Matematika1 Ispiti Fesbmislav (2)
November 20, 2017 | Author: Miro Vucic | Category: N/A
Short Description
pismeni mat 1 fesb...
Description
130, grupa 2, 140
Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
Ime i prezime:
1
Dio: 1. 2. 3. (zaokružite dio gradiva koji odgovarate)
1. dio 2 3
Σ
1
2. dio 2 3
Σ
1
3. dio 2 3
Σ
1. dio √ √ 1. (6 bodova) Odrediti kompleksne brojeve z za koje vrijedi: |z+zi| = 2 2, Re(z 3 ) = 4 3 < arg(z) < 2π. i 3π 2 2. (a) (5 bodova) Riješiti sustav x−y−z = 0 x + y − 3z = 2 2x + 3y − 5z = 7. (b) (4 boda) Odrediti jednadžbu ravnine koja sadrži pravac je s pravcem x+5 = y−2 = z−1 . 4 7 2
x−3 2
=
y+4 1
=
z−2 −3
i paralelna
3. (a) (6 bodova) Kako definiramo skalarni i vektorski produkt dvaju vektora? Napisati dva svojstva skalarnog produkta i dva svojstva vektorskog produkta dvaju vektora. → − → − → − − → − → − → → (b) (4 boda) Koliki je kosinus kuta izmedju vektora − a = 2 i −3 j + k i b = i + j ? 2. dio 1. (a) (4 boda) Odrediti domenu funkcije s x f (x) = ln . x+1 (b) (5 bodova) Pokazati da funkcija y = eα·arcsin x zadovoljava jednadžbu (1 − x2 )y 00 − xy 0 − α2 y = 0. 2. (6 bodova) Odrediti normalu na krivulju y = x ln x koja je paralelna s pravcem 2x − 2y + 3 = 0. 3. (a) (5 bodova) Kada kažemo da je funkcija parna, a kada da je neparna? Provjeriti 3 x−x . parnost funkcije f (x) = 2x +3xsin 2 (b) (5 bodova) Kako definiramo derivaciju funkcije u točki? Primjenom te definicije odrediti derivaciju funkcije f (x) = cx, ako je c konstanta.
130, grupa 2, 140
Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
3. dio 1. (9 bodova) Odrediti domenu, nultočke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale monotonosti i zakrivljenosti, te skicirati graf funkcije f (x) =
(x − 1)2 . (x + 1)3
2. (a) (3 boda) Ispitati konvergenciju reda x−
x2n−1 x3 + · · · + (−1)n+1 + ··· . 3 · 3! (2n − 1) · (2n − 1)!
(b) (3 boda) Odrediti lim
n→∞
1 − 2 + 3 − 4 + · · · − 2n √ n2 + 1
.
3. (a) (5 bodova) Što je gomilište niza i koja je razlika izmedju gomilišta i limesa niza? (b) (5 bodova) Odrediti gomilišta nizova an = dva niza konvergentan i zašto?
(−1)n ·n 2n+5
i bn =
1 . n−(−1)n
Koji je od ta
130, grupa 2, 140
Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
Rješenja: 1. dio 35π . 1. z = 2 cos 35π + i sin 18 18 2. (a) (3, 2, 1). (b) 23x − 16y + 10z − 153 = 0.
2. dio 1. (a) (−∞, −1). 2. x − y − 3e−2 = 0.
3. dio 1. domena: R\{−1} asimptote: x = −1, y = 0. √ 2 lokalni ekstremi: Tmax 5, 27 , Tmin (1, 0), xinf = 5 ± 2 3. 2. (a) Konvergira za svaki realan broj x. (b) −1.
130, grupa 1
Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
Ime i prezime:
1
Dio: 1. 2. 3. (zaokružite dio gradiva koji odgovarate)
1. dio 2 3
Σ
1
2. dio 2 3
Σ
1
3. dio 2 3
Σ
1. dio 1. (6 bodova) Odredite rješenja jednadžbe √
z 4 + 16 = (−1 + i)7 . 5π 5π 2 cos 12 + i sin 12
2. (a) (5 bodova) Riješite sustav x+y+z = 6 3x − 2y − z = 0 5x + 2y − 4z = 6. (b) (4 boda) Odredite ortogonalnu projekciju N točke M (1, 0, 1) na ravninu π...3x + 4y + 5z + 2 = 0. 3. (a) (7 bodova) Kako definiramo duljinu vektora? Što je jedinični vektor? Što su → − → prikloni kutevi vektora − a 6= 0 ? → → − − → (b) (3 boda) Koliki kut vektor − a = i + k zatvara s koordinatnim osima x i y.
2. dio 1. (a) (4 boda) Odredite domenu funkcije i njene nultočke √ x2 + 5x − 6 . f (x) = x+6 (b) (5 bodova) Nađite 1012 − tu derivaciju funkcije y = xex u točki x = 0. √ 2. (6 bodova) Korištenjem geometrijskog ekstrema na krivulji y = − ln x nađite točku najbližu točki T (0, 0). 3. (a) (5 bodova)Definirajte limes funkcije. Kako definiramo neprekidnost funkcije u nekoj točki, a kako na skupu točaka? (b) (5 bodova) Koje vrste prekida imamo? Navedite primjere.
130, grupa 1
Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
3. dio 1. (9 bodova) Odredite domenu, nultočke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale monotonosti i zakrivljenosti, te skicirajte graf funkcije f (x) =
x3 + 2x2 + 7x − 3 . 2x2
(Napomena: točku infleksije ne treba provjeravati.) 2. (a) (3 boda) Ispitajte konvergenciju reda (uključujući rubove) x+
x2 xn + ··· + + ··· . 20 n · 10n−1
(b) (3 boda) Odredite lim
n→∞
1 1 1 + + ··· + 1·2 2·3 (n − 1) · n
.
3. (a) (5 bodova) Što je apsolutna konvergencija? Da li apsolutna konvergencija nekog reda povlači i konvergenciju tog reda? Navedite primjer apsolutno konvergentnog reda. (b) (5 bodova) Opišite konvergenciju reda X 1 np u ovisnosti o parametru p. Ispitajte konvergenciju reda
P
√1 . n3
130, grupa 1
Završni ispit iz MATEMATIKE 1, 13. veljače 2012.
Rješenja: 1. dio 1. z1 = 1 +
√
√ √ √ 3i, z2 = − 3 + i, z3 = −1 − 3i, z4 = 3 − i.
2. (a) (2, 2, 2). (b) N
2 , − 45 , 0 5
.
2. dio 1. (a) D = (−∞, −6) ∪ [1, ∞), N (1, 0). (b) y (1012) (0) = 1012. √ √ 2. x = 22 , y = ln 2.
3. dio: 1. domena: R\{0} asimptote: x = 0, y = 12 x + 1. 27 lokalni ekstremi: Tmax 1, 72 , Tmax −3, − 11 , T . 2, min 6 8 2. (a) Konvergira za x ∈ [−10, 10). (b) 1.
Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
1. (10 bodova) Skicirajte i odredite u Gaussovoj ravnini sve kompleksne brojeve z za koje vrijedi |z + 2 + i| ≤ 2 Im z > (Re z)2 − 2 .
2. (14 bodova) Rije²ite matri£nu jednadºbu XB − A = CB,
1 0 2 A = 0 −1 0 , 3 4 0
ako su
1 2 1 B = 0 1 2 , 2 4 1
−8 5 3 C = 1 2 1 . −3 4 0
3. (a) (8 bodova) Zadane su to£ke £etverokuta A(1, −2, 2), B(1, 4, 0), C(−4, 1, 1) i D(−5, −5, 3). −→ −−→ −→ −−→ Naite koliko iznosi a = (AB − BC) · (AB × DC). (b) (12 bodova)Odredite jednadºbu ravnine koja prolazi presjekom pravaca p1 . . .
x−1 y−2 z+3 x−2 y+3 z−5 = = i p2 . . . = = 1 1 2 1 2 1
a okomita je na pravac p3 . . .
x y+1 z−2 = = . 2 0 1
4. (8 bodova) Odredite limes niza 3n + (−2)n an = n+1 + 3 + (−2)n+1
(
n+1 n−1
)n
.
5. (18 bodova) Odredite domenu, nulto£ke, asimptote, lokalne ekstreme i intervale monotonosti te skicirajte graf funkcije f (x) =
5−x . 9 − x2
6. (a) (10 bodova) De nirajte linearnu nezavisnost [vektora i ]rang matrice. Kako odre1 −2 ujemo rang matrice? Odredite rang matrice u ovisnosti o parametru 10 α α. (b) (10 bodova) De nirajte limes, limes s lijeva i zdesna i neprekidnost funkcije realne varijable. (c) (10 bodova) De nirajte Cauchyjev niz. Koja je veza izmeu konvegrencije niza i svojstva da je niz Cauchyjev. Pokaºite da je niz an = n1 Cauchyjev.
Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Rje²enja:
1. {(x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + (y + 1)2 ≤ 4, y > x2 − 2}.
3 3 −2 2. X = 5 1 −1 . 2 2 −1
3. a) a = 0 b) π...2x + z − 27 = 0 4. L = 13 + e2 . 5. Df = R {−3, 3}, N.T. N (5, 0), vert. asimptote x = −3, x = 3, horiz. asimptota y = 0, lokalni ekstremi: Tmin (1, 12 ), Tmax (9, 181 ), f padaju¢a na ⟨−∞, −1⟩∪⟨9, +∞⟩, a rastu¢a na ⟨1, 9⟩.
130, 140
Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 26. kolovoza 2013.
Ime i prezime:
1
2
3
4
5
6
7
Σ
1. (8 bodova) Odredite sve z ∈ C koji zadovoljavaju jednadºbu )13 ( √ )5 (√ 3+i . z 3 = 1 − 3i
2. (8 bodova) Odredite domenu funkcije f (x) = √
ln xx+4 2 −9 −x2 + 5x − 4
.
3. (12 bodova) Odredite domenu, nulto£ke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale monotonosti, to£ke in eksije, intervale zakrivljenosti, te skicirajte graf funkcije f (x) =
x2
x . −1
4. (8 bodova) Rije²ite matri£nu jednadºbu (A−1 X)−1 = X −1 B + A [
ako su A =
2 −2 0 1
]
[
iB=
] 0 1 . −1 1
5. (7 bodova) Ispitajte konvergenciju reda ∞ n ∑ 4 n! n=1
nn
.
6. (7 bodova) Odredite jednadºbu ravnine koja prolazi pravcem p1 . . .
y−2 z−3 x−1 = = 2 3 4
a paralelna je s pravcem p2 . . .
x y−1 z = = . 3 1 0
7. (a) (10 bodova) Kako de niramo linearnu zavisnost odnosno nezavisnost vektora? Napi²ite primjer tri linearno zavisna vektora u R3 , te jedan od njih prikaºite kao linearnu kombinaciju preostala dva.
130, 140
Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 26. kolovoza 2013.
(b) (10 bodova) Kako de niramo konveksnost i konkavnost? Koja su svojstva grafa konveksne i konkavne funkcije? Odredite intervale zakrivljenosti funkcije f (x) = x3 . (c) (10 bodova) De nirajte red brojeva i sumu reda. Kako glasi nuºan uvjet konvergencije reda brojeva? Dajte (i objasnite) primjer iz kojeg se vidi da to nije i dovoljan uvjet. Rje²enja:
1. z = 26 (cos
π +2kπ 2
3
+ i sin
π +2kπ 2
3
), k = 0, 1, 2.
2. Df = ⟨3, 4⟩. 3. Df = R {−1, 1}, N.T. N (0, 0), vert. asimptote x = −1, x = 1, horiz. asimptota y = 0, nema lokalnih ekstrema, f pada na cijeloj Df , Tinf . (0, 0),konkavna je na ⟨−∞, −1⟩ ∪ ⟨0, 1⟩, a konveksna na ⟨−1, 0⟩ ∪ ⟨1, +∞⟩. [
4. X =
] 1 −1 . 1 1 2
5. Red divergira. 6. π... − 4x + 12y − 7z + 1 = 0.
130,140
Popravni ispit iz Matematike 1, 27. veljače 2012.
Ime i prezime 1.
2.
3.
4.
5.
6.
P
1. (8 bodova) Vektori ~a = (2, 3, 1), ~b = (5, 6, 4), ~c = (−1, 5, 3) razapinju paralelopiped. Odrediti duljinu one visine paralelopipeda koja je okomita na bazu odredjenu vektorima ~a i ~b. √ 1 2. (7 bodova) Izračunati lim 1 + tg2 x 2x . x→0
3. (10 bodova) Zadana je funkcija f (x) = domenu i derivaciju.
p 1 − log2 (x − 1). Odrediti njenu
4. (10 bodova) Odrediti domenu, nultočke, asimptote, intervale monotonosti i x4 . zakrivljenosti, te skicirati graf funkcije f (x) = 3 x −1 √ 5. (10 bodova) Funkciju f (x) = ln x − 1 razviti u Taylorov red oko točke x0 = 2, te odrediti područje konvergencije dobivenog reda. 6. (a) (10 bodova) Što je inverzna matrica? Dokažite da vrijedi −1 (AB)−1 = B −1 · A−1 . Odredite X ako vrijedi (AX −1 ) = B. (b) (10 bodova) Opišite načine zadavanja funkcija i navedite primjere. Dokažite da kružnica x2 + 2x + y 2 − 3 = 0 ima parametarsku jednadžbu x = −1 + 2 sin t, y = 2 cos t, t ∈ [−π, π]. (c) (10 bodova) Kako definiramo konveksnost i konkavnost? Koja su svojstva grafa konveksne i konkavne funkcije? Što je točka infleksije i kada postoji? Navedite primjer funkcije konveksne na cijelom području definicije.
130,140
Popravni ispit iz Matematike 1, 27. veljače 2012.
Rješenja:
1. v = √ 2. e.
√ 5 6 . 3
3. D{ = h1, 3]. 4. Asimptote: x = 1, y = x. Tmin 5. f (x) =
1 2
∞ P n=1
n
√ 3
√ √ √ 4, 43 3 4 , Tmaks (0, 0), Tinf − 3 2, − 23 3 2 .
(−1)n−1 (x−2) , x ∈< 1, 3]. n
130 - grupa 2, 140
1. kolokvij iz Matematike 1, 2012/13
Ime i prezime 1.
2.(a)
1. (5 bodova) Izra£unajte sve 2.
2.(b)
z∈C
3.(a)
3.(b)
za koje je
4.(a)
4.(b)
5.
z 3 + 1 = i5 .
(a) (5 bodova) Cramerovim pravilom rije²ite sustav
x−y−z = 0 x + y − 3z = 2 2x + 3y − 5z = 7. (b) 3.
(a) (5 bodova) Odredite jednadºbu ravnine
p... x−3 2
=
y+4 1
=
Π
z−2 i paralelna je s pravcem −3
koja sadrºi pravac
p... x+5 = 4
(b) 4.
(a) (5 bodova) Odredite domenu funkcije
f (x) =
√
x2 − 5x + 6 + log2 (x − 4) .
(b) 5. (5 bodova) Izra£unajte
x2 + x − 6 . x→2 2 − 3x + x2 lim
Rje²enja: 1.
√ ( ) 6 2 cos 3π + i sin 3π , 12 12 √ ( ) z1 = 6 2 cos 11π + i sin 11π , 12 12 √ ( ) z2 = 6 2 cos 19π + i sin 19π . 12 12 z0 =
2. (a)
(3, 2, 1) .
3. (a)
Π . . . 23x − 16y + 10z − 153 = 0.
4. (a)
Df = ⟨4, +∞⟩.
5.
limx→2
x2 +x−6 2−3x+x2
= 5.
y−2 7
=
z−1 . 2
∑
130 - grupa 1
1. kolokvij iz Matematike 1, 2012/13
Ime i prezime 1.
2.(a)
1. (5 bodova) Izra£unajte sve 2.
2.(b)
z∈C
3.(a)
3.(b)
za koje je
(a) (5 bodova) Za koji realni parmetar
4.(a)
4z 3 =
a∈R
(√
4.(b)
3−i
)5
5.
∑
.
sustav
x+y−z = 3 ax − 2y + 3z = 7 3x + 4y − z = 0 nema rje²enje. (b) 3.
(a) (5 bodova) Odredite jednadºbu ravnine Π koja prolazi to£kama A(1, 2, 0) i
B (−1, 0, 1),
a paralelna je pravcu
p... x−1 = 3
y −1
(b) 4.
(a) (5 bodova) Odredite domenu funkcije
√ f (x) =
log2
x−1 . x+2
(b) 5. (5 bodova) Izra£unajte
x2 − 2x + 1 . x→1 4x − x2 − 3 lim
Rje²enja: 1.
( ) z0 = 2 cos 7π + i sin 7π , 18 18 ( ) 19π z1 = 2 cos 19π + i sin , 18 18 ) ( + i sin 31π . z2 = 2 cos 31π 18 18
2. (a)
a = − 73 .
3. (a)
Π . . . − 3x + 7y + 8z − 11 = 0.
4. (a)
Df = ⟨−∞, −2⟩.
5.
limx→1
x2 −2x+1 4x−x2 −3
= 0.
=
z+1 . 2
130-Grupa 2, 140
1. kolokvij iz Matematike 1, 2011/12.
Ime i prezime 1.
2.
3.
4.
5.
P
1. (6 bodova) U skupu kompleksnih brojeva odrediti ona rješenja jednadžbe √ 3 z 6 = 2 + 2 3i za koja je Im(z) > 0. 2. (4 boda) Gaussovom metodom eliminacije riješiti sustav linearnih jednadžbi 2x1 − 3x2 + x3 + 1 = 0 x1 + x2 + x3 = 6 3x1 + x2 − 2x3 = −1. → − → → → − − → − → − → − − − 3. (5 bodova) Zadani su vektori: → a = i − j − k, b = 3i +2j − k i → − → − → − → − → − − → c = 4 i + 3 j − 5 k . Odrediti vektor → v koji je okomit na vektore − a i b i → → za kojeg vrijedi − v ·− c = 38. 4. (5 bodova) a) Zapisati nazive skupova brojeva N, Z, Q, R te objasniti što su elementi svakog od tih skupova. Objasniti pojmove diskretnog i gustog skupa, te za gore navedene skupove brojeva napisati koji su diskretni, a koji gusti. b) Dokazati da za kompleksan broj z vrijedi z¯ · z = z · z¯ = |z|2 . 5. (5 bodova) a) Dokazati da je inverzna matrica matrice A ∈ Mn , ukoliko postoji, jedinstvena. → − → b) Definirati skalarni produkt vektora − a i b te nabrojati barem četiri svo→ → − − → − jstva tog produkta. Za proizvoljna dva vektora zadana u bazi { i , j , k }, izvesti formulu za skalarni produkt tih dvaju vektora.
Rješenja: 1. z1 =
√
√ 3 + i, z2 = 2i, z3 = − 3 + i.
2. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. → − → − → − → 3. − v = −6 i + 4 j − 10 k .
130 - grupa 1
1. kolokvij iz Matematike 1, 2011/12
Ime i prezime 1.
2.(a)
2.(b)
3.(a)
1. (6 bodova) U kompleksnoj ravnini skicirajte skup to£aka
3.(b)
z∈C
∑
koje zado-
voljavaju uvjete
( ) Im z 2 + 1 ≥ 2 (Im z)2 , |z + i| < 3. 2.
(a) (4 boda) Rije²ite sustav Cramerovim pravilom
2x − 3y + z + 1 = 0 x+y+z = 6 3x + y − 2z = −1. (b) (5 bodova) Zadane su to£ke A(4, 3, −2),
B(6, 6, 4) i C(10, 5, −5). Pokaºite −→ −→ −−→ da vektori AB i AC mogu biti dva brida kocke. Odredite vektor AD tako −−→ da AD bude brid te kocke.
3.
(a) (7 bodova) to je inverzna matrica? Dokaºite da su slijede¢e tvrdnje ekvivalentne:
det A ̸= 0 i A
(b) (3 boda) Za koji
x∈R
je regularna matrica.
je matrica
[
A=
2−x 1 3+x 0
] regularna?
Rje²enja: 1.
{y ≥ 0 ∩ x ≥ y ∩ x2 + (y + 1)2 < 9} ∪ {y < 0 ∩ x ≤ y ∩ x2 + (y + 1)2 < 9}. x 1 y = 2 . (a) z 3 −→ −→ − → −−→ −→ −→ −−→ → − − → (b) AB = AC = 7, AB · AC = 0; AD1 = −3 i + 6 j − 2 k , AD2 = − → − → − → 3 i −6j +2k.
130, grupa 1
1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Ime i prezime:
1
2
3
4
5
Σ
1. (6 bodova) Rije²ite jednadºbu u skupu kompleksnih brojeva ( 4
z +
1+i 1−i
)43 = −(cos π + i sin π).
2. (6 bodova) Odredite matricu X koja je rje²enje matri£ne jednadºbe X −1 B = C −1 − X −1 AC −1 , pri £emu je [ A=
1 2 0 1
]
[
2 1 3 0
,B =
]
[
iC=
0 2 1 4
]
, te odredite X −1 .
3. (5 bodova) Naite jednadºbu pravca koji prolazi to£kom T (1, 1, −3), a okomit je na ravninu odreenu pravcima p1 . . .
x−2 y−1 z−2 = = i −1 2 0
p2 . . .
x−5 y−2 z−3 = = . 2 3 1
4. a) (4 boda) Odredite domenu funkcije √ ( ) x−3 f (x) = ln . x2 − 4 b) (4 boda)
Izra£unajte (bez kori²tenja L'Hospitalovog pravila) √ 3− 5+x √ lim . x→4 1 − 5−x
5. a) (5 bodova) De nirajte linearnu nezavisnost vektora [ ] i rang matrice. Kako odreujemo
−1 2 u ovisnosti o parametru α. 3 α − → → b) (5 bodova) to je jedini£ni vektor vektora − a ̸= 0 ? to su prikloni kutevi vektora − − → → → − − → → a ̸= 0 ? Koliki kut vektor − a = i + k zatvara s koordinatnim osima x i y .
rang matrice? Odredite rang matrice
Kako de niramo slijede¢e vrste funkcija: omeena, strogo rastu¢a, padaju¢a, periodi£ka? Navedite po jedan primjer za svaku od tih vrsta funkcija.
c) (5 bodova)
130, grupa 1
1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Rje²enja:
π π √ +2kπ +2kπ 8 2(cos 4 4 + i sin 4 4 ), k = 0, 1, 2, 3 [ ] [ 1 ] 5 2 10 − −1 2. X = , X = 2 17 0 7 0 7
1. z =
3. p . . . x−1 = 2
y−1 1
=
z+3 −7
⟨ [ √ ⟩ √ ] 1− 5 4. a) Df = −2, 2 ∪ 1+2 5 , 2
b) - 13
130, grupa 2, 140
1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Ime i prezime:
1
2
3
4
5
Σ
1. (6 bodova) Skicirajte u kompleksnoj ravnini sve z ∈ C za koje je |z − (1 − i)| ≥ 1, Re(z · z) − 2 Re z ≤ 8 i Im < 0.
2. (6 bodova) Odredite λ ∈ R tako da sustav x1 + 3x3 = −3 2x1 + λx2 + x3 = −2 x1 + 2x2 − λx3 = 1
ima jednoparametarsko rje²enje, te odredite to rje²enje. 3. (5 bodova) Naite jednadºbu pravca koji prolazi to£kom T koja je sjeci²te pravca p1 . . .
i ravnine
x−1 y−2 z+3 = = 2 −4 5
π . . . x + y + 4z − 9 = 0,
a okomit je na ravninu π. 4. a) (4 boda) Odredite domenu funkcije f (x) = b) (4 boda)
√
x2 + x − 12 + log
(
x−1 x+3
) .
Izra£unajte (bez kori²tenja L'Hospitalovog pravila) √ √ x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 lim . x→3 x2 − 4x + 3
5. a) (5 bodova) Kako mnoºimo matrice? Koja su svojstva mnoºenja matrica? Izrazite X iz jednadºbe A + BX = C − X ako su A, B i C poznate matrice. b) (5 bodova) De nirajte skalarni i vektorski produkt. Navedite po jednu primjenu (i primjer za tu primjenu) svakog od tih produkata. c) (5 bodova) Kako de niramo kompoziciju funkcija? Da li je kompozicija funkcija asocijativna? Zadane su funkcije f (x) = 3x2 , g (x) = x − 10 i h (x) = cos x.
Naite h ◦ (g ◦ f ) .
130, grupa 2, 140
1. kolokvij iz MATEMATIKE 1, 2013/14.
Rje²enja: 1. {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y + 1)2 ≥ 1, (x − 1)2 + y 2 ≤ 9 i y < 0}
x1 −3 − 3λ 2. λ = 2, x2 = 4 + 5λ , λ ∈ R x3 λ
3. p . . . x−3 = 1
y+2 1
=
z−2 4
4. a) Df = [−4, −3⟩ ∪ ⟨1, 3] b) - 13
1. Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 1.DIO, 2013./2014.
130,140
1. (6 bodova) Skicirajte u Gaussovoj ravnini sve kompleksne brojeve z za koje vrijedi Im(z 2 + 1) ≥ 2 Re z, |z + 1| < 3.
2. (7 bodova) U ovisnosti o parametru λ ∈ R rije²ite sustav jednadºbi 3x + 2y + 3z = 12 2x + y + 2z = 5 . λx + 2y + z = 4
3. (6 bodova) Naite jednadºbu ravnine koja prolazi kroz to£ke A(1, 0, 4) i B(−2, 1, 5), a paralelna je s pravcem koji prolazi kroz to£ke P (1, −2, 1) i Q(2, 1, 3). 4. (a) (3 boda) Odredite podru£je de nicije funkcije arcsin (x − 3) . f (x) = √ x2 + 2x − 15
(b) (3 boda) Izra£unajte [ lim
x→∞
x2 + 3x √ sin x + x2 + 1
( )] 1 . x
5. (a) (5 bodova) De nirajte rang matrice. Kakva je veza rje²ivog sustava Ax = b sa n nepoznanica i ranga matrice A? Kada kaºemo da je sustav Ax = b homogen i kada ¢e on imati netrivijalno rje²enje? (b) (5 bodova) Izvedite vektorsku jednadºbu pravca p zadanog u prostoru pomo¢u dviju razlicitih tocaka T1 i T2 , pa je zatim raspi²ite u parametarskom i kanonskom obliku u koordinatnom sustavu (O, i, j, k). Kako glase jednadºbe koordinatnih osi u parametarskom obliku? (c) (5 bodova) Kako de niramo limes funkcije f : D → K u to£ki x = a, a kako neprekidnost funkcije f u to£ki x = a? Skicirajte funkciju f (x) = sgn(x), pa za nju prokomentirajte limes i neprekidnost u tocki x = 0.
1. Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 1.DIO, 2013./2014.
130,140
Rje²enja: 1. {(x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + y 2 < 9 ∩ ((x ≥ 0 ∩ y ≥ 1) ∪ (x ≤ 0 ∩ y ≤ 1))} .
x 2. λ = 1 sustav nema rje²enja, λ ̸= 1 y = z
3. π...x − 7y + 10z − 41 = 0. 4. a) Df = ⟨3, 4] ;
b) 12 .
12 1−λ
9 2λ−14 1−λ
.
130-Grupa 2, 140
1. kolokvij iz Matematike 1, 2010/11.
Ime i prezime 1.a)
1.
1.b)
2.a)
2.b)
3.
P
a) (5 bodova) Neka je zadan kompleksni broj z1 = cos 5π + i sin 5π . U 3 3 skupu kompleksnih brojeva riješiti jednadžbu √ ! 1 3 − +i z 2 = −i z13 . 2 2 b) (4 boda) Skicirati u kompleksnoj ravnini sve z ∈ C za koje je |z − (1 − i)| ≤ 1,
2.
Im z < Re z 2
i Re z > 0.
a) (5 bodova) Odrediti prirodno područje definicije funkcije r √ x−4 f (x) = 4 − 3x − x3 + log . x+2 b) (4 boda) Odrediti derivaciju funkcije √ ln(tg2 x) . f (x) = x
3. (7 bodova) a) Napisati definiciju funkcije i bijekcije funkcije. b) U zasebnim koordinatnim sustavima skicirati grafove funkcija f (x) = ex , g(x) = tg x i h(x) = x1 te za svaku od njih odrediti domenu, parnost/neparnost, lim , lim i asimptote. x→−∞ x→+∞
Rješenja: 1.
a) (z)0 = cos 5π + i sin 5π i (z)1 = cos 17π + i sin 17π . 12 12 12 12 b) {(x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, −1) i (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1}.
2.
a) h−∞, −2i. b) f 0 (x) =
−2 ln(tg x2
√
x)
+
√ 2 √ . x x sin 2 x
130, grupa 1
1. kolokvij iz Matematike 1, 2010/11
Ime i prezime 1.
1.
2.
3.
P
a) (5 bodova) Rijeˇsite jednadˇzbu u skupu kompleksnih brojeva i rjeˇsenja prikaˇzite u algebarskom obliku √ 5 π π (z − 1)2 = (cos + i sin ). |2 − i| 2 2 b) (4 boda) Skicirajte u kompleksnoj ravnini sve z ∈ C koji udovoljavaju uvjetima |z − 3| ≥ 1 i |z − 1| ≤ |z| .
2.
a) (5 bodova) Odredite prirodno podruˇcje definicije funkcije f (x) =
2x − 1 ln x + ln . ln x − 1 x+2
b) (4 boda) Odredite derivaciju funkcije f (x) = x arcsin(ln 3.
√
x).
a) (4 boda) Definirajte neprekidnost funkcije u toˇcki i neprekidnost funkcije na skupu. b) (3 boda) Ispitajte neprekidnost funkcije −1, x < 0 0, x = 0 f (x) = 1, x > 0 u toˇcki x0 = 0.
Rjeˇ senja √ √ √ 2 2 +i , z2 = 1 − 22 − i 22 z1 = 1 + 2 2 Uvjetima udovoljavaju svi kompleksni brojevi za x ≥ (x − 3)2 + y 2 = 1 ® Df = 12 , ∞ \ {e} √ f 0 (x) = arcsin(ln x) + √ 1 2 √ √
1.
a) b)
2.
a) b)
2
1−ln
x
1 2
izvan kruˇznice
130, 140
Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 07. velja£e 2011.
Ime i prezime:
1. dio 2 3
1
Dio:
1.
2.
3.
(zaokruºite dio gradiva koji odgovarate)
Σ
1
2. dio 2 3
1
Σ
3. dio 2 3
Σ
1. dio
1. (7 bodova) Skicirajte u kompleksnoj ravnini sve kompleksne brojeve za koje vrijedi |z| ≤ Im z + 1. 2. (a) (6 bodova) Derivirajte implicitno zadanu funkciju xy = y x .
(b) (5 bodova) Odredite domenu funkcije √ f (x) =
log2
x+3 + 1. 2x − 4
3. (7 bodova) (a) Kako de niramo kompoziciju funkcija? Da li je kompozicija funkcija asocijativna? (b) Zadane su funkcije f (x) = x2 , g (x) = 3x + 1 i h (x) = sin x.
Naite h ◦ (g ◦ f ) i (h ◦ g) ◦ f . Rje²enja:
1. Rje²enje su sve to£ke iznad parabole y = 2. (a) y ′ =
x2 −1 2
y ln y− x ln x− x y
(b) Df = ⟨2, ∞⟩ 2. dio
1. (10 bodova) Odredite domenu, nulto£ke, asimptote, lokalne ekstreme, intervale rasta i pada, te skicirajte graf funkcije zadane sa x2 − x + 1 . f (x) = 2 x +x+1
1
130, 140
Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 07. velja£e 2011.
2. (a) (5 bodova) Izra£unajte
ln tg πx 4 lim . x→1 ctg πx 2
(b) (3 bodova) Ispitajte konvergenciju reda ∞ ∑ (−1)n n n=1
6n − 5
.
3. (7 bodova) (a) to je kriti£na, a ²to stacionarna to£ka? (b) Odredite kriti£ne i stacionarne to£ke funkcije f : R → R zadane izrazom f (x) =
√ 3 (1 − x2 ).
Rje²enja:
1. domena: R, nulto£ke: nema ih asimptote: nema vertikalne asimptote y = 1 je obostrana horizontalna asimptota lokalni ekstremi: x = −1 je lokalni maksimum, x = 1 je lokalni minimum √ ⟩ ⟨ √ ⟩ ⟨ √ ⟩ ⟨ intervali monotonosti: f je padaju¢a na − 2, 0 ∪ 0, 2 , f je rastu¢a na −∞, − 2 ∪ ⟨√ ⟩ 2, +∞
2. (a) L = −1 (b) red divergira 3. dio
1. (8 bodova) Gaussovom metodom eliminacije rije²ite sustav x + 2y − 4z 2x + y − 5z x−y−z x+y
= = = =
1 −1 −2 3
2. (a) (5 bodova) Odredite povr²inu trokuta odreenog to£kama A(1, 0, 1), B(2, 5, 2) i C(2, 2, 1) i duljinu visine va spu²tene iz vrha A. (b) (5 bodova) Odredite jednadºbu ravnine π koja sadrºi to£ke A(1, 0, 1) i B(2, 5, 2) i paralelna je s pravcem p... x2 = y3 = z−1 . 1 3. (7 bodova) 2
130, 140
Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1, 07. velja£e 2011.
(a) to je inverzna matrica? Ako postoji, da li je inverzna matrica jedinstvena? [
(b) Odredite X , ako vrijedi AX = B , A = Rje²enja:
1 x 1. y = 2 1 z
2. (a) P =
√ 14 , 2
√ va =
7 5
(b) π... − 2x − y + 7z − 5 = 0.
3
[ ] ] 2 1 −1 1 ,B= . 3 0 4 2
130,140
Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 21. veljače 2011.
Ime i prezime: 1.a)
1.
1.b)
2.
3.a)
3.b)
4.
5.a)
5.b)
P
a) (10 bodova) Riješiti jednadžbu √ √ (1 + i 3)3 9 3 23 z +i · 3 . √ 4 = 4 1 − i 33 b) (10 bodova) Naći jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) = ln infleksije te funkcije.
1−x u točki x+5
2. (15 bodova) Odrediti područje definicije, nul-točke, asimptote, ekstreme, te skicirati 6 graf funkcije f (x) = x − 2 − . x−1 √ 3. a) (7 bodova) Odrediti lim x x2 + 1 − x . x→+∞
b) (8 bodova) Ispitati konvergenciju reda 1 +
1 22 32 + + + · · ·. (1!)2 (2!)2 (3!)2
x−3 y+1 z 4. (10 bodova) Napisati jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem p1 ... = = i −2 1 2 x+1 y−2 z−1 paralelna je s pravcem p2 ... = = . 1 3 2 5.
a) (7 bodova) U √ zasebnim koordinatnim sustavima skicirati grafove sljedećih realnih funkcija: x3 , x, ln x i tg x, te za svaku funkciju, ispod njenog grafa, komentirati sljedeće: domena, nultočke, parnost/neparnost, periodičnost, intervali monotonosti i intervali konveksnosti odnosno konkavnosti. b) (8 bodova) Objasniti što je determinanta, za kakve matrice se definira, te na primjeru proizvoljne determinante reda 3 × 3, s elementima (aij ), raspisati Laplaceov razvoj po drugom retku. Kako glasi Cramerovo pravilo i gdje se primjenjuje?
130,140
Popravni ispit iz MATEMATIKE 1, 21. veljače 2011.
Rješenja: 1.
a) z1 = 1, z2 = − 12 +
√ i 3 , 2
z3 = − 12 −
√ i 3 . 2
b) y = − 23 (x + 2). 2. Df = R\ {1} . Nultočke: (−1, 0), (4, 0). Pravac x = 1 je obostrana vertikalna asimptota, a y = x − 2 je obostrana kosa asimptota. Ekstremi ne postoje. 3.
a)
1 . 2
b) Red konvergira. 4. 4x − 6y + 7z − 18 = 0.
Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1- 1.dio, 11. velja£e 2013.
130, grupa 1
Ime i prezime:
1
2
3
4
5
Σ
1. dio
1. (6 bodova) Odredite z ∈ C za koje vrijedi 3 z − = Im 2
(
3
3−i 2+i
√
) −
3 i. 2
2. (6 bodova) Odredite X iz jednadºbe AX = B + C ako je [ A=
1 2 0 3
]
[
,B=
0 1 2 1
]
[
iC=
1 2 0 2
] .
3. (6 bodova) Odredite udaljenost pravaca p1 . . .
x−1 y z+1 = = 2 1 3
p2 . . .
x y−1 z−1 = = . 2 1 3
i 4. (7 bodova) Za funkciju
f (x) =
x2 − 1 ln x + 1
odredite domenu i asimptote. 5. (15 bodova) (a) Kako de niramo linearnu zavisnost odnosno nezavisnost vektora? Navedite primjer tri linearno nezavisna vektora u R3 . (b) Kako de niramo limes funkcije f u to£ki x0 ? Kada kaºemo da je funkcija neprekidna u to£ki x0 . Ispitajte da li je funkcija 2x, x < 0 0, x = 0 f (x) = 3 − 2 x, x > 0
neprekidna u to£ki x0 = 0?
Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1- 1.dio, 11. velja£e 2013.
130, grupa 1
Rje²enja:
1. z = 1(cos
5π +2kπ 3
3
[ 1 ] − 1 2. X = 2 3 . 1 3 √ 3. d = 59 . 14 ⟨
⟩
4. Df = 0, 1e ∪
⟨1
+ i sin
5π +2kπ 3
3
), k = 0, 1, 2.
⟩ , +∞ ,vert. asimp. x = 1e . e
Zavr²ni ispit iz MATEMATIKE 1- 1.dio, 11. velja£e 2013.
130, grupa 2, 140
Ime i prezime:
1
2
3
4
5
Σ
1. dio
1. (7 bodova) Odredite sve z ∈ C koji zadovoljavaju jednadºbu
√ ( π π) 3 2 cos + i sin z + (−1 − i)7 = 0. 4 4
2. (6 bodova) Rije²ite sustav jednadºbi −2x1 + x2 3x1 + 2x3 3x1 + 2x3 x1 + x2 + 2x3
+ 3x4 − 2x4 + 2x4 + x4
= −5 = 1 = −1 = −4
3. (6 bodova) Naite jednadºbu ravnine koja sadrºi pravac p1 . . .
i okomita je na ravninu
x−1 y−2 z+3 = = 2 1 3
π . . . 2x − 4y + z = 0.
4. (6 bodova) Odredite domenu funkcije ln (x − 2) f (x) = √ + x. x2 − 3x
5. (15 bodova) (a) Napi²ite dva razli£ita oblika za jednadºbu pravca u prostoru R3 , te objasnite zna£enje oznaka koje upotrijebite u tim jednadºbama. (b) Kako de niramo limes funkcije? Kako de niramo neprekidnost? Opi²ite vrste prekida. Rje²enja:
1. z = 2(cos
3π +2kπ 2
3
1 x1 x2 1 2 2. x3 = − 3 2 x4 0
3π
+2kπ
), k = 0, 1, 2. 0 7 t + −2 . 0 − 12
+ i sin 2 3
3. π... − 13x − 4y + 10z + 51 = 0. 4. Df = ⟨3, +∞⟩.
View more...
Comments
