Materi-2.-Variogram-02.10.12

Variogram MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial 2 Oktober 2012 Utriweni Mukhaiyar

Karakteristik Semivariogram 1 1  2  (h)  Var  Z ( s  h)  Z ( s )   E  Z ( s  h)  Z ( s )    2 2  

(h) dimulai dari h = 0, berlaku Z(s+h) = Z(s) (0) = 0



(h) meningkat seiring bertambah h h1 < h2  (h1) < (h2)



(h) naik sampai level tertentu, kemudian konstan ( t i (stasioner), ) atau t tterus naik ik (tidak (tid k stasioner) t i )

lim  (h)  c  C (0)  Var ( Z ( s )) c : sill

h 

a : range, proyeksi titik potong (h) dengan c.

(h) sill

2

Variogram tak-terbatas (tak stasioner) (tak-stasioner)

(h)

a Variogram terbatas (stasioner)

h

h

Zona Keberpengaruhan (zone of influence)     

(h) (h) = C(0) – C(h) C(h) = C(0) – (h) = 2 – (h) (h) = c – (h) (h)  2 c    s : variansi sampel

C ( h)  ( h) (h)   1 C (0) c Untuk h  a : (h) = 0 tidak ada korelasi antara Z(s) dan Z(s+h)

Ilustrasi Zona Keberpengaruhan

2

Zona keberpengaruhan (zone of influence)

a

Karakteristik (h) di sekitar h = 0 

Kuadratik highly continuous dan diferentiable ((h)) c

h

Karakteristik (h) di sekitar h = 0 

Linier highly continuous dan not-diferentiable ((h)) c

h

Karakteristik (h) di sekitar h = 0 

Diskontinu di h = 0 irregular, nugget effect (short range variability) ((h)) c

c0

nugget effect h

Karakteristik (h) di sekitar h = 0 

Datar (Flat) ( ) white noise (keacakan murni) ((h))

c0 nugget effect h

Karakteristik Variogram 

Nugget : lompatan nilai dari nilai aslinya (dikategorikan sebagai galat).



Sill : nilai batas pada saat h menuju infinit. Untuk proses stasioner, c = C(0) = V Var(Z(s)). (Z( ))



Range : jarak R j k h saatt variogram i mencapaii nilai il i sill (c). Setelah nilai range, korelasi bernilai nol.

Isotropi Misalkan p proses Z stasioner instrinsik, dengan semivariogram (h) untuk h  R2.  Jika terdapat suatu fungsi 0 sehingga dapat (h)) = 0(|| (||h||), ||), maka pproses disebut ditulis ( isotropi.  Proses isotropi berarti variansi selisih (incerements) hanya bergantung pada panjang dari selisih tersebut, tersebut tidak melibatkan faktor arah. 

Anisotropi h  R2  ( (h)) = (|| (||h||, || )) =    : penentu arah  Contoh: 

◦ ◦ ◦ ◦

North – South (vertikal) West – East (horizontal) Southeast – Northwest (diagonal-1) Southwest – Northeast (diagonal-2) (diagonal 2)

Jenis--jenis Anisotropi Jenis 

Anisotropi p Geometrik/Eliptik p Transformasi koordinat h=(h1, h2), ) 1(.) ( ) = 1(.), () 2  2   (h)  1  h1   kh2    

grad 1 a1 k atau k  a2 grad 2

2 Contoh: k = 4/2 = 2 maka  ( h)  1  h12   4h2  





Jenis--jenis Anisotropi Jenis 

Anisotropi p Zonal/Strata  (h)   0



h h h 2 1

2 2

2 3

 h

2 1 1

h  (h1 , h2 , h3 ) Drift : mean tidak konstan Teoritis :

 ( h)  0 saat h   2 h

 ( h) tidak  0 saat h    mean tidak konstan 2 h

Dekomposisi Variansi 

E[(Z(s+h)Z(s)) [( ( ) ( )) 2] = Var(Z(s+h)Z(s)) ( ( ) ( )) + (E[Z(s+h)Z(s)])2



Jika E[Z(s+h)Z(s)] = 0, maka Var(Z(s+h) Z(s))=E[(Z(s+h) Z(s)) 2] = (h) Var(Z(s+h)Z(s))=E[(Z(s+h)Z(s))



  ( h) 

1 2 ( Z ( s  h )  Z ( s ))  2 | N ( h) | N ( h )

Metode Delta 2Z((h)) = E[(Z(s+h)Z(s)) [( ( ) ( ))2]  E[Z(s)] = , Var(Z(s)) = 2  

Y ( s )  g ( Z ( s )) g ''()[( Z ( s )  ) ]  g ()  g '()[ Z ( s )  ]  2!  g ()  g '()[ Z ( s )  ] 2

Var (Y ( s ))  ( g '(()) 2 Var ( Z ( s ))

Metode Delta Cov(Y ( s )), Y ( s  h))  ( g '(()) 2 Cov( Z ( s ), ) Z ( s  h)) Dapat ditulis :

 Y (h)  ( g '()) 2  Z (h)

 Z ( h) Misal : ( g '(())  Z (h)  2 2

1  ( g '(())  2 ,  2

g ( Z )  ln Z

Z ~ N (, 2 )  g ( Z )  ln Z ~ log normal

Model Korelasi Spasial Admissible Linear Combinations 

Kombinasi linier i 1



  Z (s ) admissible jika i 1

n



n

i

i

i

0

Z(s) stasioner  n  n n  Var    i Z ( si )     i  j C ( si  s j )  i 1  i 1 j 1

Admissible Linear Combinations 

Z(s) ( ) intrinsik stasioner n



Jika   i  0 , maka (Armstrong: 34) i 1

n n  n  V    i Z ( si )     i  j  ( si  s j )  0 Var i 1 j 1  i 1 

 conditionally positive definite.  ( (h)) semivariogram g jika j  conditionallyy negative definite 

Model Semivariogram 1.

White Noise, Nugget gg Effect 0, h  0  ( h)   1 h0 1,

2 2.

S ik l Sperikal  3 h 1  h 3    , 0ha   ( h)   2 a 2  a   1, ha 

3.

Eksponensial  ( h)  1  e



h a

h  ,  ( h )  1 4 4.

Linier 0  1h, 0  h  a  ( h)   ha  c,

5.

Gaussian  ( h)  1  e

h   a

2

Referensi  Armstrong, Margaret, 1998, Basic Linear Geostatistics, Springer-Verlag: Berlin.  Catatan Kuliah MA7192 Topik Statistik Lanjut, Lanjut 2005 2005.

22