Material didáctico Tema 5 LIIS105 Fisica.pdf

Instituto Universitario del Prado Asignatura:

Física

Tema 5:

Cinemática del Punto y del Cuerpo Rígido

5.1 Movimiento rectilíneo: ecuaciones diferenciales del movimiento, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y caída libre de cuerpos Movimiento rectilíneo

Un movimiento es rectilíneo cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor. Además la velocidad instantánea y media de este movimiento coincidirán. La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad (rapidez) por el tiempo transcurrido. Esta operación también puede ser utilizada si la trayectoria del cuerpo no es rectilínea, pero con la condición de que la rapidez sea constante. Durante un movimiento rectilíneo uniforme también puede presentarse que la velocidad sea negativa. Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos, el positivo podría ser cuando se mueve hacia la derecha y el negativo cuando se mueve hacia la izquierda. El movimiento rectilíneo uniforme - MRU - se caracteriza por: 

Movimiento que se realiza en una sola dirección.



Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables.



La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0) Sabemos que la velocidad v 0 es constante, esto es, no existe aceleración. la posición x  en  en el instante  t  viene  viene dada por:

donde x 0 es la posición inicial. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado o movimiento unidimensional con aceleración constante, es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una t rayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.

Mtro. Mario Díaz Arredondo

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Esto implica que para cualquier instante de tiempo, la ace leración del móvil tiene el mismo valor. Un caso de este tipo de movimiento es el de caída libre, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corre sponde a la de la gravedad. También puede definirse el movimiento MRUA como el seguido por una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante. El movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres caracter ísticas fundamentales: 1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes. 2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo. 3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del t iempo. El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemática, respectivamente, son:

La velocidad v  para  para un instante t  dado  dado es:

siendo v 0, la velocidad inicial. Finalmente la posición x  en  en función del tiempo se expresa por:

donde x 0, es la posición inicial. Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez lineal del móvil.

Derivación de las ecuaciones de movimiento

Para el cálculo de la velocidad en función del tiempo:

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integrando la ecuación:

sacando valores constantes de la integral:

resolviendo la integral:

donde: v 0, es la constante de integración, corresponde a la velocidad del móvil para t  =  = 0. En el caso de que el móvil esté en reposo para t  =  = 0, entonces v 0 = 0 Para el cálculo del espacio en función del tiempo, se toma la ecuación de la velocidad en función del tiempo y la definición de velocidad:

esto es:

despejando términos:

integrando la ecuación:

descomponiendo la integral:

sacando valores constantes de la integral:

resolviendo la integral:

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donde  x 0, es la constante de integración, que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, corresponde a la posición del móvil respecto del centro de coordenadas para t  =  = 0 . En el caso de que el móvil esté en el centro de coordenadas para t  =  = 0, es x 0 = 0. Cuerpos en caída libre

En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea debida sólo a la gravedad - es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pluma, ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad g. Cuando la caída libre tiene lugar en el seno de un fluido como el aire, hay que considerar las fuerzas viscosas que actúan sobre el cuerpo. Aunque técnicamente la caída ya no es libre, desarrollaremos en adelante las ecuaciones incluyendo el término aerodinámico excepto en los c asos en los que no proceda. Tiro vertical

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g, aproximadamente porque la aceleración aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escr ibir en términos la altura y :

donde: 

y , son la aceleración y la velocidad v elocidad verticales ay , v y 



Fr , es la fuerza de rozamiento fluidodinámica (que es creciente con la velocidad)

Cuando se desprecia en una primera aproximación la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, se alcanzan ligeras velocidades la solución de la ecuación diferencial para las velocidades y la altura vienen dada por:

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Fórmulas que se utilizan en este tem a son: d = V0t + gt^2 / 2 t= Vf – Vf –V0 V0 / g Vf = gt +V0 Vf^2 – Vf^2  – V0^2=  V0^2= 2gd Ejemplo: 1)

Una pelota, que parte del reposo, se deja caer durante 5 segundos. a) ¿Cuál es su posición en ese instante? b) ¿Cuál es su velocidad en ese instante?

Datos

Fórmula

Sustitución

Resultados

t = 5seg

d = V0t + gt^2=

0(5s) / 2 + 9.8m/s^2(5s)^2 / 2

= 122.5 m

V0= 0

Vf = gt + V0 =

9.8m/s^2( 5s)+0

= 49 m/s

g= 9.8m/s^2 a) d = ? b) Vf= ? 2)

Una piedra es lanzada hacia abajo con una velocidad inicial de 6 m/s. ¿Cuál es su velocidad final después de caer una distancia de 40 m?

Datos

Fórmula

V0 = 6 m/s

Vf^2 – Vf^2  – V  V0^2 =2gd

d =40m

Vf =√ 2gd +V 0^2 =

Sustitución

Resultados

√ 2(9.8m/s)(40m) + (6m/s)^2

= 28.63m/s

g = 9.8m/s^2 Vf = ? 3)

Una flecha es disparada verticalmente hacia arr iba con una velocidad inicial de 40 m/s. a) ¿Cuánto tiempo se elevará? b) ¿Qué altura alcanzará?

c) ¿Cuál su posición vertical y su velocidad después de 2 s? Datos

Fórmula

Sustitución

Resultados

t=?

t= Vf -V 0 / a=

0- 40 m/s / - 9.8 m/s^2

=4.0s

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b) d = ? c) d = ? Vf= ?

5.2 Movimiento curvilíneo: movimiento parabólico, oscilatorio y circular El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.

La velocidad lineal v de un objeto con movimiento circular se calcula a partir del periodo T o de la frecuencia f:

La aceleración centrípeta ac  se calcula a partir de la velocidad lineal, el periodo o la frecuencia de la forma siguiente:

5.3 Movimiento de cuerpo rígido: traslación y rotación

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Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo es la partícula o punto material

. La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la figura. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o coordenadas; de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Movimiento de traslación

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico, lo podemos definir del modo siguiente: se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento.

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Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura; la armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectoria circular. Movimiento de rotación

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste.

(a) Movimiento de traslación de las barquillas de la noria. (b) Movimiento de rotación. El vector velocidad angular es único (invariante), pero cada punto del sólido tiene una velocidad diferente de la de los otros. El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen