materiales u4 introduccion al pandeo

UNIDAD 4 MECANICA DE MATERIALES ING. RAFAEL FIGUEROA CORONADO

Materia: Mecánica de Materiales

Catedrático: Ing. Figueroa Coronado Rafael

Unidad 4 Introducción al pandeo

Carrera: Ingeniería Civil

5° Semestre Grupo E Presenta: Martínez Flores Marcelino Antonio

Tapachula Chiapas a 08 de diciembre del 2015 INDICE PAG.

INTRODUCCION AL PANDEO..................................................................................3 NATURALEZA DEL PROBLEMA VIGA – COLUMNA...............................................5 ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA VIGA Y COLUMNAS..........................................7 COLUMNA.................................................................................................................8

1 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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CARGA CRÍTICA (PCR).......................................................................................10 ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO............................................................................12 CARGA DE PANDEO DE EULER (PARA DIFERENTES TIPOS DE APOYOS)....13 COLUMNA ARTICULADA EN SUS EXTREMOS................................................13 COLUMNA DOBLEMENTE EMPOTRADA..........................................................15 COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y LIBRE EN EL OTRO...............16 COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL OTRO.. .16 LIMITACIÓN DE LA ECUACIÓN DE PANDEO ELÁSTICO....................................17 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER...................................................18 COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE..................................................20

INTRODUCCION AL PANDEO La aparición de deflexión por pandeo limita severamente la resistencia en compresión de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo, puede producirse una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente la deformación aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la tensión de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Además del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica provocada por un momento torsor excesivo. Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas están lejos de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de pandear. Los modos típicos son:

2 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal.

Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión gira alrededor de su centro de corte.

Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta y gira simultáneamente sin cambios en su sección transversal.

3 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexión que involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro alrededor del centro de corte

NATURALEZA DEL PROBLEMA VIGA – COLUMNA.

4 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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El comportamiento de vigas columnas reales se puede entender mejor considerando primer un ejemplo idealizado, que se muestra en la Figura .a. Aquí, para simplificar, una barra perfectamente rígida de longitud L se mantiene inicialmente en posición vertical por medio de un resorte en A que tiene una rigidez a la torsión k. Luego una fuerza vertical P y una horizontal F se aplican en el extremo superior. A diferencia del procedimiento seguido en todos los problemas anteriores, se deben escribir ahora las ecuaciones de equilibrio para la condición deformada. Teniendo presente que kθ es el momento resistente que desarrolla el resorte en A se obtiene O sea.

La solución expresada por la ecuación (9.1) es para rotaciones arbitrariamente grandes. En problemas complejos es muy difícil alcanzar soluciones de tal generalidad. Además en la mayoría de las aplicaciones no se pueden tolerar desplazamientos de gran magnitud. Por consiguiente de ordinario es posible limitar el estudio del comportamiento de sistemas al caso de desplazamientos pequeños y moderadamente grandes. En este problema lo anterior se puede realizar poniendo senθ ∼= θ y cosθ = 1. De esta forma la ecuación se simplifica a o Para una combinación crítica de los parámetros k, P y L, el denominador (k − PL) en el último término de la ecuación anterior sería cero y presumiblemente daría lugar a una rotación θ infinita. Esto es completamente irreal y resulta de una formulación matemática impropia del problema. No obstante, tal solución proporciona una buena guía acerca del valor de la magnitud de la fuerza

5 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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Respuesta fuerza-desplazamiento de un sistema con un grado de libertad axial P a la que las deflexiones llegan a ser intolerablemente grandes. La asíntota correspondiente a esta solución, obtenida de la igualdad (k − P L) = 0, define la fuerza PC como:

Es significativo observar que en sistemas reales las grandes deformaciones asociadas a fuerzas del mismo orden de magnitud que PC por lo general causan tensiones tan grandes que hacen inservible el sistema. Por otra parte, el análisis no lineal de sistemas estructurales debido al cambio de configuración geométrica y al comportamiento inelástico de los materiales es muy complejo y requiere de herramientas computacionales que no siempre están al alcance del analista. Por consiguiente, en el análisis de pandeo de miembros a compresión desempeña el papel más importante la determinación de PC con una base simplificada, siguiendo las líneas del método utilizado en el ejemplo anterior. ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA VIGA Y COLUMNAS. Para una más completa comprensión del problema de la viga columna resulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables involucradas. Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial de viga columna como se indica en la Figura 9.3. Notar especialmente que el elemento se muestra en su posición deformada. Para vigas ordinarias (comportamiento lineal) cargadas transversalmente esto no es necesario. Por otro lado los desplazamientos que se tratan en este análisis son pequeños en relación con la luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes simplificaciones

Con esta base, las dos ecuaciones de equilibrio son:

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La primera de estas ecuaciones da:

Que no cambia respecto a lo visto en el caso de plantear el equilibrio en la posición informada. La segunda, despreciando infinitesimales de orden superior, da:

Por lo tanto, para vigas columnas, la fuerza cortante T, además de depender de la derivada del momento M como en la vigas, depende ahora de la magnitud de la fuerza axial y de la pendiente de la curva elástica. El último término es la componente de P a lo largo de las secciones inclinadas que se muestran en la Figura. s d

M

dv/dx T+dT M+dM A

y,v

+q

P dv

P T

x

v dx

COLUMNA. Una columna la podemos definir como un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto de su longitud, para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento.

7 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor. Las columnas se suelen dividir en tres grupos: Largas , intermedias y cortas.

CLASIFICACION DE COLUMNAS

La diferencia entre los tres grupos viene determinada por su comportamiento. Las columnas largas se rompen por su pandeo o flexión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo; y las cortas se rompen por aplastamiento

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Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y fabricación, así como la inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga

La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada e, con respecto al centro de gravedad en una rección cualquiera m-n. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por el esfuerzo sobrepuesto de flexión y compresión. Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo.

9 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible, con un valor relativamente pequeño de carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande acompañado de un esfuerzo de compresión directo despreciable. Cuando aumenta la longitud de la columna, disminuye la importancia y efectos de los esfuerzos de compresión directos y aumenta correlativamente el esfuerzo de flexión. Por desgracia en longitudes intermedias no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción en la que cada uno contribuye al esfuerzo total.

CARGA CRÍTICA (PCR) Es la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta aunque el equilibrio inestable de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada

Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en su punto medio, de manera que produzcan flexión según la dirección de máxima flexibilidad.

Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentarán variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la deflexión δ en el centro no varíe.

10 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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En estas condiciones, el momento flexionante en el centro es:

Y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse:

Entonces, como se indica en la figura, P CR es la carga crítica necesaria para mantener la columna deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la deflexión δ, lo que incrementará M, con lo cual volverá a aumentar δ y así sucesivamente hasta que la columna se rompa por pandeo

Por el contrario, si P disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace disminuir M, que vuelve a disminuir la deflexión y así sucesivamente, y la columna termina por enderezarse por completo.

ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO

11 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibrio. Sin embargo, la menor perturbación de éste o la imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas estructurales. Para aclarar más el problema, consideremos de nuevo una barra vertical rígida con un resorte de torsión, de rigidez k, en su base, como se muestra en la Figura .a. El comportamiento de tal barra sometida a una fuerza vertical P y una fuerza horizontal F se consideró en la sección. La respuesta de este sistema a medida que aumenta la fuerza P se indica en la Figura .b para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Cómo se comportará este sistema si F = 0? Este es el caso límite y corresponde al estudio del pandeo perfecto.

P

P P

F

θ

Condición inestable deequlibrio

F=0 Punto de bifurcación

L

F grande

Pc=k/L F pequeña

θ 0

A

12 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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CARGA DE PANDEO DE EULER (PARA DIFERENTES TIPOS DE APOYOS) FÓRMULAS DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS En el año 1757, el matemático Leonhard Euler realizó una análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica. Ahora se sabe que este análisis solamente es válido hasta esfuerzos que alcanzan el límite de proporcionalidad. Cabe mencionar que en tiempos de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad

COLUMNA ARTICULADA EN SUS EXTREMOS La figura muestra la línea eje de una columna en equilibrio bajo la acción de la carga crítica P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados, de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima δ es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial y final de la columna.

13 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial de la elástica de una viga

Esta ecuación no se puede integrar directamente, por lo que existen dos métodos para resolverla. Aplicando métodos matemáticos, tenemos que la ecuación de Euler para el valor de carga crítica de una columna larga es:

Donde el valor de n, depende de las condiciones de apoyo de la columna.

El valor de n=0 no tiene sentido, ya que haría que la fuerz P=0. Para los demás valores de n la columna se pandea en la forma indicada en la figura.

14 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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De las tres formas presentadas, la más importante es la a), ya que las demás ocurren únicamente cuando la columna tiene sujeciones laterales.

Por lo tanto, la carga crítica para una columna articulada en sus extremos es:

Para columnas con otras condiciones de sujeción en sus extremos, se puede expresar la carga crítica en función de la ecuación anterior, ya que es considerada como una ecuación fundamental COLUMNA DOBLEMENTE EMPOTRADA Por simetría, los puntos de inflexión están en los cuartos del largo, por lo cual podemos decir que en estos puntos, el momento flexionante es nulo.

Por lo tanto, si vemos la imagen, podemos deducir que la mitad central de la columna doblemente empotrada equivale a una columna articulada en sus extremos, de longitud Le=L/2. Introduciendo este valor en la ecuación general, la carga crítica para este tipo de columna es:

15 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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Sabiendo esto, es posible asegurar que la columna doblemente empotrada es 4 veces más resistente que la doblemente articulada COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y LIBRE EN EL OTRO La carga crítica de este tipo de columna y la de doblemente empotrada son iguales, pero teniendo en cuenta que esta última es 4 veces más larga que la primera tenemos:

COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL OTRO. El punto de inflexión aparece, como puede demostrarse, a 0.7L del extremo articulado, por lo que introduciendo en la ecuación del caso fundamental esa longitud, da como valor de carga crítica:

16 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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LIMITACIÓN DE LA ECUACIÓN DE PANDEO ELÁSTICO En las deducciones anteriores de las fórmulas de pandeo para columnas se supuso tácitamente que el material se comportaba de manera linealmente elástica. Para poner de manifiesto esta significativa limitación, la ecuación (9.26) puede escribirse en forma diferente. Por definición, I = Ar2, donde A es el área de la sección transversal y r es su radio de giro. La substitución de esta relación en la ecuación (9.26) da:

O bien

Donde la tensión crítica, σC, para una columna se define como un promedio en el área transversal A de la misma, debido a la carga crítica PC. La longitud4 de la columna es L y r el radio de giro mínimo del área de la sección, puesto que la fórmula original de Euler se da en términos del valor mínimo de I. La relación L r de la longitud de la columna al radio de giro mínimo de un área transversal se llama relación de esbeltez (λ) de la columna. De la ecuación (9.32) se puede concluir el límite de proporcionalidad del material es el límite superior de la tensión con la cual la columna pandeará elásticamente. La modificacion necesaria de la fórmula para incluir la respuesta inelástica del material se estudiará en la siguiente sección.

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LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Una columna siempre tenderá a pandearse en la dirección en la cual es más flexible. Como la resistencia a la flexión varía con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y el módulo de elasticidad. Por este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la misma carga crítica, ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tiene prácticamente el mismo módulo elástico. Así pues, para aumentar la resistencia al pandeo lo que realmente debemos aumentar es el momento de inercia de la sección. Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produce en el pandeo no debe exceder el límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia I por Ar 2, donde A es el área de la sección recta y r el radio de giro mínimo, por lo que tenemos:

Cabe señalar que la L adoptará valores según la condición de apoyo de la columna. El valor de P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La relación L/r se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez de la columna.

18 INTRODUCCIÓN AL PANDEO

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Por conveniencia, se definen a las columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite inferior de la aplicación de la fórmula de Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación anterior los valores conocidos del límite de proporcionalidad y módulo elástico de cada material. Así pues, el límite mínimo de la esbeltez varía con el material. Por ejemplo, para un acero que tenga un esfuerzo en el límite de proporcionalidad de 2,040 kg/cm2, y un módulo de elasticidad de 2,040,000 kg/cm 2 el límite mínimo de esbeltez mecánica con el que puede aplicarse la fórmula de Euler es:

Como se puede ver en la gráfica, en la parte punteada de la curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler excedería el límite de proporcionalidad, por lo que para L/r< 100 la fórmula no es aplicable

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La gráfica muestra también que el esfuerzo crítico en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea lo menor posible.

COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE. En el estudio anterior del pandeo de columnas se supuso que tales elementos eran idealmente rectos. Puesto que en realidad todas las columnas tienen imperfecciones, las cargas de pandeo que se obtienen para columnas ideales son las mejores posibles. Tales análisis sólo proporcionan indicios acerca del mejor funcionamiento posible de columnas. Por lo tanto, no es sorprendente que el funcionamiento de columnas haya sido explorado también con base en algunas imperfecciones determinadas estadísticamente o en posibles des alineamientos de las cargas aplicadas. Como una ilustración de este enfoque, se considerará una columna cargada excéntricamente que es un problema importante en sí mismo. Una columna cargada excéntricamente se indica en la Figura 9.11.a. Esta fuerza es equivalente a una fuerza axial concéntrica P y a momentos de extremo M0 = Pe. Tal viga columna ya ha sido analizada en el ejemplo 2, donde se encontró que debido a la flexibilidad del miembro, el máximo momento flexionante Mm´ax, es igual a , ecuación (9.9). Por lo tanto, la tensión máxima de compresión, que ocurre a la mitad de la altura en el lado cóncavo de la columna, se puede calcular como

e

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e

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COLUMNA CARGADA EXCÉNTRICAMENTE.

CONCLUSIÓN Podemos concluir que el pandeo es un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos importantes transversales a la dirección principal de compresión. En nuestra carrera el fenómeno aparece principalmente en pilares y columnas, y se traduce en la aparición de una flexión adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia. Cualquier elemento alargado que soporta una carga en su extremo superior es clasificado como columna. Como por ejemplo el pié de un tendedero, la pata de una mesita de televisor, un bastón, la columna de una glorieta, etc. La compresión de un objeto alargado puede producir un efecto llamado pandeo. El pandeo presenta una situación de inestabilidad elástica que, en principio, puede no ser destructiva para la propia columna, pero puede resultar perjudicial para el resto de la estructura que soporta dicha columna. Sin embargo está claro que un pandeo excesivo también puede producir roturas en ciertas zonas de esta por tracción o compresión localizadas. Por lo tanto este efecto es algo que siempre habremos de evitar. En respuesta a ello se debe conocer la carga crítica máxima aplicable a partir de la cual comienza a presentarse el fenómeno, y una vez determinada se trabajará bastante por debajo de dicho valor. Para establecer el valor de la fuerza de carga crítica se debe conocer que factores intervienen durante el pandeo.

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BIBLIOGRAFÍA http://tecnologiaadi.blog.com/files/2012/09/Apunte-II-Pandeo.pdf http://www.buenastareas.com/ensayos/Introducci%C3%B3n-AlPandeo/42900394.html http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-materiales-ingenierotecnico-en-obras-publicas/contenidos/Tema10-Pandeo.pdf http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/estruct/mec1_ic/cap9.pdf http://ing.unne.edu.ar/mecap/Apuntes/Estabilidad_2/Cap10-Pandeo.pdf http://html.rincondelvago.com/resistencia-de-materiales_ensayo-depandeo.html

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