Matematika za prvi razred gimnazije

YBO~

Y fEOMETPJ1JY

TaqKe, rrpaBe H paBHH. Oµ;Hocu rrpHIIaµ;alba (102)

A Oµ;HOCM npmrn,n;aIDa M3Mel)y TaqaKa, rrpaBJa:

M

paBHM (102)

.6 O,n;ttorn rrpMrra,n;aIDa M KoM8MHaTOpMKa ( 106) B Ilorneµ;m.i;e aKrnoMa rrpmrnp;aina (107) Ilapa11eJIHOCT (110)

A IlapaJieJIHOCT rrpaBmc; aKCMOMa rrapaJieJIHOCTH (110) ~4

B Ilorne,n;m.i;e aKCMOMe rrapaJieJIHOCTH; rrporn11peHa ,n;eqm:tt~1ja rrapaJieJIHOCTM ( 111) Pacrropeµ; yaqaKa. ,D;y)K, rrorryrrpaBa H rrorrypaBaH (115)

A Pacrrope,n; TaqaKa; ,n;y)I(, rroJiynpaBa, rroJiypaBaH (llS) )1.

.6 IlarnoBa TeopeMa (118) Ba)l(He reoMeTpujcKe cl>urype. Yrao H MHoroyrao (119)

A KottBeKcHe

M

HeKOHBeKcHe qnrrype; yrao H MHoroyrao (ll9)

td Iloµ;yµ;apHOCT µ;y)KJ{ H Mepelbe ,ll;)')KJIBC ,ll;y)KJ{ (123)

A Ilo,n;y,n;apHOCT ,ll;y)l(H H Mepelbe ,ll;y)l(H; HajBa)l(HHja CBOjCTBa Mepe .1zy)Kli (123) Kpy)KH~a H Kpyr

(126)

A OcHOBHM rrojMOBH y Be3H ca KpyrOM H Kp~m.i;oM; o,n;ttoc ~e Kp}')Kfilme; O,ll;HOC ,n;Ba Kpyra (125) OpujeHTan;uja paBHH (128)

:4. A OpMjeHTHCaH Tpoyrao; opujeHTHCaH yrao (129)

0 l1

lKBM

y

A

Ta11Ke, npaBe u: paBHH. 0,u;Hocu: rrpu:rra,u;alha Ilpocrop 3a.MJillDbaMO Kao CKYTI. IheroBe eneMeHTe Ha3HBaMO Ta11Ka.Ma. OcttoBHe Bpcre IIOH;Clan y=0.

3a;'.laTaK Ha ornoBy cJIHKe rope Ha.BeAJi jom HeKe cpopMyne Koje cy ~"!f!IC:'

IloCToje H HeKe cueqHK11.

p(A, B, C).

pep

p

Pll P pn p=0

npa.u H pa.BID!

aKCllOMa

lQA

(IIP)

Axo npaBa H paBaH HMajy Bmne O;:{ je.n;He 3ajep;HWIIKeMo .n;a rrpaBa Ka:>KeMo .n;a cy napanerrHe. npoAJipe pa.Batt.

an P=P

: Ta'!Ke R~

~

II ~ an P=0 a

e Ta'!Ke

:y: IOj

p;Be paBIDI

~ AKo p;Be pa3Jllf'U1Te paBHH HMajy 3ajeWJU'IIGfX TaqaKa, OH]J;a je npeceK Te ABe paBHM rrpaBa.

0 }J;Be paBHH HeMajy 3ajep;HWIKMX ~ .aKa, OHp;a K(l)KeMo .n;a cy Te p;Be .i.BHH napa11e1rne.

aKCHOMa

CPP)

rpaBa ~--lb a ~

Ta'!Ke

~

Ke

1 cy:

a r

r

a II b

/

~

an b=0

o p;Be rrpaBe HeMajy :jep;HHqKJ.1X Ta'IaKa H :::pHrra.n;ajy HCTOj paBHH, l.a)KeMo .n;a cy napa11eJIHe.

aj{ b

AKo p;Be npaBe HeMajy 3ajep;HWIIG1X Taqax:a u He npMIIa.n;ajy HCTOj paBHM, K(l)KeMo .n;a cy MJIMOIDia.3He.

p;Be rrpaBe

an b={P} l{Be pa3mftnrre rrpaBe MOIY , HM.am

HaiBJrme ,

jermy 3aje.::cHHTh] Ta%.T

oj

o;webeHocr pa.BHll

aBaH

,,.

0

HeMajy

1e11He.

.-\Ka101.c:a (TP) TpH HeKo;nrneapHe Ta'IXe o;:rpel)yjy ra11

CnajaH>e HaK3rne.:i

o;i: npmt3BOJ{a n(n -

pa3JIWUITHX oy IIpaB11X "H3 CBaKe TaqKe" CBaKa op; H>HX

nyra. ,UaKJie, n raqaJKeMO ;i:orrn H 8e3 JJ)fpeKTHor 8pojalha. HaliMe, y op;Hocy Ha rrpeTxop;H11 cJiyqaj, ry811Mo p;Be npaae jep rpu HeKomrneapHe Ta'l.Ke op;pel)yjy TPH rrpaBe, a Tp11 KOJIHHeapHe caMo jep;Hy. YKOIDIKO p;aTH CK)'Il J.1Ma TaqJIO p;Ba Tpoqmurn rrop;cKyrra Koje 1urne KomrneapHe TaqKe, OH.p;a IIOCTOjH 11 IIpaB11X Koje OH op;peJ)yje. 08jaCHJ1Te KaKO p;oJia3HMO p;o OBOr 8poja

_l"'--___,.J----~-11

8e3 rrpe8pojaBaJDa. •

3a).J,aTaK

y CK)'IIY op; cep;aM raqaKa He IIOCToje qeT11p11 TaqKe Koje cy KOJIHHeapHe, aJIJ1 IIOCTOjl1 TaqJIO IIIeCT rpoqnairnx IlO,!l;CK)'IIOBa TaKBHX p;a CBaKJ1 op; H>HX q11He KOJIJ1HeapHe TaqKe. KoJIHKo pa3Jilfq}{THX rrpaB11X op;peJ)yjy Ta'l.Ke oBor cKyrra? CK)'Il op; n ~

4 Ta'laKa Mel)y KOjlfMa He IIOCTOje qeT11p11 KOMIIJiaHapHe op;pel)yje yiKl1 o,n;roBop p;eTalbHO.

2) Ilo yrne,n;y Ha p;oKas npeTXo,n;He TeopeMe p;oKa:>KM TeopeMY cpopM)'ID1caH)' n op, l}. YuyiilciilBo: 11CKop11cTH aKrnoMY (TIP).

107

AKo Ta'lKa

reopeMa

A He rrpHnap;a rrpaBoj a,

OH:Ia IIOCTojH jegirncTBeHa paBatt Koja cap;p)KH TaqKy A H rrpaBy

a.

Jfgeja 901)f(H A H napane1rna je cap np1ma,n;a paBHH a Kojy 01q>el)yjy A up. CBe ,n;pyre npaBe paBHH a Koje ca,n;p)f(e A ceKy npaBy p. CBe ,n;pyre npaBe Koje Hucy y paBHH a H ca1q>)f(e Taqry A MHMOHJia3He cy cap.

TOOpeMao o• eipH'IBocn1 n rpaR!IITllBHOCTH

napa.'lellHOCTH

Ilpasa 11 Ta"lKa Koja joj He np11nap;a op;pel)yjy Ta"IHO jep;Hy pasaH.

HeKa cy p,

q H r pasnH'!HTe npaBe. AKO je p 11 q, OH,n;a je H q 11 p. AKo je p 11 q H q 11 r, oH,n;a je 11 p 11 r.

HeKa cy a,

p11 y pa3JIH'!HTe paBHH. AKo je a 11 p, OH,n;a je 11 p 11 a. AKO je a II P11 PII y, oH,n;a je a II y.

1

A

/"'['----1n1-B_.. . ,C

3ap,aTaK

I?-·~:_____.~_.,c ,,•'

A

10

B

}lam je Koq1e,n;H npaBy Koja ca,n;p)f(H Ta'!KY B 1 11 napane1rna je ca p(A, D). "" Op;pe;vi 8ap ,n;Be npaBe Koje ca,n;p)f(e Ta"IKY C 1 11 napanenHe cy ca paBHH p(A, B, C Op;pe;vt paBaH Koja ca,n;p)f(H Ta"IKY B 11 napanenHa je ca paBHH p( C, D, C.).

-~ $, ~

!

B IloCJJe:IHIIe ax:cn:ol!e nap:u1e:moCTII

~Mace

a, b YI t TPYI Mel)ycocSHo pa3JIWIHTe rrpase je,llHe pasmi. AKo je a 11 b YI t ceqe rrpasy a, OH,ll;a t ceqe Ji rrpasy b.

HeKa cy

,,.

reopeMa

0

0

JI,01ca3. IlpeTIIOCTaBKe:

a, b YI t rrpYirrap;ajy Yicrnj paBHH; a 11 b YI t ceqe rrpaBy a. HeKaje t n a={A}.

a

rrpaBe

~

b TpecSa p;oKa3aTYI:

t ceqe rrpaBy b.

IlpYIMeTHMO Hajrrpe p;a A Hrro Koje ,!!;:Be Ta'IlK AD ceqe 11paBy p? ~ 05pa3JIO)l(Jf o,n;roBop Ha npeTXO,n;HO IIHTalbe illTO rrpeu;H3HHje.

3 1 IIpeTBopH CBoje o5pasJIO)Kelbe y KopeKTaH MaTeMaTH'!KH ,n;oKa3.

18

~·....___

1111111 1 _ _ _ .... 11

~"-

A

Ba)KHe reoMeTpu:jcKe u:rype. Yrao u: MHor oyrao Ilo.n; (reoMeTpHjCKOM) Jll'YPOM IIO,Il;pa3)'MeBaMO forno KOjH CKyrr TaqaKa. mype heMo 03Ha'IaBan-1 BemnrnM rpqKMM CJIOBHMa: (qm), 'I' (rrcM), l: (GITMa), ... 11rypa je paBHa YKOJIHKO je rro,n;cKyrr HeKe paBIDl. 0Be IIIKOJICKe ro,nime he~m ce - aBJ1Tl1 yrnaBHOM paBHJ1M l1 KOHBeKCIDlM cpttrypaMa.

rrnajTe

11rypa je KOHBeKCHa aKO CBe Ta'IKe Jcy)KM 'IltjH KpajeBH rrpima~ajy cpmypH TaKol)e rrpHrra.n;ajy cpttrypH . Y cyrrpoTHOM, qmrypa je ee1mHBeKcea.

-----

la'IHMO

]pyr11M peq11Ma, cp11rypa je: KOHBeKcHa, YKOJIHKO 3a cBaKe ,D;Be Ta'IKe A H B, aKO A, B E , oH,Ua AB ~ , HeKOHBeKCHa, YKOJIJ1KO uocuwje p;Be TaqKe AH B TaKBe Aa A, B E Ji AB e yrnoBe HeKor MHoroyrna.

cycep;HH yrnoBH

F

YffYTPaIIIIbe yrnose MHoroyrna iq>ahe 30BeMo

yrnoB1ma MHoroyrna. G

c

TaKol)e, IIpHIDiKOM 03Haqasalba yrnosa HeKor MHOroyrna, 'leCTO neMO HaBOAffTH CaMO TeMe; Ha npHMep I< Kaja cnaja HecyceAffa TeMeHa MHoroyrna Ha3HBa ce Wfjaroaana.

G

c

Ha c~ p;ecHo, npKKa3aHe cy AHjaroHaJie MHoroyrna Koje IIOJia3e H3 TeMeHa A.

TeopeMa o 6.roiy nujaromrna

B

A

AKo je Dn )'KYilaH 8poj CBHX AHjaroHaJia n-TOyrna, OHAa je

D"

n(n-3) 2

D =3· (3-3) =O 3

2

D = 4· (4-3) -!. 2

D. ~

D

5- (5-3)

2 6· (6-3)

6

2

;;oK -3° AKo HeKH MHoroyrao HMa n TeMeHa, Tap;a je H>erosoM csaKOM TeMeHy

2

HecyceAffo Ta'lHO n - 3 TeMeHa. ,UaKJie, H3 csaKor TeMeHa nona3e n - 3 p;HjaroHaJie. IlpoK3BOA n(n - 3) j e .l{Ba npa BehH op; YKYIIHOr 8poja CBHX AHjarottana, jep je CBaKa

= 5

AHjaroHana y8pojaHa 1J;Ba nyrn 8rohH p;a ca1:i;p)l(H p;Ba TeMeHa. •

=9

3a:i:aTaK '

KoJIKKo AHjarottana HMa ,n;eceToyrao?

2 ,Ua JIH IIOCTojH MHoroyrao KOjH HMa Ta'lHO ,n;eceT AHjarottana? 08pa3JIO)l(H o,n;roBop.

122

A

IIo;zi;mapHocT ;zi;y.1KH H Mepelbe ,Izy)KHHe ,1zy)KH r

HMMa

.n;pyro

D

c

yraoB

>c

aKa

Peq ieoMeiUpuja je rpqKor rropeKJia n .n;ocnoBHO rrpeBe,n;eHa 3Haq}f ,,MepeH>e 3eMJbe': mTo yiKHIDt aKCHOMaMa reoMeTp11je Oe3 Kojmc He MO)l(eMO )'BeCTH Mepelhe, OBOM IIpHJIHKOM ne~m . ce yKpaTKO OCBpttyTH Ha lhHX rrpe CBera .n;a OHCMO MOTHBHCaJIH lhJ1XOBO )'BOl)eH>e aJIJf H IIOBe3aJIJ1 J1X ca MepelheM A}')KHHe p;~H Ha KOje CTe ce OCJialbaJIH p;OCTa rryTa yqetrn reoMeTp11jy y OCHOBHOj IIIKOJIJ1. ITocTyrraK Mepelha .n;~nHe A}')KH je .n;oOpo II03HaT: Hajrrpe 011paMo je.n;tty ~ Kojy rrpornamaBaMO 3a je.n;11tt11u;y Mepe, a 3aTHM je ,,npeHOCKMO TaMO r}l;e TpeOa oOaBHTH Mepelhe': ../~

0

o~~

~~

1-.: (0

g

"()

~~(O

p

p

g

~

-;.

A. - -B

Q

p

YiaKo 3a je,n;HHHu;Y Mepe y3HMaMO je.n;tty KOHKpeTtty ~' cBe APyre izy)l(Jf ;i;ofarjeHe ,,rrpeHomelheM" je,n;HHHu;e Mepe cMaTpaMo y H3BecHoM omcny je.rurntrnM. TaKo, J13BO,n;eh.H rrpBH KOpa.K IIOCTynKa Mepelba, 3a.KJbyqyjeMO .n;a je je,n;aH o;:i; OCHOBHJfX rrpe.n;ycnoBa Mepelba A}')KHHe A}')KH csojeBprna J1p;eHntqmxau;uja (H3je;uiaqaBaJhe) .n;y)l(11 Koje ce ,,rrpeHmnelheM" Mory ,n;oBeCTH .n;o IIOTIIYffOr noKJiamu1>a.. Peq je o 11,n;eHTmp11Kau;11jH .n;y)l(H KOja je I103HaTa rro.n; Ha3JIBOM IIOJcyP;apHOCT JlYJIG1.

DBOp.

123

.Ua cy ~1 AB n CD nop;y;u;apHe, 03HaqaBaheMo ca AB~ CD. Ha Ba)l(He ocoforne pe,"'Iannje no~apHOCTl1 A}')l(l1 yiHa Kp)7)1(11Mila k( 0, r) HeKe paBHH a OApel)yje ABa cKyna TaqaKa paBHH a.

JeJ)a.a o.u; TI1X crynoBa 'Il1He Ta'IKe S TaKBe Aa je IOSI > r; TO je cKyn cuolbauatJux Ula"taK~ Kppatu~e. ,IJ;pyrn CKJII 'Il1He CBe Ta'IKe U TaKBe Aa je jOUJ < r; TO je cKyn yHyiilpaiu1bu.: Ula'!aKa Kpy11CHu~e. IlpHMeTKTe Aa je n;ettrnp

0

yttyTpaII11na rnqKa Kp~HHn;e, jep je

IOOl =O.

Aeqmmnu1 a

YHHja Kp~IDfll;e k( 0, r) H lbeHHX yttyTpaI!IlhHX TaqaKa Ha3HBa ce Kpyr H oc5eJie)f(aBa ceca K(O, r). Ta'IKa 0 je n;eHTap, a r je 110JiynpeqH11K Kpyra K(O, r).

0'IlrrJieAHO, aKO je

0

cpHKcHpatta Ta'il~e

k( 0 , r) 11 HeKor n;eHrpa1rnor yrna pOq Ha3HBa ce Kp}')Kllll 1IJ'K Ol:qJel)eH yrnoM pOq H o5eJie)f(aBa ce ca PQ, rrpH qeMy je LpOq n k( 0, r) ={P, Q}. ,IJ;~ PQ Ha3J1Ba ce TeTima.

IIpe""'IH1lK (IDm p;itjaMerap) je TeTHBa OAPel)eHa n;eHipaJIHHM yrnoM Koj11 je orrpy)f(e;;: IIpe'IIDfK je Haj,ll)')l(a Tenrna Kp~m;e.

CBaKa Kp}')f{ID{Qa je HeKoHBeKcHa. CBaKH Kpyr je KOHBeKcaH.

,111 1

-

3ap;aTaK

ypa-

AKO A E k(B, r), ,n;a rr11 TaqKa B rrpl1Ilap;a KppO)l(a Aecl>HHHI.\Hja Ka,IJ;a cy .n;Ba yrna Hero opHjeHTHcaHa 3aCBoBa.Ha je Ha opHjeHTHcaHHM TJ>OYTJIOBHMa. HeKa cy aOb H a'O'b' ,IJ;Ba yrna aeKe pasHH TilKBH ,IJ;a HHje.i.aa HHje onpyxea. YrnoBH aOb H a'O'b' cy HCTO opHjeHTHCaHH:

o~ A a

• uo cy o6a KOHBeKcHa HJIH o6a HeKOHBeKcHa, H TJ>OyrnoBH MOB H M 'O'B' cy HCTO opHjeHTHcaHH, npM 11eMY je A E Oa, B E Ob, A' E O'a ', B' E O'b', HJIH • uo je je.QaH KOHBeKcaH, a APyrH aeKOHBeKcaH, M l'pOyrnoBH MOB H M 'O'B' cy C}'IIPOTHO opHjeHTHCaHH, npH 11eMY je A E Oa, BE Ob, A' E O'a', B' E O'b'.

AKo je yrao aOb onpf)l(eH, OH je HCTO opHjeHTHcaH Kao a 'O'b. aKO cy yrnoBH aOC H a'O'b' HCTO OpHjeHTHcaHH, npH 'leMf je Ta'IKa y }'B}'TPaunbOCTH yrna aOb. ~AHanorao ce Aecl>HHHDie Ka,IJ;a cy ABa onpf)l(eHa yrna HCTO opHjeHTHcaHa.

c

O'

. . a.

,-i

I,

11e,IJ;y

129

3a}J;a~H

A /I

Ta'IKe rrpaBe If paBHlf. 0,lJ;HOCH npHnap;alba

JJ;aTe l pa3;ll

7 1

..t.-,__l__--dfB, '

H 2) Ki rrp1

I Ua JIB ]laTa rnqxa rrpima}:la HaBep;eHoj paBH11: l) A 1 1:1 p(A, C, C1); 2 C 11 p(Al' C 1, B); 3) C 1 1:1 p(C, D, D 1); ., C H p(A, B, D )? 1 1 :: O;:i;pegn owroc (rrpKIIa}:la, ceqe, rrapane1rna) 113Mel)y rrpaBe H paBH.H:

J?.L----

c

,,,'

A

i p(A I' c,) H p(A, D, D 1); 3) p(A, C) H p(A, A ,, C);

2 p(A, B) H p(A 1, B 1, D); 3 p(D, B,) H p(A, c, AJ

B

::: Op;peAJi owroc (ceqe, napaneJIHa) H3Mel)y paBHH:

• p(A, A,, C) 3 p{D, Al' C1) _

H 11

p(B, D, D); 2 p(A, B, B,) p{A, C, D 1); .,. p(A, B, C1)

H

p( c, D, C); p(C, B 1, AJ

Op;peWt owroc (ceqe, rrapaneJIHa, MHMOHJia3Ha) H3Mel)y rrpaBHx:

: p(A I' C,) H p(A, D); 3) p(C, D 1) 1:1 p(D, C1);

0.llHOCe Mel)y reo 1erp11jCI r, + r 2 , op;pep;H raqKe P1 E k( 0 1, r 1) H P2 E k( 0 2 , r 2) TaKO p;a je pacTOjaH>e H3Mel)y raqaKa P1 H P2 : : HajMa!he Moryhe; 2 Hajsehe Moryhe.

Y o8a crryqaja OAPeAH

IPl2 I.

¥illii.~.,....;....-.-.·.· .

"'~

.~--:..~~~="-

'•'

ITO,[(Y,[(APHOCT rrao; iHT.11

~ cy

~ayjy

~he

)Ka)l(.11

roja'11>a

P2I

e

e

Ilop;mapHOCT ,IJ;)')KH (136) A AKCHOMe IT0,1J;yJJ;apHOCTl1 11 IIOCJie~e; 0 KOHCTp~j11 ,,npeHOIIIelbe A)')IGt~ ~ ynope1)11saIDe 11 ca511paIDe µ;pol (138) IlojaM H30MeTpHje. Ilo,1J;yJJ;apHOCT JITYPa (139) A IIojaM 1130MeTp11jcKe TpaHcq>0pM~je; OCHOBHa TeopeMa o H30Merp11j a~rn pasHH; OCHOBHe OC0011He 1130MeTp11ja; .n;e11HHQHja IIO,iJ;yJJ;apHOCTii HTYPa (141) E .UoKa311 CTaBOBa CCC 11 CYC (145) Ilo,1J;yJJ;apHOCT yr110Ba (144) A IIo.n;y,n;apHOCT yrnosa 11 se3a ca MepeIDeM yrnosa; ynopel)HBaIDe 11 cafo1palbe yrnosa; o KOHcTp)'Kl\11j11 ,,npettomeIDe yrnosa"; spcre yrnosa (omrp11, npasit, ryrrn; Hanope.n;H1111 )'HaKpCHl1 yr11os11); Mepel:be yrnosa (146) HopMaJIHOCT npasHX (151) A HopMaJIHe rrpase; pacToja&e Ta'IKe o.n; rrpase; O.n;HOC rrpase 11 Kp~e (1 51 ) B .IJ:oKa3 TeopeMe o je,n;HHCTBeHOCTH HOpMaJie (153) YrrroBH Ha TpaHCBep3aJIH (154) A TeopeMe o Hal13MeHJ.f~Hj a HopMa.n:e Ha npasy, cHMeTpane .n;)')KH 11 rnMeTpane yrna; tteje.n;HaKOCT Tpoyrna (164) CTaB no,1J;yJJ;apHocTH CCY (168) A CTas CCY (168) B .IJ:oKa3 cTaBa CCY (169) Tp11 BlUKHe nocrre~e CTaBOBa no,1J;yJJ;apHoCTH (170) A TeopeMa o µ;pJ

B'

A

B~c~ - - -, D

Ca {OX) 03RaqaBaMo rrorrynpaay qajH Je rroqerax: Ta'!Ka 0 K Koia aupxH Ta'IK}" X

Q

--~y

B,

A.

-

D'

( BIUH IIOC.""Ie;nbH

nacyc Ra crpaHH 116).

Kao rrpBy rrocrren;Hu;y aKCJIIOMa rron;yn;apHocnf H3BO.u;J1MO cnen;ehy reopeM)'. Y ;::ioKasy HeheMO HaBO)J.JIITJII CBe ):\eTalbe jep )l(eJIJIIMO Cfu'-1:0 n;a 1mycrpyje~t0 Il03HBalbe Ha aKCJ10Me rron;yp;apHOCTJ1. IlpJ11MeTJ1Te ,qa heMO y )l;OKa3Y KOpHCTJITH CKopo CBe aKCJIOMe rron;yp;apHOCTJII.

37

HeKa

cy A, B H C KommeapHe Ta'IKe TaKBe Aa je A - C - B. TaAa He nocTOjH TaqKa C' pa3IDftIHTa o,u. C TaKBa Aa je AC =:AC' H BC= BC'.

~o

1m· , :;JU

13. Ilpe-rnocraBHMO p;a rrocrojH Ta'!Ka C' pa3JIWIHTa o,u. C TaKBa Aa je AC=:AC' 11

BC:::BC'. l. C!'~~u- IlpeTIIOCTa.BHMO Aa C' rrpHIIaAa rrpa1rnj Koja caAP)IG{ TaqKe A, B H C. Ta,u.a AC =:AC' H aKrnoMe (II2) 3aKJbyqyjeMo Aa je C' e Mel)y TaqKKajH CBJ1X OCTaJIJ1X :>KeTOHa KOjH cy 5HJilf KOJIJ1HeapHH ca QpBeHHM H QpHHM :>KeTOHOM. •

rrpe

~

~.

I Ha'IKH

IlpHMep3. Ha rnaxoBcKoj TabIDI: ( c1rnKa rope neBo) nopel)am1

llfKao mje

\ ~.T

yX' 'a':IKeX : paBHH

I~

•

l• w.......w--.J rrocrre

cy

pa3HObOjHl1 )KeTOHH H HeKa cy Ha p;pyry rn5ny (cJIKKa

p;one neBO) npeMernTeHH qpBeHM H qpIDi )i(eTOH T-aKO ,qa je paCTOjalhe Mel)y lbHMa OCTano HCTO. Ha Koja IlOJba Tpe8a IIOCTaBJ1TH OCTane )KeTOHe TaKO p;a paCTOjalba H3Mel)y CBaKa p;Ba )KeTOHa OCTatty HenpoMeibeHa? H11je TernKo yo'l11Tl1 p;a rrocrnje ,D;Ba Ha'UlHa (cnMKe p;erno)

I~

II Ha'llm

p;a obaBHMO Tpa)KeHo npeMernTaH>e. ITpMMenfTe p;a cy Tatrno op;pel)eHe caA-10 rro3MqMje )i(eToHa Koju cy KommeapHH

ca

rrpeMeIIITeHHM )KeTOHJ1Ma, IIlTO je y CKnap;y ca IIpeTXO,IJ;IDU! rrpHMepoM. 0Baj je,D;HOCTaBaH IIpHMep IIOKa3yje p;a 3a ,,JI30MeTputrno rrpeMemTafbe" TaqaKa HHje ,ll;OBOJbHO I103HaBaTH HOBe rrono)i(aje ca~rn p;Be TaqKe.

+

BH11

11B

r,

eMeca

-

rrpe

3ap;arnK :fa crr11KaMa p;ecHo rrp11Ka3aHO je H30MeTpwrno rrpeMemTalbe TPH HeKonHHeapHa -eToHa. Ha Koja rrolba Tpe8a npeMeCTHTH npeoCTarre )i(eToHe? .Ua mi je rro3m~11ja

5 4 3 2

:BaKor )KeToHa rronryirn o,n;pel)eHa?

3ap;aTaK

p 0

::0HcTpywrn11 p;Be TpojKe Ta'IaKa A, B, C 11 A 1, B 1,

c

~: TaKo

p;ajeAB=:A 1B1, BC=:B 1C1 11 CA=:C1A 1• -faa8ep11 3aTl1M rrp0113BOJbHO jep;Hy Ta':IKY pH OHCTpywrn11 Ta':IKY P1 TaKo p;a je P1A 1 =:PA, P1B1 =:PB P1C1 :=PC.

~

ye, A,

:11B'11

:Ke

rano

nocae

OcHOBHO 3arra)Kalhe Koje ce HaMehe y rrpeTXO,ll;HHM rrpHMepHMa H 3a,nal.\H.Ma jecre TO ::ia je CBaKO ,,l130MeTp11'IHO rrpeMeIIlTaibe" Ta':laKa paBHH IIOrnyHO ogpel)eHO HOBJfM

1

B

B,

~je Ha

t Mopa

ABCDEFGH

8 7 6 5 4 3 2

A

IIOJIO)i(aj11Ma HeKe TPH HeKOIDl:HeapHe TattKe. I1peqH3Haje, CBaKa Jt30MeTPJtja pa.BID!

- -

1

- - -

ABCDEfGH

je rroTrrytto op;pel)eHa cnHKaMa TPH HeKomrneapHe Ta'll