Matematika Szigorlat - Analizis I-II

Szigorlati tételek analízisből (Matematika I. – II.) 2005.

Készítette: Müller Szabolcs Műszaki Informatika szak VENK 1

Tartalomjegyzék 1. Halmaz fogalma, műveletek halmazokkal. Valós számok tulajdonságai. Az abszolút érték és azonosságai. Az intervallum és a környezet fogalma. Leképezések, függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet. Függvények alaptulajdonságai. Elemei függvények osztályozása, inverz függvény fogalma. Algebrai függvények: racionális függvények, irracionális függvények. ............................................................................. 4 2. Transzcendes függvények: trigonometrikus függvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvény. Trigonometrikus függvények differenciálása. Trigonometrikus függvények inverzének differenciálása (arsinx, arccosx, arctgx). ............................... 20 3. Sorozatok fogalma, tulajdonságai. Sorozatok konvergenciája, a határérték egyértelműsége (unicitás tétel). Műveletek konvergens sorozatokkal: {an+bn}; a { c ⋅ a n }; {an-bn}{ a n2 }; { a n ⋅ bn }; { n } sorozatok határértéke. Torlódási pont bn fogalma, Bolzano-Weierstrass tétel. ............................................................................... 29 n

1⎞ ⎛ 4. Bernoulli egyenlőtlenség, {q } sorozat határértéke. Az { ⎜1 + ⎟ } sorozat n⎠ ⎝ határértéke. Egyenlőtlenségekre vonatkozó határértéktételek, Rendőr elv. Sorozatok szuprémuma, infimuma. Konvergencia kritériumok (felülről korlátos sorozatok szuprémuma, alulról korlátos sorozatok infimumára vonatkozó tétel, monoton sorozatra vonatkozó tétel.) .............................................................................................. 37 n

5. Függvények folytonossága, műveletek folytonos függvényekkel. Folytonos függvények tulajdonságai. Függvények határértéke, féloldali határértékek, a sin x végtelenben vett határérték, a határérték kiterjesztése végtelenre. A és x 1 − cos x függvények határértéke. .................................................................................. 42 x 6. A differenciálhányados értelmezése, a deriváltfüggvény. A differencia- és differenciálhányados, féloldali differenciálhányados. A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata. A differenciálhányados függvény. Általános differenciálási szabályok: c ⋅ f (x) ; és az f ( x) ± g ( x) függvény differenciálása. A hatványfüggvény differenciálása................................................................................................................... 54 f ( x) 7. Általános differenciálási szabályok: f ( x) ⋅ g ( x) ; és az függvény differenciálása. g ( x) Az összetett függvény és az inverz függvény differenciálási szabálya. Az ex; ln x; ax; loga x; f(x)g(x) függvények differenciálása............................................................... 64 8. Középérték-tételek (Rolle, Lagrange, és Cauchy-féle középérték tételek) ................. 71 9. Differenciálható függvények vizsgálata. Magasabb rendű differenciálhányados. Összefüggések a különböző differenciálhányados függvények és a monotonitás, szélsőérték, konvexitás, inflexiós pont között (az ide vonatkozó szükséges és elegendő feltételre vonatkozó tételek)............................................................................................. 75 10. Numerikus sorok. Sorok konvergencia kritériumai. .................................................... 90 11. Taylor-sor, Maclaurin-sor. Egy-két nevezetes függvény hatványsora. .................... 106 12. Többváltozós függvények és tulajdonságaik. Többváltozós függvények vizsgálata. 112 2

13. A Reimann-integrál fogalma és tulajdonságai. A határozott integrálra vonatkozó egyenlőtlenségek. Az integrálhatóság feltételei........................................................... 129 14. Az integrálfüggvény tulajdonságai. A primitív függvény fogalma. Newton-Leibniz formula. .......................................................................................................................... 145 15. A helyettesítéssel való integrálás szabályai. Parciális integrálás szabálya. Transzcendens és trigonometrikus függvények integrálása...................................... 149 16. Az integrálszámítás alkalmazásai. Terület, térfogat, ívhossz kiszámítása............... 165 17. Racionális törtfüggvények integrálása. ....................................................................... 175 18. A differenciálegyenlet fogalma. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet és megoldása....................................................................................................................... 185 19. Elsőrendű differenciálegyenletekre visszavezethető egyenletek és megoldásuk. .... 195 20. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek............................................................... 196 21. Alaprendszer keresése................................................................................................... 222 Kiegészítés: A görög ABC................................................................................................... 223 Irodalomjegyzék .................................................................................................................. 223

3

1. Halmaz fogalma, műveletek halmazokkal. Valós számok tulajdonságai. Az abszolút érték és azonosságai. Az intervallum és a környezet fogalma. Leképezések, függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet. Függvények alaptulajdonságai. Elemei függvények osztályozása, inverz függvény fogalma. Algebrai függvények: racionális függvények, irracionális függvények. Halmaz fogalma

Valamely halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosan meghatározott dologról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy hozzátartozik-e a szóban forgó halmazhoz („eleme”a halmaznak). Megj.: A halmaz: alapfogalom. Ez azt jelenti,hogy nem definiáljuk, más szavakkal körülírt fogalomként használjuk. Középiskolai tanulmányainkra visszaemlékezve ugyancsak definíció nélkül, alapfogalomként használtuk például a pont, a sík fogalmát is. Műveletek halmazokkal

Megj.: Három olyan műveletet értelmezünk, amelyek segítségével adott halmazokból meghatározott elemeket tartalmazó újabb halmazokat állíthatunk elő. Def.: Az A és B halmaz egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csakis azok az elemek alkotnak, amelyek az A vagy B halmazok legalább egyikének elemei. Megj.:

Def.: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmazt értjük, amelyet azok és csakis azok az elemek alkotnak, amelyek A-nak is és B-nek is elemei.

4

Megj.:

Def.(speciális eset): Ha az A és B halmazoknak nincs közös eleme, azaz ha

akkor azt mondjuk, hogy az A és a B diszjunkt (leválasztott, szétválasztott, feldarabolt, ízekre szedett) halmazok. Def.: Az A és B halmazok különbségén azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem. Megj.:

5

Valós számok tulajdonságai

Megj.: A valós számok halmaza kiemelt fontosságú a matematikai analízisben. Ugyanis az analízis lépten-nyomon felhasználja a valós számok halmazát, annak tulajdonságait. Mi ismertnek tételezzük fel a valós számok halmazát, és a középiskolai gyakorlatnak megfelelően R-rel jelöljük. A következőkben felsorolásra kerülnek a valós számok azon legfontosabb tulajdonságai, amelyek feltételezéséből már levezethetők a további műveleti szabályok és tulajdonságok. Ezek a tulajdonságok valójában a valós számok ún. axiómái, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk, a valós számok halmazát éppen ezek határozzák meg egyértelműen. I. axióma: A valós számok halmazán értelmezve van két művelet, az összeadás és a szorzás művelete, azaz bármely két a, b valós számhoz egyértelműen hozzá van rendelve azok a + bvel, illetve a b-vel jelölt ugyancsak valós összege, illetve szorzata. 1. Az összeadás a. kommutatív (felcserélhető), azaz bármely két a, b valós számra igaz, hogy: a + b = b + a; b. asszociatív (csoportosítható, tetszőlegesen zárójelezhető), azaz bármely három a, b, c valós számra igaz, hogy: (a + b) + c = a + (b + c). 2. A szorzás a. kommutatív, azaz bármely két a, b valós számra igaz, hogy: ab = ba; b. asszociatív, azaz bármely három a, b, c valós számra igaz, hogy: (ab)c = a(bc). 3. A szorzás az összeadásra nézve disztributív (szétosztott, kiosztott, elosztott), azaz bármely három a, b, c valós számra igaz, hogy: (a + b)c = ac + bc.

6

Megjegyzés szintjén kerülnek leírásra a 4-es és 5-ös pontba foglaltak: 4. A valós számok halmazának van a. zéruseleme, azaz létezik olyan 0 R szám, hogy minden valós a-ra: a + 0 = a; b. egységeleme, azaz létezik olyan 1 R szám, hogy minden valós a-ra: 1 a = a. 5. A valós számok halmazában a. Minden valós a-hoz létezik olyan a* R, amelyre: a + a* = 0. Ezen a*-t a ellentettjének nevezzük, és –a-val jelöljük. b. Minden 0-tól különböző valós a-hoz létezik olyan a** R, amelyre: a a** = 1. Ezen a**-t a reciprokának nevezzük, és 1/a-val jelöljük. (Megj.: a zéruselem, az egységelem, az ellentett és a reciprok egyértelműen meghatározott.) II. axióma: A valós számok körében értelmezhető ún. nagyságrendi reláció (viszony), azaz bármely két a, b valós számra az alábbi relációk közül pontosan egy érvényes: a < b a = b b < a. Ez a reláció a. tranzitív (átmeneti, tárgyas), azaz bármely három a, b, c valós számra ha a < b és b < c, akkor a < c; b. továbbá bármely három a,b,c valós számra, ha a < b, akkor a + c < b + c; ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc. III. axióma: A következő tulajdonság, az ún. archimedesi axióma, a pozitív valós számoknak azon tulajdonságát fejezi ki, hogy bármilyen pozitív számnak elég nagy természetes számmal vett szorzata nagyobb lehet bármelyik pozitív számnál, azaz minden a és b pozitív valós számhoz található olyan n természetes szám, amelyre b < na.

7

IV. axióma: Az utolsónak említendő tulajdonság az ún. teljességi axióma, miszerint ha A valós számok felülről korlátos nem üres részhalmaza, akkor létezik egy egyértelműen meghatározott valós szám, amely A felső határa. Ha pedig A alulról korlátos, akkor létezik alsó határa és ez valós. Megj.: a következőkben olyan fogalmak kerülnek ismertetésre, melyek a valós számokkal kapcsolatosak. Elsőként a valós számok abszolút értékének fogalmával foglalkozunk. Az abszolút érték és azonosságai

Def.: Az a valós szám (a R) szimbólummal jelölt abszolút értékének nevezzük a következőképpen értelmezett nemnegatív valós számot:

Az abszolút érték megadott definíciója alapján könnyen igazolhatók a következő összefüggések tetszőlegesen választott a és b valós számokra:

Az intervallum és a környezet fogalma

Megj.: A valós számoknak az analízisben gyakran használt, a számegyenesen jól szemléltethető részhalmazai, az ún. intervallumok (köztesértékek). Def.: Intervallumok az

Feltételek valamelyikét kielégítő x valós számok halmazát nevezzük. Részletesebben: azt a halmazt, amelynek eleme az összes olyan x valós szám, amelyre teljesül az

Nevezzük. Az a és b pontokat végpontoknak, az intervallum többi pontját belső pontnak nevezzük. Ha a = b, akkor elfajult (beteges, kóros) intervallumról beszélünk.

8

Az intervallumok szemléltetése

Leképezések, függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet

9

Mi csak az ún. valós függvényekkel foglalkozunk, azaz olyan függvényekkel, amelyek értékkészlete (a B halmaz) a valós számok valamely nem üres részhalmaza. 10

Függvények alaptulajdonságai

1. Függvények megadása Megj.: elsősorban egyváltozós valós függvényekről lesz szó, amikről már tettem említést az előzőekben. Ugyanígy hasonlóan az értelmezési tartományról és értékkészletről is.

Megj.: A függvényeket többféleképpen adhatjuk meg. Pl.:

11

2.Koordinátatranszformációk

12

13

3. Függvénytani alapfogalmak Megj.: A következőkben felsorolásra, definiálásra kerülnek azok a legegyszerűbb fogalmak, amelyek a függvények vizsgálata során leggyakrabban előfordulnak.

14

Megj.: Az ilyen függvényeket közös néven monoton függvényeknek nevezzük. Értelmezésszerűen megkülönböztetünk szigorú és tágabb értelemben monoton függvényeket. A monotonitás definiálható az értelmezési tartomány valamely részintervallumán is. Ekkor a szóban forgó intervallumon monoton függvényről beszélünk.

Megj.:

15

Megj.:

16

4. Függvények folytonossága 5. Műveletek folytonos függvényekkel 6. Függvények határértéke 7. Folytonos függvények kiterjesztése intervallumokra. Megj.: az utolsó négy pont a későbbiekben kerülnek megfogalmazásra. Elemi függvények osztályozása, inverz függvény fogalma

Megj.: Elemi függvények az olyan képlettel megadható függvények, amelyek az , az az függvényekből az alábbi „műveletek” véges sok alkalmazásával felírhatók: o o o o o

és

konstanssal való szorzás, összeadás, szorzás, osztás, függvény leszűkítésének képzése, inverz függvény képzése, összetett függvény képzése.

Az elemi függvényeket a következőképpen csoportosíthatjuk (osztályozhatjuk): I. Algebrai függvények 1. Racionális függvények a. Racionális egész függvények b. Racionális törtfüggvények 2. Irracionális függvények II. Transzcendens függvények Megj.: Nagyon sok nem elemi függvény is létezik, ilyen például a már említett abszolútértékfüggvény és előjelfüggvény is. Def.: Legyen olyan függvény, amely az értelmezési tartomány és értékkészlet elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít. Ekkor inverz függvényének azt az függvényt nevezzük, amelynek értelmezési tartománya és

és függvényeknél az értelmezési tartomány és az Megj.: A definíció alapján az értékkészlet szerepet cserél, ez azt jelenti, hogy e függvények ábrázolása esetén a tengelyek szerepe is cserélődik. Az x és y tengely szerepcseréje a koordináta-rendszer y = x egyenesre vonatkozó tükröződését jelenti. Ezek után nem nehéz belátni, hogy az és grafikonjai egymás tükörképei, és a tükröződés tengelye az y = x egyenes. Valamely pont koordinátái a pont helyzetét jellemző számok.

17

Algebrai függvények: racionális függvények, irracionális függvények

Meg.: Algebrai (betűszámtani, számelméleti) függvényekről beszélünk akkor, ha a függvénykapcsolatot kifejező (explicit – világosan kifejezett vagy implicit – nem kifejtett, rejtett) formula (képlet, szabály) az függvényt és a valós számokat használva kizárólag algebrai műveletekből épül fel. Algebrai műveleten az összeadás, a kivonás, a szorzás, az osztás, az egész kitevős hatványozás és a gyökvonás véges számú alkalmazását értjük. Az algebrai függvények lehetnek racionális (ésszerű, célszerű, értelmes) vagy irracionális (értelmetlen, ésszerűtlen) függvények. 1. Racionális függvények azok, amelyek képletében csak a négy alapművelet és az egész kitevős hatványozás fordul elő. a. Racionális egész függvények a

Megj.: Könnyen igazolhatjuk, hogy a racionális egész függvények mindenütt folytonosak. b. Racionális törtfüggvények azok a függvények, amelyek két polinom (többtagú, azaz több összeadandó tagból álló kifejezés) hányadosaként állnak elő.

Megj.: Belátható, hogy a racionális törtfüggvény mindenütt folytonos.

18

2. Irracionális függvények Megj.: Néhány speciális irracionális függvény kerül megnézésre.

19

2. Transzcendes függvények: trigonometrikus függvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvény. Trigonometrikus függvények differenciálása. Trigonometrikus függvények inverzének differenciálása (arsinx, arccosx, arctgx).

A nem algebrai elemi függvényeket transzcendens (érzékfeletti, a megismerés határain túli, megfoghatatlan, magasabbrendű) függvényeknek nevezzük. Ezek ismert osztályai például a trigonometrikus (szögfüggvénytani) és az exponenciális (hatványkitevős) függvények. Trigonometrikus függvények és inverzeik

20

Megj.:

21

22

23

24

Exponenciális és logaritmus függvény

25

26

Trigonometrikus függvények differenciálása (sin x, cos x, tg x, ctg x)

27

Trigonometrikus függvények inverzének differenciálása (arc sin x, arc cos x, arc tg x, arc ctg x)

A következő tételben a trigonometrikus függvények inverzeinek (megfordítottjainak) – a ciklometrikus (körmértékes) függvényeknek – a deriváltfüggvényeit adjuk meg.

28

3. Sorozatok fogalma, tulajdonságai. Sorozatok konvergenciája, a határérték egyértelműsége (unicitás tétel). Műveletek konvergens sorozatokkal: {an+bn}, a { c ⋅ a n }; {an-bn}{ a n2 }; { a n ⋅ bn }; { n } sorozatok határértéke. Torlódási pont bn fogalma, Bolzano-Weierstrass tétel.

Megj.: Korábban általánosságban megadásra került a függvény fogalma. Amennyiben az ott adott megfogalmazásban szereplő A és B halmazok a valós számok nem szükségképpen különböző részhalmazai, akkor egyváltozós valós függvényekről beszélünk. Először – mint speciális egyváltozós valós függvények – a számsorozatok kerülnek taglalásra. Sorozatok fogalma

29

Sorozatok tulajdonságai

Megj.:

Megj.:

30

Sorozatok konvergenciája

Megj.: A következőkben két egymással ekvivalens (egyenértékű) definíció kerül közlésre e témában.

Megj.: A fenti két definíció („pontos” meghatározás, értelmezés) egyenértékű (megegyezik, azonos, egyforma, egyenlő). Ezt a következő tételben (szabály, kifejezés, tömör meghatározás) bizonyítjuk is.

31

Megj.:

A határérték egyértelműsége (unicitás tétel)

Megj.: A következő tételben a határérték egyértelműsége (unicitása) kerül bizonyításra.

Megj.: A sorozat tagjai a tagok számának növekedésével egy bizonyos véges meghatározott értékhez közelednek (l. Határérték), akkor azt mondjuk, hogy a sorozatból képezett végtelen sor, illetőleg végtelen szorzat, végtelen lánctört összetartó v. konvergens. Ehhez még csak azt tesszük hozzá, hogy e határértéknek a végtelen szorzat esetében a 0-tól is különbözőnek kell lennie. E határértéket magát az illető végtelen sor, stb. értékének nevezzük. Minden más esetben a végtelen sor széttartó v. divergens. 32

Megj.: A következő részletek még a sorozatok konvergenciájához tartozik. A soron következő tételek a konvergens sorozatoknak két fontos tulajdonságát mondják ki.

Megj.:

33

Torlódási pont fogalma

Megj.: Az előző tétel alapján nyilvánvaló, hogy valamely sorozat elemeiből véges sokat elhagyva illetve hozzávéve, a sorozat konvergenciája nem változik. A sorozatok egy másik, a határértékhez közelálló, de azzal nem azonos jellemzője a torlódási pont. Az alábbiakban ezzel ismerkedünk meg.

Megj.:

Bolzano – Weierstass tétel

34

Megj.:

35

Műveletek konvergens sorozatokkal a ({an+bn}, { c ⋅ a n }, {an-bn}{ a n2 }, { a n ⋅ bn }, { n } ) sorozatok határértéke bn

Tétel: Legyen {an } és {bn } konvergens sorozat, an → a , bn → b , és c ∈ R tetszőleges. Ekkor {c ⋅ an } , {an ± bn } és {an ⋅ bn } sorozat is konvergens, és

c ⋅ an → c ⋅ a , an ± bn → a ± b , an ⋅ bn → a ⋅ b . ⎧a ⎫ Továbbá ha b ≠ 0 , akkor ⎨ n ⎬ is konvergál, és ⎩ bn ⎭ an a → . bn b

a n2 = an an

a a=

Megj.: Ez azt jelenti, hogy konvergens sorozatok esetén a határérték képzés és az alapműveletek végrehajtásának sorrendje felcserélhető.

36

n

1⎞ ⎛ 4. Bernoulli egyenlőtlenség, {q } sorozat határértéke. Az { ⎜1 + ⎟ } sorozat n⎠ ⎝ határértéke. Egyenlőtlenségekre vonatkozó határértéktételek, Rendőr elv. Sorozatok szuprémuma, infimuma. Konvergencia kritériumok (felülről korlátos sorozatok szuprémuma, alulról korlátos sorozatok infimumára vonatkozó tétel, monoton sorozatra vonatkozó tétel.) n

Bernoulli-egyenlőtlenség

{qn} sorozat határértéke

37

38

⎛ Az { ⎜1 + ⎝

n

1⎞ ⎟ } sorozat határértéke n⎠

39

40

Egyenlőtlenségekre vonatkozó határértéktételek, Rendőrelv

Sorozatok szuprémuma, infimuma

Megj.:

Konvergencia kritériumok (felülről korlátos sorozatok szuprémuma, alulról korlátos sorozatok infimumára vonatkozó tétel, monoton sorozatra vonatkozó tétel)

Megj.:

41

5. Függvények folytonossága, műveletek folytonos függvényekkel. Folytonos függvények tulajdonságai. Függvények határértéke, féloldali határértékek, a sin x végtelenben vett határérték, a határérték kiterjesztése végtelenre. A és x 1 − cos x függvények határértéke. x Függvények folytonossága

Megj.:

42

Megj.:

43

Műveletek folytonos függvényekkel

Megj.:

44

45

Megj.:

Folytonos függvények tulajdonságai

1. *Fokozatos változás *Tétel: „Fokozatos változás tulajdonsága”

(f ∈C

x0

)

∧ k < f ( x0 ) < K ⇒ (∃δ > 0 : ∀x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) : k < f ( x) < K ) .

2. Műveletek folytonos függvényekkel Tétel: Legyen f ( x), g ( x) ∈ C x0 , c ∈ R tetszőleges.

Ekkor c ⋅ f ( x) , f ( x) ± g ( x) , f ( x) ⋅ g ( x) ∈ C x0 . Továbbá, ha g ( x0 ) ≠ 0 , akkor

f ( x) ∈ C x0 . g ( x)

46

3. Folytonos függvények összetétele Def.: Legyen f ( x) : D f → R f : x α f ( x) és g ( x) : D g → R g : x α g ( x) adott függvények. Ekkor ( g ο f )( x) : D g ο f → R g ο f : x α f ( g ( x)) függvény összetett függvény , ahol D g ο f = {x ∈ D g : g ( x) ∈ D f }, R g ο f = f ( g ( D g ο f )) = {y : ∃x ∈ D g ο f : y = f ( g ( x))}

Az f(x)-et külső függvénynek, míg g(x)-et belső függvénynek nevezzük. Tétel: Legyen g ( x) ∈ C x0 , f ( x) ∈ C g ( x0 ) . Ekkor ( g ο f )( x) = f ( g ( x)) ∈ C x0 . 4. Folytonos függvények invertálhatósága Def.: f(x) függvény kölcsönösen egyértelmű), ha ∀x1 , x 2 ∈ D f : f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2 . Def.: Legyen f ( x) : D f → R f : x α f ( x) adott kölcsönösen egyértelmű függvény. Ekkor f ( x) : D f = R f → R f = D f : x α f ( x) függvény az f(x) inverz függvénye , ha ∀x ∈ D f : f ( f ( x)) = x ill. ∀y ∈ R f : f ( f ( y )) = y . Megj.: Ezért szokás a kölcsönös egyértelműséget invertálhatóságnak is mondani. Megj.: Invertálható f (x) függvény f ( x) inverze is invertálható, és f ( x) = f ( x) . Tétel: Szigorúan monoton, folytonos függvény invertálható, inverze is ugyanolyan értelemben szigorú monoton és folytonos, azaz f ( x) ∈ C[a ,b ] ∧ f ( x) ↑ ⇒ ∃ f ( x) ∧ f ( x) ↑ ∧ f ( x) ∈ C [ f ( a ), f (b ) ] , ill. szig

szig

f ( x) ∈ C[a ,b ] ∧ f ( x) ↓ ⇒ ∃ f ( x) ∧ f ( x) ↓ ∧ f ( x) ∈ C[ f (b ), f ( a ) ] . szig

szig

5. Véges zárt intervallumon folytonos függvények Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény korlátos. Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélsőértékeit. *Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény a minimuma és maximuma közötti minden értéket felvesz. Sőt, lesz olyan első ill. utolsó hely, ahol az adott értéket felveszi. *Tétel: Véges zárt intervallumon folytonos függvény egyenletesen folytonos.

47

Függvények határértéke

Megj.:

48

Megj.:

Féloldali határértékek

49

A végtelenben vett határérték, a határérték kiterjesztése végtelenre

Megj.:

Megj.:

50

A

sin x 1 − cos x és függvények határértéke x x

51

52

Megj.:

Megj.: Az első függvény határértékének bizonyítási elvével hasonlóan levezethető a második függvény határértéke is.

53

6. A differenciálhányados értelmezése, a deriváltfüggvény. A differencia- és differenciálhányados, féloldali differenciálhányados. A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata. A differenciálhányados függvény. Általános differenciálási szabályok: c ⋅ f (x) ; és az f ( x) ± g ( x) függvény differenciálása. A hatványfüggvény differenciálása. A differenciálhányados értelmezése, a deriváltfüggvény

A differenciál(különbségi,eltérési)számítás kialakulását geometriai (mértani) és fizikai (természettani) (főleg mechanikai - mozgástani) problémák váltották ki, illetve siettették. Ezek közül két alapvetőt emelünk ki:

A differencia- és differenciálhányados

54

55

Megj.:

56

Féloldali differenciálhányados

Megj.: Az alábbiakban feltesszük, hogy a szóban forgó függvény a vizsgált hely megfelelő féloldali környezetében értelmezve van.

Megj.:

Megj.:

57

Megj.:

A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata

Megj.:

58

59

60

A differenciálhányados-függvény

Megj.:

Megj.:

61

Általános differenciálási szabályok: c ⋅ f (x) ; és az f ( x) ± g ( x) függvény differenciálása

Megj.:

62

A hatványfüggvény differenciálása

Bev.:

Megj.:

63

f ( x) függvény differenciálása. g ( x) Az összetett függvény és az inverz függvény differenciálási szabálya. Az ex; ln x; ax; loga x; f(x)g(x) függvények differenciálása.

7. Általános differenciálási szabályok: f ( x) ⋅ g ( x) ; és az

Általános differenciálási szabályok: f ( x) ⋅ g ( x) ; és az

f ( x) függvény differenciálása g ( x)

Megj.:

64

Megj.:

65

Az összetett függvény és az inverz függvény differenciálási szabálya

Megj.:

66

67

Az ex; ln x; ax; loga x; f(x)g(x) függvények differenciálása

68

Megj.: Ezek a már említett függvények a logaritmus(arányszám)- és az exponenciális függvény differenciálása nevű témakörbe tartoznak. A következő deriválási szabály nem általános, mivel csak bizonyos típusú függvényekre vonatkozik, ismerete mégis sokszor hasznos. (Az utoljára levezetett függvény a speciális differenciálási szabályok témakörébe tartozik, illetve logaritmikus differenciálásnak is nevezik a matematikában.) A logaritmus az a hatványkitevő, amelyre egy adott számot emelni kell, hogy egy másik adott számot nyerjünk. Így pl. 52=5x5=25, tehát 5log 25=2. A logaritmust tehát felfoghatjuk, mint a hatványozás inverz műveletét.

69

Megj.:

70

8. Középérték-tételek (Rolle, Lagrange, és Cauchy-féle középérték tételek)

Megj.:

71

72

73

74

Megj.:

Az egzisztencia matematikai jelentése lét, létezés. 9. Differenciálható függvények vizsgálata. Magasabb rendű differenciálhányados. Összefüggések a különböző differenciálhányados függvények és a monotonitás, szélsőérték, konvexitás, inflexiós pont között (az ide vonatkozó szükséges és elegendő feltételre vonatkozó tételek). Differenciálható függvények vizsgálata (függvénydiszkusszió)

75

76

77

Magasabb rendű differenciálhányados

78

Megj.:

79

Összefüggések a különböző differenciálhányados függvények és a monotonitás, szélsőérték, konvexitás, inflexiós pont között (az ide vonatkozó szükséges és elegendő feltételre vonatkozó tételek)

Bev.:

Megj.:

80

Megj.:

81

Megj.:

82

83

Megj.:

84

Megj.:

85

Megj.:

86

87

Megj.:

88

89

10. Numerikus sorok. Sorok konvergencia kritériumai. Numerikus sorok

90

Konvergens és divergens számsorok

91

92

Sorok konvergencia kritériumai

Bez.:

93

94

Jeltartó és alternáló sorok

95

96

Műveletek számsorokkal Megj.:

97

98

99

100

Konvergencia-kritériumok pozitív tagú sorokra Megj.:

101

102

103

104

Megj.:

105

11. Taylor-sor, Maclaurin-sor. Egy-két nevezetes függvény hatványsora.

Bev.:

Taylor-sor mint speciális hatványsor, Maclaurin-sor

Megj.:

106

107

Egy-két nevezetes függvény hatványsora

108

Megj.:

109

110

111

12. Többváltozós függvények és tulajdonságaik. Többváltozós függvények vizsgálata.

Megj.:

112

A többváltozós függvények megadási módjai

113

Megj.:

114

A többváltozós függvényekre vonatkozó alapfogalmak Megj.:

115

116

Megj.:

117

A többváltozós valós függvények differenciálszámítása Megj.:

118

119

Megj.:

A differenciálhatóság értelmezése

120

121

Megj.:

122

Megj.:

123

124

A többváltozós függvények differenciálszámításának alkalmazásai (szélsőérték-számítás) Megj.:

125

126

127

128

13. A Reimann-integrál fogalma és tulajdonságai. A határozott integrálra vonatkozó egyenlőtlenségek. Az integrálhatóság feltételei.

Bev.:

A határozott integrál

129

A Riemann-integrál fogalma

Megj.:

130

Megj.:

131

132

A határozott integrál tulajdonságai

Műveletek integrálható függvényekkel Megj.:

133

Megj.:

134

135

Az integrálszámítás középértéktétele Megj.:

136

137

Kiegészítés a határozott integrál tulajdonságaihoz

Formális tulajdonságok f ( x) ∈ R[ a ,b ] a

•

∫ f ( x)dx = 0 a

b

a

•

∫

•

[a′, b′] ⊆ [a, b] ⇒ f ∈ R[ a ′,b′]

a

•

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx , ahol c ∈ [a, b]

138

Műveleti szabályok Tétel: Legyen f ( x) ∈ R[ a ,b ] , c valós szám. b

b

a

a

Ekkor c ⋅ f ( x) = (c ⋅ f )( x) ∈ R[ a ,b ] és ∫ c ⋅ f ( x)dx =c ⋅ ∫ f ( x)dx Tétel: Legyen f ( x), g ( x) ∈ R[ a ,b ] . Ekkor f ( x) + g ( x) = ( f + g )( x) ∈ R[ a ,b ] és

b

b

b

a

a

a

∫ f ( x) + g ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

Tétel: Legyen f ( x), g ( x) ∈ R[ a ,b ] . Ekkor f ( x) ⋅ g ( x) = ( f ⋅ g )( x) ∈ R[ a ,b ] Tétel: Legyen f ( x), g ( x) ∈ R[ a ,b ] , továbbá létezzen m > 0 : ∀x ∈ [a, b] : g ( x) ≥ m . Ekkor

f ( x) f = ( )( x) ∈ R[ a ,b ] g ( x) g

Tétel: Legyen f ( x) ∈ R[ a ,b ] . b

Ekkor f ( x) ∈ R[ a ,b ] és

∫ a

b

f ( x) dx ≥

∫ f ( x)dx a

A határozott integrálra vonatkozó egyenlőtlenségek

139

140

Az integrálhatóság feltételei

Az integrálhatóság szükséges feltétele

141

142

Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele Megj.:

143

144

14. Az integrálfüggvény tulajdonságai. A primitív függvény fogalma. Newton-Leibniz formula.

Megj.:

Megj.:

145

Az integrálfüggvény tulajdonságai

146

A primitív függvény fogalma

Megj.:

Newton-Leibniz formula

147

148

15. A helyettesítéssel való integrálás szabályai. Parciális integrálás szabálya. Transzcendens függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása. A helyettesítéssel való integrálás szabályai

149

Megj.:

Parciális integrálás szabálya

150

151

Megj.:

152

153

154

Transzcendens függvények integrálása

Transzcendens függvények: A) B) C) D)

Trigonometrikus és ciklometrikus függvények Exponenciális és logaritmus függvények *Irracionális kitevős hatványfüggvények *Hiperbolikus függvények Trigonometrikus függvények integrálása

Megj.:

155

Néhány trigonometrikus függvény integrálása

156

157

158

Trigonometrikus függvények racionális kifejezésének integrálása

159

160

161

Megj.:

162

Exponenciális és hiperbolikus függvények integrálása Megj.:

163

164

Megj.:

16. Az integrálszámítás alkalmazásai. Terület, térfogat, ívhossz kiszámítása. Az integrálszámítás alkalmazásai

Az integrálszámítást a következő esetekben alkalmazzuk: o o o o o

Területszámítás Síkgörbe ívhossza Forgástest térfogata Forgástest palástjának felszíne Súlypontszámítás (görbedarab, síklemez, forgástest és forgásfelület esetén) Területszámítás

165

166

167

Forgástest térfogata

168

Megj.:

169

Megj.:

170

Síkgörbe ívhossza

171

172

173

174

17. Racionális törtfüggvények integrálása.

Parciális törtekre bontás

175

A parciális törtek integrálása

176

177

178

179

180

181

A parciális törtekben szereplő együtthatók meghatározása

182

183

184

18. A differenciálegyenlet fogalma. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet és megoldása. A differenciálegyenlet fogalma

Bővebben:

185

Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet és megoldása

Homogén differenciálegyenletek

186

187

188

Inhomogén differenciálegyenletek

189

190

191

192

193

194

19. Elsőrendű differenciálegyenletekre visszavezethető egyenletek és megoldásuk.

195

Megj.:

20. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek.

Másodrendű differenciálegyenletek

Hiányos másodrendű differenciálegyenletek

196

Megj.:

Megj.:

197

198

199

200

201

Lineáris homogén differenciálegyenletetek

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

Lineáris inhomogén differenciálegyenletek

216

217

218

219

220

221

21. Alaprendszer keresése.

Bevezetés jelleggel: Def.: Az y1(x) és y2(x) függvényeket egy [a;b]-n lineárisan függetlenek nevezzük, ha abból, hogy [a;b]-n mindenütt c1*y1(x) + c2*y2(x) = 0 teljesül, ebből következik, hogy a c1 és c2 konstansok nullák. Ellenkező esetben y1(x) és y2(x)-et lineárisan függőnek nevezzük. Def.: Wronski-féle determináns:

Tétel: Ha a differenciálható y1(x) és y2(x) függvények [a;b]-n lineárisan függők, akkor ott a Wronski-féle determináns nulla. Tegyük fel, hogy y1(x) és y2(x) az [a;b]-n lineárisan függők, azaz vannak olyan c1 és c2 konstansok, hogy c1*c1 + c2*c2 0-val, de [a;b]-n mindenütt c1*y1(x) + c2*y2(x) = 0, c1*y1’(x) + c2*y2’(x) = 0 (lineáris homogén egyenletrendszer)

Def.: Az y1(x) és y2(x) legyenek a homogén egyenlet megoldásai. Ezek alaprendszert alkotnak, ha W(y1,y2) 0. Tétel: Ha y1(x) és y2(x) a homogén lineáris másodfokú differenciálegyenlet alaprendszert alkotó megoldásai, akkor a homogén egyenlet bármely megoldása, ezek lineáris kombinációjaként állítható elő, azaz v = y = c1*y1 + c2*y2. Megjegyzés: az alaprendszer (elsősorban a homogén egyenletrendszer lineárisan független megoldásainak) keresése és az utólag kifejtett tétel bizonyítása a 20. tételben megtalálható teljes részletességgel.

222

A görög ABC kis nagy magyar név A alfa

B

béta

E

gamma delta epszílon

Z

dzéta

H

éta théta ióta kappa lambda mű nű

I K M N

kszí o

O P T

omíkron pí rhó szigma tau üpszílon phí (fí)

X

khí pszí ómega

Irodalomjegyzék Nyomtatott források: o Kovács József, Takács Gábor, Takács Miklós: Matematika a műszaki főiskolák számára – Analízis (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998) o Albeker István, Dr. Csernyák László, Dr. Czétényi Csaba, Dr. Pörzse Oszkárné: Matematika üzemgazdászoknak – Analízis (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998)

Elektronikus források: o Schneider János: Elektronikus jegyezetek Analízisből 2004-2005. (MIK, VENK) o Lajkó Károly: Analízis II. – Második, javított kiadás (Debreceni Egyetem, Matematikai és Informatikai Intézet, 2001); Differenciálegyenletek – Kézirat (Debreceni Egyetem, Matematikai és Informatikai Intézet, 2000)

223