Matematika

EDMOND LULJA NERITAN BABAMUSTA

LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 10

Të gjitha të drejtat janë të rezervuara © Pegi 2012 Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese “Pegi” sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi.

Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 [email protected] Sektori i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73 Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 [email protected]

MATEMATIKA 10

3

PËRMBAJTJA I.

PROGRAMI MËSIMOR I MATEMATIKËS PËR KLASËN X

5

II.

MBI PLANIFIKIMIN VJETOR LËNDOR NGA MËSUESI

9

• 2.1 Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve

12

• 2.2 Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) 12 • 2.3 Ndarja e krerëve në njësi mësimore.

14

• 2.4 Objektivat sipas krerëve të tekstit (në tre nivele)

18

III.

UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE

32

1.

Matematika në jetën e përditshme

32

2.

Matematika si lëndë shkollore

32

3.

Kontributi i lëndës së matematikës në formimin tërësor dhe zhvillimin



e personalitetit

33

4.

Synimi dhe objektivat e përgjithshme të lëndës së matematikës në gjimnaz

34

5.

Ndryshimet në konceptim, strukturë dhe përmbajtje

35

6.

Zhvillimi i aftësive bazë

36

7.

Lidhja e matematikës me lëndët e tjera

40

8.

Parimet e përgjithshme të mësimdhënies së matematikës

40

9.

Dy nga komponentët e mësimit të matematikës

48

10.

Metodat e mësimdhënies

52

LIBËR PËR MËSUESIN

4

11.

Planifikimi i mësimit

55

12.

Mbi organizimin e punës në klasë

60

13.

Vlerësimi i nxënësve

62

14.

Aftësitë matematike të nxënësve dhe zhvillimi i tyre

75

15.

Sistemi i punës i mësuesit të matematikës

80

16.

Puna mbi projektet kurrikulare

83

IV.

UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E ORËVE TË MËSIMIT

V.

HORIZONTI I MËSUESIT

144

5.1.

Mbi trajtimin e linjës së përmbajtjes “Ekuacionet” në gjimnaz

144

5.2.

Aspekte teorike të trajtimit të ekuacioneve me një ndryshore në gjimnaz

146

5.3.

Aspekte metodike të trajtimit të ekuacioneve me një ndryshore në gjimnaz

149

5.4.

Mbi tendencat bashkëkohore në metodikën e mësimdhënies së matematikës 154

88

MATEMATIKA 10

5

LIBRI I MËSUESIN MATEMATIKA 10 I. Programi mësimor i matematikës për klasën X Synimi Lënda e matematikës në gjimnaz synon: Të japë ndihmesë në zhvillimin vetjak të nxënësit; ta aftësojë atë për të përdorur lehtësisht dhe në mënyrë organike, në fushat e tjera të të nxënit, njohuritë dhe shprehitë matematike, metodat matematike, arsyetimin matematik; ta pajisë nxënësin me njohuri dhe shprehi matematike të nevojshme për jetën dhe për arsimim të mëtejshëm; të kujdeset për të plotësuar nevojat dhe shprehitë e individit në përputhje me kërkesat e shoqërisë. Përshkrimi i linjave e nënlinjave Në klasën e 10-të lënda e matematikës të kurrikulit bërthamë zhvillohet me 3 orë në javë. Gjithsej: 36 javë x 3orë/javë = 108 orë vjetore

Linja 1: Numri dhe veprimet me numra Përshkrimi i linjës. Aftësia për të zgjedhur numrat dhe veprimet e përshtatshme për një situatë të dhënë, për të parashikuar, për të gjetur dhe për të gjykuar rezultatet e veprimeve janë shprehi të nevojshme të kohëve moderne. Në klasën e 10-të linja në fjalë përfshin njohuri për marrëdhëniet ndërmjet bashkësive dhe veprimet me to duke përdorur simbolet matematike; logaritmin (natyror dhe dhjetor); parashikimin dhe kontrollin e rezultateve të njehsimeve. Orë të sugjeruara: 12

Linja 2: Matja Përshkrimi i linjës. Matjet e drejtpërdrejta ose jo të drejtpërdrejta na ndihmojnë të përshkruajmë botën rreth nesh duke përdorur numra. Linja “Matjet”, në klasën e 10-të, përqëndrohet kryesisht në matjet jo të drejtpërdrejta. Këtu përfshihen njohuri për trigonometrinë e trekëndëshit për të zgjidhur e interpretuar trekëndëshin e çfarëdoshëm dhe gjetjen e syprinave të figurave plane; përafrimi në matje; veprimet me vektorët në plan; largesa ndërmjet dy pikave. Orë të sugjeruara: 9

LIBËR PËR MËSUESIN

6

Linja 3: Algjebra Përshkrimi i linjës. Algjebra është një gjuhë simbolike që shpreh marrëdhëniet matematikore. Nxënësit duhet të kuptojnë sesi madhësitë lidhen me njëra-tjetrën dhe sesi algjebra i analizon dhe i shpreh në mënyrë sintetike këto marrëdhënie. Në klasën e 10-të linja përfshin njohuri për rregullat bazë të shumëzimit, pjesëtimit dhe faktorizimit të polinomeve; interpretimin dhe zgjidhjen e ekuacioneve dhe inekuacioneve të fuqisë së parë dhe të dytë me një ndryshore si dhe sistemet e tyre. Kjo linjë, gjithashtu trajton zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve me dy ndryshore. Orë të sugjeruara: 23

Linja 4: Funksioni Përshkrimi i linjës. Funksioni është një nga konceptet më themelore dhe njësuese të matematikës moderne. Në shkollën e mesme përshkrimi i relacioneve bëhet duke përdorur gjuhën formale të algjebrës. Në klasën e 10-të linja studion relacionin; përshkrimin dhe interpretimin e funksioneve të ndryshëm dhe ndërtimin e grafikut të tyre. Në këtë linjë trajtohen edhe zbatime të formulave të termit dhe shumës në progresionin aritmetik dhe gjeometrik si dhe funksionet eksponencial dhe logaritmik. Orë të sugjeruara:

21

Linja 5: Gjeometria Përshkrimi i linjës. Nëpërmjet njohurive nga gjeometria në plan, shndërrimeve gjeometrike dhe gjeometrisë koordinative zgjerohet përfytyrimi i hapësirës dhe sigurohet lidhja e algjebrës me gjeometrinë. Në klasën e 10-të linja përfshin njohuri për interpretimin dhe zbatimin e rasteve të kongruencës, ngjashmërisë së trekëndëshave; izometrinë; ekuacionin e vijës në plan (drejtëza, rrethi) si dhe disa teorema e disa formula trigonometrike. Orë të sugjeruara: 29

Linja 6: Statistikë, probabilitet dhe matematikë diskrete Përshkrimi i linjës. Në botën e sotme të mbushur me informacion, nxënësi duhet të jetë në gjëndje të lexojë, të kuptojë dhe të interpretojë informacionin në mënyrë që të marrë vendimet e duhura. Në klasën e 10-të në këtë linjë përfshihen: popullimi, individi, ndryshorja (tipari); tipari diskret dhe i vazhdueshëm; paraqitja e të dhënave me tabela dhe grafikë; karakteristikat e shpërndarjes; kuptimi i zgjedhjes së rastit në statistikë; ngjarje të papajtueshme; probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve si dhe disa nga ligjet e logjikës. Orë të sugjeruara: 14

MATEMATIKA 10

Linja 7:

7

Proceset matematike

Përshkrimi i linjës. Kjo linjë është tërësisht e integruar në linjat e mësipërme Orë të sugjeruara: të integruara në linjat e tjera Kërkesa për zbatimin e programit Programi lëndor është vetëm një pjesë e tërësisë së dokumenteve zyrtare, të cilat janë hartuar për t’u zbatuar në lëndën e matematikës. Dokumentet e tjera kryesore janë korniza kurrikulare e gjimnazit dhe standardet e fushës së matematikës. Hartimi i programit është mbështetur si te korniza kurrikulare, ashtu edhe te standardet e fushës. Për të siguruar përdorimin sa më të mirë të programit, është e nevojshme njohja me dokumentet e lartpërmendura. Te korniza kurrikulare vëmendje e veçantë i duhet kushtuar: - Synimeve të përgjithshme të kurrikulës së gjimnazit, - Synimeve të linjave ndërkurrikulare, - Vlerësimit të nxënësit me notë, - Parimeve të mësimdhënies e të mësimnxënies. Në mënyrë që tërësia e dokumenteve zyrtare (korniza kurrikulare, standardet e fushës së të nxënit dhe programi lëndor) të zbatohen më së miri në dobi të nxënësve, përdoruesit e tyre, në parim, duhet të njohin mirë programet lëndore të lëndës së matematikës për klasën paraardhëse dhe klasat pasardhëse. Gjithashtu, përdoruesve të këtyre dokumenteve u lind nevoja të njihen edhe me standardet e të gjitha fushave të tjera të të nxënit dhe të gjitha programet lëndore të të njëjtit vit. a) Objektivat e programit Programi lëndor është strukturuar në linja që vijnë njëra pas tjetrës dhe për secilën prej tyre janë hartuar një sërë objektivash. Por kjo nuk do të thotë se lënda duhet të zhvillohet në këtë renditje gjatë vitit shkollor. Në shumicën e rasteve linjat janë ndarë në nënlinja. Për secilën prej 6 linjave të para janë hartuar objektiva, të cilët nuk synojnë të përshkruajnë vetëm përmbajtjen, por edhe shprehi e qëndrime të cilat janë po aq të domosdoshme sa edhe përmbajtja. Linja 7, në ndryshim nga linjat e mëparshme që kanë të bëjnë kryesisht me përmbajtje konkrete, përshkruan vetëm proceset matematike, të cilat janë pjesë thelbësore e mësimdhënies dhe mësimnxënies së matematikës. Linjat dhe nënlinjat janë vendosur në kolonën e majtë dhe objektivat përkatës në kolonën e djathtë. Përdoruesi i programit vendos vetë për pasqyrimin e objektivave në tema, kapituj, si dhe për renditjen e tyre. Pavarësisht se objektivat janë hartuar për çdo linjë, në zbatim lënda duhet parë si një e tërë me ndërthurje të linjave me njëra-tjetrën. Objektivat e programit janë për të gjithë nxënësit. Kjo do të thotë se të gjithë nxënësve duhet t’u jepet mundësia që të nxënë çka përshkruhet tek objektivat.

LIBËR PËR MËSUESIN

8

Një objektiv përmbushet në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Mësuesi dhe autorët e materialeve mësimore duhet të mbulojnë të gjitha nivelet e nxënësve. Zbatimi i programit duhet të bëhet duke respektuar parimet e barazisë gjinore, etnike, racore, fetare etj. b)

Orët mësimore

Programi i matematikës për klasën e 10-të është strukturuar në linja që vijnë njëra pas tjetrës dhe për secilën janë përcaktuar një sasi orësh. Megjithëse shuma e orëve për secilën linjë është sa gjithë sasia e orëve të planifikuara në planin mësimor për të gjithë disiplinën, sasia e orëve  mësimore për secilën linjë është rekomanduese. Përdoruesit e programit duhet të respektojnë sasinë e orëve vjetore të lëndës, kurse janë të lirë të ndryshojnë me 10% (shtesë ose pakësim) orët e rekomanduara për secilën linjë. Kjo nënkupton që mësuesi mund të vendosë të përparojë më ngadalë kur vë re se nxënësit e tij hasin vështirësi të veçanta në përmbushjen e objektivave të kapitullit, por mund të ecë më shpejt kur nxënësit e tij demonstrojnë një përvetësim të kënaqshëm. Në programin e lëndës së matematikës afërsisht 70% e tërësisë së orëve mësimore janë për shtjellimin e njohurive të reja lëndore dhe afërsisht 30% e tyre janë për përpunimin e njohurive (gjatë vitit dhe në fund të vitit shkollor). c) Përpunimi i njohurive Përpunimi i njohurive përmban: - Përsëritjen brenda një kapitulli të njohurive të tij bazë (konceptet themelore), - Testimin e njohurive-bazë, - Integrimin e njohurive të reja të një kapitulli me njohuritë e kapitujve paraardhës, - Integrimin e njohurive të reja me njohuritë e lëndëve të tjera (ndonëse këto integrime do të përshkojnë zhvillimin e çdo ore mësimi, gjatë përpunimit i duhet kushtuar kohë e posaçme), - Përsëritjen vjetore (pavarësisht nga ndarja në linja ose në kapituj, lënda në fund të vitit ka nevojë për një këndvështrim tërësor), - Testimin vjetor (nuk është i detyruar). Veçanërisht gjatë përpunimit të njohurive t’i kushtohet kohë e posaçme kultivimit: - të aftësive të përgjithshme si: komunikimit, menaxhimit të informacionit, zgjidhjeve problemore, të menduarit kritik dhe krijues; - të aftësive të posaçme lëndore si: komunikimi, arsyetimi logjik, zgjidhja e problemave; - të formimit të qëndrimeve si: qëndrimi etiko-social dhe qëndrimi gjatë punës në grupe të vogla nxënësish. Gjatë orëve të përpunimit të njohurive është me vlerë t’u krijohet mundësi nxënësve të punojnë detyra tematike, projekte kurrikulare, të zgjidhin situata problemore nga jeta, nga shkencat e tjera etj. Pjesë e përpunimit të njohurive është edhe rishqyrtimi tërësor vjetor, i cili ka për qëllim të nxjerrë në pah dhe të përforcojë në mënyrë të ndërthurur konceptet e metodat themelore të kësaj lënde.

MATEMATIKA 10

II.

9

MBI PLANIFIKIMIN VJETOR LËNDOR NGA MËSUESI

Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 10, është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse (e në mënyrë të veçantë atë të klasës së nëntë). Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime. Së pari, programet e matematikës duke filluar nga klasa e parë fillore janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur i autorëve Edmond Lulja dhe Neritan Babamusta është i ndarë në 10 kapituj. Kjo tregon që e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj. Madje edhe i njëjti kapitull mund të përmbajë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës. Konkretisht shpërndarja e orëve sipas kapitujve dhe linjave jepet në tabelën e mëposhtme: KREU

ORËT SIPAS KREUT

LINJA PËRKATËSE

ORËT SIPAS LINJAVE

1. Bashkësitë dhe numrat realë.

10

Matja. Numrat dhe veprimet me numra.

1 9

2. Elemente të logjikës matematike.

5

Statistikë, probabilitet dhe matematikë diskrete.

5

3. Shprehjet me ndryshore.

6

Shprehjet shkronjore.

6

4. Plotësime të planimetrisë.

12

Matja. Gjeometria në plan. Shndërrimet dhe koordinatat.

1 7 4

5. Funksioni dhe vargu numerik.

14

Funksioni.

14

6. Ekuacione, inekuacione, sisteme.

14

Ekuacione, inekuacione, sisteme.

14

7. Trigonometri.

8

Matja. Trigonometri.

2 6

8. Funksioni eksponencial dhe logaritmik.

11

Numrat dhe veprimet me numra. Funksioni. Ekuacione, inekuacione. sisteme.

2 7 2

9. Metoda e koordinatave

15

Matja Shndërrimet dhe koordinatat

4 11

10. Statistikë e probabilitet.

8

Statistikë, probabilitet dhe matematikë diskrete

8

11. Projekte kurrikulare

5

SHUMA E ORËVE SIPAS KRERËVE

108

SHUMA E ORËVE SIPAS LINJAVE

108

10

LIBËR PËR MËSUESIN

Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të gjitha teoremave apo pohimeve. Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema apo pohime, ndërsa disa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat teorema të vërtetojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet! Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend apo përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt. Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi “ zbulon” në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë. Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim. Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime. Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi i saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemeve të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur “më mirë të zgjidhet një problem në tri mënyra se sa të zgjidhen tri probleme të ndryshëm” tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla. Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim. Por në tekstin plotësues të ushtrimeve mund të gjenden edhe materiale të tjerë shtesë. Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, teksti është i ndarë pikërisht në 108 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët në dispozicion). Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për “Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor” ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e orëve mësimore që programi për cakton për lëndën, pra 108 orë.

MATEMATIKA 10

11

Së shtati, në tekst janë përfshirë 7 modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë apo realizojë vetëm disa prej tyre apo edhe të tjerë. Madje edhe testet e propozuar mund të “ lehtësohen “ apo “ rëndohen” në varësi të nivelit të klasës. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund edhe të zgjatet. Së teti, objektivat e linjave i përmban programi. Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët. Për sa i përket objektivave të orës së mësimit, ato i harton vetë mësuesi, duke u bazuar në objektivat sipas krerëve. Përpjekja për unifikimin e tyre jo vetëm që nuk ndihmon punën e gjallë në klasë, por përkundrazi e frenon atë, duke stimuluar një sterotipizim të procesit mësimor, risi kjo jo vetëm e gabuar, por e dëmshme. Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin. Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse. E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit. Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to. Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme. Sikurse e thekson programi i lëndës, zgjidhja e problemeve është pjesë thelbësore e të mësuarit e matematikës dhe ka të bëjë me secilën linjë të përmbajtjes. Synimet e mësuesit të matematikës duhet të jenë që nxënësit e tij të përvetësojnë njohuritë e shkathtësitë matematike, për t’i përdorur ato në zgjidhjen e problemeve sipas niveleve.

LIBËR PËR MËSUESIN

12

• 2.1 Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve Komponenti

Përshkrimi i komponentit

Niveli I-rë i arritjeve

Niveli i II-të i arritjeve

Niveli i III-të i arritjeve

Njohuritë matematike

Terminologjia dhe simbolika. Përkufizimet e koncepteve. Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla). Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit).

Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj

Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë.

Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme.

Aftësitë matematike

Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim.

Shfaqje e kufizuar e aftësive.

Shfaqje aftësish të zhvilluara në situata të njohura.

Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të reja, në mënyrë të pavarur.

Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike

Për të kryer: Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerikë dhe hapësinorë

Shfaqje të kufizuara.

Shfaqje solide.

Shfaqje të avancuara.

Qëndrimet dhe vlerat

Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave.

Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave.

Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore.

Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave.

• 2.2 Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit - me anën e një numri të kufizuar metodash - me gabime ose me mangësi të shumta

MATEMATIKA 10

13

Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me ndihmën e mësuesit - që janë nga më të thjeshtat - me gabime ose mangësi Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - me ndihmën e mësuesit - me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë - duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike. Niveli II Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit - me anën e një numri jo të madh strategjish bazale - me gabime ose me mangësi të pjesshme Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me një ndihmë të kufizuar të mësuesit - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve - me disa gabime ose mangësi të vogla Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur - me një farë qartësie e saktësie në terminologji - duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike. Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: në mënyrë të pavarur - duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë të reja për të - zakonisht me saktësi Nxënësi përdor arsyetime matematike: - në mënyrë të pavarur - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur - qartë dhe saktë - duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike. Niveli bazë: Nxënësi zgjidh probleme të thjeshtë: - Më ndihmën e mësuesit. - Duke aplikuar një numër të kufizuar metodash. - Me gabime e me mangësi.

LIBËR PËR MËSUESIN

14

Niveli mesatar: Nxënësi zgjidh probleme:

Niveli i lartë: Nxënësi zgjidh probleme:

- - -

Me pak ndihmë e udhëzime nga mësuesi. Duke përdorur një numër të vogël strategjish bazë. Me pak gabime e mangësi.

- -

Në mënyrë të pavarur e krijuese. Duke zgjedhur strategjinë më të përshtatshme, por edhe duke e modifikuar këtë strategji. Në mënyrë të saktë

-

• 2.3 Ndarja e krerëve në njësi mësimore. Kolonën e pestë (mjetet mësimore) dhe të gjashtë (materiali burimor) i plotëson vetë mësuesi sipas gjendjes konkrete. NR

KREU

TEMAT PËR ÇDO ORË MËSIMI

Orët

1.

Bashkësitë dhe numrat realë.

* Bashkësia dhe ndryshorja. Nënbashkësia. * Prerja e dy bashkësive. * Bashkimi i dy bashkësive. * Prodhimi kartezian i dy bashkësive. * Ushtrime. * Bashkësia Z. Bashkësia N. Matja e segmenteve. * Bashkësia e numrave racionalë. Numri irracional. * Numri real. Bashkësia R. Paraqitja e numrave realë në boshtin numerik. * Nënbashkësi të veçanta të R. Prerjet dhe bashkimi i tyre. * Zbatoni njohuritë tuaja. * Test për kreun 1.

1.1

* Pohimi. Mohimi. * Lidhëza logjike ”dhe”. Konjunksioni. * Lidhëza logjike ”ose”. Disjunksioni. * Implikimi logjik. * Teorema. Teorema e anasjellë.

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

(10 orë)

2.

Elemente të logjikës matematike. (5 orë)

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

Mjetet mësimore

Materiali burimor Teksti bazë; Teksti i ushtrimeve.

MATEMATIKA 10 3.

4.

Shprehjet me ndryshore. (6 orë)

Plotësime të planimetrisë. (12 orë)

5.

Funksioni dhe vargu numerik (14 orë)

15

* Shprehjet identike. Monomet dhe polinomet * Disa identitete të rëndësishme. * Faktorizimi i polinomeve. * Ushtrime. * Polinomet me një ndryshore. * Mbetja e pjesëtimit të polinomit me (x-c). Skema e Hornerit. * Zbatoni njohuritë tuaja

3.1

* Kongruenca e trekëndëshave. * Kongruenca e trekëndëshave kënddrejtë. * Ushtrime. * Ngjashmëria e trekëndëshave. * Ushtrime. * Zbatime të ngjashmërisë së trekëndëshave. Zbatoni njohuritë tuaja * Shumëkëndëshat e rregullt. * Vetitë e shumëkëndëshave të rregullt. * Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt. * Simetria e shumëkëndëshave të rregullt. * Ushtrime * Test për kreun 4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

* Relacioni. * Funksioni. * Grafiku i funksionit numerik. * Bashkësia e përcaktimit e funksionit numerik. * Funksioni rritës (zbritës). Shpejtësia mesatare e ndryshimit të funksionit.

5.1 5.2 5.3

* Funksioni y = x . * Ushtrime. * Vargu numerik. * Progresioni aritmetik. Formula për kufizën e përgjithshme të tij. * Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit aritmetik. * Progresioni gjeometrik. Formula për kufizën e çfarëdoshme të tij. * Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit gjeometrik. * Ushtrime. * Test për kreun 5

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14

LIBËR PËR MËSUESIN

16 6.

Ekuacione, inekuacione, sisteme. (14 orë)

7.

Trigonometri. (8 orë)

* Njëvlefshmëria e ekuacioneve me një ndryshore. Ekuacioni ax=b; Ekuacioni ax2+bx+c=0. * Ekuacione që sillen në ekuacione të fuqisë së dytë me futjen e një ndryshoreje ndihmëse. * Ekuacione të trajtës f(x)⋅g(x)=0. * Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore. * Ekuacione irracionalë të thjeshta. * Ushtrime. Zbatoni njohuritë tuaja. * Zbërthimi në faktorë i trinomit të fuqisë së dytë me një ndryshore. * Studimi i shenjës së trinomit të fuqisë së dytë. * Inekuacione të fuqisë së dytë me një ndryshore. * Zgjidhja grafike e ekuacioneve dhe inekuacioneve të fuqisë së dytë me një ndryshore. * Inekuacione të trajtës f(x)⋅g(x)³0. * Sisteme inekuacionesh me një ndryshore. * Sisteme ekuacionesh me dy ndryshore. * Ushtrime. * Test për kreun 6. * Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë. * Funksionet trigonometrike të këndit të gjerë. * Varësia ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve shtuese. * Teorema e kosinusit. * Teorema e sinusit. * Zbatime. Zbatoni njohuritë tuaja * Sipërfaqja e trekëndëshit. * Ushtrime. * Test për kreun 7

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

MATEMATIKA 10

8.

Funksioni eksponencial dhe funksioni logaritmik. (11 orë)

9.

Metoda e koordinatave. (15 orë)

10.

Statistikë dhe probabilitet. (8 orë)

17

* Funksioni eksponencial y=ax; x∈Q. * Funksioni eksponencial y=ax; x∈R. Grafiku i tij. * Vetitë e funksionit eksponencial. Funksioni y=ex. * Ushtrime. * Kuptimi i logaritmit. * Veti të logaritmit. * Funksioni logaritmik. Grafiku i tij. * Vetitë e funksionit logaritmik y=logax (00, me koeficientë të plotë. • Të zgjidhin inekuacione të trajtës f(x)·g(x)>0;

f ( x) > 0, g ( x)

ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë.

 f ( x) > 0 , ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë apo  g ( x) < 0

• Të zgjidhin sisteme të trajtës 

MATEMATIKA 10

25

trinome të fuqisë së dytë. • Të japin përkufizimin e zgjidhjes së një ekuacioni (sistemi) me dy ndryshore. • Të zgjidhin sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore. • Të zgjidhin sisteme ekuacionesh me dy ndryshore të trajtës

,

ku f(x, y) është polinomi i fuqisë së dytë, me dy ndryshore, me koeficientë të plotë. • Të shkruajnë ekuacione me një ndryshore (të fuqisë së parë apo të dytë), në të cilat çojnë situata të thjeshta problemore nga fusha të ndryshme, me arsyetime të thjeshta. • Të zgjidhin problema shumë të thjeshta. a) Me ekuacion të fuqisë së parë apo të dytë me një ndryshore. b) Me sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore, me ndihmën e shokëve apo të mësuesit.

Niveli II

Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të argumentojnë metodat standarde të zgjidhjes së ekuacioneve dhe të sistemeve të ekuacioneve. • Të zgjidhin ekuacione të tipave të njohur, me koeficientë shkronjorë. • Të zgjidhin ekuacione trinome të trajtës , me koeficientë racionalë. • Të vërtetojnë teoremat për bashkësinë e zgjidhjeve të ekuacionit f(x)·g(x)=0. • Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë me ndryshore në emërues. • Të vërtetojnë teoremën, për ngritjen në katror të dy anëve të ekuacionit f(x)=g(x). • Të nxjerrin me vërtetim formulën për zbërthimin e trinomit të fuqisë së dytë, kur D ≥ 0 . • Të thjeshtojnë, duke vënë kushtet, raportin e dy trinomeve të fuqisë së dytë. • Të nxjerrin me vërtetim rregullën për studimin e shenjës së trinomit të fuqisë së dytë. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në format: ax2+bx+c=0; ax4+bx2+c=0; ax + b = cx + d me shndërrime të thjeshta identike apo të njëvlershme. • Të zgjidhin inekuacione, që sillen në trajtën ax2+bx+c ≥ 0, me shndërrime të njëvlershme apo identike. • Të zgjidhin inekuacione, që sillen në trajtat f(x)·g(x)>0;

f ( x) < 0 , ku f(x), g(x) janë binome g ( x)

të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë, me shndërrime të thjeshta identike apo të njëvlershme. • Të zgjidhin grafikisht inekuacionin ax2+bx+c ≤ 0, me koeficientë racionalë. • Të krijojnë ekuacione e sisteme ekuacionesh, për të modeluar situata të thjeshta problemore. • Të zgjidhin problema të thjeshta me: a) Ekuacione të fuqisë së parë apo fuqisë së dytë me një ndryshore. b) Sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë apo të dytë me dy ndryshore.

Niveli III

Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin ekuacione, që sillen në të fuqisë së dytë me zëvendësim të ndryshores. • Të zbërthejnë trinomin e fuqisë së dytë me koeficientë shkronjorë. • Të vërtetojnë që kur D1 dhe kur 00, për rastet: a>1; 0 .

=

;

Niveli II

Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, monotoninë e funksionit eksponencial dhe të funksionit logaritmik. • Të gjejnë, në raste të thjeshta, logaritmin e një numri të dhënë. , kur a ∈ N dhe x është numër • Të plotësojnë tabelën për vlerat e funksionit racional pozitiv. • Të listojnë veti të funksionit logaritmik, duke u bazuar në grafikun e tij.

(

)

• Të argumentojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, ekuivalencën a x = b ⇔ • Të interpretojnë grafikisht . • Të vërtetojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, teoremat mbi logaritmet.

.

• Të zgjidhin ekuacione eksponencialë, duke i sjellë në trajtën a u = a v . • Të zgjidhin ekuacione logaritmikë, duke i sjellë në trajtën = . • Të zgjidhin ekuacione eksponencialë apo logaritmikë, me mënyrën e zëvendësimit të ndryshores. • Të dallojnë dukuri në natyrë apo në shkencat që modelohen, me anë të funksioneve eksponencialë (rritja e popullsisë, zbërthimi radioaktiv); të zgjidhin problema të thjeshta për ato. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbulojnë dhe të argumentojnë simetrinë e grafikëve të funksioneve: x

1 y = a dhe y=   ; y= a x

dhe y=

.

• Të përgjithësojnë teoremat mbi logaritmet. • T’i përdorin këto teorema në situata të reja matematikore. • Të zgjidhin ekuacione eksponencialë a logaritmikë të trajtave jo standarde.

MATEMATIKA 10

Kreu IX:

29

Metoda e koordinatave

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, në figura të thjeshta, vektorë me drejtim të njëjtë apo të ndryshëm; vektorë të barabartë apo të kundërt. • Të gjejnë shumën dhe diferencën e dy vektorëve me të njëjtën origjinë apo me origjina të ndryshme. • Të ndërtojnë prodhimin e një vektori të dhënë me një numër të dhënë. • Të gjejnë raportin e dy vektorëve bashkëvizorë. • Të përshkruajnë kuptimin e koordinatave të pikës dhe të vektorit (në bosht dhe në planin koordinativ). • Të zbërthejnë vektorin me koordinata të dhëna, sipas vektorëve njësi e anasjellas. • Të gjejnë koordinatat e vektorit, kur njihen koordinatat e skajeve. • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, formulën për largesën e dy pikave me koordinata të dhëna. • Të përdorin në raste direkte: a) kushtin e paralelizmit të dy vektorëve (në koordinata); b) kushtin e pingultisë së dy vektorëve. • Të nxjerrin e të përdorin, në raste të thjeshta, formulat për koordinatat e mesit të segmentit. • Të përcaktojnë këndin midis dy vektorëve në plan. → →

• Të shkruajnë e të përdorin, në raste direkte, barazimin që jep prodhimin numerik a ⋅ b . • Të shprehin prodhimin numerik të dy vektorëve nëpërmjet koordinatave të tyre; ta përdorin këtë shprehje në raste direkte. • Të përshkruajnë kuptimin e ekuacionit të vijës, në planin kartezian. • Të përcaktojnë nëse një pikë e dhënë ndodhet apo jo në një vijë të dhënë me ekuacion të thjeshtë. • Të përshkruajnë mënyrën e gjetjes së pikëprerjes së dy vijave. • Të gjejnë pikëprerjen e dy drejtëzave me ekuacion të dhënë. • Të gjejnë koeficientin këndor të drejtëzës, kur njihen: a) ekuacioni i saj; b) dy pika të drejtëzës. • Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës, që kalon nga një pikë e dhënë dhe: a) ka koeficient këndor të njohur; b) është paralele me boshtin Ox; c) është paralele me boshtin Oy. • Të shkruajnë ekuacionin e rrethit, kur njihen koordinatat e qendrës dhe origjina. • Të përdorin njohuritë, për zgjidhje problemash shumë të thjeshta. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë në trajtë vektoriale faktin që, tri pika janë në një drejtëz. • Të gjejnë shumën e disa vektorëve me origjina të ndryshme. • Të listojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, vetitë e mbledhjes së vektorëve.

30

LIBËR PËR MËSUESIN

• Të vërtetojnë formulën d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) e ta përdorin atë në raste të thjeshta. • Të vërtetojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, vetitë e prodhimit numerik të dy vektorëve. 2

2

→ →

• Të nxjerrin me vërtetim formulën u ⋅ v = x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2 e ta përdorin në raste të thjeshta. • Të gjejnë pikën e prerjes së drejtëzës y=ax+b me parabolën y=cx2+dx+e. • Të gjejnë pikat e prerjes së dy parabolave: y=ax2+bx+c; y=a1x2+b1x+c1. • Të nxjerrin me argumentim ekuacionin e drejtëzës, që kalon nga një pikë e dhënë dhe ka koeficient këndor të dhënë, e ta përdorin në raste të thjeshta. • Të gjejnë këndin që formon një drejtëz e dhënë me boshtin Ox. • Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër dy pika. • Të nxjerrin me vërtetim ekuacionin e rrethit (x-a)2+(y-b)2=r2 dhe ta përdorin në raste të thjeshta. • Të gjejnë pikat, ku rrethi pret boshtet koordinativë. • Të përdorin njohuritë për zgjidhjen e problemave të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të interpretojnë pozicionin që zë drejtëza në planin koordinativ, në varësi të ekuacionit të saj. • Të zgjidhin problema të kombinuara për ekuacionin e drejtëzës në plan. • Të shqyrtojnë veti gjeometrike të vijave të thjeshta (drejtëz, rreth), në bazë të ekuacioneve të njohura të tyre. • Të gjejnë ekuacione vijash të thjeshta, dhënë me veti gjeometrike. • Të interpretojnë grafikisht inekuacionin y>ax+b; . • Të gjejnë qendrën dhe rrezen e rrethit, kur ai jepet me ekuacion të trajtës: ax2+ay2+bx+cy+d=0. • Të zgjidhin problema nga matematika apo shkencat, në situata të reja për ta, nëpërmjet ekuacionit të drejtëzës në plan.

Kreu X:

Statistikë e probabilitet

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të bëjnë dallimin ndërmjet ndryshoreve në shembuj të vetëzgjidhur apo të dhënë. • Të shpjegojnë dhe të përshkruajnë paraqitjet grafike kryesore, kur ato jepen të gatshme. • Të ndërtojnë grafikë me shtylla, për ndryshore cilësore apo sasiore diskrete. • Të ndërtojnë diagrame të thjeshta rrethore, për ndryshore cilësore apo sasiore diskrete. • Të përkufizojnë mesataren, modën, mesoren. • Të gjejnë mesataren, modën, mesoren në shembuj të thjeshtë, për ndryshore sasiore diskrete. • Të përkufizojnë dhe të njehsojnë, në shembuj shumë të thjeshtë, shmangien mesatare katrore dhe dispersionin e ndryshores sasiore diskrete. • Të përshkruajnë kuptimin e provës dhe ta ilustrojnë atë me shembuj të thjeshtë. • Të dallojnë barasmundësinë e rezultateve të provës. • Të gjejnë numrin e rezultateve të provës në skema të thjeshta (hedhja e monedhës, hedhja e zarit etj.).

MATEMATIKA 10

31

• Të identifikojnë ngjarjen nëpërmjet një nënbashkësie të hapësirës së rezultateve. • Të dallojnë në prova të thjeshta ngjarjen e sigurt, të pamundur, të kundërt të ngjarjes A. n( A) • Të gjejnë në prova shumë të thjeshta probabilitetin, sipas formulës P(A)= (p.sh., në n ( H ) nxjerrjen e sferave nga kutia me sfera të ndryshme).

• Të përdorin në prova të thjeshta formulën P ( A) = 1 − P ( A) . • Të dallojnë, në raste shumë të thjeshta, prerjen e dy ngjarjeve dhe bashkimin e tyre. • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, formulën n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B). • Të dallojnë, në raste shumë të thjeshta, dy ngjarje të papajtueshme e të gjejnë probabilitetin e bashkimit të tyre. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë, në raste të thjeshta, veprimet e nevojshme të ndarjes në klasa dhe të sistemojnë të dhënat për këto klasa. • Të ndërtojnë histograma për ndryshore sasiore të vazhdueshme, kur të dhënat grupohen në klasa me gjatësi të barabarta, dhe t’i interpretojnë ato. •Të njehsojnë mesataren, kur të dhënat grupohen në klasa. • Të nxjerrin me argumentim formulën për n(A∪B). • Të përshkruajnë provën, kur ajo përsëritet disa herë dhe të tregojnë rezultatet e saj. • Të përshkruajnë veprimet me ngjarjet dhe të përdorin diagramat e Venit për ilustrim. n( A) • Të përdorin formulën P( A) = , në raste të thjeshta, të zakonshme. n( H ) • Të nxjerrin me vërtetim e të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për probabilitetin e bashkimit të dy ngjarjeve. • Në shembuj të thjeshtë, të gjejnë dendurinë relative të vlerave të ndryshores e ta marrin atë si vlerë të përafërt të probabilitetit. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbulojnë dhe të përshkruajnë, në materiale të ndryshme publike, karakteristikat e shpërndarjes dhe të sugjerojnë ndryshime e plotësime të mundshme në to. • Të analizojnë një informacion statistikor. • Të shpjegojnë tendencën e treguesve (mesatare, mesore, modë), kur të dhënat zvogëlohen apo rriten me të njëjtën madhësi. • Ta bëjnë këtë, kur të dhënat shumëzohen me një numër të njëjtë. • Të shpjegojnë tendencën e ndryshimit të dispersionit, kur të gjitha të dhënat rriten apo shumëzohen me të njëjtën madhësi. • Të përshkruajnë saktë, me fjalë, ngjarjet që lidhen me një provë konkrete. • Të vërtetojnë teoremat për probabilitetin dhe t’i përdorin ato për gjetjen e probabilitetit të ngjarjeve konkrete.

32

LIBËR PËR MËSUESIN

III.

UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE

1.

Matematika në jetën e përditshme

Matematika është shkencë dhe si e tillë është përshkruar dhe përkufizuar me mënyra nga më të ndryshmet. Pavarësisht nga shumëllojshmëria e përkufizimeve, këndvështrimi i përbashkët për matematikën e konsideron atë si veprimtari krijuese dhe si një nga pjesët më të përdorshme, më tërheqëse dhe më motivuese të dijeve njerëzore. Ajo mund të konsiderohet si një proces i komunikimit të informacionit, që mundëson zgjidhje për problemet praktike dhe e aftëson individin të bëjë zbulime nëpërmjet përfytyrimeve paraprake të imagjinatës. Matematika për shekuj me radhë është zhvilluar si arritje e përbashkët kulturore e njerëzimit. Duke ruajtur identitetin e saj, ajo ofron ide dhe metoda për zgjidhjen e problemave të disiplinave nga më të ndryshmet dhe si shkencë dinamike jep kontribute thelbësore për përshkrimin dhe organizimin e botës sonë. Matematika tradicionalisht është një pjesë karakteristike e gjuhës së shkencave dhe teknikës. Por edhe në ekonomi e politikë, ashtu si edhe në shkencat shoqërore, shprehitë e fituara me metoda matematikore përbëjnë shpesh bazën për vendime me rëndësi. Secili nga ne e përdor matematikën në jetën e përditshme, në shkencë, në industri, në biznese private dhe në kohën tonë të lirë. Në kohën e sotme gjithnjë e më tepër po zë vend termi alfabetizimi matematik (mathematical literacy). Alfabetizimi matematik ka të bëjë me aftësitë e nevojshme matematike të jetës së individit, si nxënës dhe më tej si i rritur. Alfabetizimi matematik është kërkesë e kohës. Shoqëria e sotme ka nevojë për njerëz të cilët: - të jenë të aftë të komunikojnë në mënyrë sasiore; - të dallojnë situatat problemore zgjidhja e të cilave kërkon përdorimin e matematikës; - të kuptojnë të dhëna të përcjella nëpërmjet mediave ose të ndeshura në mjediset e jetës së përditshme; - të jenë të aftë matematikisht për profesionin e tyre; - të përdorin teknologjinë për të lehtësuar zbatimet e matematikës.

2.

Matematika si lëndë shkollore

Mësimi i matematikës në shkollë ka të bëjë me njohjen, të kuptuarit dhe të zbatuarit e shprehive matematikore. Kurrikuli i matematikës shkollore është një nga faktorët kyç në përgatitjen e nxënësve sipas kërkesave të shoqërisë së sotme. Gjatë mësimit të matematikës ushtrohen mënyrat specifike të të menduarit si dhe interpretimet specifike të botës. Interpretimet, e përftuara gjatë mësimit të matematikës, dallohen nga një universalitet dhe stabilitet i dukshëm, tipar i rëndësishëm për qytetarin e një bote që ndryshon shpejt. Detyra e matematikës si lëndë shkollore është t’u transmetojë nxënësve, krahas njohurive konkrete matematikore dhe mënyrave të punës, edhe pikëpamje më të përgjithshme për proceset e të menduarit dhe marrjes së vendimeve, të cilat janë me rëndësi për një bashkë organizim

MATEMATIKA 10

33

aktiv dhe të përgjegjshëm të shoqërisë. Një nga detyrat e çdo lënde shkollore është t’u mësojë nxënësve se si të mendojnë dhe se si të ndjejnë përgjegjësi për ato që mendojnë apo thonë. Matematika e ka më të lehtë se sa fushat e tjera kurrikulare realizimin e kësaj detyre, sepse kur nxënësi zgjidh një problem matematik, ai është i bindur në korrektësinë e zgjidhjes jo sepse thjesht ashtu i thotë mësuesi, por sepse logjika e brendshme funksionon fare qartë. Nëpërmjet kurrikulit të matematikës nxënësit përfshihen mendërisht në ngjizjen e koncepteve dhe marrëdhënieve të tyre për të krijuar ide të reja dhe për të përmirësuar të mëparshmet. Matematika është një element kyç i kurrikulit. Kur nxënësit mësojnë matematikë, nuk kemi të bëjmë thjesht me zotërimin e shprehive bazë, por edhe me përftimin e një mjeti konciz dhe të fuqishëm komunikimi. Zotërimi i gjuhës matematike, strukturave dhe operacioneve të saj, të ndihmon të arsyetosh, të argumentosh konkluzionet dhe të shprehësh idetë qartë. Matematika është, gjithashtu, një mjet i fuqishëm të nxëni. Nxënësi identifikon marrëdhëniet ndërmjet koncepteve matematike dhe situatave të përditshme dhe bën lidhje ndërmjet matematikës dhe lëndëve të tjera, ai fiton aftësi për të përdorur matematikën dhe për të aplikuar njohuritë edhe në fushat e tjera kurrikulare. Mënyra se si jepet mësimi ka ndikim të fuqishëm në atë çka ndodh me matematikën në klasë. Por faktori më i rëndësishëm është përmbajtja që duhet mësuar. Në përzgjedhjen e përmbajtjes së matematikës ndikojnë mjaft faktorë, përfillja e të cilëve jo vetëm ndihmon në reagimin e përshtatshëm ndaj ndryshimeve që ndodhin brenda e jashtë arsimit, por madje edhe influencon në këto ndryshime. Për hartimin e kurrikulit të matematikës, e rëndësishme është të përcaktohet çfarë matematike duhet t’u mësohet nxënësve, si do tua mësojmë atë dhe si duhet tua mundësojmë dhe lehtësojmë të nxënit. Natyra e vërtetë e shoqërisë në të cilën jetojmë, e dominuar nga informacioni dhe shërbimet ka një ndikim real në përmbajtjen e shkollës. Një shoqëri e tillë kërkon një përqindje gjithnjë e më të vogël të punës së pakualifikuar dhe një numër në rritje të personelit të mirë kualifikuar. Nga ana tjetër, ndryshimet e shpejta të sjella nga teknologjia e bëjnë të vështirë trajnimin e njerëzve për ato punë që mund të ndryshojnë apo të mos ekzistojnë dhjetë vjet më vonë. Madje edhe ato punë që nuk kanë lidhje të drejtpërdrejtë me fushat e shkencës, janë të ndikuara nga ndryshimet teknologjike, sepse kërkojnë që punëtorët të mësojnë të adaptohen ndaj situatave të reja, të perceptojnë modele e të zgjidhin probleme jo tradicionale. Pikërisht këto specifika flasin për rëndësinë e matematikës shkollore të ditëve të sotme. Ajo që është e rëndësishme ka të bëjë me faktin se si duhet t’i mësojmë nxënësit të përshtatin të menduarit ndaj situatave. Tendenca e sotme është theksimi në rritje në kurrikulin e matematikës i arsyetimit logjik, zgjidhjes së problemave dhe arsyetimit gjeometrik, sepse këto janë shprehi gjeneruese që mund të përdoren në një gamë të gjerë situatash të nevojshme në një shoqëri teknologjike dhe informative, që ndryshon.

3. Kontributi i lëndës së matematikës në formimin tërësor dhe zhvillimin e personalitetit Lënda e matematikës, krahas lëndëve të tjera, synon të japë kontributin e vet në zhvillimin e gjithanshëm të personalitetit të nxënësve. Karakteristikë e mënyrës matematike të të punuarit dhe të menduarit janë përdorimi preciz i gjuhës, zhvillimi i koncepteve të qarta, të menduarit logjik, argumentimi, si dhe kuptimi i

34

LIBËR PËR MËSUESIN

varësive reciproke ndërmjet dukurive e proceseve. Nëpërmjet të ushtruarit me këto mënyra pune nxënësit zhvillojnë intensivisht të menduarit dhe aftësinë për të abstraguar. Ata njihen me forma e mënyra të ndryshme vëzhgimi dhe veprimi, nëpërmjet të cilave zhvillohen më tej si elasticiteti intelektual ashtu edhe mundësia për këndvështrime të ndryshme. Kontrolli dhe vlerësimi i rezultateve si dhe metodave të zbatuara nxisin aftësinë kritike të gjykimit të nxënësve. Analiza ekzakte, sistematike e një pyetjeje, si një domosdoshmëri në shumicën e problemeve matematike, nxit aftësinë e formimit të mendimit të pavarur e të argumentuar. Krahas kësaj, nëpërmjet zgjidhjes së detyrave matematike, formohet gatishmëria për veprimtari intelektuale dhe aftësia për t’u përqendruar. Zgjidhja e problemave matematike kërkon këmbëngulje, durim, cilësi, të cilat janë të nevojshme jo vetëm në jetën e përditshme, por edhe për punën e suksesshme me shkencat moderne.

4. Synimi dhe objektivat e përgjithshme të lëndës së matematikës në gjimnaz Lënda e matematikës në gjimnaz synon: Të japë ndihmesë në zhvillimin vetjak të nxënësit; ta aftësojë atë për të përdorur lehtësisht dhe në mënyrë organike, në fushat e tjera të të nxënit, njohuritë dhe shprehitë matematike, metodat matematikore, arsyetimin matematik; ta pajisë nxënësin me njohuri dhe shprehi matematike të nevojshme për jetën dhe për arsimim të mëtejshëm; të kujdeset për të plotësuar nevojat dhe shprehitë e individit në përputhje me kërkesat e shoqërisë. Objektivat e përgjithshme të mësimit të lëndës së matematikës Në përfundim të gjimnazit nga secili nxënës pritet që të jetë i aftë: - të përdorë matematikën si një mjet në jetën e përditshme dhe në veprimtari shoqërore; - të besojë në aftësitë, shprehitë dhe në gjykimin e tij/saj; - të jetë kurajoz dhe i vullnetshëm për t’u përfshirë në një të nxënë eksperimentues, zbulues dhe krijues; - të mendojë në mënyrë logjike dhe kritike; - të përdorë lidhjet brenda lëndës së matematikës, si dhe lidhjet e saj me fusha të tjera; - të zotërojë njohuri e shprehi matematike të nevojshme për të vazhduar studimet e mëtejshme në çdo fushë; - të zotërojë shprehitë e punës së pavarur, sistematike dhe të saktë; - të ketë kureshtje dhe imagjinatë të zhvilluar; - të modelojë matematikisht situata të jetës së përditshme; - të përdorë figurat, formulat, modelet në mbështetje të të menduarit; - të komunikojë qartë dhe saktë duke përdorur fjalorin dhe simbolet e përshtatshme; - të jetë i motivuar për ta studiuar matematikën si fushë që ka rëndësi për jetën sociale dhe profesionale. Arsimimi matematik ka për detyrë t’i pajisë nxënësit me njohuri matematikore të domosdoshme për t’i bërë ata të aftë, të marrin vendime të mirëgjetura; të interpretojnë dhe të përdorin fluksin

MATEMATIKA 10

35

në rritje të informacionit e të marrin pjesë në procese vendimmarrëse në shoqëri. Lënda e matematikës duhet të sigurojë një bazë të nevojshme e të mjaftueshme për të studiuar lëndë të tjera, për arsimim të mëtejshëm dhe për arsimim gjatë gjithë jetës. Mësimi i matematikës duhet të zhvillojë te nxënësit interesin për matematikën dhe t’i bëjë të aftë të zbatojnë matematikën dhe të komunikojnë matematikisht edhe në situata të jetës së përditshme. Lënda duhet të ndërgjegjësojë nxënësit për zbatimet e shumëllojshme të matematikës në arte, në shkenca, në ekonomi, në shëndetësi, në kohën e lirë etj.

5.

Ndryshimet në konceptim, strukturë dhe përmbajtje

Kurrikula e re e matematikës sjell ndryshime në konceptim, në strukturë dhe në përmbajtje. Në konceptim Lënda e matematikës të gjimnazit është konceptuar në dy programe: programi bërthamë dhe programi i avancuar. Të dy programet janë të lidhura me njëri-tjetrin në kuptimin që njohuritë e shprehitë e programit të avancuar bazohen në njohuritë e shprehitë e programit bërthamë. Programi bërthamë është pjesë e kurrikulës bërthamë të gjimnazit, si rrjedhim është i detyrueshëm për të gjithë nxënësit. Njohuritë dhe shprehitë e programit bërthamë janë më të domosdoshmet që i duhen një nxënësi që mbaron gjimnazin, pavarësisht nga karriera e mëtejshme e tij. Programi i avancuar është pjesë e kurrikulës me zgjedhje të gjimnazit, si rrjedhim nuk është i detyrueshëm për të gjithë nxënësit, por vetëm për ata të cilët e kanë zgjedhur. Njohuritë dhe shprehitë e programit të avancuar plotësojnë dhe pasurojnë ato të marra në programin bërthamë për të lehtësuar sukseset në karrierën e mëtejshme të nxënësit sidomos studimet në disa degë të arsimit të lartë. Ndryshimet në konceptim kanë sjellë edhe ndryshime sasiore në numrin e orëve. Programi bërthamë zhvillohet me 108 orë në klasën e 10-të, 108 orë në klasën e 11-të dhe 136 orë në klasën e 12-të. Programi i avancuar zhvillohet me 72 orë në klasën e 10-të, 72 orë në klasën e 11-të dhe 34 orë në klasën e 12-të. Në strukturë Programet e reja të gjimnazit janë hartuar me një strukturë thellësisht të reformuar. Vlen të theksohet që linjat e nënlinjat nuk janë kapituj si ata që jemi mësuar të gjejmë në programet e mëparshme. Linjat dhe nënlinjat mbeten pothuajse të njëjta për të tre vitet e gjimnazit. Renditja e linjave në tabelën e shpërndarjes së orëve nuk është lineare, domethënë gjatë zbatimit në klasë nuk do të thotë që duhet të zhvillohet linja e parë, pastaj e dyta e kështu me radhë. Përkundrazi, linjat e nënlinjat ndërthuren. Sigurisht, shpërndarja e njohurive përgjatë vitit shkollor nuk bëhet dosido, por mendohet me kujdes që në fillim nga autorët e teksteve apo materialeve mësimore dhe mësuesit. Tërësia e rubrikave të programit (synimi, objektivat e përgjithshëm,objektivat sipas linjave e nënlinjave, tabela e kërkesave të lëndës ndaj lëndëve të tjera, kërkesa për zbatimin e programit, vlerësimi), lehtësojnë punën e mësuesit gjatë gjithë vitit shkollor. Rezultatet e pritshme të paraqitura kryesisht nëpërmjet objektivave të programit, udhëheqin vazhdimisht punën e mësuesit: kur zgjedh tekstin bazë, kur bën planin mësimor, kur vendos objektivat e kapitullit, kur zgjedh materiale ndihmëse, kur realizon mjete mësimore, kur vlerëson nxënësit, apo kur raporton te prindërit rezultatet e fëmijëve.

36

LIBËR PËR MËSUESIN

Në përmbajtje Në krahasim me programet e mëparshme, përmbajtja e programit të matematikës është lehtësuar nga ngarkesa konceptuale ose është përmirësuar shtjellimi për të ulur mbingarkesën dhe për t’i lënë më tepër vend zhvillimit të aftësive. Programet e reja theksojnë rëndësinë e modelimit matematik, lidhjen e matematikës me jetën e përditshme dhe me fushat e tjera. Nëpërmjet objektivave për lëndën bëhet e ditur se çfarë pritet të dinë e të jenë të aftë të bëjnë nxënësit, në përfundim të secilës klasë. Si rrjedhim, theksi i të mësuarit vihet te rezultatet. Përmbajtja e zgjedhur për programin e gjimnazit mbështetet në kurrrikulën e matematikës të arsimit 9-vjeçar. Gjithashtu, është mbajtur parasysh edhe fakti që programi i një lënde është derivat i dokumenteve kurrikulare zyrtare që kanë lidhje me lëndën dhe njëkohësisht është koherent me to, duke filluar që nga strategjia e arsimit, korniza kurrikulare e gjimnazit dhe standardet e matematikës për gjimnazin. Në veçanti gjatë hartimit të programeve janë pasur parasysh tendencat bashkëkohore të mësimit të matematikës në arsimin e mesëm dhe kompetencat evropiane për arsimin e mesëm. Ajo që duhet theksuar, ka të bëjë me faktin se si duhet t’i mësojmë nxënësit të përshtatin të menduarit ndaj situatave. Tendenca e sotme është theksimi në rritje në kurrikulën e matematikës i arsyetimit logjik, zgjidhjes së problemave dhe arsyetimit gjeometrik, sepse këto janë shprehi gjeneruese që mund të përdoren në një gamë të gjerë situatash të nevojshme në një shoqëri teknologjike dhe informative që ndryshon. Përmbajtja transmetohet nëpërmjet linjave e nënlinjave për të cilat janë hartuar objektivat dhe konceptet e shprehitë (aftësitë) kryesore. Objektivat kanë të bëjnë me njohuri, shprehi, qëndrime dhe vlera që gjenerojnë nga grupimi përkatës i koncepteve. Objektivat janë të detyrueshëm për t’u arritur nga të gjithë nxënësit. Objektivat ndihmojnë përdoruesit e programit për ta kuptuar atë dhe mundësojnë zhvillimin e alternativave krijuese për zbatimin e programit.

6. Zhvillimi i aftësive bazë Përgatitja e nxënësve për karrierën e tyre të mëtejshme kërkon që kurrikula e matematikës t’u mundësojë të rinjve të fitojnë disa aftësi bazë gjë të cilës hartimi i kurrikulës së re i ka kushtuar vëmendje të posaçme. Këtij qëllimi i shërben edhe linja 7, që ka të bëjë vetëm me proceset matematike. Në secilat nga linjat është bërë kujdes që nëpërmjet objektivave të synohet edhe në formimin e aftësive. Theksojmë që formimi i tyre lidhet me kontributin e njëkohshëm të të gjitha fushave kurrikulare. Në vijim janë përzgjedhur aftësitë bazë, të cilat duhen patur parasysh gjatë gjithë mësimit të matematikës: 6.1 Aftësia e përdorimit të matematikës në situata të jetës së përditshme dhe në fushat e tjera kurrikulare. Në të gjitha fushat e të nxënit, kurrikula e gjimnazit u jep mundësinë nxënësve të përdorin njohuritë dhe aftësitë matematike. Ajo duhet të synojë që çdo nxënës të bëhet i aftë të përdorë në fushat e tjera të të nxënit dhe në situata të jetës së përditshme: • Njohuritë dhe shprehitë matematike, • Metodat matematike, • Arsyetimin matematik.

MATEMATIKA 10

6.2

37

Aftësia e komunikimit

Matematika duhet t’i japë mundësinë secilit nxënës që të bëhet i aftë të komunikojë qartë (në kuptimin e dhënies dhe marrjes së informacionit), saktë e kuptueshëm e në disa mënyra. Ajo duhet të synojë të aftësojë nxënësin: • të përshkruajë, të shpjegojë dhe të diskutojë, me gojë dhe me shkrim, veprimtaritë praktike, hamendjet dhe procesin e zgjidhjes; • të përdorë saktë simbolet algjebrike e gjeometrike që ka studiuar; • të marrë informacion nga figura gjeometrike të thjeshta dhe të japë informacion me figura të tilla; • të marrë informacion nga grafikë, tabela, diagrame dhe të japë informacion me to; • të përdorë drejt, disa elemente logjike të gjuhës së përditshme, si: dhe, ose, sjell, nuk, anasjelltas, në qoftë se…atëherë…, të gjithë, të paktën një, etj. 6.3 Aftësia e përdorimit të teknologjisë së informacionit dhe të komunikimit (TIK) Nxënësi që ka fituar aftësitë e TIK-ut, e ka lehtësisht të mundur të përdorë sistemet dhe mjetet e teknologjisë së informacionit dhe të komunikimit në kontekste të ndryshme. Nxënësi aftësohet: • për të përdorur TIK-un për të kërkuar dhe menaxhuar informacione të nevojshme; • për të shqyrtuar, për të bërë parashikime dhe për të zgjidhur situata problemore me ndihmën e TIK- ut; • për të paraqitur punën individuale ose të grupit, duke përdorur një larmi mjetesh dhe formatesh dixhitale; • për të bashkëpunuar me të tjerët nëpërmjet komunikimit elektronik. 6.4 Aftësia e të menduarit kritik Ka të bëjë me të menduarit kritik dhe krijues në kuptimin e grumbullimit të informacionit të nevojshëm, vlerësimin e tij dhe arritjen në një përfundim të mirargumentuar. Kurrikula e matematikës i jep mundësinë secilit nxënës që të zhvillojë të menduarit kritik (analitik) ndaj zgjidhjeve, informacioneve, ngjarjeve, dukurive dhe qëndrimeve. Të menduarit kritik ndihmon në rritjen e shkallës së arsyetimit dhe në zgjidhjen e problemeve. Procesi i të menduarit kritik përmban grumbullimin e informacionit të nevojshëm, vlerësimin e tij dhe arritjen në një përfundim të argumentuar. Nxënësi aftësohet:  për të mbështetur me argumente dhe fakte përfundimet, përgjithësimet dhe bindjet e tij;  për të mbajtur ose për të krijuar qëndrime të pavarura, të mbështetura me argumente ndaj gjykimeve dhe qëndrimeve të të tjerëve, ndaj informacioneve në përgjithësi dhe atyre mediatike në veçanti;  për të marrë në konsideratë, pa paragjykime, argumentet e të tjerëve;  për të shqyrtuar alternativat, pro”dhe “kundër” për një çështje të caktuar;  për të dalluar faktet nga interpretimet e tyre;  për të përdorur metoda të larmishme për identifikimin e strukturave të informacionit dhe të ideve, p.sh., listat, rrjetet, hierarkitë, matricat, diagramet operative, grafikët, hartat etj;  për të shpjeguar lidhjet ndërmjet së tërës dhe pjesëve të saj përbërëse;

38

LIBËR PËR MËSUESIN

 për të zhvilluar një linjë arsyetimi të bazuar në fakte, përfundime dhe parashikime; 6.5

Aftësia e të arsyetuarit dhe të vërtetuarit

Zhvillimi i të arsyetuarit logjik është i lidhur me zhvillimin verbal dhe intelektual të nxënësve. Nxënësit fillojnë të mendojnë konkretisht dhe t’i mbështesin ato me subjekte fizike ose konkrete. Duke kaluar vitet ata do të bëhen më të aftë për të arsyetuar në mënyrë formale dhe abstrakte. Për të zhvilluar aftësitë e tyre drejt arsyetimit logjik, nxënësve u duhen krijuar mundësi të eksplorojnë, supozojnë, afirmojnë dhe bindin të tjerët. Një klasë që ofron përvoja matematikore të larmishme, materiale dhe mjete të nevojshme, do t’ia arrijë më mirë qëllimit të saj. Lidhur me arsyetimin logjik mësuesi duhet të ketë në konsideratë që nxënësit të ushtrohen sistematikisht të hetojnë për gjetjen e rregullit në situata të thjeshta, si dhe për paraqitjen ose modelimin e tyre matematik; nxënësit duhet të inkurajohen për një të menduar euristik, në përdorimin e metodës induktive dhe në analogjinë, që, siç dihet, janë të domosdoshme për zotërimin jomekanik të njohurive matematikore dhe për formimin e koncepteve të qarta matematikore. Lënda i jep mundësinë nxënësit që të shfaqi origjinalitetin e tij dhe të zhvillojë prirjet e veta arsyetuese. Ajo synon të aftësojë nxënësin: • të përdorë drejt disa rregulla elementare të logjikës e të arsyetimit korrekt; • të përdorë disa shkathtësi argumentuese; • të pyesë dendur pse, veten dhe të tjerët për të përligjur një përfundim; • të vërtetojë teorema të thjeshta, në të gjitha linjat, me silogjizëm dhe nga e kundërta; • të hedhë poshtë, kur është rasti, fjali të jetës së përditshme dhe fjali me ndryshore, me metodën e kundërshembullit; • të përdorë arsyetimin, veprimet me mend ose parashikimin për të gjykuar zgjidhjen e një probleme algjebrike, gjeometrike ose statistikore brenda koncepteve të mësuara në klasën e 10-të; • të gjykojë në vërtetësinë e një rezultati të dhënë, i cili mund të jetë gjetur me llogaritje, me zbatimin e formulave të njohura ose me përdorimin e teknologjisë. 6.6 Aftësia e përdorimit dhe e përpunimit të informacionit Përdorimi dhe përpunimi i informacionit i ndihmon nxënësit të bëhen individë efektivë në një mjedis të tejmbushur me informacion nëpërmjet grumbullimit, përzgjedhjes, regjistrimit, organizimit, përmbledhjes, prezantimit, interpretimit. Për këtë arsye, nxënësi aftësohet: • për të siguruar informacione nga burime të larmishme; • për të përdorur teknika e forma të ndryshme, me qëllim përftimin e informacioneve të shkruara; • për të përdorur strategji të ndryshme për të analizuar, për të përpunuar dhe për të interpretuar informacione; • për të përzgjedhur burimet e ndryshme të informacionit në përshtatje me qëllimin; • për të regjistruar, për të organizuar, për të përmbledhur, për të bashkërenduar dhe për të komunikuar informacionet; • për të paraqitur informacionet, duke shfrytëzuar larmi teknologjish informacioni dhe komunikimi (p.sh., powerpoint, video klipe, aparat fotografik dixhital).

MATEMATIKA 10

39

6.7 Aftësia e zgjidhjes problemore Një nga arritjet kryesore të lëndës së matematikës është aftësimi i nxënësve për të zgjidhur situata problemore që do të thotë përdorimi dhe zbatimi i matematikës shkollore brenda vetë matematikës, në detyra praktike, në situata problemore të jetës reale. Në këtë kontekst një situatë problemore mund të jetë thjesht një problem rutinë matematik, një problem në një situatë të re ose një hetim që përdor matematikën dhe proceset e të menduarit. Të zgjidhësh një situatë problemore do të thotë të përdorësh njohuritë e fituara për të zgjidhur një problem në një situatë të panjohur më parë. Kjo aftësi u jep nxënësve mundësinë të sfidojnë, të zgjidhin e të menaxhojnë situatat e larmishme problemore të jetës së përditshme. Në këtë drejtim, nxënësit aftësohen: • për të matematizuar dhe për të zgjidhur situata problemore, jo të ndërlikuara, me ndihmën ose jo të teknologjisë, të simuluara dhe nga jeta reale dhe me shembuj nga shkencat e tjera, në përshtatje me njohuritë dhe shprehitë e fituara; • për të analizuar situata problemore dhe për të hartuar plane ndërvepruese për zgjidhjen tyre; • për të monitoruar dhe për të vlerësuar ecurinë e etapave të zgjidhjes së problemit; • për të bërë parashikime, për të ngritur hipoteza, për të argumentuar në mënyrë bindëse metodat e përdorura të kërkimit dhe përfundimet e arritura; • për të kërkuar, për të gjetur zgjidhje të ndryshme dhe për t’i vlerësuar ato në përputhje me dobinë dhe zbatueshmërinë; • për të gjykuar rrugën e zgjidhjes me qëllim përmirësimi 6.8 Aftësia e të punuarit në grup Aftësitë e punës në grup nxjerrin në pah rolin e të punuarit me të tjerët për qëllime të të nxënit dhe për arritjen e synimeve personale dhe të përbashkëta. Të punuarit në grup i shërben motivimit, çlirimit të energjisë dhe shfrytëzimit maksimal të talenteve individuale. Ai është i rëndësishëm për kohezionin social dhe për lidhjet e grupeve të ndryshme kulturore, etnike dhe fetare. Në këtë drejtim nxënësi aftësohet: • për të punuar me të tjerët në grup, në mjedise e kontekste të ndryshme, me synime dhe qëllime të përcaktuara; • për të përcjellë idetë dhe nevojat brenda grupit, duke respektuar pikëpamjet e ndryshme të anëtarëve të tij; • për të arritur marrëveshje për planet e veprimit, për të respektuar afatet dhe planet e pranuara; • për të marrë përsipër përgjegjësitë e rolit si anëtar i grupit ose si drejtues i tij; • për të ndihmuar të tjerët të ndihen të përfshirë në grup dhe të motivojnë grupin për të tejkaluar vështirësitë; • për të pranuar dhe për të zbuluar rrugë të reja për përmirësimin e mëtejshëm të aftësive individuale për të punuar në grup. 6.9 Aftësia e qëndrimit etik e social Përveç njohurive dhe aftësive, shkolla synon të edukojë vlera dhe parime të përgjithshme të pranuara nga shoqëria, të cilat lidhen me mbrojtjen e të drejtave të njeriut, me respektimin dhe me zhvillimin e vlerave kombëtare, me mbrojtjen e mjedisit në të gjithë larminë e tij etj. Në këtë këndvështrim matematika në bashkëpunim me të gjitha fushat e tjera të kurrikulës së gjimnazit ndihmon në aftësimin e nxënësve:

40

LIBËR PËR MËSUESIN

• për të vlerësuar sjelljet, veprimet dhe qëndrimet e tij dhe të të tjerëve nga pikëpamja e të mirës së përbashkët të komunitetit, vendit e më gjerë; • për të vlerësuar dukuritë, ngjarjet, qëndrimet dhe veprimet e të tjerëve në të shkuarën dhe në të tashmen, nga pikëpamja e dobisë shoqërore për komunitetin, vendin, rajonin dhe më gjerë; • për të qenë pjesëmarrës aktivë në veprimtaritë dhe në lëvizjet të cilat synojnë përmirësime në shkallë komuniteti, vendi, rajoni dhe më gjerë.

7. Lidhja e matematikës me lëndët e tjera Matematika u shërben të gjitha lëndëve, herë me koncepte herë me aftësi. Formimi matematik është një mjet i fuqishëm të nxëni. Nxënësi identifikon marrëdhëniet ndërmjet koncepteve matematikore dhe situatave të përditshme dhe bën lidhje ndërmjet matematikës dhe lëndëve të tjera. Ai fiton aftësi për të përdorur matematikën dhe për të zbatuar konceptet e saj edhe në fushat e tjera kurrikulare. Nëpërmjet trajtimeve matematikore, nxënësit njihen me objekte dhe fakte matematike, të shprehura me fjalë, formula dhe paraqitje grafike, si dhe me një botë të sistemuar në mënyrë deduktive. Ata aftësohen të përpunojnë çështje të fushave të ndryshme me fakte dhe të gjykojnë rezultatet në mënyrë adekuate. Duke nxënë matematikë, ata ndërgjegjësohen që shumë probleme të kohës sonë zotërojnë një input racional, që mënyrat matematikore të të vepruarit dhe të të menduarit gjejnë zbatim në shumicën e shkencave, në fusha të ndryshme dhe veçanërisht në jetën e përditshme. Përvojat e para të lidhjes së matematikës me shkencat e tjera, nxënësi i merr në kurrikulën shkollore. Në bazë të universalitetit, matematika qëndron në raporte të ngushta me një numër të madh disiplinash të tjera. Ajo është një mjet ndihmës i domosdoshëm për shkencat natyrore. Njëkohësisht, ajo luan një rol të rëndësishëm edhe në shkencat humane, si p.sh., në psikologji, sociologji, pedagogji apo edhe në mjekësi. Rrjedhimisht, lidhjet e matematikës me lëndët e tjera në shkollë janë të shumëllojshme, prandaj përvojat e para të lidhjes së matematikës me shkencat e tjera, nxënësi i merr në kurrikulën shkollore. Veçanërisht i ngushtë është bashkëpunimi konstruktiv i matematikës me fizikën në një sërë çështjesh. Trajtime të përbashkëta e lidhin matematikën edhe me biologjinë dhe kiminë. Me lëndën e informatikës, përveç përdorimit të TIK, matematika ka të përbashkët, ndër të tjera, idenë bazë të algoritmit. Lëndë si historia, gjeografia apo sociologjia kanë në plan të parë diagramet dhe grafikët si dhe metodat statistike. Përpos kësaj, vështrimet në historinë e matematikës apo edhe në biografitë e matematikanëve mund të konsiderohen si pika lidhëse. Shembujt e sjellë nga arti, arkitektura pasqyrojnë përdorimet e matematikës në konceptimin dhe ndërtimin e veprave të ndryshme të artit Projektet ndërlëndore janë një risi në kurrikulën e gjimnazit që mund të përdoret edhe për të konkretizuar lidhjen dhe përdorimin e matematikës nga lëndët e tjera.

8. Parimet e përgjithshme të mësimdhënies së matematikës Parimet didaktike pasqyrojnë kërkesat e përgjithshme të pedagogjisë ndaj procesit mësimor. Respektimi i parimeve didaktike është një kusht i domosdoshëm për mësimdhënie të suksesshme. Le të tregojmë se si këto parime duhet të realizohen në procesin mësimdhënës në matematikë.

MATEMATIKA 10

8.1

41

Parimi i të mësuarit të vetëdijshëm e aktiv

Ky parim kërkon që njohuritë matematike të perceptohen nga nxënësit në mënyrë aktive, të kuptohen dhe të përpunohen në mënyrë krijuese në vetëdijen e tyre, si dhe të zbatohen në praktikë. Në mësim nxënësi duhet të jetë aktiv e vetëveprues. Përmbushja e këtij parimi është kusht i domosdoshëm për të luftuar formalizmin në mësim. Kjo arrihet nëpërmjet formave të ndryshme si shpjegimi i qëllimeve të përgjithshme të lëndës, të kapitullit e të temave të veçanta; krijimi i situatave problemore, lidhja e njohurive me problemet praktike, përdorimi i metodave që aktivizojnë të menduarit e nxënësve. Duke mësuar cilindo kapitull, nxënësi duhet të kuptojë se me çfarë qëllimi mësohet ai, cila është më kryesorja, thelbësorja, si mund të shpjegohen rregullat dhe ligjshmëritë e përftuara, cila është lidhja ndërmjet materialit të ri dhe materialit që njihej më parë. Në zhvillimin e çdo teme mësimi, mësuesi duhet të sigurohet, nëpërmjet pyetjesh e ushtrimesh të zgjedhura me kujdes, për shkallën e përvetësimit të vetëdijshëm të materialit të ri nga nxënësit dhe vetëm më pas të fillojë punën për asimilimin e qëndrueshëm të tij. Njohuritë e fituara mekanikisht nga nxënësit, nuk kanë vlerë sepse ato nuk mund të zbatohen në probleme të ndryshme; ato harrohen shpejt. Është fakt se në kapituj të ndryshëm nxënësit detyrohen të mësojnë edhe ato njohuri të cilat mund të mos jenë interesante apo joshëse për ta. Pikërisht këtu merr rëndësi të jashtëzakonshme “zëri i mësuesit” për të shpjeguar arsyen përse është e domosdoshme që të përvetësohet edhe ajo pjesë jo interesante, e cila “nuk ka ç’na duhet”. Si rezultante e këtij parimi është e duhet të jetë këmbëngulja e mësuesit në “punën zbuluese në miniaturë” nga nxënësit për të zgjidhur problemet ku ata zbulojnë gjëra të panjohura për ta. (Privilegj që e kanë pak ose aspak lëndë të tjera). Nëse mësuesi ka arritur të kultivojë veprimtarinë e vetëdijshme të nxënësve për të mësuar matematikën, atëherë para tyre është hapur rruga për punë të pavarur e krijuese, për vetiniciativë e kontroll. Është fakt që aktiviteti i vetëdijshëm i nxënësve në matematikë nuk ecën në mënyrë uniforme. Ai karakterizohet nga intensiteti në ndryshim. Ky intensitet varet jo vetëm nga përmbajtja e lëndës, por edhe nga niveli i klasës e, në mënyrë të veçantë nga personaliteti i mësuesit. Ndikim të madh këtu ka edhe vlerësimi me notë i mësuesit, aplikimi i metodave të ndryshme të mësimit, etj. 8.2

Parimi shkencor

Parimi shkencor konsiston në faktin që nocionet shkencore, rregullat dhe në përgjithësi e tërë përmbajtja dhe zhvillimi i lëndës, të ketë mbështetje rigoroze shkencore. Ky parim kërkon që njohuritë që u jepen nxënësve të jenë të sakta shkencërisht, e të argumentohen, sigurisht në përshtatje me moshën e nxënësve. Ai kërkon, gjithashtu, pajisjen e nxënësve me metodat e njohjes shkencore në përshtatje jo vetëm me moshën, por edhe me nivelin e zhvillimit të tyre. Në këtë drejtim ndihmon së tepërmi formimi i shkathtësive për të kryer vrojtime, matje, eksperimente, për të formuluar hipoteza e për të realizuar vërtetime. Realizimi i parimit shkencor, vendos kërkesa të mëdha ndaj aspektit logjik të trajtimit të lëndës. Nxënësit duhet që të formulojnë qartë kushtet dhe përfundimet e teoremave; të dinë të formojnë teoremën e anasjellë dhe të kundërt të një teoreme të dhënë. Tek ata duhet të përpunohet aftësia për vërtetimin e çdo gjykimi, që lind në procesin e vërtetimit të teoremës, si dhe aftësia për të shkruar këto gjykime në trajtën simbolike.

42

LIBËR PËR MËSUESIN

Në praktikën shkollore hasen edhe raste të tilla, kur nxënësit gjatë vërtetimit operojnë me fakte të tilla, të cilat vetë rrjedhin nga ajo që do të vërtetohet. Puna e kujdesshme e mësuesit ndaj gabimeve të tilla, edukon tek nxënësit kërkesën ndaj rigorozitetit logjik të gjykimeve. Por vëmë në dukje se konkluzionet duhen përgjithësuar pa vërtetim, nëse për nxënësit gjykimi korrespondues është i vështirë. Nënvizojmë edhe një fakt tjetër të rëndësishëm. Emërtimet, nocionet, rregullat, pohimet, herëherë pësojnë ndryshime. Ato korrigjohen, plotësohen me njohuri të reja. Është kjo arsyeja se në këtë drejtim mësuesi duhet të “vet ripërtërihet” dhe kjo realizohet vetëm duke studiuar e duke u kualifikuar. 8.3

Parimi i trajtimit sistematik dhe asimilimit të materialit

Ky parim nënkupton respektimin e varësisë që ekziston, së pari ndërmjet degëve të ndryshme të lëndës së matematikës (aritmetikë, algjebër, gjeometri) dhe së dyti ndërmjet kapitujve dhe temave brenda një dege. Tashmë dihet se fillimisht mësohet aritmetika, me elemente të pakët të gjeometrisë (aq sa për t’i njohur nxënësit me figurat kryesore dhe për të zgjeruar fushën e zbatimit të aritmetikës). Më pas mësohen algjebra dhe gjeometria në plan, e më pas akoma elementet e gjeometrisë në hapësirë. Parimi i trajtimit sistematik nënkupton shtjellimin e kursit të matematikës në një vargëzim të përcaktuar logjik. Para studimit të cilësdo temë, nxënësi duhet të mësojë materialin, i cili është bazimi i tij logjik. Vetëm me një trajtim të renditur e të sistemuar mund të zhvillohet të menduarit logjik tek nxënësit. Trajtimi sistematik nuk mund të realizohet, nëse nxënësit nuk asimilojnë apo e harrojnë materialin, i cili është bazë për mësimin e një materiali të ri. Prandaj në mësimdhënien e matematikës një rol të rëndësishëm luan përsëritja sistematike e materialit. Sistemimi i njohurive të nxënësve mund të mos realizohet si rrjedhojë e një raporti të pavëmendshëm të tyre, ndaj shpjegimit të mësuesit, të një tempi tepër të shpejtë të shtjellimit të materialit të ri, të mosplotësimit të detyrave të shtëpisë dhe shkaqeve të tjera të ngjashme me këto. Në këtë mënyrë, realizimi i parimit të sistematizimit lidhet dhe me organizimin e procesit mësimor. Një rol të rëndësishëm luan sistemi në përzgjedhjen e ushtrimeve. Ushtrimet është e domosdoshme të trajtohen me nivel rritje të vështirësisë. Përmbajtja e ushtrimit duhet të ketë karakter të përgjithshëm: duke zgjidhur ushtrimin, nxënësit duhet që jo vetëm të përforcojnë materialin e sapo mësuar, por të përsëritin edhe materialin që kanë mësuar kohë më parë. Shmangia e boshllëqeve në njohuritë e nxënësve dhe përgatitja e çmuar në përvetësimin e materialit të ri, është një nga detyrat themelore të veprimtarisë së mësuesit. Është e kuptueshme se ky parim, në një kuptim të gjerë, është atribut i programit të matematikës. Për këtë arsye mësuesi, pavarësisht nga klasa ku jep mësim në një vit shkollor, duhet të studiojë me kujdes programin e matematikës (madje edhe tekstet e klasave të tjera). Në një kuptim më të ngushtë ky parim është i rëndësishëm në paraqitjen dhe shpjegimin e materialit të ri brenda çdo ore mësimi. Është e pamjaftueshme që mësuesi të zotërojë mirë lëndën. Për çdo orë mësimi ai duhet të mendojë si ta ndërtojë mësimin, në ç’renditje duhet t’i japë njohuritë e reja, ç’mjete konkretizimi duhet të ndërtojë, si duhet t’i formulojë shkurt e qartë teoremat e përkufizimet; si do ta ndjekë ecurinë e arsyetimeve, çfarë do të shkruajë në dërrasën e zezë; çfarë ushtrimesh e problemash duhet të trajtojë për të treguar domosdoshmërinë e shtjellimit të një materiali të ri; çfarë ushtrimesh duhet të zgjidhë për të zbatuar njohuritë e reja. E pra, të gjitha këto nuk janë të shkruara në tekst. Ato duhet t’i përgatisë mësuesi. Mësuesi

MATEMATIKA 10

43

i ndërgjegjshëm, duke u konsultuar më parë me tekstin dhe me mësuesit më me përvojë mund të kërkojë gjithnjë rrugë efektive për mësimin. Ky parim duhet marrë në konsideratë edhe brenda kuadrit të një detyre të veçantë, e cila kërkon zgjidhje. P.sh., është gabim të fillohet zgjidhja e një detyre të caktuar (problem, ushtrim) nëse nuk bëhet më parë analiza e hollësishme e të dhënave dhe kërkesave të saj. Tashmë lidhur me këtë metodika e matematikës formulon rregullat e mëposhtme nga të cilat duhet të udhëhiqemi: Të kalohet: a) Nga e thjeshta tek e përbëra; b) Nga e lehta tek e vështira; c) Nga e afërta tek e largëta; d) Nga e njohura tek e panjohura. Por theksojmë se këto rregulla nuk janë të ndara nga njëra-tjetra. Me fjalë të tjera nxënia e thjeshtë është njëkohësisht edhe e lehtë, edhe e afërt, edhe e njohur, ndërsa nxënia e përbërë është edhe e vështirë, edhe e largët edhe e panjohur. 8.4

Parimi i demonstrimit dhe konkretizimit

Realizimi i parimit të demonstrimit gjatë të mësuarit të matematikës konsiston në vëzhgimin e mjeteve, modeleve, figurave, pikturave të ndryshme, si dhe në shfrytëzimin e përvojës dhe përfytyrimeve, që kanë nxënësit. Domosdoshmëria e përdorimit të mjeteve demonstrative mbështetet nga të dhënat psikologjike. Dihet, se bazë e të menduarit abstrakt është të menduarit konkret. Mjetet demonstrative rritin interesin ndaj çështjes që mësohet dhe me këtë bashkëvepron mobilizimi i vëmendjes së nxënësve. Në mënyrë të veçantë ky parim duhet të zbatohet në klasat e ulëta. Konkretizimi ndihmon së tepërmi në formimin e koncepteve matematike dhe klasifikimin e tyre, zhvillon imagjinatën e nxënësve, lehtëson procesin e përvetësimit të materialit të ri, rrit interesin e nxënësve për njohuritë e reja dhe ndihmon për t’i bërë njohuritë e fituara më të qëndrueshme. Mjetet demonstrative janë të dobishme edhe në zbatimet praktike të njohurive të fituara. Zbatimet praktike kryesore të matematikës në shkollë janë zgjidhja e problemave. Në zgjidhjen e problemave, figurat, modelet, maketet, skemat apo grafikët në rastin më të mirë janë të domosdoshme e në rastin më të keq lehtësojnë të kuptuarit dhe zgjidhjen e problemit. Mjetet matematike mund të klasifikohen në tri grupe të mëdha: natyrore, figurative dhe simbolike. Mjete natyrore janë ato objekte reale, të cilat kanë formën e konceptit matematik që studiohet, p.sh., klasa, dritarja, muret, kanalet e ndryshme, topi etj. Mjete figurative janë modelet e ndryshme të figurave të realizuara me letër apo karton, modelet e trupave gjeometrikë prej druri, teli etj. Mjete simbolike janë figurat e ndryshme, grafikët, skemat, tabelat etj. Në aspektin e konkretizimit puna e mësuesit të matematikës është më e lehtë se e mësuesit të lëndëve të tjera. Themi kështu sepse mjetet e konkretizimit që përmendëm më lart ose gjinden në mjedisin rrethues, ose realizohen me lehtësi (nuk ndodh kështu të themi me lëndën e fizikës apo kimisë). Prandaj, mësuesi duhet të shfrytëzojë kryesisht mjedisin rrethues. Në gjeometri nxënësve u duhen treguar objekte reale që kanë formën e figurës që studiohet. P.sh., dërrasa e zezë, xhamat, dyshemeja, shërbejnë për konkretizimin e figurave plane dhe të hapësirës. Në studimin e simetrisë nxënësve u tregohen objekte reale që kanë simetri. Dihet se në matematikë përdoren gjerësisht mjetet simbolike të konkretizimit, si: figurat, grafikët, skemat, tabelat. Figura është një mjet konkretizimi tepër e fuqishme. Ajo e ndan

44

LIBËR PËR MËSUESIN

formën gjeometrike të objektit që studiohet nga vetitë e tjera të tij dhe e paraqet atë në trajtë të pastër. Por theksojmë se konkretizimi simbolik jo gjithmonë është i qartë për nxënësit. Duke paraqitur në vetvete një sistem shenjash konvencionale, konkretizimi simbolik në thelb është një gjuhë origjinale dhe për ta kuptuar atë, ashtu si edhe çdo gjuhë tjetër ajo duhet të mësohet. Le ta konkretizojmë këtë mendim me një shembull. Grafiku i funksionit konkretizon varësinë e një madhësie nga një madhësi tjetër. Kjo realizohet më anën e një sistemi shenjash konvencionale. Por praktika tregon se nuk janë të rralla rastet kur nxënësit nuk dinë “të lexojnë” grafikë, d.m.th., nuk dinë të thonë sipas grafikut bashkësinë e përcaktimit të funksionit, të dallojnë nëse ai është rritës apo zbritës etj. Nëse kjo ndodh në një masë të konsiderueshme, tregon se përdorimi i grafikëve është jo efektiv. Efektiviteti i mësimit varet shumë nga zgjedhja e përshtatshme e mjeteve të konkretizimit si dhe përdorimi i tyre i përshtatshëm në procesin mësimor. P.sh., përdorimi i figurave në gjeometri e stereometri, është një ndihmesë e madhe në zgjidhjen e problemeve. Mjete të përshtatshme në mësimet e matematikës janë edhe skemat e tabelat. Skemat që mund të paraqesin simbolikisht kushtet e problemave, shpesh ndihmojnë së tepërmi në të kuptuarit e mirë të problemit. Tabelat e ndryshme, të cilat përdoren për një kohë të përshtatshme, ndihmojnë për të përforcuar dhe mbajtur mend konceptet matematike dhe klasifikimin e tyre. Lidhur me mjetet e konkretizimit mësuesi duhet të ketë parasysh: • Mjetet e konkretizimit duhet të jenë të thjeshta, të pangarkuara me gjëra të tepërta dhe të ndërtuara me kujdes. • Mjetet duhet të jenë me përmasa të përshtatshme, në mënyrë që të shihen qartë nga të gjithë nxënësit. • Nxënësit mundësisht të përgatisin vetë mjete mësimi, sepse kur ndërtojnë vetë mjete për vërtetimin e fakteve të ndryshme, jo vetëm bëhen të aftë në përdorimin e mjeteve të punës, por përvetësojnë më mirë format hapësinore, vetitë e tyre dhe faktet e shqyrtuara në klasë. Figurat plane apo edhe ato të hapësirës që vizatohen në dërrasën e zezë, si nga mësuesi, ashtu edhe nga nxënësit me vizore apo me dorë të lirë, duhen ndërtuar me kujdes. Figura e mirë i ndihmon nxënësit për gjetjen e rrugës së drejtë të zgjidhjes së problemit. Konkretizimet duhet të përdoren më shumë në klasat e ulëta. Me kalimin nga klasa në klasë ato duhet të pakësohen gradualisht. Por theksojmë se edhe në klasat më të larta, shpesh herë konkretizimi është i domosdoshëm. Realizimi i parimit të demonstrimit nuk kufizohet vetëm me përdorimin e mjeteve demonstrative. Shtjellimi i materialit mund të quhet demonstrativ, nëse mësuesi në procesin e shpjegimit përdor përfytyrimin, i cili është krijuar tek nxënësit nga përvoja e jetës. Por përdorimi i mjeteve demonstrative duhet të jetë i menduar me kujdes. Këtu nuk duhet të udhëhiqemi nga parimi: sa më shumë aq më mirë. Një përdorim i vazhdueshëm i mjeteve demonstruese gjatë të mësuarit të teorisë dhe zgjidhjes së problemave pengon zhvillimin e përfytyrimeve hapësinore të nxënësve. Përdorimi i një numri të madh mjetesh demonstrative në të njëjtën orë mësimi, nuk është i përshtatshëm, sepse në këtë rast nxënësve u dobësohet vëmendja dhe bie interesi ndaj mjetit demonstrues. 8.5

Parimi i asimilimit të qëndrueshëm të njohurive

Ky parim kërkon që njohuritë e fituara nga nxënësit të mos harrohen. Të mësuarit e matematikës duhet të fillojë me qëllimin e caktuar në mënyrë që mësimi i

MATEMATIKA 10

45

përvetësuar një herë, të jetë pronë e përhershme e nxënësit. Në ndryshim nga shumë lëndë të tjera, mësimi i matematikës karakterizohet nga “varësia reciproke e nxënies dhe harresës së vështirësuar”. Kjo do të thotë që njohuritë matematike nuk mësohen në një ditë por, gjithashtu, nuk harrohen në një ditë. Zgjimi i kërshërisë së nxënësve për të përvetësuar e mbajtur mend sa më shumë “dije matematike”, varet së tepërmi nga aktivizimi i motiveve për të mësuar. Zotërimi i bazave të shkencës është i mundur vetëm me një kujtesë të ndërgjegjshme e të qëndrueshme. Mësimdhënia e matematikës është e domosdoshme të organizohet në mënyrë të tillë, që nxënësit të kenë mundësi, që pastaj të rikujtojnë materialin e mësuar, dhe ta përdorin atë për zgjidhjen e problemave. Vetëm në praninë e një fondi të caktuar të njohurive, nxënësit mund të zotërojnë njohuri të reja dhe të manifestojnë aftësi krijuese. Nga ana tjetër, njohuritë rezultojnë aq më të thjeshta, sa më shumë pavarësi dhe aktivitet që të tregojë nxënësi gjatë asimilimit të tyre. Njohuritë matematike janë të lidhura ngushtë me njëra-tjetrën. Kjo është edhe avantazh edhe disavantazh për mësuesin e matematikës. Është avantazh sepse materiali i mësuar mirë është bazë e sigurt për ecurinë e mëtejshme. Është disavantazh sepse mos dija e një pjesë të lëndës vështirëson së tepërmi të mësuarit e lëndës që vjen më pas. Sa më mirë të jetë përvetësuar materiali i mëparshëm, aq më të qëndrueshme janë dijet. Qëndrueshmëria e njohurive stimulohet nga përzgjedhja e kujdesshme e problemave të zbatimit. Për të siguruar qëndrueshmërinë e njohurive të nxënësve në organizimin e orës së mësimit mësuesi duhet të udhëhiqet nga tezat e mëposhtme: • Të mbajturit mend është në përpjesëtim të drejtë me përsëritjen. • Kujtesa ka natyrë seleksionuese: mbahet mend mirë ajo që është e rëndësishme e, sidomos, ajo që ngjall interes. • Njohuritë mbahen mend më mirë nëse zbulohen praktikisht. • Mbajtja mend stimulohet nga detajimi i materialit, jo sipas përmbajtjes kuptimore, por nëpërmjet veçimit të problematikave si titujt, tezat, çështjet, etj. • Materiali i paraqitur emocionalisht kujtohet më mirë. Tezat e mësipërme, në një farë mënyre, janë të vlefshme për çdo mësues e jo vetëm për mësuesin e matematikës. Por, veç këtyre, mësuesi i matematikës ka privilegjin dhe përgjegjësinë të ketë edhe disa shtesa. Nëse mësuesit të matematikës do t’i bëhej pyetja se cilat janë njohuritë që nxënësi duhet t’i mbajë mend detyrimisht, besoj se asnjëri nuk do ishte plotësisht i saktë në dhënien e përgjigjes. Ndodh kështu sepse përgjigja e kësaj pyetjeje mund të jepet vetëm duke u bazuar në përvojën e secilit (cilat janë p.sh., njohuritë e domosdoshme për të mësuar mirë kapitullin e veprimeve me thyesat?). Ndodh kështu sepse është e pamundur që gjithçka që mësohet në shkollë të mbahet mend për një kohë të gjatë. Asimilimi i njohurive kujtohet aq më shumë, sa më me pikësynim të jenë perceptuar. Në procesin e një të kujtuari të kujdesshëm, vendoset lidhja ndërmjet materialit të ri dhe materialit të njohur më parë dhe shfaqet mundësia për analizën dhe përgjithësimin. Qëndrueshmëria e njohurive në një shkallë të lartë garantohet nga një përsëritje konstante e materialit të shtjelluar. Përsëritja jep mundësi që njohuritë të thellohen dhe të sistemohen. Gjatë studimit të matematikës, një vlerë shumë të madhe ka siguria në shprehitë llogaritëse, në shprehitë e përdorimit të transformimeve algjebrike dhe ndërtimeve të thjeshta gjeometrike. Për një kujtesë më të mirë duhet të përdoren mënyrat e ndryshme të perceptimit: me dëgjim

46

LIBËR PËR MËSUESIN

(fjala e mësuesit, nxënësit), me shikim (përdorimi i figurave, fotove, leximi i librit) si dhe perceptimi me ndihmën e lëvizjeve (të shkruarit në fletore, ndërtimet gjeometrike, përgatitja e mjeteve demonstrative). Një kujtesë më të thjeshtë jep fjala e mësuesit. Materiali i shtjelluar kujtohet më mirë, nëse nxënësi herë pas here e përdor atë me fjalë që komentojnë zgjidhjen e detyrave dhe shembujve. Një kusht i domosdoshëm për një përvetësim të qëndrueshëm është vëmendja ndaj materialit të shtjelluar. Nëse nxënësit nuk kanë disiplinë gjatë mësimit, nuk mund të ketë dije të qëndrueshme. Një rëndësi të madhe ka interesi, me të cilin nxënësit mësojnë mësimet. Prandaj në mësimet e matematikës duhet që të kombinohen faktet historike, zgjidhja e problemave, me përmbajtje praktike, dhe nganjëherë edhe problema të karakterit krijues. 8.6

Parimi i trajtimit individual të nxënësve

Ky parim nënkupton marrjen në konsideratë të veçorive specifike të nxënësve të veçantë apo grupeve të caktuara të nxënësve. Përvoja tregon se nxënësit edhe të një moshe, kanë veçori të ndryshme për sa i përket përgatitjes matematike, aftësive mendore, zhvillimit të imagjinatës etj. Mësuesi i kujdesshëm zbulon cilësitë individuale të nxënësve dhe e drejton mësimdhënien e diferencuar pikërisht në drejtimet e përshtatshme. Gjatë procesit të mësimdhënies, nisur nga faktet e mësipërme, nxënësve të ndryshëm u duhen drejtuar pyetje dhe detyra të niveleve të ndryshme. Kjo nuk është e lehtë të realizohet, por asnjë mësuesi nuk i lejohet t’u japë të gjithë nxënësve të njëjtën detyrë. Në këtë drejtim ofrojnë mundësi të shumta tipat e ndryshëm të mësimit, që janë: Mësimi i programuar, që përfaqëson një nga format më efektive të mësimdhënies moderne. Nëpërmjet tij, nxënësit përvetësojnë atë përmbajtje, ku qartësohet me detaje mënyra e të mësuarit, duke u njohur njëkohësisht me sukseset dhe rezultatet e arritura. Suksesi në këtë lloj mësimdhënie varet së tepërmi nga programuesi. Maja më e lartë e kësaj mësimdhënie është ajo që ka në bazë përdorimin e teknologjive të reja, përfshirë këtu edhe përdorimin e kompjuterit. Mësimi i diferencuar, është një koncept më i gjerë se ai i individualizuar. Ky mësim udhëhiqet nga nxënësit, të cilët shfaqin interes të veçantë ndaj matematikës. Mësimi problemor. “Të nxënit nëpërmjet problemave është forma më e lartë e të nxënit”. Për zgjidhjen e problemit, përcaktohet ecuria deri në arritjen e zgjidhjes përfundimtare. Por, kjo ka edhe anën e vet negative. Duke qenë se shpesh problemat janë të vështira, mund të shkaktojë mërzi tek nxënësit e deri në velje nga matematika. Aftësitë intelektuale të nxënësve gjithmonë njohin zhvillime të reja. Nxënësi, për të cilin kemi shfaqur vlerësimin se ka qenë i prapambetur në nxënie, në një periudhë tjetër mund të shfaqë interes të dukshëm për matematikën. Prandaj është e domosdoshme që mësuesi herë pas herë të testojë imtësisht aftësitë intelektuale të nxënësve. Është fakt që parimi i individualizimit nuk e ka fituar dukshëm “të drejtën e qytetarisë”. Shpesh herë, (për fat të keq) mësuesit nisen nga mesatarizimi i kërkesave “për të qenë brenda”. Në këtë mënyrë dëmtohen së tepërmi, veçanërisht nxënësit që kanë interes të veçantë për matematikën. Aplikimi i këtij parimi nënkupton mësues ambiciozë e me kërkesa ndaj vetes por, njëkohësisht, që kërkojnë edhe disa kushte të veçanta. Kujdes i veçantë duhet treguar për nxënësit me prirje. Ato duhen “ushqyer” vazhdimisht. Madje me materiale plotësuese. Sigurisht kjo kërkon punë suplementare nga mësuesi. E duhet parë jo vetëm si mundësi por edhe si detyrim. Nxënës të tillë “nuk duhet të na ikin nga duart”.

MATEMATIKA 10

47

8.7 Parimi i racionalizimit dhe ekonomizimit Kohët e fundit ky parim ka marrë një rëndësi të veçantë. Kjo dukuri ka të bëjë me faktin që tendenca për zgjerimin dhe thellimin e programeve mësimore është në kontradiktë me kohën në dispozicion, e cila ka për tendencë të kufizohet gjithnjë e më shumë. Racionalizimi dhe ekonomizimi duhet parë veçanërisht në organizimin e mësimit, në përdorimin e metodave e të mjeteve mësimore. Mësuesi i matematikës duhet të përcaktojë qartë e saktë informacionin e domosdoshëm dhe informacionin e dorës së dytë. Një nga sekretet e suksesit në matematikë është insistimi i mësuesit në parësoren (thelbësoren) dhe veçimin e saj nga më pak e rëndësishmja. Duhet parë me dyshim ai mësues, i cili çdo nocioni, përkufizimi, algoritmi etj. i kushton të njëjtën rëndësi. Nuk mund të harxhohet e njëjta kohë si për parësoren ashtu edhe për dytësoren. Por racionalizimin dhe ekonomizimin në mësim duhet ta vështrojmë edhe nga aspekti i vëllimit të zgjedhjes dhe zgjidhjes së detyrave. Praktika e mjaft mësuesve tregon se pjesa më e madhe e kohës së orës mësimore, për shkak të zgjedhjes së papërshtatshme të detyrës, përcaktimit jo të mirë të objektivave, bëhet pengesë për ekonomizimin e kohës. Çdo qasje e mësimit të matematikës duhet realizuar në kohën më të shkurtër të mundshme, e me sa më pak energji, përndryshe e pëson cilësia e mësimdhënies. Duhet t’u shmangemi detajimeve të tepruara, të cilat jo vetëm marrin shumë kohë, por edhe harxhojnë shumë energji. Për të realizuar mësimdhënie, bazuar në këto parime, mësuesi duhet të ketë cilësitë individuale të mëposhtme. • Niveli i përgatitjes për lëndën, njohuritë e thella për çështjet e kursit shkollor të matematikës, në kuptimin e njohjes së mjaftueshme me nivelin bashkëkohor të zhvillimit të shkencës së matematikës dhe jo vetëm brenda kornizave të shkollës së lartë, por edhe me njohjen individualisht me botimet e reja pedagogjike. • Interesi dhe domosdoshmëria e ngritjes së vazhdueshme e përgatitjes së tij shkencore. • Përgatitja dhe njohja e bazave të konceptimeve bashkëkohore psiko-pedagogjike të mësimit dhe edukimit të nxënësve. • Zotërimi i metodikës së mësimdhënies së matematikës, ngritja e efektivitetit të punës për mësimin dhe edukimin e nxënësve. Është e natyrshme që mësuesi fillestar, në themel të punës së tij ka tekstin mësimor. Është e rëndësishme që puna e tij të synojë në ndërgjegjësimin e nxënësve për të kuptuar çështjet më kryesore të asaj që studiohet. Për këtë mësuesi duhet të ketë të qartë të gjithë kursin shkollor të matematikës si dhe shpërndarjen e tij gjatë viteve. Pa dyshim që në materialin themelor përfshihen të gjitha konceptet fondamentale të kursit shkollor dhe përkufizimet e tyre, të gjitha formulat kryesore dhe temat e përcaktuara nga programi. Me qëllim që të përvetësohet sa më efektivisht zotërimi i metodikës së mësimdhënies, mësuesi, para fillimit të vitit shkollor duhet të zgjidhë apo të paktën të shohë, ushtrimet e problemat e teksteve, me të cilët ai do të punojë në vitin e ardhshëm. Vëmë në dukje edhe një rrethanë tjetër. Ekziston mendimi, se mësuesit fillestar i duhen dhënë për mësim disa klasa të një paraleleje, në mënyrë që të lehtësohet përgatitja e tij për mësimin. Si rregull, manualet metodike për mësimdhënien e matematikës, të shkruara si për mësuesit e matematikës, ashtu e dhe për mësuesit e ardhshëm, duke zbërthyer metodikën e mësimit të një çështjeje të programit, japin një metodë të caktuar, standarde, të llogaritur për një klasë të caktuar, e me një nivel mesatar të përgatitjes së nxënësve. Por metoda e mësimdhënies

LIBËR PËR MËSUESIN

48

nuk është e përhershme e statike. Të gjitha klasat e të njëjtës paralele në një shkollë janë të ndryshme. Ata janë mësuar nga mësues të ndryshëm të klasave të mëparshme; nxënësit janë të ndryshëm për nga niveli i njohurive, nga zhvillimi e nga aspekte të tjera individuale (vëmendja, përqendrimi etj.). Prandaj metodika e mësimdhënies duhet ndërtuar në përshtatje me klasën. Nëse mësuesi ka vetëm klasa paralele, atëherë puna më to, me të njëjtin plan përgatitjeje do të minimizojë një zotërim më të thellë e më të shpejtë të metodikës së mësimit dhe përpunimin e stilit vetjak. Ka mendime se puna e mësuesit në shkollë nuk futet në profesionet krijuese. Mendohet, në përgjithësi se mësuesi nga viti në vit trajton të njëjtin material, me përjashtim ndoshta të 7-8 viteve të parë të punës, kur ai nxjerr kontingjentin e parë të nxënësve. Është e vërtetë që teorema e Pitagorës, apo rregullat e veprimit me numrat racionalë nuk ndryshojnë nga viti në vit. Por, ndryshojnë klasat dhe mësuesi që punon në mënyrë krijuese në çdo klasë, e ndërton të mësuarit në përshtatje me përbërjen e klasës dhe në këtë mënyrë përpunon cilësitë më të mira të mësuesit e edukatorit. Ne i vëmë vetes si detyrë që në mënyrë të gjithanshme të aktivizojmë mendimin e vetë mësuesit, të aktivizojmë mësuesin e ri që të përcaktojë kriteret dhe parimet kryesore për analizën praktike dhe zgjedhjen e metodave të ndryshme të mësimdhënies së matematikës dhe në këtë mënyrë të synojë përsosjen e tij të vazhdueshme.

9. Dy nga komponentët e mësimit të matematikës 9.1

Arsyetimi

Mënyra e arsyetimit është tepër e rëndësishme në të kuptuarit dhe aplikimet e matematikës. Qëllimi i mësuesit është të ndihmojë nxënësit për të zhvilluar aftësitë e tyre matematike, duke pasur kujdes që të kenë kontroll mbi suksesin apo dështimet e tyre. Sensi i pavarësisë së nxënësit zhvillohet përgjatë kohës që ata bëhen të vetëdijshëm për aftësitë e tyre për të arsyetuar logjikisht. Supozimet dhe demonstrimi i vërtetësisë së tyre janë shumë të rëndësishme në procesin matematikor. Arsyetimi duhet të ketë një vend të rëndësishëm në të tëra veprimtaritë në klasë. Nxënësit kanë nevojë për përvojë në një gamë të gjerë problemash. Gjithashtu, duhet një kohë e mjaftueshme për të mësuar se si të ndërtojnë argumente bindëse dhe të vlerësojnë argumentet e te tjerëve, gjatë zgjidhjes se problemave. Atmosfera e vendosur në klasë në plan të parë vendos arsyetimin. Të gjithë nxënësit e klasës duhet të inkurajohen që të pyesin, reagojnë dhe përpunojnë mbi idetë e nxënësve dhe mësuesit. Për të arritur një nivel të tillë të tërë nxënësit e klasës duhet të respektojnë dhe mbështesin idetë e njëri-tjetrit . Nxënësit duhet të ushtrohen sistematikisht të hetojnë për gjetjen e rregullit në situata të thjeshta, si dhe për paraqitjen ose modelimin e tyre matematik. Zhvillimi i të arsyetuarit logjik është i lidhur me zhvillimin verbal dhe intelektual të nxënësve. Nxënësit fillojnë të mendojnë konkretisht dhe t’i mbështesin ato me subjekte fizike ose konkrete. Duke kaluar vitet ata do të bëhen më të aftë për të arsyetuar në mënyrë formale dhe abstrakte. Për të zhvilluar aftësitë e tyre drejt arsyetimit logjik, nxënësve u duhen krijuar mundësi të eksplorojnë, supozojnë, afirmojnë dhe bindin të tjerët. Një klasë që ofron përvoja matematike

MATEMATIKA 10

49

të larmishme, materiale dhe mjete të nevojshme, do t’ia arrijë më mirë qëllimit të saj. Lidhur me arsyetimin logjik mësuesi duhet të ketë në konsideratë: • Nxënësit duhet të ushtrohen sistematikisht të hetojnë për gjetjen e rregullit në situata të thjeshta, si dhe për paraqitjen ose modelimin e tyre matematik. • Nxënësit duhet të inkurajohen për një të menduar euristik, në përdorimin e metodës induktive dhe në analogjinë, që siç dihet janë të domosdoshme për zotërimin jo mekanik të njohurive matematike, dhe për formimin e koncepteve të qarta matematikore. • Nxënësit duhet të edukohen për të zhvilluar shprehitë e tyre argumentuese, nëpërmjet arsyetimit deduktiv. • Nxënësit duhet të kuptojnë dhe të përdorin saktë elementet logjike të gjuhës së përditshme, si: “ose”, “dhe”, “të gjithë”, “jo të gjithë”, “të paktën një”, “në qoftë se..., atëherë...”, “ anasjellas”, “ ekziston...”, “për çdo” etj. • Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të hedhin poshtë pohime të jetës së përditshme, si dhe pohime të thjeshta matematike, me metodën e kundër shembullit. • Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të formulojnë pohimin e anasjellë të pohimeve të jetës së përditshme ose të pohimeve të thjeshta matematike dhe të kuptojnë ndryshimin ndërmjet tyre. • Nxënësve duhet t’u jepet mundësia, përmes situatave të njohura për ta, në jetën e përditshme dhe në matematikë, të dallojnë përfundimet e mundshme, që rrjedhin nga shqyrtimi i rasteve të veçanta, nga përfundimet e sigurta, në sajë të argumentimit logjik. 9.1.1

Induksioni dhe deduksioni

Induksioni është metoda me anën e të cilës nga një fakt i konstatuar në disa shembuj arrihet në një konkluzion të përgjithshëm. Konkluzionet induktive nuk janë të sigurta. Ja një shembull i një gjykimi induktiv. Vizatojmë një trekëndësh dhe ndërtojmë tri lartësitë e tij. Vëmë re se ato priten në një pikë. Kjo dukuri vihet re nëse ndërtojmë lartësitë edhe të disa trekëndëshave të tjerë. Në këtë mënyrë formulojmë pohimin e përgjithshëm: tri lartësitë e një trekëndëshi priten në një pikë, i cili është konkluzion induktiv. Për të konkluduar vërtetësinë e tij në çdo trekëndësh ky pohim duhet vërtetuar. Me të vërtetë asgjë nuk na bind që çdo trekëndësh gëzon këtë veti. Induksioni është një nga metodat kryesore të arsyetimit në shkencat e natyrës. Vetëm matematika nuk i pranon konkluzionet induktive. Megjithatë edhe në matematikë, induksioni ka rëndësi të madhe. Së pari, sepse fakte matematike, në shumë raste, zbulohen me anën e induksionit. Së dyti, gjithashtu nga pikëpamja metodike, induksioni ka rëndësi sepse shumë rregulla bëhen më të kuptueshme për nxënësit nëse nxirren me metodën induktive. Deduksioni është metoda me anën e të cilës nga e përgjithshmja kalohet tek e veçanta. P.sh., dihet teorema; Diagonalet e drejtkëndëshit janë kongruente. Kështu që nëse kemi të bëjmë me një drejtkëndësh të dhënë, atëherë diagonalet e tij janë kongruente. Arsyetimi që ne bëjmë kur nga një apo disa të vërteta zbulojmë një të vërtetë të re, quhet vërtetim. Të vërtetat, mbi të cilat bazohemi, quhen premisat e vërtetimit. Vërtetimi deduktiv është më i vështirë se ai induktiv, por ai ka dy avantazhe ndaj induksionit: Së pari, konkluzionet deduktive janë të sakta nëse premisat janë të sakta. Së dyti, konkluzionet deduktive janë të përgjithshme d.m.th., janë të vërteta në të gjitha rastet e mundshme.

50

LIBËR PËR MËSUESIN

Ecuria e të vërtetave matematike është: Ato zbulohen me anën e induksionit, më pas formulohen dhe vërtetohen me anën e deduksionit. Kështu pasi vihet re se lartësitë e disa trekëndëshave priten në një pikë, vërtetohet teorema përkatëse. 9.1.2

Intuita dhe analogjia

Në zbulimin e mjaft fakteve matematike ndihmojnë shpesh intuita dhe analogjia. Intuita është konkluzion i një përvoje të përsëritur në numër të madh herësh. P.sh., nëse dy pika M dhe N ndodhen në anë të ndryshme të një drejtëze (d) dhe ato i bashkojmë me njëra-tjetrën me segmentin AB, atëherë ky segment pret drejtëzën (d). Analogjia ka të bëjë me një ngjashmëri. Në mjaft raste konkluzionet në lidhje me varësinë e disa madhësive jepen në analogji me varësi të njohura ndërmjet objekteve të tjerë. Kjo mënyrë e nxjerrjes së konkluzioneve shkurton rrugën e gjykimit. Por ajo nuk është e sigurt. Ajo mund të realizohet vetëm nëse plotësohen kushte të caktuara, vërtetësia e të cilave duhet provuar. Por vërtetimi i saj mund të thjeshtohet pikërisht në sajë të ngjashmërisë së fakteve. Në trajtë të pastër analogjia formulohet. Objekti A zotëron vetitë a, b, c, x. Objekti B zotëron vetitë a, b, c. Atëherë objekti B mund të zotërojë edhe vetinë x. Analogjia shpesh na ndihmon për të zbuluar veti të panjohura të figurave. P.sh., diagonalja e drejtkëndëshit me përmasa a dhe b është d =

a 2 + b 2 . Për analogji diagonalja e kuboidit me

përmasa a, b dhe c është: d = a 2 + b 2 + c 2 , formulë e cila është e vërtetë. Por analogjia mund të na çojë edhe në përfundime të gabuara; p.sh., 9.1.3

a ⋅ b = a ⋅ b por jo a + b = a + b

Analiza dhe sinteza

Metodat kryesore të vërtetimit deduktiv janë analiza dhe sinteza. Vërtetimi me metodën e analizës kalon nga e panjohura tek e njohura. Me fjalë të tjera, nisemi nga pohimi që duhet të vërtetojmë dhe me gjykime deduktive arrijmë deri tek një pohim i vërtetuar më parë apo i njohur. Vërtetimi me metodën e sintezës kalon nga e njohura tek e panjohura. Metoda e analizës përdoret kur të vërtetën nuk e njohim. Metoda e sintezës përdoret kur të vërtetën e njohim por duam t’ua vërtetojmë të tjerëve. Le të shohim një shembull në përdorimin e metodës së analizës dhe sintezës. Të vërtetojmë pohimin e njohur. E mesmja aritmetike e dy numrave është më e madhe ose e barabartë me të mesmen gjeometrike të tyre, pra

a+b ≥ ab . 2

Nisemi nga supozimi se mosbarazimi është i vërtetë. Duke kaluar nga lart poshtë realizojmë të vërtetën analitike (I), (II), (III), (IV), (V) me arsyetimin: për të vërtetuar (I) duhet të vërtetojmë (II), për të vërtetuar (II) duhet të vërtetojmë (III) e kështu me radhë. Me fjalë të tjera, ne krijojmë vargun e kushteve të domosdoshme në kuptimin që çdo gjykim i sipërm është kusht i domosdoshëm për gjykimin e mëposhtëm. Pas kësaj mbetet që ta përfundojmë procesin nga ana didaktike: nga analiza të kalojmë në sintezë. Realizojmë gjykimet në drejtimin nga poshtë lart, duke renditur vargun e kushteve të mjaftueshme (nga të dhënat tek përfundimet). Kështu ecuria e rrugës sintetike është (V), (IV), (III), (II), (I).

MATEMATIKA 10

51

Analiza

Sinteza

Lexo nga lart poshtë.

Lexo nga poshtë lart.

Duhet vërtetuar

a+b ≥ ab 2

(I-II). Ngremë të dy anët në katror dhe shumëzojmë me 4.

(a + b) 2 ≥ 4ab

(II-III) Zhvillojmë anën e majtë.

a +2ab+b ≥4ab

(III-IV). Kalojmë 4ab në anën e majtë.

a -2ab+b ≥0

(IV-V) Paraqesim anën e majtë në trajtë katrori të plotë. Mosbarazimi i fundit është evident (katrori i çdo numri real është jo negativ).

2

2

(a-b)2≥0

Mosbarazimi u vërtetua. (I)

(II-I) Pjesëtojmë të dy anët me 4 dhe nxjerrim rrënjën katrore.

(II)

(III-II). E paraqesim anën e majtë në trajtë katrori të shumës.

(III)

(IV-III). U shtojmë të dy anëve 4ab.

(IV)

(V-IV) Heqim kllapat në anën e majtë.

(V)

(V) Shkruajmë mosbarazimin e vërtetë për çdo numër real.

2

2

9. 2. Komunikimi Matematika është një gjuhë që duhet bërë e kuptueshme për nxënësit në qoftë se duam që ata të komunikojnë dhe aplikojnë idetë matematike. Aftësia komunikuese e përgjithshme e nxënësve i ndihmon ata që të kuptojnë gjuhën e matematikës. Kur nxënësit arrijnë të kuptojnë, që një problem mund të përshkruajë situata të ndryshme, dhe se disa mënyra të paraqitjes së tij janë më të frytshme se të tjerat, ata fillojnë të kuptojnë forcën, fleksibilitetin dhe dobinë e përdorimit të matematikës. E rëndësishme është që nxënësit të “flasin matematikë”. Bashkëveprimi me shokët e klasës i ndihmon ata që, të mësojnë të mendojnë mbi idetë në disa mënyra, si dhe të qartësojnë mendimin e tyre. P.sh., përshkrimi i zgjidhjes së një problemi i ndihmon nxënësit që të qartësojnë mënyrën e tyre të të menduarit dhe të zhvillojnë një kuptim më të thellë. Nxënësit duhet të përfshihen në mënyrë aktive në “ndërtimin e matematikës”. Veprimtaritë e eksplorimit, dhe shpjegimit të ideve matematike ndihmojnë në zhvillimin e aftësive të komunikimit. Mësuesit lehtësojnë këtë zhvillim, duke realizuar sondazhe dhe duke ftuar nxënësit të shpjegojnë mënyrën e tyre të të menduarit. Është e rëndësishme që të diskutohet ideja që nxënësit duhet të mësojnë matematikë nëpërmjet veprimtarive që kanë lidhje me jetën

52

LIBËR PËR MËSUESIN

e tyre. Nxënësit duhet të kuptojnë që ta shohin matematikën si mjet për të kuptuar, përshkruar, dhe për t’iu përgjigjur botës që i rrethon. Duke u rritur aftësia e nxënësve për të menduar në mënyrë abstrakte, duhet të rritet dhe aftësia e komunikimit matematik. Sa më me efektivitet të komunikojnë nxënësit aftësitë dhe njohuritë e tyre, aq më lehtë mësuesit mund të vlerësojnë të nxënit e tyre nëpërmjet dëgjimit dhe vëzhgimit. Në këtë drejtim mësuesi duhet të ketë në vëmendje momentet e mëposhtme: Mësimdhënia e matematikës duhet të trajtohet në mënyrë të tillë që të aftësojë nxënësit: • Të komunikojnë qartë, saktë dhe shkurt; • Të organizojnë mirë paraqitjen e fakteve dhe të ideve; • Të jenë dëgjues të vëmendshëm; • Të shkruajnë pastër e duke shfrytëzuar mirë fletën. Gjatë përvetësimit të matematikës, nxënësit duhen ushtruar vazhdimisht të përshkruajnë, të shpjegojnë dhe të diskutojnë matematikisht. Në këtë mënyrë ata kuptojnë, përmes përvojës së tyre, rëndësinë e përdorimit të saktë të fjalëve dhe të pohimeve. Ata duhen ushtruar për t’u aftësuar ta analizojnë e të interpretojnë informacionet matematike. Nxënësit duhet të jenë të aftë të “lexojnë” informacione nga paraqitjet me tabela, figura, diagrame e grafikë, si dhe të transmetojnë një informacion, duke e paraqitur atë me tabela, diagrame e grafikë.

10. Metodat e mësimdhënies Dihet se mësues i mirë është ai që i nxit dhe i motivon nxënësit të mësojnë matematikë. Studimet tregojnë se nxënësit e nxënë mirë matematikën vetëm nëse arrijnë të strukturojnë të kuptuarit matematik. Për të kuptuar sa e kanë mësuar matematikën, ata duhet të jenë në gjendje të veprojnë sipas foljeve zbulo, zëvendëso, transformo, zgjidh, zbato, vërteto, komuniko. Ata veprojnë sipas këtyre foljeve veçanërisht kur punojnë në grup, përfshihen në diskutime, bëjnë prezantime etj. Për të realizuar synimet e programit, mësuesit, për aspekte të ndryshme, duhet të përdorin metoda të ndryshme. Disa prej tyre mund të përfshijnë gjithë klasën dhe drejtohen nga mësuesi, disa përfshijnë nxënësit në punë në grup dhe veprimtari bashkëpunuese dhe disa të tjera përfshijnë të nxënit zbulues, ku nxënësit punojnë në mjedise të ndryshme.

10.1 Metoda të mësimdhënies që përfshijnë gjithë klasën dhe drejtohen nga mësuesi a) Diskutimi. Mësuesi krijon një situatë matematikore dhe fton nxënësit për diskutim. Gjatë diskutimit flasin si mësuesi, ashtu dhe nxënësit. Në përgjithësi, diskutimet nisin nga pyetja e bërë nga mësuesi, megjithëse pranohet që të lindë një diskutim dhe nga pyetjet e ndryshme të nxënësve. Diskutimi shërben si mekanizëm i zhvillimit të menduarit matematik te nxënësit dhe për komunikimin e ideve të tyre te njëri-tjetri. Disa mësues e ngrenë cilësinë e diskutimit duke u kërkuar nxënësve t’i përgjigjen paraprakisht me shkrim pyetjes së bërë. Diskutimet janë më efektive nëse nxënësit

MATEMATIKA 10

53

nuk janë pasivë, jo vetëm dëgjojnë e nuk flasin. Ata duhet të dëgjojnë njeri-tjetrin, të bashkojnë idetë e tyre dhe t’i vlerësojnë ato. Disa mësues e fillojnë diskutimin duke u kërkuar nxënësve të shkruajnë rreth asaj që kanë mësuar, cilat janë idetë kyç ose çfarë nuk kuptojnë. b) Pyetje-përgjigje. Me anë të kësaj metode, mësuesi u drejton pyetje nxënësve. Metoda pyetje-përgjigje përdoret si metodë efektive për të bërë një kontroll të shpejtë të nxënësit se sa e ka kuptuar ai një koncept, duke ua drejtuar pyetjen të gjithë nxënësve dhe shkruar të gjitha përgjigjet e tyre në tabelë. Megjithëse kjo metodë mund të përdoret për kontroll të shpejtë mbi një informacion aktual, jo të gjitha pyetjet mund të kenë një përgjigje të vetme ose të nivelit të ulët. Pyetjet duhet të nxitin nxënësit të shpjegojnë mënyrat e ndryshme të gjetjes së përgjigjes. Disa pyetje sfidojnë të menduarit e nxënësve, duke u kërkuar atyre të sqarojnë përgjigjet dhe t’i mbrojnë ato. c) Leksioni ose shpjegimi i mësuesit. Kjo është metoda mbizotëruese që përdoret nga shumica e mësuesve të matematikës. Leksionet janë më të përshtatshme në rastin e dhënies së informacionit nxënësve të motivuar në matematikë. Ata janë më efektivë nëse lidhen drejtpërdrejt me objektivat e mësimit, kur mësuesi përdor shembuj të përshtatshëm dhe shmang përdorimin e termave me kuptim jo të qartë. Shumica e leksioneve bazohen në filozofinë e mbushjes së zbrazëtisë së mendjes me informacion faktik. Kjo metodë vepron në kundërshtim me rezultatet e kërkimeve që tregojnë rëndësinë e përfshirjes së nxënësve aktivisht në procesin e përpunimit të informacionit dhe të vendosjes së lidhjes ndërmjet asaj që po mësojnë me ato që kanë mësuar. Një mangësi e madhe e metodës së leksionit është niveli i ulët i asaj që mbetet dhe fiksohet në mendjet e nxënësve pas leksionit. d) Demonstrimi. Mësuesi mund të përdorë mjete dhe instrumente të ndryshëm gjatë mësimdhënies. Demonstrimi përdoret shpesh i kombinuar me metodat e tjera të mësimdhënies. Demonstrimet efektive në klasë kërkojnë qartësi, entuziazëm, teknika të mira të të pyeturit dhe përfshirje të nxënësit.

10.2 Metoda e të nxënit zbulues Metoda e të nxënit zbulues mund të zbatohet me gjithë klasën, me grupe të vogla, ose me nxënës të veçantë. Kur zbatohet me gjithë klasën, mësuesi luan rolin udhëheqës. Në grupe të vegjël, të nxënit zbulues zbatohet zakonisht në disa tipa veprimtarish ose laboratorë të matematikës. Në mënyrë individuale, të nxënit zbulues përdoret gjatë zhvillimit të projekteve. Veprimtaritë zbuluese përfshijnë pjesë të rëndësishme të matematikës dhe vendosin lidhjen ndërmjet tyre. Si tematika të të nxënit zbulues mund të shërbejnë situata të jetës së përditshme. a)

Metoda e projekteve

Metoda e projekteve i vë nxënësit të punojnë sa më shumë vetë. Kjo metodë u kërkon nxënësve të përcaktojnë teknikat që duhet të përdorin për të mbledhur të dhënat për projektin, dhe për të vendosur se cila është metoda më e mirë për mbajtjen dhe prezantimin e të dhënave. Projektet mund të shkruhen individualisht ose në grup dhe nxënësve u jepet kohë relativisht e gjatë për to. Disa herë mund të harxhohet koha e mësimit në klasë, por shumica e punës bëhet në shtëpi

54

LIBËR PËR MËSUESIN

dhe gjatë kohës së lirë. Në varësi nga tema dhe qëllimi, disa projekte kërkojnë më shumë kohë disa më pak. Studimet kanë treguar se angazhimi individual i nxënësve në projekte i vendos ata në rolin e një matematicieni të vërtetë. Projektet janë në fakt “bota reale” dhe u tregojnë nxënësve disa fusha jashtë mureve të klasës në të cilat përdoret matematika. Detyra e përshkruar në kreun e objektivave specifike: “Numri i fëmijëve të familjeve të një pallati”, fare mirë mund të përdoret si teme për një projekt kurrikular. Temat e projekteve duhen zgjedhur të tilla, që nxënësit të binden për rëndësinë e matematikës në jetën e përditshme e në shumë profesione, në shkenca dhe në teknologji, në mjekësi, në ekonomi, në problemet e mjedisit, në vendimmarrjet e qeverive. Si temë projekti mund të shërbejë edhe hulumtimi për veprën e një matematikani ose për zhvillimin e shkencës së matematikës. b) Metoda e të nxënit bashkëpunues I. Puna në grup. Metoda e të nxënit bashkëpunues i vë të gjithë nxënësit të punojnë së bashku ose në grupe. Në rastin kur nxënësit ndahen në grupe, mësuesi bën kujdes që në grup të përfshihen nxënës të të gjitha aftësive dhe që problemet (zënkat) personale të evitohen deri në minimum. Mësuesi nxit të gjithë nxënësit në grup të japin kontributin e tyre, duke u përgjigjur pyetjeve brenda vetë grupit. Ai mund t’i ndërrojë grupet, p.sh., çdo muaj. Roli i tij është të realizojë objektivat mësimore, të stimulojë diskutimet, të monitorojë grupet dhe të ndërhyjë vetëm kur është absolutisht e nevojshme. Mësues të ndryshëm mund të organizojnë në mënyra të ndryshme grupet e të nxënit bashkëpunues. Disa mësues parapëlqejnë t’i lenë nxënësit t’i zgjedhin vetë anëtarët e grupit, të paktën një herë të vetme. Disa mësues të tjerë parapëlqejnë t’i ndryshojnë grupet më shpesh, në varësi të veprimtarisë së planifikuar ditore. Por ka dhe mësues që i ngrenë grupet në varësi të ngjashmërisë së aftësive dhe formimit të nxënësve. Disa të tjerë përcaktojnë dhe rolet e secilit nxënës në grup: lehtësuesi (mban grupin në punë), regjistruesi (shkruan idetë), raportuesi (raporton në klasë), lexuesi (lexon problemin dhe kontrollon saktësinë e fakteve), mbajtësi i materialeve (përgatit materialet). II. Puna në çift. Me anë të kësaj metode, nxënësit punojnë në çift apo dy e nga dy. Çiftet punojnë së bashku në kontrollin e detyrave të shtëpisë, mbajtjen e shënimeve në orën e mësimit, në projekte dhe në raportim. Shpjegimi i koncepteve njeri-tjetrit i bën ata, të mësojnë më mirë dhe më lehtë, pasi kanë “gjuhën” dhe “mënyrën” e përbashkët të menduarit dhe të shprehurit. Metoda e të nxënit në çift i përfshin nxënësit në një proces që lehtëson ngulitjen e koncepteve matematike. Të nxënit bashkëpunues ka ndikim pozitiv në arritjet e nxënësit dhe marrëdhëniet e tij me nxënësit e tjerë. Ai përmirëson qëndrimet e tij kundrejt grupeve me përkatësi etnike, kulturore të ndryshme nga e tija. Mbi të gjitha, puna në grup ndihmon nxënësit të përfshihen më aktivisht në procesin e të nxënit. Megjithatë, përdorimi vetëm i metodës së të nxënit bashkëpunues është i papërshtatshëm po aq sa dhe vetëm përdorimi i metodës së leksionit. Përdorimi i metodave të ndryshme e të shumëllojshme të mësimdhënies kërkon që mësuesi të luajë disa role, si:

MATEMATIKA 10

55

a) Profesionist, që demonstron jo vetëm mundësi të shumta për zgjidhjen e problemit por dhe aftësi të nivelit të lartë të të menduarit që çojnë në zgjidhjen e tij. b) Këshillues, që ndihmon një nxënës të veçantë, grupet e vogla ose gjithë klasën për të vendosur nëse puna e tyre është në “rrugën” e drejtë apo po ecën përpara ose jo. c) Moderator, që bën pyetje të cilat duhet të merren parasysh nga nxënësit, por të tilla që vendimmarrja t’u takojë atyre. d) Ndërmjetës, që mbështet nxënësit gjatë prezantimeve në klasë, i nxit ata të reflektojnë mbi veprimtaritë e tyre dhe ta zbulojnë vetë matematikën. e) Nxitës, që sfidon nxënësit për të qenë të sigurt se ajo çfarë po bëjnë është bindëse, e dobishme dhe se ata mund të mbrojnë përfundimet e tyre.

11. Planifikimi i mësimit Në zhvillimin e mësimeve, mësuesi duhet të udhëhiqet nga parimi që të ndërtojë veprimtarinë në mënyrë të tillë që të plotësohen rezultatet e të nxënit, mundësisht për të gjithë nxënësit. Mësuesi duhet ta ketë krejtësisht të qartë mënyrën e zhvillimit të orës së mësimit, duke u përpjekur që t’ia lehtësojë atë sa më shumë nxënësve. Kjo gjë realizohet me një përgatitje serioze e të dokumentuar. Kjo e fundit bëhet, jo për t’ia treguar drejtorit apo inspektorit, por sepse mësuesi, (e sidomos mësuesi i ri) duhet të parashikojë me imtësi të gjitha etapat e orës së mësimit. Por, vëmë në dukje se mësimdhënia ka edhe aspektin e vet artistik. Mësuesi i mirë është ai, që në varësi të situatave që krijohen në klasë, të marrë vendime të ndryshme nga ato të parashikuara. Tashmë në opinionin e shëndoshë pedagogjik ekziston mendimi dhe bindja se planifikimi i mirë i mësimit nga çdo mësues, është i lidhur ngushtë me trajnimin e tij në këtë drejtim. Mësuesi duhet të planifikojnë me kujdes çdo orë mësimi. Kjo gjë është një kusht i nevojshëm për suksesin e orës së mësimit. Nuk mund të ketë impakt pozitiv një orë mësimi e planifikuar keq, apo e paplanifikuar. Planifikimi i mirë e bën mësuesin më të përgjegjshëm për të arritur objektivat e që i cakton programi dhe objektivat që ai i vë vetes.

11.1 Funksionet e planifikimit • Planifikimi i krijon mundësi mësuesit që të përcaktojë mirë tipin e mësimit që ai synon në një orë të caktuar, duke realizuar lidhjen ndërmjet objektivave, me nivelin konkret aktual të nxënësve, si dhe me vendin që një mësim i caktuar zë në tërë programin lëndor. • Planifikimi i mirë ndihmon në përcaktimin e strukturës së orës së mësimit. Pra, nëpërmjet planifikimit, mësuesi përcakton me hollësi ecurinë e orës së mësimit. Në këtë kuadër, një nga momentet më të rëndësishëm është, si përcaktimi i kohës për secilën veprimtari, ashtu edhe të ritmit të zhvillimit të veprimtarive. • Planifikimi i mirë potencialisht ngre efektivitetin e orës së mësimit. Në një orë të mirë planifikuar, mësuesi përqendrohet në zhvillimin normal të veprimtarive dhe merr vendimet e duhura. Në mënyrë të veçantë ky moment është i rëndësishëm për mësuesit e rinj. Mësuesi i ri duhet të planifikojë deri edhe kohën se kur do të zbulojë mjetin e konkretizimit dhe jo t’ia lërë këtë spontanitetit. • Planifikimi i mirë bën që të gjitha materialet e duhura për orën e mësimit, të sigurohen në kohën e duhur.

LIBËR PËR MËSUESIN

56

• Shënimet e hollësishme në fund të mësimit janë të vlefshme për planifikimin e mëtejshëm, jo vetëm në mësimet e ardhshme, por edhe në të njëjtin mësim në klasa të tjera. Në mënyrë të veçantë, mësuesit e rinj duhet të mbajnë shënim në fund të çdo ore mësimi për çështjet më të rëndësishme të trajtuara.

11.2 Sa kohë duhet të harxhojmë për një planifikim të mirë? Kjo varet jo vetëm nga mësuesi por edhe nga tema konkrete. Është një fakt i pamohueshëm. Sado me përvojë të jetë mësuesi, ai ndjehet më i sigurt kur ka planifikuar me hollësi ecurinë e orës së mësimit. Në këtë kuadër, duhet theksuar domosdoshmëria e fleksibilitetit në realizimin e objektivave. Mësimdhënia konsiderohet e suksesshme nëse mësuesi i përshtatet situatave të krijuara në klasë, madje edhe në rastin kur ato i kanë shpëtuar planifikimit. Në rastin e fundit do të rekomandonim ndryshimin e veprimtarive të parashikuara. Themelore nuk është të realizohet plani, por të veprohet sa më mirë në situatën e krijuar. Mësuesit e rinj, shpesh herë, ndonëse përgatiten me seriozitet në orën e mësimit, në zhvillimin e saj hasin në situata të reja. Këtyre mësuesve u këshillojmë të jenë fleksibël dhe të realizojnë përshtatje të orës së mësimit në lidhje me situatën e re të krijuar. Kalimi nga një veprimtari e parashikuar në një veprimtari tjetër të paparashikuar nuk duhet të konsiderohet dështim i orës së mësimit

11.3

Plotësimi i nevojave të nxënësve

Është një nga drejtimet themelore të një planifikimi të mirë. Lidhur me këtë gjykimi realizohet mbi bazën e dy kritereve kryesore: Së pari, qartësia dhe shkalla e adekuatitetit të qëllimit dhe objektivave mësimore; Kjo ka të bëjë me specifikimin e objektivave mësimore të cilat mund të jenë një ose disa. Së dyti, marrja në konsideratë e nivelit dhe nevojave konkrete të nxënësve. Kjo ka të bëjë me varësinë reciproke të objektivave me njohuritë që nxënësit disponojnë si dhe me një parashikim të mundshëm të nivelit të ardhshëm të nxënësve (në fund të procesit). Plotësimi i nevojave të nxënësve, së pari nënkupton identifikimin e tyre. Kjo është një atribut vetëm i mësuesit. Mësuesi i suksesshëm është ai që identifikon mirë nevojat e nxënësve dhe, mbi këtë bazë, realizon planifikimin e mësimit. Është detyrë e mësuesit që të inkurajojë e stimulojë të nxënit e nxënësve. Nuk mund të vlerësohet planifikimi mësimor mbi kritere të përgjithshme që nuk marrin në konsideratë nxënësin e klasën konkrete. Në këtë kuadër, rëndësi të veçantë merr përcaktimi sa më i saktë i nivelit fillestar të nxënësve në një kapitull të caktuar. Kjo mund të realizohet me anën e testimeve paraprake dhe mbi këtë bazë të programohet puna. Si konkluzion i përgjithshëm, në këtë çështje, është: Në çdo hap të planifikimit mësimor të mbahen në konsideratë nxënësit konkretë. Mësuesi i mirë në çdo moment duhet të dijë se çfarë dinë e nuk dinë nxënësit e tij në një kapitull të caktuar.

11.4 Elementët përbërës të planifikimit Planifikimi i orës së mësimit përfshin katër elementë: • Përcaktimi i objektivave të orës së mësimit. • Përcaktimi i metodologjisë dhe, në përgjithësi, i procedurave të zhvillimit të mësimit.

MATEMATIKA 10

57

• Përcaktimi i mjeteve të zhvillimit të mësimit, ku përfshihen jo vetëm objektet e përgatitur apo ekzistues, por edhe problemet e ushtrimet e zgjedhura. • Vlerësimi i veprimtarive të nxënësve. Niveli i plotësimit të kërkesave për nxënien e tyre. 11.4.1 Përcaktimi i objektivave Një nga aspektet më të rëndësishme të objektivit të mësimit është përshkrimi i aspekteve të të nxënit. Objektivat e mësimit përshkruajnë arritjet e të nxënit. Ka rëndësi të madhe formulimi i saktë i objektivave mësimore, duke mos e konsideruar atë si një aspekt formal e organizativ. Në përcaktimin e objektivave, rëndësi e veçantë u duhet kushtuar lidhjes së tyre me punën e kaluar dhe të ardhshme. Ja disa shembuj objektivash të orëve të mësimit: 1) Në fund të orës së mësimit nxënësit të jenë të aftë të mbledhin e të zbresin dy thyesa me emërues të njëjtë. 2) Në fund të orës së mësimit nxënësit të formulojnë saktë teoremën e Pitagorës dhe ta zbatojnë atë për të gjetur hipotenuzën e trekëndëshit kënddrejtë, kur njihen të dy katetet. 3) Në fund të orës së mësimit nxënësit të dinë të zgjidhin ekuacionin e trajtës ax+b=0 në të tri rastet, në varësi të koeficientëve a dhe b. 4) Në fund të orës së mësimit nxënësit të dallojnë monomet e ngjashme. 5) Në fund të orës së mësimit nxënësit të jenë të aftë të shumëzojnë e pjesëtojnë dy fuqi me baza të njëjta etj. 11.4.2

Metodologjia e procedurat

Pas përcaktimit të objektivave duhen përcaktuar strategjitë për realizimin e tyre. Për çdo objektiv ka procedura të shumta, por një procedurë e suksesshme për zbatimin e planit ditor është: 11.4.2.1

Hyrja. Perspektiva për të mësuar

Një hyrje e pazakontë e jo standarde mbetet e paharruar në mendjet e nxënësve dhe krijon premisa për suksese në mësimdhënie. Pavarësisht nga rëndësia e përmbajtjes apo aftësitë e nxënësve, nëse interesat e tyre nuk stimulohen gjatë etapave të mësimit, ata kanë pak shanse ta kuptojnë mirë lëndën. Në qëllimet mësimore duhet siguruar si orientimi i mësimit, ashtu edhe motivimi i nxënësve. Një mënyrë e tillë e fillimit të mësimit krijon premisa për përfshirjen aktive të nxënësve në të. Mënyra e prezantimit të problemit është po aq e rëndësishme sa edhe përmbajtja. Në mënyrë që të stimulohet interesi dhe motivimi i nxënësve, mësuesi duhet ta prezantojë atë me shumë shije. Mësuesi duhet të udhëhiqet gjithmonë nga ideja që ai të mendojë pozitivisht për nxënësit. Është e domosdoshme që objektivat të jenë të kuptueshme dhe interesante për nxënësit. Mënyra me të cilën mësuesi komunikon objektivat duhet të lidhet me nivelin intelektual të nxënësve. 11.4.2.2

Procedurat e mësimdhënies

Gjatë zgjedhjes së metodave të mësimit mësuesi duhet të bazohet në aftësitë dhe njohuritë që nxënësit disponojnë. Strategjitë e zgjedhura duhet të sjellin suksesin. Kjo nuk do të thotë se mësuesi duhet të ngurojë për të përdorur metoda e teknika të reja. Pavarësisht nga preferencat

LIBËR PËR MËSUESIN

58

vetjake, mësuesi vazhdimisht duhet të kërkojë mundësi për të zhvilluar më tej mjeshtëritë e mësimdhënies. Metodika e zgjedhur dhe e përdorur duhet t’i përshtatet nevojave të nxënësve. Gjatë zbatimit të procedurave të mësimdhënies duhet të mbahen në konsideratë: • Të përcaktohen qartë e saktë pyetjet që do të bëhen, formulimi iu tyre si dhe përgjigjet që priten për ato çështje, të cilat konsiderohen si më të rëndësishme. • Materialet që janë planifikuar të demonstrohen, më parë duhen kontrolluar lidhur me gatishmërinë e tyre. • Nëse është planifikuar zgjidhja e një problemi, ai duhet të zgjidhet vetë më parë, për t’u garantuar që nuk ka gabime në të dhënat. 11.4.2.3 Zgjedhja e veprimtarive të nxënësve Kjo ofron mundësi të shumta për mësuesin. Vendimi për çdo veprimtari varet nga besimi i mësuesit lidhur me efektivitetin. Ky vendim duhet të marrë në konsideratë faktorët që lidhen me përmbajtjen e mësimit dhe veprimtaritë përzgjidhen, në përputhje me: • Natyrën e materialit mësimor. • Tipin e të nxënit të nxënësve. • Nivelin dhe nevojat e nxënësve. • Bazën materiale didaktike të shkollës. 11.4.3 Materialet ndihmëse për mësimdhënien Këto materiale kërkojnë mjeshtri për t’u përgatitur. Shpesh herë kjo nuk mund të realizohet nga një mësues i vetëm, por në bashkëpunim me shokë të tjerë të kolektivit. Është e rëndësishme që materialet e përgatitur të jenë në funksion të programit mësimor e të ndikojnë drejtpërdrejtë në efektivitetin e orës së mësimit. Kjo nënkupton që fillimisht duhet të testohet vlera e përgatitjes dhe përdorimit të tyre. Nga ana tjetër, cilësia dhe saktësia e përgatitjes duhet të jenë në qendër të vëmendjes. Po kështu, vëmendje kërkon përdorimi i gjuhës. Ajo as nuk duhet të jetë tepër e thjeshtë e as e vështirë. Fletët e punës apo ushtrimet duhet të jenë të përshkallëzuara. Planifikimi dhe përgatitja ecin paralelisht dhe ato duhet të jenë pjesë përbërëse organike e orës së mësimit. 11.4.4

Vlerësimi

Përgatitja nënkupton edhe përgatitjen e materialeve për vlerësim. Në të vërtetë, vëzhgimi i përparimit të nxënësve gjatë viteve të shkollimit, realizohet nëpërmjet dokumentacioneve të rregullta. Në të përfshihen testet e ndryshme diagnostikuese, formuese e përmbledhëse të zhvilluara në momente të ndryshme. Pjesa më e madhe e vlerësimit bazohet në vëzhgimet e veprimtarisë së nxënësve në klasë. Kjo duhet të lidhet me vëzhgimin e zhvillimit të aftësive, shkathtësive e shprehive të nxënësve, të përcaktuara në planin mësimor. Kjo kërkon që të përgatiten vlerësime të përshtatshme që të përfshihen në planifikim. Në këtë planifikim duhet mbajtur në konsideratë: • Sa nxënës do të vlerësohen në një testim të caktuar? • Çfarë procedurash do të përdoren për vlerësimin e nxënësve? Në përcaktimin e materialeve vlerësuese, që do të përdoren gjatë veprimtarisë në klasë, kujdes i veçantë duhet treguar që ato të shfrytëzohen me efektivitet, në favor të të nxënit të nxënësve.

MATEMATIKA 10

59

Përpara se mësuesi të përgatisë materialet dhe procedurat vlerësuese, mësuesi duhet të ketë të qartë natyrën dhe saktësinë e kërkuar për vlerësim. Vlerësime të tilla duhet të jenë objektive e të ndërvarura në mënyrë të tillë, që çdo nxënës të vlerësohet në njëjtën mënyrë, duke shmangur kështu subjektivizmin. 11.4. 5.

Motivimi

Një nga tiparet kryesore të një mësimdhënie të suksesshme është motivimi i nxënësve për mësimin. Sikurse dihet, të nxënit është një rezultante e bashkëveprimit të njeriut me mjedisin. Është detyrë parësore e mësuesit, që t’i tërheqë nxënësit në veprimtari, në mënyrë që të stimulojë tek ata dëshirën për të mësuar. Motivimi është një proces tepër i ndërlikuar. Mjaft autorë mendojnë se është e vështirë të motivosh të tjerët, për arsyen e thjeshtë, sepse çdo person është i motivuar në një drejtim të caktuar dhe, nga ana tjetër, motivimi i secilit është personal. Mjaft nxënës kanë motivim për t’u marrë më matematikë. Kjo, veçanërisht për ata nxënës të cilëve u pëlqen matematika, por edhe për ata që aludojnë për profesione, që në njëfarë mënyre, kanë lidhje me matematikën (inxhinierë, ekonomistë, informatikanë, etj.). Por, pjesa më e madhe e nxënësve nuk kanë dëshirë të bëjnë sforcime për të mësuar matematikë. Kjo ndodh pasi kanë pak besim se mund të kenë sukses në këtë lëndë. Deviza që duhet të udhëheqë çdo mësues matematike është, që “Çdo nxënës është i aftë për të nxënë”. Aftësia për të nxënë ekziston potencialisht te çdo nxënës, njëlloj si në vitet e para të jetës. Atëherë çfarë duhet të bëjë mësuesi që nxënësi të ndihet sa më i motivuar në mësimin e matematikës? Është detyrë e mësuesit të matematikës që ta bëjë lëndën të këndshme për nxënësit. Një porcion i konsiderueshëm suksesi, është kusht i nevojshëm që nxënësi të ndiejë kënaqësi në lëndën e matematikës dhe të ndihet i “shpërblyer”. Mënyra spirale e dhënies së koncepteve, e shoqëruar me interpretime të shumta dhe me larmi detyrash aplikative e me vështirësi në rritje, krijon truall të përshtatshëm për t’i dhënë secilit nxënës mundësinë e suksesit në matematikë. Problemi qëndron te mësuesi: sa i aftë është ai për të zbuluar potencialin e nxënësve të tij dhe për t’ia përshtatur detyrat e matematikës individualitetit të secilit. Nuk mund të pretendojmë që të gjithë nxënësit të jenë të mirë në matematikë. Duhet të pretendojmë që secili nxënës, herë pas here, të jetë i mirë, sikur edhe vetëm në një detyrë të caktuar, apo në një grup detyrash. Të jesh “i mirë” do të thotë të jesh “i suksesshëm”. Kjo mund të pretendohet për të gjitha lëndët, por matematika ka një avantazh në këtë drejtim. Duke qenë lëndë “e vështirë”, suksesi në të i jep nxënësit një kënaqësi më të madhe se sa ajo e arritur në ndonjë lëndë tjetër. Përdorimi i metodave bashkëkohore, të cilat nuk kufizohen thjesht në pyetje nga mësuesi dhe në përgjigje nga nxënësi, por që i bëjnë nxënësit të mësojnë, duke bërë apo duke zbuluar, janë shumë më tepër efektive sesa transmetimi si një grumbull rregullash e algoritmesh, të dala nga goja e mësuesit. Zbulimi është veprimtari, që jo vetëm formon lidhjen midis asaj që dihet dhe asaj që zbulohet, por jep edhe kënaqësinë e një arritjeje, e të një suksesi. Me këtë mënyrë të nxëni, disa nxënës e provojnë më shpesh ndenjën e suksesit e disa të tjerë më rrallë, por vështirë se mbetet nxënës pa e provuar. Kështu shmanget frika ndaj matematikës dhe ndjenja e sikletshme, që provonin nxënësit kur jepnin përgjigje të gabuara. Vlen të theksohet se qëndrimi pozitiv i nxënësit ndaj lëndës, është faktor tepër i rëndësishëm në përparimin e tij. Motivimi i nxënësve në klasë varet jo vetëm nga ngarkesa emocionale, por edhe nga qëndrimi ndaj lëndës së mësimit, përvojës, interesave, vështirësive në të nxënë etj.

LIBËR PËR MËSUESIN

60

Kjo arrihet kur detyrat që u jepen atyre janë pak mbi mundësitë e tyre. Strategjitë që përdoren në këtë rast, janë ato që mbështeten në motivimin e tyre dhe shpresën për sukses. Edhe në këtë kuadër, matematika ka avantazhin e saj në krahasim me lëndët e tjera. Kjo konsiston në shumëllojshmërinë e problemeve. Në to nxënësi zbulon një diçka të re, të paditur më parë prej tij. Por kjo vlen në rastin kur problemi shfaq interes tek nxënësi dhe pikërisht këtë e bën mësuesi i pasionuar e i përgatitur seriozisht. Mësuesi e shkolla duhet të bëjnë shumë që nxënësit të përfshihen në veprimtari të pavarur në matematikë. Nga ana tjetër, përfshirja aktive dhe sidomos bashkëpunimi ndërmjet tyre u shton nxënësve kënaqësinë. Ndihma e mësuesit duhet t’u transmetojë nxënësve sigurinë dhe besimin, se me përpjekjet e duhura ato mund të arrijnë suksesin e dëshiruar. Një mjet i fuqishëm motivimi është edhe stimuli që shfaqet nëpërmjet notës. Psikologjia moderne konkludon se shpërblimi dhe rezultatet të japin kënaqësi dhe forcojnë tendencën për t’u sjellë në një mënyrë të caktuar. Nga ana tjetër, mungesa e shpërblimit dobëson tendencën për t’u sjellë në një mënyrë të caktuar. Për fat të keq jo të gjithë mësuesit e zbatojnë këtë. Mësuesit, në mjaft raste, përforcojnë sjelljen jo të mirë. Me fjalë të tjera, mësuesi me lehtësi kritikon çdo sjellje të keqe dhe e ka të vështirë të shpërblejë sjelljen e mirë! A është motivimi element përbërës i planifikimit? Kësaj pyetjeje nuk është e lehtë t’i përgjigjesh. Në fund të fundit ajo është pjesë e padukshme e personalitetit të mësuesit. Motivimin mjaft mësues e bëjnë heshtazi, pa deklarata, pa e shënuar në ditar. Ne mendojmë se në ditar mund të shënohet motivimi që realizohet në fillim të mësimit. Gjatë zhvillimit të mësimit ai është një parim që vepron në mënyrë të vazhdueshme. Më tepër duhet konsideruar si frymë e orës së mësimit, në veprime konkrete të mësuesit si entuziazmi, gjestet, përfshirja e nxënësve në punë, nxitja e tyre nëpërmjet inkurajimeve, puna me grupe, marrëdhëniet e çiltra me nxënësit. Por motivimi më i madh arrihet nëpërmjet suksesit të nxënësve. Ta bësh nxënësin të motivuar do të thotë ta bësh atë të interesuar dhe të përfshirë në mësim për orën e caktuar, për temën e caktuar, për lëndën në përgjithësi. Si rekomandim konkret për motivimin në fillim të orës së mësimit propozojmë: Shtroni fillimisht një problem të tillë, i cili nuk mund të zgjidhet nga nxënësit me njohuritë që disponojnë për që është interesant dhe ia vlen të zgjidhet. P. sh., “Kemi mësuar si mblidhen thyesat me emërues të njëjtë. Por si do të operojmë për të mbledhur dy thyesa, që nuk kanë të njëjtin emërues, p.sh.,

1 1 dhe ? A ia vlen të merremi me këtë problem? A na shtron praktika 4 5

probleme të kësaj natyre?” Pas kësaj nxënësve u thuhet objektivi i orës së mësimit. Në fund të kësaj ore (apo të 2-3 orëve) ne do të jemi të aftë të realizojmë mbledhjen e thyesave me emërues të ndryshëm!

12.

Mbi organizimin e punës në klasë

Mësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhe mekanizmat më të përshtatshëm për organizimin e mësimdhënies dhe mësimnxënies, me të vetmin kusht: respektimin e programit dhe realizimin e synimeve të tij. Është detyra e tij të organizojë klasën për realizimin e aspekteve të ndryshme të veprimtarisë së nxënësve në klasën e vet. Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhet të futen në kuadrin e një konteksti të caktuar

MATEMATIKA 10

61

(real apo matematik) dhe nëpërmjet një metode që parashikon hetimin e situatave. Ky kontekst duhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimin e masës së nxënësve. Hetimi i situatës së parashtruar nxënësve, duhet të kombinohet me fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë. Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë e strukturuar prej mësuesit, në mënyrë që të sigurohet përfshirja e masës së nxënësve në mësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohet të zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës). Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herë pas here, që ata të bëjnë përshkrimet dhe argumentimet e tyre për detyrat e vëna dhe për zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin, ai duhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptime ose gabime. Gjatë përvetësimit të lëndës nxënësit duhet të ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që të japin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje. Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punës së pavarur individuale, po ashtu edhe me ato të punës së përbashkët d.m.th., të punës me grup. Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshme për t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi i tyre me zakonin që të mos nguten, të mos përgjigjen përciptas, të ndalen kur nuk kuptojnë. Mësuesi nuk duhet të ngutet të korrigjojë e t’i presë fjalën nxënësit që gabon; pa mohuar rëndësinë e përgjigjes së saktë, e rëndësishme është të evidentohet se si ka menduar nxënësi për të dhënë përgjigjen, prandaj mësuesi duhet të hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim për nxënësin që gabon. Gjatë punës, mësuesi duhet të mbajë parasysh që çdo nxënës të mos ngarkohet më tepër sesa mund të mbajë, të mos detyrohet ai që të kopjojë. Rekomandohet që parashtrimi i materialit mësimor në temat ku merr njohuri të reja, të ndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull apo një ushtrim përgatitor synon të krijojë tek nxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, një hamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tej nëpërmjet shembujsh (apo kundërshembujsh) dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhur). Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimit të saj në trajtën e një përfundimi përgjithësues, në lëndë si matematika kalohet në vërtetimin e tij (këtu parashikohen shkallë të ndryshme rigoroziteti në profile të ndryshme). Më tej kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, por të larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh, se për zotërimin e koncepteve dhe të metodave lëndore, ka rëndësi të madhe larmia e interpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtë qëllim, dhe në kuadrin e organizimit të punës së pavarur apo në grup të nxënësve, një rol qendror luan zgjedhja e çështjeve dhe problemeve që u parashtrohen atyre. Për të realizuar me sukses këtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh.: a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë që kërkohet të zhvillohen tek nxënësit? b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre për një nxënës të klasës së shqyrtuar? c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet për njohuritë që duhen për t’i zgjidhur? d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamje të metodës? Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnë dendur veprimtari të ndryshme, si krahasimi (për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe ato të veçantat), klasifikimi dhe modelimi si forma të abstragimit. Ata duhet të inkurajohen të vëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele të larmishme lëndore situata e modele të botës përreth si p.sh., nga botanika, arkitektura, bota e kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet në lidhjen e lëndës me botën në të cilin nxënësit jetojnë; duhet të evidentohet që lënda është e zhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndë që ata mësojnë ka zbatime të dobishme në një gamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë të gjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimin e lëndës do të bëhet interesante për ta, sepse do të mbajë parasysh interesat e tashme dhe të ardhshme të nxënësve.

LIBËR PËR MËSUESIN

62

13.

Vlerësimi i nxënësve

13.1 Si bëhet vlerësimi i nxënësve në matematikë? Vlerësimi është një proces, i cili jep informacion të domosdoshëm për të verifikuar e për të matur përvetësimin e koncepteve e të shprehive nga nxënësit. Vlerësimi mund të jetë formal e i organizuar dhe drejtuar nga instancat përkatëse, por mund të jetë edhe i konceptuar e drejtuar nga mësuesi. Në mësimin e matematikës, mësuesi i vlerëson nxënësit nëpërmjet punëve me shkrim, e detyrave praktike, gjatë të cilave ata jo vetëm punojnë, por edhe shpjegojnë se çfarë dhe si e kanë bërë. Planifikimi i punës së mëtejshme bazohet mbi këtë informacion. Vlerësimi bazohet mbi objektivat e paravendosura duke filluar që nga ato vjetore, e deri te ato të vendosura për një grup njësish mësimore, apo për një njësi mësimore të caktuar. Roli më i rëndësishëm i vlerësimit është të përmirësojë të nxënit. Një tjetër rol pothuajse po aq i rëndësishëm është që ai të bëjë të mundur evidentimin dhe raportimin e arritjeve të nxënësve. Zgjedhja dhe aplikimi i praktikave të vlerësimit kanë një ndikim të fuqishëm në mësimdhënie dhe mësimnxënie. Në çfarëdo lloj niveli që të bëhet vlerësimi (në nivel klase, shkolle, rajoni apo kombëtar) informacioni i marrë prej tij duhet të jetë i tillë që të mundësojë progresin e nxënësve drejt rezultateve të pritura dhe të kontribuojë në mënyrë të ndershme në të nxënit e mëtejshëm. Hartimi i rezultateve dhe standardeve e vendos vlerësimin në një kontekst të caktuar. Çështjet e mëposhtme janë hartuar duke e parë vlerësimin e nxënësve në këtë këndvështrim.

13.2 Qëllimi i vlerësimit • Të nxitë, të ndihmojë dhe të përmirësojë të nxënit duke diagnostikuar pikat e forta dhe të dobëta të nxënësve; • Të ndihmojë gjykimin për kurrikulin ekzistues; • Të sigurojë të dhëna për arritjet në rang individi, shkolle, apo sistemi për të gjithë të interesuarit; • Të pasqyrojë rezultate, të cilat do t’i shërbejnë nxënësit për të përzgjedhur vazhdimin e shkollimit ose llojin e punësimit; • Të bëjë të mundur krahasimin e arritjeve në rang individi, shkolle apo rajoni; • T’u japë mësuesve informacionin e nevojshëm për të përmirësuar mësimdhënien

13.3 Parimet e vlerësimit • Fokusim në demonstrimin nga nxënësit të arritjeve në përputhje me standardet dhe rezultatet e pritshme; • Evidentimi i arritjeve në mënyrë të vazhdueshme; • Gjithëpërfshirja, d. m. th., ndërthurja e gjykimeve nga shumë burime dhe përfshirja e një sërë procesesh për të mbledhur informacionin lidhur me arritjet e nxënësve; • Vlerësimi si pjesë integrale e procesit mësimor, d. m. th., vlerësimi jep informacion për progresin dhe nevojat e nxënësve, nxit futjen e strategjive të reja në mësimdhënie dhe përdorimin e burimeve të ndryshme; • Vlefshmëria d. m. th., marrja e informacionit, pikërisht për atë që është planifikuar; • Besueshmëria d. m. th., vlerësimi të japë rezultate të qëndrueshme, pavarësisht së kur zbatohet, ku dhe nga kush.

MATEMATIKA 10

63

13.4 Vlerësimi efektiv Që një vlerësim të arrijë qëllimin duhet të jetë efektiv. Me këtë kuptohet: • Të reflektojë parimet e drejtësisë sociale; • Të gjejë mundësinë për të pasqyruar nevojat e ndryshme të nxënësve; • Të jetë i ndjeshëm ndaj problemeve të gjinisë, paaftësisë, kulturës, gjuhës amtare, statusit social-ekonomik, dhe pozicionit gjeografik, • Të reflektojë veçoritë psikologjike të zhvillimit të fëmijve dhe adoleshentëve, • Të zhvillojë aftësinë e nxënësve për të monitoruar vetveten, • Të jetë autentik, d. m. th., të aftësojë nxënësit në përdorimin e njohurive e shprehive praktike, të dobishme dhe të nevojshme.

13.5 Tre llojet më të përdorshme të vlerësimit janë: Vlerësimi formues, i cili mund të jetë formal, p. sh., me teste ose jo formal p. sh., me pyetje. Ky vlerësim mbikëqyr përparimin e nxënësve gjatë procesit të të nxënit. Ai siguron një feedback për të lehtësuar të nxënit, për të korrigjuar gabimet dhe për të arritur një nivel më të lartë përvetësimi. Duke përdorur në mënyrë të vazhdueshme një numër teknikash vlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesit mund e duhet të marrin informacion për atë që nxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që u mbetet të mësojnë dhe të përforcojnë. Vlerësimi diagnostikues është një formë e veçantë e vlerësimit formues, që synon të zbulojë shkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqërore të problemeve që kanë nxënësit, në mënyrë që të përcaktohen teknikat korrigjuese. Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjet në përfundim të kreut, të vitit apo të ciklit për të vendosur notat dhe për të bërë certifikimin. Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret edhe për të gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies ose të procesit mësimor. Përfshirja e standardeve lëndore në procesin mësimor presupozon përpunimin e metodikës së kontrollit shtetëror për kryerjen e kërkesave të tij. Kjo metodikë duhet të përfshijë të gjitha çështjet organizative, si p. sh., përcaktimin e kohës dhe të kushteve për vlerësim si dhe krijimin e një sistemi të unifikuar të instrumenteve dhe teknikave vlerësuese. Futja e standardeve në praktikën e punës, shtron nevojën edhe të rishikimit të sistemit të kontrollit të përditshëm (formativ). Sikurse edhe vlerësimi përmbledhës me anën e testeve, ai duhet të evidentojë patjetër arritjen (ose jo) nga nxënësi të njohurive të domosdoshme. Metodika e matjes dhe e vlerësimit të kërkesave të parashtruara në standardet e arritjes, kriteret e saj, duhet të jenë të hapura për të gjithë pjesëmarrësit e procesit mësimor dhe personat e interesuar për rezultatet e tij, organet shtetërore, mësuesit, nxënësit, prindërit. Është i dobishëm praktikimi i nxënësve me teknikat për vetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuarit në klasë me të mësuarit jashtë saj. Praktikimi i teknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësit, gjithashtu, të fitojnë shprehi për të menduarit dhe për të vlerësuarit vetjak.

13.6 Vlerësim me teste Një nga qëllimet kryesore të shkollës është arritja e një cilësie sa më të lartë në procesin e të mësuarit, pra të ndihmohen nxënësit në mënyrë të tillë që ata të kenë efektivitet e rendiment të

64

LIBËR PËR MËSUESIN

lartë. Ndonëse këtë qëllim e kanë në konsideratë të gjithë mësuesit, rezultatet e nxënësve nuk janë të tilla. Në bisedat me mësues hasen shpesh deklarimet: “i kam bërë të gjitha përpjekjet, por nxënësit nuk mësojnë” etj. Pra, ka diferenca të ndryshme ndërmjet mësimdhënies dhe mësim nxënies. Studimet e viteve të fundit lidhur me këtë dukuri, evidentojnë si një nga shkaqet kryesore të shfaqjes së saj, faktin e mungesës së teknikave të përcaktuara për njohjen e ecurisë së nxënësve në periudha të caktuara të veprimtarisë së tij në shkollë. Le të shohim situatën e mëposhtme, që për traditë, vazhdon të ndodhë në shkollë. Në një kapitull të caktuar (të themi në veprimet me thyesa) në fundin e tij nxënësi duhet të dijë të mbledhë e të zbresë thyesat me emërues të njëjtë e të ndryshëm, të shumëzojë e të pjesëtojë thyesat, si dhe të bëjë veprime të kombinuara me to. Për të konkluduar realizimin e tyre, në fund të kapitullit mësuesi zhvillon një detyrë kontrolli dhe bën vlerësimin përkatës për të gjithë nxënësit. Zakonisht në këtë detyrë jepen 3 – 4 ushtrime. Në këtë mënyrë konstatohet nëse nxënësit e veçantë e kanë përvetësuar apo jo kapitullin. Por është kuptueshme se kështu nuk përcaktohet përvetësimi i hapave të ndërmjetëm, ngaqë informacioni i marrë nuk është i plotë. Shtojmë se ky informacion, si qëllim themelor nuk ka vënien e notës, por përmirësimin e cilësisë së të nxënit. Tashmë pranohet pothuaj nga të gjithë prioriteti i përmirësimit të cilësisë së të nxënit, ndaj cilësisë së mësimdhënies. Në këtë drejtim rol të dorës së parë ka ndihma specifike që u jepet nxënësve për të përmirësuar nxënien e tyre. Synimi themelor është edukimi gradual i nxënësve në mënyrë që ata të punojnë në mënyrë të pavarur. Në procesin e mësimdhënies ndodhin situata të ndryshme e të ndërlikuara, gjatë të cilave mësuesi merr vendimet e duhura. Këto vendime nuk mund të programohen. Efektiviteti i tyre varet nga shumë faktorë që kanë të bëjnë me nivelin, përgatitjen, përvojën vetjake të mësuesit, etj. Një nga më të rëndësishmet ndër këto vendime është ai që ka të bëjë më vlerësimin e nxënësve. Minimizimi i tij në mjaft raste shndërrohet në burim konflikti jo pa pasoja. Me dispozita ligjore, vlerësimi i nxënësve është e drejtë e pacenuar e mësuesit dhe ka të bëjë me lirinë e tij akademike dhe vendimmarrjen e tij profesionale. Mësuesi është i lirë, se kur të vlerësojë, çfarë të vlerësojë, si të vlerësojë e si të monitorojë. Vlerësimi i mësuesit ka më tepër karakter formues se sa konkludues. Me fjalë të tjera vlerësimi synon, që më shumë të përmirësojë cilësinë e të nxënit të nxënësve, e jo thjesht për të vënë notë, apo për të bërë klasifikimin e nxënësve. Nxënësi vlerësohet në mënyrë që ai të ndihmohet për t’u përgatitur më mirë. Vlerësimi i nxënësve mund e duhet të jetë i ndryshëm nga klasa në klasë. Praktika tregon se përdorimi i të njëjtave teknika të mësimdhënies në klasa të ndryshme është jo efektiv. Nga ana tjetër, vlerësimi asnjëherë nuk duhet të konsiderohet i përfunduar. Nëpërmjet rezultateve të tij, nxënësve u jepet ndihma për përmirësimin e të nxënit. Vlerësimi i të nxënit të nxënësve mbështetet kryesisht në rezultatet apo produktet e tyre. Një vlerësim i tillë sot vlerësohet si instrumenti kryesor i kontrollit ndaj nxënësve. Literatura e sotme pedagogjike përcakton kryesisht tri qëllime të vlerësimit: Së pari: diagnostikimin e nxënësve, d.m.th., zhvillimin e aftësive të tyre, në mënyrë që të përvetësohet sa më saktë ecuria e mëtejshme për secilin nxënës. Së dyti: motivimin e nxënësve, në kuptimin që secili prej tyre të njohë nivelin dhe mundësitë e veta konkrete. Së treti: përcaktimin e vlerësimit përfundimtar, gjë që do të shërbejë si argument për zgjedhjen e profesionit të ardhshëm.

MATEMATIKA 10

65

Nëse pas kësaj hyrjeje do mundoheshim të jepnim përkufizimin e vlerësimit, na duket më i përshtatshëm ky: Vlerësimi është procesi, gjatë së cilit përcaktohen vlerat mbi bazën e informacionit, të grumbulluar nga procesi i matjeve. Vlerësimi është vetëm procesi i verifikimit ose i gjykimit të vlerës ose sasisë së një diçkaje, duke përdorur një standard, ai përfshin gjykimet sipas evidencës së brendshme dhe kritereve të jashtme. Një nga teknikat e vlerësimit, që kohët e fundit gjithnjë e më shumë po fiton të drejtën e qytetarisë është ai me përdorimin e testeve. Pedagogjia e sotme ka opinione të ndryshme për testet. Një opinion është ai që e konsideron të padobishëm përdorimin masiv e të vazhdueshëm të testeve. Ka opinione të tjerë, që metoda e testimit, jep një informacion të plotë e të bollshëm e rrjedhimisht të vlefshëm për motivimin dhe stimulimin e nxënësve. Mendojmë se testet janë të nevojshëm, vlerësojnë e nxitin efektivisht procesin mësimor, por që duhen përdorur me kujdes e, ajo që është më e rëndësishmja, të jenë hartuar në përputhje me standardet përkatëse. Testet rezultojnë një përpjekje për të marrë të dhëna “sa më objektive”, që në kombinimin me “gjykimin subjektiv të mësuesit”, të merret një vendim sa më real e mundësisht i pakritikueshëm i mësuesit. Ky është edhe një nga qëllimet themelore të testimit. Me anën e testeve krijohen kushtet e nevojshme, për marrjen e vendimeve në tri aspekte: Së pari: Vendime për mësimdhënien, duke nxjerrë konkluzione për metodën e punës së mësuesit, për drejtimet e përmirësimit të saj. Së dyti: Vendime për vlerësimin e nxënësve, d.m.th., vendosjen e notës. Është një nga vendimet më rutinë, por njëkohësisht tepër i rëndësishëm e që kërkon kujdes të veçantë nga ana e mësuesit. Nuk janë të pakta rastet kur marrëdhëniet mësues-nxënës e shkollë-familje, varen shumë nga ky vendim. Së treti: Vendime diagnostikimi, me fjalë të tjera, pasi mësuesi konstaton se ç’dinë e ç’nuk dinë nxënësit, në një kapitull të caktuar përcakton shkaqet dhe merr masat përkatëse. Shumë vende i konsiderojnë testet pjesë përbërëse të kurrikulës. Programet dhe testet tona jo. Në këto kushte mjaft mësues e shkolla punojnë në këtë drejtim e kanë arritje modeste. Veçanërisht në lëndën e matematikës, emra të njohur mësuesish janë paraqitur në treg me mjaft botime me vlerë. Nga ana tjetër, metoda e testimit gjithnjë e më shumë, po bëhet edhe si kriter seleksionimi. Përmendim që prej pesë vitesh ajo po përdoret për zgjedhjen e profesionit të ardhshëm nga nxënësit, që mbarojnë shkollën e mesme nëpërmjet provimeve të maturës shtetërore. Janë këto disa nga arsyet, që të japim disa kritere në përpilimin dhe vlerësimin e testeve në lëndën e matematikës. Testet, që mësuesi i përgatit vetë, përdoren në klasë për qëllimet e mëposhtme: • Për të matur e vlerësuar ritmikisht përparimin e nxënësve. • Për të motivuar sa më shpesh nxënësit. • Për të siguruar një informacion të hollësishëm për konceptet, që nxënësit zotërojnë apo nuk zotërojnë. • Për të pasur informacione me qëllim raportimi.

LIBËR PËR MËSUESIN

66

Para se të fillojë procesi i hartimit të një testi rekomandojmë të bëhet i ashtuquajturi plan i testimit, i cili mund të përmbajë:

Qëllimi i testimit Përcaktimi i pjesës, që do testohet (kapitulli). Caktimi i tabelës së specifikimeve. Në të vendosen numri i kërkesave, për objektiva apo çështje të ndryshme, koha për zhvillimin e testit, etj. Caktimi i teknikave të vlerësimit. Caktimi i kritereve të vlerësimit dhe besueshmërisë së testit. Caktimi i rregullave të pikëzimit (numri i pikëve në çdo ushtrim) dhe i konvertimit të pikëve në nota. Parapërgatitja e nxënësve për testimin etj.

Testet objektive dhe mënyrat e hartimit të tyre Hapi i parë, në hartimin e një testi është përcaktimi i njohurive më të domosdoshme, që do të testohen, numri i pyetjeve, që do të bëhen, si dhe vendi që do të zënë në test. P. sh.,për testin në kreun “Metoda e koordinatave” mund të bëhet kjo ndarje. Nr

Çështja

Numri i pyetjeve

Përqindja e pikëve

1

Koordinatat e vektorit. Koordinatat e shumës, diferencës dhe prodhimit të vektorit me një numër.

4

13

2

Vetitë gjeometrike të vektorit.

6

20

(Shuma, diferenca dhe prodhimi i vektorit me një numër). 3

Prodhimi numerik i vektorëve. Kushti i pingultisë.

4

25

4

Ekuacioni i drejtëzës. Koeficienti këndor. Këndi i drejtëzës me boshtin e abshisave. Largesa ndërmjet dy pikave

6

35

5.

Ekuacioni i rrethit

2

7

Hapi i dytë është përcaktimi i taksonomisë konjitive që do të përdoret. Në kreun e propozuar rekomandojmë të përcaktohet taksonomia e mëposhtme: Nr

Taksonomia

% e pyetjeve

1.

Njohja e konceptit.

40%

2.

Zbatim, arsyetim.

40%

3.

Zbatim në situatë problemore.

20%

Po japim një shembull konkret të ilustrimit të taksonomisë së mësipërme. Po marrim temën ndryshimi i numrave me shenjë. 1) Gjeni (+7)-(-2)

MATEMATIKA 10

67

Në këtë rast kemi të bëjmë vetëm me njohjen e konceptit. 2) Sa është ndryshesa ndërmjet numrave (+7) dhe (-2)? Në këtë rast kemi të bëjmë me një veprim, por në nivelin e zbatimit të konceptit. Nxënësi do kryejë veprimin (+7)-(-2). 3) Në orën 12.00 të ditës së djeshme temperatura ishte 7o, ndërsa në orën 18.00 ishte -2o. Me sa gradë është ulur temperatura? Përsëri kemi të bëjmë me të njëjtin veprim, por tashmë të zbatimit të situatës problemore. Sipas nivelit të pyetjes bëhet edhe konvertimi i saj në pikë. Në rastin e mësipërm pyetjes së parë i jepet 1 pikë, të dytës 2 pikë e të tretës 3 pikë. Ka shumë lloje testesh, në varësi të mënyrës së hartimit të tyre, qëllimit të testimit, formës së testimit, etj. Do të shqyrtojmë të ashtuquajturat teste objektive. Një pyetje, quhet objektive, në qoftë se vlerësues të ndryshëm, që vlerësojnë në mënyrë të pavarur nga njeri-tjetri, japin të njëjtin vlerësim për përgjigjen e dhënë. Një pyetje e tillë është, p. sh., 2a+3a=. Është e kuptueshme se cilido vlerësues e konsideron të drejtë përgjigjen 5a dhe të gabuar çdo përgjigje tjetër! Nuk është objektive pyetja: Sa është afërsisht vlera numerike e numrit p? Në këtë rast mund të jepen përgjigje të shumta, të cilat mund të konsiderohen subjektivisht nëse janë apo jo të sakta! (P. sh., 3; 3,1; 3,14; etj). Një test konsiderohet objektiv, nëse pyetjet që e përbejnë atë janë objektive. Testi objektiv ka këto karakteristika: Përmban kërkesa plotësisht të strukturuara. Kërkon gjetjen e përgjigjes së saktë, nëpërmjet zgjedhjes së njërës nga alternativat e propozuara apo konfirmimin (mohimin) e një përgjigjeje. Nuk kërkohet argumentim pse zgjidhet kjo apo ajo alternativë. Përmban një numër relativisht të lartë kërkesash. Llojet e testeve objektive janë: Teste me dy përgjigje alternative. Teste me çiftime (kombinime). Teste me plotësim. Teste me shumë alternativa. Po i trajtojmë me radhë 13.6.1 Teste me dy përgjigje alternative Pyetja, që i bëhet nxënësve është e tillë, që prej tyre kërkohet zgjedhja e njërës nga të dy alternativat e mundshme. Në këtë rast nxënësit kanë vetëm dy mundësi për të zgjedhur (e vërtetë apo e rreme, po apo jo, më e madhe apo më e vogël, e saktë apo e gabuar, e shpejtë apo e ngadaltë etj). Alternativat shpesh herë vendosen në kuti drejtkëndore dhe nxënësit i kërkohet të shënojë (+, x, -), alternativën e zgjedhur. Ja disa shembuj pyetjesh të tilla: Shëno me shenjën x alternativën e zgjedhur. 1. Perimetri i rrethit, gjendet kur njihet rrezja e tij po ð jo ð 2. Prodhimi numerik i dy vektorëve është vektor. po ð jo ð 0 3. sin 146 është numër negativ. po ð jo ð

LIBËR PËR MËSUESIN

68

4. Vëllimi matet me m2. e vërtetë ð 5. Dy trekëndësha të ngjashëm janë kongruentë po ð 6. Diagonalet e rombit janë të barabarta. po ð

e gabuar ð jo ð jo ð

Këto lloj pyetjesh kanë avantazhet e mëposhtme: Duke qenë se përgjigjet janë të shkurtra dhe nuk kërkojnë shumë kohë, me anën e tyre mund të mbulohet një material mjaft i gjerë i lëndës. Pyetje të tilla janë relativisht të lehta për t’u hartuar. Vlerësimi i tyre është mjaft i thjeshtë. Disavantazhi i pyetjeve të tilla konsiston në: Nivelin relativisht të ulët të arsyetimit, që kërkohet për përgjigjen e tyre. Ekziston mundësia e gjetjes së përgjigjes së saktë edhe kur ajo nuk dihet. Ekziston mundësia e të kopjuarit. Për hartimin e këtyre pyetjeve literatura jep rekomandimet e mëposhtme: Formulimet përkatëse të jenë sa më të shkurtra. Pyetjet duhet të jenë të përfshira tërësisht në kreun e caktuar. Nuk duhen vendosur pyetje të tilla, përgjigja e të cilave të jetë e diskutueshme. Në formulim të shmangen fjalët “asnjë”, “të gjithë”, “asnjëherë”, “në asnjë rast”, “gjithmonë”, etj. Raporti i përgjigjeve po apo jo (i vërtetë apo i gabuar) të jetë përafërsisht i njëjtë. 13.6.2 Teste me çiftime Thelbi i pyetjeve të tilla konsiston në gjetjen e çiftimeve përkatëse nga dy grupe alternativash të dhëna. Nxënësve u kërkohet të çiftojnë një apo disa elemente, të njërës bashkësi me një apo disa elementë të bashkësisë së dytë. Formimi i bashkësive bëhet duke u bazuar në radhitjen e elementëve, që kanë lidhje reciproke. Bashkësia e parë quhet edhe bashkësia e përshkrimeve, ndërsa e dyta bashkësia e alternative. Çifto elementët e bashkësisë së parë me atë të dytë. Në vendin e vijëzuar para numrave (1-4) vendos një nga shkronjat a-g, sipas zgjedhjes së duhur Bashkësia e përshkrimeve 1)______

1 2

Bashkësia e alternativave a) Numër thyesor pozitiv

2)______-1 b) Numër natyror 3)______0,7

c) Numër i plotë negativ

4)_______p

e) Numër dhjetor pozitiv

MATEMATIKA 10

69

f) Numër dhjetor negativ g) Numër thyesor negativ Nxënësit i kërkohet që në vizën përpara shifrës të shkruhet shkronja korresponduese, p.sh., para numrit

1 1 shkruhet a (sepse është numër thyesor pozitiv), ndërsa para numrit -1 shkruhet c 2 2

(sepse –1 është numër i plotë negativ). Ja edhe një shembull tjetër: Në vendin e vijëzuar para numrave 1-5, vendos një nga shkronjat a-h, sipas zgjedhjes së duhur. Bashkësia e përshkrimeve Bashkësia e alternativave 1)_______52 ⋅ 53= a) 56 2)______(52)3= b) 5 3)_______53: 52= c) 75 4)_______3⋅ 52= d) 55 5)______52 –3= e)152 f) 22 g) 22 h) 512 Pyetjet me çiftim kanë avantazhet e mëposhtme: Pyetjet e tilla hartohen relativisht lehtë. Pyetjet me çiftim pikëzohen relativisht lehtë. Me pyetje të tilla minimizohen përgjigjet me hamendje. Disa disavantazhe të pyetjeve me çiftim Me anën e tyre vlerësohet më shumë kujtesa se sa logjika. Po nuk u ndërtuan me kujdes janë të pavlefshme, sepse mund të merren me informacione të parëndësishme. Ja tani dhe disa rekomandime për hartimin e pyetjeve të tilla: Bashkësitë e përshkrimeve dhe alternativave të kenë sa më pak të dhëna (fjalë apo numra). Të dyja bashkësitë të vendosen përballë njëra-tjetrës, në mënyrë që nxënësi t’i shohë të dyja njëkohësisht. Duhet pasur kujdes që bashkësia e alternativave, të përbëhet nga elementë të mundshëm e të besueshëm. Sugjerojmë që elementët e bashkësive të përshkrimeve të renditen me numra, ndërsa ato të bashkësisë së alternativave, me shkronja. Bashkësitë e alternativave duhet të kenë më shumë elementë, se sa bashkësia e përshkrimeve. Kërkesat e ushtrimit duhen specifikuar mirë, si dhe të jepet udhëzim nëse një alternativë mund të përdoret më shumë se një herë.

LIBËR PËR MËSUESIN

70

13.6.3 Teste me plotësim Quhen ndryshe edhe teste me përgjigje të shkurtra. Kërkesa e këtyre lloj testeve konsiston në plotësimin e vendeve të lëna bosh, me një fjalë, shifër, formulë, simbol etj. Ka tri lloje kërkesash të tilla. 14.6.3.1 Lloji me pyetje Në këtë rast kërkohet përgjigja e një pyetjeje të drejtpërdrejtë. P. sh.: Cila është formula e perimetrit të rrethit? _________. Në cilin kuadrant ndodhet pika (-2, 1)? ________. Cili është numri i kundërt i numrit 4? _________. 13.6.3.2 Lloji me plotësim Në këtë rast kërkohet të plotësohet vendi i vijëzuar, me një fjalë, të vendoset numri i duhur në një radhitje, etj. p.sh.; Segmenti, që bashkon një kulm të trekëndëshit me mesin e brinjës përballë quhet ________.

Shkruaj kufizën e duhur në vend të pikës

1 1 1 ; ; ;⋅ 2 3 4

Varësia përpjesëtimore e drejtë ndërmjet madhësive y dhe x shoqërohet me formulën ________. 13.6.3.3

Lloji me shoqërim

Jepet një bashkësi elementësh dhe kërkesash, që pranë tyre të vendosen elementët përkatës, sipas një rregulli apo ligji të dhënë. P.sh., për figurat e dhëna shkruaj formulat përkatëse të sipërfaqes. Trekëndëshi _____________ Paralelogrami ______________ Rrethi _____________­­­­­­_ Katrori ______________ Drejtkëndëshi ______________ Ndër avantazhet e pyetjeve të tilla përmendim: Janë mjaft të lehtë për t’u hartuar. Është e pamundur që përgjigja e tyre të jepet me hamendje. Nuk kërkojnë shumë kohë për t’u përgjigjur. Disavantazhet e tyre janë: Kanë për tendencë të vlerësojnë kujtesën e jo logjikën. Shpesh nuk janë të lehta për t’u vlerësuar, për arsye të përgjigjeve të ndryshme, që mund të konsiderohen edhe të sakta, edhe të gabuara.

MATEMATIKA 10

71

Disa rekomandime për hartimin e testeve me plotësim Fjalia duhet të formulohet në mënyrë të tillë, që vendi bosh për t’u plotësuar të jetë sa më afër fundit të saj. Të formulohet kërkesa në mënyrë të tillë, që përgjigja të jetë më e shkurtër. Të preferohen kërkesat në trajtën e pyetjes. 13.6.4 Testet me shumë alternativa Quhen edhe teste me zgjedhje të shumëfishtë. Janë testet më të rekomandueshëm e më të përdorshëm. Ato krijojnë mundësi të gjera për matjen e niveleve të ndryshëm të taksonomisë. Kërkesa e tyre konsiston në gjetjen e njërës prej disa alternativave të propozuara (zakonisht jepen 4-5 alternativa të tilla). Pjesa kryesore e ushtrimit përmban një pyetje, apo një kërkesë. Kjo quhet edhe trungu i ushtrimit. Pjesa e dytë e ushtrimit përmban përgjigjet alternative, nga të cilat në varësi të pyetjes duhet zgjedhur vetëm njëra. Alternativat në më të shumtën e rasteve, përbëhen nga një përgjigje e saktë dhe 3-4 përgjigje të gabuara. Ka raste kur kërkohet përgjigja e gabuar, ndërmjet 4-5 përgjigjeve (të tjerat janë të sakta). Ka edhe raste, kur kërkohet numri i përgjigjeve të sakta. Përgjigja e saktë quhet edhe çelësi apo kyçi i testit, ndërsa përgjigjet e gabuara quhen edhe joshëse apo ngatërruese. Kjo do të thotë se hartuesi i tyre jep si alternativa përgjigje të pranueshme në parim, por të gabuara. Me fjalë të tjera alternativat të jenë të tilla, që nxënësi mund “të ngatërrohet”, duke i marrë si të sakta. Është shumë e rëndësishme, që në ushtrime të tilla të jepet informacioni i domosdoshëm, në mënyrë që nxënësi të kuptojë se çfarë është e dhënë e çfarë kërkohet. Ja disa shembuj: 1) m+m+m+m+m= A) m5 ; B) m+5; C) 5m; D) 5 m5 Siç shihet, veç alternativës së saktë 5m janë dhënë edhe alternativat joshëse. Nuk do të ishte e drejtë që si alternativë joshëse të vihej p.sh., m3, apo 7m. 2) Në qoftë se x+4=8 atëherë 5x-1= A)9; B)59; C)4; D)19 Le të diskutojmë alternativat e gabuara, të cilat janë gabimet e mundshme të nxënësit? Ai gjen (gabimisht) x=8:4=2, në këtë rast 5x-1=9 (alternativa e gabuar a). Ai gjen (gabimisht) x=8+4=12, në këtë rast 5x-1=59 (alternativa e gabuar b). Ai gjen rrënjën e ekuacionit të dhënë x=8-4=4, (alternativa e gabuar c). 3)5(x-2)+3= A)5x-7; B)5x+1; C)5x-2; D)5x+13. Edhe këtu, ndër alternativat përkatëse janë vënë ato që marrin në konsideratë gabimet e mundshme të nxënësit,

LIBËR PËR MËSUESIN

72

4) Sa nga barazimet e mëposhtëm janë të vërtetë? A)x+2=2x B)3(x-1)=3x-3 C)x+x=x2 D)(a-b)2=a2-b2 E)x+1=1+x F)2x+3x=5x2 A)1; B)2; C)3; D)4 5) Jepet A={1,2,3,4,5} dhe B={1,3,5,6} A∩B= A){1,3,5}; B) {6}; C) {1,3,5,6}; D) {1,2,3,4,5,6} 6) log(x2-y2)= A) 2logx-2logy; B) log

x2 ; C) 2log(x-y)+2log(x+y); D) log(x-y)+log(x+y) y2

7) Jepet (d1)(d2). Gjej masën e këndit x. A)400; B) 600 ; C) 700 ; D) 1100

(d1)

x

700

(d2)

Avantazhet e testeve me shumë alternativa janë: Kanë mundësi të gjera në matjen e taksonomive të ndryshme. Me këto lloj testesh mund të vlerësohet një material i bollshëm. Për përgjigjen e pyetjeve harxhohet relativisht pak kohë. Mund të pikëzohen e korrigjohen lehtësisht. Kanë besueshmëri relativisht të lartë. Mund të hartohen për nivele të ndryshme të aftësive të nxënësve. Këto lloj testesh në një farë mase shmangin gjykimin absolut, që ishte karakteristik për testet, me dy përgjigje alternative.

MATEMATIKA 10

73

Në disavantazhet e tyre përmendim: Hartimi i tyre nuk është i lehtë (nuk është e lehtë të gjenden disa alternativa të besueshme). Nëse nuk verifikohen me kujdes, ato mund të kenë më shumë se një alternativë të pranueshme. Disa sugjerime për hartimin e testeve me shumë alternativa: Formulimi i trungut duhet bërë me shumë kujdes, në mënyrë që kërkesa të jetë tepër e qartë. Përgjigjet e gabuara (joshëse) duhet të jenë të besueshme. Alternativat duhet të jenë të përafërta në formë dhe formulim. Këshillohet që alternativa që do të zgjidhet të alternohet. Konvertimi i pikëve në nota Po supozojmë se pikët e mundshme në një test janë 30. Problemi i parë është caktimi i kufirit të poshtëm, d.m.th., numri minimal i pikëve, për të marrë notën 5. Zakonisht kjo sasi e pikëve është

1 1 e pikëve të mundshme (ka raste kur kjo sasi përbën e pikëve të mundshme). Pastaj 3 4

në mënyrë të përpjesshme caktohet korrespondenca pikë – notë. Në rastin tonë kemi: Nota 5 – 8 pikë Nota 10 – 30 pikë. Atëherë intervalet ndërmjet dy notave është 4. Intervali i fundit është 3. Rrjedhimisht tabela e konvertimit të pikëve në nota është: Pikë Nota

0-7 4

8-11 5

12-15 6

16-19 7

20-23 8

24-27 9

28-30 10

Ja tani edhe disa udhëzime që duhen pasur në konsideratë në hartimin e një testimi. Përcakto mirë objektivat e testimit. Kujdesu që lloji i testit të jetë në koherencë me qëllimin, për të cilin ai hartohet. Kujdesu që pyetjet më të lehta të vihen në fillim dhe pastaj ato të vijnë gradualisht duke u vështirësuar. Llojet e ndryshme të pyetjeve në një test, këshillohet të vendosen pranë njëra-tjetrës. Në çelësin e testit, kujdesu që përgjigjet e sakta të alternohen. Kujdesu që trungu i testit të jetë i saktë. Përgatit çelësin e përgjigjeve. Përgatit udhëzimet që do t’u jepen nxënësve. Përgatit me kujdes tabelën e konvertimit të pikëve në nota. Kujdesu për taksonominë e tekstit. Përmasat që kushtëzojnë suksesin e testit Zotërimi i mirë i anës shkencore të lëndës. Njohja e mirë e nivelit të klasës. Aftësia për të shkruar qartë e saktë. Krijimtaria në hartimin e tekstit. Aftësia për të hartuar teste të besueshme e me përdorim praktik.

LIBËR PËR MËSUESIN

74

Shembull argumentimi testi

Test për kreun “Funksioni dhe vargu numerik”

Koha 45 minuta

1. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit a) y = 3 x + x



2 pikë



3 pikë



3 pikë 3 pikë 2 pikë

b) y = 4 − 2 x + 2 x − 3 2. Është dhënë funksioni f: y=4-x2. a) Vërtetoni që funksioni është zbritës në R+ b) Skiconi grafikun e funksionit. c) Gjeni bashkësinë e vlerave. 3. Është dhënë vargu me kufizë të përgjithshme a) Tregoni 3 pikat e para të grafikut të tij b) Shkruani yn-2 ; y2n c) A është kufizë e vargut numri

n−3 yn = n∈N 2





2 pikë 2 pikë 3 pikë

4. Është dhënë progresioni aritmetik 2, 7,…. a) Shkruani 4 kufizat e para të tij. 2 pikë b) Sa kufiza të progresionit duhen mbledhur për të marrë shumën 60? 4 pikë 1 2 3 8 5. Llogaritni shumën 2 +2 +2 +….+2 pa i mbledhur një për një kufizat. 3 pikë 6. Vërtetoni që në një progresion gjeometrik me n kufiza, prodhimi y1.yn është i barabartë me prodhimin e dy kufizave çfarëdo të baraslarguara nga skajet. 3 pikë 7. Ndërtoni grafikun e funksionit y =

x x



3 pikë

Konvertimi i pikëve në nota Nota Pikë

4 0; f(x)·g(x)>0;

f ( x) >0; g ( x)

 f ( x) > 0 , ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë   g ( x) < 0

me një ndryshore. • Në problemat e thjeshta praktike të gjejnë bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshores, duke patur parasysh kuptimin konkret të saj. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi është shumë i rëndësishëm në kuadrin e kursit shkollor matematik, prandaj trajtimit të materialit të parashikuar i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë prej formave tradicionale të kontrollit të dijes, me nxënës të ngritur në tabelë. Mësuesi të përqendrohet fillimisht në tre momente kryesore: 1. Kur bashkësia e përcaktimit të funksionit të dhënë me formulë y=f(x) nuk tregohet, si e tillë merret bashkësia e vlerave të lejuara të shprehjes f(x). 2. Shprehja humbet kuptimin për vlerat e x që bëjnë emëruesin zero. 3. Shprehja 2 n f ( x) ka kuptim vetëm kur f ( x) ≥ 0 . Më tej mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të, individualisht, shembujt e zgjidhur dhe të punojnë me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik e që janë pjesë e qenësishme e këtij materiali. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 5.5. Funksioni rritës (zbritës). Shpejtësia mesatare e ndryshimit të funksionit Kuptime: Funksioni rritës (zbritës) në A. Shpejtësia mesatare e ndryshimit të funksionit në [x1, x2]. Funksioni konstant në A. Veti: Funksioni linear y=ax+b, kur a>0, është rritës në R.

f (x ) − f (x )

2 1 Metoda: Studimi i monotonisë së funksionit nëpërmjet shenjës së raportit . x − x 2 1 Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjykojnë nga grafiku për intervalet e monotonisë së një funksioni. • Për funksione shumë të thjeshtë, të studiojnë monotoninë nëpërmjet studimit të shenjës së

raportit

f ( x 2 ) − f ( x1 ) . x 2 − x1

MATEMATIKA 10

113

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kuptimet e funksionit rritës (zbritës) në A, si edhe metodat për studimin e monotonisë së funksionit, janë çështje shumë të rëndësishme të kursit shkollor të matematikës. Ky aspekt, si edhe ngarkesa vëllimore e materialit të parashikuar në këtë njësi mësimore, imponojnë që trajtimit të këtij materiali t’i kushtohet gjithë ora e mësimit. Në kuptimin e funksionit rritës (zbritës) në A, të dilet nga shqyrtimi i situatave grafike. Kujdes duhet treguar në formulimin e përkufizimit, sepse nxënësit shpesh nuk i japin rëndësi togfjalëshit themelor “për çdo çift vlerash x1, x2 nga A”. Më tej, mësimi rekomandohet të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të, individualisht, shembujt e zgjidhur dhe sqarimin e thelbit të metodës, për studimin e monotonisë nëpërmjet studimit të shenjës së raportit

f ( x 2 ) − f ( x1 ) (pararendëse e metodës për studimin x 2 − x1

e monotonisë nëpërmjet shenjës së derivatit). Ata të zgjidhin në mënyrë të pavarur apo në grupe, në klasë, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5, 9.

Mësimi 5.6. Funksioni y = x Kuptime: Rrënja katrore. Funksioni y = x . Veti: Veti të rrënjës katrore. Veti të funksionit y = x . Metoda: Studimi elementar i variacionit të një funksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin me argumentim vetitë kryesore të funksionit y = x . • Të ndërtojnë tabelën e variacionit dhe të skicojnë grafikun e tij. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi të sqarojë fillimisht kuptimin e termit “studim variacioni i funksionit”. Më tej, studimi i variacionit dhe skicimi i grafikut të funksionit y = x të trajtohet nga mësuesi, me metodën e bisedës. Nxënësit, me punë në grupe, të zgjidhin në klasë ushtrimin e vendosur në fund të materialit teorik. Në rubrikën “Ushtrime’, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2/a, 3, 5.

Mësimi 5.7. Ushtrime Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi, duhet të jetë zhvillimi i aftësive të fituara në mësimet paraardhëse të kreut, kryesisht në skicimin dhe leximin e grafikëve, si edhe në gjetjen e bashkësisë së përcaktimit, në raste të thjeshta. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në mënyrë individuale, ushtrimin

114

LIBËR PËR MËSUESIN

e zgjidhur Nr. 11, që është mjaft i rëndësishëm në aspektin konceptual. Rreth tij mund të organizohet një diskutim në klasë. Më tej të kombinohet puna e nxënësve për zgjidhjen, në mënyrë të pavarur apo në grupe, të disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje, duhet të diskutohet në klasë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 3/a, b; 4; 5; 9.

Mësimi 5.8. Vargu numerik Kuptime: Vargu numerik. Kufiza e përgjithshme e tij. Veti: Vetitë e veprimeve algjebrike në bashkësinë N. Metoda: Induksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë grafikun, duke bërë tabelën, për vargun numerik të fundmë. • Për vargun numerik, të dhënë me formulën y=f(n): a) të gjejnë kufizën me tregues të dhënë; b) të shkruajnë y n −1 , y n +1 ; c) të përcaktojnë nëse një numër është kufizë e vargut. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i parashikuar për këtë njësi mësimore ka ngarkesë konceptuale, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës. Mësuesi t’i kushtojë vëmendje sqarimit të kuptimit të vargut, si funksion që ka bashkësi përcaktimi N ose {1, 2, 3, ···, n}. Shënimi i vargut, duke i vendosur kufizat në një radhitje plotësisht të përcaktuar, sipas radhitjes që kanë treguesit e tyre në vargun e numrave natyrorë, është një tjetër moment i rëndësishëm i mësimit. Nxënësit të zgjidhin në klasë, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5.

Mësimi 5.9. Progresioni aritmetik. Formula për kufizën e përgjithshme të tij Kuptime: Progresioni aritmetik. Diferenca e tij. Veti: Formula yn=y1+(n-1)·d. Metoda: Induksioni dhe deduksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një varg i fundëm është progresion aritmetik. • Të dallojnë nëse një varg i pafundëm është progresion aritmetik. • Të përdorin formulën yn=y1+(n-1)·d në situata të thjeshta matematikore apo praktike.

MATEMATIKA 10

115

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i vendosur në këtë njësi mësimore, krijon mundësi për aktivizimin e mirë të masës së nxënësve në nxjerrjen e përfundimeve përgjithësuese dhe në zbatimin e tyre. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, dy ushtrimet e vendosura në hyrje të mësimit, nëpërmjet të cilëve dilet në kuptimin e progresionit aritmetik. Mësuesi, me metodën e bisedës, të arrijë që nxënësit të riformulojnë në trajtë ekuivalente përkufizimin e progresionit aritmetik. Po me metodën e bisedës, të trajtohet shembulli për përcaktimin e natyrës (progresion aritmetik apo jo) të një vargu të pafundëm. Formula yn=y1+(n-1)·d të nxirret me rrugë induktive. Mësuesi të mbajë parasysh se vërtetimi rigoroz i saj bëhet me metodën e induksionit matematik. Në tekst është dhënë një argumentim vërtetues, me një shkallë rigoroziteti të pranueshëm për nivelin e nxënësve. Janë të rëndësishëm shembujt dhe ushtrimet e vendosura në tekst, si zbatime të formulës yn=y1+(n-1)·d. Është e rëndësishme që nxënësit të jenë në gjendje të gjejnë në të, vlerën e një ndryshore kur njihen vlerat e tri të tjerave. Në rubrikën “Ushtrime’, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5, 6.

Mësimi 5.10. Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit aritmetik Kuptime: Shuma Sn. Kufiza të baraslarguara nga ekstremet. Veti: Shuma e dy kufizave të baraslarguara nga ekstremet është e barabartë me shumën e kufizave ekstreme. Metoda: Deduksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin me argumentim formulën S n =

y1 + yn n. 2

• Ta përdorin këtë formulë në situata të thjeshta matematikore.  yn = y1 + (n − 1) ⋅ d  • Të përdorin sistemin  për gjetjen e vlerave të dy ndryshoreve, kur njihen ( y1 + yn ) ⋅n tri të fundit.  Sn = 2  Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në ( y + yn ) ⋅ n , janë me një shkallë tekst. Argumentimet e dhëna në tekst, për formulën S n = 1 2 rigoroziteti të mjaftueshëm për nivelin e nxënësve (vërtetimi rigoroz bëhet me metodën e induksionit matematik). Edhe shembujt e zgjidhur në tekst të trajtohen me metodën e bisedës, kurse ushtrimet në materialin teorik të zgjidhen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe. ( y + yn ) ⋅ n , të Është me rëndësi rekomandimi që dy formulat yn=y1+(n-1)·d dhe S n = 1 2

116

LIBËR PËR MËSUESIN

shqyrtohen në sistem, sepse kjo krijon mundësi për gjetjen e vlerave të dy prej ndryshoreve, kur njihen vlerat e tri të tjerave. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5.

Mësimi 5.11. Progresioni gjeometrik. Formula për kufizën e çfarëdoshme të tij Kuptime: Progresioni gjeometrik. Herësi i tij. Veti: Formula y n = y1 ⋅ q n −1 . Progresioni gjeometrik është funksion i dhënë me formulën y1 x ⋅ q , ku x ∈ N ose x ∈ {1, 2, ···, n}. q Metoda: Deduksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një varg i fundëm është progresion gjeometrik. • Të dallojnë nëse vargu i pafundëm, i dhënë me formulën yn=f(n), është progresion gjeometrik. y=

• Të nxjerrin me argumentim formulën y n = y1 ⋅ q n −1 . • Ta përdorin këtë formulë në situata të thjeshta matematikore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Mësuesi duhet ta ketë të qartë (pa ua thënë këtë nxënësve) se vërtetimi i saktë i formulës y n = y1 ⋅ q n −1 bëhet me metodën e induksionit matematik; arsyetimi i dhënë në tekst konsiderohet i pranueshëm për nivelin e nxënësve. Për përforcimin e kuptimit të vargut numerik, si funksion, është me rëndësi theksimi i faktit që progresioni gjeometrik, me kufizë të parë y1 dhe herës q, është funksioni i dhënë me formulën y1 x ⋅ q , ku x ∈ N ose x ∈ {1, 2, ···, n}. q Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6. y=

Mësimi 5.12. Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit gjeometrik Kuptime: Progresioni gjeometrik. Shuma e n kufizave të fillimit të tij. qn − 1 yn ⋅ q − y1 ; S n = y1 ⋅ . q −1 q −1 Metoda: Deduksioni. Veti: Formulat S n =

Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: y ⋅ q − y1 • Të nxjerrin me argumentim formulën S n = n . q −1

MATEMATIKA 10

117

qn − 1 • Të përdorin këtë formulë, si edhe formulën S n = y1 ⋅ , që rrjedh prej saj në situata të q −1 thjeshta matematikore.

 y n = y1 ⋅ q n −1  • Të nxjerrin nga sistemi i formulave  y n ⋅ q − y1 vlerat e dy ndryshoreve, kur njihen vlerat e tri të tjerave. S n = q − 1  Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të zgjidhin me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik e që janë pjesë e rëndësishme e tij. Ata të ndjekin në libër sintezën e shkurtër teorike dhe shembujt e zgjidhur të dhënë. Vemë në dukje se arsyetimi për nxjerrjen e formulës për Sn, konsiderohet i pranueshëm për nivelin e nxënësve, duke patur parasysh se vërtetimi rigoroz bëhet me metodën e induksionit matematik. y ⋅ q − y1 Është shumë e dobishme që formulat y n = y1 ⋅ q n −1 dhe S n = n të shqyrtohen në sistem, q −1 sepse kjo përbën një metodë për zgjidhjen e shumë problemave, që lidhen me progresionet. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 2, 3, 4, 5.

Mësimi 5.13.

Ushtrime

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi, duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, të fituara në mësimet mbi vargjet dhe progresionet (5.8-5.12). Nxënësit, paraprakisht, të kenë hartuar në shtëpi një përmbledhje të fakteve kryesore të kreut. Mësimi në klasë të zhvillohet me libër hapur. Fillimisht nxënësit të lexojnë në të ushtrimet e zgjidhura Nr.6 dhe Nr.13, për të cilët mund të organizohet një diskutim në klasë. Më tej, të kombinohet puna e pavarur apo me grupe e nxënësve për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet me klasën. Të konsiderohen si të nivelit minimal ushtrimet me numrat 1/a, b; 2; 3; 12.

KREU VI:

EKUACIONE, INEKUACIONE, SISTEME

Mësimi 6.1. Njëvlershmëria e ekuacioneve me një ndryshore. Ekuacioni ax=b. Ekuacioni ax2+bx+c=0 Kuptime: Ekuacioni me një ndryshore. Rrënja e tij. Ekuacione të njëvlershëm në E. Veti: Tri teorema për njëvlershmërinë e ekuacioneve në R. Formulat për rrënjët e ekuacionit ax2+bx+c=0. Formulat e Vietës. Metoda: Përgjithësimi.

118

LIBËR PËR MËSUESIN

Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin teoremat për njëvlershmërinë e ekuacioneve në R, për të sjellë ekuacionet e fuqisë së parë e të dytë, me një ndryshore, në trajtat standarde ax=b; ax2+bx+c=0. • Të zgjidhin ekuacionin ax2+bx+c=0, duke dalluar tre raste për D. • Të shkruajnë dhe të përdorin, në raste të thjeshta, formulat e Vietës. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi ka natyrë përsëritje. Në të duhet të zënë vendin kryesor aktivizimi i nxënësve, duke zgjidhur me punë të pavarur apo me grupe, ushtrimet e vendosura në tekst. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke lexuar fillimisht, në mënyrë individuale, kujtesën e shkurtër teorike të dhënë në të. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 5, 6, 7.

Mësimi 6.2. Ekuacione që sillen në ekuacione të fuqisë së dytë, me futjen e një ndryshoreje ndihmëse Kuptime: Ekuacioni bikuadrat. Ekuacioni trinom. Veti: Ekuacioni sillet në ekuacion të fuqisë së dytë, me zëvendësimin xn=t. Metoda: Futja e një ndryshoreje ndihmëse. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin ekuacione bikuadrat të trajtës ax4+bx2+c=0. • Të zgjidhin ekuacione trinomë të trajtës . • Të përdorin, në raste të thjeshta, futjen e ndryshores së re për të sjellë një ekuacion me një ndryshore në trajtën ax=b apo ax2+bx+c=0. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Futja e ndryshores së re është një nga metodat më të përdorshme, për zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke i kushtuar trajtimit të tij gjithë orën e mësimit. Nxënësit të zgjidhin me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet hyrëse në çdo nënçështje, të cilat synojnë daljen në përfundimet përgjithësuese. Pas leximit të sintezës së shkurtër teorike dhe shqyrtimit të shembujve, që janë dhënë të zgjidhur në tekst, rekomandohet që të punohen edhe ushtrime të tjera, të përzgjedhura nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 6.3. Ekuacione të trajtës f(x)·g(x)=0 Kuptime: Ekuacioni f(x)·g(x)=0. Vlera e palejuar e ndryshores në një shprehje. Veti: Bashkësia e rrënjëve të ekuacionit f(x)·g(x)=0 është A∪B, ku A është bashkësia e rrënjëve të f(x)=0, për të cilat ka kuptim g(x), dhe B është bashkësia e rrënjëve të g(x), për të cilat ka kuptim f(x). Metoda: Deduksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

MATEMATIKA 10

119

• Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë të trajtës f(x)·g(x)=0, ku f(x), g(x) janë të trajtës: ax+b;

; ax2+bx+c,

;

.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës. Mësuesi të trajtojë me këtë metodë vërtetimin e teoremës 1 (vetëm nëse niveli i klasës e lejon). I rëndësishëm, e që duhet fiksuar në kujtesën e nxënësve, është përfundimi për bashkësinë e rrënjëve të ekuacionit f(x)·g(x)=0. Me metodën e bisedës të trajtohen edhe shembujt e zgjidhur të vendosur në tekst. Ushtrimet e vendosura në materialin teorik janë pjesë përbërëse e domosdoshme e këtij materiali, prandaj duhet të punohen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 6.4. Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore Kuptime: Ekuacione të njëvlershëm në R. Ekuacione të trajtës Veti: Ekuacioni

f ( x) = 0 është i njëvlershëm me sistemin g ( x)

f ( x) = 0. g ( x)

 f ( x) = 0 .   g ( x) ≠ 0

Kur ngremë në katror të dyja anët e ekuacionit f(x)=g(x), formohet një ekuacion, që ka si rrënjë ato të ekuacionit f(x)=g(x), por edhe ato të ekuacionit f(x)=-g(x). Nëse të dyja anët e një ekuacioni i ngremë në të njëjtën fuqi me eksponent tek, merret një ekuacion i ri, i njëvlershëm me të parin. Metoda: Shndërrime të njëvlershme të një ekuacioni me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kuptojnë e të përdorin faktin që shumëzimi (pjesëtimi) i të dyja anëve të ekuacionit, mund të çojë në ekuacion të njëvlershëm me të. • Të zgjidhin ekuacione të trajtës

f ( x) =0, duke i sjellë në sisteme të trajtës g ( x)

 f ( x) = 0 .   g ( x) ≠ 0

• Kur ngrenë në katror të dyja anët e një ekuacioni, të bëjnë kontrollin, nëse rrënjët e ekuacionit të fituar janë rrënjë të ekuacionit fillestar. • Të përdorin në raste të thjeshta, ngritjen e të dyja anëve të një ekuacioni në fuqi me eksponent tek, për të marrë ekuacion të njëvlershëm me të. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i parashikuar për këtë njësi mësimore ka ngarkesë konceptuale dhe vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të, në mënyrë individuale, elementët e sintezës teorike të përfshira. Vërtetimi i teoremës, mbi ngritjen në katror të dy anëve të ekuacionit f(x)=g(x), nuk është i detyrueshëm; ai nuk duhet trajtuar në klasë (mund t’u jepet me dëshirë, për studim në shtëpi, nxënësve të mirë).

LIBËR PËR MËSUESIN

120

Esenciale për këtë mësim është punimi i ushtrimeve, ku gjejnë zbatim përfundimet përgjithësuese, me punë të pavarur apo në grupe në klasë. Është mirë të evidentohet njëvlershmëria [f2(x)=g2(x)] ⇔ [f(x)=g(x) ose f(x)=-g(x)]. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 4, 6.

Mësimi 6.5. Ekuacione irracionalë të thjeshtë Kuptime: Ekuacione irracionalë me një ndryshore. Veti: Nëse bashkësia e vlerave të lejuara të ndryshores, në një ekuacion irracional, është boshe, ai nuk ka rrënjë. Teorema [f2(x)=g2(x)] ⇔ [f(x)=g(x) ose f(x)=-g(x)]. Metoda: Ngritja në katror e të dyja anëve të ekuacionit me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshores në ekuacionet irracionalë, me një ose dy rrënjë katrore. • Të zgjidhin ekuacione irracionalë të thjeshtë, që përmbajnë vetëm një rrënjë katrore të trajtës apo

.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi paraprakisht t’u ketë dhënë nxënësve, si përsëritje, mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve të fuqisë së parë, me një ndryshore dhe të sistemeve të tyre. Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës. Është e rëndësishme që nxënësit të ushtrohen në zbatimin e ecurisë (programit), për zgjidhjen e ekuacioneve irracionalë, që përmbajnë një rrënjë katrore. Rekomandohet që pas shqyrtimit të shembullit Nr.3, mësuesi të organizojë punën e pavarur apo në grupe të nxënësve, për zgjidhjen e ndonjë ushtrimi, të përzgjedhur prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 5.

Mësimi 6.6. Ushtrime Synimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i shkathtësive, të fituara nga nxënësit në mësimet e mëparshme të kreut. Të kombinohet puna e pavarur apo në grupe e nxënësve në klasë, për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet me klasën. Të konsiderohen si të nivelit minimal ushtrimet me numrat 1/a, b; 5/a, c; 7.

Mësimi 6.7. Zbërthimi në faktorë i trinomit të fuqisë së dytë me një ndryshore Kuptime: Trinomi i fuqisë së dytë. Dallori i tij; rrënjët e tij. Veti: Nëse D ≥ 0 , kemi ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).

MATEMATIKA 10

121

Kur D0 ose D=0, për zbërthimin e trinomit ax2+bx+c. Më tej mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të shembujt e zgjidhur, që janë dhënë dhe të punojnë, në mënyrë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5.

Mësimi 6.8. Studimi i shenjës së trinomit të fuqisë së dytë Kuptime: Trinomi i fuqisë së dytë. Veti: Rregullat për studimin e shenjës së (ax2+bx+c), kur D>0, D=0, D0, D=0, D0 (ax2+bx+c0 (ax2+bx+c 0 , ku f(x), g(x) janë trinome të fuqisë së dytë apo  g ( x) < 0

• Të zgjidhin sisteme të trajtës 

binome të fuqisë së parë me një ndryshore. • T’i përdorin këto aftësi në situata të thjeshta matematikore.

LIBËR PËR MËSUESIN

124

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandohet që mësuesi paraprakisht t’u ketë dhënë, si përsëritje nxënësve për në shtëpi, zgjidhjen e sistemeve të dy inekuacioneve të fuqisë së parë me një ndryshore (klasa IX), sepse kjo ka vlera në pikëpamje të metodës. Në klasë, nëpërmjet një diskutimi, fiksohet ecuria për zgjidhjen e sistemeve të dy inekuacioneve të çfarëdoshëm, me një ndryshore. Më tej, mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Nxënësit të lexojnë në të, në mënyrë individuale, shembujt e zgjidhur dhe të zgjidhin me punë të pavarur apo me grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 6.13.

Sisteme ekuacionesh me dy ndryshore

Kuptime: Ekuacioni me dy ndryshore. Zgjidhja e tij. Sistemi i ekuacioneve me dy ndryshore. Zgjidhja e tij. Veti: Ecuria për zgjidhjen e sistemit me dy ndryshore, ku të paktën njëri ekuacion është i fuqisë së parë. Metoda: Metoda e zëvendësimit. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin me të gjitha mënyrat e njohura, sistemin e dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. • Të zgjidhin me mënyrën e zëvendësimit, sistemin e ekuacioneve me dy ndryshore, ku njëri është i fuqisë së parë dhe tjetri i fuqisë së dytë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandohet që mësuesi t’u ketë dhënë, si detyrë nxënësve, të përsërisin në shtëpi, kuptimin e sistemit të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore dhe mënyrat për zgjidhjen e tij (klasa IX). Mësimi në klasë të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimin 1. Mbi këtë bazë të organizohet në klasë një diskutim, në përfundim të të cilit të fiksohet ecuria, për zgjidhjen e sistemeve të trajtës , ku f(x, y) është një polinom i fuqisë së dytë me dy ndryshore. Më tej, nxënësit të lexojnë, në mënyrë individuale, në tekst shembujt e zgjidhur Nr.1, Nr.2 dhe të zgjidhin me punë të pavarur apo në grupe, disa ushtrime (ushtrimin Nr.1 dhe ndonjë ushtrim tjetër, të përzgjedhur nga mësuesi). Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 5, 6.

Mësimi 6.14. Ushtrime Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Rekomandohet që nxënësve t’u jetë vënë, më parë si detyrë, hartimi i një përmbledhje me shkrim për faktet kryesore të kreut. Mësimi në klasë të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht në të, ushtrimet

MATEMATIKA 10

125

e zgjidhura Nr.1 dhe Nr.2, për të cilët mund të organizohet një diskutim në klasë. Më tej të kombinohet puna e pavarur apo në grupe e nxënësve për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje të analizohet në klasë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 4; 6/a, b; 8; 11/a; 13.

KREU VII.

TRIGONOMETRI

Mësimi 7.1 Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë Kuptime: Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë (sinusi, kosinusi, tangenti dhe kotangenti i një këndi të ngushtë). Veti: Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë si raporte të brinjëve të tij. Tri lidhjet e pavarura të trigonometrisë:  sin 2 α + cos 2 α = 1  sin α  tgα = cos α  cos α  cot gα = sin α

ku 0