materi dan contoh soal Olimpiade kubus dan balok

A. KUBUS Definisi

Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi enam sisi berbentuk persegi yang kongruen.

Gambar 1.1 Kubus 1.1 Kubus Sifat-sifat Kubus

1. Semua sisi kubus berbentuk persegi. Kubus mempunyai 6 sisi persegi yang kongruen, yaitu ABCD, EFGH, ABFE, CDGH, BCGF, dan ADHE. 2. Rusuk yang sama panjang Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, dan HE 3. Titik sudut Titik sudut merupakan perpotongan tiga bidang atau tiga rusuk. Pada gambar 1.1, kubus ABCD.EFGH mempunyai 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H 4. Diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang. Kubus mempunyai 12 diagonal bidang yang sama panjang, pada gambar 1.1 tersebut, diagonal bidang kubus ABCD.EFGH yaitu BG, CF, AF, BE, DE, AH, CH, GD, EG, FH, AC, dan BD

Pada gambar 1.1 kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk  s. Maka panjang BG dapat dihitung dengan menggunakan teorema  phytagoras, di mana segitiga BCG siku-siku di C. Sehingga:

√  + BG = √   +   BG = √2  BG = s√ 2 BG =

Misalkan diagonal bidang kubus adalah b maka secara umum diagonal bidang kubus dapat dirumuskan:

√ 2

b = s

5. Diagonal ruang Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran sama panjang. Kubus mempunyai 4 diagonal ruang, pada gambar 1.1 diagonal ruang kubus ABCD.EFGH yaitu AG, EC, HB dan DF yang keduanya berukuran sama panjang. Pada kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk  s. Maka panjang BH dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABD siku-siku di A. Sehingga: BD = s

√ 2

Sekarang cari panjang HB dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga BDH siku-siku di D. Sehingga:

√  + HB =  (s√ 2) +  HB = √ 2  +   HB = √3  HB = s√ 3 HB =

Misalkan diagonal ruang kubus adalah d , maka secara umum diagonal ruang kubus dapat dirumuskan:

√ 3

d  = s

6. Bidang diagonal kubus berbentuk persegi panjang. Kubus mempunyai 6 bidang diagonal, bidang diagonal pada kubus ABCD.EFGH yaitu ACGE, FBDH, ABGH, CDEF, ADFG, dan BCEH. Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Dari gambar kubus ABCD.EFGH di atas, jika rusuknya s, maka luas bidang ACGE yakni: Luas ACGE = AB . BG

√ 2 Luas ACGE = s √ 2 Luas ACGE = s . s 2

Jaring-jaring Kubus

1. Pola 141 sebanyak 6 jenis Pola 141 artinya berbaris pada rangkaian 4 persegi dengan 1 persegi masing-masing terletak pada sebelah menyebelah rangkaian persegi

2. Pola 231 sebanyak 3 jenis Pola 231 artinya berbaris pada rangkaian 3 persegi dengan 2 persegi dan 1  persegi terletak pada sebelah menyebelah rangkaian 3 persegi

3. Pola 222 sebanyak 1 jenis

4. Pola 33 sebanyak 1 jenis

Luas Permukaan Kubus

Gambar 1.2 Pada gambar 1.2 terdapat kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk “s”. Seperti diketahui, pada kubus terdapat 6 buah sisi / bidang yang semuanya  berbentuk persegi. Bidang yang dimaksud seperti yang ada pada gambar di atas adalah bidang ABCD (bawah), BCGF (kanan), ADHE (kiri), ABFE (depan), DCGH (belakang), dan EFGH (atas). Dapat dilihat dengan jelas pada  jaring-jaring kubus berikut :

Kemudian, kita dapat mengetahui bahwa luas permukaan kubus (L.ABCD.EFGH) adalah jumlah luas seluruh bidang pada kubus. Dapat di uraikan sebagai berikut : L. ABCD.EFGH = L.ABCD + L.BCGF + L.ADHE + L.ABFE + L.DCGH + L.EFGH L. ABCD.EFGH = (s x s) + (s x s) + (s x s) + (s x s) + (s x s) + (s x s) L. ABCD.EFGH = 6 (s x s) = 6 s 2

Volume Kubus

(a)

(b)

(c) Gambar 1.3

Gambar 1.3 menunjukkan bentuk-bentuk kubus dengan ukuran berbeda. Kubus pada gambar 1.3 (a) merupakan kubus satuan. untuk membuat kubus satuan pada gambar 1.3 (b) , diperlukan 2x2x2=8 kubus satuan, sedangkan kubus pada gambar 1.3 (c) , diperlukan 3x3x3=27 kubus satuan. dengan demikian, volume atau isi suatu kubus dapat ditentukan dengan cara mengalikan panjang rusuk kubus tersebut sebanyak tiga kali. Sehingga:

  =   ×  ×  =  ×  ×  =  Jadi, volume kubus dapat dinyatakan sebagai berikut

  =  Dengan s merupakan panjang rusuk kubus.

B. BALOK Definisi

Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang  persegi atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang di antaranya  berukuran berbeda.

Gambar 2.1 Balok Sifat-sifat Balok

1. Sisi atau bidang balok Sisi balok adalah bidang yang membatasi balok. Balok memiliki 6 sisi. Perhatikan gambar 2.1 yang merupakan sisi adalah sisi bawah (ABCD); sisi atas (EFGH); sisi depan (ABFE); sisi belakang (DCGH);sisi samping kiri (BCGF); dan sisi samping kanan(ADHE). Balok memiliki 3 pasang sisi yang sama bentuk dan ukurannya. Pasangan tersebut adalah: Sisi ABFE = sisi DCGH Sisi ABCD = sisi EFGH Sisi BCGF = sisi ADHE. 2. Rusuk yang sama panjang Rusuk adalah garis potongan antar dua sisi bidang balok dan terlihat seperti kerangka yang menyusun balok. Sama seperti kubus, balok memiliki 12 rusuk . Perhatikan gambar 2.1 yang merupakan rusuk adalah AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan HD. 3. Titik sudut

Titik sudut merupakan perpotongan tiga bidang atau tiga rusuk. Pada gambar 2.1, kubus ABCD.EFGH mempunyai 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H 4. Diagonal bidang atau diagonal sisi Diagonal Bidang atau Diagonal Sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok. Sama halnya dengan kubus, balok memiliki 12 Diagonal  bidang. Perhatikan gambar 2.1 yang merupakan diagonal bidang yaitu AF, BE, BG, CF, CH, DG, DE, AH, AC, BD, EG, dan HF.

Untuk mencari panjang diagonal bidang atau sisi dapat menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar balok di bawah ini.

Misalkan balok PQRS.TUVW di atas memiliki panjang  p, lebar l , dan tinggi t . Maka panjang TV dapat dihitung dengan menggunakan teorema  phytagoras, di mana segitiga TUV siku-siku di U. Sehingga:

√  + TV =  +  TV =

5. Diagonal ruang Diagonal Ruang adalah garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang saling berhadapkan dalam satu ruang. Sama halnya dengan kubus, balok memiliki 4 diagonal ruang. Perhatikan gambar 2.1 yang merupakan diagonal ruang yaitu AG , BH , CE , dan DF.

Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan balok ABCD.EFGH di atas memiliki panjang  p, lebar l , dan tinggi t . Maka panjang AG dapat dihitung dengan menggunakan teorema  phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang AC, di mana AC merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABC siku-siku di B. Sehingga:

 (  +  ) AC = p  +l AC =

Sekarang cari panjang AG dengan teorema phytagoras juga. Sekarang  perhatikan segitiga ACG siku-siku di G. Sehingga:

√ AC +CG AG =  (  p  +l ) +t  AG =  (  +   +   ) AG =

Misalkan diagonal ruang balok adalah d maka secara umum diagonal ruang balok dapat dirumuskan: d  =

 ( +  + )

6. Bidang Diagonal Bidang diagonal adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang. Sama halnya dengan kubus, balok memiliki 6 bidang

diagonal. Perhatikan gambar diatas, yang merupakan bidang diagonal yaitu ACGE, AFGD, CDEF, BFHD, dan BEHC. Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas  persegi panjang.

Jaring-jaring Balok

Luas Permukaan Balok

Mengukur mengukur luas permukaan sama dengan luas jaring-jaring balok atau bidang sisi pada balok. Sebab apa bila sisi-sisi pada permukaan balok digambarkan secara mendatar maka akan ditemukan bentuk yang sama. Berikut rumus untuk mencari luas permukaan bangun ruang balok. Luas Permukaan balok = 2 (panjang x lebar) + 2 (panjang x tinggi) + 2 (leba r x tinggi) Luas Permukaan balok = 2 pl + 2 pt + 2 lt Luas Permukaan balok = 2 (pl + pt + lt)

Volume Balok

Tumpukan kubus-kubus satuan di samping membentuk suatu  balok. Alas balok di samping terdiri atas 6 × 4 = 24 kubus satuan. Sedangkan tinggi balok d samping adalah 4 kubus satuan. Sehingga balok di samping terdiri dari 4 × 24 = 96 kubus satuan. Jadi volume balok di samping adalah 6 × 4 × 4 = 96 kubus satuan . Volume

balok

tersebut

dapat

dituliskan

sebagai

berikut.

Volume balok = 6 ×4×4 = 9  kubus satuan. Jadi, volume balok dapat dicari dengan cara menghitung Volume balok =  × × . Apabila panjang, lebar dan tinggi dinyatakan dengan p, l dan t maka volumenya :

=××

Soal OSN Matematika 2014

1. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 satuan. Titik O adalah titik potong dua diagonal pada bidang BCFG. Jara k titik O ke bidang BCEH adalah …. satuan.

Jawab: Langkah awal menjawab soal geometri, buatlah sketsa gambarnya seperti sbb:

Kemudian konstruksi bidang yang memuat titik O dan memotong tegak lurus bidang BCHE,yaitu bidang KLMN. (Bukti, bahwa bidang KLMN tegak lurus bidang BCHE). Karena bidang ABFE sejajar bidang KLMN, dan bidang ABFE t egak lurus bidang BCHE, maka bidang KLMN tegak lurus bidang BCHE). Irisan bidang BCHE dan  bidang KLMN adalah garis ML. Selanjutnya, buatlah garis KL dan garis OP sejajar KL sehingga garis OP memotong garis ML di titik P. Karena diagonal KL tegak lurus diagonal ML, dan segmen garis OP sejajar garis KL , maka segmen garis OP tegak lurus garis ML, dan jarak OP merupakan jarak dari titik O terhadap bidang BCHE. Langkah selanjutnya kita hitung panjang OP dengan kesebangunan dua segitiga. Perhatikan bidang KLMN !

Segitiga LMN siku-siku di M, maka berdasarkan teorema Pythagoras;

Sedangkan panjang TN = ½ LN =

√ 2.

Perhatikan segitiga MOP dan segitiga MNT ! Karena segmen garis OP sejajar garis LN, makabesar sudut MPO =  besar sudut MTN = 90 o, dan besar sudut MOP = besar sudut MNT (sepasang sudut sehadap). Jadi segitiga MOP sebangun dengan segitiga MNT (Sd-Sd) akibatnya;

2. OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2005 Sebuah tangki berbentuk balok dengan alas berukuran 60 cm x 25 cm diisi air setinggi 14 cm. Jika 3,507 liter air ditambahkan ke dalam tangki itu. Tentukan kenaikan air dalam tangki? Pembahasan: Diketahui: Panjang = 60 cm Lebar = 25 cm Tinggi air mula-mula = 14 cm Volume air tambahan = 3,507 liter

 = 3,507 x 1000  = 3507 

3,507 liter = 3,507

Kenaikan air dalam tangki: 60 x 25 x T = 3507 1500 T = 3507 T=

507cm 1500

T = 2,338 cm Jadi, kenaikan air dalam tangki adalah 2,338 cm.