MATEMATIKA

A abak(us) ili računaljka , stari uređaj za računanje, okvir s paralelnim tankim metalnim šipkama po kojima klize kuglice. Šipke označavaju vrijednost brojke, to jest, u slučaju decimalnih računaljki- a takve su praktički sve - decimalno mjesto. Tako kuglice na prvoj šipki predstavljaju jedinice, na drugoj desetice, na trećoj stotice i tako dalje. Kuglice opet, kojih je deset na svakoj šipki, označavaju same brojke. Brojke "isp!sujemo" pomicanjem kuglica s lijeve na desnu stranu šipke. Zelimo li, primjerice, ispisati broj 8493, na prvoj ćemo šipki udesno pomaknuti 3 kuglice, na drugoj 9, na trećoj 4 i na četvrtoj 8. Pri zbrajanju se pridružuju kuglice na istom decimalnom mjestu, a ako je njihov zbroj veći od devet, na šipki se ostavlja samo višak iznad deset, ali se na sljedećoj šipki prebacuje jedna kuglica. Pribrojimo, primjerice, broju 8493 broj 238. N a prvoj će šipki ostati l kuglica (8 + 3 = 10 + 1), na drugoj će ih biti 3 (I + 9 + 3 = 10 + 3), na trećoj 7 (l + 4 + 2 = 7) i na četvrtoj 8, pa je naš zbroj 8731. adicija .::>zbrajanje akceleracija ili ubrzanje promjena brzine gibanja nekog tijela s vremenom, brzina promjene brzine. U SI jedinicama se izražava u metrima na sekundu u sekundi (m s·2). Ako se primjerice neko tijelo ubrzava akceleracijom od 5 ms·2, to znači da mu svake sekunde brzina poraste za 5 m s·•. U praksi se gdjekad akceleracija iskazuje i drugačije, pa se tako primjerice često navodi vrijeme (u sekundama) potrebno automobilu da se ubrza od O do 100

kmh- 1• Prosječnu akceleraciju a u nekom vremenskom razmaku t mo-

žemo

izračunati

s pomoću izraza

aksiom

6

gdje su v1 i v 1 konačna odnosno početna brzina, a v1 - v 1 promjena brzine. Budu ći da je brzina vektorska ~ vel ičina (to jest veličina određena iznosom i smjerom), a vrijeme ~skalama (određena samo iznosom), o nda je i akceleracija nužno vektorska veličina . U svakodnevnom se životu najčešće susrećemo s gravitacijskom akceleracijom, to jest s ubrzanjem slobodnoga pada. To je akceleracija koja djeluje na neučvrSćeno, ispušteno tijelo. Ona se ponešto mijenja od mjesta do mjesta, iznosi oko 9,81 ms·2 , ali o ovisnosti o zemljopisnoj širini. aksiom tvrdnja za koju pretpostavljamo da je istinita, pa iz nje zatim logičkom dedukcijom izvodimo teoreme (po učke) . Primjeri aksioma: ako su dva broja jednaka trećemu, onda su i među­ sobno jednaka, te tvrdnja da dva pravca ne mogu omeđiti konačan dio ravnine. Tako je grčki matematičar Euklid postavio skup aksioma, tvrdnji od kojih - po njegovu mnijenju- nije bilo moguće zamisliti jednostavnije, pa je s pomoću njih dokazao svoje geometrijske teoreme. algebarski razlomak razlomak kod kojeg su brojevi predstavljeni slovima, primjerice a

T'

x

y

i X+ J

I algebarski se razlomci, baš kao i brojčan i , dadu pojednostavniti i rastaviti na faktore. Tako primjerice jednakost

možemo pomnožiti s b i d i tako dobiti

ad= bc algebra grana matematike koja proučava opća svojstva brojeva p redočenih simbolima, obično slovima, koji ne označavaju neki određen broj, nego neki određen skup brojeva. Algebra se služi jednadžbama koje prikazuju opće odnose među brojevima.

anketa

7 Tako primjerice algebarska tvrdnja

(x + y)2 = xz + 2xy + yz vrijedi, to jest istinita je, za sve brojeve. U to se možemo uvjeriti i pokusom, jer ako umjesto x odnosno y napišemo bilo koji broj, uvijek ćemo dobiti točan rezultat. Primjerice za x = 7 i y = 3 možemo napisati

(7 + 3) 2 = 7 2 + 2 . 7 . 3 + 32 = 100 Algebra je našla primjenu u mnogim područj ima matematike spomenimo sam o matri čn u i Booleovu algebru. (S pomoću potonje je razvijena matematička logika nužna za rad elektroničkih računala.)

algorit am matemat.ički postup~ odnosno propisani niz postupaka kojim se rješava neki problem. Algoritam se dade grafički predočiti ~dijagramom toka. ana l itička geometrija geometrija u koordinatnom sustavu koja omogućuje p redočavanje točke, krivulje, lika, ravnine i tijela alge-

barskim izrazima. U planarnoj analitičkoj geometriji (analitičkoj geometriji u ravnini) ~koordinate točaka obično se određuju s pomoću dva pravca, osi x i y, koji se pod pravim kutom sijeku u ishodištu O. To su takozvane ~Kartezijeve koordinate. Položaj točke u njima određen je udaljenostima od osi yi x. To su njezine (x, y) koordinate. Krivulje su pak određene jednadžbama. Tako primjerice jednadžba y = 2x + l daje pravac, a y = 3x1 + 2x krivulju zvanu ~parabola. Grafički se prikaz (graf) pojedinih ~funkcij a može dobiti izračunavanjem koordinata više točaka, to jest pronalaženjem točaka čije koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu. Te se točke zatim spajaju približno povučenim crtama. anketa metoda prikupljanja statističkih podataka. Provodi se s pomoću upitnika, usmenog ili pismenog, na koji odgovara neki d io istraživane ~populacije, zvan ~statističkim uzorkom . Primjer je takvog istraživanja ispitivanje javnog mnijenja, sklonosti prema nekom proizvodu itd.

aproksimacija

8

aproksimacija zaokruživanje ili procjena približne vrijednosti neke veličine. Tako primjerice broj 1t (pi) ima beskonačan broj znamenaka, pa ga moramo aproksimirati. To može biti, uzmimo, aproksimacija na 8 znamenaka (kad dobivamo 3, 1415927) ali i na samo jednu znamenku (pa ćemo u ovom primjeru dobiti 3). apscisa u ~analitičkoj geometriji, horiwnralna udaljenost neke točke od osi y pravokutnoga (Karrezijeva ili Descartesova) koordinatnoga sustava. Apscisa je jedna od dviju koordinata točke, to jest brojaka koje određuju njezin položaj u ravnini, a označava se prvim brojem u zagradi. Tako položaj točke A na slici označa­ vamo kao (4, 3), i velimo da su to njezine koordinate. Apscisa joj je 4, a ~ordinata 3.

apscisa y

g

aritmetika

Glavna je prednost arapskih brojaka što imaju simbol za nulu, i što im vrijednost - za razliku od rimskih - ne određuje samo simbol, nego i njihovo mjesto u zapisu broja. To je omogućilo uvođenje pozicijskog brojevnog sustava i silno olakšalo računanje. aritmetička sredina ili aritmetički prosjek prosječna vrijednost nekog skupa od n brojeva koja se dobiva dijeljenjem njihova zbroja s n. Tako primjerice aritmetička sredina pet brojeva l, 3, 6, 8 i 12 iznosi 6, jer je (l + 3 + 6 + 8 + 12)/5 = 6. Kad kažemo samo "prosjek" (prosječna vrijednost) obično pritom mislimo na aritmetički prosjek, iako postoje i drugi prosjeci (primjerice ~geometrijska sredina, ~medijan i ~mod). aritmetički niz ili progresija niz brojeva koji se među sobom razlikuju za neki određen broj, takozvanu razliku. Tako je npr. *up brojeva 2, _7, 12, 17, 22, 27 ... aritmetički niz s razlikom 5. Clanove aritmetičkog niza možemo izračunati s pomoću formule:

an = al + (n - l) d 4 3

apscisa_

_

gdje je n redni broj člana a d razlika, dok su a" i a1 n-ti odnosno prvi član niza. Za primjer izračunajmo koliki je 7. član niza kojemu je prvi član 2, a razlika 3:

• A 14,3 )

2

n 2

3

4

5

= 7, a 1 = 2 i d= 3, pa je dakle n 7 = 2 + (7 - l)· 3 =20

X

Zbroj članova arinnetičkog niza izračunavamo s pomoću formule:

l na1 +T n(n- l)d, gdje je a1 prvi član, d razlika, a n broj članova niza. apsolutna vrijednost ili modul vrijednost nekog broja, bez obzira na njegov predznak. Apsolutna vrijednost nekog broja a uvijek je pozitivna, a označava se sa lal. Tako su primjerice apsolutne vrijednosti brojeva 5 i -5 jednake, tj. 151=1-51 = 5. arapske ili indijsko-arapske brojke skup simbola (znamenaka) O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Njih su od Indijaca preuzeli Arapi, i njima se služili stoljećima prije nego su u srednjem vijeku počeli i u Europi istiskivati ~rimske brojke.

Usporedi ~geometrijski niz. aritmetika dio ma~ematike koji se bavi proučavanjem brojeva i njihovih svojstava. Cetiri su osnovne aritmetičke operacije: zbrajanje, oduzimanje, rnnoženje i dijeljenje. Iz tih se operacija dalje izvode ~potenciranje (dizanje na potenciju, primjerice kvadriranje i kubiranje), vađenje korijena (primjerice drugog i trećeg), kao i računanje postotaka, razlomaka i omjera. Za zbrajanje i množenje vrijedi nekoliko osnovnih aritmetičkih zakona:

aritmetička

sredina

10

asocijativna operacija

11

Zakon asocijacije ili udruživanja On veli da se ni zbroj brojeva

negativne vrijednosti Svaki broj a ima i svoj suprotni broj -a, za

niti njihov umnožak ne mijenjaju ako promijenimo slijed računslcih operacija. (a + b) + e = a + (b + e) (a· b)· e = a· (b· e) Zakon komutacije ili zamjene On veli da brojevima možemo zamijeniti mjesta, a da rezultat ipak ostane isti. Ili, u matematičkom obliku:

koji vrijedi:

odnosno

a+(- a)= O recipročna (inverzna) vrijednost Svaki broj recipročni broj l l a pomnožen s kojim daje

a· -

1 a

a (osim nule) ima i l.

=l

asimptot a u c:>analiričkoj geometriji pravac kojemu se neka kri-

vulja sve više primiče, ali ga nikad ne dotiče. Tako su primjerice os xi os y asimptote krivulje xy= k gdje je k neka konstanta (a to je zapravo jednadžba pravokutne .::>hiperbole).

ab = ba Zakon distribucije ili raspodjele Ako više brojeva množi mo istim

brojem, pa te umnoške zbrojimo, rezultat će biti isti kao i kad sve te brojeve najprije zbrojimo, pa zatim rezultat pomnožimo sa zadanim brojem, ili, u matematičkom obliku:

asimptota y

ma + mb + mc + ... = m (a + b + e + ...) Primjer: (9·100) + (9 · 30) + (9·2)

=9·132

Kažemo da je množenje distributivno u odnosu na zbrajanje. Obrnuto ne vrijedi. Naime:

*

7 + (3. 5) (7 + 3) . (7 + 5) neutralni element broj koji svojim sudjelovanjem u nekoj matematičkoj operaciji ne mijenja njezin rezultat. Tako je primjerice nula (O) neutralni element za zbrajanje jer ne u tječe na rezultat. Ili, mate matički: a+0 = 0+a =a

Jedinica je pak neutralni element za množenje Jer nakon množenja s jedinicom rezultat ostaje kakav je i bio. a·1 = 1·a=a

X

asocijativna operacija matematička operacija kojoj krajnji re-

zultat ne ovisi o redoslijedu izvršavanja operacija. Takve su operacije primjerice zbrajanje i rnnoženje.

=7 + (2 + 4) = 13 (4. 3). 2 = 4 . (3. 2) =24

(7 + 2) + 4

Oduzimanje i dijeljenje nisu asocijativne operacije.

* 9 - (5 - 2) (12 : 4) : 2 * 12: (4: 2) (9 - 5) -2

Usporedi c:>komutativne operacije i c:>distributivnost.

azimut

12

azimut kutna udaljenost (smjer u odnosu na promatrača) promatrane točke u odnosu na sjever. Mjeri se s pomoću raznih vrsta ~kompasa i izražava u stupnjevima e), obično u smjeru gibanja kazaljke na satu. Tako je primjerice azimut sjevera 0°, a sjeveroistoka 45°. Azimut jedne točke (B) promatrane iz druge točke (A) možemo iščitati i iz karte. Najprije te dvije točke spojimo crtom, i zatim iz A povučemo crtu prema sjeveru. Potom kut između te dvije crte izmjerimo kutomjerom.

B

azimut

računalstvu. sjever

baza (brojevnog sustava) broj različitih brojevnih simbola (znamenaka) u nekom brojevnom sustavu. U svakodnevnom životu najviše se rabi dekadski (decimalni) brojevni sustav sa simbolima O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, to jest s bazom lO. ~Binarni sustav, sa simbolima O i l, ima bazu 2, a osobito se primjenjuje u Binarni se sustav dade lako pretvoriti u oktalni (s bazom 8 i znamenkama O, l, 2, 3, 4, 5, 6 i 7) dijeljenjem binarnog broja u tročlane skupine od desna na lijevo i njihovim pojedinačnim prevođenjem. Tako binarni broj

l

oktalni broj

l

liO ll l 001 pišemo kao

6

7

l

S li čno se binarni broj, dijeljenjem u četveročlane skupine, dade

A

azimut točke B gledane izA jest

ss•

pretvoriti u heksadecimalni {s bazom 16 i znamenkama O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E iF) i tako dalje. Takve pretvorbe omogućuju velike uštede računalne memorije.

baza (u geometriji) crta odnosno površina na kojoj prividno stoji geometrijski lik ili tijelo. baza

baza

baza podataka

14

baza podataka u računalsrvu, strukturirani (uređeni) skup podataka. Ona omogućuje raznim raču nalnim programima da se služe u njoj sadržanim podatcima no bez potrebe da znaju i gdje se oni stvarno nalaze. beskonačnost matematička vel iči na koja je veća od svake zadane veličine. Označava se simbolom oo.

bilijun broj koji pišemo kao l s 12 ništica (l 000 000 000 000

ili 10 12). U Sjedinjenim Državama, a odnedavno i u Velikoj Britaniji, tim se brojem, međutim, označava europska milijarda (l ooo oo o000 ili 109). bimodalna krivulja u statistici, c:>krivulja raspodjele s dva jasno izražena maksimuma. binarni (brojevni) sustav brojevni sustav s c:>bazom 2, koji se široko primjenjuje u elektroničkom računalsrvu. U tom se sustavu svi brojevi pišu s pomoću samo dva simbola, O i l. Kod decimalnog sustava, veličinu broja ne određuje samo simbol, nego i njegovo mjesto. To mjesto određuje kojim brojem moramo pomnožiti broj označen dotičn im simbolom. Primjerice broj 2567 možemo razložiti na 2 tisućice, 5 stotica, 6 desetica i 7 jedinica: tisućice stotice desetice jedinice (1()3) (10 2) (10 1) (10°)

2 5 6 7 Binarni broj ll Ol predstavlja zapravo zbroj l osmice, l ce, O dvica i jedne jedinice. osm1ce červrtice dvice jedinice 3 2 1 (20) (2 ) (2 ) (2 )

četvrti­

o Taj broj u decimalnom sustavu možemo prikazati kao (l · 8) + (l · 4) + (O· 2) + (l · I) = 13 Velika je prednost binarnog sustava što njime može raditi svaki uređaj sposoban razlikovati samo dva stanja- recimo uključeno­ isključeno, jak signal - slab signal, magnetizirano - razmagne-

broj

15

cizirano stanje itd. Zbog toga se njime služe praktički svi elektroni čki uređaji, kako pri pohranjivanju informacija, tako i pri njihovoj obradbi. binom algebarski izraz koji predočuje zbroj ili razliku dviju veličina (označenih slovima). Primjer su binoma izrazi x + y ili x-y. Razvoj binoma postupak kojim se neka potencija binoma pretvara u niz sastavljen od jednostavnijih članova, tj. višečlani izraz ili pelinom. Primjerice

(x + y)2 = x2 + 2.ry +l

(x + y) 3 = x 3 + 3x2y + 3xy 2 + y 3 blok-shema c:>dijagram toka brid granica između dvije strane geometrijskog tijela. broj simbol koji se koristi u brojenju i mjerenju. Postoje različite vrste brojeva, ali i brojevnih sustava. Najjednostavniji su brojevi prirodni brojevi (1 , 2, 3 itd.) kojima se služimo u svakodnevnom životu. To su svi cijeli brojevi veći od nule. Prirodni i njima pridruženi negativni brojevi, uz nulu, čine skup cijelih brojeva. Sve brojeve koje možemo prikazati kao omjer (lat. ratio) dva cijela broja zovemo racionalnim brojevima. Brojeve koje ne možemo tako izraziti zovemo iracionalnima. Njih možemo napisati samo u obliku beskrajnog niza decimala među kojima ne postoji nikakva zakonitost. Takvi su brojevi u pravilu korijeni (npr. ...fi) te razne konstante (n, e itd.). Sve te navedene brojeve zajedno zovemo c:>realnim brojevima. Osim njih postoje još i kompleksni brojevi. Njih možemo napisati kao a+ ib, gdje su a i b realni brojevi, a i = ...J-i. Možemo čak reći da su realni brojevi samo podskup kompleksnih brojeva, to jest oni za koje vrijedi b = O. Razne brojeve možemo pisati i u raznim c:>brojevnim sustavima. U svakodnevnom se životu udomaćio c:>dekadski sustav, a u računalsrvu c:>binarni. Znanost se, međutim, služi i drugim brojevnim sustavima.

16

brojnik

brojnik gornji član razlomka; broj iznad razlomačke crte. brzina omjer prijeđe!le udaljenosti i za to potrebnog vremena.

Kad se brzina mijenja, i promatrana udaljenost i vremenski interval moraju biti jako maleni. Kad su oni beskrajno mali, njima se bavi ~inifin itezimalni račun. Kad je brzina konstantna (stalna), ona se dade lako izračunati s pomoću formule J V=-

t

gdje je v brzina, a s put prevaljen u vremenu t. U međunarodnom mjernom sustavu (SI) brzina se izražava u metrima u sekundi (m s·1). U svakodnevnom se životu, međuti m, uvriježila jedinica kilometar na sat (km/h). Brzina je ~vektorska veličina, jer osim iznosa ima i smjer. Ako nam smjer nije važan, s brzinom računamo kao sa skalarnom veličinom.

e Celsiusova temperaturna ljestvica temperaturna ljestvica kod koje je temperaturna razlika između ledišta (O 0 C) i vrelišta vode (l OO 0 C) razdijeljena na l OO jednakih dijelova (stupnjeva). centimetar jedinica za duljinu {simbol cm); stoti dio metra. cijeli broj broj djeljiv s l bez ostatka. Cijeli brojevi mogu biti

pozitivni i negativni. ~Razlomci i ~iracionalni brojevi u pravilu su necijeli. Između svaka dva cijela broja nalazi se beskonačno mnogo necijelih brojeva. cikloida geometrijska krivulja nalik na arkadu {niz lukova). To je krivulja što je opisuje neka točka na kružnici kad se ta kružnica kotrlja po pravcu. Takva se krivulja često primjenjuje pri proučavanju gibanja vozila s kotačima po cesti ili pruzi. cilindar ~valjak cilindričan ~valjkast

crtanje funkcije pretvaranje odabranih vrijednosti nezavisnih (x) i zavisnih (y) varijabli promatrane funkcije u koordinate (x, y) točaka u ~Kartezijevu sustavu, odgovarajućom krivuljom.

te njihovo približno spajanje

19

e v

čvor točka u kojoj se sastaju putovi. U topološkoj c::>mreži, čvor može biti ili početak puta ili mjesto presjeka dvaju puteva. Također se zove i vrh.

četverokut geometrijski lik s četiri ravne stranice. Postoji pet vrsta pravilnih četverokuta: kvadrat, s četi ri jednake stranice, četiri jednaka, prava kuta i četiri osi simetrije; pravokutnik s četiri jednaka, prava kura i dva puta po dvije jednake stranice te dvije osi simetrije; romb s četiri jednake stranice i dvije osi simetrije; paralelogram, s dva para paralelnih jednakih stranica i rotacijskom simetrijom, te napokon trapez, s jednim parom paralelnih stranica. četverokuti nepravilni

pravokutnik

kvadrat

četverokut

D~h: romb

čvor

paralelogram

četverostrana prizma

trapez

c::>kvadar

četvrtina četvrti dio nečega; jedan od četiri jednaka dijela na koje se može razdijeliti neka cjelina. član element koji pripada nekom skupu. Tako su npr. i 25 i 2500 članovi skupa kvadrata cijelih brojeva, dok to broj 250 nije.

čvor ili uzao mjera za brzinu, najčešće se primjenjuje u pomorstvu i ponešto u avijaciji. Definiran je kao l morska ili nautička milja (oko l ,85 km) na sat.

deseterokut

21

D decimale kod decimalnog broja, sve znamenke pisane iza decimalnog zareza, sve brojke kojima njihova pozicija daje vrijednost manju od l. decimalni razlomak ~razlomak koji možemo pisati u obliku (konačnog) decimalnog broja, to jest razlomak u kojem je nazivnik neka potencija broja l O. Primjer su decimalnih razlo maka 3/10, 51/100, 23/ 1000, a pi~emo ih kao 0,3, 0,51, 0,023. Decimalni razlomci uvelike olak~avaju računske operacije s razlomcima. Sve razlomke, međutim, nije moguće točno prevesti u decimalni oblik (primjerice 1/3).

raste za l pri svakom pomaku od desna na lijevo. Tako broj 2567 zapravo znači tj.

2 . l ooo + 5 . 100 + 6 . l o + 7 . l odnosno 2000 + 500 + 60 + 7 dekadski logaritam ~logaritam s bazom deset deltoid četverokut s dva para jednakih stranica. Taj lik ima jednu os simetrije.

deltoid

decimalni zarez zarez prema kojem se određuje mjesto (pozicija), a time i vrijednost znamenaka u decimalnom broju. Lijevo od decimalnog zareza nalaze se znamenke s vrijednostima jedan i većim, a desno znamenke s vrijednostima manjim od l. U anglosaksonskim zemljama umjesto decimalnog z.1.reza piše se decimalna točka. dedukcija u logici, postupak zaključivanja od općeg prema posebnom. definicija u matematici, tvrdnja kojom je nedvosmisleno određen neki matematički pojam. Ako je definicija dobra, iz nje se dadu izvesti sva svojstva definiranog pojma. dekadski (decimalni) brojevni sustav najčešće primjenjivan brojevni sustav s bazom l O. Decimalni brojevi ne moraju sadržavati decimale. Tako su dekadski brojevi i 563, 5,63 i 0,563. Drugi brojevni sustavi (primjerice ~binarni, ~oktalni i ~heksadecimaln i) za bazu imaju drugi broj (2, 8, 16 itd.). Dekadski broj možemo zamisliti kao zbroj članova čija vrijednost ovisi o njihovoj udaljenosti od decimalnog zareza. Sve znamenke množimo s nekom cijelom potencijom broja l O, koja

demonstrirati dokazati ili objasniti na primjeru. derivacija granična vrijednost omjera prirasta zavisne i nezavisne varijable kad oba prirasta teže k nuli, drugim riječima nagib krivulje u nekoj točki, ili koeficijent smjera pravca koji dira krivulju u toj točki (dakle njezine tangente). Ako imamo funkciju y = f(x), njezinu ćemo derivaciju pisati kao

f'(x) g~je su

=

dy, dx

dy i dx beskonačno malene promjene vrijednosti veličina

JI X. deseterokut geometrijski lik (~pol igon), mnogokut s deset stranica.

determinanta

22

determinanta kombinacija elemenata (članova) kvadratne c:>matricc. Npr. determinanra matrice s dva retka i dva stupca

(2. 2) dana je razlikom umnoiaka dijagonalnih članova.

~ ~J

=

1: ~ ~ =ad-bc

Determinanre nam služe prije svega u maničnom računu za rješavanje sustava više jednadžbi s više nepoznanica. devijacija ili odstupanje c:>srednja devijacija i c:>srandardna devijacija digitalni korijen zbroj znamenaka u nekom broju, u pravilu manji od l O. Ako je, naime, zbroj znamenaka nekoga broja veći od 10, postupak se ponavlja dok ne dobijemo broj manji od lO. Tako je primjerice digitalni korijen broja 365 jednak 5, jer 3 + 6 + 5 = 14, a l + 4 = 5. Digitalni je korijen zgodno sredstvo za nezavisno provjeravanje točnosti pri kompliciranim računanji­ ma. dijagonala dužina koja u mnogokuru spaja dva nesusjedna vrha. Neka su od svojstava dijagonala: (l) U pravokurnicima su obje dijagonale jednake. (To je svojstvo korisno pri provjeravanju pravokutnosti u stolarstvu i graditeljstvu.) (2) U rombu se dijagonale sijeku pod pravim kutom. (3) Kod paralelograma presjecište dijagonala dijeli obje dijagonale na dva jednaka dijela. dijagram raspršenja dijagram koji se izrađuje da bi se utvrdilo postoji li između dvije veličine nekakva veza ili c:>korelacija, primjerice između duljine života i nacionalnog proizvoda po glavi stanovnika u raznim zemljama. Svi se rezultati prikazuju kao točke u koordinatnom sustavu, a njihove koordinate odgovaraju vrijednostima dviju varijabli. Potom se taj skup točaka ispituje te se pokušava otkriti postoji li u njihovu rasporedu nekakav vidljivi red. Ako postoji, povlači se c:>pravac regresije, to jest pravac koji je blizu svim točkama koliko je to najviše moguće.

diskretne

23

veličine

dijagram raspršenja dijagram prikazuje uspjeh iz matematike i tjelesnu težinu 30 daka u nekom razredu ocjena iz matematike

X X X X X

X X

X

dijagram prikazuje visinu i težinu 30 učenika istog razreda tjelesna visina

pravac regresije

X X X X X X X X X xXX X X X X X X XX X

X

tjelesna težina

tjelesna težina dijag ram ukazuje da nema povezanosti između ocjena iz matematike i težine učenika

dijagram ukazuje na povezanost (pozitivnu korelaciju) izmedu tjelesne v isine i težine učenika

dijagram toka ili hodogram ili blok-shema; najčešće se primjenjuje u informatici, te označava koje sve radnje treba obaviti da

bi se riješio neki problem. Te se faze upisuju u okvire i povezuju strelicama koje pokazuju logiku i redoslijed obavljanja operacije. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. dijametar c:>promjer dijeljenje ili divizija jedna od četiri osnovne aritmetičke opera-

cije; operacija suprotna c:>množenju. dimenzija u geometriji, broj mjera potrebnih da bi se odredila veličina

nekog geometrijskog skupa. Zato smatramo da točka nema dimenziju, dužina ima samo jednu (duljinu), geometrijski lik dvije {duljinu i širinu), a geometrijsko tijelo tri {duljinu, širinu i visinu).

diskretne veličine veličine koje mogu poprimiti samo određe­

ne vrijednosti, nasuprot c:>konrinuiranim veličinama koje mogu poprimiti i svaku međuvrijednost. Tako je primjerice broj ljudi diskretna veličina, dok je masa svakoga od njih kontinuirana veličin a.

disperzija

dodekaedar

25

24

dijagram toka (hodogram)

Zakon distribucije olakšava nam množenje decimalnih brojeva, jer svaku znamenku množimo posebno, a rezultate zbrojimo:

dijagram toka pronalaženja kvadratnog korijena svakog broja n s točnošću od 0,01

7. 25 = 7. (20 + 5) = 140 + 35 = 175

postupak počinje grubom procjenom vrijednosti x kvadratnog korijena broja n (ako je, primjerice, n = 20, x=4 ili x=5}

25·7 ~ 35 175

Usporedi asocijativne i komutativne operacije. dividend djeljenik

korigiraj

na 2 đoci­

divizija dijeljenje

malna mjesta

divizor djelitelj djelitelj ili divizor broj kojim se dijeli. Primjerice u izrazu l OO : 25 = 4, djelitelj je 25. djeljenik ili divident broj koji dijelimo nekim drugim brojem. Primjerice u 20 : 4 = 5, djeljenik je 20. dodekaedar pravilno tijelo s 12 peterokutnih stranica i 20 vrhova. On je jedan od pet pravilnih poliedara ili Platonovih tijela.

disperzija varijanca distribucija ili raspodjela u statistici, zastupljenost. pojedinih frekvencija (učestalosti) u nekom skupu podataka. Cesto se taj izraz rabi za raspodjelu kumulativnih frekvencija.

dodekaedar

distributivna operacija operacija, npr. množenje, u odredenom odnosu prema drugoj operaciji (zbrajanju) pri čemu vrijedi:

a· (b+ e)= (a· b)+ (a·c) ili, za proizvoljno odabrane brojeve: 3 . (2 + 4) = (3. 2) + (3. 4) = 18 Kažemo da je množenje distributivno u odnosu prema zbrajanju. Zbrajanje, međutim, nije distributivno prema množenju jer 3 + (2. 4)

;t:

(3 + 2) . (3 + 4)

J

dokaz,

matematički

26

dodekaedar razvijeni plašt dodekaedra

E ekonometrija ekonomska disciplina koja se bavi matemati čkom i statističkom analizom ekonomskih podataka.

dokaz, matematički niz formalno logički besprijekornih koraka kojima sc od skupa aksioma (nedokazivih, dogovorno prihvaće­ nih osnovnih pretpostavki) dolazi do teorema. Da bismo, primjerice, dokazali da neki četverokut ima 4 prava kuta, moramo dokazati (l) da je zbroj svih kutova jednak 360°; (2) da su sva četiri kuta jednaka, te napokon (3) izračunati 360°/4 = 90°.

ekscentricitet u geometriji, svojstvo c:>konika (krug, elipsa, parabola, hiperbola). On se definira kao omjer udaljenosti neke točke na krivu!ji od zadane točke (fokusa ili žarišta) i zadanog pravca (direktrise) . Ta je vrijednost .za sve ročkc na nekoj konici jednaka. Ekscenrricitet kružnice jednak je nuli; kod elipse je manji od jedan; kod parabole jednak jedinici, a kod hiperbole veći od jedan. eksplicitni oblik jednadžba pisana tako da joj lijevu stranu čini varijabla koju tražimo. Tako je primjerice jednadžbom 3

V= 4r n

domena osnovni skup brojeva u kojemu neka funkci ja ima smisla. Ona ga preslikava u drugi skup podataka (c:>kodomenu). donja granica najniža vrijednost članova nekog skupa. dubina udaljenost od vrha do dna, odnosno prednje do stražnje površine. duljina udaljenost između dvije krajnje točke nekoga tijela. Duljina je osnovna dimenzija prostora. Jedinica za duljinu u SI sustavu je metar. duodecimalni sustav brojevni sustav s bazom 12. Nekad su ga smatrali boljim od dekadskog, jer mu se baza može podijeliti na 4 faktora (2, 3, 4 i 6), dok je l Od jelj ivo bez ostatka samo s 2 i 5. dužina dio pravca omeđen dvjema

točkama.

3 eksplicitno izražena veličina V, a za druge veli čine ona ima implicitan oblik. Jednadžba se ponekad može, a ponekad ne napisati u implicitnom obliku po nekoj varijabli. To se prevoobavlja sljedećim operacijama: (l) dodavanjem (ili oduzimanjem) objema stranama jednadžbe; (2) množenjem (ili dijeljenjem) obje strane jednadžbe; (3) potenciranjem (ili korjenovanjem) obje strane jednadžbe.

đenje

Pokušajmo primjerice gornju jednadžbu napisati eksplicitno po varijabli r. Najprije ćemo obje strane pomnožiti s 3 i rako dobiti

3V = 4r 3n Nakon roga ćemo obje strane podijeliti s 4n re dobiti

eksponencijalna funkcija

28

Nakon roga još moramo samo izvaditi treći korijen s obje strane, pa smo rako došli do našeg rezulrata

~=r eksponencijalna funkcija ~funkcija oblika y = aX, to jest funkcija u kojoj se varijabla nalazi u ~eksponentu. Eksponencijalnom se funkcijom opisuje npr. rast stanovništva i kamata na glavnicu. U eksponencijalnim se funkcijama kao baza često pojavljuje konstanta e= 2,71828 ... eksponencijalni način pisanja brojeva skraćeno pisanje brojeva u obliku višekrarnika neke porencije broja l O. Takav je način pisanja posebno prikladan za rad s vrlo velikim i vrlo malim brojevima, pa je postao standardnim načinom pisanja u znanosti i tehnici. Svaki se naime broj dade prikazati kao a . l on, gdje je a broj veći od I i manji od lO, a n pozitivni ili negativni cijeli broj. Eksponent n u ovom slučaju odreduje poziciju znamenke ispred sebe u decimalnom broju. Tako 3 950 000 pišemo kao 3,95 ·l 0 6, a 0,0000000034 kao 3,4 · l0-9• ]oš je jedna prednost takvog načina pisanja u tome što pišemo samo značajne

29

epicikloida

privremeno "uči" obavljanju pojedinih operacija. Elektronička računala barataju brojevima i drugim simbolima.

element član ~skupa. elipsa skup svih točaka s jednakim zbrojem udaljenosti od dvije zadane točke (fokusa). Elipsa ima dvije osi: velika os prolazi kroz fokuse, a mala os je okomita na nju i prolazi kroz središte, smješteno na pola puta između dva fokusa. Elipsa spada među ~konike. Nju prerezuje ploha koja stožac siječe tako da je kut između te ravnine i osi srošca veći od kuta između osi i izvodnice stošca. elipsa

~znamenke.

eksponent ~potencija ekstrapolacija nastavak neke krivulje. Ekstrapolacije obično radimo da bismo procijenili vrijednost neke funkcije izvan područ­ ja mjerenja. ekvilateralan ~jednakostraničan ekvivalentan ili jednakovrijedan, onaj koji je drukčiji, ali ima istu vrijednost. Tako su 3/5 i 6/10 ekvivalentni razlomci, jer je vrijednost i jednoga i drugoga 0,6. elektroničko računalo ili kompjutor elektronički stroj za primanje, obrađivanje, pohranjivanje i izdavanje podataka, a prema

promjenjivom programu - skupu naredbi kojim se kompjutor

envelopa ili ovojnica u geometriji, krivulja koja dotiče sve čla­ nove nekog skupa ili familije krivulja. Uzmimo kao primjer skup od tri jednake kružnice koje se međusobno dotiču i tvore lik nalik na list djeteline. Takva familija krivulja ima dvije envelope: jednu malu kružnicu koja se dade smjestiti u prostor između te tri kružnice, i jednu veliku koja ih sve obuhvaća. epicikloida u geometriji, krivulja nalik na kružnu arkadu {niz lukova). Ona crta put neke točke na maloj kružnici koja se kotrlja s unutrašnje strane druge kružnice. Ako obje kružnice imaju jednak promjer, dobivamo krivulju zvanu ~kardioida.

Eratostenovo sito

30

epicik/oida

F Fahrenheitova temperaturna ljestvica temperaturna ljesrvica koja se sve do 1970-ih i službeno primjenjivala u anglosaksonskim zemljama, nakon čega ju je istisnula ~Celsiusova ljesrvica, prihvaćena u ostatku svijeta. Fahrenheirovi i Celsiusovi stupnjevi preračunavaju se prema formuli

!.E_ op =.2_ 5 -~ oC Eratostenovo sito metoda pronalaženja ~prim-brojeva, to jest brojeva koji su djeljivi (bez ostatka) samo s I i samim sobom. Najprije ispi~emo niz cijelih brojeva od 2 pa naviše. Zatim krenemo od broja 2 i križamo svaki drugi broj (ali ne i 2), te tako uklonimo sve brojeve djeljive s 2. Zatim krenemo od sljedećeg neprekriženog broja 3 i križamo svalci treći broj (ali ne i sam 3). Taj postupak dalje ponavljamo koliko želimo puta s brojevima 5, 7, ll, 13 i tako dalje. Na kraju nam ostanu samo prim-brojevi. etalon ili mjerka ili standard osnovna mjera koja definira jedinicu i prema kojoj se prave sve druge mjere. Primjer je etalona prametar ili standardni metar, šipka od slitine platine i iridija, a koja se čuva u Međunarodnom uredu za mjere i utege u francuskom gradu Sevresu. On je vrijedio kao standard sve do 1960. kad je metar definiran pomoću valne duljine svjetlosti.

+

32

gdje je tc i tF temperatura izražena u stupnjevima Celsiusa odnosno Faluenheita. faktor (nekoga broja) broj kojim se zadani broj može podijeliti bez ostatka. Tako su primjerice faktori broja 64 brojevi l, 2, 4, 8, 16, 32 i 64. faktorijel pozitivan 'cijeli broj nastao množenjem nekog broja sa svim prethodnim pozitivnim cijelim brojevima. Označavamo ga simbolom "!". Primjerice, 6! = l· 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720. 6! izgovara se šest fakrorjel. Fakrorijel broja O po definiciji je jednak l. faktorizacija ili rastavljanje na faktore pisanje broja ili ~poli no ma (algebarskog izraza s više članova, u pravilu s varijablom dignutom na više potencija) kao umnoška nekoliko faktora. Tako su primjerice faktori polinoma x 2 + 3x + 2 polinomi x + l i x + 2, zato što vrijedi

x 2 + 3x + 2 = (x + I)(x + 2) S pomoć}! faktorizacija se rješavaju primjerice Qkvadrame jednadžbe. Zelimo li primjerice riješiti jednadžbu 2

x +

6x + 5 =O

njezinu lijevu stranu trebamo fakrorizirati u oblik (x + 5) (x + l)

=O

Fibonaccijev niz

32

funkcija

33

frekvencija

Odavde slijedi: X

+5=

o

ili

X

+ l = O,

pa su rješenja jednadžbe:

frekvencijskipofigon frekvencija

X=-5

X= -

l.

Fibonaccijev niz u svom najjednostavnijem obliku, niz brojeva u kojem je svaki sljedeći član jednak zbroju svoja dva prethodnika (l, l, 2, 3, 5, 8, 13 ...). Fibonaccijevi se brojevi odlikuju neobičnim svojstvima, te su našli primjenu u botanici, psihologiji i astronomiji. formula skup brojeva i simbola kojim izražavamo neko matematičko pravilo. 'Thko je formula P = r 2n matematički izraz s pomoću kojeg izračunavamo površinu kruga. fraktal geometrijski pojam s necijelim brojem dimenzija. Nešto "između" npr. jednodimenzionalne dužine i dvodimenzionalne ravnine. Fraktali se odlikuju prije svega velikom (aJi pravilnom) razvedenošću, pa se primjenjuju u računalnoj grafici, te za modeliranje geoloških i bioloških procesa, primjerice nastanka obale, grananja biljke itd. frekvencija ili učestalost broj ponavljanja nekog, osobito slučajnog događaja. Bacamo li, primjerice, dvije kocke i napravimo li zbroj rezultata, svim će brojevima od 2 do 12 biti svojstvena neka učestalost pojavljivanja. Skup svih frekvencija zovemo frekvencijskom raspodjelom ili distribucijom. Nju ob ično prikazujemo tablično, ili u obliku frekvencijskog poligona ili pak c:>histograma. Vidi sliku na sljedećoj stranici. funkcija pravilo kojim se svakom elementu u jednom skupu (c:>domeni) pridružuje neki drugi element (njegovu sliku) u drugom skupu (c:>kodomeni). Tako primjerice funkcija fix)= x + 3 svakom broju x pridružuje broj od njega veći za 3:

/(4) = 7 /(-6) = -3 Složena funkcija je sastavljena od dviju ili vi~e jednostavnih funkcija. Tako na primjer, da bismo izračunali vrijednost složene

150 140 130 120

~

rJ.

.J.

rf

110 100 90 80

r)

70

60 50 40 30 20

~ /

~

fre_ kvencijski poligon

~

rl ~

~ ~

10 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 rezultat frekvencija rezultata nakon 1000 bacanja 2 kocke

funkcije gof(x), nastale udruživanjem funkcijaf(x) = 4x i g(x) = x- 3 govori da najprije trebamo i zračunati funkciju j(x), pa njezin rezultat uvrstiti u funkciju g(x). gof(x) = g(/(x)) = g(4x) = 4x- 3

go/(2) = 5 Funkcije nalazimo u svim granama matematike, fizike i opće­ nito, skoro u svim prirodoznanstvenim disciplinama. Tako nam primjerice formula t =2n ffg govori da je u slučaju jednostavnog njihala titrajni period (vrijeme jednog njihaja) funkcija samo njegove duljine L (jer su i n i g, gdje je g akceleracija gravitacije, e:>konstante). lnverzna funkcija svakom elementu u kodomeni pridružuje određeni element u domeni. Tako je primjerice funkcija f" 1(x) = (x - 1)/2 inverzna funkcija odf(x) = 2x + l (i obratno). Stoga vrijedi: /(2) = 5 f'(5) = 2

funta

34

funkcija dijagram funkcije koji prikazuje pridrui ivanje elemenata iz kodomene svakom elementu domene funkcije f

/

.......

-- - .... .... - .. - ... .... - ..

'

- .....

--

/ domena

f

-....

/

-

-

-- --

--

.... '

-

G galon anglosaksonska mjerna jedinica za obujam. Engleski (imperijalni) galon ima 4,546litara, a američki 3,785. Galon se dijeli na četir i kvarte i osam pinti. generalizacija ili poopćavanje stvaranje p ravila na temelju većeg broja slučajeva. Tako se primjerice računanja 3+5= 5+ 3

i 1,5 + 2,7 = 2,7 + 1,5 dadu generalizirati u pravilo a+b =b+a

_/

kodom ena

funta anglosaksonska mjera za težinu (simbol lb), jednaka 454 grama. Dijeli se na 16 unci (oz). 14 fun ti daje l stone, 112 funti čin i l hundredweight (cwt), a 2240 funti jednu britansku tonu.

koje vrijedi za bilo koje brojeve a i b.

generiranje stvaranje niza brojeva, točaka i sl. iz njihova među­ sobnog odnosa ili mjesta nekoga broja u nizu. Tako primjerice opće pravilo un•l = 2un generira niz l , 2, 4 , 8 ... ,dok pravilo a = n(n + l) generira niz brojeva 2, 6, 12, 20 ... generiranje generiranje stoica rotiranjem pravca oko osi koju siječe generirajući

p ravac

os

stožac je skup svih točaka kojima prolazi generirajući pravac

geografska duljina i širina

36

U geometriji se likovi mogu generirati gibanjem točke, a tijela gibanjem krivulja. Tako se primjerice uspravni stožac stvara rotiranjem pravca, učvršćene za jednu točku osi, oko iste te osi. Kružnicu možemo generirati točkom koja slijedi put oko središta. geografska duljina i širina ~zemljopisna duljina i širina geometrija grana matematike koja se bavi svojstvima prostora, odnosno, u posebnom slučaju, ravnine, kao njegova dijela, te likovima u ravnini i tijelima u prostoru. U ~analiti čko) geometriji, geometrijski se pojmovi dadu izraziti algebarskim izrazima. geometrijska sredina ili geometrijski prosjek n-ti korijen umnoška n pozitivnih brojeva. Tako je geometrijska sredina m brojeva p i q dana izrazom m = Stoga je geometrijska sredina primjerice brojeva 2 i 8 jednaka:

..JN.

-/W = -.fl6 = 4

Geometrijska je sredina uvijek manja od ~aritmetičke. To možemo dokazati za svaka dva pozitivna broja. Treba dokazati nejednakost

Ovo je redom ekvivalentno s

b 4W > _a

(a+

(a + b) 2 - 4ab ?. O (a- b) 2 ?. O što je uvijek istina, pa je time dokazana naša početna nejednakost. geometrijska transformacija funkcija koja neki geometrijski lik ili tijelo preslikava u neki drugi lik ili tijelo ne mijenjajući mu oblik nego samo položaj, orijentaciju ili veličinu. Glavne su geometrijske transformacije ~osna simetrija, ~rotacija, ~pove­ ćanje i ~translacija.

37

gradijent ili koeficijent smjera

geometrijski lik dvodimenzijska geometrijska tvorevina omeđena dužinama krivuljama. On ima samo dvije dimenzije,

duljinu i visinu, ali ne i dubinu. Od geometrijskih likova spomenimo ~poligone. geometrijski niz niz brojeva (članova) u kojem svaki sljedeći član nastaje množenjem prethodnoga nekom konstantom. Tako je primjerice niz brojeva 3, 12, 48, 192, 768, ... geometrijski, zato što dijeljenjem dva susjedna člana uvijek dobijemo broj 4. Usporedi ~aritmetički niz.

U prirodi se mnogi jednostanični ogranizmi razmnožavaju dijeljenjem, tako da iz jedne stanice nastanu 2, pa 4, pa 8 itd. stanica, pa znači da razmnožavanje teče po geometrijskoj progresiji l, 2, 4, 8, 16, 32, ... u kojoj je kvocijent progesije jednak 2. geometrijsko tijelo geometrijska tvorevina u prostoru, omeđe­ na plohama. glavni brojevi brojevi koji odgovaraju na pitanje "Koliko?". Pišemo ih bez točke kao O, l, 2, 3 itd. Njima su suprotni redni brojevi, koje pišemo s točkom (l., 2., 3. itd.), a odgovaraju na pitanje "Koji po redu?". I glavni i redni brojevi članovi su skupa ~ci­ jelih brojeva. godina vremenska jedinica, trajanje jednog okreta Zemlje oko Sunca. gornja granica vrijednost koja nije manja od ijedne vrijednosti u nekom skupu, to jest od svake je vrijednosti veća ili joj je jednaka. gradijent ili koeficijent smjera na grafikonu, nagib pravca ili (nekog ~infmitezimalno sitnog) djelića zakrivljene krivulje. Gradijent je u svakoj točki neke krivulje dan gradijentom ~rangente u toj točki.

Gradijent označava brzinu promjene neke veličine; tako primjerice u slučaju ~grafikona prevaljenog puta daje brzinu gibanja (omjer put/vrijeme).

grafičke metode

38

grafičke

gradijent

grafikon prevaljenog puta

39 metode

gradijent krivulje B l l

y

l

l l

l

___! ____________IJl e

A

gradijent AB

-

=

lac-i lACI

vertikalna udaljenost horizontalna udaljenost X

=tgelipsu, .::>parabolu, .::>hiperbolu. Te krivulje dobivamo presijecanjem plašta stošca (konusa) ravninom pod različitim kutovima, pa ih stoga zovemo konikama. krivulja normalne raspodjele (distribucije) lako prepoznatljiva zvonolika krivulja. Ona prikazuje sasvim slučajnu raspodjelu vrijednosti velikog broja elemenata oko neke središnje vrijednosti. krivulja normalne raspodjele

65

kružni dijagram

krnja tijela tijela nastala odrezivanjem ravninom okomitom na os simetrije, vrha nekog geometrijskog tijela. Njihov se obujam dobiva oduzimanjem obujma odrezanog od obujma početnog tijela. krug dio ravnine omeđen c::>kružnicom. kružnica skup svih točaka jednako udaljenih od zajedničkog središta; savršeno okrugla krivulja. Crta se jednim potpunim okretom šestara. Udaljenost kružnice (to jest svake njezine točke) od centra ili središta zovemo radiusom ili polumjerom. Ravnu crtu koja spaja dvije točke na kružnici i prolazi kroz njezino središte zovemo dijametrom ili promjerom. Njegova duljina iznosi dva radi usa. Tetive su dužine koje spajaju dvije točke na kružnici, promjer je poseban slučaj tetive. Luk je dio kružnice između dvije točke na njoj. Tangente su pravci koji dotiču kružnicu u jednoj točki. Krug je dio ravnine omeđen kružnicom. Kružni isječak je dio ravnine omeđen dvama radiusima i lukom između njih. Kružni odsječak je dio ravnine omeđen tetivom i pripadajućim lukom. Opseg kruga je duljina najvećeg mogućeg luka, to jest duljina kružnice. Omjer izmedu opsega i dijametra za sve je krugove isti, a dan je .::>iracionalnim brojem 1t (pi), s približnom vrijednošću 3,141 6, pa je opseg kruga jednak O= 1td ili O = 2r1t, gdje su d ir promjer, odnosno radius kruga. Isti broj određuje i površinu kruga, koja iznosi P = r 2 1t. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. kružni dijagram jedan od mogućih grafičkih prikaza statističkih podataka. Polazi se od kruga koji se zatim (kao torta) dijeli na kriške (isječke) čija ploština odgovara udjelu nekog dijela u cjelini. Njegovu primjenu i izradu promotrimo na primjeru nekog mjerenja prometa. Postupak ide ovim slijedom:

(l) Svaki udjel pretvorimo u postotak. (2) Budući da l OO% čini puni krug (360°), l o/o iznosi 3,6°. Stoga postotke iz (l) množimo s 3,6. (3) Tako dobivene kutove za pojedine udjele s pomoću kutom jera ucrtamo u krug.

krug i kružnica

66

kubiranje

67

Taj se shematski prikaz može učiniti preglednijim sjenčanjem, šrafiranjem i - ako je moguće - bojanjem. Na kraju mu, dakako, moramo dodati i legendu.

krug i kružnica

kružni isječak ili sektor dio kruga zatvoren dvama radiusima i lukom koji ih spaja. kružni odsj ečak ili segment dio kruga odsječen ravnom crtom ili .::>tetivom, to jest dužinom koja spaja dvije točke na kružnici. Svi trokuti kojima je jedna stranica ta tetiva, a treći vrh leži na odgovarajućem luku kružnice, pri tom trećem vrhu imaju isti kut. kružni odsječak kutovi u kružnom

odsječku

''

........ ...........

veliki luk

kružni dijagram osobni

praCenje prometa po vrstama vozila - broj vozila prošlih za pt:t minuttJ

automobili 64,3%

vrsta vozil~

broj vozila

osobni automobili 18

kutna vetičina isječa ka

postotak

18/28 . 100=64,3%

64,3% ·

3,6 •23 1~

autobusi

2128·100= 7,1%

7,1%· 3,6• 26°

kamioni

1/28 · 100= 3,6%

3,6%. 3,6= 13°

kombiji

4/28 o 100= 14,3%

14,3% · 3.6= 51°

3

31'28. 100= 10,7%

10,7%. 3,6= 391)

28

100%

360°

bicikli ukupno

_ _ -"""* /

/

/

u=P =r=6

obodni kutovi nad tetivom su jednaki

kružni vijenac dio ravnine omeđen dvjema koncentričnim kružni cama. kub broj nastao c:>kubiranjem nekog broja. Tako su brojevi l, 8, 27 i 64 ku bovi brojeva l, 2, 3 i 4.

bicikli 10.7%

kamioni 3,6%

kubiranje računska operacija u kojoj se neki broj triput množi sam sa sobom. Tako kubiranje broja 5 možemo napisati kao:

53 = 5 · 5 · 5 = I 25

kubna jednadžba

68

kubna jednadžba jednadžba trećeg stupnja, jednadžba u kojoj je najviša potencija varijable kub. kubni (prostorni) metar metrička jedinica za volumen (obujam). Odgovara obujmu kocke s bridovima od l m. Manje su mjere kubni centimetar, kubni decimetar(= litra, l) itd., izvedene na sličan način iz centimetra, decimetra itd. kugla savršeno okruglo tijelo, to jest tijelo kojemu su sve točke površine jednako udaljene od središta. Tu udaljenost zovemo radiusom kugle. Ako je taj radius r, obujam kugle dan je izrazom

kutna minuta i sekunda

69

imaju točno 90°, .::>tupi kutovi su veći od 90° ali manji od 180°, dok su e:> izbočeni kutovi veći od 180° i manji od 360°. Kutove mjerimo primjerice c:>kutomjerom. Kut od 360° je takozvani puni kut, a kut od 180° zovemo

ispruženim kutom. kut 90'

l

~

V =_i_ r31t a njezino oplošje sa

3

90'

S= 4 r2 1t kumulativna frekvencija (učestalost) u statistici: za bilo koju odabranu vrijednost u nekom skupu podataka to je zbroj učestalosti svih članova skupa manjih ili jednakih odabranoj vrijednosti. Prikažemo li kumulativnu frekvenciju grafički, dobivamo posebnu krivulju, raspodjelnu ili distribucijsku krivulju.

90'

90'

l l l l

l l l l

kumulativna frekvencija 180' -

grafikon prikazuje kumulativnu (ukupnu) prodaju novih automobl'la kroz godmu

šiljasti kut

pravi kut

-

_\i\.lL.....!...---tupi kut

••-

~'-če_n_i

k-u-t-

-

ukupan broj prodanih automobila

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

mjeseci u godini

kut dio ravnine omeđen dvjema zrakama (polupravcima) koje polaze iz iste točke. Kutove izražavamo .::>stupnjevima (0 ) ili c:>radijanima, a dijelimo ih najčešće prema dijelu ravnine koji zauzimaju. Tako su e:>šiljasti kutovi manji od 90°, .::>pravi kutovi

kut e levacije kutna udaljenost od horizonta. Tako je primjerice elevacija Sunca u zoru jednaka nuli, pa se polako penje do podnevnog maksimuma da bi do zalaska opet pala na nulu. S pomoću podnevne elevacije pomorci izračunavaju zemljopisnu širinu. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. kutna minuta i sekunda malene jedinice za precizno izražavanje kutova. Kuma minuta (simbol ') šezdeseti je dio kumog stupnja (simbol 0 ), a kuma sekunda (simbol") šezdeseti dio kutne minute.

kutomjer

70

kut e/evacije

kvadratna jednadžba

71

kvadrant dio ravnine omeđen pravim kutom. Kod grafičkog prikazivanja, kvadrant je omeđen osima ~Kartezijeva koordinatnog sustava. U prvom su kvadrantu vrijednosti obje koordinate (x i y) pozitivne, dok su u trećem obje negativne. U drugom je x negativan ay pozitivan, dok je u četvrtom obrnuto.

kut elevacije

kvadrant kvadranti u koordinatnom sustovu

y

drugi kvadrant

x negativan, y

kutomjer jednostavan uređaj za mjerenje kutova u ravnini; polukrug koji na obodu ima urezanu ljestvicu sa stupnjevima. Pomoćni pribor u tehničkom crtanju.

pozitivan

------------~--------~x treći

kvadrant

x i y negativni

kutomjer

kut koji mjerimo

prvi kvadrant

x i y pozitivni

četvrti

kvadrant x pozitivan i y negativan

kvadrat geometrijski lik, četverokut s četi ri jednake stranice i četiri jednaka kuta, pravokutnik jednakih stranica. Njegove se dijagonale sijeku pod pravim kutom, a njihovo ih sjeci~te prepolavlja. Ako je a duljina stranice, njegova je ploština P dana izrazom P= a -a = a 2

kutomjer

kvadratna jednadžba polinomna jednadžba drugog stupnja, to jest takva u kojoj je najviša potencija nezavisne varijable 2. Opći je oblik takve jednadžbe ax 2 + bx +e=

mjereni kut iznosi 54•

kvadar geometrijsko tijelo sa šest pravokutnih strana. Takvo tijelo zovemo i četverostranom prizmom ili paralelepipedom. Građevinska opeka ima oblik kvadra.

O

U njoj su koeficijenti a, b i e realni brojevi, s time da je a različit od nule. U ~analitičkoj geometriji kvadratna se jednadžba prikazuje ~parabolom. Rješenja jednadžbe su točke u kojoj ta parabola siječe os x. Neke se kvadratne jednadžbe dadu riješiti ~faktorizacijom . Sličnim se postupkom došlo i do opće formule koja daje rješenje kvadratne jednadžbe:

kvadratni korijen X=

kvocijent

73

72

Algebarski se izrazi kvadriraju tako da im se eksponent podvo-

-b± ...Jb 2 - 4ac

struči a koeficijent kvadrira

2a

(x2)2 = x4

Ovisno o vrijednosti diskriminante, to jest izraza

b2 - 4ac

(6/) 2 = 36l

kvadratna jednadžba može imati dva različita realna korijena, dva jednaka realna korijena ili dva kompleksna korijena (rješenja). Kad vrijedi

Broj kojemu je ~kvadratni korijen cijeli broj zovemo potpunim kvadratorn. Takvi su primjerice 25, 144 i 54 756 (jer su im korijeni 5, 12, odnosno 234). Kvadrat binoma (dvočlanog izraza) može se razviti kao

b2 - 4ac >O

(a+ b)2 = a 2 + b 2 + 2ab (a - W=a 2 +b 2 - 2ab

dobivamo dva različita, realna korijena. Kad vrijedi

b2 - 4ac =O

Važna je i faktorizacija razlike kvadrata

dobivamo dva jednaka realna korijena. Napokon, kad je

x2- y 2 = (x - y)(x + y)

b2 - 4ac etalon mješoviti razlomak razlomak koji pišemo kao kombinaciju cijelog broja i pravog razlomka (manjeg od 1). Kao primjer navedimo 3 Y:z (tri i jedna polovina), što se kao nepravi razlomak piše 712. Pri računanju, najprije računamo s cijelim a potom i s razlomljenim dijelom, pa rezultate zbrojimo. Ponekad uporaba mješovitih razlomaka dovodi do zabune, pa je bolje služiti se nepravim razlomcima. mnogokut r::>poligon množenje jedna od četiri osnovne računske (aritmetičke) operacije. Obično ga pišemo kao a · b, a x b ili ab. Množenje se dade svesti na zbrajanje. Tako nam ab zapravo govori da broj a trebamo b puta pribrojiti samome sebi. Množenje je r::>komutativno,

Miibiusova vrpca

82

~asocijativno i ~distributivno u odnosu na zbrajanje, a svi brojevi (osim O) u množenju imaju svoj inverzni element. Broj l je ~neutralni element za množenje.

Mobiusova vrpca geometrijska ploha s jednim bridom i jednom stranom. To je zapravo plosnata vrpca spojena u petlju, ali joj je kraj pri spajanju izvrnut, kao kad primjerice, zabunom pri zakapčanju izvrnemo kraj remena. Kad takvu vrpcu presiječemo uzduž, nećemo dobiti dvije petlje, nego opet samo jednu, dvaput dužu. U tehnici se u Mobiusovu traku često spaja prijenosno remenje. Tako se ono troši s obje, a ne samo s jedne strane, što mu povećava trajnost. mod najčešći element neke grupe. Tako je, primjerice, mod grupe O, O, 9, 9, 9, 12, 87, 87 njezin element 9. Treba napomenuti da nemaju svi skupovi mod. Modovi se primjenjuju, primjerice, kod oglašavanja. Ako istraživanja pokazuju da je modalna starost kupaca strojeva za rublje 25-30 godina, onda će se na reklamama pojavljivati ljudi baš te dobi. modul drugi naziv za ~apso lutnu vrijednost. mreža dva skupa obično paralelnih crta koje se sijeku pod nekim kutom. U pravokutne mreže ucrravamo grafove. lzometrijska mreža služi za dvodimenzionalno prikazivanje tijela, i to tako da duljine na grafikonu odgovaraju duljinama na tijelu. mreža sustav ~čvorova (spojeva) i ~l ukova (Rutova) kojima reku dobra, usluge, ljudi, novac ili informacije. Često ih nalazimo na topološkim kartama. mreža

N nagib isto što i ~gradij ent. najmanji zajednički nazivnik broj na koji se mogu svesti svi nazivnici zadanog niza razlomaka. ~jednički nazivnik najmanji zajednički višekratnik najmanji broj koji je ~za­ jednički višekrarnik svih brojeva u promatranom skupu.

Dobivamo ga rako da sve brojeve, elemente skupa, najprije prikažemo u obliku umnoška ~prim-brojeva te odredimo najmanji umnožak prim-brojeva koji je djeljiv svakim od promatranih brojeva. Za primjer uzmimo skup brojeva 6, 8 i 15. Tada je

6 = 2·3 8= 2·2·2 15 = 3. 5 Stoga je 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5, najmanji zajednički višekracnik brojeva 6, 8 i 15. na~_veći zajednički faktor u nekom skupu brojeva, najveći broj kOJI sve članove rog skupa dijeli bez ostatka. Tako je primjerice najveći zajednički faktor skupa brojeva 36, 48 i 72 broj 12. nasuprotna stranica, u trokutu, stranica što leži sučelice nekom kutu; stranica koja nije krak promatranoga kura. nazivnik u razlomku, broj ispod razlomačke crte. Tako ga zovemo zato što razlomak nazivamo po njemu (trećina, četvrtina itd.). Broj iznad razlomačke crte zovemo ~brojnikom. negativan smjer zakreta smjer jednak smjeru kruženja kazaljki na uri. negativni broj svaki ~realni broj manji od O. Raču nanj e s njima slično je računanju s ~pozitiynim brojevima. Umnožak dva negativna broja je pozitivan broj. Svaki pozitivni broj ima

nejednakost

84

suprotni broj među negativnim brojevima, a rezultat je njihova zbrajanja jednak nuli.

niz ili progresija

85 nesimetrična

na grafikonu su prikazane frekvencije raznih tjednih plaća

srednja ~rijednost

raspodjela broj radnika

nejednakost tvrdnja da je neka veličina veća ili manja od druge, a pišemo je s pomoću simbola > ("veće od") i < ("manje od"). Nejednadžbe rješavamo tako da otkrijemo skup brojeva koji ih zadovoljavaju. Tako je primjerice rješenje nejednadžbe

raspodjela je nesimetrična u odnosu na srednju vrijednost

2x+5 i < izvodimo i simbole ;?: (veće ili jednako) i ::;; (manje ili jednako) kao u primjeru

x 2 ;?: 9

49 = 72 = l + 3 + 5 + 7 + 9 + ll + 13

nepravi razlomak razlomak kojemu je brojnik veći od nazivnika. nesimetrična raspodjela u statistici, raspodjela u kojoj frekvencije nisu simetrično raspoređene oko srednje vrijednosti. Tako, primjerice, male plaće zarađuju mnogi ljudi, dok je onih s velikima malo. Velike plaće, međutim, pomiču srednju vrijednost na svoju stranu, tako da se plaće čine boljima nego što stvarno jesu. Vidi prikaz na sljedećoj stranici.

neutralni element broj koji pri nekoj operaciji ostavlja druge brojeve nepromijenjenim. Takva je operacija primjerice pribrajanje nule ili množenje jedinicom: 7+ 0=7

7 ·l= 7 Lako je d okazati da u svakoj računskoj operaciji postoji samo jedan neutralni element. Pretpostavimo da u zbrajanju postoje dva različita neutralna elementa, j i i.

30

40

50

60

70

tjedne plaće u funtama

Tada vrijedi

U tom slučaju x mora biti 3 ili veći od 3, ili -3 ili manji od -3. neparnost svojstvo broja da je nedjeljiv (bez ostatka) s 2. Stoga neparni brojevi tvore niz l, 3, 5, 7, ... Svaki n 2, kvadrat broja n, možemo dobiti kao zbroj prvih n neparnih brojeva, npr.:

20

i+ j

=i

zato što je j neutralni element, ali vrijedi i t+ J

=J

iz čega slijedi l=]

što proturječi polaznoj pretpostavci. Sličan se dokaz može izvesti i za neutralni element u slučaju množenja.

nezavisna varijabla varijabla čija vrijednost ne ovisi o vrijednosti nijedne druge varijable. Ona se obično označava simbolom x, dok zavisnu varijablu označavamo simbolom y. Tipična je nezavisna varijabla vrijeme. ništica ~nula niz ili progresija u matematici, uređeni skup brojeva u kojem svaki prema svom prerhodniku stoji u nekom poznatom i nepromjenjivom odnosu. Tako je primjerice ~aritmetički niz određen nepromjenjivom razlikom vrijednosti između članova i njihovih prethodnika, kao primjerice u nizu 2, 4, 6, 8 - u kojem je razlika 2. Kod ~geometrijskog niza među članovima postoji stalan omjer, to jest svaki se sljedeći član dobiva množenjem prethodnog člana nekim nepromjenjivim brojem. Tako je u nizu 3, 6, 12, 24 svaki sljedeći član dva puta veći od prethodnog. Harmonijski niz

normalan

je niz razlomaka u kojem nazivnici tvore jerice l, 1/2, 1/3, 114.

86 aritmetički

niz, prim-

normalan .::>okomit normalna raspodjela .::>krivulja normalne raspodjele

o

nula ili ništica broj (označen znamenkom O) koji dobivamo kad

obrazac karakterističan raspored likova ili brojeva.

neki broj oduzmemo od samoga sebe, odnosno kad zbrojimo dva broja iste apsolutne vrijednosti, ali obrnutog predznaka (+ odnosno - ). Nulu napokon možemo defini rati i kao broj koji, pribrojen bilo kojem broju, ne mijenja njegovu vrijednost, odnosno kao broj koji pomnoien bilo kojim brojem ostaje nepromijenjen.

obujam .::>volumen očekivanje u statistici, najvjerojatnija, očekivana vrijednost neke sl učajne varijable, npr. rezultata fizikalnog mjerenja.

odnos .::>relacija odsječak dužina što je na nekom pravcu odsijecaju dva pravca ili jedan pravac i jedna krivulja. odsječci krivulje y

·u;

.....o

>devijacija oduzimanje izuzimanje, odvajanje jednog skupa iz drugog, smanjivanje nekog skupa za drugi skup. Oduzimanje je jedna od četiri osnovne aritmetičke (računske) operacije. Oduzimanje nije c:>komutativno jer

a- b -:t b- a a niti je .::>asocijativno jer a - (b- e) -:t (a - b) - e

okomica ili n ormala

89

88

oplošje

oktaedar

Primjerice

8 - 5;t:5-8 7- (4- 3) ;t: (7- 4)- 3 okomica ili normala pravac ili dio pravca okomit na neku krivulju ili plohu, to jest pravac (ili dio pravca) koji s njenom ~tan­ gen tom zatvara pravi kut (90°). U svakodnevnom živo tu okomicu na tlo, tj. vertikalu određuje mo s pomoću viska, jer sila teže djeluje pod pravim k utom na vodoravn u ravninu.

svaka je od osam strana oktaedra jed· nakostranični trokut

okomica (normala J p

oktogon ~osmerokut omjer odnos dvaju iznosa; jedan iznos izražen kao dio drugog. Tako je primjerice omjer samoglasnika prema suglasnicima u hrvatskoj abecedi 5 : 25, a omjer širine i visine kvadrata l : l. B

operacija (matem at ička ) kombiniranje veliči na, brojeva, matrica i(ili) vektora kojim nastaju druge veliči ne. Osnovne su aritmetičke operacije zbrajanje, od uzimanje, množenje i dijeljenje. S matricama možemo izvršiti sve operacije kao i brojevima, ali zato vektore možemo množiti na dva načina. Jedan je od njih ~vektorsko, a drugi ~skalarno množenje. Kod skalarnog množenja rezultat je čisti broj lišen smjera (skalar). Rezultat vektorskog množenja je opet vektor, i to okomit na ravninu u kojoj leže dva vektora koji se množe.

A PQ je okomit na AB

okomit ili normalan postavljen prema nečemu pod pravim kutom (90°). Tako primjerice pravci u prostoru koji ne leže u istoj ravnini, te se ne sijeku, imaju jedn u zajedničku okomicu, i to baš u točkama u kojima se jedan drugom najviše p ri miču. o ktaedar, pravilni pravilno geometrijsko tijelo s osam iden tič­ nih strana, jednakostraničnih trokuta. Oktaedar je jedan od pet pravilnih poliedara ili Platonovih tijela. U središtima strana nalaze se vrhovi kocke, dok možemo gledati i obratno, da se vrhovi pravilnog oktaedra nalaze u sred ištima strana opisane kocke. Zbog toga kocku i oktaedar smatramo dualnim tijelima.

l

o pisana kruž nica kružnica koja prolazi kroz sve vrhove mnogokuta (poligona). N ije moguće opisati kr užnicu oko svakog mnogokuta, ali ju je moguće opisati oko svih pravilnih mnogokuta, kao i oko svih trokuta. O d četverokuta kružnicu je m oguće opisati samo onima kojima zbroj nasuprotnih kutova iznosi 180°. oplošje zbroj ploština svih stranica geometrijskoga tijela; njegova ukupna ploština.

opseg

90

oplošje

osna simetrija ili zrcaljenje

91 opseg

32mm

oplošja nekih poznatijih geometrijskih tijefa

._________.l f·· oplo!je kocke (svo strane jednake) O = 6 pl~tina strano

o= Sa'

oplo!je paralelepipeda (kvadra) (identične sve: nasuprotne strane) O • dvije plo!tine teone sttanice + dvije plo!ti ne baze + dvije ploštine bočne strane

O • 2ab + 2ac + 2bc

/j~·

opseg ovog pravokutnika iznosi 32 + 15 + 32 + 15 =94 mm

ordinata u c:>analitičkoj geometriji koordinata y neke točke, drugim riječima, najmanja udaljenost od osi x. Tako je primjerice ordinata točke (3,4) jednaka 4. Prva koordinata neke točke x zove se c:>apscisa. ordinata

y

4 oplošje valjka O = p loština plašta + dvije ploštine baze O = 2n • (radius baze • visina} + 2n (radius baze)' O 2nrh + 2nr' O= 2nr (h+ r)

=

oplošje stošca O • ploština plašta + ploština baze O • n (radius baze • visina plašta) + n (radius baze)' O • nrl + :u1 O .. nr (l + r)

3

• (5,3)

2

l l ordin ata 2

oplošje kugle

O = 4n radius 2 O a. 4nr2

opseg duljina krivulje koja prolazi kroz sve točke koje omeđuju neki lik; u kupna duljina svih stranica nekog geometrijskog lika. Tako opseg pravokutnika dobivamo zbrajanjem sve četiri njegove stranice, a opseg kruga množenjem njegova promjera s konstantom rr. Vidi p rikaz na sljedećoj stranici. orbita, putanja ili staza kojom se neka točka giba. Taj se pojam najčešće primjenjuje u astronomiji pri opisivanju puta nebeskih tijela.

3

4

5

X

orijentacija vektora njegov smjer. Vektori suprotnog smjera a jednakog iznosa međusobno se poništavaju. ortodroma velika kružnica osi u matematici često isto što i koordinatne osi. Postoje osim toga i rotacijske osi (pravac oko kojeg neko tijelo ili lik rotira} kao i osi simetrije. Ako geometrijski lik ili tijelo zarotiramo oko njegove osi simetrije za izvjestan kut, njegov se izgled neće p romijeniti: primjerice zakrenemo li krug za bilo koji kut. osmerokut poligon (mnogokut) s osam stranica, oktogon. osna simetrija ili zrcaljenje .::>transformacija koja neki lik pretvara u njegovu zrcalnu sliku, to jest transformacija koja ga oko neke osi u ravnini zakreće za 180° (izvan te ravnine}. Tu os zovemo os

ostatak

92

simetrije. Postavimo li dvije takve osi okomito jednu na drugu, rezultat će biti isti kao pri .::>rotaciji za 180° oko sjecišta dviju osi. Zrcaljenje je moguće i u prostoru. U tom slučaju mjesto osi simetrije preuzima ravnina simetrije. U tom su slučaju točka predn:era i pridružena točka njegove slike jednako udaljene od te ravmne. osna simetrija

p g--·"'· X

zrcalna

y osna simetrija znaka P s obzirom na os XY je os simetrije između P i njegove slike prva os

druga os

zrcaljenje na dvije paralelne osi dovodi do translacije - lijevi se P pomakao sasvim desno, ne pretrpjevši pritom nikakve promjene oblika, veličine ili orijentacije

prva os

druga os

zrcaljenje lika P na dvije međusob· no okomite osi dovodi do rotacije za 1so• oko njihova sjecišta

ostatak pri dijeljenju dva cijela broja, najmanji broj koji bismo

morali oduzeti od djeljenika (dividenda) da bi rezultat dijeljenja bio cijeli broj. Tako ako broj l l podijelimo brojem 3, ostatak je 2, jer je 9 (= ll - 2) djeljiv s 3. Gdjekad govorimo i o decimalnom ostatku, pa u gornjem slučaju (l I : 3 = 3,6666...) decimalni ostatak iznosi 0,6666... Decimalni ostatci mogu biti konačni (primjerice O, I 25), ili periodički (0,6666... ili 0,37373737...). U drugom slučaju ostatak ima beskonačan broj decimala, ali su nam one - zbog pravilnosti ponavljanja- sve poznate, makar ih i ne možemo sve ispisati (osim simbolički) . ovalan jajolik, sličan c:>elipsi. ovojnica c:>envelopa

p palac (inch} anglosaksonska mjera za duljinu, 2,54 cm. parabola jedna od e:> konika, krivulja koja nastaje presijecanjem

uspravnog kružnog stošca ravninom paralelnom s jednom od njegovih izvodnica. Primjer je parabole grafički prikaz funkcijey =xl u Kartezijevu sustavu. Parabolu je moguće definirati i kao skup svih točaka jednako udaljenih od neke nepomične točke (fokusa ili žarišta) i nepomičnog pravca (direktrise). Parabolična zrcala (sa zrcalnom plohom nastalom rotiranjem parabole oko vlastite osi) mnogo se primjenjuju u optici, jer se zrake, koje na tako oblikovano zrcalo padaju paralelno s njegovom osi, koncentriraju u njegovu žarištu. Vrijedi i obratno: toč­ kasti svjetlosni izvor u njegovu fokusu baca uzak, paralelan snop. Prvo se svojstvo primjenjuje pri izradi teleskopa, a drugo u reflektorima. parabola

paralelni pravci i paralelne ravnine

94

paralelni pravci i paralelne ravnine usporedni pravci i ravnine, koji se pružaju jedno uz drugo na određenoj udaljenosti. paralelogram četverokut (geometrijski lik s četiri stranice) kod kojeg su nasuprotne stranice jednako duge i usporedne, a nasuprotni kutovi jednaki. Dijagonale paralelograma uzajamno se prepolavljaju. Ploština mu je jednaka umn o~ku jedne stranice i visine na tu stranicu. Kad su sve stranice paralelograma jednake, ali ne nužno i svi kutovi, dobivamo poseban slučaj koji se zove romb. Kad su kutovi pravi (90°), dobivamo pravokutnik, a kad su svi kutovi pravi i sve stranice jednake, riječ je o kvadratu. paralelogram

{l) jed nake nasu protne stran ice i nasuprotni kutovi

periodični

95

decimalni broj

parametar karakteristična konstanta u nekom matematičkom izrazu, n pr. u jednadžbi pravca y = a+ bx, parametri su a i b, ax i y su nezavisna i zavisna varijabla. parni broj broj djeljiv s 2. Parni su brojevi dakle O, 2, 4, 6 i 8, kao i svaki broj koji njima završava, primjerice 1736. Možemo reći i da je paran svaki onaj broj koji završava parnom znamenkom. Sve cijele brojeve koji nisu parni zovemo neparnima. Pascalov trokut trokutasti raspored brojeva (s brojem l u vrhu), u kojem je svaki broj zbroj para brojeva iznad sebe. Zbroj horizontalnog retka Pascalova trokuta uvijek je jednak broju 2 dignutom na potenciju koja odgovara broju retka (gledanog odozgo), s tim da najviši, j ednočlani redak smatramo nultim. Tako primjerice l+ 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + l = 64 = 26• Ti retci ujedno daju i binomnu funkcij u raspodjele, to jest vjerojatnost neke kombinacije ishoda kod zbivanja koje može imati samo dva, i to jednako vjerojatna ishoda. Pascalov trokut

l 2

l

3

3 l 6 4 l s 10 10 s l 6 IS 20 IS 6 l 7 21 3S 3S 21 7 4

{ll) dijagonale se uzaj amno prepolavljaju

[[ l

...~t----

a

periodična funkcija funkcija čije se vrijednosti ponavljaju nakon određenog perioda (razmaka). Primjer su periodičnih funkcija ~trigonometrijske funkcije kojima se vrijednosti ponavljaju nakon svakog punog kuta (360°).

...

{lill ploština paralelograma dana j e izrazom P =

a ·v

periodični decimalni broj broj s beskon ačnim nizom decimala koje se ponavljaju po nekakvom pravilu. U dekadskom sustavu dobivamo ih dijeljenjem svim cijelim brojevima osim 2 i 5 (i njihovim potencijama). Tako je 113 = 0,3333 ... , 1/6 = 0, 16666... , 2/11 = 0,0 181818 ...

96

permutacija

permutacija svaki od mogućih poredaka elemenata nekog skupa. Ukupan broj permu racija a elemenata dan je izrazom a!, gdje "! "označava ~faktorijel (prirodni broj pomnožen sa svim svoj im prethodnicima). Na primjer, permutacije prva 3 slova abecede jesu: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Vidi također ~kombinaciju. perspektiva način sagledavanja trodimenzijskog predmeta i njegova crtanja u dvodimenzijskoj ravnini. Kod crtanja u perspektivi crte koje su prema promatraču vodoravne ili okomite ostaju nepromijenjene, ali se produžeci crta koje se od njega udaljuju svi sastaju u jednoj od dvije karakteristične točke. Jedna od tih roča­ ka nalazi se lijevo, a druga desno od crteža, na udaljenosti koja ovisi o kutu pod kojim se promatra predmet crteža. perspektiva

Pitagorin poučak

97

piktogram slikovni prikaz statističkih podataka u kojem se pojedine veličine prikazuju znakovima (recimo siluetama ljudi, vojnika, ro ba, kuća itd.) piramida geometrijsko tijelo nastalo spajanjem vrhova ~poligo­ na (višekutnika), koji tvori njegovu bazu, s nad njim uzdignutom točko m - vrhom piramide. Obujam je piramide dan formulom

V= Bv

3 gdje je B ploština baze, a v visina piramide, to jest duljina okomice spuštene iz vrha na bazu. Piramide najčešće dijelimo prema obliku njihove baze, pa one mogu biti trostrane, četverostrane itd. Egipatske piramide, primjerice, za bazu imaju kvadrat. Trostrane piramide zovemo i tetraedrima. Tetraedrom (u užem smislu) zovemo pravilnu trostranu piramidu, čije su strane četiri sukladna jednakostranična trokuta.

crtanje kocke u perspektivi

piramide

peterok ut ili pentagon, peterostrani geometrijski lik. Sve dijagonale pravilnog peterokuta tvore petokraku zvijezdu ili pentagram. petlja dio krivulje koja obuhvaća dio ravnine kada krivulja sama sebe siječe. U ~dijagramu toka, pecija je naredba kojom se zapovijeda višestruko ponavljanje nekog postupka. pi (simbol n) jedna od osnovnih matematičkih konstanti. Ona je zapravo omjer između opsega kruga i njegova promjera, te ima beskonačno mnogo znamenaka. Približna vrijednost na osam decimalnih mjesta iznosi 3,14159265, no u praksi se najčešće računa s 3, 14 ili s 22/7.

trostra na piramida (tetraedar)

četverostrana

piramida

Pitagorin poučak geometrijski teorem koji tvrdi da je u pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze (najdulje stranice, stranice nasuprotne pravom kutu) jed nak zbroju kvadrata duljina obiju kateta (preostalih stranica). U matematičkom ga obliku možemo pisati kao: c2 = a2 +

b2

gdje je e duljina hipotenuze, dok su a i b duljine jedne, odnosno druge karete.

plan

98

Pitagorin poučak vrijedi samo za pravokutne trokute

ploština

99

ploština veličina neke površine. Koristi se i izraz površina. Izražavamo je četvo rnim (kvadratnim) jedinicama, najčešće četvornim (kvadratnim) centimetrom (cm 2), četvornim metrom (m 2) i četvornim kilometrom (km 2) . Oplošje nekog geometrijskog lika zbroj je ploština svih njegovih ploha.

b

ploština b

a

Pitagorin

poučak

a'+ b'= e' a

plan tlocrt plašt u geometrijskom modelarstvu, razvijene i povezane sve stranice modela geometrijskog tijela, izrezani komad kartona i sl. Njihovim se savijanjem i lijepljenjem može dobiti model geometrijskog tijela. plaš t

plašt kocke

ploštine najpoznatijih geometrijskih likova

;j} z CJf -a - - aploština paralelograma = duljina baze • visina

ploština pravokutnika = duljina· visina

&

=a· v

t~

.,..___ a ____. ploština trokuta =

fl _~ .,_ a ____..

T

duljina baze· visina =

T

ov

_b_

-Đ a-

ploština trapeza

= zbroj paralelnih stranica • visina

2

a+b

-

= - 2- · v

.......

----ic nasuprotnom stranicom.

12 priležeća

stranica

prileleća

kraj

~

12

9

(susjedna) kateta

prim-broj ili prosti broj broj djeljiv samo s l i sa samim sobom, dakle broj kojeg je nemoguće rastaviti na faktore. Prim-brojeva ima beskrajno mnogo, a prvih l O su 2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23 i 29. Broj l po defin iciji nije prim-broj. Broj 2 je jedini parni prim-broj zato što svi parni brojevi sadrže 2 kao faktor. Matematičari već tisućlj eći ma traže opća pravila (algoritme) za pronalaženje prim-brojeva. N ajstarije je od njih c:>Eratostenovo sito, a danas taj posao obavljaju moćna računala. Već je grčki matematičar Euklid dokazao da ne postoji najveći prim-broj, te da ih je stoga beskonačno mnogo. Njegov dokaz izgleda ovako: (l) Pretpostavimo da je M najveći prim broj. (2)

lzračunajmo

novi broj N tako što

ćemo

pomnožiti sve posto-

jeće prim-brojeve (uključujući i M) i pribrojiti mu

pretpostavka, .::>hipoteza; uvjerenje stečeno na temelju nepotpunog poznavanja problema. Služi kao polazište za izvođenj e konačnog dokaza.

l.

(3) N je ili pri~-broj (u .~ojem s~učaj.u M nije n~jv~~i prim-broj, pa stoga takav 1 ne postOJI, što se 1 želJelo dokazan) th se pak dade rastaviti na fakto re.

11O

prim-faktor

(4) Fakrori broja N ne mogu biti prim-brojevi manji od M pa ni sam M, jer je ostatak pri dijeljenju broja N sa svakim od njih l. Zbog roga fakror mora biti veći od M, što opet niječe ishodnu pretpostavku.

problem konigsberških most ova

111 prizme

peterostrana prizma

Taj će nas zaključak možda iznenaditi zato što očekujemo da se vrlo veliki brojevi mogu prikazati kao umnožak faktora.

prim-faktor faktor koji je c::>prim-broj, dakle najjednostavniji i najmanji fakror. Svi su prirodni brojevi, osim broja l, ili prim-brojevi ili se mogu prikazati na jedinsrveni način kao umnožak prim-faktora (prim-brojeva). prirast povećanje broja ili vel ičine. Tako je primjerice godišnji prirast svjetskog sranovništa 200 milijuna. prirodni brojevi svi cijeli brojevi brojevi koje nižemo brojanjem.

veći

od O, ali bez nule. To su

prizma tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama u kojima leže njegove baze, a čiji su svi presjeci ravninama koje su paralelne bazi međ usobno jednaki. Tako je primjerice kocka pravilna pravokutna prizma kod koje su sve strane sukladni kvadrati. Valjak je pak prizma kojoj je baza krug. prizm e

problem rješavanje problema problem konigsberških mostova glavolomka iz koje se rodila topologija- grana geometrije koja se bavi onim svojsrvima likova koja se ne mijenjaju ni pri njihovu iskrivljenju. U gradu Konigsbergu (današnjem Kaliningradu u Rusiji); otoci na rijeci Pregolji i obala bili su povezani sa sedam mostova. Ljudi su se godinama domišljali nad zagonetkom kako prijeći svaki most, ali samo jednom, i vratiti se na polaznu točku. Godine 1736. njemački je matematičar Leonhard Euler prikazao tu zagonetku kao topaJošku mrežu. Na njoj je otoke i obale rijeke prikazao kao čvorove (spojne točke), a mostove kao crte između njih. Analizom je te mreže uspio dokazati da je nemoguće prij eći preko svakog mosta točno jednom i vratiti se na polazište. problem konigsberških mostova

'"'\d\

~CSt

presjek je prizme jednak kroz čitavu njezinu visinu

trapezoidna prizma

D

Eulerov topološki prikaz problema

·~'

procjena rezultata

112

procjena rezultata brz i ne posve točan proračun čiji se rezultat ipak približno slaže s rezultatom preciznog računa. Ako se to ne dogodi, znači da smo negdje napravili grubu pogrešku.

113

protukutovi

protukutovi

.------

transverzala

produkt ili umnožak rezultat koji dobivamo množenjem dva broja. Tako je primjerice ab produkt brojeva a i b. program niz naredbi koje izvršava računalo pri obavljanju nekoga zadatka. Naredbe pišemo posebnim računal nim jezicima. Najjednostavniji je Basic, a napredniji su primjerice Pascal, Logo,

CiC++. projektil svako izbačeno tijelo koje se dalje giba bez vlastitog pogona, uglavnom samo pod djelovanjem gravitacije. U svakodnevnom govoru projektilom se naziva i tijelo na koje utječe otpor zraka, a često ima i vlastiti pogon.

(l

i J} su protukutovi

protukutovi

promjer ili dijametar dužina koja dijeli krug na dva jednaka dijela. Najduža tetiva kružnice, koja prolazi kroz središte. proporcional nost razmjernosc prosjek srednja vrijednost nekog skupa brojeva. Vidi: geometrijski prosjek, aritmetički prosjek, medijan i mod. prosti broj prim-broj prostorni metar kubni metar protukutovi nasuprotno postavljeni kutovi što ih zatvara neki pravac (transverzala) presijecajući dva ili više pravaca. Kad su pravci koje transverzala presijeca paralelni, protukurovi su jednaki.

kad transverzala presijeca paralelne pravce, protukutovi a i Jl su jednaki

115

razmjernost ili proporcionalnost

razlika aritmetičkog niza stalna razlika između bilo koja dva susjedna broja u c:>aritmetičkom nizu. Tako primjerice u nizu l, 4, 7, IO, ... razlika iznosi 3.

R

razlika ili diferencija broj dobiven oduzimanjem brojeva.

racionalni brojevi brojevi koji se dadu napisati u obliku

razlomak broj koji označava jedan ili više dijelova cjeline. Obi-

razlomka u kojem su i brojnik i nazivnik cijeli brojevi (nazivnik nije O). Kao primjer racionalnih brojeva navedimo 2, I /4, 15/4, -3/5. Broj 1t (konstanta približno jednaka 3,14159 ... , no zapravo s bezbroj nepredvidivih decimala) to nije. Takve brojeve zovemo c:>iracionalnima. Racionalni brojevi pisani u decimalnom obliku ili imaju konačan broj decimala (npr. 3/5 = 0,6) ili se decimale ponavljaju na predvidiv način (npr. 1166 = 0,01515 ...) računalo svaki uređaj koji olakšava obavljanje matematičkih operacija. Najjednostavnija je računaljka s kuglicama (c:>abak), najrasprostranjenije je računalo digitalni džepni c:>kalkulator, a najmoćnije je c:>elektroničko računalo, tzv. kompjutor.

čno

računaljka

c:>abak

radia n (simbol rad) jedinica za izražavanje kuta. Radian se defi-

nira s pomoću luka kružnice. Kut od jednog radiana zatvara luk čija je duljina jednaka radiusu. Budući da je opseg kružnice 2rn, iz toga slijedi da 2n radiana zatvara puni krug (360°). Iz toga se dade lako izračunati da l rad iznosi otprilike 5JO, te da je l o jednak n/180 ili približno 0,0175 radiana. Radiani se posebno široko primjenjuju u c:>polarnim koordinatama. radius c:>polumjer radius-vektor vektor koji određuje položaj neke točke. Početak mu je u ishodištu, a vrh u promatranoj točki. On omogućuje vektorsko opisivanje gibanja točke . ral c:>jutro rastavljanje na faktore c:>faktorizacija ravnina ravna ploha. Dvije ravnine su ili paralelne, pa se ne sijeku nikada; ili je njihovo presjecište pravac.

1) .

se piše u obliku dva broja, postavljena jedan iznad drugog, odijeljena vodoravnom crtom. Broj iznad crte zovemo brojnikom, a broj ispod crte nazivnikom. Tako broj 2/3 čitamo kao "dvije trećine", a 3/4 kao "tri četvrtine" . Takve razlomke zovemo jednostavnima. Nazivnik ne može biti nula, jer dijeljenje nulom nije definirano. Kod pravog razlomka brojnik je manji od nazivnika. Kod nepravog razlomka brojnik je veći od nazivnika, kao primjerice 3/2. Zbog toga neprave razlomke možemo pisati i kao mješovite razlomke, tj. 3/2 = l Y2 (tri polovine jednako je jedan i jedna polovina). Decimalni razlomak za nazivnik ima broj I O dignut na neku potenciju, a možemo ga pisati i kao decimalni broj. Primjerice 4/100 = 4/10 2 = 4 . J0·2 = 0,04. Znamenke desno od decimalnog zareza označuju brojnike jednostavnih razlomaka čiji su nazivnici l O, l OO, l 000 itd. Razlom ci čiji su nazivni ci produkt potencija brojeva 2 i 5 mogu se točno izraziti kao decimalni brojevi. U svim drugim slučajevima u decimalnom će se broju pojaviti decimale koje se beskrajno ponavljaju (1/3 = 0,3333 ... , 43/99 = 0,43434.. , I/7 = O,I42857I4 ... itd.). Takve brojeve, koje možemo prikazati u obliku razlomaka, zovemo racionalnima. Za razliku od njih, iracionalni brojevi (npr. -fi, n) mogu se u decimalnom obliku napisati samo kao brojevi s beskonačnim brojem decimala u čijem nizanju ne postoji nikakva zakonitost. Cijeli su brojevi oni koje možemo izraziti kao racionalne brojeve s nazivnikom jednakim l. razmjernost ili proporcionalnost odnos između dvije varijable. Ako se njihov odnos dade prikazati izrazom

y= kx

red zbroj članova niza. Redovi mogu biti konvergentni (teže nekoj konačnoj, graničnoj sumi), ili divergentni (granična im je vrijednost beskonačna). Tako je primjerice red

gdje su y i x varijable, a k konstanta, velimo da su te varijable upravno razmjerne, odnosno da stoje u upravnom razmjeru. Takav se odnos u c::>Karrezijevom koordinatnom sustavu dade prikazati pravcem. Ako se njihov odnos, naprotiv, dade prikazati jednadžbom

l l l l+ T + 4+8+ ...

k

y=x l

velimo da su varijable obrnuto razmjerne, odnosno da stoje u obrnutom razmjeru. Takav se odnos grafički dade prikazati hiperbolom. Primjer je prvog odnosa put prevaljen nekom konstantnom (stalnom) brzinom, dok drugi primjer nalazimo kod tlačenja plinova, jer povećanje obujma smanjuje tlak i obrnuto.

razred u statistici, skup podataka čija je vrijednost u nekim unaprijed zadanim granicama. razvoj u algebri pojedinačno množenje svih članova u zagradi. Tako je primjerice

ac + bc + ad + bd razvijeni oblik izraza (a+

b)(e+ d)

realni brojevi skup racionalnih (uključujući i cijele) i iracionalnih brojeva. Realni su brojevi zapravo poseban slučaj kompleksnih brojeva, danih izrazom a+ bi, gdje je i imaginarna jedinica, definiran kao ..J-1. Ako je b = O, broj je realan, jer nema imaginarnog dijela. recipročna

vrijednost neke veličine dobiva se kad u nekom razlomku brojnik i nazivnik zamijene mjesta. Tako je recipročna vrijednost od 2 (tj. 2/1) jednaka 1/2, od 2/3 je 3/2, od :t? je l/:t? itd. Množenje recipročnom vrijednošću nekoga broja isto je što i dijeljenje tim brojem. Na kalkulatorima postoji posebna funkcija koja brojeve pretvara u njihove recipročne vrijednosti. Ona se uključuje tipkom "1/x".

rimske brojke

117

116

razred

konvergentan, zato što Je njegova granična suma jednaka 2. Naprotiv, red l l l +- + - +- +

2

3

4

je divergentan, jer njegov zbroj može biti veći od bilo kojeg broja.

redak c::>matrice, vodoravni niz brojeva. Matrica ima retke i stupce. Matricu koja ima samo jedan redak zovemo retčanom matricom. redni ili ordinalni brojevi brojevi koji određuju mjesto u nekom poretku. Redni su brojevi l. (prvi), 2. (drugi) ... itd. Za razliku od njih, glavni brojevi (1, 2, 3 ...) označavaju samo veličinu. reducirati smanjiti, učiniti manjim. relacija veza, među elementima dva skupa (usporedi c::>funkcija). Od svih je relacija najvažnija relacija ekvivalencije (jednakosti, označena simbolom "=". Za nju vrijede tri pravila koja čine temelj algebre: (l) a = a (refleksivnost); (2) iz a= b slijedi da je b= a (simetričnost) ; (3) ako je a= b i b = e, onda je i a= e (tranzitnost). rezultanta vektor nastao zbrajanjem dvaju ili više vektora (e:> komponenti). rimske brojke stari europski način pisanja brojeva. Rimski način pisanja brojeva (u današnjem obliku) polazi od 7 simbola kojima su pripisane sljedeće vrijednosti: I (1), V (5), X (10), L (50), C (I OO), D (500) i M (1000). U tom sustavu ne postoji ništica (nula), a vrijednost simbola određuje samo njihova vrsta, ali ne i položaj - što su inače glavne prednosti alternativnog,

rješavanje problema

118

takozvanog indijsko-arapskog pisanja brojeva, koje je zbog toga i istisnulo rimsko. Vrijednost se rimskih brojeva određuje zbrajanjem vrijednosti navedenih simbola, a oduzimanjem kad je simbol manje vrijednosti napisan prije simbola veće vrijednosti. Brojevi od l do 10 pisani na rimski način izgledaju ovako: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X. Po sličnim se pravilima pišu i veći brojevi: XVI (I 6), XL (40). Ponekad se iznad simbola piše gtica koja povećava njegovu vrijednost za l 000 puta, pa je tako X isto što i l O 000. Iako se s pomoću rimskih brojeva operacije zbraja~ nja i oduzimanja obavljaju razmjerno lako, množenje, a pogotovo dijeljenje, silno je komplicirano.

rješavanje problema postupak dobivanja odgovora na neko matematičko pitanje. Ako je riječ o nekom praktičnom ili znanstvenom pitanju, njega najprije moramo prevesti na matematički jezik, to jest stvoriti matematički model. O njemu dalje ovisi i postupak rješavanja. Najjednostavnije se do rješenja dolazi algoritmom, to jest točno definiranim niwm matematičkih operacija koji daje jednoznačno rješenje. Algoritam često nije moguće postaviti tako da daje točno rješenje, pa se stoga problem rješava s pomoću pribJižnih, no za praktične svrhe dovoljno točnih metoda. Jedna je od njih metoda pokušaja i pogreške, takozvani postupak ~iteracije. Kod njega najprije računamo polazeći od neke pretpostavke, pa onda na temelju rezultata mijenjamo pretpostavku da dobijemo točniji rezultat itd. Za brzo pronalaženje približnih rješenja u praksi se često primjenjuju različite grafičke metode. rješenje u algebri, vrijednost varijable za koju je promarrana jednadžba istinita. ~korijen jednadžbe romb geometrijsko tijelo, jednakostranični ~paralelogram. Njegove se dijagonale sijeku pod pravim kurom, pri čemu se uzajamno prepolavljaju. Ploština mu je jednaka polovici umnoška duljina dijagonala. Poseban je slučaj romba ~kvadrat. To je romb s unutrašnjim kutovima od 90°.

119

rotacija

rotacija ~transformacija kojom se neki lik okrene oko neke zadane točke, takozvanog središta 1·otacije. Rotacija za 180° zove se poluokrer. Zarotiramo li u prostoru geometrijski lik oko neke osi, dobit ćemo

rotacijsko tijelo.

rotacija

rotacija lika A oko centra rotacije P

simetra/a

121

s

simetrala pravac koji dijeli kut ili dužinu na dva jednaka dijela. U potonjem je slučaju najčešće riječ o okomitoj simetrali, koja promatranu dužinu siječe pod pravim kutom. c:>bisektrisa simetrala

segment kružni

odsječak

dijeljenje dužine AB simetralom konstruiranom s pomoću dva luka nacrtana šestarom

segment pravca dio pravca ograničen dvjema točkama; dužina. sekans rrigonometrijska funkcija (simbol sec) kuta u pravokutnom trokutu. Dobiva se tako da duljinu hipotenuze (najdulje stranice) podijelimo duljinom druge stranice (karete) uz promatrani kut. Sekans je funkcija recipročna kosinusu, tj. l sec a = cosa

sekans

A A

B

/

simetrala (crtkana linija) prepolavlja dužinu AB

8~~~--------------~ priležeća

kateta

sec ll ~ _ 1 _ ~ hipotenuza cos ll priležeća kateta

~

lAS l

dijeljenje kuta simetralom konstruiranom s pomoću šestara

lBcf

sektor kružni isječak sekunda jedna šezdesetinka satne ili kutne minute. Osnovna jedinica za izražavanje vremena u mjernom sustavu SI. sežanj hvat simbol znak koji predstavlja neki pojam, veličinu ili operaciju. Tako primjerice skup simbola y =xl govori da je neka veličina jednaka nekoj drugoj veličini pomnoženoj sa samom sobom.

luk povučen šestarom sa središtem u B

l

o

luk povučen šestarom iz središta O simetrala (crtkana linija) prepolavlja kut

simetrija

122

simetrija svojstvo dijelova likova ili tijela da se, nakon provođe­ nja osne ili centralne simetrije ili rotacije točno preklope s polaznim tijelom ili likom.

Simetriju često nalazimo u prirodi, a najviše - u vidljivom svijetu - među živim organizmima i kristalima. Simetrija je međutim više pravilo nego izuzetak u svijetu atoma i molekula. simetrija

sinus

123 simetrija rotaciiska simetrij·a

DOCCDB BOA ADD A BD AC DB C tvadr.t ima r~ijs-~u os simet,. teM'tog reda koja prolazi kroz njegovo lltdiŠt•. okomito na ravninu u kojoj se nalazi

oo pr~wilni

osi simetrije

paralelogram

kvadrat

'tt

,

' , ___' .,.,.',___ , , '' ' ' ' ",

1-+

,'

,

JI

•

pravokutnik

t

l

l

t

, '

-~

.. ,

'

romb

•

•

os j( simetrije

--+ ·vektorske veli čine koja je, osim iznosom, određena i smjerom. Kao primjer skalarnih veličina navedimo temperaturu, masu i obujam. skica grubi crtež grafa kojim se samo naznačuju njegova glavna svojstva. skup bilo kakva množina definiranih članova (elemenata), pod uvjetom da su elementi raspoznatljivi i da je jasno jesu li oni ili nisu elementi tog skupa. Skup se obično označava velikim slovom, a njegovi se elementi stavljaju u vitičaste zagrade { }. Tako primjerice L može predstavljati skup svih slova u abecedi. Simbol E znači "jest element skupa", pa matematički izričaj p E L znači da je p element skupa L, dok izričaj 4 ~ L znači da brojka 4 ne spada u skup slova abecede. Postoji mnogo različitih vrsta skupova. Tako se broj elemenata konačnog skupa dade izraziti prirodnim brojem, dok to kod beskonačnog skupa nije moguće, jer je broj njegovih članova beskonačan. Prazni skup uopće nema elemenata, a označava se sim-

skup

126

bolom {}ili 0.]ednočlani skup ima samo jedan element. Primjer je konačnog skupa skup ljudi na Zemlji, beskonačnoga skup prirodnih brojeva, praznog skupa skup ljudi koji su preplivali Atlantik, a jednočlanog broj dana u tjednu koji počinju s N (nedjelja).

skup

Vennov dijagram presjeka dva skupa

slika

127

da, četvrtak, petak, subota, nedjelja}, pa možemo napisati T= S. Skupove s istim brojem članova zovemo ekvipotentnim. Imaju li dva skupa neke iste članove, kažemo da se skupovi sijeku. Primjerice presjek skupa svih pikova i skupa svih sedmica jest jednočlani skup pikovih sedmica. Skupove koji nemaju zajedničkih članova zovemo disjunktnim skupovima - takvi su recimo skupovi svih minerala i sveg povrća. Skupove koji su dio nekog većeg skupa zovemo podskupovima; tako je recimo skup svih samoglasnika podskup skupa svih slova. ?kupovi i njihovi odnosi prikazuju se ~Ven novim dijagramuna. skup rješenja skup vrijednosti koje zadovoljavaju neki sustav ~nejednadžb i, primjerice

3 analitičke geometrije ili c:>matrica.

svođenje

na potpuni kvadrat

134

Pokušajmo ih riješiti na algebarski način. Pomnožimo obje strane jednadžbe (l) s 2, pa ćemo dobiti

2x + 6y = 12 Pribrojimo li je jednadžbi (Il) dobit ćemo

9y = 16 nakon čega lako dolazimo do rješenja

16

y=9 Varijablu x sad lako nalazimo tako day, u bilo kojoj od dvije p olazne jednadžbe, zamijenimo njegovom sad nam p oznatom vrijednošću.

Taj sustav možemo riješiti i grafički . Obje jednadžbe, naime, možemo prikazati kao pravce. Očito je da će x i y zadovoljavati istodobn o o bje jednadžbe samo u točki koja leži na oba pravca, dakle, u njihovom sjecištu. (c::>grafičke metode) Ako su pravci paralelni ili se preklapaju, onda sustav nema rješenja odnosno ih ima beskrajno mnogo. svođenje na potpuni kvadrat način rješavanja kvadratne jed-

nadžbe njezinom pretvorbom u oblik

(x- a) 2 =b gdje su a i b konstante. Tako primjerice jednadžbu

x 2 + 6x + 5 =O u taj oblik možemo prevesti sljedećim koracima:

x 2 + 6x = -5 x 2 + 6x + 9 = -5 + 9 (x + 3) 2 = 4

Iz čega slijedi: X+3=±2 X= -3 ± 2 X=

-l ili X= -5

š

šablona posebno izrezan, zaobljen komad nekog plosnatog materijala (najčešće plastike) koji olakšava crtanje likova.

šestar sprava za crtanje kružnica i prenošenje duljina. Sastoji se od dva kraka sa šiljkom ili m inom, a koji se zakreću oko zajedničke osovine. šesterokut ili heksagon c::>poligon sa šest stranica. U prirodi napose važnu ulogu igra pravilni šesterokur, jer on stvara najčvršće rešetke. šiljak ili povratna točka točka u kojoj se sastaju dvije grane neke krivulje, i to tako da im se tangente preklope. šiljasti kut kut između 0° i 90°, koji odgovara zaokretu manjem od četvrtine punoga kuta (kruga). širina jed na od tri dimenzije trodimenzionalnog tijela.

teorem

137

T tablica skup brojeva (ili slova koja ih predstavljaju) složen u stupce i retke. a,, a,2 a lt

a22

a3, a32 ~Matrica je tablica zatvorena u uglate zagrade. One nam govore da taj skup brojeva treba promatrati kao jedinstvenu cjelinu.

1::: ::~

njima izvrši nekakva operacija - primjerice da se oni zbroje ili izračuna njihova srednja vrijednost. S pomoću tih jednostavnih koraka može se provesti i prilično složena matematička analiza. Takvi se programi široko primjenjuju pri vođenju poslovnih knjiga kao i za analizu poslovanja. Prvi se od njih, ViciCalc, pojavio 1979. Danas su najpoznatiji Locus l 2 3 i Excel.

tabulirati složiti podatke u tablicu. tangens trigonometrijska funkcija (kratica tg) definirana ~pra­ vokutnim trokutom. Tangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu definira se kao omjer duljine kutu nasuprotne i priležeće katece. T o je jedan od dva moguća omjera ~kateta. Drugi je omjer ~kotangens, koji je recipročan tangensu . tangens kuta A

~31 a~

tablica množenja tablične prikazan skup svih višekratnika nekog broja. Obično se pritom misli na tablicu s devet stupaca i devet redaka za brojeve od l do 9.

l 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

Svaki broj u toj tablici dobiven je množenjem brojeva na početku retka i na vrhu stupca.

tablični kalkulator kod elektroničkih računala, program koji

oponaša lise papira razdijeljen u retke i stupce. U cakav program najprije unesemo podatke, a zatim izdajemo naredbu da se nad

nasuprotna kateta

prilefeća

tg

~

_ ~ _ - cos ~ -

stranica

nasuprotna stranica _ pri ležeća stranica -

lAC l l BC l

tangenta u geometriji, pravac koji dotiče neku krivulju i u dodirnoj točki ima isti nagib (gradijent, koeficijent smjera) kao i ta krivulja. U minimumu i maksimumu funkcije koeficijent je smje~a _cangence njenog grafa jednak nuli. Vidi prikaz na sljedećoj stran1c1. teorem matematička tvrdnja koja se dade dokazati polazeći od skupa ~aksioma (osnovnih tvrdtlji. koje se smatraju istinitim i bez dokaza) i/ili iz drugih, već dokazanih teorema. Dokazivanje teorema najviši je stupanj matematičkog umijeća.

tetiva

138

tangenta

tetivni četverokut

139

tetiva svoistva tetiva

tangenta neke krivulie

1} Tetivama jednake dulj ine odgo. varaju jednaki središnji kutovi.

2} Ako se dvije tetive sijeku, umnožak je udalj enosti krajeva jedne tetive od sjecišta jednak istom umnošku za drugu tetivu.

~D

®J B

tangenta kružnice

e

Trokuti AOB i DOC su jednakokračni, jer su duljin e AO, BO, CO i DO zapravo polumjeri kružnice. Budući da je lAB l = l CD l, trokuti AOB i DOC su nužno sukladni.

tangenta na kružnicu u svakoj točki s njezinim radiusom zatvara pravi kut

3} Svi obodni kutovi nad tetivom su j ednaki. D

točke na krivulji. U specijalnom slučaju, kad je ta krivulja kružnica, a tetiva prolazi kroz središte, t u najdulju tetivu zovemo promjerom ili dijametrom. Najdulju tetivu ~elipse (pravilnog ovala) zovemo velikom ili glavnom osi, a najdulju na nju okomitu tetivu malom ili sporednom osi. Vidi prikaz na sljedećoj stranici.

.fi·

tetiva dužina koja povezuje dvije

četverokut četverokut kod kojeg sva četiri vrha kružnici. U takvom četverokutu vrijede tvrdnje:

tetivni

Kutovi ACB, ADE, AEB i AFB su svi j ednaki.

tetivni četverokut

leže na

istoj (l) Zbroj je nasuprotnih kutova uvijek 180°, te su oni stoga suplementni. (2) Svi vanjski kutovi (kutovi što ih zatvara stranica i produžetak njoj susjedne stranice), jednaki su nasuprotnim unutrašnjim kutovima.

tetraedar geometrijsko tijelo s četiri trokutaste strane; trostrana piramida. Pravilni tetraedar (tetraedar u užem smislu riječi) za strane ima jednakostranične trokute.

zbroj nasuprotnih kutova tetivnog četverokuta jednak je 180•, te su oni stoga suplementni a+ {l+ li= 1so•

r=

težina

140

težina sila kojom neko tijelo djeluje na podlogu zbog gravitacije. Težina je razmjerna masi i jakosti gravitacijskog polja. Kako je ono, primjerice, na Mjesecu 6 puta slabije nego na Zemlji, tijelo iste mase na Mjesecu ima 6 puta manju težinu (6 je puta lakše) negoli na Zemlji. težišnica ili medijana u geometriji, dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice.

transverzala

Točnost broja izražavamo brojem ~značajnih znamenki. Tako primjerice umjesto broja 409 318 možemo pisati 409 300, 409 000, 41 O 000 ili 400 000, to jest s 4, 3, 2 ili l značajnom znamenkom. Da bi se znalo koje su znamenke značajne, brojeve često pišemo kao potencije broja I O, tj. (u gornjem primjeru) kao 4,09318 ·I 0 5, jer tako znamo da li je nula na kraju značajna znamenka, ili je dodana radi oznake mjesta.

tona jedinica za masu. Menička tona ima l 000 kg, ali postoje još i dvije angloameričke tone. Engleska long ton (''duga tona") ima 1016 kg (2240 funti) , a američka sho1·t ton ("kratka tona'') ima 907 kg (2000 funti).

težišnica ili medijana

medijana {težišnica)

tlocrt crtež u mjerilu nekog predmeta gledanog odozgo, iz beskrajne udaljenosti. točka najosnovniji geometrijski element. T očka nema dimenzi-

ja, a mjesto joj u prostoru možemo opisati recimo ~Kartezijevim koordinatama. Točku je vrlo teško definirati. Grčki ju je matematičar Euklid, otac geometrije, definirao kao "ono što nema dijelova''. točnost stupanj određenosti nekog broja ili njime određene veličine.

141

Pri mjerenju i računanju najčešće moramo pristupiti ~zao­ kruživanju. Kada množimo dva broja, broj će znamenaka u umnošku biti znatno veći, npr. 3,386 · 4,998 :: 16,923228. Ako to množenje obavljamo ~kalkulatorom koji radi samo sa 6 znamenaka, on će pokazati rezultat zaokružen na 6 značajnih znamenaka: 16,9232. Tzv. ~iracionalni brojevi ne mogu se prikazati konačnim brojem znamenaka, pa se pri računanju nužno zaokružuju.

topologija grana geometrije koja se bavi onim svojstvima geometrijskih likova i tijela koja se ne mijenjaju njihovom transformacijom (smanjivanjem i povećavanjem, mijenjanjem kutova, iskrivljavanjem). Topologija se primjenjuje za rješavanje problema u kojima su važne veze među elementima a ne njihov položaj u prostoru, npr. pri proučavanju strukture molekula, praćenju evolucije i hranidbenih lanaca, proučavanju turbulencije i sl. Prvi problem riješen topološkom metodom bio je slavni ~problem konigsberških mostova, iz kojeg se kasnije razvila čitava ta znanstvena grana. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. torus tijelo nalik na zračnicu automobila. Savijanjem valjka i spajanjem u krug dobija se oblik torusa. Zanimljiv je zato što se može razrezati duž zatvorene krivulje tako da ostane povezan. trag skup svih položaja neke točke u gibanju. transformacija ~geometrijska transformacija translacija ~geometrijska transformacija kojom se mtJenp položaj ali ne i orijentacija i veličina nekog lika ili tijela; transformacija koja ga pomiče bez zakretanja, tako da sve nove osi ostaju paralelne starima (~vektor translacije). t ransverzala pravac koji siječe dva ili više (obično paralelnih) pravaca u ravmm.

trapez

142

topologija

trigonometrija

143 trapez

t ! h

•

gornji je lik topološki

b

ploština trapeza identičan

=Th

(a + b)

donjemu

•

jednakokračni trapez

'

os simetrije

trapez geometrijski lik, četverokut s dvije paralelne stranice. Ako su duljine paralelnih stranica a i b, a udaljenost je između njih h (visina lika), njegova je ploština

P= ~ h (a+ b) Kod jednakosrraničnog trapeza bočne su stranice jednake, pa je on simetričan s obzirom na os simetrije koja prolazi polovištima njegovih paralelnih stranica.

trigonometrija dio matematike koji se bavi izračunavanjem kutova iz duljina i obrnuto, polazeći od svojstava pravokutnog trokuta. Taj trokut može ležati u ravnini, ali i na nekoj zakrivljenoj površini, primjerice površini kugle, u kojem slučaju govorimo o sfernoj trigonometriji. Za trigonometrijska računanja napose su važne ~trigo nometrijske funkcije ~sinus, ~kosinus, ~tangens i ~kotangens. One nam omogućuju da na temelju jednog šiljastog kuta i stranice ili bilo koje dvije stranice izračunamo i sve ostale kutove i stranice pravokutnog trokuta. Trigonometrija se razvila iz geodezije (zemljomjerstva) no danas je njena primjena skoro univerzalna, pa je nalazimo u građe­ vinarstvu, astronomiji, nuklearnoj fizici, pomorstvu, zrakoplovstvu, elektrotehnici i elektronici - praktički u svim područjima prirodoznanstva i tehnike.

trokut

144

tupi kut

145 trokut

trigonometrija trigonometrijske funkcije

B

j edna kostra nič ni

jedn akokrač ni trokut -

raznostranični trokut -

dvije jednake stranice i dva jednaka kuta

tri raz lič ite stranice i tri

svi kutovi jednaki (60' 1

trokut - sve su stranice jednako duge i

.

Sin n =

l sc i lAB I

=

lAci cosa= 1ABf = tg a =

lac i lACT =

ctg n =

TBCf =

lAC l

nasuprotna kateta hipotenuza priležeća kateta

šiljastokutni trokut - svi kutovi šiljasti (manji od 90'1

tupokutni trokut -

jedan kut tupi (veći o d 90'1

hipotenuza

ra zl ičita

kuta

Pravokutni t rokut i ma jedan kut od 90'. Njemu

nasuprotna stranica zove se hipotenuza.

nasuprotna kateta priležeća kateta

priležeća kateta nasuprotna kateta

trokut trostrani geometrijski lik; geometrijski lik s tri vrha i tri stranice u kojem zbroj svih kutova iznosi 180°. Možemo ih podijeliti prema odnosu duljina njihovih stranica. Tako su kod raznostnmičnogtrokuta sve tri stranice različitih duljina; kodjednakokračnog trokuta jednake su dvije, a kod jednakostraničnog trokuta sve tri stranice, baš kao i sva tri kuta (60°) . U pravokutnom trokutu jedan je kut pravi (90°). Najdulja mu se stranica (nasuprot pravom kutu) zove hipotenuzom, preostale dvije nazivamo katetama. Ploština je pravokutnog trokuta jednaka polovici umnoška njegovih kateta. P= - l ab 2

a

a ·

Ploština trokuta = _!_ av 2

Slični trokuti imaju jednake odgovarajuće kutove, ali ne

Trokuti su sukladni (kongruentni) ako im aju jednake odgova r ajuće

i stranice. Oni su istog obli·

stranice i kutove.

ka, ali različite veliči ne.

tupi kut kut veći od 90° i manji od 180°.

upisana kružnica

147

u

univerzalni skup univerzalni skup cijelih brojeva

ubrzanje c::>akceleracija udjel količinski omjer nekog dijela prema cjelini. Izražavamo ga kao razlomak ili postotak. Tako je primjerice udjel kopna u ukupnoj Zemljinoj površini 29%.

parni brojevi

umnožak c::>produkt unakrsno množenje množenje, u slučaju dva razlomka, brojnika jednog s nazivnikom drugog i obrnuto. T o se obično radi kod ekvivalentnih razlomaka. Naime, ako je alb = e/d, tada vrijedi i

ad= bc. unca anglosaksonska mjera za težinu (simbol oz), 1/16 funte ili

28,35 grama.

neparni broj evi

= =

unutrašnji kut jedan od četiri unutrašnja kuta koji nastaju kad

transverzala presiječe dva druga, obično paralelna pravca. T o je ujedno i kut unutar c::>mnogokuta. unutrašnji kut

unija skup nastao udruživanjem dvaju ili više skupova. Skup svih

njihovih elemenata. unija skupova

Vennov dijagram unije skupova A i B (A U B). . To je čitava zasjenčana površina .

jedan od četiri unutrašnja kuta četverokuta

univerzalni skup skup čiji se podskupovi razmatraju, sadrži sve

elemente bitne za određeni problem. Tako i skup neparni h brojeva l, 3, 5, 7 ... i skup kvadrata prirodnih brojeva l, 4, 9, 16 ... pripadaju univerzalnom skupu prirodnih brojeva l, 2, 3 ...

upisana kružnica kružnica koja dotiče (ali ne i siječe) sve stranice nekog mnogokuta (poligona). Središte kružnice upisane u trokutu leži na sjecištu c::>simetrala njegovih kutova.

upisani lik

148

upisana kružnica kruinica upisana u trokut

uzorak

149

smijemo zaboraviti da iz -a> - b => a< b. Tako je primjerice -20 manje od - lO, iako je 20 broj veći od 10. uvrštavanje pridavanje konkretnih vrijednosti općim brojevima algebarskog izraza. Tim postupkom ne samo da možemo doći do rješenja nekog problema, nego nam on služi i za provjeru ispravnosti pojedinih matematičkih izraza. Uzmimo, recimo, izraz

x 3 + y3 = (x + y)(x 2 + y2- xy) te pretpostavimo da je x = l i y = 2. Kad te vrijednosti uvrstimo u lijevu strane jednadžbe, dobivamo 13 +2 3 = 1 +8=9 O je središte kružnice i sjecište simetrala svih kutova u trokutu

upisani lik u geometriji, lik kojemu svi vrhovi leže na istoj kružnici. upitnik formular s pitanjima. Primjenjuje se pri statističkom ispitivanju većeg broja subjekata. uređeni par par brojeva čiji smisao ne ovisi samo o njihovoj vrijednosti, nego i o poretku. Tako su primjerice koordinate neke točke uređen par zato što točka (2,3) nije identična točki (3,2). Isto su tako uređen par i pravi razlomci, zato što njihovu vrijednost određuju ne samo brojevi, nego i njihovo mjesto koje nam govori je li neki broj tvori brojnik ili nazivnik. uređenost svojstvo nekog skupa da se u njemu uvijek, u skladu s nekim pravilom, znade mjesto pojedinog elementa, to jest da su oni poredani u skladu s nekim svojstvom. Možemo reći i da je uvođenje uređenosti u neki skup isto što i preslikavanje njegovih elemenata u skup prirodnih brojeva. Drugim riječima, kad neki skup uredimo, onda svakom njegovom elementu možemo pridružiti neki element iz skupa prirodnih brojeva. Uređenost se utvrđuje znakovima>,