tr a e cad a casc Uno d s no llevab teicleta cidos motoc s falle e estos, o l e d ad yd La mit de 35 años, enor de m os a r n e e o m nía a cuatr d a c e uno d omo s. rece c 25 año ón apa en dos de i c c a r t La dis ndamental infracor fu identes, la o en t c a f l e cc fic inco a de trá cada c las normas ceso de vex e e ción d ada tres y el a diez. c d uno de en tres de ca d locida

ulo Vehíc os Turism icletas Motoc

17

T

La empresa instaladora les ha informado de que ciertos organismos oficiales conceden subvenciones para la instalación de placas solares.

Completa la siguiente tabla. Fallecidos Medidas de seguridad

INSTITUTO PARA LA DIVERSIFICACIÓN Y AHORRO DE LA ENERGÍA En relación con la subvención solicitada por su comunidad para la instalación de placas solares en el edificio situado en la calle del Sol, número 23, le informamos de que dicha subvención ha sido otorgada, y que su cuantía asciende a la mitad del coste de las placas y su instalación.

No llevaba cinturón No utilizaba casco Cumplía las medidas de seguridad Edades Menores de 35 años Mayores de 35 años Menores de 25 años

La compañía eléctrica suministradora de la comunidad cobra a 8,6726 céntimos el kilowatio. En el último recibo bimensual, cada uno de los 48 vecinos ha pagado 46,34 €. ¿Cuánto tiempo tardarán en amortizar las placas solares y su instalación, si el consumo de la comunidad se mantiene?

36

idos Fallec 91

Causa principal del accidente Distracción Infracción de normas de tráfico Exceso de velocidad Ninguna de las circunstancias anteriores

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2 PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer las potencias de números racionales. • Conocer y aplicar las propiedades de las potencias. • Identificar los números reales. • Aproximar y representar números reales. • Interpretar los distintos tipos de intervalos.

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Números reales La razón irracional El gran Pitágoras, que estudió el mundo y su relación con los números, el descubridor de la belleza racional de todas las cosas creadas, al final de su vida, en los albores del siglo V a.C., se confesaba a uno de sus discípulos amargamente: –Escucha –le decía a Hipaso de Metaponto–: Toda mi vida he buscado la verdad en los números; la explicación de lo divino y lo humano estaba en ellos o en sus razones, todo era perfecto y explicable, todo era razonable… Hipaso miraba a su maestro con admiración, mientras asentía con la cabeza. Mientras tanto, Pitágoras continuaba: –Ahora que ha llegado el final de mi vida he de confesarte una horrible verdad: hace tiempo que los descubrí, hay otros. –¿Otros? –preguntó Hipaso. –Sí, están ahí pero son inconmensurables: cualquiera puede construir un cuadrado cuyo lado mida 1; sin embargo, será incapaz de medir su diagonal. Incluso la razón de la Pentalfa no es tal, sino uno de estos camuflado. Si no lo crees, intenta medir la diagonal de esta habitación que tiene 3 pasos de ancho y 5 de largo.

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1 Potencia

Potencias de números racionales

1.1 Potencias de exponente positivo

Base F

an

G

Exponente

Una potencia de exponente positivo es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son iguales. an = 1 a44424 ⋅a⋅a⋅… ⋅a 443

si n > 0

n veces EJEMPLO 1

Calcula estas potencias. 3 424 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅3 3 = 81 a) 34 = 1

c) (0,4)2 = 1 0,4 ⋅ 0,4 424 3= 0,16

4 veces

2 veces

⎛2⎞ 2 2 2 2⋅2⋅2 8 = b) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅ = ⎝5⎠ 5424 5 3 5 5⋅5⋅5 125 1 3

3 veces

⎛ 1⎞ 1 1 1 1 1 d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎝2⎠ 2 424 2 2 43 2 16 14 4

4 veces

1.2 Signo de una potencia de exponente positivo En una potencia de base un número racional y exponente positivo: • Si la base es un número positivo, la potencia es siempre positiva. • Si la base es un número negativo, la potencia es positiva si el exponente es par y negativa si es impar. CALCULADORA

EJEMPLO

1

⋅

4

xy

3

=

Calcula las siguientes potencias. F

a) (−2) 5 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −32 Impar

b) (−1,2) = (−1,2) ⋅ (−1,2) ⋅ (−1,2) ⋅ (−1,2) = 2,0736 4

Par

⎛ 5⎞ c) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 6⎠

y obtenemos como resultado:

2.744

3

⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) −125 125 = ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = = =− ⎝⎜ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 6⋅6⋅6 216 216 F

Por ejemplo, para calcular (1,4)3 tecleamos:

2

F

Para hallar potencias con la calculadora utilizamos la tecla x y .

Impar

EJERCICIOS PRACTICA

1

38

APLICA

Calcula las siguientes potencias. a) 32

d) (−5)3

g) (4,25)4

b) 74

e) (−2,02)4

⎛ 1 ⎞3 h) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 3⎠

c) (−9)2

⎛ 5 ⎞⎟5 f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 8⎠

i) (−14,32)8

2

Calcula (−0,8)2, (−0,8)3 y (−0,8)4. ¿Cuál es mayor?

REFLEXIONA

3

Expresa en forma de potencia. ⎛ 1 ⎞⎟ 1 1 a) 3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 3 b) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎝ 7⎠ 7 7

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1.3 Potencias de exponente negativo Una potencia de exponente negativo es igual al cociente entre la unidad y dicha potencia con el exponente positivo. 1 a −n = n a

CALCULADORA Para hallar (3,4)−2 tecleamos:

EJEMPLO

3

Calcula estas potencias de exponente negativo. 1 1 1 1 1 c) (−2)−3 = a) 3−2 = = =− = 3 2 (−2) −8 8 3 9

3

b) (−3)−2 =

⋅

xy

4

2

±

=

y en la pantalla aparece:

0.08650519

⎛ 2 ⎞−3 1 1 8 27 d) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = = = 1: = ⎜⎝ 3 ⎠ ⎛ 2 ⎞⎟3 8 27 8 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ 27

1 1 = 2 (−3) 9

1.4 Potencias de exponente 0, 1 y –1 ⎧⎪ a 0 = 1 ⎪⎪ ⎪ a1 = a Para cualquier valor de a (a ⫽ 0) siempre se cumple que: ⎪⎨ 1 ⎪⎪ −1 ⎪⎪a = a ⎪⎩ EJEMPLO Calcula las siguientes potencias.

4

a) 30 = 1

d) 31 = 3

b) (−3)0 = 1

e) (−3)1 = −3

⎛ 4 ⎞⎟0 c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎝3⎠

⎛ 4 ⎞⎟1 4 f) ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝3⎠ 3

1 1 = 1 3 3 1 1 1 = =− h) (−3)−1 = (−3)1 −3 3

g) 3−1 =

⎛ 4 ⎞⎟−1 1 1 4 3 = = 1: = i) ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎛ 4 ⎞⎟1 4 ⎝3⎠ 3 4 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ 3

EJERCICIOS PRACTICA

4

APLICA

Calcula estas potencias. a) 7−3

d) (−5)−2

5

⎛ 8 ⎞−4 g) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝5⎠

⎛ 8 ⎞−5 j) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠ ⎛ 8 ⎞⎟0 k) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠

b) 7

e) (−5)

⎛ 8 ⎞⎟1 h) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝5⎠

c) 7−1

f) (−5)−1

⎛8⎞ i) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝5⎠

1

0

−1

⎛ 8 ⎞−1 l) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠

Contesta si es verdadero o falso. a) Una potencia de exponente negativo es siempre positiva. b) Una potencia de exponente 0 es siempre positiva.

REFLEXIONA

6

¿Cómo calcularías (0,2)−3?

39

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2 Estas propiedades se cumplen siempre que a y b sean números racionales, y m y n, números enteros

Propiedades de las potencias

2.1 Potencia de un producto Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia.

(a ⋅ b)n = an ⋅ bn

EJEMPLOS 5

Expresa como un producto de potencias. (5 ⋅ 7)3 = (5 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 7) = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 53 ⋅ 73

6

Calcula: [(−3) ⋅ 5]3 = (−3)3 ⋅ 53 = −27 ⋅ 125 = −3.375

(a·b)n = an ·bn 2.2 Potencia de un cociente Para elevar un cociente a una potencia: • Si el exponente es positivo, se eleva cada uno de los términos a dicha potencia.

n ⎛ a ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = a ⎝⎜ b ⎟⎠ bn

• Si el exponente es negativo, se invierten los términos y se elevan a dicha potencia.

⎛ a ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝⎜ b ⎟⎠

n

−n

=

EJEMPLOS 7

Expresa como un cociente de potencias. ⎛ 7 ⎞⎟3 7 7 7 7⋅7⋅7 73 ⋅ ⋅ = = 3 a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 10 ⎠ 10 10 10 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10 ⎛ 4 ⎞⎟−3 ⎛ 1 ⎞⎟3 ⎛ 5 ⎞⎟3 53 b) ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎝5⎠ 4 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 5 ⎠

8

Calcula estos cocientes de potencias. ⎛ −1 ⎞⎟4 (−1)4 ⎛ −1 ⎞⎟−4 34 81 1 ⎜ ⎜⎜ = = = 81 = ⎟⎟ = ⎟ a) ⎜⎜ b) ⎟ 4 4 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ (−1) 1 3 3 81

EJERCICIOS PRACTICA

7

APLICA

a) (8 ⋅ 4)3

d) (6 ⋅ 5)−2

b) [(−1) ⋅ (−4)]3

e) [(−3) ⋅ 5]−2

⎛4⎞ c) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

3

40

8

Calcula.

−2

⎛ 5⎞ f) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

⎛ 7⎞ Resuelve: a) ⎜⎜⎜2 ⋅ ⎟⎟⎟ ⎝ 3⎠

5

⎡3 ⎤ −2 b) ⎢ ⋅ (−10)⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦

REFLEXIONA

9

Señala qué desigualdad es cierta. ⎛ 1 ⎞3 1 1 a) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ < b) [2 ⋅ (−1)]4 < ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 4

bn an

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2.3 Producto de potencias de la misma base Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes.

an ⋅ am = an+m

EJEMPLO 9

Expresa como una sola potencia. a) (−5)2 ⋅ (−5)3 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = (−5)2+3 = (−5)5 2+3 ⎛ 8 ⎞5 ⎛ 8 ⎞2 ⎛ 8 ⎞3 ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8 ⎞ b) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎠ ⎜⎝ 5 ⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

Las propiedades a n · a m = a n +m a n : a m = a n –m solo se pueden aplicar cuando las potencias tienen la misma base.

2.4 Cociente de potencias de la misma base Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.

an : am = an−m

EJEMPLO 10 Expresa como una sola potencia. (−2)5 : (−2)3 =

(−2)5 (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = = (−2)5−3 = (−2)2 3 (−2) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2)

2.5 Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

(an)m = an⋅m

EJEMPLO 11 Expresa como una sola potencia. (23)4 = 23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 23 = 23+3+3+3 = 23 ⋅ 4 = 212

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

10 Expresa como una sola potencia.

11 Simplifica estas operaciones con potencias.

a) 5 ⋅ 5 b) (−9)6 : (−9)2 ⎛ 5 ⎞10 ⎛ 5 ⎞6 c) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ : ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠

e) (2 ) f) [(−2)2]3 ⎛ 4 ⎞3 ⎛ 4 ⎞3 g) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

⎡⎛ 3 ⎞4 ⎤ d) ⎢⎢⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥⎥ ⎢⎣⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎥⎦

⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ h) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ : ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

4

6

2

2 3

3

3

a) (43 ⋅ 42)3 b) [(−5)3 : (−5)2]2 c) [(4,2)4 ⋅ (4,2)3]4

d) (711 : 75)2 e) (72 ⋅ 94)2 f) [(−3)5 ⋅ 45]2

REFLEXIONA

12 Expresa como una sola potencia.

a) 25 ⋅ 43

b) (3−5 ⋅ 93)−2

41

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Notación científica. Operaciones

3

3.1 Potencias de base 10 Una potencia de base 10 con exponente negativo es igual a un número decimal.

• Una potencia de base 10 y exponente positivo es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente. • Una potencia de base 10 y exponente negativo es igual a la unidad dividida entre dicha potencia con exponente positivo.

10-2 = 0,01 { 2 decimales -5

10 = 0,00001 123

EJEMPLO

5 decimales

12 Calcula el valor de estas potencias de 10. a) 101 = 10 b) 10−1 =

1 = 0,1 10

c) 102 = 100 1 = 0,01 d) 10−2 = 100

e) 103 = 1.000 1 = 0,001 f) 10−3 = 1.000

3.2 Expresión de números muy grandes y muy pequeños En ocasiones aparecen números muy grandes y muy pequeños. Estos números se escriben de una manera más sencilla utilizando potencias de 10. La notación científica es una forma de expresar números mediante el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia de 10. Al exponente de la potencia de 10 se le llama orden de magnitud. EJEMPLO 13 Escribe estos números en notación científica. a) La población mundial es, aproximadamente, de 6.100.000.000 personas. 6.100.000.000 = 6,1 ⋅ 1.000.000.000 = 6,1 ⋅ 109 b) El radio de un átomo mide alrededor de 0,00000000031 m. 3,1 1 0,00000000031 = = 3,1 ⋅ = 3,1 ⋅ 10−10 10.000.000.000 10.000.000.000

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

13 Escribe en notación científica.

15 Estos números no están correctamente escritos

a) 493.000.000 b) 315.000.000.000 c) 0,0004464

d) 12,00056 e) 253 f) 256,256

en notación científica. Corrígelos. a) 0,247 ⋅ 108

b) 24,7 ⋅ 108

c) 0,247 ⋅ 10−8

REFLEXIONA

14 Escribe, con todas sus cifras, los siguientes

números dados en notación científica. a) 2,51 ⋅ 106

42

b) 9,32 ⋅ 10−8

c) 3,76 ⋅ 1012

16 Los activos financieros de una entidad bancaria

son aproximadamente 52 billones de euros. Expresa esa cantidad en notación científica.

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3.3 Suma y resta en notación científica Para sumar o restar números en notación científica es necesario que el exponente de la potencia de 10 sea igual en todos los sumandos. Cuando esto ocurre, se suman o se restan los números, dejando la misma potencia de 10. Después, se transforma el resultado si este no aparece en notación científica.

CALCULADORA Para expresar un número en notación científica con la calculadora se utilizan las teclas EXP y ± . Para introducir el número 7,352 ⋅ 109 tecleamos:

EJEMPLO

7

14 Calcula estas operaciones. a) 3,2 ⋅ 105 + 1,64 ⋅ 104 = 3,2 ⋅ 105 + 0,164 ⋅ 105 = (3,2 + 0,164) ⋅ 105 = = 3,364 ⋅ 105 Como el exponente de la potencia de 10 debe ser igual en los dos sumandos, transformamos 1,64 ⋅ 104 en 0,164 ⋅ 105.

⋅

352 EXP 9

Y para introducir 8,64 ⋅ 10−3 teclearemos: 8

⋅

64 EXP 3

±

b) 1,1 ⋅ 10−2 − 1,4 ⋅ 10−3 = 1,1 ⋅ 10−2 − 0,14 ⋅ 10−2 = (1,1 − 0,14) ⋅ 10−2 = = 0,96 ⋅ 10−2 = 9,6 ⋅ 10−3 Si el resultado no aparece en notación científica hay que transformarlo.

3.4 Multiplicación y división en notación científica Para multiplicar o dividir números en notación científica, se multiplican o se dividen, por un lado, las potencias de 10 y, por otro, los números que las preceden. Después, pasamos el resultado a notación científica si fuera necesario. EJEMPLO 15 Resuelve estas operaciones. a) (4,1 ⋅ 105) ⋅ (3 ⋅ 104)

= (4,1 ⋅ 3) ⋅ 105 ⋅ 104 = 12,3 ⋅ 105+4 = 12,3 ⋅ 109 = = 1,23 ⋅ 1010

b) (1,8 ⋅ 10−2) : (2 ⋅ 10−7) = (1,8 : 2) ⋅ (10−2 : 10−7) = 0,9 ⋅ 10−2−(−7) = 0,9 ⋅ 10−2+7 = = 0,9 ⋅ 105 = 9 ⋅ 104

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

17 Resuelve estas operaciones utilizando

18 Calcula el término que falta en cada caso.

la notación científica. a) b) c) d) e) f)

7,77 ⋅ 10 − 6,5 ⋅ 10 0,05 ⋅ 102 + 1,3 ⋅ 103 37,3 ⋅ 10−2 + 0,01 ⋅ 102 (34 ⋅ 103) ⋅ (25,2 ⋅ 10−2) (0,75 ⋅ 107) : (0,3 ⋅ 103) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (0,65 ⋅ 107) 9

a) b) c) d)

7

No olvides expresar el resultado en notación científica.

2,5 ⋅ 106 − 씲 = 8,4 ⋅ 105 9,32 ⋅ 10−3 + 씲 = 5,6 ⋅ 10−2 (2,5 ⋅ 106) ⋅ 씲 = 8,4 ⋅ 105 (9,52 ⋅ 10−3) : 씲 = 5,6 ⋅ 10−2

REFLEXIONA

19

Resuelve esta suma: 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099. Luego utiliza la calculadora para realizarla. ¿Qué ocurre? ¿Por qué crees que sucede esto?

43

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Números reales

4

4.1 Números irracionales Los números irracionales son números decimales con un número ilimitado de cifras decimales no periódicas. Además, no se pueden expresar en forma de fracción y, por tanto, no son números racionales. EJEMPLO 16 Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 cm. Hipotesuna = 12 + 12 =

1 cm

2 = 1,414213562373…

Podemos calcular más decimales pero nunca terminaríamos, ni hay cifras que se repitan periódicamente: 2 es un número irracional.

1 cm

Existen infinitos números irracionales, por ejemplo:

Los números decimales pueden ser racionales o irracionales.

• Cualquier raíz no exacta: 3 , − 7 , 1.462 … • Algunos números especiales: ␲, e, ⌽… • Determinados números obtenidos combinando sus cifras decimales, por ejemplo: 0,010010001…; 0,020020002…

4.2 Números reales

Todos los números decimales son reales.

Los números reales se representan como R, y son el conjunto formado por los números racionales y los irracionales. Números reales R NÚMEROS IRRACIONALES I

NÚMEROS RACIONALES Q

1.407 5

− 103

12

␲

… 34567 −0,12

1,12012 001200 0…

3

−

4 9

Números enteros Z

7 3

−1

−3

Números naturales N

2

1.304

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

20 Clasifica los siguientes números decimales

21 Escribe cinco números racionales y cinco

en racionales o irracionales. a) b) c) d)

44

4,325325325… 4,330300300030000300000… 1,23233233323333233333... 3,12359474747…

irracionales. REFLEXIONA

22 ¿Puedes anotar un número irracional con un solo

dígito después de la coma? ¿Y con dos dígitos?

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Aproximación de números reales

5

Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Por eso, para poder trabajar con ellos utilizamos aproximaciones.

5.1 Redondeo y truncamiento Para redondear un número decimal hasta un orden n se indican las cifras anteriores a ese orden. La cifra de orden n se deja igual si la que sigue es menor que 5, y se aumenta en una unidad si la cifra siguiente es igual o mayor que 5. Para truncar un número hasta un orden n, basta con escribir las cifras del número hasta la de ese orden inclusive. EJEMPLO 17 Completa la tabla.

Redondeado a las centésimas

Truncado a las centésimas

4,635

)

4,64

4,63

3,57

3,58

3,57

3 = 1,73205…

1,73

1,73

5.2 Error absoluto y error relativo Error absoluto (Ea) de una aproximación es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el aproximado. Error relativo (Er) de una aproximación es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

RECUERDA Valor absoluto ⏐3⏐ = 3

⏐−3⏐ = 3

→ a si a > 0 ⎯ ⎯ → −a si a < 0

⎯ ⎯⎯ ⏐a⏐ = ⎯

EJEMPLO 18 ¿Qué error se comete al aproximar 4,635 a las centésimas? Error absoluto: Ea = ⏐4,635 − 4,64⏐ = 0,005 0,005 = 0,001 Error relativo: Er = 4,635

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

23 Trunca y redondea los siguientes números

24

a las centésimas y las milésimas. a) b) c) d) e) f)

1,234564668 ) 2,7 ) 4,51 1,43643625 2,222 ) 3,127

g) h) i) j) k) l)

5 3,222464 3 1,6467538 1,1234… ) 5,5

Halla el error absoluto y relativo cometido en cada uno de los casos del ejercicio anterior.

REFLEXIONA

25 Al aproximar el peso de un gusano de 2,1236 g

hemos cometido un error absoluto de 0,0236 g. Y al aproximar el de un buey de 824,36 kg hemos cometido un error de 4,36 kg. ¿En qué caso hemos cometido mayor error?

45

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6

Representación de números reales

Hemos estudiado ya cómo representar números racionales. Algunos números irracionales podemos representarlos de manera exacta. Otros solo podemos representarlos de forma aproximada. Representación exacta =

2

1 2 2 +

6.1 Representación exacta

5

Se utiliza solo para representar raíces. Consiste en construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida la raíz que queremos representar.

1 5

0

1

2 P

EJEMPLO

2

19 Representa 2 de manera exacta.

La recta en la que se representan los números reales, tanto racionales como irracionales, se llama recta real.

12 +

12

=

Construimos sobre la recta numérica un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1. Con centro en 0 y radio la hipotenusa, 2 , trazamos un arco que corta a la recta en P. El punto P representa a 2 .

1 2

0

1

P

2

6.2 Representación por aproximación Consiste en ir tomando aproximaciones decimales por exceso y por defecto del número que queremos representar. EJEMPLO 20 Representa 2 = 1,414… de manera aproximada. 1< 2 0 → Dos soluciones c) 2x2 + 4x + 2 = 0 → a = 2; b = 4; c = 2 ∆ = b2 − 4ac = 42 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 − 16 = 0 → Una solución

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

22 Determina el número de soluciones

24 Calcula el valor del discriminante

de las ecuaciones de segundo grado.

y las soluciones en cada caso.

a) x2 − 7x − 12 = 0 b) x2 + 9x + 18 = 0 c) 3x2 − x + 12 = 0

a) x2 − 4x + 3 = 0

c) x2 − 4x = −5

b) 2x2 − 20x = −50

d)

2 2 4 x + x=0 3 5

23 Halla cuántas soluciones tienen

estas ecuaciones de segundo grado. Después, calcula su valor. a) x − 6x + 4 = 0 b) 2x2 = 4 − 10x c) 3x2 = 6x 2

82

d) x − 5x + 9 = 0 e) 7x2 + 1 = 6x f) 8x2 = −3 2

REFLEXIONA

25 Escribe una ecuación de segundo grado:

a) Con dos soluciones. b) Con una solución doble. c) Sin solución.

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4.3 Ecuaciones de segundo grado incompletas CASO 1.

Si b = 0. Ecuaciones del tipo ax 2 + c = 0.

En las ecuaciones del tipo ax2 + c = 0: c c • Si − es positivo, hay dos soluciones: x = ± − . a a c • Si − es negativo, no hay solución. a EJEMPLO

SE ESCRIBE ASÍ Para indicar que una raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, escribimos ± a . ⎪⎧ ± a = ⎪⎨+ a ⎪⎪⎩− a

11 Resuelve la ecuación 3x2 − 27 = 0. 3x2 − 27 = 0 → 3x2 = 27 → x2 =

CASO 2.

⎪⎧ x1 = + 9 = 3 27 = 9 → x = ± 9 = ⎪⎨ ⎪⎪ x = − 9 = −3 3 ⎩ 2

Si c = 0. Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0.

b Las ecuaciones ax2 + bx = 0 tienen dos soluciones, x1 = 0 y x 2 = − . a EJEMPLO Factor común = x

12 Resuelve la ecuación 3x2 − 2x = 0. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x ⋅ (3x − 2) = 0 Para que un producto de dos factores valga cero, uno de los dos factores ha de ser cero. La ecuación inicial es equivalente a: ⎫⎪ ⎪⎧⎪ x = 0 ⎪ 2 x ⋅ (3 x − 2) = 0 → ⎪⎨ 2 ⎪⎬ → Soluciones: x1 = 0; x2 = ⎪⎪3 x − 2 = 0 → x = ⎪⎪ 3 ⎪⎩ 3 ⎪⎭

CASO 3.

Si b = 0 y c = 0. Ecuaciones del tipo ax2 = 0.

Las ecuaciones del tipo ax2 = 0 tienen una única solución, x = 0.

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

26 Resuelve.

27 Calcula.

a) x − 9x = 0

f) x + 6x = 0

b) x2 − 7x = 0

g) x2 + 9x = 0

c) 4x2 − 5x = 0

h) 10x2 + 11x = 0

REFLEXIONA

d) 7x2 = 6x

i) 3x2 = −4x

28 Escribe una ecuación de segundo grado con

e) 2x2 − 32 = 0

j) 3x2 − 243 = 0

2

2

a) 900x2 = 9 b) 5x(2x − 1) = 7x

c) −x2 = 3x − 10 d) (x − 2)(3x + 7) = 0

algún coeficiente igual a cero y dos soluciones.

83

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Resolución de problemas con ecuaciones

5

Resolver un problema mediante una ecuación es traducirlo al lenguaje algebraico y encontrar su solución. En general, hay que seguir estos pasos. 1.o Leer atentamente el enunciado e identificar la incógnita. 2.o Plantear la ecuación. 3.o Resolver la ecuación. 4.o Comprobar que la solución obtenida es válida e interpretar la solución en el contexto del problema. EJEMPLO 13 Tenemos 24 flores y vamos a hacer dos ramilletes. Queremos que uno tenga el triple de flores que el otro. ¿Cuántas flores tendrá cada ramillete? 1.o Leer el enunciado e identificar la incógnita. Para ello hay que distinguir entre los datos que conocemos y los que no. Lo que sabemos… 24 flores en dos ramilletes Un ramillete con el triple de flores que el otro

Lo que no sabemos… Flores del ramillete menor Flores del ramillete mayor

Incógnita (x) → Número de flores del ramillete menor o

2. Plantear la ecuación. Flores del ramillete menor ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x El ramillete mayor tiene el triple de flores que el menor ⎯ → 3x Entre los dos tienen 24 flores ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x + 3x = 24 3.o Resolver la ecuación. x + 3x = 24 → 4x = 24 → x =

24 =6 4

4.o Comprobar e interpretar la solución. COMPROBACIÓN: x=6

x + 3x = 24 ⎯⎯→ 6 + 3 ⋅ 6 = 24 → 6 + 18 = 24 → 24 = 24 La solución de la ecuación es válida. INTERPRETACIÓN: El ramillete menor tendrá 6 flores, y el mayor, 3 ⋅ 6 = 18.

EJERCICIOS PRACTICA

29 La suma de dos números es 48. Si uno es

la mitad del otro, ¿qué números son?

31 A una fiesta asisten 43 personas.

Si se marchasen 3 chicos, habría el triple de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay?

APLICA

30 María tiene 4 tebeos menos que Sara. Si María

le da 2 de sus tebeos, Sara tendrá el triple que ella. ¿Cuántos tebeos tiene cada una?

84

REFLEXIONA

32 La suma de dos números consecutivos impares

es 156. ¿De qué números se trata?

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En ocasiones, la ecuación que se plantea para resolver el problema es una ecuación de segundo grado. EJEMPLO 14 Una parcela de forma rectangular tiene una superficie de 1.800 m2. Si mide el doble de largo que de ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?

x

1.800 m2

1.o Leer el enunciado e identificar la incógnita. Lo que sabemos…

Lo que no sabemos…

La superficie mide 1.800 m2 El largo es el doble que el ancho

2x

Ancho Largo

Incógnita (x) → Medida del ancho 2.o Plantear la ecuación. Ancho de la parcela ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x El largo es el doble que el ancho ⎯ → 2x 2⎫ La superficie es 1.800 m ⎪ ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯→ x ⋅ 2x = 1.800 Ancho ⋅ Largo = 1.800 ⎪⎭⎪ 3.o Resolver la ecuación. 1.800 = 900 2 ⎧⎪ x = 30 x = ± 900 = ⎨ 1 ⎪⎪⎩ x2 = −30

x ⋅ 2 x = 1.800 → 2 x2 = 1.800 → x2 =

4.o Comprobar e interpretar la solución. COMPROBACIÓN:

A veces, la solución negativa en un problema no tiene sentido, ya que no existen medidas, precios, edades… negativos.

x = 30

x ⋅ 2x = 1.800 ⎯⎯⎯ → 30 ⋅ 2 ⋅ 30 = 1.800 → 1.800 = 1.800 x = −30

⎯⎯⎯ → (−30) ⋅ 2 ⋅ (−30) = 1.800 → 1.800 = 1.800 Los dos valores, 30 y −30, son solución de la ecuación. INTERPRETACIÓN: La solución −30 no es válida en este problema porque no existen longitudes negativas. Por tanto, el ancho de la parcela medirá 30 m, y el largo, 2 ⋅ 30 = 60 m.

EJERCICIOS PRACTICA

33 El producto de un número por el doble de ese

mismo número es 288. ¿Qué número es? ¿Existe más de una solución? 34 Alberto tiene el doble de edad que Ana.

Si multiplicamos sus edades obtenemos el número 512. ¿Qué edad tiene cada uno?

36 El producto de las edades de Luisa

y su hermano, que tiene 5 años menos que ella, es 176. ¿Cuántos años tienen ambos? 37 Encuentra dos números consecutivos tales

que al multiplicarlos se obtenga como resultado 380 unidades. REFLEXIONA

APLICA

35 La suma de un número y su cuadrado

es 42. ¿De qué número se trata?

38 Para vallar una finca rectangular

de 750 m2 se utilizan 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Igualdad algebraica

Ecuación de segundo grado completa con una incógnita

x + x = 2x → Identidad x + 1 = 2x → Ecuación

ax2 + bx + c = 0

Solución

F

x=

Ecuación Primer miembro

Ecuación de segundo grado incompleta con una incógnita

Segundo miembro

3xy + 4x = 12 Términos

⎧⎪Incógnitas: x, y →⎨ ⎩⎪⎪Grado: 1 + 1 = 2

Solución

ax2 + c = 0

F

x=± −

F

⎧⎪ x1 = 0 ⎪⎪ ⎨x = − b ⎪⎪ 2 a ⎪⎩

F

x=0

Término independiente

ax + bx = 0 2

Ecuación de primer grado con una incógnita ax + b = 0

Solución

F

x=−

−b ± b2 − 4 ac 2a

b a

ax2 = 0

Solución

Solución

c a

HAZLO DE ESTA MANERA

1. RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO Resuelve la ecuación PRIMERO.

2x + 4 2 −x −x = − . 9 3

Quitamos los denominadores. m.c.m. (3, 9) = 9

⎛ 2x + 4 ⎛ 2 − x ⎞⎟ ⎞ ⎟⎟ 9⎜⎜⎜ − x⎟⎟⎟ = 9⎜⎜⎜− ⎝ 9 ⎝ ⎠ 3 ⎠ 2x + 4 − 9x = −3(2 − x) 2x + 4 − 9x = −6 + 3x

SEGUNDO. Eliminamos paréntesis.

4 + 6 = 3x − 2x + 9x

TERCERO. Agrupamos términos. CUARTO. QUINTO.

10 = 10x

Reducimos términos semejantes.

10 = 10x → x =

Despejamos x.

10 =1 10

2. RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resuelve estas ecuaciones.

a) −x2 − 3x + 4 = 0

PRIMERO. Identificamos los coeficientes de la ecuación. a) a = −1 b = −3 c = 4 b) a = 3 b=0 c = −48 c) a = 3 b = 12 c = 0 SEGUNDO.

• Si es completa, aplicamos la fórmula. • Si b = 0, despejamos x2. • Si c = 0, sacamos factor común a x.

86

a) x =

b) 3x2 − 48 = 0

c) 3x2 + 12x = 0

⎧⎪ x = −4 −(−3) ± (−3)2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 4 3 ± 25 = =⎨ 1 ⎪⎪⎩ x2 = 1 2 ⋅ (−1) −2

b) 3 x2 − 48 = 0 → x2 =

⎧⎪ x = 4 48 = 16 → x = ± 16 = ⎨ 1 3 ⎪⎪⎩ x2 = −4

⎪⎧⎪ x1 = 0 12 c) 3 x2 + 12 x = 0 → x(3 x + 12) = 0 → ⎪⎨ ⎪⎪ x2 = − = −4 3 ⎩⎪

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3. ESTUDIAR EL NÚMERO DE

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Estudia el número de soluciones que tienen estas ecuaciones.

a) 2x2 − 7x + 3 = 0 b) 2x2 + 3 = 0 c) x2 − 2x + 1 = 0

4. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

Un rectángulo tiene una superficie de 725 m2. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 4 m más de largo que de ancho. PRIMERO.

Identificamos la incógnita.

Lo que sabemos…

Identificamos sus coeficientes. a) a = 2 b = −7 c = 3 b) a = 2 b = 0 c=3 c) a = 1 b = −2 c = 1 PRIMERO.

SEGUNDO. Calculamos el discriminante.

a) Δ = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25 b) Δ = b2 − 4ac = 02 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = −24 c) Δ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 0

Lo que no sabemos…

La superficie es 725 m2 4 m más de largo que de ancho

Ancho Largo

Incógnita (x) → Medida del ancho SEGUNDO. Planteamos la ecuación. Ancho ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x El largo es el ancho más 4 m → x + 4 Superficie = 725 m2 ⎪⎫ ⎯⎯⎯ ⎯→ x ⋅ (x + 4) = 725 ⎬ Ancho ⋅ Largo = 725⎪⎪⎭ TERCERO. Resolvemos la ecuación.

x ⋅ (x + 4) = 725 → x2 + 4x − 725 = 0

TERCERO. Estudiamos el valor

del discriminante. • Si Δ < 0 → La ecuación no tiene solución. • Si Δ = 0 → La ecuación tiene una solución. • Si Δ > 0 → La ecuación tiene dos soluciones. a) Δ = 25 > 0 ⎯→ Dos soluciones. b) Δ = −24 < 0 → No tiene solución. c) Δ = 0 ⎯⎯⎯→ Una solución.

⎧⎪ x = 25 −4 ± 16 + 2.900 =⎨ 1 2 ⎩⎪⎪ x2 = −29 CUARTO. Interpretamos y comprobamos la solución. x = 25 x ⋅ (x + 4) = 725 ⎯⎯⎯→ 725 = 725 x = −29 x ⋅ (x + 4) = 725 ⎯⎯⎯→ 725 = 725 Los dos valores son solución. Como no hay longitudes negativas, el ancho es 25 m, y el largo, 25 + 4 = 29 m. x=

Y AHORA… PRACTICA Resolver ecuaciones de primer grado 1. La solución de x − 1 − 6 a) 5

6 b) − 5

x−2 x−3 + = 0 es: 2 3 18 c) 0 d) 5

Resolver ecuaciones de segundo grado 2. Las soluciones de 3x 2 + 3x − 6 = 0 son: a) 1 y 2 b) −1 y −2 c) 1 y −2 d) −1 y 2 3. Las soluciones de 5x 2 + 20 = 0 son: 1 1 y− a) 2 y −2 b) c) Sin solución 2 2

Estudiar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado 4. El número de soluciones de x 2 − x + 1 = 0 es: a) Ninguna

b) Una

c) Dos

Resolver problemas mediante ecuaciones 5. La ecuación que corresponde al planteamiento del problema «Halla tres números naturales consecutivos cuya suma sea 60», es: a) 3x + 3 = 60 b) x + 3 = 60

c) x + 2x + 3x = 60 d) 3x = 60

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Actividades IDENTIDADES Y ECUACIONES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

39. ● Determina si las siguientes igualdades algebraicas son identidades o ecuaciones.

46. ● Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones tienen como solución x = 6.

a) b) c) d)

2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − x 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x (x + 2)2 − x2 − 4x = 4

40. ● Indica los miembros de estas ecuaciones. a) b) c) d)

2x + 3 = 5 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5x 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x (x + 2) − (x2 − 2) = 4

41. ● Señala los términos de las ecuaciones. a) b) c) d)

5x + 1 = 25 2x − x − 9 = x + 3x − 5x 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2x 9(x + 7) − 3(x2 − 2) = 4

42. ● Indica el grado de las siguientes ecuaciones. a) b) c) d)

x4 − 8 + x = 0 2x2 + x = 0 3x2 + 75 = 0 −4x2 − 12x5 = x6

d) x = 2 e) x = −3 f) x = −2

44. ● ¿Es el valor 4 solución de alguna de las ecuaciones? a) b) c) d) e) f)

47. ● Escribe dos ecuaciones en cada caso. a) b) c) d)

Que tengan como solución x = 3. Que tengan como solución x = −2. Que su solución sea x = 5. Que su solución sea x = −1.

48. ● Resuelve. a) b) c) d) e) f) g) h)

10 − x = 3 9+x=2 −12 − x = 3 16 + 3x = −12 4x + 5 = 11 3x + 7 = 14 −5 + 20x = 95 −9 − 11x = 2

x2 − 16 = 0 x+4=0 x2 − 4 = 8 x2 − x + 8 = x + 4 x3 − 124 = 0 x2 − x + 8 = x + 4 − 8

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

4x + 5 = −3x + 12 3x + 7 = 2x + 16 5 + 20x = 7 + 12x 6x + 40 = 2x + 50 −3x − 42 = −2x − 7 3x − 50 = 10 − 2x 9x + 8 = −7x + 16 −5x − 13 = −2x − 4 9x − 8 = 8x − 9

50. ●● Corrige los errores en la resolución de la ecuación. 5x - 3 = 7 1. Transponemos términos. 5x = 7 + 3 5x = 10 2.o Reducimos términos. 10 x= = –2 3.o Despejamos la x . –5 o

45. ●● Escribe una ecuación: a) Con dos incógnitas y términos independientes 5 y −3. b) Con una incógnita y solución 7. c) Con incógnita z y solución −9.

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d) 3x = 32 e) −x = −6 8 f) 4 x = 3

49. ● Halla la solución de estas ecuaciones.

43. ● ¿Cuál de estos números es solución de la ecuación x(x − 1) = x2 + x? a) x = 1 b) x = −1 c) x = 0

a) 4x = 24 b) 8x = 12 4 c) −x = 3

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56. ● Calcula el valor de x.

HAZLO ASÍ

a)

¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN CON PARÉNTESIS? 51. Resuelve 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2. PRIMERO.

Se eliminan los paréntesis, teniendo en cuenta que si hay un signo menos delante de un paréntesis se cambian todos los signos de su interior. 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2 3 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ 1 = 2 12 − 6x − 6x + 2 = 2 Se agrupan los términos con x en un miembro, y los números, en el otro. 12 − 6x − 6x + 2 = 2 → 12 + 2 − 2 = 6x + 6x

b) c) d) e) f)

SEGUNDO.

TERCERO.

Se reducen los términos semejantes. 12 + 2 − 2 = 6x + 6x → 12 = 12x

CUARTO.

Se despeja x. 12 = 12x → x =

12 =1 12

57. ● Obtén la solución de estas ecuaciones. a) b) c) d)

52. ● Resuelve. a) b) c) d) e) f)

6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x) x − 5(x − 2) = 6 120 = 2x − (15 − 7x) 5(x + 4) = 7(x − 2) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8)

e)

4x =3 20 3x = −21 b) 6

−2 x =4 3 7x = 28 d) 4

c)

9x = −5 3 −3 x = −25 f) 2 e)

54. ●● Escribe una ecuación: a) Que tenga un paréntesis y solución −1. b) Que tenga un denominador y solución 3. c) Que tenga dos paréntesis y solución 4.

x−2 =1 5 3 x + 15 = −7 b) 6

1.o 2.o 3.o 4.o 5.o 6.o

4x − 2 x −1 = 2x − 7 4 Se calcula el m.c.m. m.c.m. (7, 4) = 28 Se multiplica por 28. 4(4x − 2) = 2x − 7(x − 1) Se eliminan paréntesis. 16x − 2 = 2x − 7x − 7 Se transponen términos. 16x − 2x + 7x = −7 + 2 Se reducen términos. 15x = −5 15 Se despeja la x. x= = −3 −5

59. ●● Resuelve. 2(x + 5) (x + 1)(x − 3) = 2 3 x x 4(x − 1) 5(x − 2) = b) − − 6 3 2 2 2 x − 3(x − 5) x−3 = c) 2 4 a)

55. ● Resuelve. a)

2 x − 10 3(x − 12) − = −1 3 4 −3 x − 3 = 3 − 4(x + 2) 5 2x − 5 x+1 + = 20 − x 5 4 3−x 3 + 2(x − 1) −x= 7 14 4x − 6 3(x + 1) + 2 x = 21 − 10 12

58. ●● ¿Está bien resuelta esta ecuación? Averígualo comprobando su solución. Corrige los errores que se han cometido.

53. ● Resuelve estas ecuaciones. a)

3x 2x +7= +9 5 6 x+2 = 5 x − 46 3 x+4 x x− = 1+ 5 2 x+8 x−4 − =2 2 6 x−5 8−x 2 x − 10 + + =3 5 2 2 x − 10 x − 20 x − 30 − − =5 2 4 3

3x + 20 = x + 25 2 3x − 1 = 12 − 3 x d) 4 c)

89

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 60. ● Resuelve las ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula general. a) b) c) d) e) f) g)

x2 − 5x + 6 = 0 2x2 − 4x + 13 = 0 x2 + 8x + 16 = 0 3x2 + 2x − 16 = 0 x2 − 2x + 1 = 0 7x2 − 3x + 1 = 0 −x2 − 4x + 5 = 0

x2 + 5x + 6 = 0 −2x2 − 6x + 8 = 0 x2 − 8x + 16 = 0 −x2 + x + 1 = 0 x2 + 8x + 16 = 0 2x2 − 4x + 13 = 0 7x2 − 3x + 1 = 0

Para que un producto de varios factores valga cero, al menos uno de los factores ha de ser cero. PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores. ⎧⎪ x − 1 = 0 (x − 1)(x + 2) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x + 2 = 0 Se resuelven las ecuaciones resultantes. ⎧⎪ x − 1 = 0 → x = 1 (x − 1)(x + 2) = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x + 2 = 0 → x = −2

e) f) g) h)

−8x2 − 24x = 0 −x2 − x = 0 x2 − 1 = 0 4x2 − 2x = 0

64. ● Resuelve las ecuaciones por el método más adecuado. 5 a) 7x2 = 63 g) x2 + 1 = 4 h) x2 − 36 = 100 b) x2 − 24 = 120 i) 2x2 − 72 = 0 c) x2 − 25 = 0 j) 5x2 − 3 = 42 d) x2 = 10.000 2 k) 9x2 − 36 = 5x2 e) x − 3 = 22 f) 5x2 − 720 = 0 l) 2x2 + 7x − 15 = 0

90

3x2 − 12x = 0 3x = 4x2 − 2x 4x2 = 5x 25x2 − 100x = 0 6x2 − 6x = 12x

SEGUNDO.

x2 − 1 = 0 x2 + 2x = 0 x2 − 4x + 4 = 0 x2 + 8x + 16 = 0 x2 − x − 2 = 0 x2 = 7x − 12 2x2 − 4 + 3x = x2 + 2 + 2x

x2 − 8 = 0 2x2 + 50 = 0 3x2 + 75x = 0 x2 − 16 = 0

f) g) h) i) j)

66. Resuelve la ecuación (x − 1)(x + 2) = 0.

63. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas. a) b) c) d)

x2 − 7x = 0 x2 + 3x = 0 x2 − 25x = 0 x2 − 10x = 0 16x(x − 5) = 0

¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A CERO?

62. ● Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones. a) b) c) d) e) f) g)

a) b) c) d) e)

HAZLO ASÍ

61. ● Sin resolverlas, averigua el número de soluciones de estas ecuaciones. a) b) c) d) e) f) g)

65. ● Resuelve.

La ecuación tiene dos soluciones: x 1 = 1 y x 2 = −2. 67. ●● Calcula sin aplicar la fórmula general. a) (x + 2)(x − 2) = 0 b) (x − 3)(x + 3) = 0 ⎛ x⎞ c) (x + 3)(2x − 5) ⎜⎜⎜5 − ⎟⎟⎟ = 0 ⎝ 2⎠ 2 d) (x − 5) = 0 e) (x − 2)2 + x = x 2 ⎛ 3x 4⎞ − ⎟⎟⎟ = 0 f) x⎜⎜⎜ ⎝ 4 5⎠ 68. ●● Resuelve las siguientes ecuaciones. (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) x(3x − 2) = 65 4x − (x2 − 4) = 2x − 4 (2x + 3)(2x − 3) = 135 23 x = 18 f) x2 − 4 13 =0 g) x2 − 7 x + 4

a) b) c) d) e)

69. ●● Escribe una ecuación de segundo grado, con todos sus coeficientes distintos de cero, que tenga una solución doble.

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PROBLEMAS CON ECUACIONES

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES? 70. Resuelve

(x − 1)2 3 − 4x 5 + 4x − = . 2 4 4

Eliminar los denominadores. Se calcula el m.c.m. de los denominadores y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él. m.c.m. (2, 4) = 4 ⎛ (x − 1)2 ⎛ 5 + 4 x ⎞⎟ 3 − 4 x ⎞⎟ ⎟⎟ = 4⎜⎜ 4⎜⎜⎜ − ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ ⎝ 2 4 ⎠

72. ●● Encuentra dos números consecutivos que sumen 51. 73. ●● Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 10.

PRIMERO.

2(x − 1)2 − (3 − 4x) = (5 + 4x) SEGUNDO.

Quitar los paréntesis. 2(x 2 − 2x + 1) − 3 + 4x = 5 + 4x 2x 2 − 4x + 2 − 3 + 4x = 5 + 4x

TERCERO. Pasar todos los términos al primer miembro y operar. 2x 2 − 4x + 2 − 3 + 4x − 5 − 4x = 0 2x 2 − 4x − 6 = 0

74. ●● Encuentra un número tal que, al sumarle 4, resulte el doble del número menos una unidad. 75. ●● Halla dos números consecutivos, sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es 567. 76. ●● El precio de un anillo y su estuche es de 10.200 € y el anillo vale 10.000 € más que el estuche. ¿Cuál es precio de cada artículo? 77. ●● Una bodega exportó en enero la mitad de sus barriles, y a los dos meses, un tercio de los que le quedaban. ¿Cuántos barriles tenía al comienzo si ahora hay 40.000 barriles?

CUARTO.

Simplificar la ecuación, si se puede, y resolverla. 2x 2 − 4x − 6 = 0 x=

QUINTO.

Se divide entre 2

F

x 2 − 2x − 3 = 0

⎧⎪ x = 3 2 ± 4 + 12 2±4 = =⎨ 1 ⎪⎪⎩ x2 = −1 2 2

Comprobar las soluciones.

(3 − 1)2 3−4⋅3 5+4⋅3 − = → ⎯⎯⎯→ 2 4 4 9 17 17 17 → = → 2+ = 4 4 4 4 x=3

(−1 − 1)2 3 − 4(−1) 5 + 4(−1) − = → 2 4 4 7 1 1 1 → = → 2− = 4 4 4 4

x = −1

⎯⎯⎯→

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE EDADES MEDIANTE ECUACIONES? 78. El perro de Álex tiene 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Álex tendrá el triple de la edad de su perro. ¿Cuáles son sus edades? PRIMERO.

Planteamiento.

Actualmente

71. ●●● Resuelve las siguientes ecuaciones. (x − 2) 14 x − 5 11 + = 3 6 6 (x − 2)(x + 2) 14 x + 35 52 x + 5 − = 5 6 10 (2x + 1)2 = −1 (x − 2) + (2x − 1)(x − 3) = x(3x − 3) − 2x (x − 1)(x + 2) = 2 + (x + 3)(x − 4) 3 2 4 x + x=0 4 5 2

a) b) c) d) e) f)

Dentro de 4 años

Edad de Álex

Edad del perro

x

x − 12

x+4

x − 12 + 4 = x − 8

Dentro de 4 años, la edad de Álex será el triple que la del perro: x + 4 = 3(x − 8). SEGUNDO.

Resolución. x + 4 = 3(x − 8) → x + 4 = 3x − 24 → → 28 = 2x → x = 14

TERCERO. Comprobación. Álex tiene 14 años y su perro 14 − 12 = 2 años. En 4 años, Álex tendrá 18 y su perro 6 años, 18 = 6 ⋅ 3.

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79. ●● Miguel tiene 4 años más que su primo Ignacio y, dentro de 3 años, entre los dos sumarán 20 años. ¿Cuántos años tiene cada uno? 80. ●● ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12 años tendré el triple de la edad que tenía hace 6 años?

84. ●● En una fábrica de ladrillos se mezcla arcilla de 21 € la tonelada con arcilla de 45 € la tonelada. ¿Cuántas toneladas de cada clase hay que emplear para conseguir 500 toneladas de arcilla a 39 € la tonelada? 85. ●● En una papelería se han vendido 25 cajas de papel del tipo A y 14 cajas del tipo B por 7.700 €. ¿Cuál es el precio de la caja de cada tipo si 5 el precio de la caja del tipo B es la del tipo A? 6

81. ●●● Lucía tiene tres hijos. El pequeño tiene la mitad de años que el mediano, y este tiene 6 años menos que el mayor. Calcula las edades de los tres, sabiendo que la suma de sus edades actuales es igual a la edad de su prima Ana, que es 12 años mayor que el hermano pequeño.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MOVIMIENTO MEDIANTE ECUACIONES? 86. Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 80 km/h y, dos horas más tarde, sale un coche de la misma ciudad a 120 km/h. ¿A qué distancia de la ciudad alcanzará el coche al camión?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MEZCLAS MEDIANTE ECUACIONES?

PRIMERO.

Planteamiento. 120 km/h

82. Disponemos de dos tipos de té: uno de Tailandia, a 5,20 €/kg, y otro de la India, a 6,20 €/kg, y queremos obtener 100 kg de té a 6 €/kg. ¿Cuántos kilos hemos de mezclar de cada tipo? PRIMERO.

Kilos

Precio

x

5,2x

Té indio

100 − x

6,2(100 − x)

Mezcla

100

5,2x + 6,2(100 − x)

Precio por kg de mezcla = SEGUNDO.

5,2 x + 6,2(100 − x) =6 100

Resolución.

5,2 x + 6,2(100 − x) =6→ 100 → 5,2x + 620 − 6,2x = 600 → 20 = x TERCERO. Comprobación. Necesitamos 20 kg de té de Tailandia y 100 − x = 80 kg de té de la India. El kilo de mezcla vale:

5,2 ⋅ 20 + 6,2 ⋅ 80 = 6 €. 100

83. ●● ¿Cuántos litros de leche de 0,75 €/ ¬ hay que mezclar con leche de 0,85 €/ ¬ para conseguir 100 litros a 0,77 €/ ¬?

92

2 ⋅ 80 km

120x

Planteamiento.

Té tailandés

80 km/h

x → Tiempo transcurrido desde que sale el coche hasta el encuentro

Distancia que recorre el camión

Ventaja

Momento del encuentro

2 ⋅ 80

2 ⋅ 80 + 80x

Distancia que recorre el coche

120x

La distancia recorrida por los dos vehículos al encontrarse es la misma → 2 ⋅ 80 + 80x = 120x SEGUNDO.

Resolución.

2 ⋅ 80 + 80x = 120x → 160 = 120x − 80x → x = 4 TERCERO.

Comprobación.

Se encuentran 4 horas después de la salida del coche, es decir, a las 6 horas de la partida del camión. El camión, en 6 horas, recorre: 6 ⋅ 80 = 480 km. El coche, en 4 horas, recorre: 4 ⋅ 120 = 480 km.

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87. ●●● Esther viaja de Sevilla a Barcelona en su coche. Sale a las 8 de la mañana y lleva una velocidad constante de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobús que viaja a 70 km/h, con la misma dirección que Esther. ¿A qué hora se encuentra Esther con el autobús? ¿Qué distancia ha recorrido cada uno? 88. ●●● A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz, distantes entre sí 660 km, a una velocidad de 75 km/h. A la misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 60 km/h. ¿A qué hora se cruzarán? ¿Y a qué distancia estarán de Cádiz?

95. ●●● Un cine tiene igual número de filas que de butacas por fila. El propietario decide remodelarlo quitando una butaca por fila y tres filas. Después de la remodelación, el número de butacas es 323. a) ¿Cuántas filas tenía el cine antes de la remodelación? b) ¿Cuántas butacas hay ahora en cada fila?

INVESTIGA 96. ●●● Vamos a investigar qué ocurre con las ecuaciones de segundo grado cuyo coeficiente de x2 vale 1, es decir, ecuaciones de la forma: x2 + bx + c = 0 Para ello seguimos estos pasos.

ZAMORA CÁDIZ

75 km/h

94. ●● La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Halla sus dimensiones si un cateto mide 2 cm menos que el otro.

a) Resuelve las cuatro ecuaciones:

60 km/h

89. ●● Un terreno rectangular tiene una superficie de 1.739 m2 y mide 10 m más de largo que de ancho. Calcula sus dimensiones. 90. ●● Si un campo de fútbol mide 30 m más de largo que ancho y su área es 7.000 m2, halla sus dimensiones. 91. ●● Encuentra dos números que se diferencien en 7 unidades, sabiendo que su producto es 60. 92. ●●● En un triángulo rectángulo de 24 m de perímetro, la longitud de un cateto es igual a los tres cuartos de la del otro. Halla sus dimensiones. 93. ●● Para embaldosar un salón de 8 m de largo por 6 m de ancho se han utilizado 300 baldosas cuadradas. ¿Cuánto mide el lado de las baldosas?

b) ¿Qué relaciones observas entre las soluciones obtenidas y los coeficientes b y c? c) Encuentra las soluciones de x2 + bx + c = 0 y luego calcula su suma y su producto. d) Aplicando las relaciones halladas, busca dos números cuya suma sea 15 y su producto 56. 97. ●●● Desarrolla y simplifica la expresión: A = (x − 1)2 + x2 + (x + 1)2 Encuentra tres números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 30.002.

F

6m

98. ●●● Resuelve la ecuación: 4x2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0

G

G

F

8m

sin utilizar la fórmula general. Para ello factoriza la expresión del primer miembro.

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En la vida cotidiana 99. ●●● A Mariam le quedan pocos días para dar a luz. En su trabajo tienen la costumbre de hacer un regalo a los recién nacidos. Sus compañeros Roberto y Pilar se han encargado de recoger el dinero. Mariam es muy popular en su empresa, la conoce casi todo el mundo, por eso la mayoría de sus compañeros han participado en el regalo.

100. ●●● Marcelino es herrero y se ha encontrado con bastantes problemas a lo largo de su trayectoria profesional. Muchas veces le piden encargos que son difíciles de realizar. En la terraza tengo un trozo de pared que mide 1,30 m. Quiero colocar, sobre los extremos de la pared, una barra de hierro que forme un ángulo recto para instalar un toldo que tiene 1,70 m de longitud.

Ayer, Roberto y Pilar estuvieron en unos grandes almacenes y han propuesto comprar un coche de bebé que está de oferta y por el que tendrían que poner 8 € cada uno. Como todos estaban de acuerdo, fueron a comprarlo, pero resultó que la oferta había terminado y les faltaban 4 €.

Lo que podemos hacer es poner cada uno 9 € y con los 8 € que sobran compramos una camiseta para el niño.

Finalmente, Roberto y Pilar me han dicho que de los 14 compañeros hay una persona que no ha puesto dinero para el regalo de Mariam. ¿Crees que es cierto lo que dicen?

94

En ocasiones, la dificultad no está solo en el trabajo que hay que realizar, sino también en interpretar lo que el cliente desea. Por eso, cuando alguien le plantea un problema como este, Marcelino tiene que traducirlo a las tareas que él debe realizar en su herrería.

Lo que usted necesitaría es una barra de hierro que mida 1,70 m. Esa barra hay que doblarla hasta que forme un ángulo recto, de tal manera que la distancia entre sus extremos sea 1,30 m.

¿Cómo tendrá que doblar Marcelino la barra de hierro?

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5 PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer sistemas de ecuaciones y clasificarlos según sus soluciones. • Obtener soluciones de un sistema mediante tablas y a partir de su representación gráfica. • Calcular las soluciones de un sistema por los métodos de sustitución, igualación y reducción. • Plantear y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales.

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Sistemas de ecuaciones Una clase improvisada Estar invitado a la «fiesta de la Primavera», que cada año se celebraba en el palacio del maharajá, era un honor reservado tan solo a los personajes más influyentes. Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane, coincidieron en reconocer que el maharajá era muy generoso al enviar a su séquito para llevarlos a palacio. El joven ayudante pasó la mitad del camino quejándose de las disciplinas que tenía que estudiar: –Maestro, ¿por qué tengo que estudiar álgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incógnitas… Y que la incógnita pueda ser cualquier cosa es antinatural. Brahmagupta tomó la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explicó a su discípulo la utilidad del álgebra: –Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharajá, y la cruz coronada de cuatro círculos no es solo un dibujo, es el símbolo de la ciudad. En Matemáticas lo más sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con números y, después, interpretar el resultado. Tras estas palabras, maestro y discípulo permanecieron en silencio durante el kilómetro que faltaba para llegar al palacio. Con ayuda de una ecuación, calcula la distancia que ambos recorrieron a lomos del elefante.

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Ecuaciones lineales

1

Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal. • Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar de la forma ax + by = c, donde x e y son las incógnitas, y a, b y c son números conocidos. • Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores, uno para cada incógnita, que hacen cierta la igualdad. • Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. EJEMPLO 1

Al representar las infinitas soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas vemos que forman una recta.

2x − y = 1 → Ecuación lineal con dos incógnitas, x e y. Coeficiente de x ⎯⎯⎯⎯ → a=2 Coeficiente de y ⎯⎯⎯⎯ → b = −1 Término independiente → c = 1 El par de valores x = 0, y = 1 hace cierta la igualdad: x = 0, y = −1

2x − y = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 ⋅ 0 − (−1) = 1 → 1 = 1 Por tanto, (0, −1) es solución de la ecuación. Para obtener distintas soluciones de una ecuación lineal despejamos una de las incógnitas: y = 2x − 1. Dando valores numéricos a la variable x, obtenemos valores de y; estos pares de valores son soluciones de la ecuación. Si x = −1 → y = 2 ⋅ (−1) − 1 = −3. Solución: (−1, −3). Solución: (0, −1). Si x = 0 ⎯→ y = 2 ⋅ 0 − 1 = −1. Si x = 1 ⎯→ y = 2 ⋅ 1 − 1 = 1. Solución: (1, 1). Y

0

1

2

y

−3

−1

1

3

Si asociamos a cada solución el punto del plano que tiene por coordenadas esos valores, obtenemos una recta. Esta recta está formada por todos los puntos que son solución de 2x − y = 1.

2x −

−1

y=

x

1

Y expresándolo en una tabla de valores:

−2

(1, 1)

1

(0, −1) (−1, −3)

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

1 Expresa las siguientes ecuaciones de

2

la forma ax + by = c, e indica el valor de sus coeficientes. a) y = 2x − 3 b) y = x + 3

c) −3x = 1 − y d) x = 2 − y

Construye una tabla de valores para estas ecuaciones.

96

Representa en el plano las ecuaciones. a) 2x + 3 = y

b) y + 1 = x

REFLEXIONA

3

(2, 3)

Escribe dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que tengan como solución x = 3, y = −2.

X

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2

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Sistemas de ecuaciones lineales

Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común: ax + by = c ⎪⎫ ⎬ forman un sistema de ecuaciones lineales. a'x + b'y = c'⎪⎪⎭ Una solución del sistema es todo par de números que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar su solución. EJEMPLO 2

x + y = 3 ⎪⎫ ⎬. x − y = −1⎪⎭⎪ Expresamos las soluciones de estas ecuaciones mediante tablas. Para ello, despejamos y en ambas ecuaciones y damos valores a x. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

x+y=3 y=3−x

F

x − y = −1 y=x+1

F

x

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

…

y

6

5

4

3

2

1

0

−1

…

x

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

…

y

−2

−1

0

1

2

3

4

5

…

Para calcular las soluciones de una ecuación lineal despejamos la incógnita que sea más sencillo.

La única solución que se repite en ambas ecuaciones es la formada por el par x = 1, y = 2. Decimos entonces que el par x = 1, y = 2 es la solución del sistema. Representando gráficamente estos puntos y uniéndolos, obtenemos las dos rectas que representan las soluciones de cada ecuación.

Si despejáramos y obtendríamos una fracción. (1, 2)

1

Estas rectas se cortan en un solo punto, (1, 2), que es la solución del sistema. La representación de las rectas que determinan las soluciones de las ecuaciones se llama representación gráfica del sistema.

x + 3y = 2 → x = 2 – 3y

Y

1 y= 3− x

X

y= x+ 1

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

4 Halla la solución de cada sistema a partir

de las tablas de valores de las ecuaciones que lo forman. a) x + y = 5⎪⎫ ⎬ x − y = 3 ⎪⎪⎭

b) 2 x + y = 13⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

5 Representa gráficamente estos sistemas

y determina su solución. a) x + 2 y = 6 ⎪⎫ ⎬ x − 2 y = −2⎪⎪⎭

b) x + y = 0 ⎪⎫ ⎬ x − y = −2⎪⎪⎭

6

¿De cuál de los siguientes sistemas es solución (8, 4)? ¿Y (10, 2)? ¿Y (3, 1)? a) x + y = 12⎫⎪ ⎬ x − y = 4 ⎪⎪⎭

b) 2 x + 4 y = 10⎫⎪ ⎬ 3 x − y = 8 ⎪⎪⎭

REFLEXIONA

7 Escribe una ecuación lineal

con dos incógnitas de forma que una de sus soluciones sea x = 2, y = 3. Escribe un sistema con esa solución.

97

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Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales Los sistemas de ecuaciones, según su número de soluciones, se pueden clasificar en: • Sistemas compatibles determinados. Tienen una única solución. La representación gráfica del sistema son dos rectas que se cortan en un solo punto. • Sistemas compatibles indeterminados. Tienen infinitas soluciones. La representación gráfica son dos rectas que coinciden. • Sistemas incompatibles. No tienen solución. La representación gráfica del sistema son dos rectas paralelas.

Fíjate en estos sistemas. 2x 2x

+ 2y = 6 + 2y = 12

La primera ecuación indica que la suma de x e y es 6. La segunda, que si se multiplica por 2 esta suma el resultado es 12. Ambas dicen lo mismo.

EJEMPLO 3

x +y=6 x +y=8

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. a) x + y = 6 ⎫⎪ ⎬ 2 x + 2 y = 12⎭⎪⎪ 4

0

1

2

6

5

4

6

5

=

6

=

2

y

7

1

2y

y

0

+

x −1

+

F

x

x+y=6 y=6−x

2x

En este caso, la primera indica que la suma de x e y es 6, pero la segunda dice que es 8. Existe una contradicción.

Y

F

x −1 y

7

12

2 x + 2 y = 12 12 − 2 x y= 2

1

X

1

Tiene infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado. b) x + y = x+ y =

Y

6⎫⎪ ⎬ 8⎭⎪⎪

1

2

y

7

6

5

4

0

1

2

8

7

6

=

F

0

y

x+y=8 y=8−x

x −1

+

F

x

x+y=6 y=6−x

= 6

No hay solución. El sistema es incompatible.

y

9

+

y

8

x

x −1

1 1

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

8 Resuelve estos sistemas y clasifícalos

según su número de soluciones. a) x + y = 5⎪⎫ ⎬ x − y = 3 ⎪⎪⎭

d) 2 x + y = 13⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

b) x + y = 7⎪⎫ ⎬ x − y = 5 ⎪⎪⎭

e) x + y = 6 ⎪⎫ ⎬ 2 x − 2 y = 12⎪⎪⎭

c)

98

x + 2 y = 3⎪⎫ ⎬ 2 x + 4 y = 6⎪⎪⎭

f)

x − 3 y = 2⎪⎫ ⎬ 3 x − 2 y = 6⎪⎪⎭

9

Resuelve los sistemas y clasifícalos. x y ⎪⎫ a) b) x − y = 1⎪⎫ − = 2 ⎪⎪ ⎬ ⎬ 2 3 2 x − 2 y = 1⎪⎪⎭ ⎪⎪ 3 x − 2 y = 6⎪⎭

REFLEXIONA

10 Pon un ejemplo de sistema de ecuaciones

compatible determinado, indeterminado e incompatible.

X

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Métodos de resolución de sistemas

3

Para resolver un sistema se pueden utilizar diferentes técnicas que denominamos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

3.1 Método de sustitución Resolver un sistema por el método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación. EJEMPLO 4

⎫ Resuelve el sistema aplicando el método de sustitución: x − y = 3 ⎪⎬ . 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ 1.º Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Es mejor despejar una incógnita con coeficiente 1 o −1, para evitar trabajar con denominadores. En este caso despejamos x en la primera ecuación. x − y = 3 ⎪⎫ → x = 3 + y ⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭

Si hubiéramos despejado la x de la segunda ecuación:

x– y=3 → 2x – 3y = 4

2.º Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. Sustituimos, en la segunda ecuación, x por el valor 3 + y.

x –y =3 4 + 3y x= 2 tendríamos que trabajar con denominadores.

x=3+y

2x − 3y = 4 ⎯⎯⎯→ 2(3 + y) − 3y = 4

→

3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. 2(3 + y) − 3y = 4 → 6 + 2y − 3y = 4 → −y = 4 − 6 → → −y = −2 → y = 2 4.º Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. y=2

x − y = 3 ⎯⎯→ x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5 El sistema tiene como solución x = 5, y = 2. 5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. x = 5, y = 2 x − y = 3 ⎫⎪ ⎯⎯⎯⎯→ 5 − 2 = 3 ⎫⎪ → 3 = 3 ⎫⎪ ⎬ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎭⎪⎪ 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4 ⎭⎪⎪ 4 = 4 ⎭⎪⎪

Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

EJERCICIOS PRACTICA

11 Resuelve por el método

de sustitución.

REFLEXIONA

x + y = 5 ⎫⎪ ⎬ x − y = 3 ⎪⎪⎭

y señala si es compatible o incompatible.

cometidos.

5x − y = 1 ⎫⎪ ⎬ → y = 1 − 5x 2x − 4y = 22 ⎪⎪⎭

y = 1 − 5x

APLICA

12 Resuelve por sustitución,

13 Corrige los errores

x + y = 8 ⎪⎫ ⎬ x − y = 8 ⎪⎪⎭

2x − 4y = 22 ⎯⎯⎯⎯→ 2x − 4(1 − 5x) = 22 → 18 → 2x − 4 − 20x = 22 → −18x = 18 → x = =1 18 x=1 5x − y = 1 ⎯⎯→ 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4

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3.2 Método de igualación Resolver un sistema por el método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus valores. EJEMPLO 5

⎫ Resuelve el sistema aplicando el método de igualación: x − y = 3 ⎪⎬ . 2x − 3y = 4 ⎭⎪⎪ 1.º Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Igual que ocurre en el método de sustitución, es conveniente despejar la incógnita que resulte más sencilla. x − y = 3⎫⎪⎪ → x = 3 + y ⎫⎪⎪ ⎪⎬ 4 + 3 y ⎪⎬ ⎪ 2 x − 3 y = 4⎪⎪ → x = 2 ⎪⎪⎭ ⎭⎪ 2.º Igualamos las expresiones obtenidas. x = 3 + y ⎫⎪⎪ 4 + 3y 4 + 3 y ⎪⎬ → 3 + y = ⎪⎪ x= 2 2 ⎪⎭ 3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. 3+y=

4 + 3y → 2(3 + y) = 4 + 3y → 6 + 2y = 4 + 3y → 2 → 6 − 4 = 3y − 2y → 2 = y → y = 2

4.º Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. y=2

x − y = 3 ⎯⎯→ x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5 El sistema tiene como solución x = 5, y = 2. 5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. x = 5, y = 2 x − y = 3 ⎪⎫ ⎯⎯⎯⎯→ 5 − 2 = 3 ⎪⎫ → 3 = 3 ⎪⎫ ⎬ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4 ⎪⎪⎭ 4 = 4 ⎪⎪⎭

Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

14 Resuelve por el método de igualación estos

16 Corrige los errores cometidos en la resolución

sistemas de ecuaciones. a) x + y = 5 ⎫⎪ ⎬ x − y = 3 ⎭⎪⎪

b) 2x + y = 13 ⎫⎪ ⎬ x − y = 2 ⎭⎪⎪

APLICA

15 Resuelve por el método de igualación,

y señala si son compatibles o incompatibles. ¿Cuántas soluciones tienen? a) 2x + 5y = 10 ⎫⎪ ⎬ 4x + 10y = 20 ⎪⎪⎭

100

b) 2x + y = 8 ⎫⎪ ⎬ 2x + y = 12 ⎪⎪⎭

del sistema por el método de igualación. x − y = 7⎪⎫⎪ → x = y − 7 ⎪⎫ ⎪ ⎪⎬ y⎪ 3 x − y = 1 ⎪⎪ → x = 1 + ⎬⎪ ⎪⎭ 3 ⎪⎪⎭ y y−7=1+ → 3(y − 7) = 1 + y → 3 → 3y − 21 = 1 + y → 3y − y = 1 + 21 → 22 → 2y = 22 → y = = −11 −2 y = −11

x − y = 7 ⎯⎯⎯→ x − 11 = 7 → x = 7 + 11 = 18

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3.3 Método de reducción Resolver un sistema por el método de reducción consiste en buscar otro sistema, con las mismas soluciones, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto. EJEMPLO 6

⎫ Resuelve este sistema aplicando el método de reducción: x − y = 3 ⎪⎬ . 2x − 3y = 4 ⎭⎪⎪ 1.º Igualamos los coeficientes de una de las incógnitas mediante las multiplicaciones apropiadas. Si multiplicamos la primera ecuación por 2, los coeficientes de x quedan igualados en las dos ecuaciones. ⋅2 x − y = 3 ⎪⎫ ⎯→ 2x − 2y = 6 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭

Para restar las ecuaciones sumamos a la primera ecuación la opuesta de la segunda: 2x - 3y = 4

2.º Restamos o sumamos las ecuaciones, según los coeficientes tengan igual o distinto signo, para eliminar una incógnita. En este caso, como los coeficientes de x tienen el mismo signo, restamos: 2x − 2y = 6 2x − 2y = −6 → + − 2x − 3y = 4 −2x + 3y = −4 y = −2

opuesta F

-2x + 3y = –4

3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. y=2 4.º Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones. y=2

x − y = 3 ⎯⎯→ x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5 El sistema tiene como solución x = 5, y = 2. 5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. x − y = 3 ⎪⎫ x = 5, y = 2 5 − 2 = 3 ⎪⎫ → 3 = 3 ⎪⎫ ⎬ ⎬ ⎬ 2x − 3y = 4 ⎪⎪⎭ ⎯⎯⎯⎯→ 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4 ⎪⎪⎭ 4 = 4 ⎪⎪⎭ Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 5, y = 2 es solución del sistema.

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

17 Resuelve por el método de reducción.

19 Corrige los errores cometidos en la resolución

a) x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ x − y = 3 ⎪⎪⎭

b) x − 5y = 6 ⎪⎫ ⎬ 4x − 3y = 1 ⎪⎪⎭

APLICA

18 Resuelve por el método de reducción

estos sistemas de ecuaciones, y señala si son compatibles o incompatibles. a) x + 2y = 0 ⎫⎪ b) x − y = 5 ⎫⎪ ⎬ ⎬ 2x + 4y = 6 ⎪⎪⎭ 2x − 2y = 10 ⎪⎪⎭

del sistema.

⋅2 2x + y = 0 ⎪⎫ ⎯→ 4x + 2y = 2 ⎪⎫ ⎬ ⎬ 3x − 2y = −4 ⎪⎪⎭ 3x − 2y = −4 ⎪⎪⎭

4x + 2y = 2 − 3x − 2y = −4 x = −2 x = −2

2x + y = 0 ⎯⎯→ 2 ⋅ (−2) + y = 0 → → −4 + y = 0 → y = −4

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3.4 Reglas prácticas para resolver sistemas Ninguno de estos métodos de resolución de ecuaciones es mejor o peor que los otros. Su rapidez y eficacia para resolver los sistemas vienen determinadas por el tipo de ecuaciones que los componen. Al resolver un sistema de ecuaciones debemos tener en cuenta: • Expresar las ecuaciones en la forma general, ax + by = c. • El método de sustitución es útil cuando alguna de las incógnitas tiene como coeficiente 1 o −1. • El método de reducción es aconsejable cuando los coeficientes de una de las incógnitas son iguales o uno es múltiplo del otro. • Cuando los coeficientes de las incógnitas son distintos de 1 o −1, y no son múltiplos ni iguales, podemos utilizar el método de igualación y, después, eliminar los denominadores. EJEMPLO 7

Resuelve este sistema:

⎫⎪ x−y + x = −1⎪⎪ ⎬. 2 ⎪ 3( y − x) − 2 = 4 ⎪⎪⎭

Expresamos las ecuaciones en la forma general, ax + by = c. Para ello quitamos denominadores y paréntesis. ⎫⎪ x−y + x = −1⎪⎪ ⎬→ 2 ⎪ 3(y − x) − 2 = 4 ⎪⎪⎭ →

⎫⎪ ⎛ x − y ⎞⎟ ⎟ + 2 x = 2 ⋅ (−1)⎪⎪ 2⎜⎜⎜ x − y + 2 x = −2 ⎫⎪ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎬→ ⎬→ ⎪⎪ 3 y − 3 x = 4 + 2⎭⎪⎪ 3 y − 3x − 2 = 4 ⎪⎭ 3 x − y = −2⎪⎫ 3 x − y = −2⎪⎫ ⎬→ ⎬ 3 y − 3 x = 6 ⎪⎪⎭ −3 x + 3 y = 6 ⎪⎪⎭

Los coeficientes de x son iguales, pero de signo contrario; por tanto, aplicamos el método de reducción. 3x − 2y = −2 + −3x + 3y = −6 4 2y = −4 → y = = 2 2 y=2 3(y − x) − 2 = 4 ⎯⎯→ 3(2 − x) − 2 = 4 → 6 − 3x = 4 + 2 → → −3x = 6 − 6 → x = 0

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

20 Resuelve por el método más adecuado.

21 Resuelve por el método más adecuado.

a)

2x + 3y = 5 + x + 2y ⎫⎪ ⎬ x − 2y − 3 = 3 − 42y ⎪⎪⎭

b)

3 y + 3 = x − 2(x + y)⎫⎪⎪ ⎪⎬ 2x + 3 y ⎪⎪ = 18 ⎪⎭ 2

⎫⎪ c) x+y=2 ⎬ (x + 4) + 2(y − 2) = 18 − x − y ⎪⎪⎭

102

⎫⎪ 2x − y + 2 x − y = 4⎪⎪ ⎬ 3 ⎪ 2 x − y = 4⎪⎪⎭ REFLEXIONA

22 Escribe un sistema de ecuaciones que sea

apropiado para resolverlo mediante sustitución, y otro, mediante reducción.

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Resolución de problemas con sistemas

4

Resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones consiste en traducir al lenguaje algebraico las condiciones de su enunciado y, después, encontrar la solución del problema mediante la resolución del sistema. EJEMPLO 8

Las edades de un padre y su hija suman 77 años. Dentro de 2 años el padre tendrá el doble de la edad de su hija. ¿Qué edades tienen ahora? 1.º Identificamos las incógnitas. Lo que sabemos…

Lo que no sabemos…

La suma de las edades es 77. En 2 años, la edad del padre doblará la de su hija.

Edad del padre. Edad de la hija.

Dentro de 2 años

Llamamos x → Edad del padre ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → x+2 Dentro de 2 años

Llamamos y → Edad de la hija ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → y+2 2.º Planteamos el sistema. ⎫⎪ La suma de las edades es 77 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x + y = 77 ⎬ Dentro de 2 años el padre dobla a la hija → x + 2 = 2(y + 2) ⎭⎪⎪ 3.º Resolvemos el sistema. ⎫⎪ ⎫⎪ x + y = 77 x + y = 77 x + 0y = 77 ⎫⎪ ⎬→ ⎬→ ⎬ x + 2 = 2(y + 2) ⎪⎪⎭ x + 2 = 2y + 4 ⎪⎪⎭ x − 2y = 2 ⎪⎪⎭ Resolvemos por el método de reducción, y restamos las ecuaciones. −

x + y = 77 x + 2y = 77 → + x − 2y = 72 −x + 2y = −2 3y = 75 → y = 25 y = 25

x + y = 77 ⎯⎯→ x + 25 = 77 → x = 52 4.º Comprobamos e interpretamos la solución. COMPROBACIÓN: La solución es válida porque verifica la igualdad. x + y = 77 77 = 77 ⎪⎫ ⎪⎫ x = 52, y = 25 52 + 25 = 77 ⎪⎫ ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎬→ ⎬ x + 2 = 2(y + 2) ⎪⎪⎭ 52 + 02 = 2(25 + 2) ⎪⎪⎭ 54 = 54 ⎪⎪⎭ INTERPRETACIÓN: El padre tiene 52 años, y la hija, 27 años.

EJERCICIOS PRACTICA

23 La suma de las edades de Fernando y su padre

es 40 años. La edad del padre es 7 veces la edad del hijo. ¿Qué edades tienen ambos?

25 Un hotel tiene, entre habitaciones dobles

e individuales, 120 habitaciones. Si el número de camas es 195, ¿cuántas habitaciones dobles tiene? ¿Y habitaciones individuales?

APLICA

24 En un examen contesto diez preguntas.

Por cada acierto me dan 2 puntos, y por cada fallo me quitan 1. Si he obtenido 8 puntos, ¿cuántos aciertos tengo?

REFLEXIONA

26 Si cada persona come 5 pasteles, sobran 3;

pero si comen 6, falta 1. ¿Cuántas personas y pasteles hay?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Ecuación lineal con dos incógnitas

Sistema compatible determinado

⎧⎪ x, y → Incógnitas ⎪⎪ ⎪a → Coeficiente de x ax + by = c → ⎪⎨ ⎪⎪b → Coeficiente de y ⎪⎪ ⎪⎩c → Término independiente

Sistema compatible indeterminado

Y

Y

X

X

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Y

⎧⎪ x, y → Incógnitas ⎪⎪ ⎪a, a' → Coeficientes de x ax + by = c ⎪⎫ ⎬ → ⎪⎨ ⎪⎪b, b' → Coeficientes de y a'x + b'y = c' ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎪⎩c, c' → Términos independientes

Sistema incompatible X

HAZLO DE ESTA MANERA

1. REPRESENTAR GRÁFICAMENTE

LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN LINEAL

Y

SEGUNDO. Utilizando la ecuación,

y dando valores a x, construimos una tabla de valores.

3x −

y = 3x − 2

Despejamos una de las incógnitas.

(2, 4)

y=

PRIMERO.

2

Representa gráficamente las soluciones de la ecuación 3x − y = 2.

x

−2

−1

0

1

2

y

−8

−5

−2

1

4

(1, 1) X (0, −2)

TERCERO. Considerando cada par de valores como un punto del plano

y uniéndolos, obtenemos la recta de las soluciones de la ecuación.

2. RESOLVER UN SISTEMA GRÁFICAMENTE Y DETERMINAR SU NÚMERO DE SOLUCIONES Determina el número de soluciones de estos sistemas. PRIMERO.

a)

Y

a) x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ x − 2y = −1 ⎪⎪⎭

b) x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ 2x + 2y = 10 ⎪⎪⎭

c) x + y = 5 ⎪⎫ ⎬ x + y = 3 ⎪⎪⎭

Representamos gráficamente las soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema. Y b) Y c)

(3, 2) X

X

X

SEGUNDO.

• Si las dos rectas se cortan, el sistema tiene una única solución. → a) Tiene una solución: (3, 2). • Si las dos rectas coinciden, el sistema tiene infinitas soluciones. → b) Tiene infinitas soluciones. • Si las dos rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. → c) No tiene solución.

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3. RESOLVER UN SISTEMA

4. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE UN SISTEMA

⎫⎪ x + 2y ⎪⎪ =5 Resuelve el sistema: ⎬. 5 ⎪ 2(x + y) = 40 − 4 y ⎪⎪⎭

Un coche y un autobús miden juntos 14 m. El doble de la longitud del coche supera en 1 m a la del autobús. ¿Cuánto mide cada uno?

PRIMERO. Expresamos las ecuaciones en su forma general, ax + by = c. ⎛ x + 2 y ⎞⎟ ⎪⎫⎪ ⎟⎟ = 5 ⋅ 5 5⎜⎜⎜ x + 2 y = 25⎪⎫ ⎪⎬ → ⎬→ ⎝ 5 ⎠ ⎪⎪ 2 x + 2 y + 4 y = 40⎪⎪⎭ 2 x + 2 y = 40 − 4 y ⎪⎭ x + 2 y = 25⎫⎪ → ⎬ 2 x + 6 y = 40⎭⎪⎪

PRIMERO.

Identificar la incógnita.

Lo que sabemos… + +

= 14 =

Lo que no sabemos…

Longitud del autobús + 1 Longitud del coche

Llamamos x → Longitud del autobús y → Longitud del coche

SEGUNDO. Elegimos el método de resolución:

SEGUNDO. Planteamos la ecuación.

• Sustitución: si alguna de las incógnitas tiene como coeficiente 1 o −1. • Reducción: cuando sean iguales o uno sea múltiplo del otro. En este caso utilizamos reducción.

Los dos juntos miden 14 m ⎯⎯→ x + y = 14 Coche doble es autobús más 1 → 2y = x + 1

⋅3

x + 2y = 25 ⎫⎪ ⎯→ 3x + 6y = 75 ⎫⎪ ⎬ ⎬ 2x + 6y = 40 ⎪⎪⎭ 2x + 6y = 40 ⎪⎪⎭ −

3x + 6y = 75 3x + 6y = 75 → + 2x + 6y = 40 −2x − 6y = −40 x = 35

x + 2y x = 35 = 5 ⎯⎯→ 35 + 2y = 5 ⋅ 5 → 5 → 2y = −10 → y = −5

TERCERO. Resolvemos el sistema.

x + y = 14 ⎫⎪ x + y = 14 ⎫⎪ ⎬→ + ⎬ 2y = x + 1⎭⎪⎪ −x + 2y = 1 ⎭⎪⎪ 15 =5 3y = 15 → y = 3 y=5 x + y = 14 ⎯⎯→ x + 5 = 14 → x = 14 − 5 = 9 Comprobamos e interpretamos la solución. x + y = 14 ⎪⎫ x = 9, y = 5 14 = 14 ⎪⎫ ⎬ ⎯⎯⎯⎯→ ⎬ 2y = x + 1 ⎪⎪⎭ 10 = 10 ⎪⎪⎭ CUARTO.

El autobús mide 9 m, y el coche, 5 m.

Y AHORA… PRACTICA Representar gráficamente las soluciones de una ecuación lineal

Resolver un sistema

1. La representación gráfica de x + y = 3 es: Y a) Y b)

3. La solución del sistema a) x = 1, y = 2 b) x = −1, y = 2

⎫⎪ x−y + y = 1 ⎪⎪ ⎬ es: 3 ⎪ 4(y − x) − 6 = 3 y ⎪⎪⎭

c) x = −1, y = −2 d) x = 1, y = −2

1

1 1

X

−1

Resolver un sistema gráficamente y determinar su número de soluciones x + 3y = 5 ⎪⎫ 2. ¿Cómo es el sistema ⎬? 2x + 6y = 9 ⎪⎪⎭ a) Compatible

b) Incompatible

X

Resolver un problema mediante un sistema 4. El sistema que expresa que la suma de dos números es 18 y su diferencia 2 es: a)

x = 18 + y ⎫⎪ ⎬ x−y=2 ⎭⎪⎪

b) x + y = 18 ⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

c) x + y = 18 ⎫⎪ ⎬ x = 2 − y ⎭⎪⎪ d)

2x = 18 ⎪⎫ ⎬ x − y = 2 ⎪⎪⎭

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Actividades ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES

27. ● ¿Es x = 1 e y = 2 solución de estas ecuaciones?

35. ● Indica los coeficientes y términos independientes de los sistemas.

a) 3x + 2y = 7 b) x + 3 = y

c) 2x − y = 0 d) x + 1 = 7

28. ● Esta es la tabla de valores de la ecuación 2x + 3y = 15. x

6

3

0

−3

−6

y

1

3

5

7

9

Da varias soluciones de la ecuación, e indica un procedimiento para encontrar alguna solución más. 29. ● Construye una tabla de soluciones para estas ecuaciones. Toma como valores de la variable x: −2, −1, 0, 1 y 2. a) y = x + 5 b) x + y = 4

c) y = 3 − x d) x = 5 + y

30. ● Representa en el plano, para cada ecuación de la actividad anterior, los pares de números que hayas obtenido y comprueba que su representación es una recta. 31. ● Forma una tabla de valores para cada ecuación e indica algunas soluciones. a) 3x + 2y = 18 b) x − 3y = 20 c) x − 7 = y

d) 2x − 5y = 12 e) 3x + y = 24 f) y = 2x − 1

32. ● Forma una tabla de valores para cada ecuación del sistema. x + 2y = 5 ⎫ ⎪ ⎬ x − 2y = 2 ⎭ ⎪ ⎪ ¿Crees que hay algún par de valores de x e y que aparezca en las dos tablas? 33. ●● Escribe una ecuación lineal con dos incógnitas, de forma que una de sus soluciones sea el par de valores: a) x = 3, y = 0 b) x = 0, y = −1

c) x = 2, y = 3 d) x = −1, y = −5

34. ●● Escribe dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución sea x = 3, y = 2. Después, representa ambas ecuaciones. ¿Qué observas?

106

a) x + 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ x + 2y = 6 ⎪⎪⎭

c) x − 2y = 1 ⎪⎫ ⎬ 2x + 2y = 7 ⎪⎪⎭

b) x + 3y = 5 ⎪⎫ ⎬ x − 3y = 1 ⎪⎪⎭

d) 5x − 3y = 11 ⎪⎫ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎪⎪⎭

36. ● ¿Cuál de los siguientes pares de valores es solución del sistema? 2x + 3y = 13 ⎪⎫ ⎬ 3x − 4y = 11 ⎪⎪⎭ a) (1, 5)

b) (5, 1)

c) (2, 3)

d) (0, 0)

37. ● Dado el sistema: 3x − 2y = 2 ⎪⎫ ⎬ 2x + 3y = 5 ⎪⎪⎭ averigua si alguno de estos pares de valores es solución. a) x = 2, y = 4

c) x = 1, y = 1

b) x = 4, y = −1

d) x = 0, y = −

1 2

38. ●● Un sistema tiene por solución x = 2, y = −1 y una de sus ecuaciones es 2x − y = 5. ¿Cuál es la otra? a) 4x − 2y = 6 b) 4x − 2y = 5

c) −x + 2y = 5 d) −x + 2y = −4

39. ●● Escribe una ecuación lineal con dos incógnitas, de forma que una de sus soluciones sea x = 1, y = −2. Utiliza la ecuación para determinar un sistema de ecuaciones con esa solución. 40. ●● Halla la solución de cada sistema mediante las tablas de valores de las ecuaciones que lo forman. a) x − y = 1 ⎫⎪ ⎬ 2x − y = 4 ⎪⎪⎭

e) 2x + y = 13 ⎫⎪ ⎬ x − y = 12 ⎪⎪⎭

b) x + 3y = 2 ⎫⎪ ⎬ 2x − 3y = 9 ⎭⎪⎪

f) −x + 2y = 2 ⎫⎪ ⎬ 3x − 4y = −2 ⎭⎪⎪

x − 2y = 1 ⎪⎫ ⎬ 2x + 0y = 7 ⎪⎪⎭

g) 5x − 3y = 11 ⎪⎫ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎪⎪⎭

d) 2x + 3y = 7 ⎪⎫ ⎬ x − 3y = 0 ⎪⎪⎭

h) 5x + 3y = 16 ⎪⎫ ⎬ 3x − 3y = 10 ⎪⎪⎭

c)

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41. ● Resuelve gráficamente los sistemas de ecuaciones, e indica de qué tipo son. a)

x + y = 2 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 1 ⎪⎪⎭

c)

b) 2x + 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 6x + 3y = 6 ⎪⎪⎭

47. ● ¿Tienen las mismas soluciones estos sistemas? a) 3x + 2y = 28 ⎪⎫ 2x − 3y = 14 ⎬⎪⎪⎭

x + 3y = 5 ⎪⎫ ⎬ 3x − 4y = 2 ⎪⎪⎭

c)

Y

6x + 4y = −16 ⎪⎫ −6x + 9y = −42 ⎬⎪⎪⎭

48. ●● Escribe una ecuación lineal con dos incógnitas que forme un sistema con la ecuación 3x − 2y = 4, y tenga:

d) x + 2y = 4 ⎪⎫ ⎬ 2x + 4y = 5 ⎪⎪⎭

a) Única solución. b) Infinitas soluciones. c) Ninguna solución.

42. ●● Indica qué tipo de sistema de ecuaciones se ha representado. a)

b)

Y

49. ●● Escribe un sistema de ecuaciones cuya solución sea: a) x = 2, y = 1 X

X

b)

Y

d)

Y

X

X

b) x = 4, y = −3

50. ●● Sin resolver estos sistemas, y a partir de sus ecuaciones, indica su número de soluciones. a) 2x − y = 5 ⎫⎪ x + y = 1 ⎬⎪⎪⎭

c) 2x + 10y = 4 ⎫⎪ x + 5y = 4 ⎬⎪⎪⎭

b) 3x + 4y = 8 ⎫⎪ 6x + 8y = 10 ⎬⎭⎪⎪

d) 3x + 2y = 1 ⎫⎪ x − 8y = 5 ⎬⎭⎪⎪

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CONSIGUE QUE UNA INCÓGNITA TENGA COEFICIENTES IGUALES?

43. ● Resuelve gráficamente estos sistemas. a) x + y = 2 ⎫⎪ ⎬ x − y = 2 ⎭⎪⎪

b) 2x + 3y = 4 ⎫⎪ ⎬ x − 2y = 2 ⎭⎪⎪

¿Qué puedes afirmar? 44. ● Resuelve gráficamente estos sistemas y clasifícalos por su número de soluciones. a) 2x − 3y = −4 ⎪⎫ ⎬ −x + 3y = −3 ⎪⎪⎭

c) 2x − 3y = 38 ⎪⎫ ⎬ 4x − 2y = 10 ⎪⎪⎭

b) x + 3y = 36 ⎪⎫ ⎬ 2x + 6y = 12 ⎪⎪⎭

d) x − 2y = 0 ⎪⎫ ⎬ x + 2y = 0 ⎪⎪⎭

45. ● ¿Cuántas soluciones tienen estos sistemas? a) 4x − 3y = 25 ⎪⎫ ⎬ 8x − 6y = 10 ⎪⎪⎭

b) 2x + 3y = 25 ⎪⎫ ⎬ 2x + 3y = 35 ⎪⎪⎭

46. ● Averigua si los sistemas son incompatibles o compatibles, y en su caso, si tienen solución única. a) 2x + 3y = 25 ⎪⎫ ⎬ 4x + 6y = 10 ⎪⎪⎭

b) 3x − 2y = 5 ⎪⎫ ⎬ 6x − 2y = 8 ⎪⎪⎭

51. Transforma este sistema para que la incógnita x tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones. 24x + 13y = 80 ⎪⎫ ⎬ 18x − 07y = 90 ⎪⎪⎭ PRIMERO. Se halla el m.c.m. de los coeficientes de la incógnita en la que se quieren igualar. m.c.m. (24, 18) = 72 SEGUNDO. Se divide el m.c.m. por cada coeficiente

y se multiplica la ecuación por el resultado. Primera ecuación: m.c.m. 72 = = 3 → 3 ⋅ (24x + 13y = 80) → Coeficiente 24 → 72x + 39y = 240 Segunda ecuación: m.c.m. 72 = = 4 → 4 ⋅ (18x − 7y = 90) → Coeficiente 18 → 72x − 28y = 360 El sistema equivalente será: 72x + 39y = 240 ⎪⎫ ⎬ 72x − 28y = 360 ⎪⎪⎭

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52. ●● Dado el sistema: 7x − 2y = 04 ⎫⎪ ⎬ x + 3y = 17 ⎭⎪⎪ escribe sistemas equivalentes a él cuyos: a) Coeficientes de x sean iguales. b) Coeficientes de y sean iguales. c) Términos independientes sean los mismos. 53. ●●● Escribe otro sistema equivalente cuyas ecuaciones no tengan denominadores. ⎪⎫ x y + = 5 ⎪⎪ ⎪⎪ 2 5 ⎬ ⎪ 2x y − = −1 ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 3 2 54. ●●● Completa los sistemas para que el primero tenga solución x = 2, y = −3, y el segundo, x = −3, y = 2. a) 3x − 5y = 씲 ⎫⎪ b) −2x + 씲y = 8 ⎫⎪ 씲x + 4y = 2 ⎬⎭⎪⎪ 씲x − 2y = −7 ⎬⎭⎪⎪ 55. ●●● Completa los sistemas para que el primero sea compatible, y el segundo, incompatible. a) 3x − 2y = 씲 ⎪⎫ b) 씲x + 2y = 3 ⎪⎫ ⎬ 씲x + 2y = 6 ⎬⎪⎪⎭ 2x + 씲y = 씲 ⎪⎪⎭ 56. ●●● Completa estos sistemas para que el primero sea compatible determinado, y el segundo, compatible indeterminado. a) 씲x − 5y = 씲 ⎫⎪ b) 2x + 씲y = 10 ⎫⎪ ⎬ 씲x − 씲y = 12 ⎬⎭⎪⎪ 2x + 씲y = 6 ⎭⎪⎪ 57. ●●● Escribe tres sistemas que tengan como solución x = 1, y = 2, de forma que: a) En el primero, los coeficientes sean 1 o −1. b) En el segundo, los coeficientes de x sean el doble o la mitad que los de y. c) En el tercero, los coeficientes de x e y sean fracciones.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS 58. ● Resuelve por el método de sustitución.

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a) 3x + 5y = 1 ⎫⎪ ⎬ x + 5y = 1 ⎭⎪⎪

e) 4x − 3y = −3 ⎫⎪ ⎬ x + 3y = −4 ⎭⎪⎪

b) 7x + 8y = 23 ⎪⎫ ⎬ 3x + 2y = 07 ⎪⎪⎭

f) 2x + y = 12 ⎫⎪ ⎬ −x − y = −7 ⎪⎪⎭

c) 2x − 3y = 5 ⎫⎪ ⎬ 5x + 0y = 4 ⎭⎪⎪

g) 3x + y = 10 ⎫⎪ ⎬ 2x − y = 10 ⎭⎪⎪

d) 5x − 3y = 01 ⎪⎫ ⎬ 4x + 0y = 11 ⎪⎪⎭

h) 3x + 5y = 20 ⎪⎫ ⎬ 7x + 4y = 39 ⎪⎪⎭

59. ● Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación. a) 3x + 5y = 1 ⎪⎫ ⎬ x + 5y = 1 ⎪⎪⎭

e) 3x + y = 10 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 10 ⎪⎪⎭

b) 7x + 8y = 23 ⎫⎪ ⎬ 3x + 2y = 07 ⎭⎪⎪

f) 5x − 3y = 11 ⎫⎪ ⎬ 4x + 3y = 11 ⎭⎪⎪

d) 4x − 0y = −3 ⎪⎫ ⎬ 0x + 3y = −4 ⎪⎪⎭

h) 3x + 5y = 20 ⎪⎫ ⎬ 7x + 4y = 39 ⎪⎪⎭

c) 2x − 3y = 5 ⎫⎪ ⎬ 5x + 0y = 4 ⎪⎪⎭

g) 5x + 3y = 16 ⎫⎪ ⎬ 3x − 3y = 00 ⎪⎪⎭

60. ●● Resuelve por el método que consideres más adecuado. a) −2(x − 2) = y − 4 ⎪⎫ c) 3(x + y) − x + 2y = 15− ⎪⎫ ⎬ ⎬ 3y − 2x = 0 2x − (y + 8) = −11 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎭ b) −5(y − 2) = x − 2 ⎪⎫ d) 3(x + 2) − 7(x + y) = 15 ⎪⎫ ⎬ ⎬ x − 3y = −4 ⎪⎪⎭ 5(x + 1) − y = 14 ⎪⎪⎭

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE ELIMINAN LOS PARÉNTESIS Y LOS DENOMINADORES EN UN SISTEMA? 61. Resuelve el sistema: 1 ⎫⎪⎪ 3y x = + ⎪ 2 ⎪⎬ 4 2 3( y + 1) ⎪ 3(2 x − 2) = −10⎪⎪ − ⎪⎪⎭ 9 2 PRIMERO. Eliminar los denominadores. Se calcula el m.c.m. de los denominadores en cada ecuación y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él. Primera ecuación: m.c.m. (2, 4, 2) = 4 ⎡x 3y ⎤ 1 ⎥ = 4 ⋅ → 2x + 3y = 2 4⎢ + ⎢⎣ 2 ⎥ 4 ⎦ 2 Segunda ecuación: m.c.m. (2, 9) = 18 ⎡ 3(2 x − 2) 3(y + 1) ⎤ ⎥ = 18 ⋅ (−10) → − 18 ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 9

→ 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180

SEGUNDO.

Quitar los paréntesis. 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180 → → 54x − 54 − 6y − 6 = −180

TERCERO. Pasar las incógnitas a un miembro, y los términos sin incógnita, al otro. 54x − 54 − 6y − 6 = −180 → → 54x − 6y = −180 + 54 + 6 = −120 Sin paréntesis ni denominadores, el sistema es:

2x + 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 54x − 6y = −120 ⎪⎪⎭

Simplificando

F

2x + 3y = −02 ⎪⎫ ⎬ 9x − 0y = −20 ⎪⎪⎭

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62. ●● Resuelve por el método que consideres más adecuado. 3x 2x ⎪⎫ a) − = 2 ⎪⎪ ⎬ 3 4 ⎪ 3 y + 5 x = −1⎪⎪⎭ x y ⎪⎫ − = −1⎪⎪ b) ⎪⎪ 3 2 ⎬ ⎪ 2x y − = 7 ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 3 4

66. ●●● Resuelve por el método más adecuado. a) x + y = 0 ⎪⎫ ⎬ 2x − y = 0 ⎪⎪⎭ c)

d)

63. ●●● Elimina los paréntesis y los denominadores en los siguientes sistemas. a)

b)

⎫⎪ y x = 0 ⎪⎪ + ⎪⎪ 2 2 ⎬ ⎪ 2(y + 2) 5(x + 1) = −2⎪⎪⎪ − 3 7 ⎪⎭ 3(1 − x) (y − 1) 1 3 ⎫⎪ − − = ⎪⎪ 3 5 2 2 ⎪⎪ ⎬ ⎪ 5(x + 1) + 7(2 y − 1) = 2⎪⎪ ⎪⎪⎭ 6

64. ●●● Resuelve por el método de igualación estos sistemas. ⎫⎪ y x = 6 ⎪⎪ + a) ⎬ 3 2 ⎪ x − 2 y = −4⎪⎪⎭ b)

c)

x y+2 1 ⎪⎫ − = ⎪⎪ 2 2 2 ⎪⎪ ⎬ ⎪ 2(x − 1) y+2 − = −1⎪⎪⎪ 3 6 ⎪⎭ ⎫⎪ x + y = 2⎪⎪ ⎬ 5 ⎪ 2 x − 3 y = 7⎪⎪⎭

65. ●●● Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas. y ⎪⎫ x = 6 ⎪⎪ + a) ⎬ 3 2 ⎪ x − 2 y = −4⎪⎪⎭ b)

c)

x y+2 1 ⎪⎫ − = ⎪⎪ 2 2 2 ⎪⎪ ⎬ ⎪ 2(x − 1) y+2 − = −1⎪⎪⎪ 3 6 ⎪⎭ x ⎪⎫ + y = 2⎪⎪ ⎬ 5 ⎪ 2 x − 3 y = 7⎪⎪⎭

e)

b) 2x − 3y = 2 ⎪⎫ ⎬ 5x + 4y = 5 ⎪⎪⎭

⎫⎪ x y −1 + = 0⎪⎪ ⎬ 2 2 ⎪ 3 x − y = 6⎪⎪⎭ 2x + 1 3y − 4 2 ⎫⎪⎪ − = ⎪ 5 10 5 ⎪⎪ ⎬ 5(x + 1) 1 8⎪ − y+ = − ⎪⎪⎪ 7 2 2 ⎪⎭ 3(x + 1) − x y +1 3 ⎪⎫⎪ −y− = ⎪ 6 5 2 ⎪⎪ ⎬ 3(y − 1) 1 x + 3 ⎪⎪ x− + = ⎪ 10 5 3 ⎪⎪⎭

PROBLEMAS CON SISTEMAS HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE EXPRESAN CIERTOS ENUNCIADOS MEDIANTE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS? 67. Expresa como ecuaciones con dos incógnitas. a) La suma de dos números es 50. b) La diferencia de edad de dos hermanos es 5 años. c) Un padre tiene el doble de edad que su hijo. d) Un número supera a otro en 10 unidades. PRIMERO.

Asignar una incógnita a cada dato desconocido. Datos desconocidos

Incógnitas

Dos números

x, un número y, el otro número

Edades de dos hermanos

x, edad del primero y, edad del segundo

Edades del padre y el hijo

x, edad del padre y, edad del hijo

Dos números

x, un número y, el otro número

SEGUNDO.

Relacionar los datos conocidos y desconocidos mediante una igualdad (ecuación). a) La suma es 50 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → x + y = 50 b) La diferencia es 5 años ⎯⎯⎯ → x−y=5 c) El padre dobla en edad al hijo → x = 2y d) Uno supera al otro en 10 ⎯⎯→ x = y + 10

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68. ●● Expresa mediante ecuaciones con dos incógnitas.

a) b) c) d)

Un bocadillo y un refresco valen 5 €. Dos bocadillos y tres refrescos cuestan 15 €. Un bocadillo vale 1 € más que un refresco. He pagado un bocadillo y dos refrescos con 10 € y me han devuelto 3 €.

69. ● Elige la respuesta adecuada. a) Hace tres años, la edad de un tío era el triple de la edad de su sobrino, pero dentro de 5 años será solo el doble. Las edades del tío y del sobrino son: 1. Tío: 15, sobrino: 5. 2. Tío: 35, sobrino: 15. 3. Tío: 27, sobrino: 11. b) En un teatro se han vendido 250 entradas entre butacas de patio y de palco. Las primeras cuestan 15 € cada una, y las segundas, 30 €. Si la recaudación total fue de 4.500 €, las entradas vendidas de cada tipo fueron: 1. Patio: 50, palco: 250. 2. Patio: 100, palco: 150. 3. Patio: 200, palco: 50. 4. Patio: 125, palco: 125. 70. ● Calcula dos números cuya suma es 10 y su diferencia 6. 71. ●● Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 60 cm y que la base es el doble de la altura. 72. ●● Dos kilos de albaricoques y tres kilos de brevas cuestan 13 €. Tres kilos de albaricoques y dos kilos de brevas cuestan 12 €. ¿Cuál es el precio del kilo de albaricoques?

73. ●● En una compra se han utilizado monedas de 2 € y billetes de 5 €. En total, entre monedas y billetes son 13 y se ha pagado 33 €. ¿Cuántas monedas de 2 € se utilizan? ¿Y billetes de 5 €? 74. ●● En una droguería se venden 3 jabones y 2 frascos de colonia por 12 €, y también 4 jabones y 3 frascos de colonia por 17 €. Calcula el precio de cada producto. 75. ●● Hemos adquirido sellos de 0,26 € y de 0,84 €. En total hemos pagado 5,18 € por 11 sellos. ¿Cuántos sellos son de 0,26 €? ¿Y de 0,84 €? 76. ●● Para una merienda se han comprado bocadillos de jamón a 2,80 € la unidad y de queso a 2,50 €. En total se pagan 48 € por 18 bocadillos. ¿Cuántos bocadillos de jamón se compran? 77. ●● En un taller hay 50 vehículos entre motos y coches. Si el número total de ruedas es 140, ¿cuántos vehículos hay de cada tipo? 78. ●● El perímetro de una parcela rectangular es 350 m y el triple de su largo es igual al cuádruple de su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? 79. ●● José le dice a Inés: «Si te doy 10 discos tendrías la misma cantidad que yo». Inés le responde: «Tienes razón. Solo te faltan 10 discos para doblarme en número». ¿Cuántos discos tiene cada uno? 80. ●●● Una empresa de alquiler de coches ofrece dos modelos, uno de cuatro plazas y otro de cinco. Durante un día, la empresa alquila 10 coches en los que viajan 42 personas, quedando dos plazas sin ocupar. ¿Cuántos coches alquilaron de cada tipo? 81. ●●● Juan ha comprado una camisa y un pantalón. Los precios de estas prendas sumaban 60 €, pero le han hecho un 10 % de descuento en la camisa y un 20 % en el pantalón, y paga por todo 50,15 €. ¿Cuál era el precio sin rebajar de cada prenda?

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HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MEZCLAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES? 82. Se quiere mezclar dos tipos de vino: uno de 5,20 €/ ¬ y otro de 6,20 €/ ¬, y se quieren obtener 100 ¬ de vino cuyo precio sea 6 €/ ¬. ¿Cuántos litros de cada tipo se necesitan? PRIMERO.

85. ●●● Se han mezclado 40 kg de café a 10 €/kg con otra cantidad de café a 14 €/kg. ¿Cuántos kilos se han usado de cada clase si se vende la mezcla a 12,80 €/kg?

INVESTIGA

Planteamiento. Litros

Precio

Vino A

x

5,2x

Vino B

y

6,2y

Mezcla

100

5,2x + 6,2y

x + y = 100

5,2 x + 6,2 y =6 100

Ecuaciones SEGUNDO.

Resolución.

x + y = 100⎪⎫⎪ x = 100 − y ⎪⎫ ⎪⎬ → 5,2 x + 6,2 y ⎬ ⎪⎪⎭ 5,2 x + 6,2 y = 600 = 6⎪⎪ ⎪⎭ 100 Se sustituye el valor en la otra ecuación: x = 100 − y

⎯⎯⎯⎯→ 5,2(100 − y) + 6,2y = 600 → y = 80 y = 80

x = 100 − y ⎯⎯⎯→ x = 20

86. ●●● Si en un sistema de ecuaciones con solución única se multiplican todos los términos de una ecuación por 3: a) b) c) d)

La nueva solución es el triple de la original. La solución es la misma. El nuevo sistema no puede tener solución. Ninguna de las tres opciones es cierta.

87. ●●● Si despejando la misma incógnita en dos ecuaciones, y una vez igualadas, no se puede resolver la ecuación con una incógnita que resulta, ¿cómo es el sistema, compatible o incompatible? Razónalo. 88. ●●● La suma de las dos cifras de un número es a y su diferencia es también a.

TERCERO.

Comprobación. La mezcla contendrá 20 ¬ del vino A y 80 ¬ del vino B. La cantidad de mezcla será 20 + 80 = 100 ¬. Y el precio de la mezcla es: 5,2 ⋅ 20 + 6,2 ⋅ 80 104 + 496 = =6€ 100 100

¿De qué tipo son los números que cumplen esta condición?

83. ●●● Se mezcla licor de 12 €/ ¬ con licor de 15 €/ ¬, de modo que resultan 50 ¬ de licor de 13 €/ ¬. ¿Cuántos litros de cada licor se han mezclado? 12 €

15 €

13 €

50 ¬

89. ●●● La suma de las dos cifras de un número es 2a y su diferencia es a. ¿Qué números cumplen esta condición? 90. ●●● En el triángulo ABC, el lado BC mide 8 cm y su altura AH mide 4 cm. Se quiere inscribir en ese triángulo un rectángulo MNPQ en el que los vértices P y Q estén en el lado BC, M en AB y N en AC. Calcula las longitudes de MN y MQ para que el perímetro del rectángulo MNPQ sea 12 cm. A

84. ●●● En una fábrica de zumos se mezclan dos tipos de calidades, una de 50 céntimos el litro y otra de 80 céntimos el litro. ¿Cuántos litros de zumo han de mezclarse de cada tipo para obtener 120 litros con un coste total de 85,50 €?

M

B

N

Q

H

P

C

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En la vida cotidiana 91. ●●● Xaquín va a Sevilla en un tren que ha salido a las 17:00 h.

92. ●●● Alicia y Marien han conseguido una beca para estudiar durante dos años en París.

Al facturar los equipajes han visto que Alicia llevaba 18 kg y Marien 27 kg. Aunque su madre ha insistido en que no olvidara nada, Xaquín se ha dejado en casa algo muy importante: su carné de identidad. Su madre lo ha encontrado y se ha ido a la estación de tren para preguntar al jefe de estación. Este le ha informado de lo siguiente.

Lleva usted 18 kg de equipaje. No tiene que pagar sobrepeso.

Usted lleva 27 kg… Tendrá que abonar 42 € por sobrepeso.

El tren solo hará una parada, en Villarrual, a 83 km de aquí… El tren suele llevar una velocidad media de unos 70 km/h. Desde aquí a Villarrual hay autovía, y usted podría conducir a 120 km/h.

Los aviones de pasajeros permiten un determinado peso en los equipajes; en caso de sobrepasar ese peso, el pasajero tiene que abonar una cantidad por cada kilo de más que lleve. Para que a Marien le salga más barato, a la azafata que les factura los equipajes se le ha ocurrido una idea:

Si la madre de Xaquín llegase antes que el tren a la estación de Villarrual, podría buscarlo y darle el carné. El problema es que han pasado ya 20 minutos desde que el tren partió. ¿Crees que la madre de Xaquín puede llegar a tiempo a la estación?

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Como viajan las dos juntas, y a su amiga le faltan varios kilos de equipaje para dar sobrepeso podemos unir los equipajes y así usted solo tendría que pagar 30 €.

¿Cuál es el peso permitido a cada pasajero? ¿Cuánto hay que pagar por cada kilo de sobrepeso?

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Proporcionalidad numérica Un pedazo de la Historia Por fin, Alí había conseguido sacar a Schoene del hotel, donde llevaba recluido cuatro días sin apartar la vista de aquel libro, que a intervalos hacía exclamar a Schoene: –¡Es maravilloso! ¡Fantástico! ¡Estuvo perdido durante siglos y lo he encontrado yo! Aquella tarde, paseando por el zoco, Schoene no dejaba de hablar de su nueva adquisición, de la que decía ser una pequeña pieza del puzle de la Historia.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer las relaciones de proporcionalidad directa o inversa. • Resolver problemas mediante el uso de la regla de tres simple, directa o inversa. • Aplicar los repartos proporcionales y la proporcionalidad compuesta en la resolución de problemas. • Calcular intereses, capitales y tiempos. • Trabajar con porcentajes y resolver problemas de la vida real con ellos.

–Alí, el libro es la prueba. –Schoene lo miraba emocionado–. Es una traducción de un libro de Matemáticas de Herón de Alejandría perdido hace mucho tiempo, cuyo original se escribió en el siglo I. –Yo prefiero lo real a las teorías matemáticas –contestó Alí sin compartir el entusiasmo de su compañero. –Te equivocas Alí, este libro está lleno de aplicaciones prácticas: enseña maneras de aproximar raíces cuadradas no exactas, métodos para calcular áreas de polígonos, volúmenes de cuerpos e, incluso, división de superficies en partes proporcionales… Estos conocimientos eran muy útiles en el Egipto del siglo I, por ejemplo, para calcular las medidas de los terrenos que cultivaban o repartir herencias. ¿Cómo repartirías un terreno de 1.000 m2 entre dos familias, de manera que a una le correspondan 7 partes y a la otra 13?

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Proporcionalidad directa

1

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre dos cantidades correspondientes de ambas, a y b, es constante: a =k b El número k es la constante o razón de proporcionalidad directa.

NO OLVIDES Magnitudes directamente proporcionales Magnitud M

a

b

c

Magnitud M'

a'

b'

c'

a b c = = =k a' b' c'

EJEMPLO

k → Constante de proporcionalidad directa

1

Marta realiza un trabajo por horas y cobra 12 € cada hora. a) ¿Cuánto recibirá si trabaja 2 horas? ¿Y si trabaja 3 horas? b) Si cobra 18 €, ¿cuántas horas trabajó? a) Marta cobra 12 € por 1 hora de trabajo. En 2 horas ganará el doble, en 3 horas el triple… GANANCIA

F

TIEMPO

F

12 24 36 = = = … = 12 1 2 3

G

RAZÓN

Las magnitudes Ganancia – Tiempo son magnitudes directamente proporcionales. Al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.

La tabla de valores, cuando las magnitudes son directamente proporcionales, se llama tabla de proporcionalidad directa.

Podemos reflejar esta situación mediante una tabla de valores. ⋅3 :3 F

F

F

⋅2

36

48

60

72

…

Tiempo (h)

1

2

3

4

5

6

…

⋅2

F

24 F

12

F

Ganancia (€)

:3 ⋅3

b) Por ser las magnitudes directamente proporcionales se cumple que: GANANCIA

F

TIEMPO

F

12 18 1 ⋅ 18 = →x= = 15 , 1 x 12

Si cobra 18 € trabajó 1,5 horas.

EJERCICIOS PRACTICA

1

APLICA

Completa estas tablas para que sean de proporcionalidad directa. 2

4

8

3

40

En un mapa, 14 cm representan 238 km en la realidad. ¿Por qué longitud vienen representados 306 km? Una longitud de 10 cm en el mapa, ¿qué longitud real representa?

15

6

REFLEXIONA

1

0,25 1,25

2

114

3

8 12

Si el precio de 9 menús es 166,50 €, ¿cuánto costarán 5 menús?

4

Insertar anuncios en un periódico cuesta 10 € por 3 líneas de texto, y cobran 3 € más por cada nueva línea que escribamos. Construye la tabla que relaciona las magnitudes. ¿Es de proporcionalidad?

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2

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Página 115

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de dos cantidades correspondientes de ambas, a y b, es constante: a⋅b=k El número k es la constante o razón de proporcionalidad inversa. EJEMPLO

Magnitudes inversamente proporcionales Magnitud M

a

b

c

Magnitud M'

a'

b'

c'

a ⋅ a' = b ⋅ b' = c ⋅ c' = k

Un tren que circula a una velocidad constante de 60 km/h, emplea 5 horas en recorrer un trayecto. a) ¿Cuántas horas empleará en recorrer dicho trayecto si su velocidad es de 30 km/h? ¿Y si la velocidad es de 10 km/h? b) Si tarda 6 horas, ¿a qué velocidad circula?

2

NO OLVIDES

k → Constante de proporcionalidad inversa

a) Si el tren circula a 30 km/h, que es la mitad de velocidad, tardará el doble del tiempo, 10 horas. Si reduce la velocidad a la sexta parte: 10 km/h, tardará seis veces más, 30 horas… F

60 ⋅ 5 = 30 ⋅ 10 = 10 ⋅ 30 = … = 300

G

RAZÓN

F

VELOCIDAD TIEMPO

Las magnitudes Velocidad – Tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. Al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número. Podemos reflejar esta situación mediante una tabla de valores. :6 :2

60

30

10

40

…

Tiempo (h)

5

10

30

7,5

…

F

⋅2

F

Velocidad (km/h)

F

F

F

F

⋅4

La tabla de valores, cuando las magnitudes son inversamente proporcionales, se llama tabla de proporcionalidad inversa.

:4 ⋅6

b) Por ser las magnitudes inversamente proporcionales se cumple que: 60 ⋅ 5 = 50 6 Si tarda 6 horas circula a una velocidad de 50 km/h. 60 ⋅ 5 = x ⋅ 6 → x =

EJERCICIOS PRACTICA

5

APLICA

Completa las tablas para que sean de proporcionalidad inversa. 1

2

4

6

6 REFLEXIONA

8

24

7 10 15

15

12 6

Un barco lleva comida para 8 tripulantes y una travesía de 15 días. Si solo viajan 6 tripulantes, ¿para cuántos días tendrán?

25

Clasifica en proporcionalidad directa o inversa. a) El lado de un cuadrado y su perímetro. b) Obreros y tiempo en acabar un trabajo.

115

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3

Regla de tres simple

Cuando dos magnitudes son proporcionales, y no conocemos una de las cuatro cantidades relacionadas, podemos hallarla mediante una regla de tres simple.

3.1 Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa es una técnica que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas de dos magnitudes directamente proporcionales. EJEMPLO 3

Si 6 revistas de automóviles cuestan 18 €, ¿cuánto costarán 9 revistas? Averiguamos si existe proporcionalidad entre las dos magnitudes:

En general, para resolver una regla de tres simple directa, aplicaremos el siguiente cálculo.

a → b ⎫⎪⎪ → a = b → x = c · b ⎬ c → x ⎪⎪⎭ x a c

• Si compramos el doble de revistas, el precio se duplica. • Si compramos la mitad, el precio se reduce a la mitad. Las magnitudes Número de revistas – Precio son directamente proporcionales. Planteamos la regla de tres: cuestan → 18 € ⎪⎫⎪ Si 6 revistas ⎯⎯⎯⎯ ⎬ costarán → x € ⎪⎪⎭ 9 revistas ⎯⎯⎯⎯ Aplicando las propiedades de la proporcionalidad directa: 6 18 9 ⋅ 18 = →x= = 27 9 x 6 El precio de 9 revistas es 27 €. Otra manera de calcular el precio de las 9 revistas es hallando primero lo que cuesta una revista: 18 = 3 € cuesta una revista. 6 Y multiplicando por el número de revistas que queremos comprar: 9 ⋅ 3 = 27 € costarán las 9 revistas. Este segundo método se denomina reducción a la unidad.

EJERCICIOS PRACTICA

8

9

116

APLICA

En la cocina de un IES han pagado 42 € por 70 barras de pan. ¿Cuánto tendrían que pagar si hubieran comprado 45 barras?

10 El precio de 15 menús en un restaurante

Un coche gasta en gasolina 46 céntimos de euro cada 4 km. ¿Cuánto costará el combustible en un viaje de 270 km si mantiene el mismo consumo?

REFLEXIONA

ha sido 120 €. ¿Cuánto vale el menú? Si van a comer 7 personas, ¿cuánto pagarán?

11 Un árbol de 2,25 m de altura da una sombra

de 2 m. ¿Qué altura tendrá una torre que, a la misma hora, da una sombra de 188,8 m?

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3.2 Regla de tres simple inversa La regla de tres simple inversa es una técnica que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas de dos magnitudes inversamente proporcionales. EJEMPLO 4

Un edificio es pintado por 12 obreros en 15 días. ¿Cuántos días emplearán 20 obreros en pintar el mismo edificio? El primer paso es averiguar si existe algún tipo de proporcionalidad entre las dos magnitudes: • Si trabajan el doble de obreros, tardarán la mitad de días. • Si trabajan la mitad de obreros, el número de días que tardarán será el doble. Las magnitudes Número de obreros – Días son inversamente proporcionales. El planteamiento de la regla de tres simple inversa es similar al de la regla de tres simple directa: tardan → 15 días ⎫⎪⎪ Si 12 obreros ⎯⎯⎯⎯ ⎬ tardarán → x días ⎪⎭⎪ 20 obreros ⎯⎯⎯⎯ Sin embargo, en la resolución debemos tener en cuenta que en vez de la segunda fracción consideramos su inversa: 12 x 12 ⋅ 15 = →x= =9 20 15 20 Por tanto, los 20 obreros emplearán 9 días en pintar el edificio.

En general, para resolver una regla de tres simple inversa, aplicaremos el siguiente cálculo.

a → b ⎪⎫⎪ → a = x → x = a · b ⎬ c → x ⎪⎪⎭ b c c

Otra manera de hallar el tiempo que emplearán 20 obreros es calculando lo que tardaría un solo obrero: 12 ⋅ 15 = 180 días tardaría un obrero trabajando solo. Y dividiendo entre el número de obreros: 180 = 9 días tardarían 20 obreros. 20 Este segundo método se denomina reducción a la unidad.

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

12 Si el tiempo empleado por 7 trabajadores

14 Un grifo vierte 6 litros por minuto y tarda 5 horas

en limpiar una calle es de 7 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores?

en llenar un depósito. Si vertiese 1 litro por minuto, ¿cuánto tardaría?

13 Marta emplea 5 minutos en ir de su casa

al colegio en monopatín a una velocidad media de 6 km/h. ¿Cuánto tardará cuando va andando si su velocidad es de 4 km/h?

REFLEXIONA

15 Para construir una piscina, 10 obreros trabajan

durante 16 días. ¿Cuántos obreros trabajaron si tardaron 40 días?

117

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4

Repartos proporcionales

4.1 Repartos directamente proporcionales Para repartir una cantidad, N, en partes directamente proporcionales a a, b y c, las partes se obtienen multiplicando cada número, a, b y c, por N la constante de proporcionalidad, . a+b+c EJEMPLO 5

Un agricultor quiere regar con 300 m3 de agua tres parcelas de forma directamente proporcional a sus superficies, que son 2, 3 y 5 hectáreas, respectivamente. ¿Cuántos metros cúbicos destinará al riego de cada parcela? Llamamos Parte 1, Parte 2 y Parte 3 a las cantidades de agua que recibirá cada parcela.

2 ha

3 ha

5 ha

Al hacer un reparto directamente proporcional, la cantidad de agua que recibe cada parcela: Parte 1, Parte 2 y Parte 3, y las dimensiones de cada parcela: 2, 3 y 5 hectáreas, mantienen una proporción directa: Parte 1 Parte 2 Parte 3 = = 2 3 5 Además, también existe proporcionalidad entre la cantidad total de agua y el número total de hectáreas: 2 + 3 + 5. 300 Parte 1 Parte 2 Parte 3 = = = 2+3+5 2 3 5 Es decir: 300 Parte 1 300 = → Parte 1 = 2 ⋅ = 60 m3 2+3+5 2 2+3+5 Parte 2 300 300 = → Parte 2 = 3 ⋅ = 90 m3 2+3+5 3 2+3+5 300 Parte 3 300 = → Parte 3 = 5 ⋅ = 150 m3 2+3+5 5 2+3+5 El agua dedicada a cada una de las parcelas será 60, 90 y 150 m3, respectivamente.

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

16 Reparte 102 € en partes directamente

18 Doña Alfonsa reparte sus

proporcionales a 3, 2 y 1, respectivamente. APLICA

17 Un padre reparte 99 € entre sus tres hijos

en partes directamente proporcionales a 3, 2 11 y . ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 3 6

118

tierras entre sus nietos en partes directamente proporcionales a sus edades: 8, 12 y 15 años. Si al menor le tocan 12 hectáreas, averigua el total de hectáreas repartidas.

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4.2 Repartos inversamente proporcionales Si repartimos una cantidad, N, en partes inversamente proporcionales a a, b y c, cada parte se obtiene dividiendo la constante de proporcionalidad N entre su cantidad correspondiente: a, b y c. 1 1 1 + + a b c EJEMPLO 6

Tres camareros se reparten 295 € de propinas en partes inversamente proporcionales a los días que faltaron en el trimestre, que fueron 2, 5 y 7. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Al hacer un reparto inversamente proporcional, la cantidad que recibe cada camarero, que llamaremos: Cantidad 1, Cantidad 2 y Cantidad 3, y las del número de días que faltaron: 2, 5 y 7, mantienen una proporción inversa y sus productos serán iguales a la constante de proporcionalidad: 2 ⋅ Cantidad 1 = 5 ⋅ Cantidad 2 = 7 ⋅ Cantidad 3 = k k 2 ⋅ Cantidad 1 = k → Cantidad 1 = 2 k 5 ⋅ Cantidad 2 = k → Cantidad 2 = 5 k 7 ⋅ Cantidad 3 = k → Cantidad 3 = 7 Además, la suma de estas tres cantidades ha de ser igual a la cantidad que se va a repartir: ⎛1 k k k 1 1⎞ + + = 295 → k⎜⎜ + + ⎟⎟⎟ = 295 → ⎜ ⎝2 2 5 7 5 7 ⎟⎠ →k=

Repartir una cantidad, N, en partes inversamente proporcionales a a, b y c, equivale a repartirla en partes directamente proporcionales a 1

a

,

1

b

y

1

c

.

295 295 = = 350 1 1 1 59 + + 2 5 7 70

k 350 = = 175 € 2 2 k 350 = = 70 € Cantidad 2 = 5 5

Por tanto: Cantidad 1 =

Cantidad 3 =

k 350 = = 50 € 7 7

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

19 Reparte 70 en partes inversamente

22 Se han repartido 300 € en partes inversamente

proporcionales a los números 3 y 4. 20 Reparte 1.100 en partes inversamente

proporcionales a los números 5 y 6. 21 Quiero repartir 620 € entre mis sobrinos,

en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 1, 3 y 7 años. ¿Cuánto le tengo que dar a cada uno?

1 1 1 , y . ¿Cuál es la parte 3 5 7 1 correspondiente a ? 5 proporcionales a

REFLEXIONA

23 Si reparto 1.200 proporcionalmente a 5 y 6

y le doy 500 a 6 y 700 a 5, ¿ha sido un reparto inversamente proporcional?

119

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5

Proporcionalidad compuesta

Cuando intervienen más de dos magnitudes relacionadas entre sí proporcionalmente, decimos que existe proporcionalidad compuesta. EJEMPLO 7

6 min

Cinco fotocopiadoras tardan 6 minutos en hacer 600 fotocopias. Si ponemos en funcionamiento 7 fotocopiadoras y queremos hacer 1.400 fotocopias, ¿cuántos minutos tardarán? En este caso tenemos tres magnitudes proporcionales: Número de fotocopiadoras − Número de fotocopias − Número de minutos Como intervienen más de dos magnitudes, decimos que hay proporcionalidad compuesta.

600 copias

El primer paso es averiguar el tipo de proporcionalidad que existe entre la magnitud de la incógnita (número de minutos) y las otras dos magnitudes: • A más fotocopiadoras, menos minutos → Proporcionalidad inversa. • A más fotocopias, más minutos ⎯⎯⎯⎯ → Proporcionalidad directa. Inversa Directa F

F

Fotocopiadoras

Fotocopias

Minutos

5

600

6

7

1.400

x

Multiplicamos los cocientes de las cantidades de las magnitudes conocidas (poniendo sus inversos en los casos de proporcionalidad inversa), e igualamos ese producto al cociente de las cantidades de la incógnita: INVERSA DIRECTA

7 5

⋅

600 1.400

=

6 4.200 6 6 ⋅ 7.000 → = →x= = 10 minutos x 7.000 x 4.200

Siete fotocopiadoras tardarán 10 minutos en hacer 1.400 fotocopias.

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

24 En 7 días, 8 máquinas han cavado una zanja

26 La dueña de una pensión

de 1.400 m de largo. ¿Cuántas máquinas serán necesarias para cavar 300 m de zanja en 6 días? APLICA

25 Veinte obreros han tendido 400 m de cable

durante 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 m de cable?

120

ha presupuestado 250 € para alimentar a sus 18 huéspedes durante 12 días. Si el número de huéspedes aumenta en 6 personas, ¿para cuántos días le llegará el presupuesto?

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Página 121

Problemas con porcentajes

6.1 Cálculo de porcentajes Un porcentaje o tanto por ciento expresa la cantidad de una magnitud correspondiente a 100 unidades de la otra. Se escribe con el signo %. EJEMPLOS 8

En un instituto de 200 alumnos, el 25 % de los alumnos llevan gafas. ¿Cuántos alumnos llevan gafas? llevan gafas

→ 25 alumnos ⎫⎪ Si de 100 alumnos ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎬ llevarán gafas → x alumnos ⎪⎭⎪ de 200 alumnos ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 100 25 = → x = 50 alumnos 200 x 9

¿Qué porcentaje de aciertos tuve si encesté 7 canastas de 32 intentos? encesté

32 7 7 ⋅ 100 Si de 32 intentos ⎯⎯⎯⎯→ 7 ⎫⎪ = →x= = 21,88 % ⎬→ encestaré 100 x 32 de 100 intentos ⎯⎯⎯⎯→ x ⎪⎭⎪ Tuve un 21,88 % de aciertos.

6.2 Aumentos y disminuciones porcentuales Aumentar un t % equivale a calcular el (100 + t) % de esa cantidad. Disminuir un t % equivale a calcular el (100 − t) % de esa cantidad. EJEMPLO

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, basta con multiplicar esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100: a a% de C = C · 100

10 Un coche que el año pasado valía 15.000 € ha aumentado su precio este año en un 20 %. ¿Cuál es su precio actual? Si el precio inicial, el 100 %, ha aumentado un 20 %, el precio final será el 100 + 20 = 120 % del precio inicial. Por tanto, el coche costará: 120 % de 15.000 = 15.000 ⋅

120 = 15.000 ⋅ 1,2 = 18.000 € 100

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA 3

27 Un embalse con capacidad de 200 hm

se encuentra al 45 % de su capacidad. ¿Qué cantidad de agua contiene?

29 Una raqueta de tenis cuesta 180 € más

un 16 % de IVA. ¿Cuál es su precio final? REFLEXIONA

28 En un periódico se dice que 80 de cada

1.500 personas practican deportes de riesgo. Expresa este dato en porcentaje.

30 María compra un libro por 15 €.

En ese precio está incluido un 4 % de IVA. ¿Cuánto vale el libro sin IVA?

121

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6.3 Porcentajes encadenados Los porcentajes encadenados surgen cuando aplicamos aumentos o disminuciones porcentuales sucesivamente. Equivalen a aplicar un único porcentaje, que es el producto de todos ellos. Los porcentajes encadenados, t1, t2, t3, …, tn, de una cantidad equivalen a calcular el (t1 ⋅ t2 ⋅ t3 ⋅ … ⋅ tn) % de esa cantidad. EJEMPLO 11 Un televisor que cuesta 250 € está rebajado en un 30 %. Al ir a pagar en caja nos añaden el 16 % de IVA. ¿Cuál es el precio final? 20 · 144 = 100 = 0,2 · 144

El 20 % de 144 =

El 120 % de 144 =

Si el precio inicial, el 100 %, se rebaja un 30 %, el precio rebajado será: 100 − 30 = 70 % del precio inicial

120

· 144 = 100 = 1,2 · 144 Al aplicar el IVA hay un aumento del 16 %. El precio tras el IVA será: 100 + 16 = 116 % del precio rebajado Por tanto, un televisor de 250 € costará: 116 % del 70 % de 250 = 0,70 ⋅ 1,16 ⋅ 250 = 0,812 ⋅ 250 = 203 € Porcentaje con IVA

Porcentaje final F

Porcentaje rebajado

El precio final del televisor, 203 €, es el 81,2 % del precio inicial.

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

31 Un disco compacto vale 12 €. El dependiente

33 El precio de los tomates ha sufrido distintas

me rebaja un 15 % por ser buen cliente y al pagar me cobran un 16 % de IVA. ¿Cuánto pago por el disco? ¿Qué porcentaje supone el precio final sobre el inicial? APLICA

32 El valor de una acción es de 15 €. El lunes sube

un 3 %, el martes baja un 7 % y el miércoles sube un 10 %. ¿Con qué valor comienza el jueves? ¿En qué momentos es su valor mayor que el valor inicial?

122

variaciones. A principios de junio, el precio medio de un kilo de tomates era de 2,10 €, subiendo el precio durante este mes un 10 %. En el mes de julio también se incrementó el precio del kilo de tomates en un 17 %, y en el mes de agosto bajó un 8 % sobre el precio del mes de julio. ¿Cuál era el precio de un kilo de tomates al finalizar el mes de agosto? ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida que ha tenido el precio de los tomates entre junio y agosto?

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Interés simple

7

Al ingresar cierta cantidad de dinero en un banco, la entidad nos da un beneficio que denominamos interés. El interés es directamente proporcional al dinero depositado y al tiempo que lo ingresamos. El interés simple, I, es el beneficio que origina una cantidad de dinero, denominada capital, C, en un tiempo, t, a un rédito anual, r %. C⋅r⋅t I= (tiempo en años) 100 C⋅r⋅t I= (tiempo en meses) 1.200 C⋅r⋅t I= (tiempo en días) 36.000 EJEMPLO 12 Un granjero ha decidido invertir los beneficios de su cosecha, que son 8.500 €, en un depósito al 3 % anual durante 5 años. a) ¿Qué interés obtendrá al finalizar los 5 años? b) ¿Y en los 6 primeros meses de la inversión? a) Un rédito del 3 % anual significa que, en un año, por cada 100 € invertidos, obtendrá 3 € de interés. Por tanto: 3 100 ⎛ ⎞⎟ 3 8 . 500 ⋅3⋅5 ⎟⎟ ⋅ 5 = En 5 años → ⎜⎜⎜8.500 ⋅ = 1.275 € ⎝ 100 ⎠ 100 Aplicando la fórmula obtenemos el mismo resultado: C ⋅ r ⋅ t C = 8.500, r = 3, t = 5 8.500 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → I= I= = 1.275 € 100 100 Obtendrá unos intereses de 1.275 € en los 5 años. En 1 año ⎯ → 3 % de 8.500 = 8.500 ⋅

Cuando en el lenguaje usual usamos expresiones como «un 3 % de interés», en realidad nos estamos refiriendo al rédito. El rédito es un porcentaje, pero el interés es un número.

C⋅r ⋅t 8.500 ⋅ 3 ⋅ 6 = = 127,50 € 1.200 1.200 En 6 meses obtendrá unos intereses de 127,50 €.

b) I =

EJERCICIOS PRACTICA

34 Calcula el interés que producen 1.800 €

en 9 meses al 4 % anual.

36 ¿Qué interés recibiremos por una inversión de

4.500 € al 4 % anual si se retira 2 meses y 9 días después del comienzo de la inversión?

APLICA

REFLEXIONA

35 Marta le prestó a Juan 2.460 € al 3 % durante

37 Averigua el capital que he invertido en

4 años. ¿Cuánto dinero en total le devolvió Juan tras ese tiempo?

un banco al 4,5 % durante 2 años si en total me han devuelto 1.463 €.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes inversamente proporcionales

⋅3

⋅3 F

2

4

6

Magnitud A

1

2

4

6

Magnitud B

5

10

20

30

Magnitud B

24

12

6

4

F

F

⋅2

:2

⋅3

1 2 4 6 = = = = 0,2 5 10 20 30

G

Constante de proporcionalidad directa

Porcentajes a a % de C = C ⋅ 100

F

⋅2

:2

F

F

1

F

F

Magnitud A

F

F

F

⋅2

:2 F

⋅2

:2

:3

1 ⋅ 24 = 2 ⋅ 12 = 4 ⋅ 6 = 6 ⋅ 4 = 24

G

Constante de proporcionalidad inversa

Interés simple C⋅r ⋅t I= (tiempo en años) 100

HAZLO DE ESTA MANERA

1. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE

REGLAS DE TRES SIMPLES DIRECTAS

REGLAS DE TRES SIMPLES INVERSAS

Un coche, a velocidad constante, consume 7 litros de gasolina al recorrer 100 km. Si el coche recorre 250 km a esa misma velocidad, ¿cuántos litros consumirá?

En un velero en el que se prevé que viajen 18 tripulantes, se almacena agua para 10 días. Si al final solo viajan 15 tripulantes, ¿para cuántos días tendrán agua?

PRIMERO.

PRIMERO.

Identificamos las magnitudes. Distancia recorrida – Consumo de gasolina

SEGUNDO.

Averiguamos si existe relación de proporcionalidad entre ellas. • A doble distancia, doble consumo. • A mitad de distancia, mitad de consumo… Las magnitudes Distancia – Consumo son directamente proporcionales.

TERCERO.

Planteamos la regla de tres. consume

→ 7 litros ⎫⎪ Si en 100 km ⎯⎯⎯⎯ ⎬ consumirá → x litros ⎪⎪⎭ en 250 km ⎯⎯⎯⎯ CUARTO.

Resolvemos la regla de tres.

Razón directa

100 7 7 ⋅ 250 = →x= = 17,5 litros 250 x 100 Manteniendo la misma velocidad, consumirá 17,5 litros en recorrer 250 km.

124

2. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE

Identificamos las magnitudes. Número de tripulantes – Días

SEGUNDO.

Averiguamos si existe relación de proporcionalidad entre ellas. • A doble número de tripulantes, la mitad de días. • A la mitad de tripulantes, doble de días… Número de tripulantes – Días son magnitudes inversamente proporcionales.

TERCERO.

Planteamos la regla de tres. beben

Si 18 tripulantes ⎯⎯⎯→ 10 días ⎫⎪ ⎬ beberán 15 tripulantes ⎯⎯⎯→ x días ⎭⎪⎪ CUARTO.

Resolvemos la regla de tres.

Razón inversa

18 x 18 ⋅ 10 = →x= = 12 días 15 10 15 Tendrán agua para 12 días.

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3. REPARTIR UNA CANTIDAD EN PARTES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

4. REPARTIR UNA CANTIDAD EN PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Reparte 70 en partes directamente proporcionales a 3 y 4.

Reparte 70 en partes inversamente proporcionales a 3 y 4.

PRIMERO.

PRIMERO.

Dividimos la cantidad que se va a repartir entre la suma de las partes. N 70 70 = = = 10 a+ b 3+4 7

SEGUNDO.

Multiplicamos ese resultado por cada una de las partes. La cantidad que le corresponde a 3 es: 3 ⋅ 10 = 30 La cantidad que le corresponde a 4 es: 4 ⋅ 10 = 40

Dividimos la cantidad a repartir entre la suma de los inversos de las partes. N 70 70 70 ⋅ 12 = = = = 120 1 a +1 b 1 3 +1 4 7 12 7

SEGUNDO.

Multiplicamos ese resultado por cada uno de los inversos de las partes. 1 A 3 le corresponde: ⋅ 120 = 40 . 3 1 A 4 le corresponde: ⋅ 120 = 30 . 4

5. RESOLVER PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Inversa

Veinte obreros tienden 400 m de cable trabajando 6 días. ¿Cuántos días necesitarán 24 obreros para tender 700 m?

Directa

Obreros

Metros

Días

20

400

6

24

700

x

SEGUNDO.

Averiguamos el tipo de proporcionalidad existente entre la magnitud de la incógnita y las demás.

TERCERO.

Multiplicamos los cocientes de las magnitudes conocidas, teniendo en cuenta que si es inversa se ponen los inversos, y se iguala al cociente de las cantidades de la incógnita.

INVERSA

F

F

Identificamos las magnitudes. Número de obreros – Metros de cable – Días trabajados PRIMERO.

DIRECTA

24 400 6 20 ⋅ 700 ⋅ 6 = →x= = 8,75 días ⋅ 20 700 x 24 ⋅ 400 Necesitarán trabajar casi 9 días.

Y AHORA… PRACTICA Resolver problemas mediante reglas de tres simples directas o inversas

Repartir en partes inversamente proporcionales

1. Si 70 barras valen 42 €, 85 barras costarán: a) 141,10 € b) 51 € c) 34,59 €

4. Si reparto 100 en partes inversamente proporcionales a 7 y 3, a 7 le corresponden:

2. Puedo gastar 20 € diarios durante 7 días. Si quiero tener dinero para 10 días podré gastar: a) 3,50 € b) 28,57 € c) 14 € Repartir en partes directamente proporcionales 3. Si reparto 100 en partes directamente proporcionales a 7 y 3, a 7 le corresponden: a) 30 b) 50 c) 70

a) 30

b) 50

c) 70

Resolver problemas de proporcionalidad compuesta 5. Si 3 grifos durante 8 horas diarias tardan 10 días en llenar un depósito, 4 grifos abiertos durante 5 horas diarias tardarán: a) 8,33 días

b) 12 días

c) 4,69 días

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Actividades MAGNITUDES PROPORCIONALES 38. ● Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. a) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro. b) La longitud del lado de un cuadrado y su área. c) El número de hijos de una familia y el número de días de vacaciones. 39. ● En un mercado hay dos puestos donde se venden manzanas con estas tablas de precios.

43. ● Estudia si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales. a) El radio de una circunferencia y su longitud. b) La velocidad que lleva un coche y el tiempo que emplea en hacer un determinado recorrido. c) El número de entradas de un cine y su precio. d) La superficie de una pared y el tiempo que se tarda en pintarla. e) La gasolina que gasta un coche y la distancia que recorre. 44. ● Completa las siguientes tablas para que sean de proporcionalidad inversa. a)

PUESTO A

2

2 kg

3 kg

0,53 €

1,06 €

1,59 €

2 kg

3 kg

0,60 €

1€

1,50 €

¿En cuál de estos puestos las magnitudes peso y precio son directamente proporcionales? 40. ● Completa la tabla, sabiendo que es una tabla de proporcionalidad directa. 1.000

4

b)

5

4

12

30

60 28

45. ● Comprueba que las magnitudes M y M' son inversamente proporcionales, y calcula el valor de y e y'.

1 kg

500

4

0,90

1 kg

PUESTO B

100

3

25.000

4

6

8

10

16

Magnitud M'

12

8

6

y

y'

46. ●● En cada una de estas tablas de proporcionalidad inversa hay un error. Corrígelo y calcula la constante de proporcionalidad. a)

200

Magnitud M

9

6 5,4 4,5 4

6

9

10 12 13

b)

1,2 2,4 4,8 6 7,2

)

50 25 12 10 8,3

41. ● Observa la tabla de proporcionalidad de las magnitudes siguientes. Magnitud M

4

6

7

9

10

Magnitud M'

12

18

21

y

y'

Comprueba que las magnitudes M y M' son directamente proporcionales, y calcula y e y'.

REGLA DE TRES 47. ● Por construir una valla de 12 metros se han pagado 1.250 €. ¿Cuánto habrá que pagar por otra valla de 25 metros?

42. ● Señala cuáles de los siguientes pares de magnitudes son inversamente proporcionales. a) El número de máquinas y el tiempo que tardan en hacer un trabajo. b) La edad de una persona y su velocidad al caminar. c) La base y la altura de un rectángulo de área 20 cm2. d) La base y la altura de un rectángulo de 40 cm de perímetro.

126

12 m

25 m

48. ● Amanda se ha comprado una pieza de tela de 2 metros que le ha costado 32 €. ¿Cuánto le hubiese costado un trozo de 3,2 metros?

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49. ● Un coche, viajando a una determinada velocidad, consume 25 litros de combustible en un viaje de 300 km. ¿Cuánto consumirá en un viaje de 550 km, si va a la misma velocidad?

55. ●● En una casa en la que viven 6 personas se consume, para aseo personal, una media de 900 litros de agua diarios. ¿Cuánto se gastará en la casa si entran a vivir 5 personas más?

50. ●● Un tren que circula a 100 km/h tarda 5 horas en llegar a una ciudad. ¿A qué velocidad circula otro tren que tarda 6 horas y cuarto en hacer el mismo recorrido?

56. ●●● El consumo de agua en un gimnasio al que asisten 150 personas, es de 6.000 litros diarios.

51. ●● Si un pintor ha pintado 75 m2 de pared con 125 kilos de pintura: a) ¿Cuánta pintura habría necesitado para pintar 300 m2 de pared? b) Con 50 kg, ¿cuántos metros cuadrados puede pintar? 52 ●● Quince personas realizan el montaje de unas placas solares en tres semanas. a) ¿Cuánto tardarían 35 personas en hacer ese montaje? b) Si queremos realizarlo en 15 días solamente, ¿cuántas personas necesitaríamos?

a) ¿Cuál será el consumo si se inscriben 30 personas más? b) Si a partir de 7.000 litros el consumo tiene un recargo, ¿cuál es el número máximo de nuevos clientes que pueden inscribirse sin pagar ese recargo? 57. ●●● Para hacer una minipizza de 10 centímetros de diámetro necesitamos 100 gramos de mozzarella. Si queremos hacer una pizza de 20 centímetros de diámetro, ¿qué cantidad de queso usaremos?

REPARTOS PROPORCIONALES 58. ● Un constructor quiere repartir 1.000 € entre tres de sus obreros de forma directamente proporcional a su antigüedad en la empresa. Andrés lleva 9 años en la empresa, mientras que Bernardo y Carlos solo tienen 3 años de antigüedad. ¿Qué parte les corresponde?

53. ●● Tres cajas de polvorones pesan 2,7 kg. a) ¿Cuánto pesan 15 cajas? b) Si nuestra furgoneta puede transportar 500 kg, ¿podemos llevar en ella 230 cajas de polvorones? 54. ●● Una explotación agraria tiene hierba para alimentar a 48 vacas durante 18 semanas. a) ¿Para cuántas semanas tendría si fuesen 24 vacas más? b) Si pasadas 7 semanas se compran 18 vacas, ¿hasta cuándo habrá hierba?

59. ● Un abuelo decide repartir 120 caramelos entre sus cuatro nietos de forma directamente proporcional a sus edades, que son 4, 6, 6 y 8 años, respectivamente. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada nieto? 60. ●● Dos amigos montan un negocio. Uno de ellos se retira al cabo de 8 meses. El otro socio continúa hasta final de año, siendo el resultado unas pérdidas de 1.500 €. ¿Cuánto tiene que pagar cada amigo?

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61. ●● Vicente y Paloma abren una cartilla de ahorros en el banco. Vicente pone 400 € y Paloma 800 €. Al cabo de unos años les devuelven 1.380 €. ¿Cómo los tienen que repartir? ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 62. ●● Se decide construir un puente cuyo coste, de un millón de euros, han de pagar entre tres localidades en partes inversamente proporcionales a la distancia de cada localidad al puente. Alameda está a 6 km, Buenasaguas está a 8 km y Cabestreros a 10 km. Calcula cuánto ha de pagar cada localidad.

65. ●●● Un abuelo reparte 10.350 € entre sus tres nietos de forma directamente proporcional a sus edades. Si los dos menores tienen 22 años y 23 años, calcula: a) La edad del hermano mayor sabiendo que le correspondieron 3.600 €. b) Las cantidades de los otros hermanos.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA CANTIDAD REPARTIDA CONOCIENDO UNA PARTE INVERSAMENTE PROPORCIONAL? 66. Se ha repartido una herencia de forma inversamente proporcional a las edades de tres primos, que son 25, 20 y 16 años. Al primo de 25 años le han correspondido 800 €. ¿Qué cantidad se ha repartido? PRIMERO.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA CANTIDAD REPARTIDA CONOCIENDO UNA PARTE DIRECTAMENTE PROPORCIONAL? 63. Se ha repartido una cantidad de forma directamente proporcional a las edades de tres hermanos, que son 8, 4 y 3 años. Si al hermano mayor le han correspondido 800 €, ¿qué cantidad se ha repartido? PRIMERO. Se halla la constante de proporcionalidad.

k=

800 = 100 8

SEGUNDO.

Se calcula el total. (8 + 4 + 3) ⋅100 =1.500 Se han repartido 1.500 €.

64. ●● Luis, Damián y Carlos compraron un décimo de lotería de Navidad. Carlos puso 10 €, Damián 6 € y Luis 4 €. El décimo fue premiado y, en el reparto, a Carlos le tocaron 5.000 €. ¿Cuánto le correspondió a los otros dos?

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Se calcula la constante de proporcionalidad. k 800 = → k = 800 ⋅ 25 = 20.000 25 SEGUNDO. Se halla el total. k k k + + = Herencia 25 20 16 20.000 20.000 20.000 + + = 3.050 € 25 20 16 Se han repartido 3.050 €. 67. ●● Si repartes una cantidad en partes inversamente proporcionales a 10, 7 y 3, la cantidad que le corresponde a 3 es 50. ¿Qué cantidad les corresponde a 10 y 7? 68. ●●● De acuerdo con un testamento, se reparten 359.568 € entre tres personas en partes inversamente proporcionales a su sueldo mensual. Calcula lo que le corresponderá 2 a cada uno si el sueldo menor es del sueldo 3 3 intermedio, y este es del mayor. 4

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PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

76. ● Por un CD que cuesta 21 € me hacen un 15 % de descuento. ¿Cuánto dinero me ahorro?

69. ●● Un grupo de 8 amigos pagó 940 € por su estancia de 3 días en un hotel. ¿Cuánto costaba la estancia diaria de cada amigo?

77. ●● En un instituto, 63 alumnos, que son el 15 % del total, han viajado al extranjero. ¿Cuántos alumnos tiene el instituto? 78. ●● Un vendedor de coches recibe como comisión el 0,8 % de las ventas que realiza. a) Si en un mes recibió 300 € de comisión, ¿qué ventas realizó? b) Si el mes siguiente vendió por valor de 45.000 €, ¿qué comisión obtuvo?

70. ●● Dos máquinas, funcionando 6 horas diarias, consumen 1.500 kWh en un día. ¿Cuánto consumirán 3 máquinas funcionando 8 horas diarias? 71. ●●● Una barra de metal de 10 m de largo y 2 cm2 de sección pesa 8,45 kg. ¿Cuánto pesará una barra del mismo material de 5 m de largo y 7 cm2 de sección? 72. ●● En las fiestas de un barrio se colocan 1.200 farolillos que se encienden 8 horas al día, ocasionando un gasto total de 1.440 €. ¿Cuál sería el gasto si se colocasen 600 farolillos más y se encendiesen 2 horas menos?

79. ●● Un comerciante decide subir el precio de una mercancía, que era de 72 €, un 3 %, y a la semana siguiente, otro 3 % sobre el último precio. ¿Cuál es el precio final de venta? 80. ●● En dos semanas consecutivas se han aplicado al precio de un artículo aumentos del 2 % y 5 %. ¿En qué porcentaje se ha incrementado el artículo sobre su precio original? 81. ●● En una tienda suben el precio de un producto de 200 € un 10 %. A la semana siguiente deciden rebajarlo un 10 % del precio que tiene en ese momento. ¿Qué ha ocurrido con el precio?

73. ●● Se cree que, para construir la pirámide de Keops, trabajaron 20.000 personas durante 10 horas diarias, y tardaron 20 años en acabarla. a) ¿Cuánto habrían tardado si fuesen 10.000 personas más? b) ¿Y si hubiesen trabajado 8 horas diarias? 74. ●● Cien trabajadores, trabajando 8 horas diarias, tardan 300 días en construir un barco. a) Si aumentase la plantilla en 20 personas, ¿cuántos días se adelantaría la construcción? b) Si se redujese la plantilla en 20 personas, ¿cuántos días se retrasaría la construcción? c) ¿Y si la plantilla se redujese en 20 personas pero se aumentasen los turnos a 9 horas diarias?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE COMPARA MEDIANTE PORCENTAJES? 82. En una cafetería han aumentado los precios de los refrescos: la naranjada de 1 € a 1,05 €, y los refrescos de cola, de 1,10 a 1,15 €. ¿Ha sido proporcional el aumento? PRIMERO.

Se calcula la subida lineal. 1,05 − 1 = 0,05 1,15 − 1,10 = 0,05 Los dos refrescos suben la misma cantidad.

SEGUNDO.

PORCENTAJES 75. ● Tres de cada 5 alumnos han tenido la gripe en el mes de enero. Expresa este dato en forma de porcentaje.

Se halla el porcentaje que representa la subida. 0,05 0,05 = 0,05 → 5 % = 0,0454 → 4,54% 1 1,10 El aumento no es proporcional.

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83. ●● La carne de cordero, durante la Navidad, aumentó su precio de 8,85 €/kg a 11,55 €/kg. Otro producto que se ha encarecido han sido las uvas, de 2,10 €/kg a 3,95 €/kg. ¿Qué producto se ha incrementado más en proporción?

89. ●● Urbano ha recibido como herencia 40.000 €. Invierte este dinero en un depósito con un interés del 5 % anual durante 5 años y medio. Cuando concluya este tiempo, los intereses que reciba los repartirá entre sus 4 hijos, de manera inversamente proporcional a sus edades, que son 15, 14, 12 y 10 años.

84. ●● Al calentar una barra de metal de 1 m a 200 °C, se ha dilatado hasta medir 1,04 m. Una barra de 60 cm del otro metal, al calentarla a la misma temperatura, se ha dilatado hasta medir 61,9 cm. ¿Qué metal se dilata menos? 85. ●●● En un envase de galletas anuncian que contiene un 25 % más de galletas por el mismo precio. Los envases antiguos pesaban 1 kg y el envase actual con la oferta pesa 1,20 kg. ¿Es cierta la publicidad?

INTERÉS SIMPLE

a) ¿Qué cantidad recibirá de intereses cuando concluya su inversión, es decir, dentro de 5 años y medio? b) ¿Cuánto dinero le corresponderá a cada hijo?

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

86. ● ¿Qué interés producen 3.000 € al 4,3 % durante 5 años? ¿Y durante 15 meses? ¿Y durante 150 días? 87. ●● ¿Cuál es el capital que impuesto al 7,5 % produce 3.760 € al cabo de un año? 88. ●● Emilio ha decidido invertir sus ahorros, que son 9.600 €, en un depósito financiero que ofrece un interés del 3,85 % durante 4 años.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MEZCLAS? 90. Se mezclan dos tipos de harina, A y B, de precios 0,75 €/kg y 0,50 €/kg en la proporción de 5 kg de tipo A y 3 kg de tipo B. ¿A qué precio sale el kilo de la mezcla? PRIMERO.

Se calcula el precio y la cantidad total. Total de harina = 5 kg + 3 kg = 8 kg Precio total = 5 ⋅ 0,75 + 3 ⋅ 0,50 = 5,25 €

SEGUNDO.

Se reduce a la unidad.

Precio de la mezcla =

a) ¿Cuánto cobrará de intereses durante los 6 primeros meses? b) ¿Y por 3 meses y 20 días? c) Si decidiera sacar el dinero antes de que concluya el período de inversión, 4 años, se le penalizaría con un pago del 5 % del capital invertido. Después de un año y dos meses y medio, ¿perderá o ganará dinero? d) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que, al cancelar el depósito, no pierda dinero?

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5,25 = 0,66 €/kg 8

91. ●● Mezclamos 8 kg de café de 2,25 €/kg, con 5 kg de café de 1,66 €/kg. ¿A cuánto tendremos que vender el kilo si queremos ganar un 10 % de su precio por kilo? 92. ●● Un lingote de plata de 200 g de ley del 90 % (90 % de pureza) se funde con otro de 300 g de 80 % de ley. ¿Cuál es la ley del nuevo lingote? 93. ●● Se tiene alcohol de 96 %. Si mezclamos 1 litro de alcohol con medio litro de agua, ¿cuál será la graduación del alcohol resultante?

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94. ●●● ¿En qué proporción se han de mezclar dos tipos de café A y B de precios 5 €/kg y 8 €/kg para que resulte un café cuyo precio sea 7,25 €/kg? 95. ●●● Un lingote de oro y cobre cuya ley es del 90 % tiene un peso de 100 g. ¿Con qué cantidad de cobre lo tendremos que fundir para que la ley baje al 75 %?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MÓVILES?

97. ●● A las 9:45 h parte de Sevilla un AVE con dirección a Madrid que circula a una velocidad media de 220 km/h. A la misma hora sale de Madrid un tren de mercancías, que circula por una vía paralela a la del AVE, y que lleva una velocidad de 40 km/h. ¿A qué hora se encontrarán si la distancia entre Madrid y Sevilla es de 520 km? 98. ●●● Un ciclista, que circula a una velocidad de 15 km/h, le lleva una hora de ventaja a un coche que viaja a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar al ciclista?

96. Un tren de pasajeros lleva una velocidad de 90 km/h. Otro tren de mercancías, que circula por una vía paralela, va a 50 km/h. a) Si parten de puntos opuestos, distantes 350 km entre sí, a la misma hora, y uno va al encuentro del otro, ¿cuánto tardarán en encontrarse?

INVESTIGA b) Si los dos parten del mismo punto y el tren de mercancías, que ha salido antes, lleva una ventaja de 140 km, ¿cuánto tardará el tren de pasajeros en alcanzarlo?

PRIMERO.

Se suman o se restan las velocidades según vayan en distinta o en la misma dirección. a)

VELOCIDAD DE APROXIMACIÓN = 90 + 50 = 140 km/h

Se aproximan a una velocidad de 140 km/h. b)

VELOCIDAD DE APROXIMACIÓN = 90 − 50 = 40 km/h

El tren de pasajeros se aproxima al de mercancías con una velocidad de 40 km/h. SEGUNDO.

El cociente entre la distancia que los separa y la velocidad a la que se aproximan es el tiempo. distancia 350 = = 2,5 velocidad 140 Tardarán 2,5 h en encontrarse.

a) Tiempo =

distancia 140 = = 3,5 velocidad 40 Tardará 3,5 h en alcanzarlo.

b) Tiempo =

99. ●●● Si una magnitud A es directamente proporcional a otra magnitud B, y esta es inversamente proporcional a C, ¿cómo son A y C? 100. ●●● Reparte un número k en dos partes directamente proporcionales a dos números cualesquiera, m y n, y después, haz el reparto inversamente proporcional a los mismos valores, m y n. a) ¿Qué relación hay entre las partes obtenidas en cada reparto? b) ¿Ocurre siempre lo mismo? 101. ●●● Si a una cierta cantidad la disminuimos en un 10 %, ¿qué porcentaje debemos incrementarla para obtener la misma cantidad? 102. ●●● Una lámina de cristal absorbe el 20 % de la luz roja que le llega, es decir, deja pasar el 80 %. ¿Cuántas láminas hacen falta como mínimo, una encima de otra, para que pase como máximo la mitad de la luz roja que le llegue?

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En la vida cotidiana 103. ●●● Norberto ha pasado las vacaciones de Semana Santa en casa de sus tíos. Se llevó los apuntes de clase porque tenía que hacer algunas tareas que le habían mandado. A la vuelta se le han olvidado, así que su prima Elena se los va a enviar por mensajero. Norberto ha encontrado en casa una factura de una empresa de mensajería que su padre había contratado hace tiempo.

104. ●●● Villaplana y Villacuesta son dos pueblos vecinos. Como acaba de construirse una autovía cerca de los dos municipios, sus alcaldes han decidido variar la carretera existente para hacer una incorporación a esa autovía. El problema es que no se ponen de acuerdo sobre cómo dividirán los gastos.

Yo creo que deberíamos dividir los gastos de forma directamente proporcional a los vecinos de cada municipio.

Estoy de acuerdo, pero hay que considerar que Villaplana tiene más vecinos y, por tanto, tendría que contribuir en mayor medida. Sin embargo, pone la mayor parte del gasto en el mantenimiento del resto de carreteras de la zona…

Estas empresas cobran una cantidad fija por cada servicio, a la que añaden otra que depende proporcionalmente del peso del paquete y de la distancia a la que se envía.

ress PackExpE07

Tras largas discusiones se ha decidido lo siguiente.

45E CIF 4555 2 566 300 Tfno: 90 ckexpress.com www.pa

Copalón Santos E: Don CLIENT 135286 13 DNI: 38 ercebe, io: C/ P Domicil 2,00

Servicio rte: o Transp 5 km 2 250 g a A 7 % de IV

€

18,75 € 1,45 € 22,20 €

Total

ente icio urg e Por serv incremento d n habrá u bre el total. so un 30 %

IPA L B A N D O M U N IC

cauna variante de la Se va a construir na y Villacuesta que rretera entre Villaplaeva autovía. conectará con la nu ra se dividirán de for Los gastos de esta ob orcional al númeop ma directamente pr os en cada pueblo, e ad ns ce os cin ve s ro de orcional a los gasto inversamente prop tiene en el mantenio ipi que cada munic teras vecinales. miento de las carre Habitantes

Elena ha pesado el paquete con los apuntes de Norberto: 3,2 kg, y ha medido en un mapa la distancia que hay hasta su ciudad: 126 km. ¿Cuánto pagará Elena si envía el paquete con esta empresa? ¿Y si lo hace mediante el servicio urgente?

132

Gastos

Villaplana

6.748

16.860 €

Villacuesta

1.230

2.400 €

¿Qué porcentaje del total del coste de la obra deberá pagar cada municipio?

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7 PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer una sucesión de números. • Reconocer y diferenciar las progresiones aritméticas y geométricas. • Calcular el término general y la suma de n términos de una progresión aritmética y geométrica. • Calcular el producto de n términos y la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. • Resolver problemas reales de interés compuesto.

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Progresiones La mascota de la princesa El rey de Sicilia, Federico II, había encargado al filósofo de la Corte, Juan de Palermo, que examinara a Leonardo de Pisa con problemas matemáticos de difícil solución. Leonardo, más conocido como Fibonacci, les presentó las soluciones y esperó a que las evaluaran. A medida que estudiaban el trabajo, sus caras reflejaban la sorpresa que les producía. Mientras tanto, Fibonacci se había alejado un poco y charlaba con una niña que, sentada en la escalera, acariciaba a un conejito que mantenía en su regazo. –Yo tuve una pareja de conejos –decía Fibonacci. –¿De qué color eran? –se interesó la niña. –Eran blancos y los tuve en casa, a ellos y sus crías, durante 12 meses, luego me trasladé con mi padre y no me los pude llevar. ¡En un año tenía 144 parejas! –Eso es imposible –dijo la niña mientras imaginaba todo lleno de conejos. –La primera pareja comenzó a criar al segundo mes, y de cada camada me quedaba con otra pareja, que comenzaba a procrear a su vez a los dos meses de vida –repasaba mentalmente el sabio. Mes

E

F

M

A

M

J

Parejas

1

1

2

3

5

8

J

A

S

O

N

D

13 21 34 55 89 144

La niña iba apuntando y, de repente, lo vio claro. –El número de parejas es, cada mes, la suma de los dos meses anteriores. ¿Cuántas parejas tendría al cabo de catorce meses? ¿Y a los dos años?

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1

Sucesiones

Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales: a1, a2, a3, a4, a5, a6, … A cada uno de los números que forman la sucesión se le llama término de la sucesión. EJEMPLO En una sucesión conocemos cuál es el primer término, cuál es el segundo… El conjunto de los números decimales no es una sucesión: no sabemos cuál es el siguiente a 0.

1

Determina cuáles son los términos a2 y a5 en estas sucesiones. a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, … c) 1, 5, 10, 15, 20, 25, … b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, … d) 20, 30, 40, 50, 60, 70, … El subíndice de cada término indica el lugar que ocupa en la sucesión; así, a2 es el segundo término de la sucesión, y a5, el quinto. c) a2 = 5 y a5 = 20 a) a2 = 2 y a5 = 5 d) a2 = 30 y a5 = 60 b) a2 = 4 y a5 = 10

1.1 Regla de formación Existen sucesiones en las que se pueden determinar sus términos a partir de un cierto criterio; a este criterio se le denomina regla de formación. EJEMPLO 2

Determina la regla de formación de las siguientes sucesiones. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … ⎯⎯→ 1, 2, 4, 8, 16, 32, … ⎯→ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … → 1, 3, 6, 10, 15, 21, … ⎯→ 1, 4, 9, 16, 25, 36, … ⎯→

Cada número es el anterior más 2. Cada número es el anterior multiplicado por 2. Cada número es la suma de los dos anteriores. Cada número es el anterior más 2, más 3, más 4… Cada número es el cuadrado del lugar que ocupa. f) 2, 3, 5, 7, 11, 13, … ⎯→ Sucesión de números primos.

a) b) c) d) e)

EJERCICIOS PRACTICA

1

Di cuáles son los términos a1, a3 y a6 de las siguientes sucesiones. a) b) c) d) e) f)

6, 7, 8, 9, 10, … 0, −2, −4, −6, −8, … 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … −1, −1, −1, −1, −1, … −2, −4, −8, −16, −32, … 1, 2, 3, 5, 8, …

Determina su regla de formación.

134

APLICA

2

Construye una sucesión que cumpla que: a) El primer término es 5 y cada uno de los siguientes es la suma del anterior más 3. b) El primer término es 12 y cada uno de los siguientes es el anterior multiplicado por 3.

REFLEXIONA

3

Haz una sucesión con términos a1 = 2, a2 = 3 y a3 = 4, siendo los siguientes términos la suma de los tres anteriores.

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1.2 Término general El término general de una sucesión es una expresión algebraica que nos permite calcular cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, y se representa por an. EJEMPLO Encuentra el término general de estas sucesiones y calcula a10 y a100.

3

a) 2, 4, 6, 8, 10, … ⎯⎯→ Cada número es el lugar que ocupa dicho número multiplicado por 2. Término general ⎯→ an = 2n, siendo n el lugar que ocupa el término en la sucesión. n = 10

n = 100

→ a10 = 2 ⋅ 10 = 20 an = 2n ⎯⎯⎯

an = 2n ⎯⎯⎯→ a100 = 2 ⋅ 100 = 200

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … → Cada número es el cuadrado del lugar que ocupa. Término general ⎯→ an = n2, siendo n el lugar que ocupa el término en la sucesión. n = 10

n = 100

→ a10 = 102 = 100 an = n2 ⎯⎯⎯

an = n2 ⎯⎯⎯→ a100 = 1002 = 10.000

1.3 Sucesiones recurrentes Una sucesión es recurrente cuando cada término, después de uno dado, se obtiene a partir de los anteriores. EJEMPLO

En una sucesión, el término anterior al término general, an, es an-1, y el posterior, an +1.

Encuentra el término general de esta sucesión y calcula a7 y a8.

4

1, 3, 5, 7, 9, 11, … ⎯⎯ → Cada número es el anterior más 2. Término general → an = an−1 + 2 n=7

→ a7 = a6 + 2 = 11 + 2 = 13 an = an−1 + 2 ⎯⎯⎯ n=8

⎯⎯⎯ → a8 = a7 + 2 = 13 + 2 = 15

EJERCICIOS PRACTICA

4

Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión con término general: a) an = n 2 − 3n + 2

5

APLICA

b) an =

n+ 4 2n + 1

Obtén los cuatro primeros términos de cada sucesión. a) a1 = −1, an = n + an−1 b) a1 = 2, an = 2a n2 −1 − 3n

6

Invéntate el término general de una sucesión y calcula el valor de los términos 13, 25 y 64.

REFLEXIONA

7

Escribe el término general de estas sucesiones. a) b) c) d)

2, 3, 4, 5, 6, … 3, 6, 9, 12, 15, … 5, 10, 15, 20, 25, … 8, 11, 14, 17, 20, …

135

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2

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo d, llamado diferencia de la progresión. EJEMPLO 5

Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas. a) 5, 8, 11, 14, 17, 20, … 17,

20, … +3

F

14, +3

F

11,

F

8, +3

F

5,

+3

F

+3

Es una progresión aritmética con diferencia d = 3.

• La sucesión de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, …, es una progresión aritmética con d = 1.

b) 16, 11, 6, 1, −4, −9, … 1, +(−5)

−4,

−9, … +(−5)

F

6,

F

F

11, +(−5)

F

16,

• La sucesión 0, -1, -2, -3, …, es una progresión aritmética con d = -1.

+(−5)

F

+(−5)

Es una progresión aritmética con diferencia d = −5.

En toda progresión aritmética se cumple que: a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = … = d EJEMPLO 6

Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas. a) 4, 8, 12, 16, 20, … a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4 = … = d 8 − 4 = 12 − 8 = 16 − 12 = 20 − 16 = … = 4 Como se cumplen las igualdades, es una progresión aritmética con diferencia d = 4. b) 1, 4, 7, 11, 15, … a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4 = … = d 4 − 1 = 7 − 4 ⫽ 11 − 7 → No es una progresión aritmética.

EJERCICIOS PRACTICA

8

Determina si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas. a) b) c) d) e)

136

1, 0, −1, −2, … 4, 5, 6, 7, 8, 9, … 2, 4, 7, 11, 16, … 1, 4, 9, 16, 25, … 11, 10, −1, −2, …

APLICA

9

En una progresión aritmética, a1 = 4,8 y a2 = 5,6. Calcula. a) La diferencia, d.

b) El término a8.

REFLEXIONA

10 En una progresión aritmética, el término a4 = 12

y la diferencia d = −3. Calcula a1 y a8.

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2.1 Término general de una progresión aritmética En una progresión aritmética, cada uno de sus términos es igual al anterior más la diferencia. Es decir: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d … an = a1 + (n – 1)d El término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n − 1)d, siendo a1 el primer término y d la diferencia. EJEMPLO 7

Encuentra el término general de esta progresión aritmética. 3, 5, 7, 9, 11, … • El primer término de la progresión es a1 = 3. a − a1 = d ⎪⎫ • Calculamos la diferencia: 2 ⎬→d=2 5 − 3 = 2 ⎪⎪⎭ Por tanto: an = a1 + (n − 1) ⋅ d F

F

F

an = 3 + (n − 1) ⋅ 2 = 3 + 2n − 2 = 1 + 2n El término general de la progresión es: an = 1 + 2n.

Dos términos de una progresión aritmética están siempre relacionados.

La fórmula an = a1 + (n - 1)d solo es válida si la sucesión es una progresión aritmética.

G

G

G

G

G

G

Nos fijamos, por ejemplo, en a14 y a8: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, … Vemos que si sumamos 6 veces (6 = 14 − 8) la diferencia, d, al término a8 obtenemos a14. Es decir, a14 = a8 + 6d. Dados dos términos, ap y aq, de una progresión aritmética (p < q), se cumple que: aq = ap + (q − p)d

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

11 Halla el término general de estas progresiones

13 En una progresión aritmética, el tercer término

aritméticas. a)

1 3 5 , 1, , 2, , … 2 2 2

es 9 y la diferencia 7. Halla el primer término y el término general. b) 25, 22, 19, 16, …

12 En una progresión aritmética, el primer término

es 5 y la diferencia −2. Determina an.

REFLEXIONA

14 En una progresión aritmética, a6 = 17 y a9 = 23.

Calcula a1 y el término general.

137

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Página 138

2.2 Suma de n términos en una progresión aritmética En una progresión aritmética, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos: a1 + an = a2 + an−1 = a3 + an−2 = … EJEMPLO 8

En la progresión aritmética: 5, 8, 11, 14, 17, 20, … se cumple que: 5,

8,

11,

14,

17,

20

11 + 14 = 25 8 + 17 = 25 5 + 20 = 25

La suma, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an−1 + an, de los n primeros términos de una progresión aritmética, es: (a + a n ) ⋅ n Sn = 1 2 EJEMPLO Como an = a1 + (n - 1)d, la fórmula para calcular la suma se puede poner como:

Sn = a1 · n +

n (n - 1) · d 2

9

Calcula la suma de los 6 primeros términos de la progresión aritmética. 5, 8, 11, 14, 17, 20, … En el ejemplo anterior hemos visto que: a1 + a6 = a2 + a5 = a3 + a4 = 25. Considerando la suma de los 6 primeros términos de la progresión y cambiando el orden: S6 = a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 S6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 Si sumamos ambas expresiones: S6 = a1 + a2 + a3 + + a5 + a4 2S6 = a6

+ a4 + a3

+ a5 + a2

+ a6 + a1

2S6 = (a1 + a6) + (a2 + a5) + (a3 + a4) + (a4 + a3) + (a5 + a2) + (a6 + a1) Como los seis sumandos son iguales a (a1 + a6), tenemos que: (a1 + a6 ) ⋅ 6 (5 + 20) ⋅ 6 = = 75 2 2 En la práctica, para calcular la suma de los términos de una progresión (a1 + an ) ⋅ n aritmética se suele utilizar la fórmula: Sn = . 2 2S6 = (a1 + a6 ) ⋅ 6 → S6 =

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

15 Calcula la suma de los 10 primeros términos de

17 Quiero colocar 7 filas de macetas

la progresión: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, … APLICA

16 Dada la progresión aritmética con an = 10 − 5n,

halla la suma de los 25 primeros términos.

138

de tal manera que en la primera fila pondré 3 macetas, y cada una de las siguientes filas tendrá 3 macetas más que la anterior. ¿Cuántas macetas colocaré en total?

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Progresiones geométricas

3

Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo r, llamado razón de la progresión. En toda progresión geométrica se cumple que:

a2 a a = 3 = 4 = … = r. a1 a2 a3

EJEMPLO 10 Determina si la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … es una progresión geométrica. 8, ⋅2

16,

32, … ⋅2

F

4,

F

⋅2

F

2,

F

1,

⋅2

F

⋅2

2 4 8 16 32 = = = = =2 1 2 4 8 16

Es una progresión geométrica de razón r = 2.

3.1 Término general de una progresión geométrica Dada una progresión geométrica se verifica que: a2 = a1 ⋅ r a3 = a2 ⋅ r = (a1r) ⋅ r = a1r2 a4 = a3 ⋅ r = (a1r2) ⋅ r = a1r3 … an = a1r n−1 El término general de una progresión geométrica es: an = a1 ⋅ r n−1, donde a1 es el primer término y r es la razón.

En una progresión geométrica, un término ap se relaciona con otro aq (p < q) de esta forma: aq = ap · r q-p

EJEMPLO 11 Calcula el término general de la progresión geométrica: 2, −8, 32, −128, … • El primer término de la progresión es a1 = 2. a −8 = −4. • Calculamos la razón: r = 2 = a1 2 a1 = 2, r = −4

Por tanto: an = a1 ⋅ rn−1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ an = 2 ⋅ (−4)n−1

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

18 Determina si son progresiones geométricas.

19 Halla el término general y el término a6.

a) 1, 5, 25, 125, 625, … b) 7, 14, 28, 56, 112, … c) −1, −2, −4, −8, −16, … d) 3, 9, 24, 33, … e) 4, 4, 4, 4, 4, …

a)

2 4 8 , , ,… 3 15 45

b) 3, 3 3 , 9, 9 3 , …

REFLEXIONA

20 En una progresión geométrica, a2 = 2 y a4 =

Calcula an y a5.

1 . 2

139

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Página 140

3.2 Suma de n términos en una progresión geométrica Vamos ahora a calcular una fórmula general para hallar la suma de n términos en una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 + … + an−1 + an Si multiplicamos ambos miembros por la razón r, obtenemos: Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a2 ⋅ r + … + an−1 ⋅ r + an ⋅ r = a2 + a3 + … + an + an ⋅ r 123 123 123 a2

a3

an

Restando ambas expresiones: Sn ⋅ r = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an + an ⋅ r − Sn = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an ⋅ r Sn ⋅ r − Sn = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an + an ⋅ r Sacando factor común Sn y despejando: Sn(r – 1) = −a1 + an ⋅ r = an ⋅ r − a1 Sn =

Si en la calculadora tecleamos: 2 ×

×

3 =

=

=

( a r n −1 )r − a1 a n r − a1 a ( r n − 1) = 1 = 1 r −1 r −1 r −1

…

pulsando la tecla = obtenemos nuevos términos de la progresión geométrica de r = 2 y a 1 = 3.

La suma, Sn, de n términos de una progresión geométrica de razón r, es: Sn =

a1 (r n − 1) r −1

EJEMPLO 12 Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica: −1, −2, −4, −8, −16, … • El primer término de la progresión es a1 = −1. a −2 = 2. • Calculamos la razón: r = 2 = a1 −1 Por tanto: Sn =

a1(r n − 1) a1 = −1, r = 2, n = 10 (−1) ⋅ (210 − 1) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ S10 = r −1 2 −1 =

(−1) ⋅ (1.024 − 1) = −1.023 1

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

21 Dada la sucesión:

2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; … a) Comprueba que es una progresión geométrica. Halla su razón. b) Calcula su término general. c) Halla la suma de sus 10 primeros términos.

140

22 Halla la suma de los 7 primeros términos

de la progresión. 3, 3 3 , 9, 9 3 , … REFLEXIONA

23 Una ameba se reproduce por bipartición cada

5 minutos. ¿Cuántas habrá al cabo de 10 horas?

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3.3 Suma de todos los términos de una progresión geométrica con r < 1 Hay progresiones geométricas en las que la razón, r, se encuentra entre los valores −1 < r < 1. En ese caso podemos calcular la suma de sus infinitos términos. Vamos a ver qué ocurre con la fórmula de la suma de n términos de una a1 ( r n − 1) S = progresión geométrica, n , cuando ⏐r⏐ < 1. r −1 Al ser −1 < r < 1, a medida que el número de términos, n, que tomamos en la suma crece, el valor rn es menor. Por tanto: • rn − 1 sería prácticamente igual a −1. • r − 1 sería un valor negativo. Así, la suma de los infinitos términos de la sucesión se podría poner como: a ⋅ (−1) −a1 a1 S= 1 = = r −1 r −1 1− r La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con razón −1 < r < 1, es: a1 S= 1 −r EJEMPLO 13 Calcula la suma de todos los términos de la progresión geométrica. 1 1 1 1 1, , , , ,… 10 100 1.000 10.000

0,12 = 0,01 0,13 = 0,001 0,14 = 0,0001 … 0,110 = 0,0000000001 Con un exponente grande, el número es prácticamente 0.

• El primer término de la progresión es a1 = 1. 1 a2 1 10 = = = 0,1 < 1. • Calculamos la razón: r = a1 1 10 Por tanto: S =


a1 a1 = 1; r = 0,1 1 = 1,1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ S = 1− r 1 − 0,1

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

24 Calcula el término general y la suma

25 Halla, si es posible, la suma de los infinitos

de los infinitos términos de las siguientes progresiones geométricas.

términos de estas progresiones. a)

1 a) a1 = 5 y r = 2 b) a1 = 2 y r =

1 10

2 4 8 , , ,… 3 15 45

b) 3, 3 3 , 9, 9 3 , …

REFLEXIONA

26 En una progresión geométrica, S = 20 y a1 = 5.

¿Cuánto vale la razón?

141

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3.4 Producto de n términos en una progresión geométrica En una progresión geométrica, el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos. Es decir: (a1 ⋅ an) = (a2 ⋅ an−1) = (a3 ⋅ an−2) = … EJEMPLO 14 En la progresión geométrica: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … se cumple que: 1,

2,

4,

8,

16,

32

4 ⋅ 8 = 32 2 ⋅ 16 = 32 1 ⋅ 32 = 32

Así, para calcular el producto de n términos podemos hacer: Pn = a1 ⋅ a2 ⋅ … ⋅ an−1 ⋅ an Pn = an ⋅ an−1 ⋅ … ⋅ a2 ⋅ a1 y multiplicando ambas expresiones tenemos: P 2n = (a1 ⋅ an) ⋅ (a2 ⋅ an−1) ⋅ … ⋅ (an−1 ⋅ a2) ⋅ (an ⋅ a1) → P 2n = (a1 ⋅ an)n 14243 14243 123 (a1 ⋅ an)

Otra fórmula para calcular el producto de n términos de una progresión geométrica de razón r, es:

Pn = a n1 · r

n ( n - 1) 2

(a1 ⋅ an)

Sacando la raíz cuadrada obtenemos: Pn =

(a1 ⋅ an)

( a1 ⋅ a n ) n .

El producto, Pn = a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ … ⋅ an−1 ⋅ an, de los n primeros términos de una progresión geométrica, es: Pn = (a1 ⋅ a n )n EJEMPLO 15 Halla el producto de los 10 primeros términos de una progresión geométrica de razón r = 2 y cuyo primer término es a1 = 2. • Hallamos a10:

n = 10, a1 = 2, r = 2

⎯⎯ → a10 = 2 ⋅ (2)10−1 = 2 ⋅ (2)9 = 210 an = a1 ⋅ r (n−1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ • Calculamos el producto: Pn =

n = 10, a = 2, a = 210

1 10 (a1 ⋅ an )n ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯→ P10 =

=

(2 ⋅ 210 )10 =

(211)10 =

2110 = 255

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

27 Halla el producto de los 4 primeros

29 Dada una progresión geométrica cuyo término

términos de una progresión geométrica con a1 = 3 y r = 5.

general es an = 4 ⋅ 2n−1, calcula P6. REFLEXIONA

28 En una progresión geométrica, a4 = 12 y r = 3.

Halla el producto de los 10 primeros términos.

142

30 Halla la razón de una progresión geométrica

con a1 = 1 y P5 = 1.024.

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Interés compuesto

Si invertimos un capital durante un período de tiempo, t, a un rédito, r %, y, al finalizar cada período de inversión, no se retiran los intereses, sino que se añaden al capital, es una situación de interés compuesto. EJEMPLO 16 Depositamos 6.000 € al 5% de interés compuesto anual. ¿Qué cantidad de dinero tendré al cabo de 3 años? Al iniciar el depósito se dispone de un capital inicial de 6.000 €. Capitalinicial = 6.000 € Al finalizar el primer año recibiremos el 5 % del capital invertido. ⎛ 5 5 ⎞⎟ ⎟⎟ = 6.300 € ⋅ 6.000 = 6.000⎜⎜1 + Capital1.er año = 6.000 + ⎜ ⎝ 100 100 ⎟⎠ Al finalizar el segundo recibiremos otro 5 % de lo que teníamos al final del primero. 2 ⎛ ⎛ 5 ⎞⎟ 5 5 ⎞⎟ ⎟⎟ = 6.0000⎜⎜1 + ⎟⎟ ⋅ 6.300 = 6.300⎜⎜1 + Capital2.º año = 6.300 + ⎜⎝ ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 100 100 ⎟⎠ Así, al finalizar el tercer año tendremos: 3 ⎛ 5 ⎞⎟ ⎟⎟ Capital3.er año = 6.000⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎠⎟

⎛ r ⎞⎟ ⎟⎟. Es una progresión geométrica con a1 = Capitalinicial y razón = ⎜⎜⎜1 + ⎝ 100 ⎠

El capital final, Cf, obtenido al invertir a un rédito, r %, un capital, C, durante un tiempo, t, a interés compuesto, es: ⎛ r ⎞⎟ C f = C ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎟ (tiempo en años) ⎝ 100 ⎟⎠ t

Para aplicar esta fórmula a tiempos dados en meses y días, basta con sustituir r por el rédito mensual o diario, y t por el número de meses o días de inversión.

EJEMPLO 17 Ingresamos 18.000 € en un depósito a 5 años con un interés compuesto del 3,5 % anual. ¿Cuánto dinero recibiremos al concluir la inversión? 5 ⎛ ⎛ r ⎞⎟ C = 18.000; r = 3,5; t = 5 3,5 ⎞⎟ ⎟⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Cf = 18.000 ⋅ ⎜⎜1 + ⎟⎟ = 21.378 € Cf = C ⋅ ⎜⎜⎜1 + ⎜⎝ ⎝ 100 ⎠ 100 ⎟⎠ t

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

31 Calcula el capital obtenido invirtiendo 200 €

33 Obtén el capital que, con un interés compuesto

al 2 % anual durante 10 años. 32 Halla el capital que se obtendría al invertir

50 céntimos de euro al 5 % anual durante un siglo. ¿Cuál sería el capital si el rédito fuera del 1%?

del 1 % mensual, produce 3.000 € en 3 años. REFLEXIONA

34 Determina el capital que, con un interés

compuesto del 10 % anual, produce 133,10 € en 3 años.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Progresión geométrica

Término general

−2

⎛ r ⎞⎟ ⎟⎟ Cf = C ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠ t → Tiempo en años t

0, −2, … → Término general an = a1 + (n − 1)d

F

F

2,

32, … → Término general an = a1rn−1

−16,

⋅ (−2)

F

4, −2

F

6,

−2

⋅ (−2)

8,

Interés compuesto

Progresión aritmética −2

−4, F

F

2,

F

F

⋅ (−2)

F

Términos

⋅ (−2)

2, { 4, { 6, { 8, 10, { { …, 2n { a1 a2 a3 a4 a5 an

F

Sucesión

HAZLO DE ESTA MANERA

1. DETERMINAR SI UNA SUCESIÓN ES

UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA O GEOMÉTRICA Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas. a) 3, 9, 15, 21, … b) 3, 9, 27, 81, … c) 3, 9, 15, 27, … PRIMERO.

Es una progresión aritmética si: a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = …

SEGUNDO. Es geométrica si

a) 9 − 3 = 15 − 9 = 21 − 15 = 6. Es aritmética.

b)

a2 a a = 3 = 4 =… a1 a2 a3

9 27 81 = = = 3. Es geométrica. 3 9 27

TERCERO. Si no se cumple ninguna de las dos condiciones, no es una progresión.

c) No es una progresión.

2. CALCULAR LA DIFERENCIA DE

UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Halla la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas. a) 3, 9, 15, 21, … b) a3 = 2 y a5 = 6

Halla la razón de las siguientes progresiones geométricas. a) 3, 9, 27, 81, … b) a3 = 2 y a5 = 6

PRIMERO.

Determinamos dos términos. b) a3 = 2, a5 = 6 a) a1 = 3, a2 = 9

Determinamos dos términos. b) a3 = 2, a5 = 6 a) a1 = 3, a2 = 9

SEGUNDO.

SEGUNDO.

• Si los términos son consecutivos, su resta es la diferencia de la progresión. a) a2 − a1 = d ⎪⎫ ⎬→d=6 9 − 3 = 6 ⎪⎪⎭

• Si los términos son consecutivos, su cociente es la razón de la progresión. a 9 a) 2 = r → = 3 a1 3 • Si no lo son, aplicamos la fórmula aq = ap ⋅ r q−p.

• Si no lo son, aplicamos: aq = ap + (q − p)d. p = 3, q = 5

⎯ → a5 = a3 + (5 − 3)d b) aq = ap + (q − p)d ⎯⎯⎯⎯ 4 6 = 2 + 2d → d = = 2 2

144

3. CALCULAR LA RAZÓN DE

PRIMERO.

p = 3, q = 5

⎯→ a5 = a3 ⋅ r 5−3 b) aq = ap ⋅ r q−p ⎯⎯⎯⎯ 6 6 = 2 ⋅ r2 → r2 = =3→r= 2

3

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4. DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Determina el término general de las progresiones aritméticas. c) d = 4 y a4 = 5 a) 3, 9, 15, 21, … b) a3 = 2 y a5 = 6 Calculamos d. a) d = a2 − a1 → d = 9 − 3 = 6 PRIMERO.

b) a5 = a3 + (5 − 3)d → 6 = 2 + 2d → d = 2

c) d = 4

SEGUNDO. Calculamos a1. n=4 c) an = a1 + (n − 1)d ⎯⎯→ 5 = a1 + 3 ⋅ 4 → a1 = −7 a) a1 = 3 n=3 b) an = a1 + (n − 1)d ⎯⎯→ 2 = a1 + 2 ⋅ 2 → a1 = −2 TERCERO. El término general viene expresado por an =

a1 + (n − 1)d. c) an = −7 + (n − 1) ⋅ 4 = −11 + 4n

a) an = 3 + (n − 1) ⋅ 6 = −3 + 6n b) an = −2 + (n − 1) ⋅ 2 = −4 + 2n

5. DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Determina el término general de estas progresiones geométricas. c) r = 4 y a4 = 128 a) 3, 9, 27, 81, … b) a3 = 9 y a5 = 81 Calculamos r. a2 9 →r= =3 a) r = a1 3 PRIMERO.

SEGUNDO. Calculamos a1.

a) a1 = 3

b) a5 = a3 ⋅ r 5−3 → 81 = 9 ⋅ r 2 → r = n=3

c) an = a1 ⋅ rn−1 ⎯⎯→ 128 = a1 ⋅ 43 → a1 = 2

TERCERO. El término general viene expresado por an =

b) an = 1 ⋅ 3 n−1 = 3n−1

c) r = 4 n=4

b) an = a1 ⋅ rn−1 ⎯⎯→ 9 = a1 ⋅ 3 2 → a1 = 1

a) an = 3 ⋅ 3n−1 = 3n

9 =3

a1 ⋅ rn−1. c) an = 2 ⋅ 4n−1 = 2 ⋅ 22n−2 = 22n−1

Y AHORA… PRACTICA Determinar si una sucesión es una progresión aritmética o geométrica 1. Di si la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, … es: a) Una progresión aritmética. b) Una progresión geométrica. c) Ninguna de las anteriores.

Calcular la razón de una progresión geométrica 3. La razón de la progresión 4, −16, 64, −256, … es: a) r = 2

b) r = −2

c) r = −4

d) r = 4

Determinar el término general de una progresión aritmética 4. El término general de 3, 7, 11, … es:

Calcular la diferencia de una progresión aritmética 2. La diferencia de la progresión aritmética con a2 = 21 y a4 = 43 es: a) d = 7 b) d = 9

c) d = 11 d) d = 14

a) an = n + 4

b) an = 4n + 4

c) an = 4n − 1

Determinar el término general de una progresión geométrica 5. El término general de 3, 6, 12, … es: a) an = 3n

b) an = 3 + (n − 1)

c) an = 3 ⋅ 2n−1

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Actividades SUCESIONES

HAZLO ASÍ

35. ● Escribe los siguientes términos de estas sucesiones. a) b) c) d)

41. Halla el término general de la siguiente sucesión. 4 9 16 25 , , , ,… 1 3 5 7

5, 6, 7, 8, 9, … 30, 20, 10, 0, −10, … 7, 14, 21, 28, 35, … 1, 5, 25, 125, …

¿Qué criterio de formación sigue cada una de ellas? 36. ●● Dada la sucesión: 1, 8, 27, 64, … a) ¿Cuál es su sexto término? b) ¿Y su criterio de formación? 37. ●● La sucesión 1, 4, 9, 16, 25, … tiene por término general an = n 2. Obtén el término general de las sucesiones. a) 2, 8, 18, 32, 50, … b) 3, 6, 11, 18, 27, …

c) 4, 9, 16, 25, … d) 16, 25, 36, 49, …

38. ●● La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … tiene por término general an = 2n. Determina el término general de las sucesiones. a) −1, 1, 3, 5, 7, … b) 6, 8, 10, 12, …

c) −2, −4, −6, −8, … d) 6, 12, 18, 24, 30, …

39. ● Halla los cinco primeros términos de la sucesión cuyo término general es: n ⎛ 1 ⎞⎟ −1 n ⎜ a) an = 2 e) an = 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠ b) an = (−3)n+2 2 f) an = n + 3n − 2 c) an = 5 − 3n n+ 3 g) an = d) an = 2 + 4(n + 1) n2 40. ● Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones. a) El primer término es 5 y cada término se obtiene sumando 2 al anterior. b) El primer término es 2 y cada uno de los siguientes se obtiene multiplicando 1 el anterior por . 2 c) El primer término es 3, el segundo 4 y los siguientes son la suma de los dos anteriores. d) El primer término es 8 y los siguientes son cada uno la mitad del anterior.

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¿CÓMO SE DETERMINA EL TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES DE FRACCIONES?

PRIMERO. Se busca el criterio de formación de los numeradores y se determina su término general.

4, 9, 16, 25, … ⎯⎯ → El primer término es el cuadrado de 2. El segundo es el cuadrado de 3. El tercero, el cuadrado de 4… Término general → (n + 1)2 SEGUNDO. Se busca el criterio de formación de los

denominadores y se determina su término general. 1, 3, 5, 7, … ⎯⎯⎯→ Sucesión de números impares. Término general → 2n − 1 TERCERO. El término general de la sucesión será el cociente entre los dos términos generales. (n + 1)2 Término general → 2n − 1

42. ●● La sucesión 1, 2, 3, 4, 5, … tiene por término general an = n. La sucesión 2, 4, 8, 16, … tiene por término general an = 2n. Halla el término general de estas sucesiones. 1 , 2 5 b) 4, , 2 a) 1,

1 , 3 6 , 3

1 ,… 4 7 ,… 4

1 , 2 1 d) , 2 c)

1 , 4 3 , 4

1 , 8 7 , 8

1 ,… 16 15 ,… 16

43. ● Obtén los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones recurrentes. a) a1 = 1, a2 = 3, an = an−2 − an−1 bn−1 b) b1 = 2, b2 = 4, bn = bn−2 c) c1 = −1, c2 = 0, c3 = 1, cn = cn−1 + cn−2 + cn−3 d) d1 = 2, dn = dn−1 + n 44. ●● Halla la regla de formación de estas sucesiones recurrentes. a) 3, 4, 7, 11, 18, 29, … 1 1 b) 1, 3, 3, 1, , , 1, … 3 3

c) 1, 2, 3, 6, 11, 20, … d) −5, 1, 6, 5, −1, −6, …

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS 45. ● Halla la diferencia y el término general de estas progresiones aritméticas. c) 7, 2, −3, −8, …

a) 10, 7, 4, 1, … b)

2, 2 2, 3 2, 4 2, …

d) 16, 8, 0, −8, …

46. ● Con los datos de las siguientes progresiones aritméticas: a) b) c) d)

a1 = 13 y a2 = 5, calcula d, a8 y an. b1 = 4,5 y b2 = 6, calcula d, b10 y bn. c2 = 13 y d = −5, calcula c1, c8 y cn. h1 = 8 y h3 = 3, calcula d, h10 y hn.

57. Interpola tres términos entre 1 y 9 para que formen una progresión aritmética.

5 4 2 , , 1, , 0, … : 3 3 3 a) Comprueba que es una progresión aritmética. b) Halla su término general.

49. ● Sabiendo que los términos de una progresión aritmética se pueden obtener con la calculadora, mediante el sumando constante: =

=

=

=

…

obtén los 10 primeros términos de las progresiones aritméticas. a) a1 = 8 y d = 5 b) b1 = 3 y d = −5

c) c1 = −10 y d = 3 d) h1 = −12 y d = −8

50. ● En una progresión aritmética, a10 = 32 y d = 5. Averigua el valor del término a25. 51. ●● En una progresión aritmética, a3 = a) Obtén a1 y d. b) Determina el término general.

Se calcula a1 y d. La progresión que se quiere construir será de la forma: 1, a2, a3, a4, 9 Por tanto: a1 = 1 y a5 = 9. Como tiene que ser una progresión aritmética:

PRIMERO.

48. ● Dada la sucesión

a1 =

56. ●●● En una progresión aritmética de 8 términos, el primero y el último suman 21. El tercer término es 6. Escribe la progresión.

¿CÓMO SE INTERPOLAN TÉRMINOS QUE FORMEN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA?

a) ¿Es una progresión aritmética? b) Halla su término general. c) Calcula el término 30.

+

55. ●●● Halla el término general de una progresión aritmética en la que a4 = 13 y a2 + a11 = 41.

HAZLO ASÍ

47. ● Considera la sucesión 2, 4, 6, 8, 10, ...

d +

54. ●● Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas. 1 3 a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85, … c) , 1, , 2, … 2 2 1 3 5 7 b) 5, 2, −1, −4, −7, … d) , , , , … a a a a

1 5 y a4 = . 2 6

52. ●● En una progresión aritmética, a8 = 12 y a12 = 32. Calcula la diferencia y el término general. 53. ●●● En una progresión aritmética, a1 = 7 y d = 6. Averigua el lugar que ocupa un término que vale 79.

n=5

an = a1 + (n − 1)d ⎯⎯→ 9 = 1 + (5 − 1)d 8 =2 4 SEGUNDO. Se hallan los términos intermedios. a2 = 1 + (2 − 1) ⋅ 2 = 3 a3 = 1 + (3 − 1) ⋅ 2 = 5 a4 = 1 + (4 − 1) ⋅ 2 = 7 Los tres términos que hay que interpolar serán 3, 5 y 7. 9 = 1 + 4d → d =

58. ●● Interpola 6 términos entre 1 y 3 para que formen una progresión aritmética. 7 59. ●● Interpola 5 términos entre los números − 2 7 y para que formen una progresión aritmética. 2 60. ●●● Sabiendo que estas sucesiones son progresiones aritméticas, completa los términos que faltan. 1 5 1 1 a) 씲, , 씲, , 씲, 씲 c) 씲, , 씲, 씲, , 씲 2 6 4 2 5 8 b) 씲; 1,5; 씲; 2,5; 씲 d) 씲, 씲, 씲, , 씲, 3 3

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61. ● Sea an = 4n + 1 el término general de una progresión aritmética. Calcula a25 y la suma de los 20 primeros términos. 62. ● En una progresión aritmética, a8 = 40 y d = 7. Halla el primer término y la suma de los 10 primeros términos. 63. ● Calcula la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética si el tercer término es 24 y el décimo es 66. 64. ● Halla la suma de los 100 primeros números pares. 65. ●● Calcula la suma de los múltiplos de 3 comprendidos entre 200 y 301. 66. ● Halla la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética en la que a1 = 7 y a4 = 40. 67. ●●● Halla la suma de los n primeros números naturales. 68. ●●● ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 suman 2.916?

4 7 + 49

5

43 + 45 +

27 + 29

51 +

17 +

+

+

1+

+ 25

33 + 35

2.916

+ 31

7

11 + 13 + 15 9+ + + 9+4 +3 37 = 3…

+

1+3+5+

19 + 21 + 23 +

69. ●● Calcula la suma y el último término de una progresión aritmética de diferencia 4, sabiendo que tiene 12 términos y el primero vale 7. 70. ●●● Halla la suma de los términos de una progresión aritmética limitada cuyo primer término es 4, el último 40 y la diferencia 3. 71. ●●● La suma de los 5 primeros términos de una progresión aritmética es 2,5. La suma de los 8 primeros términos es 5,2. Escribe la progresión.

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 72. ● Calcula la diferencia o la razón de las siguientes progresiones y halla su término general. a) 3, 6, 12, 24, … b) 10, 7, 4, 1, … c) 1, 1, 1, 1, …

d) 16, 8, 4, 2, 1, … e) 16, 8, 0, −8, … f) 3, 9, 15, 21, …

73. ● En una progresión geométrica, a1 = 4 y a2 = 3. Obtén el término general y a20. 74. ● En una progresión geométrica, a1 = 6 y a3 = 30. Halla a4 y el término general. 75. ● Calcula. a) El término general de una progresión geométrica en la que a1 = 3 y r = 5. b) El término 7. 2 2 2 2 , , , ,… 3 9 27 81 a) Comprueba que es una progresión geométrica. b) Calcula el término 10.

76. ● Dada la sucesión

77. ●● Halla los términos que faltan en los huecos de las siguientes progresiones geométricas. a) 1; 0,1; 씲; 0,001; 씲 1 1 1 b) 씲, , , 씲, ,씲 2 6 54 1 1 c) 씲, , 씲, ,씲 3 12 3 81 d) 씲, , 씲, 씲, 2 4 78. ● El término general de la progresión 3, 6, 12, 24, ... es: a) b) c) d)

an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 an = 3 ⋅ 3n−1 an = 3 ⋅ 2n−1 No se puede calcular.

79. ● En una progresión geométrica de términos positivos, a2 = 60 y a4 = 2.400. Obtén: a) Los 5 primeros términos. b) El término general. c) Los 10 primeros términos. 80. ● En una progresión geométrica, a2 = 10 y a5 = 10.000. Calcula r y los 10 primeros términos de la progresión. ¿Cuál es el término general?

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81. ●● Cierto término de una progresión geométrica vale 3.720.087. Si el primer término es 7 y la razón es 3, ¿de qué término estamos hablando? 82. ●●● Dos términos consecutivos de una progresión geométrica valen 3 y 4. 27 . Averigua qué lugar ocupan si a1 = 16 83. ● En una progresión geométrica, el primer término es 5 y la razón es 3. Calcula la suma de los 8 primeros términos. 84. ● En una progresión geométrica, el segundo 1 término es 2 y el cuarto es . Halla la suma 2 de los 6 primeros términos.

86. ● Dada una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 0,1, calcula. a) La suma de los 6 primeros términos. b) La suma de los infinitos términos. 87. ● En una progresión geométrica, a1 = −1 y r = 7. Calcula. a) La suma de los 10 primeros términos. b) La suma de los infinitos términos. 88. ● Halla la suma de los infinitos términos de 27 la progresión 16, 12, 9, ,… 4 89. ●● Dadas las siguientes sucesiones, calcula, en los casos en que sea posible, la suma de sus infinitos términos.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA? 85. Calcula la suma de los infinitos términos de estas progresiones geométricas. a) a1 = 3 y r = 2 b) b1 = −1 y r = 2

1 3 1 d) d1 = y r = −2 2 c) c1 = −2 y r =

Se calcula la razón de la progresión. SEGUNDO. Se analizan los distintos casos. PRIMERO.

• Si r > 1, la suma siempre es +⬁ o −⬁. a) r = 2 > 1. La sucesión es: 3, 6, 12, 24, 48, … La suma de todos los términos es +⬁.

b) r = 2 > 1. La sucesión es: −1, −2, −4, −8, −16, −32, −64, … La suma de todos los términos es −⬁.

a • Si −1< r < 1, se aplica la fórmula S = 1 . 1− r 1 c) −1 < r = < 1. Se aplica la fórmula: 3 c −2 −2 = = −3 S= 1 = 1 2 1− r 1− 3 3 • Si r < −1, no se puede hallar. d) r = −2 < −1. La sucesión es: 1 , −1, 2, −4, 8, −16, 32, … 2 No se puede calcular la suma de los infinitos términos.

90. ●●● La suma de los infinitos términos de una 15 1 progresión geométrica es y la razón es . 4 5 Halla los 4 primeros términos de la sucesión. 91. ●● El sexto término de una progresión geométrica vale 18 y el cuarto es 6. a) Obtén el término general. b) Halla el producto de los 10 primeros términos. 92. ●● El octavo término de una progresión geométrica es 1.458 y la razón es 3. a) Obtén el término general. b) Calcula el producto de los 8 primeros términos de la progresión. 93. ●● El quinto término de una progresión geométrica es 160 y el segundo es 20. a) Halla el séptimo término. b) Obtén el producto de los 7 primeros términos de esta progresión.

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PROBLEMAS CON PROGRESIONES 94. ●● El número de usuarios de un polideportivo los fines de semana comenzó siendo de 150 personas y aumentó en 30 personas cada fin de semana a partir de entonces. a) ¿Cuántos usuarios hubo en la semana 12? b) ¿Y en las 10 primeras semanas? 95. ●● Teresa ha comprado un caballo y quiere herrarlo. Para ello tienen que ponerle 20 clavos, el primero de los cuales cuesta 1 céntimo de euro y cada uno de los restantes vale 1 céntimo más que el anterior. ¿Cuánto paga en total por herrarlo?

96. ●● ¿Cuánto pagaría Teresa si el precio del primer clavo fuese el mismo, pero cada uno de los siguientes costara el doble que el anterior? 97. ●● En un aparcamiento cobran 0,25 € por la primera hora de estacionamiento y, por cada hora siguiente, el doble de lo cobrado en la hora anterior. ¿Cuánto pagaremos por estar aparcados durante 8 horas?

101. ●● Halla la profundidad de un pozo si por la excavación del primer metro se han pagado 20 €, y por la de cada uno de los restantes, se pagan 5 € más que en el anterior, siendo el coste total de 1.350 €. 102. ●● Una rana está en el borde de una charca circular de 7 metros de radio y quiere llegar al centro saltando. Da un primer salto de 3 metros y, después, avanza en cada uno la mitad que en el salto anterior. ¿Logrará llegar al centro?

103. ●● Durante los cuatro primeros meses de vida, un bebé ha ido ganando cada mes un 20 % de peso. Si al nacer pesaba 2.900 gramos, ¿cuál ha sido su peso al final del cuarto mes? 104. ●● Una escalera tiene todos los peldaños iguales menos el primero, que mide 20 cm. Al subir 100 escalones, la altura ascendida es de 1.505 cm. ¿Qué altura tiene cada peldaño? 105. ●●● Una bióloga está estudiando la evolución de una población de moscas.

98. ●● Un árbol de rápido crecimiento multiplica su altura por 1,2 cada año. Si al comenzar el año medía 0,75 cm, ¿qué altura tendrá dentro de 10 años? ¿Cuánto crecerá en esos 10 años? 99. ●● Dejamos caer una pelota desde una altura de 1 metro, y en cada uno de los botes que da sube a una altura igual a la mitad del bote anterior. ¿A qué altura llegará en el quinto bote? 100. ●● Lanzamos un balón que da botes a lo largo de un pasillo, como se ve en la figura.

Si al séptimo bote choca con la pared y se para, ¿qué distancia habrá recorrido?

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a) Si el número inicial de moscas es de 50 y, cada 10 días, la población de moscas se cuadruplica, halla el término general de la progresión formada por el número de moscas cada 10 días. b) ¿Cuántas moscas habrá a los 50 días? c) Si el precio del alimento para las moscas el primer día es de 1 €, y cada día aumenta 2 céntimos más, halla el término general de la progresión. d) Determina el valor del alimento el día 20. e) Calcula el valor del alimento en los 40 primeros días.

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106. ●● Se depositan 5.000 € al 4 % anual el 31 de diciembre en una empresa financiera. Si no retiramos el dinero durante 6 años, ¿qué capital tendremos al finalizar cada año?

110. ●●● Rosa recibe una gratificación al principio de cada trimestre de 1.000 €. Si el dinero lo deposita en una entidad bancaria al 4 % de interés compuesto, ¿cuánto tendrá al acabar un año? 111. ●●● En un examen las preguntas estaban ordenadas según su dificultad. La primera valía 2 puntos y cada una de las restantes valía 3 puntos más que la anterior. Si en total cuentan 40 puntos, ¿cuántas preguntas tenía el examen?

107. ●● Calcula el capital que, invertido a un interés compuesto del 5%, produce en 4 años un capital final de 1.500 €. 108. ●● Si un capital de 5.000 € se convierte en 6.000 € en una situación de interés compuesto al cabo de 2 años, ¿cuál es el interés al que ha estado invertido el capital inicial?

HAZLO ASÍ

INVESTIGA ¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA DE INTERÉS COMPUESTO CON AUMENTOS DE CAPITAL? 109. Una familia hace un plan de ahorros durante 4 años ingresando, al principio de cada año, 3.000 € a un 5 % anual de interés compuesto. ¿Cuánto dinero obtendrá al finalizar el plan?

112. ●● ¿Puede ser el número 0 el primer término de una progresión geométrica? ¿Y de una progresión aritmética?

PRIMERO.

113. ●●● Consideramos una progresión geométrica con a1 ⫽ 0 y r ⫽ 0, y una progresión aritmética con a1 = 0. Sumando, término a término, estas dos progresiones obtenemos la sucesión: 1, 1, 2, … ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos?

– El segundo año ingresa 3.000 €, que permanecerán 3 años en el banco, obteniendo: 3.000 ⋅ 1,053 €

114. ●●● La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética (n > 1) es 153 y la diferencia de la progresión es 2. Si a1 es un número entero, ¿qué valores puede tomar n?

– El tercer año ingresa 3.000 €, que permanecerán 2 años en el banco, obteniendo: 3.000 ⋅ 1,052 € – El cuarto año ingresa 3.000 €, que permanecerán 1 año en el banco, obteniendo: 3.000 ⋅ 1,05 € SEGUNDO. Se suman las cantidades obtenidas.

3.000 ⋅ 1,05 + 3.000 ⋅ 1,052 + 3.000 ⋅ 1,053 + 3.000 ⋅ 1,054 Así, se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica, en la que: a4 = 3.000 ⋅ 1,054 r = 1,05 a1 = 3.000 ⋅ 1,05 a4 ⋅ r − a1 3.000 ⋅ 1,055 − 3.000 ⋅ 1,05 = = r −1 1,05 − 1 = 13.576,90 €

S =

115. ●●● Expresa ) de forma fraccionaria el número periódico 0,5 ; para ello, escríbelo de la forma: 0,5 + 0,05 + 0,005 + … y halla la suma de la progresión.

)

116. ●●● Obtén la fracción generatriz de 2,8 utilizando la suma de una progresión. 117. ●●● Dividimos el lado AC de un triángulo rectángulo ABC en 8 partes iguales, levantando desde los puntos de división paralelas al lado BC. Si BC mide 10 cm, calcula la suma de las longitudes de los otros C 7 segmentos.

B

10 cm

Se calcula el interés de cada aportación. – El primer año ingresa 3.000 €, que permanecerán 4 años en el banco, obteniendo: 3.000 ⋅ 1,054 €

A

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En la vida cotidiana 118. ●●● A Julián Gasol, dueño de la gasolinera de Villapueblo, se le ha ocurrido una idea para premiar la fidelidad de los camioneros que habitualmente repostan en su gasolinera.

119. ●●● Según un informe de una revista económica, el mejor plan de pensiones existente en el mercado es el de Bancoverde.

PLAN DE PENSIONES BANCOVERDE Durante este mes daremos puntos por cada 100 € de gasolina… La primera vez que se venga a repostar daremos 1 punto por cada 100 €; la segunda, 2 puntos por cada 100 €; la tercera, 3 puntos por cada 100 €; la cuarta, 4… y así sucesivamente.

■ Con las comisiones más bajas del mercado

0 0 0 0,99 ■ Alto potencial de rentabilidad

Comisión de suscripción Comisión de reembolso Comisión de depósito Comisión de gestión

4,45 %

Anual asegurado

Estos puntos se podrán canjear por menús en una cafetería o por un magnífico crucero.

100 PUNTOS Menú gratis 1.000 PUNTOS Un crucero para dos personas.

Mariano tiene un camión de tipo medio con un depósito de 350 litros, y lo suele llenar cada semana. Como el litro de gasoil suele costar algo menos de 1 €, el repostaje semanal le cuesta unos 350 €.

En un plan de pensiones se hacen ingresos periódicos de dinero: mensualmente, trimestralmente, anualmente… El dinero inicial que se ingresa y el que se va añadiendo cada año rentan un 4,45 % anual, y el único problema es que, también anualmente, cobran un 0,99 % de comisión de gestión. Vamos a ver... Si yo ingreso 2.000 €, al año tendré esos 2.000 € más el 4,45 %, a lo que le tengo que restar el 0,99 % del total. El segundo año ingreso otros 2.000 €, que tengo que añadir al dinero del primer año, y me dan el 4,45 % del total pero también tendré que restar, otra vez, el 0,99 %...

Si continúa con el mismo gasto, ¿podría obtener un menú gratis? ¿Y el crucero? Su amigo Antonio, que tiene un camión mayor que el suyo, le dice que cree que no tendrá problemas en conseguir el crucero. Si la frecuencia con la que reposta es una vez por semana, ¿cuántos litros de gasoil tendrá que echar semanalmente?

152

Si tengo 40 años y decido ingresar 2.000 € al año, ¿cuánto dinero recibiré cuando cumpla los 65 años?

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Lugares geométricos. Figuras planas La riqueza de los sabios Aquella fue la gota que colmó el vaso: su propia madre le reprochaba que siendo tan sabio no fuera igualmente rico. La chanza no era nueva pero a Tales de Mileto le dolió como nunca. Se encerró en casa y comenzó a fraguar su plan. Sus estudios de los astros le permitieron predecir un perfecto año para el cultivo. Así que reuniendo todo el dinero del que disponía y aun el que, en secreto, pudo pedir prestado, se hizo con el control de todas las prensas de aceite de Mileto y su vecina Quíos.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Manejar el concepto de lugar geométrico. • Determinar los puntos y rectas notables de un triángulo. • Calcular el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. • Reconocer y calcular el área del círculo y de las figuras circulares. • Aplicar los conocimientos sobre figuras planas para resolver problemas de la vida cotidiana.

Su predicción sobre el clima fue acertada, y sus vecinos se frotaban las manos pensando en los beneficios de la cosecha de aceituna. Pero cuando fueron a moler las aceitunas sus sonrisas se tornaron en muecas, pues hubieron de pagar lo estipulado por Tales. Cumplida su pequeña venganza, y además convertido en rico, vendió las prensas y las tierras y se dedicó a sus estudios de filosofía y matemáticas, no sin antes decirle a sus vecinos: «Tomad para vosotros los consejos que dais a otros». Uno de los postulados de Tales es que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre un ángulo recto. ¿Cómo construirías un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 4 cm?

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1

Lugares geométricos

Se llama lugar geométrico al conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica. EJEMPLOS 1

Determina el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los extremos de un segmento es la misma. Los puntos que cumplen esta condición forman una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Si dos puntos están a igual distancia de una recta, decimos que son equidistantes a la recta.

A

2

B

Es decir, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento es su mediatriz.

Calcula el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los lados de un ángulo es la misma. Los puntos que cumplen esta condición forman una recta que divide al ángulo en dos partes iguales. Es decir, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo es su bisectriz.

A

3

Halla el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto P es r.

r

r

Los puntos que cumplen esta condición forman una circunferencia con centro el punto P y radio r.

P r

EJERCICIOS PRACTICA

1

Dibuja en tu cuaderno el lugar geométrico de los puntos que cumplen estas condiciones. a) Equidistan de los extremos de un segmento de 6 cm de longitud. b) Equidistan de los lados de un ángulo de 90°. c) Están a 2 cm del punto P.

REFLEXIONA

3

Define las rectas rojas como lugar geométrico. a)

d 2

d

APLICA

2

154

Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta.

r

d 2 r

b) P

d

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Rectas y puntos notables en el triángulo

2

2.1 Medianas C

Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

G A

B

Las tres medianas del triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. El baricentro es un punto cuya distancia a cada vértice es el doble que su distancia al lado opuesto.

2.2 Mediatrices Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio. Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. Este punto está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo.

C

Con centro en el circuncentro y radio la distancia del circuncentro a cualquier vértice, se puede dibujar una circunferencia que pasa por los tres vértices: la circunferencia circunscrita al triángulo.

O B

A

Un lugar geométrico también puede ser un punto.

EJEMPLO 4

Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres vértices de este triángulo. C

Los vértices de un triángulo se pueden considerar como los extremos de los segmentos que representan sus lados.

O

A

La intersección de las tres mediatrices de los lados es un punto que equidista de los vértices, es decir, el circuncentro.

B

EJERCICIOS PRACTICA

4

APLICA

Dibuja la circunferencia circunscrita a estos triángulos. a)

b)

C

5 C

Dibuja un triángulo equilátero y determina su baricentro y su circuncentro. ¿Qué observas? ¿Ocurre lo mismo en cualquier triángulo equilátero?

A REFLEXIONA A

B

B

6

Define el baricentro como lugar geométrico.

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2.3 Alturas C La altura divide a un triángulo en dos triángulos rectángulos.

A

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice del triángulo al lado opuesto.

B

H

C

Las tres alturas del triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. A

M

El ortocentro está situado en el interior del triángulo, en los triángulos acutángulos; en uno de sus vértices, en los triángulos rectángulos, y en el exterior, en los triángulos obtusángulos.

B

AMC y MBC son triángulos rectángulos.

2.4 Bisectrices Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en dos partes iguales. Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro. Este punto está a la misma distancia de los tres lados del triángulo.

C

I

Con centro en el incentro y radio la distancia del incentro a cualquier lado, se puede dibujar una circunferencia que pasa por los tres lados del triángulo: la circunferencia inscrita.

B

A EJEMPLO 5

Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres lados de este triángulo. C

Cualquier punto de las bisectrices de los ángulos es equidistante de los dos lados que determinan el ángulo. I

A

B

La intersección de las tres bisectrices es un punto que equidista de los tres lados, es decir, el incentro.

EJERCICIOS PRACTICA

7

APLICA

Dibuja la circunferencia inscrita de estos triángulos. a)

C

b)

8 C

A

A

156

B

Dibuja un triángulo equilátero y determina su ortocentro y su incentro. ¿Qué observas? ¿Ocurre lo mismo en cualquier triángulo equilátero?

REFLEXIONA B

9

Define la circunferencia inscrita como lugar geométrico.

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Teorema de Pitágoras C

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

b

a2 = b2 + c2

a

A

B

c

EJEMPLOS 6

Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden 20 y 21 cm, respectivamente. Aplicando el teorema de Pitágoras: b = 20, c = 21

a2 = b 2 + c 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ a2 = 202 + 212 = 841 Despejando a: a = 7

841 = 29 cm.

Si un cateto de un triángulo rectángulo y la hipotenusa miden 5 y 13 cm, respectivamente, ¿cuánto mide el otro cateto? Aplicando el teorema de Pitágoras: a = 13, b = 5

a2 = b 2 + c 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 132 = 52 + c2 → c2 = 132 − 52 = 144 Despejando c: c = 144 = 12 cm. a)

55 cm

b)

4c m

3c m

Comprueba si los siguientes triángulos son triángulos rectángulos.

48 cm

8

73 cm

6 cm

El triángulo rectángulo es el único triángulo que cumple el teorema de Pitágoras.

Si un triángulo es rectángulo tiene que cumplir el teorema de Pitágoras. La medida mayor siempre corresponde a la hipotenusa. a) Hipotenusa = 73 cm

Catetos = 48 cm y 55 cm

a = 73, b = 48, c = 55

a2 = b2 + c2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 732 = 482 + 552 5.329 = 2.304 + 3.025 → 5.329 = 5.329 Luego el triángulo es rectángulo. b) Hipotenusa = 6 cm

Catetos = 3 cm y 4 cm

a = 6, b = 3, c = 4

a = b + c ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 62 ⫽ 32 + 42 → 36 ⫽ 9 + 16 Luego el triángulo no es rectángulo. 2

2

2

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

10 Calcula el valor de la hipotenusa de un triángulo

12 Calcula el tercer lado de un triángulo rectángulo

rectángulo de catetos 32 cm y 24 cm. 11 Evalúa si las siguientes medidas determinan

los lados de un triángulo rectángulo. a) 8 cm, 5 cm y 4 cm

b) 10 cm, 8 cm y 6 cm

del que conocemos los otros dos: 28 cm y 21 cm. REFLEXIONA

13 Sin operar, razona por qué el triángulo de lados

35, 77 y 85 no puede ser rectángulo.

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

4.1 Cálculo de la altura de un triángulo Podemos hallar la altura de un triángulo equilátero o isósceles, conociendo la longitud de sus lados y utilizando el teorema de Pitágoras. C

En un triángulo escaleno, la altura no corta en el punto medio de la base.

En triángulos equiláteros e isósceles, la altura siempre corta en el punto medio de la base. Los triángulos AMC y MBC son rectángulos con hipotenusa uno de sus lados, y catetos, la altura y la mitad de la base.

h A

l/2 M

l/2

B

EJEMPLO 9

Calcula la altura de este triángulo isósceles.

5 cm

5 cm

h

F

h

5 cm

3 cm

6 cm

52 = 32 + h2 → h2 = 52 − 32 = 16 → h = 16 = 4 cm La altura de este triángulo isósceles mide 4 cm.

4.2 Cálculo de la diagonal de un rectángulo Podemos determinar la longitud de la diagonal de un cuadrado o un rectángulo, conociendo la medida de sus lados. D

C d

A

B

Los triángulos ABC y CDA son rectángulos con hipotenusa la diagonal, y catetos, dos de los lados.

EJEMPLO 10 Halla la longitud de la diagonal de este rectángulo.

d

4 cm

F

6 cm

d

4 cm

6 cm

d = 4 + 6 = 52 → d = 52 = 7,21 cm La diagonal de este rectángulo mide 7,21 cm, aproximadamente. 2

2

2

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

14 Calcula el valor de a en este triángulo equilátero

15 Determina el lado de un cuadrado cuya

y el cuadrado. a)

diagonal mide 8 cm. b)

a

4 cm

a

REFLEXIONA 6 cm

16 Halla el lado de un triángulo equilátero

de altura 28 cm.

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Área de figuras planas

5

5.1 Área de triángulos y cuadriláteros Aquí tienes las fórmulas para calcular el área de estos polígonos. Triángulo

Cuadrado A=

h

b⋅h 2

l

b

A = l ⋅ l = l2

l

Rectángulo

h

Rombo D

d

A=b⋅h

A=

D⋅d 2

b

Romboide

Trapecio b

A=b⋅h

h

A=

h

(B + b) ⋅ h 2

B

b

Podemos calcular el área de cualquier polígono, dividiéndolo en otros polígonos de los que sabemos calcular el área.

EJEMPLO 11 Determina el área de esta figura. 1 cm

2 cm 5 cm

Dividimos la figura en otras más simples cuya área sepamos calcular. Esta figura se puede descomponer en un rectángulo y un triángulo.

A1 = b ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 cm2 ⎫⎪⎪ ⎪ → A = A + A = 10 + 2,5 = 12,5 cm2 ⎬ 1 2 b⋅h 5⋅1 A2 = = = 2,5 cm2 ⎪⎪ ⎪⎭ 2 2 El área de esta figura es 12,5 cm2.

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

17 Calcula el área de los siguientes polígonos.

19 Calcula el área de un rectángulo de 3 cm de alto

a) Un trapecio de bases 12 cm y 8 cm y altura 5 cm. b) Un rombo de diagonales 12 cm y 9 cm. 18 Halla el área 6 cm

de la figura. 4 cm

10 cm 26 cm

2 cm

y 5 cm de diagonal. REFLEXIONA

20 Halla el área de cada uno

de los tres triángulos.

12 cm 10 cm

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5.2 Área de un polígono regular

dio Ra G

Apotema

Lado

Cualquier polígono regular se puede descomponer en tantos triángulos isósceles iguales como número de lados tenga. l⋅a El área de cada triángulo es At = , donde l es el lado del polígono y 2 a es la apotema. Para obtener el área del polígono basta con multiplicar por el número de triángulos en que lo hemos dividido: l⋅a n⋅l⋅a P⋅a ATotal = n ⋅ At = n ⋅ = = 2 2 2 siendo n el número de lados y P el perímetro del polígono regular. El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre 2. P⋅a A= 2 EJEMPLO

La apotema, a, es un segmento perpendicular, trazado desde el centro del polígono regular al punto medio de un lado.

12 Calcula el lado de estos polígonos regulares. a) Un hexágono regular con área 250 cm2 y apotema, 8,5 cm. A= 8,5 cm l

P ⋅ a A = 250, a = 8,5 P ⋅ 8 ,5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 250 = → 2 2 250 ⋅ 2 = 58,82 cm → P= 8 ,5

58,82 = 9,8 cm. 6 b) Un octógono regular con área 29,8 cm2 y apotema 3 cm. El perímetro es la suma de los lados: 58,8 = 6 l → l =

P ⋅ a A = 29,8; a = 3 P⋅3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 29,8 = → 2 2 29,8 ⋅ 2 = 19,87 cm → P= 3 19,87 = 2,48 cm P = 8l → l = 8 A=

l 3 cm

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

21 Halla la apotema de un heptágono regular

24 Halla el área

de lado 6 cm y área 130,8 cm2. 22 Calcula el área de un cuadrado de lado 7 cm,

aplicando la fórmula del área de un polígono regular. 23 Determina el área de un hexágono regular

de lado 6 cm.

160

de la siguiente figura. Observa que el interior es un hexágono regular.

2 cm

2 cm 2 cm

2 cm

REFLEXIONA

25 Determina la altura y el perímetro

de un triángulo equilátero de área 2 dm2.

2 cm

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5.3 Área de figuras circulares Figuras circulares

Fórmula del área

Círculo: superficie plana contenida dentro de una circunferencia.

r

A = πr 2

O

Sector circular: parte de un círculo limitado por dos radios y un arco.

α r

A=

O

B

El perímetro de un círculo es la longitud de la circunferencia que lo contiene: L = 2πr

πr 2α 360

A

Segmento circular: porción de círculo limitado por un arco y su cuerda.

α r O

Corona circular: superficie contenida entre dos circunferencias concéntricas.

r O

A = ASector − ATriángulo OAB

R

A = π(R2 − r 2)

EJEMPLO 13 Halla el área del segmento circular asociado a un sector circular de 120° que tiene 50 cm de radio. Aplicando el teorema de Pitágoras, hallamos la altura del triángulo:

r

h

120° r 2

⎛ r ⎞⎟2 ⎛ 50 ⎞⎟2 r = 50 2 2 ⎜ ⎟ r = ⎜ ⎟ + h ⎯⎯⎯→ 50 = ⎜⎜ ⎟⎟ + h2 → ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2

→ h=

502 − 252 = 43,3 cm

⎪⎫ πr 2α π ⋅ 502 ⋅ 120 = = 2.616,7 cm2 ⎪⎪ ⎪⎪ 360 360 ⎬ → A = AS − AT = 1.534,2 cm2 ⎪ b⋅h 50 ⋅ 43,3 2 ⎪ ATriángulo= = = 1.082,5 cm ⎪ 2 2 ⎭⎪⎪ A Sector=

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

26 Halla el área de un círculo cuyo diámetro

28 Determina el área del segmento circular

mide 6 cm.

asociado a un sector de 120° y radio 20 cm.

27 Dos circunferencias concéntricas tienen

radios de 5 y 3 cm, respectivamente. Calcula el área de la corona que originan. Halla también el área de los círculos que generan.

REFLEXIONA

29 ¿Qué relación hay entre los radios de dos

circunferencias si la corona circular que generan es la mitad del área del círculo mayor?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Área de triángulos y cuadriláteros

Área de un polígono regular d D

h b

l

A=b⋅h

A = l2

D⋅d 2

A=

l

Área de figuras circulares

b

A

h

h

h B

b

A=b⋅h

A=

P⋅a 2

A=

a

r

B R

α

α

r

r

r

O

b

(B + b) ⋅ h 2

A=

b⋅h 2

πr 2α 360

A=

A = πr 2

A = AS − AOAB

A = π(R 2 − r 2)

HAZLO DE ESTA MANERA

1. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS

PARA CALCULAR LA ALTURA DE UN POLÍGONO Halla la altura de estos polígonos.

a)

b)

13 cm

h

17 cm

h

5 cm PRIMERO.

c)

6 cm

h

8 cm

Identificamos el triángulo rectángulo que determina la altura, y sus medidas.

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.

a) 132 = 52 + h2 h2 = 132 − 52 h2 = 144 → h = 144 = 12 cm

b) 62 = 32 + h2 h2 = 62 − 32 h2 = 27 → h =

27 = 5,2 cm

c) 172 = 82 + h2 h2 = 172 − 82 h2 = 225 → h =

225 = 15 cm

2. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO a)

b) cm 20

12 cm

G

24 cm

G

l

b PRIMERO.

a) 202 = 122 + b2

b) l 2 = 122 + 52

b2 = 202 − 122 b2 = 256 → b =

l 2 = 169 256 = 16 cm

l = 169 = 13 cm

G

10,5 cm

l

Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.

162

c)

10 cm

13 cm

Calcula el lado de estos polígonos.

⎛l⎞ ⎛l⎞ c) 132 = 10,52 + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ → ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 58,75 → ⎝2⎠ ⎝2⎠ l → = 58,75 = 7,66 → l = 15,3 cm 2 2

2

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3. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR LA APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR

a)

Calcula la apotema de estos polígonos regulares.

b) 17,5 cm

El triángulo de lados el radio, la apotema y la mitad del lado es rectángulo. Identificamos sus medidas considerando que en el hexágono regular el radio es igual al lado. PRIMERO.

a

r

12 cm

a

6 cm

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.

a) 62 = 32 + a2 → a2 = 62 − 32 a2 = 27 → a =

b) 17,5 2 = 6 2 + a 2 → a 2 = 17,52 − 6 2

27 = 5,2 cm

a2 = 270,25 → a =

270,25 = 16,44 cm

4. CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Determina el área de esta figura. Descomponemos la figura en otras cuyas áreas sepamos calcular. FIGURA A → Triángulo isósceles con lados iguales de 1,3 m y base 2,4 m. FIGURAS B, C, D, E, F y G → Semicírculos iguales de diámetro 2,4 : 6 = 0,4 m. ATotal = AFigura A + 6 ⋅ AFigura B PRIMERO.

1,3 m A B

C

h 2,4 m D E

1,3 m

F

G

SEGUNDO. Hallamos cada una de las áreas.

AFigura A =

b⋅h 2 , 4 ⋅ 0 ,5 = = 0,6 m2 2 2

FIGURA B → Calculamos r. r = 0,4 : 2 = 0,2 m

AFigura B =

πr 2 π ⋅ 0 ,2 2 = = 0,06 m2 2 2

TERCERO. Operamos para obtener el área total.

ATotal = AFigura A + 6 ⋅ AFigura B = 0,6 + 6 ⋅ 0,06 = 0,96 m2

FIGURA A → Calculamos h. h2 = 1,32 − 1,22 = 0,25 → h =

0,25 = 0,5 m

Y AHORA… PRACTICA Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de un polígono

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de un polígono regular

1. El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm, es:

3. El área de un hexágono regular de perímetro 24 cm, es:

a) 86,6 cm2

c) 50 cm2

a) 124 cm2

c) 41,52 cm2

b) 43,3 cm2

d) 100 cm2

b) 108 cm2

d) 57,41 cm2

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono 2. El lado de un rombo de diagonales 2 cm y 4 cm es:

Calcular el área de una figura plana 4. El área de la figura es: a) 171,48 cm2

a) 5 cm

c) 20 cm

b) 114,96 cm2

b) 2,24 cm

d) 4,47 cm

c) 141,48 cm2

13 cm

12 cm

14 cm

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Actividades LUGARES GEOMÉTRICOS. ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO 30. ● Relaciona estos elementos. a) b) c) d)

Baricentro Incentro Circuncentro Ortocentro

1) 2) 3) 4)

Alturas Mediatrices Medianas Bisectrices

31. ● Dibuja varios triángulos rectángulos y señala su ortocentro. ¿Dónde se encuentra situado? 32. ●● Dibuja tres puntos que no estén alineados y traza la circunferencia que pasa por ellos. 33. ●● Dibuja un triángulo rectángulo y traza sus mediatrices. Luego señala su circuncentro. ¿Qué observas? 34. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles, la hipotenusa mide 10 cm. Si se traza una circunferencia circunscrita, ¿cuál es el radio?

ortocentro, circuncentro e incentro son puntos situados: a) En el exterior del triángulo. b) En el interior del triángulo. c) Sobre un lado. 37. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles, señala el circuncentro y el ortocentro. El segmento que une estos dos puntos del triángulo es: a) Mediana b) Mediatriz

c) Altura d) Bisectriz

¿Se verifica esto también en un triángulo rectángulo escaleno? 38. ●● En un triángulo rectángulo e isósceles: a) La altura correspondiente a la hipotenusa, ¿es mayor que un cateto? b) La mediana correspondiente a la hipotenusa, ¿es mayor o menor que un cateto?

164

40. ● Calcula la longitud del lado que falta en cada triángulo rectángulo (a es la hipotenusa). a) a = 34 cm, b = 30 cm b) b = 28 cm, c = 21 cm 41. ●● Halla la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos se diferencian en 2 cm y que el menor mide 6 cm. 42. ● Determina si los siguientes triángulos son rectángulos. En caso afirmativo, indica la medida de la hipotenusa y los catetos. a) Triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. b) Triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 12 cm. c) Triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 61 cm. d) Triángulo de lados 7 cm, 24 cm y 25 cm. 43. ●● Halla la longitud de los segmentos indicados a)

1c C m B 1 cm A

D

b)

D

m 1c

36. ●● En un triángulo rectángulo, el baricentro,

39. ● La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de los catetos 6 cm. Obtén la longitud del otro cateto.

m 1c

35. ●● En un triángulo equilátero de perímetro 36 cm se traza la circunferencia circunscrita. Sabiendo que la mediana mide 10,39 cm, ¿cuál es el radio de la circunferencia?

TEOREMA DE PITÁGORAS

?

C

4 cm

m 3c

E

B 2 cm

E

2 cm A

? 2 cm

F

44. ● En un triángulo isósceles sabemos que los lados iguales miden 7 cm y el otro lado es de 4 cm. Calcula su altura. 45. ●● Halla la altura de un triángulo equilátero de perímetro 30 cm. 46. ●● Obtén la longitud de la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 cm y su altura 8 cm. 47. ●● Halla la longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 42 cm y su altura 20 cm. 48. ●● Determina la longitud del lado de un triángulo equilátero cuya altura es de 6 cm.

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52. ● Calcula la longitud de x en las figuras.

HAZLO ASÍ

a)

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA

c)

x

4 cm

x

5 cm

DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA CONOCIENDO SUS LADOS? 8 cm

49. Calcula la altura de un triángulo de lados 5 cm, 8 cm y 10 cm.

b)

Se dibuja el triángulo y se nombra cada uno de sus elementos.

10

PRIMERO. C

5 cm

10 − x

x A

H

B

G

F

10 cm

x

cm 117

53. ●● Observa la figura y calcula. C

a) El lado del rombo.

SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras

b) La longitud del cateto AB, del cateto AC y de la hipotenusa BC.

16 cm

en los dos triángulos rectángulos resultantes. En AHC: 52 = x2 + h2 → h2 = 52 − x2

A

En HBC: 8 = (10 − x) + h → h = 8 − (10 − x) 2

2

2

2

2

2

B

12 cm

54. ●● Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

TERCERO. Se igualan ambas expresiones

y se resuelve la ecuación. ⎪⎫⎪ h2 = 52 − x2 → 52 − x2 = 8 2 − (10 − x)2 2 2 2⎬ h = 8 − (10 − x) ⎪⎪⎭

a)

14 cm 28 cm

28 cm

18 cm 7 cm 16 cm

h2 = 52 − x2 → h =

52 − 3,052 = 3,96 cm

20 cm 15 cm

50. ●● Calcula la altura de un triángulo cuyos lados miden: BC = 7 cm BC = 10 cm BC = 11 cm

G

CA = 9 cm CA = 14 cm CA = 15 cm

C

Si los lados del rectángulo son 15 cm y 20 cm, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia?

56. ●●● Considera las siete piezas del tangram chino. 5 cm

51. ●●● Halla la distancia de un punto P a otro punto A, para que se verifique que la longitud del segmento CP es igual que la del segmento DP, en los gráficos. a)

5 cm

55. ●● Observa la siguiente figura.

Se calcula h.

a) AB = 4 cm b) AB = 6 cm c) AB = 5 cm

12 cm

b)

25 cm

25 − x2 = 64 − (100 + x2 − 20x) 25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x 20x = 61 → x = 3,05 cm CUARTO.

x

9 cm

La altura divide a la base en dos partes: • AH, cuya longitud se llama x. • HB, cuya longitud será 10 − x.

8 cm

h

d) cm

b) D

D

5 cm 2,5 cm

C

4 cm 3 cm A

7 cm

2,5 cm

3 cm

2 cm

P

P B

A

6 cm

B

Calcula el área de cada una de las piezas de este tangram.

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ÁREA DE FIGURAS PLANAS

HAZLO ASÍ

57. ● Elige la respuesta correcta en cada caso.

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIO ISÓSCELES SI SE DESCONOCE LA ALTURA?

a) El área de un rombo de diagonales 2 cm y 4 cm, es: I) 4 cm2 III) 6 cm2 2 II) 2 cm IV) 12 cm2

D

68. Calcula el área de este trapecio isósceles.

b) El área de un trapecio de bases 10 cm y 8 cm y altura 6 cm, es: III) 108 cm2 I) 240 cm2 II) 54 cm2 IV) 60 cm2 c) El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm, es: III) 43,3 cm2 I) 86,6 cm2 2 II) 50 cm IV) 100 cm2

Por ser el trapecio isósceles, las alturas determinan dos triángulos rectángulos iguales cuyas bases son la mitad de la diferencia de las bases del trapecio. D 2,5 cm

5 cm

h

C 2,5 cm

h 1,5 8 cm

F

B

AB − CD 8−5 = = 1,5 cm 2 2 SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que determina la altura. AE = FB =

59. ●● El área de un triángulo rectángulo es 12 cm2 y uno de los catetos mide 6 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa.

D

60. ●● Obtén el área de un triángulo equilátero de perímetro 90 cm.

2,5 cm

1,52 + h2 = 2,52 h2 = 2,52 − 1,52 = 4

h

h=

1,5

61. ●● Si el área de un triángulo equilátero es 30 cm2, halla la longitud de su lado.

A

E

4 = 2 cm

TERCERO. Se halla el área del trapecio.

62. ●● Obtén el área de un triángulo rectángulo de hipotenusa 13 cm, siendo uno de los catetos 5 cm. 63. ●● Halla el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 7,07 cm.

A=

(B + b) ⋅ h (8 + 5) ⋅ 2 = = 13 cm2 2 2

69. ●● Halla el área de estos trapecios isósceles. a)

64. ●● Halla el área de este rectángulo.

6 cm

7m

c)

3,5 m

3 cm

4,13 m

10 cm 4 cm

b)

16 m

65. ●● Calcula el área de un rectángulo cuya base mide 10 cm y la diagonal 116 cm.

d) 4m 3m

164 m 24 m

14 m

70. ●● Calcula el área de:

66. ●● Determina el área de un rectángulo de base 7 cm y perímetro 24 cm. 67. ●● Calcula el área de la zona sombreada.

B

8 cm

PRIMERO. Se calcula la base del triángulo rectángulo que determina la altura.

2

cm 41

C 2,5 cm

A

1,5 E A

58. ●● El área de un triángulo isósceles es 24 m y el lado desigual mide 6 m. Halla la longitud de los otros lados.

5 cm

9 cm 4 cm 8 cm

6 cm

a) Un hexágono regular de lado 2 cm. b) Un octógono regular de perímetro 48 cm. 71. ●●● Halla la longitud del segmento rojo de esta figura.

F

4 cm

11 cm

6 cm

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80. ●●● Determina el área de las figuras.

72. ●● Determina el área de las superficies coloreadas. a)

c)

5 cm

a)

c)

3 cm 7 cm

3 cm

5 cm

2 cm 5 cm

b)

b)

d)

d) 2,5 cm

4 cm 10 cm

2,5 cm

G

4 cm

3 cm

5,54 cm

HAZLO ASÍ 73. ●● Calcula el área de un círculo circunscrito a un triángulo rectángulo de catetos 6 cm y 8 cm.

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR?

75. ●● Calcula el área de un sector circular de amplitud 60°, y radio, el de una circunferencia de longitud 12π cm. 76. ●● Obtén el área de un círculo cuyo diámetro es igual que el perímetro de un cuadrado de lado 7 cm. 77. ●● En una circunferencia de radio 5 cm se inscribe un triángulo rectángulo isósceles. Calcula el área comprendida entre el círculo y el triángulo. 78. ●● Halla el área de la zona coloreada sabiendo que el diámetro de la circunferencia mide 10 cm. a)

81. Calcula el área de esta parte de corona circular limitada por dos radios (trapecio circular).

30°

8 cm

74. ●● Halla el área de la corona circular limitada por las circunferencias circunscrita e inscrita de un cuadrado de lado 8 cm.

20 cm F

PRIMERO. Se halla el área de los sectores circulares. En este caso tienen una amplitud de 30°, y sus radios miden 20 y 8 cm, respectivamente.

A1 =

π ⋅ 202 ⋅ 30 = 104,67 cm2 360

A2 =

π ⋅ 8 2 ⋅ 30 = 16,75 cm2 360

SEGUNDO. Se restan las áreas de los dos sectores.

A1 − A2 = 104,67 − 16,75 = 87,92 cm2 El área del trapecio circular es 87,92 cm2, aproximadamente.

c) 10 cm

10 cm

b) 10 cm

79. ●●● Calcula el área de las siguientes figuras. a)

b)

12 cm

82. ●● Calcula el área del trapecio circular generado por la corona circular de la actividad anterior y de amplitud 120°. 83. ●● Halla el área de un trapecio circular de radios 12 cm y 6 cm y ampitud 270°. 84. ●● Observa la margarita y calcula el área de cada pétalo de la parte amarilla, de la blanca y su área total.

45°

4m

4m

4 cm

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PROBLEMAS CON ÁREAS 85. ●● Observa esta torre y su sombra.

150 m

¿Qué distancia hay desde el punto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra? 200 m

1m

92. ●● En una pista circular se echan 15 kg de arena por metro cuadrado. ¿Qué radio tiene la pista si se han echado 4.710 kg de arena en total? 93. ●● En otra pista circular de 30 m de diámetro se quieren echar 30 kg de arena por metro cuadrado.

10 m

86. ●● Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre una pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

91. ●●● Hemos colocado una vidriera triangular. Calcula el área acristalada en color rojo, sabiendo que la ventana es un triángulo equilátero de lado 1 m.

a) ¿Cuántas toneladas de arena se necesitan? 6m

87. ●● En los lados de un campo cuadrangular se han plantado 32 árboles, separados 5 m entre sí. ¿Cuál es su área? ¿Cuánto mide el lado?

b) Si una carretilla mecánica carga 157 sacos de 5 kg cada uno, ¿cuántos desplazamientos tendrá que realizar? 94. ●● Se desea hacer un círculo con losas en un jardín cuadrado, como indica la figura.

88. ●● Esta señal de tráfico indica la obligatoriedad de parar. Halla su área si su altura es 90 cm y su lado mide 37 cm.

10 m

89. ●●● Cada uno de los 50 pisos de un edificio tiene la planta de esta figura, siendo el lado del hexágono de 30 m. Si el suelo tiene una moqueta que cuesta 20 €/m2, calcula el precio total pagado por la moqueta del edificio.

a) ¿Cuánto mide el área enlosada? b) ¿Qué área ha quedado con césped? 95. ●●● Un repostero ha cubierto de azúcar la parte superior de 200 rosquillas como la de la figura. Si ha utilizado 5 kg de azúcar, ¿cuántos gramos de azúcar se necesitan para cubrir cada cm2 de rosquilla?

30 m

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6 dam

4,5 da m

4,1 dam

38 m

90. ●●● Mario tiene un jardín en forma de romboide. Uno de sus lados mide 45 m y hay un camino, del que también conocemos sus medidas. Calcula el perímetro del jardín y su área.

5 cm

F

G G

6 cm F

96. ●● Construimos la montura de un monóculo con 10 cm de alambre. ¿Cuál es el área de la lente que encaja en la montura?

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197. ●● Calcula el área que puede grabarse (en color azul en la fotografía) de un disco compacto. ¿Qué porcentaje del área total del disco se aprovecha para grabar?

101. ●●● Un pintor decora una valla con una de estas figuras.

4m F

F G

Si cobra el metro cuadrado de valla pintada a 32 €, ¿cuánto cobrará por cada una?

2 cm

G

6 cm

10 m

198. ●●● Un jardinero ha plantado una zona de césped en forma de corona circular. La longitud del segmento mayor que puede trazarse en ella es de 15 m.

INVESTIGA 102. ●●● En un triángulo cualquiera se trazan sus medianas, formándose 6 triángulos que tienen como vértice común el baricentro. Justifica que todos tienen la misma área. A partir de este resultado, demuestra que el baricentro dista de cada vértice el doble que del punto medio del lado opuesto. 103. ●●● ¿Qué es mayor, el área del triángulo rectángulo ABC o la suma de las áreas de L1 y L2? C

¿Qué área de césped ha plantado el jardinero? L1

L2

199. ●● Esta es la bandera de Brasil. A

Mide y calcula qué porcentaje del área total supone el área de cada color.

B

104. ●●● Compara las áreas de la zona rayada y de la zona blanca.

100. ●● El teleférico de la ciudad A sale de la base de una montaña y llega hasta la cima. Desde ese punto se dirige a la ciudad B o a la ciudad C.

800 m

1.500 m

(Las circunferencias que ves tienen como diámetro cada uno de los lados del triángulo.)

3.200 m

A B a) ¿Qué distancia recorre el teleférico desde la ciudad A hasta C? b) ¿Y desde A hasta B ?

105. ●●● Los segmentos trazados en estos cuadrados son diagonales o unen vértices del cuadrado con puntos medios de lados opuestos. ¿Qué fracción del área del cuadrado está sombreada?

C

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En la vida cotidiana 106. ●●● Este es el plano de una parcela en la que se construirá un edificio de oficinas.

107. ●●● Se quiere colocar un repetidor en la cima de una montaña para asegurar las comunicaciones de cuatro localidades que hay en la zona. Argante

Berno

100 km

60 km

Pico de Buey G

F

1.300 m

La parcela tiene forma de triángulo equilátero de 1.300 m de lado y está bordeada por tres carreteras. El contratista de la obra y el arquitecto han coincidido en la ubicación del edificio. Yo creo que el edificio debería estar a la misma distancia de las tres carreteras… De esta manera el ruido y la contaminación serían menores.

Estoy de acuerdo… Pero entonces tendrás que hacer un presupuesto del coste de las tres vías de salida que tendremos que construir.

Cabrellas

Dederos

Las cuatro localidades están situadas en los vértices de un rectángulo, siendo sus distancias: Argante - Berno

100 km

Berno - Cabrellas

60 km

Como ves en el mapa, las distancias entre la montaña y los pueblos de Argante y Berno son fáciles de medir, y estas son sus distancias: Argante - Pico de Buey

50 km

Berno - Pico de Buey

80 km

Sin embargo, las distancias de Pico de Buey a los otros dos pueblos no se pueden medir fácilmente porque existe un lago en medio. Se sabe, por las mediciones que se han hecho de otros repetidores similares, que la señal es aceptable hasta una distancia no superior a 90 km del repetidor.

Considerando que el edificio que se va a construir será de forma cuadrada, con una superficie de 484 m2, y que cada metro lineal de la vía de salida costará 1.150 €, ¿cuál será el coste de las tres vías que se tienen que construir?

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¿Será aceptable la señal en los pueblos de Cabrellas y Dederos?

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Cuerpos geométricos El legado de Arquímedes En Sicilia, preocupado porque el ideal de su hijo Marco fuera el espíritu guerrero y las conquistas de Julio César, Cicerón razonaba con él de esta manera: –Muy cerca de aquí, en Siracusa, vivió el ingeniero bélico más grande de todos los tiempos. Él solo fue capaz de detener al ejército romano durante más de tres años.

PLAN DE TRABAJO

Marco se interesó vivamente por el tema y su padre le contó la historia de Arquímedes, prometiéndole que al día siguiente irían a ver su tumba.

En esta unidad aprenderás a…

Al día siguiente, ante la tumba donde Marco esperaba ver las hazañas de Arquímedes, solamente encontró una esfera inscrita en un cilindro.

• Distinguir los principales elementos y características de los poliedros.

Entonces Cicerón le dijo a su hijo:

• Reconocer los poliedros regulares. • Diferenciar los prismas y las pirámides, así como sus elementos y tipos. • Aplicar el teorema de Pitágoras al cálculo de longitudes en el espacio. • Calcular el área y el volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. • Trabajar con coordenadas geográficas.

–Pese a todos sus logros en ingeniería militar, no dejó ni un solo escrito sobre ellos y sí numerosos libros de matemáticas y mecánica. Él pensaba que su mayor tesoro era haber descubierto que el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la contiene. Estas figuras se generan por rotación de figuras planas. ¿De qué figuras se trata? ¿Conoces algún otro cuerpo que se genere así?

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1

Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por caras planas de forma poligonal.

Los poliedros se nombran según su número de caras: F

F

F

F

Cara Cada polígono que limita al poliedro.

Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro

Arista Lado de cada cara. G

F

4 caras 5 caras 6 caras 7 caras ...

Poliedros

Diagonal Segmento que une dos vértices no consecutivos.

F

G

Vértice Donde concurren tres o más caras. Coinciden con los vértices de las caras.

Llamamos desarrollo plano de un poliedro a la figura que se obtiene al extenderlo sobre un plano. A partir de él podemos reconstruir el poliedro.

F

EJEMPLO 1

Determina el nombre de los siguientes poliedros. ¿Cuántas caras tienen? ¿Y cuántas aristas?

En ambos casos, el número de caras es 5, luego son pentaedros; sin embargo, el primero tiene 8 aristas y el segundo 9.

EJERCICIOS PRACTICA

1

APLICA

Determina el nombre de los poliedros y su número de caras y aristas. a)

2

b)

Realiza el desarrollo plano de los poliedros del ejercicio anterior, indicando los pasos que sigues al hacerlo.

REFLEXIONA

3

172

Dibuja dos heptaedros que tengan distinto número de aristas y de vértices. (Fíjate en los ejemplos anteriores.)

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2

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Clasificación de poliedros. Áreas

Según su forma, los poliedros pueden ser cóncavos o convexos.

Convexo Ninguna cara, al prolongarla, corta al poliedro.

Cóncavo Alguna cara, al prolongarla, corta al poliedro.

En todos los poliedros convexos se cumple la relación de Euler:

C

N.o de caras

+

V

N.o de vértices

=

A

N.o de aristas

+

2

EJEMPLO 2

Clasifica estos poliedros y comprueba si se verifica la relación de Euler.

a)

b)

a) Es un poliedro convexo. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2 b) Es un poliedro cóncavo. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2

2.1 Poliedros regulares Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice se une el mismo número de caras.

Los principales poliedros convexos son los poliedros regulares, los prismas y las pirámides.

Solo existen cinco poliedros regulares:

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

EJERCICIOS PRACTICA

4 Este poliedro es un cubo

truncado (cada vértice del cubo ha sido cortado formando un triángulo equilátero). ¿Es el poliedro cóncavo o convexo? Comprueba que se cumple la fórmula de Euler.

APLICA

5

Indica el poliedro regular que se puede formar con: a) Triángulos equiláteros. b) Cuadrados. ¿Cuántas caras coinciden en cada vértice?

REFLEXIONA

6

¿Podrías formar un poliedro regular utilizando solo hexágonos regulares? ¿Y utilizando polígonos regulares de más de seis lados?

173

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2.2 Prismas Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí (bases) y el resto de caras son paralelogramos (caras laterales). La altura del prisma es la distancia entre las bases. Según la forma de las bases, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales…

Se dice que un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares.

Prisma cuadrangular oblicuo

Altura

Decimos que es un prisma recto cuando sus caras laterales son todas rectángulos, es decir, son perpendiculares a las bases. En caso contrario, se denomina oblicuo.

Arista básica

G

Cara lateral

G

G

Arista lateral

Base Prisma pentagonal recto

Los prismas cuya base es un cuadrilátero se llaman paralelepípedos, y si son rectos reciben el nombre de ortoedros. Área de un prisma

El área de un prisma es la suma del área lateral (área de sus caras laterales) y del área de las bases. El área lateral es el área de un rectángulo de ancho, el perímetro de la base, y de alto, la altura del prisma. A = ALateral + 2ABase = PBase ⋅ h + 2ABase

h

F

h PBase

EJEMPLO

16 cm

3

Calcula el área del ortoedro que ves a la izquierda. A = PBase ⋅ h + 2ABase = (2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6) ⋅ 16 + 2 ⋅ (9 ⋅ 6) = 588 cm2

6 cm 9 cm

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

7 Clasifica estos prismas y nombra

sus principales elementos. a)

b)

9

Halla el área de un prisma triangular, es decir, la base es un triángulo equilátero, regular, de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura.

REFLEXIONA

10 Calcula el área de un prisma hexagonal regular 8 Obtén el área de un cubo de arista 9 cm.

174

de arista básica 8 cm y altura 10 cm.

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2.3 Pirámides Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono y sus caras laterales son triángulos con un vértice común, llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia de la base a dicho vértice. Vértice Arista lateral

F

G

Apotema

Arista básica

Según la forma de las bases, las pirámides pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales… Decimos que una pirámide es recta cuando sus caras laterales son todas triángulos isósceles. En caso contrario, se denomina oblicua. Se dice que una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono regular.

Altura

F

Cara lateral

Base

F

Pirámide pentagonal recta

Esta fórmula para calcular el área de una pirámide solo es válida para pirámides regulares.

Llamamos apotema de una pirámide regular a la altura de cualquiera de sus caras laterales. Área de una pirámide

El área de una pirámide es la suma del área lateral (suma de las áreas de los triángulos) y el área de la base. Si n es el número de aristas básicas:

l l

a l

l

l

l l

l⋅a (n ⋅ l) ⋅ a P ⋅a = = Base 2 2 2 P ⋅a + ALateral = ABase + Base 2

ALateral = n ⋅

l

A = ABase

EJEMPLO Calcula el área de una pirámide cuadrangular regular de arista básica 6 cm y apotema 8 cm. 8 cm

4

Como la pirámide es regular, su área es: A = AB +

(6 ⋅ 4) ⋅ 8 PB ⋅ a = 62 + = 132 cm2 2 2

6 cm

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

11 Clasifica estas pirámides y nombra

12 Calcula el área total de una pirámide

sus principales elementos. a)

b)

hexagonal regular con arista básica 6 cm y apotema de sus caras laterales 12 cm. REFLEXIONA

13 Con cualquier triángulo como base se puede

construir una pirámide recta. ¿Es posible hacerlo con cualquier cuadrilátero?

175

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Cuerpos de revolución. Áreas

3

Los cuerpos de revolución son cuerpos geométricos que se obtienen al girar una figura plana alrededor de una recta (eje de giro).

3.1 Cilindro G

Eje de giro

Se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Su desarrollo plano consta de un rectángulo y dos círculos (bases).

F

Base Altura

r

El área es la suma del área lateral más el área de las dos bases.

h h

r Base

Radio

F

h

2πr

r

A = ALateral + 2ABase = = 2πrh + 2πr 2 = = 2πr(h + r)

3.2 Cono Eje de giro

Altura

Gen eratr iz

G

Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su desarrollo plano consta de un círculo (base) y un sector circular.

F

El área es la suma del área lateral más el área de la base. g

g

h r Base

Radio

r

F

2πr r

g

A = ALateral + ABase = 2πr + πr 2 = A = πg 2 ⋅ 2πg A = πrg + πr2 = πr(g + r)

EJEMPLO 5

Si es un cilindro: A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3(4 + 3) = 131,88 cm2 Si fuera un cono, calculamos primero la generatriz:

4 cm

4 cm 3 cm

Halla el área del cilindro de altura 4 cm y radio de la base 3 cm. ¿Y si en lugar de un cilindro fuera un cono?

3 cm

g = r 2 + h2 = 32 + 4 2 = 5 cm A = πr(g + r) = π ⋅ 3(5 + 3) = 75,36 cm2

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

14 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área

15 ¿Qué altura tiene un cilindro de área lateral

de los siguientes cuerpos de revolución. a) Un cilindro de 3 cm de radio de la base y 5 cm de altura. b) Un cono de 4 cm de radio y 6 cm de generatriz.

176

75,36 cm2 y radio de la base 4 cm? REFLEXIONA

16 Un cono tiene la misma base que un cilindro

y su área es la mitad. ¿Cuál tendrá mayor altura?

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3.3 Esfera Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. La esfera no tiene desarrollo plano. Eje de giro

G

F

Radio

F

F

El área se calcula con la fórmula: A = 4πr 2

El área de una esfera es igual al área lateral del cilindro que la contiene, ajustándose completamente a ella.

Centro

3.4 Figuras esféricas Se obtienen al cortar la superficie esférica con uno o más planos. • Casquete esférico: cada una de las partes que se forman en la superficie esférica al cortarla por un plano. Su área es: ACasquete = 2πrh h r

r h

• Zona esférica: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos. Su área se calcula con la fórmula: AZona = 2πrh

• Huso esférico: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos secantes que pasan por el centro de la esfera. Su área es: 4πr 2α AHuso = 360

α r

EJEMPLO 6

Dada una esfera de radio 3 m, calcula el área del casquete esférico de altura 1 m y del huso esférico de amplitud 45°. 3m

ACasquete = 2πrh = 2π ⋅ 3 ⋅ 1 = 18,84 m2 4πr 2 n 4π ⋅ 32 ⋅ 45 AHuso = = = 14,13 m2 360 360

45°

3m

1m

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

17 En una esfera de 20 cm de radio, calcula el área

19 Halla la altura de una zona esférica

de un huso esférico de 40° y un casquete esférico de altura 10 cm. APLICA

18 En una naranja de 15 cm de diámetro,

¿qué área de cáscara le corresponde a cada uno de sus 12 gajos?

para que su área sea la misma que la de un huso esférico de 10° de amplitud, siendo el radio de la esfera asociada de 15 cm. ¿Y si el radio fuera de 30 cm? ¿Depende el resultado del radio de la esfera?

h 15 cm

177

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4

Volumen de cuerpos geométricos

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio encerrada dentro de su superficie.

4.1 Principio de Cavalieri Si dos cuerpos tienen la misma altura, y las secciones producidas al cortarlos por planos paralelos a la base presentan igual área, entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen.

4.2 Volumen del prisma y el cilindro Conocemos ya que el volumen de un ortoedro es el producto de sus dimensiones. V = m ⋅ n ⋅ p = (m ⋅ n) ⋅ p

p m

n

Aplicando el principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de cualquier prisma o cilindro. El volumen de estos cuerpos coincide con el del ortoedro de igual área de la base e idéntica altura.

h

VPrisma = ABase ⋅ Altura = ABase ⋅ h

VCilindro = ABase ⋅ Altura = πr 2 ⋅ h

EJEMPLO 7 7 cm

Halla el volumen de un prisma cuadrangular de lado de la base 3 cm y altura 7 cm. Calcula también el volumen del cilindro inscrito en el prisma. VPrisma = ABase ⋅ h = 32 ⋅ 7 = 63 cm3 El radio del cilindro es la mitad del lado del cuadrado:

r

r=

3 = 1,5 cm → VCilindro = πr2 ⋅ h = π ⋅ 1,52 ⋅ 7 = 49,45 cm3 2

3 cm

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

20 Calcula el volumen de un prisma hexagonal

22 Determina la longitud de la arista de un cubo

regular cuya arista de la base mide 3 cm y la altura 4 cm. APLICA

21 Halla el volumen del cilindro circunscrito

en el prisma del ejercicio anterior.

178

cuyo volumen es igual al de un ortoedro de aristas 3, 4 y 5 cm, respectivamente. 23 Si los volúmenes de dos cilindros son iguales

y sus radios son uno el doble del otro, ¿qué relación hay entre sus alturas?

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4.3 Volumen de la pirámide y el cono

h

De manera experimental podemos comprobar que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con la misma área de base e idéntica altura. 1 1 VPirámide = VPrisma → VPirámide = (ABase ⋅ h) 3 3

h

h

De forma análoga, podemos calcular el volumen de un cono relacionándolo con el volumen de un cilindro de igual base y altura. h

VCono =

1 1 VCilindro → VCono = (πr2 ⋅ h) 3 3

EJEMPLO 8

Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. b) 10 cm

a)

8 cm

h

4 cm 6 cm

a) Es una pirámide de base cuadrada. V=

1 1 (ABase ⋅ h) = (62 ⋅ 10) = 120 cm3 3 3

b) Es un cono. Primero calculamos su altura.

h

h2 = 82 − 42 → h = 8 2 − 4 2 = 6,93 cm 1 1 V = (πr2 ⋅ h) = (π ⋅ 42 ⋅ 6,93) = 116,05 cm3 3 3

8 cm

4 cm

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

24 Calcula el volumen de las siguientes figuras.

25 Halla el volumen

a)

comprendido entre el cubo y el cono de la figura.

b)

10 cm

7 cm

5 cm REFLEXIONA

26 Dado un cono de radio r y altura h, 4 cm 3 cm

¿cómo aumenta más su volumen: aumentando 1 cm el radio o al aumentar 1 cm la altura?

179

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4.4 Volumen de la esfera El principio de Cavalieri nos permite relacionar los volúmenes de la esfera, el cono y el cilindro. Las áreas de cada sección verifican la siguiente relación. F

r

=

r

r

1 VEsfera 2

+

G

+

r

=

VCono

VCilindro

1 VCilindro . Despejando en la igualdad anterior, 3 obtenemos el volumen de la esfera. Ya sabemos que: VCono =

1 1 4 VEsfera + VCilindro = VCilindro → VEsfera = VCilindro 2 3 3 El volumen de un cilindro de radio r y altura r es: VCilindro = πr 2r = πr 3. 4 Por tanto, el volumen de una esfera de radio r es VEsfera = πr 3. 3 EJEMPLO 9

a)

Calcula el volumen de estas figuras.

b) 4 cm

2 cm

a) El radio de la esfera es la mitad del diámetro, luego r = 2 cm. El volumen de la esfera será: 4 4 V = πr 3 = π ⋅ 23 = 33,49 cm3 3 3 b) El volumen de esta semiesfera es la mitad del volumen de la esfera de radio 2 cm. 1 1 V = VEsfera = ⋅ 33,49 = 16,74 cm3 2 2

EJERCICIOS

de una esfera cuyo diámetro es 10 cm.

10 cm

APLICA

28 Si el volumen de una esfera es 22 dm3,

¿cuál es su radio?

180

29 Determina el volumen

de las esferas circunscrita e inscrita en un cilindro de altura y diámetro 1 m. ¿Cuál es la diferencia entre los radios de ambas esferas?

1m

F

27 Calcula el volumen

REFLEXIONA

1m

G

PRACTICA

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La esfera terrestre

5

5.1 Elementos de la esfera terrestre Eje terrestre Eje imaginario de la Tierra cuando gira sobre sí misma. Sus extremos son el Polo Norte y el Polo Sur.

G

Meridianos Circunferencias máximas que pasan por los polos.

El meridiano más importante es el meridiano cero, que pasa por Greenwich (Inglaterra).

Ecuador Circunferencia perpendicular al eje terrestre que divide la esfera en dos partes iguales llamadas hemisferios.

F

Paralelos Circunferencias paralelas al ecuador.

F

G

5.2 Coordenadas geográficas La localización de los puntos sobre la esfera terrestre se hace refiriéndolos al meridiano cero y el ecuador. Así: • La latitud es la medida en grados del arco de meridiano comprendido entre el ecuador y el punto correspondiente. Puede medir de 0° a 90° y ser Norte o Sur, según la posición del punto respecto al ecuador. • La longitud es la medida en grados del arco comprendido entre el meridiano cero y el meridiano que pasa por el punto. Puede medir de 0° a 180° y ser Este u Oeste, según la posición del punto respecto al meridiano cero. EJEMPLO 10 Determina la latitud y la longitud de los puntos A y B. Meridiano cero

A G

Ecuador Meridiano cero

75° 35°

30° G

F

E

Latitud: 75° N Longitud: 35° E

E G B

50°

Ecuador

Latitud: 50° S Longitud: 40° O

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

30 Busca en un atlas una ciudad que tenga latitud

32 Si los puntos A y B están en el mismo paralelo,

Norte y longitud Oeste, y otra con latitud Sur y longitud Este.

¿qué relación hay entre sus latitudes? A B

APLICA

31 Las coordenadas de la ciudad A son 20° E

30° N, y las de la ciudad B son 50° O 25° S. ¿Cuántos grados de longitud y latitud separan a las ciudades A y B?

¿Tendrían alguna relación si estuvieran en el mismo meridiano?

181

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Prismas

Cilindros

h

A = 2πr(h + r) V = πr2h

h h

h

2πr

r r

A = PBase ⋅ h + 2ABase V = ABase ⋅ h

PB

Conos

Pirámides

g 2πr r

a

A = πr(g + r)

g

h

V=

r

1 2 πr h 3

a

Esferas A = ABase + V=

PBase ⋅ a 2

a'

A = 4πr2

r

V=

1 ABase ⋅ h 3

4 3 πr 3

HAZLO DE ESTA MANERA

1. APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN CUERPOS GEOMÉTRICOS

b)

c)

5 cm

3 cm

4 cm

g G

4 cm

a)

3 cm

Calcula el dato desconocido en estos cuerpos geométricos.

a' 6 cm

Determinamos el triángulo rectángulo que relaciona los datos conocidos y el dato desconocido, y se aplica el teorema de Pitágoras. PRIMERO.

3 cm

52 = (a')2 + 32

a'

SEGUNDO. Resolvemos la ecuación resultante.

a) g2 = 32 + 42 g=

182

32 + 4 2 = 5 cm

b) 52 = (a')2 + 32 → (a')2 = 52 − 32 a' =

52 − 32 = 4 cm

a

4 cm

g2 = 32 + 42

c) m 5c

g

3 cm

b) 4 cm

a)

a2 = 32 + 42

6 cm = 3 cm 2

c) a2 = 32 + 42 a=

32 + 4 2 = 5 cm

a

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2. CALCULAR EL ÁREA

3. CALCULAR EL ÁREA DE UN CUERPO

DE UN POLIEDRO

DE REVOLUCIÓN

Halla el área de este poliedro.

Obtén el área de estos cuerpos de revolución.

5 cm a

Determinamos el tipo de poliedro 6 cm y los datos necesarios para calcular su área. Pirámide cuadrangular regular: n = 4 → PBase = 4 ⋅ 6 = 24 cm Calculamos su apotema: PRIMERO.

4 cm

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4 cm 3 cm

3 cm

PRIMERO. Determinamos el tipo de cuerpo de revolución y los datos para calcular su área. a) Cilindro: r = 3 cm h = 4 cm b) Cono: r = 3 cm Calculamos su generatriz:

a2 = 52 − 32 → a = 52 − 32 = 4 cm ABase → Área de un cuadrado ABase = 62 = 36 cm2

g 2 = 4 2 + 32 → g =

4 2 + 32 = 5 cm

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.

a) A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3 ⋅ (4 + 3) = = 131,88 cm2 b) A = πr(g + r) = π ⋅ 3 ⋅ (5 + 3) = 75,36 cm2

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.

P ⋅a 24 ⋅ 4 A = ABase + Base = 36 + = 84 cm2 2 2

4. CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CUERPO GEOMÉTRICO Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos.

4 cm

PRIMERO. Determinamos el tipo de cuerpo geométrico y los datos necesarios para calcular su volumen. a) Prisma octogonal regular: P⋅a (8 ⋅ 2) ⋅ 2,41 ABase = = = 19,28 cm2 h = 4 cm 2 2 b) Cono: r = 3 cm h = 4 cm

b) 4 cm

a)

3 cm F

2,41 cm

2 cm

SEGUNDO. Aplicamos la fórmula.

a) V = ABase ⋅ h = 19,28 ⋅ 4 = 77,12 cm3

b) V =

1 2 1 πr h = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3 3 3

Y AHORA… PRACTICA Aplicar el teorema de Pitágoras en cuerpos geométricos

Calcular el área de un cuerpo de revolución

1. La altura de un cono con 5 cm de radio de la base y 12 cm de generatriz, es: a) 10,91 cm

b) 13 cm

c) 7 cm

3. El área de un cono de radio 4 cm y altura 3 cm, es: a) 87,96 cm2

b) 113,04 cm2

c) 96,7 cm2

Calcular el área de un poliedro

Calcular el volumen de un cuerpo geométrico

2. El área de un prisma triangular regular de arista básica 3 cm y arista lateral 2 cm, es:

4. ¿Cuál es el volumen de un tetraedro de arista de la base 2 cm y altura 1,63 cm?

a) 18 cm2

b) 25,8 cm2

c) 22,3 cm2

a) 2,82 cm3

b) 0,94 cm3

c) 6,52 cm3

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Actividades POLIEDROS 33. ●● Dibuja el desarrollo de estos poliedros.

36. ● En esta tabla están representados los poliedros regulares. Complétala y comprueba que todos cumplen la fórmula de Euler.

c)

a)

Caras

Vértices Aristas C + V − A

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro

b)

Icosaedro

d)

37. ● Dibuja una pirámide pentagonal. Cuenta sus aristas, vértices y caras y comprueba que se cumple la fórmula de Euler. 34. ●● Los siguientes poliedros, ¿son regulares? Razona tu respuesta. a)

b)

c)

35. ●● Comprueba si estos poliedros cumplen la fórmula de Euler. a)

b)

c)

e)

f)

g)

38. ● Determina el polígono que forma la base de un prisma en cada caso. a) Si tiene 10 vértices. b) Si tiene 9 aristas. c) Si tiene 9 caras. 39. ● Averigua el polígono que forma la base de una pirámide en cada caso. a) Si tiene 10 vértices. b) Si tiene 12 aristas. c) Si tiene 9 caras. 40. ●● Tenemos un tetraedro y un octaedro, con la misma longitud de arista, y los pegamos por una cara para formar otro poliedro. ¿Cumple este poliedro la fórmula de Euler? 41. ● Las tres aristas de un ortoedro miden 5, 6 y 4 cm, respectivamente. Halla su diagonal. 42. ●● Obtén la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.

d)

h)

Clasifícalos en cóncavos o convexos.

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43. ●●● La diagonal de un cubo mide 27 m. ¿Cuánto mide su arista? ¿Y la diagonal de una cara?

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44. ● La apotema de una pirámide cuadrangular regular mide 12 cm y su arista básica 10 cm. ¿Cuánto mide su altura?

49. ●●● Dibuja un tronco de pirámide de base cuadrada. Los lados de las bases miden 8 cm y 11 cm y la altura 4 cm. Halla la altura de la cara lateral.

45. ● La apotema de una pirámide hexagonal regular mide 10 cm y su arista básica 10 cm. ¿Cuánto medirá su altura?

50. ●●● Calcula la arista lateral, x, del tronco de pirámide y la altura, h, de la pirámide.

46. ●● Halla la longitud de los segmentos marcados en los siguientes cuerpos geométricos. a)

b)

h

8 cm

6 cm

m 6c

x

8 cm F

8 cm 4,8 cm

ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE LA CARA LATERAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE?

51. ● Calcula el área total de un prisma triangular recto de altura 3 cm y cuya base es un triángulo equilátero de 2 cm de lado.

47. Calcula la longitud de la altura de la cara lateral de este tronco de pirámide.

4 cm

52. ● Halla el área de un ortoedro de altura 5 cm y cuya base es un rectángulo de 3 × 4 cm.

4 cm

G

F G

7 cm

Tronco de pirámide: es un poliedro con dos caras paralelas, llamadas bases, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Se forma al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base. PRIMERO.

G

4 cm

4 cm

AB = 7 − 4 = 3 cm AC = h = 4 cm

F

A

x

2x 4x

55. ●● Obtén el área de una cara y el área total de un tetraedro regular cuya arista vale 2 cm.

B

SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras.

56. ●● Calcula el área de una cara y el área total de un octaedro regular cuya arista mide 4 cm.

2 2 2 (BC) = (AB) + (AC)

BC = 32 + 4 2 = 5 cm 48. ●● Al cortar un cono por un plano paralelo a la base, se obtiene otro cono y un tronco de cono. Calcula la altura del tronco de cono.

cm 21

54. ● Determina el área total de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm, y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

Se define el triángulo rectángulo ABC.

C

53. ●● El largo de un ortoedro es el doble que el ancho, y el ancho es el doble que la altura. Si su diagonal vale 21 cm, halla el área total.

57. ●● Halla el área de una cara y el área total de un icosaedro regular cuya arista es de 6 cm. 3 cm

58. ●● Calcula la arista de: a) Un tetraedro de área total 16 3 cm2. 8 cm

5 cm

b) Un icosaedro cuyas caras miden 3 cm2. c) Un octaedro de área total 18 3 cm2.

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59. ● Calcula el área de los siguientes cuerpos y figuras esféricas. a)

e) 6 cm

5 cm

4 cm

3 cm

3 cm

b)

3 cm G

f) 6 cm

5 cm

63. ●● Un cilindro tiene una altura igual que el diámetro de la base y su área es de 470 cm2. Halla el radio de la base. 64. ●● Calcula la altura de un cilindro si el área de una de las bases es igual a la superficie lateral, y cada una de ellas mide 154 cm2. Halla el área total. 65. ●● Determina la superficie lateral de un cono cuya altura coincide con el diámetro de la base, si la longitud de la circunferencia de la base mide 18,85 cm.

G

HAZLO ASÍ

4 cm

c)

3 cm

g)

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA LATERAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE CONO?

G

4 cm 40°

66. Calcula el área lateral de estas figuras. d)

h) G

14 cm

6 cm

10 cm

b)

cm 12

a)

G

15 cm

5 cm 9 cm G

G

24 cm

12 cm

3 cm

60. ● Halla el área de: a) Un cubo cuya diagonal de una cara mide 10 cm. b) Un cilindro de 20 cm de diámetro de la base y altura 12 cm. c) Un cono de 4 cm de radio y 6 cm de altura. d) Una esfera de 12 cm de diámetro. e) Un huso esférico de 80° y radio 20 cm. f) Un casquete esférico de 10 cm de radio y 9 cm de altura. g) Una zona esférica de 8 cm de altura y 12 cm de radio. h) Una pirámide hexagonal regular de altura 3 cm y lado de la base 3 cm.

a) El área lateral de un tronco de pirámide es: n ⋅ (l + l') ALateral = ⋅a= l' 2 a 4 ⋅ (24 + 14) = ⋅ 12 = 2 l = 912 cm2 b) El área lateral de un tronco de cono es: 2πr'

ALateral = π(r + r')g = = π(12 + 10) ⋅ 15 = = 1.036,2 cm2

g 2πr

67. ●●● Calcula el área total de estas figuras. a)

G

3 cm

c)

G

8 cm

62. ●● Dos cilindros tienen la misma superficie lateral y sus radios miden 6 m y 8 m. Calcula su altura, sabiendo que se diferencian en 3 m. Halla también la superficie lateral y total de cada cilindro.

186

14 cm

G

61. ●● El área lateral de una pirámide recta de base cuadrada y, por tanto, regular, es 80 cm2 y el perímetro de la base mide 32 cm. Calcula la apotema de la pirámide.

6 cm

10 cm

G

12 cm

b)

16 cm

10 cm

6 cm

d)

8 cm

G

22 cm

9 cm

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68. ● El radio de una esfera mide 3 cm. Calcula su área total.

HAZLO ASÍ

69. ●● El círculo máximo de una esfera tiene un área de 78,54 cm2. Determina el radio y el área total. 70. ●● Obtén el área total de los siguientes cuerpos geométricos.

¿CÓMO SE CALCULA EL VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE CONO? 76. Calcula el volumen de estas figuras. 4 cm

a)

3 cm

b) G

G

a)

9 cm

G

9 cm

3 cm 5 cm 6 cm

d) b)

El volumen de un tronco de pirámide o de un tronco de cono se puede calcular mediante la fórmula:

3 cm

5 cm 2 cm

r' S2

S2 h

8 cm

4 cm

V=

6 cm

c)

h

S1

e)

6 cm

G

r

S1

h (S1 + S2 + S1 ⋅ S2 ) 3

G

7 cm

VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 71. ● Obtén el volumen de una pirámide cuadrangular recta de arista 10 cm y altura 5 cm.

a) S1 = 62 = 36 cm2 S2 = 42 = 16 cm2 9 V = (36 + 16 + 36 ⋅ 16 ) = 228 cm2 3 b) S1 = πr 2 = π ⋅ 52 = 78,5 cm2 S2 = πr' 2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2 9 V = (78,5 + 28,26 + 78,5 ⋅ 28,26 ) = 461,58 cm2 3 77. ●● Calcula el volumen de estas figuras.

72. ●● Calcula el volumen de un prisma triangular recto de altura 8 cm y cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm. 73. ●● Halla el volumen de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 8 cm, y con base, un triángulo equilátero de 7 cm de lado. 74. ●● Calcula el volumen de un cilindro de 12 cm de diámetro, y altura, el triple del diámetro. 75. ●●● Obtén el volumen de estos cuerpos geométricos. a)

b) G

5c m

8 cm

a)

7 cm

9 cm

b)

3 cm G

5 cm 4 cm 12 cm

78. ●● En el interior de un cubo de 12 cm de arista construimos una pirámide cuya base es una cara del cubo y el vértice es el centro de la cara opuesta. Calcula el área y el volumen de esta pirámide.

12 cm

79. ● Halla el volumen de un cono: a) De radio 5 cm y altura 8 cm. b) De radio 5 cm y generatriz 8 cm.

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80. ●● Obtén el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 20 cm.

PROBLEMAS CON CUERPOS GEOMÉTRICOS

81. ●●● Un cubo y una esfera tienen un área de 216 cm2. ¿Cuál tiene mayor volumen?

84. ●● Un ascensor tiene las siguientes medidas: 100 × 100 × 250 cm. ¿Es posible introducir en él una vara metálica que mide 288 cm?

82. ●●● Obtén el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. e)

2 cm

m 3c

2 cm

a) ¿Cuántos botes tendremos que comprar si nos atenemos a lo que indica el fabricante? b) Si al final hemos utilizado 4 botes, ¿para cuántos metros cuadrados nos da cada bote?

5 cm 2 cm

4 cm

4 cm

b)

f)

G

G

4 cm

3 cm 4 cm 6 cm

c)

4 cm

8 cm

4 cm

d)

h)

6 cm G

3 cm

179,37 m

Halla la altura de la pirámide.

g) 4 cm

86. ●● La pirámide de Kefrén tiene las medidas que se reflejan en la figura.

G

a)

85. ●● Queremos pintar una habitación rectangular (incluido el techo) de 4 × 6 m y 3 m de altura. Cada uno de los botes que vamos a utilizar contiene pintura suficiente para pintar 30 m2.

7 cm

LA ESFERA TERRESTRE

87. ●● Calcula el área total de una torre cúbica de 10 m de arista, que tiene un tejado en forma piramidal cuya altura es 12 m. 88. ●● Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, 125 cm3. ¿Cuál tiene menor área? Si tuvieras que construir un depósito cúbico o esférico, ¿en qué forma se necesita menos material? 89. ●● La Géode es un gigantesco cine con forma de esfera. Calcula su área sabiendo que su volumen es de 24.416.640 dm3.

83. ●● Observa la situación de las ciudades A y B y contesta.

A

B

E

90. ●● Halla el volumen de esta piscina. a) La ciudad B está en el mismo paralelo que la ciudad A. ¿Cuál es la latitud de B? ¿Qué relaciones hay entre las latitudes de A y B? b) Las ciudades A y E están en el mismo meridiano. ¿Qué relación hay entre sus longitudes?

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215,25 m

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91. ●●● En un depósito cúbico lleno de agua y de arista 3 m, introducimos los siguientes cuerpos. a) ¿Qué porcentaje de la cantidad inicial de agua hay en el cubo después de introducir una esfera de radio 1,5 m? b) ¿Qué porcentaje queda de la cantidad inicial de agua si introducimos un cilindro de diámetro y altura 3 m? c) ¿Y si introducimos un cono de 3 m de diámetro e igual altura?

94. ●●● Imagina que con una cuerda rodeamos el ecuador de la Tierra. a) Sabiendo que el radio de la Tierra mide 6.378 km, ¿qué longitud tendrá la cuerda? 3m

b) Con una cuerda un metro más larga hacemos una circunferencia. ¿Cuál es la diferencia entre los radios de ambas? r = 6.378 km

G

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3m

3m

92. ●● Una empresa que vende zumo en envases con forma de ortoedro cuyas medidas son 11 × 6 × 15 cm, decide cambiar dichos envases por otros con estas características: – Disminuye un 10 % el área de la base. – Aumenta un 10 % la altura. a) El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o menor que el del antiguo?

c) Hacemos lo mismo con una bola que tiene 18 mm de radio. ¿Cuál es ahora la diferencia entre los radios de las dos circunferencias?

INVESTIGA 95. ●●● En el año 1638 el gran matemático Galileo propuso el siguiente problema. «Si se enrolla una hoja de papel en los dos sentidos posibles, se obtienen dos cilindros distintos». ¿Tienen estos cilindros el mismo volumen?

b) Si se mantiene el mismo precio, ¿es más rentable para el cliente el nuevo envase? c) El precio del tetrabrick es 1,40 €. ¿Cuánto gana la empresa si envasa 99.000 litros de zumo al mes? ¿Y cuánto ganaba antes? 93. ●●● Una hormiga se encuentra en un vértice de un octaedro y decide recorrer todas sus aristas sin pasar dos veces por la misma arista. Indica un camino posible.

96. ●●● Si tenemos una esfera inscrita en un cilindro, calcula cuál es la diferencia de volúmenes entre la esfera y el cilindro en función del radio de la esfera. 97. ●●● En un libro de Matemáticas hemos encontrado este problema:

Curiosamente, la hormiga no podría hacer lo mismo en un cubo. Compruébalo.

«Si el lado de un octaedro es l, su volumen es: V = l3 ⋅ 0,4714». Investiga cómo se obtiene esta fórmula.

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En la vida cotidiana 98. ●●● Christo Javacheff y su esposa Jeanne son dos de los artistas actuales más populares.

Sus obras más representativas consisten en envolver con tela objetos y monumentos. Sus primeras obras se reducían a empaquetar botellas, latas y cajas con tela o plástico. Pero, poco a poco, fueron aumentando su producción. En 1982 rodearon 11 islas de la bahía de Florida, para lo que utilizaron 603.000 m2 de tela rosa. En 1985 empaquetaron el Pont Neuf sobre el río Sena, en la ciudad de París. En 1995 envolvieron también en tela el inmenso edificio del Reichstag en Berlín.

99. ●●● El producto más vendido de la fábrica de dulces LA GOLOSA son unas galletas circulares de 6 cm de diámetro y un grosor de 5 mm. Las galletas se comercializan en paquetes de 40 unidades, envueltas en papel de celofán, y se venden en cajas con forma de ortoedro que contienen cuatro paquetes en cada caja. Las cajas van recubiertas con el mismo papel de celofán que los paquetes.

LA GOLOSA La producción de galletas diaria se estima en unas 10.000 unidades, y el departamento financiero está evaluando la conveniencia de que la forma de la caja sea un ortoedro.

Entre sus futuros proyectos están envolver la Puerta de Alcalá en Madrid y la estatua de Colón en Barcelona. Este es un croquis de la Puerta de Alcalá de Madrid con sus medidas.

¿Cuántos metros cuadrados de tela necesitarán, aproximadamente, para envolver completamente este monumento sin tapar los arcos?

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¿Cuántos metros cuadrados de cartón necesitamos al día? ¿Y de papel de celofán?

Yo creo que la cuestión está en qué porcentaje del volumen de la caja ocupan las galletas.

¿Crees que si la caja tuviera otra forma se podría aprovechar mejor el espacio? ¿Qué cantidad de cartón ahorrarían diariamente?

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Movimientos y semejanzas

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Conocer las magnitudes vectoriales. • Reconocer si una transformación es un movimiento. • Obtener la figura transformada de una dada mediante una traslación o un giro. • Hallar la figura transformada de otra mediante una simetría central o axial. • Reconocer homotecias y semejanzas. • Aplicar el teorema de Tales en contextos reales, como mapas y escalas.

El carro del Sol Cuenta la leyenda que en Alejandría, en los tiempos en que se construía el famoso Faro, un grupo de hombres derrotó al Sol. Apolo, al que otros llaman Ra, ordenó a sus siervos que le llevaran los ocho hombres más sabios de todos los tiempos, pues quería para él la sabiduría del mundo. Los siervos comenzaron la tarea y encontraron a los siete primeros. Fue fácil, pues todos ellos estaban en el Hades y se les conocía como los Siete Sabios. Al octavo lo buscaron entre los vivos y entre los muertos, en la tierra y en el cielo, pero no aparecía. Cansados de tanto buscar, le preguntaron al Oráculo: –Su nombre es Euclides, y el lugar donde se encuentra es la biblioteca de Alejandría. Montados en el carro de Apolo volaron hasta la biblioteca y allí hallaron a un grupo de hombres. El más anciano, que estudiaba dos cuadrados de diferente tamaño, anotando sus semejanzas y sus diferencias, fue capturado por los siervos de Apolo. –¡Euclides es nuestro! En ese instante todos los demás hombres los rodearon diciendo: –¡Yo soy Euclides! ¡Yo soy Euclides! Los enviados, ante la imposibilidad de reconocer quién era realmente Euclides, se fueron y le dijeron a Apolo que el octavo sabio no existía, que era uno y eran todos. Después de esto, Apolo liberó a los Siete Sabios, y preguntado por la razón contestó que no hay muros que contengan la sabiduría y el conocimiento. ¿En qué se parecen y se diferencian dos cuadrados de distinta medida?

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Vectores

Existen magnitudes en las que, además de su valor numérico, tenemos que saber su dirección y sentido: son las magnitudes vectoriales. ជ , en el que A Dos puntos del plano, A y B, determinan un vector fijo AB es el origen y B el extremo. La distancia entre A y B (longitud del segmento AB) se llama módulo del vector y la recta que pasa por A y B es la dirección del vector. El sentido es el que va de A a B. EJEMPLO 1

ជ y BA ជ. Calcula el módulo, la dirección y el sentido de los vectores AB ជ Vector AB

a) A

Para expresar un vector lo hacemos mediante su origen y su extremo, ជ, o mediante una AB ជ… letra: vជ, w ជ, ជ a, b Estas letras son las más utilizadas.

ជ Vector BA

b) B

A

ជ: 3 cm. • Módulo AB • Dirección: la de la recta AB. • Sentido: de A a B.

B

ជ : 3 cm. • Módulo BA • Dirección: la de la recta AB. • Sentido: de B a A.

Coordenadas de un vector Dados los puntos del plano A(a1, a2) y B(b1, b2), las coordenadas del ជ son AB ជ (b1 − a1, b2 − a2). vector AB ជ se escribe ⏐AB ជ⏐, y se define como: El módulo del vector AB ជ⏐ = ⏐AB

( b1 − a1 )2 + ( b2 − a 2 )2

EJEMPLO 2

ជ. Halla las coordenadas y el módulo del vector AB Y

Las coordenadas de los puntos A y B son: A(2, 3) B(5, 4)

5

B

Por tanto, las coordenadas del vector son: ជ = (5 − 2, 4 − 3) = (3, 1) AB

A

3

Y su módulo será:

1 1

3

X

5

ជ⏐ = ⏐AB

32 + 12 = 10

EJERCICIOS PRACTICA

1

Dadas estas parejas de puntos, calcula, en cada ជ y halla caso, las coordenadas del vector AB su módulo. a) A(1, 3) B(−4, 5) b) A(4, 0) B(−1, −5) c) A(−1, −3) B(5, −7)

192

APLICA

2

ជ (−3, 5), determina Dados A(2, 4) y el vector AB ជ. el punto B, extremo de AB

REFLEXIONA

3

Escribe tres vectores con módulo 4. ¿Puedes escribir un vector con módulo −2?

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2

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Movimientos en el plano

Una transformación geométrica en el plano nos permite obtener un punto P', a partir de otro punto P, mediante una regla precisa. Un movimiento es una transformación geométrica que conserva las distancias y los ángulos. Es decir, si dos puntos P1 y P2 están a una distancia d, sus transformados P'1 y P'2 estarán también a una distancia d; y si dos rectas r y s forman un ángulo α, sus transformadas r' y s' también formarán un ángulo α. En una transformación, un punto se llama doble cuando su transformado es él mismo. Una recta es doble si su transformada es ella misma. EJEMPLO Debajo puedes ver varias transformaciones de la figura de la derecha. Determina cuáles son movimientos.

3

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Las figuras 1, 2 y 3 se obtienen aplicando movimientos a la figura original. En todas ellas se conservan la forma y el tamaño. La figura 4 conserva la forma, pero no el tamaño, y no es un movimiento. La figura 5 no conserva la forma ni el tamaño, y tampoco es resultado de un movimiento.

EJERCICIOS PRACTICA

4

APLICA

¿Cuáles de las figuras resultan al aplicar un movimiento a esta figura? a)

c)

b)

d)

5

Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas. a) Una transformación es un movimiento. b) Un movimiento conserva siempre la forma. c) Una transformación mantiene el tamaño de las figuras.

REFLEXIONA

6

Dibuja una letra E y aplícale distintas transformaciones geométricas.

193

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3

Traslaciones

Una traslación de vector ជ v es un movimiento que transforma cualquier ជ' tiene el mismo módulo, punto P en otro punto P', de forma que PP dirección y sentido que ជ v. Se representa por tជv . EJEMPLO Una traslación transforma una figura en otra figura igual.

4

Realiza una traslación de vector ជ v al triángulo ABC. Y

Y ជ v

v ជ

B'

B

B C

C

C' A'

A

A X

Partiendo de cada vértice, colocamos vectores iguales en módulo, dirección y sentido que ជ v.

X

Uniendo los extremos de los vectores, A', B' y C', obtenemos la figura transformada de la inicial.

Decimos que el triángulo A'B'C' es el transformado de ABC mediante la traslación de vector ជ v . La traslación conserva los ángulos y las distancias y, por tanto, es un movimiento.

Dados un punto A(x, y) y un vector ជ v (v1, v2), el punto trasladado de A, A', tiene como coordenadas A'(x + v1, y + v2).

Y

6

EJEMPLO

ជ v

4

A'

5

2

Dados el punto A(2, 1) y el vector ជ v = (5, 2), determina las coordenadas del punto A', transformado de A mediante la traslación tជv . traslación

A

A(2, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ A'(2 + 5, 1 + 2) → A'(7, 3) 2

4

6

8

ជ v (5, 2)

X

EJERCICIOS PRACTICA

7

APLICA

Obtén la figura trasladada de la figura F mediante el vector ជ v.

8

Un cuadrado tiene como vértices los puntos A(−1, 1), B (1, 1), C(1, −1) y D(−1, −1). a) Determina su trasladado A'B'C'D' mediante la traslación de vector ជ v (4, −2). b) Comprueba gráficamente que los puntos A', B', C' y D' forman también un cuadrado.

Y

v ជ F

REFLEXIONA

9 X

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Determina la traslación que transforma el punto A(−1, 4) en A'(5, 2).

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Giros

Un giro de centro O y ángulo α es un movimiento que asocia a cada punto P otro punto P', situado a la misma distancia de O que el punto P, y de forma que POP' = α. Se expresa como G(O; α). EJEMPLO 6

Transforma el triángulo ABC mediante un giro de centro el punto O y ángulo 120°. B' A' C

C 120°

120° C'

B

B O

O

A

A

(-b, a)

Con el compás medimos, sobre la recta correspondiente, las distancias OA, OB y OC, obteniendo los puntos A', B' y C', que son los vértices del triángulo transformado.

Primero trazamos rectas que unan los vértices con el centro de giro, O. Después, dibujamos nuevas rectas que formen ángulos de 120°, el ángulo de giro, con las anteriores.

Y

180°

X (-a, -b)

270°

En un giro, el centro O (independientemente del ángulo de giro) se transforma siempre en él mismo. Es decir, el punto O es un punto doble. Los giros conservan las distancias y los ángulos, luego cada figura se transforma en otra igual a ella. Los ángulos de giro pueden ser positivos (cuando giramos en el sentido contrario a las agujas del reloj) y negativos (cuando el giro es en el sentido de las agujas del reloj).

G

G

O

(a, b)

90°

(b, -a)

O −45°

120°

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

10 Obtén la figura transformada de la figura F

11 Un triángulo tiene por vértices los puntos

mediante un giro de centro O y ángulo 90°.

F

A(3, 0), B(−1, 4) y C(2, 5). Halla su transformado por un giro de centro (2, −1) y ángulo 180°. REFLEXIONA

12 ¿En qué figura se transforma el cuadrado ABCD O

mediante un giro G(A; 90°)? ¿Y mediante un giro G(A; −90°)?

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Simetrías

5.1 Simetría respecto a un punto Una simetría respecto a un punto O (centro de simetría), S(O), es un movimiento que asocia a cada punto P otro punto P', tales que: – Los puntos P, O y P' están alineados, es decir, pertenecen a una misma recta. – El punto O es el punto medio del segmento PP'. EJEMPLO 7

Realiza una simetría central de centro O al triángulo ABC. C

C

Una simetría central de centro O es equivalente a un giro de centro ese punto O y ángulo 180°.

B

B

180°

A

A

O

A'

O

B'

S (O ) = G (O ; 180°)

C'

Unimos los vértices con el centro de simetría, O. Este punto O, cada vértice y su transformado estarán en la misma línea recta, ya que la simetría central equivale a un giro de 180°.

Con el compás medimos la distancia OA, la llevamos sobre su recta correspondiente al otro lado del punto O y obtenemos A'. De forma similar obtendremos los puntos B' y C'.

En una simetría de centro O, el único punto doble es O. P r O = O'

P'

Cualquier recta r que pase por O se transforma en ella misma, es decir, que si se elige un punto cualquiera de r, su simétrico será otro punto de r. Por tanto, todas las rectas que pasan por el centro de simetría son rectas dobles.

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

13 Obtén la figura transformada de la figura F

14 Dibuja el cuadrado de vértices:

mediante una simetría central de centro O.

A(1, 1) B(−1, 1) C(−1, −1) D(1, −1) y calcula su simétrico respecto al origen de coordenadas y respecto al punto A(1, 1).

F REFLEXIONA O

15 De esta figura ha desaparecido

la mitad. Sabiendo que es simétrica respecto al punto O, reconstrúyela.

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O

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5.2 Simetría respecto a una recta Una simetría respecto a una recta r, Sr, es un movimiento que asocia a cada punto P otro punto P', tales que: – El segmento PP' es perpendicular a r. – Las distancias desde P y P' a r son iguales. Por tanto, la recta r es mediatriz del segmento PP' y se denomina eje de simetría. EJEMPLO 8

Transforma el triángulo ABC mediante una simetría respecto a e. B C

A

e

C

C' B'

B

A'

e

En una simetría respecto a una recta r, todos los puntos pertenecientes a r son dobles. De la misma manera, cualquier recta perpendicular a la recta r es una recta doble.

Con el compás medimos la distancia de A al eje e, la llevamos al otro lado del eje y obtenemos A'. De forma similar obtendremos los puntos B' y C'.

En primer lugar, trazamos rectas perpendiculares al eje e desde cada uno de los vértices.

s

A

r

O = O'

Q Q'

En una simetría respecto a una recta, la figura original se ve como si estuviera reflejada en un espejo. Es decir, conserva las distancias y los ángulos, pero no el sentido. Decimos que es un movimiento inverso. Esto no ocurre con las traslaciones y los giros, a los que denominamos movimientos directos. Una figura es simétrica (o tiene un eje de simetría) cuando el transformado de un punto e cualquiera respecto a ese eje es otro punto de la figura. La figura de la izquierda tiene dos ejes de simetría, e y e'. e' EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

16 Obtén la figura transformada de la figura F

17 Señala todos los ejes de simetría que tengan

mediante una simetría de eje e.

e

las siguientes figuras.

F REFLEXIONA

18 Un triángulo tiene por vértices A(2, −1), B(4, 5)

y C(−3, 6). Halla su transformado mediante una simetría respecto al eje de abscisas.

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Homotecias y semejanzas

Una homotecia de centro O y razón k (k > 0) es la transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P', alineado con O y P, de forma que OP' = k ⋅ OP. Una homotecia no es un movimiento, conserva los ángulos pero no las distancias.

EJEMPLO 9

Aplica a la figura ABCDE una homotecia de centro O y razón 2. O C B

D

C' B'

E

A

D'

A' E'

A partir del punto O trazamos rectas que pasan por cada uno de los vértices A, B, C, D y E de la figura original. En cada una de esas rectas marcamos los puntos A', B', C', D' y E', de forma que: OA' = 2 ⋅ OA

OC' = 2 ⋅ OC

OB' = 2 ⋅ OB

OD' = 2 ⋅ OD …

Decimos que la figura A'B'C'D'E' es la transformada de ABCDE por una homotecia de centro O y razón 2.

Polígonos semejantes Dos polígonos son semejantes si cada ángulo y su transformado son iguales, y el cociente de la longitud de cada lado y su transformado es constante. A este número se le llama razón de semejanza.

C D B

A

EJEMPLO 10 Determina si las dos figuras del margen son polígonos semejantes. C'

• Cada ángulo y su transformado son iguales.

D'

• El cociente de un lado y su transformado es constante. AB BC CD DA 2 = = = =k= A' B' B' C' C' D' D' A' 3

B'

Las dos figuras son semejantes, con razón de semejanza A'

2 . 3

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

19 Transforma este hexágono

mediante una homotecia de centro el vértice A y razón 3.

E

20 Determina si un triángulo de lados de 3, 4 y 5 cm

D

F

es semejante a otro de lados de 1,5; 2 y 2,5 cm. C

REFLEXIONA

21 Obtén los puntos y las rectas dobles A

198

B

de una homotecia.

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Teorema de Tales

Si tres rectas paralelas a, b y c cortan a dos rectas s y t, los segmentos que se determinan en dichas rectas con proporcionales. s

t

A

a A' b

B

B'

C

C'

AB BC AC = = A' B' B' C' A' C'

c Si dos triángulos son semejantes:

A esta igualdad se le conoce como teorema de Tales.

F

EJEMPLO

C C'

11 Calcula la longitud del segmento AC' en la siguiente figura.

B'

A

AB = 3 cm

B

D

E

se pueden poner en posición de Tales.

AB' = 5 cm

F

AC = 4 cm

A

B

C

C

Observando la figura podemos comprobar que se cumplen las condiciones del teorema de Tales: BB' y CC' son paralelos y cortan a AC y AC'.

A=D

B E

Además, las figuras ABB' y ACC' son semejantes. Y aplicando la igualdad entre distancias del teorema de Tales: AB AC 3 4 5⋅4 = → = → 3 ⋅ AC' = 5 ⋅ 4 → AC' = = 6,67 cm AB' AC' 5 AC' 3 Por tanto, el segmento AC' mide 6,67 cm, aproximadamente.

Mediante el teorema de Tales se puede determinar la longitud de los lados de un polígono semejante a otro, del que conocemos la medida de sus lados. EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

22 Halla las longitudes desconocidas.

23 Sabiendo que

y cm 2,25

A

la razón

O

A' 4,7 cm

B' 5 cm

s

REFLEXIONA

m 3c

x

OA = 1, 6, OA' calcula AB y OB.

r B

24 Divide un segmento AB de 5 cm en 7 partes 1,5 cm

5 cm

iguales.

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Aplicaciones del teorema de Tales

Utilizando el teorema de Tales podemos dividir segmentos en partes iguales o proporcionales. EJEMPLOS 12 Divide el segmento AB en 3 partes iguales. A

r

B

r

d

d

d

d

d

d

B

A

Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación. Luego dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales.

A

B

Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones.

Por el teorema de Tales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta r, y por tanto, son iguales entre sí. 13 Divide el segmento AB del ejemplo anterior en 3 partes, de manera que la última parte tenga el triple de longitud que la primera, y la segunda, el doble que la primera. r

r

3d

3d

2d

2d

d

d

A

B

Trazamos una semirrecta r y la dividimos en tres segmentos, de manera que si el primero tiene una longitud d, el segundo medirá 2d y el tercero 3d.

A

B

Unimos el extremo del último segmento con el punto B y trazamos paralelas.

De la misma manera, por el teorema de Tales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta r, y por tanto, mantienen la misma proporción.

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

25 Divide gráficamente el segmento AB

26 Divide gráficamente el segmento AB,

de 20 cm de longitud en: a) 3 partes iguales. b) 7 partes iguales. c) 2 partes, siendo la segunda la mitad que la primera. d) 4 partes, siendo cada parte el doble que la anterior.

200

de 16 cm de longitud, en partes proporcionales a dos segmentos de longitudes 2 cm y 3 cm. REFLEXIONA

27 Raúl tiene que cortar un listón de 30 cm

en 7 partes iguales. Solo dispone de un trozo que mide 21 cm. ¿Cómo lo puede dividir?

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Escalas

Las semejanzas se utilizan para elaborar planos, mapas, maquetas, fotocopias… En ellos reducimos, de manera proporcional, las dimensiones que tienen los objetos en la realidad, obteniendo una representación igual en forma, pero no en tamaño. Se llama escala a la razón de la semejanza entre la figura original y su representación. Distancia en la representación Escala = Distancia en la realidad EJEMPLOS 14 Calcula las dimensiones de este piso sabiendo que se ha elaborado a una escala de 1 : 250. Si el plano está elaborado a una escala 1 : 250, esto significa que 1 cm en el plano equivale a 250 cm = 2,5 m en la realidad.

En la escala, la longitud real y su representación deben estar expresadas en las mismas unidades. 1 : 250 1 cm en el plano son 250 cm en la realidad.

El ancho del piso en el plano mide 4 cm: 4 · 250 = 1.000 cm = 10 m en la realidad El largo del piso en el plano mide 5,5 cm: 5,5 · 250 = 1.375 cm = 13,75 m en la realidad El piso tiene una superficie real de: 10 · 13,75 = 137,5 m2 15 Halla la distancia que hay entre estas dos poblaciones. Llíria

Sagunto

B

Utiel

A

VALENCIA

Requena 0

Buñol

5

10

15

20 km

En ocasiones, la escala se indica de forma gráfica. En este caso, 1 cm (la distancia existente entre el 0 y el 5) equivale a 5 km, o sea: 1 : 500.000 (5 km son 500.000 cm).

Así, la distancia entre las dos poblaciones en el plano es de 3,5 cm: 3,5 · 500.000 = 1.750.000 cm = 17,5 km en la realidad

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

28 Halla las dimensiones reales de este campo

29 ¿A qué escala está dibujado un mapa en el que

de fútbol.

la distancia entre dos poblaciones es 4,5 cm si la distancia real es 54 km? REFLEXIONA

30 Dos pueblos A y B están separados entre sí 1 : 3.000

por 50 km. ¿A qué distancia se encuentran en un mapa a escala 1 : 800.000?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Vectores

ជB A

ជ = (b1 − a1, b2 − a2) AB

B(b1, b2)

Simetrías Respecto a un punto S(O)

A(a1, a2)

Respecto a una recta Sr

P B v ជ

Traslaciones tជv

e

B'

B'

B C

O

C'

C

C' A

A' A

A'

Q O

Giros G(O; α)

C

Homotecias

B'

B

C'

B

C

D B'

α

α

E

A

D'

C' O

E'

A'

HAZLO DE ESTA MANERA

1. REALIZAR TRASLACIONES

2. REALIZAR GIROS Transforma esta figura mediante una rotación G(O; α).

Transforma esta figura mediante una traslación tជv . PRIMERO. Ayudados de la escuadra y la regla, trazamos rectas paralelas al vector que pasen por cada uno de los vértices de la figura.

ជ v C D B A

o las coordenadas del vector para calcular su módulo.

esa distancia sobre las rectas que hemos dibujado, utilizando como origen los vértices de la figura. Los extremos serán los vértices de la nueva figura.

202

v ជ C

C' D'

D B'

B A' A

D B O A

SEGUNDO. Utilizamos el transportador para trazar otras rectas que formen un ángulo α con cada una de las rectas dibujadas.

SEGUNDO. Utilizamos el compás

TERCERO. Medimos

C

α

PRIMERO. Ayudados de la regla, trazamos rectas que unan cada vértice de la figura con el centro de giro, O.

TERCERO. Medimos B' las distancias A' entre el centro, α O, y cada uno de D' D C' los vértices de la figura, y llevamos esas distancias sobre las nuevas rectas. Los extremos serán los vértices de la nueva figura.

C

B A

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3. REALIZAR SIMETRÍAS RESPECTO A UN PUNTO

Aplica a esta figura una simetría S(O). D

C

B O

A

D

C

A'

B

B' C'

O

A

D'

4. REALIZAR SIMETRÍAS RESPECTO A UNA RECTA

Aplica a esta figura una simetría S r.

PRIMERO.

C

B

TERCERO. Llevamos esas distancias sobre las rectas, al otro lado del punto O.

A

r

SEGUNDO.

Con el compás, medimos las distancias entre el centro y cada uno de los vértices.

PRIMERO.

D

Trazamos rectas que unan cada vértice con el centro de simetría, O. D'

SEGUNDO.

D

C'

B'

C

A'

r

Trazamos rectas perpendiculares al eje de simetría, r, desde cada vértice.

A

B

Con el compás, medimos las distancias entre el eje y cada vértice.

TERCERO. Llevamos esas distancias sobre las rectas, al otro lado de la recta r.

5. DIBUJAR UNA FIGURA SEMEJANTE A OTRA Dibuja una figura semejante a esta cuya razón de semejanza sea k.

B

B'

O

PRIMERO. Fijamos un punto cualquiera

O, y desde ese punto trazamos rectas que pasen por cada uno de los vértices de la figura.

C A

SEGUNDO. Con el compás, determinamos la distancia entre

el punto O y los vértices de la figura. TERCERO. Multiplicamos esas distancias por k, y las llevamos sobre

C' A'

las rectas dibujadas. Los extremos serán los nuevos vértices.

Y AHORA… PRACTICA Realizar traslaciones

Realizar simetrías respecto a un punto

1. El punto trasladado de P(5, −6) por la traslación de vector ជ v (−1, 6) es:

3. El simétrico de A(0, 2) respecto al origen es:

a) P'(4, 0) b) P'(6, −12)

c) P'(6, 12) d) P'(−4, 0)

a) (0, 0)

b) (0, 1)

c) (0, −1)

d) (0, −2)

Realizar simetrías respecto a una recta 4. En una simetría respecto de una recta.

Realizar giros 2. El ángulo del giro que transforma F en F' es: F'

F O

a) b) c) d)

90° 180° 45° −90°

a) No tiene puntos dobles. b) Los puntos dobles son los del eje. Dibujar una figura semejante a otra 5. La superficie de una figura semejante a otra con razón 0,5 es: a) Mayor que la inicial. b) Menor que la inicial.

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Actividades VECTORES 31. ● Dadas las parejas de puntos, calcula ជ y su módulo. las coordenadas del vector AB c) A(4, −1), B(2, −6) d) A(−3, −3), B(−1, −2)

a) A(−1, 3), B(4, 5) b) A(−2, 0), B(1, −3)

32. ● Determina las coordenadas de A en ជ y represéntalo gráficamente. el vector AB ជ(2, 3) y B(−3, 4) a) AB

35. ●● Determina las coordenadas de los extremos ជ y obtén sus coordenadas del vector AB y módulo. a)

b)

Y

Y

A 5

5

3

3

1 3

5

A

1

B 1

B

1

X

3

5

ជ(−1, 0) y B(2, 5) b) AB ជ 33. ● Obtén las coordenadas de B en el vector AB y represéntalo. ជ(2, −2) y A(−3, 3) a) AB ជ(−2, −3) y A(2, −1) b) AB ⎛ ⎞ ជ(3, 0) y A⎜⎜2, − 5 ⎟⎟ c) AB ⎟ ⎝⎜ 2⎠

36. ●● Dibuja el vector de extremos A(−2, 2) y B(3, 0) y calcula sus coordenadas y módulo. 37. ●●● Escribe tres vectores con módulo 9. ¿Podrías escribir más? ¿Cuántos?

MOVIMIENTOS

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULAN LAS COORDENADAS DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS?

38. ● Indica, observando este dibujo, si las siguientes figuras se han obtenido mediante un movimiento o no. Razona tu respuesta.

34. Halla las coordenadas de estos vectores. Y

5 3

C' D

C B

Se considera el vector como la diagonal de un rectángulo y se calculan las dimensiones de sus lados.

PRIMERO. La primera coordenada del vector es 1 3 5 X la dimensión del largo del rectángulo que determina. Se considera positiva si el desplazamiento es hacia la derecha, y negativa, si es hacia la izquierda. → 3 unidades hacia la derecha ⎯→ 3 a) AA' ⎯ b) CC' → 3 unidades hacia la izquierda → −3 1

A

Figura 2

Figura 3

Figura 4

A'

SEGUNDO. La segunda es la dimensión de la altura

del rectángulo. Se considera positiva si el desplazamiento es hacia arriba, y negativa si es hacia abajo. → 2 unidades hacia arriba → 2 a) A'B ⎯ → −1 b) C'D → 1 unidad hacia abajo ⎯⎯ ជ(3, 2) Luego las coordenadas de los vectores son AB ជ y CD(−3, −1).

204

Figura 1

39. ● Dibuja, a partir de las figuras, otras figuras en las que se conserve. a) El tamaño. b) La forma.

c) El tamaño y la forma. d) Ni el tamaño ni la forma.

X

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TRASLACIONES 40. ● Obtén la figura transformada de la figura F mediante una traslación de vector ជ v. a)

Y

Y 3

v ជ

1

F

3

5

7

9

3

X

11

−4 ជ v

3

5

7

9

11

−2

1

3

5

7

X

45. ●● Halla la figura F que ha dado lugar a la figura F', al aplicarle una traslación de vector ជ v (−2, −3). Antes de hacerlo, determina cuáles serán las coordenadas de los vértices de la figura F.

F

1 1

F"

1

Y

3

F'

5

F

1

b)

44. ●● Determina gráficamente los vectores de las traslaciones que transforman la figura F en F' y F", respectivamente. Obtén también sus coordenadas.

X

Y

c)

Y 3

v ជ

3

F' 1

F 1

−8 1

d)

3

5

7

9

11

3 F

ជ v

1 3

−4

−2

1

3

X

46. ●●● Obtén la figura transformada de la figura F mediante la traslación de vector ជ v . Llámala F'. Después, halla la figura transformada de F' por la traslación de vector w ជ. Llámala F".

Y

1

−6

X

5

7

9

11

Y X

5

ជ v

F

3

w ជ

41. ●● Completa la siguiente tabla. 1

Punto

Vector traslación

A(1, 3)

ជ v (1, −2)

B(−2, −4)

B'(0, 3) w ជ(−3, −5)

C'(7, 2) D'(5, 1)

D(1, 5) E(0, 3)

Punto trasladado

ជ t (3, −2)

42. ● ¿Cuál es el vector de la traslación que lleva el punto A(2, −3) al punto A'(−1, 7)? 43. ● Calcula las coordenadas del punto transformado del punto B(4, −2) mediante ⎛1 2⎞ una traslación de vector ជ v ⎜⎜⎜ , − ⎟⎟⎟. ⎝5 3⎠

1

3

5

7

9

11

X

a) ¿Puedes pasar directamente de F a F" con una traslación? Si crees que sí, dibuja el vector de dicha traslación y escribe sus coordenadas. b) Escribe las coordenadas de ជ v yw ជ y suma sus abscisas y ordenadas. ¿Qué relación tiene el resultado con el del apartado a)? 47. ●● Considera el punto P (0, 5). Si realizamos una traslación de vector ជ v (3, 4) y, a continuación, otra de w ជ(−2, −1): a) ¿Cuál es el punto que se obtiene? b) Si después de realizar las dos traslaciones, se obtuviera el punto Q(2, −2), ¿de qué punto habríamos partido?

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50. ●● Determina el centro y el ángulo del giro que transforma F en F'.

GIROS 48. ● Obtén la figura transformada de F por el giro de centro O y el ángulo indicado. a) Ángulo 90°.

F'

F

O

51. ●● Halla la figura F que ha dado lugar a la figura F' al aplicarle un giro de centro el origen y ángulo 90°.

F

b) Ángulo 45°.

Y

5

F'

3

O

1

F −6

c) Ángulo −120° (120° en el sentido de las agujas del reloj).

−4

−2

3

5

X

52. ●● Completa esta tabla, referida a distintos giros con centro el origen de coordenadas. Punto

Ángulo

A(1, 0)

90°

F

90° C(1, 2)

O

1

Punto transformado

B'(0, 3)

180° 180°

E(0, 3)

D'(3, 4) E' (−3, 0)

d) Ángulo 180°. 53. ●●● Obtén la figura F', transformada de la figura F mediante un giro de centro O y ángulo 90°. Después, halla la figura F", transformada de F' por un giro de centro O y ángulo 60°.

O

F

49. ●● Halla la figura F', transformada de F por un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo 90°. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de F ? ¿Y las de sus transformados? ¿Qué relación observas en los resultados? Y

3

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−2

1

3

a) Halla la transformada de F por un giro de centro O y ángulo 150° (90° + 60°). ¿Qué observas? b) Según el resultado anterior, ¿a qué movimiento equivalen dos giros consecutivos con el mismo centro?

F

1 −4

O F

5

7

X

c) ¿Y dos giros consecutivos de 270°?

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58. ●● Completa la tabla, referida a distintas simetrías.

SIMETRÍAS 54. ● Obtén la figura transformada de F por una simetría central de centro O. a)

c)

Punto

Eje de simetría

A(1, 3)

Ordenadas Ordenadas

F

C(2, −1)

Abscisas

F

d)

F

O

¿CÓMO SE REALIZA UNA COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS?

O

55. ● Determina la figura transformada de F mediante: a) Una simetría de centro el origen. b) Una simetría de eje el eje de ordenadas. Y

59. Transforma el triángulo ABC mediante un giro de centro O y ángulo 90º, y traslada su transformado mediante el vector ជ v. C A

O

PRIMERO. Se realiza el primer movimiento. En este caso, el giro de 90º.

B'

SEGUNDO. Sobre la figura

B F

C' 3 1

−4

−2

C" 1

3

5

B"

56. ●● Determina el centro de simetría que transforma F en F' y F' en F", y el eje de simetría que realiza las mismas transformaciones.

resultante, A'B'C', se realiza el segundo movimiento. En este caso, la traslación.

A'

X

¿Qué relación hay entre las coordenadas de los vértices de F y los de sus transformados?

F

D'(5, 0)

HAZLO ASÍ

F

−6

B'(0, 3)

Abscisas

O O

b)

Punto trasladado

ជ v A"

La figura resultante de la composición de movimientos, un giro y una traslación, es el triángulo A"B"C".

F'

60. ●● Aplica a esta figura las siguientes composiciones de movimientos.

F"

a) Una traslación de vector ជ v y un giro de 180°. b) Una simetría de centro O y un giro de 90°. c) Una simetría respecto a la recta r y una traslación de vector ជ v. C D

de centro el origen de coordenadas. Punto

Punto transformado

v ជ

B

57. ●● Completa la tabla, referida a una simetría

O A r

A(1, 0) B(1, −2) C'(3, 0) D'(0, −2)

61. ●●● Dibuja una figura y aplícale dos simetrías centrales consecutivas del mismo centro. ¿Qué relación hay entre la figura original y la última figura que obtienes?

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ESCALAS

HOMOTECIAS Y SEMEJANZAS 62. ● Las figuras T y T' son homotéticas. Halla el centro y la razón de la homotecia.

T T'

71. ● La longitud de un coche en la realidad es de 4,2 m. ¿Cuál será su longitud en una maqueta a escala 1 : 200? ¿Y a escala 1 : 400?

63. ● Calcula la longitud de los lados de un triángulo semejante a otro cuyos lados miden 7, 11 y 13 cm, si la razón de semejanza es k = 3. 64. ●● Los seis lados de un hexágono miden 13, 14, 15, 17, 19 y 20 cm. Un lado de otro hexágono semejante mide 80 cm. Si la razón de semejanza es un número entero, ¿cuánto miden los demás lados? 65. ●● Dibuja un rectángulo de 8 × 6 cm y añádele 3 cm en cada lado. ¿Has obtenido un rectángulo semejante? ¿Por qué? 66. ●● Calcula la razón de semejanza de estos polígonos. ¿Qué relación tienen los perímetros?

1,4 cm

F

5,1 cm

TEOREMA DE TALES. APLICACIONES 67. ● Calcula las longitudes desconocidas. m 2c

b)

m 4c 3 cm

cm 4,8 m 2c

x

68. ●● En la siguiente figura, OB = 0, 8. la razón OB' O Calcula OA', AB y BC. 2,3 cm

x

3 cm cm 4,5 cm 2,8 B'

A' A

B

C

69. ● Divide gráficamente un segmento AB, con AB = 14 cm, en 10 partes iguales. 70. ●● Divide gráficamente un segmento AB, con AB = 10 cm, en partes proporcionales a dos segmentos de medidas 2 cm y 6 cm. Calcula numéricamente las longitudes de los segmentos hallados y compáralas con la solución gráfica.

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73. ●● En un mapa aparece esta escala gráfica. 0

80

160

240

320 m

a) ¿Cuál es su escala numérica? b) ¿Qué distancia real separa a dos puntos que en el mapa distan 8 cm? 74. ●● Construye la escala gráfica correspondiente a las escalas numéricas 1 : 350 y 1 : 6.000.

3 cm

a)

72. ●● Si tenemos una maqueta del coche anterior que mide 7,5 cm, ¿a qué escala está hecha?

C'

75. ●● Tenemos dos mapas que representan una región, siendo la escala del primero 1 : 400.000, y la del segundo, 1 : 1.000.000. a) ¿Cuál de los dos mapas es mayor? b) Si dos poblaciones se encuentran a 20 km de distancia en la realidad, ¿qué distancia las separa en cada uno de los mapas? c) En el primer mapa, dos ciudades, A y B, se encuentran separadas entre sí por 2,3 cm. ¿A qué distancia C Q real se encuentran? d) ¿A qué distancia estarán esas ciudades P en el segundo mapa? A 76. ●●● Tenemos un mapa a escala 1 : 150.000. a) Si realizamos una fotocopia al 80 %, ¿cuál será la nueva escala? b) ¿Y si la hacemos al 120 %? c) Una distancia real de 15 km, ¿qué longitud tendrá en cada uno de los tres mapas?

B

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PROBLEMAS CON MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS 77. ●● Queremos hacer un armario en miniatura, semejante a otro cuyas dimensiones son 180 × 110 × 45 cm, de forma que la altura sea 13,5 cm. Calcula su ancho y su profundidad.

82. ●●● Un pájaro está posado sobre la rama de un árbol (punto A), situado al borde de un río, y quiere pasar a otro árbol de la orilla opuesta (punto B ), aprovechando para beber agua sin parar su vuelo. ¿Hacia qué punto del río debe dirigirse para hacer el recorrido más corto?

78. ●● Determina las dimensiones que tendrá una casa rectangular en un plano a escala 1 : 50, si en la realidad su base es la mitad de la altura y su área es 144 m2. 79. ●● Una célula humana tiene un diámetro aproximado de 3,5 millonésimas de metro y, con un microscopio electrónico, se ve con un diámetro de 1,75 cm. Calcula cuántos aumentos tiene el microscopio. 80. ●●● Se va a hacer un desvío en una carretera de forma que su trazado sea una línea recta respecto a dos poblaciones A y B. Calcula en qué punto de la carretera habrá que hacer el desvío para que el trayecto hacia ambas poblaciones sea el mínimo.

6 km 3 km 12 km

81. ●●● Calcula la altura x de una montaña si desde el extremo de su sombra podemos medir la distancia a la cima, y esta es de 2.325 m, y, en ese momento, un bastón de 1 m produce una sombra de 1,1 m.

INVESTIGA 83. ●●● Para sumar gráficamente los vectores ជ v yw ជ se coloca el origen de w ជ en el extremo de ជ v, y el vector suma tiene como origen el de ជ v y como extremo el de w ជ. ជ v

ជ v w ជ

ជ v

w ជ +

w ជ

Para multiplicar un vector por un número positivo se dibuja un vector, de v 3ជ igual dirección y sentido que el original, y cuyo módulo sea el del vector v −3ជ original multiplicado por el número. Si el número es negativo, se hace el mismo proceso pero cambiando el sentido. Basándote en esto y observando la figura, escribe los vectores ជ , BC ជ , FO ជ , EO ជ, AB ជ ជ ជ ជ EA, EB, AC y OD en función de ជ yq ជ. ជ = EF ជ = ED p

E

F

D

C

O

A

B

84. ●●● Escribe el perímetro p, la altura h y el área a de los triángulos pequeños en función del perímetro P, la altura H y el área A del triángulo mayor.

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En la vida cotidiana 85. ●●● En los aeropuertos se controlan los movimientos de los aviones para coordinar los aterrizajes y despegues.

86. ●●● En el restaurante EL MANJAR su famoso chef mezcla los productos tradicionales con un toque imaginativo de alta cocina, por lo que es muy valorado por público y críticos. El dueño del restaurante, Julián Guisado, ante la nueva reforma que se hará del local, ha ideado una forma de potenciar la figura del chef dentro del restaurante.

Este trabajo lo realizan los controladores aéreos, quienes mediante el radar sitúan la posición de los aviones y establecen su trayectoria, posición y velocidad con la que se aproximan a las pistas de aterrizaje.

Quiero cubrir el suelo con una gran baldosa en forma de octógono que lleve tu retrato. El resto lo cubriremos con baldosas que formen una especie de corona a tu alrededor.

En la pantalla de un radar se observa, en un momento determinado, la posición de cuatro aviones que siguen trayectorias rectilíneas.

En el primer diseño que ha realizado ha colocado el octógono en el centro de la sala rectangular, y luego lo ha rodeado con distintas baldosas amarillas, cubriendo completamente la sala.

Tras unos minutos, la posición de los aviones ha cambiado y desde la torre de control deben informar de la nueva posición, la trayectoria y la velocidad de cada uno de los aviones. Describe la trayectoria de los cuatro aviones y compara sus velocidades.

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¿Es posible hacerlo? ¿Cómo debe colocar las coronas para lograrlo?

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Funciones La gripe española Salamanca, 1918. Dos enfermeras, una de ellas con evidentes signos de agotamiento, realizaban el cambio de turno en el hospital. La enfermera saliente, Carmen, le daba unas pautas a la inexperta enfermera que llegaba a relevarla. –No te involucres personalmente con el paciente, no quieras saber ni su nombre, porque probablemente en pocos días habrá muerto. –La gripe causaba estragos entre la población–. Observa los síntomas y si ves que el enfermo tiene los pies azules… no te entretengas y reza por su alma.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Reconocer si una relación entre variables es o no una función. • Estudiar la continuidad, crecimiento, simetrías y periodicidad de una función. • Determinar el dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes y máximos y mínimos de una función. • Representar y analizar funciones extraídas de situaciones de la vida cotidiana.

Tres años después, Ana, cuyo trabajo de voluntaria había concluido, leía en el periódico local las cifras oficiales de muertes por gripe en los últimos años.

El Diario Muertes anuales ña por gripe en Espa 6.481 1915 7.021 16 19 7.479 1917 7.114 14 1918 .235 21 1919 .825 17 20 19 5.837 1921

Sus ojos se humedecieron al recordar a su amiga Carmen, que engrosaba el número de víctimas correspondiente a 1918. El número de muertes a causa de esta pandemia se cifró entre 20 y 40 millones en todo el mundo. El otro diario de la ciudad, en lugar de una tabla, presentó la información mediante una gráfica.

¿Serías capaz de reconstruir e interpretar dicha gráfica? ¿Qué tipo de gráfica vas a utilizar?

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1

Concepto de función

Una función es una relación entre dos magnitudes o variables numéricas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable x se denomina variable independiente, y la variable y, variable dependiente. EJEMPLO 1

El precio del metro de alambre es 0,60 €. La relación entre las variables Longitud de alambre y Precio, ¿es una función? El precio es proporcional a la longitud de alambre:

Una magnitud es cualquier característica que puede ser medida y su valor expresado mediante un número.

Precio (en €)

Longitud (en m) ⋅ 0,60

→ 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

0,60

→ 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1,20

→ 3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1,80

⋅ 0,60 ⋅ 0,60 ⋅ 0,60

→ 0,60 ⋅ x = y x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Podemos expresar esta relación como: y = 0,60 ⋅ x. Si agrupamos algunos pares de valores en forma de tabla, tenemos que: Longitud (m)

0,5

1

1,5

2

2,5

Precio (€)

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

Vemos que para cada longitud, x, tenemos un único precio, y, porque una cantidad de alambre no puede tener dos precios distintos. Luego esta relación sí es una función, donde la variable independiente, x, es la longitud del alambre y la variable dependiente, y, es su precio.

EJERCICIOS PRACTICA

1

Di, razonando tu respuesta, si la relación entre los siguientes pares de magnitudes es o no una función.

APLICA

2

a) El peso de una persona y su altura.

a) Su doble más 2. b) Sumarle una unidad y dividir el resultado entre 2. c) Su cuarta potencia. d) Su raíz cuadrada.

b) El peso de un barril y la cantidad de líquido que contiene. c) La longitud del lado de un polígono regular y su perímetro. d) La calificación en un examen y el número de horas empleadas en su estudio. e) El número de obreros y el tiempo que tardan en acabar un trabajo.

212

Dados los números 3, 5, 7 y 9, calcula para cada uno el número o números que les corresponden con estas relaciones, e indica cuáles son funciones.

REFLEXIONA

3

Escribe dos relaciones que sean funciones y otras dos que no lo sean.

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2

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Formas de expresar una función

2.1 Función definida por un enunciado La relación entre las variables de una función la podemos expresar de forma verbal. – «A cada número le asociamos su cuadrado». – «Dado un número, le asignamos su mitad más 1». EJEMPLO Pon varios ejemplos de funciones expresadas mediante enunciados.

2

– Las ofertas de un supermercado relacionan el peso o la cantidad de unidades con un determinado precio. – Los parquímetros de una ciudad muestran el tiempo que podemos estacionar en función del dinero abonado.

2.2 Función definida por una expresión algebraica En ocasiones, las funciones vienen dadas por una expresión algebraica. Esta expresión se denota y = f(x) y se llama ecuación de la función. Mediante una ecuación es sencillo conocer el valor de la variable y, llamado imagen, correspondiente a cada valor de la variable x, denominado original. Basta con sustituir el valor de x en la expresión y operar.

La expresión algebraica de la función que asocia a cada número su triple menos 7 se puede escribir de estas maneras.

y = 3x - 7 f (x ) = 3 x - 7 y = f (x ) = 3 x - 7 Y el valor de esta función para x = 4 se representa como: f (4) = 3 · 4 - 7 O como: y = f (4) = 3 · 4 - 7

EJEMPLOS Determina la expresión algebraica de la función que asocia a cada número, x, un valor, y, igual que su cuadrado, x2.

3

Expresión algebraica → y = x2 ¿Cuál es la expresión algebraica de la función que asocia a cada número su triple menos 7? ¿Y la imagen de x = 4, f(4)?

4

Expresión algebraica → y = f(x) = 3x − 7 Imagen de x = 4 ⎯⎯⎯ →

f(4) = 3 ⋅ 4 − 7 = 12 − 7 = 5

EJERCICIOS PRACTICA

4

Expresa, mediante un enunciado, las siguientes funciones. a) y = 2x − 1

5

APLICA

b) y = −x + 3

Obtén la expresión algebraica de la función que asocia a cada número: a) Su triple. b) Su cuadrado.

6

c) Su doble más 5. d) Su mitad.

Dada la función que asocia a cada número su cuarta parte más 3: a) Escribe su expresión algebraica. b) Calcula f(8), f(−4) y f(10).

REFLEXIONA

7

Piensa en una función de la que no puedas hallar su expresión algebraica.

213

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2.3 Función definida por una tabla de valores Una función puede estar definida también por una tabla de valores. EJEMPLO 5

Construye una tabla de valores para la función y = 2x + 1. x

y = 2x + 1

x

y

−2

2 ⋅ (−2) + 1 = −3

−2

−3

−1

2 ⋅ (−1) + 1 = −1

−1

−1

0

2 ⋅ (0) + 1 = 1

0

1

1

2 ⋅ (1) + 1 = 3

1

3

2

2 ⋅ (2) + 1 = 5

2

5

F

2.4 Función definida por una gráfica Antes de unir los puntos debemos reflexionar sobre si tiene sentido hacerlo o no. Esto dependerá de los valores que puedan tomar las variables.

Los pares de valores relacionados de una función, (x, y), determinan puntos del plano en un sistema de ejes cartesianos. La representación de todos esos puntos forma su gráfica. La variable independiente, x, se representa en el eje de abscisas y la dependiente, y, en el de ordenadas. EJEMPLO 6

Utilizando la tabla del ejemplo anterior, dibuja la gráfica de la función y = 2x + 1. Según la tabla, las coordenadas de los puntos serían (−2, −3); (−1, −1); (0, 1); (1, 3) y (2, 5). En principio, la gráfica estaría formada solo por esos cinco puntos. Sin embargo, como la variable x puede tomar cualquier valor, siendo su imagen y = 2x + 1, podemos unir esos puntos.

Y 4

y = 2x + 1

2 −4 −2

−2

2

4

−4

EJERCICIOS PRACTICA

8

214

APLICA

Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprésalas mediante un enunciado y obtén su representación gráfica. a) y = x + 2

e) y = −3x − 1

b) y = 2x + 3

f) y = x 2 + 1

c) y = x 2

g) y = 4x − 4

d) y = x 2 + x

h) y = −x

9

Un punto pertenece a la gráfica de una función si sus coordenadas verifican su ecuación. ¿Pertenecen (−1, 2) y (0, −1) a y = −2x?

REFLEXIONA

10 El precio de una entrada es 15,75 €.

Expresa esta función mediante una ecuación, una tabla y una gráfica.

X

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Características de una función

3

3.1 Discontinuidad Una gráfica es discontinua cuando no se puede dibujar de un solo trazo. Vamos a estudiar dos tipos de gráficas discontinuas: Y

X

Las gráficas discretas, que son gráficas de puntos aislados. • La variable x es discreta y la variable y puede ser discreta o continua. • En este tipo de funciones solo se representan los puntos. Y

Las gráficas escalonadas, formadas por segmentos horizontales a distintas alturas. • La variable x es continua y la variable y es discreta. • Al representar estas funciones se unen los puntos mediante líneas horizontales.

X

Por ejemplo, el número de peces capturados es una variable discreta, y su peso, continua.

EJEMPLO Un artesano fabrica relojes que vende a 600 € cada uno. Si emplea una semana en fabricar cada reloj, representa las funciones Número de relojes–Ganancia y Tiempo–Ganancia.

Ganancia (€)

2.400

Y

2.400 Ganancia (€)

7

1.800 1.200 600

Y

1.800 1.200 600

X 1 2 3 N.º de relojes

Una variable es discreta cuando sus valores son aislados, y es continua si entre cada dos valores siempre hay valores intermedios.

X

4

1 2 3 4 Tiempo (semanas)

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

11 Razona cómo serían las variables

12 Un vendedor de muebles tiene un sueldo

fijo de 480 € y, por cada mueble que vende, cobra 10 € de comisión. Dibuja la gráfica que expresa la ganancia en función del número de muebles vendidos.

que relacionan las siguientes gráficas. Y

Y

REFLEXIONA X

X

13 Pon un ejemplo de función cuya gráfica sea

discreta, y otro, con una gráfica escalonada.

215

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3.2 Continuidad Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no tiene puntos de discontinuidad. Y

En las funciones que tienen gráficas continuas debemos tener en cuenta que: • Ambas variables, x e y, son variables continuas. • Al representar este tipo de funciones se unen los puntos representados con una línea. X

Para representar una función discontinua, necesitamos levantar el lápiz del papel en cada uno de sus puntos de discontinuidad.

EJEMPLO 8

María va en motocicleta y circula a una velocidad constante de 25 km/h. Estudia y representa la función que relaciona el tiempo transcurrido con el espacio que recorre María. En este caso, es una función de proporcionalidad directa: a mayor tiempo, mayor será la distancia recorrida. Tiempo (h)

Distancia (km)

0

0

1

25

2

50

3

75

4

100

Espacio (km)

100

Y

75 50 25 X 1

2 3 Tiempo (h)

4

Además, los puntos representados se unen con una línea porque ambas variables (tiempo transcurrido y espacio recorrido) son variables continuas.

EJERCICIOS Y

PRACTICA

14 Estudia la continuidad

de la función con la siguiente gráfica. Indica, si los tiene, sus puntos de discontinuidad. 15 Dadas las funciones

APLICA

4

16 Dibuja las gráficas de estas funciones.

2 1 −2 −2 −4

3

X

a) A cada número natural le hacemos corresponder su doble menos 2. b) A cada número entero le hacemos corresponder su doble menos 2. c) A cada número real le hacemos corresponder su doble menos 2.

y = −x + 3 e y = x2: a) Forma las tablas de valores. b) Representa las funciones. c) Estudia su continuidad.

216

REFLEXIONA

17 Estudia la continuidad de la función que a cada

número real le hace corresponder el número 4.

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3.3 Dominio y recorrido • El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente. Se representa por Dom f. • Se denomina recorrido de una función f(x) al conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se representa por Im f. EJEMPLOS 9

Calcula el dominio y el recorrido de esta función.

Y

El dominio se calcula en el eje X y está formado por los intervalos [−6, 3] y [5, 6]. Lo escribimos así: Dom f = [−6, 3] ∪ [5, 6]

3 2 −6

El recorrido se calcula en el eje Y y está formado por el intervalo [−5, 2] y el punto 3. Lo escribimos así: Im f = [−5, 2] ∪ {3}

1

3

5 6

X

−5

10 Determina el dominio y el recorrido de la función y = x2.

El dominio de una función continua es el conjunto de todos los números reales y lo escribimos así: Dom f = R

y = x2 → Asocia a cada número su cuadrado. Como existe el cuadrado de cualquier número, su dominio es todos los números reales. Lo escribimos así: Dom f = R La variable dependiente, y, solo toma valores positivos, ya que el cuadrado de un número es siempre mayor o igual que cero. Lo escribimos así: Im f = R+

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

18 Determina el dominio y recorrido de la función.

20 Considerando la función que asocia a cada

número real su inverso más 3:

Y

a) Escribe su expresión algebraica. 4

b) Obtén su dominio y recorrido.

2

c) ¿Cuál es la imagen de 2?

−4 −2

3

5

X

(Recuerda que no se puede dividir entre 0.) REFLEXIONA

−5

19 Dada la función que asocia a cada número real

21 Representa la función que a cada número real

le hace corresponder −1 si el número es negativo y +1 si es positivo.

su triple menos 6, obtén:

a) ¿Cuál es la imagen de 2? ¿Y de −2?

a) Su expresión algebraica. b) Su dominio, recorrido y gráfica.

b) Dibuja su gráfica. c) Determina su dominio y recorrido.

217

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3.4 Puntos de corte con los ejes Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de la gráfica con ambos ejes de coordenadas. • Los puntos de corte con el eje X son de la forma (a, 0) y el valor de a se calcula resolviendo la ecuación f(x) = 0. • El punto de corte con el eje Y es de la forma (0, b) y el valor de b se calcula obteniendo f(0).

Una función solo puede tener un punto de corte con el eje Y.

EJEMPLO

Y

11 Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = −3x + 2. • Punto de corte con el eje X.

X

Su ordenada es 0. Para hallar su abscisa resolvemos la ecuación: 2 f (x) = 0 f(x) = −3x + 2 ⎯⎯⎯→ −3x + 2 = 0 → −3x = −2 → x = 3 ⎛2 ⎞ El punto de corte con el eje X es ⎜⎜⎜ , 0⎟⎟⎟. ⎝3 ⎠ • Punto de corte con el eje Y.

No es una función.

Su abscisa es 0. Para calcular su ordenada hallamos f(0). x=0

f(x) = −3x + 2 ⎯⎯⎯→ f(0) = −3 ⋅ 0 + 2 = 2 El punto de corte con el eje Y es (0, 2). Si representamos la función y = −3x + 2, vemos que los puntos de corte coinciden con los que hemos determinado. Y

x

y

−2

8

−1

5

0

2

1

−1

2

−4

2

−4

−2

2

4

X

−2

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

22 Representa las siguientes funciones

25 Dada la función y =

y halla sus puntos de corte con los ejes. a) y = 3x − 6 b) y = x + 1

c) y = −2x d) y = x 2 − 2

APLICA

23 La función y = x 2 − 5x + 6,

¿en qué puntos corta a los ejes? 24 Representa la función y = 3. ¿Qué observas?

¿En qué puntos corta a los ejes?

218

a los ejes.

2 , di en qué puntos corta x

26 La función y = 5x, ¿en qué punto corta al eje Y?

¿Y la función y = 5x + 1? ¿Y la función y = 5x − 2? Con los resultados anteriores, ¿en qué punto crees que cortará al eje Y la función y = 5x − 7? 27 ¿Cuántos puntos de corte puede tener

una función con el eje Y? ¿Y con el eje X?

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3.5 Crecimiento y decrecimiento

Y

Y f(a)

f(b) f(a)

Dada una función f(x) y los valores x = a y x = b, tales que a < b:

f(b) a

• Si f(b) > f(a), la función es creciente entre a y b. • Si f(b) < f(a), la función es decreciente entre a y b. • Si f(b) = f(a), la función es constante entre a y b.

b

a

X

Creciente

b

X

Decreciente

Y f(a) = f(b)

El crecimiento y el decrecimiento de una función son propiedades locales, es decir, no se estudian globalmente, sino por intervalos. Para estudiar estas propiedades, los valores a y b no pueden ser números cualesquiera, sino que deben estar lo suficientemente próximos.

a

X

b

Constante

EJEMPLO 12 Determina el crecimiento y el decrecimiento en esta gráfica que representa las personas (en miles) que acuden a un centro comercial a lo largo de un día.

Y

8

Y Personas (miles)

6

X

Esto significa que en el eje X, a la izquierda del 8, hay un trozo de eje del que hemos prescindido porque no tiene gráfica.

5 4 3 2 1

X 8

10

12

14 16 Horas

18

20

22

24

Para estudiar el crecimiento y el decrecimiento de una función debemos mirar su gráfica de izquierda a derecha. Analizando la gráfica de esa manera, vemos que: – Es creciente en los intervalos (8, 12) y (16, 18). – Es decreciente en los intervalos (12, 14) y (18, 24). – Es constante en el intervalo (14, 16).

EJERCICIOS PRACTICA

30 La siguiente tabla muestra las ventas de coches

28 Observa los precios (en euros) del kilogramo

de patatas en el período 2003-2007. Representa los datos en una gráfica y analiza su crecimiento y decrecimiento.

durante los cinco primeros meses del año. Sin representar los datos, analiza su crecimiento y decrecimiento. Mes

Año

2003

2004

2005

2006

2007

Precio

0,51

0,65

0,57

0,49

0,64

Ventas

E

F

M

A

M

2.000

1.875

1.690

1.600

1.540

REFLEXIONA APLICA

29 Dibuja la gráfica de una función que sea

creciente en los intervalos (0, 3) y (6, 8) y decreciente en (3, 6) y (8, 10).

1 , x y analiza su crecimiento y decrecimiento. ¿Es constante en algún tramo?

31 Representa gráficamente la función y =

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3.6 Máximos y mínimos Y

• Una función tiene un máximo en el punto x = a cuando pasa de ser creciente a decreciente en ese punto.

Máximo Cr eci en te

nte cie cre De

• Una función tiene un mínimo en el punto x = a cuando pasa de ser decreciente a creciente en ese punto. X

Y

EJEMPLO Cr eci en te

nte cie cre De

13 La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de un paciente a lo largo de 10 horas. Halla sus máximos y mínimos.

Mínimo

Y

Temperatura (°C)

40

X

39 38 37

X 1

2

3

4

5 6 Horas

7

8

9

La función tiene dos máximos que se alcanzan al cabo de x = 3 y x = 5 horas y un mínimo transcurridas x = 9 horas.

10

3.7 Periodicidad Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período, es decir, f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = …, siendo T el valor del período. EJEMPLO

Y 3

14 Determina si esta función es periódica y calcula su período. 3

6

9

La gráfica se repite en intervalos de 3: f(0) = f(3) = f(6) = f(9) = … Su período es T = 3.

X

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

32 Determina

33 Dibuja una función que tenga máximos

en x = −2 y x = 3 y mínimos en x = 1 y x = 2.

Y

los máximos y mínimos de la función.

34 Dibuja una función de período 2 y otra

4

de período 4.

2 −4 −2

−2 −4

220

4

X

REFLEXIONA

35 Dibuja la gráfica de la función que mide el

ángulo formado por las manecillas del reloj desde las 0:00 hasta las 2:00 horas. ¿Cuáles son los máximos y los mínimos?

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3.8 Simetrías • Función simétrica respecto del eje Y. Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas, o función par, cuando f(x) = f(−x). • Función simétrica respecto del origen. Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas, o función impar, cuando −f(x) = f(−x).

Y

−x

x

X

Función par

EJEMPLO Y

1 y estudia sus simetrías. 15 Representa las funciones y = x e y = x 2

−x

Y

y=x

2

⎫⎪⎪ f (x) = x2 → f (x) = f (−x) 2 2⎬ f (−x) = (−x) = x ⎪⎪⎭ La función es simétrica respecto del eje Y.

2

−3

x

• Simetría respecto del eje Y.

4

−1

1

X

3

X

Función impar

• Simetría respecto del origen. ⎪⎫⎪ −f (x) = −x2 ⎬ → f (x) ⫽ f (−x). La función no es simétrica f (−x) = (−x)2 = x2 ⎪⎪⎭ respecto del origen. Y

2 −3

• Simetría respecto del eje Y. 1 y= x

⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ → f (x) ⫽ f (−x) 1 1 ⎪⎪ =− ⎪ f (−x) = −x x ⎪⎪⎭ La función no es simétrica respecto del eje Y. f (x) =

−1 1

X

3

−2

1 x

• Simetría respecto del origen. ⎫⎪ 1 ⎪⎪ ⎪⎪ x ⎬ → f (x) = f (−x). La función es simétrica respecto 1 1 ⎪⎪ del origen. f (−x) = =− ⎪ x ⎪⎪⎭ −x

−f (x) = −

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

36 Representa gráficamente la función dada

37 Analiza las simetrías de estas funciones.

mediante esta tabla de valores.

a) y = 4

x

…

−2

−1

0

1

2

…

y

…

7

4

3

4

7

…

b) y = x4

c) y = x3

REFLEXIONA

¿Es una función simétrica?

38 Una función, ¿puede ser simétrica respecto

del eje X ? Razona tu respuesta.

221

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Ecuación de la función

Funciones Y G

G

Variable dependiente

O

Eje de abscisas

y = f(x) Variable independiente

X

y = x2 − 1 → f(2) = 22 − 1 = 3

Mínimo

F

P(x, y)

Eje de ordenadas

F

Máximo

Original

Imagen

HAZLO DE ESTA MANERA

1. REPRESENTAR UNA FUNCIÓN Representa la función que relaciona el tiempo que circula un ciclomotor a 20 km/h con el espacio que recorre. Construimos una tabla de valores de la función.

Tiempo (h)

1

2

3

4

5

6

…

Espacio (km)

20

40

60

80

100

120

…

Y 100

SEGUNDO. Representamos los puntos en unos ejes cartesianos. TERCERO. Analizamos el tipo de variables de la función.

– El tiempo es una variable continua (puede tomar cualquier valor). – El espacio recorrido es también una variable continua (puede tomar cualquier valor entre dos valores dados).

Espacio (km)

PRIMERO.

80 60 40 20 X 1

Unimos los puntos representados con una línea porque ambas variables son continuas.

2

3

4

Tiempo (h)

2. CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES EN UNA FUNCIÓN DEFINIDA POR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = 2x + 1. • Con el eje Y

• Con el eje X PRIMERO.

Resolvemos la ecuación f(x) = 0.

f (x) = 0 f(x) = 2x + 1 ⎯⎯⎯→ 2x + 1 = 0 → x = − SEGUNDO. Estos puntos tienen por ordenada 0

y por abscisa la x que hemos calculado. ⎛ 1 ⎞ Punto de corte con el eje X → ⎜⎜⎜− , 0⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎠

222

PRIMERO.

1 2

Hallamos f(0). x=0

f(x) = 2x + 1 ⎯⎯⎯→ f(0) = 2 ⋅ 0 + 1 = 1 SEGUNDO. Estos puntos tienen por abscisa 0

y por ordenada su imagen, que es el resultado anterior. Punto de corte con el eje Y → (0, 1)

5

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3. ESTUDIAR UNA FUNCIÓN

Y Temperatura (°C)

Estudia esta gráfica que muestra la temperatura de un paciente a lo largo de 2 días, tomada cada 4 horas.

40 39 38 37 X 4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48 Horas

Calculamos el dominio y el recorrido. En el eje X se toman valores entre 0 h y 48 h → Dom f = [0, 48] En el eje Y se toman valores entre 38° y 40° ⎯ → Im f = [38, 40]

PRIMERO.

SEGUNDO. Determinamos los puntos de corte.

La gráfica no corta al eje X. La gráfica corta al eje Y en 38° → El punto de corte con el eje Y es (0, 38). TERCERO. Mirando la gráfica, de izquierda a derecha, determinamos el crecimiento y el decrecimiento.

Es creciente en los intervalos (0, 4), (8, 12), (16, 20), (24, 28), (32, 36) y (40, 44). Es decreciente en los intervalos (4, 8), (12, 16), (20, 24), (28, 32), (36, 40) y (44, 48). Determinamos los máximos y los mínimos. Hay máximos en x = 4, x = 12, x = 20, x = 28, x = 36 y x = 44. Hay mínimos en x = 8, x = 16, x = 24, x = 32 y x = 40.

CUARTO.

Observando la gráfica vemos si existe alguna parte que se repite periódicamente. La parte comprendida entre 0 y 16 se repite periódicamente → f(16) = f(32) = f(48) La función es periódica, de período T = 16.

QUINTO.

Analizamos la gráfica, cuadrante a cuadrante. • Si se repite en el 1.er y 2.º cuadrantes, y en el 3.er y 4.º, existe simetría respecto del eje Y. • Si se repite en el 1.er y 3.er cuadrantes, y en el 2.º y el 4.º, hay simetría respecto del origen. En este caso no hay simetrías, la gráfica solo existe en el 1.er cuadrante.

SEXTO.

Y AHORA… PRACTICA Representar una función

Estudiar una función

1. Una compañía telefónica factura a sus clientes por minutos completos. Si cada minuto cuesta 3 céntimos, ¿cómo es la gráfica?

3. Esta función cumple una de estas condiciones.

a) Continua

b) Escalonada

c) Discreta

Calcular los puntos de corte con los ejes 2. Los puntos de corte con el eje X de y = x − 1 son: 2

a) (1, 0) y (−1, 0) b) (1, 0)

c) (−1, 0) d) No tiene.

Y

X

a) b) c) d)

Tiene máximos pero no mínimos. Tiene dos máximos y dos mínimos. Es periódica y no simétrica. Es siempre creciente.

223

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Actividades CONCEPTO DE FUNCIÓN

EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN

39. ● De estas relaciones, señala las que representan una función. Razona tu respuesta.

43. ● Escribe la expresión algebraica de la relación que existe entre las siguientes magnitudes.

a) Un número positivo y su raíz cuadrada.

a) El radio de una circunferencia y su longitud. b) El radio de una esfera y su volumen. c) El área de un círculo y su radio.

b) Un número positivo y su raíz cúbica. c) Un número negativo y su valor absoluto. d) El número de lados de la base de una pirámide y su número total de aristas.

44. ● Dada la función que asocia a cada número el inverso de la suma de ese número más 5: a) Determina su expresión algebraica. b) ¿Existe valor de la función para x = −2?

40. ● Escribe tres ejemplos de funciones y señala cuál es cada variable.

45. ●● La relación existente entre el número de vértices de una pirámide y su número de aristas.

HAZLO ASÍ

a) ¿Es una función? Construye una tabla de valores y represéntala gráficamente. b) ¿Es posible establecer una expresión algebraica que represente la función?

¿CÓMO SE IDENTIFICA UNA FUNCIÓN MEDIANTE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA? 41. Indica si estas gráficas son funciones o no. a) Y

b)

Y

46. ●● Expresa, de todas las maneras posibles, las siguientes funciones. a) y = x + 5

X

X

c) y = x 2 + x + 1 x d) y = 5

b) y = −3x + 1

Se determina si a algún valor de x le corresponde más de un valor de y. PRIMERO.

a) Y

b)

47. ●● Una bolsa de patatas fritas cuesta 1,50 €. Expresa algebraicamente la función Número de bolsas–Precio, construye una tabla de valores y realiza su gráfica.

Y

X

X

48. ●● Haz una tabla de valores con el largo y el ancho de los rectángulos de área 36 m2.

SEGUNDO. Si ocurre así, la gráfica no corresponde

a una función. En caso contrario, sí corresponde a una función. Por tanto, b) es función y a) no lo es.

Expresa, de forma algebraica, y representa la función Largo–Ancho.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

42. ● Indica cuáles son funciones y cuáles no. a) Y

c) Y

X

49. ● Estudia la continuidad de estas funciones. ¿Tienen puntos de discontinuidad?

X

a) b)

d)

Y X

Y

Y

Y

2 2

X −5 −3 −1

224

b)

1 −2

3

5X

−4 −2 −2

2

4

X

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Temperatura (°C)

50. ● Luis está enfermo y le toman la temperatura 4 veces al día durante 3 días, obteniendo los puntos de este gráfico.

53. ●● Calcula el dominio de estas funciones. c)

x+1

5 x−5

d)

x−2

b) y =

Y 40 39

54. ●● Estudia la continuidad de la función y = x 3 y obtén su dominio y recorrido.

38 37 36

55. ●●● Estudia la continuidad de la función 2 y= y obtén su dominio y recorrido. x −1

X

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 Tiempo (h)

¿Podemos unir los puntos? ¿Será una función continua o discontinua?

56. ●●● Dada la función f (x) = a) b) c) d)

51. ● Determina el dominio y el recorrido de estas funciones. a)

a) y = x 2 + 1

b)

Y 4

Y 4

4

6

8 X

Construye una tabla de valores. Estudia su continuidad. Dibuja su gráfica. Determina su dominio y recorrido.

57 ● Halla los puntos de corte con los ejes de las funciones.

2 2

x+4.

2

4

6

8X

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN CON SU EXPRESIÓN ALGEBRAICA? 52. Halla el dominio de las funciones. 3 + 2x a) y = 2x − 3 b) y = c) y = x+1

a) y = 4x − 1 b) y = 5 c) y = x 2 − 3

d) y = (x − 3)2 e) y = x 3 − 8 f) y = −3

58. ●● Analiza el crecimiento de la esta función. Y 4 3

x −1

Se analiza el tipo de expresión. a) y = 2x − 3 ⎯→ Es una expresión polinómica. 3 + 2x Es una expresión que tiene b) y = → la variable x en el denominador. x+1

2

PRIMERO.

c) y =

Es una expresión que tiene x −1 ⎯ → la variable x bajo una raíz.

−1

2

3

4

5

6

7

8 X

59. ● Observa la gráfica correspondiente a esta función. Y 7 6 5 4 3 2 1

SEGUNDO. Se calcula el dominio dependiendo

del tipo de expresión. a) Estas expresiones están definidas para todos los números reales: Dom f = R. b) Un cociente no está definido cuando el denominador es 0, luego la función no está definida en x = 1: Dom f = R − {1}. c) Las raíces solo están definidas para números positivos; por tanto, la función está definida cuando x es mayor o igual que 1: Dom f = [1, +⬁).

1

1

a) b) c) d)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Señala su dominio y recorrido. ¿Es una función continua? Estudia su crecimiento y decrecimiento. Señala sus máximos y mínimos, si los tiene.

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60. ●● Completa las siguientes gráficas para que resulte una función simétrica respecto del eje Y. a)

b)

Y

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE REPRESENTA UNA FUNCIÓN CONOCIENDO ALGUNAS DE SUS CARACTERÍSTICAS?

Y

X

X

61. ●●● Una función, ¿puede ser simétrica respecto del eje Y y respecto del origen? Si crees que sí, pon un ejemplo. 62. ●● Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones periódicas. a)

c)

Y

Y

66. Representa una función con estos datos. – Dom f = R – Pasa por los puntos (−2, 0), (2, 0) y (4, 0). – Tiene un mínimo en (3, −2). – Tiene un máximo en (0, 2). PRIMERO. Se representan los puntos por los que pasa la función.

Se dibujan los puntos en los que hay mínimos y máximos. 2 2 4 Sobre los mínimos −2 X se representa un arco −2 con su parte cóncava hacia abajo. Y sobre los máximos, un arco con su parte cóncava hacia arriba. Y

SEGUNDO.

X

X

Y

TERCERO. Siguiendo

b)

d) Y

Y

X

X

63. ●● Estudia las características de las funciones que relacionan: a) La longitud del lado de un hexágono regular con su área. b) La longitud del lado de un cuadrado con su diagonal. c) Un número real y su cubo. d) Un número real y el triple de su raíz cuadrada. 64. ●● Estudia las características de las siguientes funciones. a) y = −3x b) y = 2x − 5 c) y = x 2 + 2x + 1

2 −2 x e) y = (x − 1)2 f) y = x 3 − 3

d) y =

65. ●●● Analiza estas funciones. a) y = ⏐x⏐ (valor absoluto de x) ⎧⎪−x si x ≤ 0 b) y = ⎨ 2 ⎪⎪⎩x si x > 0

226

las indicaciones de las flechas que señalan la dirección de la gráfica y los puntos por los que pasa, se representa la función.

2 2

4

−2

X

−2

67. ●● Representa una función tal que: – Dom f = R – Pasa por los puntos (5, 0) y (7, 0). – Tiene puntos mínimos en (0, 1) y (6, −3). – Tiene un máximo en (3, 5). 68. ●● Representa una función con estas características. – Dom f = R – Pasa por los puntos (−3, 0) y (0, 2). – Es creciente hasta x = −2, constante en el intervalo (−2, 4) y decreciente a partir de x = 4. 69. ●● Dibuja una función periódica, con dominio el intervalo (−5, 5) y recorrido (−2, 2). ¿Existe más de una solución? 70. ●●● Representa la gráfica de una función simétrica respecto del eje Y y que siempre sea creciente. ¿Es posible?

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Página 227

74. ●● En un entrenamiento para una carrera de 5.000 m, un atleta ha registrado estos tiempos.

PROBLEMAS CON FUNCIONES 71. ●● En un instituto han medido la longitud de la sombra del edificio principal cada hora, a lo largo de un día de invierno (a partir de las 18:00 horas era de noche), obteniendo esta tabla. Hora

8

Longitud

23 18 14 10

9

Tiempo (s)

0

10

20

30

40

50

…

Espacio (m)

0

65

130

195

260

325

…

10 11 12 13 14 15 16 17 4

2

6

10 16 21

a) Haz la representación gráfica. b) ¿Es una función continua o discontinua? c) Estudia las características de la función.

73. ●● En la gráfica se muestra la superficie de edificación de viviendas (en millones de m2) concedida en cada mes del año.

Volumen

3

Volumen

4 Altura

2 Altura

1

Volumen

Volumen

INVESTIGA

Y 13

76. ●●● Si una función es continua:

12 11 10 9

X E

a) b) c) d)

75. ●●● ¿Qué gráfica corresponde al llenado de cada frasco?

Altura

a) Representa la función Tiempo–Distancia a la ciudad A. b) Realiza un estudio completo de la función.

a) Representa los datos en una gráfica. b) Si continúa con la misma velocidad, ¿qué tiempo tardará en recorrer 5.000 m? c) Escribe la expresión algebraica que relaciona el espacio recorrido con el tiempo empleado.

Altura

72. ●● Un tren realiza el trayecto entre dos ciudades A y B. Sale de A a las 07:00 horas y se dirige a B a velocidad constante, llegando en 40 minutos. Después, para durante 20 minutos y parte de B hacia A, llegando en 50 minutos. Se detiene 10 minutos y, a la hora en punto, vuelve a salir hacia B.

F M A M J

J A S O N D

Analiza su continuidad. ¿En qué puntos corta a los ejes? Estudia su crecimiento. Señala sus máximos y mínimos, indicando si son absolutos o relativos. e) ¿En qué meses se superaron los 12 millones de metros cuadrados? ¿Entre qué dos meses se registró el mayor crecimiento?

a) ¿Cuántos máximos, al menos, deberá tener la función si corta exactamente 4 veces al eje X? b) Y no es constante en ningún intervalo, ¿cuál es el mayor número de veces que puede cortar al eje X si tiene 3 mínimos? 77. ●●● ¿Puede una función par valer −7 en x = 0? ¿Y una función impar? 78. ●●● De una función sabemos que todos los elementos de su conjunto Imagen son positivos y además: f(x + y) = f(x) ⋅ f(y) ⎛ 2 ⎞⎟ Si f ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = 4 , ¿cuánto vale f(5)? ¿Y f(0)? ⎝3⎠

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Página 228

En la vida cotidiana 79. ●●● Marta decidió invertir sus ahorros en el año 2002. Tuvo que elegir entre dos productos financieros: un depósito a plazo fijo o un fondo de inversión.

SITO

DEPÓZO FIJO A A PL : CIÓN DURAAÑOS 5 LIDAD: ABI N E R T 15 % 3%

80. ●●● El Instituto General de Medios de Comunicación (IGMC) ha hecho públicos los datos recogidos en su última encuesta realizada a los oyentes. En esta gráfica aparece el número de oyentes (en millones) de las dos emisoras de radio con mayor audiencia del país.

AL ANU

INVERSIÓN

PARTICIPACIÓN: 15,80 € ALTA

RENTABIL IDAD

El depósito a plazo fijo tenía una duración de 5 años. Pasado este tiempo, el banco le devolvería el capital que había ingresado más un 15 % de intereses. En caso de retirarlo antes, el banco le ofrecía un interés del 3 % cada año. Por otra parte, el fondo de inversión no tenía una rentabilidad fija, y el interés podía variar dependiendo de los índices bursátiles. Finalmente Marta se decidió por el fondo de inversión, y compró 1.519 participaciones. Ayer recibió la información sobre la rentabilidad de su fondo en los últimos 5 años. Dentro de esa información aparecía este gráfico.

Precio por partipación (€)

22 21 20 19 18 17 16 15 99

00

01

02

03

04

05

06

Año

A la vista del gráfico, ¿hubiera sido mejor haber invertido en el depósito a plazo fijo? ¿En qué momentos, desde el año 2002, el depósito a plazo fijo le habría ofrecido mayor rentabilidad?

228

N.º de oyentes (millones)

FONDO DE

3 Radio-Radio

2

1 Emisora-Radio 4

8

12

16

20

24 Horas

Estas son las programaciones diarias de las dos cadenas.

RADIO – RADIO 0–4h 4–7h

Cultural Música

rmativos 7 – 10 h Info evistas 10 – 14 h Entr rmativos 14 – 15 h Info ortes 15 – 16 h Dep or 16 – 20 h Hum rmativos 20 – 22 h Info ortes 22 – 24 h Dep

EMISORA – RADIO 0 – 4 h Entrevi stas 4 – 7 h Humor 7 – 10 h Music al 10 – 12 h Inform ativos 12 – 14 h Depor tes 14 – 16 h Cultu ral 16 – 19 h Depor tes 19 – 20 h Inform ativos 20 – 22 h Music al 22 – 24 h Cine

¿Qué conclusiones obtienes del estudio de la gráfica y de sus programaciones? ¿Cómo modificarías la programación de las cadenas para aumentar la audiencia?

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12

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Funciones lineales y afines El cálculo tiene dos padres Al oír abrirse la puerta, Leibniz levantó los ojos del papel en el que escribía y, sin tan siquiera saludar al recién llegado, comenzó a quejarse, visiblemente alterado: –De todos es conocido que la trayectoria de mi vida es intachable. ¿Cómo es posible que duden de mí? He dado sobradas pruebas de honestidad y talento suficientes para esto y aún para más.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Diferenciar funciones afines y lineales. • Representar funciones afines y lineales, determinando su pendiente y ordenada en el origen. • Relacionar el signo de la pendiente y el crecimiento de una recta. • Obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. • Determinar si dos rectas son paralelas o secantes. • Reconocer y estudiar funciones lineales en la vida cotidiana.

La respiración agitada de Leibniz hizo que su interlocutor, Bernoulli, lo calmara asegurándole que nadie en todo el mundo, salvo en Inglaterra, dudaba de él. –Yo no conocía el trabajo del maestro Newton, incluso le escribí contándole mis progresos. Pero no he plagiado el trabajo de nadie –aseveró Leibniz. –He venido a comunicarte una buena noticia: la comisión ha acabado sus investigaciones y su conclusión es que las dos teorías han sido desarrolladas independientemente. Es más, en mi opinión tu sistema es mucho mejor, sobre todo por la notación que utilizas. La teoría desarrollada por Leibniz y por Newton es de capital importancia para el estudio de muchas propiedades relativas a las funciones. Leibniz fue el primero en utilizar el término «función» para designar la relación entre dos magnitudes. ¿Sabrías escribir la función que relaciona cada número con su doble menos tres unidades?

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Función lineal

1

Una función lineal (o de proporcionalidad directa) se puede expresar de la forma y = m ⋅ x, siendo m un número. • Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0, 0). • El número m se llama pendiente. • La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0. EJEMPLO Representa gráficamente estas funciones lineales. a) y = 2x 1

2

3

y

0

2

4

6 y=

y

−3x

b) y = −x x

y=

0

3x

Y

x

0

1

2

3

0

−1

−2

−3

y=

5

−

x

c) y = 3x

−4 −2

x

0

1

2

3

y

0

3

6

9

2x

1

y=

La recta está más inclinada cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente.

2

4

−5

d) y = −3x x

0

1

2

3

y

0

−3

−6

−9

La ecuación de estas funciones es de la forma y = mx, siendo las pendientes m = 2, m = −1, m = 3 y m = −3, respectivamente. Todas las gráficas son rectas que pasan por el punto (0, 0).

EJERCICIOS PRACTICA

1

Indica si las funciones son lineales y, en ese caso, determina su pendiente y su crecimiento o decrecimiento. a) y = 3x − 4 b) y = 5x 3 c) y = x 4

2

230

APLICA

1 d) y = x + 2 3 4 e) y = x f) y = x

2

Pon dos ejemplos de función lineal creciente y otros dos de decreciente.

3

Obtén una tabla de valores y representa las siguientes funciones lineales. a) y = 0,5x b) y = −2x

c) y = 4x d) y = x

e) y = −0,5x f) y = 10x

REFLEXIONA

4

Una función de proporcionalidad directa pasa por el punto P (−5, 10). a) Calcula su pendiente. b) Determina su expresión algebraica. c) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente?

X

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Página 231

Función afín

2

Una función afín es de la forma y = m ⋅ x + n, siendo m y n números. • Su gráfica es una línea recta. • El número m es la pendiente. • El número n es la ordenada en el origen. La recta corta al eje Y en el punto (0, n). EJEMPLO Representa gráficamente estas funciones afines.

2

a) y = x + 1

b) y = −2x − 3

x

0

1

2

3

x

−0

1

2

3

y

1

2

3

4

y

−3

−5

−7

−9

Y y = −2x − 3 4 y=x+1

2

−4

−2

2

4

Una función lineal es una función afín con n = 0.

X

−2

y = x + 1 ⎯⎯ → Pendiente: m = 1, ordenada en el origen: n = 1. La recta corta al eje Y en el punto (0, 1). y = −2x − 3 → Pendiente: m = −2, ordenada en el origen: n = −3. La recta corta al eje Y en el punto (0, −3).

EJERCICIOS PRACTICA

5

7

Indica si estas funciones son afines y determina su pendiente y ordenada. a) y = 3x − 4 −2 x+3 b) y = 5

c) y = x2 − 5 2 d) y = + 1 x

APLICA

6

Representa la función afín y = 2x + n para n = 1, n = 2, n = −1 y n = 0. ¿Cómo son las rectas que has dibujado?

Obtén una tabla de valores y representa estas funciones afines. a) y = 2x + 3

d) y = x + 3

b) y = −x + 4

e) y = 5x − 5

c) y = −3x + 1

f) y = 0,5x + 3

REFLEXIONA

8

Una recta que pasa por tres cuadrantes, ¿es una función lineal o afín? Razona tu respuesta.

231

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Página 232

Ecuaciones y gráficas

3

3.1 De la ecuación a la gráfica Para representar gráficamente este tipo de funciones determinamos dos de sus puntos y trazamos la recta que pasa por ellos. EJEMPLO 3

Representa estas funciones. a) y = 2x + 1

Las funciones lineales pasan por los puntos (0, 0) y (1, m).

x

y

0

1

1

3

b) y = −x

Y 3

1

y = 2x + 1

x

y

0

0

1

−1

1 y= −x

−1

X

X

1

Las funciones afines pasan por los puntos (0, n) y (1, m + n).

Y

3.2 De la gráfica a la ecuación Cuando la gráfica de una función es una recta: • Si la recta pasa por el origen de coordenadas, es una función lineal, y = mx, y su pendiente, m, es la ordenada de x = 1. • Si no pasa por el origen, es una función afín, y = mx + n, donde n es la ordenada de x = 0 y m es la ordenada de x = 1 menos n. EJEMPLO 4

Determina la expresión algebraica de estas funciones. a) Pasa por (0, 0) ⎯⎯ → y = mx Pasa por (1, −2) ⎯→ m = −2 La función es y = −2x.

Y a)

b)

1

X

b) No pasa por (0, 0) → y = mx + n Pasa por (0, 1) ⎯⎯ → n=1

n=1

Pasa por (1, 2) ⎯⎯ → m + n = 2 ⎯⎯→ m = 1 La función es y = x + 1.

−2

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

9 Determina dos puntos por los que pasen

10 Estudia la recta que pasa por (0, 2) y (1, 2).

las siguientes funciones y represéntalas. a) b) c) d)

232

y = −3x y = −6x + 7 y = −2x + 4 y = −4x

e) f) g) h)

y = 4x − 2 y = −x + 3 y = −0,4x y=x−2

REFLEXIONA

11 Representa, en unos mismos ejes,

las funciones y explica sus diferencias. a) y = 2x

b) y = 2x − 3

c) y = 2x + 1

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Página 233

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

4

Para hallar la ecuación de la recta y = mx + n, que pasa por dos puntos de coordenadas A(a1, a2) y B(b1, b2): b2 − a 2 1.º Hallamos el valor de la pendiente: m = . b1 − a1 2.º Calculamos la ordenada en el origen, sustituyendo el valor de m en la ecuación de la recta y despejando. EJEMPLO 5

Y

Determina la recta que pasa por los puntos A(1, 5) y B(−1, 1).

5

La ecuación de la recta será de la forma y = mx + n.

A 3

B

1.º Calculamos el valor de m: 1− 5 −4 m= = =2 −1 − 1 −2

−3

1

−1

1

3

X

−3

2.º Sabemos que los puntos A y B pertenecen a la recta y tienen que verificar su ecuación.

−5

La ecuación de una recta es siempre de la forma y = mx + n.

Sustituyendo las coordenadas de cualquiera de ellos y el valor de m en la ecuación y = mx + n, obtenemos el valor de la ordenada n. La recta pasa por A(1, 5): x = 1, y = 5

m=2

y = mx + n ⎯⎯⎯⎯→ 5 = m ⋅ 1 + n ⎯⎯→ 5 = 2 ⋅ 1 + n → n = 5 − 2 = 3 La ecuación de la recta es y = 2x + 3.

Para calcular el valor de n, podemos utilizar el punto A: n = a2 − a1 ⋅ m, o usar el punto B: n = b2 − b1 ⋅ m. EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

12 Obtén la ecuación de la recta que pasa

14 Halla la ecuación

por los siguientes puntos. a) b) c) d) e)

A(1, 6) y B(3, 9) A(−1, 0) y B(0, 4) A(−3, 6) y B(2, −4) A(2, 4) y B(3, 1) A(−1, −2) y B(2, 5)

13 Comprueba si las rectas anteriores pasan

por el punto de coordenadas (1, 1). ¿Corresponde alguna a una función afín?

de la recta de esta gráfica.

Y

A

1 1 B

3 4

X

−2

REFLEXIONA

15 Calcula la ecuación de la recta que tiene

la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos A(3, 5) y B(−1, 4) y pasa, a su vez, por C(5, 0).

233

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5

Rectas secantes y paralelas

Rectas secantes • Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto. • Sus pendientes son distintas. Rectas paralelas • Dos rectas son paralelas cuando no se cortan. • Las pendientes de las rectas paralelas coinciden y las ordenadas en el origen son distintas. Para hallar el punto de corte de dos rectas, podemos representarlas y determinarlo gráficamente, o bien resolver el sistema formado por sus ecuaciones. EJEMPLO 6

Y

y = −x + 3

2

−4

Tenemos que averiguar si las rectas son secantes o paralelas, y si son secantes, obtener su punto de corte. y = 2x ⎯⎯⎯ → m = −2 ⎪⎫ ⎬ → 2 ⫽ −1. Las rectas son secantes. y = −x + 3 → m = −1 ⎪⎪⎭

y = 2x

4

P(1, 2)

−2

1

3

Determina la posición relativa de las rectas y = 2x e y = −x + 3.

X

Vamos a obtener ahora el punto de corte de ambas rectas; para ello resolvemos el sistema que forman sus dos ecuaciones.

−2

⎫⎪ y = 2x 3 ⎬ y = 2x y = −x + 3 ⎪⎪⎭ ⎯⎯→ 2x = −x + 3 → 2x + x = 3 → x = = 1 3 x=1 y = 2x ⎯⎯→ y = 2 ⋅ 1 = 2

−4

Las dos rectas se cortan en el punto P(1, 2).

Las ecuaciones de dos rectas forman un sistema. Si al resolverlo el sistema tiene una única solución, las rectas son secantes; si no tiene solución, son paralelas, y si tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

16 Determina la posición relativa de estas parejas

18 Calcula las coordenadas de los vértices de un

de rectas. a) y = x + 2 y = −x + 2 b) y = 6x y = 6x − 5

triángulo que tiene sus lados en las rectas: c) y = 2x + 3 y = 2x − 11 d) y = x − 9 y = −x + 9

17 Halla el punto de corte de las rectas.

a) y = x + 8 y = 2x

234

b) y = 3x + 1 y = 6x + 2

r: y = −x + 5

s: y = x + 7

t: y = 2x − 9

REFLEXIONA

19 Escribe tres rectas secantes y tres paralelas

a las siguientes rectas. a) y = −x + 4 b) y = 3x − 7

c) y = −6x − 1 d) y = 4

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5.1 Rectas paralelas al eje de abscisas Las rectas paralelas al eje X se denominan funciones constantes porque la variable dependiente toma siempre el mismo valor. Su expresión es de la forma y = n y cortan al eje Y en el punto (0, n). Estas funciones constantes son un caso particular de las funciones afines, cuando m = 0. El valor de la variable y es el mismo para cualquier valor de la variable x. EJEMPLO 7

Representa la función y = 3. Es una función constante, de tipo y = n, siendo n = 3. Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por (0, 3). Al hacer una tabla de valores, el valor de la variable dependiente, y, es siempre constante e igual a 3. x

1

2

3

4

5

y

3

3

3

3

3

Y

4

y=3

2

−4

−2

1

3

X

−2 −4

Si representamos los puntos de la tabla, obtenemos la gráfica de la función, que es una recta paralela al eje X.

Las rectas paralelas al eje Y no son funciones.

5.2 Rectas paralelas al eje de ordenadas Y

Las rectas paralelas al eje Y tienen como ecuación x = k, siendo k un número. No son funciones, ya que asocian a un valor de x múltiples valores de y.

X

x=k

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

20 Representa las siguientes rectas.

22 Determina la posición relativa de las rectas

a) y = −7 b) y = 0 c) y = 1

d) y = 2 e) y = −2 f) y = 3

21 Representa gráficamente estas rectas.

a) x = −3 b) x = 0

c) x = 4 d) x = −2

y = 3, x = −2. Calcula su punto de corte en el caso de que sean secantes. REFLEXIONA

23 Halla la ecuación de la recta:

a) Paralela al eje X y que pasa por P(1, 3). b) Paralela al eje Y y que pasa por P(−1, 4).

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6

Aplicaciones

Existen muchas situaciones donde encontramos magnitudes relacionadas entre sí mediante funciones lineales o afines. EJEMPLO 1,75 € +

1,75 €

0,80 €

0,80 €

0,80 €

+

1,75 €

+

8

Los taxis de una localidad cobran 1,75 € por la bajada de bandera y 0,80 € por cada kilómetro recorrido. a) Estudia y representa la relación Precio – Distancia recorrida. b) ¿Cuántos kilómetros hemos hecho si el viaje nos ha costado 5,80 €? a) El precio de recorrer x kilómetros será: 0,8 ⋅ x, a lo que habrá que añadir 1,75 € que nos cobran por la bajada de bandera. Por tanto, el precio del taxi, y, al recorrer x kilómetros será: y = 1,75 + 0,8x La ecuación de la función Precio – Distancia recorrida es una función del tipo y = mx + n, con m = 0,8 y n = 1,75. Para representarla determinamos dos de sus puntos: x=0

y = 1,75 + 0,8x ⎯⎯→ y = 1,75 + 0,8 ⋅ 0 = 1,75 → Punto (0; 1,75) x=1

y = 1,75 + 0,8x ⎯⎯→ y = 1,75 + 0,8 ⋅ 1 = 2,55 → Punto (1; 2,55) Y 5,80

Coste (€)

5 4 y = 1,75 + 0,8x

3 2 1

Distancia (km) 1

2

3

4

5

6

X

b) Si el viaje nos ha costado 5,80 €: y = 5,80

y = 1,75 + 0,8x ⎯⎯⎯→ 5,80 = 1,75 + 0,8x → 0,8x = 5,80 − 1,75 → → x = 5,06 km La distancia recorrida ha sido 5 km, aproximadamente.

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

24 En un puesto del mercado hemos visto

25 La temperatura, en un lugar de la Antártida,

la siguiente oferta: «Una bolsa de 10 kg de tomates cuesta 16 €». a) Si lo consideramos una función, ¿qué variables estamos relacionando? b) Expresa la función de todas las formas posibles. c) ¿Qué tipo de función es? d) ¿Cuánto cuesta una bolsa de 7 kg?

236

a las 12 h es 5 °C y cada hora baja 4 °C. Expresa la función de todas las maneras posibles. REFLEXIONA

26 La ecuación que nos da el interés de

un depósito bancario es y = 3 ⋅ t. Si el capital invertido es 150 €, halla la ecuación que relaciona el capital con el tiempo, y represéntala.

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A veces, la naturaleza del problema nos obliga a estudiar conjuntamente dos o más funciones de tipo lineal o afín. EJEMPLO 9

Para hacer un viaje decidimos alquilar un coche. Preguntando en dos agencias de alquiler de vehículos, hemos obtenido las siguientes tarifas. • La agencia VIAJES ÁGUILA cobra un precio fijo de 400 € y 1 € por cada kilómetro recorrido. • La agencia VACACIONES FELICES cobra un precio fijo de 50 € y 2 € por kilómetro recorrido. ¿Qué oferta nos interesa más?

ÁGUILA 400 € FELICES 50 €

400 + 10 € 50 + 20 €

Vamos a representar, para cada agencia de viajes, las funciones que relacionan la distancia recorrida, x, y el precio, y. VIAJES ÁGUILA ⎯⎯⎯⎯→ y = 400 + x VACACIONES FELICES ⎯→ y = 50 + 2x Y

Precio (€)

1.000 800 600

y + 400 y=

x

=

50

+

2x

(350, 750)

400 200 Distancia (km) 100 200 300 400 500 600

X

Como podemos apreciar en la gráfica, dependiendo del número de kilómetros que recorramos nos interesará una oferta u otra. El punto de corte de las rectas es (350, 750), es decir, si recorremos 350 km las dos agencias nos cobran lo mismo, 750 €. Por tanto, si recorremos menos de 350 km nos interesa contratar con la agencia VACACIONES FELICES, y si recorremos más de 350 km será preferible hacerlo con la agencia VIAJES ÁGUILA.

EJERCICIOS PRACTICA

REFLEXIONA

27 Calcula gráficamente el punto de corte

29 Un tren sale de

de las siguientes rectas. y = 2x − 3 y = −2x + 1 Estudia también sus propiedades. APLICA

28 Para celebrar la fiesta de fin de curso,

un grupo de amigos alquila un local, y eligen entre dos locales cuyas ofertas son: CAMELOT: 1.000 € y 5 € por asistente. MORGANA: 200 € y 10 € por asistente. La capacidad máxima en ambos locales es de 300 personas. ¿Cuál de ellos elegirías?

Retortillo con destino a Villoria a una velocidad de 90 km/h. En ese momento sale otro tren de Villoria a Retortillo a 100 km/h. Si la distancia entre las dos poblaciones es de 344 km, ¿a qué distancia de ambas se cruzan los trenes?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Función afín

Y

y = mx

y = mx + n

y = mx m>0

Pendiente

Pendiente

X y = mx m 0,24 → La dispersión es mayor en los pesos de los bebés que en los de sus madres, aunque pueda parecer lo contrario si observamos sus desviaciones típicas: 1 < 15. PRIMERO.

50. ●● Las notas de Alberto en 5 exámenes son 4, 6, 6, 7 y 5, y las de Ana son 43, 62, 60, 50 y 55. ¿Cuál de ellos es más regular en su rendimiento académico?

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51. ●● Halla la media, mediana, moda y desviación típica de los siguientes datos. Peso (kg)

N.º de alumnos

[41, 47)

5

[47, 53)

6

[53, 59)

1

[59, 65)

4

[65, 71)

4

54. ●● A partir de estos gráficos determina su tabla de frecuencias y halla la media, mediana, moda y desviación típica de los datos. a)

7 6 5 4 3 2 1

Y

X 1

52. ●● Las notas obtenidas por 40 alumnos en Música han sido: 6 4 1 7 3 5 3 7 8 4

6 6 2 5 2 6 0 5 8 7

4 9 5 10 8 6 9 7 2 5

2 6 10 5 7 6 8 7 3 6

b)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y 10 8 6 4

Aula de Música

2

X 10

11

12

13

14

15

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE INTERPRETAN LA MEDIA Y LA DESVIACIÓN TÍPICA CONJUNTAMENTE? Calcula la media y la desviación típica de los datos, considerando primero la variable como discreta y, después, agrupando los datos en los intervalos [0, 5), [5, 7), [7, 9) y [9, 10]. ¿Qué diferencias observas?

55. Un equipo de baloncesto necesita un alero. Se han seleccionado dos jugadores que, en los últimos cinco partidos, han anotado estos puntos. ¿Cuál de ellos elegirías?

Los precios del alquiler mensual 53. ●● de la vivienda se recogen en la siguiente tabla. Precio (€)

N.º de viviendas

240

13

270

33

300

40

330

35

360

30

390

16

420

20

a) ¿Cuál es la media de los alquileres? b) Di cuál es el precio más común. c) Obtén la mediana. ¿Qué significa? d) Calcula la varianza y la desviación típica. ¿Para qué sirven estos números?

260

Jugador A

16

14

13

13

14

Jugador B

25

10

8

6

21

PRIMERO.

Se calculan la media y la desviación

típica. x A = 14 ⎫⎪ ⎬ Jugador A σ A = 1,09⎪⎪⎭

xB = 14 ⎫⎪ ⎬ Jugador B σ B = 7,56⎪⎪⎭

SEGUNDO. Se analizan los resultados anteriores.

Como las medias son iguales, si el entrenador quisiera un jugador regular, escogería al jugador A (desviación típica baja significa datos parecidos); sin embargo, si quisiera un jugador que pudiera actuar de revulsivo, escogería al B, ya que alterna partidos muy buenos con otros peores (desviación típica elevada indica datos muy diferentes). 56. ●●● Compara el rendimiento de dos alumnos que realizan 5 pruebas, obteniendo estos resultados. Juan

2

6

5

7

5

Ana

0

1

9

8

7

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PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA 57. ● En la primera evaluación, de los 30 alumnos de una clase, el 10 % aprobó todo, el 20 % suspendió una asignatura, el 50 % suspendió dos asignaturas y el resto suspendió más de dos. Realiza con estos datos una tabla de frecuencias. ¿Hay algún tipo de frecuencia que responda a la pregunta de cuántos alumnos suspendieron menos de dos asignaturas? Razona tu respuesta. 58. ●● Un corredor entrena, de lunes a viernes, recorriendo las siguientes distancias: 2, 5, 5, 7 y 3 km, respectivamente. Si el sábado también entrena:

a) ¿Cuántos kilómetros debe recorrer para que la media sea la misma? b) ¿Y para que la mediana no varíe? c) ¿Y para que la moda permanezca constante? Aplicada una prueba de Cálculo Mental 59. ●● (CM) y una prueba de Psicomotricidad (P) a los 28 alumnos de una clase, los resultados fueron: Puntuación

CM

P

[10, 20)

2

1

[20, 30)

8

7

[30, 40)

11

9

[40, 50)

4

5

[50, 60)

2

4

[60, 70)

1

2

a) ¿En qué prueba se obtuvieron mejores resultados (mayor media)? b) ¿Dónde fue mayor la dispersión? (Usa el coeficiente de variación.) 60. ●● De los 50 alumnos que respondieron a una prueba de 12 preguntas, el 10 % contestó correctamente a 3, el 50 % a 7, el 30 % a 10 y el resto al total de la prueba. Calcula la media, mediana y moda de los datos. Halla también su desviación típica.

61. ●●● Los diplomados en Informática de gestión tienen un salario medio, en su primer empleo, de 1.280 €, con una desviación típica de 380 €. Por otra parte los diplomados en Informática de sistemas tienen un salario medio de 1.160 €, con una desviación típica de 350 €. Si a un diplomado en Informática de gestión le ofrecen un sueldo de 1.400 €, y a un diplomado en Informática de sistemas, un sueldo de 1.340 €: a) ¿Cuál de los dos recibe mejor oferta? b) Razona por qué es mejor una u otra oferta. 1.160 €

1.280 €

INVESTIGA 62. ●●● Un conjunto de datos, compuesto de números enteros positivos y diferentes entre sí, tiene 47 como media. Si uno de los datos es 97 y la suma de todos los datos es 329, ¿cuál es el mayor número que puede tener? 63. ●●● Dado el conjunto de datos: 14

12

26

16

x

calcula x para que la mediana y la media de los datos sean iguales. 64. ●●● Si en un conjunto de cinco datos, la media es 10 y la mediana es 12, ¿cuál es el menor valor que puede tomar el recorrido? 65. ●●● Cuando escribimos en orden creciente la media, la mediana y la moda del conjunto de datos: 10, 2, 5, 2, 4, 2, x, obtenemos una progresión aritmética. Calcula todos los posibles valores de x. 66. ●●● Después de ordenar un conjunto de siete datos, tomamos los cuatro primeros datos, y resulta que su media es 5; pero si tomamos los cuatro últimos, su media es 8. 46 Si la media de todos los números es , 7 ¿cuál será la mediana?

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En la vida cotidiana 67. ●●● La Consejería de Educación está valorando el rendimiento de los alumnos en Matemáticas. Por ello, ha elaborado un informe en el que se muestran los resultados de los alumnos de Secundaria en Matemáticas durante el curso pasado. Un resumen del informe se muestra mediante estas gráficas.

% 35

15 %

30

25 %

25 %

25

35 %

20

68. ●●● El número de espectadores de una cadena de televisión determina el coste de la publicidad que se emite. Por eso se hacen públicos regularmente sus índices de audiencia. Las dos cadenas de televisión con mayor índice de audiencia han presentado sus resultados de los cuatro FREE primeros meses CANAL del año. Estos Miles 400 son los gráficos 350 que aparecieron 300 250 en distintos 200 150 medios de 100 comunicación. 50 Mar Feb 0

Abr

Ene

15 10 5

INS

BIE

SUF

NOT + SOB

INS SUF BIE NOT SOB

Miles 290

TV MIRO

250

210 Ene

Para realizar el diagrama de sectores han agrupado las notas más altas, NOTABLE y SOBRESALIENTE, y se han incluido los porcentajes de alumnos que han obtenido cada nota. El informe indica que el número de estudiantes que han obtenido SUFICIENTE es de 28.413. A la vista de estos gráficos y de los porcentajes, calcula el número total de alumnos evaluados y cuántos alumnos han obtenido la calificación de SOBRESALIENTE.

Feb

Mar

Abr

Ambas cadenas han experimentado un gran incremento, pero los responsables de TV MIRO insisten en que su crecimiento ha sido mayor. Tal y como muestran las gráficas publicadas en los distintos medios de comunicación, hemos experimentado un crecimiento superior al de Canal Free.

¿Cuántos espectadores ganó cada cadena? ¿Qué representación refleja mejor la situación?

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Probabilidad ¡Jaque mate! Desde que cruzó el Canal, perseguido por la intransigencia política y religiosa que recorría la Europa continental, se le podía encontrar en aquel café: el Slaughter’s Coffee House era para Abraham de Moivre su segunda casa. Era un centro de reunión de intelectuales, donde se podían defender las ideas sin más armas que la razón.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Distinguir entre experimento aleatorio y determinista. • Calcular el espacio muestral de un experimento aleatorio. • Realizar operaciones con sucesos. • Hallar la probabilidad de un suceso a partir de las frecuencias relativas o con la regla de Laplace. • Aplicar las propiedades de las probabilidades para resolver problemas.

Los dos personajes que acababan de entrar en el local, Newton y Halley, amigos de Abraham de Moivre, lo buscaron con la mirada y lo encontraron en una de las mesas del fondo jugando al ajedrez. Su contrincante, visiblemente nervioso, movía su mano de una a otra pieza sin decidirse a mover ninguna. Apenas lo hubo hecho, Abraham cantó un triunfal: ¡Jaque mate!, y levantándose se acercó a sus amigos. –Nunca aprenderá, todavía piensa que para ganar al ajedrez interviene el azar y que algún día le tocará. –Monsieur De Moivre –contestó Halley–, jugáis con la ventaja de vuestros conocimientos de Probabilidad y de este apasionante juego. Vuestro contrincante tenía siete posibles movimientos pero solo tras dos de ellos podíais dar jaque mate. –Sin embargo lo hizo y yo gané –repuso De Moivre, al tiempo que guardaba en sus bolsillos las monedas que había apostado en la partida. ¿Cuál era la probabilidad de dar jaque mate? ¿Y de no poder hacerlo?

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Experimentos aleatorios. Sucesos

1

1.1 Experimentos aleatorios Los experimentos, dependiendo de sus resultados, pueden ser: • Aleatorios ⎯⎯→ No podemos predecir el resultado que se obtendrá al realizarlo, es decir, depende del azar. • Deterministas → Conocemos de antemano el resultado. EJEMPLO 1

Clasifica estos experimentos en aleatorios o deterministas. a) Lanzar una moneda → Experimento aleatorio Puede salir cara o cruz, no sabemos de antemano el resultado. b) Sumar dos números conocidos → Experimento determinista Siempre obtendremos como resultado la misma suma.

Si un suceso contiene varios sucesos elementales se llama suceso compuesto.

1.2 Sucesos Cada posible resultado al realizar un experimento aleatorio se llama suceso elemental, y el conjunto de todos los sucesos elementales es el espacio muestral, E. En general, un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. EJEMPLO 2

Determina el espacio muestral, los sucesos elementales y algún suceso compuesto del experimento aleatorio de lanzar un dado de parchís. Espacio muestral ⎯⎯→ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sucesos elementales ⎯ → {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} Sucesos compuestos → «Obtener número par» = {2, 4, 6} «Obtener múltiplo de 3» = {3, 6}

EJERCICIOS PRACTICA

1 Clasifica los siguientes experimentos

APLICA

2 En una bolsa hay 10 bolas de 3 colores

en aleatorios o deterministas. a) Extraer una carta de una baraja. b) Pesar un litro de mercurio. c) Preguntar a tus compañeros un número. d) Lanzar tres monedas y anotar el número de caras. e) Restar dos números conocidos.

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diferentes. Escribe un experimento aleatorio y otro determinista. REFLEXIONA

3

Propón dos experimentos aleatorios. Determina sus sucesos elementales y dos sucesos compuestos.

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1.3 Diagrama de árbol Para determinar los sucesos elementales y el espacio muestral, asociados a un experimento aleatorio, podemos utilizar el diagrama de árbol. EJEMPLO 3

Marta tiene un su armario 2 pantalones de colores azul y verde, respectivamente, y 3 jerséis de colores blanco, azul y verde. Si escoge al azar unos pantalones y un jersey, ¿cuál será el espacio muestral? Podemos escoger primero el pantalón y, después, elegimos entre las tres opciones de jersey. Este sería su diagrama de árbol. ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ AB ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ AA ⎯⎯ ⎯⎯→ AV ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ VB ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯→ VA ⎯⎯ ⎯⎯→ VV

Cada uno de los casos de la derecha son los sucesos elementales y, por tanto, el espacio muestral es: E = {AB, AA, AV, VB, VA, VV}.

1.4 Sucesos compatibles e incompatibles Cuando dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente, decimos que son compatibles; en caso contrario, se denominan incompatibles.

Dos sucesos elementales son siempre incompatibles entre sí.

EJEMPLO 4

En el experimento aleatorio de sacar una carta de la baraja, considera los siguientes sucesos. A = «Sacar un as» B = «Sacar copas» C = «Sacar un rey» Determina si estos sucesos son compatibles o incompatibles. A y B son compatibles ⎯→ El as de copas pertenece a los dos sucesos. A y C son incompatibles → No hay ninguna carta que sea as y rey a la vez. B y C son compatibles ⎯→ El rey de copas pertenece a los dos sucesos.

EJERCICIOS PRACTICA

4 Escribe los posibles resultados que se pueden

APLICA

6 Determina dos sucesos compatibles y otros

obtener en el experimento aleatorio de lanzar dos monedas al aire. 5 Lanzamos una moneda y un dado de seis caras.

¿Cuál es el espacio muestral? Ayúdate con un diagrama de árbol.

dos incompatibles en el ejercicio anterior. REFLEXIONA

7

¿Existe algún suceso incompatible con todos los demás? ¿Y compatible?

265

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2

Operaciones con sucesos

Las operaciones más usuales para trabajar con sucesos son la unión y la intersección. • La unión de dos sucesos A y B, A ∪ B, es otro suceso formado por los sucesos elementales de A y B. • La intersección de dos sucesos A y B, A ∩ B, es otro suceso formado por los sucesos elementales comunes de A y B. • El suceso contrario o complementario de un suceso A, A, es el formado por todos los sucesos elementales que no están en A. EJEMPLO Cuando decimos…

Escribimos

Ocurre A o B ⎯⎯⎯→ A

B

Ocurren A y B ⎯⎯⎯ → A

B

No ocurre A ⎯⎯⎯→ A

5

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, expresa en forma de uniones e intersecciones estos sucesos. a) Obtener número impar o primo. b) Obtener número par y múltiplo de 3. c) No obtener número par. d) Obtener número primo y divisor de 6. a) A = «Obtener número impar» = {1, 3, 5} B = «Obtener número primo» = {2, 3, 5} A ∪ B = «Obtener número impar o primo» = {1, 2, 3, 5} b) C = «Obtener número par» = {2, 4, 6} D = «Obtener múltiplo de 3» = {3, 6} C ∩ D = «Obtener número par y múltiplo de 3» = {6} c) F = «Obtener número par» = {2, 4, 6} F = «No obtener número par» = {1, 3, 5} d) G = «Obtener número primo» = {2, 3, 5} H = «Obtener divisor de 6» = {1, 2, 3, 6} G ∩ H = «Obtener número primo y divisor de 6» = {2, 3}

EJERCICIOS PRACTICA

8 Dados los sucesos:

A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} calcula su unión e intersección. 9 Al extraer una carta de la baraja española,

expresa en forma de uniones e intersecciones los siguientes sucesos. a) «Que salga un número menor que 5 y mayor que 2». b) «Que salga una figura y sea de bastos». c) «Que no salga un as».

266

APLICA

10 Extraemos una carta de la baraja. Halla la unión

y la intersección de las parejas de sucesos. a) A = «Sacar oros» y B = «Sacar copas» b) C = «Sacar as» y D = «No sacar as» c) F = «Sacar bastos» y G = «Sacar as» REFLEXIONA

11 ¿Puede coincidir la unión de dos sucesos

con uno de ellos? Si es así, ¿qué sucede con su intersección?

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Propiedades de las operaciones con sucesos • La unión de un suceso y su complementario es el total y su intersección es el vacío. A ∩A = ∅ A ∪A = E • El complementario del complementario de un suceso coincide con el suceso de partida. A=A

SE ESCRIBE ASÍ E ⎯→ Espacio muestral ∅ → Conjunto vacío (no hay ningún elemento)

• El complementario de la unión de sucesos es la intersección de los complementarios. A∪B = A ∩B • El complementario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus complementarios. A∩B = A ∪B EJEMPLO 6

En el lanzamiento de un dado de parchís consideramos los sucesos. A = «Sacar número par» B = «Sacar divisor de 6»

• Dos sucesos A y B son incompatibles cuando A B = Ø.

Calcula los siguientes sucesos. a) A y B

c) B ∩ B

e) A ∪ B

b) A ∪ A

d) A

f) A ∩ B

a) A = {2, 4, 6} → A = {1, 3, 5}

• Cualquier suceso compuesto se puede expresar como unión de sus sucesos elementales.

B = {1, 2, 3, 6} → B = {4, 5}

b) A ∪ A = {2, 4, 6} ∪ {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E c) B ∩ B = {1, 2, 3, 6} ∩ {4, 5} = ∅ d) A = {1, 3, 5} = {2, 4, 6} = A e) A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {1, 2, 3, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} = {5} = A ∩ B f) A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {1, 2, 3, 6} = {2, 6} = {1, 3, 4, 5} = A ∪ B

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

12 Al lanzar un dado de 8 caras consideramos

13 Considera el experimento aleatorio de lanzar

los siguientes sucesos. A = {2, 4, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 7} Calcula. a) A ∪ B b) A ∩ B c) A ∩ B

d) A ∪ B e) A ∪ B f) A ∩ B

¿Qué observas en los resultados c) y d)? ¿Y en los resultados e) y f)?

una moneda. Calcula el espacio muestral y todos los sucesos que puedas, clasificándolos en elementales y compuestos. Halla, para cada uno de los sucesos anteriores, su complementario. REFLEXIONA

14 Si un suceso A está contenido en otro suceso B,

¿qué sucede con sus complementarios?

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3

Probabilidad de un suceso

La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. A mayor probabilidad, mayor es la posibilidad de que ocurra. De esta forma, si un suceso ocurre siempre su probabilidad es 1, y decimos que es un suceso seguro, P(E) = 1. Análogamente, si un suceso nunca ocurre su probabilidad es 0, y entonces diremos que es un suceso imposible, P(∅) = 0. EJEMPLO 7 La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1. 0 ≤ P (A ) ≤ 1

Tenemos 2 bolas iguales en una bolsa, una azul y otra amarilla. Si introducimos la mano en la bolsa y extraemos una bola, calcula la probabilidad de que salga: a) b) c) d)

Una bola azul o amarilla. Una bola verde. Una bola azul. Una bola amarilla.

a) P(bola azul o amarilla) = 1 → Es un suceso seguro b) P(bola verde) = 0 ⎯⎯⎯⎯→ Es un suceso imposible c) y d) Como las dos bolas son idénticas salvo en el color, la probabilidad de extraer cada una de ellas será igual. P(bola azul) = P(bola amarilla) Por tanto, tiene sentido repartir la probabilidad de ocurrencia total, 1, entre los dos sucesos elementales. 1 P(bola azul) = 2 1 P(bola amarilla) = 2

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

15 Lanzamos 2 dados y sumamos los puntos

17 En el experimento aleatorio consistente

que salen. Determina: a) Un suceso seguro. b) Un suceso imposible. ¿Cuál será la probabilidad de estos dos sucesos? 16 En una urna hay 5 bolas blancas y 4 bolas rojas.

Escribe: a) Un suceso imposible. b) Un suceso seguro.

268

en lanzar una moneda: a) Calcula el espacio muestral. b) Di un suceso seguro y uno imposible. c) ¿Qué probabilidad le asignarías al suceso «Salir cara»? Razona la respuesta. REFLEXIONA

18 ¿A qué es igual la unión de un suceso seguro

y uno imposible? ¿Y la intersección? Calcula sus probabilidades.

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Regla de Laplace

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Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir al realizar un experimento aleatorio. Cuando, al realizar un experimento aleatorio, todos los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de que ocurra un suceso A, P(A), se puede calcular aplicando la regla de Laplace. P( A ) =

Para poder aplicar la regla de Laplace, los sucesos tienen que ser equiprobables.

Número de casos favorables al suceso A Número de casos posibles

EJEMPLO 8

En el experimento aleatorio de tirar un dado, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. a) «Sacar 2». b) «Sacar número par». c) «Sacar número menor que 4». El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Casos posibles = 6 Está formado por 6 resultados equiprobables: la probabilidad de obtener cada una de las caras es la misma. Podemos aplicar la regla de Laplace. a) A = «Sacar 2» = {2} → Casos favorables = 1 Casos favorables 1 P(A) = = Casos posibles 6 b) B = «Sacar número par» = {2, 4, 6} → Casos favorables = 3 Casos favorables 3 1 P(B) = = = Casos posibles 6 2 c) C = «Sacar número menor que 4» = {1, 2, 3} → Casos favorables = 3 Casos favorables 3 1 P(C) = = = Casos posibles 6 2

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

19 Al lanzar un dado, calcula la probabilidad

20 De una baraja española extraemos

de obtener: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Múltiplo de 5. Divisor de 2. Número primo. Número 3. Divisor de 6. Par y divisor de 4. Múltiplo de 7. Menor que 10. Número impar.

una carta. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballo? ¿Y una figura? ¿Y oros? ¿Y una sota que no sea de copas? 21 En una caja hay 5 bolas amarillas y 7 bolas rojas.

¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola amarilla? ¿Y una bola roja? REFLEXIONA

22 Piensa en un experimento cuyos sucesos

elementales sean equiprobables, pero en el que sea imposible aplicar la regla de Laplace.

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Frecuencia y probabilidad

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La ley de los grandes números afirma que a medida que se aumenta el número de veces que realizamos un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso se va aproximando a su probabilidad. Este es el concepto estadístico de la probabilidad y nos proporciona una herramienta muy útil para calcular probabilidades en un experimento en el que los sucesos no son equiprobables. EJEMPLO 9

Como en la probabilidad, la frecuencia relativa es un número comprendido entre 0 y 1.

En un saco tenemos 50 kg de judías blancas y judías pintas. Halla la probabilidad de que, al sacar una judía del saco, sea pinta. No podemos aplicar la regla de Laplace, porque desconocemos el número total de judías del saco ni cuántas judías hay de cada clase. Extraemos judías, una a una, devolviéndolas de nuevo al saco. Apuntamos las frecuencias que van saliendo de judías pintas y judías blancas. Tras repetirlo numerosas veces, las frecuencias relativas de los dos sucesos estarán próximas al valor de su probabilidad. N.º de judías extraídas

N.º de judías blancas (fi)

Frec. relativa (hi)

10

3

0,3

100

37

0,37

1.000

402

0,402

La frecuencia relativa de que salga una judía blanca se aproxima a 0,4. Tomamos este valor como su probabilidad. Así: P(judía pinta) = 1 − 0,4 = 0,6

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

23 Se ha lanzado una moneda 85 veces,

25 En una bolsa hay bolas numeradas del 1 al 5.

obteniéndose 43 caras. ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso «Salir cruz»? 43 85 b) 42

42 85 d) 0,42

a)

c)

24 Se lanza un dado de 4 caras y se anotan

Bola

1

2

3

4

5

fi

1.200

800

700

1.300

1.000

Calcula la probabilidad de obtener múltiplo de 2.

las veces que no aparece la cara 1. Lanzamientos

20

40

60

80

100

fi

7

11

15

18

27

a) Obtén la tabla de frecuencias relativas. b) ¿Hacia qué valor tiende? c) ¿Qué probabilidad le asignarías?

270

Extraemos 5.000 veces una bola, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Estos han sido los resultados.

Si en la bolsa hay 100 bolas, ¿cuántas son de cada clase? Justifica tu respuesta. REFLEXIONA

26 Una máquina fabrica tornillos. ¿Cómo harías

para calcular la probabilidad de que, escogido un tornillo al azar, sea defectuoso?

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Propiedades de la probabilidad

1.ª Para cualquier suceso A se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1. 2.ª La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso imposible es 0. P(E) = 1 P(∅) = 0 3.ª Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 4.ª Si dos sucesos son compatibles, la probabilidad de su unión es: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 5.ª Si A y A son sucesos contrarios: P(A) = 1 − P(A) La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es 1.

EJEMPLO 10 Lanzamos un dado y observamos la puntuación que sale. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos. a) «Obtener 3 o 4» b) «No obtener 3 ni 4» c) «Obtener par o menor que 3» Como los sucesos son equiprobables podemos aplicar la regla de Laplace. 1 1 B = «Obtener 4» → P(B) = a) A = «Obtener 3» → P(A) = 6 6 A y B son incompatibles (si sale 3 no puede salir 4). P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =

1 1 + = 0,33 6 6

b) A ∪ B = «Obtener 3 o 4» → A ∪ B = «No obtener 3 ni 4» P(A ∪ B) = 0,33 → P(A ∪ B) = 1 − 0,33 = 0,67 c) C = «Número par» → P(C) =

3 6

D = «Menor que 3» → P(D) =

C y D son compatibles (2 es par y menor que 3) → P(C ∩ D) = P(C ∪ D) = P(C) + P(D) − P(C ∩ D) =

2 6

1 6

3 2 1 + − = 0,67 6 6 6

EJERCICIOS PRACTICA

APLICA

27 Se lanzan 2 dados y se suman sus puntos.

29 Una urna tiene 4 bolas blancas, 2 rojas y

Halla la probabilidad de que la suma sea: a) 3 c) 7 b) Mayor que 10. d) 4 o 5 28 De una baraja española se extrae una carta.

Obtén la probabilidad de que sea: a) Espadas. c) Sota u oros. b) Espadas y rey. d) Distinta a una figura.

5 negras. Calcula la probabilidad de sacar una bola: a) Blanca. b) Roja. c) Blanca o negra. REFLEXIONA

30 Si en un experimento aleatorio P(B) = 0,2

y, además, P(A ∪ B) = P(A), ¿son A y B incompatibles? ¿Y complementarios?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Experimentos aleatorios

Sucesos y operaciones A

B

A

B

Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso elemental {5} F

F

Suceso elemental {1}

F

Suceso elemental F

{3}

A∪ B

A∩ B

Unión

Intersección

HAZLO DE ESTA MANERA

1. DETERMINAR EL ESPACIO MUESTRAL

CON AYUDA DEL DIAGRAMA DE ÁRBOL Determina el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda y un dado cuyas caras opuestas están pintadas del mismo color, siendo los colores azul, rojo y verde.

PRIMERO. Fijamos la primera posibilidad de elección.

En este caso, el lanzamiento de la moneda cuyo resultado puede ser cara o cruz. SEGUNDO. Añadimos el resto de posibilidades

⎯⎯→ CA ⎯⎯→ CR ⎯⎯→ CV

a partir de la primera. A partir de cara o cruz indicamos los posibles colores que pueden obtenerse al lanzar el dado. TERCERO. Escribimos los resultados finales.

E = {CA, CR, CV, +A, +R, +V}

⎯⎯→ +A ⎯⎯→ +R ⎯⎯→ +V

2. HALLAR EL SUCESO COMPLEMENTARIO En el experimento aleatorio de lanzar un dado, y después, una moneda, calcula el suceso contrario, A, del suceso A = «Sacar un divisor de 6 en el dado y cara en la moneda». PRIMERO.

Calculamos el espacio muestral y el suceso A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+} A = «Sacar divisor de 6 en el dado y cara en la moneda» = {1C, 2C, 3C, 6C} SEGUNDO. El contrario de

A está formado por los elementos del espacio muestral, E, que no están en A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+} A = {1C, 2C, 3C, 6C} Luego A = {4C, 5C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}.

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3. UTILIZAR LA REGLA DE LAPLACE PARA CALCULAR PROBABILIDADES Calcula la probabilidad de los sucesos A = «Salir número par» y B = «Salir número menor que 3» en el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado. PRIMERO. Determinamos el espacio muestral y los sucesos de los que queremos calcular su probabilidad. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {1, 2} SEGUNDO. Evaluamos si los sucesos elementales son equiprobables.

En este caso, al lanzar el dado, todas las caras tienen las mismas posibilidades de salir. TERCERO. Contamos el número de sucesos elementales de cada uno y aplicamos la regla de Laplace.

P(A) =

Casos favorables a A 3 = = 0,5 Casos posibles 6

P(B) =

Casos favorables a B 2 = = 0,33 Casos posibles 6

4. CALCULAR PROBABILIDADES UTILIZANDO SUS PROPIEDADES La probabilidad de que una persona tenga el pelo de color castaño es 0,6, la de que tenga ojos marrones es 0,7 y la de que sea castaño y con ojos marrones es 0,42. Calcula la probabilidad de que: a) No tenga el pelo castaño.

b) Tenga ojos marrones o pelo castaño.

PRIMERO. Escribimos los sucesos que nos piden en función de los sucesos conocidos utilizando la unión, la intersección y el complementario de sucesos. A = «Pelo castaño» a) «Pelo no castaño» = A B = «Ojos marrones» b) «Ojos marrones o pelo castaño» = A ∪ B SEGUNDO. Aplicamos las propiedades de la probabilidad para calcular las probabilidades pedidas.

a) P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0,6 = 0,4 b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,6 + 0,7 − 0,42 = 0,88

Y AHORA… PRACTICA Determinar el espacio muestral con ayuda del diagrama de árbol

Utilizar la regla de Laplace para calcular probabilidades

1. ¿Cuál es el número de sucesos elementales al lanzar una moneda y un dado? a) 6 c) 8 b) 7 d) 12

3. En una urna tenemos 8 bolas blancas, 2 rojas y 10 azules. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar una bola roja?

Hallar el suceso complementario

Calcular probabilidades utilizando sus propiedades

2. Al lanzar un dado, el suceso complementario de A = «Salir número par» es: a) A = {2, 4, 6} b) A = «Salir menor que 3» c) A = {1, 3, 5} d) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) 0,1

b) 0,2

c) 0,4

d) 0,9

4. Si en una sala hay 50 personas y 33 son varones, ¿cuál es la probabilidad de que, elegida una persona al azar, sea mujer? a) 0,34 b) 0,50

c) 0,66 d) No se puede saber.

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Actividades EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS 31. ● Clasifica los siguientes experimentos en deterministas o aleatorios. a) Extraer una carta de la baraja española. b) Medir la hipotenusa en un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm. c) Lanzar 3 monedas y anotar el número de caras. d) Lanzar una chincheta y observar en qué posición queda. e) Apretar un pulsador que enciende una bombilla en un circuito eléctrico. f) Elegir al azar una ficha de dominó. g) Medir la altura de una clase. h) Lanzar una piedra al vacío y medir la aceleración. i) Averiguar el resultado de un partido antes de que se juegue. 32. ● Escribe dos experimentos aleatorios y otros dos que no lo sean. Justifica tu respuesta. 33. ● Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios. a) Extraer una carta de la baraja española. b) Lanzar una chincheta y anotar la posición de caída. c) Sacar una bola de una urna con 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. d) Lanzar 2 dados y restar las caras superiores. e) Lanzar 2 dados y multiplicar las caras superiores. f) Considerar las espadas de la baraja española y extraer una carta de ese grupo. g) Escoger al azar un país de la Unión Europea. 34. ● Se lanzan 2 dados, uno rojo y otro azul. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento? 35. ● Se lanzan 2 dados y se multiplica el número de puntos obtenido en cada uno. ¿Cuántos resultados se pueden obtener? Describe el espacio muestral e indica dos sucesos que no sean elementales.

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OPERACIONES CON SUCESOS 36. ● Elegimos una ficha de dominó al azar. Determina los elementos de: a) El espacio muestral. b) A = «Elegir una ficha cuyos números sumen 6» c) B = «Elegir una ficha cuyos números multiplicados den 12» Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles? 37. ●● Considera el lanzamiento de 3 monedas. Escribe los siguientes sucesos: A = «Obtener al menos una cara» y B = «Obtener una sola cara». Calcula. a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) A

d) B

38. ●● Extraemos una de las 28 fichas del dominó al azar y sumamos los puntos. Escribe los sucesos. a) A = «Obtener múltiplo de 5» b) B = «Obtener número par» Calcula: A ∪ B, A ∩ B, A y B, A ∪ A, B ∩ B. 39. ●● En un bombo hay 15 bolas numeradas del 1 al 15 y se extrae una de ellas. Escribe los elementos que forman los sucesos. a) Múltiplo de 3. b) Múltiplo de 2. c) Mayor que 4.

d) Mayor que 3 y menor que 8. e) Número impar.

Escribe un suceso compatible y otro incompatible con cada uno de ellos, y también el suceso contrario. 40. ● Al lanzar un dado de 6 caras, A = {2, 4} y B = {1, 2, 3}. Calcula. a) A ∩ B d) Obtén el contrario de los sucesos A, B, A ∩ B y A ∪ B. b) A ∪ B c) ¿Son A y B compatibles? Encuentra, entre los sucesos anteriores, una pareja de sucesos compatibles, otra de incompatibles y otra de contrarios. 41. ●● Se lanza un dado de 6 caras y se consideran los sucesos A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} y C = {3, 4}. Calcula. a) A b) B c) C

d) A ∪ B e) A ∩ B f) B ∪ C

g) A ∪ B h) A ∩ B i) A ∪ B

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PROBABILIDAD DE UN SUCESO. REGLA DE LAPLACE

48. ● Al lanzar una chincheta, puede caer con la punta hacia arriba o hacia abajo.

42. ● Sacamos dos cartas de una baraja española. Un suceso imposible es: a) b) c) d)

«Sacar dos oros» «Sacar dos caballos de copas» «Sacar dos cartas de distinto palo» «Sacar dos figuras iguales del mismo palo»

43. ● Ordena, de menor a mayor grado de probabilidad de obtener los siguientes sucesos al lanzar un dado. a) b) c) d)

«Número impar» «Número igual o mayor que 5» «Número menor que 7» «Número mayor que 7»

44. ● De una baraja de 40 cartas se extrae una carta. Calcula las probabilidades de estos sucesos. a) A = «Obtener oros» b) B = «Obtener el rey de oros» c) C = «Obtener espadas o copas» 45. ●● Se lanza un dado al aire y se suman los puntos de todas las caras menos la de arriba. Obtén el espacio muestral y la probabilidad de obtener un número múltiplo de 3. 46. ●● En el juego del parchís se ha trucado el dado para que la probabilidad de que salga 5 sea cinco veces la probabilidad de que salga cualquier otra cara. ¿Qué afirmación es cierta?

a) ¿Es un experimento aleatorio o determinista? b) ¿Cuáles son los sucesos elementales? c) ¿Son estos sucesos equiprobables? 49. ● Para comprobar si los sucesos elementales de la actividad anterior son equiprobables, realiza el experimento 100 veces (toma 10 chinchetas y lánzalas 10 veces). ¿Es mayor la frecuencia relativa del suceso «Punta hacia arriba»? Compara tu resultado con el obtenido por tus compañeros, y formad una tabla juntando todos los resultados. 50. ●● En un bombo hay 10 bolas numeradas del 0 al 9. Se repite 100 veces el experimento de extraer una bola y reemplazarla. Los resultados son: Bola

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

fi

7

13

11

12

8

10

12

6

10

11

Dados los siguientes sucesos: A = «Múltiplo de 3», B = «Número impar» y C = «Divisor de 6», calcula:iii a) La frecuencia relativa de A, B y C. b) La frecuencia relativa de A ∪ B, A ∩ B y A ∪ C. ¿Qué probabilidad le asignarías a cada suceso? 51. ●● Se lanza 100 veces un dado tetraédrico y se anota el número de la cara oculta, obteniéndose:

2 3 1 b) P(cara 5) = 2 a) P(cara 5) =

5 6 1 d) P (cara 1) = 6 c) P(cara 5) =

47. ●● En el caso del dado anterior, la probabilidad de sacar cara impar es: a)

1 2

b)

3 10

c)

7 6

d)

7 10

Cara

1

2

3

4

fi

28

22

30

20

Halla la frecuencia relativa del suceso: a) Múltiplo de 3. b) Múltiplo de 2.

c) Cara mayor que 1. d) Cara menor que 1.

¿Qué probabilidad le asignarías a cada uno de los sucesos anteriores?

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PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULAN PROBABILIDADES CON AYUDA DE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL? 52. Lanzamos tres monedas. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. A = «Sacar 3 caras» B = «Sacar 2 caras» C = «No sacar ninguna cara» D = «Sacar 1 cruz» E = «Sacar a lo sumo 1 cara» F = «Sacar más de 1 cara» Se aplica la técnica del diagrama de árbol para encontrar los sucesos elementales.

55. ● La probabilidad de un suceso es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad del suceso contrario? 56. ●● Si en un dado P (1) = P(2) = P(3) = 0,14 y P(4) = P(5) = P (6) = x, ¿cuál es el valor de x? 57. ●● En un dado trucado, la probabilidad de que salga cada una de las 6 caras es: Cara

1

2

3

4

5

6

P

0,1

0,1

0,1

a

b

0,4

PRIMERO. a

1. moneda

a

2. moneda

C C X

C X X

a

3. moneda

Resultado

C ⎯⎯⎯→ CCC X ⎯⎯⎯→ CCX C ⎯⎯⎯→ CXC X ⎯⎯⎯→ CXX C ⎯⎯⎯→ XCC X ⎯⎯⎯→ XCX C ⎯⎯⎯→ XXC X ⎯⎯⎯→ XXX

E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} SEGUNDO. Se calculan las probabilidades utilizando la regla de Laplace. 1 3 P(A) = P(D) = 8 8 3 4 1 = P(B) = P(E) = 8 8 2 1 4 1 = P(C) = P(F) = 8 8 2

Sabiendo que P(4) = 2P (5), ¿cuánto valen a y b? 58. ●● Se extrae una carta de la baraja española. Halla la probabilidad de: a) b) c) d)

59. ●● Elegimos al azar un número del 1 al 30. Sean los sucesos A = «Obtener un número par menor o igual que 14», B = «Obtener un múltiplo de 3 menor o igual que 10» y C = «Obtener un múltiplo de 10». Calcula la probabilidad de: a) A ∪ B b) A ∪ C

54. ●●● Un examen de tipo test consta de 5 preguntas, cada una de las cuales tiene tres posibles respuestas. a) Calcula la probabilidad de acertar 3 preguntas si contestas al azar. b) Si para aprobar el examen hay que contestar al menos 3 preguntas correctamente, halla la probabilidad de aprobar y de suspender.

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c) A ∪ B d) C ∪ B

e) B ∩ C f) A ∩ B

60. ●● En una urna hay 100 bolas numeradas del 1 al 100. Sacamos una bola cuyo número sea n y definimos estos sucesos.

53. ●● Se lanzan 4 monedas iguales. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras? b) ¿Y de no obtener ninguna cara? c) ¿Qué suceso es más probable, obtener 2 caras u obtener, al menos, 3 cruces?

Obtener un caballo. No salir una figura. No salir oros ni bastos. Sacar el rey de oros o de espadas.

a) b) c) d)

A = «n es múltiplo de 5» B = «n es múltiplo de 3» C = «n es divisible por 2» D = «n es divisible por 10» E = «n es divisible por 1» ¿Cuántos sucesos elementales componen cada suceso? ¿Cuál es la probabilidad de cada uno? ¿Hay dos sucesos incompatibles? ¿Hay dos sucesos compatibles? ¿Y contrarios? Halla la probabilidad de A ∩ B, B ∪ C y D.

61. ●●● Considera un juego en el que lanzas dos dados y ganas si la suma de puntos es 11 o 7. a) Describe el espacio muestral de este experimento. b) Calcula la probabilidad de ganar.

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PROBLEMAS CON PROBABILIDADES 62. ●● En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han tomado carne 16 hombres y 20 mujeres, y el resto pescado. Si elegimos una persona al azar, calcula la probabilidad de estos sucesos.

66. ●●● Si tengo 3 llaves que abren las 3 cerraduras de una puerta, pero no sé cuál es la que abre cada una, ¿cuál es la probabilidad de que acierte con la combinación a la primera oportunidad? ¿Y si tuviera 3 llaves y solo 2 cerraduras? (Una de las llaves no abre ninguna cerradura.) 67. ●●● Paula va a una tienda 2 veces por semana, y Roberto trabaja en esa tienda 4 días a la semana. Si el viernes es el único día que no acude ninguno de los dos, ¿cuál es la probabilidad de que coincidan dos días? (La tienda cierra los domingos.)

a) Sea hombre. b) Haya tomado pescado. c) Sea hombre y tome pescado. 63. ●● En una guardería hay 20 niños y 16 niñas. La mitad de los niños y tres cuartas partes de las niñas son morenos y el resto son rubios. ¿Cuál es la probabilidad de que, elegido uno al azar, sea niño o tenga el pelo moreno? 64. ●●● En una ciudad leen el periódico A el 30 % de los habitantes, el periódico B el 20 % de los habitantes, leyendo el 7 % los dos periódicos.

a) ¿Qué probabilidad hay de que, escogido alguien al azar, lea alguno de los dos periódicos? b) ¿Y de que no lea ningún periódico? ¿Y de que lea uno? 65. ●● Luis y Juan tienen que recoger la habitación que comparten. Luis pone en una bolsa 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 azul, y le propone a su hermano sacar una. Si es roja, recoge Juan, y si es azul, recoge él. a) ¿Cuál es la probabilidad de cada bola? b) ¿Es justo lo que propone Luis? c) Juan no acepta el trato y propone que si sale rojo, recogerá él, y si sale azul o verde, recogerá Luis. ¿Es justo este trato? ¿Por qué?

INVESTIGA 68. ●●● En el Oeste, tres vaqueros tienen que realizar una acción arriesgada, cortan tres palitos de distinta longitud, los tapan de forma que muestren la misma altura y cada vaquero elige uno. El que coge el más corto, pierde. ¿Por qué nunca discuten quién elige primero? 69. ●●● Nadal es mejor que Federer en tierra batida y la probabilidad que tiene de ganarle un set es 3/5. Si el cansancio los afecta a ambos por igual, explica por qué Nadal prefiere jugar al mejor de 5 sets que al mejor de 3 sets. 70. ●●● Tengo en el bolsillo dos monedas de 20 céntimos, dos de 10 céntimos y dos de 5 céntimos. Si saco dos monedas al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener una cantidad superior o igual a 20 céntimos? 71. ●●● En una clase de 23 alumnos, el tutor revisa las fichas de sus alumnos y comprueba que dos alumnos cumplen años el mismo día del mismo mes. Al comentárselo al profesor de Matemáticas, este le dice que eso es más habitual que lo contrario, es decir, que no haya ninguna coincidencia. Comprueba que el profesor de Matemáticas tiene razón.

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En la vida cotidiana 72. ●●● Con motivo de la semana cultural del instituto, se ha celebrado un campeonato de dardos. Tras varias eliminaciones hemos quedado como finalistas Ana, Bernardo, Camila y yo. Desde hace tiempo he ido apuntando las partidas que hemos jugado y quiénes han sido los ganadores.

73. ●●● La Dirección General de Tráfico (DGT) va a llevar a cabo una campaña para reducir la siniestralidad en las carreteras. Un elevado número de accidentes con víctimas mortales es debido a dos factores: • No utilizar el cinturón de seguridad. • No respetar la distancia de seguridad.

Yo contra…

Partidas jugadas

Ganadas por mí

Ana

36

22

Bernardo

44

35

Camila

31

12

Para determinar la incidencia de estas infracciones, se han realizado múltiples controles de tráfico. Estos son los datos recogidos.

Ana contra… Partidas jugadas

Ganadas por Ana

Bernardo

27

16

Camila

29

13

Bernardo contra…

Partidas jugadas Camila

32

Ganadas por Bernardo

En cada control, los agentes han inspeccionado a 500 vehículos: • Una media de 60 conductores no llevaba cinturón. • De estos 60 conductores, 40 no respetaban la distancia de seguridad. • Y 410 circulaban correctamente.

9

La final consiste en una liga en la que jugaremos todos contra todos. Cada victoria otorgará 1 punto al ganador y 0 puntos al perdedor. Al finalizar la liga ganará el concursante con mayor puntuación. Según los datos que tengo anotados, ¿qué probabilidad tengo de ganar el campeonato? ¿Y de perderlo?

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A los conductores que no llevaban cinturón se les sancionó con la pérdida de 2 puntos, y a los que no respetaban la distancia de seguridad, con 3 puntos. Ante estos datos, la DGT se plantea hacer controles persuasorios. ¿Cuántos vehículos, aproximadamente, se deben inspeccionar en cada control para no sobrepasar los 10 conductores sancionados con la penalización máxima, es decir, la pérdida de 5 puntos?

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Y ahora … Practica Estas son las respuestas del apartado «Y AHORA...PRACTICA» de cada una de las unidades de este libro. ¡Comprueba si tus resultados son correctos!

Unidad 1

1.b

2.b

3.a

4.c

5.b

6.b

Unidad 2

1.c

2.b

3.a

4.a

5.a

6.c

Unidad 3

1.a

2.b

3.b

4.b

5.a

6.a

Unidad 4

1.a

2.c

3.c

4.a

5.a

Unidad 5

1.a

2.b

3.b

4.b

Unidad 6

1.b

2.c

3.c

4.a

5.b

Unidad 7

1.c

2.c

3.c

4.c

5.c

Unidad 8

1.b

2.b

3.c

4.c

Unidad 9

1.a

2.b

3.b

4.b

Unidad 10

1.a

2.a

3.d

4.b

Unidad 11

1.b

2.a

3.b

Unidad 12

1.c

2.d

3.c

Unidad 13

1.b

2.c

3.c

Unidad 14

1.d

2.c

3.a

4.b

4.a

5.b

7.b

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Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Portada: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTA Interiores: Manuel García Ilustración: Grafitti s.c., José María Valera Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: Rosa María Barriga, José Luis García, Raúl de Andrés Dirección técnica: Ángel García Encinar Coordinación técnica: Félix Rotella Confección y montaje: Luis González, Marisa Valbuena Corrección: Marta Rubio, Gerardo Z. García Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías: A. Toril; D. López; F. de Madariaga; GOYENECHEA; J. Jaime; J. M.ª Escudero; J. V. Resino; M. G. Vicente; M. Montes; ORONOZ; Prats i Camps; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK; EFE/EPA/Justin Lane, Andreu Dalmau; EFE/M. Hernández de León; EFE/EPA PHOTO/Wolfgang Kumm; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; FOAT; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; STOCKBYTE; Airman Joe Hendricks, U. S. Navy; EL MUSEO CANARIO, LAS PALMAS DE GRAN CANARIA; M. Vives; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA

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ISBN: 978-84-294-0949-9 CP: 826490 Depósito legal: Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con la autorización de los titulares de la propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (artículos 270 y siguientes del Código Penal).