Matematika za prvi razred gimnazije

CJIJ1qHOCT Mepelbe µ;y)l(H (314)

B Atta1m3a nocTyrrKa Mepelha AY)l(Jf (314) Pa3Mepa u nponopu;uoHaJIHOCT ,a;f)l(H (316)

A Pa3Mepa 11 nponop~11ottarrttocT ,n;p1rn (316) TaJiecoea TeopeMa (318)

A Bap11jaHTe TarrecoBe TeopeMe 11 rrp11MeHe (318)

B 08pT TarrecOBe TeopeMe; BeKTopcKH 08rr11K TanecoBe TeopeMe (324) XoMoTeTuja (326)

A Oco811tte xoM0TeT11je 11 np11MeHe (326) B Oco811tte xoM0TeT11ja (329) CJiuqHOCT (330)

A TpattccpopMa~11ja crr11'!HOCT11; oco811He CJIJ1'IHOCTH; CJIJ1'!He cp11rype (330) CTaBOBH CJIH'IHOCTH TpoyrJioea (333)

'

A Jep;HOCTaBHe np11MeHe CTaBOBa crr11'IHOCT11 (333)

B Ilp11MeHe CTaBOBa CJIJ1'IHOCTH y reoMeTp11j11 (335) IlpHMeHe CTaBOBa CJIH'IHOCTH Ha npaeoyrnu Tpoyrao (336)

A Ilp11MeHe CTaBoBa CJIJ1'IHOCTJ1 Ha npaBoyrrr11 Tpoyrao; I111Tarop11Ha TeopeMa (336) IIpuMeHe CTaBOBa CJIJ{qHOCTH Ha Kpyr (338)

B Ilp11MeHe CTaBOBa crrwrnocTH Ha Kpyr; noTeHI~Hja Ta'!Ke (338)

--

.

--

Mepe11>e~ 0 Mepelby ,'.l)")J(ll{e ll)')KJf Ben CMO roBOPIDilf Ha CTpairn 123, rrpH '-IeMy CMO ce OCJiaibalrn rrpe CBera Ha 3Halba Koja CTe CT~a.Jrn y OCHOBHOj IIIKOJIH. 0BOM rrpHlIHKOM he~m ucratrn HeKe C)'IIITI-IBCKe rrpmI1.\1me H rrpeTIIOCTaBKe y Be3H ca rroCTyrrKoM ~tepelba 1cy)KJ-IHe.

I

je;rnmIT{a

J

M.epe

B

A I

c

1

2

D

E

3

F

MepelheM ce Jzy)KJ™a IJ.O)J.eJbyjy 8pojeBH KojH orrHcyjy op;1wc A)')KJ1 ca yttarrpe)J. H3a8paHOM H ¢HKCHpaHOM .IJ;y)KM. YHarrpeA H3a8paHa AY>K ce Ha3HBa je)J.HHHD;a Mepe. IIocTyrraK Mepelha ce 3aCHHBa Ha Ha)J.oBe3HBalby IIOp;y;l\apmcr .IJ;y)KM. Mel)YTHM, Ha,qose3HBalbeM AY)f(H Koje cy rro)J.y,qapHe jewnrn:D;H Mepe MO)f(eMO )J.a H3MepHMO CaMO

Hajrr je)J.HHHe MO~ PealiHl '-IMjK jt Hadrp rrocrry 11 cnml

u;eno8pojHe A~e.

Ocrnhe BemfKU 8poj .lzy)lK· Ta,qa 3a cBaKy Wf>K AB Ha rronyrrpaBoj '-IHjH je rroqernK Ta'l:Ka AH Koja caAP)f(H B nocTojH KOHa'-IHO MHoro Ta'-IaKa A 1, A 2, A 3, ••• , A" TaKBmc Aa je A-A 1 -A 2 -

•••

-An, AA 1 =:A 1A 2 =: ... =:An-IAn=:If H A-B-An.

1 1,4

CyMH) Mepett AKo je (1J.ece1 1. nod je A

I

c 0

J D o-+-

1,3

E 0

F 11'~

1,5 1,6

)J.a 8HCMO peIIIHJIH IIOMeHyTe rrpo8neMe, rrpHpO)J.HO je )J.a IIO)J.eJIMMO jeAJffi11-I-\y Mepe Ha je)J.HaKe )J.eJIOBe H IIOKyniaMO )J.a H3MepHMO IJ.Y)KHHY .lzy)l\fO MOlli rrpu8JIIDKHo (Ha jeAHY Aeu;rurnrry) Aa OApeAHMO AY)f(HHe cBmc AY)f(M (3ax:sa.Jbyjyh.H ApntMeAOBoj aKCHOMH). ~e

CneAehH KopaK je yrroTPe8HTH CTOTe ,qenoBe jeAHHHQe Mepe. HapaBHO, orreT he IIOCTOjaTH ,,HeMepJbHBe .IJ;y)KM': )J.a 3aKJbY'!HMO: aKO )f(eill1Mo Aa H3MepHMo .IJ;y)KMHe CBHX A~, rroCTyrraK AeJbelba jew~e Mepe He cMeMo 3aBpIIIHTH. Ma KOJIHKO ,,CHTHK" 8HJIH AeJIOBH Ha Koje cMo y

HeKoM IpettyTKy H3Aemimi jeAHH.H'-Itty AY>K· rrocTOjahe HeKa p;y)f( 'mjy p;y)f(HHY HeheMo Moru1 rrpeu;Ji3HO )J.a H3MepHMO. HapaBHO, .IJ;y)KMHY CBaKe AY)f(H MO)f(eMo op;peAHTH rrpH8JIJDKHO, Ha IIpOH3BOJbaH (KOHa'-IaH) 8poj )J.eQHMaJia, IlITO je 3a rrpaKTH'-IHe 110Tpe8e caCBKM rrpmraaTJbHBO.

314

2. no

HAE

L2-

Y 01

HaBo~

IIOCT)'I CMO HI

•Jew

Mep MHf

•Ila)

Mal

• Ep~ peH npaae AeJie AB Ha 11eT rroAYAapHHX AeJioBa. +

Hapero

HeKa 11apaneJIHe npaBe p1,

Ia:1eco.B.l reopeMa

rrpaay

p2 , p3 H p4 ceKy rrpaay a y TaqKaMa A 1, A 2 , A 3 H A 4 , a by raqKa.'daB 1, B2 , B3H B4 • AKo je A 3A 4 : A 1A 2 =k, OHAa je B3B4 : B1B2 =k.

Je:i;Haxocr AB=kCD

3Ra'lli ~a je k repHH bpo· =HO TaqKy 0. IlpeMa TeopeMH ca CTpaHe 216, IIOCTOjH

-+

AKo cy BeKToptt x H)' KOJIHHeapHH n mtcy ttyna-BeKTopn, mua IIOCTOjH bpoj k ~ 0 TaKaB

x

t~ -;

{ ...,_

-

':1-----------;~~-~~ ···....

BeKToparn oOJIJIK Ta.aecoBe reopexe

(je,n;HHCTBeH) 8poj k TaKaB ,n;a je AB = kCD. ,!J;a OBaKaB 8poj k IIOCTOjH, ,n;oKa3aJIJi CMO Ha CTpaHH 224. Ilp11Menue ,n;a pa3Mepa p;Be ycMepeHe ,ll;y)l(J1 (,n;Ba BeKTopa) MO)l(e bJfTH n II03HTHBaH J1 HeraTHBaH 8poj. IlpaBe a 11 b Koje ce ceKy y Ta~ 0 ceKy H rrpaBe p 1 H p2 : rrpaBa a ceqe p 1 n p2 y TaqKaMa A 1 11 A 2 , a rrpaBa b ceqe p1 H p2 y B 1 H B 2• AKo je p 1 p2,

II

. OA

OB

AB

OB2

AiB2

oH,n;aJe ~ = ~ =~.

OA 2

325

XoMoTeTHja HeKa je

0

qnracHpaHa TaqKa paBHH TC H

8poj pa3nHqHT OA Hyne.

0 H KoeHn;HjeHTOM k je npecnHKaBaH>e : rr-+n, Koje CBaKoj TaqKff x paBHH 1t AOAeJbyje Ta'IKY X' HCTe paBHH

XoMOTeTJlja paBHH TC ca n;eHTpOM

;:;,eqmmu.vtja

'H.o~

TaKBY Aa je OX' =

XoMOTentja ce Ha3HBa 11 nepcneKTimRa C:Ilf'IROCT.

kOX.

----+

0 0

t 1{ Ch (X)

0

k HeKH peanaH

~

0

t 'H. 0.-1

ox x 0

t

(X)

0

t

'H. o.3 (X)

'H. 0.1 (X)

o:ux ~

x

KopHcrehH KOHCTp~jy noAeJie Jzy)KJ1 Ha jeAffaKe Aenose, jeAHOCTaBHO ce KOHCTPymne CJIHKa bHJIO Koje Ta'IKe

x XOMOTernjoM 'H.O,k qffjH je KoeHn;HjeHT k

pan;HOHaJiaH 8poj.

k =±min, m, n E N, ~ OX Tpe6a ITOAelIHTH Ha n jeAHaKHX Aenosa, a 0 HaAOBe3aTH m A08HjeHHX ):(elIOBa ca OHe CTpaHe ca Koje je TaqKa X, )'KOJIHKO je k =min, OAffOCHO ca cynpoTHe CTpaHe, aKo je k =-min. 3aHcTa, aKO je

3aTJ1M noqeBrrrn. OA

m - - --

AenoBa

------ .... ~--0--0------KJ1 OAroBope. 4 J YnopeAH 4:BAD 11 a Kaja CMO KOpHCTJl[JIJII y rrpeTXOAHOM rrp11Mepy MO)f(eMO yorrllITHTH. Ha11Me, axo 3Ha.'do ~eHTap xoMoTentje 11 CJIHKY X ' jeAHe Ta'!Ke X (rrp11 'leM)' HapaBHO Ta'!Ke 0, X n

X ' ~mpajy fomt Kommeaptte), OHAa MO)f(eMo OA}JeAHTH CJIHKY 811no Koje Apyre Ta'!Ke

OA}Je,[J;JlMO CJIHKY Ta'IKe

I

Hai

TOM xoMorenrjoM (KOHcrp~Hja je npHKa3aHa Ha CJIHKaMa 11crroA). KoeqmQ11jeHT OBaIIrn X, a 3anru Ha lhoj 1 o,n;pe,n;H TaqKe Ytt Y TaKO ,n;aje OY=CD H OY'=:AB.

IlpHMep 2. TaqKa X je xoMoTeTttjoM 'H 0 ;; rrpecmfKatta y Taqry X'. ,lJ;aKJie,

k=OX':OX. Ha rrpeTxo,n;oj cTpaHH je 06jarn.1Detto KaKo ce KOHCTpYJirne cJnfKa rrpOl13BOJbHe TaqKe rrptt OBaKO 3a,n;aToj XOMOTeTHjH. KottcTpYJiIIIHMO ca,n;a 'H 0 _!_ (A), rrpH qeMY je A rrpott3BOJbHa Ta'!Ka. ,IJ;a

\A .

-..

A"~1f,,1(A0--., ·--

bHCMO J13BeJrn TpKeMo ,n;a je AE ~AC. IlollITO je KH AE ~AC. •

IlpOH3BO):J;J.1 CTpaHHu;a J.1 op;roBapajyhHX BJ.1CJ1Ha HeKor Tpoyr11a cy jep;HaK11. Ilpeu;H3HHje, 3a rrpoH3BOJbaH MBC Ba:>KM ah 0 = bh,, =ch«

reopeMa

A

/fOKa3. ,il;oKa3aheMO p;a je aha= bh 11 y crryqajy p;a je yrao KO,ll; TeMeHa C OllITap (aKO je OBaj yrao rrpaB, je,n;HaKOCT TpHBHjaJIHO Ba:>KJ.1, a aKO je Tyrr, ,n;oKa3 je aHa11oraH OHOM KOjH cne,n;M, rra ra rrperrYllITaMo BaMa).

B

HeKa cy A' H B' rro,n;HO)I(ja BHC11Ha J.13 TeMeHa A 11 B Tpoyrna ABC. TpoyrnoBH BCB' H ACA' cy cnwrnH jep cy rrpasoyrJI11 (ca rrpasHM yrnoBHMa KO,n; TeMeHa B' H A') H HMajy 3aje,n;HWIKH ornTap yrao KO,n; TeMeHa J13 OBe CJIJ.1l.JHOCTJ.1 CJiep;H )I(eJbeHa jep;HaKOCT:

c

A' A

c. :~,=~?TO jecT BC· AA' =AC· BB'. IlpHMeTHMO ,n;a cMo jep;HaKOCT

rrpOH3BOp;a CTpaHHu;a J.1 o,n;roBapajyhHX Bl1CJ.1Ha ,ll;OKa3aJm rro3HBaH>a Ha rro3HaTe K x TaKO p;a je: l) a : b = c : x; 2) a : b = x : c.

. LJ:aTe cy rpH .u:ptrn: a,

B

9. }laTe cy Ta'!Ke A H B H ,103e Jzy)!Gt m H n Koje ID1cy IIo~apHe. KoHCTJ))'HllH TaqKe C H D KOJIHHeapHe ca p;antM Ta'l1 b. KoHCTPYJ.1IIIl1 ,ll;)')IG1 ../a2 + b2 H ../a2 - b2.

35. ,lJ;aTe cy ,n;Be ,n;y)l(11a11 36. ,lJ;arn je ,n;y)I(

a. KoHCTPYl11Ill1 ,ll;y)l(J.1 Via, {Ja, ../5a.

37 HeKa je D rrpeceK XMrroTetty3e AB 11 cHMeTpane rrpaBor yrna y TeMetty C rrpaBoyr11or Tpoyrna ABC 11 HeKa cy E 11 F rro,n;Ho)l(ja HopMaJia 113 D Ha KaTeTe CA 11 CB. ,lJ;oKa)l(H ,n;a je 'ieTBopoyrao CEDF KBa,n;paT 11 o,n;pe,ll;l1 CTpaHmzy rnr KBa,n;parn y 3aBJ1CHOCTJ1 o,n; KaTeTa CB= a 11 CA= b.

E

38. Y Ta'IKH T KPY)l(HJ1IJ;e k( 0, r) KOHCTPYJ.1CaHa je TaHreHTa t. AKo cy a 11 b forno Koje ,n;Be rrapanenHe TaHreHTe Ha k( 0, r) Koje ceKy t y Ta'IKaMa A 11 B, ,n;oKIDKM ,n;a je

TA· TB=r. 39. HeKa je c Haj,n;y)l(a CTpaHHIJ;a MBC. 1) AKo je MBC OIIITpoyrn11, ,n;oKa)l(J1 ,n;a je c2 < a2 + b2 • 2) AKo je MBC Tyrroyr1111, ,n;oKa)l(J.1 ,n;a je c2 > a2 + b2 •

b J1 c ,n;y)l(11He CTpaHHIJ;a BC, CA J1 AB Tpoyr11a ABC, a ta, tbJ1 tc,n;pKHHe Te)l(HIIIHHX ,n;y)l(H AA', BB' J1 CC'. ,il;OKa)l(J.1,ll;a je ta=_!_ ../2b2 + 2c2 - a2,

40. HeKa cy a,

t

b

1

=- ../2c2

2

+ 2a2 - b2 , t

c

1

=- ../2a 2

2

+ 2b2 - c2.

2

41. Y paBHH rrpaBoyraoHHKa ABCD ,n;arn je Ta'IKa M. ,lJ;oKa)l(J.1 ,n;a je

MA 2 + MC2 =MB 2 + MD2. YuyiUcUIBo. Ilp11MeH11 rrpeTxo,n;H11 3a,n;arnK. 42. J13pa311 ,n;y)l(HHe CTpaHHIJ;a Tpoyrna ABC y 3aBHCHOCTJ1 o,n; ,n;y)l(HHa H>eHmc Te)l(J11IIHJ.1X JIJ1HJ1ja. 43. ,lJ;oKa)l(J1 ,n;a je Tpoyrao ABC rrpaBoyrJ1J1 (ca XJ1IIOTeH)'30M c) aKKO je

2 ta

B

+ t b2 =5tc2 •

IIp11MeHe CTaBoBa CJIJf11HOCTK Ha Kpyr 44. AKo je H opToIJ;eHrnp Tpoyrna ABC, a A ', B' 11 C' rro,n;Ho)l{_ja BHCHHa m TeMeHa A, B H C, ,n;oKa)l(J1 ,n;aje HA· HA ' =HB · HB ' =HC· HC'.

B 343

45. KoHcrpyunrn Kp}')KIDll{Y k Koja cap;p)l(H ABe pa3JIWIJ1Te p;aTe TaqKe A 11 B 11

T1

,qoroq>}ie ;i;ary npa.By t.

Yiiyfic•"""s

n

Pa.31IHK)'j Cil)"IajeBe Kap;a je

AB 11 t l1 Kap;a ce rrpaBe AB l1 t ceKy.

46. llaTe cy rrpaBe c H t Jt Ta'IKa A. KottCTpyru:rrn: Kp)')KH:mzy k Koja cap;p)l(M TaqKy A 11 ;:i:owq>yje ;:i:ary npa.By t TaKO JJ;a IDeH QeHTap rrp1map;a p;arnj rrpaBoj

c.

41. AKo je P Ta.'IKa Koja rrp•maJJ;a CIIOJbaIIITuOCTl1 Kp)')KHHQe k(O,r), p;oKa>Kl1 p;a je IIOTem:otja OBe Ta'IKe y O].\HOCY Ha )l;aTy Kp)')KH~Y jep;HaKa

P02 -r2.

-L. }lam je ,qyx AB. )J,oKa>KH p;a je AZ: ZB =AB : AZ, aKO je z Ta'IKa /zy)Kl1 AB KOHCrp~caHa Ha GIHI{H o;ecHo.

HaiiG ena: ilo_n:eJ·ia ,I\}')KJf TaKBa p;a je OAHOC Beher rrpe~m MaIDeM JJ;elT'f jeAHaK op;Hocy QeJie ~ rrpeMa BeneM µ,elT'/ Ha.3Irna ce nop;ena no

c

3Jiarnm.1 npeceicy.

49. Yrao npH Bpxy C jep;HaKOKpaKOr rpoyrna ABC je 36°. C11MeTpana yrna ABC ceqe KpaK AC y Ta'IKH D. }J,oKa>KH µ,a Ta'IKa D µ,en11 KpaK AC rro 3JiaTHOM rrpeceKy, rrp11 qe~ry je A}1)IQ{ op;ceqaK rrop;yp;apaH OCHOBl1Ql1.

50. Y ~aTy Kp~ k( 0, R) yrrHIIH1 rrpaBHJiaH: I) p;ecernyrao; 2 rrernyrao. IlTo;i:oxejeBa TeopeYa

::>- ,IJ;oKa>KH p;a je rrpoH3Bop; p;11jarottana TeTHBHor qeTBopoyrna jep;HaK 3811py

ABCD TeTHBHH AC· BD =AB· CD+ BC· DA.) : ···;-:ac•U.Bo. YoqJi Ta'IKJ E Ha p;11jarottaJIH AC Ta.Ko p;a je