Matematika za prvi razred gimnazije

BEKTOPM YcMepeHe .n;y)l(u: u: BeKTopu: (214) r:'

t,, R.

A IlojaM ycMepette A)T)Kl1; je,u;ttaKOCT ycMepeHJ1X A)')KH; nojaM BeKTopa; BeKTop IIOJIO)l(aja (214) Onepau;u:je ca BeKTopHMa (217)

ta, ha je trottana.

. Ha p;aToj se

A Hyna-BeKTop; cynpoTHJ1 BeKTop; ca811palhe BeKTopa (rrpaBHJio rpoyrna H rrpaB11no rrapanenorpaMa); MHO)l(elhe seKTopa cKanapoM (217)

E 0CHOBHe ocoOHHe MHO)l(elha BeKTopa CKanapoM (222) Jlu:HeapHa 3aBU:CHOCT BeKTopa (224)

E Jfatteaptta 3as11cttocT BeKTopa; pa3naralhe BeKTopa (224)

ane AC

eAC11

i BC,

p, aP"

"

1ma,u;ajy

~11.

Koopµ;u:HaTe BeKTopa y paBHH (228)

B Koop,u;11ttaTe BeKTopa y IIOMohy Koopp;HHaTa

paBHJ1 11 ocHOBHe orrepa.Q11je ca BeKTOpHMa 3ap;aTHM

(228)

~ ·e;:uia'l

3a pa3mneHHM rrpaBu;eM.

A_...-·-··

---+

-~

--+

YcMepeHe Jzy)Klf AB

,,.,..

--t

EF

CD

-~

ABll CD II EF " GH, --+ - - t --+ ----+ .1.B C.F, CD i GH, --t

-

.4.B i --+--+ CD,AB i GH, ---+

CD

AKO

YoiepeHe A)')IGf AB

M

--+

----+

CD cy jeAJiaKe, y 03Hau;11 AB =CD, YKOJIHKO je

• AB=CD (TO jecT IABI =ICDI) 11 --+ ----+ ·AB ii CD. t-.-

Ha Gnnm ce yo'laBajy Cilel!elrn o;:rnocn:

--+

----+

--+

H_••••-

--+ --+

----+

rrpaBu;a " aKo nocrnj11 paBatt ttopMaJIHa Ha rrpaBu;e ycMepettmc Af)KH AB M CD TaKBa p,a ce nonyrrpaBe [AB) M [CD) ttana3e ca HCTe cTpaHe Te paBHH. --+ ----+ --+ ----+ YcMepeHe .n;:yJKJt AB M CD cy cyrrpornor cMepa, y 03ttau;11 AB i ! CD, aKo cy HCTor IIpaB.Qa J1 aKO He IlOCTOjH paBaH TaKO p;a Ba)Ke npeTXO,lJ;HJ1 ycJIOBH.

E

-·

AKO

CD cy HCTor CMepa, y 03Hau;M AB ii CD, aKo cy HCTor --+

D ~-·

~

l1

~W

----+

--+

----+

IlpeTXOp;HOM .n;eMH~HjoM ysep;eHa je jep;HaKOCT Mel)y ycMepeHHM .n;y)KHMa y rrpocTopy. YKOIDfKO ce 0rpaHJ1qJ1MO CaMO Ha ycMepette ,lJ;y)KJ1 jep;He paBHH, IIITO neMO y HaCTaBKY J1 qJ1HJ'ITJ1, OHp;a ce op;HOCM ii J1 i ! Mory jep;HOCTaBHHje OKapaKTep11caTH: )'MeCTO peqff nPaBaH~ y p;el1HJfl.J;HjaMa IlOMettyTJ1X O,D;HOCa MO)Ke p;a CTOjH ,,npaBa':

--t

EF .

HHTe

B

'J

3a;:i;araK

IlpH)(enrre ;ia cy ---+

O;:ul~""H AB

---+

--+

i CD, --+

Kao uAB ! CD Aeqnmuca.HH ca.Mo y --+

c,l}"iajy ~a je AB

--+

1 CD.

II 4;AB ll EF; 7 AB II

i!EF; & AB i! GH;

lO

:1

GH; A:B 11 I/;

5 AB

AB ii I/;

Koje p;Be ycMepeHe ,D;y)Kl1 cy jep;HaKe?

I' I I' I I I

I

6) AB=EF;

9 AB=GH; 12 AB=IJ.

'

I I

KojH op;Horn cyTaqffff (BHAJf CJIJ1Ky p,erno)? --+ ----+ --+ ----+ : AB CD; 2 AB ii CD; 3 AB=CD;

A

I'

I

I

c

D

F

•

J

E

'J

I I

H \

\ \

'

I I G

- IIpaBi

CMep.

_a.Klie,:

CH3J

aiepe1 3aTO fie:

aHe rraRa iyAy)I( elhe

lycoc5Ho

~faje,n;HaqaBalhe ycMepemtx ~11 Koje je ,n;eqrnHHCatto Ha rrpen:o,n;ttoj crpaHM 3a,n;oB0JhaBa cBe yoc5J1qajeHe ococSHHe je,n;HaKOCTH (ococSHHe ~ , 2 M 3 H3 Hape,n;He TeopeMe).

---+ ---+ ) CBaKa ycMepeHa ,n;y)I( je je,n;HaKa caMoj cecSH, AB =AB. ---+ ----+ --+ ---+ 2) AKo je AB =CD, OH,n;a je H CD =AB. ---+ ----+ ----+ -;::;-::! ---+ -;::;-::! i AKo je AB =CD H CD =Er, oH,n;a je AB =Er. ---+ ----+ ---+ ----+ ) AKo je AB =CD, OH,n;a je BA =DC. ---+ ---+ .,) AB iJ, BA.

TeopeMa

jyhe

HeKa TaqKe A, B, CH D HHcy KOJIHHeapHe. ---+ ----+ AKo je AB =CD H ,n;y)l(H AB H CD HHCY Ha HCTHM rrpaBaMa, oH,n;a je qeTBopoyrao ABDC rrapanenorpaM. ---+ ----+ -;::-:::7 ----+ • AKo je ABCD rrapanenorpaM, oH,n;a je AB =DC H Be =AD. ---+ ----+ ---+ ----+ AKo je AB =DC, OH,n;a je HBC =AD.

CKyrr CBHX ycMepeHHX ,n;~ Koje cy Mel)ycoc5Ho je,n;HaKe Ha3HBaMO BeKTopoM.

BeKTope, TO jecT cKyrroBe Me1)ycoc5Ho je,n;HaKHX ycMepeHHX ,ll;y)l(J1, 03HaHKCHpaMO Hery TaqKY 0, Tap;a CBaKJ1 BeKTOp rrpep;CTaBJba ycMepeHa

OX

3a HeKY Taqry X. Ha oBaj HatfHH je ycrrocTaBJbeHa o8ocTpaHo jep;H03HaqHa KopecnoHp;em:i;aja H3Mel)y cKyna CBHX TaqaKa 11 cKyrra CBHX BeKTopa.

A}'JK

3a

Ta~y x BeKTOp

ox

ce Ha3l1Ba BeKTOp IlOJIO)Kaja TaqKe x y Op;Hocy Ha TaqKy 0.

L--J.13jep;HaqaBaJhe ycMepemix ,ll;y)l(JI[ Ha rrp11pop;aH Haq11H rrpollll1pyjeMo 11 Ha BeKTope. -+

-+

BeKTopH x 11 y cy 11crnr rrpaBn;a aKo cy 11cTor rrpaBn;a (811rro Koje p;Be) .

-+

-+

yo.1epette A}'JKH Koje KX npep;cTaBJbajy. AKo BeKTop11 x 11 y 11Majy 11cT11 rrpaBan;, Ka)KeMO J1 p;a cy KOJIHHeapHH. -+

,..,,e

:rna.

217

13-----+---+.,,..+~

-+.,,..+

-+~

AKo je a =AB u b =BL., OH.D;a ce BeKTOp c =AC Ha3HBa 30.Hp BeKTopa a H b H -+

-+

IIKIIIe ce c =a

.,,..+

+b.

HeK

c

L--

Be

Y1axo ce Ha npBu norne.n; MO)Ke )"D.fHHTM ,n;a npeTXO.D;Ha ,n;eqmHHIJ;Hja He Ka)Ke KaKo ca8pan1 forno Koja .D;Ba BeKTopa, mrje TaKO. -+

---+

~

--+

IlocMaTPajMo BeKTope a H b o,n;pel)eHe ycMepeID1M ,ll;y)KJ1Ma AB 11 CD (cn11Ka ,n;one). -+

Kaxo ogpewrrn 3811p a

-c H 3 Be

.,,..+

+ b?

HajBa>KHJtje je cenfT11 ce .n;a cBaKM BeKTop npe,n;cTaBJba 8ecKoHaqHo MHoro Mel)yco8Ho je.D;HaKKX ycMepemcr ,ll;)1)KM H ,n;a ce cBaKa TaqKa MO)Ke 113a8paT11 3a rroqeTaK je,n;Hor npe,n;cTaBID1Ka yoqeHor BeKTopa. -+

TaKo, ,n;a fofCMO ca8paJIM BeKTope a 11

.,,..+

b, H3a8paheMo noro,n;H11je rrpe,n;cTaBHHKe --+

OBHX BeKrnpa. Ha npm1ep, YMecTo ycMepeHe ,ll;y)KJ1 CD, 3a rrpe,n;cTaBHHKa BeKTopa ~

b H3a8paheMo ycMepetty ,ll;y)K qJ1j11 je rroqeTaK TaqKa B (TaKBa ycMepeHa ,n;y)K je

_ajex

:i:paHe

jewmcTBeHo o,n;pel)eHa npeMa TeopeM11 ca cTpaHe 216). HapaBHO, MO)KeMo rrocTyrr11T11 u ,n;pyraqJ.ije - 8poj MoryhHocTH je HeorpaHHqeH.

-+

a

0BaKaB HaqJIB ca811pa1Da ce Ha3HBa caOHpa11>e Haµ;oee3HBae.eM no npaBHJIY Tpoyrna. Ha Hape.D;Hoj CJIHIJ;J1 HJIYCTpoBaHo je ca8Hpalbe KOJI11HeapHHX BeKTopa y ,n;Ba rnyqaja Ka,n;a cy ca8MpIJ;H HCTor CMepa H Ka,n;a cy cyrrpoTHHX cMepoBa.

-+

-+

a

a

-+.,,..+

reope'la

AKo

- Heia

-+~-+

cy BeKTOpH a H b KOID1HeapH11 H HCTor cMepa, oH,n;a je la

~

+b I= la I+ lb I·

_ Hex.a

~llO::IE

.,, Axo j

-;-e BeKTopa je acoQHjaTHBHO, TO jeCT x + (y + z) = (x +y ) +z, 3a cBe -+-+ -+ BeKTope x,y Hz. -+ -+ -+ -+ -+ -+ Ca8u.paH>e BeKTopa je KOMYTaTHBHO, TO jeCT x +y = y + x, 3a CBe BeKTope x 11 y. -+ -+ -+ -+ Hyna-BeKTop je tteyTpan 3a ca8u.paH>e, TO jecT x +O =x, 3a CBa!Gf BeKTop x. -+ -+ -+ 3811p p;Ba cynpOTHa BeKTopa je ttyna-BeKTOp, TO jeCT x + (-x) = 0, 3a CBa1m -+ BeKTOp X.

lKO

~me).

yco8tto

01'a3.

-+-+

-+

t1or

1. Jifaa8ep11MO npep;CTaBHHKe BeKTopa x' y l1 z TaKO p;a bYAY HaAOBe3aHe ycMepeHe

opa

vfa npeTxop;HHX pa3MaTpaH>a JiaKO 3aKJbyqyjeMo p;a je OBaKaB H38op YBeK Moryh. -+ ----+ -+ ~ -+ -----+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ D,aKne, HeKa je x =AB,y =Be 11 z =CD . HeKaje a =y + z H b =x +y. Tpe8a noKa3arn -+ -+ -+ -+ .n;a je x +a = b + z. 0By jep;HaKocT p;o8u.jaMo npu.MeH>yjytm p;eqmtt11Q11jy ca rrpen:op;He n;y)l(H.

cTpatte: rynHTH

-+ -+ -+ ----+ -+ -+ -----+ -+ -+ -+

--;-;:t

-+ -+ -----+

a =y +z =BD, x +a =AD, b =x +y =Ac 11 b +z = AD. D

D

c -+

x

B

c-;+J> +i

c -+

x

B

poyrna.

riaja -

-+ ----+ -+ ----+ -+ -+ ----+ -+ -+ HeKa je x =AB Hy =BC. Tap;a je x +y =AC . .D,a 8u.cMo op;pep;HJIH 3bHp y + x , -+ H3a8paheMo npep;cTaBHHKa BeKTopa x qHjH je noqeTaK TaqKa C. HeKa j e D Ta'!Ka TaKBa -+ -----+ -+ -+ ----+ ----+ ----+ n;a je x =CD . .D,aKJie, y + x = BD. Me~yTHM, BeKTOpH AC H BD cy j ep;HaKH no n:pyroj TeopeMH ca CTpatte 215.

t

fl.

-+ ----+ ----+ J. HeKa je x =AB. 3a npep;cTaBHHKa HYJia-BeKTopa H3a8epK.'1:0 ycMepeay AY* BB . Ta,n;a -+ -+ ----+ -+ je no p;e¢11HHQHjH ca npeTXop;He CTpatte x + 0 =AB =x . -+ ----+

-+ ----+

4. AKO je x =AB' OHp;a je -x =BA' rra je no p;e¢IDIMQMj H ca rrpeTXO,ll;He crpaHe,

-+

-+

-----+ -+

x+(-x)=AA =0. •

219

~

AcounjarnBHOCT ca6Mpa1na BeKTopa (TBpl)eibe rro)l, ~- y npeTXO,lJ;HOj TeopeMH) mmryhaBa HaM ,n:a JITHopmrreMo 3arpa,!l,e rrpIDIHKOM OAPel)J1Ba!ha 3fo1p0Ba BHIIIe op; p;Ba --+

c

BeKiopa. Jifa OBOr IBpljelba ce lf3BO,ll;Ji i1 TaK03BaHO npaBHJIO IIOJIJU'OHa 3a ca5Hpalbe BJIIIle BeKiopa.

--+

b

~ a

c

Je,iUIOCTaBHOM rrp1n1eHml IIpaBIDia IIOJilITOHa ,ll;OOJ1jaMO )l,a je 3a

B

CBaKe TPJ1 Ta'I.Ke A, B J1 C ra'llia je)l,HaKOCT - + - + ----+ --+

CA

AB +BC +CA =0.

A

Ammorna je)l;HaKOCT BaJKJl K 3a OIDio KOjJ1 5poj Ta'laKa.

e

'::"axol)t: pojeB

B

---+

AB

Teoporn

Ilocne~a TBpljelba

2. y rrperxo)l,Hoj TeopeMH je TaK03BaHo npaBHJIO naparrerrorpaMa

3a cabKpalbe )l;Ba BeKTopa. });Ba BeKTOpa caOKpaMO ITO OBOM rrpaBHJIY TaKO IIITO 3a JDJfXOBe rrpe,IlCTaBHMKe OKp:h'.iO ycMepeHe A)')KH ca J1CTJ1M rroqeTKOM, a 3aTHM o.rwe)ll1Mo BeKTop rrono:>Kaja, y o)l,Hocy Ha 3aje)l,HWIKJ1 rroqernK, qeTBpTor TeMeHa napaneJiorpaMa o.n;peljeHor J13a5pattl1M rrpe,!l,CTaBHH~HMa.

<

--+

--t

--t

BeKTopa y 3HaqI.f BeKTOp y ca5paTJ1 --t --t --t --t --+ ca cyrrpoTHJfM BeKropoM BeKTopa x. ,IJ,aKJie, y -x =y +(-x). 0.1zy3er11 BeKTOP --t

BeKTop y

x

--t

-x

0)1,

--t

Ha3J1Ba ce pa3JIKKa eeKTopa y l1

--+

x.

:'.Fe • • aKO

IlpKMep2.

IICTe

--+

--t

Ha cm~ 'AOJie )l,ecHo )l,aTJ1 cy BeKTop11 x, y J1 --t

--+

--t

--+

--t

z.

KottCTpYI.fIIIHMO BeKTop

--+

--t

--+

v =(x +y -z) +(x -y +z).

ilpnM:enrre .n;a je oBaj 3ap;aTaK nma ,,o)l,peAJ1Bpe,n;HOCT113pa3a aKo cy p;aTe Bpep;HOCTH

--+ --+ --+ a +- -b = a - b

•a.KO

rrpoMeHJbHBHX. ..': PernaBa ce Kao J1 ocTaJII.f CJIJi'lHH 3ap;a~H vt3 aJire5pe ca KojvtMa CTe ce

•a.KO

~ilrje7 -__,,+ .l'l.. .J..

Behcpemt.

.

= . . "'}

YrrpocTKMO Hajrrpe ,n;aTJ1 BeKTOPCKJ1 l13pa3 KOpHCTellli oco5vtHe orrep~ja HaBe)l,eHe Ha rrpeTXo)l,Hoj cTpattJ1:

--+

--+ --+ --+

--+ --+ --+

v = (x +y - z) + (x -y + z) --+

--t

--+ --+

--t

--+

--+

--t

--t

--t

--+

=x+y-z+x-y+z --t

yYa3yj Cmi'IB

=x+x+y-y-z+z --+ --+

=x+x. --t

ettaa

--+

cpajlhe

--+

,IJ,aKJie, BeKTop v He 3aBJ1CJ1 O)l, BeKTopa y J1 z. Kao IIITO ce oqeKyje, --+

p;oforjeHJ1 pe3yn:T~T 03Ha'laBaMO Kpahe ca 2x.

220

+

CeTID!

---+

IlpmBBo,n; BeKTopa rrp11po,n;HHM 8pojeM n ~ 1 ,n;eqmIDrnie ce Ha oqeKHBaHM Haq1rn:

e o,n; ,n;Ba

~

~

~

x

~

nx =x +x + ... +x.

palh'e

'---v--' n rryTa

--+

BC

>B

TaKol)e, rrp11po,n;Ho ce )'BO,ll;H 11 rrpoH3Bo,n; BeKTopa HYJIOM 11 HeraTHBHHM QeJJ:HM 8pojeBHMa: ~~

~

~

~

~

~

Ox =0 11 (-n)x =n(-x) =(-x) +(-x) + ... +(-x), n \..

"V" n rryTa

-4x

~ 1.

.I

MHO)l(elbe BeKTopa QeJIHM 8pojeM je CaMO crreQHjarraH crrrrnj MHO:>KeH>a BeKTopa pearrHHM 8pojeM.

~

prpaMa

la

~HOCTJ.1

rn cTe ce

"

HeKa je x rrpoH3BOJbaH BeKTop 11 k HeKH pearraH 8poj. IlpoH3BO,n; ~

4x

IlpomBOJ. Opoja n seICTopa je BeKTop.

~

kx 8poja k 11

~

BeKTopa x je je,n;HHCTBeH BeKTOp y o,n;pel)eH ycrrOBHMa: ~

I HHTeH3HTeT BeKTopa y je,n;ttaK je rrpoH3Bo,n;y 8pojeBa ~

~

~

~

lkl 11 jx j, TO jecT jy I= lkl · Ix I;

~

0

.rre4>nHIUIH a

" rrpaBaQ BeKTopa y HCTH je Kao rrpaBaQ BeKTopa x; ~

~ CMep BeKTopa y HCTJ.1 je Kao CMep BeKTOpa

~

x

aKO je k > 0, a cyrrpoTaH aKO je

k < 0.

IIpnMenrre ;:ra KOplfCTUMO

ncry

03Ha.b.] 3a HHTeH3JITeT ~

~

AKo je x =AB, oH,n;a ycMepetty ,ll;y)I( Koja rrpe,n;cTaBJba BeKTop o,n;pel)yjeMo:

~

kx je,n;HOCTaBHO

seKTopauanconyr:Hy Bpe.:UiOCT Opoja.

~~

• aKo je k > 0, ott,n;a je kx =AC, rrp11 qeMY je C TaqKa KOJIHHeapHa ca A 11 B, HaJia3M ceca HCTe CTpatte TaqKe A ca Koje je Ta':IKa B 11 Ba:>KH jACj = k · jABj; aKo je k

~~

< 0, ott,n;a je kx =AC, rrp11 qeMY je C TaqKa KOJIHHeaptta ca A

cyrrporne CTpaHe Ta':IKe A y o,n;Hocy Ha Ta':IKY B 11 Ba:>KH aKO je k=O, OH,n;aje

~

----+

Jt

B, Harra311 ceca

jACj = (-k) · IABI;

kx =AA.

H11je TernKo yo':IHTH ,n;a 3a cBaKy ycMepetty ,ll;y)I(

xY =AC. Il11caheMo 11 XY = kAB.

XY Koja rrpe,n;cTaBJba h

BaJKJi

fipHMep 3.

Y rrp11Mepy Ha CTpaHH 223, ,n;eqmHJ1QHja BeKTopa cpeAJbe 8p311He ---+

1 M

-----+

1 M

----+ ~

v =-P1P2 =-(OP, -OP1 ) sr

-

YKa3yje Ha 3Ha':Iaj MHO)l(elba BeKTopa 8pojeM. Crr11':IHHX ,n;eqmH11n;11ja HMa ,n;ocTa y tPH311QH. Ha rrpKMep, BeKrnpoM cpe,4H>er y8p3a!ba ce Ha aHarroratt Ha':IHH Mep11 rrpoMeHa BeKTopa TpeffYTHe 8p311He y noqernoM u KpajlheM TpettyTKY BpeMeHCKOr J1HTepBarra tit. CernMo ce 11 opMyn:e Kojy HaM ,n;aje ,n;pyrn IhyrnoB 3aKOH:

F=m-;. + 221

E -+

3a CBaim BeKTOp X --+

reope. a

i

--+

Ji

CBe peaJIHe bpojeBe k H f B 0 H > 0. Jep;HOCTaBHO ce 3aKJb)"lyje p;a cy

j(01,a3.

e

--+

--+

e

--+

BeKTOpJ.I (k + f)X H kx +ex HCTOr IIpaBQa H CMepa, Ila OCTaje CaMO p;a Ce IIpOBepH p;a JIH cy Ji J.fCTOr HHTeH3HTeTa: --+

--+

--+

--+

--+

--+

--+

l(k+f)xl =lk+fl · lxl =(k+e) · lxl =k · lxl +e · lxl =lkxl + lfxl --+ --+ =lkx +exi. AHanorno ce pa3Marpajy H OCTaJIH crryqajeBH, KaAa cy k H eHeraTHBHH, O,ll;HOCHO Kap;a

cy pa3IDftUITOT 3HaKa. • --+

-+

3a CBaKH peanaH 5poj k H CBe BeKTOpe x Hy Ta':IHa je jep;HaKOCT --+

--+

--+

.-

-+

k(x +y) =kx +ky.

i~ -Y

~ x--+

--! /

k·

ca "'KTO

CneqHjaJIHe crryqajeBe oBe jep;HaKOCTH, Kap;a je k Qeo 8poj, HHje TeIIIKO p;oKa3aTH. CrryqajeBH KaAa je k = 0 HJilf k = 1 cy Tp11B11:janH11. YKOIDfi