Matematika

Panevropski univerzitet “ApeiroN” Fakultet Poslovne Ekonomije Banja Luka

Seminarski rad iz matematike

Viša matematika

Mentor: Dr. Esad Jakupović

Student: Bojan Knežević

Banja Luka, januar, 2008. godine

2

Sadržaj 1. Matematička logika………………...……………………………..4 2. Skupovi..…………………………………………………………..7 3. Ustav od

1950……………………………………………………………….7 4. Federalizam………………………………………………………… ………. 8 5. Savezni parlament…………………………………………………………. 10 6. Predsjednik Indije…………………………………………………………. 11 7. Vlada……………………………………………………………… ………. 13 8. Vrhovni sud………………………………………………………………..14 9. Političke partije…………………………………………………………….15 10. Zaključak …………………………………………………………………. 16 11. Literatura…………………………………………………………… ……... 17

3

Matematička logika Osnovno sredostvo sporazumjevanja među ljudima je jezik. Razlikujemo više vrsta jezika sporazumjevanja, kao što su npr. slikarski, muzički, govorni i književni jezik. Matematički jezik je najviši oblik naučnog jezika. Matematici je potreban jezik pomoću koga se sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedoriječnosti. Najsličniji matematičkom jeziku su govorni i književni jezik. Osnovu u matematičkom jeziku čine izrazi ili termini, a najprostiji matematički izrazi su konstante i promjenjive. Konstante su potpuno određeni matematički objekti, tj. veličine kojima se vrijednost ne mijenja, npr. 0; 2; 2/3; Promjenjive su simboli koji mogu predstavljati bilo koji element iz nekog datog skupa. Dati skup se naziva oblast definisanosti promjenjive. Matematičke formule su rečenice koje su: - istinite - neistinite - tekve da se za njih ne može , nedvosmisleno ili jednoznačno, utvrditi vrijednost istinitosti. Matematičke formule koje sadrže promjenjive kojima vrednost nije definisana i za koje se zbog toga ne može jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti, su neodređeni iskazi i nazivaju se iskazne formule, iskazne funkcije ili predikati. Stav je u matematici naziv za tačan iskaz. Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p ^ q , istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita. p 1 1 0

q 1 0 1

p^q 1 0 0 4

0 0 0 Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p v q , istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda I samo onda ako su oba data iskaza neistinita. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pvq 1 1 1 0

Implikacija datih iskaza p i q je iskay u oznaci p => q , neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p =>q 1 0 1 1

Ekvivalencija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q , istinit onda I samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrednosti istinitosti. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 1 1

Negacija datog iskaza p je iskaz u oznaci ¬ p , koji je neistinit kada je p istinit i obrnuto. p 1 0

¬p 0 1

5

Definicija je rečenica, ili skup rečenica, kojom se određuje sadržina nekog pojma. Pojam je misaoni sadržaj termina ili simbola. Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove. Osnovni pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same po sebi bez potrebe da se objašnjavaju nekim drugim pojmovima. Izvedeni pojmovi su oni pojmovi koje objašnjavamo pomoću osnovnih I drugih izvedenih pojmova. Pretpostavke su rečenice od kojih se polazi kao tačnih u nekom rasuđivanju. Posledice su rečenice koje su, iz pretpostavki, dobijene logičkim rasuđivanjem i zaključivanjem. Aksiome su polazne rečenice koje se po dogovoru uzimaju kao tačne i čija se istinitost ne dokazuje. Teoreme su izvedene rečenice zasnovane na aksiomima ili prethodno dokazanim tvrdnjama. Dokaz je put logičkog rasuđivanja i zaključivanja od pretpostavki od posljedica tj. niz koraka od kojih je svaki korak ili aksioma ili već dokazana teorema.

6

Skupovi Skup (mnoštvo, množina) je jedan od osnovnih pojmova u matematici, te se stoga ne definiše. Skup čine njegovi elementi. Pojam elemenata je takođe jedan od osnovnih pojmova u matematici. Ako je npr. a elemenat skupa S, onda se piše a ∈ S, a ako a nije elemenat skupa S, onda pišemo a ∉ S. Skup se određuje nabrajanjem svih njegovih elemenata ili navođenjem osobina koje posjeduju svi njegovi elementi. Skup se može prikazati i na tzv. Venovim dijagramom, tako što se svi njegovi elementi predstave tačkama unutar jedne zatvorene linije, pri čemu se tačke ne moraju prikazati, već se može predpostaviti da su u dijagramu. Skup prvih šest prirodnih brojeva se može predstaviti na tri načina: 1. Nabrajanjem datih elemenata datog skupa: A = {1,2,3,4,5,6}, ovaj način se naziva i tabelarno notiranje skupa, 2. Navođenjem osobina koje posjeduju svi elementi datog skupa: A = {x|x < 7, x 5 N} ovaj način se naziva i sintetičko notiranje skupa, 3. Venovim dijagramom: A

5 3

2

6

4

Skup koji nema elemenata je prazan i označava se sa Ø. Kardinalni broj skupa S pokazuje koliko taj skup ima elemenata, npr. S = {a1,a2.........an} k(S)=n. Skupovi sa istim brojem elemenata nazivaju se ekvipotenti, dok se skupovi sa istim elementima smatraju ekvivalentnim.

7

Za skup A kažemo da je podskup B, ako i samo ako je svaki elemenat skupa A ujedno i elemenat skupa B, u oznaci A  http://bs.wikipedia.org/wiki/Tabela_matemati%C4%8Dkih_simbola

8