Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet Preddiplomski studij arhitekture
Matematika 1 - nastavni materijali -
S. Pavasović Split, 2006./2007.
Sadržaj
0.
Napomene o predmetu (koje, naravno, nećete pažljivo pročitati) ..................................................1 Osnovno ..................................................................................................................................................................1 Per aspera ad astra, ili kako do ocjene ...................................................................................................................2 Ispit, kako to gorko zvuči .........................................................................................................................................3 Ovo je trebalo biti na početku ..................................................................................................................................3
1.
Uvod (ili odnekud moramo početi) .....................................................................................................5 1.0 1.1 1.2 1.3
Ekvivalencija, implikacija, komplikacija .........................................................................................................5 Skupovi..........................................................................................................................................................6 Skupovi brojeva.............................................................................................................................................6 Priče o skupu R .............................................................................................................................................8
1b.
Vježbe ..................................................................................................................................................12
2.
Funkcije...............................................................................................................................................13 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Definicija.....................................................................................................................................................13 Pojmovi i svojstva........................................................................................................................................14 Graf funkcije ................................................................................................................................................16 Temeljne elementarne funkcije ...................................................................................................................19 Neke elementarne funkcije..........................................................................................................................23
2b.
Vježbe ..................................................................................................................................................27
3.
Limes i neprekidnost funkcije...........................................................................................................28 3.0 3.1 3.2
Priprema......................................................................................................................................................28 Limes funkcije..............................................................................................................................................29 Neprekidnost funkcije ..................................................................................................................................33
3b.
Vježbe ..................................................................................................................................................36
4.
Derivacija funkcije..............................................................................................................................37 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11.
5.
Definicija......................................................................................................................................................37 Geometrijsko i fizikalno tumačenje derivacije .............................................................................................37 Tablica nekih osnovnih derivacija ...............................................................................................................39 Pravila deriviranja........................................................................................................................................39 Tangenta i normala .....................................................................................................................................40 L'Hospitalovo pravilo ...................................................................................................................................40 Derivacije višeg reda ...................................................................................................................................41 Monotonost i derivacija funkcije ..................................................................................................................41 Ekstremi, točke infleksije .............................................................................................................................42 Asimptote, još jednom .................................................................................................................................45 Ispitivanje tijeka i crtanje grafa funkcije.......................................................................................................45
Vektori .................................................................................................................................................48 5.1. 5.2.
Operacije s vektorima..................................................................................................................................49 Koordinatizacija prostora.............................................................................................................................51
5b.
Zadaci ..................................................................................................................................................53
6.
Analitička geometrija .........................................................................................................................54 6.1. 6.2. 6.3.
6b.
Ravnina u prostoru ......................................................................................................................................54 Pravac u prostoru ........................................................................................................................................56 Međusobni položaj pravca i ravnine............................................................................................................58
Zadaci ..................................................................................................................................................59
Napomene o predmetu
0.
Napomene o predmetu (koje, naravno, nećete pažljivo pročitati)
Osnovno Najosnovnije: Ja sam Slobodan Pavasović, držat ću vam nastavu iz predmeta Matematika 1. Prema rasporedu, nastava je srijedom od 8-10h (zapravo, 8.15-10 s pauzom 9-9.15) u predavaonici u Zgradi C Moja soba je na 2. katu (soba 1407), tel. broj 303-383, e-mail
[email protected]. Iznimno ni broj mobitela nije neka posebna tajna, ali o tom potom. Budući da ionako nećete ovaj tekst pročitati do kraja, dok ste još budni osnovna napomena: za sve što vas muči i što biste htjeli reći (pa čak i ako nema izravne veze s mojim predmetom), obratite mi se kad god želite (u principu na Fakultetu, ali ako imate neki stvarno ozbiljan problem nemojte se ustručavati ni izvan Fakulteta). Iz iskustva (hm, iz davnog iskustva ☺) znam da su ljudi poprilično izgubljeni na početku studiranja, pogotovo kad nastava krene punim intenzitetom pa ih zatrpa. Jedino što vam ne mogu obećati je da ću istog trena imati vremena za vas – dogovorit ćemo neki termin i onda sam samo vaš. Predmet obuhvaća 15 nastavnih sati predavanja i 15 nastavnih sati vježbi. "Težina" predmeta je 3 ECTS boda; u prijevodu, to znači da je ukupni angažman studenta na ovome predmetu 90 "sunčanih" sati (sunčani sat traje 60, a nastavni 45 minuta). U ove sate uračunava se sav studentski angažman vezan uz predmet (prisustvovanje nastavi, pohađanje demonstratura, samostalni rad kod kuće, različiti oblici provjere znanja). Gruba podjela ovoga angažmana je: predavanja i vježbe:
22,5
demonstrature i konzultacije s predmetnim nastavnikom
22,5
pisanje parcijalnih pismenih ispita i polaganje ispita; samostalni rad: usvajanje materije predstavljene na predavanjima i vježbama, pisanje domaćih radova, itd.
5 40
Preporučam vam da negdje zapisujete vaš stvarni angažman oko predmeta. Nakon semestra studenti će u sklopu programa za osiguranje kvalitete studija biti u prigodi dati svoje mišljenje o predmetu i predmetnom nastavniku, kao i o utrošenom vremenu na predmet. Nastava se izvodi kroz 2 povezana sata tjedno. Zbog jako male satnice nećemo strogo odvajati predavanja od vježbi, nego ću gradivo izložiti "u paketu". Osim nastave, organizirat ćemo i demonstrature (dvaput tjedno po jedan sat), i to na sljedeći način: u terminu krajem tjedna, demonstrator će rješavati zadatke i na kraju termina podijeliti domaći rad; u terminu početkom tjedna donijet ćete rješenja i pokušaje rješenja i zajedno s demonstratorom javno riješiti zadatke. Riješene domaće radove ostavljate demonstratoru koji ih predaje meni a ja ih čuvam u Vašem "dosjeu" i zadržavam pravo razgovarati o njima na ispitu. Demonstrature i domaći radovi će prvih mjesec dana biti posvećeni krpanju srednjoškolskih rupa, potom će biti strukturirani prema onome što vas bude mučilo. Pohađanje demonstratura nije obavezno, ali je u vašem interesu.
1
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Službeno, popis literature za predmet je: 1.
T. Bradić, J.Pečarić, R. Roki i M. Strunje, Matematika za tehnološke fakultete, Element, Zagreb,1998.
2.
B. P. Demidovič, Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenom na tehničke nauke, Tehnička knjiga, Zagreb, 2003.
3.
S. Pavasović, T. Radelja, S. Banić i P. Milišić, Matematika – riješeni zadaci, Građevinski fakultet, Split, 1999.
4.
S. Kurepa: Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1982.
Ja ću se u predavanjima "naslanjati" na prvu navedenu knjigu, a preporučam vam i konzultiranje materijala koje je priredio prof.dr. Ivan Slapničar: 5.
http://lavica.fesb.hr/mat1/
Posebno preporučam PDF-verzije predavanja i vježbi dostupne na ovome linku. Budući da mi se čini kako je osnovni problem studentima u ovakvome predmetu prevesti suhi matematički rječnik u neformalniji ali razumljiv, u nastavku ovih bilješki pokušat ću dati neformalne komentare i tako vam (nadam se) pomoći da shvatite "o čemu se tu zapravo radi". Materijali će biti detaljniji u dijelovima koje studenti najčešće nauče napamet bez razumijevanja, a oskudniji u formalnim zapisima (kojih ima dovoljno u raspoloživoj literaturi – literaturu ću citirati navođenjem broja, npr.[5]). Nastavni materijali i sve obavijesti o predmetu nalazit će se na web stranicama Fakulteta, tj. na adresi http://www.gradst.hr/katedre/matfiz/m1-arh.htm (do stranice možete doći slijedeći linkove s početne fakultetske stranice). Ideja je da povremeno svratite na ovu stranicui provjerite ima li kakvih nastavnih materijala/obavijesti/želja/pozdrava/poruka. Smisao nastavnih materijala je u tome da se nastava ne pretvori u vaše prepisivanje mojih nečitkih bilješki s ploče – u tom slučaju ljudi se skoncentriraju isključivo na to da točno prepišu, a ja sam prisiljen sve što mislim da vam treba zapisati; to onda i nije neka nastava. Ovdje ćete (u vrlo neformalnom obliku) imati zapisane osnovne stvari, a tijekom predavanja i vježbi bilježit ćete napomene i pojašnjenja. Zadatke ćemo rješavati zajedno, u materijalima ćete imati samo tekstove zadataka.
Per aspera ad astra, ili kako do ocjene Pohađanje nastave je obavezno! Nemojte donositi opravdanja liječnika, roditelja, sportskih klubova, skupa stanara, humanitarnih udruga... Pogotovo mi nemojte doći s antologijskom rečenicom "ne mogu danas bit na nastavi jer imam vožnju". Jednostavno, ili jeste ili niste na nastavi – nema "opravdanih" i "neopravdanih" izostanaka. Posljedica neumjerenog izostajanja s nastave je nedobivanje tzv. "potpisa", a onda ste u problemu: ne možete prijavljivati ispit i cijela se priča poprilično komplicira. Uvjet za potpis je prisustvovanje na 80% predavanja i vježbi (dakle, na 24 sata nastave), ali prije nego odustanete od dolaska i nastavite spavati, sjetite se da ćete vjerojatno barem jednom tijekom semestra imati nekih zdravstvenih problema, a možda se pojave i neke neodgodive obveze. Pohađanje nastave je jedini formalni kriterij za dobivanje potpisa. Do ocjene možete doći na dva načina: polaganjem ispita nakon završetka nastave. Nakon odslušane nastave i dobivenog potpisa možete ukupno 4 puta izaći na ispit (četvrti put pred ispitnim povjerenstvom). Ovaj način je teži način polaganja;
2
Napomene o predmetu
ocjenu možete zaraditi tijekom semestra, polaganjem i usmenom obranom dvaju parcijalnih pismenih ispita (detaljnije u nastavku teksta). Ovo je lakši način polaganja.
Ispit, kako to gorko zvuči Ispit je kombinirani, pismeno-usmeni. To znači da grupa od najviše 7 studenata dobiva ispitna pitanja, imaju nekih 30-45 minuta za napisati koncept odgovora nakon čega ćemo malo popričati. Na ispitu nemate prava (a ni potrebe) koristiti bilo kakva pomagala (dopuštam jedino tablicu „osnovnih" derivacija). Polaganje ispita nakon odslušanog predmeta teži je način polaganja jer onda čovjek obično prespava semestar i misli da će uspjeti spremiti ispit za tjedan-dva "ozbiljnog" rada. Onda po gradu slušate kako "mali po cili dan uči, tri dana nije izaša iz kuće". Razmislite malo: ako ste prespavali predavanja i vježbe, pa još propustili demonstrature i domaćeradove, koliko vam vremena treba da biste uopće pohvatali konce, a kamoli dobro spremili ispit? Na ispitu za prolaznu ocjenu morate pokazati sljedeće: sposobnost primjene elementarnih tehnika (od zbrajanja razlomaka, preko sređivanja algebarskih izraza do deriviranja i izračunavanja limesa); sposobnost rješavanja jednostavnih zadataka iz gradiva obuhvaćenog predmetom; razumijevanje pojmova predstavljenih tijekom nastave. Je, jako je općenito, ali kroz samo odvijanje nastave postat će jasnije što se i kako od vas traži. Ispitna pitanja za ovaj predmet neću sastaviti. Naime, obično neki student sastavi listu „odgovora" na pitanja s liste i onda se javljaju barem dva problema: prvo, dio „odgovora je ajmemajko-kvalitete, drugo, studenti nabubaju napamet „odgovore" i takvi dođu na ispit uvjereni da su spremni i da moraju proći. Parcijalni pismeni ispiti (komada dva) i prigodni razgovor su i lakša i mudrija varijanta iz nekoliko razloga: obuhvaćaju samo dio gradiva (otprilike polovicu); drže vas "u treningu" tijekom semestra; omogućavaju vam da ocjenu dobijete neposredno nakon završetka nastave i tijekom ispitnih rokova se posvetite drugim predmetima; najvažnije: tijekom semestra bit će vam ponuđeni "bonusi" izraženi u dodatnim bodovima na parcijalnom ispitu. Ideja je da sam spreman nagraditi vaš angažman tijekom semestra tako da bodove zarađene na parcijalnom pismenom ispitu uvećam za bonus-bodove stečene tijekom semestra. Kako do bonus-bodova? Jedan od načina je sljedeći: nekoliko puta tijekom semestra na web-stranici predmeta objavit ću (nenajavljeno) zadatke i nagraditi prvih nekoliko točnih rješenja poslanih e-mailom1. Tijekom semestra možda iskrsne još neki način stjecanja bonus-bodova.
Ovo je trebalo biti na početku Vjerujem da vas (možda ne sve, ali popriličnu većinu) ne moram javno priupitati za kvalitetu matematičkog znanja koje ste donijeli na studij. Imajte na umu da je matematički dio prijemnog ispita bio ekstremno trivijalan (da ne bi netko počeo mahati visokim brojem stečenih bodova).
1
Ovo pod uvjetom da svi studenti imaju dostupan Internet
3
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Ova činjenica nije razlog za strah, ali jest razlog za "aktivan" odnos prema predmetu. Evo nekih napomena iz kojih ćete razumjeti što od vas očekujem i što vam preporučam: Osnovno što od vas očekujem i zahtijevam za bilo koju prolaznu ocjenu jest razumijevanje pojmova. Nemojte štrebati napamet definicije, to je beskorisan trud i nikakvo znanje. Jednako je "korisno" učiti napamet telefonski imenik. S druge strane, kad shvatite što se iza pojedinog pojma stvarno krije, vidjet ćete da je cijeli predmet u biti malo teža plesna škola. Na primjer, tražit ću od vas da "razumijete" što je funkcija, da znate prokomentirati graf neke funkcije, da razumijete što znače neka osnovna svojstva funkcija – ne da mi otpjevate definicije nego da to ispričate "svojim riječima", i da ste u stanju razmisliti i doći do odgovora na postavljeno "problemsko" pitanje o funkciji. Elementarne matematičke tehnike (srednjoškolsko gradivo) bi se trebale podrazumijevati; ja bih u biti trebao nastaviti tamo gdje je srednja škola stala, ali to nije dobra ideja. Na samoj nastavi nećemo imati puno vremena za prisjećanje na srednju školu (osim na samome početku predavanja), ali će biti tome posvećen početni dio demonstratura. Olakšajte si život, primite se posla od početka semestra. Upamtite, ja imam pravo samo na 90 sati vašeg života – ako to ravnomjerno rasporedite, to je oko 6 sati tjedno za sve oblike nastave. Sigurno je da će vam biti lakše ako vas netko uzme za ruku i provede kroz predmet, nego da poslije sami pokušavate nekako skrpati o čemu se tu zapravo radi. Jedan od osnovnih postulata Bolonjske deklaracije je partnerski odnos u procesu studiranja. Pokušajte se što prije otresti srednjoškolskog pogleda na svijet, podjele na "mi" i "oni". U istom smo brodu, i ako vi počnete tonuti tonem i ja s vama. Ako vam se čini da samo vi veslate, ljuto se varate – moj je angažman na predmetu u najmanju ruku jednak vašemu. Za partnerski odnos potrebni su partneri! Potrudite se da na nastavi budete "dušom i tijelom", ne samo zbog eventualnog dobivanja bonus-bodova, nego i zbog toga što je to daleko najlakši put do položenoga ispita. Sudjelujte u nastavi, razmišljajte, pitajte, recite što imate! Lijepo vas molim, ne pokušavajte "igrati prljavo". Naravno da mi je jasno da možete sjesti na zidić i prepisati domaći rad, možete pokušati na listu evidencije potpisati prijatelja/icu, znam za milijun tehnika kojima se možete pokušati poslužiti ne biste li "lakše" došli do ocjene. Nitko (pa ni ja) ne voli da ga se pokušava napraviti budalom, ali to čak nije najvažniji razlog: mislim da imate previše godina a da se pri prepisivanju domaćeg rada ne biste osjećali iznimno blesavo; drugo, ponuđena vam je iskrena i poštena suradnja, nudim vam svu moguću pomoć u svladavanju ovoga predmeta – mislim da je i pametno i pošteno odraditi svoj dio posla isto tako iskreno i pošteno. Na kraju, nekoliko banalnosti. Dakle, nemojte (dovršite rečenicu): kasniti na nastavu. Imamo silno malo vremena za nastavu, ako ćemo pola potrošiti na čekanje spavača, nije dobro. Ako već zakasnite, nemojte se ispovijedati o zloj budilici, podivljalim autobusima, teškom djetinjstvu... uđite, sjednite, uhvatite se posla; jesti i/ili piti za vrijeme nastave. Ništa kava, čaj, boce s vodom, sendvič, jogurt...; baviti se nečim drugim (drugim predmetom, novinama, koeficijentima, ...) za vrijeme nastave. Zaboravite na srednjoškolsku "tih(a) sam pa ne smetam" logiku; ako ste s nama onda budite s nama. Ako vas zateknem u bavljenju nečim drugim, bit ćete udaljeni s nastave i taj termin se tretira kao izostanak; ostaviti mobitel upaljen; protezati se ni zijevati bez ruke na ustima (je, smiješno je, ali živi bili pa vidjeli da ne govorim bez razloga);
nikad, nikad, NIKAD pitati "hoće li to biti na ispitu". 4
1. Uvod
1.
Uvod (ili odnekud moramo početi)
Vječiti problem u izlaganju gradiva Matematike 1 je "odakle početi"; naime, svako spominjanje nekog pojma ili oznake zahtijeva barem kratku raspravu o tome pojmu i njegovome kontekstu. U ovako koncipiranom predmetu za to nemamo vremena (a dijelom ni potrebe), pa će neki pojmovi i oznake biti prokomentirani tek onoliko koliko nam to treba u okviru predmeta.
1.0 Ekvivalencija, implikacija, komplikacija Prije samoga početka, pokušat ćemo se "obračunati" s pričom o implikaciji i ekvivalenciji; ova je priča vrlo jednostavna ako se o njoj malo razmisli – u protivnom, ona je izvor trajne konfuzije. Implikacija: što, dakle, znači izjava "A implicira B" (A ⇒ B)? Nejčešći "odgovori" su u biti pokušaj izbjegavanja ("metoda sitnog šverca"): "to znači da B slijedi iz A", "to znači da A povlači B", "to znači da ako je A onda je i B" i slično. Ne može se reći da su ovi odgovori netočni, ali nam ni najmanje ne pomažu u razumijevanju implikacije. "Životni" primjer: "Ako dobijem na lotu, bit ću bogat". Osnovna poruka ove implikacije je jasna: (dobitak na lotu ⇒ bogatstvo). Ali, to nije sve; da bi se potpuno razumjelo implikaciju, potrebno je znati i razumjeti odgovore na pitanja "Što je s bogatstvom ako ne dobijem na lotu?" i "Što je s dobitkom na lotu ako nisam bogat?" Srećom, postoje i drugi načini stjecanja bogatstva – moguće je da se netko obogati i ako nije dobio na lotu. S druge strane, nije moguće (za ljubav matematike ćemo preskočiti mogućnosti mizernoga dobitka ili puno dobitnika) da netko dobije na lotu i ne bude bogat. Poopćimo stvar na "suhi" matematički zapis: implikacija A ⇒ B ("ako jest A, onda jest B") jamči istinitost tvrdnje B ako je tvrdnja A istinita ("iz istine slijedi istina") i neistinitost tvrdnje A ako je tvrdnja B neistinita ("iz istine ne može slijediti laž"); međutim, ako je tvrdnja A neistinita, ne znamo ništa o istinitosti tvrdnje B ("iz laži može slijediti bilo što"). Zadatak: Smislite sami nekoliko primjera implikacije i protumačite ih. Ekvivalencija je daleko jednostavnija i za razumijevanje i za objašnjenje. Izjava "A je ekvivalentno B" (A ⇔ B, "B jest ako i samo ako jest A") znači da su A i B "jednako vrijedni", tj. čim poznajemo jednog od njih znamo i drugoga: ili su obje tvrdnje istinite ili su, pak, obje tvrdnje laž. "Životni" primjer: iskustvo nas uči da roditeljska rečenica "Ako budeš dobar, kupit ću ti sladoled" nije ekvivalencija nego "samo" implikacija – kombinacijom umiljatosti i/ili gnjavljenja sladoled se može dobiti i ako nismo bili dobri. Kada bi roditelji govorili "Kupit ću ti sladoled ako i samo ako budeš dobar", stvari bi se zakomplicirale. Zadatak: Smislite sami nekoliko primjera ekvivalencije i protumačite ih. Komplikacija je, dakako, u naslovu spomenuta kao dosjetka, ali ipak: u priči o implikaciji i ekvivalenciji postoji komplikacija utoliko što studenti površno uče napamet definiciju (pa čak i svojstva) bez da stvarno razlikuju ove dvije operacije.
5
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
1.1 Skupovi Skup je jedan od pojmova koji su nam nekako "sami po sebi" razumljivi, ali kad počne dublja rasprava o njima (koju mi, srećom, nećemo provoditi), stvari ubrzo postaju komplicirane i jako apstraktne. Zgodno je na početku nastave postaviti pitanje "što je to skup?" – naime, svi imamo nekakvu intuitivnu ideju o tome, ali kad tu ideju treba pretočiti u definiciju, eto nas u problemu. Najčešći pokušaj je "definicija" po kojoj "skup čine objekti koje povezuje neko zajedničko svojstvo". Slijedi obavezno pitanje mogu li elementi jednog skupa biti krava, telefon i lopta, i uobičajeni niječan odgovor. Naravno da mogu; ako ja iz nekih čudnih razloga želim napraviti skup čiji će elementi biti krava, telefon i nogometna lopta, definicija skupa mi to ne smije zabraniti. Pri tom je jedino "zajedničko svojstvo" ova tri elementa činjenica da pripadaju tome skupu. "Službena" definicija skupa zvuči kao prijevara: naime, skup je jedan od fundamentalnih matematičkih pojmova i ne definira se. Eventualno, možemo dati poprilično filozofsku definiciju "Skup je množina objekata", kojom, pošteno rečeno, baš i nismo rekli nešto određeno. U svakom slučaju, skup je određen ako se točno zna tko/što jest a tko/što nije njegov element – zvuči kao "otkrivanje tople vode", ali nije: razmislite malo o "skupovima" pametnih, mladih, lijepih... ljudi; ovo nisu dobro definirani skupovi. Još jedna napomena: kad govorimo o skupovima, studenti najčešće nehotice razmišljaju o skupovima brojeva. Istina je da ćemo se u ovom predmetu najviše baviti skupovima brojeva (točnije, skupom realnih brojeva), ali u priči o skupovima treba imati na umu da elementi skupa mogu biti vrlo raznoliki. Nekoliko osnovnih naznaka, koje bi vam trebale biti poznate: Skup možemo zadati nabrajanjem elemenata ili navođenjem svojstva koje njegovi elementi moraju zadovoljavati: {1, 3, 7, 9}, {parni brojevi manji od 72}, {ljudi mlađi od 25 godina}. Ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B, kažemo da je A podskup od B (pri tom razlikujemo tzv. "pravi podskup", A ⊂ B , i "podskup" A ⊆ B , ovisno o tome smije li skup A biti jednak skupu B – u slučaju pravog podskupa ne smije). Broj elemenata skupa A zovemo kardinalni broj skupa A i označavamo s c(A). Dva skupa su jednaka ako sadrže iste elemente. Među skupovima definiramo presjek A I B (zajednički elementi), uniju A U B (svi elementi iz barem jednog od skupova A i B, skupovnu razliku A \ B (elementi akupa A koji nisu u skupu B) i Kartezijev produkt A × B (uređeni parovi oblika (a,b) gdje je a∈A, b∈B). Zadatak:
Što je dovoljno pa da skup A ne bude podskup skupa B? Smislite još neki primjer "loše zadanog skupa". Što možete reći o kardinalnom broju presjeka, unije, skupovne razlike i Kartezijevog produkta dvaju skupova (u odnosu na kardinalne brojeve tih skupova)?
1.2 Skupovi brojeva Skupovi N, Z, Q, R Naznačili smo da će nas posebno zanimati skupovi brojeva, a najviše skup realnih brojeva. Za početak, razmotrimo skup prirodnih brojeva N. Kao i obično, svaki početak je težak pa i ovdje imamo problema definirati najjednostavniji i najpoznatiji skup brojeva (kojeg intuitivno
6
1. Uvod
doživljavamo otprilike kao "ma to je ono jedan, dva, tri..."). Definiciju skupa prirodnih brojeva možete pogledati u [5], a za naše potrebe samo ćemo spomenuti da skup N gradimo definiranjem elementa koji zovemo "jedinica" i funkcije sljedbenika koja svakom prirodnom broju pridružuje njegov sljedbenik (koji je također prirodan broj). Tako je broj 2 sljedbenik broja 1, broj 3 sljedbenik broja 2, itd. Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa N:
Zbroj i umnožak dvaju prirodnih brojeva je prirodan broj; Razlika i kvocijent dvaju prirodnih brojev nije nužno prirodan broj; Skup N je beskonačan, nema najveći i ima najmanji element. Sada je lakše; "dokopali" smo se osnovnoga skupa brojeva, kojega ćemo po potrebi proširivati. Motivi za proširivanje su dvojaki: "matematički" – željeli bismo skup brojeva u kojem bi bile definirane sve računske operacije, i "životni" – željeli bismo skup brojeva kojima bismo mogli iskazati različite primjere iz života. Prvo proširenje je skup cijelih brojeva Z = {0, 1, -2, 2, -2, 3, -3, ...} – sada npr. možemo zapisivati negativne temperature zraka i slično. Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa Z:
Zbroj, razlika i umnožak dvaju cijelih brojeva je cijeli broj; Kvocijent dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj, a dijeljenje s nulom nije definirano (važna napomena: nemojte izjavljivati da je "neki broj podijeljen s nulom jednak beskonačno" jer to nije istina! Jedina istinita izjava o dijeljenju s nulom je da ono nije definirano. Na ovu napomenu ćemo se vratiti kada budemo razmatrali limes funkcije); Skup Z je beskonačan, nema najmanji ni najveći element. Sljedeće proširenje je skup racionalnih brojeva Q. Najjednostavnije (i ne sasvim precizno), racionalni brojevi su razlomci. "Službena" definicija skupa racionalnih brojeva je:
⎧p ⎫ Q = ⎨ : p, q ∈ Z, q ≠ 0⎬ ⎩q ⎭ Sada npr. možemo definirati ritam valcera kao "tročetvrtinski". Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa Q:
Zbroj, umnožak, i razlika dvaju racionalnih broja je racionalan broj. Kvocijent a/b racionalnih brojeva je racionalan broj ako je b ≠ 0, inače nije definiran; Skup Q je beskonačan, nema najmanji ni najveći element; Za razliku od skupova N i Z, podskup skupa Q može imati i najmanji i najveći element a imati beskonačno mnogo elemenata. Sljedeće proširenje možemo motivirati pitanjem kolika mora biti stranica kvadrata da bi mu površina bila 2, odnosno traženjem rješenja jednadžbe x 2 = 2 . U knjizi [1], str. 11, predstavljen je dokaz da 2 nije racionalni broj (kažemo da je iracionalan), tj. ne može se prikazati kao razlomak – dokaz je samo naizgled kompliciran, jedini problem za njegovo razumijevanje je nenaviknutost na matematički tekst. Ovim proširenjem (dopunjavanjem skupa Q skupom iracionalnih brojeva) došli smo do skupa realnih brojeva R. Sjetite se da i dalje imamo potrebu za proširenjem; u skupu realnih brojeva
7
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
ne možemo riješiti jednadžbu x 2 = −1 . Međutim, u ovom predmetu nećemo razmatrati skup kompleksnih brojeva C u kojem je i ova jednadžba rješiva.
1.3 Priče o skupu R Priča prva: geometrijski prikaz (realnih) brojeva Brojeve koje smo definirali u prethodnom poglavlju možemo prikazati na tzv. brojevnom pravcu – pravcu na kojem smo odredili dvije točke i njima pridružili brojeve 0 i 1 (nakon čega možemo jednostavno svakome broju jednoznačno pridijeliti njemu pripadajuću točku brojevnog pravca). Intuitivno je jasno da prirodni i cijeli brojevi ne prekrivaju cijeli brojevni pravac, tj. da postoji beskonačno mnogo točaka brojevnog pravca kojima nismo pridijelili nijedan prirodni (cijeli) broj. Nešto je manje očita činjenica da ni racionalni brojevi ne prekrivaju cijeli pravac – intuitivno nam izgleda da razlomaka ima "jako puno" i da prekrivaju cijeli pravac. U knjizi [1] prikazan je jednostavan način na koji se iracionalnom broju 2 pridjeljuje točka na pravcu – time se pokazuje da tek skup realnih brojeva potpuno prekriva brojevni pravac. Napomena: Budući da je pridruživanje točaka brojevnog pravca realnim brojevima jednoznačno (svaka točka pridružena je točno jednom broju, svaki broj ima točno jednu pridruženu točku), pojednostavnjeno govorimo npr. o "točki 1", iako bi zapravo trebalo reći "točka na brojevnom pravcu pridružena broju 1".
Priča druga: podskupovi skupa R, intervali Kao i za svaki drugi skup, podskupove skupova N, Z i Q označavali smo tako da u vitičastim zagradama nabrojimo njihove elemente ili navedemo svojstvo koje elementi zadovoljavaju. Na isti način, naravno, možemo označavati i podskupove skupa R, no ovdje definiramo posebnu vrstu podskupova, tzv. intervale. Za realne brojeve a i b, gdje je a < b, definiramo:
(a, b ) = {x ∈ R, a < x < b} [a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} [a, b ) = {x ∈ R, a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R, a < x ≤ b}
otvoreni interval zatvoreni interval poluotv. interval poluotv. interval
.
Ovakav zapis podskupova skupa R praktičan nam je jer ćemo se intervalima često koristiti (pa bi bilo naporno svaki put ispisivati "puni" zapis skupa). Osim toga, zapis intervala nas vizualno podsjeća da se u geometrijskom prikazu radi o dijelu brojevnoga pravca od točke a do točke b. Prisjetimo se: racionalni, cijeli ili prirodni brojevi x za koje je a < x < b ne prekrivaju sve točke brojevnog pravca između a i b. Za neki realni broj x0, često će nam (npr. u razmatranju svojstava funkcija) trebati interval oblika (x0-ε, x0+ε), gdje je ε neki realni broj, ε>0. Ovakav interval zovemo okolina broja x0. Napomena 1: Pojam okoline je izuzetno jednostavan – sve što se dogodilo je da smo uzeli neki simetričan interval oko točke (odnosno, oko broja) x0. Međutim, budući da nam se ovdje po prvi put u zapisu pojavljuje slovo ε, zapis izgleda vrlo "znanstveno". Napomena 2: Općenito, ε iz definicije okoline broja x0 može biti bilo koji pozitivan realni broj. Međutim, u praksi najčešće promatramo "male" okoline – one u kojima je ε jako mali (ali još uvijek strogo veći od 0).
8
1. Uvod
Zadatak: Razmotrite okoline rubnih točaka otvorenog, zatvorenog i poluotvorenog intervala, tj. u kojim su slučajevima te okoline podskupovi intervala za:
svaki odabir ε; neki odabir ε; a u kojim slučajevima nisu podskupovi ni za jedan odabir ε.
Priča treća: ograničenost (ograđenost, omeđenost) skupa realnih brojeva Primijetimo: definirali smo intervale kojima su rubovi realni brojevi; takva definicija nam ne omogućava zapisati u obliku intervala npr. skup svih realnih brojeva manjih ili jednakih 1. Da bismo mogli u obliku intervala zapisati i ovakve skupove realnih brojeva, skup R proširujemo s dva elementa koje zovemo "minus beskonačno" (oznaka − ∞ ) i "beskonačno" (oznaka ∞ ). Ove elemente definiramo kako slijedi (oznaka ∀ čita se "za svaki"): ∀x ∈ R , x < ∞ . ∀x ∈ R, x > −∞
Koristeći ova dva elementa, sada npr. možemo zapisati skup svih realnih brojeva manjih ili jednakih 1 kao interval (− ∞, 1] . Napomena: −∞ i ∞ nisu realni brojevi i za njih ne vrijede računske operacije definirane u skupu realnih brojeva (zbog toga se uz −∞ i ∞ kao granicu intervala uvijek stavlja obla zagrada). Skup R je ostao kakav je bio i do sada, nema ni najmanji ni najveći element. Nažalost, nerijetko se pokušava improvizirati nekakvo "računanje s beskonačnošću": na primjer, česta je (i pogubna) zabluda kako je ∞ − ∞ =0. U poglavlju o limesu funkcije mi ćemo govoriti o tzv. "računanju s beskonačnošću", ali ćemo jasno odrediti što pod time podrazumijevamo.
Priča o (ne)ograničenosti skupova realnih brojeva je silno jednostavna, a ipak stvara probleme. Naime, čim se u nekakvom matematičkom tekstu počnu pojavljivati (uvjetno rečeno) "ekskluzivno matematički" pojmovi, stječe se pogrešan dojam da je tekst jako težak. Kao posljedica, umjesto pokušaja razumijevanja tekst se pokušava "svladati" učenjem napamet. Tako će nam i ovdje pojmovi kao što su "gornja (donja) granica", "infimum", "supremum", "najveća donja (najmanja gornja) granica", stvoriti dojam kako je priča koju pričamo teška i nerazumljiva. Promotrimo pojam ograničenosti općenito: što znači da je nešto ograničeno? Odgovor izgleda lakonski: znači da to "nešto" ima granicu. Pokušajte sami izreći: što bi mogla značiti izjava da je neki podskup skupa realnih brojeva ograničen odozgo (ili odozdo)? Naravno, to znači da ima gornju ili donju granicu. Preostaje nam samo još definirati što je to gornja (donja) granica nekog skupa realnih brojeva. Razmotrimo najprije pojam gornje granice, od intuitivnog "osjećaja" za njezino (ne)postojanje pa do formalne definicije. Zadatak: Za koje od sljedećih skupova intuitivno smatrate da imaju gornju granicu? Odredite gornju granicu tim skupovima: {x ∈ R, x ≤ 1} ;
{x ∈ R,
{x ∈ R,
x ≥ −1} ;
}
x2 < 2 .
9
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Gornju granicu imaju prvi i treći skup: nijedan element ovih skupova nije veći od npr. 1.000 (niti od 10.000, niti od 32.538). Jednostavno, skup S realnih brojeva ograničen je odozgo ako postoji realan broj M takav koji je veći od svih elemenata skupa S. Broj M zovemo gornja granica skupa S. Zadatak: Sami iskažite analognu definiciju odozdo ograničenog skupa S realnih bojeva.
Konačno, skup realnih brojeva S je ograničen ako je ograničen odozdo i odozgo. Vjerojatno ste kao gornju granicu za prvi skup postavili 1, a za treći skup 2 . Naime, prvi se skup može zapisati kao interval ( −∞ , 1], a treći kao ( − 2 , 2 ) pa onda izgleda prirodno uzeti desnu granicu intervala kao gornju granicu (odnosno, ako postoji, lijevu granicu intervala kao donju granicu).To jest točno, odnosno to jesu gornje granice (štoviše, to su u izvjesnom smislu "najljepše" gornje granice), ali nisu jedine (svaki broj veći od 1 također je gornja granica prvog skupa). Ako skup ima gornju (donju) granicu, onda ih ima beskonačno. Spomenuta "ljepota" granica 1 i 2 je u tome što su to najmanje gornje granice i kao takve najbolje opisuju "ponašanje" članova toga skupa (više znamo o članovima skupa, tj. o njihovoj veličini, ako kao gornju granicu promatramo 1 nego 10.000, a čini se razumnim da su nam "ljepše" one granice koje bolje opisuju skup). U čemu je razlika između njih? Broj 1 jest, a broj 2 nije element skupa kojemu je gornja granica, pa kažemo da je broj 1 maksimum prvog skupa a broj 2 supremum trećeg skupa. Analogno se najveća donja granica naziva infimum, a ako je element skupa minimum. Nakon opširne (i dijelom matematički "neprecizne") rasprave, evo i "službenih" definicija opisanih pojmova. Definicija:
Skup realnih brojeva S je ograničen odozdo ako postoji realni broj m koji je manji ili jednak od svih elemenata iz S. Svaki ovakav broj m zovemo donja granica skupa S; Ako je realni broj m najveća donja granica skupa realnih brojeva S i ako je m∉S, kažemo da je m infimum skupa S; Ako je realni broj m najveća donja granica skupa realnih brojeva S i ako je m∈S, kažemo da je m minimum skupa S; Skup realnih brojeva S je ograničen odozgo ako postoji realni broj M koji je veći ili jednak od svih elemenata iz S. Svaki ovakav broj M zovemo gornja granica skupa S; Ako je realni broj M najmanja gornja granica skupa realnih brojeva S i ako je M∉S, kažemo da je M supremum skupa S; Ako je realni broj M najmanja gornja granica skupa realnih brojeva S i M∈S, kažemo da je M maksimum skupa S; Skup realnih brojeva S je ograničen ako je ograničen odozgo i odozdo. Konačno, čemu ovoliko priče oko tek nekoliko jednostavnih pojmova? Prije svega, iskustvo pokazuje da studenti s ovim pojmovima imaju problema (uglavnom zbog toga što ih pokušavaju naučiti napamet bez razumijevanja). Nadalje, pojam ograničenosti će nam trebati u razmatranju funkcija.
10
1. Uvod
Priča četvrta: apsolutna vrijednost realnog broja Evo još jedne "silno jednostavne priče" (ne bojte se, neću za sve priče do kraja predmeta tvrditi da su silno jednostavne). Dakle, manje-više svi znamo napisati da je apsolutna vrijednost realnog broja:
⎧ x, ako je x ≥ 0 x =⎨ . ⎩− x, ako je x < 0 Problem ponekad nastaje u pravilnom čitanju ove definicije, što se vidi kada treba u istoj formi zapisati čemu je jednako, npr., |2x – 3|. Nerijetko se i ova apsolutna vrijednost (pogrešno!) definira ovisno o tome je li x veći ili manji od nule. Kod definicija poput ove (kao ni kod nekih drugih izraza koji nas tek očekuju) važno je ne shvaćati x "doslovno". Definicija apsolutne vrijednosti zapravo definira apsolutnu vrijednost bilo kakvog "realnog izraza". Nije jako matematički, ali nije ni pogrešno govoriti o "krumpirima" (u namjeri da se eliminira "robovanje" x-u), pa u ovom slučaju reći da je apsolutna vrijednost "krumpira" definirana ovako:
⎧ krumpir , ako je krumpir ≥ 0 krumpir = ⎨ . ⎩− krumpir , ako je krumpir < 0 Osnovna svojstva apsolutne vrijednosti lako se provjere "zdravorazumski":
x ⋅ y = x⋅y x+y ≤ x + y
.
U ovim svojstvima govorima o "ponašanju" apsolutne vrijednosti pri množenju i zbrajanju, a x i y su realni brojevi (ili izrazi) koji mogu biti pozitivni ili negativni – prema tome, uz malo razmišljanja može se lako zaključiti što apsolutna vrijednost "radi" umnošku ili zbroju. Geometrijska interpretacija apsolutne vrijednosti |x| je udaljenost broja x od nule na brojevnom pravcu. Geometrijska interpretacija izraza |x–y| je udaljenost točaka x i y na brojevnom pravcu. Napomena: Bez obzira u kojem kontekstu se u zadatku pojavljuje apsolutna vrijednost, u rješavanju zadatka najprije ju treba na "zakonit" način ukloniti – to najčešće znači da se razmatra nekoliko slučajeva ovisno o tome je(su) li argument(i) apsolutne vrijednosti veći ili manji od 0. Digresija: Vrlo često (ne samo vezano uz apsolutnu vrijednost, nego i inače) studenti ulete u zamku pitanja "kakvog je predznaka –x?", i uredno izjave da je –x negativan ("jer ima minus"). Naravno, ne možemo ništa reći o –x ako ne poznamo koju vrijednost (ili koje sve vrijednosti) može poprimiti x. Dakle, točan odgovor je "ne znamo". Međutim, slijedi trik-pitanje "a kakvog je predznaka –x2?" Poučeni prethodnim pitanjem, studenti često nude isti odgovor "ne znamo". Nažalostl opet krivo: budući da je x2 uvijek veći ili jednak nuli, to je –x2 uvijek manji ili jednak nuli. Pouka: Razmišljajte, nemojte lupati!
11
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
1b. Vježbe 1.
Je li A = {x : 0 ≤ x ≤ 7} dobro zadan skup? (nije, jer ne znamo iz kojeg skupa brojeva je x).
2.
Odredite presjek, uniju, skupovnu razliku i Kartezijev produkt skupova: A={neparni brojevi manji od 24} i B={djelitelji broja 24}.
4.
Odredite A I B , A U B i A \ B za skupove: a) A=[0,1), B=(1/2, 2); b) A=[0,1), B=(-1, 0]; c) A=[0,1), B=(-1, 0);
5.
Odredite (u slučajevima c) i d) intuitivno, bez cjelovitog dokazivanja) supremum, infimum, minimum, maksimum (ako postoje), za skupove: a) S = x ∈ R : x 2 ≤ 2
{ b) S = {x ∈ Q : x
2
} ≤ 2}
⎧1 ⎫ c) S = ⎨ , n ∈ N ⎬ ⎩n ⎭ ⎧ n ⎫ d) S = ⎨ , n ∈ N⎬ . ⎩n + 1 ⎭
12
6.
Analogno definiciji za |x|, zapišite definiciju za |2x-3|.
7.
Riješite: a) |3x–2|=1; b) |3x–2|≤1; c) |x+1|–|2x–3|=2;
8.
Grafički riješite nejednadžbu:
x −1 = 1. x +1
2. Funkcije
2.
Funkcije
2.1 Definicija Pojam funkcije središnji je pojam cijeloga predmeta, i jedan od osnovnih pojmova matematike uopće. Upravo zbog toga ćemo, prije iskazane "službene" definicije funkcije ponešto neformalnijim rječnikom pokušati "prepoznati" što je to funkcija. Kao i obično, i ovdje ćemo napomenuti da je pojam funkcije iznimno jednostavan (ako se o njemu razmisli a ne uči ga se napamet i bez razumijevanja), a jednostavni su i ostali naglasci ovoga poglavlja: svojstva funkcije i graf funkcije. Jedinu poteškoću može stvarati nešto veći broj pojmova vezanih uz funkcije, ali su svi ti pojmovi lako razumljivi pa ih je lako i upamtiti. Digresija: Definicije nisu "suha teorija". Definicija nekog objekta/pojma je snažni alat koji omogućava raspoznavanje "tko jest a tko nije". Nemojte definicije učiti napamet; ako ih ne znate primijeniti posve je beskorisna sposobnost "recitiranja".
Na pitanje što je funkcija, najčešći ponuđeni odgovor je "to je zakon pridruživanja", bez ikakvoga pojašnjenja koga pridružujemo kome i na koji način izvodimo to pridruživanje. Isto tako, podsvjesno se razmišlja o funkcijama definiranim nad skupovima brojeva, iako je funkcija daleko općenitiji pojam (toliko općenit da možemo čuti i besmislene izjave poput "trebamo poljoprivredu staviti u funkciju turizma"). Pogledajmo najprije nekoliko primjera preslikavanja između dva skupa: D
K I
D a
II
I
b
III
II
c
III
IV
1
D
K I II III
K
a
I
b
II
c
III
d
IV
2 D
a b c
3 D
K
D
K
a a
I
b
II
c
III
IV
4
K
5
b c d
I
a
II
b
III
c
6
Zadatak: Razmotrite sliku i pokušajte intuitivno (na osnovi "vaše" definicije funkcije) odrediti koja od preslikavanja 1-6 jesu funkcije, a koja nisu. Argumentirajte odgovor.
Uobičajeni pogrešni odgovori su proglašavanje dijagrama 1 funkcijom i eventualno izjava da dijagrami 3 i 4 nisu funkcije – razmatranja se svedu na "argument" "lijepi dijagrami jesu a ružni nisu funkcije". No nakon što se kao neslužbena definicija funkcije ponudi izjava "preslikavanje mora biti takvo da svaki element polaznog skupa zna kuda se preslika", lako se dođe do
13
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
ispravnog zaključka da su funkcije prikazane na dijagramima 2, 3, 4 i 6. Dijagram 1 nije funkcija jer element IV nije nigdje preslikan, a na dijagramu 5 element III se preslikava u dva elementa skupa K. Definicija: Neka su D i K dva neprazna skupa. Preslikavanje koje svakom elementu skupa D pridružuje točno jedan element skupa K zove se funkcija sa D u K, oznaka f : D → K.
Skup D nazivamo domena funkcije (područje definicije). Skup K nazivamo kodomena funkcije (područje vrijednosti). Zanimat će nas i slika funkcije (skup funkcijskih vrijednosti). Slika je podskup kodomene, a čine je oni elementi kodomene u koje se preslikao barem jedan element domene. Na primjer, slika funkcije na dijagramu 2 je {a, b, c}, a slika funkcije na dijagramu 3 je {b}. U definiciji smo istakli tri ključna elementa: postojanje dva neprazna skupa i svojstva koje preslikavanje mora zadovoljiti da bi funkcija bila definirana. Pri tom je spominjanje nepraznih skupova D i K "tehnički argument", tj. iskazivanje banalne činjenice da moramo imati elemente koje ćemo preslikati i elemente koje ćemo im pridružiti, dok su svojstva preslikavanja bitna za prepoznavanje što jest a što nije funkcija. Ponovimo, funkcija je jednoznačno određena s tri podatka: domenom, kodomenom i pravilom preslikavanja! Da bi dvije funkcije bile jednake, moraju imati jednake i domene i kodomene i pravilo preslikavanja (ovo nije formalnost: u zadacima ćemo vidjeti da promjena domene i/ili kodomene uz isto pravilo preslikavanja, rezultira novom funkcijom drukčijih svojstava).
2.2 Pojmovi i svojstva Nakon što definiramo neki pojam, najčešće tražimo za posebno "lijepim" predstavnicima toga pojma. U slučaju funkcija, razmotrit ćemo dva "lijepa" svojstva: ako se različiti elementi domene preslikaju u različite elemente kodomene (odnosno, ako se nijedna dva elementa domene ne preslikaju u isti element kodomene), funkcija je injekcija (dijagrami 2 i 6 na prethodnoj stranici); ako je slika funkcije jednaka kodomeni (odnosno, ako se u svaki element kodomene preslikao barem jedan element domene), funkcija je surjekcija (dijagrami 4 i 6 na prethodnoj stranici). Injekcije i surjekcije su, dakle, "lijepe" funkcije. Uočimo da je samo dijagram 6 ujedno i surjekcija i injekcija. Uočimo nadalje da je ovo "jako, jako lijepa" funkcija: skupovi D i K imaju jednak broj elemenata i imamo tzv. "1-1" preslikavanje. Funkcija koja je surjekcija i injekcija naziva se bijekcija. Napomena: Funkcija koja nije bijekcija može se "popraviti", od nje se može dobiti funkcija koja jest bijekcija, i koja čuva preslikavanje koliko je to god moguće:
ako funkcija nije injekcija, iz domene uzimamo samo jedan od elemenata koji imaju istu funkcijsku vrijednost; ako funkcija nije surjekcija, kao kodomenu nove funkcije uzimamo sliku izvorne funkcije. Naravno, tako dobivena funkcija nije jednaka izvornoj funkciji iako nismo mijenjali pravilo preslikavanja. Štoviše, upravo ovaj postupak je najbolji primjer da funkcija nije samo "preslikavanje", jer uz zadržano preslikavanje mijenjanjem domene i/ili kodomene dobivamo novu funkciju različitih svojstava.
14
2. Funkcije
Primjer: Razmotrimo f(x)=x2, f : R → R. Ova funkcija nije injekcija (jer je, npr. (–1)2 = 12), ni surjekcija (jer je slika funkcije interval [0, ∞), tj. nijedan broj nema negativnu funkcijsku vrijednost). Ako želimo "lijepu" funkciju (dakle, bijekciju) koja će biti "što sličnija" funkciji f tj. koju ćemo dobiti uz što manje "zahvate" na definiciji funkcije f), postupamo kako slijedi:
da bismo postigli injektivnost, provodimo restrikciju domene: definiramo funkciju g(x)=x2, g : [0, ∞) → R. Funkcija g je injekcija (ali još uvijek nije surjekcija); da bismo postigli surjektivnost, provodimo restrikciju kodomene: definiramo funkciju h(x)=x2, h : [0, ∞) → [0, ∞). Funkcija h je i injekcija i surjekcija, pa je bijekcija. Primijetimo da u izbor funkcija g i h nije jedinstven; na isti smo način mogli definirati funkcije p(x)=x2, p : (–∞, 0] → R, i q(x)=x2, q : (–∞, 0] → [0, ∞). Spomenuli smo već da se funkcije mogu definirati nad bilo koja dva neprazna skupa. Ipak, budući da ćemo se u daljnjim razmatranjima baviti funkcijama oblika f : D → K, gdje su D i K podskupovi skupa realnih brojeva, preostale pojmove i svojstva predstavit ćemo na primjerima takvih funkcija. Ovakve funkcije zovemo realne funkcije realne varijable ("realne funkcije" zbog toga što im je kodomena podskup skupa realnih brojeva; "realne varijable" zbog toga što im je domena podskup skupa realnih brojeva). Funkcija f : D → K može se zadati na razne načine. Mi ćemo najčešće koristiti eksplicitno zadavanje, tj. zadavanje izrazom y=f(x). Pri tom dogovorno (ako nije drukčije naznačeno) podrazumijevamo da funkciju razmatramo na njezinom prirodnom području definicije (to je skup svih realnih brojeva za koje se može izračunati funkcijska vrijednost, tj. za koje funkcija poprima realnu vrijednost), a kao kodomenu uzimamo cijeli skup R; Definicija: Neka su zadane funkcije f : D → R i g : K → R. Ako je slika funkcije f podskup domene funkcije g, definiramo kompoziciju funkcija, odnosno funkciju h : D → R takvu da je h(x)=g[f(x)]. Kompoziciju funkcija f i g u kojoj na x najprije djeluje funkcija f a potom na f(x) funkcija g, označavamo sa g°f(x).
Nije teško razumjeti kako kompozicija funkcija djeluje na x; možda je jedino na prvi pogled nejasan zahtjev da slika funkcije f bude podskup domene funkcije g, no to je jednostavno preduvjet da bi kompozicija bila dobro definirana. Naime, funkcija g djeluje samo na elemente skupa K i ako bi postojao neki x za koji je f(x) izvan skupa K, za takav x ne bi bila definirana kompozicija g[f(x)] (jer funkcija g "ne zna što bi" s vrijednošću f(x)). Primjer: Odredite g°f(x) ako je f(x)=2x+3, g(x)=x2 – 2. Rješenje: Moramo odrediti čemu je jednak g[f(x)], odnosno g(2x+3). Jedini problem koji se može pojaviti je "doslovno" shvaćanje argumenta x u definiciji funkcije g. Ovdje opet možemo posegnuti za "krumpirima" i definirati funkciju g kao g(krumpir)=(krumpir)2+2, gdje "krumpir" označava bilo koji realni izraz. Slijedom "logike krumpira":
g°f(x) = g(2x+3)= (2x+3)2 – 2 = 4x2+12x+7. Definicija: Neka je f : D → K bijekcija. Definiramo f–1 : K→D takvu da je ∀x∈D, f–1°f(x)=x.
Funkciju f–1 zovemo inverzna funkcija funkcije f. Promotrimo li dijagrame 1-6 na početku poglavlja, lako je razumjeti zbog čega f mora biti bijekcija da bi imala inverznu funkciju: samo u tom slučaju sve elemente kodomene "znamo" vratiti u izvorne elemente domene. Ako funkcija nije surjekcija, znači da je neki element
15
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
kodomene nepokriven funkcijskom vrijednošću (pa se nema kamo vratiti), a ako nije injekcija znači da se u barem jedan element kodomene preslikalo više od jednog elementa domene (pa taj element kodomene "ne zna" u koji bi se od preslikanih elemenata vratio). Primjer: Odredite inverznu funkciju za f(x)=2x+1. Rješenje: Lako se vidi da je funkcija f definirana na cijelom skupu R i bijekcija je. Vrijedi:
y = 2x + 1 x= Prema tome, f −1 (x ) =
y −1 2
x −1 . 2
Definicija: Nekoliko "brzopoteznih" definicija uz realne funkcije realne varijable f : D → K:
Dvije su funkcije jednake ako su im jednake domene, kodomene i pravilo preslikavanja (odnosno, ako su im jednaka sva tri elementa koja jednoznačno određuju funkciju); nul-točka funkcije je svaki x0 iz domene funkcije f za koji je f(x0)=0;
Funkcija je ograničena odozgo (odozdo) ako je njena slika odozgo (odozdo) ograničen skup; Funkcija je rastuća ako x10 takav da je (x0–ε, x0+ε) ⊆ D i za svaki x∈(x0–ε, x0+ε) vrijedi: f(x)≤f(x0); lokalni ekstrem, ako ima lokalni minimum ili lokalni maksimum;
(globalni) minimum, ako za svaki x∈D vrijedi: f(x0)≤f(x); (globalni) maksimum, ako za svaki x∈D vrijedi: f(x)≤f(x0); (globalni) ekstrem, ako ima (globalni) minimum ili (globalni) maksimum. Zadatak: Odgovorite na sljedeća pitanja:
Koliko najmanje a koliko najviše lokalnih globalnih minimuma (maksimuma) može imati funkcija? Koliko najmanje a koliko najviše globalnih? Ako je x0 lokalni minimum a x1 lokalni maksimum funkcije, što znamo o f(x0) i f(x1)? Ako funkcija ima lokalni minimum (maksimum), je li nužno ograničena odozdo (odozgo)? Kakva je veza ograničenosti i globalnih ekstrema?
18
x
2. Funkcije
2.4 Temeljne elementarne funkcije Prije nego što započnemo razmatranje tzv. elementarnih funkcija, navedimo sljedeće podjele. Sljedeće funkcije definiramo kao tzv. temeljne elementarne funkcije (naziv "osnovne elementarne funkcije" nije najsretniji jer su pojmovi "osnovne" i "elementarne" manje-više istoznačni): Konstantna funkcija; Potencija; Eksponencijalna funkcija; Logaritamska funkcija; Trigonometrijske funkcije; Ciklometrijske (arkus) funkcije. U ovom poglavlju razmotrit ćemo temeljne elementarne funkcije (njihovu definiciju, prirodno područje definicije i svojstva), potom ćemo razmotriti neke elementarne funkcije. Budući da još nismo definirali pojam limesa (granične vrijednosti) funkcije, ponašanje funkcija ćemo opisivati preko opisivanja njihovog grafa.
Konstantna funkcija Ovo je najjednostavnija elementarna funkcija. Oblika je f(x)=c, gdje je c∈R. Prirodno područje definicije je cijeli skup R. Graf je vodoravni pravac y=c.
Potencija Razmotrimo najprije potenciranje prirodnim brojem, tj. funkciju oblika f(x)=xn, n∈N: prirodno područje definicije je cijeli skup R; za neparne n, funkcija je neparna i bijekcija (pa možemo definirati inverznu funkciju); za neparne n, funkcija nije ograničena. Jedina nul-točka je x=0. Slika je cijeli skup R; za parne n, funkcija je parna i nije bijekcija. Međutim, ako se područje definicije ograniči na [0,∞), tako ograničena funkcija je bijekcija (pa možemo definirati inverznu funkciju); za parne n, funkcija je ograničena odozdo, ima minimum i jedinu nul-točku u x=0. Slika je skup [0,∞). Napomena: Kao što smo već savjetovali, zgodno je razmotriti graf i svojstva potencija f(x)=x2 (kao "predstavnika" parnog stupnja), odnosno f(x)=x3 (kao "predstavnika" neparnog stupnja):
razmotrite grafove funkcija f(x)=x2, f(x)=x3, f(x)= –x2, f(x)= –x3; funkcija f(x)=x2 je konveksna, funkcija f(x)=x3 je konkavna za x0 a za x=0 ima točku infleksije.
19
Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Potenciranje cijelim brojem definiramo tako da je x –n = 1/xn za svaki prirodan broj n. Prirodno područje definicije ovakvih funkcija je R\{0}. Potenciranje racionalnim brojem oblika 1/n (gdje je n prirodan broj) definiramo kao inverznu 1
funkciju funkcije f(x)=xn, označavamo x n =
n
x . Vrijedi:
ako je n neparan, područje definicije i slika je cijeli skup R; ako je n paran, područje definicije i slika je skup [0,∞). Drugim riječima, "neparni" korijeni su definirani za sve realne brojeve a "parni" za x≥0. Potenciranje racionalnim brojem definiramo sa: m xn
⎛ 1⎞ = ⎜xn ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
m
m
( )
(ili x n = x m
1 n
m
, oznaka x n = n x m .
ako je m negativan, moramo izbaciti nulu iz područja definicije.
Eksponencijalna i logaritamska funkcija Za realni broj a>0, a≠1 definiramo opću eksponencijalnu funkciju f(x)=ax. Prirodno područje definicije ove funkcije je R, slika je (0,∞). Ako je a>1 funkcija strogo raste, ako je a0, polinomi parnog stupnja ograničeni su odozdo a neograničeno rastu za jako male i za jako velike x-ove (tj. na lijevom i desnom kraju grafa), a polinomi neparnog stupnja neograničeno padaju na lijevom a neograničeno rastu na desnom kraju grafa, ako je an0, (x∈Ω i 0
