Materi 6 Integral Garis

BAB IV INTEGRAL GARIS

4.1.Definisi

Jika F(x,y) F(x,y) = M(x,y) M(x,y) i + N(x,y) N(x,y) j

suatu medan medan vektor dan C suatu

lintasan terbuka dari dari titik A ke B maka Intergral vektor F(u) terhadap terhadap lintasan C atau disebut Integral Garis, yaitu :

∫ F ( x, y)• dX 

B

dengan dX = dx i + dy j

C 

A =

∫ M  dx +  N  dy . C 

Contoh 1:

Hitunglah integral garis

∫ xy

2

2 dx + xy dy   di sepanjang lintasan

C 

C  = C 1 U  C 2 yang menghubungkan titik (0,2), (3,2) dan (3,5).

(3,5) C2 (0,2)

C1

(3,2)

Jawab:

Pada garis C 1 , y = 2 maka dy = 0 Sehingga

∫ xy

2

2

dx + xy dy = 18

C 1

Pada garis C 2 , x= 3 maka dx = 0 Sehingga

∫ xy

2

2

dx + xy dy = 117.

C 2

Jadi ∫ xy 2 dx + xy 2 dy = 135. C 

Jika C adalah busur lengkungan dari A ke B , maka integral garis adalah

∫ F ( x, y) dS  C  Perhitungannya menggunakan parameter t, dimana  x  =  x(t )  dan  y  =  y (t )

2

2

sehingga ds = [ x ' (t )] + [ y ' (t )]

dt

, maka

∫ F ( x, y) dS = C 

b

2 2 ∫ F ( x(t ), y (t )) [ x ' (t )] + [ y ' (t )] dt.

a

Contoh 2:

∫ x

Hitunglah

2

 y dS  jika C lengkungan persamaan parameter  x = 3 cos t 

C 

,  y = 3 sin t  , 0 ≤ t  ≤

π 

2

Jawab: π 

∫ x C 

2

2

 y dS  =

∫

(3 cos t ) 2 (3 sin t ) (−3 sin t ) 2 + (3 cos t ) 2 dt = 27

0

4.2. Aplikasi a. Massa (m) Jika rapat massa  ρ  =  ρ ( x, y , z ) , maka m =

∫ ρ  dS . C 

b. Momen massa ( M ) Terhadap sumbu x :  M  x =

∫  y ρ  dS  C 

Terhadap sumbu y :  M  y =

∫ x ρ  dS  . C 

c. Titik pusat massa ( x , y ) = (

 M  y  M  x , ) m m

4.3. Tak Tergantung Lintasan ( Bebas Lintasan) Definisi :

Untuk setiap C lengkungan dari titik A ke B. Nilai

∫ F ( X ) dX   tetap C 

harganya maka dikatakan ∫ F ( X ) dX  tidak tergantung lintasan dari A C 

ke B. C1

B

A C2

∫ F ( X ) dX  = ∫ F ( X ) dX  C 1

C 2

Artinya

∫ F ( X ) dX   tidak tergantung lintasan dari titik A ke B melalui

C  C1 atau C2.

Teorema 1 :

Jika C lengkungan licin dari titik A ke B. fungsi f(x) terdefinisi dan kontinu pada daerah terbuka yang memuat C, maka :

∫∇ f ( x) . dX =  f ( B)

−  f ( A)

C  Teorema 2 :

Jika F(x) medan vector yang kontinu pada daerah tersambung sederhana. Maka ∫ F ( X ) dX   tidak tergantung lintasan dari A ke B jika C 

dan hanya jika terdapat medan konservatif  f sehingga F ( x) = ∇  f  ( x)

Untuk menunjukkan F medan konservatif :

1. Jika F ( x, y ) = M ( x, y ) i +  N ( x, y )  j  maka F konservatif jika memenuhi ∂ M  ∂ y

=

∂ N  ∂ x

2. Jika F ( x, y , z) = P( x, y , z)i + Q( x, y , z)  j +  R( x, y , z ) k  maka F konservatif

 jika

curl F =0  atau

∂Q ∂ x

=

∂P ∂ y

;

∂ R ∂ y

=

∂Q ∂ z

;

∂ R ∂ x

=

∂P ∂ z

Langkah – langkah menunjukkan tidak tergantung lintasan dari

titik A ke B adalah : 1. Tunjukkan F konservatif. 2. Tentukan f agar F ( x) = ∇  f  ( x) .

3.

∫ F ( X ) dX  =  f  ( B)

−  f  ( A)

C 

Latihan Soal.

1. Tentukan

apakah

3

2 2

3

5

F ( x, y) = (4 x + 9 x  y )i + (6 x  y + 6 y )  j

konservatif, dan jika ya tentukan fungsi f . 2. . Hitunglah

3  x2 y2 dx  x3 y  y5 dy  x ( 4 ) + (6 +9 +6 ) , ∫

dimana

C

adalah

C 

sebarang lintasan dari (0,0) ke (1,2). (langkah 1: Tunjukkan F konservatif, langkah 2: hitung menggunakan teorema 1) 3.

∫

2

2

(2 x  y + 3 y  z + 2) dx+ (2 x  y + 3 xz) dy+ (3 xy+ z)dz dimana C adalah

C 

sebarang lintasan dari (0,1,1) ke (2,1,2).

4.

∫ C 

1 2 1 2 ( xy e z − cos  y ) dx+ (  x e z + x sin y + z ) dy+ (  x  y e z + y − 3)dz 2 2

dimana C adalah sebarang lintasan dari (1, π ,0) ke ( 2, π ,4)

4.4. Teorema Green pada Bidang Teorema Green :

D

D D C

Jika C lengkungan tertutup sederhana yang merupakan

batas daerah

D dan F ( x, y ) = M ( x, y ) i +  N ( x, y )  j   suatu medan vector . M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan parsial pada D dan C. Maka :

∂ N  ∂ M  = − F  (  x ,  y ) . dX  ( ) dA ∫ ∫∫ ∂ x ∂ y C D atau

∫  M ( x , y) dx +  N ( x , y ) dy C

=

∫∫ ( D

∂ N  ∂ x

−

Note : arah positif C adalah berlawanan arah jarum jam.

Latihan Soal:

∂ M  ∂ y

) dA

1. Misalkan C adalah batas segitiga dengan titik-titk (0,0), (1,2) dan

2

(0,2), hitunglah ∫ 2 x  y dx + 3 x dy

C  dengan menggunakan metode langsung dan Teorema Green.

2

2

2. Buktikan kebenaran Teorema Green dari ∫ ( x +  y ) dx + x  y dy   jika

C  C

adalah

lengkungan

yang

dibatasi

oleh

 x 2 + y 2 = 4   dan

( x − 2) 2 + y 2 = 4 .

4.5. Fluks dan Curl F

a. Fluks Fluks: jumlah (neto) fluida yang meninggalkan D per satuan waktu dari medan vektor F yang menyeberangi kurva C ke arah luar .. Jika n vektor normal satuan yang tegak lurus terhadap D , maka Fluks yang menyeberangi C =

∫ F .n dS 

n

C  D D D C C

=

∫∫ div F  dA =

∫∫[

 D

 D

∇ . F  = Dimana

∂ M  ∂ x

+

∂ M 

∂ N  ∂ y

∂x

+

∂ N  ∂ y

] dA

b. Curl F Adalah Sirkulasi / kecenderungan fluida untuk berputar pada titik ( x0 , y0 ) . Jika Curl F = 0 pada D, maka aliran fluida dikatakan tidak

dapat berputar. Curl F =

∫ F .T  dS  = ∫∫ (Curl F ) . k dA  = ∫∫[ C 

 D

i

Dimana CurlF= ∇ x F  =

 D

∂ N  ∂x

−

∂ M  ∂ y

] dA

 j ∂

∂

∂ x

∂ y

 M 

=(

∂ N  ∂ x

−

∂ M  ∂ y

) k 

 N 

Contoh:

1 1 F  (  x ,  y )  yi  x j   adalah medan = − + Diketahui Medan vektor 2 2 kecepatan dari roda stabil yang berlawanan dengan arah jarum jam terhadap sumbu z..Hitunglah Fluks dan Sirkulasinya. Jawab: a. Fluks =

∫ F .n dS  = ∫∫ div F  dA =  D C 

b. Sirkulasi = Curl F =

∫ F .T  dS  = ∫∫ (Curl F ) . k dA = ∫∫ [ C 

= Luas A.

∂ M  ∂ N  [ + ] dA  = 0 ∫∫ ∂x ∂ y  D

 D

 D

∂ N  ∂x

−

∂ M  ∂ y

] dA