Matematika Diskrit 2

MATEMATIKA DISKRIT 2 SKS

Cindy Cahyaning Astuti, S.Si, M.Si

Ikuti perkuliah dengan tulus dan serius Lakukan tugas dan resapi Tanya dan diskusi lebih diharapkan Nikmati semua proses dengan senang hati

‫هللا الرَّ حْ ٰم ِن الرَّ ِحيْم‬ ِ ‫ِبسْ ِم‬ ‫ َوارْ ُز ْق ِنيْ َف ْهمًا‬،‫َربِّ ِز ْد ِني ِع ْلمًا‬ (Ya Allah Tambahkanlah aku ilmu, Dan berilah aku karunia untuk dapat memahaminya)

LOGIKA PROPOSISI (KOMBINASI PROPOSISI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, NEGASI)

Cindy Cahyaning Astuti, S.Si, M.Si

Proposisi

Proposisi Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false) tetapi tidak bisa sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut sebagai nilai kebenaran (truth value) Bidang logika yang membahas proposisi : kalkulus proposisi/logika proposisi

Proposisi

Proposisi Secara simbolik dinyatakan dengan huruf kecil misal p,q,r,s

Contoh : p: 10 adalah bilangan genap q: Ir. Soekarno adalah presiden pertama RI r: 6+7=13

Kombinasi Proposisi Kita dapat membentuk proposisi baru dengan mengkombinasikan satu atau lebih proposisi

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut sebagai operator logika

Kombinasi Proposisi Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or) dan tidak (not) Dua operator pertama disebut sebagai operator biner (karena operator tersebut mengoperasikan dua buah preposisi) sedangkan operator ketiga disebut sebagai operator uner (karena hanya membutuhkan satu preposisi)

Kombinasi Proposisi Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk. Sedangkan proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain proposisi majemuk tersusun dari proposisi-proposisi atomik

Terdapat tiga jenis proposisi majemuk yaitu konjungsi (conjungtion), disjungsi (disjungtion) dan negasi (ingkaran)

Kombinasi Proposisi 1. Konjungsi (Conjungtion) Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi(conjungtion) p dan q dinyatakan sebagai: p dan q notasi p ˄ q 2. Disjungsi (Disjungtion) Misalkan p dan q adalah proposisi. Disjungsi (disjungtion) p dan q dinyatakan sebagai: p atau q notasi p ˅ q 3. Negasi (Ingkaran) Misalkan p dan q adalah proposisi. Negasi (ingkaran) p dan q dinyatakan sebagai: tidak p notasi ~p tidak q notasi ~q

Konjungsi Konjungsi Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung dan.

Notasi Konjungsi Notasi-notasi lain konjungsi dinyatakan sebagai berikut : p  q, p x q, p.q dan pq

dapat

Tabel Kebenaran Konjungsi Tabel Kebenaran Konjungsi dinyatakan sebagai berikut: p

q

p˄q

p

q

p˄q

T

T

T

+

+

+

T

F

F

+

-

-

F

T

F

-

+

-

F

F

F

-

-

-

Disjungsi Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung atau.

Notasi Disjungsi Notasi-notasi lain disjungsi dinyatakan sebagai berikut : p  q dan p + q

dapat

Tabel Kebenaran Disjungsi Tabel Kebenaran disjungsi dinyatakan sebagai berikut: p

q

p˅q

p

q

p ˅q

T

T

T

+

+

-

T

F

T

+

-

-

F

T

T

-

+

-

F

F

F

-

-

+

Negasi Negasi Negasi adalah sebuah pernyataan yang meniadakan pernyataan yang ada Notasi Negasi Notasi-notasi lain negasi dapat dinyatakan sebagai berikut : ~ p, p' dan p

Tabel Kebenaran Disjungsi

Tabel Kebenaran negasi dinyatakan sebagai berikut:

p

~p

p

~p

T

F

+

-

F

T

-

+

Contoh 1. Diketahui proposisi-proposisi berikut : p : Hari ini cuaca buruk q: murid SD diliburkan dari sekolah Maka konjungsi, disjungsi dan negasi proposisi tersebut adalah p ˄ q = Hari ini cuaca buruk dan murid SD diliburkan dari sekolah p ˅ q = Hari ini cuaca buruk atau murid SD diliburkan dari sekolah ~p = Tidak benar hari ini cuaca buruk ~q = Tidak benar murid SD diliburkan dari sekolah

Contoh 2. Diketahui proposisi-proposisi berikut : p : Hari ini hujan q : Hari ini dingin

Maka : q ˅ ~p = Hari ini dingin atau hari ini tidak hujan Hari ini dingin atau tidak hujan ~p ˄ ~q = Hari ini tidak hujan dan hari ini tidak dingin Hari ini tidak hujan maupun dingin ~(~p) = Tidak benar hari ini tidak hujan Salah bahwa hari ini tidak hujan Hari ini hujan

Contoh 3. Diketahui proposisi-proposisi berikut : p : Perempuan itu tinggi q : Perempuan itu cantik Nyatakan proposisi berikut, asumsikan bahwa “perempuan itu pendek” berarti bahwa “perempuan itu tidak tinggi” a. Perempuan itu tinggi dan cantik b. Perempuan itu tinggi tapi tidak cantik c. Perempuan itu tidak tinggi maupun cantik d. Tidak benar bahwa perempuan itu pendek atau tidak cantik e. Perempuan itu tinggi, atau pendek dan cantik f. Tidak benar bahwa perempuan itu pendek maupun cantik

Contoh

Penyelesaian : a. p ˄ q b. P ˄ ~q c. ~p ˄ ~q d. ~(~p ˅ ~q) e. p v (~p ˄ q) f. ~(~p ˄ ~q)

Contoh 4. Jika p, q dan r adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika sebagai berikut : (p ˄ q) ˅ (~q ˄ r)

Penyelesaian Terdapat 3 buah proposisi atomik dalam ekspresi logika yaitu p, q dan r dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semua proposisi tersebut adalah 2x2x2 = 8 buah.

Contoh Tabel kebenaran dari proposisi (p ˄ q) ˅ (~q ˄ r) adalah sebagai berikut : p

q

r

p˄q

~q

~q˄r

(p ˄ q) ˅ (~q ˄ r)

T

T

T

T

F

F

T

T

T

F

T

F

F

T

T

F

T

F

T

T

T

T

F

F

F

T

F

F

F

T

T

F

F

F

F

F

T

F

F

F

F

F

F

F

T

F

T

T

T

F

F

F

F

T

F

F

LATIHAN

Cindy Cahyaning Astuti, S.Si, M.Si

Contoh 1. Diketahui proposisi-proposisi berikut : p : Hari ini panas q : Hari ini berdebu Nyatakan ekspresi logika berikut dalam sebuah propisisi a. q ˅~p b. ~p ˄ ~q c. ~(~q) d. (~p) e. (p˄q) ˅ (~p˄~q) f. ~(p ˅ ~q)

Contoh 2. Diketahui proposisi-proposisi berikut : p : Matematika itu mudah q : Matematika itu menyenangkan Nyatakan proposisi berikut, asumsikan bahwa “perempuan itu pendek” berarti bahwa “perempuan itu tidak tinggi” a. Matematika itu tidak mudah dan tidak menyenangkan b. Matematika itu mudah atau menyenangkan c. Matematika itu tidak mudah tapi menyenangkan d. Tidak benar bahwa Matematika itu tidak mudah atau tidak menyenangkan e. Matematika itu menyenangkan, atau sulit atau mudah f. Tidak benar bahwa Matematika itu sulit atau menyenangkan

Contoh

3. Jika p dan q adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika sebagai berikut : (~p ˄ q) ˅ (~q ˅ p) 4. Jika p, q dan s adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika sebagai berikut :

(~p ˄ q) ˅ (q ˅ ~s)

TUGAS

Cindy Cahyaning Astuti, S.Si, M.Si

Latihan 1.

Buatlah 2 buah proposisi kemudian nyatakan ekspresi logika di bawah ini dalam sebuah preposisi Nyatakan ekspresi logika berikut dalam sebuah propisisi a. ~q ˄ ~p b. ~p ˄ q c. ~(~q) d. ~(~p) e. (~p ˅ q) ˅ (~p˄~q) f. ~(p ˄ ~q) 2. Jika p, q, r dan s adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika sebagai berikut : (~p ˄ ~q) ˅ (r ˅ ~s) 3. Buatlah 3 buah proposisi, kemudian bentuk proposisi tersebut dalam minimal 5 proposisi majemuk dan nyatakan dalam ekspresi logika :