Matematike 2, integrali

Priprema za drugi seminarski iz matematike 2 Pitanja: 1) Sta je neodredjeni integral? 2) Navesti tri osnovne metode integracije sa po jednim ugradjenim primerom

dx

∫ ( x − a)

3)

2

( x + b)

navedi nekoliko prvih koraka za integraciju ovog izraza

4) Integracija trigonometrijskih funkcija

∫ f (sin x, cos x)dx

5) Odredjeni integral Njutn-Lajbnicova formula

Sta je neodredjeni integral Integral je jedan od najvaznijih pojmova matematicke analize. Neodredjeni integral se uvodi kao operacija inverzna diferenciranju odnosno kao skup svih primitivnih funkcija za funkciju koja se integrali.

y '( x), y ''( x),L y n ' y '( x)

Zadatak diferencijalnog racuna je da nadje racuna da nadje Funkcija Neka su

y ( x)

kada je poznato

dok je zadatak integralnog

F ( x) naziva se primitivna funkcija ili neodredjeni integral funkcije f ( x ) . F ( x) i f ( x) takve da je F '( x) = f ( x)

dF ( x) = f ( x )dx

∫ dF ( x) = F ( x) = ∫ f ( x) Primer

a) ln( x) ' =

1 1 ⇒ ∫ = ln( x) x x

b) sin x ' = cos x ⇒ ∫ cos x = sin x c )tgx ' =

1 1 ⇒ ∫ cos2 x =tgx cos 2 x

y = f ( x) je jednoznacno odredjen ako postoji samo jedna tacno odredjena y ' = f '( x) koja predstavlja njen izvod.

Izvod funkcije funkcija Kako je

x3 ' = 3x 2 x3 ' = 3x 2 + 1 x3 ' = 3x 2 + 2 x3 ' = 3x 2 + 3

Odnosno

x3 ' = 3x 2 + C

mozemo da kazemo da je

∫ 3x dx = x 2

3

+ C , C = const

Mozemo da kazemo da postoji beskonacno mnogo funkcija koje za izvod imaju razlikuju za konstantu koju oznacavamo sa

x +C 3

Geometrijski sve krive iz familije sve te krive u odredjenoj tacki

xo

3x 2

i sve one se

C

dobijaju se paralelnim pomeranjem krive duz

y ose i

imaju isti izvod jer su im tangente paralelne.

Oznaka C oznacava neodredjenu ili integracionu konstantu po kojoj je integral dobio naziv neodredjeni.

Navesti tri osnovne metode integracije Metoda dekompozicije

∫ ( f ( x) + f

2

Naci integral:

∫ (4 x

1

primer

( x) + L + f n ( x ))dx = ∫ f1 ( x )dx + ∫ f 2 ( x)dx +L + ∫ f n ( x)dx 2

− 7 x + 1)dx

 x4   x2  ∫ (4 x − 7 x + 1)dx = 4∫ x dx − 7 ∫ xdx + ∫ dx = 4  4 ÷ − 7  2 ÷ + x + C 2

2

Metoda smene Dobar deo integrala moze uspesno da se resi metodom smene, Cilj ovog postupka je da integral

∫ f ( x)dx svedemo na neki tablicni ili blizak tablicnom time sto uvodimo

smenu tipa

x = ϕ (z)

diferenciranjem te smene

dx = ϕ '( z ) dz

, potom vracanje te

smene u originalnu funkciju.

∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ ( z )) = ϕ '( z )dz primer x t ∫ e xdx = ∫ e 2

dt 1 t 1 = ∫ e dt = et 2 2 2

smena: x2 = t dt = 2 xdx dt = xdx 2 na kraju uvodimo smenu menjamo sa originalnim izrazom tako da je resenje integrala

1 x2 e 2 Metoda parcijalne integracije

∫ udv = uv − ∫ vdu pri cemu su u( x) i v( x) diferencijabilne funkcije.

Dokaz:

u ( x) i v ( x) diferencijabilne funkcije. Vazi sledece (u ×v) ' = u '×v + u ×v ' kada integralimo ovaj izraz imacemo:

Neka su

∫ (u ×v) ' = ∫ u '×vdx + ∫ v '×v ' s obzirom da je: v ' dx = dv u ' dx = du imamo u ×v = ∫ vdu + ∫ udv ⇒ ∫ udv = u ×v − ∫ vdu primer:

∫ xe dx = u ×v − ∫ vdu = xe − ∫ e dx = xe x

x

x

x

− e x = e x ( x − 1) + C

gde je :

u=x

dv = e x dx

du = dx

v = ∫ e x dx = e x + C1

Navedi nekoliko prvih koraka za integraciju sledece racionalne funkcije

dx

∫ ( x − a ) ( x − b ) , a, b ∈ R 2

Prvo moramo da utvrdimo kakve su nule polinoma pa imamo da

da

( x − b)

2

ima dvostruke nule i

dx

ima jednostruku nulu izraz

1

( x − a) ( x − b) 2

( x − a)

=

∫ ( x − a) ( x − b) 2

mozemo da napisemo i kao

A B C 2 + + × x − a ( ) ( x − b) 2 x − a x − b ( ) ( x − a) ( )

i

1 = A( x − a) ( x − b) + B ( x − b) + C ( x − a )

2

Kod resavanja izjednacavamo levu i desnu stranu i dobijamo A,B,C kao

A = −1 B = −1 C =1 dx

Pa se pocetni izraz

dx

∫ ( x − a ) ( x − b ) moze zapisati i kao:

∫ ( x − a ) ( x − b) 2

2

= −∫

1 1 1 −∫ + ( x − a) ( x − a) 2 ∫ ( x − b)

Sto je integral koji se moze resavati na jedan od tri osnovna nacina, konkretno metodom zamene u ovom slucaju.

Integracija trigonometrijskih funkcija

∫ f (sin x, cos x)dx

Klase trigonometrijskih funkcija se resavaju uvodjenjem smene

tg

x =t 2

i dalji postupak se

svodi na integraciju racionalnih funkcija.

x x : cos 2 x x x 2sin ×cos 2sin 2tg sin x 2= 2 2 2 = 2 = 2t sin x = = x x 1 t2 +1 2 x 2 x 2 x sin 2 ×cos 2 sin tg + 1 : cos 2 2 2 2 2 x cos 2 2 x smena:tg = t 2 x x 2sin ×cos sinus dvostrukog ugla 2 2

x − sin 2 cos x 2 cos x = = x 1 cos 2 + sin 2 2 cos 2

smena:tg tg

x : cos 2 x 1 − tg 2 2= 2 x x 1 + tg 2 : cos 2 2 2

x 2 2 = 1− t x 1+ t2 2

x =t 2

x x 2 = t ⇒ = arctgt ⇒ x = 2arctgt ⇒ dx = dt 2 2 1+ t2

Primer

dx 1 1+ t2 2 dt x = dx = × dt = = ln t = ln tg +C 2 ∫ sin x ∫ sin x ∫ 2t 1 + t ∫t 2 Odredjeni integral. Odredjeni integral sluzi za odredjivanje povrsina krivolinijskih ravnih figura. Jos je u III veku pre nove ere Arhimed koristio takozvanom metodom “iscrpljivanja”. Da bi odredio povrsinu krivolinijsku povrsinu segmenata parabole ili povrsine kruga upisujuci u ove figure poligone sa sto vecim brojem stranica.

Krivolinijski trapez je geometrijska figura u ravni koja slicna trapezu kod koje je kosi krak zamenjen lukom krive.

Ma koja krivolinijska linija u ravni moze se podeliti na odredjen broj krivolinijskih trapeza.

Ako takav krivolinijski trapez postavimo i koordinantni sistem, izaberemo najmanji moguci opisani pravougaonik

P0

i najveci moguci upisani pravougaonik

krivolinijski trapez.

Pu < P < P0

Pu

u

P0 jednaka je proizvodu duzine odsecka [a, b] puta najmanja visina ordinate krive y = f ( x ) Povrsina upisanog pravougaonika Pu jednaka je proizvodu duzine odsecka [ a, b] i visine najmanje ordinate krive y = f ( x ) . Ako krivolinijski trapez razlozimo na n manjih Povrsina opisanog pravougaonika

krivolinijskih trapeza, i za svaki upisemo najveci moguci pravougaonik i opisemo najmanji moguci pravougaonik. Ako sa

Sn oznacimo sumu povrsina upisanih

pravougaonika a sa

Sn

sumu povrsina svih opisanih

S oznacimo povrsinu krivolinijskog trapeza tada vazi da je Sn ≤ S ≤ Sn pravougaonika i ako sa

b

Ako potrazimo

lim Sn = lim Sn = ∫ f ( x)dx n →∞

U tom slucaju kada

max ∆x → 0

n →∞

n→∞

a

maksimalan prirastaj je

Oznaka integrala predstavlja stilizaciju latinskog slova S, sto asocira na sumu zbira upisanih i opisanih pravougaonika. Oznaku je uveo Bernulije u 18 veku. Njutn – Lajbnicova formula b

∫ f ( x)dx = F ( x) a

b

= F (b) − F (a )

a

Njutn Lajbnicova teorema predstavlja fundamentalnu teoremu diferencijalnog i integralnog racuna, daje vezu izmedju odredjenog i neodredjenog integrala i glasi: Odredjeni integral neprekidne funkcije jednak je razlici vrednosti primitivnih funkcija integrala u donjoj a i gornjoj b granici integrala. Primer: 4

x4 ∫2 x dx = 4

4

3

2

44 24 = − = 64 − 4 = 60 4 4