matemax 4
January 24, 2017 | Author: Yerson Apaza Tapara | Category: N/A
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Solucionario Cuarto año de educación secundaria
-1-
-2-
Cuarto Año de Secundaria
CAPÍTULO 2 SISTEMA DE NÚMEROS REALES (Pág. 33) NIVEL I Resolución
⇒
1
I es verdadero
La proposición I dice: “La operación de división en IR es asociativa”, lo cual lo comprobaremos con un ejemplo numérico:
2a2 − a3 − a
;
− a (− 2a +
a2
Sea:
− a (a−1)2
2 − 2a + 1 − a (a )
(8÷4) : 2 = 8 : (4 : 2)
Donde : (a − 1)2 > 0 ; ∀a ∈ IR Luego:
2:2=8:2 1=4
∴
La proposición I es falsa.
Si a > 0
La proposición III dice: “Entre dos números reales distintos existen infinitos números reales”, lo cual es cierto por definición de números reales.
∴ La proposición III es verdadera. La proposición II es parte de la proposición III, por lo cual si III es verdadera, entonces II será verdadera.
∴
La proposición II es verdadera.
Luego:
Resolución
FVV
⇒ − a (a − 1)2 < 0
• Si b < a < 0 ⇒ b < a → a2 > b2 ⇒ I es falsa • Si a < 0 → a2 > 0 b < 0 → b3 < 0 Luego: −1 < b < a < 0 ⇒ a2 > b3 ⇒ II es verdadera Si −1 < b < a < 0 • ⇒ b3 < a3 ⇒ III es falsa El valor de verdad de las afirmaciones será:
∴ Resolución •
FVF
Rpta B
número negativo
⇒ a(a − 1)2 < 0
− a(a − 1)2 > 0
←
número positivo
⇒ La proposición II no se cumple ∀a ∈ IR ⇒ II es falso • Si a < 0
⇒ − a3 > 0
− a3 < 0
←
número positivo
La expresión III es positiva a ∀a < 0
⇒ III es falso ∴ Es siempre negativa: solo I Rpta A Resolución
4
• Si 3 < x < 4 3−2 0 G el sentido J GH cambia de la desigualdad. K
El valor de verdad de las proposiciones será:
∴
∀a ∈ IR + 1)
1 < x − 2 < 2 ........... (1) • Si 3 < x < 4
⇒ b2 − a2 > 0
3−40 ⇒ a ⋅ b = (−) ⋅ (+) = (−)
NIVEL II
Rpta B -5-
> → > >
5E = < →
g
Tenemos que:
Ordenando de mayor a menor, tenemos que:
1 1 a>c ⇒
< ⇒ La proposición III es verdadera. Si a < 0 < b ⇒ a2 < b2 ó a2 > b2 ⇒ La proposición IV no se puede afirmar ∴ Son verdaderas solo I, II y III Rpta. C Resolución
Resolución
8
Del enunciado, tenemos que: x 1 1 − ⋅ =0 x − 5 11 33
FG H
IJ K
x 1 − =0 x − 5 11
Según el enunciado: “M” y “N” son inversos multiplicativos ⇒ M⋅N=1
x 1 = x − 5 11
FG 3x + 1IJ ⋅ FG x − 2 IJ = 1 H x − 1 K H 3x + 2 K b3x + 1gb x − 2g = 1 b x − 1gb3x + 2g
∴
(3x+1) (x − 2) = (3x+2) (x − 1)
Resolución
3x2−6x+x − 2 = 3x2−3x+2x − 2
Si 2P y
−5x = − x
x=−
Si
x=0
Q son inversos aditivos, tenemos que: 6 2P +
Rpta. D
5x − 3 = 2x − 9
2x – 9 ≥ 0 → x ≥ 4,5 Ι 5x − 3 = 2x − 9 ∨ ΙΙ 5× – 3 = –(2× – 9)
x = –2
5× – 3 = –(2× + 9) 7x = 12 x=
12 7
2x − −2 Y
4 x+4 + =0 3 6
12x − 8 + x + 4 =0 6
1 ∉ [4,5; + ∝ 2
∴c ⋅ s =
Q =0 6
F I GG x + 2 JJ 1 F I G2G x − 1 JJ + GH 1− 2 JK = 0 6 GH 1+ 21 JK F I GG x + 2 JJ F I G 1J G 1J H 2 K = 0 2G x − J + GH 32 JK 6 F 2 I F x + 4 IJ = 0 2G x − J + G H 3K H 6 K
6
3x = − 6
Rpta. B
1 2
9
4x = 0
Resolución
Rpta. E
El elemento neutro de la adición es: 0
5
∴
b;a;c
b−1
{}
13 x − 4 =0 6
Rpta. C
13x − 4 = 0 Resolución a=
7
∴
2 = 1,414213562
b = 3 3 = 1,44224957 c = 6 6 = 1,348006155 -6-
x=
4 13
Rpta. B
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
10
II)
FG 3x IJ es el neutro multiplicativo, H 7x − 4 K
Si
FG H
= 3+
x=1 III)
5x3−2 = 5(1)3−2
x=
jb g 2 I x − 12 b x + 1g K
x +1
x −1 x +1
je
M = x2 − 12 ⇒ M = x2 − 1 ................ (I)
2 +1 2
x=
3 2
⇒ y=
2 −1 2
y=
1 2
F H
2+ 3
x2 = 4 + 2
2+ 3 − 2− 3 =
I K
2− 3 +2− 3
=
e 2 + 3 je 2 − 3 j
x 2 = 4 + 2 22 − 3
2
=2
x2 = 4 + 2 1 x2 = 6
=2
Reemplazando “x2 = 6” en la ecuación (1) obtenemos: =
M = x2 − 1 = 6 − 1
∴ Resolución
M=5 12
−15 < 5x < 5
Resolución (multiplicamos por 5)
∴ Resolución I)
e
32 − 8
Rpta. C
13
j2 = e 2
8− 8
3 + 2
1 − 2
1 − 2
3 − 2
3 + 2
1 2
1 2
=
2 2
⋅
2 2
2 (número irracional) Rpta. C
14
∨
2x −1 = −5
∨
2x = 6 x=3
∨
2x = − 4 x = −2
• Si x = 3
y= x = 3 =3
• Si x = −2
y = x = −2 = 2
∴
j2
= 8 (Número entero) -7-
1 2
1 2
2x −1 = 5
5x + 3 < 4 (divimos entre 2) 2 −6 < p < 4
I F JK GH
3 + 2
Tenemos que: 2 x − 1 = 5
−12 < 5x + 3 < 8 (le sumamos 3) −6 <
F GH
∴ Es irracional: solo III
Rpta. B
−3 < x < 1
Si
1 2
Restando ambas raíces, obtenemos:
I2 K
IF KH
1 2
3 − 2
2− 3 =
(elevamos al cuadrado)
2+ 3 + 2− 3
x2 = 2 + 3 + 2
3 + 2
2+ 3 =
⇒
x = 2+ 3 + 2− 3
m=1
⇒ x=
Luego:
De la condición:
F H
x+ y
2+m 2−m ; y= 2 2
M = (x − 1) (x + 1)
x2 =
(número decimal)
Donde: m = 22 − 3
11
e F M= H
FG IJ 2 H K
1 1 + 3 3
2 3 1 + 3 9
2+ 3 =
∴ 5x3 − 2 = 3 Rpta. C
M=
2
3 +2 3⋅
28 + 6 3 9
=
Luego:
Resolución
IJ 2 = K
tenemos que:
3x =1 7x − 4 3x = 7x − 4 4 = 4x
1 3
3+
El mayor será: 3
Rpta. C
I JK
Resolución
15
⇒ A + B = 0⋅1 +
Del triángulo rectángulo:
A + B = 10⋅1
Donde:
∴ A + B es siempre mayor que 2
• Por el teorema de Pitágoras:
x
1 0 ⋅1
Rpta. B
x2 = 12 + 32
3
x = 10
x2 = 10
1 - Representamos el triángulo rectángulo en la recta real y ubicamos x = 10
Resolución
2
I. Si a ∧ b ∈IR , entonces (a+b)∈IR ma de clausura)
(Axio-
II. ∀a ∧ b ∈IR : (a/b)∈IR. (No es un axioma) III. ∀a; b y c ∈ IR : a(b+c) = ab + ac (Axioma distributivo)
∴ Los axiomas son: I y III Rpta. E Resolución
3
Si (2m+n) es el elemento neutro de la multiplicación ⇒ 2m + n = 1 .............. (1)
De la condición:
F I 1I F G −1 JJ Op G m + J = Re c G H 3K GH 21 + 51 JK F 1I 1 −G m + J = H 3K F I GG −1 JJ GH 21 + 51 JK F 1I 1 −G m + J = H 3 K F I − FG m + 1 IJ = 1 GG −1 JJ ⇒ H 3 K F −10 I GH 7 JK GH 107 JK F 1I 7 ⇒ m + 1 = 7 −G m + J = − H 3 K 10 3 10
Del triángulo rectángulo: • Por el teorema de Pitágoras: y
y2 = 12 + 42
4
y = 17
y2 = 17
1
- Representamos el triángulo rectángulo en la recta real y ubicamos
17
m=
NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución
1
Según el enunciado, tenemos que A⋅B=1 ; A>0,B>0 y A ≠ B
2
FG 11 IJ + n = 1 H 30 K
1 A
n = 1−
Luego: A + B = A +
1 A
Analizando:
Luego:
Si: A = 0⋅9 ⇒ A + B = 0⋅9 +
1 0⋅9
m=
Reemplazando el valor de “m =
Serán los números: A y B
⇒ B=
7 1 21− 10 − = 10 3 30
A + B = 2⋅011
-8-
22 30
11 ” en (I); obtenemos: 30
22 +n =1 30 n=
8 30
8 n 30 = m 11 30
∴
Si: A = 0⋅1
⇒
n 8 = m 11
11 30
Rpta. D
Cuarto Año de Secundaria
Resolución • P= x−
1 1−
⇒ P= x−
1 1 1− 2
P= x− P= x− • Q = 2x +
Q = 2x +
1 −1
−1+
1 1−
x = −1
1 1 2
∴ x ∈ −1
l q
Resolución
1 1− 2
⇒
a+b+c=0
P = x +1
Por productos notables, tenemos que:
⇒ Q = 2x +
1 1−
1 2
1 −1+
1 1 2
Si a + b + c = 0 se cumple que: a2 + b2 + c2 = − 2(ab + ac + bc) a2 + b2 + c2 = −2 ab + ac + bc
∴ 1 1
⇒
Q = 2x + 1
Q son inversos aditivos, 3 2P +
Resolución
3
6x + 6 + 2x + 1 =0 3 8x + 7 = 0 ⇒ 8x + 7 = 0 3
∴ x=−
7 8
Rpta. A
7
⇒x=1 ¨0¨ 2 ( x + x + 1 x − 1) + 3x 3 x 3 = = = ( )2 + 2x 2 x 2 x2 + 1 − 1 x
Q =0 3
b g b 2x3+ 1g = 0 6b x + 1g + b 2 x + 1g =0
Rpta. B
Para que (x – 1)2 sea mínimo (cero)
2
2 x +1 +
Resolución
6
Si (a + b + c) es neutro aditivo, entonces:
1 −1+ 2
tenemos que:
Rpta. A
• Identidad secundaria
1
Q = 2x + Si 2P y
−3 x − 3 =0 4 −3x − 3 = 0 −3x = 3
4
¨0¨
Rpta. E Resolución
8
Si 7 x − 1 ≥ 1 ⇒
7x −1 ≥ 1 ∨ 7x − 1 ≤ −1 7x ≥ 2 ∨ 7x≤ 0
2 ∨ x≤ 0 7 graficamos en la recta numérica: x≥
5
FG x + 1IJ + Re c FG 2 IJ = x H 4 K H x − 1K F x + 1IJ + 1 = x −G H 4 K FG 2 IJ H x − 1K F x + 1IJ + x − 1 = x −G H 4K 2
Op
x −1 x +1 x −1 x +1 − =x ⇒ − −x=0 2 4 2 4
b g b g
2 x − 1 − x + 1 − 4x =0 4
∴ x ∈ −∞ ; 0 ∪ 2 7 ; + ∞ Resolución
Rpta. B
9
Si x − 3 ≤ 5
;
5>0
⇒ −5 ≤ x−3 ≤ 5
−5+3 ≤ x ≤ 5+3 −2 ≤ x ≤ 8 Luego: − 2 ≤ x ≤ 8 (Le sumamos 6) −2+6 ≤ x+6 ≤ 8+6 4 ≤ x + 6 ≤ 14
2 x − 2 − x − 1− 4 x =0 4 -9-
Tomando recíprocos, tenemos: 1 1 1 ≤ ≤ ........... (I) 14 x + 6 4 Por dato: 1 1 1 ≤ ≤ ............ (II) a x+6 b De (I) y (II) tenemos que: ∧
a = 14
II) Sea: N , un número racional 1 , no siempre será racional N ⇒ II es falso Las afirmaciones I y II serán respectivamente: ⇒
∴ Resolución
b=4
•
a + 1 14 + 1 15 = = b −1 4 −1 3
•
Luego:
a +1 =5 b −1
∴ Resolución
2>0
(sumamos “1”) ≤ −2+1 x−1+1 ≤ 2+1 −1 ≤ x ≤ 3 (multiplicamos por “2”) − 2 ≤ 2x ≤ 6 (Sumamos “2”) ≤ ≤ − 2 + 2 2x + 2 6 + 2
• 4 0, 0016 = 0, 2
∴
es racional
= −1
b0, 09g−1 =
es irracional
es racional 1 1 = 0, 09 0. 3
es racional
No son racionales: el primero y el segundo
Resolución •
0 ≤ 2x + 2 ≤ 8 ................ (I)
9. 899
3− 2 5+ 3
•
Comparando las ecuaciones (I) y (II), tenemos que:
Luego:
5− 3
Rpta. E
14
3+ 2
Según el dato: a − 1 ≤ 2x + 2 ≤ b ......... (II) • a−1=0
es irracional
38 2 3 0, 8 = 3 8 = = 3 10 10 3 10
•
−2 ≤ x−1≤ 2
Rpta. D
13
π2 = π
• 3 −1
10
Si: x − 1 ≤ 2 ; ⇒
Rpta. B
F F
7. 873
7.873 < 8 < 9 < 9 899
a=1
• b=8
enteros
Luego:
∴ Hay 2 números enteros
a+b=1+8
∴ Resolución
a+b=9
Rpta. C
11
Según el enunciado: 7 < 2x − 1 < 11 (Sumamos “1”)
Resolución
= 4 (n2 − n) + 1 n°# PAR
(Dividimos por “2”)
8 2 x 12 < < 2 2 2 4 5
20°
m
C
F = 80° + 20° + 10°
∴ m
x
F = 110°
x 110°
C A
80°
D 5
∴
xentero = 6
Resolución
6
7
A En el
∴
C
y
z
x
x + φ = 180° ............ (I) ABF: AB > BF φ > 64° φ
64°
A
x φ
F
66°
C
w D
δ
D
En el
v
E
Rpta. E
En el
θ
φ
10°
7
B
φ + θ + δ = 360°
A
x = 130°
Resolución
B
D
FCD: x + 160° = 180° + 110°
Rpta. B
3
160°
F
FCD: FD > CD φ < 66°
u
F
E
∴ x + y + z + w + u + v = 360° Rpta. C 64°
Resolución
65°
66°
4
entero
∴ φ entero = 65° x
x + 65° = 180°
∴
β
84°
A
En el
En (1):
C
φ
Resolución
D
BCD:
B
8
φ E
En el
Rpta. A
F
BCF:
84° + α + φ = 180° ........... (I) En el
5
ECD: x + α + φ = 180° ..........(II)
B x
D
φ
3(180° – x) = 264°
Resolución
α
φ
2φ
A
Reemplazando (I) en (II): x = 92°
C
84°
ABD: 3(φ + β) = 180° + 84° ...... (II)
∴
Rpta. C
α
φ + β = 180° – x .......... (I) En el
x = 115°
2β
x
B 2φ
126° = x + 2x
C
Igualando (I) y (II):
∴ x = 84° Rpta. D
x
Resolución 126°
2x
x
A
∴
α + φ = 110° ............. (I)
B
D
φ + α + φ = 180° ....... (II)
α
x = 42
Rpta. B φ
A - 47 -
9
φ
Reemplazando (I) en (II):
C φ + 110°=180° ⇒ φ = 70°
Luego:
Resolución
φ + φ = 2φ = 2.70°
∴
14
B
2φ = 140° Rpta. B
Resolución
a N
10
a
B
2x + 3y – 17 = 6 2x+3y−17 A
6
∴ Resolución
α A
C 28° =
3 α 5α + = 180° ⇒ α = 36° 2 2
m
⇒ m
A + 56° + m
C = 124 ° + C = 16 °
2m
A = 140°
m
A = 70°
Resolución
1
B x
x
φ
D
75°
30°
60°
A
45°
x + 60° + 75° = 180°
C φ + x = 180°
B 3x + x = 180° 90° + 2 x = 36°
Resolución
13
30° 45°
C
Resolución
β M
E 70°
En el
C
x
N
y
α
20°
A
C
F
α+β = 75°
E
Q
75° + x = 180°
EBC.
∴
B
2
x
70°
∴ x = 45° Rpta. C
60°
A
Rpta. B
B
D
A
Rpta. E
NIVEL II
3x
∴
C = 180°
C = 180°
UVb g W
A +m A −m
∴
B = 56°
B+m
A+m
m
12 B
D
B 2
m
m m
5 ⋅ 36° − 36° 2 ∴ φ – α = 54° Rpta. D φ−α =
Resolución
E 28°
A
α + β + φ = 180°
C
15
3α
β= VWU 52α φ= 2
φ
Rpta. B
B
Rpta. E
α β φ = = 2 3 5
β
α+
Resolución
11
B
AC BN + =3 QC NC
∴
x=4 ; y=5
x+y =9 y−x
C
b
AC BN 2b a + = + QC NC b a
De (I) (II): x+y 4+5 = y−x 5−4
Q
b
2y – x = 6 .......... (II)
C
2y − x
A
2x + 3y = 23 ....... (I)
x + y = 70°
∴ x = 105° Rpta. B
Rpta. A
- 48 -
D
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
Resolución
3
B
B
7
m HBD =
m A − m c 70 = = 35 2 2
35°
E
34° + 60° = 60° + x + x
∴ x = 17° Rpta. D
34°
x
A
H
60°
D
60°+x
∴ x = 125°
60°
x
A
C
Resolución
Resolución B
4
φ + θ + w = 360°
C
D x = 90° + 35°
Rpta. D
8
B F
y
N
z φ
x
A
M u
E
C
φ
φ
α
A
x + y + z + u + w = 360°
∴ x + y + z + u + w = 360° Rpta. E
P
α+x
x
C
Q
Resolución
z
∴ x = 56°
ACB = 160°
2(180° – x) + 180° – y = 160°
Resolución
y = 380° – 2x
10
F
x + 380 – 2x + z = 360° z = x – 20°
∴ x = 90° Rpta E
D 90°+φ
φ
∴ 3z = 3x – 60° .............. (II)
C
E
Resolución
2y + 3z = 760° – 4x + 3x – 60° Rpta. D
φ
x
A
Sumando (I) y (II):
11
B
D x
6
E y
100° α α
B
φ
β β
A
φ α α
C
100° = 140° φ = 90° + 2
8 α+φ
φ
8 H
x
F
φ = 90 + α + x ( ) + φ = 90 + β + y
C
2φ = 180° + α + β + x + y
14
El
Rpta. D
G
x + y + z = 360°
A
D
B
∴ 2y = 760° – 4x ............. (I)
∴ x + 2y + 3z = 700°
θ
236° = 180° + x
y
BAC + m
α+β
x
α + β + φ + θ = 180° + x
C
A
φ
x φ+θ
α
x
Resolución
C
β
A
2m
9
B
5
B
φ = 90° + α = 2x + α
∴ x = 45° Rpta. A
G
D W
Resolución
α
ABF es isósceles:
2φ = 180° + 180° – φ + x + y x + y = 3φ – 360° = 3.140° – 360°
AF = AB = 8 Luego:
14 = 8 + x
∴ x=6
∴ x + y = 60°
Rpta. C - 49 -
Rpta. A
Resolución B
5φ = 90° +
E
F
x
5φ φ
NIVEL PREUNIVERSITARIO
12 φ ⇒ φ = 20° 2
Resolución C
5 ⋅ 20° + x = 180°
B
A
3
C
10 11
12 13 máximo mínimo
∴ x = 80° Rpta. D
Diferencia = 12 – 11
∴ Resolución
⇒ x > 10
x > 10
10
G
A
x < 10 + 3 ⇒ x < 13
x
5φ + x = 180°
D
1
Diferencia = 1
Rpta. A
13 Resolución
2
B
82° 90°+φ = 90°+ ⇒ φ = 41° 2
B
D
41° + x = 90°
∴
b b
°
C
x = 49°
60°
50°
Rpta. A
C
b EDC es isósceles
14
x + 50° = 80°
∴
C
2φ
B
φ
φ
Resolución
E
x = 30°
β
72° A
Rpta. D
3 B
x
a
β
60° 2β
a
a
60°
60°
D
1 m C 2 1 72 ° x = 90° + 90° − 2 2
x = 90° +
∴
A
MNL
PQO
x = 117°
Rpta. C
7x
∴ x = 12° Resolución
C
7x
a D 60° + 7x = 12x
12x
Rpta. B
4
B
Resolución
80°
A El
Resolución
50°
b 10
F
A
D
x
60°
° 20
82°
φ + x = 90°
E
x
φ
E
En el
ABD: x =
φ 2
En el
DBC: y =
θ 2
15
B
E x
D
y
E
∴
76°
C
D = 90°+
76° 2
Resolución B
m D = 128° 64°+ x = 90°
∴ x = 26°
a β
Rpta. B
A
- 50 -
a
x + y = 90°
Rpta. C
5 Perímetro = a + e + b
α
β
φ + θ 180° = 2 2
x+y=
F
64°
A
m
C
D
x
64°
θ
φ
A
E αb
β
D
β α
e 32
α
F
b
C
Cuarto Año de Secundaria
∴ Perímetro = 32
Rpta. D
Resolución
10
E x
B
Resolución
6
a
B
C a
a
E
a
x
60°
a
A
A
C
B+2⋅m
A+m
m
C = 260°
a
D
x = 45° + 60° + 15°
C = 80°
m
∴ x = 120° Rpta. C Resolución
∴ x = 40°
7
Rpta. A
C x 3x
Resolución
φ
E
E
UVb g W
2 φ + β + 3 x = 180° + 2 θ + β + x = 180° 2(φ + θ + β) + 4x = 360° ...... (II)
2φ α+φ 2 A D
φ
A
5
En el
x=5+2
x = 20°
Rpta. A 5
Resolución B
x
F
x=
φ+θ 2
D θ θ
x
C
E
∴ Resolución
x = 36°
12
x 2
F
H x
Resolución
Rpta.
13 x
T
A En el
z+w u+v
v
x=4
C
θ
u
a
° x+6 x+6°
6°
a
F isósceles ABF. x + 6° < 90°
A
D
D
B
a
E
C 8
∴
R z
2β
E
5
2
Rpta. B
2β+α
2α 2α+β
9
w
B
x=
90° −
A
x+y y x
x + 8 = 12
α
ββ α
8
φ φ
P
12
B
∴
Q
C
∴ x = 7 Rpta. D Resolución
2(7x) + 4x = 360°
φ
isósceles EBD.
Reemplazando (I) en (II)
φ
x
5
7x = θ + φ + β ....................... (I)
C
φ α α
x
7x
θ
A
11 B
φ
B
D
θ
β
x < 84°
UVb g W
φ + θ = 90° + x + y + z + w + u + v = 360°
83°
∴ x+y+z+w+u+v+φ+θ = 450° Rpta. C
84° máximo entero
∴ - 51 -
x = 83°
Rpta. D
E
Resolución
E
14 40°
Resolución
2
E
20°
G
a
b a
60° 70°
a
A
x
60°
40°
α
a
20°
a
D 70° = 60° + x ∴ x = 10° Rpta. B
El
BFC es isósceles:
∴
FC = 4
Resolución Resolución
Rpta. D
3
15
B
B
ACB ≅
α
2x
ADE ........ caso ALA AC = DE = 3
10
D x
β
x A
90°−x
3 β
α
2x 2
m
D = 90° +
m
D = 90° + x
10 = 3 + x
3
Resolución
90°−x
E
BC = AD
D
Cx
C
A
2y + 2 = 3y – 1 x−y
y
y=3
2
x – y = y2
2y+2
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Resolución
α
1
α
H En el ADC:
AHB:
C
a
AB BC BM + + = BM AB AB a 2a a + + a a a a C
D
∴
φ + θ = 90° .......... (I) φ φ
AB BC BM + + =4 BM AB AB
Resolución B α
D = 180° .......... (2)
El
56°
x = 2(α + β) x = 2 (56°)
D = 90°
ABC es isósceles:
Rpta. C
6
De (I) y (2):
∴ m
Rpta. A
5
M
A
En el
φ+θ+m
∴ x = 12
a
B
θ
3y−1
B
NIVEL I
A
x – 3 = 32
E
Páginas: (188)
6
B
A
∴ x = 30° Rpta. C
φ
E
F
180°– 90° = 3x
Resolución
∴ x = 7 Rpta. A
4
2(90°– x) = 90° + x
D
D
a
C
BGD ....... caso LAL C=m B=α
m
C
φ
α
a
B
AEC ≅
a 70°
A
φ
B
b
F 4
o
α
x
A
∴
AC = BC
∴ AC = 6 Rpta. C - 52 -
β
C
x = 112°
Rpta. D
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
Resolución
7
12
B
B P
AHM ≅ HFC .... caso ALA
4
M
x
4
A
A
Q
F
φ
φ
7x + 2x = 180°
C
∴ x = 20° Rpta. A
∴ AB = 8
Rpta. B
Resolución
8
N α
8
α α
N
A
E
∴ MN = 4
∴
3x + 2x = 90°
N
α
2α
F
α = 18°
x
x
3x
d
2α + 3α = 90°
3α 3α
Resolución
14
d
α
∴
Rpta. C
B
9
H
7
3x
B
A
MN = 6
Resolución
Rpta. C
α
C 12 MN = 2
5
C
FE = FB = 8 8 AEF: MN = 2
Resolución
M
7
8
M
En el
13
B
F
A
C
2b 3b
4
B
R
b
b
H
Resolución
b 2x
7x
x
AM = HC = 4
2x
F
d
A
M d
x
C
∴ x = 18°
C
Rpta. A
Resolución
Rpta. E
15
B
10
∴
BC =5 2
°
EL
45
BDC: DN =
22°
6 2
MDN es de 45° y 45°
MD = 5 2 Rpta. C
12 2 =6 2 26 2 BH = 2 2
BM =
30´
22°30´
45°
A
H
M
C
12 2
∴
BH = 6
Rpta. B NIVEL II
Resolución
Resolución
11
12
A
D
12 =6 2 El MQN es de 37° y 53°
B
MQ =
M
1
φ
B β
α
4 Q
N
C
∴
C
-9 2x
MN = 10
Rpta. B
A
- 53 -
5
3 α
3
7−3y
β
E
φ
ABC ≅ CDE ....... caso ALA 4 = 7 – 3y ⇒ y = 1
Resolución B
2x – 9 = 5 ⇒ x = 7 x+y=8
Resolución
Sea NQ la base media
M
x+y=1+7
∴
Q
Rpta. B
2
A El
B
α
α α
β
ABC 18 QN = =9 2
C 18 QMN es isósceles:
∴ MN = QN = 9
F
Resolución
x
del
N
α β 6
A
6
7
α
11
B C
6
8°
H
AHB ≅
37°
A
BH = CF
x
45° 3
E
6 + x = 11
∴ x=5 Resolución
k1 =
x
C
H
D
∴
x=3
⇒
k1 = 4
4k1 = x + 4k
4⋅4=x+4⋅3
∴ x=4 Resolución
F
4⋅3 3
Luego:
x+5=8
8
Resolución
Rpta. A
8
Rpta. B
B Q
4
60° 30
B φ
x 2φ
Resolución
A
A
C
x 12
∴
3φ
60°
φ
2φ
4
12
N 4
H 4 D
B
12 °
12 = 4 + x
x
A
4k 3
4 k = 3k1 ⇒ k1 = J
α
C
4k = 3k + 3 ⇒ k = 3
3
5
α
53°
D 3k 4k
4k1
Rpta.
B
x
8°
BFC .............. caso ALA AH = BF = 6
A
Rpta. C
x=8
5 20 = 12 + x
12 2φ
F
20
∴
x
2φ φ
φ
∴ x=8
8
C
Rpta. E
- 54 -
M
MN =
8 3 ⇒ 2
CN =
8 =4 2
NQ =
12 3 ⇒ 2
Rpta. D
60°
30°
C
8
MN = 4 3
NQ = 6 3
MN + NQ = 10 3
Rpta. D
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
9
Por mediatriz: 55° = 35° + x
D C 18
x
B
48°
30°
x = 20°
Resolución
12°
72°
A
∴
48°
14
P
B
6
18°
M
∴ x=9 Resolución
ANC ......... caso ALA BQ = 6
PBM ≅
B
AMC .......... caso ALA
ABD: α + x = 32°+ α
PB = 6
∴ A
α+x
∴ x = 32°
PQ = 12
Resolución
E
C
D
Rpta. B
B
11
4−x
B
6
5
MN = 2(FH) = 4
α
α
A
5
H
3
x
N
3
E
∴
x=2
Rpta. D
NIVEL PREUNIVERSITARIO
C
3
Resolución
∴ x = 53° Rpta. E
1
B
3φ
Resolución
C
H
4
2
A
6+x
φ
M F
FDB: x = 4 – x
D
φ x
F
Rpta. B
15
φ
Resolución
C
6
10
αα x
32°
N β
BNQ ≅
12
D
B
E
x 5φ−x
35°
4φ
x x
15
A
C
°
7
7 35°
A
En C: 4φ + 2x = 180° 4φ = 180° – 2x ......... (I)
70° 55°
70°
M
C
D
AC BM = 7 = 2
∴ Resolución
L
α α
A
Rpta. C
Q
6
β
E
18 AEC: x = 2
Rpta. C
AC = 14
DBC: 8φ – x = 180° + x 2. 4φ – 2x = 180° ......... (II) Reemplazando (I) en (II).
Rpta. A
2(180° – 2x) – 2x = 180° 180° = 6x
13
∴
x = 30°
Rpta. A
B
Resolución
2
55°
B
En A: x < 30° ............ (I)
F
AED: ED > AE x > 27° ......... (II)
60°
A
55°
35°
H F
x
C
30°
A
- 55 -
x
E
K
C
27°
D
De (I) y (II):
MBC: NQ = x =
MB 2
MB = 2x 29°
27° 28°
30°
AHB:
mayor menor
∴
Suma = 57°
Resolución
Rpta. C
∴
x=3
Rpta. A
3 Resolución
B x
por ser HM =
2a
x
2x
a
H
Resolución
ABE es isósceles: BF = FE
D F
A
2x = 60° x = 30°
El 2
α
3a
∴
B
BM . 2
C
2a
M
a
7
BHM es de 30° y 60°,
El
30°
A
4x 3 2
6 3=
Suma = 28° + 29°
H
En el
Rpta. D
2 α
BHE: HF =
4 4 DBC : FM = = 2 2
C
E
∴
BE 4 = 2 2
HF = 2
Resolución
Rpta. B
8
B φ
Resolución
A
φ
E
M 6 β
8
∴ AD = a + b Rpta. E
β
α
C
N
F
C
EDB isósceles: ED = BD = b
α
L
A
D
b
ABE isósceles: AE = BE = a
Como α + β = 90°
D
β
2φ
E
EBC isósceles: BE = BC = a
B 12
b
2φ
a
5
α
a
a
AC 12 = FM 2 AC = 6 Rpta. B FM
∴
2φ
Resolución
9
16
B
Entonces: m MDN = 90° MDN:
∴ Resolución
MN = 10
8x
E 8x
Rpta. E
6
A B
2x
M
φ
N Q
30°
6 3
2x
H
x
D
6 3
AED ≅ m
2x
C
isósceles EBD. DBC ....... caso LAL
A = m C = 2x ABC: 18x = 180°
∴ - 56 -
2x
6x
Se construye el
60° 60°
2x
A
2x
6x
x = 10°
Rpta. C
C
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
PMQ ≅
10
QNR ........ caso LAL PQ = RQ = 12
M
2
F
Por bisectriz:
2
A
PQM = m
QRN = β
m
QPM = m
NQR = φ
PMQ: β + α + 90° + φ = 180°
2+x=6
6
m
β + α + φ = 90°
P x
∴ m
N
x
Q
El
B
∴ Resolución
x=4
PQR = 90°
PQR es isósceles.
∴ PR = 12 2 Rpta. A
Rpta. D
Resolución
11
14
B
B
3
30°
E
2
1
a
1
60° 45°
E
45°
A
x
e
C
2
3 +1 2
j
2
x x
1
BFC ≅
A
H
C
3
ADC .......... caso LAL BE = CD = 2 ADC ........... caso LAL BF = AD = 2
Entonces:
∴ BE + BF = 2+ 2
D
120°
° 30°
a
B E
30
C
Resolución
AED ≅ DCB ..... caso LAL m EAD = m DBC = x
B
Rpta. D
15 2
En el
A
Pero: 6
∴ x = 10° Rpta. B x
φ
A
60°
C
R
∴
N c
a α
Q
φ
α
E = 60°
ODE: x + 60° = 90°
a
c M
c
2 2 ⋅ 3 2
2
x
m
a
α
D
ACE:
Entonces es de 30° y 60°
c
12
x
O
13 B
P
6=
2
120° = x + 2x + 90°
Resolución
°
A
12
x
1
Rpta. E
2
2
45°
AEB ≅ Resolución
a
45° 60°
2
45°
x+ 2 = 6 + 2
∴ x= 6
° 15
30
x+ 2 =
D
F 2
D
2
12 a
C
- 57 -
x = 30°
Rpta. D
CAPÍTULO 7 POLÍGONOS (Pág. 206) NIVEL I Resolución
Resolución
1
b
110° + 130° + 100° + 4x = 180° (7 – 2)
g
11 11− 3 ND = 2 ∴ ND = 44 Rpta. D
Resolución
∴
m
e= m
Resolución
∴
Rpta. B
∴
b
e
Resolución
g
180° n − 2 360° = 3⋅ n n
Resolución
n=8
∴ Resolución
Resolución
360° ⇒ n=5 n 5 5−3 ND = 2 ∴ ND = 5 Rpta. E
b
Suma
s
Resolución
b
n = 140 14
b
g
exteriores
n = 14
b
b
g
g
n n−3 = n – 2 ⇒ n2 – 5n + 4 = 0 2
∴ s
Rpta. E
n n−3 180° n − 2 = 2 180°
Resolución
180° (n – 2) = 6 ⋅ 360°
Resolución
13
∴
g
interiores = 6 ⋅ suma
Rpta. B
300° + 3x = 720°
7
∴
n=4
100° + 100° + 100° + x + x + x = 180° (6 – 2)
c = 72°=
Resolución
12
∴
Rpta. C
6
m
Rpta. E
n–2=2
360° e= 9 e = 40° Rpta. B
m
n = 25
180° (n – 2) + 360° = 720°
5 m
g
b g
Rpta. E
i=3⋅m
∴
11
b
4
m
Rpta. C
n n−3 = 275 2 n n − 3 = 22 ⋅ 25
g
n = 17
g
n = 10
Resolución
n n−3 = 7n 2
Resolución
10
b
e = 30°
b
Rpta. B
180° n − 2 = 144° n
360° 12
3
∴
x = 140°
Resolución
2
∴
9
n=4
15
NDP = nk −
Rpta. C
Rpta. B
bk + 1gbk + 2g 2
b4 + 1gb4 + 2g 29 = n ⋅ 4 – 2 29 = 4n – 15
8
g
n n−3 + n + n = 9n 2 ∴ n = 17 Rpta. B
∴
- 58 -
n = 11
Rpta. B
Cuarto Año de Secundaria
NIVEL II Resolución
m
1
El
180°(n – 2) = 1080° ⇒ n = 8
b
8 8−3 2
ND =
∴ Resolución
ND = 20
AMD es equilátero AD = AM
g
∴
AD = 10
Resolución
8
n – 3 = 64
∴ n = 67 Rpta. D
∴ Resolución
3
320° + 2x = 180° (5 – 2)
Suma
x = 110°
9
s ints = 180° (10 – 2)
Resolución
s
∴ Suma Resolución
Rpta. A
E F
C 45°
ints = 180° (10 – 2) s ints
= 1440°
B
Rpta. D
G 45°
45°
45°
M
A
N
H
360° = 45° 8 MNC: x + 45° = 90° e=
m α
α
φ
∴
φ
β
Resolución
∴ a + b + f = 360°
b
NDP = n ⋅ K – 3n = n ⋅ 4 –
x = 45°
Rpta. A
11
g
180° n − 2 360° = 3⋅ ⇒ n=8 n n
Rpta. D
6
∴
= 1440°
D
g
5
Resolución
s ints
10
n n−3 − n = 25 2 n(n – 5) = 50 ⇒ n = 10 Suma
Rpta. C
Rpta. D
4
b
g
n = 30
∴ Suma
2x = 220°
Resolución
b
n n−3 = 435 2 n(n – 1) = 870
n+
∴
Rpta. E
Rpta. C
2
Resolución
360° = 60° 6
e=
b
bk + 1gbk + 2g
∴
2
g
8 8−3 2 ND = 20 Rpta. C
ND =
b4 + 1gb4 + 2g
n = 15
Resolución
2 Rpta. E
12 C
Q
D
120°
Resolución
7
B
C
6
M 60°
6
4
D
120°
E
N
M
60° 60°
x
F
A
6
E
B
m
4
A
F
- 59 -
interior =
b
g
180° 6 − 2 = 120° 6
Pero: 90°+ 120°+ 120°+ 90°+ x = 180° (5 – 2) 420° + x = 540°
Reemplazando (2) en (1):
∴ x = 120° Rpta. E Resolución
b6 + 1gb6 + 2g
74 = n ⋅ 6 –
3 ⋅8 4
En (2):
m=
Luego:
n–m=8–6
2 74 = 6n – 28
Resolución
n = 17
∴ m=6
Rpta. B
∴
14
b
g
n n−3 = n + 18 2 n (n – 5) = 36
n–m=2
Resolución
D
M
1
∴
b
i = 135°
m
Resolución
g
b
180° n − 2 180° 8 − 2 = n 8
Los catetos del mide 10.
∴
b
g
180° n − 2 360° + 8 ⋅ = 1440° ⇒ n = 8 n m
∴ m Resolución
b
e=
5
b
g
Luego: Suma
s
ints = 180° (20 – 2)
∴ Suma
Resolución
s
ints = 3240°
Rpta. C
6
b
g
b
g
n n − 3 180° n − 2 = 119 − 2 180°
g
n n−3 m m−3 − = 11 2 2 n(n – 3) – m(m – 3) = 22 ........ (1) 360° n = 3 ⇒ m= 3 360° 4 n 4 m 3 m= n ........................... (2) 4
b
g
∴ n = 20
3
g b
Rpta. E
180° n − 2 − 2 180° n − 2 − 2° = n n−2 n2 – 2n – 360 = 0
g
360° 8
e = 45°
H
AMC miden 6 y 8, entonces la hipotenusa
AC = 10
Resolución
Rpta. A
2
A
6 2 ⋅ 2 2 AM = MB = 6
∴
g
i=
6
AMB isósceles:
= 1260° Rpta. B
n n−3 + 2n = 36 ⇒ n2 + n = 72 2 ∴ n=8 Luego: m
2
b
45°
AM = MB =
NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución
G
6 45°
interiores = 180°(9 – 2)
s interiores
6
B
2 6n – 6 = 2n2 – 8n – n2 + 5n – 6 ⇒ n = 9
∴ Suma
F
2
15
s
E
C
bn − 4 + 1gbn − 4 + 2g 3n – 3 = n ⋅ (n – 4) – Suma
Rpta. B
4
∴ n = 9 Rpta. A Resolución
IJ K
∴ n=8
13
∴
FG H
3 3 n n − 3 = 22 4 4 7n2 – 12n – 352 = 0
n(n – 3) –
n2 – 5n – 234 = 0
∴ Luego: N = D
∴
- 60 -
n = 18
b
18 18 − 3 2
g
ND = 135
Rpta. B
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
Resolución
7
10
360° 360° − = 12° n n +1 30(n + 1) – 30n = n(n+1)
n(n – 3) + m(m – 3) = 178 ........... (1)
n(n – 1) = 30
180° (n – 2) + 180° (m – 2) = 3240°
∴ n=5
n – 2 + m – 2 = 18
Los números de lados de los polígonos son 5 y 6.
m = 22 – n ............................ (2)
∴
Reemplazando (2) en (1):
N° de lados de mayor exterior es 5
Rpta. C
n(n – 3) + (22 – n) (22 – n – 3) = 178 Resolución
n2 – 22n + 120 = 0
∴ n = 12 ∧ n = 10 En (2):
∴
11
b
mayor número de lados es 12
g
n n−3 = n + 33 2 n2 – 3n = 2n + 66
m = 10 ∧ m = 12 Rpta. D
n(n – 5) = 66
Resolución
b
∴
8
g
b
g
180° n − 2 180° m − 2 – 30° = ........ (1) n m 360° 1 m = 180° m − 2 2 m
b
En (1):
g
b
⇒
D
b
C
g
R
150°
A
b
g
180° 12 − 2 = 150° 12 90°+ 150°+ 150°+ 150°+ 90°+ x = 180° (6 – 2) interior =
630° + x = 720°
Rpta. A
∴ Resolución
150°
B
m
g
ND = 54
E
x
∴ n = 12
∴
12
m=6
g
b
Rpta. A
150°
180° n − 2 180° 6 − 2 = 30° + n 6
12 12 − 3 Luego: ND 2
Resolución
n = 11
x = 90°
Rpta. C
9
C
R 60° 3 3
60°
6
B
D
φ α
30° β
α
β
M
Resolución
N φ
x
13
ANM: AM = 2x C
E 8
Q
D
30°
AMF: 2x =
m
8
g
180° 6 − 2 = 120° interior = 6
A
6 3=3 3 2 MRD ........... caso ALA
CRM: MR = MQE ≅
∴
x= 3 3
N
x
30 ° 30 °
b
E
B
F
A
∴
Rpta. B
- 61 -
M 2x 60°
30°
8
F
x=2
Rpta. B
8 2
Resolución
b
n−2 n n−3 − 15 = 2
b
Resolución
14
g
g bn − 2 g − 3
m
360° central = 10
m
central = 36°
∴
LM 360° OP2 = 9 ⋅ 180° bn − 2g n N n Q
⇒ n = 10
2
15
n2 – 2n – 80 = 0 ⇒ n = 10
b
Luego: ND = 10 10 − 3 2
Rpta. E
∴
g
ND = 35
Rpta. A
CAPÍTULO 8 CUADRILÁTEROS (Pág. 221) NIVEL I Resolución
Resolución
3
1
C
B
B
E x
α α
x
C
80°
O
110°
H
θ θ
A
140°
D
A
D OHB: 140° = 90° + x
AED: x = 180° – (α + θ) ........ (1)
∴
x = 50°
Rpta. D
Pero: 2α + 80° + 110° + 2θ = 360°
Resolución
α + θ = 85° ......... (2)
4 B
(2) en (1): x = 180° – 85°
∴
x = 95°
8
Rpta. D
F
8 α
φ
10
α α
C φ φ
10
A
Resolución
2
ABF es isósceles: AB = BF = 8 B
FCD es isósceles: FC = CD = 10
C
80°
γ
γ
x φ
70°
A
φ
∴
BC = 18
Rpta. C
F
Resolución
5
D
B
x
C
CFD: x = 180° – (γ + φ) .......... (1) pero: 2γ + 2φ = 70° + 80°
P
γ + φ = 75° En (1):
A
a
x = 180° – 75°
∴
Por propiedad:
x = 105°
Rpta. A
a−x 2 16 = a – x ........ (1) 8=
- 62 -
8
Q D
D
Cuarto Año de Secundaria
90 = a + 2a + a + 2a ⇒ a = 15
Del dato: a + x = 60 ....... (2) De (1) y (2):
Mayor lado = 2a = 2 x 15
∴
x = 22
Resolución
Resolución 6 2 B
En el
2
C
4
B 10 53°
5
4
6 37° 8
A
D
H x
6 45°
M
HD = 3
AM = 8
x = 2 + HD = 2 + 3
CND es de 45° CN = ND = 6
Entonces:
Resolución
x=5
∴
Rpta. B
AD = 18
Resolución
7 B
Rpta. A
11 B
C
α
α
φ φ
6 2a
El
α
A
x A
H
a
D
a
6
B
D
6
MCD isósceles: CD = DM = 6
∴
AD = 12
a
Rpta. B
C
C a
10
A
A
a
a
x a
D
a
E
D
Por propiedad:
2a
Se traza BE / / CD
BC + AD 2 BC + AD = 20
BE = CD = a
10 =
BC = ED = a
+ CD + AD Perímetro = AB + BC
B 18
B 20
∴ Perímetro = 38 Resolución
6
φ M
Resolución 12 B
8
C
ABM isósceles: AB = AM = 6
AB AHB es de 30° y 60°, por ser AH = 2 ∴ x = 60°
Resolución
D
N 6
4
AMB es de 37° y 53° BM = 6
CHD:
∴
Rpta. C
10
C
4 A
∴ Mayor lado = 30
Rpta. C
El
ABE es equilátero:
∴ Resolución
x = 60°
Rpta. D
13
Rpta. D
9 80 = a + 3a + a + 3a ⇒ a = 10 Mayor lado = 3a = 3 ⋅ 10
∴ Mayor lado = 30
- 63 -
Rpta. B
Resolución
14
Resolución
3
x 4 = y 5
⇒ y=
4
5x 4
A
Resolución
45°
∴ AD = 14 Rpta. C
Rpta. A
Resolución
4 2
B
15 6
B
30°
8
30°
6
E
4
M
8
8 75°
D
A
80°
BC = ED = 6
80° 20° 6
2+6 ⇒ MN = 4 2
MN =
MNE isósceles: NE = MN
ABE isósceles: BE = EA = 8
∴ Rpta. C
Resolución
β
5
13
β
5
B
O
E
M
D
8
B
∴ Resolución C
F
4
C
B D
Rpta. D
6
D
A
x
8 4 8
E
4
4 + 10 2 x = 7 Rpta. C
Trapecio AFCD: x =
∴
x = 120°
8
x 10
FMD = 80°
4
6 α α
CBD = m
OFM: x + 80° = 180° + 20°
Rpta. D
α
D
BE // FC ⇒ m
2 6
80°
A
13 + 8 2
FM = 10, 5
Resolución
°
C
M
Trapecio BCDE: FM =
A
20
x
ABE isósceles AB = AE = 5
∴
F
80°
β
A
Rpta. D
E
C
F
α α
NE = 4 5
NIVEL II Resolución 1 B
D
E
BE = CD = 8
AD = 14
N
20°
80°
Se traza BE // CD
∴
C
C
75°
A
D
N 4
6
AD = 4 + 6 + 4
5x =180° x+ 4 x = 80°
4
45° 4 M
Pero: x + y = 180°
∴
C
6
B
4 4
F
ACDF ≅
4 8
ABHG:
AB = AF = 4
- 64 -
H
G
Cuarto Año de Secundaria
AC = AG = 12
Resolución
10 B
DEH isósceles
∴ x= 8 2 Resolución
7
Rpta. B
a
C
F
a x
D
60°
12 = 2x
∴
A ADE isósceles 50° = x + x
Resolución
Rpta. E
7
C 53°
E
x
α 5
Resolución
M
α
3
D
ABD es isósceles AD = BD
∴
AD = 5
Resolución
Rpta. D
12 B
8 α
F
a
C
8 α
x + 45° = 53°
∴ x = 8°
3
BD = 5
C
A = m
m
C
α
4
DMB es de 3; 4 y 5, entonces:
ALE isósceles m EAL = 45°
Pero:
11
5
El
3 53° 45° 37° D 3 4 L ELD es de 37° y 53° DL = 4 LE = 3
A
Rpta. B
α
A
5
5
x=6
B 6
Resolución 8 B
D
FCD equilátero FD = CD = x
E
Entonces:
x = 25°
60°
x
F 12 CF // AB
Sea
a x
∴
x
x
a
a
50°
60°
x
60°
A
a
a
C
x
50°
B
x
x α
A
Rpta. B
8+a
D ABF isósceles
9 AB = BF = 8 b
B M
C
Q
P
A
∴
⇒ a =5 b
8+a−a 2
x=
N
∴ D
a
MN 3 = PQ 2
En el trapecio AFCD
Resolución
a+b 2 =3 a−b 2 2
B
x=4
Rpta. B
13 4
C
82° 14
Rpta. E
A
82°
14
16°
16°
M
14
x
Sea BM // CD BC = MD = 4 BM = CD = 14 - 65 -
4
D
ABM isósceles: BM = MA = 14
∴
x = 18
Resolución
a
Rpta. E
a Resolución
2
a a
B
a
A
a
14
a
C
a
a
Perímetro A + 2 ⋅ Perímetro B 4 a + 2 ⋅ 3 a = Perímetro C − Perímetro B 4 a − 3a
4a
= 10 Resolución
16a + 4a = 80 ⇒ a = 4
Rpta. D
3 a
B
C
Entonces: x perímetro del cuadrado x = 16a = 16 ⋅ 4
∴
x = 64
M
10
8
Rpta. E A
Resolución
10
N
x
a
D
b
E
15 Sea CE // BD
b
BC = DE = a BD = CE = 10 En el
b a
a + b < 18
a−b 2 2b = a – b b 1 = a 3
a + b 17 = = 8, 5 2 2 ∴ x=8 Rpta. D
x= Rpta. B
Resolución
10
4
B
1
M2
α
a
B
10
E x
G b
10
a
C
β α
β2 E
10
C
8
A
a D
α
A
18 maximo
En el trapecio:
NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución
17
a + b = 17
b=
∴
ACE:
a + b < 8 + 10
8
a F x H b D 100 = 20 + 2x + 2a + 2b 40 = x + a + b
F CMD ..... Caso ALA
AEB ≅
AE = MC = 2
a + b = 40 – x .................... (1)
∴
78 = 20 + 2a + 2x
AC = 12
Rpta. A
a = 29 – x ........................... (2) 84 = 20 + 2b + 2x
Resolución
b = 32 – x ........................... (3)
B
(2) y (3) en (1): 29 – x + 32 – x = 40 – x
∴
x = 21
5
6
Rpta. C
a
A
- 66 -
m F
H
C a
O
2a
2m
L
D
Cuarto Año de Secundaria
OL ⇒ OL = 2m 2 6+m ⇒ m=2 BHD: 2m = 2 BH = 6 + m = 6 + 2
Resolución
ALO: m =
∴
BH = 8
Resolución
9
B M 10
C
P
Rpta. C
7
A
6
x
F
B
α
A
C1
L
Trapecio B1BCC1: MN =
3
α
N
10 + 4 =7 2 7 ANM: PQ = 2
C
3
Q B1
4
∴
D
PQ = 3,5
Rpta. D
x+3=7
∴ Resolución
x=4
Resolución
N
C 5
3
Q
M 5
A
10
3
D
R
Se traza la mediana NQ del trapecio ABCD.
6 NM = QR = =3 2
BN = AN = 14 AFN isósceles. AF = AN
10 MR = NQ = =5 2 Perímetro = 3 + 5 + 3 + 5
∴ Resolución
10
7
B 6
Rpta. A
Perímetro = 16
∴ Rpta. C
Resolución
AF = 14
11 a
B
8
Rpta. C
5
α
Ex
β
9 A
C
M
5+x
β α
a
D
BMC ≅
a
DMF ........ Caso ALA BM = MF = 5 + x BC = DF = a
ABC: isosceles
∴
DE es mediatriz de AF
9=x+5+x x = 80°
∴
Rpta. B
- 67 -
x=2
Rpta. B
F
Resolución
12 7
B
C
45°
45°
Resolución
M
16
45°
45°
5
x
P
5
Q
45° 45°
A
2
E
3
4 3
B
F
D
2
EDC: CD = DE = 5 7−3 2 Rpta. A
Trapecio EBCF: x =
Resolución
x=2
4 3
8 60°
23° 23°
BMC es de 45° BC = 4 3 ⋅
13 B 3 P 3
C
22° 37°
N D DNC es de 30° y 60° 8 3 =4 3 CN = 2 Pero: CN = CM = 4 3 A
FAB: AB = AF = 5
∴
45°
C
∴ BC = 4 6
2 Rpta. B
x A
α α 3 E
β 4
β
4
Q
α + β = 90° ⇒ m
F 3
E
Resolución
EPF = 90°
EF 8 = EPF: x = 2 2
En el
∴ x=4 Resolución
Rpta. C
U | | 2 Vb+g BB1 + DD1 | OO1 = 2 W|
14 B
OO1 =
C
2x
F
8
E
8 8
60°
P
A
Q
x
15° 15° 15°
OO1 =
8 45°
8
D
∴
AEB es equilátero: 2x = 8
∴ Resolución
x=4
Rpta. D
15
3x = 12 2 ⋅ 2
∴ x=8
AA 1 + CC1
AA1 + BB1 + CC1 + DD1 4 84 4
OO1 =
EBD, PQ es base media EB x= ⇒ EB = 2x 2 El
17
Rpta. A
- 68 -
OO1 = 21
Rpta. D
Cuarto Año de Secundaria
CAPÍTULO 9 CIRCUNFERENCIA (Pág. 249) NIVEL I Resolución
Resolución
5
1
AF = p – BC
6 = AB + 2
∴
52 AF = – 16 2
∴
AF = 10
Resolución
Resolución
Rpta. A
Rpta. D
6 Poncelet:
2
14
AB + AC = 6 + 2 ⋅ 2
A
x
F
6
C
AB = 4
x
–
3
–
–
3 –
6
D
B
∴
14 = 6 + x
∴ Resolución
x=8
Rpta. C
AB + AC = 10
Resolución
Rpta. E
7
3
Pitot: 2x+1 + 3x+2 = x+2 + 5x–1
∴ AB = AC = AD = 9
∴
AB = 9
Resolución
x=2 8
100°
B
Rpta. B
Rpta. B
C Resolución
82°
4
x
A
x+5
x
2x
x+6
D
E x=
4x + 2
Pilot:
m AE ⇒ m AE = 2 x 2
x + 5 + x + 6 = x + 4x + 2
82° =
9 = 3x
∴ x=3
∴
Rpta. C - 69 -
2 x + 100° 2
x = 32°
Rpta. D
Resolución
9
Resolución
13
24° =
Pero:
120° + 2x = 180°
∴ Resolución
x = 30°
m DF ⇒ m D F = 48° 2 x + 48° = 180°
∴
Rpta. B
10
Resolución
x = 132°
Rpta. B
14
130°
C x F φ
B
140° + x 20° +4 x = 2 2
φ=
D 70°
A 130° 70° + x φ= = 2 2
140° + x = 20° + 4x
∴ Resolución
x = 40°
Rpta. E
∴ x = 60°
11
x − m DB 2 x + m DB 80 °= 2 30 ° =
∴
110° = x
Resolución
U| V|b+g |W
Rpta. C
15
AB // CD ⇒ m AC = m BD = x x + 80° 70° = 2 x = 60° Rpta. C ∴
Rpta. C
NIVEL II
Resolución
12 Resolución
1
82° = m AB x=
E
82 ° 2
m B m
c
∴
e x = 41°
Rpta. D
- 70 -
A
b
F n C n
Cuarto Año de Secundaria
Perímetro ABF c + m + e ........... (1) = Perímetro AFC b + n + e Pero: c+m=b+n
Pitot:
AB + 6 = BC + AD AB + 6 = 14 ⇒ AB = 8 AMO es de 30° y 60° AO = 2r
En (1): Perímetro ABF b + n + e = Perímetro AFC b + n + e Perímetro ABF =1 Perímetro AFC
∴
Resolución
2
Entonces: Rpta. B
e 3 + 1j r = 4 e 3 − 1j 8=r
B
12 D
2r 3 =r 3 2 AB = r + r 3
AM =
∴
Resolución 5 A
E 13
Rpta. C
6
B
C
A
AD = p – BC =
4
C
F 15
x
FG 12 + 13 + 15 IJ − 13 H 2 K
6 = EM + x ⇒ EM = 6 – x ME = MC
FG 12 + 13 + 15 IJ − 15 H 2 K
6–x=x+4
∴ BE = 5 CF =
∴
FG 12 + 13 + 15 IJ − 12 H 2 K
Resolución
x=1
Resolución
3
B
Rpta. D
5
F
B
AD ⋅ BE ⋅ CF = 7 ⋅ 5 ⋅ 8 AD ⋅ BE ⋅ CF = 280
Rpta. B
6
∴ CF = 8 ∴
Mx N
AB = EN
∴ AD = 7 BE =
6−x
E
D
C 5 G 13
E
8
10
6+a
A 10
C
H
8
D
3+a
∴
10 A
D x
Pitot:
Resolución
AD = 18
Rpta. C
7
3 + a + 10 = 6 + a + x
∴ x=7 Resolución
Rpta. A
4 3,5 – m + x + m = 8
∴
- 71 -
x = 4,5
Rpta. D
Resolución
8
Resolución
B
11
C 4x
A
∴
D
x = 65° Rpta. B
5x
E
F
m AF ⇒ m AF = 8 x 2
4x =
Resolución
m B CD 5x = ⇒ m B C D = 10 x 2
m A F + m B CD 90° = 2 90° =
∴
isósceles COD.
8 x + 10 x 2
x = 10°
12
x + x = 90°
∴
Rpta. B
Resolución Resolución
9
B
x = 45°
Rpta. C
13
C
40° 140°
42° = E 2x
40°
∴ x = 72° Rpta. A
x
A
156° −x 2
D
C = 40°
m
A=m
m
A + m BD =180°
Resolución
14
40° + m BD =180° ⇒ m BD =140° 40° =
∴
140° −2 x 2
x = 30°
Resolución
Rpta. D
10
C
160°
m
20°
B
O
x
E
A
FMB =
50° +20° = 35° 2
MNFB es inscriptible en una circunferencia.
∴ x = 35° Rpta. D
80°
D 80° =
m BC ⇒ m BC = 160° 2 160° −20° x= 2
∴
x = 70°
Resolución
15 D 80°
C
x
Rpta. E B
100° 100°
A
- 72 -
F
E
Cuarto Año de Secundaria
B=m
F = 100°
F+ m
D = 180°
m
m
D = 180° ⇒ m x + 80° = 180°
100° + m
∴
x = 100°
x = 90°–
D = 80°
De (1) y (2): x=y 2x + 3y 2x + 3x 5 = = x+y x+x 2
Rpta. D
∴
NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución
α .......... (2) 2
2x + 3y 5 = x+y 2
1
Resolución
Rpta. D
5
P
Pitot: 7K + a = K + a 3 6K = a
3 − 1 ........... (1)
e
j
El ángulo ex - inscrito en P es congruente con el inscrito que mide x. x + α = 25° + α
Poncelet: a + a 3 = 2a + 2r a
e
∴ x = 25°
3 − 1 = 2r ........... (2)
j
De (1) y (2):
6K = 2r
∴
r = 3K
Rpta. B Resolución
Resolución
Rpta. D
6
2
2α + 2β = 180°
4+2+x=3+1+8
α + β = 90°
∴ x = 6 Rpta. E
a + β + x = 180°
Pero:
90° + x = 180° Resolución
3
∴
x = 90°
Rpta. D
Poncelet 9 + 12 = 12 + 3 + 2x
∴
Resolución
7
x=3 Rpta. A
Resolución
4
α ....... (1) 2 También:
y = 90°–
ABC: 80° = x + 50°
∴
- 73 -
x = 30°
Rpta. A
Resolución
8
Resolución
11
53° = 37° + x
∴ x = 16° Rpta. D m MN = m PQ = 130° m
130° = 65° 2 65° + x = 90° N=
∴ Resolución
x = 25°
Resolución
12
b
B
Rpta. B
9
C
a
c P
3
Q
A
D
x x−b 3= 2 6=x–b ⇒ b=x–6 Pitot: a + c = b + x Perímetro = a + c + b + x = 40
;
Pitot:
B
12 + ED = x + x + m ......... (1) Poncelet:
Bx – 6 + 3x – 6 = 40
m + 12 = ED + 2 ⋅ 2 ........... (2) Sumando (1) y (2)
∴ Resolución
B
b + x + x – 6 + x = 40
4x = 52
x = 10
∴ x = 13
Rpta. B
Resolución
10
Rpta. D
13
B β
β α
α+β+x α
E
F
x
A
α β
D
C
2x + 50° = 180°
x = α + β ........ (1) Pero:
∴
2α + 2β + x = 180° ....... (2)
De (1) y (2): 3x = 180°
∴
x = 60°
Rpta. C
- 74 -
x = 65°
Rpta. A
Cuarto Año de Secundaria
CAPÍTULO 10 SEGMENTOS PROPORCIONALES Y SEMEJANZA (Pág. 277) NIVEL I Resolución
6 3 = ⇒ FG = 4 8 FG 6 3 = ⇒ GH = 1 2 GH
Thales:
1
A
D
3
12
B
E
L L1
C
L2
F
∴
DF = 32
FG – GH = 4 – 1 FG – GH = 3 Rpta. B
∴
3 12 = ⇒ a = 16 5 a+4
a + 4 = 20
5
Luego:
Thales:
Rpta. C
Resolución
5 B α α
Resolución
2
A
P
A
L
Thales :
27
24
Q
B
L1
24 27 9 = ⇒ a= 8 2a 2
2a = 9
8
R
C
Resolución
∴
PR = 36
3
Rpta. D
10 D Teorema de la bisectriz. AB 5 1 = = BC 10 2 AB 1 = Proporciones: AB + BC 1 + 2 AB 1 = 21 3
∴
A
M
6 −a
L
Resolución
AB = 7
N
3 = 1+a
B
L1
2
8 −a
C
Q
x
L2
6−a 6+a = 1+ a 8 − a
BC ⋅ MN = 24
Rpta. C
Resolución
E 3
B
F
8
G
L L1
A
L2
D H
Rpta. A
E
C
9
Por bisectriz:
12 9 + CE = 8 CE
12 ⋅ CE = 72 + 8 ⋅ CE ⇒ CE = 18 AC ⋅ CE = 9 ⋅ 18
2
L3
∴ - 75 -
C
φ φ 8
B
A
5
7
12
6
D
6
x 2 = 6 3
Por bisectriz:
4
C
3
∴ x=4
42 = 21a ⇒ a = 2 BC ⋅ MN = 3 ⋅ 8
Resolución
E
α α
A
48 – 6a – 8a + a2 = 6 + a + 6a + a2
∴
Rpta. A
6
6+a = 8
B
Thales:
L2
C
5
AC ⋅ CE = 162
Rpta. C
Resolución
Resolución
8
20
Por bisectriz:
φ
x
28 36 −
F A
75°
x
30°
15
β
x = 15
β
α 4
F
Rpta. E
6
E x
2
A m Por bisectriz
α4
C
m
M
A
9
B
x 4
Rpta. B
C
Resolución
15
B φ
12
Por bisectriz:
∴
D
∴
B
O
B
x
ACD ~
5
2α
10
A
E
α
A
8
1,5
M
x+1,5
x
φ
A
C
θ 3
8 x = 12 x + 3 8x + 24 = 12x x=6
DBC ~
C
D
1
ABC:
x 1 = 4 x
∴ x = 2 Rpta. D
Rpta. D
NIVEL II Resolución Resolución
1
11
B 4
D
8
9
E
A
M m
ABF ~
∴
FED: x=6
Rpta. A
14
α
2α
2 x = (1) = (2): 5 6
Resolución
x = 9,5
D
m x = ....... (2) n 6
x = 2,4
4 6 = 9 4+x
D
Resolución
∴
ACD:
16 + 4x = 54
∴
α
β
m 2 = ....... (1) ABM: n 5 MBC:
ABE ~
x
β 6
n
C
C
E
5
x −4
13
9
D
∴
3 5 = x − 4 15 x = 13 Rpta. D FCD:
x
Resolución Resolución B
FAB ~
5
3
A
∴
C
36
B
20 x = 28 36 − x
B 75°
D α
E φ
12
18 3 a = x a
n
x
C m
Thales: ABC:
m 9 = ....... (1) n 4
MDF:
m x+8 = ...... (2) n 8
Rpta. A
- 76 -
F
ADE: x=6
x 4 = 9 x Rpta. C
Cuarto Año de Secundaria
Thales:
9 x+8 = (1) = (2): 4 8 18 = x + 8
∴ Resolución
DI 2 = IF BC JG BC = AEG: JA 4 2 BC DI ⋅ JG = ⋅ Multiplicando: IF ⋅ JA BC 4 DI ⋅ JG 1 = = 0, 5 Rpta. A ∴ IF ⋅ JA 2 DBF:
x = 10
Rpta. B
2
C
D
L
E
B
L1
F
A
Resolución
5
L2
F
G
x
E AB EF AB AC = ⇒ = AC DF EF DF AB 16 2 = = EF 24 3
Thales:
A
∴
EF = 9
R
2R 3
O
B
∴ Resolución
x=4
Rpta. C
6
Rpta. D
B 3
3
4
D
E
B
x
2
A Por bisectriz
P
A
Q 4
8
x
D 3 R
4 DP = ....... (1) 8 PB 3 DP ....... (2) DBC: = x PB
ABD:
4 3 = 8 x
∴
C
AC 2 8 + 2x ......... (1) = ⇒ AC = 4+x 3 3 AC x 5 x ......... (2) = ⇒ AC = 5 4 4
C
Thales:
(1) = (2):
8 + 2x 5x = 3 4
(1) = (2):
32 + 8x = 15x x=6
Rpta. E
x=
∴ Resolución
Resolución
C
R 3
12 R = =3 R x 3
Thales:
EF − AB 3 − 2 = EF 3 3 1 = EF 3
Proporciones:
Resolución
12
32 7
Rpta. C
7
4
B
A
E
L
8
6
4
J
B
F G
C I
2
D
H
L1 L2
A
n
Por bisectriz:
D
0,5
M
n+0,5
6 n = ⇒ n=3 8 n +1 AC = 2n + 1 = 2 ⋅ 3 + 1
L3
∴ AC = 7 - 77 -
Rpta. B
C
Resolución
8
Resolución
2α B x 8 A
D
7−x
α α
2α
Resolución α 3
F
6
5
D
Resolución
C
α
E x
Resolución a F
Rpta. B
14
B
Rpta. D
68° 11°
x=4
3
∴
Rpta. B
101° 79°
11°
CHB ~
x a ABC: = 8 2a
DBE ~
Resolución
1 C 1 x = AHB: x 4
x=2
Rpta. C
15
C
11 C
a
ABN ~
a
AGF: COE ~
x c = a a+c
N x 6
B
M
∴
c
D
E
c
CDE:
a⋅c ......... (2) a+c
CF ⋅ CE = 2R2
NIVEL PREUNIVERSITARIO
a ⋅ c ......... (1) x= a+c CBM ~
Resolución
1
6 a = c a+c
(1) = (2):
∴ Resolución
x=6
Rpta. E
Thales: 3 BM = .............. (1) 6 NC
12
B N 4
A
β
R
β
α
O
AMO ~
9
R
α
∴ C
R 4 ONC: = 9 R R=6
CDF:
CE R = 2R CF
A
c
M
H
α
O 8
6=
x= 4 3
Resolución
a
A
x 4 2 = ABC: x 6
x
∴
G
∴
A
β
D
∴ x=9
C
N x
10
B 2a
α
β
α
A
ABD por bisectriz: x 3 = 6 2
α x 2
β
MNB ~
2
A
M 2
9
B x
4
Rpta. C
C
6
B
Por bisectriz: 8 x = 6 7−x ∴ x=4
F
13
Rpta. E
5 BM = .............. (2) x NC 1 5 = (1) = (2): 2 x ∴ x = 10 Rpta. B - 78 -
Rpta. B
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
2
Resolución
A
E
J
F
K
P
L
a
B
B 4 3
5
Q
a
C
G
M
R
a 15
Se traza FE // AD .
4
L1
FBE: BD = DE = 4
D x
L2
4
M
12
E
ADC, Thales:
8
T D
H
N
A
L3
C
F
ABC, BF es bisectriz: x AF = ........... (2) 16 FC x 1 = De (1) y (2): 16 2
7a JM 5 = = 3 KN 3 BD
Thales:
∴ BD =
AF 4 1 = = ........ (1) FC 8 2
7a 5
7a FH = 5 EF a
⇒
FH 7 = ∴ EF 5
a RT 15 = PQ a
⇒
∴
∴ Resolución
6
RT 1 = PQ 15
FH RT 7 1 + = + EF PQ 5 15
Entonces:
FH RT 22 + = EF PQ 15
∴ Resolución
Rpta. D
3
Thales
D
6 3a = ⇒ FH = 2 FH a
AHB:
C B A
E 2 F
CHB: 5
G
H
x
12 4 b = ⇒ HE = 3 HE b
x = FH + HE = 2 + 3
∴
Thales: 2 BC = ......... (1) 5 CD
Resolución
5 BC = ......... (2) x CD
∴
x = 12,5 4
E
L
a 5
B
F
L1
a 3
Rpta. A
C
Resolución
Rpta. A
7
A
2 5 = 5 x
(1) = (2):
x=5
Teorema de Ceva: AD ⋅ BE ⋅ x = DB ⋅ EC ⋅ 4 AD EC ⋅x = ⋅ 4 ........... (1) BE DB Thales: AD EC ................... (2) = DB BE De (1) y (2):
∴ x = 4 Rpta. C - 79 -
G
a 4
D
Thales:
H
L2 L3
a EF 5 3 = = FG a 5 3 a EF 4 = 5 = GH a 5 4
x=8
Rpta. E
Resolución
FG EF IJ 2 + FG EF IJ 2 = FG 3 IJ 2 + FG 4 IJ 2 H FG K H GH K H 5 K H 5 K F EF IJ 2 + FG EF IJ 2 = 1 Rpta. C ∴ G H FG K H GH K
ACB ~
11
EFD:
BC 2R = 2 DE BC ⋅
Resolución
8
DE = 4R
Por propiedad:
12 = 4R
∴ Resolución
R=3
Rpta. D
12 12
B
C
3a
P
PQ − 12
F
12
Q
a
2 a 3 a + CE = ⇒ 2 CE = 3 a + CE a CE ∴ CE = 3a Thales:
Sea BE // CD PQ − 12 3 a = 14 4a 4PQ – 48 = 42
PBF ~
∴ x = 15
Rpta. D
∴
a
c
M
I
C
D b
I: incentro BM BI = ............ (1) Thales: MC ID Teorema del incentro: BI c + a = ........ (2) ID b BM c + a = De (1) y (2): MC b 4 c+a b c a = = + ⇒ 3 b 3 4 4
∴ Resolución
ABE:
PQ = 22,5
Rpta. A
9
B
A
D
E
14 26
x 2a = 30 4 a
Resolución
12
A
b c a − = 3 4 4
Resolución
13 ABD ~
AFE:
x 3m = 6 m
∴ x = 18 Rpta. E
Resolución
14 AOE ~ COF:
Rpta. B
10
4 x = x 13
∴ x = 2 13 Rpta. D
Resolución
15
B αα
Teorema del incentro: 2m b + c = ⇒ b+c=8 m 4 Perímetro = b + c + 4 = 8 + 4
ADE ~ 2 x = x 8
6
A
α
D x
C
φ2
E
∴ Perímetro = 12 Rpta. A
∴ - 80 -
x=4
Rpta. C
ABE
Cuarto Año de Secundaria
CAPÍTULO 11 RELACIONES MÉTRICAS (Pág. 309) NIVEL I Resolución
Resolución
5
1
Pitágoras: AC2 = AB2 + BC2 = AD2 – CD2 AD2 = AB2 + BC2 + CD2
Por Pitágoras: (R + 2)2 = 22 + (6 – R)2
Dato:
R2+ 4R + 4 = 4 + 36 – 12R + R2
∴ Resolución
R = 2, 25
2 + BC2 + CD2 + AD2 = 128 AB AD2 + AD2 = 128
Rpta. B
∴
2
AD = 8
Resolución
Rpta. C
6
Perímetro = 4 ⋅ 5
∴ Perímetro = 20 Rpta. D
Euclides: 52 = 6 2 + 7 2 – 2 ⋅ 7 ⋅ x
Resolución
∴
3
30 7
x=
Resolución
7
Rpta. A
B M x
Pitágoras: 16a2 – 24a + 9 = a2 + 9a2 + 18a + 9
Teorema de la mediana:
6a2 = 42a
∴
a=7
C
A
(4a – 3)2 = a2 + (3a + 3)2
∴
82 2 x=7 Rpta. E
8
B
72 + 92 = 2x2 +
Rpta. A Resolución
Resolución
4 20
18 − 8 =5 HD = 2 CHD: 2r = 12
∴ r = 6 Rpta. B
A
26
j2 = e
18
20
j2 + e 18 j2 − 2 ⋅
∴ AH = - 81 -
C
H
Euclides:
e
26
h
6 18
18 ⋅ AH
e
Pitágoras:
20
∴ Resolución
IJ 2 = h2 18 K
j FGH 2
6
−
h = 18
Teorema de tangente:
U| + Vb g BC2 = FC ⋅ AC W| AD2 = AF ⋅ AC
Rpta. D
AD2 + BC2 = AC2
9
122 + BC2 = 132
∴
Sea BE // CD .
BC = 5
Rpta. B
ABE, por Herón: Resolución
3+5+6 =7 2 2 p p−3 p−5 p−6 h= 6 1 7 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅1 h= 3 2 14 Rpta. A ∴ h= 3
13
p=
b
Resolución
gb
gb
10
g
Pitágoras: BC2 = 52 –32 ⇒ BC = 4 Teorema de la tangente: BD2 = 2 ⋅ 4
B
∴ BD = 2 2 Rpta. A Resolución C
A
14
H
Pitágoras: BH2=BC2 – CH2 = AB2 – AH2 CH2 – AH2 = BC2 – AB2
∴ CH2 – AH2 = 8 Resolución
Rpta. C
11 Teorema de la tangente. 62 = 2a ⋅ 3a ⇒ a2 = 6 (3a)2 = (6 + x) ⋅ 6 9 a2 = 6(6+x) ⇒ 9 ⋅ 6 = 6 (6+x)
∴ x=3
Teorema de cuerdas.
Resolución
Rpta. B
15
AB ⋅ BC = (10 – x)(10+x) 75 = 100 – x2
∴ Resolución
x=5
Rpta. D
12
Teorema de la tangente: AB2 = 2 ⋅ 8
∴ - 82 -
x=4
Rpta. C
Cuarto Año de Secundaria
NIVEL II Resolución
E
1
1
5
D
45°
2 1 45°
30° 2 3
A
Resolución
C x
60° 1
Thales:
B
Pitágoras: x2 =
e 3 j2 − e 2 j2
∴
x=1
Resolución
x HC bx = ⇒ HC = a b a a2 = b ⋅ HC = b ⋅
Pero:
Rpta. C
∴
x=
2
B
C
bx a
a3
Rpta. B
b2
6
Resolución
B E D
C
A
A
D FM2=
∴ Resolución
Euclides:
U| + Vb g AB2 = BC2 + AC2 − 2 ⋅ BC ⋅ CE |W
4 ⋅ 9 ⇒ FM = 6 6 + x = 13 x=7
BC2 = AB2 + AC2 − 2 ⋅ AB ⋅ AD
Rpta. C
AC2 = AB ⋅ AD + BC ⋅ CE
3
AC2 = 28 + 36
∴ Resolución
Rpta. E
AC = 8 7
(3a)2 = a(2a + 7) 9a2 = 2a2 + 7a 7a2 = 7a ⇒ a = 1 AC = 3a = 3 ⋅ 1
∴ Resolución
AC = 3
Rpta. B
4
Herón: x=
2 p p − 13 p − 15 p − 14 14
AB = 6
Rpta. D
13 + 15 + 14 = 21 2
x=
1 21⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 7 7
∴ - 83 -
gb
gb
p= AB2 = 4 ⋅ 9
∴
b
x = 12
Rpta. E
g
Resolución
8
Resolución
11 A
F
B
C D E
AF2 = x2 = FE ⋅ FC = FB2 Herón: 2 p p−5 p−6 p−3 OH = 6
b
p=
gb
gb
∴ x = FB
g
5+3+6 =7 2
1 OH = 3
(2x)2 = 1 ⋅ 4
∴ Resolución
x=1
Rpta. B
12
7 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 4 2 14 3
∴ OH =
A
Rpta. C
D
C
B
E
2a
F
Resolución
9
G
B E
UVb g W
a 2 = CE ⋅ CF ÷ a ⋅ 3 a = CE ⋅ CG
D C b De acuerdo a la solución del problema N°6 se tiene: AC2 = AB ⋅ AD + BC ⋅ CE A
∴
b2 = AB ⋅ AD + BC ⋅ CE
1 CF = 3 CG CG = 3 ⋅ CF = 3 ⋅ 3
∴
Rpta. A
CG = 9
Resolución Resolución
13
10
A
N 8
B 2 C
97
F 4 x
x
A
3
G
3
B 7
Rpta. D
C
M
E
D
6
Teorema de la mediana: 72 +
e
97
j2 = 2BM2 + 62
2
Teorema de cuerdas ⇒ BM = 8
b
ABM por Euclides: 72 = 82 + 32 – 2 ⋅ 8 ⋅ x
∴
x = 1,5
g
UVb g W
5 ⋅ CD = x + 4 ⋅ CG ÷ 2 ⋅ CD = 4 ⋅ CG 5 x+4 = 2 4
Rpta. D
10 = x + 4
∴
- 84 -
x=6
Rpta. B
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
14
DOA: 32 =
a ⋅ 2a ⇒ a = 3 2
En (1):
∴ AB = 3 2 Resolución
Rpta. D
3
(9 – x)2 = 4 ⋅ 9 Teorema de la tangente
9–x=6
CE2 = 3 ⋅ 12
∴
CE = 6
Resolución
∴
x=3
Rpta. C
Rpta. D
15 2 6
Resolución
x
4
B 5
E
O 5
D
A
Teorema de la tangente. 2
e2 6 j ∴
b
= x x + 10
x=2
g
Euclides:
Rpta. C
BC2 = AB2 + AC2 − 2 ⋅ AB ⋅ AD AB2 = BC2 + AC2 − 2 ⋅ AC ⋅ CF AC2 = AB2 + BC2 − 2 ⋅ BC ⋅ BE
NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución
C
F
1
AB⋅AD + AC⋅CF + BC⋅BE =
U| |Vb + g || W
AB2 + BC2 + AC2 2
∴ AB⋅AD + AC⋅CF + BC⋅BE = 50 Rpta. B
Resolución MNO ≅
5
OLE ....... Caso ALA MO = OE = 3 MOF: 32 = x ⋅ 9
∴ Resolución
x=1
Rpta. A
2
A a
BD2 = HB ⋅ 2a ............ (1)
M
B
BD2 = CD ⋅ a ............. (2)
C a a 2
O
3
(1) = (2): HB ⋅ 2a = CD ⋅ a
D
N
∴
AB2 = AM ⋅ AN = a ⋅ 2a AB = a 2 ....... (1) - 85 -
HB 1 = CD 2
Rpta. C
Resolución CD2 A
Resolución
6
9
= 1⋅7 = 7 3
N 1 M2 B1 C
x2 = ON2 + 12
B
x
x2 = 7 + 1
D
O
∴ a ⋅ (d + a) = 3 ⋅ 4
x= 2 2
a ⋅ (d + a) = 2 ⋅ x
Rpta. C
12 = 2x Resolución
∴
7 Resolución
HE2 = 1 ⋅ x ⇒ HE = x2
∴
=
Resolución
10
e 2 3 j2 = AB ⋅ AM = (x + 4) x
Rpta. D
∴
8 Resolución
b y + xg = a 5 U|Vb ÷ g y b y + x g = a 2 |W 1 5 = ⇒ y a
y=
Rpta. D
11
62 2 2 6 82 + AM2 = 2 ⋅ AN2 + 2
a 5 5
∴
AM2 + AN2 = 77
Resolución 4 5 a x 5 = y a 5 5 x =4 y
x=2
72 + AN2 = 2 ⋅ AM2 +
a 5 4a 5 +x=a 5 ⇒ x = 5 5
∴
Rpta. B
x
x ⋅8
x=4
x=6
U| |Vb + g || W
Rpta. A
12
a
B
C
a a 2
F
a a 2
Rpta. D
A
- 86 -
a
D
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
Ptolomeo:
14
FD ⋅ a 2 = FA ⋅ a + FC ⋅ a
B
2 ⋅FD = FA + FC ............ (1)
φφ
E
F
FC ⋅ a 2 = FD ⋅ a + FB ⋅ a A
2 FC = FD + FB ........(2)
(1) + (2) 2 FD + 2 FC = FA + FC + FD + FB
AD2 = AB ⋅ AE
2 − 1 FD + FC = FA + FB
e
j
FA + FB = 2 −1 FD + FC
∴
CD2 = BC ⋅ CF
Rpta. E
AD2 CD2
Resolución
C
D AB AD = BC CD
13
AD2 CD2
U| ÷ V|b g W
=
AB AE ⋅ BC CF
=
AD AE ⋅ CD CF
AD AE = CD CF CF AE = CD AD
∴
BE EC = a 2a EC = 2 BE x2 = m ⋅ 2m – a ⋅ 2a
Resolución
AE = 0, 2 AD
Rpta. B
15
x2 = 2m2 – 2a2
B
B
2 2 x2 = 2 BE − BF = 2 16
∴
x= 4 2
Rpta. E
2 ⋅ 8 = 2 (2 + x)
∴ x=6
- 87 -
Rpta. E
CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES (Pág. 324) NIVEL I Resolución
Resolución
1
5
AC = L3 = R 3
∴ AC = 3 3 Rpta. B m Resolución
C=
2
b
g
180° 6 − 2 = 120° 6
CDJ es isósceles:
∴
BHC es de 30° y 60° BC = 2 ⋅ 4
Resolución
x = 75°
Rpta. D
6
∴ BC = 8 Rpta. D Resolución
3
BC = L5 =
R 8 10 − 2 5 = 10 − 2 5 2 2
BC = 4 10 − 2 5 BC = L10 =
R 2
e
5 −1
Pitágoras:
j
LM N
Pitágoras:
AB2 = AC2 – BC2 = (16)2– 4 10 − 2 5 AB2 = (AC)2 – (BC)2
AB2 = (2R)2 –
∴ AB =
Resolución
LM R e N2
∴ AB = 4 6 + 2 5
2 jOPQ
Rpta. C
5 −1
Resolución
R 10 + 2 5 2
7
Rpta. A
4 R R R R
3
R
O
10 = R 2 ⇒ R = 5 2
R
R
L3 = R 3 ⇒ L 3 = 5 6
R
∴
Perímetro Perímetro
=
3R 3 = 6R
3 Rpta. B 2
Perímetro
= 3L3 = 3 ⋅ 5 6
∴ Perímetro - 88 -
=15 6
Rpta. B
OP2 Q
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
8
Resolución
12
90° L4 α
x=
x β
α + β 150° = 2 2
∴ x = 75°
L3
Rpta. C
120°
Resolución
9
L
AB
6 0° 360°
=2π 6 L
AB
= 2π
Perímetro = 3 ⋅ LAB =3 ⋅ 2 π
∴ Perímetro = 6 π Resolución
15°=
13
120 °−m CB ⇒ m CB = 90 ° 2
L2
Resolución
x=
2
Rpta. D
2
10
L3
L1
x = L = R 2 = 1⋅ 2 4
∴
2
Perímetro = 2 L1 + L 2 + L 3 Perímetro = 2
LM 2 π ⋅ 1+ 2 π ⋅ 2 + 2 π ⋅ 1OP N2 4 2 Q
∴ Perímetro = 6π
= 6⋅2 3
Perímetro
∴ Perímetro Resolución
Rpta. A
Resolución
Rpta. D
14
= 12 3 Rpta. E
11
Perímetro = 2 LAF + LFE Perímetro = 2 ⋅ 2 π 6 ⋅ L
AB
L
∴
L
3 6° 360° 4π
=2π 4
AB
AB
=
∴ Perímetro = 5π
5
= 0,8 π
60° 30° + 2π ⋅ 6 ⋅ 360° 360°
Rpta. C
- 89 -
Rpta. B
Resolución
Resolución
15
r=
21− r ⇒ r=7 2
R 2
AB = L10 =
Rpta. D
Resolución
10 2
5 − 1 ⇒ AB =
e
j
∴ AB = 5
L o = 2 πr = 2 π ⋅ 7
∴ Lo = 14π
4
5 −1
e
j
e
5 −1
j
Rpta. C
5
NIVEL II Resolución
1
AB = L4 = R 2
∴ AB = 3 2 AB = L10 =
Rpta. D
AB = Resolución
6 2
e
Resolución
e
5 −1
j
5 −1
∴ AB =
2
R 2
j 3e 5 − 1j
Rpta. A
6
AB = R 2
∴ AB = 5 2
3=
Rpta. B
R 3 2
∴ R= 2 3
Resolución
BF = L 5 =
Resolución
3
BM =
8 R 10 − 2 5 = 10 − 2 5 2 2
∴ BF = 4 10 − 2 5
AB =
Rpta. D
7
4
5 +1 2
2
∴ - 90 -
e
e
j = 2e
5 +1
je
⋅ 2 AB = 4
5 +1
j
5 −1
j
Rpta. D
Rpta. C
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
8
Resolución
12
Perímetro = 3 ⋅ L L
∴
CK = 4 2 − 3
Resolución
Rpta. E
MQ
MQ
............... (1) 6 0° =π 360°
= 2π 3
En (1):
∴
9
Perímetro = 3π
Resolución
Rpta. B
13
AC = 4 3 AD = AC ⋅ 2 = 4 3 ⋅ 2
L
∴ AD = 4 6 Rpta. C
Resolución
∴
Resolución
10
L L
ADC
6 0° 1 =2π 2 360° 6
= 2 πR
2π ∴ L ADC = Rpta. A 3
Resolución
AC = 5k =
∴
= 2π 6 L
MN
= 2π
14
PQ
= 2π 6
∴
L
Resolución
15
PQ
=π
3 0° 360°
Rpta. C
11
6 = 4k ⇒ K =
L
MN
CD
15 = 2π 2 L
CD
=
5π 4
3 2
15 2 L
3 0° 360°
L
Rpta. B
AC
BC
= 2π r
= 2 π 2r
2φ ............ (1) 360° φ ........... (2) 360°
(1) = (2):
∴ - 91 -
L
AC
=L
BC
= 34
Rpta. E
6 0° 360°
Rpta. B
Resolución
16 2 =R 2− 3 2
R=
2− 3
2+ 3
⋅
2+ 3
∴ R = 2 2+ 3
Rpta. A
CAPÍTULO 13 ÁREAS DE LAS REGIONES PLANAS (Pág. 365) NIVEL I ABC
Resolución
=
1 ABC
=
∴
8⋅8 ⋅ sen 30° 2
∴
= 16 cm2
Resolución
=
ABC
AFB
+
FBC
8 ⋅ 5 12 ⋅ 3 + 2 2 = 38 cm2
Rpta. C
4
Rpta. C
Resolución
2x =
2
4⋅8 2
∴ x = 8 cm2
D
Resolución
5
4x = 48 ⇒ x = 12 pedida = 2x = 2 ⋅ 12
∴
Resolución
2 pedida = 24 cm
Rpta. E
= 16 ⋅ 9
3
∴ Resolución
- 92 -
= 144 cm2 6
Rpta. A
Rpta.
Cuarto Año de Secundaria
= 6 3 ⋅ 18
∴ Resolución
Resolución
= 108 3
11
Rpta. C
7
=
∴
22 4
3 6x c 1 = = 2y + 4x 4c 4
=
3 Rpta. A
24x = 2y + 4x
∴ Resolución
8 Resolución
2U=
∴
1 ⋅ 3
ABC
pedido
Resolución
=
1 ⋅ 126 3
= 42cm2
x 1 = y 10
Rpta. B
12
x 4⋅2 = 32 8 ⋅ 10
∴ x = 3,2 cm2
Rpta. B
9
Resolución
Rpta. D
13
DBE
=4⋅5
∴
= 20
Resolución
cm2
ABC
U x2 = 5 U 10 2
Rpta. D
∴
10
Resolución
x=2 5
Rpta. C
14
a2 – b2 = 176 (a+b) (a–b) = 176 ⇒ (a+b)(8) = 176
UVb g W
a + b = 22 + a−b = 8
Se sabe que: x=
2a = 30
∴
a = 15
∴
Rpta. C
- 93 -
12 ⋅ 4 2
x = 24 cm2
Rpta. A
Resolución
Resolución
15
= 2⋅4 − 2⋅
∴ Resolución
π 2 2 4
= 2(4 – π ) cm2
=
Rpta. A
e6 3 j2
∴
16
4
19
3 −π 2 3
e
2 60° 60° − πe 4 3 j ⋅ j2 ⋅ 360 360° °
= 27 3 − 10 π cm2 Rpta. D
e
Resolución
j
20 AM = R = =
π 2 ⋅4 4
∴ π = 22 − 2 ⋅ 4
∴ Resolución
= 4 π cm2
e 2 j2
= (4 – π )cm2
NIVEL II
Rpta. D Resolución
17
1 =
∴
= 8U
16 ⋅ 6 2
= 48 cm2 Rpta. A
Resolución =8
∴ Resolución
LM π 2 2 2 − 2 MN 4 e j
2 ⋅2 2 2
= 16( π – 2)cm2
AFC
=
2⋅6 2
Rpta. B
18
∴ = π 32 – π 22
∴
2
OP PQ
= 5π
Resolución Rpta. C
- 94 -
AFC
3
= 6 cm2
8 =4 2
Rpta. C
Rpta. C
Cuarto Año de Secundaria
2x + 2y = 132 ⇒ x + y = 66 pedido
∴
pedido
Resolución
Resolución
8
= x+y
= 66 cm2 Rpta. D
4
=2
a O LM ⋅b a ⋅b 2 P a ⋅b MM 2 − 2 PP = 2 ...... (1) Q N = 2a ⋅ b = 16 ⇒ a ⋅ b = 8
ABD
2x
=
b ⇒ 2b
ABD =
x
=
En (1):
∴
3x = 57
∴
8 2
x = 19 cm2
Rpta
Rpta. B Resolución
Resolución
= 4 cm2 9
5
=
6⋅8 2
∴
Resolución
= 24 cm2 Rpta. E
ABC ≅
6
DEC ......... caso ALA BC = DE = 6
BDC
∴
AMD
=
BC ⋅ DE 6 ⋅ 6 = 2 2
BDC
Resolución
BNC
=
= 18 cm2
Rpta. C
10
13 + V + x = 9 + V + 15
∴ Resolución
x = 11 cm2
Rpta. A
7
ACD : CH2 = 4 ⋅ 9 ⇒ CH = 6
ECD =
=2 9+
∴
=
9⋅4 = 6 ECD
∴
= 2 9 +6
= 30 cm2 Rpta. C - 95 -
FG 4 + 13 IJ 6 H 2 K = 51
Rpta. C
Resolución
11
40 + U + V + Z + w = 20 + x + U + V + Z + w
∴ Resolución
82 = 82 − 4
∴
3−
e
15
j
Rpta. C
12 9 ⋅ 4 12 ⋅ x = 2 2
∴ x = 3 cm Resolución
Rpta. A
8⋅8 sen 30° 2
= 16 3 − 3
Resolución
x = 20 cm2
=
Rpta. B
13
BD ⋅ h BD ⋅ h1 + 2 2
=
BD BD h + h1 = ⋅ MN 2 2
=
16 ⋅ 9 2
e
ECD
j
= 72 cm2
Resolución
=
DBC
=
∴
BCE
+
ABD
Rpta. E
16
=6
En el trapecio ABCE: 4 = 2 ⋅U ⇒ U = 8 ABCD =
∴ Resolución
4+2+4+6+8
ABCD =
24
cm2
O1 OM es equilátero. O1 OM = O1 MO = 4
Rpta. D
2 = π4 ⋅
14
∴
Resolución
=
15° 360°
2π 3
Rpta. A
17 = 8U
LM N
= 8 22 −
∴
40 + U + V + Z + w =
- 96 -
π 2 2 4
= 8(4 – π )
OP Q Rpta. C
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
FG H
∴
= 66 cm2
Resolución
=
IJ K
= 4 + 18 ⋅ 6 2
18
Rpta. E
2
AMND
=3⋅6
∴
= 18 cm2
Rpta. D ABE ≅
Resolución
19
EOD ......... caso ALA ABE
=
EOD
=U
π = U + V = ⋅ 42 4
∴
= 4 π cm2
Resolución
π ⋅ a2 ⋅
Rpta. D
3
φ φ = π c 2 − b2 ⋅ 360° 360°
∴ Resolución
e
c2 = a2 + b2
j
Rpta. E
20 =
FG 4 + 12 IJ ⋅12 − 12 ⋅ 6 H 2 K 2
∴ Resolución =
∴
=
ABCD = 24 cm2
Rpta. D
4 B
6⋅4 Rpta. C A
NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución
= 60 cm2
C
1 D
5+U+4=x+U
∴
- 97 -
x = 9cm2
Rpta. B
Resolución
Resolución
5
60° =
α +β ⇒ α + β = 120° 2
82 = 2(x + y + z + w) 41 = x + y + z + w
α + β + m CD = 180°
=x+y+z+w
120° + m CD = 180° ⇒ m CD = 60° = π62 ⋅
∴
62
60° − 360° 4
e
j
∴ Resolución
3
= 6 π − 9 3 cm2
8
= 41 cm2
Rpta. D
9
Rpta. A = 6⋅
Resolución
6
∴
= 72
∴
Resolución
π 2 ⋅4 2
= 48 π cm2 Rpta. B
10
= 49 Rpta. C =4
Resolución
∴
7
Resolución
AN =
2 2 ⋅ 3= 6 2
AM ⋅ CN = 2 =
e
= 18 cm2
11
x
y
6− 2
AM = =
LM 1 ⋅ 62 OP N8 Q
e
6− 2 ⋅ 2
j
2
3 − 1 cm2
j
U| Trapecio QBCR: c + y = b + V Vb+g | Trapecio PACR: a + b + x + y = c + d | W Trapecio PABQ:
- 98 -
d+x
=
a +U
Rpta. A
Cuarto Año de Secundaria
a + b + c + d + 2 (x + y) = a + b + c + d + (U + V)
Resolución
15
2(x + y) = U + V
∴
2⋅ EFG =
ABC
2⋅ EFG = 144
∴
EFG
Resolución
= 72 cm2
Rpta. D
12 =x+y
a⋅b = 54 2
=
a ⋅ b = 108 ......... (1)
=
a 2 = b 3 2 a = b ............ (2) 3 2 b ⋅ b = 108 3
(2) en (1):
∴ Resolución
2
∴
2
=
25 2
= 12,5 cm2
Resolución
Rpta. B
16
13
= 3⋅
3⋅4 2
24 = a2 ⇒ a = 2 6 =
Resolución
2
a 2 − b2
Rpta. D
b= 9 2
ABCD
∴
ba − b g ⋅ b + ba − b g ⋅ a
ABCD =
18 cm2
Rpta. C
14
LM MN e
2 4 3 ⋅4 3 π 4 6 ⋅2 6 + 4 3 − 2 4 2
∴
= 12 π cm2
Resolución
2a 3 = 2b 5
⇒ a=
j
Rpta. A
17
V=2⋅U
3 b 5
b4 + 4 − x g ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ x 2
2 a ⋅ 2b = 120 ⇒ a ⋅ b = 60 2 Entonces:
3 b ⋅ b = 60 ⇒ 5
OP PQ
8 – x = 2x
∴
b = 10 a=6
Diferencia = 20 – 12
∴ Diferencia = 8 cm Rpta. C
- 99 -
x=
8 3
Rpta. C
2
CAPÍTULO 14 INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA (Pág. 382) NIVEL I Resolución
Resolución
7
S = xx– 9 , C = xx– 7
1
° 3π 180° rad ⋅ = abc 4 πrad
S C xx − 9 xx − 7 = ⇒ = ⇒ 10x x –90 = 9 10 9 10
°
135° = abc ⇒ a = 1 , b = 3 , c = 5
9xx–63
Luego: a + b + c = 1 + 3 + 5
xx
= 27 ⇒
∴
x=3
∴ a + b + c = 9 Rpta. A Resolución
Resolución
2
3 72 ° 200g ⋅ 50g 180° p = 1,6 Rpta. C
∴ Resolución
∴
a = 17g 50m
Resolución
9
9C C+ C+S 10 = 19C = E= C C − S C − 9C 10
1° = 15°+ 0,75° 60 ′
10g = 17g 5m α = 15, 75° = 15, 75°⋅ 9°
8
Resolución
4
α = 15°45´= 15°+ 45´⋅
∴ Resolución
Rpta. E
E = 19
540 ′ ⋅
1 200g 100m = 1000m ⋅ ⋅ 60 ′ 180° 1g
5
Rpta. C NIVEL II
4π g 200g = ab rad 25 πrad
Resolución
1
3S – 2C=14 ⇒ 3 ⋅
g
32g = ab ⇒ a = 3 , b = 2
∴
a+b 3+2 = E= a−b 3−2
∴
E=5
Rpta. B
Resolución
6
θ=
R=
180R 200R − 2⋅ = 14 π π π rad 10
Rpta. A
2 C S − = 38 9 10
θ = 6000´⋅
∴
Rpta. C
10
4π g rad = ab 25
Resolución
Rpta. C
200R 180R − =3 π π 20R =3 π 3π ∴ R= rad Rpta. A 20
S C 2x + 1 3x − 2 = ⇒ = 180 200 9 10 ∴ x = 4 Rpta. D
p=
=
33
C–S=3
S = 2x+1 , C = 3x − 2
Resolución
xx
200R 180R π − π = 38 9 10
1° πrad ⋅ 60 ′ 180°
5π rad 9
∴
Rpta. B
- 100 -
R = 9π rad
Rpta. D
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
Resolución
3 5 SR − π
5⋅
CR = 20 2π
180R ⋅R π − π
π (ax2 + bx + 5) 180 200R C = ax2 + bx + 6 = π π (ax2 + bx + 5) R= 200
200R ⋅R π = 20 2π
R = π rad
180R π
S = ax2 + bx + 5 = R=
30R 10R − = 20 π π
∴
7
S = ax2 + bx + 5 , C = ax2 + bx + 6
Rpta. A
Entonces: Resolución
4
π π (ax2+bx+5) = (ax2+bx + 6) 180 200 10ax2 + 10bx + 50 = 9ax2 + 9bx + 54
C + 2R S + 3 π = C − 2R S − 3 π 200R 180R + 2R + 3π π = π 200R 180R − 2R − 3π π π
∴
5π 3
R=
Resolución
5
180R 200R + 2⋅ + 4R = 145 + π π π 180R + 400R + 4 πR = 145 + π π
Pero:
π R= 4
∴
Rpta. C
S = ax2 + bx + 5 = 4 + 5 = 9 R=
R=
Resolución
∴ Resolución
02 − 02 + 4
=
R2 + 1 p=4
02 + 1
Rpta. E
9
E=
1° 1′ 1g1m 1° 1′ 1g 1m + = + + + 1′ 1′ 1′ 1m 1m 1m
E=
1g 100m 1° 60 ′ + 1+ ⋅ + 1 = 60+1+100+1 ⋅ 1′ 1° 1m 1g
Resolución 9°
Rpta. E
8
C2 − S2 + 4
Luego: p =
∴
10g
π rad 20
C2 + S2 = 2 ⋅ C ⋅ S ⇒ C = S = 0 ⇒ R = 0
6
(5x+4)° = (6x)g ⋅
πS π ⋅9 = 180 180
∴
g
4R 145 + π = 145 + π π
Resolución
Luego:
Rpta. B
S + 2C + 4R = 145 + π
b
ax2 + bx = 4
E = 162
Rpta. C
10
⇒ x = 10
(5x+4)° = 54° Luego:
2θ = a° ⇒ θ =
2 ⋅ 54° + θ = 180° θ = 72° ⋅
∴
θ=
πrad 180°
2π rad 5
3θ = bg ⋅ Rpta. D
180° 200g
θ= - 101 -
=
a° 2
180° b 200
60° b 200
Luego:
a 60° b = 2 200
Resolución
a = 0, 6 b
∴ Resolución
C = x3 + x2 + x + 7
Rpta. E
C = x3 + x2 + x + 2 + 5 C=S+5
11
200R 180R = +5 π π
S 3C 6R + = 27 − ⇒ 12 10 π 1 180R 3 200R 6R ⋅ + ⋅ = 27 − 12 π 10 π π
∴
R=
Resolución
π rad 3
∴
Rpta. B
Resolución
1
− C=
C
S–C=
C
−
C S
K=
9 1 9 S− S = 1− ⋅ S 10 S 10 S 1 = 10 10
∴
S = 1°
Resolución
FG H
1 180R ⋅ π 9 12
IJ K
5
+
FG H
1 200R ⋅ π 10
IJ K
5
+
20R5 π
LMF 180R I 4 + F 200R I 4 + R4 OP MNGH π JK GH π JK PQ 1800 R5 90 π5 12R4 π4
∴
19 = 6,3 3
Rpta. D
16
=
FG 18 ⋅ π IJ 2 + FG 20 ⋅ π IJ 2 + FG π IJ 2 = H 180R K H 200R K H 10R K
200R ⋅R π 180R π π
FG π IJ 2 + FG π IJ 2 + FG π IJ 2 = 10R H 10R K H 10R K H 10R K 9π π2 2
b10Rg 1804 + 2004 + π 4 3π rad 5
180R ⋅R π 5π
j
1804 + 2004 + π 4 =
R=
SR 5π
FG 18 IJ 2 + FG 20 IJ 2 + FG π IJ 2 = CR H S K H C K H 10R K π S
13
e
SC π + 10 R
1 C
K=
Resolución
S5 C5 20R5 + + = 12 S4 + C4 + R4 9 10 π
Rpta. E
1 C π 6R 1 ⋅ + ⋅ = +6 C 3 R π 3
∴
Rpta. A
π 4
10 C⋅C π 9 + R 10
1 K= C
S−C S
R=
15
K=
12
S
14
S = x3 + x2 + x+2
3 =
10R 9π
10R ⋅ 102R2 = 9 ⋅ 3 π3
Rpta. E
R3 =
∴
- 102 -
R=
33 π 3 103 3π 10
Rpta. A
Cuarto Año de Secundaria
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pág. 399 NIVEL I Resolución Resolución
5
1
Sen B =
5 Cos A = 13
∴ tg B =
72 − 52 = 2 6
BC =
5 Rpta. C 12
F2 6 −2 6I GH 7 5 JK 4 b senA − tgA g = 4
3 cos B
Resolución
2 6 7 4 senA − tgA 8 =− 3 cos B 15
2
34 5
3⋅
b
∴
AC2 = 52+32 ⇒ AC= 34
∴ cosec A =
5 7
g
Resolución
6
Rpta. D Sen A = 0,272727 ... = Resolución
AB = 112 − 32 = 4 7
3 Cotg A = 0,777 ... =
7 9
∴
92 + 72 = 130
AB =
∴ sen B =
7 130 130
Rpta. E
sen C =
Resolución
AB =
cot gB + tg B = 4 2
b
5 cosec A
∴
b
Resolución
(2 2 )2 +
1 2 2 = 65 4 32
8 1 a c 1 ⇒ ⋅ = 8 b b 8 a⋅c 1 = 8 b2
Sen A ⋅ sen C =
5 5⋅ 4
g
9 −1 = 2 2
3 5
F 4 3I g = 24GH 3 + 4 JK
24 tg A + cot g A =8 3 cos ec A
1 3
B
2 2
24 tg A + cot g A
Rpta. B
cos C =
4
5cos A = 3 ⇒ cos A =
4 7 11
7
1
Resolución
27 3 = 99 11
Rpta. B tg A + tg C =
a c a2 + c2 + = c a a c
tg A + tg C =
b2 ac
∴
- 103 -
tg A + tg C = 8
Rpta. C
Rpta. E
Resolución
Resolución
9
14
J = tg A + tg B – sec A ⋅ sec B + 1 J=
b2
a b c c + − ⋅ +1 b a b a
sen2 B + sen2 C
E=
tg2 B − cos ec2 C
c2
a 2 + b2 c 2 c2 c2 − + 1= − +1 J= ab ab ab ab
∴ Resolución
J=1
a2 = a2 c2
e j = c2 ⋅ a2 a 2 e b2 − a 2 j a 2 ⋅ e − c 2 j ∴
10 1 3
Resolución
E = –1
Rpta. D
15
sen a − b + x − 4 ° ⋅cosec 5 x − b − a − 36 ° =1
b
2 2 ∴ sen c = Rpta. D 3
g
b
g
a – b + x – 4° = 5x – b + a – 36°
∴ Resolución
−
c2
c 2 b2 + c 2
Rpta. C
Sen A =
2 = a 2 b
+
x = 8°
Rpta. C
11 Resolución
K = sec θ cosec θ K=
16
FG H
IJ K
FG IJ H K
5 x − 96° 4x cot g = tg 2 3
10 a 10 a ⋅ 3a a
5 x − 96° 4 x + = 90° 2 3
∴ Resolución
K =
10 3
15 x – 288° + 8x = 540°
Rpta. C
23 x = 828°
∴
12
Resolución
x = 36°
Rpta. D
17
sen (x + 30°) ⋅ cosec y = 1 x + 30° = y ............. (1) tg (2x +10°) = cotg (x + 20°) 2x+10° + x + 20°= 90° ⇒ x = 20° a senA + b senB = c
Resolución
a⋅
a b +b⋅ 2 2 c c = a +b = 1 2 c c
13
En (1): Rpta. D
Entonces:
∴ Resolución
y – x = 30°
Rpta. B
18
sen x = cos 2y ⇒ x + 2y = 90°
E = sen A ⋅ sen C = a c 7⋅3 ⋅ = 7 7 7⋅7
20° + 30° = y ⇒ y = 50°
cos x sec (3y – 10°) = 1 ⇒ x = 3y – 10° 3y – 10° + 2y = 90° ⇒ y = 20° x + 2 ⋅ 20° = 90° ⇒ x = 50° Luego:
∴
E=
3 7
∴
Rpta. B
- 104 -
x + y = 70°
Rpta. B
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
Resolución
19
Cosec α =
AD ⇒ AD = x ⋅ cosec α x
BH sen α = m cos α
∴
AD x cos ec α = m m m sen α x= cos ec α
Sen α =
∴
x = m sen2α
Resolución
23
BH = m senα ⋅ cosα
Resolución
24
Rpta. C
20
tg α =
∴
EC m cosec θ
EC = m cosec θ ⋅ tgα
m cos α = BC = AB ⋅ BC = m sen α ⋅ m cos α
Resolución B
1 tgB = cos A(4 – cosecA)
= m2sen α ⋅ cos α
Resolución
Rpta. D
NIVEL II
m sen α = AB
∴
Rpta. A
B
Rpta. C
cotg A = cos A (4 – cosec A)
21 cos A = cos A (4 – cosec A) sen A 1 = 4 sen A – sen A ⋅ cosec A 1 = 4 sen A – 1
∴
mtgθ = BC sen α =
∴
CD CD = BC mtgθ
CD = m senα tg θ
sen A =
Resolución
1 2
Rpta. C
2
Rpta. A cos B ⋅ cos C =
Resolución
22
3 7
c b 3 b⋅c 3 ⋅ = ⇒ 2 = a a 7 7 a
∴ Perímetro = m [1 + cosecα + cotgα]
tg B + tg C =
Rpta. C
∴ - 105 -
b c b2 + c 2 a2 + = = c b b⋅c b⋅c
tg B + tg C =
7 3
Rpta. A
Resolución
Resolución
3
5 2
sen B + sen C =
T=
5 5 b c b+c b2 + 2bc + c2 + = ⇒ = ⇒ = 2 2 a a a a2
5 bc 1 ⇒ = 4 a2 8
r2
tg B + tg C = 8
e e
∴
Resolución
Rpta. B
Resolución
j
T=
7
cos A + cos C =
4
a
−2b
De (1):
(3a – b) (a – 2b) = 0 ⇒ b = 3a ∧ a = 2b =
8
⋅
Resolución
g
b2 + 2ac = 2b2
cosec A + cosec C =2 Rpta. B
FG a + c IJ .......... (4) H b K
(1) en (4):
∴ cosec A + cosec C = 2 2 Rpta. C
5
Q = 2+cotg 2 C – 5 sec B = 2 +
FG b IJ H cK
2
−5
Resolución
8 a + b = 3c a b + =3 c c
a c
∴
sec B + tgB = 3
Rpta. D
2 c 2 + b2 − 5 ac ............. (2) c2
Resolución
(1) en (2): Q=
b
(3) en (2):
8
sen B ⋅ Cos C = 5 Cos B b b c ⋅ = 5⋅ a a a b2 = 5 a ⋅ c .......... (1)
Q=
Rpta. A
2⋅a⋅c = b2 .............. (3)
2 2
2 tg A = 4
∴
r2 pq
b a+c ............ (2) a⋅c 2 2 2 a + c + 2ac = 2b
cosec A + cosec C =
8a
j
b b + a c
−b
tg A =
e
cosec A + cosec C =
3a
1
j
j
a+c = 2 ..... (1) b
3a2 – 7ab + 2b2 = 0
a
e
c a + = 2 2 b b
3 sen A + 2 sec C = 7 3 sen A + 2 cosec A = 7 a b 3 +2 =7 b a 3a2 + 2b2 = 7ab
sec 2 P + sec 2 Q tg P + tg Q
r2 + 2 r 2p2 + r 2q2 pq r 2 p2 + q2 q p = T= p q = p 2 + q2 ⋅ q2p 2 p2 + q2 pq + q p 2
b c b2 + c 2 a2 = tg B + tg C = + = c b bc b⋅c
∴
6
9 cos α =
2 c 2 + 5 ac − 5 ac c2
∴
Q=2
=
2 c2
h m
∴ h = m cosα
c2
Rpta. B
- 106 -
Rpta. C
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
10
c b c2 + b2 a2 3 bc + = = = b c b⋅c b ⋅ c 8 bc
3 sen B = sec C 3
a b = ⇒ a2 = 3b2 b a
∴
E=
∴ a = b 3 Rpta. C Resolución
Resolución
11
3 8
Rpta. B
14
a + c = 14 cos B ⋅ cos C =
a2 + c2 + 2ac = 196 b2 + 2ac = 196 ......... (1)
c b ⋅ = 2 −1 a a
12 sen A ⋅ sen C = 25 a c 12 ⋅ = b b 25 ac =
12 2 b ........... (2) 25
(2) en (1): b2 +
24 2 b = 196 25
2 −1
tgB + tgC =
∴
b c b2 +c2 a2 a2 1⋅ 2 +1 + = = = = ⋅ c b bc bc bc 2 −1 2 +1
tg B + tg C =
Resolución
2 +1
Rpta. D
15
49 2 b = 196 25 196 ⋅ 25 b2 = 49 14 ⋅ 5 b= 7
∴ Resolución
b = 10
Rpta. D
12
a2 a2 3a2 ⇒ a2 – 2c2 = ⇒ = b 2 – c2 = 4 4 4 2c 2
b2 = 2 ⋅ c ⋅ a
a2 =
c2 = a2 + b2 = a2 + 2ac a2 + 2ac – c2 = 0
a=
b2 – c2 =
−2 c ± 4 c 2 + 4 c 2 −2 c ± 2 2 c = 2 2 a = c −1± 2
e a=ce
cos B =
∴
2 −1
j
cos φ = 2 − 1
FG H
1 24 2 c 4 9
j
a = 2 −1 c
∴
2 6c 8 c2 ⇒ a= 3 3 15 c 3
c c = a 2 6 c 3
cos B =
Resolución
IJ ⇒ b = K
6 4
Rpta. C
16
Rpta. A cosec A ⋅ cosec C = 9
Resolución
13
b b ⋅ = 9 ⇒ b2 = 9 a ⋅ c a c
8a2 = 3bc
y = tg A + tg C + cotg A + cotg C
E = cotg B + cotg C =
y=
- 107 -
a c c a + + + c a a c
2 2 2 2 2 a 2 + c2 y= a +c + a +c = = ac ac ac
e
j
AC2 = AB2 + BC2 =
16 AC2 4 AC = BC2 ⇒ = BC 25 5 4 b 4 cos C = 5 = ⇒ C = 37° b 5
2 ⋅ b2 2 ⋅ 9 ⋅ ac = ac a⋅c
∴
y = 18
Rpta. A
∴ Resolución
9 AC2 + BC2 25
cos 74° =
17 Resolución
7 25
Rpta. A
21
sec (x – 3y) = cosec (2y + x) x – 3y + 2y + x = 90° 2x – y = 90° ...................... (1)
b
g
cotg (2x–y) = tg (60° – x)
a a −5 = 7 ⇒a a −5 = 7 ⋅2 ⇒ a = 7 2
b
g
2x–y + 60° – x = 90° x – y = 30° ........................ (2)
∴ Resolución
7 cotg x = 2
Rpta. C
De (1) y (2): x = 60° ∧
y = 30°
E = 3x – 2y = 3 ⋅ 60° – 2 30°
18
∴
E = 120°
Resolución
Rpta. D
22
sen (3x–20°) ⋅ sec (50°– y) = 1 sen (3x – 20°) = cos (50°– y) no se cumple: c = a sec A Resolución
3x – 20° + 50° – y = 90°
Rpta. D
19
3x – y = 60° .................. (1) tg (x + y–2z + 40°) ⋅ cotg [2x–(y+2z)] = 1
sen C =
x + y – 2z + 40° = 2x – y – 2z
6 3 = 10 5
2y + 40° = x .................. (2) (2) en (1): 3 (2y + 40°) – y = 60° y = –12°
∴
a + b = 900 ⇒ 4k + 5k = 900 ⇒ k = 100
Resolución
b – a = 5k – 4k = k
∴ Resolución
b – a = 100
Rpta. A
cos
x = 16°
Rpta. B
23
FG 3x + 10°IJ ⋅ sec FG 20° − y IJ = 1 H 2K H2 K 3x y + 10° = 20° − 2 2 3x + y = 20° ......... (1)
20
BA 3 = AC 5
tg
FG x + 40°IJ = cot gFG 30° + y IJ H3 K H 3K
x y + 40° +30° + = 90° 3 3 x + y = 60° ....... (2) De (1) y (2): x = – 20° ∧ y = 80° Luego: R =
∴ - 108 -
b
g
2 −20° + 80° 4 R = 10°
Rpta. A
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
24
Resolución
27 M
N 3 a ⋅ 2b sen α x+y= 2
tgθ =
8 = 2 ⇒ EC = 4 EC =
FG 8 + 4 IJ ⋅ 8 H 2 K
∴ Resolución
= 48m2
a ⋅b sen α = 3ab sen α 2
x+
∴
Rpta.
25
x=
Resolución
5 a ⋅ b sen α 2
28
cosec β = x=
CHB: cos α =
x ⇒ x = HB ⋅ cotg α HB
cotg α =
∴
HB ⇒ HB = a cos α a
x = a cos α ⋅ cotg α
Resolución
Resolución
a ⋅ cosec β 2
29
Rpta. B
26
cosec θ = sen α =
h ⇒ h = m ⋅ sen α m
sen β =
h ⇒ x
sen β =
m senα x
x = m sen α ⋅
∴
2x a
∴
1 sen β
x = m sen α ⋅ cosec β
Rpta. D
- 109 -
R+x R
x = R (cosec θ – 1)
Rpta. B
ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Pág. (421) NIVEL I Resolución
Resolución
5
1 E = sen α – 2 cos α E=
1 5
−
b g
2 −2 5
U = 1 3 sen α ⋅ sen β U = 13 ⋅
∴
E=
Rpta. B
5
∴ Resolución
FG H
IJ ⋅ FG 13 K H
−3
U=6
IJ 13 K
−2
Rpta. C
2
Resolución
6 cotg θ =
∴ cotg θ = –
M = sec θ ⋅ cosec θ – 2
∴ Resolución
M=
5 5 ⋅ –2 −4 −3
M=
1 12
Rpta. E
Resolución
24 7
7
3
A = sec α ⋅ cosec β
−2 tg α = −1
A=
∴ tg α = 2 Rpta. E
Resolución
−24 7
∴ Resolución
4
p=
E = cosec α + cotg α
E=
∴
E=
2 3
FG IJ H K
13 −5 + 12 12
Rpta. B
10 5 ⋅ 1 1 A= 5 2
Rpta. E
8
b g b g bg
6 sen 90° + 5 cos 180° 6 ⋅ 1 + 5 −1 = tgπ + sec 2 π 0 + 1
∴
Resolución
p=1
Rpta. C
9
b g b g
2 x + −1 2 x + sec 180° = 1⇒ 2x − 1 = x + 1 = 1⇒ x − sen 270° x − −1
∴
- 110 -
x=2
Rpta. C
Rpta. B
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
10
Resolución
4
tg α = − 5 6 1
sec α =
b b b b
g g g g
b b b b
g g bg bg g bg bg g
− − + − + − + + sen α + tg β = = E= + − + − − cotg α − cosec β − − −
E=
∴
sec α = 6
Resolución
Rpta. C
5
b−g b+g ∴
E = (–)
Rpta. B
x2+ x – 2 = 0 NIVEL II Resolución (tgx)tgx
=4
(x + 2)(x – 1) = 0
1
⇒ (tgx)tgx
=
22
⇒ ∴ tg x = 2
E = 4 sec x ⋅ cosec x E = 4⋅
F 5 IF 5 I GH −1 JK GH −2 JK
x1 = 1
2
b g
∴ p=
⇒ x2 = sec β = – 2
x1 = tg α = 1 K=
6 sen α ⋅ cosec β
K=
6⋅
∴
p = sen φ – sec φ 8 17 p = 17 − −15
x2 = – 2
Luego:
∴ E = 10 Rpta. C Resolución
∧
Resolución
1 2
⋅
2 3
K=2
Rpta. B
6 E = tg α – cotg β
409 = 1,6 255
E=
Rpta. E Resolución
∴ E=
3
FG 13 − 1IJ = − 4 = −4 H 9 K 3 3
cotg α = −1, 3 = −
Resolución
Cotg θ = 2,4 =
K=
K=–2
2 Rpta. D 3
7
K = sec α + tg α
∴
FG IJ H K
1 −1 − 3 3
P=
5 3 + =–2 −4 −4
b g b g
24 12 = 10 5
sec θ − tgθ cosec θ − cotg θ
−5 13 −18 − 18 ⋅ 5 − − 12 12 P= = 12 = 13 −12 −25 12 ⋅ 25 − −5 −5 5
Rpta. A
∴
- 111 -
P=
3 = 0,3 10
Rpta. C
CAPÍTULO 15 GEOMETRÍA DEL ESPACIO (Pág. 456) NIVEL I Resolución
= N° planos = C16 3
∴
Resolución
1 16 ! 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ! = 3 ! 16 − 3 ! 3 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 13 !
b
g
N° planos = 560
Resolución
Rpta. B
∴
2
24 ! 24 ⋅ 23 ⋅ 22! 24 N° planos = C 2 = 2 ! 24 − 2 ! = 2 ⋅ 1⋅ 22!
b
g
∴ N° planos = 276 Resolución
6
Resolución
AB = 10
Rpta. A
7
Rpta. D
3 α β δ = = 1 5 3 ⇒ β = 5α ∧ δ = 3α α + β + δ = 180° ⇒ α + 5α + 3α = 180°
Pitágoras:
∴
e10 2 j2 = 102 + CF2 ∴ Resolución
CF = 10
α = 20° β = 100° δ = 60°
Rpta. A
∴
4
mayor ángulo = 100°
Rpta. C
E
Resolución
8
F
A=
∴ Resolución
OM O1 :
∴ OO1 = 5
Resolución
Rpta. C
5
4⋅6 + 5⋅8 2 A = 32
Rpta. E
9
C=6+8
⇒
C = 14
4 ⋅ 6 + 10 ⋅ 8 A= 2 Euler: C + V = A + 2
⇒ A = 52
14 + V = 52 + 2 56 56
∴
= 12 ⋅ 12 = 144 cm2
Resolución
Rpta. D
∴
- 112 -
V = 40
Rpta. A
Octaedro
Rpta. C
10
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
Resolución
11
15
4 πR2 = π ⋅ 4 5 + 4 ⇒ R = 3
b
4 2 + 22 = 2 5
AB =
V=
4 4 πR3 = π 33 3 3
∴
V = 36 π cm3
ABC es de 30° y 60° 2 5=
∴
AC =
Resolución
AC 3 2
4 15 3
g
Rpta. D
NIVEL II
Rpta. B Resolución
1
+ C20 + 18 ⋅ 20 N° planos = C18 3 3
12
V=B⋅h
N° planos =
18 ! 20! + + 360 3 ! 18 − 3 ! 2 ! 20 − 2 !
N° planos =
18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ! 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ! + + 360 3 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 15 ! 2 ⋅ 1⋅ 18 !
b
b
g
g
N° planos = 816 + 190 + 360
∴ P ⋅4 5a ⋅ 4 ⋅h ⋅h = = 10 ⋅ a ⋅ h V= B 2 2 V = 10 ⋅16
∴
V = 160 cm3
Resolución
N° planos 1366
Resolución
Rpta. B
2
Rpta. D
13 Pitágoras:
e
DC2 = 42 + 4 2
∴
e 2 11j2 − e2 2 j2 ⇒ h = 6 2 1 1 V = B ⋅ h = e4 2 j ⋅ 6 V 3 3
h2 =
∴
V = 64 cm3
Resolución
DC = 4 3
Resolución
j2
Rpta. D
3
Rpta. B
14 α + x + x + β = 170° α + x + β + x = 170° 140° + x = 170°
∴
VV = πr ⋅2 h = π ⋅ 22 ⋅ 2
∴
V = 8π cm3
Rpta. C - 113 -
x = 30°
Rpta. B
Resolución
Resolución
4
8
AC = 6 2
V=
BC = 6 3 V= x OC = AB BC 3 2
OMC
x = 6 6 3
∴ Resolución
∴
BAC:
x=
Resolución
6 cm
54
⋅a
b⋅9 a ⋅b⋅9 9⋅9 ⋅a = = 2 2 2
V = 40,5 cm3
Rpta. D
9
Rpta. A
5 D=a 2 12a = 144 ⇒ a = 12
∴ D = 12 2 Diferencia = π 32 ⋅ 6 −
Rpta. C
4 3 π3 3
∴ Diferencia = 18 π cm3 Resolución
Resolución
V= 16 2 a 3 = 3 12
a3 2 12 2
⇒
= 8 3 cm2
Resolución A=
∴
10
3⋅4=5⋅r
22 = 8⋅ 4
∴
Rpta. B
6
∴
a=4
Resolución
r = 2,4 cm
Rpta. A
11
3 Rpta. E
7 5 ⋅ 10 + 4 ⋅ 15 + 3 ⋅ 20 2 A = 85
64 = a3 ⇒ a = 4
Rpta. E
2R = a 3 2R = 4 3
∴ R = 2 3 cm Rpta. C
- 114 -
Cuarto Año de Secundaria
Resolución
Resolución
12
2
Usando relaciones métricas: AB2 = 8 ⋅ 5 = (4 + x) 4 r=
∴
2 R 2 R ⇒ = 2 r 2
circunscrita
=
inscrita
4 πR 2 4 πr 2 c
∴
i
Resolución
=
F R I2 F 2 IJ2 =G J =G HrK H 2K
2
Rpta. D
1
Resolución F=
x=6 3
C ⋅ V ⋅ D 20 ⋅ 12 ⋅ 12 = A 30 ∴ F = 96 Rpta. C
Resolución
4
13
Thales: 12 9 = x x−7
h3 V = 3 32 2h
∴ x = 28 cm
∴ V = 4 cm3
Rpta. E
b g
Rpta. B
Resolución
Resolución
EB2 =
14 3R = 9 ⇒ R = 3
5
e 2 j2 -1
2
⇒ EB = 1
4 4 πR3 = π 33 3 3 ∴ V = 36 π Rpta. E
V=
ECB es equilátero
∴ Resolución
Rpta. E
15
Resolución =π
∴
φ = 60°
Rpta. D
6
e 3 j2
= 3π cm2 Rpta. B
NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución
HFE es de 37° y 53°.
∴
1
3 ⋅ 6 + 6 ⋅ 10 ⇒ A = 39 2 En el prisma: A1 = 3n (n: número de aristas de la base) A=
Resolución
Pero: A = A1
39 = 3n ⇒ n = 13 N° vértices = 2n = 2 ⋅ 13
∴
N° vértices = 26
Rpta. C - 115 -
EF = 16 cm 7
Rpta. A
Por semejanza: a 6 2
=
V2 = Vcubo − 2 V1
m ⇒ a=2 2 3m
e
Vcubo = a3 = 2 2
5 x3 x3 = a3 − 2 3 6 a 3 = 2 Rpta. B ∴ x
3
j
∴ Vcubo = 16 2 cm3
Rpta. B Resolución
Resolución
8
V=Bh= 30 ⋅ 8 =
∴
54
Resolución
12
= 24
54 54
⋅a
R2 = (R − 3)2 + 5 3
e
⋅ 10
cm2
BO2 =
Rpta. A
9
∴
140 =
14 ⋅ DH ⇒ DH = 2
Resolución
j2 ⇒ R = 14
FG 35 IJ 2 − 142 H2K
BO =
21 2
Rpta. D
13
20
DAH: AH2 = DH2 − AD2 AH2 = 202 − 162 ⇒ AH = 12 V=B⋅h 14 ⋅ 12 v= × 20 2 ∴ V = 1680 cm3 Rpta. D Resolución
V = πr 2 h
V= π
FG 3k IJ 2 ⋅ 4k = 576 π ⇒ H2K
Poncelet:
10
3k + 4k = 5k + 2R ⇒ R = k = 4 Vesfera =
∴ 56
∴
= 2⋅ 56 =
Resolución
42 4
3 + 2⋅
2 6 ⋅ 10 2
4 3 2 + 5 cm2
e
j
Rpta. A
11 V2 = 10 ⋅ V1
V2 = 10 ⋅
k=4
5 x3 x⋅x⋅x ⇒ V2 = 3 6
- 116 -
4 3 π4 3 Vesfera =
256 π cm3 3
Rpta. A
Cuarto Año de Secundaria
CAPÍTULO 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA Pag. (486) NIVEL I Resolución
Resolución
1
• •
( −3 − 5)2 + (−1− 5)2
d(A, B) = 10 u Resolución
Rpta.: C
S∆ABC =
Aplicando la fórmula respectiva: 2
M = (1 ; 6) Resolución
Resolución •
2
7
Aplicando la fórmula respectiva:
G = (1; 3)
3
Rpta.: E
En la figura se cumple: Resolución
A+C → C = 2B – A 2 C = 2(0; 4) – (–4; 2) → C = (4 ; 6)
•
Resolución
Calculando la longitud de cada lado del ∆ABC tenemos: AB =
(3 + 1)2 + (5 − 2)2 = 5
BC =
(2 − 3 )2 + (−2 − 5)2 = 5
AC =
(2 + 1)2 + (−2 − 2)2 = 5
Resolución •
(
)
∴ 2p = 5 2 + 2 u
y = 2(x – 1) + 2
Rpta.: B
Resolución •
Rpta.: B 10
Aplicando la ecuación respectiva:
a = 2 x y + =1 a b b = 3
2 3
x y + = 1 → 3x +2y –6 = 0 2 3
2 2 1+ 3 · 11 2 + 3 · 7 ; → P= 2 1 + 2 1+ 3 3
P = (5 ; 4)
De acuerdo a la ecuación:
y = 2x
5
→ r=
9 m = 2 (x 0; y0 ) = (1; 2)
La razón de la división es: AP 2 = PB 3
Rpta.: C
y = m(x – x0) + y0
2
2p = 5 + 5 2 + 5
Resolución
7−3 4 = 3 − ( −1) 3 + 1
m=1
4
8
La pendiente será: m=
Rpta.: D
•
Rpta.: C
−4 + 1 + 6 −2 + 7 + 4 G= ; ; G: baricentro 3 3
Rpta.: A
B=
•
1 22 − (−4 ) 2
S∆ABC = 13 u2
2
(−3 ; 4 ) + (5 ; 8) = (2 ;12) M=
•
Hallamos el área, tenemos:
Aplicando la fórmula respectiva: d(A; B) =
•
6
Rpta.: E - 117 -
Rpta.: A
NIVEL II Resolución •
Resolución •
1
Graficando tenemos:
Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y B: i) m =
−3 + 7 5 − 1 M= ; 2 2
5
2−6 → m = –1 2 − ( −2 )
m = −1 ii) y = m(x – x0)+y0 (x 0; y0 ) = (2 ; 2)
M = (2; 2)
y = –1(x–2) + 2 y = –x + 4 • C AM =
y = 0 → 0 = –x + 4 x=4
(2 + 2)2 + (2 + 1)2
AM = 5 u
Hallamos el punto de corte de la recta y el eje de abscisas:
∴ El punto es (4 ; 0)
Rpta.: B
Resolución Resolución •
2
De los datos: L1 : ax + 6y + 1 = 0
AB = CD =
( −3 − 0)
L2 : 3x + 2ay – 7 = 0
BC = AD =
(5 + 3)2 + (10 − 4)2 = 10
2
+ (4 − 0 ) = 5 2
L1 //L2 :
Rpta.: E 3
•
1 ·b 2 → b=4 1 1+ 2
−2 +
Rpta.: C
7
Sea la recta L1: 2x–3y + 1 = 0 Su pendiente será: m1 =
•
L
L1 → m · m1 = –1 2 m · = −1 3
∴
m= −
a+b=5
Rpta.: A
4
•
Hallando el área tenemos:
2 3
Sea “L” la recta cuya ecuación se desea conocer y “m” su pendiente:
1 a + ·10 2 → a=1 ii) Ordenada: 4 = 1 1+ 2
Resolución •
Resolución
AP n 1 = = Notamos que: r = PB 2n 2
i) Abscisa : 0 =
a 6 → a2 = 9 = 3 2a
a=3
∴ 2p = 2(5+10) → 2p = 30 u
•
6
En el paralelogramo ABCD:
Resolución
Rpta.: C
3 2
Además P(3 ; 1) ∈ L , entonces
3
L : y = m(x –x0)+y0 m = − 2
(x0 ; y0 ) = (3 ;1)
L: y=−
3 (x − 3 ) + 1 2
L : 3x + 2y – 11 = 0 SP =
1 50 − ( −56 ) 2
SP = 53 u2
Rpta.: D - 118 -
Rpta.: A
Cuarto Año de Secundaria
Resolución •
8
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Hallamos el punto de intersección de L1 y L2 : x+2 3x+6= 2
L1 : y = 3x + 6
x = –2
x+2 L2 : y = 2
Resolución •
1
Sabemos que: G =
A +B + C 3
C = 3G – A–B → C=3(2;3)–(–2;2)–(3;5)
y=0
C = (5; 2)
Rpta.: A
⇒ L1 ∩ L2 = P(–2 ; 0) •
Sea “L” la recta cuya ecuación se desea conocer: m = −1
L: y = m(x – x0) + y0 (x ; y ) = (−2 ; 0) 0 0 y = –1(x + 2)+ 0 L:x+y+2=0 Resolución •
Rpta.: D
Resolución •
2
Según los datos se tiene:
(5n + 1+ 1)2 + (7 − n)2 = 13
d(A;B)=13 →
25n2 + 20n + 4 + 49 – 14n + n2 = 169 13n2 + 3n – 58 = 0 → (13n+29)(n – 2) = 0 29 13n + 29 = 0 → n = − 13 n − 2 = 0 → n=2
9
Graficando tenemos:
Pero A∈Q2 → n > 0 n=2
Rpta.: D
Resolución •
i) mBC = ii) L
Realizamos un bosquejo:
0−4 2 =− 6−0 3
BC
→ mL · mBC = –1
2
mL · − → 3 •
mL =
3 2
Nos piden la ecuación de “L” (A∈L)
i) AC =
3 mL = 2 L : y = mL(x – x0)+y0 (x ; y ) = (1;1) 0 0
ii) AM = MC =
iii)
Rpta.: B
BMC BM =
10 3 (6 ) + 4 ( 5 ) + 2
d(P ; L) = 8 u
(5 10 )
2
− (5)
2
BM = 15 iv) BD = 2BM = 2(15)
Aplicando la fórmula correspondiente: d(P ; L) =
AC 2
AM = MC = 5
L : 3x – 2y – 1= 0
•
(4 + 2)2 + (9 − 1)2
AC = 10
3 y = (x − 1) + 1 2
Resolución
3
32 + 42
=
40 5
BD = 30 • Nos piden: SABCD = SABCD = 150 u2
Rpta.: C
- 119 -
1 1 AC · BD = (10)(30) 2 2
Rpta.: E
Resolución •
i) y = 0 → x – 8 = 0
4
x=8
Aplicando la fórmula respectiva: −11− 15
d(L1; L2) =
2
2
5 + 12
=
⇒ A(8; 0)
26 13
ii) x = 0 → 2y – 8 = 0 y=4 ⇒ B(0; 4)
d(L1; L2) = 2 u Rpta.: B Resolución •
Si C∈L: y = x
→ C = (x ; x)
Además C∈Q1 → x > 0 •
Calculando el área tenemos:
1 (8 )(4 ) 2
AOB =
iii) S
5
AOB = 16 u2
S Resolución
Rpta.: A
8
1 Sabemos que P(x; y)∈L : Y= − x − 4 2
•
1 2
entonces: P = x ; − x − 4
1 S = (8 − 4x ) − (4 + 6x ) 2
28 = 2 − 5x
•
Por condición del problema d(A ; P) = d(B ; P)
26 2 − 5x = 28 → x = − ¡No! 5 → 2 − 5x = −28 → x = 6
∴ C = (6 ; 6) Resolución
•
2
(x − 1)2 + −
1 x − 4 − 9 = 2
Rpta.: C
1
1 x − 4 − 3 2
2
1
6
Operador: 18x = –72 entonces: y = −
Resolución •
→ x = –4
1 (−4 ) − 4 → y = –2 2
∴ P(–4 ; –2)
Rpta.: B
9
Analizando el gráfico:
i) AC = d(L1; L2) pero: L1// L2, entonces
ii)
3 − ( −1)
=2 2
(1)2 + (−1)2
ACB : AB = 2 2 csc30° AB = 4 2
Rpta.: D
Por propiedad: Resolución •
(x–1)2 + − x − 13 =(x–7)2+ − x − 7 2 2
Analizando la figura se observa:
AC =
2
(x − 7)2 + −
7
Según los datos
AC 3 3 = → r= BC 2 2
3 3 1+ 2 · 11 9 + 2 · 4 C= ; → C = (7 ; 6) 3 1+ 3 1+ 2 2
- 120 -
2
Cuarto Año de Secundaria
•
Hallamos “m” : m = ⇒ L:y=
6 x 7
6 7
AB =
(9 − 1)2 + (8 − 2)2
AB = 10 ∴
6x – 7y = 0
Rpta.: A
En el
APB: AP2 + BP2 = AB2
[(x–1)2+(y–2)2] + [(x–9)2+(y–8)2] =(10)2 Resolución •
10
x2 –10x + y2 –10y = –25
Del enunciado:
(x–5)2+(y–5)2 = –25 + 50 y = 5 ± 25 − ( x − 5)
2
Pero: “y” es máximo, entonces: 2 y = + − − 5 25 ( x 5) máx mín = 0
→ x=5 x − 5 = 0 y = 5 + 25 → y = 10
∴ P = (5 ; 10)
Rpta.: C
CAPITULO 18 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE COMBINATORIA Y BINOMIO DE NEWTON (Pág. 524) Nivel I Resolución *
*
*
1
Analizando las alternativas, tenemos que:
Si: x = 2 (x – 1)! = x + 2 à ⇓ ⇓ (2 – 1)! = 2 + 2 1! = 4 ← No cumple 1 =4 Si: x = 3 à (x – 1)! = x + 2 ⇓ ⇓ (3 – 1)! = 3 + 2 2! = 5 ← No cumple 1×2 =5
Resolución
Sabemos que:
12! + 13! + 14! 12! + 13!
n! = (n – 1)! × n n! = (n – 2)! × (n – 1) × n
A=
12! + (13 − 1)!·13 + (14 − 2)!·(14 − 1)·14 12! + (13 − 1)!·13
A=
12! + 12!·13 + 12!·13·14 12! + 12!·13
A=
12!(1+ 13 + 13·14) 12!(1+ 13) A= ∴
⇓ ⇓ (4 – 1)! = 4 + 2 3! = 6 ← Cumple 1×2×3 = 6 x =4
A=
Entonces, tenemos que:
Si: x = 4 à (x – 1)! = x + 2
∴
2
Rpta.: C
- 121 -
196 14
A = 14
Rpta.: B
Resolución 3 S=
S=
10! 10! + 4!× 6! 5!× 5!
Resolución 8 Sea P6 el número de maneras distintas en que pueden sentarse los 6 niños. Como intervienen todos los elementos, se trata de una permutación.
6! × 7 × 8 × 9 ×10 5! × 6 × 7 × 8 × 9 ×10 + 4!× 6! 5! × 5! 3
2
Luego:
2
7 × 8 × 9 ×10 6 × 7 × 8 × 9 × 10 + S= 1× 2 × 3 × 4 1× 2 × 3 × 4 × 5 1
P6 = 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 ∴ Los niños se pueden ordenar de 720 maneras.
1
S = 210 + 252 ∴
S = 462
Rpta.: A
Rpta.
10 blusas, 4 faldas y 3 pares de zapatos.
Resolución 9 Sean los amigos: A; B; C; Hugo y Kike. Las ordenaciones se pueden presentar de la siguiente forma:
Entonces:
i) A
n° de maneras diferentes = 10 × 4 × 3 = 120 Rpta.: D
ii) A
Resolución 4
Resolución 5
Se tienen:
C
Hugo
à B
iii) A
iv) Hugo à
Kike
C
n° de formas = 3! × 2!
Hugo à
cdu ⇓⇓⇓ 1 1 2 2 2 4 3 3 6 4 4 5 5 6 6 6×6×3 = 108
Kike
n° de formas = 3! × 2! Hugo
à
Los números pares de tres cifras sobre la
forma cdu .
Kike
B
C
n° de formas = 3! × 2! Kike
A
B
C
n° de formas = 3! × 2!
Luego: Total = 4 × (3! × 2!) = 4 × 6 × 2 = 48 ∴ n° de maneras = 48 Rpta.: B
3 dígitos para elegir (unidades) 6 dígitos para elegir (decenas) 6 dígitos para elegir (centenas)
Resolución 10 • • •
∴ Es posible formar 108 números pares de tres cifras. Rpta.: E
De “A” hacia “B” hay: 4 caminos. De “B” hacia “C” hay: 5 caminos. De “C” hacia “D” hay: 3 caminos.
Luego: n° de maneras = 4 × 5 × 3 = 60 Rpta.: D
Resolución 6 •
B
1° evento: Lanzar un dado. à Puede salir: 1; 2; 3; 4; 5; 6 (6 posibilidades) 2° evento: Lanzar una moneda à Puede salir: Cara o sello (2 posibilidades Luego, aplicamos el principio de adición:
Resolución 11
Área
Ruta Ruta Ruta Ruta Ruta
1 2 3 4 5
5 formas
Rpta.: C
Marítima
Ruta Ruta Ruta Ruta
1 2 3 4
4 formas
Resolución 7 Se trata de elegir dos personas (presidente y secretario) de un total de 6. Como sí interesa el orden en que deben elegirse, se trata de una variación:
Terrestre
Ruta 1 Ruta 2 3 formas Ruta 3
•
n° de resultados diferentes = 6 + 2 = 8
n° de maneras = V26 =
4! × 5 × 6 6! = (6 − 2)! 4!
Luego: Aplicamos el principio de adición: n° de formas = 5 + 4 + 3 = 12
∴ n° de maneras = 30 Rpta.: C
- 122 -
Rpta.: A
Cuarto Año de Secundaria
Resolución 17
Resolución 12 Sean los ómnibus a; b; c y d.
*
De un total de 8 personas se forman grupos de 3 personas cada uno, sin importar el orden, entonces tenemos:
*
Si voy en el ómnibus “a”, puedo regresar en 3 ómnibus → hay 3 formas.
*
Si voy en el ómnibus “b”; puedo regresar en 3 ómnibus → hay 3 formas.
*
Si voy en el ómnibus “c”; puedo regresar en 3 ómnibus → hay 3 formas.
=
5! × 6 × 7 × 8 3!× 5!
*
Si voy en el ómnibus “d” puedo regresar en 3 ómnibus → hay 3 formas.
=
6 × 7× 8 = 56 6
8! = 3!(8 − 3)!
n° de grupos = C83
Luego:
∴ Se forman 56 grupos.
Rpta.
n° de maneras de viajar = 3 + 3 + 3 + 3 ∴ n° de maneras de viajar = 12 Rpta.: B Resolución 13 Como los soldados son los que cambian de lugar, entonces el número de maneras que se disponen en la fila será:
Resolución 18 *
Luego:
n° de maneras = P6 = 6! =1×2×3×4×5×6 ∴ n° de maneras = 720
De un grupo de 6 pesas se forman grupos de 3 pesas cada uno, sin importar el orden en que se eligen.
Rpta.: D
6! = 3!× 3!
Resolución 14 *
De un total de 9 platos se escogen 4. 9! à n° de formas = C94 = 4!(9 − 4)! 1
6! = 3!(6 − 3)!
n° de pesadas = C63
=
2
3! ×4×5× 6 = 20 3! × 6
∴ Se pueden obtener 20 pesadas
5! × 6 × 7 × 8 × 9 = = 126 24 × 5!
Rpta.: B
4 1
∴ El menú se puede escoger de 126 formas Rpta.: A
Resolución 19 De un grupo de 5 dígitos, se pide formar números de 3 cifras, sin que se repita ninguno de ellos. Como Sí interesa el orden, se trata de una variación:
Resolución 15 Tenemos 5 colores y debemos ordenarlos de 3 en 3 en forma horizontal importando el orden.
n° de números
Luego: n° de banderas =
V
5 3
=
5! = (5 − 3 )!
5! = V35 = (5 − 3)! 2! × 3 × 4 × 5 = 60 2!
∴ Se pueden formar 60 números de 3 cifras.
Rpta.: A
1× 2 × 3 × 4 × 5 n° de banderas = = 60 1× 2 ∴ Se pueden diseñar 60 banderas. Rpta.: D Resolución 16 Vemos que es una permutación circular: Como son 5 niñas, entonces: n = 5 Luego:
Resolución 20 Se trata de elegir 3 personas (presidente; secretario y tesorero) de un total de 7. Como sí interesa el orden en que deben elegirse, se trata de una variación:
PC(5) = (5 – 1)! PC(5) = 4! = 1 × 2 × 3 × 4
n° de grupos = V37 =
4! ×5×6×7 7! = (7−3)! 4!
∴ n° de grupos = 210 Rpta.: A
PC(5) = 24 ∴ Las niñas se pueden agrupar de 24 maneras diferentes. Rpta.: E
- 123 -
Resolución 21 Sea: (a – b)15
Resolución 24 Hallamos los tres primeros términos:
Como la base del binomio es una diferencia, tenemos que:
C2 − 1 C
n tk+1 = (−1)k an−k ·bk k En este caso: k + 1 = 10 ← Término pedido à k=9
14
C2 − 1 C
9 15 15−9 9 ·b t10 = (−1) a 9
t10 = -5005a6b9
( )
14−1
1 · C
( )
14
C2 − 1 C
t10 = (–1) · 5005 · a6 · b9 ∴
( )
14 14 14 = C2 − C2 0 1
14 2 14 −2 1 2 · − … + C C 2
Además: n = 15 Luego:
14
28
=C
26
− 14C ·
28
1 24 1 + 91C · 2 − … C C
25
22
C − 14C = + 91C − … 3 primeros términos
∴ Los tres primeros términos son:
Rpta.: B
C28 - 14C25 + 91C22 n tk +1 = an−k ·bk k
Se sabe que:
a=2
b=x
Luego:
9 9−6 6 × t 7 = ⋅ (2 ) 6
A= Luego:
t7 = (84)(2)3 · x6 6 t7 = 672 x coeficiente
∴ El coeficiente del 7° término es 672.
Donde: à
(x
)
n = 8 ← es par
tcentral = t 8+2
n−1
1
n−1 1 4 ·(ab)2
t2 = n·a
n−1 1 1 4 ·a 2 ·b 2
n−1 1 + 4 2· n+1 4 ·
b
b
n+1 4 ·
6 b = k·a b
Por comparación de términos, tenemos que:
n tk+1 = an−k ·bk k
n +1 =6 4
→ k=4
∴
Además: n = 8 a = x3 ; b = y7
Donde:
4
t2 = n·a
n·a
tcentral = t5 Hallamos el 5° término:
( ) ( )
8 3 8−4 7 y t5 = x 4 t5 = 70 x12 · y28
( a ) ·( ab )
Según el enunciado, tenemos que:
2
Luego:
n t2 = 1
t2 = n·a
2
Si: k + 1 = 5
n
ab
a ; B=
t2 = n·a
tcentral = t n+2
Se sabe que:
4
Rpta.: E
7 8
+y
)
Si k + 1 = 2 → k = 1
Donde:
Resolución 23 Sea:
a + ab
n n−k k tk +1 = ·A ·B k
Se sabe que:
Además: n = 9
3
4
Hallamos el 2° término.
k + 1 = 7 ← término pedido k=6 ∧
(
Resolución 25 Sea:
En este caso: à
Rpta.: C
(2 + x)9
Resolución 22 Sea:
4
G.A. = 12 + 28
∴ Grado absoluto = 40 Rpta.: A - 124 -
n = 23
Rpta.: D
Cuarto Año de Secundaria
Nivel II
Resolución 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sea:
Resolución 1 *
La pareja se puede ubicar de: 2! maneras.
*
Los 4 amigos se pueden ubicar de: 4! maneras
CA JA MARCA CJ AAMARCA CAMAR JACA etc.
Luego: n° de maneras = 2! × 4! = 2 × 24 ∴ n° de maneras = 48 Rpta.: C Resolución 2 2H y 2M) (
El comité puede estar integrado por:
Palabras diferentes
Total de elementos:
n=9
Elementos repetidos:
A → 4 veces C → 2 veces
Total de permutaciones:
o (3H y1M) o (4H)
9
P4,2 =
C52 × C26 + C53 × C16 + C54 =
4! ×5×6×7×8×9 9! = = 7560 4!× 2! 4! × 2
∴ Se obtienen 7560 ordenamientos.
5! 6! 5! = 2!(5 − 2)! × 2!(6 − 2)! + 3!(5 − 3)! × 6 + 5
Rpta.: A Resolución 7 la forma:
5× 4 6×5 5× 4 × + ×6 +5 2 2 2 = 150 + 60 + 5 = 215 =
Los números pares de 4 cifras serán de
abc2 o abc4 o abc6 Donde a; b y c se escogerán de entre los 5 dígitos:
∴ El comité se puede escoger de 215 maneras. Rpta.: D
{1; 3; 4; 5 y 6} para el número abc2 ;
Resolución 3
{1; 2; 3; 5 y 6} para el número abc4 y
•
à n° de maneras = •
{1; 2; 3; 4 y 5} para el número abc6 , Luego:
De un total de 8 hombres se escogen 2 8 C2
= 28
Total de números = V35 + V35 + V35
De un total de 7 mujeres se escogen 3 à n° de maneras = C73 = 35
•
5! 5! 5! = (5 − 3)! + (5 − 3)! + (5 − 3)!
n° de maneras de escoger
= 60 + 60 + 60
8 7 2H y 3M = C2 × C3 = 28 · 35 = 980 Rpta.: A
∴ Total de números = 180
Resolución 4 Designemos por “A” y “B” a la pareja de esposos divorciados y por “C” a los 6 amigos. A
B
C
C
C
C
C
Resolución 8 Total de arreglos de tres cifras a, b, c diferentes, siendo c una cifra par:
C 7[6! × 2!]
a b c ⇓⇓⇓ 0 0 0 1 1 2
Para determinar la solución vamos a restarle al total de ordenaciones las ordenaciones donde A y B estén juntos. 8! – 7[6! × 2!]
2 2 4 6 9 9 8
7!(8 – 2) = 6 × 7! ∴n° de maneras = 6(7!)
Rpta. C
8×9×5 = 360
Resolución 5 Las señales se pueden hacer izando una; dos; tres; cuatro o cinco banderas importando en cada caso el orden. Por lo tanto:
De éstos, hallamos el total de arreglos que han empezado con cero.
n° de señales = V15 + V25 + V35 + V45 + V55 n° de señales =
Rpta.: B
5! 5! 5! 5! 5! + + + + (5−1)! (5− 2)! (5− 3)! (5− 4)! (5−5)!
n° de señales = 5 + 4 · 5 + 3 · 4 · 5 + 120 + 120 ∴ n° de señales = 325 Rpta.: E - 125 -
0b ⇓ 1 2
c ⇓ 2 4 6 9 8 8×4 = 32
Luego, el total de números pares de tres cifras distintas es: 360 - 32 = 328 Resolución 9
Rpta.: B
Resolución 13 * Como los 2 primeros símbolos son vocales (a, e, i, o, u), tenemos que: n° de formas = V25 + V15
Los números enteros positivos de tres
= 20 + 5
cifras son de la forma: c du
n° de formas = 25
c du ⇓⇓⇓ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7×7×7 = 343
*
Como los 3 últimos símbolos son números de 3 cifras mayores o iguales que 100; tenemos que: Los números serán: 100; 101; 102; … ; 998; 999 La cantidad de números será: 999 - (100 - 1) = 900 Luego: n° de placas = 25 × 900 = 22 500
∴ Se pueden formar 343 números.
∴ Se pueden hacer 22 500 placas
Rpta.: D
Rpta.: C
Resolución 10 •
Números de 1 cifra: 6
Resolución 14
•
Números de 2 cifras: 6 × 6 = 36
•
Los hombres se pueden ubicar de: 4! formas
•
Números de 3 cifras: 6 × 6 × 6 = 216 Total de números = 6 + 36 + 216 = 258
•
Las mujeres se pueden ubicar de: 3! formas
•
Hombres y mujeres se pueden ubicar de:
∴ Se pueden formar 258 números
4! × 3! = 144 Rpta.: A
∴ Pueden pasear de 144 maneras
Resolución 11 Número de formas de extraer 3 libros de matemática de un total de 7, y 2 libros de física de un total de 4:
Rpta.: C Resolución 15 Se forma el grupo de la siguiente forma:
C73 × C24
= 210
2M y 4H (Siempre hay 2 mujeres)
Cada una de estas 210 maneras de coger los 5 libros se pueden ordenar en la repisa de 5! maneras diferentes. Por tanto:
7 4! 7! C24 × C 4 = 2!(4 − 2)! × 4!(7 − 4)! = 6 × 35
n° total de ordenaciones = 210 × 5!
∴ n° de maneras = 210
Rpta.: B
= 25 200 Rpta.: A Resolución 16
Resolución 12 •
•
El primer número se puede escoger de los números {2; 4 y 6}; obteniendo: C13 = 3 El segundo número se puede escoger de los números {2; 4 y 6}; obteniendo:
I) Como se incluye siempre un libro, se seleccionan 4 libros de un grupo de 11, obteniendo: n° de maneras = C11 = 330 4 II) Como se excluye siempre un libro, se seleccionan 5 libros de un grupo de 11, obteniendo: = 462 n° de maneras = C11 5
3
C1 = 3 •
El tercer número se puede escoger de los números {2; 4 y 6}; obteniendo: C13
=3
Resolución 17 •
De 5 físicos, se escogen 3 à n° de maneras = C53 = 10
Las combinaciones serán: C13 × C13 × C13
Rpta.: A
= 3 × 3 × 3 = 27
•
De 4 químicos, se escogen 2 à n° de maneras = C24 = 6
Luego: Existen 27 combinaciones posibles, como solo una es la correcta, entonces el mayor número de combinaciones erradas es 26. Rpta.: A
•
- 126 -
De 3 matemáticos, se escoge 1 à n° de maneras = C13 = 3
Cuarto Año de Secundaria
Resolución 20 Sea t k+1 el que le corresponde a 120x14y3. Como solo se desea calcular el lugar que ocupa, basta con encontrar el valor de (k + 1).
C53 × C24 × C13 = 10 × 6 × 3
Luego:
= 180 ∴ Se pueden formar 180 grupos Rpta.: D 1 Resolución 18 Sea: x + 4 2 Hallamos el 3° término: Datos:
n
n−2
n! 1 · 2!·(n − 2)! 2
·xn−2 ·16
Rpta.: D Resolución 21 Sea tk+1 el término pedido. Como solo se desea calcular el lugar que ocupa, basta con encontrar el valor de (k + 1).
1
n− 2
2
⋅ xn− 2
Veamos:
Coeficiente del tercer ter mino
( )
Según el enunciado:
2 n–1= 3 2 n – 1 = 2n – 3
2(n − 1) n 2 =1 2 2
∴
14 −k
· (2y)
k
)
14
14 tk+1 = 2k · x28−2k ·yk k
Según el enunciado, el grado absoluto es 17: à (28 – 2k) + k = 17 28 – k = 17 k = 11 à k + 1 = 12
n
2(n − 1) n 2 2 ·2− = 1
2
14 tk+1 = x2(14 −k) ·2k ·yk k
n
2 1 n – 1 = 2· 2 2
8 · n (n − 1) = 4n n−2 2
n = 5 Rpta.: A
∴ El término pedido ocupa el lugar: 12
Resolución 19 Sea tk+1 el que contiene al término independiente, es decir, al que contiene : “a0”. Como solo se desea calcular el lugar que ocupa, basta con encontrar el valor de (k + 1).
Resolución 22 Sea: A =
18
1 Veamos: a2 + 2 a
18−k 1 k 18 tk +1 = a2 · 2 a k
( )
➠
18 1 − tk +1 = a2(18 k) · 2k k a
18 a36−2k 18 tk +1 = 2k tk +1 = a36−2k−2k ➠ k a k Igualando el exponente final de “a” a cero:
A=
(n − 1)!·n·(n + 1) − (n − 1)!·n −n (n − 1)!
A=
(n − 1)! (n(n + 1) − n) −n (n − 1)!
A=
n(n + 1) − n − n
A=
n2 + n − n − n
A = n2 − n A=n–n → A=0 Rpta.: D
x! + (x + 1)! + (x + 2)! 1 = (x + 3)! − (x + 2)! 2000
k=9
à k + 1 = 9 + 1 = 10 ∴ El término independiente ocupa el lugar 10. Rpta.: A - 127 -
Rpta.: B
(n + 1)! − n! −n (n − 1)!
Resolución 23
36 – 2k – 2k = 0 36 = 4k →
(
P(x; y) = x + 2y
14 tk+1 = x2 k
2
·yk
∴ Al término -120x14y3 le corresponde el lugar: 4 8
n (n − 1)
10−k
De la variable “y” vemos que los exponentes deben ser iguales, entonces tenemos que: k=3 à k+1=4
(n − 2)! ·(n − 1)·n 1 · n−2 ·xn−2 · 16 t3 = 2 · (n − 2)! 2 t3 = 8 ⋅
·yk
( )
k 10 −120x14 y3 = (−1) x2 k
n 1 n−2 2 t3 = 2 x ·4 2
➠
10−k
Igualando el valor de tk+1 con el dato, obtenemos:
k=2
1 x 2 b=4
t3 =
10
( )
a=
n n−k k tk+1 = a ·b k
2
10 tk+1 = (−1)k x2 k
à
k+1=3
(x − y)
Veamos:
x!+ x!(x +1) + x!(x +1)(x + 2) 1 = x!(x +1)(x +2)(x + 3)− x!(x +1)(x +2) 2000
x![1+ (x + 1) + (x + 1)(x + 2)] 1 = x!(x + 1)(x + 2)[(x + 3) − 1] 2000
•
x + 2 + (x + 1)(x + 2) 1 = (x + 1)(x + 2)[x + 2] 2000 (x + 2)(1+ (x + 1)) 2
(x + 1)(x + 2)
=
1 = C66
Pero:
De la propiedad: Ckn−1 + Ckn = Ckn+1 Obtenemos:
1 2000 ∴
x = 1999
Rpta.: C
*
Hallamos el primer término: à k+ 1 = 1 → Luego:
Hallamos el término de lugar 9: à k + 1 = 9 → k = 8
n t10 = 3 · ·xn−9 ... (II) 9
*
Luego:
1
( )
320 = a
Rpta.: D
Cxx +−23
=
De la propiedad: Ckn = Cnn−k
•
7 20
−1 20
3 = a–1 → a =
à
1 3
Hallamos el término de lugar 18.
Cxx +−15
Luego: 20−17
2 20 t18 = 3 1 x3
17 3
−1 •
x +3 = C5 x +5 = C6
Luego: C4x +3 + C5x +3 = C6x +5 − 1
17
1 · · y7 3
17
3 7 t18 = 1140 · x · y 3 3 9
119
t18 = 1140· x3 · y 17 3 3
Obtenemos: +3)+1 C(x = C6x+5 − 1 5
9
119
x ·y t18 = 1140· 20 3
C5x +4 = C6x +5 − 1 x 4 C5+
3
De la propiedad: Ckn−1 + Ckn = Ckn+1
Obtenemos:
x +5 C(x +5)−(x−1)
( )
· ay
à k + 1 = 18 → k = 17
x + 3 x + 3 x + 5 + = −1 4 x − 2 x −1
•
20 −20
1 20 a 20 3 = a–20
Resolución 25
x +3 C(x +3)−(x−2)
)
320 =
*
•
(
320 a40 = a20
1 1 = n−8 3
+
20
t21 = 3a2 x3 20
Como los coeficientes del primer y último término son iguales, tenemos que:
3
Cx4+3
20
Coeficiente del último término
n n = 3 8 9
n = 11
)
t21 = a20 · y140
1 3 = 8! · (n − 9)! ·(n − 8) 8! · 9 · (n − 9)!
∴
0
Hallamos el último término (término de lugar 21)
Según el enunciado los coeficientes de (I) y (II) son iguales, entonces tenemos que:
n–8=3
( )
· ay7
à k + 1 = 21 → k = 20
Coeficiente
n! n! = 3· 8!·(n − 8)! 9!·(n − 9)!
20− 0
Coeficiente del primer término
9
➠
)
t1 = 320 · a40 · x60
Hallamos el término de lugar 10: à k + 1 = 10 → k = 9
8 n 9 n 3 · = 3 9 8
(
20 2 3 t1 = 3a x 0 2 3 t1 = 3a x
Coeficiente
n Luego: t10 = xn−9 ·39 9
k=0
(
n n Luego: t9 = ·xn−8 ·38 à t9 = 38 · ·xn−8 ... (I) 8 8 *
Rpta.: B
à El último término será el término de lugar 21.
Resolución 24 Sea: (x + 3)n *
x=2
P(x; y) = (3a2x3 + ay7)20 tiene (20 + 1) términos.
x + 1 = 2000
1 = 2 2000 (x + 1)(x + 2)
∴
x+4=6
Resolución 26
1 1 = x + 1 2000
(x + 2) (x + 2)
C5x +4 + C66 = C6x +5
Luego:
x 5 + 1 = C6+
t18 =
- 128 -
380 9 119 ·x y 19 3
t18 = 380 ·3−19 x9 y119 Coeficiente
∴ El coeficiente de término 18 es: 380 · 3-19 Rpta.: A
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