Materi VEKTOR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

MODUL PERTEMUAN KE – 2

MATA KULIAH : FISIKA DASAR (4 sks) MATERI KULIAH:

Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor.

POKOK BAHASAN:

VEKTOR

2-1

DEFINISI VEKTOR Skalar adalah besaran yang tidak mempunyai arah, misalnya waktu,

volume, energi, massa, densilitas, kerja. Penambahan skalar dilakukan dengan metode aljabar misalnya, 2 detik + 5 detik = 7 detik; 10 kg + 5 kg = 15 kg. Vektor

adalah

besaran

yang

mempunyai

arah,

misalnya

gaya,

perpindahan, kecepatan, impuls. Sebuah vektor dapat digambarkan dengan anak panah, dan anak panah ini disebut dengan vektor. Sebuah vektor dengan besar dan arah tertentu (Gambar 2-1). Titik A menyatakan arah, panjang 4 satuan menyatakan besar serta garis yang melalui AB menyatakan garis kerja vektor.

B

A Gambar 2-1. Vektor AB

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

Simbol vektor dinyatakan dengan huruf cetak tebal atau dengan A , a ,

AB dan besarnya dengan A, a, AB atau │ A │, │ a │, │ AB │. Vektor Bebas adalah sebuah vektor yang dapat dipindahkan ke mana saja dalam ruang, asalkan besar dan arahnya tetap. Vektor Satuan adalah sebuah vektor yang besarnya satu satuan vektor. Vektor satuan pada sumbu X, Y, dan Z dinyatakan dengan vektor satuan iˆ , ˆj ,

kˆ atau aˆ x , aˆ y , aˆ z . Suatu vektor A bisa di tulis dengan :

A = A eˆ A Disini eˆ A adalah vektor satuan dari vektor A . Vektor Negatif P adalah vektor - P yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan. Vektor Resultan adalah jumlah terkecil vektor yang menggantikan sistem vektor yang bersangkutan .

2-2

KOMPONEN VEKTOR Vektor Dalam Ruang Vektor A dalam ruang dinyatakan dengan

A = A x + A y + A z = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ dan besarnya

A=

Ax + Ay + Az 2

2

2

A x , A y , A z dan iˆ , ˆj , kˆ masing – masing adalah komponen vektor dan vektor satuan pada sumbu x, y, dan z.

disini

A x = Ax iˆ

besarnya

Ax = A cos α

A y = Ay ˆj

Ay = A cos β

A z = Az kˆ

Az = A cos γ

Arah vector A terhadap sumbu x, y, dan z positif adalah

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

Ay Ax A , Cos β = , Cos γ = z A A A

Cos α =

Vektor Dalam Bidang Dalam bidang sumbu Z tidak ada maka vector A adalah :

A = A x + A y = Ax iˆ + Ay ˆj besarnya :

A=

Ax + Ay 2

2

Komponen vektornya :

A x = Ax iˆ

besarnya :

A y = Ay ˆj

Ax = A cos α Ay = A cos β = A sin α

Arahnya terhadap sumbu x dan y :

Cos α =

Ay Ax , dan Cos β = A A

Gambar 2.2. Vektor A dalam Ruang

Gambar 2.3. Vektor A dalam Bidang

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

2-3

PENJUMLAHAN VEKTOR Dalam ilmu hitung (aritmetika) dan ilmu aljabar kita berhadapan dengan

bilangan semata – mata. Dalam ilmu analisa vektor, yang merupakan salah satu cabang ilmu matematika murni, begitu pulalah halnya: sebuah vektor dianggap semata – mata sebagai sebuah anak panah atau ”sepotong garis lurus yang berarah” tanpa mempunyai arti fisis sama sekali. Tetapi, sama seperti hukum – hukum ilmu hitung dan ilmu aljabar dapat menjelaskan operasi – operasi tertentu yang dapat dilakukan dengan beberapa besaran fisika, hukum – hukum aljabar vektor dapat pula menjelaskan beberapa (tidak semua) aspek besaran – besaran fisika lainnya.

(a) Metode Grafik Untuk menjumlahkan vektor A dengan vektor B , tariklah B sedemikian rupa sehingga ekornya berada pada kepala A jumlah vector A dan B adalah vektor R yang menghubungkan ekor A dan kepala B dan besar serta arahnya dapat di ukur (Gambar 2-4).

Gambar 2.4. Penjumlahan 2 Vektor A dan B

Dengan cara yang sama dilakukan bila lebih dari 2 vektor dijumlahkan. Vektor Resultan R adalah vektor yang ditarik dari ekor vektor pertama ke kepala vektor terakhir. (Gambar 2.5).

Gambar 2.5. Penjumlahan Vektor R = A + B + C + D

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

(b) Metode Jajaran Genjang Vector Resultan R = A + B dapat di hitung dengan : (1) Membuat titik tangkap vektor A dan B (2) Membuat jajaran genjang dengan vektor A dan B sebagai sisi – sisinya. (3) Menarik diagonal dari titik tangkap vektor A dan B . Vektor R = A + B adalah vektor diagonal jajaran genjang tersebut (Gambar 2.6).

Gambar 2.6. Vektor R = A + B dengan metoda jajaran genjang.

Bila

θ = ( A , B ) = sudut antara vector A dan B maka : R=│A + B│=

A 2 + B 2 − 2 A B cos180 − θ

Arah vektor R terhadap vektor B adalah ( R , B ) disini :

R A = sin (180 − θ ) sin R , B

(

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

)

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

(c) Metode Komponen Menjumlahkan dua atau lebih vektor A , B , C , ...... sekaligus dengan metoda komponen dilakukan sebagai berikut. (1) Uraikan semua vektor ke dalam komponen dalam arah x, y, dan z. (2) Jumlahkan komponen – komponen dalam arah x, y, dan z bersama – sama yang memberikan Rx, Ry, Rz. Artinya, besarnya Rx, Ry, dan Rz diberikan oleh : Rx = Ax + Bx + Cx + ........ Ry = Ay + By + Cy + ........ Rz = Az + Bz + Cz + ......... (3) Hitung besar dan arah Resultan R dari komponennya R x , R y , dan R z Besar vektor Resultan R dinyatakan dengan :

R=

R x2 + R y2 + RZ2

Dan arahnya terhadap sumbu x, y, dan z adalah :

Cos α =

Ry Rx R , Cos β = , Cos γ = z R R R

Contoh : 1. Carilah jumlah dua vektor gaya berikut dengan cara parallelogram : 30 pon pada 30°

dan 20 pon pada 140° (satu pon gaya adalah gaya sedemikian

hingga benda dengan massa 1 kg mempunyai berat 2,21 pon di bumi. Satu pon adalah sama dengan gaya 4,45 newton; ( 4,45 N )). Kedua vektor gaya diperlihatkan pada gambar 2-10 (a). Kita bentuk paralelogram dengan kedua gaya itu sebagai sisinya, lihat gambar 2-10 (b). Resultannya,

R , adalah diagonal paralelogram. Dengan pengukuran

ditemukan R adalah 3 pon pada 72°.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

Gambar 2-10 2. Empat vektor sebidang bekerja pada sebuah benda dan berpotongan di titik O. Lihat Gambar 2-11 (a). Carilah resultan gaya secara grafik. [ Pada Gambar 2-11, satuan gaya N adalah Newton. Benda dengan massa 1 kg beratnya 9,8 N di bumi : Gaya 1 N adalah sama dengan gaya 0,225 pon ].

Gambar 2-11 Dari titik • keempat vektor ditarik seperti tampak pada Gambar 2-11(b). Ekor vektor yang satu diimpitkan dengan ujung vektor sebelumnya. Maka anak panah yang dapat ditarik dari titik • ke titik ujung vektor terakhir adalah vektor resultan.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

Dengan mengingat skala gambar didapatkan dari gambar 2-11 (b) bahwa R = 119 N. Dengan mistar busur sudut didapatkan 37°. Maka R membentuk sudut θ = 180° - 37° = 143° dengan sumbu x positif. Resultan gaya-gaya itu adalah 119 N pada sudut 143°.

3. Lima gaya sebidang bekerja pada sesuatu obyek. Lihat Gambar 2 - 13. Tentukan resultan kelima gaya itu.

Gambar 2-13 a) Tentukan komponen x dan y setiap gaya sebagai berikut : Gaya 19 N 15 N 16 N 11 N 22 N

Komponen x 19 15 cos 600 = 7.5 - 16 cos 45° = - 11.3 - 11 cos 30° = - 9.5 0

Komponen y 0 15 sin 600 = 13 16 sin 45° = 11.3 - 11 sin 30° = - 5.5 -22.0

Perhatikan tanda + dan – pada komponen – komponen diatas.

b) Komponen vektor R adalah Rx = ∑ Fx dan Ry = ∑ Fy berarti ” jumlah semua komponen gaya adalah arah x”. Dengan demikian Rx = 19,0 + 7,5 – 11,3 – 9,5 + 0 = + 5,7 N Ry = 0 + 13,0 + 11,3 – 5,5 – 22,0 = -3,2 N

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Mercu Buana

c) Besarnya gaya resultan :

R=

R x2 + R y2 = 6.5 N

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

IR. ALIZAR, M.T FISIKA DASAR