Material de Derivadas

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CAPITULO III DERIVACION 21. Introducción. En este capítulo vamos a investigar cómo varía el valor de una función al variar la variable independiente. El problema fundamental del Cálculo diferencial es el de establecer con toda precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole, problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a Newton * al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálculo infinitesimal, el instrumento científico más poderoso del matemático moderno.

22. Incrementos. El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el símbolo ~x, que se lee "delta x' '. El estudiante no debe leer este símbolo , , delta veces x' , Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo, ** según que la variable aumente o disminuya al cambiar de valor. Asimismo, significa incremento de y, ~y ~cp

significa incremento de cp

~f(x)

sig?ifica incremento de f (x), etc.

1

" El célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) ha sido uno de los genios más grandes que han existido. Desarrolló la ciencia del Cálculo diferencial e integral bajo el nombre de fluxiones. Aunque Newton descubrió y empleó la nueva ciencia desde 1670, su primera obra publicada que la exhibe está fechada en 1687, teniendo el título " Philosophiae Naturalis Principia Mathematica". Esta es la obra principal de Newton. De ella dijo Laplace: " Siempre pe!manecerá preeminente sobre todas las otras producciones de 1.1 mente humana." ** Algunos autores al incremento negatilJo le llaman" decremento".

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CALCULO DIFERENCIAL

Si en y = f (x) la variable independiente x toma un incremento ~x , entonces ~y indicará el incremento correspondiente de la fun ción f (x) (o sea, de la variable dependiente y). El incremento ~y siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el incremento ~x. Por ejemplo, consideremos la función

Si tomamos x = 10 como valor in icial de x, est.o fija y = 100 corno valor inicial de y. Supongamos que x aumenta hasta x = 12, entonces

y aumenta hasta y

=

144,

Si se supone que x decrece hasta x

=

9,

es decir ,

~x

= 2;

y

~y

= 44 .

es dec'ir,

~x

= -1 ;

y decrece hasta y = 81 ,

entonces

y

~y =-1 9.

En este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y y decrece cuan~ do x decrece. Los valores correspondientes de ~x y ~y tienen un mismo signo. Puede acontecer que y decrezca cuando x aumenta, o viceversa; ~x y ~y tendrán entonces signos contrarios. 23.

Comparación de incrementos.

(1 )

.y

=

Consideremos la función

X2.

Supongamos que x tiene un valor ini cial fijo y le damos después un incremento ~x . Entonces y tomará un incremento correspondiente ~y, y tendremos: y ~y = (x + ~xr, o sea,

+ y + ~y =

X2

=

X2

Restando (1), Y

+ 2 x· ~x +

(~X)2.

(2) obtenemos el incremento ~y en función de x y ~x. Para hallar la razón de los incrementos, basta dividir los dos miembros de (2) por ~x, y resulta:

~~= 2 x + ~x.

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DERIVACION

remento Óx, función f (x)

Si el valor de x es 4, es claro

l1y lím -

r inicial defie fijado de x consideremos

fija y

, Ó."C =

=

100

6x---;>0 ÓX

Valor inicial de x

-1;

ecrece cuany tienen un

aumenta,

o

nción

Valor final de x

4 4 4 4 4 4 4

2;

Óy=-19.

5.0 4.8 4.6 4.4 4.2 4.1 4.01

Incremento 1'1x

8.

Valor Valor \ Incremento 1'1!J inicial de !J final de !J

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.01

16 16 16 16 16 16 16

;

I

25 23.04 21. 16 19.36 17.64 16.81 16.0801

9 7.04 5.16 3.36 1.64 0.81 0.0801

cómo se el incre-

1'1!J 1'1x

9 8.8 8.6 8.4 8.2 8.1 8.01

Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer -Óx también disminuye -Óy, mientras que la razón de los dos incrementos toma los valores sucesivos 9, 8,8, 8,6, 8,4, 8,2, 8,1, 8,01. Esta sucesión de '.'al ores nos dice que podemos hacer que el valor de la razón ~~ tan próximo a 8 corno deseemos con sólo tornar pequeño. Luego, ~ = 8. lím -...1!.. 6x---;>0

s después un ondiente Óy,

=

16) que

Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, comporta la razón de los incrementos de x y de y cuando mento de x decrece.

Óy = 44. , Óx =

(Art.

27

sea

a -Óx suficientemente

I1x

24. Derivada de una función de una variable. damental del Cálculo diferencial es la siguiente:

La definición fun-

La derivada * de una función es el límite de la Tazón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

idir los dos

Cuando el límite de esta razón existe , se dice que la función es deriooble o que tiene derivada. La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente: Dada la función (1) y =f(x), consideremos

•.

Llamada

un valor inicial fijo de z .

ta mb ié n coeficiente

diferencial

o función

derivada.

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CALCULO DIFERENCIAL

Demos a x un incremento ~x; entonces obtenernos para la función y un incremento ~y, siendo el valor final de la función (2)

y

+ ~y = f (x + ~x) .

Para hallar el incremento de la función, restarnos (1) de (2); se obtiene (3) ~y = f (x Sx) - f (x)

+

Dividiendo los dos miembros por ~x, incremento de la variable independiente, resulta: (4 )

~y

f(x+~x)

~x

~x

- f(x)

El límite del segundo miembro cuando ~X-70 es, por definición, la derivada de f( x), o sea, según (1), de y, y se representa por el dy símbolo dx. Luego, la igualdad

dy dx

(A)

=

lím

¡(x + ~x) - ¡(x)

6 X-70

~x

define la derivada de y ro de f ( x) 1 con respecto a x. De (4) obtenemos también

dy _ lím ~y. dx - 6 X-70 ~x Asimismo , si u es función de t, entonces, du

dt = 6~í~0

~u

~t

=

. derIvada de u con respecto a t.

La operación de hallar la derivada de una función se llama derivación. 25. Símbolos para representar las derivadas. Puesto que l1y y I1x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión

es una verdadera fracción. Pero el símbolo dy dx

ha de mirarse no como una fracción, sino como el valor límite de una f?"acción. En muchos casos veremos que este símbolo sí tiene propiedades de

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29

DERIVACION

fracción, y más adelante demostraremos el significado-que puede atribuirse a dy y dx, pero, por ahora, el símbolo

~;

ha de considerarse

como conjunto. Puesto que, en general, la derivada de una función de x es también función de x, se emplea también el símbolo J' (x) para representar la derivada de j(x). Luego, si y=j(x),

podemos escribir la igualdad dy dx

= J' (x)

'

que se lee "la derivada de y con respecto a x es igual a j prima El símbolo de x" d dx'

considerado por sí mismo, se llama operador derivada; indica que toda función que se escriba después de él ha de derivarse con respecto a x. Así, dy dx

-

(1

d y indica la derivada de y con respecto a x; dx

-

ix f (x) indica la derivada de j (x) con respecto a x;

d~ (2

x2+5) indica la derivada de 2 x2+5 con respecto a x.

El símbolo y es una forma abreviada de

~~ .

d El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de dx

Llle-

go, si y=j(x),

podem-os escribir las identidades dy d d y' = - = - y = - j(x) = Dxj(x) = j'(X). dx dx dx

Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que la variable es t1x y no x. El valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer resaltar que x = Xo desde el principio hasta el fin, podemos escribir: t1x~O,

J' (xo) =

Hm j(xo 6x~O

+ t1x) t1x

- j(Xo)

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CALCULO DIFERENCIAL

26. Funciones derivables. De la teoría de los límites se deduce que si exist e la derivada de una función para cierto valor de la variable independiente, la fun ción misma debe ser continua para aquel valor de la variable. Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son continuas y, a pesar de eso, no t ienen derivada. Pero tales funciones no son frecuentes en las Matemáticas aplicadas, yen este libro se consideran solamente las funciones derivables, es decir, las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variable independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados. 27. Regla general para la derivación. Según la definición de derivada se puede ver que el procedimiento para derivar una función y = f (x) comprende los siguientes pasos: REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIóN PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x + !::..x, y se calcula el nuevo valor de la función y /1y . SEGUNDO PASO . Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene /1y ( incremento de la función ) . TEIWEH PASO. Se divide /1y ( incremento de la función ) por /1x (1:ncremento de la variable independiente) . CUARTO PASO. Be calcula el límite de este cociente cuando llx ( incremento de la variable independiente) t'iende a cero. El límite así hn'uado es la den:vada buscada .

+

El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el procedimiento a muchos ejemplos . La resolución detallada de tres de estos ejemplo s se da a continuación. Nótese que los teoremas del Artículo 16 se emplean en el cuarto paso, manteniéndose x constante .

+ 5.

EJEMPLO 1.

Hal lar la derivada de la f un ción 3

Resolución.

Ap l icando los pasos s ucesi vos de la regla ge neral, obtenemos,

despué s de h acer y

Pri mer paso.

Segundo paso.

y

+ Ay

= 3 X2 =

3 (x

=

3

y

+ l'1y =

y

-

1'1 y

=

X2

X2

+ 5, + 1'1 x ) 2 + 5 + 6 x· 1'1 x + 3 (1'1 x ) 2 + 5,

3 x2+6 x.l'1x+ 3 (l'1x) 3 X2

2

6x'l'1x+3( óX)2

+5 +5

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DERIVACION

31

+ 3.l1x .

Tercer paso.

11/j = 6 x I1x

Cuarto paso.

En el segundo m iembro haga m os I1x----;'O. sul ta :

Seg ún CA)

re-

d/j = 6 x . dx

o

/j' =

bien,

~ (3 dx

X2

+ 5)'-~ 6 x.

EJEMPLO 2.

Hallar la der i vada de x 3

Resol ución.

Hagamos /j

Primer paso.

/j

+ 11/j =

= x3 (x

2 x

-

2 x

-

+ 7.

+ 7.

+ I1x) 3 -

2 (x

+ I1x) + 7 2 + (l1x) 3-

= x 3 +3 X2 'l1x+3 x. ( l1x )

Segundo paso.

/j

+ 11/j

/j

= x

3 +3

2+ (l1x) 3-2 x -

X2 .l1x + 3 x. (l1x)

x3

=

2 x-2 .l1x+ 7. 2.l1x+7

- 2x

11/j =

+7 - 2·l1x

Tercer paso.

11/j =3 x 2+3 x.l1x+(l1x)2-2. I1x

Cuart o paso.

En el se g undo mi em bro hagam os I1x----;'O. dremo s:

Según (A) ten -

'.!J¿=3x 2 - 2. dx

o

y'

bi e n ,

~ (x 3

=

2x

-

dx

+ 7) = 3 X2 -

EJEM PLO 3.

Ha l lar la deri v ada d e la función

Resol ución.

Hagamos y

Primer paso .

/j

+ l1y

=

Segundo paso .

y

+ 11/j

=

=

2.

c

?

-~ .

X2

C

(x + l1x)2

(x

c

+ I1x) 2

y

11

Tercer paso. Cuarto paso.

_

y -

- c ·l1x (2 x + I1x) x2(x+l1x)2

c -:-(x--: +---;I1-x -') -;:2

11/j = -e I1x

2 x X2 (x

+ I1x + I1x)

2

En e l segu n do miembro hagamo s I1x ----;'O. dremos :

d/j = _ c.~ =_ ~. dx

X2(X)2

x3

Según (A)

ten -

d(C) _ 2e ] - d x X2 - - x [/j /_ 3 '

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DIFERENCIAL

CALCULO

PROBLEMAS Calcular general.

la derivada

de cada una

lo

y=2-3

2.

y=mx+b.

3.

y=ax2.

y'=2ax.

4.

s =2

s' = 2-2

5.

q=c x" .

x.

Sol.

(_(2.

y' = -3.

y =3 x-x3.

y'

7.

u=4 v2+2 v3.

u'=8v+6v2.

8.

y=x'.

y'

9.

Q=--.

0+1 3

d u __

y=--. x2+2

dx

1lo

t+4 S=-. t

~= dt

12.

y=I-2x'

dy =

dx

x3.

6x (x2+2)

17.

x Y = x2+1 .

«v : dx «v : dx

19.

y = 3 x2 - 4 x - 5.

20.

s

=

a(2

2lo

u

=

2 v3 - 3 v2.

22.

Y = ax3

+ +

bt

+

b x?

+

ex

4

24.

y=

(2 -

x) (l-2x).

t2

25.

y=

(Ax

+

2 (l--2x)

26.

s

27.

x y=~+bX2'

28.

y=---.

At+B s=--· Ct+D

ds (j(-

x3+1 y=--. x

r!:l

= 2

x __

l-x2 (x2+1)2

2'

=

1_.

29.

SEGUNDO

+

y

PASO.

d.

Con este paso vemos que la a la pendiente de la secante

B) (Cx+D).

a

+

b x?

x2 x2

y = a

+

bX2'

geométrica de la derivada. Ahora vamos a que es fundamental en todas las aplicaciones del Cálculo diferencial a la Geometría. y Primero es necesario recordar la definición de tangente a una curva en un punto P de A la misma, Supongamos una secante que pase por P y un punto próximo Q de la curva (fig. 6). Hagamos que el punto Q o x N se mueva sobre la curva aproximándose indefinidamente a P: La secante girará Fig. 6 alrededor de P, y su posición límite es, por definición, la tangente a la curva en P. Consideremos ahora la gráfica de la función f (x) , o sea, la curva AB (fig. 6) , dada porla ecuación y=f(x).

y+L

PA •.O.

P (x, y)

en la gráfica de f( x) . Examinemos el sentido g sidera el valor de x como fi; Asimismo , ~:l: varía tendie punto Q ha de moverse a u posición limite Luego la s corno lím ite la tangon te en

28. Interpretación considerar un teorema

(1)

y+L

PASO.

(a+bt)3.

2

x2

PRIMJ.:H.

8x (4-X2)2

2

2

AD-BC (Ct+D)

2x {x2+(2)2

TERCER

Q=

14,

la regla

e.

23.

Q=--. 0+2

dx

x2 y =4-x2'

(a-bO)2.

13.

15.

dy=_ dx

x2.

2 dQ = (0+2) dO

O

1

y=--. x2+a2

18.

dQ = ___ 2_ (8+1)2 dO

10.

1

3-3

=4

usando

t.

y'=3cx2.

=

funciones

16.

y' = m.

6.

2

de las siguientes

. Procedamos ahora a deri a interpretar cada paso gE punto P (x, y) de la curva, también de la curva y cerca

= 7

Luego

lím

_.

=

inclin inclin

Suponi

6.1'---70

(véase el Art , 70),

tenemo

dy _ CUARTO

PAi-iO.

d~-

Así hemos establecido el im Teorema.

El valor de le

iqual. a la pendietue de la tal

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DERIVACION

. Procedamos ahora a derivar la funci ón ( 1) según la regla general y a in terpl'etar cada paso geométricamente. P a ra ello pscogemoR un punto P(x, y) de la curva, y un segundo punt.o QCx + ¡}.:r, y + ¡}.y), también de la curva y cercano a P.

+ ¡\y = f( x + ¡}.:r) Y + ¡}. y = f(x + ¡}.x) Y

PRIMIC]i PASO.

S~iGUNDO PASO .

=NQ

= f(x)

y

¡}.Y = ;(x ¡}.y _ f(x ¡}.X -

TERCER PASO .

=NQ

=ll1P = N R

+ ¡\x) -

+ ¡}.x) -

f(x)

¡}.x

f (x)

;=

RQ

RQ

RQ

= MÑ = PR

= tg L RPQ = tg 1> =

pendiente de la secante PQ .

Con cRLe pa:;;o vemos que la raz