´ PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE Escuela de Ingenier´ıa Departamento de Ingenier´ıa Estructural y Geot´ecnica ICE3124 An´ alisis Estructural II - Ayudant´ıa #5: Equilibrio posici´ on deformada Carga cr´ıtica de pandeo - Grandes deformaciones mediante desplazamiento controlado ´ Gaspar Auad Alvarez;
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Problema #1: Flexibilidad concentrada, equiblibrio en posici´ on deformada
Nodo 1 2 3 4 5 6
6
5 4
3 4
3
X[m] 40 40 0 40 100 30
Y[m] 0 30 60 60 60 100
Barra 1 2 3 4 5
A[m2 ] 2.2 1.5 4.0 4.0 1.0
kθ [tonf×m] 5.0×105 8.0×107 6.0×105 -
5
2 2 1 1
I[m4 ] 0.8 0.6 1.0 1.0 0.4
La figura muestra un modelo discreto conceptual de un puente atirantado, formado por 3 cuerpos r´ıgidos conectados por medio de r´ otulas el´ asticas, dos cables de secci´on Ao = 0.2 m2 y m´odulo de elasticidad Ec = 7 2.1×10 . Considere como peso propio p = γA, donde γ = 2.5 tonf/m3 . Se pide:
(a) Obtener las ecuaciones exactas de equilibrio en posici´on deformada. (b) Obtener y resolver las ecuaciones lineales asociadas (c) Resolver las ecuaciones exactas de equilibrio. Use como herrammentia la funci´on fsolve de MATLAB, entregando como punto inicial la respuesta del inciso (b). (d) Encuentre la cargas crticas de pandeo resolviendo el problema de Av/Av asociado.
1
Problema #2: Carga cr´ıtica de pandeo 3D
aP
aP 4
aQ
5
(a)
(b) 200 cm
3
2
P 150 cm
300 cm
50 cm
2
50 cm
1
1
300 cm
3
150 cm
Figura 1: (a) Problema #2: Estructura met´alica 3D; (b) Problema #3 Estructura plana, desplazamiento controlado La estructura met´ alica de la figura 1(a) est´a formada por perfiles caj´on: 200×200×4 (elementos 1 y 2); 120×120×3 (elemento 3); y 150×300×4 (elementos 4 y 5). Los apoyos inferiores solo permiten el giro en el plano, para la estructura descrita se pide: (a) Calcule la matriz de rigidez el´ astica en configuraci´on inicial (b) Calcule la matriz de rigidez geom´etrica1 para α = 1 en configurai´on inicial. (c) Calcule el primer auto-valor (multiplicador de carga λcr ) y auto vector (modo de pandeo) (d) Compare los resultados obtenidos mediante un modelo en SAP2000.
Problema #3: Grandes deformaciones - desplazamiento controlado La figura 1(b) muestra una estructura formado por elementos de fuerza axial. El m´odulo de eslaticidad es de E = 200.000 MPa. Analice la respuesta a grandes deformaciones para la carga que se indica. Los elementos 2 y 3 poseen secci´ on A2 = A3 = 1000 mm2 . Determine las curvas fuerza-desplazamiento para A1 = 0, 15, 30 2 y 45 mm . Proponga un algoritmo incremental del tipo Euler para obtener la respuesta. hint: Utilice la matriz de rigidez geom´etrica de 4×4 que propone el libro gu´ıa del curso 2 . Adem´as en cada paso de carga actualice la geometr´ıa. 1 Matriz 2 P´ agina
structural anlysis, Second Edition, McGuire, pag 443 245, ecuaci´ on (9.9)
2
M´ etodo Minimizaci´ on de energ´ıa (MME) El M´etodo de Minimizaci´ on de Energ´ıa (MME) busca determinar el valor de los grados de libertad q (esto equivale a encontrar la posici´ on deformada) que minimizan la energ´ıa del sistema, este par´ametro se define de la siguiente manera: Π(q) = V − U Con: V = Vs + Vg : Energ´ıa El´ astica y Energ´ıa Gravitaroria y U : Energ´ıa de las cargas externas Al determinar tanto la energ´ıa asociada a sistema estructural como a las cargas externas, se procede a minimizar la funci´ on Π(q) igualando sus derivadas parciales respecto a los grados de libertad a cero, vale decir: ∂Π(q) ∂q
= 0
ii) Solici´ on No Lineal La formulaci´ o anterior se puede escribir de forma matricial, definiendo la soluci´on del problema como sigue: ∂Π(q) = ∂q
∂Π(q) ∂q1
∂Π(q) ∂q2
···
∂Π(q) ∂qn
=0
Las ecuaciones anteriores pueden tener un comportamiento muy no lineal, esto hace que la solucin sea bastante dif´ıcil de encontrar. Es por esta raz´on que com´ unmente cada expresi´on es linearizada, obteniendo un sistema de ecuaciones m´ as f´ acil de solucionar. iii) Solici´ on Lineal La linearizaci´ on para la ecuaci´ on j se logra de la siguiente manera: ∂Π ∂Π ∂2Π ∂2Π ∂2Π ' + q1 + q2 + · · · + qn = 0 ∂qj ∂qj ∂qj ∂q1 ∂qj ∂q2 ∂qj ∂qn Todas las ecuaciones lineales se pueden escribir de manera matricial de la siguiente manera:
∂2Π ∂q1 ∂q1 ∂2Π ∂q2 ∂q1
∂2Π ∂q1 ∂q2 ∂2Π ∂q2 ∂q2
··· ∂2Π ∂qn ∂q1
··· ∂2Π ∂qn ∂q2
··· ··· ..
.
···
∂2Π ∂q1 ∂qn ∂2Π ∂q2 ∂qn .. . ∂2Π ∂qn ∂qn
q1 q2 .. . qn
= −
∂Π ∂q1 ∂Π ∂q2 .. . ∂Π − ∂qn
iv) Determinaci´ on de la carga cr´ıtica Para determinar la carga cr´ıtica hace falta descomponer en principio la matriz de rigidez total Ktotal . Veamos c´ omo se determina la matriz de rigidez elstica Ks :
3
Ks =
∂ 2 Vs ∂q1 ∂q1 ∂ 2 Vs ∂q2 ∂q1
∂ 2 Vs ∂q1 ∂q2 ∂ 2 Vs ∂q2 ∂q2
··· ∂ 2 Vs ∂qn ∂q1
··· ∂ 2 Vs ∂qn ∂q2
··· ··· ..
.
···
∂ 2 Vs ∂q1 ∂qn ∂ 2 Vs ∂q2 ∂qn .. . ∂ 2 Vs ∂qn ∂qn
Ahora la matriz geom´etrica: Kg =
∂ 2 Vg ∂q1 ∂q1 ∂ 2 Vg ∂q2 ∂q1
∂ 2 Vg ∂q1 ∂q2 ∂ 2 Vg ∂q2 ∂q2
··· ∂ 2 Vg ∂qn ∂q1
··· ∂ 2 Vg ∂qn ∂q2
··· ··· ..
.
∂ 2 Vg ∂q1 ∂qn ∂ 2 Vg ∂q2 ∂qn .. . 2
···
∂ Vg ∂qn ∂qn
−
∂2U ∂q1 ∂q1 ∂2U ∂q2 ∂q1
∂2U ∂q1 ∂q2 ∂2U ∂q2 ∂q2
··· ∂2U ∂qn ∂q1
··· ∂2U ∂qn ∂q2
··· ··· ..
.
···
∂2U ∂q1 ∂qn ∂2U ∂q2 ∂qn .. . ∂2U ∂qn ∂qn
Resulta evidente que Ktotal = Ks + Kg Como estudiamos en el curso la condici´on de equilibrio se da si el determinante de la matriz de rigidez total es positivo: kKtotal k > 0 La condici´ on de pandeo es entonces: kKtotal k
=
0
kKs + Kg k
=
cg k = 0 kKs − Pcr K
(1)
Esto se puede resolver mediante el problema de valores y vectores propios asociados: cg ]φ = 0 [Ks − Pcr K ∗ En donde el valor propio menor (Pcr ) es la menor carga de pandeo y la forma de pandeo asociada es ∗ obviamente φ
4
Soluci´ on problema # 3 La matriz de rigidez de cada elemento para este problema (elementos de fuerza axial), considerando rigidez el´ astica y geom´etrica es: 1 0 −1 0 1 0 −1 0 Ae E 0 0 1 0 −1 0 0 + Px2 0 Ke = 1 0 0 1 0 le −1 0 le −1 0 0 0 0 0 −1 0 1
Donde Px2 es la fuerza axial del segundo nodo (negativa si la barra est´a comprimida). Para resolver este problema es necesario actualizar la geometra, en este caso se considerar que el largo de las barras cambia y tambi´en la posici´ on del nodo estudiado, no as´ı el ´area de los elementos. Considerando solo un grado de libertad q coincidente en direcci´ on y sentido con la fuerza P se tiene que la cinem´atica es:
(b)
v4
v1 v2
q
v4
v1
v2
v3
q
q
v1
θ 1.5 m = b
v3
(c)
0.5 m - q (a - q)
0.5 m = c
v2
θ
0.5 m - q (a - q)
(a)
1.5 m = b
Figura 2: Cinem´ atica posici´ on deformada: (a) Elemento 1; (b) Elemento 2; (c) Elemento 3 Reconociendo que el angulo θ se puede escribir en funci´on de q: θ = tan−1
a−q , el largo y matriz de b
transformaci´ on cinem´ atica de cada elemento queda expresada como: 0 0 L1 = 1 0
l1 = c + q
l2 =
p
0 0 L2 = − sin(θ) − cos(θ)
b2 + (a − 1)2
l3 =
p
sin(θ) − cos(θ) L3 = 0 0
b2 + (a − 1)2
Luego la matriz de rigidez tangente para cada paso de desplazamiento controlado queda dada por: Kt =
#Barras X e=i
5
LTe K e Le
Para calcular la curva de carga - deformaci´on se puede usar el siguiente algoritmo del tipo Euler (aplicando un peque˜ no dq):
(e)i
i Considerando los datos del paso i: θi , F2x , q i , l(e) ,Li(e) , F i i+1 i+1 i (i) Calcular el nuevo largo de los elementos: l(e) = l(e) (θ ) a − qi (ii) Calcular el ´ angulo θi+1 = tan−1 b i+1 i+1 (iii) Calcular las matrices de transformaci´on cinem´atica Li+1 ) (e) = L(e) (θ
(iv) Ensamblar la matriz de rigidez tangente: K i+1 t (v) Calcular el aumento de carga: dF = K i+1 t dq (vi) calcular el desplazamiento: q i+1 = q i + dq (vii) Calcular la carga aplicada para el desplazamiento q i+1 : F i+1 = F i + dF (viii) Calcular en aumento de la fuerza axial en las barras: (e)i+1 dF2x = 0 0 1 (e)i+1
(ix) Actualizar la fuerza en las barras: F2x
(e)i
0
K (e) Le dq
(e)i+1
= F2x + dF2x
Las curvas fuerza - deformaci´ on se muestran en la siguiente figura:
Curva=P−δ 20000 A1=0=mm2 15=mm2
15000
Fuerza [KN]
30=mm2 45=mm2 10000
5000
0
−5000 0
100
200
300
400 500 600 desplazamiento=[mm]
700
800
900
Figura 3: Curvas fuerza - deformaci´on problema #3
6
1000
