MATERI TEORI MENAKSIR

RENCANA PERKULIAHAN 6

I. IDENTITAS MATAKULIAH : BIOSTATISTIK  WAKTU : 2 X 50 MENIT A. KOMPETENSI : 1. STANDAR : Mahasiswa dapat menaksir data yang ada 2. DASAR : Mahasiswa dapat menentukan harga rata-rata µ harga proporsi π, & harga simpangan baku σ B. POKOK BAHASAN : TEORI MENAKSIR  C. SUB POKOK BAHASAN: Menaksir rata-rata µ, menaksir proporsi π, dan

menaksir simpangan baku σ

II. PETA KONSEP

MENAKSIR 

Simpangan baku σ diketahui, populasi  berdistribusi normal

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi Menaksir  rata-rata µ

 berdistribusi normal

Simpangan baku σ tidak diketahui,  populasi tidak berdistribusi normal Menaksir   proporsi π

Menaksir  simpangan

 baku σ

III. OBYEK / PERSOALAN BELAJAR  Bagaimana cara menaksir rata-rata µ? Apa yang diteliti dalam penelitian? Dalam penelitian yang diteliti adalah populasi, tetapi yang diamati adalah sampel. Dengan menggunakan ukuran yang diperoleh dari sampel, akan digunakan untuk menaksir harga

 populasi atau parameter. Parameter populasi secara seca ra umum diberi lambang θ (baca theta), yang

dapat berupa µ, π, atau σ. Penaksirnya diberi lambing θ` (baca theta aksen), yang berupa X, s atau p. Secara ideal harga taksiran yaitu θ` sama dengan harga parameter θ. Pada umumnya yang

terjadi adalah harga taksiran θ` lebih tinggi atau lebih rendah dari parameter yang ditaksir. Beberapa batasan yang perlu dipahami dalam membuat taksiran adalah: 1.  penaksir tidak bias 2.  penaksir bervarians minimum 3.  penaksir konsisten dan 4.  penaksir terbaik.

Penaksir θ` dikatakan penaksir tak bias, bila rata-rata semua harga θ` yang mungkin sama dengan harga θ. Penaksir bervarians minimum adalah dengan varians terkecil di antara penaksir un tuk   parameter yang sama. Penaksir dikatakan konsisten bila ukuran sampelnya makin diperbesar  mendekati ukuran populasi dan harganya mendekati parameter. Penaksir terbaik adalah penaksir  yang tidak bias dan bervarians minimum. Agar mempunyai derajat kepercayaan yang tinggi penaksir untuk suatu parameter   biasanya dinyatakan dalam bentuk rentangan, yaitu yang disebut interval penaksiran atau daerah penaksiran. Dalam melakukan penaksiran biasanya digunakan derajat penaksiran

tertentu. Derajat penaksiran atau yang lazim disebut koefisien kepercayaan , biasanya

dinyatakan dengan lambang τ (baca gamma). Harga τ lebih besar dari nol dan lebih kecil dari satu (0 < τ < 1). Dalam penelitian pada umumnya digunakan harga τ = 0,95 atau τ = 0,99. Menaksir rata-rata µ

Untuk menaksir rata-rata µ digunakan penaksir rata-rata sampel (X). Cara menaksir harga µ

 beda tergantung pada diketahui atau tidaknya simpangan baku populasi po pulasi (σ) dan keadaan  berbeda- beda distribusinya. Simpangan baku σ diketahui, populasi berdistribusi normal µ, π, atau σ

Harga µ dapat ditaksir dengan menggunakan harga z. µ=X±z½.

σ √n

Harga z ½ dapat dicari dalam tabel kurva normal. Untuk derajat kepercayaan τ = 0,95 harga z ½ = 1,98 atau τ = 0,99 harga z ½ = 2,58. Contoh:

Pengamatan terhadap sampel yang diambil secara acak sebanyak 400 mempunyai rata-rata 50.

Diketahui simpangan baku populasi (σ) sebesar 18. Hitung harga µ dengan derajat kepercayaan τ = 0,95 dan τ = 0,99. Penyelesaian adalah sebagai berikut: Diketahui:

n = 400 X = 50

σ = 18 Ditanyakan:

µ

Jawab:

µ=X±z½.

σ √n

Harga z ½ = 1,96 pada τ = 0,95 dan harga z ½ = 2,58 pada τ = 0,99. Maka: µ = 50 ± 1,96 x 18

√ 400

= 50 ± 1,96 x 18 20 = 50 ± 1,96 x 0,9 = 50 ± 1,764

 – 51,764 pada τ = 0,95. Jadi daerah penaksiran µ adalah 48,236 – 51,764 Maka: µ = 50 ± 2,58 x 18

√ 400

= 50 ± 2,58 x 18 20 = 50 ± 2,58 x 0,9 = 50 ± 2,322

 – 52,322 pada τ = 0,99. Jadi daerah penaksiran µ adalah 47,678 – 52,322 Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi pop ulasi berdistribusi normal

Kebanyakan parameter σ tidak diketahui, oleh karena itu untuk menaksir µ tidak dapat menggunakan harga z. Ukuran simpangan baku yang paling mudah dicari adalah s, yaitu simpangan baku sampel. Dengan menggunakan harga simpangan baku sampel (s) harga µ dapat ditentukan dengan menggunakan t p  p. Harga t p dapat diperoleh dari table t dengan p = ½ (1- τ) dan derajat kebebasan atau dk = n – 1.

σ √n

µ = X ± t p . Contoh:

Dari hasil pengamatan terhadap sampel sebesar 25 yang diambil secara acak diperoleh rata-rata

105 dan simpangan baku sampel sebesar 10. Berapa harga µ dengan derajat kepercayaan τ = 0,95. Penyelesaian adalah sebagai berikut: Diketahui:

n = 25 X = 105 s = 10 t p , τ = 0,95, dk = 24, adalah 2,797 Dilihat tabel t) t p , τ = 0,99, dk = 24, adalah 2,064 (Dilihat tabel t)

Ditanyakan:

daerah penaksiran µ

Jawab:

µ = X ± t p  p. s

√n

Daerah taksiran µ dengan τ = 0,99 µ = 105 ± 2,80 x 10

√ 25

= 105 ± 2,80 x 10 5 = 105 ± 2,80 x 2 = 105 ± 5,6

Jadi daerah taksiran µ dengan τ = 0,99 adalah 99,40 - 110,6. Daerah taksiran µ dengan τ = 0,95 µ = 105 ± 2,06 x 2 = 105 ± 4,12

Jadi daerah taksiran µ dengan τ = 0,95 adalah 100,88 – 109,12. Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi tidak berdistribusi normal

Bila ukuran sampel n tidak terlalu kecil dapat d apat digunakan dalil limit pusat, dan selanjutnya dapat digunakan cara yang kedua.

Menaksir proporsi π

Bila dalam suatu sampel berukuran n terdapat suatu peristiwa sebanyak x, maka proporsi  peristiwa itu adalah p = x/n. Bila proporsi peristiwa itu digunakan sebagai penaksir, maka daerah  penaksiran parameter π nya adalah seperti rumus berikut ini.

π = p ± z ½ τ .  p.q √n q = 1 – p z ½ adalah harga z dalam tabel kurva normal untuk peluang ½ τ. Contoh: Akan dipelajari proporsi rumput teki diantara rerumputan di halaman. Untuk itu diambil sampel secara acak 100 batang rerumputan. Dari 100 itu terdapat 15 batang rumput teki. Berapa proporsi rumput teki di halaman?

Penyelesaian: Diketahui: n = 100 X = 15 bt rumput teki

Harga z untuk τ = 0,95 adalah 1,96.

Harga z untuk = 9,99 Ditanyakan: π Hitungan: p = 15 /100 = 0,15 Maka q = 1 – p = 1 – 0,15 = 0,85 Sehingga

π = p ± z ½ τ .  p.q √n π = 0,15 ± 1,96 x 0,15 x 0,85 √ 100 π = 0,15 ± 1,96 x 0,035707142 π = 0,15 ± 0,07

Jadi daerah taksiran π adalah 0,08 – 0,22.

Menaksir simpangan baku σ 2

Taksiran simpangan baku σ didasarkan pada taksiran varians σ . Sebagai penaksiran-nya adalah 2

2

s sampel. Daerah taksiran σ dapat ditentukan dengan rumus di bawah ini. 2

(n -1) s 2

s

½ (1+

<

τ)

σ2 <

(n -1) s 2

s

½ (1-

2

τ) 2

Daerah taksiran simpangan baku σ didasarkan pada taksiran varians σ .

Contoh : 2

Dari sebuah sampel acak berukuran 30 diperoleh harga variansi s = 7,8. Tentukan taksiran simpangan baku σ nya.

CATATAN: Untuk harga:

χ 2 ½ (1+ τ) = χ 2 ½ (1+ 0,95) = χ 2 ½ (1,95) lihat pada posisi tabel χ 2 0,975 = 45,7 χ 2 ½ (1- τ) = χ 2 ½ (1- 0,95) = χ 2 ½ (0,05) lihat pada posisi tabel χ 2 0,025 = 16,0 χ 2 0,975 = 45,7 langsung diambil dari tabel χ 2  pada dk = 30 – 1 = 29 dan χ 2 0,025 = 16,0 langsung diambil dari tabel χ 2  pada dk = 30 – 1 = 29.

2

Diketahui: n = 30 ; s = 7,8 ; dk = n -1 = 30 -1 = 29.

χ 2 0,975 = 45,7 ; χ 2 0,025 = 16,0 Ditanyakan : daerah taksiran σ. Hitungan: 2

(n -1) s 2

s

½ (1+

τ)

<

2

s

29 x 7,8 < 45,7

σ2 <

(n -1) s

2

σ <

½ (1-

2

τ)

29 x 7,8 16,0

226,2 <

226,2

2

σ <

45,7

16,0 4,95

<

σ2 <

14,14

Taksiran simpangan baku σ adalah: 2,23

<

σ <

3,75

IV. MEDIA / SUMBER BELAJAR  Scheffler, 1987. Statistika untuk Biologi, Farmasi, Kedokteran dan Ilmu bertautan. Bandung, Penerbit ITB.

yang 

Steel & Torrie, 1991. Prinsip 1991. Prinsip dan Prosedur Statistika, suatu pendekatan Jakarta. Penerbit: PT Gramedia Pustaka Utama.

Biometrik .

Sudjana, 1982. Metoda 1982. Metoda Statistika. Statistika. Bandung: Penerbit Tarsito. VII. EVALUASI / TUGAS RUMAH 1. Dari hasil pengamatan terhadap sampel sebanyak 64 yang diambil secara acak diperoleh rata-rata sebesar 85 dan simpangan baku σ sebesar 12. Berapa harga µ dengan derajat

kepercayaan τ = 0,95? 2. Pengamatan terhadap sampel yang diambil secara acak sebanyak 900 mempunyai rata-

rata 40. Diketahui simpangan baku populasi (σ) sebesar 22. Hitung harga µ dengan derajat kepercayaan τ = 0,95 dan τ = 0,99.