Material Convolução - Monitoria

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DCA ––  Departamento de Engenharia da Computação e Automação  DEE – Departamento de Engenharia Elétrica  DEE –  Ricardo Ferreira Pinheiro (Professor) –  Francisco Régis da Silva Pereira (Monitor) –  Marcos Túlio Antunes Bezerra Segundo (Monitor) 

rfriecgipisnph@[email protected] – [email protected]

TEOREMA DA CONVOLUÇÃO APLICADO A CIRCUITOS ELÉTRICOS 

() ()

ஶන ( ) ( െ ) ିஶ

SUMÁRIO

1.1.1.1.1.1.1.1. 1.1.In12t..rodução,IAlntgeumasrp3retaPrçãooprdaiedadesIntegrdaal deConvolConvolução,ução,4 3 2.2.2.2.2.2.2.2. 2.2.Ci12r..cuitoCiCisrrElccuiuiétttoorssidedecosPrSegunda eimConvol u ção, çã o, 12 eiraOrOrddem,em,1912 3.3.3.3.3.3.3.3. Convol u ç ã o e a Tr a ns f o r m ada de Four i e r , 23 3.3.12.. CalAplciculaçãoandoemumaCirTrcuiatnsosfoElrmétadaricosde, 25Fourier, 23 4.4.4.4.4.4.4.4. Referênciêncincias, 29

1.1.1.1.1.1.1.1.IINATRODUÇÃO operação de convolução é usada em muitos campos tecnológicos tais

como as ci ê nci a s f í s i c as , ci ê nci a s mat e mát i c as e engenhar i a s . A convol u ção é definida como uma integral, chamadaஶ , mostrada abaixo: ( ) ( ) ( ) න െ ିஶ Ou, ( )ൌ ( ) ( ) Onde, ՜ á ( ) ( ) ՜ çõ ( ) ՜ çã çã ՜ á ՜ çã çã çõ 1.1. EsInstaeinrtpegrreatlanosçãdiozdaqueIn(te)gre a(l)deestãConvol u ç ção ã o o s e ndo convol u í d as , em f o r m a de uminfinitseosmatimaiósr)ioem(letmbroda ea-sseuaqueexistumaência, iountegrseajal, deé െ∞umaa s൅∞,omadedemodoelementque oas fConvol unçãoução.( ) é invertida no tempo e defasada de . Assim é definida a operação de O resultado da Convolução entre duas funções é uma nova funçãonção. Em Engenhar i a El é t r i c a e Engenhar i a da Comput a ção el a é l a r g ament e utSLIilTiz,adaumnaexempl obtençãoo dadeclarsesseposdestassedes siSistsetmasemaspodeLinearseers ume InvarCirciauinttoesElnoétrTempo – i c o com elementos lineares ( Capacitores, Resistores e Indutores ). ( ) ( ) A f u nção é a ent r a da apl i c a da ao s i s t e ma e a f u nç ã o é a r e s p os t a do sistema ao impulso. integral de convolução

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Isso pode ser melhor explicado na figura abaixo: Primeiramente definimos a função impulso como sendo: ( ) ൌ ൜10, , ൌ 0്(0 ( Seja o sistema abaixo ( ):

))

( ) ( ) ( ) ( ) Se ൌ , ent ã o, ൌ , ou s e j a , a s a í d a do s i s t e ma t o r n as e a rpodeesposstear aodetiemerrpulminsadao desaseparsitsitremada co(nvol). Logo,ução qualdo sqiuernal rdeespentostraadade um( )sicsotemmaa resposta ao impulso do sistema ( ). 1.2. UmaAlgumas pr o pr i e dades da Convol u ç ã o ( ) das pr o pr i e dades da Convol u ção é que s e ൌ0, para ൏0, ent ã o a integral pode ser simplificada paraஶ: ( ) ൌ න଴ ( ) ( െ ) Outras propriedades: a.a. Distributividade: ( ) ൌ ଵ( ) ሾ ଶ( ) ൅ ଷ( ) ሿ ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ൅ ଵ( ) ଷ( ) b.b. Comutatividade: ( ) ( ) ( ) ( ) ൌ ଵ ଶ ଶ ଵ c.c. Associatividade: ଵ( ) ሾ ଶ( ) ଷ( ) ሿ ൌ ሾ ଵ( ) ଶ( ) ሿ ଷ( ) d.d. Linearidade: ଵ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ଶ( ) ൌ ଷ( ) ସ( ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Se ௔( ) ൌ ሾ ଵ( ) ଶ( )ሿ ௕( ) ൌ ሾ ଷ( ) ସ( )ሿ Então, se ( ) ൌ ௔( ) ൅ ௕( ) ( ) ൌ ሾ ଵ( ) ଶ( )ሿ ൅ ሾ ଷ( ) ସ( )ሿ ( ) ൌ ଵ( ) ൅ ଶ( ) e.e. Propriedades de Deslocamento: ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ଵ( ) ଶ( െ ଴) ൌ ଵ( െ ଴) ଶ( ) ൌ ( െ ଴) f. ( ) ( െ ଴) ൌ ( ଴) ՜ g.g. ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ՞ ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) A seguir é apresentado um exemplo da convolução entre dois sinais. Exempl – Um Si s t e ma Li n ear e I n var i a nt e no Tempo ( S LI T ) com r e s p os t a ao o 1 ି iemmpuldegrsoauniu dotártiiopoé dado( ) ൌpor૛ (( )), detൌ ermin(e)a, nessaídseasdesistesmae siséteaplma:icado uma entrada Soluççãoão 11:: Tem-se os gráficos das funções envolvidas:  , ,

e 

Propriedade do Peneiramento 

Matematicamente sabemos que: ஶ ( ) ൌ න଴ ( ) ( െ )

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( ) Ou s e j a , podemos r e al i z ar a r e ver s ã o no t e mpo de e depoi s des l o cál a para “varrer” a função ( ), para todo o tempo e assim a convolução está feita. ՜ Reversão no Tempo ՜noDesTempolocamentparaot ൏após0 a Reversão ( ) ( ) Se o gr á f i c o de െ com ൏ 0 f o r sobr e post p ost o ao gr á f i c o de , o resultado será como pode ser observado na figura abaixo. Des(sa) fൌorනmஶa: ( ) ( െ ) ൌන௧ 2 · 0 ൅ නஶ0 ିఛ ିஶ ିஶ ଴ ( )ൌ0 Para o casocaso ondeonde ൐ 0, os gráficoscos se sobrsobrepõem dessa maneira: Logo,

Vej a que os gr á f i c os s e combi n am na ár e a s o mbr e ada, des s a f o r m a, a convolução pode ser determinadaஶpor: ( ) ൌ නିஶ ( ) ( െ ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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௧ ( ) ൌ න଴ 2 ିఛ ௧ ( ) ൌ 2 න଴ ିఛ ( ) ൌ െ2(െ2 ( ିఛ) ቚ ൌൌ 0 y(t) ൌ െ2(െ2 (eି୲ି୲െ 1) y(t) ൌ ( െ22e ) u(t)

A r e s p os t a do s i s t e ma s e cons t i t u i de um val o r exponenci a l que t e nde a zermosotàramedido abaida xqueo: o tempo cresce e de um degrau, o gráfico dessa nova função é 2 y(t) 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 10

Sol u ção 2: Podemos encont r a r a r e s p os t a at r a vés da pr o pr i e dade g, que s e ç ã o 2 utiliza da Transformada de Laplace: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ൌ ՞ ൌ Ou ( ) ൌ ିଵ ሼ ( ) ( ) ሽ Tem-se que as transformadas de Laplace das funções envolvidas são: ( )ൌ2 ( ) ՞ ( )ൌ2 ( ) ൌ ି௧ ( ) ՞ ( ) ൌ ൅1 1 Então ( ) ൌ ( ) ( ) ൌ 2 ( ൅ 1) Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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( ) ( ) At r a vés da expr e s s ã o de a r e s p os t a é det e r m i n ada apl i c ando a Transformada Inversa de Laplace à ( ). ( ) ൌ ିଵ ൜ ( 2൅ 1) ൠ ଶ௦(௦ାଵ) Par a det e r m i n ar a Tr a ns f o r m ada I n ver s a expandi m os a expr e s s ã o em ) ௦ ାଵ frações parciais e obter termos simples para facilitar a análise. ( ) ൌ ( 2൅ 1) ൌ ൅ ൅ 1 Os termos e , são encontrados através do Teorema de Heavi Heavisidee: ൌ ( ) · ቚ ൌ 0 ൌ ( 2൅ 1) · ฬ ൌ 0 ൌ ൅2 1 ቚ ൌ 0 ൌ 2 ൌ ( ) ·(൅1)ቚ ·(൅1) ቚ ൌ െ1 ൌ ( 2൅ 1) ·(൅1)ฬ ·(൅1) ฬ ൌ െ1 ൌ 2 ቚ ൌ െ1 ൌ െ2 Com os coef i c i e nt e s det e r m i n ados , podemos r e al i z ar a i n ver s ã o da transformada: ( ) ൌ ( 2൅ 1) ൌ 2 െ ൅2 1 ( ) ൌ ିଵ ൜ 2 െ ൅2 1 ൠ ( ) ൌ ( 2 െ 2 ି௧ ) ( ) Exempl o 2 – Det e r m i n e a r e s p os t a de um Si s t e ma Li n ear e I n var i a nt e no Tempo s e ି su(a)entൌ ra(da) െfor ( (െ)૚ൌ): ( ), onde a resposta ao impulso do mesmo sistema é Soluçção:ão: Os gráficos das funções são mostrados abaixo: A B 

Sabendo que a Convoluçãoஶé dada por: ( ) ൌ නିஶ ( ) ( െ ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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( ) ( ) Onde o mai s conveni e nt e é f a zer a f u nção per c or r e r a f u nção , e o rcomut esultaadotivsa:e torna mais fácil de analisar, pois como é conhecido a convolução é ஶ ஶ ( ) ൌ නିஶ ( ) ( െ ) ൌ නିஶ ( ) ( െ ) O gráfico da função que irá percorrer o eixo dos tempos é: Temos as s e gui n t e s s i t u ações onde a convol u ção acont e ce s o ment e nas áreas sombreadas:

ParaPara ൑૙::

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Not e que s e ൌ 0, a bor d a di r e i t a do pul so s o r e t a ngul a r f i c a exat a ment e na orseigundo, gem, ee:a borda esquerda em െ1, mostrando que o pulso tem largura de um ( )ൌ૙ ParPara 0 ൏ ൑ 1:

ParaPara ൐1::

௧ ( ) ൌ න଴ ିఛ ( ) ൌ െ( ିఛ) ቚ ൌൌ 0 ( ) ൌ െ( ି௧ െି 1) ( )ൌ૚െ

௧ ( ) ൌ නିଵା௧ ିఛ ൌ ( ) ൌ െ( ିఛ) ቚ െൌ1൅ ( ) ൌ െൣ ି௧ െ ି(ିଵା௧)ିଵା௧)൧ ( ) ൌ ି(ଵି௧ିଵା௧)ିଵା௧) െି௧ି௧ ( ) ൌ ି௧െ ି௧ ( ) ൌ · െ ି௧ ( ) ൌ ( െ 1) ି ( ) ൎ૚,ૠ૚ૡ Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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O resultado da convolução é então resumido na tabela a seguir: ( ) ൑ 0 ൌ 0 0 ൏൐൑1 1 ( ) ൌ ( (െ)1ൌ) 1ି௧െ1ൎ,ି௧718 ି௧ O gráfico da função ( ) resultante está abaixo: 1

0.9 0.8 0.7 t= 1 y(t) = 0,6321

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3

4

5

6

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8

“LaplComoace exere confcícirimo arvocêa respodeposta!r”esolvê-lo utilizando a técnica de Resa.a. uEsmopelparhamenta calcou:laPegue r a Intaegrimalagemde Convolespeluhçadaão de uma das funções (a mais conveni e nt e a s e r es p el h ada) em r e l a ção ao ei x o das or d enadas par a ( ) ( ) obt e r a r e ver s ã o no t e mpo, ou s e j a , f a ça െ de ; b.b.c.c. MulDesltoipccamelaimentcaação:çção:ntãnoto:DetDeselromqueineouo pratordutaseo (deെ )(deെ par) coma obt(er). ( െ ); d.d. In(tegrെação:çção)ão( )Parparaa 0dado൏ ൏insetaantseim, ocalbtecrule( )aemáre.a sob o produto

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5.5.5.5.5.5.5.5.CICI5.1R.CUICirTcuOSitoELÉTRI C OS E CONVOLUÇÃO s de Primeira Ordem Seja o circuito RC abaixo:

Tendo condi ç ões i n i c i a i s nul a s , e us a ndo a t é cni c a de ci r c ui t o s tcapaci ransfotormr)adose a, podes e obt e r uma r e l a ção ent r e a t e ns ã o de s a í d a ( t e ns ã o s o br e o t e ns ã o de ent r a da ( e xci t a ção do ci r c ui t o : a f o nt e de t e ns ã o) , o circuito transformado segue abaixo: Utilizando a lei das malhas: ( ) ൌ ஼ ( ) ൅ ஼ ( ) ( ) ൌ ஼1( ) ൅ ஼( ) ( ) ൌ ஼ ( ) ൅ ஼ ( )  ( ) ൌ ( ൅ 1) ஼ ( ) SaíEntrdada(daa(a(s()s) ൌ (( )) ൌ ( ) ൌ ૚൅ ૚ ՜ อ çã çãçã ê Podemos calcular a resposta do sistema ao impulso ( ) da seguinte forma: ( ) ൌ 1൅ 1 ൌ 1൅ 1 · 1 Sabemos que: () ՞ 1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Ou seja,

( ) ·1 ር ( ) ( ) 1 ( ) ൌ ൅ 1 ር ( ) ൌ 1 ି ஼ଵ ௧ ( ) ൌ ૚ ቀି ૚ ቁ ( ) ՜ Agor a podemos des c obr i r como é a t e ns ã o s o br e o capaci t o r par a qual q uer entsistreamada ao(im),pulbasstoa. realizar a convolução entre a entrada aplicada e a resposta do “sCisomotemaexerao imcícpulio svocêo parpodea um tcierntcuiartodesRLcobrsériier ecomoparaléelao.”resposta do Exempl pl – Par a o ci r c ui t o RC mos t r a do aci m a e f a zendo R ൌ 2 Ω e C ൌ 0, 2 5 F, Exem o caltipo:cule a corrente sobre o capacitor, se nesse circuito for aplicada uma tensão do ( ) ൌ ( ) െ 2 ( െ 2) ൅(െ 4) Sol u ção: ç ã o: Par a os val o r e s dados no exempl o , t e mos que a equação par a భ ( ) ൌ ஼ଵ ି ೃ಴ ௧ se torna: ( ) ൌ 2 ି ଶ௧ ( ) Temos ent ã o os gr á f i c os par a a ent r a da e par a a r e s p os t a do s i s t e ma ao impulso: షభ షభ

Desse modo podemos calcular a tensão sobre o capacitor, da forma: ஼ ( ) ൌ ( ) ௦( ) E depois calcular a corrente sobre o mesmo através da expres são: (஼ ) ൌ ஼( ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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EsA fpuelnçãohamentmaios:conveniente a ser espelhada é ௦( ), logo: DesEmDeslsoeccaguiamentda odes: locamos a função ௦(െ ), de e consideraremos várias situaçõesFazendo para o soeestu valudoor:para ൏ 0, a função ௦( െ ) está mostrada abaixo:

Ou seja, varrendo a função ( ) com ௦( െ ), temos:

O que nos diz que para ൑ 0:0: ஼( ) ൌ 0 Agor a t e r e mos que anal i s a r out r o s val o r e s par a Obs e r v e que t e r e mos a mesma análise ocorre se assumir o valor dos intervalos: 0൏ ൑1e1 ൏ ൑ 2 t.

t 

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Ou seja, se 0൏0 ൏ ൑ 2, obobteremos:

A parte sombreada é o interval௧o a ser convoluído, tal que: ିఛ ஼( ) ൌන1·2 ଴ ௧ ஼( ) ൌ 2 න଴ ିఛ ൌ ିఛ െ2 ( ) ቤ ൌ 0 ஼( ) ൌ െ2( െ2ି ( ି௧ െ 1) ஼( ) ൌ െ2( ( ) ൌ૛െ૛ ՜ ૙ ൏ ൑ 2 2 ൏ ൑ 4 j á q u e e n t r e 2 ൏ ൑ 3 e 3 ൏ ൑ 4 o resulsultadoado serárá o mesm mesmo:o: O próximo intervalo a ser analisado será de

,

E assim podemos realizar a convolução:

௧ ିఛ (஼ ) ൌ න଴௧ିଶ (െ1)െ1) · 2 ିఛ ൅න1·2 ௧ିଶ Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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஼( )

௧ିଶ ௧ ିఛ ஼( ) െൌ2න଴ ൅ 2 න௧ିଶ ିఛ ൌ ൌ െ 2 ିఛ ିఛ ஼( ) ൌ 2 ( ) อ ൌ 0 െ 2 ( ) ቤ ൌ െ 2 ௧ିଶ) ൧ ஼( ) ൌ 2 ൣ ି(௧ିଶ)௧ିଶ) െ 1 ൧ െ 2 ൣ ି௧ െ ି(௧ିଶ) ஼( ) ൌ (2 ି௧ାଶ െ 2) ൅ (2 ି௧ାଶ െ 2 ି௧) ஼( ) ൌ 4 ି௧ାଶ െ 2 ି௧ െ 2 ஼( ) ൌ 4 ଶ ି௧ െ 2 ି௧ െ 2 ஼( ) ൌ (4 ଶ െ 2) ି௧ െ 2 ( ) ൎ૛ૠ,૞૞૟ ି െ ૛ ՜ ૛൏ ൑૝

൐4

Por fim, a convolução quando , já que quando assumir todos esses valores, será a mesma função, então graficamente, temos:

௧ିଶ ௧ ିఛ ିఛ െ1) · 2 ൅න1·2 ஼( ) ൌ න௧ିସ (െ1) ௧ିଶ ௧ିଶ ௧ ିఛ ஼( ) െൌ2න௧ିସ ൅ 2 න௧ିଶ ିఛ ൌ ൌ െ 2 ିఛ ିఛ ஼( ) ൌ 2 ( ) อ ൌ െ 4 െ 2 ( ) ቤ ൌ െ 2 ௧ିଶ) ൧ ஼( ) ൌ 2 ൣ ି(௧ିଶ)௧ିଶ) െ ି(௧ିସ)௧ିସ) ൧ െ 2 ൣ ି௧ െ ି(௧ିଶ) ஼( ) ൌ (2 ି௧ାଶ െ 2 ି௧ାସ) ൅ (2 ି௧ାଶ െ 2 ି௧) ஼( ) ൌ 4 ି௧ାଶ െ 2 ି௧ାସ െ 2 ି௧ ஼( ) ൌ 4 ଶ ି௧ െ 2 ସ ି௧ െ 2 ି௧ Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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஼( ) ൌ (4 ଶ െ 2 ସ െ 2) ି௧ ( ) െൎૡ૚,૟૝૙ ି ՜ ൐ 4

Temos aí: ( ) ൑ 0 ൌ 0 ஼ ି௧ 02 ൏൏ ൑൑ 24 ஼( ) ൌ (4 ଶ െ஼(2)) ൌെ22 ି௧ െ22ൎ7,556 ି௧ െ 2 ൐ 4 ஼( ) ൌ (4 ଶ െ 2 ସ െ 2) ି௧ െൎ81,640 ି௧ Os gráficos das funções ஼( ) emem preteto e dede ௦( ) em azul estão abaixo: Tensão vc(t)

X: 2 Y: 1.729

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 X: 4 Y: -1.495

0

1

2

3

4

5

6

7

8

A corrente ஼( ) ൌ ௗ௩ௗ௧಴(௧), ( C ൌ 0,25 F ), logo: ( ) ൑ 0 ൌ 0 ஼ 02 ൏൏ ൑൑ 24 ஼( ) ൌ (0,0,െ஼(5 ) ൌ0,ଶ) ି௧5 െൎ6,ି௧ 889 ି௧ ൐ 4 ஼( ) ൌ (0,0,െ5 ଶ ൅0,5 ସ) ି௧ 2ൎ0,410 ି௧

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9

10 10

17 

O gráfico de ஼( )

está mostrado abaixo: Corrente Corrente ic (t)

1

X: 4.01 Y: 0.3701

0.5

X: 2 Y: 0.06767

0 X: 4 Y: -0.1262

-0.5

-1

X: 2.01 Y: -0.9231

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Obs e r v e que o capaci t o r é um el e ment o de ci r c ui t o que evi t a mudanças mudanç a s evi brintuesrcvasaalsodedetetensmpoão sanalobreisaeldose, mas, comoa cormosretrntame sosofrgreávarficosiações. repentinas em cada

( ) Par a o ci r c ui t o RL par a l e l o , det e r m i n e a r e s p os t a do s i s t e ma ao i m pul s o e ( ) calcule aSuges corretntão:e nouseinodutmétoropardo dea umaintegrentarçãoadapormospartratdaes.no gráfico de  . ൌൌ 13  EXERCÍCIO 

( ) ൌ 3 ିଷ௧ ( ) ൑ 0 ՜ ( ) ൌ 0 ଵ ଵ ଵ 0 ൏ ൑ 3 ՜ ( ) ൌ ଷ ൅ ଽ ିଷ௧ െ ଽ ൐ 3 ՜ ( ) ൌ ଵଽ ିଷ௧ ൅ ଼ଽ ଽ ିଷ௧

Resposta: 

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Corrente iL(t) em preto e corrente is(t) em azul 1.5

X: 3 Y: 0.8889

1

0.5

0

-0.5

0

1

2

3

4

5

6

5.2. CiSejracouuiciirtcouistodeRLCSegunda Or d em abaixo: Vamos det e r m i n ar a r e s p os t a do s i s t e ma ao i m pul s o par a a t e ns ã o s o br e o capacitor, ௖( ) e condições iniciais nulas: ( ) ൌ ( ) ൅ ( ) ൅ ௖( ) ( ) ൌ ( ) ൅ ( ) ൅ ௖( ) ( ) ൌ ௖( ) ൅ ௖( ) ൅ ௖( ) ( ) ൌ ௖( ) ൅ ቈ ௖( )቉ ൅ ௖( ) ଶ ( ) ௖ ( ) ൌ ൅ ௖ଶ( ) ൅ ௖( ) ଶ ௖ଶ( ) ൅ ௖( ) ൅ 1 ௖( ) ൌ 1 ( ) ଶ ௖( ) ൅ ሾ ௖( )ሿ ൅ 1 ሾ ௖( )ሿ ൌ 1 ( ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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൅ 1൨ൌ 1 ( ) (( )) ൌ ૛ ൅ ૚ ൅ ૚ Cas o 1 ( P ól o s di f e r e nt e s ) – Supondo que as r a í z es do denomi n ador da Função de Rede (seus pólos), sejam ఛଵభ e ఛଵమ com ቀఛଵభ ് ఛଵమቁ Թ, enentão ficamomoss com:om: (௖( )) ൌ ቀ ൅ 11ଵቁ·ቀ1ଶ൅ 1 ቁ ଵ ଶ Onde ఛଵభ ൅ ఛଵమ ൌ െ , e ఛଵభ · ఛଵమ ൌ ஼ଵ 1 1 · ( ) ( ) ൌ ௖( ) ൌ ቀ ൅ 1ଵଵቁ ቀ ଶ൅ 1ଶቁ ൌ ൅ 1ଵ ൅ ൅ 1ଶ ௖( ) ൤ ଶ ൅

1 1 1 1 1 1 · · · 1 1 ൌ ( ) ൬ ൅ ଵ൰ ቮ ൌ െ 1ଵ ൌ ቀ ൅ 1ଵଵቁ ቀ ଶ൅ 1ଶቁ ൬ ൅ ଵ൰ ቮ ൌ െ 1ଵ ൌ ଵ൅ 1ଶଶ ተ ൌ െ 1ଵ ൌ 1ଶଵെ 1ଶଵ 1 1 1 1 1 1 · · · 1 1 ൌ ( ) ൬ ൅ ଶ൰ ቮ ൌ െ 1ଶ ൌ ቀ ൅ 1ଵଵቁ ቀ ଶ൅ 1ଶቁ ൬ ൅ ଶ൰ ቮ ൌ െ 1ଶ ൌ ଵ൅ 1ଶଵ ተ ൌ െ 1ଶ ൌ 1ଵଵെ 1ଶଶ 1 1 1 1 1 1 · · · ( ) ൌ ቀ ൅ 1ଵଵቁ ቀ ଶ൅ 1ଶቁ ൌ ൮ 1ଶଵെ 1ଶଵ൲ ൅1 1ଵ ൅ ൮ 1ଵଵെ 1ଶଶ൲ ൅1 1ଶ 1 1 1 1 · · ௧ ௧ ି ି ଵ ଶ ଵ ଶ ିଵ ఛ ఛ ( ) ൌ ሼ ( ) ሽ ൌ ൮ 1ଶ െ 1ଵ൲ భ ൅ ൮ 1ଵ െ 1ଶ൲ మ ૚ ૚ ૚ ૚ · · ି ( ) ൌ ൮ ૚૛૚െ ૚૛૚൲ ૚ ൅ ൮ ૚૚૚െ ૚૛૛൲ ି ૛

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Cas o 2 ( P ól o s i ) – Supondo que as r a í z es do denomi n ador da Função g uai s ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ de Rede (seus pólos), sejam ఛభ e ఛమ com ఛభ ൌ ఛమ ൌ ఛ Թ desse modo ficamos com: ଶ 1 ቀ ቁ ( ) ൌ ௖(( )) ൌ ቀ ൅ 1ቁଶ Não pr e ci s a mos de nenhum mét o do par a r e s o l v er es s a t r a ns f o r m ada inversa porque de cara sabemos qual é el૛a: ( ) ൌ ൬ ૚൰ ି Cas o 3 ( P ól o s c o mpl e xos ) – Supondo que as r a í z es do denomi n ador da ଵ ଵ ଵ ଵ Função de Rede ( s e us pól o s ) , s e j a m e com ቀ ് ቁ ԧ de d e s se e mod mo d o f i c a m o s ఛ ఛ ఛ ఛ భ మ భ మ com: Sejam: ఛଵ െൌ൅ െൌభ ൅ e ఛଵమ ൌ ቀఛଵభቁൌെെ 1 1 · ( ) ൌ ௖(( )) ൌ ቀ ൅ 1ଵଵቁ ቀ ଶ൅ 1ଶቁ Podemos partir da conclusão do caso 1 para deduzir o caso 3: 1 1 1 1 · · ௧ ௧ ି ି ଶ ଵ ଵ ଶ ିଵ ఛ ఛ ( ) ൌ ሼ ( ) ሽ ൌ ൮ 1ଶ െ 1ଵ൲ భ ൅ ൮ 1ଵ െ 1ଶ൲ మ Substituindo os valores de ఛଵభ e ఛଵమ: ିఈା௝ఠ)௧ ൅ ቈ(െ(െ ൅൅ ) )െ(െ(െ െെ ) )቉ (ିఈି௝ఠ) ିఈି௝ఠ)௧ ( ) ൌ ቈ(െ(െ െെ ) )െ(െ(െ ൅൅ ) )቉ (ିఈା௝ఠ) ଶ ଶ ଶ ଶ ൅ ൅ ି ఈ ௧ ௝ ఠ ௧ ( ) ൌ ቆ െ 2 ቇ ൅ ቆ 2 ቇ ିఈ௧ ି௝ఠ௧ ଶ ଶ ଶ ଶ ൅ ൅ ି ఈ ௧ ௝ ఠ ௧ ( ) ൌ െ ቆ 2 ቇ ൅ ቆ 2 ቇ ିఈ௧ ି௝ఠ௧ ଶ ଶ ൅ ( ) ൌ ቆ 2 ቇ ିఈ௧ ൫ ି௝ఠ௧ െ ௝ఠ௧൯ ଶ ଶ ൅ ( ) ൌ ቆ 2 ቇ ିఈ௧ (െ 2 ) ଶ ଶ ൅ ( ) ൌ െ ቆ ቇ ିఈ௧ Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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( ) ൌ ቆ ૛ ൅ ૛ቇ ି ( െ૚ૡ૙ ) Ou s e j a , s e t i v er m os em mãos as r e s p os t a s par a o i m pul s o do ci r c ui t o aciaplmicadaa, poderao siesmostema,encont r a r a t e ns ã o s o br e o capaci t o r par a qual q uer ent r a da convol u í n do es s a mes m a ent r a da com qual q uer uma das t r ê s expressões encontradas acima. “parComoa a exerrespcosícitoa vocêao impodepulstoentpararadeso cciobrrcuiirtocomoRLCsparão asaleexprlo entesrsõeesa corrente no indutor e a corrente de excitação.” °

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6.6.6.6.6.6.6.6.CONVOLUÇÃO CONVOLUÇÃO A TRANSFORMADA DE FOURI E R E A operação de Convolução não se restringe apenas ao domínio de Laplace,

elFoura abrieraéngeum castambémo especíaoficdomío da nTrioansdeforFourmadaierde(lLaplogicaament e a Tr a ns f o r m ada de ce). Mas obviamente: ஶ ( ) ൌ නିஶ ( ) ି௦௧ ஶ ( ) ൌ ( ) อ ൌ ൌ නିஶ ( ) ି௝ఠ௧ ( ) ൌ නିஶஶ ( ) ି ՜ Deve-se salientar que também com Fourier, tem-se: ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ՞ ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) A Tr a ns f o r m ada de Four i e r não i n cl u i as condi ç ões i n i c i a i s em s u a anál i s e aofornpasecesoumaqueviasTrãoadetnsfaolrhmadaadadosdesLaplinaisacenoodomífaz,nporio daémfraequênci TransfaorexplmadaicitdeandoFoursuiaser carLaplactace.erísSeuticasempre faecigolitaéndomelshuora melaplhicoradocompra análeensiseãemo dorequegimea perTramnsanent formadae não-de sfreenoiquêncidal jáaqueé dadoas fatunções s e noi d ai s s ã o per i ó di c as e s e u t r a t a ment o no domí n i o da ravés da Série de Fourier que envolve essa classe de sinais. 6.1. VamosCalculucallacndoular aumaTransfTrormaadansfdeorFourmadaier dodesinFoural abaixio:er Perceba que esse sinal só existe em dois intervalos de tempo: െ3൑ ൑െ1൑െ1 e 1൑ ൑3 Logo, o cálculo se resume a: ஶ ( ) ൌ නିஶ ( ) ି௝ఠ௧

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ିଵ ଷ ି௝ఠ௧ ( ) ൌ නିଷ (െ1)െ1) ൅ නଵ (൅1)൅1) ି௝ఠ௧ ଷ ିଵ ି௝ఠ௧ ( ) ൌ නଵ െ නିଷ ି௝ఠ௧ ௧ ଷ ௧ ିଵ ି௝ఠ௧ ି௝ఠ௧ ( ) ൌ ቆ െ ቇ௧ ଵ െ ቆ െ ቇ௧ ିଷ ( ) ൌ െ 1 ൫ ି௝ଷఠ െ ି௝ఠ൯ ൅ 1 ൫ ௝ఠ െ ௝ଷఠ൯ ( ) ൌ 1 ൫ ௝ఠ െ ௝ଷఠെ ି௝ଷఠ ൅ ି௝ఠ൯ ( ) ൌ 1 ൫ ௝ఠ ൅ ି௝ఠ െ ௝ଷఠെ ି௝ଷఠ൯ ( ) ൌ 1 ൣ൫ ௝ఠ ൅ ି௝ఠ൯ െ ൫ ௝ଷఠ ൅ ି௝ଷఠ൯൧൯൧ ୀ

ୀ

ୀ

ୀ

( ) ൌ 1 (2c2 cos െ2co െ2cos3 ) ( )ൌ ૛ ( െ ) Estes são osos gráficos da Transfansformadaada de Fourier da nossa nossa função ( ): ૜

Modulo F(ω)

4 3 2 1 0 -10

-8

-6

-4

-2 ω

0 (rad/s)

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

Fase F(ω) 150 100 50 0 -50 -100 -150 -10

-8

-6

-4

-2 ω

0 (rad/s)

( ) A f u nção é uma f u nção compl e xa l o go f o r n ece doi s gr á f i c os , um de módulo e outro de fase (aqui mostrado em graus). Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Calcule a Transformada de Fourier paraିa௧função: ( )ൌ4 ( ) Depois diga qual é a expres são para seu módulo e para sua fase. ( ) ൌ ା௝ఠସ ( ) ൌ ା௝ఠସ ൌ ଶ ସାఠమ ( ) ൌ 4 െ (5 ൅ ) ൌ െ0arctan൫5൯ െൌarctan൫5൯ EXERCÍCIO 

ହ

Resposta:  ହ

|

|

| |

|ହ

∠

|

ඥ  ହ

∠

∠

Modulo F(ω) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -10

-8

-6

-4

-2 ω

0 (rad/s)

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

Fase F(ω) 100

50

0

-50

-100 -10

-8

-6

-4

-2 ω

0 (rad/s)

6.2. DaAplmesicmaaççaõfoesrmaemqueCiLaplrcauce,itoutsiliElzamosétriacTroossansformada de Fourier, para

calconvolculaurçãoumanogrtaendeza em um ci r c ui t o at r a vés da oper a ção de convol u ção, j á que a mpo, significa um produto no domínio da frequência. A Função de Tr a ns f e r ê nci a é def i n i d a novament e como a r a zão ent r e a resposta de saída e a entrada excitante, tal que: (( )) ( ) ൌ Ou seja, ( ) ൌ ( ) ( ) షభ ( ) ൌ ( ) ( ) ( ) I n di c ando que é a t r a ns f o r m ada de Four i e r da r e s p os t a ao i m pul s o ( ). ሱ

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Exempl Excoremplrentoe s–obrPareao oincidutrcouirt,osemosnestsreacidorcabaiuitoxfoorondeaplicadaR ൌa2corΩ reentL eൌ: 0,5 H. Calcule a ௦( ) ൌ 3 ିଵ଴ ௧ Soluçção:ão: O circuito é: Podemos determinar a resposta ao impulso do sistema: ( ) ൌ ൅ ௦( ) ( ) ൌ ௦(( )) ൌ ൅ ( ) ൌ ൅ ൌ 4 ൅4 ( ) ൌ ିଵሼ ( )ି૝ሽ ൌ 4 ିସ ௧ ( )ൌ૝ A corrente sobre o indutor é: ( ) ൌ ( ) ௦( )

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Para a situação onde ൑0: A convolução quando isso acontece é: ( ) ൌ 0 uando 0,0, Q

൒

( ) ൌ ሾ 4 ିସ ௧ ሿ ሾ 3 ିଵ଴ ௧ ሿ ௧ ( ) ൌ න଴ 4 ିସఛ · 3 ିଵ଴(௧ିఛ) ௧ ( ) ൌ12න଴ ିସఛ · ିଵ଴௧ ଵ଴ఛ ௧ ିଵ଴௧ ( ) ൌ 12 න଴ ିସఛ · ଵ଴ఛ ( ) ൌ 12 ିଵ଴௧ න଴௧ ఛ ( ) ൌ 126 ିଵ଴௧( ఛ )ఛ ଴௧ ( ) ൌ 2 ିଵ଴௧( ௧ െ 1 ) ( ) ൌ ૛ ൫ ି૝ െ ି૚૙ ൯ ଺

଺

ୀ ୀ

଺

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O gráfico da função ( ): 0.9 0.8 X: 0.1527 Y: 0.6515

0.7 0.6

0.5 0.4

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

“umComocircexeruitocRCíciosévocêrie compodeexcicaltacçãoulardea tumaensãfoosntoebrdee umtenscapaci t o r em ão.”

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7.7.7.7.7.7.7.7.REFER REFER NCI A S ሾ1ሿ ALEXANDER, C. S. ; Sadi u, M. N. O., Ê

. 3. ed. São Paulo: Mac Gra -Hil , 2008. ሾ2ሿ LATHI, B. P. ; . 2. ed. Porto Alegre: Boo man, 2007. k w

Fundamentos de Circuitos Elétricos 

Sinais e Sistemas Lineares 

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k

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