UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DCA –– Departamento de Engenharia da Computação e Automação DEE – Departamento de Engenharia Elétrica DEE – Ricardo Ferreira Pinheiro (Professor) – Francisco Régis da Silva Pereira (Monitor) – Marcos Túlio Antunes Bezerra Segundo (Monitor)
rfriecgipisnph@
[email protected] –
[email protected]
TEOREMA DA CONVOLUÇÃO APLICADO A CIRCUITOS ELÉTRICOS
() ()
ஶන ( ) ( െ ) ିஶ
SUMÁRIO
1.1.1.1.1.1.1.1. 1.1.In12t..rodução,IAlntgeumasrp3retaPrçãooprdaiedadesIntegrdaal deConvolConvolução,ução,4 3 2.2.2.2.2.2.2.2. 2.2.Ci12r..cuitoCiCisrrElccuiuiétttoorssidedecosPrSegunda eimConvol u ção, çã o, 12 eiraOrOrddem,em,1912 3.3.3.3.3.3.3.3. Convol u ç ã o e a Tr a ns f o r m ada de Four i e r , 23 3.3.12.. CalAplciculaçãoandoemumaCirTrcuiatnsosfoElrmétadaricosde, 25Fourier, 23 4.4.4.4.4.4.4.4. Referênciêncincias, 29
1.1.1.1.1.1.1.1.IINATRODUÇÃO operação de convolução é usada em muitos campos tecnológicos tais
como as ci ê nci a s f í s i c as , ci ê nci a s mat e mát i c as e engenhar i a s . A convol u ção é definida como uma integral, chamadaஶ , mostrada abaixo: ( ) ( ) ( ) න െ ିஶ Ou, ( )ൌ ( ) ( ) Onde, ՜ á ( ) ( ) ՜ çõ ( ) ՜ çã çã ՜ á ՜ çã çã çõ 1.1. EsInstaeinrtpegrreatlanosçãdiozdaqueIn(te)gre a(l)deestãConvol u ç ção ã o o s e ndo convol u í d as , em f o r m a de uminfinitseosmatimaiósr)ioem(letmbroda ea-sseuaqueexistumaência, iountegrseajal, deé െ∞umaa s∞,omadedemodoelementque oas fConvol unçãoução.( ) é invertida no tempo e defasada de . Assim é definida a operação de O resultado da Convolução entre duas funções é uma nova funçãonção. Em Engenhar i a El é t r i c a e Engenhar i a da Comput a ção el a é l a r g ament e utSLIilTiz,adaumnaexempl obtençãoo dadeclarsesseposdestassedes siSistsetmasemaspodeLinearseers ume InvarCirciauinttoesElnoétrTempo – i c o com elementos lineares ( Capacitores, Resistores e Indutores ). ( ) ( ) A f u nção é a ent r a da apl i c a da ao s i s t e ma e a f u nç ã o é a r e s p os t a do sistema ao impulso. integral de convolução
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Isso pode ser melhor explicado na figura abaixo: Primeiramente definimos a função impulso como sendo: ( ) ൌ ൜10, , ൌ 0്(0 ( Seja o sistema abaixo ( ):
))
( ) ( ) ( ) ( ) Se ൌ , ent ã o, ൌ , ou s e j a , a s a í d a do s i s t e ma t o r n as e a rpodeesposstear aodetiemerrpulminsadao desaseparsitsitremada co(nvol). Logo,ução qualdo sqiuernal rdeespentostraadade um( )sicsotemmaa resposta ao impulso do sistema ( ). 1.2. UmaAlgumas pr o pr i e dades da Convol u ç ã o ( ) das pr o pr i e dades da Convol u ção é que s e ൌ0, para ൏0, ent ã o a integral pode ser simplificada paraஶ: ( ) ൌ න ( ) ( െ ) Outras propriedades: a.a. Distributividade: ( ) ൌ ଵ( ) ሾ ଶ( ) ଷ( ) ሿ ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ଵ( ) ଷ( ) b.b. Comutatividade: ( ) ( ) ( ) ( ) ൌ ଵ ଶ ଶ ଵ c.c. Associatividade: ଵ( ) ሾ ଶ( ) ଷ( ) ሿ ൌ ሾ ଵ( ) ଶ( ) ሿ ଷ( ) d.d. Linearidade: ଵ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ଶ( ) ൌ ଷ( ) ସ( ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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Se ( ) ൌ ሾ ଵ( ) ଶ( )ሿ ( ) ൌ ሾ ଷ( ) ସ( )ሿ Então, se ( ) ൌ ( ) ( ) ( ) ൌ ሾ ଵ( ) ଶ( )ሿ ሾ ଷ( ) ସ( )ሿ ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) e.e. Propriedades de Deslocamento: ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ଵ( ) ଶ( െ ) ൌ ଵ( െ ) ଶ( ) ൌ ( െ ) f. ( ) ( െ ) ൌ ( ) ՜ g.g. ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ՞ ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) A seguir é apresentado um exemplo da convolução entre dois sinais. Exempl – Um Si s t e ma Li n ear e I n var i a nt e no Tempo ( S LI T ) com r e s p os t a ao o 1 ି iemmpuldegrsoauniu dotártiiopoé dado( ) ൌpor (( )), detൌ ermin(e)a, nessaídseasdesistesmae siséteaplma:icado uma entrada Soluççãoão 11:: Tem-se os gráficos das funções envolvidas: , ,
e
Propriedade do Peneiramento
Matematicamente sabemos que: ஶ ( ) ൌ න ( ) ( െ )
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( ) Ou s e j a , podemos r e al i z ar a r e ver s ã o no t e mpo de e depoi s des l o cál a para “varrer” a função ( ), para todo o tempo e assim a convolução está feita. ՜ Reversão no Tempo ՜noDesTempolocamentparaot ൏após0 a Reversão ( ) ( ) Se o gr á f i c o de െ com ൏ 0 f o r sobr e post p ost o ao gr á f i c o de , o resultado será como pode ser observado na figura abaixo. Des(sa) fൌorනmஶa: ( ) ( െ ) ൌන௧ 2 · 0 නஶ0 ିఛ ିஶ ିஶ ( )ൌ0 Para o casocaso ondeonde 0, os gráficoscos se sobrsobrepõem dessa maneira: Logo,
Vej a que os gr á f i c os s e combi n am na ár e a s o mbr e ada, des s a f o r m a, a convolução pode ser determinadaஶpor: ( ) ൌ නିஶ ( ) ( െ ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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௧ ( ) ൌ න 2 ିఛ ௧ ( ) ൌ 2 න ିఛ ( ) ൌ െ2(െ2 ( ିఛ) ቚ ൌൌ 0 y(t) ൌ െ2(െ2 (eି୲ି୲െ 1) y(t) ൌ ( െ22e ) u(t)
A r e s p os t a do s i s t e ma s e cons t i t u i de um val o r exponenci a l que t e nde a zermosotàramedido abaida xqueo: o tempo cresce e de um degrau, o gráfico dessa nova função é 2 y(t) 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
1
2
3
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5
6
7
8
9
10 10
Sol u ção 2: Podemos encont r a r a r e s p os t a at r a vés da pr o pr i e dade g, que s e ç ã o 2 utiliza da Transformada de Laplace: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ൌ ՞ ൌ Ou ( ) ൌ ିଵ ሼ ( ) ( ) ሽ Tem-se que as transformadas de Laplace das funções envolvidas são: ( )ൌ2 ( ) ՞ ( )ൌ2 ( ) ൌ ି௧ ( ) ՞ ( ) ൌ 1 1 Então ( ) ൌ ( ) ( ) ൌ 2 ( 1) Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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( ) ( ) At r a vés da expr e s s ã o de a r e s p os t a é det e r m i n ada apl i c ando a Transformada Inversa de Laplace à ( ). ( ) ൌ ିଵ ൜ ( 2 1) ൠ ଶ௦(௦ାଵ) Par a det e r m i n ar a Tr a ns f o r m ada I n ver s a expandi m os a expr e s s ã o em ) ௦ ାଵ frações parciais e obter termos simples para facilitar a análise. ( ) ൌ ( 2 1) ൌ 1 Os termos e , são encontrados através do Teorema de Heavi Heavisidee: ൌ ( ) · ቚ ൌ 0 ൌ ( 2 1) · ฬ ൌ 0 ൌ 2 1 ቚ ൌ 0 ൌ 2 ൌ ( ) ·(1)ቚ ·(1) ቚ ൌ െ1 ൌ ( 2 1) ·(1)ฬ ·(1) ฬ ൌ െ1 ൌ 2 ቚ ൌ െ1 ൌ െ2 Com os coef i c i e nt e s det e r m i n ados , podemos r e al i z ar a i n ver s ã o da transformada: ( ) ൌ ( 2 1) ൌ 2 െ 2 1 ( ) ൌ ିଵ ൜ 2 െ 2 1 ൠ ( ) ൌ ( 2 െ 2 ି௧ ) ( ) Exempl o 2 – Det e r m i n e a r e s p os t a de um Si s t e ma Li n ear e I n var i a nt e no Tempo s e ି su(a)entൌ ra(da) െfor ( (െ)ൌ): ( ), onde a resposta ao impulso do mesmo sistema é Soluçção:ão: Os gráficos das funções são mostrados abaixo: A B
Sabendo que a Convoluçãoஶé dada por: ( ) ൌ නିஶ ( ) ( െ ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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( ) ( ) Onde o mai s conveni e nt e é f a zer a f u nção per c or r e r a f u nção , e o rcomut esultaadotivsa:e torna mais fácil de analisar, pois como é conhecido a convolução é ஶ ஶ ( ) ൌ නିஶ ( ) ( െ ) ൌ නିஶ ( ) ( െ ) O gráfico da função que irá percorrer o eixo dos tempos é: Temos as s e gui n t e s s i t u ações onde a convol u ção acont e ce s o ment e nas áreas sombreadas:
ParaPara ::
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Not e que s e ൌ 0, a bor d a di r e i t a do pul so s o r e t a ngul a r f i c a exat a ment e na orseigundo, gem, ee:a borda esquerda em െ1, mostrando que o pulso tem largura de um ( )ൌ ParPara 0 ൏ 1:
ParaPara 1::
௧ ( ) ൌ න ିఛ ( ) ൌ െ( ିఛ) ቚ ൌൌ 0 ( ) ൌ െ( ି௧ െି 1) ( )ൌെ
௧ ( ) ൌ නିଵା௧ ିఛ ൌ ( ) ൌ െ( ିఛ) ቚ െൌ1 ( ) ൌ െൣ ି௧ െ ି(ିଵା௧)ିଵା௧)൧ ( ) ൌ ି(ଵି௧ିଵା௧)ିଵା௧) െି௧ି௧ ( ) ൌ ି௧െ ି௧ ( ) ൌ · െ ି௧ ( ) ൌ ( െ 1) ି ( ) ൎ,ૠૡ Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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O resultado da convolução é então resumido na tabela a seguir: ( ) 0 ൌ 0 0 ൏1 1 ( ) ൌ ( (െ)1ൌ) 1ି௧െ1ൎ,ି௧718 ି௧ O gráfico da função ( ) resultante está abaixo: 1
0.9 0.8 0.7 t= 1 y(t) = 0,6321
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
4
5
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“LaplComoace exere confcícirimo arvocêa respodeposta!r”esolvê-lo utilizando a técnica de Resa.a. uEsmopelparhamenta calcou:laPegue r a Intaegrimalagemde Convolespeluhçadaão de uma das funções (a mais conveni e nt e a s e r es p el h ada) em r e l a ção ao ei x o das or d enadas par a ( ) ( ) obt e r a r e ver s ã o no t e mpo, ou s e j a , f a ça െ de ; b.b.c.c. MulDesltoipccamelaimentcaação:çção:ntãnoto:DetDeselromqueineouo pratordutaseo (deെ )(deെ par) coma obt(er). ( െ ); d.d. In(tegrെação:çção)ão( )Parparaa 0dado൏ ൏insetaantseim, ocalbtecrule( )aemáre.a sob o produto
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5.5.5.5.5.5.5.5.CICI5.1R.CUICirTcuOSitoELÉTRI C OS E CONVOLUÇÃO s de Primeira Ordem Seja o circuito RC abaixo:
Tendo condi ç ões i n i c i a i s nul a s , e us a ndo a t é cni c a de ci r c ui t o s tcapaci ransfotormr)adose a, podes e obt e r uma r e l a ção ent r e a t e ns ã o de s a í d a ( t e ns ã o s o br e o t e ns ã o de ent r a da ( e xci t a ção do ci r c ui t o : a f o nt e de t e ns ã o) , o circuito transformado segue abaixo: Utilizando a lei das malhas: ( ) ൌ ( ) ( ) ( ) ൌ 1( ) ( ) ( ) ൌ ( ) ( ) ( ) ൌ ( 1) ( ) SaíEntrdada(daa(a(s()s) ൌ (( )) ൌ ( ) ൌ ՜ อ çã çãçã ê Podemos calcular a resposta do sistema ao impulso ( ) da seguinte forma: ( ) ൌ 1 1 ൌ 1 1 · 1 Sabemos que: () ՞ 1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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Ou seja,
( ) ·1 ር ( ) ( ) 1 ( ) ൌ 1 ር ( ) ൌ 1 ି ଵ ௧ ( ) ൌ ቀି ቁ ( ) ՜ Agor a podemos des c obr i r como é a t e ns ã o s o br e o capaci t o r par a qual q uer entsistreamada ao(im),pulbasstoa. realizar a convolução entre a entrada aplicada e a resposta do “sCisomotemaexerao imcícpulio svocêo parpodea um tcierntcuiartodesRLcobrsériier ecomoparaléelao.”resposta do Exempl pl – Par a o ci r c ui t o RC mos t r a do aci m a e f a zendo R ൌ 2 Ω e C ൌ 0, 2 5 F, Exem o caltipo:cule a corrente sobre o capacitor, se nesse circuito for aplicada uma tensão do ( ) ൌ ( ) െ 2 ( െ 2) (െ 4) Sol u ção: ç ã o: Par a os val o r e s dados no exempl o , t e mos que a equação par a భ ( ) ൌ ଵ ି ೃ ௧ se torna: ( ) ൌ 2 ି ଶ௧ ( ) Temos ent ã o os gr á f i c os par a a ent r a da e par a a r e s p os t a do s i s t e ma ao impulso: షభ షభ
Desse modo podemos calcular a tensão sobre o capacitor, da forma: ( ) ൌ ( ) ௦( ) E depois calcular a corrente sobre o mesmo através da expres são: ( ) ൌ ( ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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EsA fpuelnçãohamentmaios:conveniente a ser espelhada é ௦( ), logo: DesEmDeslsoeccaguiamentda odes: locamos a função ௦(െ ), de e consideraremos várias situaçõesFazendo para o soeestu valudoor:para ൏ 0, a função ௦( െ ) está mostrada abaixo:
Ou seja, varrendo a função ( ) com ௦( െ ), temos:
O que nos diz que para 0:0: ( ) ൌ 0 Agor a t e r e mos que anal i s a r out r o s val o r e s par a Obs e r v e que t e r e mos a mesma análise ocorre se assumir o valor dos intervalos: 0൏ 1e1 ൏ 2 t.
t
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Ou seja, se 0൏0 ൏ 2, obobteremos:
A parte sombreada é o interval௧o a ser convoluído, tal que: ିఛ ( ) ൌන1·2 ௧ ( ) ൌ 2 න ିఛ ൌ ିఛ െ2 ( ) ቤ ൌ 0 ( ) ൌ െ2( െ2ି ( ି௧ െ 1) ( ) ൌ െ2( ( ) ൌെ ՜ ൏ 2 2 ൏ 4 j á q u e e n t r e 2 ൏ 3 e 3 ൏ 4 o resulsultadoado serárá o mesm mesmo:o: O próximo intervalo a ser analisado será de
,
E assim podemos realizar a convolução:
௧ ିఛ ( ) ൌ න௧ିଶ (െ1)െ1) · 2 ିఛ න1·2 ௧ିଶ Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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( )
௧ିଶ ௧ ିఛ ( ) െൌ2න 2 න௧ିଶ ିఛ ൌ ൌ െ 2 ିఛ ିఛ ( ) ൌ 2 ( ) อ ൌ 0 െ 2 ( ) ቤ ൌ െ 2 ௧ିଶ) ൧ ( ) ൌ 2 ൣ ି(௧ିଶ)௧ିଶ) െ 1 ൧ െ 2 ൣ ି௧ െ ି(௧ିଶ) ( ) ൌ (2 ି௧ାଶ െ 2) (2 ି௧ାଶ െ 2 ି௧) ( ) ൌ 4 ି௧ାଶ െ 2 ି௧ െ 2 ( ) ൌ 4 ଶ ି௧ െ 2 ି௧ െ 2 ( ) ൌ (4 ଶ െ 2) ି௧ െ 2 ( ) ൎૠ, ି െ ՜ ൏
4
Por fim, a convolução quando , já que quando assumir todos esses valores, será a mesma função, então graficamente, temos:
௧ିଶ ௧ ିఛ ିఛ െ1) · 2 න1·2 ( ) ൌ න௧ିସ (െ1) ௧ିଶ ௧ିଶ ௧ ିఛ ( ) െൌ2න௧ିସ 2 න௧ିଶ ିఛ ൌ ൌ െ 2 ିఛ ିఛ ( ) ൌ 2 ( ) อ ൌ െ 4 െ 2 ( ) ቤ ൌ െ 2 ௧ିଶ) ൧ ( ) ൌ 2 ൣ ି(௧ିଶ)௧ିଶ) െ ି(௧ିସ)௧ିସ) ൧ െ 2 ൣ ି௧ െ ି(௧ିଶ) ( ) ൌ (2 ି௧ାଶ െ 2 ି௧ାସ) (2 ି௧ାଶ െ 2 ି௧) ( ) ൌ 4 ି௧ାଶ െ 2 ି௧ାସ െ 2 ି௧ ( ) ൌ 4 ଶ ି௧ െ 2 ସ ି௧ െ 2 ି௧ Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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( ) ൌ (4 ଶ െ 2 ସ െ 2) ି௧ ( ) െൎૡ, ି ՜ 4
Temos aí: ( ) 0 ൌ 0 ି௧ 02 ൏൏ 24 ( ) ൌ (4 ଶ െ(2)) ൌെ22 ି௧ െ22ൎ7,556 ି௧ െ 2 4 ( ) ൌ (4 ଶ െ 2 ସ െ 2) ି௧ െൎ81,640 ି௧ Os gráficos das funções ( ) emem preteto e dede ௦( ) em azul estão abaixo: Tensão vc(t)
X: 2 Y: 1.729
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 X: 4 Y: -1.495
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A corrente ( ) ൌ ௗ௩ௗ௧(௧), ( C ൌ 0,25 F ), logo: ( ) 0 ൌ 0 02 ൏൏ 24 ( ) ൌ (0,0,െ(5 ) ൌ0,ଶ) ି௧5 െൎ6,ି௧ 889 ି௧ 4 ( ) ൌ (0,0,െ5 ଶ 0,5 ସ) ି௧ 2ൎ0,410 ି௧
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10 10
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O gráfico de ( )
está mostrado abaixo: Corrente Corrente ic (t)
1
X: 4.01 Y: 0.3701
0.5
X: 2 Y: 0.06767
0 X: 4 Y: -0.1262
-0.5
-1
X: 2.01 Y: -0.9231
0
1
2
3
4
5
6
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8
9
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Obs e r v e que o capaci t o r é um el e ment o de ci r c ui t o que evi t a mudanças mudanç a s evi brintuesrcvasaalsodedetetensmpoão sanalobreisaeldose, mas, comoa cormosretrntame sosofrgreávarficosiações. repentinas em cada
( ) Par a o ci r c ui t o RL par a l e l o , det e r m i n e a r e s p os t a do s i s t e ma ao i m pul s o e ( ) calcule aSuges corretntão:e nouseinodutmétoropardo dea umaintegrentarçãoadapormospartratdaes.no gráfico de . ൌൌ 13 EXERCÍCIO
( ) ൌ 3 ିଷ௧ ( ) 0 ՜ ( ) ൌ 0 ଵ ଵ ଵ 0 ൏ 3 ՜ ( ) ൌ ଷ ଽ ିଷ௧ െ ଽ 3 ՜ ( ) ൌ ଵଽ ିଷ௧ ଼ଽ ଽ ିଷ௧
Resposta:
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Corrente iL(t) em preto e corrente is(t) em azul 1.5
X: 3 Y: 0.8889
1
0.5
0
-0.5
0
1
2
3
4
5
6
5.2. CiSejracouuiciirtcouistodeRLCSegunda Or d em abaixo: Vamos det e r m i n ar a r e s p os t a do s i s t e ma ao i m pul s o par a a t e ns ã o s o br e o capacitor, ( ) e condições iniciais nulas: ( ) ൌ ( ) ( ) ( ) ( ) ൌ ( ) ( ) ( ) ( ) ൌ ( ) ( ) ( ) ( ) ൌ ( ) ቈ ( ) ( ) ଶ ( ) ( ) ൌ ଶ( ) ( ) ଶ ଶ( ) ( ) 1 ( ) ൌ 1 ( ) ଶ ( ) ሾ ( )ሿ 1 ሾ ( )ሿ ൌ 1 ( ) Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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1൨ൌ 1 ( ) (( )) ൌ Cas o 1 ( P ól o s di f e r e nt e s ) – Supondo que as r a í z es do denomi n ador da Função de Rede (seus pólos), sejam ఛଵభ e ఛଵమ com ቀఛଵభ ് ఛଵమቁ Թ, enentão ficamomoss com:om: (( )) ൌ ቀ 11ଵቁ·ቀ1ଶ 1 ቁ ଵ ଶ Onde ఛଵభ ఛଵమ ൌ െ , e ఛଵభ · ఛଵమ ൌ ଵ 1 1 · ( ) ( ) ൌ ( ) ൌ ቀ 1ଵଵቁ ቀ ଶ 1ଶቁ ൌ 1ଵ 1ଶ ( ) ଶ
1 1 1 1 1 1 · · · 1 1 ൌ ( ) ൬ ଵ൰ ቮ ൌ െ 1ଵ ൌ ቀ 1ଵଵቁ ቀ ଶ 1ଶቁ ൬ ଵ൰ ቮ ൌ െ 1ଵ ൌ ଵ 1ଶଶ ተ ൌ െ 1ଵ ൌ 1ଶଵെ 1ଶଵ 1 1 1 1 1 1 · · · 1 1 ൌ ( ) ൬ ଶ൰ ቮ ൌ െ 1ଶ ൌ ቀ 1ଵଵቁ ቀ ଶ 1ଶቁ ൬ ଶ൰ ቮ ൌ െ 1ଶ ൌ ଵ 1ଶଵ ተ ൌ െ 1ଶ ൌ 1ଵଵെ 1ଶଶ 1 1 1 1 1 1 · · · ( ) ൌ ቀ 1ଵଵቁ ቀ ଶ 1ଶቁ ൌ ൮ 1ଶଵെ 1ଶଵ൲ 1 1ଵ ൮ 1ଵଵെ 1ଶଶ൲ 1 1ଶ 1 1 1 1 · · ௧ ௧ ି ି ଵ ଶ ଵ ଶ ିଵ ఛ ఛ ( ) ൌ ሼ ( ) ሽ ൌ ൮ 1ଶ െ 1ଵ൲ భ ൮ 1ଵ െ 1ଶ൲ మ · · ି ( ) ൌ ൮ െ ൲ ൮ െ ൲ ି
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Cas o 2 ( P ól o s i ) – Supondo que as r a í z es do denomi n ador da Função g uai s ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ de Rede (seus pólos), sejam ఛభ e ఛమ com ఛభ ൌ ఛమ ൌ ఛ Թ desse modo ficamos com: ଶ 1 ቀ ቁ ( ) ൌ (( )) ൌ ቀ 1ቁଶ Não pr e ci s a mos de nenhum mét o do par a r e s o l v er es s a t r a ns f o r m ada inversa porque de cara sabemos qual é ela: ( ) ൌ ൬ ൰ ି Cas o 3 ( P ól o s c o mpl e xos ) – Supondo que as r a í z es do denomi n ador da ଵ ଵ ଵ ଵ Função de Rede ( s e us pól o s ) , s e j a m e com ቀ ് ቁ ԧ de d e s se e mod mo d o f i c a m o s ఛ ఛ ఛ ఛ భ మ భ మ com: Sejam: ఛଵ െൌ െൌభ e ఛଵమ ൌ ቀఛଵభቁൌെെ 1 1 · ( ) ൌ (( )) ൌ ቀ 1ଵଵቁ ቀ ଶ 1ଶቁ Podemos partir da conclusão do caso 1 para deduzir o caso 3: 1 1 1 1 · · ௧ ௧ ି ି ଶ ଵ ଵ ଶ ିଵ ఛ ఛ ( ) ൌ ሼ ( ) ሽ ൌ ൮ 1ଶ െ 1ଵ൲ భ ൮ 1ଵ െ 1ଶ൲ మ Substituindo os valores de ఛଵభ e ఛଵమ: ିఈାఠ)௧ ቈ(െ(െ ) )െ(െ(െ െെ ) ) (ିఈିఠ) ିఈିఠ)௧ ( ) ൌ ቈ(െ(െ െെ ) )െ(െ(െ ) ) (ିఈାఠ) ଶ ଶ ଶ ଶ ି ఈ ௧ ఠ ௧ ( ) ൌ ቆ െ 2 ቇ ቆ 2 ቇ ିఈ௧ ିఠ௧ ଶ ଶ ଶ ଶ ି ఈ ௧ ఠ ௧ ( ) ൌ െ ቆ 2 ቇ ቆ 2 ቇ ିఈ௧ ିఠ௧ ଶ ଶ ( ) ൌ ቆ 2 ቇ ିఈ௧ ൫ ିఠ௧ െ ఠ௧൯ ଶ ଶ ( ) ൌ ቆ 2 ቇ ିఈ௧ (െ 2 ) ଶ ଶ ( ) ൌ െ ቆ ቇ ିఈ௧ Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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( ) ൌ ቆ ቇ ି ( െૡ ) Ou s e j a , s e t i v er m os em mãos as r e s p os t a s par a o i m pul s o do ci r c ui t o aciaplmicadaa, poderao siesmostema,encont r a r a t e ns ã o s o br e o capaci t o r par a qual q uer ent r a da convol u í n do es s a mes m a ent r a da com qual q uer uma das t r ê s expressões encontradas acima. “parComoa a exerrespcosícitoa vocêao impodepulstoentpararadeso cciobrrcuiirtocomoRLCsparão asaleexprlo entesrsõeesa corrente no indutor e a corrente de excitação.” °
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6.6.6.6.6.6.6.6.CONVOLUÇÃO CONVOLUÇÃO A TRANSFORMADA DE FOURI E R E A operação de Convolução não se restringe apenas ao domínio de Laplace,
elFoura abrieraéngeum castambémo especíaoficdomío da nTrioansdeforFourmadaierde(lLaplogicaament e a Tr a ns f o r m ada de ce). Mas obviamente: ஶ ( ) ൌ නିஶ ( ) ି௦௧ ஶ ( ) ൌ ( ) อ ൌ ൌ නିஶ ( ) ିఠ௧ ( ) ൌ නିஶஶ ( ) ି ՜ Deve-se salientar que também com Fourier, tem-se: ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) ՞ ( ) ൌ ଵ( ) ଶ( ) A Tr a ns f o r m ada de Four i e r não i n cl u i as condi ç ões i n i c i a i s em s u a anál i s e aofornpasecesoumaqueviasTrãoadetnsfaolrhmadaadadosdesLaplinaisacenoodomífaz,nporio daémfraequênci TransfaorexplmadaicitdeandoFoursuiaser carLaplactace.erísSeuticasempre faecigolitaéndomelshuora melaplhicoradocompra análeensiseãemo dorequegimea perTramnsanent formadae não-de sfreenoiquêncidal jáaqueé dadoas fatunções s e noi d ai s s ã o per i ó di c as e s e u t r a t a ment o no domí n i o da ravés da Série de Fourier que envolve essa classe de sinais. 6.1. VamosCalculucallacndoular aumaTransfTrormaadansfdeorFourmadaier dodesinFoural abaixio:er Perceba que esse sinal só existe em dois intervalos de tempo: െ3 െ1െ1 e 1 3 Logo, o cálculo se resume a: ஶ ( ) ൌ නିஶ ( ) ିఠ௧
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ିଵ ଷ ିఠ௧ ( ) ൌ නିଷ (െ1)െ1) නଵ (1)1) ିఠ௧ ଷ ିଵ ିఠ௧ ( ) ൌ නଵ െ නିଷ ିఠ௧ ௧ ଷ ௧ ିଵ ିఠ௧ ିఠ௧ ( ) ൌ ቆ െ ቇ௧ ଵ െ ቆ െ ቇ௧ ିଷ ( ) ൌ െ 1 ൫ ିଷఠ െ ିఠ൯ 1 ൫ ఠ െ ଷఠ൯ ( ) ൌ 1 ൫ ఠ െ ଷఠെ ିଷఠ ିఠ൯ ( ) ൌ 1 ൫ ఠ ିఠ െ ଷఠെ ିଷఠ൯ ( ) ൌ 1 ൣ൫ ఠ ିఠ൯ െ ൫ ଷఠ ିଷఠ൯൧൯൧ ୀ
ୀ
ୀ
ୀ
( ) ൌ 1 (2c2 cos െ2co െ2cos3 ) ( )ൌ ( െ ) Estes são osos gráficos da Transfansformadaada de Fourier da nossa nossa função ( ):
Modulo F(ω)
4 3 2 1 0 -10
-8
-6
-4
-2 ω
0 (rad/s)
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
Fase F(ω) 150 100 50 0 -50 -100 -150 -10
-8
-6
-4
-2 ω
0 (rad/s)
( ) A f u nção é uma f u nção compl e xa l o go f o r n ece doi s gr á f i c os , um de módulo e outro de fase (aqui mostrado em graus). Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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Calcule a Transformada de Fourier paraିa௧função: ( )ൌ4 ( ) Depois diga qual é a expres são para seu módulo e para sua fase. ( ) ൌ ାఠସ ( ) ൌ ାఠସ ൌ ଶ ସାఠమ ( ) ൌ 4 െ (5 ) ൌ െ0arctan൫5൯ െൌarctan൫5൯ EXERCÍCIO
ହ
Resposta: ହ
|
|
| |
|ହ
∠
|
ඥ ହ
∠
∠
Modulo F(ω) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -10
-8
-6
-4
-2 ω
0 (rad/s)
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
Fase F(ω) 100
50
0
-50
-100 -10
-8
-6
-4
-2 ω
0 (rad/s)
6.2. DaAplmesicmaaççaõfoesrmaemqueCiLaplrcauce,itoutsiliElzamosétriacTroossansformada de Fourier, para
calconvolculaurçãoumanogrtaendeza em um ci r c ui t o at r a vés da oper a ção de convol u ção, j á que a mpo, significa um produto no domínio da frequência. A Função de Tr a ns f e r ê nci a é def i n i d a novament e como a r a zão ent r e a resposta de saída e a entrada excitante, tal que: (( )) ( ) ൌ Ou seja, ( ) ൌ ( ) ( ) షభ ( ) ൌ ( ) ( ) ( ) I n di c ando que é a t r a ns f o r m ada de Four i e r da r e s p os t a ao i m pul s o ( ). ሱ
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Exempl Excoremplrentoe s–obrPareao oincidutrcouirt,osemosnestsreacidorcabaiuitoxfoorondeaplicadaR ൌa2corΩ reentL eൌ: 0,5 H. Calcule a ௦( ) ൌ 3 ିଵ ௧ Soluçção:ão: O circuito é: Podemos determinar a resposta ao impulso do sistema: ( ) ൌ ௦( ) ( ) ൌ ௦(( )) ൌ ( ) ൌ ൌ 4 4 ( ) ൌ ିଵሼ ( )ିሽ ൌ 4 ିସ ௧ ( )ൌ A corrente sobre o indutor é: ( ) ൌ ( ) ௦( )
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Para a situação onde 0: A convolução quando isso acontece é: ( ) ൌ 0 uando 0,0, Q
( ) ൌ ሾ 4 ିସ ௧ ሿ ሾ 3 ିଵ ௧ ሿ ௧ ( ) ൌ න 4 ିସఛ · 3 ିଵ(௧ିఛ) ௧ ( ) ൌ12න ିସఛ · ିଵ௧ ଵఛ ௧ ିଵ௧ ( ) ൌ 12 න ିସఛ · ଵఛ ( ) ൌ 12 ିଵ௧ න௧ ఛ ( ) ൌ 126 ିଵ௧( ఛ )ఛ ௧ ( ) ൌ 2 ିଵ௧( ௧ െ 1 ) ( ) ൌ ൫ ି െ ି ൯
ୀ ୀ
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O gráfico da função ( ): 0.9 0.8 X: 0.1527 Y: 0.6515
0.7 0.6
0.5 0.4
0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
“umComocircexeruitocRCíciosévocêrie compodeexcicaltacçãoulardea tumaensãfoosntoebrdee umtenscapaci t o r em ão.”
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7.7.7.7.7.7.7.7.REFER REFER NCI A S ሾ1ሿ ALEXANDER, C. S. ; Sadi u, M. N. O., Ê
. 3. ed. São Paulo: Mac Gra -Hil , 2008. ሾ2ሿ LATHI, B. P. ; . 2. ed. Porto Alegre: Boo man, 2007. k w
Fundamentos de Circuitos Elétricos
Sinais e Sistemas Lineares
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k
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