matematika detaljna-rjesenja-zadataka-iz-udzbenika.pdf

1 Rjeˇsenja zadataka 1.1 Zadatak 1.

1) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno slijedi iza prirodnog broja n . 2) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno prethodi prirodnom broju n − 2 . Kad zadatak ima rjeˇsenje? 3) Zapiˇsi broj koji je za 2 ve´ci od zbroja brojeva m i n . 4) Zapiˇsi broj koji je dvostruko ve´ci od razlike brojeva a i b . 5) Zapiˇsi broj koji je tri puta manji od umnoˇska brojeva a i b .

Rjeˇsenje.

1) Sljedbenik broja n je broj n + 1 . 2) Prethodnik broja n − 2 je (n − 2) − 1 = n − 3 . Zadatak ima rjeˇsenje kad je n > 3 . ab . 3) To je broj m + n + 2 . 4) To je broj 2(a − b) . 5) To je broj 3

Zadatak 2.

Ispiˇsi: - cijelih brojeva k − 1 i k + 5 ; 1) sve cijele brojeve koji su izmedu 2) sve neparne cijele brojeve koji su ve´ci od 2k − 1 i manji od 2k + 7, gdje je k cijeli broj; 3) sve parne cijele brojeve ve´ce od 2k − 5 i manje od 2k + 1, gdje je k cijeli broj.

Rjeˇsenje.

1) To su brojevi k , k + 1 , k + 2 , k + 3 , k + 4 . 2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i 2k + 5 . 3) To su brojevi 2k − 4 , 2k − 2 , 2k .

Zadatak 3.

Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke. Ako je Luki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica?

Rjeˇsenje.

Ako je Luki n godina, a Filip je 3 godine stariji, onda Filip ima n + 3 godina. Marko je dvostruko stariji od Filipa pa ima 2 · (n + 3) = 2n + 6 godina. Sva trojica ukupno imaju n + n + 3 + 2n + 6 = 4n + 9 godina.

Zadatak 4.

Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnoˇzi s 4. Zatim oduzmi 4 pa dobiveni rezultat podijeli s 4. Koji je broj rezultat? ˇ primje´cujeˇs? Obrazloˇzi! Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto

Rjeˇsenje.

[(n + 1) · 4 − 4] : 4 = (4n + 4 − 4) : 4 = 4n : 4 = n. Tako ovim raˇcunom uvijek dobijemo broj od kojega smo krenuli.

Zadatak 5.

Neka je d dan, a m mjesec rodenja tvojeg prijatelja. Evo kako c´eˇs odrediti koji je dan njegov rodendan. Zadaj mu neka provede sljede´ci raˇcun: — Podvostruˇci broj d. — Pomnoˇzi dobiveni rezultat s 10. — Dodaj 73. — Pomnoˇzi s 5. — Dodaj broj m. Neka ti sada prijatelj kaˇze rezultat koji je dobio. Oduzmi kriˇsom od tog rezultata broj 365 i dobit c´eˇs datum njegovog rodenja. Obrazloˇzi matematiˇcku pozadinu ovog op´ceg rjeˇsenja.

1

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

Prati niz zapisa: 2d → 20d → (20d + 73) → (20d + 73) · 5 → (100d + 365 + m) → (100d + m) . Rezultat je cˇ etveroznamenkast broj cˇije su prve dvije znamenke redni broj dana, a posljednje dvije redni broj mjeseca rodenja.

Zadatak 6.

Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnoˇzi s 4. Tom broju neka doda 10 pa rezultat pomnoˇzi s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzme broj dana u neprestupnoj godini. Konaˇcno, neka razlici doda iznos sitniˇsa u lipama koji ima u svojem dˇzepu (svakako neka je manji od 100). Nakon ovog raˇcuna zahtijevajte da vam kaˇze rezultat. Dodat c´ emo tom rezultatu 115 i oˇcitati: prve dvije znamenke su godine, a sljede´ce dvije iznos sitniˇsa u dˇzepu vaˇseg prijatelja. Moˇzete li razobliˇciti ovu “ˇcaroliju”?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo sa n broj godina, a sa s koliˇcinu sitniˇsa. Slijedi niz zapisa: 4n → 4n+10 → (4n+10)·25 → (4n+10)·25−365 → (4n+10)·25−365+s = 100n + s − 115 . Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit c´emo 100n + s . Oˇcigledno, prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su sitniˇsa.

Zadatak 7.

Na polici se nalazi sˇ est svezaka Op´ce enciklopedije, poredanih slijeva udesno, jedan do drugog. Svaki svezak ima 515 stranica ne raˇcunaju´ci korice. 1) Koliko ukupno stranica ima Op´ca enciklopedija? - 313. stranice drugog sveska i 127. stranice 2) Koliko stranica ima izmedu petog? 3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili? 4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te se zaustavimo na broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili?

Rjeˇsenje.

1) 6 · 515 = 3090 ; 2) (515 − 313 + 1) + 2 · 515 + 127 = 1360 ; 3) 1784 − 3 · 515 = 239 ; 4) 3090 − 3000 + 1 = 91 , zaustavili smo se na 91. stranici prvog sveska.

Zadatak 8.

- brojevima 1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva medusobno Medu razliˇcita broja. Ispiˇsi sve dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj je zbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cˇega? Obrazloˇzi! Moˇzeˇs li provesti analogno zakljuˇcivanje za tri odabrana broja? Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x + y . Jednako je tako xyz = 100x + 10y + z .

Rjeˇsenje.

Odaberemo li primjerice znamenke 2 i 5, svi dvoznamenkasti brojevi su 22, 25, 52 i 55. Njihov zbroj je 154 i on je djeljiv s 22. Op´cenito, odaberemo li dvije razliˇcite znamenke x i y , svi dvoznamenkasti brojevi su xx , xy , yx , i yy , a njihov zbroj je xx + xy + yx + yy = 10x + x + 10x + y + 10y + x + 10y + x = 22x + 22y = 22 · (x + y).

Zadatak 9.

Broj 100 zapiˇsi povezuju´ci raˇcunskim operacijama 1) cˇ etiri jedinice;

Rjeˇsenje.

2

Primjerice: 1) 111 − 11 ;

2) cˇ etiri trojke; 2) 33 · 3 +

3 ; 3

3) cˇ etiri petice. 3) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 .

1 Zadatak 10. Rjeˇsenje.

Zadatak 11. Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Ispiˇsi redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Poveˇzi te brojeve znakovima + i − (koriste´ci ih ukupno triput) tako da dobijeˇs 100. Primjerice: 123 − 45 − 67 + 89 . Zapiˇsi broj 100 uporabom svih 10 znamenki i uporabom cˇ etiriju osnovnih raˇcunskih operacija. Primjerice: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 . Rijeˇsi rebus: +

O A

H H

O A

H H

O A

A

H

A

H

A

H

A moˇze biti samo 1 pa imamo: O H + 1 H

O 1

H H

O 1

1 H 1 H 1 H Odatle je O = 9 , pa sad rebus izgleda ovako: 9 H 9 H 9 + 1 H 1 H 1 1 H 1 H 1 H Lako se vidi da je H = 0 . Dakle, rjeˇsenje je 90909 + 10101 = 101010 .

Zadatak 13. Rjeˇsenje.

Odredi cˇ etiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj jednak 1 258 . Neka je n najmanji od traˇzena cˇetiri broja. Onda mora biti n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 1258, 4n + 6 = 1258. Odatle je n = 313 , te su traˇzeni uzastopni brojevi 313, 314, 315, 316.

Zadatak 14.

Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6 080 . Koji su to brojevi?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo tre´ci po redu broj s n . Onda su ostala cˇ etiri jednaka n − 4 , n − 2 , n + 2 i n + 4 pa mora biti (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) = 6080 5n = 6080 te je n = 1216 . Rijeˇc je o brojevima 1 212 , 1 214 , 1 216 , 1 218 , 1 220 .

Zadatak 15.

Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak je 581. Koliki je zbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva?

Rjeˇsenje.

Srednji c´emo broj oznaˇciti s n . Onda su preostali brojevi n − 6 , n − 4 , n − 2 , n + 2 , n + 4 i n + 6 pa mora biti (n − 6) + (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) + (n − 6) = 581 7n = 581 te je n = 83 . Rijeˇc je o brojevima 77, 79, 81, 83, 85, 87 i 89. Sedam narednih neparnih brojeva su redom 91, 93, 95, 97, 99, 101 i 103, a njihov zbroj iznosi 679.

3

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 16.

Umnoˇzak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tih triju brojeva?

Rjeˇsenje.

Rastavljanjem broja 4080 na proste faktore, dobivamo 4080 = 24 · 3 · 5 · 17 = 16 · 15 · 17 . Dakle, rijeˇc je o umnoˇsku brojeva 15, 16 i 17. Njihov zbroj je 48.

Zadatak 17. Rjeˇsenje.

Zadatak 18.

Koja je posljednja znamenka umnoˇska 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99? Rijeˇc je o umnoˇsku uzastopnih neparnih prirodnih brojeva od kojih neki zavrsˇ avaju s 5, te i cijeli umnoˇzak zavrˇsava s 5. S koliko nula zavrˇsava umnoˇzak 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 33 ?

Rjeˇsenje.

Broj je djeljiv s 10 ako je djeljiv s 2 i s 5. Kad bismo zadani umnoˇzak rastavili na proste faktore, zanima nas koliko u tom rastavu ima petica (dvojki oˇcigledno - zadanim brojevima imamo tri koji zavrˇsavaju s ima viˇse nego petica). Medu 5 (5, 15 i 25 – njihov je umnoˇzak djeljiv s 5 cˇetiri puta), te tri koja zavrˇsavaju s nulom (10, 20 i 30 – umnoˇzak je djeljiv s 5 tri puta). Stoga cijeli umnoˇzak zavrˇsava sa sedam niˇstica.

Zadatak 19.

Koja je posljednja znamenka umnoˇska prvih stotinu prostih brojeva? - njima je i Broj 2 jedini je paran prost broj. Svi su ostali prosti brojevi, a medu broj 5, neparni. Zbog toga umnoˇzak zavrˇsava nulom.

Rjeˇsenje.

Zadatak 20.

U kvadrati´ce upiˇsi broj tako da dobijeˇs toˇcne jednakosti: 1) −11 + 3) 23 +

= −24 ; = −1 ;

5) 33 − (−44) =

Zadatak 21.

− (−45) = 13 ;

4)

+ (−17) = −34 ;

6) −75 − 28 =

;

= 77 ;

8)

− (−111) = −205 .

1)

= −24 + 11 = −13 ;

2)

= 13 − 45 = −32 ;

3)

= −1 − 23 = −24 ;

4)

= −34 + 17 = −17 ;

5)

= 33 + 44 = 77 ;

6)

= −75 − 28 = −103 ;

7)

= 77 + 61 = 138 ;

8)

= −205 − 111 = −316 .

7) −61 + Rjeˇsenje.

;

2)

Izraˇcunaj: 1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ; 2) 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) ; 3) (−12) · (−11) − (−10) · (−15) ; 4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .

Rjeˇsenje.

4

1) 2) 3) 4)

−5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) = −5 · (−9) − 4 · (−9) = 45 + 36 = 81 ; 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) = −6 + 20 + 42 = 56 ; (−12) · (−11) − (−10) · (−15) = 132 − 150 = −18 ; −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 = 36 − 70 − 11 = −45 .

Zadatak 22.

Raˇcunamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . . Ako imamo konaˇcan broj pribrojnika, recimo n , koliki je rezultat ovog zbrajanja?

Rjeˇsenje.

Ako je n paran broj onda imamo (1−2)+(3−4)+(5−6)+. . .+[(n−1)−n] = n n · (−1) = − ; 2 2

1 Ako je n neparan broj onda imamo (0 + 1) + (−2 + 3) + (−4 + 5) + . . . + n n [−(n − 1) + n] = · 1 = . 2 2

Zadatak 23.

Najviˇsa ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabiljeˇzena je u Libiji 13.9.1922. Iznosila je 57.8 ◦ C ili 136 ◦ F . Najniˇza je izmjerena na Antarktici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je termometar pokazivao −89.2 ◦ C ili −128.6 ◦ F . - najniˇze i najviˇse temperature ikad izmjerene na ZemKolika je razlika izmedu lji? U Hrvatskoj je do sada najviˇsa izmjerena temperatura iznosila 42.8 ◦ C ili 109 ◦ F , a izmjerena je 5.8.1998. u Ploˇcama. Najniˇza temperatura izmjerena je ˇ u Cakovcu 3.2.1929., a bilo je −35.5 ◦ C ili −31.5 ◦ F . - najviˇse i najniˇze izmjerene temperature u Hrvatskoj? Kolika je razlika izmedu

Rjeˇsenje.

Na Zemlji: 57.8 ◦ C − (−89.2 ◦ C) = 147 ◦ C ili 136 ◦ F − (−128.6 ◦ F) = 264.6 ◦ F ; U Hrvatskoj: 42.8 ◦ C − (−35.5 ◦ C) = 78.3 ◦ C ili 109 ◦ F − (−31.5 ◦ F) = 140.5 ◦ F .

Zadatak 24.

Arhimed je zˇ ivio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr. Kr. To bismo jednostavnije mogli zapisati: Arhimed je zˇ ivio od − 287. do − 212. g. Koliko je godina poˇzivio Arhimemed? Odgovori na isto pitanje za sljede´ce matematiˇcare: Tales je zˇ ivio od − 620. do − 540. godine. Vitruvije je zˇ ivio od − 75. do 15. godine. Heron je zˇ ivio od 10. do 70. godine.

Rjeˇsenje.

Arhimed je zˇ ivio −212 − (−287) = 75 godina. Tales je zˇ ivio −540 − (−620) = 80 godina. Vitruvije je zˇ ivio 15 − (−75) = 90 godina. Heron je zˇ ivio 70 − 10 = 60 godina.

Rjeˇsenja zadataka 1.2 Zadatak 1. Rjeˇsenje.

Zadatak 2. Rjeˇsenje.

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

5 5 3 , , , 2 4 8 5 5 = 2.5 , = 1.25 , 2 4

Razlomke

15 prikaˇzi u obliku decimalnog broja. 16 3 15 = 0.375 , = 0.9375 . 8 16

Brojeve 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.75 , 0.625 prikaˇzi u obliku razlomka. 0.5 =

1 1 3 5 1 , 0.25 = , 0.125 = , 0.75 = , 0.625 = . 2 4 8 4 8

Poredaj po veliˇcini brojeve:

2 , 66 % , 0.666 , 0.6˙ . 3

2 = 0.6˙ i Prikaˇzimo razlomak i postotak u obliku decimalnog broja: 3 66 % = 0.66 . Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema najve´cem su: 2 0.66 , 0.666 , = 0.6˙ 3

5

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6. Rjeˇsenje.

Zadatak 7. Rjeˇsenje.

Zadatak 8. Rjeˇsenje.

6

1 ˙ koliko je 1 ? = 0.3, 3 30 6 2 ˙ ˙ Ako je = 0.285714, koliko je 2 ? 7 7 1 1 1 = · = 0.3˙ : 10 = 0.03˙ . 30 3 10 14 + 6 20 2 6 ˙ ˙ = = · 10 = 0.28571 4˙ · 10 = 2.85714 2 = 2˙ . 7 7 7 7

Ako je

Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog broja: 5 3 5 1) ; 2) ; 3) ; 6 11 13 5 3 5 ˙ 1) = 0.83˙ ; 2) = 0.2˙ 7˙ ; 3) = 0.38461 5˙ ; 6 11 13

4) 4)

6 . 7

6 ˙ = 0.85714 2˙ . 7

Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne toˇcke u decimalnom zapisu svakog od cˇ etiriju brojeva iz prethodnog zadatka? 5 = 0.83˙ ; Na svim decimalnim mjestima je znamenka 3 pa je i na 101. 1) 6 mjestu. 3 2) = 0.2˙ 7˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od dvije znamenke (27). Podi11 jelimo li 101 s 2 dobit c´emo 50 i 1 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 2. 5 ˙ 3) = 0.38461 5˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od sˇ est znamenki (384615). 13 Podijelimo li 101 s 6 dobit c´emo 16 i 5 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 1. 6 ˙ 4) = 0.85714 2˙ ; Uzastopno se ponavlja skupina od sˇ est znamenki (857142). 7 Podijelimo li 101 s 6 dobit c´emo 16 i 5 ostatka. To znaˇci da c´ e na 101. mjestu biti peta znamenka iz skupine, a to je 4. Odredi 303. znamenku u decimalnom zapisu broja

15 . 37

15 ˙ 5˙ . = 0.405405 . . . = 0.40 37 15 uzastopno se ponavlja skupina od tri znamenU decimalnom zapisu broja 37 ke (405). Podijelimo li 303 s 3 dobit c´emo 101. To znaˇci da na 303. mjestu zavrˇsava navedena skupina, te je traˇzena znamenka 5. Odredi 777. znamenku u decimalnom zapisu broja −

111 . 11

111 = −10.090909 . . . = 0.0˙ 9˙ . 11 15 U decimalnom zapisu broja uzastopno se ponavlja period od dvije zna37 menke (09). Podijelimo li 777 s 2 dobit c´emo 388 i ostatak 1. To znaˇci da c´e na 777. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 0. −

1 Zadatak 9. Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

Odredi 1500. znamenku u decimalnom zapisu broja

3 ˙ = 0.230769230769 . . . = 0.23076 9˙ . 13 15 U decimalnom zapisu broja uzastopno se ponavlja period od sˇ est znamenki 37 (230769). Podijelimo li 1500 s 6 dobit c´emo 250. To znaˇci da na 1500. mjestu zavrˇsava navedena skupina, te je traˇzena znamenka 9. Za koje su cijele brojeve a brojevi ni?

Rjeˇsenje.

Zadatak 11. Rjeˇsenje.

Zadatak 12. Rjeˇsenje.

Zadatak 13. Rjeˇsenje.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

1 a+2 je racionalni broj za sve cijele brojeve a , a = 0 . Broj je a a(a − 3) a racionalan za sve a , a = 0 i a = 3 . Broj je racionalan za sve a , 2a − 10 a+2 je racionalan za sve a , a = −2 i a = 2 . a = 5 . Broj 2 a −4 Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak Razlomak

6 cijeli broj. n+1

6 je cijeli broj za n = −7 , −4 , −3 , −2 , 0, 1, 2 i 5. n+1

Za koje je cijele brojeve n razlomak

6 cijeli broj? n−1

n ∈ {−5, −2, −1, 0, 2, 3, 4, 7} . Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak Zapiˇsimo

n+2 cijeli broj. n−2

n+2 n−2+4 4 = =1+ te je n ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6} . n−2 n−2 n−2

Odredi prirodni broj x tako da vrijede jednakosti: 2 x = ; 12 3

2)

4 2 = ; x 5

3)

3 x = . 7 21

U rjeˇsavanju primjenjujemo definiciju jednakosti racionalnih brojeva. 1) 3x = 24 , slijedi x = 8 ; 2) 2x = 20 , slijedi x = 10 ; 3) 7x = 63 , slijedi x = 9 . Za koji cijeli broj x vrijedi: 1)

Rjeˇsenje.

a+2 a a+2 1 , , , racionala a(a − 3) 2a − 10 a2 − 4

Broj

1) Rjeˇsenje.

3 . 13

x 1 = ; 5 20

2)

x 1 =− ; 6 3

3) −

x 5 = ? 24 6

1) Iz 5x = 20 slijedi x = 4 ; 2) Iz 3x = −6 slijedi x = −2 ; 3) Iz −6x = 120 slijedi x = −20 .

7

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 16.

Za koji je broj x ispunjena jednakost

9+x 2 = ? 15+x 3

Rjeˇsenje. 9+x 2 = , 15 + x 3 3(9 + x) = 2(15 + x), 27 + 3x = 30 + 2x, x = 30 − 27 = 3.

Zadatak 17.

Za koji je broj x ispunjena jednakost

123−x 5 = ? 101+x 9

Rjeˇsenje. 9(123 − x) = 5(101 + x), 1107 − 9x = 505 + 5x, −14x = −602, x = 43.

Zadatak 18.

15 oduzmemo isti broj x , dobit c´ emo Ako od brojnika i nazivnika razlomka 32 4 . Koliki je x ? razlomak 21

Rjeˇsenje. 15 − x 4 = , 32 − x 21 21(15 − x) = 4(32 − x), 315 − 21x = 128 − 4x, −21x + 4x = 128 − 315, −17x = −187, x = 11.

Zadatak 19.

113 dodamo neki broj, a isti taj broj oduzmemo od 212 2 nazivnika, dobit c´ emo razlomak . O kojem se broju radi? 3

Ako brojniku razlomka

Rjeˇsenje. 113 + x 2 = , 212 − x 3 3(113 + x) = 2(212 − x), 339 + 3x = 424 − 2x, 5x = 85, x = 17.

8

1 Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

Skrati razlomke: 105 1155 1) ; 2) ; 168 5775

6 930 3 333 333 135 135 ; 4) ; 5) . 12 870 5 555 555 234 234 105 3·5·7 5 1) 105 = 3 · 5 · 7, 168 = 8 · 3 · 7, = = ; 168 8·3·7 8 1155 1155 1 2) 5775 = 5 · 1155, = = ; 5775 5 · 1155 5 7 6 930 = ; 3) 6930 = 10 · 9 · 7 · 11, 12870 = 10 · 9 · 11 · 13, 12 870 13 3 3 333 333 = ; 4) 3 333 333 = 3 · 1 111 111, 5 555 555 = 5 · 1 111 111, 5 555 555 5 5) 135 135 = 135 · 1001 = 9 · 15 · 1001, 234 234 = 234 · 1001 = 15 135 135 = . 9 · 26 · 1001, 234 234 26 3)

Poredaj po veliˇcini brojeve: 3 3 11 19 17 67 , , , , ; 2) , 0.7˙ , 4 12 24 18 72 4 3 11 19 17 67 3) − , − , − , − , − . 4 12 24 18 72 3 19 11 67 17 3 13 1) , , , , ; 2) 0.7 , , 0.7˙ , , 4 24 12 72 18 4 16 67 11 3 17 19 3) − , − , − , − , − . 72 12 4 18 24

1)

Rjeˇsenje.

Zadatak 22. Rjeˇsenje.

Zadatak 23. Rjeˇsenje.

Zadatak 24.

Rjeˇsenje.

13 29 , 0.7 , ; 16 32

29 ; 32

1 2 a , a , a + b, a · b, ? a b 1 1 25 1 1 1 7 1 a= =⇒ = 3 , a2 = , b = = =⇒ a + b = + = , 3 a 9 100 4 3 4 12 1 4 1 1 1 a 3 = . a·b= · = , = 1 3 4 12 b 3 4

Ako je a = 0.3˙ , b = 0.25 , koliko je

1 1 1 1 1 1 + = 1 , + = 2 , + = 5 , koliko je a + b + c ? a b b c c a 1 1 1 a = , b = −1 , c = , a + b + c = − . 2 3 6

Ako je

1 1 1 − = izraˇcunaj: n n+1 n · (n + 1) 1 1 1 1 + + + ...+ . 1·2 2·3 3·4 99 · 100

Primjenjuju´ci jednakost

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +. . .+ = − + − + − +. . .+ − = 1·2 2·3 3·4 99 · 100 2 2 2 3 3 4 99 100 99 1 = . 1− 100 100

9

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 25.

Rjeˇsenje.

10

Izraˇcunaj:  4  3  1 · −2 − 0.2 : − ; 1) 1.6 − 5 4 5   4  5 4 − 1.8 : −1 + 0.1 · − ; 2) 5 5 9      3 2 2 2 3) − 1+ : 0.75 − : 1.25 − 1 ; 2 3 3 3      1 3 2 7 − 1.2 1 + 1 4) : 2.5 − : −3 . 5 2 5 8             3 4 1 4 16 3 9 2 1) 1.6 − − : − · −2 − 0.2 : − = · − − 5 4 5 10 5 4 10 5         9 1 5 9 1 9 1 8 3 − · − − · − = 1· − + =− + = 5 5 4 5 4 4 4 4 4 8 = − = −2; 4             4 4 5 5 9 1 4 18 2) − 1.8 : −1 − · − + 0.1 · − = : − + 5 5 9 5 10 5 10 9       5 5 1 10 − 1 4 9 5 1 1 − = −1 · − = − = = · − − − 5 5 9 18 9 18 9 18 18 1 9 = ; = 18 2       3 2 2 2 3) − 1+ : 0.75 − : 1.25 − 1 2 3 3 3      2 125 3 2 3+2 75 − · − −1 = : : 2 3 3 100 3 100          3 10 3 2 5 3 2 5 9−8 4 − · − − · −1 = : : −1 = : 2 3 3 4 3 4 2 9 12 5     1 4 1 27 − 20 7 7 1 − 15 = : · −1 = : −1 = : 18 12 5 18 15 18 15   15 5 7 · − =− ; = 18 14 12       3 1 2 7 4) − 1.2 1 + 1 : 2.5 − : −3 5 2 5 8       3 12 25 2 7 3 = − − 1+ : : −3 5 10 2 10 5 8      3 6 2+3 5 2 8 = − · − : · −3 5 5 2 2 5 7         3 6 5 3 21 8 25 − 4 8 = − · · −3 = −3 : · −3 : 5 5 2 10 7 5 10 7     12 3 − 15 12 12 − 15 12 5 = : −3 =− : =− · − = 4. 5 5 5 5 5 3

1 Zadatak 26.

Izraˇcunaj: 4 7 + 0.59 : 0.125 + 3.5 25 24 ; 2) . 1)   3 2 − 0.15 : 4 − 0.25 4 3 79 59 4 316 + 59 + 3 + 0.59 100    =  25 100 1)  25 =  3 3 75 − 15 15 1 − 0.15 : 4 − :4 · 4 4 100 100 4 375 375 375 100 = = 25 ; = 100 = 60 1 15 15 · 100 4 100 7 7 1 7 7 7 125 35 7 : + : + : 0.125 + 3.5 ·8+ 2 2) 24 = 24 1000 10 = 24 8 2 = 24 2 2 1 8−3 25 2 − 0.25 − − 3 3 4 12 3 100 7 7 14 + 21 35 + 70 6 = 14 . = 3 2 = = 6 = 5 5 5 5 12 12 12 3

Rjeˇsenje.

Zadatak 27.

Rjeˇsenje.

Izraˇcunaj: ⎛

⎛ ⎞ ⎞ 1 1 1 1 3 − 1− 3 + 0.875 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0.75 3. 2 ⎠· 2 3 ; 4⎠· : 2) ⎝ : 1) ⎝ 1 1 2 1 1 1.4 1.2 − 1 − 1.2 3.2 − 1 1+ 3 3 4 3 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 3−2 75 3 1 3+ 3+1 − ⎜ 0.75 ⎜ 2⎟ 2⎟· 6 1) ⎝ : · 2 3 = ⎝ 100 : ⎠ 2 1 1 14 ⎠ 4 − 3 5 12 1.4 − 1 − 1.2 − 3 3 4 10 12 3 10 ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 3 6+3 9 3 3 45 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ·2 =⎝ 4 : 2 ⎠· 6 =⎝ : 2 ·2=⎝ 4 : 7 1 7 14 ⎠ 5 6 25 − 18 7 ⎠ − 12 5 15 15 3 5 5 45 14 1 · = · 2 = · 2 = 1; 28 45 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3−1 1 875 3 12 + 3 1 − 3 + ⎜ 0.875 ⎟ ⎟ ⎜ 3 = ⎝ 1000 : 4⎠· 4 2) ⎝ · 3 : 32 4 12 ⎠ 4 + 1 1 1 1.2 − 3.2 − 1 1+ 3 4 10 3 10 4 ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 2 7 7 7 15 25 ⎟ 8 8⎟ 8 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 8 8 : 4 ⎠· 3 =⎝ : · =⎝ 8 · = · 16 4 6 48 − 20 8 ⎠ 15 ⎝ 28 25 ⎠ 15 5 − 5 3 5 15 15 4 2 15 8 8 · · = . = 32 25 15 25 3+1

11

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 28.

Izraˇcunaj x iz sljede´cih jednakosti, primjenjuju´ci svojstva osnovnih raˇcunskih operacija s racionalnim brojevima: 32 = (2x − 48) : 2.4 ; 1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 ; 2) (184 + x): 5  4  3) 1 : 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) ; 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 ; 5 5) 1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 ; 6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 ; 10 = 1; 7) −1.2 · (0.3 + x) = −3.6 ; 8) [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 5   (x − 11.875) : (100 − 3x)·4 8 = 1; 9) 208: 112 − =2 ; 10) 1 8 23 −2 0.625 · 25 5   (145 − 24x) : 5 + 24 : 5 = 5 ; 11) 29 4 3 3 15 12) − 1 = 5.625 . 3 8 (5.5 + x) : 21 7

Rjeˇsenje.

1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 4.8 : (3.3 − x) = 12 4.8 = 12(3.3 − x) 4.8 = 39.6 − 12x 12x = 39.6 − 4.8 12x = 34.8 x = 34.8 : 12 x = 2.9;

2) (184 + x) : 32 = (2x − 48) : 2.4 5 5 24 (184 + x) · = 2(x − 24) : 32 10 5 5 = (x − 24) · 2 · (184 + x) · 32 12 1 1 = (x − 24) · (184 + x) · 16 3 3 · (184 + x) = (x − 24) · 16 552 + 3x = 16x − 384 3x − 16x = −384 − 552 −13x = −936

3) 1 :

  4 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) 5   4 x + 4 = 55 · 3 − 0.8x 5 15 + 4 x + 4 = 55 · − 55 · 0.8x 5 x + 4 = 209 − 44x x + 44x = 209 − 4 45x = 205 41 ; x= 9

12

x = 72;

1 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 1.2 − 0.8 − x = −3.6

5)

1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 1.1 − 5x − 5.5 = 11.1

0.4 − x = −3.6 −x = −3.6 − 0.4

−4.4 − 5x = 11.1 −5x = 11.1 + 4.4 −5x = 15.5 x = −3.1;

x = 4;

6)

12 · (0.22 − x) = −1.44 12 · 0.22 − 12x = −1.44

7)

−0.36 − 1.2x = −3.6 −1.2x = −3.6 + 0.36

2.64 − 12x = −1.44 −12x = −1.44 − 2.64 −12x = −4.08 x = 0.34; 8)

10 =1 [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 [(8x + 24) : 5] : 4 + 6 = 10 [(8x + 24) : 5] : 4 = 4 (8x + 24) : 5 = 16 8x + 24 = 80 8x = 80 − 24 8x = 56 x = 7;

−1.2 · (0.3 + x) = −3.6 −1.2 · 0.3 − 1.2x = −3.6

−1.2x = −3.24 x = 2.7;   (100 − 3x) · 4 =2 9) 208 : 112 − 23   400 − 12x =1 104 : 112 − 23 400 − 12x = 104 112 − 23 400 − 12x − = 104 − 112 23 400 − 12x = −8 · (−23)

5 (x − 11.875) : 10) 11) 8 =1 1 8 −2 0.625 · 25  5  625 8 11 11875 5 · − x− : = 1000 8 1000 25 5   95 8 5 8 11 x− · = · − 8 5 8 25 5 1 11 8 x − 19 = − 5 5 5 8 x = −2 + 19 5 5 x = 17 · 8 85 x= 8 5 x = 10 ; 8

−12x = 184 − 400 x = −216 : (−12) 

x = 18;  (145 − 24x) : 5 + 24 : 5 = 5 29 (145 − 24x) : 5 + 24 · 29 = 25 29 24 29 − x + 696 = 725 5 24 725 − x = 725 5 24 − x=0 5 x = 0;

13

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

12)

3

4 15

3 (5.5 + x) : 21 7 49 15

−1

3 = 5.625 8

5625 11 + = 150 1000 8 (5.5 + x) : 7 49 45 11 15  + = 55 7 8 8 +x · 10 150 49 15 · 7 + 7 x = 56 55 150 150 8 10 49 15 =7 7 77 + x 300 150 539 49 49 = + x 15 300 150 49 · 20 = 539 + 49 · 2x −98x = −980 + 539 −98x = −441 9 x= . 2

Zadatak 29. Rjeˇsenje.

Zadatak 30. Rjeˇsenje.

Zadatak 31. Rjeˇsenje.

14

a + 2b − 3c ? 3a − 2b + c Iz a : b : c = 1 : 2 : 4 =⇒ a = k , b = 2k , c = 4k . k + 2 · 2k − 3 · 4k k + 4k − 12k −7k 7 a + 2b − 3c = = = =− . 3a − 2b + c 3k − 2 · 2k + 4k 3k − 4k + 4k 3k 3 Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko je

Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7 : 8 . Iz x + y = 135 i x : y = 7 : 8 imamo x = 7k i y = 8k . 7k + 8k = 135 =⇒ k = 9 . Odavde slijedi da je x = 7 · 9 = 63 i y = 8 · 9 = 72 . 135 = 63 + 72 . Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ? 7 x 7 5 x 35 3x = =⇒ = · =⇒ = . Slijedi x : y = 35 : 33 . 5y 11 y 11 3 y 33

Zadatak 32.

Ako su veliˇcine kutova u trokutu u omjeru 1 : 3 : 4 , koliki je najve´ci kut trokuta?

Rjeˇsenje.

α = k , β = 3k i γ = 4k . Iz α +β +γ = 180◦ slijedi k+3k+4k = 180◦ =⇒ 8k = 180◦ =⇒ k = 22.5◦ . Najve´ci kut u trokutu je γ = 4k = 4·22.5 = 90◦ .

Zadatak 33.

Mjere unutarnjih kutova cˇ etverokuta u omjeru su 1 : 2 : 3 : 4 . Kolika je mjera najmanjeg kuta ovog cˇ etverokuta?

1 Rjeˇsenje.

Zbroj svih kutova cˇ etverokuta iznosi 180◦ pa iz zadanog omjera imamo k + 2k + 3k + 4k = 360 , 10k = 360◦ . Najmanji kut ovog cˇ etverokuta ima mjeru 36◦ .

Zadatak 34.

Ako su a , b i c duljine stranica trokuta i ako je a : b = 5 : 4 , a : c = 3 : 5 , a opseg trokuta iznosi 156 cm, kolika je duljina najkra´ce stranice ovog trokuta?

Rjeˇsenje.

5 4 Iz a : b = 5 : 4 =⇒ b = a , a iz a : c = 3 : 5 =⇒ c = a . Odavde 5 3 slijedi 4 5 15 + 12 + 25 52 a + a + a = 156 cm, a = 156 cm, a = 156 cm, 5 3 15 15 a = 45 cm, b = 36 cm, c = 75 cm. Duljina najkra´ce stranice je b = 36 cm.

Zadatak 35.

Broj 2 400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8 .

Rjeˇsenje.

x + y + z = 2400 i x : y : z = 3 : 5 : 8 . Slijedi x = 3k , y = 5k , z = 8k . Uvrstimo li to u prvu jednadˇzbu dobit c´ emo 3k + 5k + 8k = 2400 =⇒ 16k = 2400 =⇒ k = 150 . Odavde slijedi x = 3 · 150 = 450 , y = 5 · 150 = 750 i z = 8 · 150 = 1200 .

Zadatak 36.

Broj 697 podijeli na tri dijela, a, b i c tako da je a : b = 3 : 4 i b : c = 3 : 5 .

Rjeˇsenje.

a : b : c = 9 : 12 : 20 , dijelovi su redom 9k , 12k i 20k te iz 41k = 697 dobijemo k = 17 i a = 153 , b = 204 , c = 340 .

Zadatak 37.

Opseg oranice iznosi 2 800 metara. Kolike su duljina i sˇ irina oranice ako su u omjeru 5 : 9 ?

Rjeˇsenje.

d : sˇ = 5 : 9 =⇒ d = 5k , sˇ = 9k . O = 2d + 2ˇs = 10k + 18k = 28k . 2800 = 28k =⇒ k = 100 . Slijedi da je duljina oranice d = 5 · 100 = 500 m i sˇ = 9 · 100 = 900 m.

Zadatak 38.

Za 1.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koliko treba vremena da bi se napunilo 0.9 obujma bazena?

Rjeˇsenje.

Zadatak 39. Rjeˇsenje.

Zadatak 40. Rjeˇsenje.

0.3 : 0.9 = 1.5 : x =⇒ 1 : 3 = 1.5 : x =⇒ x = 4.5 . Nakon 12 minuta gorenja duljina svije´ce smanji se s 30 cm na 25 cm. Nakon koliko c´e vremena svije´ca dogorjeti? 5 : 25 = 12 : x =⇒ 5x = 25 · 12 =⇒ x =

25 · 12 = 60 minuta. 5

Ako su od 70 proizvoda 3 s greˇskom, koliko se proizvoda s greˇskom moˇze oˇcekivati u 840? 840 · 3 70 : 840 = 3 : x =⇒ 70x = 840 · 3 =⇒ x = = 36 proizvoda. 70

Zadatak 41.

U jednom razredu na pismenom ispitu iz matematike 1/ 3 uˇcenika nije rijeˇsila jedan zadatak, 1/ 4 nije rijeˇsila po dva zadatka, 1/ 6 po po tri zadatka, a 1/ 8 sva cˇetiri zadatka. Koliko je uˇcenika toˇcno rijeˇsilo sve zadatke ako je u razredu manje od 30 uˇcenika?

Rjeˇsenje.

Najmanji prirodni broj djeljiv sa 3, 4, 6 i 8 je broj 24 (sljede´ci je 48). Dakle, barem jedan zadatak netoˇcno je rijeˇsio ukupno 21 uˇcenik pa je sve zadatke rijeˇsilo samo troje.

15

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenja zadataka 1.3 Zadatak 1.

Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

Zadatak 4. Rjeˇsenje.

Zadatak 5. Rjeˇsenje.

Zadatak 6. 16

Koji su od sljede´cih √ brojeva racionalni: 11 √ 5 π 2 − , 17 , , − , 5 , √ , −444 ? 15 2 2 5 Racionalni su brojevi: −

11 , 5 , −444 . 15

- kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalaze sljede´ci brojevi: Izmedu √ √ √ √ 5π , − 77 , 777 , −15π ? 117 , − 515 , 3 √ √ √ 5π 10 < 117 < 11 , −23 < 515 < −22 , 5 < < 6 , −9 < − 77 < −8 , 3 √ 27 < 777 < 28 , −48 < −15π < −47 . 22 355 √ , π, , 9.9 . 7 113 Broj π je iracionalan broj. On je pribliˇzno jednak 3.1415926535 . . . Nadalje √ 22 355 je: = 3.142857 . . . , = 3.1415929 . . . , 9.9 = 3.14642 . . . 7 113 355 22 √ , , 9.9 . Poredani po veliˇcini dani brojevi cˇ ine niz: 3.14 , π , 113 7 Poredaj po veliˇcini brojeve: 3.14 ,

Je li broj 0.3333 . . . racionalan ili iracionalan? Obrazloˇzi! Odgovor je neizvjestan, ne znaju se ostale znamenke danog broja. √ Postupaju´ci kao u “Kutku plus” dokaˇzi da broj 3 nije racionalan broj. √ Kad bi 3 bio racionalan broj, mogli bismo ga zapisati u obliku koliˇcnika dvaju prirodnih brojeva. Pa uzmimo da on to jest, da ga moˇzemo zapisati u √ m obliku razlomka , gdje su m i n prirodni brojevi (jer je 3 pozitivan broj). - moˇzemo npretpostaviti da m i n nisu oba parna. Kad bi oni bili takvi, Takoder kratili bismo ih sve dok to moˇzemo, dok barem jedan od njih ne bude neparan. m √ m2 Kvadriramo jednakost = 3 i dobijemo 3 = 2 , odnosno m2 = 3n2 . n n 2 Ako je n neparan, n2 je isto neparan pa je i m neparan. Ako je n pa√ ran onda je i m paran sto ako je 3 racionalan ne moze biti jer je zapisan m pa bi se moglo skratiti s 2. Dakle, m i n moraju biti nekao razlomak √n parni da bi 3 bio racionalan. Uvrstimo li m = 2k − 1 i n = 2l − 1 , dobijemo 4k2 − 4k + 1 = 3(4l2 − 4l + 1) , 4k2 − 4k + 1 = 12l2 − 12l + 3 , 4k2 −4k = 12l2 −12l+2 . Skratimo sve s 2 i izlucimo: 2k(k−1) = 6l(l−1)+1 . Lijeva strana jednadzbe je ocito parna, a desna neparna sto je nemoguce te za√ kljucujemo da je 3 iracionalan. √ √ √ √ Dokaˇzi da je broj 2 + 3 iracionalan. Uputa: zapiˇsi 2 + 3 = a , gdje je a racionalan broj.

1 Rjeˇsenje.

√ √ Pretpostavimo √ broj. Tada je √ da je 2 + 3 = a , pri cˇ emu je a racionalan √ 3 = a − 2 . Kvadriramo ovu jednakost pa imamo a2 − 2 2a = 1 . Dalje √ a2 − 1 je 2 = . Kako je s lijeve strane ove jednakosti iracionalan, a s desne 2a racionalan broj (Zaˇsto?), ona je proturjeˇcna. Pretpostavka je bila pogreˇsna i zakljuˇcujemo kako je dani broj iracionalan.

Zadatak 7.

Odredi sˇ est brojeva cˇija je aritmetiˇcka sredina jednaka 3, a svaki je sljede´ci od prethodnog ve´ci za 0.4.

Rjeˇsenje.

Tih sˇ est brojeva oznaˇcimo ovako: x − 0.8, x − 0.4, x, x + 0.4, x + 0.8, x + 1.2 . Slijedi da je aritmetiˇcka sredina x − 0.8 + x − 0.4 + x + x + 0.4 + x + 0.8 + x + 1.2 =3 6 6x + 1.2 =3 6 x + 0.2 = 3 x = 2.8. Ti su brojevi: 2, 2.4, 2.8, 3.2, 3.6, 4.

Zadatak 8.

Srednja vrijednost 15 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 14. Koji je najmanji, a koji je najve´ci od tih brojeva?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo te brojeve ovako: n − 7, n − 6, n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7 , n > 7 . Srednja vrijednost je

n−7+n−6+n − 5+n−4+n−3+n − 2+n−1+n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7 = 14 15 15n = 14 15 n = 14. Srednji je broj 14, najmanji je 7, a najve´ci 21.

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

Zadatak 10. Rjeˇsenje.

Zadatak 11.

Prosjeˇcna teˇzina djeˇcaka u razredu je 55 kg, a prosjeˇcna teˇzina djevojˇcica 47 kg. Koliki je omjer broja djevojˇcica i broja djeˇcaka ako je prosjeˇcna teˇzina svih uˇcenika tog razreda 49 kg? 55m + 47c = 49 slijedi m+c 55m + 47c = 49m + 49c te je c = 3m . U razredu je tri puta viˇse djevojˇcica nego djeˇcaka. Ako je m broj djeˇcaka, a c broj djevojˇcica, tada iz

Koji je od brojeva 28, 30, 26, 37 i 29 aritmetiˇcka sredina ostalih cˇetiriju? 28 + 30 + 26 + 37 + 29 150 = = 30 . 5 5 Odredi sedam brojeva cˇija je aritmetiˇcka sredina 6.6, a svaki je sljede´ci broj od prethodnog manji za 0.2.

17

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo te brojeve ovako: x − 0.6, x − 0.4, x − 0.2, x, x + 0.2, x + 0.4, x + 0.6 . Aritmetiˇcka sredina je x − 0.6 + x − 0.4 + x − 0.2 + x + x + 0.2 + x + 0.4 + x + 0.6 = 6.6 7 7x = 6.6 7 x = 6.6. Ti su brojevi 6, 6.2, 6.4, 6.6, 6.8, 7, 7.2.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

Zadatak 14.

18

Prosjeˇcna starost igraˇca jedne nogometne momˇcadi, njih jedanaestorice, je 25.5 godina. Ako je iz igre iskljuˇcen igraˇc star 20.5 godina, kolika je prosjeˇcna starost igraˇca koji su ostali u igri? 25.5 · 11 − 20.5 = 26 godina. Prosjeˇcna starost igraˇca je 26 godina. 10 U nekom razredu s 30 uˇcenika prosjeˇcna ocjena op´ceg uspjeha je 3.85. S prosjekom 5.0 razred je zavrˇsilo 6 uˇcenika. Kolika je prosjeˇcna ocjena ostalih 24 uˇcenika? 3.85 · 30 − 6 · 5 = 3.5625 . Prosjeˇcna ocjena ostalih 24 uˇcenika je .5625 . 24 2 1 U nekoj je sˇ koli svih uˇcenika zavrˇsila razred s odliˇcnim uspjehom, s vrlo 6 3 1 dobrim, s dobrim. S dovoljnim nije zavrˇsio niti jedan uˇcenik, a 13 uˇcenika 8 upu´ceno je na popravni ispit. Kolika je srednja ocjena uˇcenika koji su uspjeˇsno zavrˇsili sˇ kolsku godinu?

Rjeˇsenje.

Ako s x oznaˇcimo broj svih uˇcenika sˇ kole, onda je 1 2 1 x + x + x + 13 = x. 6 3 8 Odatle se dobije x = 312 . Sada izraˇcunamo da su u sˇ koli 52 odlikaˇsa, da je 208 uˇcenika razred zavrˇsilo s vrlo dobrim uspjehom, a 39 s dobrim. Raˇcunajmo srednju ocjenu: 1209 52 · 5 + 208 · 4 + 39 · 3 = ≈ 4.04. 299 299

Zadatak 15.

Prosjeˇcna visina djevojˇcica u nekom razredu je 164 cm, a djeˇcaka 172 cm. Ako je prosjeˇcna visina svih u razredu 167 cm, koliki je omjer broja djevojˇcica i broja djeˇcaka u tom razredu?

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo s c broj djevojˇcica i s d broj djeˇcaka u tom razredu. Aritmetiˇcka 164 · c + 172 · d = 167 . Odavde slijedi 164c + 172d = sredina jednaka je c+d 167c + 167d =⇒ 5d = 3c =⇒ c : d = 5 : 3 . Omjer brojeva djevojˇcica i djeˇcaka u tom razredu je 5 : 3 .

Zadatak 16.

Hotel Plavi Jadran, cˇ iji je kapacitet 180 postelja, u 7. i 8. mjesecu bio je popunjen 95 % , u 6. i 9. popunjenost je bila 75 % . U trima zimskim mjesecima hotel je bio zatvoren, a u ostalim mjesecima popunjenost je bila 45 % . Koliki je bio prosjeˇcan mjeseˇcni broj gostiju tog hotela u vremenu kada je hotel bio otvoren?

1 Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

Zadatak 18.

Rjeˇsenje.

Zadatak 19. Rjeˇsenje.

Zadatak 20. Rjeˇsenje.

Najprije izraˇcunamo broj gostiju po pojedinom mjesecu. U VII. i VIII. mjesecu u hotelu je dnevno boravio prosjeˇcno 180 · 0.95 = 171 gost. U VI. i IX. mjesecu prosjek gostiju je bio 180 · 0.75 = 135 , a prosjek u ostalih 5 mjeseci kada je hotel bio otvoren iznosio je 180 · 0.45 = 81 . I sada raˇcunamo ukupan prosjek za cijelu godinu: 1017 171 · 2 + 135 · 2 + 81 · 5 = = 113. 9 9 7 5 i . Uvjeri se da je taj broj ve´ci od Odredi aritmetiˇcku sredinu brojeva 12 15 manjeg, a manji od ve´ceg od tih dvaju brojeva. 25 + 28 7 5 + 53 53 5 12 15 60 = = . I sada je > = Aritmetiˇcka sredina je 2 2 120 120 12 50 53 7 56 , te < = . 120 120 15 120 Koriste´ci se svojstvom aritmetiˇcke sredine odredi pet brojeva koji su ve´ci od 5 8 , a manji od . 6 9 5 8 15 + 16 + 5 8 31 6 9 18 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je = = . 6 9 2 2 36 5 31 30 + 31 + 5 31 61 36 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je 6 36 = = . 6 36 2 2 72 31 8 31 + 32 + 31 8 63 36 9 36 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je = = . 36 9 2 2 72 5 61 60 + 61 + 5 61 121 6 72 72 Aritmetiˇcka sredina brojeva i je = = . 6 72 2 2 144 8 63 64 + 63 + 127 8 63 9 72 72 i je = = . Aritmetiˇcka sredina brojeva 9 72 2 2 144 121 61 31 63 127 8 5 < < < < < . Slijedi < 6 144 72 36 72 144 9 Za neku je gradnju potrebno 200 000 komada opeke. Ako je otpad zbog loma 4.5% koliko komada treba nabaviti?  4.5 4.5  95.5 x− x = 200 000 , x 1 − = 200 000 , x · = 200 000 , 100 100 100 200 000 · 100 x= ≈ 209 425 . 95.5 Kava pri prˇzenju gubi 12% mase. Koliko treba sirove kave da bi se prˇzenjem dobilo 10 kg prˇzene?  88 12  = 10 , x · = 10 , x ≈ 11.4 kg . x − 12%x = 10 , x 1 − 100 100

19

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 21. Rjeˇsenje.

Zadatak 22. Rjeˇsenje.

Zadatak 23. Rjeˇsenje.

Netko za prijevoz robe plati 600 kn sˇ to cˇ ini 1.5% njezine vrijednosti. Koliko vrijedi roba? 600 · 100 1.5 x = 600 , x = = 40 000 . 100 1.5 U nekoj sˇ koli 55% svih uˇcenika su djevojˇcice. Ostalo su djeˇcaci i njih je za 60 manje nego djevojˇcica. Koliko je uˇcenika u toj sˇ koli? 55 55 − 45 45 x + 60 = x, x = 60 , x = 600 . U 100 100 100 55 sˇ koli je 600 uˇcenika. Od toga je 55%600 = · 600 = 330 djevojˇcica i 100 600 − 330 = 270 djeˇcaka. 45%x + 60 = 55%x ,

Uˇcenici triju razreda skupljali su stari papir. Razred A skupio je za 20% ve´cu koliˇcinu od razreda B, a razred B za 20% manje od razreda C. Ako je ukupno skupljeno 759 kg papira, koliko je skupio pojedini razred? A + B + C = 759 A = B + 20%B = B(1 + 0.2) = 1.2B 1 B = 1.25B 0.8 1.2B + B + 1.25B = 759 =⇒ 3.45B = 759 =⇒ B = 220 kg

B = C − 20%C = C(1 − 0.2) = 0.8C =⇒ C = A = 1.2 · 220 = 264 kg C = 1.25 · 220 = 275 kg

20

Zadatak 24.

U predizbornoj kampanji jedan je politiˇcar obe´cao kako c´e za vrijeme svojeg cˇ etverogodiˇsnjeg mandata ukinuti PDV na knjige koji sada iznosi 20% i to tako da c´ e ga svake godine umanjiti za 5% u odnosu na prethodnu godinu. Moˇze li taj politiˇcar, bude li izabran, ispuniti svoje obe´canje?

Rjeˇsenje.

Ne, ne moˇze. Uz navedene uvjete umanjenje c´e biti 18.55%. Kad bi svake godine umanjenje bilo za 5% u odnosu na poˇcetno stanje, onda bi iznosilo 20%.

Zadatak 25.

Novine obavjeˇstavaju kako je porast cijene automobilskog goriva tijekom posljednje 3 godine bio redom za 4%, 5% i 8% Tako je u te 3 godine cijena porasla za ukupno 17%, zakljuˇcuje novinar. No ta je raˇcunica pogreˇsna. Izraˇcunajte koliko je porasla cijena goriva u posljednje tri godine.

Rjeˇsenje.

Prve godine cijena je porasla za 4% te je iznosila 1.04c , gdje je c cijena goriva prije poskupljenja. Naredne godine doˇslo je do poskupljenja za 5% te je nova cijena jednaka 1.04c + 1.04c · 0.05 = 1.04c · 1.05 = 1.092c . I konaˇcno, nakon novog poskupljenja za 8% cijena iznosi 1.092c+1.092·0.08 = 1.092·1.08c = 1.17936c . Ukupno poskupljenje dakle nije 17% ve´c je gotovo 18%.

Zadatak 26.

Odgovori na sljede´ca pitanja: 1) Koliko je uˇcenika u tvojem razredu zavrˇsilo osmi razred s op´cim uspjehom vrlo dobar? Izrazi taj broj u postotcima. 2) Na pismenom ispitu iz matematike u tvojem razredu 32% uˇcenika ocijenjeno je odliˇcnom ocjenom. Koliki je to broj uˇcenika?

Rjeˇsenje.

1) U mom razredu je bilo 25 uˇcenika. 9 ih je zavrˇsilo osmi razred s op´cim 9 = 0.36 = 36% . uspjehom vrlo dobar. To je 25

1 2) 25 · 32% = 30 · 0.32 = 8 . 8 uˇcenika je ocijenjeno odliˇcnom ocjenom na pismenom ispitu iz matematike.

Zadatak 27. Rjeˇsenje.

Zadatak 28. Rjeˇsenje.

U morskoj je vodi 0.3 % soli. Koliko kilograma soli ima u jednom hektolitru morske vode? 1 hl = 100 l pa je u jednom hektolitru 0.003 · 100 = 0.3 kg soli. Od neke svote odbije se 8 % na troˇskove, a ostatak se podijeli na 5 osoba. Koliko je iznosila cijela svota ako je svaka osoba dobila po 930 kn? x − 8%x = 930 , x − 0.08x = 4650 , 0.92x = 4650 , x = 5054.35 kn. 5

Rjeˇsenja zadataka 1.4 Zadatak 1.

Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

Zadatak 4. Rjeˇsenje.

Zadatak 5. Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Ispiˇsi sve elemente ovih skupova: 1) skup svih djelitelja broja 48; 2) skup svih zajedniˇckih viˇsekratnika brojeva 6 i 9 manjih od 150; 3) skup prostih brojeva manjih od 100; 4) skup svih dvoznamenkastih brojeva cˇije su znamenke 1, 2 ili 3. 1) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} ; 2) {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144} ; 3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} ; 4) {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} .   π 0.7 1 Dan je skup S = − √ , 0.11, 3.14159, −101, , . 4 1.23 2 Napiˇsi podskup ovog skupa cˇiji su elementi iracionalni brojevi.   1 π SI = − √ , 2 4 Za prirodni broj n definiramo skup Sn = {x ∈ N : x < n} . Odredi skupove S1 , S10 i S1000 . S1 = {x ∈ N : x < 1} = ∅ ; S10 = {x ∈ N : x < 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; S1000 = {x ∈ N : x < 1000} = {1, 2, 3, . . . , 997, 998, 999} . Odredi sve skupove X za koje vrijedi X ⊆ {a, b, c} . X ∈ {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. ˇ Neka je A ⊆ B . Cemu su jednaki skupovi A ∩ B , A ∪ B ? A ∩ B = A, A ∪ B = B. U kojem su medusobnom odnosu sljede´ci skupovi: 1) A = {n ∈ N : n = 3k} , B = {n ∈ N : n = 6k} ; 2) A = {n ∈ N : n = 4k − 1} , B = {n ∈ N : n = 2k + 4} ?

21

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

1) B ⊆ A ; skup A sadrˇzi brojeve djeljive s 3, a skup B brojeve djeljive sa 6; 2) A ∩ B = ∅ ; skup A sadrˇzi neparne brojeve, a skup B parne. Odredi neki skup A tako da vrijedi: 1) {1, 2, 3} ∩ A = {1, 2} ; 2) {1, 2, 3} ∩ A = ∅ ; 3) {1, 2, 3} ∩ A = {3, 4} . 1) A je bilo koji skup koji sadrˇzi brojeve 1 i 2 ali ne i broj 3; 2) A je bilo koji skup koji ne sadrˇzi niti broj 1 niti broj 2 niti broj 3; 3) takav skup A ne postoji jer u prvom skupu nema broja 4. Odredi neki skup B tako da vrijedi: 1) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ; 2) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3} .

Rjeˇsenje.

1) B je skup koji sadrˇzi brojeve 4 i 5 i moˇzda joˇs neki od brojeva 1, 2 ili 3, ali nikoji drugi broj. 2) B moˇze sadrˇzavati samo neke od brojeva 1 , 2 ili 3.

Zadatak 9.

Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B = {3, 8} , A ∩ C = {8, 9} , B ∩ C = {8} , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 8, 9} , A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Odredi skupove A , B i C .

Rjeˇsenje.

Zadatak 10. Rjeˇsenje.

Zadatak 11. Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

A = {1, 2, 3, 8, 9} , B = {3, 4, 8} , C = {5, 6, 7, 8, 9} . Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {3, 4} , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} , A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7} . Odredi skupove A , B i C . A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 6, 7} , C = {3, 4, 5} . Skupovi A , B i C podskupovi su skupa prirodnih brojeva: A = {n : n = 2k − 1, k ∈ N} , B = {n : n = 3k, k ∈ N} , C = {n : n = 4k, k ∈ N} . Odredi skupove A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C . A = {1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .} , B = {3, 6, 9, 12, 15 . . .} , C = {4, 8, 12, 16, 20 . . .} . A ∪ B={1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15 . . .}={n : n = 2k − 1 ili n = 3k, k ∈ N} ; A∪C = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16 . . .} = {n : n = 2k − 1 ili n = 4k, k ∈ N} ; B ∪ C = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16 . . .} = {n : n = 3k ili n = 4k, k ∈ N} ; A ∩ B = {3, 9, 15 . . .} = {n : n = 6k − 3, k ∈ N} ; A ∩ C = ∅; B ∩ C = {12, 24, 36 . . .} = {n : n = 12k, k ∈ N} . ˇ se moˇze re´ci o skupovima A , B , C za koje vrijedi: Sto 1) A ∪ B = A , 3) A ∩ B ∩ C = A ,

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

22

1) B ⊆ A ;

2) A = B ;

2) A ∪ B = A ∩ B , 4) A ∪ B ∪ C = A ? 3) A ⊆ B i A ⊆ C ;

4) B ⊆ A i C ⊆ A .

Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: A = {x ∈ N : 2 < x < 11} , B = {x ∈ N : 7  x  17} .

1 Rjeˇsenje.

A ∪ B = {x ∈ N : 2 < x  17} ;

A ∩ B = {x ∈ N : 7  x < 11} .

Zadatak 14.

Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: A = {x ∈ Z : −12 < x < −1} ,

B = {x ∈ Z : −2  x  5} .

A ∪ B = {x ∈ Z : −12 < x  5} ;

A ∩ B = {−2} .

Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

Zadatak 18. Rjeˇsenje.

Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je:     1 1 1 A= x∈Q:0 p , n > m , n < q . n > m , m > p =⇒ n > p ; p < m , m < n , n < q =⇒ p < q ; m < n , n < q =⇒ m < q . Vrijedi li tvrdnja: 1) ako je a > b , onda je a2 > b2 ; 2) ako je a2 > b2 , onda je a > b ; 3) ako je a3 > b3 , onda je a > b ; 4) ako je a > b , onda je an > bn , za svaki prirodni n ; 5) ako je a > b i c > d , onda je ac > bd ?

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

1) Ne! Npr. 1 > −2 , 12 = 1 < 4 = (−2)2 ; 2) Ne! Npr. (−4)2 = 16 > 4 = (−2)2 , ali −4 < −2 ; 3) Da! Npr. 2 > −3 i 23 = 8 > −27 = (−3)3 ; 4) Ne! Primjer da tvrdnja ne vrijedi je pod 2); 5) Ne! Npr. uzmemo li a = 2 , b = 1 , c = −3 , d = −4 dobijemo 2 > 1 , −3 > −4 , ali −6 < −4 . ˇ moˇzeˇs kazati o brojevima a i b ako je: Sto a  0; 3) ab  0 ; 1) ab > 0 ; 2) b 1) ab > 0 =⇒ (a > 0 i b > 0) ili (a < 0 i b < 0) ; a 2)  0 =⇒ (a  0 i b > 0) ili (a  0 i b < 0) ; b 3) ab  0 =⇒ (a  0 i b < 0) ili (a  0 i b > 0) ; a 4) < 0 =⇒ (a > 0 i b < 0) ili (a < 0 i b > 0) . b Provjeri jesu li istinite sljede´ce tvrdnje: 1) ako je a > b , onda je (a + 1)b < a(b + 1) ; 2) ako je a > b , onda je (a + 1)(b − 1) < ab .

126

4)

a < 0? b

3 Rjeˇsenje.

Zadatak 7. Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

1) a > b =⇒ b < a =⇒ ab + b < ab + a =⇒ (a + 1)b < a(b + 1) ; 2) a > b =⇒ b < a =⇒ b < a + 1 =⇒ b − a − 1 < 0 =⇒ ab + b − a − 1 < ab =⇒ b(a + 1) − (a + 1) < ab =⇒ (a + 1)(b − 1) < ab . 1 1 − > 2. a2 a 1 − a − 2a2 1 1 Nejednakost 2 − > 2 ekvivalentna je nejednakosti > 0 . Nju a a a2 (1 − 2a)(1 + a) moˇzemo zapisati u obliku > 0 . Kako je a ∈  −1, 0 ova je a2 nejednakost ispunjena.

Dokaˇzi tvrdnju: za svaki broj a , −1 < a < 0 vrijedi

Zapiˇsi odgovaraju´cim oznakama za intervale podskupove skupa realnih brojeva sˇ to su zadani sljede´cim nejednakostima: 3 2) x > 3.5 ; 3) −5 < x  0 ; 1) x  − ; 2 √ √ 3 4) x  − 3 ; 6) x < −2 2 . 5) −  x  11 ; 4   3 1) x ∈ −∞, ; 2) x ∈  3.5, +∞ ; 3) x ∈  −5, 0] ; 2   √ √ 3 4) x ∈ [− 3, +∞ ; 5) x ∈ − , 11 ; 6) x ∈  −∞, −2 2 . 4 Naznaˇci na brojevnom pravcu skupove toˇcaka T(x) ako za x vrijedi sljede´ci uvjet: 1) −1  x < 3 ; 3) x  −1 i x < 3 ;

Rjeˇsenje.

2) x < −1 ili x  2 ; 4) x < −3 i x > 1 .

1) 2) 3) 4) ∅

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

Zapiˇsi odgovaraju´cim oznakama za intervale sljede´ce skupove realnih brojeva: 1) skup svih brojeva x ve´cih od −1 i manjih od 3; 3 2) skup svih brojeva x manjih od 1 ili ve´cih od ; 2 3 3) skup svih brojeva x koji su manji od − ; 4 1 4) skup svih brojeva x koji su manji od ili jednaki ili ve´ci od ili jednaki 3 ; 2 5) skup svih brojeva x ve´cih ili jednakih −1.1 ; √ 6) skup svih brojeva x koji su manji ili jednaki 2, i ve´ci od ili jednaki 5 . ! 3 3! 1)  −1, 3 ; 2)  −∞, 1 ∪ , +∞ ; 3) −∞, − ; 2 4 1 4) −∞, ∪ [3, +∞ ; 5) [−1.1, +∞ ; 6) ∅ . 2

127

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 11.

Zapiˇsi uobiˇcajenim oznakama intervale koji su istaknuti na sljede´cim crteˇzima: -1

0

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

1)  −∞, −1] ∪  1, 2] ; 4) [0, +∞ .

2

1

3

1

3

0

2) [−2, 1] ∪  3, +∞ ;

3)  −∞, 0 ∪ [3, +∞ ;

Odredi skupove A ∪ B i A ∩ B ako su A i B intervali realnih brojeva: 1) A =  −1, 2] , B =  0, 3] ; 3) A =  −∞, 1] , B=[−1, +∞ ; 5) A =  −∞, 5 , B = [−5, 1 ; 7) A = [−3, 5 , B = [0, 7] ;

Rjeˇsenje.

-2

2) A =  −3, 5 , B = [0, +∞ ; 4) A =  −∞, −2 , B = [0, 2] ;   2 2 6) A = − , , B = [−2, 2] ; 3 3 8) A =  1, 5 , B =  0, 4] .

1) A∪B =  −1, 3] , A∩B =  0, 2] ; 2) A∪B =  −3, +∞ , A∩B = [0, 5 ; 3) A ∪ B = R , A ∩ B = [−1, 1] ; 4) A ∪ B =  −∞, −2 ∪ [0, 2] , A ∩ B = ∅ ; 5) A ∪ B = A , A ∩ B = B , jer je B ⊂ A ; 6) A ∪ B = B , A ∩ B = A .

Rjeˇsenja zadataka 3.2 Zadatak 1.

Rjeˇsenje.

1 3 1 2 3 1 2) 2x + < − ; 3) x − 1 > ; 1) − x + 2  ; 2 3 4 3 3 4 2 2 1 4) −3x −  1 ; 5) − x − 1  1 . 3 3 4   1 1 1 3 1) − x + 2  2) 2x + < − ·6 · 12 2 3 4 3 −3x + 12  2 24x + 9 < −4 −3x  2 − 12 24x < −4 − 9     1 1 −3x  −10 · − 24x < −13 · 3 24 10 13 ; x x 3) · 12 3 3 4 −9x − 2  3 8x − 12 > 9 8x > 9 + 12  1 8x > 21 · 8 21 ; x> 8

128

−9x  3 + 2    1 −9x  5 · − 9 5 x− ; 9

3 5)

Zadatak 2.

Rjeˇsenje.

1 2 − x−11 3 4    5 2 3 − x−1 · − 3 4 2 27 x− . 4

3x − 1 2x − [1 − 3(2 − x)] > ; 3 4    1 x 1 x 1 x−7 2) x − − − ; x− 2 3 2 4 3 12    x+1 x 2 1 x−6 3) −3 − . x− 1− 4 2 3 2 6 1)

1)

2x 3x − 1 − [1 − 3(2 − x)] > 3 4 2x 3x − 1 − (1 − 6 + 3x) > 3 4 2x 3x − 1 − (3x − 5) > 3 4  3x − 1 2x − 3x + 5 > · 12 3 4 8x − 36x + 60 > 9x − 3 8x − 36x − 9x > −3 − 60    1 −37x > −63 · − 37 63 ; x< 37

   1 x 1 x 1 x−7 2) x − − − x− 2 3 2 4 3 12   x 1 1 x 12x x − 7 − + − x−  2 3 8 6 12 12   1 5x 1 11x + 7 + x−  2 24 6 12 1 11x + 7 5x −  x− 48 12 12  1 11x + 7 43x −  · 48 48 12 12 43x − 4  44x + 28 −x  32 / · (−1) x  −32;

129

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

3)

   1 x−6 x+1 x 2 −3 − x− 1− 4 2 3 2 6   x 2x 1 x+1 6−x+6 −3 − +  4 2 3 3 6   x+1 x 1 12 − x −3 − +  4 6 3 6 12 − x x+1 x + −1 4 2 6 12 − x x + 1 + 2x − 4  4 6  3x − 3 12 − x  · 12 4 6 9x − 9  24 − 2x 11x  33 / : 11 x  3;

Zadatak 3.

1) 1 −

x x−3 2x + 1 < − ; 3 2 6

2)

x+1 x−1 2x + 1 − x− ; 4 3 6

x 5x + 1 2x − 3 3x + 1 x + 3 3 − 2x −1> − ; 4) 2x −  − ; 4 3 6 3 4 6 x x−1 x−2 x−3 x−4 2x − 1 3x + 1 − − · 12 4 3 6 9 − 6x − 12 > 4x − 10x − 2

3)

Rjeˇsenje.

−3 > −2. Nejednadˇzba nema rjeˇsenja, ona je ekvivalentna netoˇcnoj nejednakosti −3 > −2 ;  2x − 3 3x + 1 x + 3 4) 2x −  − · 12 3 4 6 24x − 8x + 12  9x + 3 − 2x − 6  1 9x  −15 · 9 5 x− ; 3

130

3 x " 2x − 1 3x + 1 − < 1− · 12 3 4 12 8x − 4 − 9x − 3 < 12 − x −7 < 12; Rjeˇsenje nejednadˇzbe je svaki realni broj x , nejednadˇzba je ekvivalentna toˇcnoj nejednakosti −7 < 12 ;  x−4 x−1 x−2 x−3 − − < 1− 6) · 24 2 3 4 8 12x − 12 − 8x + 16 − 6x + 18 < 24 − 3x + 12 5)

x < 14.

Zadatak 4.

(3x − 1)(3x + 1) 1 2x + 3 (2x − 1)2 − < − ; 4 9 3 12     1 1 (4x + 3)2 2) − 2x · + 2x > x − ; 3 3 4

1)

3) (x − 2)3 − (x + 2)3 < 2(1 − 2x)(1 + 3x) ; (2x − 1)3 (3x + 1)2 (x + 1)3 − < . 2 16 4  (2x − 1)2 (3x − 1)(3x + 1) 1 2x + 3 1) − < − · 36 4 9 3 12

4) Rjeˇsenje.

9(2x − 1)2 − 4(3x − 1)(3x + 1) < 12 − 3(2x + 3) 9(4x2 − 4x + 1) − 4(9x2 − 1) < 12 − 6x − 9 36x2 − 36x + 9 − 36x2 + 4 < 3 − 6x    1 −30x < −10 · − 30 1 x> ; 3     1 1 (4x + 3)2 − 2x · + 2x > x − 2) 3 3 4  2 4x − (4x + 3)2 1 − (2x)2 > 3 4  1 4x − 16x2 − 24x − 9 − 4x2 > · 36 9 4 4 − 144x2 > 9 · (−16x2 − 20x − 9) 4 − 144x2 > −144x2 − 180x − 81 4 > −180x − 81    1 180x > −85 · 180 17 x>− ; 36

131

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

3)

(x − 2)3 − (x + 2)3 < 2(1 − 2x)(1 + 3x) (x − 2 − x − 2)[(x − 2)2 + (x − 2)(x + 2) + (x + 2)2 ] < 2(1 + 3x − 2x − 6x2 ) −4(x2 − 4x + 4 + x2 − 4 + x2 + 4x + 4) < 2 + 2x − 12x2 −4(3x2 + 4) < 2 + 2x − 12x2

4)

−12x2 − 16 < 2 + 2x − 12x2 −16 < 2 + 2x  1 −18 < 2x · 2 x > −9;  3 3 (2x − 1) (3x + 1)2 (x + 1) − < · 16 2 16 4 8(x + 1)3 − (2x − 1)3 < 4(3x + 1)2 [2(x + 1)]3 − (2x − 1)3 < 4(9x2 + 6x + 1) (2x + 2)3 − (2x − 1)3 < 36x2 + 24x + 4

[(2x+2)−(2x−1)][(2x+2)2 +(2x+2)(2x−1)+(2x−1)2 ] 4 1 − . 3

Rjeˇsenje. 1 1 (2x + 1) − 0.2(3x + 1) > − 4 3 1 1 1 x + − 0.6 − 0.2 > − 2 4 3 1 1 1 −0.1x > − + − 4 5 3 23 x< 6 Najve´ci cijeli broj koji je rjeˇsenje nejednadˇzbe je x = 3 .

Zadatak 6.

132

Odredi najmanji cijeli broj koji je rjeˇsenje nejednadˇzbe 49.4 − 27 − 9x 47.4 − . 10

27 − x < 10

3 Rjeˇsenje. 27 − x 27 − 9x < 47.4 − 10 10 27 − x − 27 + 9x 2< 10 20 < 8x 5 x> 2

49.4 −

Najmanji cijeli broj koji je rjeˇsenje nejednadˇzbe je x = 3 .

Zadatak 7.

Uvjeri se da je svaki realni broj x rjeˇsenje nejednadˇzbe 3.5(x+1) > 4x−

x−1 . 2

Rjeˇsenje. x−1 / ·2 2 7x + 7 > 8x − x + 1

3.5(x + 1) > 4x − 6>0

Nejednadˇzba je ekvivalentna nejednakosti 6 > 0 pa je svaki realni broj x rjeˇsenje nejednadˇzbe.

Zadatak 8.

Nejednadˇzba

2x − 1 x x−1 − 1.2 > + nema rjeˇsenja. Provjeri ovu tvrdnju. 2 5 10

Rjeˇsenje. 2x − 1 x x−1 − 1.2 > + / · 10 2 5 10 5x − 5 − 12 > 4x − 2 + x 15 < 0 Nejednadˇzba je ekvivalentna nejednakosti 15 < 0 pa nejednadˇzba nema rjeˇsenja.

Zadatak 9. Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

Za koje je vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje jednadˇzbe mx + 3x = 5 pozitivan broj? 5 > 0 , m + 3 > 0 . Za m > −3 je m+3 rjeˇsenje jednadˇzbe mx + 3x = 5 pozitivan broj. mx + 3x = 5 , x(m + 3) = 5 , x =

mx − 3 = 2(x − m) Za koje je vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje jednadˇzbe 2 negativan broj?

133

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje. mx − 3 = 2(x − m) / · 2 2 mx − 6 = 4x − 4m x(m − 4) = 6 − 4m 2(3 − 2m) < 0, m = 4 x= m−4 1◦ 3 − 2m < 0 i m − 4 > 0 2◦ 3 − 2m > 0 i m − 4 < 0 3 3 i m>4 m< i m 2 2 3 m>4 m< 2 mx 3 − 3 = 2(x − m) je negativan broj. Za m < ili m > 4 rjeˇsenje jednadˇzbe 2 2

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Za koje vrijednosti realnog broja m rjeˇsenje jednadˇzbe m−x 1− pripada intervalu  −1, 1 ? 6

x+1 mx + 1 − = 2 3

mx + 1 x + 1 m−x − =1− / ·6 2 3 6 3mx + 3 − 2x − 2 = 6 − m + x x(3m − 3) = 5 − m 5−m x= 3(m − 1) 5−m < 1/ ·3 −1 < 3(m − 1) 5−m 5−m +3>0 i −30 i 0 i 0 i 0 i 1+m>0 i 2−m 1 i m > −1 i m > 2 m−1 2 i 1+m0

m < 1 i m < −1 i m < 2 m < −1 x+1 m−x mx + 1 − = 1− Za m < −1 ili m > 2 rjeˇsenje jednadˇzbe 2 3 6 pripada intervalu  −1, 1 .

134

3 Zadatak 12.

Marko kupuje raˇcunalo

Marko namjerava kupiti prijenosno raˇcunalo i pritom raspolaˇze s 3 600 kn gotovine. Na cijene izloˇzene u trgovini zaraˇcunava se porez na dodanu vrijednost (PDV) u iznosu od 25 %, a ako se pla´ca u gotovini cijena s pridodanim PDV-om umanjuje se za 10 %.

1) Moˇze li Marko kupiti prijenosno raˇcunalo na slici? 2) Moˇze li Marko kupiti i skuplje raˇcunalo? Koliku najviˇsu cijenu (bez PDV-a i popusta) moˇze “podnijeti” njegov dˇzep? 3) Koliko se na tu najviˇsu cijenu zaraˇcunava PDV-a, a koliki je popust za gotovinu? Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

1) Kad na cijenu od 3 000 kn dodamo 25 % poreza na dodanu vrijednost (PDV) bit c´ e to ukupno 3 750 kn. Oduzmemo li od toga 10 % popusta na gotovinsko pla´canje dobit c´emo konaˇcnu cijenu 3 375 kn. Zakljuˇcujemo da Marko moˇze kupiti izloˇzeno prijenosno raˇcunalo uz uvjet da pla´ca gotovinom. 2) Iz c · 1.125  3 600 slijedi c  3200 , sˇ to znaˇci da Marko uz zadane uvjete moˇze kupiti i skuplje raˇcunalo, ali najviˇse ono s istaknutom cijenom od 3 200 kn. 3) Kad bi Marko kupio raˇcunalo po cijeni 3 200 kn na to bi morao dodati 25 % PDV-a sˇ to bi ukupno iznosilo 4 000 kn. Nakon popusta za gotovinsko pla´canje od 10 % dobije se 3 600 kn, a upravo s toliko novca Marko raspolaˇze. Pismeni ispit

Pismeni ispit sastojao se od 30 pitanja. Svaki toˇcan odgovor donosio je 2 boda. Za zadatak koji nije rijeˇsen oduziman je jedan bod. Ocjene su potom rasporedene prema sljede´coj skali: 20 – 30 bodova 31 – 40 bodova 41 – 50 bodova 51 – 60 bodova

dovoljan dobar vrlo dobar odliˇcan

1) Koju je ocjenu dobio uˇcenik/ uˇcenica koji/ koja je toˇcno rijeˇsio/ rijeˇsila 23 zadatka?

135

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

2) Koliko je zadataka toˇcno rijeˇsio uˇcenik/ uˇcenica koji/ koja je sakupio/ sakupila 39 bodova? 3) Koliko zadataka mora rijeˇsiti uˇcenik/ uˇcenica koji/ koja zˇ eli dobiti ocjenu vrlo dobar? 4) Moˇze li broj osvojenih bodova biti negativan? Rjeˇsenje.

Zadatak 14.

Rjeˇsenje.

Zadatak 15. Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

136

1) Uˇcenik koji je rijeˇsio toˇcno 20 zadataka sakupio je ukupno 20·2+10·(−1) = 30 bodova, a to znaˇci da je dobio ocjenu dovoljan. 2) Iz jednadˇzbe 2x + (30 − x) · (−1) = 39 , gdje je x broj toˇcno rijeˇsenih zadataka, slijedi x = 23 . 3) Iz uvjeta 41  2x + (30 − x) · (−1)  50 slijedi 71  3x  80 pa zakljucˇ ujemo kako je za vrlo dobru ocjenu potrebno rijeˇsiti 24, 25 ili 26 zadataka. 4) Ako sa x oznaˇcimo broj toˇcno rijeˇsenih zadataka u ovom ispitu, tada je ukupan broj osvojenih bodova jednak 3x − 30 . Nakon rjeˇsavanja nejednadˇzbe 3x − 30 < 0 zakljuˇcit c´emo da je za manje od 10 toˇcno rijeˇsenih zadataka ukupan broj bodova negativan. Najam automobila

Iznajmljivaˇc automobila nudi dvije mogu´cnosti najma automobila: 150 kn po danu i 0.5 kn po prijedenom kilometru ili 250 kn po danu bez dodatnog pla´canja po prijedenom kilometru. 1) Ako zˇ elite unajmiti automobil na 3 dana uz koji c´e uvjet biti povoljnije da taj najam bude po prvoj tarifi? 2) Uz koji c´ e uvjet op´cenito iznajmljivanje po prvoj tarifi biti povoljnije nego po drugoj? 1) Ako je k broj prijedenih kilometara, onda je ukupan troˇsak po prvoj tarifi za trodnevni najam jednak 150 · 3 + 0.5k . Po drugoj tarifi troˇsak je jednak 250 · 3 i on ne ovisi o broju prijedenih kilometara. Iz uvjeta 150 · 3 + 0.5k < 250 · 3 slijedi 0.5k < 300 te je k < 600 km. Dakle, odabir prve tarife u trodnevnom najmu automobila povoljniji je ako se automobil uzima u najam za put kra´ci od 600 km. 2) Uzmimo da auto unajmljujemo na d dana pri cˇemu c´emo prije´ci k kilometara. Tada bi troˇsak po prvoj tarifi iznosio 150d + 0.5k , a po drugoj 250d . Iz uvjeta 150d + 0.5k < 250d slijedi k < 200d . S punim spremnikom u koji stane 55 litara goriva automobil moˇze prevaliti iz- 650 i 700 km. Koliki put taj automobil moˇze prije´ci ako su u spremniku medu 33 litre goriva? - s punim spremniNeka je V obujam spremnika, d put koji automobil prijede 3 njegova obujma, tada kom. Dakle, 650 < d < 700 . Kako je 33 l goriva 5 3 imamo 390 < d < 420 . 5 Nina je u posjeti prijateljici u Kanadi i zˇ eli je iznenaditi kolaˇcem koji c´ e sama ispe´ci. Ali na sˇtednjaku su oznake u stupnjevima Fahrenheita. Nina zna da se biskvit peˇce na temperaturi od 180 ◦ C do 190 ◦ C i da su temperaturne skale u Fahrenheitovim stupnjevima (F ◦ ) i Celzijevim stupnjevima (C ◦ ) vezane 9 jednakosˇsc´ u F = C +32 . Procijenila je da bi pe´cnicu valjalo postaviti na 5 400 ◦ F . Je li donijela dobru odluku? U kojim granicama moˇze biti temperatura u pe´cnici kako bi se kolaˇc dobro ispekao?

3 Rjeˇsenje.

9 Iz 180 < C < 190 slijedi 356 < C +32 < 374 . Postoji opasnost da Nina 5 prepeˇce biskvit jer je 400 ◦ F temperatura iznad gornje dopustive granice.

Zadatak 17.

U poduze´cu “Ured” koristili su se uslugama umnoˇzavanja kopiraonice “Preslik” u kojoj je cijena 15 lipa po stranici. No u “Uredu” su odluˇcili sˇtedjeti pa su nabavili svoj stroj za kopiranje cˇ ija je cijena 6300 kn, a preslika jedne stranice na tom stroju stoji 3 lipe. Koliko najmanje kopija trebaju napraviti u “Uredu” na svojem stroju kako bi im se isplatila nabavka? Ako do prvog servisa stroj izvuˇce 150 000 kopija, kolika je uˇsteda?

Rjeˇsenje.

Troˇsak kopiranja u “Uredu” za n kopija iznosi 0.03n + 6300 , a za isti broj kopija troˇsovi u “Presliku” iznosili bi 0.15n . Zahtjev 0.03n + 6300 < 0.15n ispunjen je za n > 52 500 . Ako bi se svih 150 000 kopija platilo “Presliku” to bi iznosilo 22 500 kn. A troˇskovi istog posla u “Uredu” stoje 10 800 kn pa je uˇstedeno 11 700 kn.

Zadatak 18.

Teta Inka se odluˇcila na dijetu kako bi smanjila svoju tjelesnu teˇzinu s 80 kg na 65 do najviˇse 68 kg. Dijeta koju je primijenila tjedno odnosi 75 dkg. Koliko tjedana teta Inka mora biti na dijeti kako bi ostvarila svoj cilj?

Rjeˇsenje.

Iz 65  80 − 0.75t  68 slijedi 12  0.75t  15 te je 16  t  20 . Teta Inka mora biti na dijeti najmanje 16, a najviˇse 20 tjedana kako bi ostvarila svoj cilj.

Zadatak 19.

- dva operatera. Kod prvoga Marija zˇ eli nabaviti mobitel i dvoumi se izmedu mjeseˇcna je pretplata 100 kn u sˇ to je ukljuˇceno 100 minuta razgovora, a svaka se dodatna minuta napla´cuje 25 lipa. Mjeseˇcna pretplata kod drugog je operatera - 100 minuta razgovora, a svaka se dodatna minuta 125 kn sˇ to ukljuˇcuje takoder napla´cuje 20 lipa. Ako se Marija odluˇci za drugog operatera koliko minuta razgovora smije obaviti kako bi mogla zakljuˇciti da je donijela dobru odluku?

Rjeˇsenje.

Neka je m broj minuta dodatnih razgovora. Tada mora biti 0.20m + 125 < 0.25 + 100 . Odatle slijedi m > 500 .

Zadatak 20.

Rijeˇsi sljede´ce sustave nejednadˇzbi: # 10 − 4x > 3(1 − x) x 1) 3.5 + < 2x 4 ⎧ ⎪ ⎨ 0.3x + x > x + 1 6 2 3) x 2x − 5 ⎪ ⎩ −x> 3 2 ⎧ ⎪ ⎨ 4x − 3 − 0.1 > x 5 2 5) x 4−x ⎪ ⎩ > 2 3

# 2)

6 − 2x > 3(x − 3) x 0.5 − < x 2

⎧ ⎪ ⎨ x − x − 0.5 < 3x − 0.1 5 2 4) 2x − 1 x ⎪ ⎩ − 0.25 > 3 4 ⎧ ⎪ ⎨ 2x − 1 < 0.2x 3 6) x−1 x ⎪ ⎩ +2< 5 2

137

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

1) Rijeˇsimo svaku nejednadˇzbu sustava posebno. x 10 − 4x > 3(1 − x) 3.5 + < 2x 4 35 x + < 2x 10 − 4x > 3 − 3x 10 4 7 x −x > −7 + < 2x / · 4 2 4 x2 Rjeˇsenje sustava presjek je skupova rjeˇsenja dvaju nejednadˇzbi koje cˇine sustav. To je interval x ∈  2, 7 ;

2)

x 3x − 9 −5x > −15 / : (−5) x < 3;

1 < 3x 1 x> ; 3

 x∈

( 1 ,3 ; 3

3) x+1 x > 6 2 3 x x+1 x+ > / · 30 10 6 2 9x + 5x > 15x + 15 −x > 15

0.3x +

2x − 5 x −x> /·6 3 2 4x − 10 − 6x > 3x

x < −15;

x ∈  −∞, −15 ;

138

−5x > 10 x < −2;

3 4) 2x − 1 − 0.25 > 3 2x − 1 1 − > 3 4

3x x − 0.5 < − 0.1 5 2 x − 12 3x 1 x− < − 5 2 10 3x 1 2x − 1 < − / · 10 x− 10 2 10 10x − 2x + 1 < 15x − 1 x−

8x − 4 − 3 > 3x 5x > 7 7 x> ; 5

−7x < −2 x>

2 ; 7

 x∈

x 4 x / · 12 4

( 7 , +∞ ; 5

5) 4x − 3 x − 0.1 > 5 2 4x − 3 1 x − > / · 10 5 10 2 8x − 6 − 1 > 5x

4−x x > /·6 2 3 12 − 3x > 2x −5x > −12 12 x< ; 5

3x > 7 x>

7 ; 3

 x∈

7 12 , 3 5

( ;

6) 2x − 1 < 0.2x 3 2x 1 − 1 < x / · 15 3 5 10x − 15 < 3x 7x < 15 15 ; x< 7

x−1 x +2< / · 10 5 2 2x − 2 + 20 < 5x −3x < −18 x > 6;

139

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

15 , a iz druge x > 6 . Sustav nema rjeˇsenja 7 15 jer ne postoji realni broj x koji je i ve´ci od 6 i manji od . 7

Iz prve nejednadˇzbe slijedi x <

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

1 1) − x2 (x − 5)  0 ; 2

2) x(x − 1)2 > 0 ;

3) (3x − 2)(4x2 + 3)  0 ;

4) (x + 1)(x2 + 1)  0 ;

5)

−3  0; 2x + 5

6)

7)

−2 < 0; −x + 1

8)

x2

2 − 3x < 0; − 4x + 4

x2 + 1  0. 2x − 1

1 1) Za x = 0 , − x2 (x − 5) = 0 , pa je x = 0 jedno rjeˇsenje. Za x = 0 2 1 − x2 < 0 pa slijedi da mora biti (x − 5)  0 ., odnosno x  5 . Rjeˇsenje 2 polazne nejednadˇzbe je x  5 ili x = 0 ; 2) (x − 1)2  0 , pa je nejednadˇzba ekvivalentna sustavu nejednadˇzbi:  x > 0, (x − 1)2 > 0. (x − 1)2  0 , za svaki x ∈ R , joˇs treba vrijediti (x − 1)2 = 0 , odnosno x = 1 . Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x > 0 , x = 1 ; 3) Zbog 4x2 + 3 > 0 za svaki x ∈ R nejednadˇzba se svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe 3x − 2  0 . 3x − 2  0,

3x  2,

x

2 . 3

2 ; 3 4) Zbog x2 + 1 > 0 za svaki x ∈ R nejednadˇzba se svodi na rjeˇsvanje nejednadˇzbe x + 1  0 . Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x 

x + 1  0,

x  −1.

Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x  −1 ; 5) Zbog −3 < 0 nejednadˇzba se svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe 2x + 5 < 0 . 2x + 5 < 0,

2x < −5,

5 x

2 . 3

3 2 , x = 2 . 3 7) Zbog −2 < 0 nejednadˇzba se svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe −x + 1 > 0 .

Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x > −x + 1 > 0,

−x > −1,

x < 1.

Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x < 1 ; 8) Zbog x2 +1 > 0 nejednadˇzba se svodi na rjeˇsavanje nejednadˇzbe 2x−1 > 0 . 2x − 1 > 0,

2x > 1,

Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x >

Zadatak 22.

Rjeˇsenje.

x>

1 . 2

1 ; 2

1) (x − 1)(x − 2) > 0 ;

2) (2x − 1)(x + 5)  0 ;

3) (4x + 1)(1 − 3x) > 0 ;

4) (3x + 5)(4x + 7)  0 ;

5) (5x − 1)(2 − 7x)  0 ;

6) (4x − 3)(3x − 4)  0 .

1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   x − 1 > 0, x − 1 < 0, 1) ili 2) x − 2 > 0, x − 2 < 0. Rjeˇsenje sustava 1) je x > 2 , a sustava 2) x < 1 , pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe x < 1 ili x > 2 ; 2) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   2x − 1  0, 2x − 1  0, 1) ili 2) x + 5  0, x + 5  0. 1) 2x − 1  0 2x  1 1 x 2

x+50 x  −5

2) 2x − 1  0 2x  1 1 x 2

x+50 x  −5

1 Rjeˇsenje sustava 1) je −5  x  , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 2 1 polazne nejednadˇzbe −5  x  ; 2 3) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   4x + 1 > 0, 4x + 1 < 0, 1) ili 2) 1 − 3x > 0, 1 − 3x < 0. 1) 4x + 1 > 0

1 − 3x > 0 2) 4x + 1 < 0 1 − 3x < 0 1 1 1 1 x>− x< x 4 3 4 3 1 1 Rjeˇsenje sustava 1) je − < x < , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 4 3 1 1 polazne nejednadˇzbe − < x < ; 4 3 4) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   3x + 5  0, 3x + 5  0, 1) ili 2) 4x + 7  0, 4x + 7  0.

141

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

1) 3x + 5  0 5 x− 3

4x + 7  0

2) 3x + 5  0

7 x− ; 4

4x + 7  0

5 x− 3

7 x− ; 4

7 5 Rjeˇsenje sustava 1) je −  x  − , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 4 3 7 5 polazne nejednadˇzbe −  x  − ; 4 3 5) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   5x − 1  0, 5x − 1  0, 1) ili 2) 2 − 7x  0, 2 − 7x  0. 1) 5x − 1  0 1 x 5

2 − 7x  0 2) 5x − 1  0 2 − 7x  0 2 1 2 x ; x x ; 7 5 7 2 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x  , a sustava 2) x  , pa je rjeˇsenje polazne 5 7 2 1 nejednadˇzbe x  ili x  ; 5 7 6) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   4x − 3  0, 4x − 3  0, 1) ili 2) 3x − 4  0, 3x − 4  0. 1) 4x − 3  0 3 x 4

3x − 4  0 2) 4x − 3  0 3x − 4  0 4 3 4 x ; x x ; 3 4 3 3 4 Rjeˇsenje sustava 1) je x  , a sustava 2) x  , pa je rjeˇsenje polazne 3 4 3 4 nejednadˇzbe x  ili x  . 4 3

Zadatak 23.

1)

x−3  0; x+3

2x + 1  0; 3 − 5x −3x + 8 7)  0; 2x − 1 4)

Rjeˇsenje.

2)

2x + 1  0; 3x + 2

3x + 2 > 0; 2x − 5 1 − 2x 8)  0. 2x + 3 5)

3)

x < 0; 1 − 7x

6)

5 − 3x > 0; 3 − 5x

1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   x − 3  0, x − 3  0, 1) ili 2) x + 3 > 0, x + 3 < 0. 1) x − 3  0 x+3>0 2) x − 3  0 x+3 −3; x3 x < −3; Rjeˇsenje sustava 1) je x  3 , a sustava 2) x < −3 , pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe x < −3 ili x  3 ; 2) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   2x + 1  0, 2x + 1  0, 1) ili 2) 3x + 2 > 0, 3x + 2 < 0.

142

3 1) 2x + 1  0 1 x− 2

3x + 2 > 0

2) 2x + 1  0

2 x>− ; 3

1 x− 2

3x + 2 < 0 2 x 0, 1) ili 2) 1 − 7x > 0, 1 − 7x < 0. 1) x < 0

1 − 7x > 0 1 x< ; 7

2) x > 0

1 − 7x < 0 1 x> ; 7 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x < 0 , a sustava 2) x > , pa je rjeˇsenje polazne 7 1 nejednadˇzbe x < 0 ili x > ; 7 4) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   2x + 1  0, 2x + 1  0, 1) ili 2) 3 − 5x > 0, 3 − 5x < 0. 2) 2x + 1  0 3 − 5x < 0 3 − 5x > 0 3 1 3 x< ; x− x> ; 5 2 5 1 3 Rjeˇsenje sustava 1) je −  x < , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 2 5 1 3 polazne nejednadˇzbe −  x < ; 2 5 5) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   3x + 2 > 0, 3x + 2 < 0, 1) ili 2) 2x − 5 > 0, 2x − 5 < 0. 1) 2x + 1  0

1 x− 2

1) 3x + 2 > 0

2x − 5 > 0 2) 3x + 2 < 0 2x − 5 < 0 5 2 5 x> ; x , a sustava 2) x < − , pa je rjeˇsenje polazne 2 3 2 5 nejednadˇzbe x < − ili x > ; 3 2 6) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   5 − 3x > 0, 5 − 3x < 0, 1) ili 2) 3 − 5x > 0, 3 − 5x < 0. 2 x>− 3

1) 5 − 3x > 0 5 x< 3

3 − 5x > 0 3 x< ; 5

2) 5 − 3x < 0 5 x> 3

3 − 5x < 0 3 x> ; 5

143

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

5 3 , a sustava 2) x > , pa je rjeˇsenje polazne 5 3 3 5 nejednadˇzbe x < ili x > ; 5 3 7) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   −3x + 8  0, −3x + 8  0, 1) ili 2) 2x − 1 > 0, 2x − 1 < 0.

Rjeˇsenje sustava 1) je x <

1) − 3x + 8  0 8 x 3

2x − 1 > 0 2) − 3x + 8  0 2x − 1 < 0 1 8 1 x> ; x x< ; 2 3 2 1 8 Rjeˇsenje sustava 1) je x  , a sustava 2) x < , pa je rjeˇsenje polazne 3 2 1 8 nejednadˇzbe x < ili x  ; 2 3 8) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   1 − 2x  0, 1 − 2x  0, 1) ili 2) 2x + 3 > 0, 2x + 3 < 0. 1) 1 − 2x  0 1 x 2

2x + 3 > 0

2) 1 − 2x  0 2x + 3 < 0 3 1 3 x>− ; x x 1; x+1 3 3x + 1 < ; 3) 2x − 3 2 x2 + 6 5)  3; 2x − 1 x2 7)  x + 1; x−1

1)

2x − 1 < 1; 2x + 1 x2 + 2 4)  1; 2x + 1 x2 6)  1; 2x − 1 x2 + 2x 8)  x + 1. x+1 2)

1) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x −1>0 x+1 x − (x + 1) >0 x+1 x−x−1 >0 x+1 −1 > 0. x+1 Budu´ci da je −1 < 0 mora biti x + 1 < 0 , x < −1 ;

144

3 2) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2x − 1 −1 2 1 rjeˇsenje x = 1 . Rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je x > ; 2 7) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli.

Izraz

x2 − (x + 1)  0 x−1 x2 − (x + 1)(x − 1) 0 x−1 x2 − x2 + 1 0 x−1 1  0. x−1 Budu´ci da je 1 > 0 mora biti x − 1 < 0 , x < 1 ;

146

3 8) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x2 + 2x − (x + 1)  0 x+1 x2 + 2x − (x + 1)2 0 x+1 x2 + 2x − x2 − 2x − 1 0 x+1 −1  0. x+1 Budu´ci da je −1 < 0 mora biti x + 1 > 0 , x > −1 .

Zadatak 25.

Rjeˇsenje.

2x < 1; x+3 1 4) < 3; x+2

1)

x−1  2; 2x + 3 x+1 5)  1; 2x − 1 2)

x−2 1 < ; 2x + 5 2 2x − 1 3 6) < . x+3 2 3)

1) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2x −1 3, 1) ili 2) x + 3 > 0, x > −3 x + 3 < 0, x < −3. Rjeˇsenje sustava 1) je −3 < x < 3 , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe −3 < x < 3 ; 2) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x−1 −20 2x + 3 x − 1 − 4x − 6 0 2x + 3 −3x − 7  0. 2x + 3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ −3x − 7  0, x  − 7 ⎨ −3x − 7  0, x  − 7 3 3 1) ili 2) 3 3 ⎪ ⎪ ⎩ 2x + 3 > 0, x > − ⎩ 2x + 3 < 0, x < − . 2 2 7 3 Sustav 1) nema rjeˇsenja, a rjeˇsenje sustava 2) je −  x < − , pa je rjeˇsenje 3 2 7 3 polazne nejednadˇzbe −  x < − ; 3 2

147

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

3) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 1 x−2 − − ; 2 4) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 1 −3 0, x < − 1) ili 2) 3 3 x + 2 > 0, x > −2 x + 2 < 0, x < −2. 5 Rjeˇsenje sustava 1) je x > − , a rjeˇsenje sustava 2) je x < −2 , pa je rjeˇsenje 3 5 polazne nejednadˇzbe x < −2 ili x > − ; 3 5) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x+1 −10 2x − 1 x + 1 − 2x + 1 0 2x − 1 −x + 2  0. 2x − 1 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # −x + 2  0, x  2 −x + 2  0, x  2 1 1 1) ili 2) 2x − 1 > 0, x > 2x − 1 < 0, x < . 2 2 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x  2 , a rjeˇsenje sustava 2) je x < , pa je rjeˇsenje 2 1 polazne nejednadˇzbe x < ili x  2 ; 2 6) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2x − 1 3 − 11 1) ili 2) 2x + 6 > 0, x > −3; 2x + 6 < 0, x < −3. Rjeˇsenje sustava 1) je −3 < x < 11 , a sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe −3 < x < 11 .

Zadatak 26.

Rjeˇsenje.

1 x−1  ; 2x − 1 3 2x − 1 4)  3; x+2

1)

x 2  ; 2x + 3 3 1−x 5)  1; 2x + 3 2)

x+1 2  ; x 3 x−1 2 6)  . 2x − 1 3 3)

1) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 1 x−1 − 0 2x − 1 3 3x − 3 − 2x + 1 0 2x − 1 x−2  0. 2x − 1 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # x − 2  0, x  2 x − 2  0, x  2 1 ili 2) 1 1) 2x − 1 > 0, x > 2x − 1 < 0, x < . 2 2 1 Rjeˇsenje sustava 1) je < x  2 , sustav 2) nema rjeˇsenja, pa je rjeˇsenje 2 1 polazne nejednadˇzbe < x  2 ; 2 2) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x 2 − 0 2x + 3 3 3x − 4x − 6 0 2x + 3 −x − 6  0. 2x + 3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # −x − 6  0, x  −6 −x − 6  0, x  −6 3 3 1) ili 2) 2x + 3 > 0, x > − ; 2x + 3 < 0, x < − . 2 2 3 Sustav 1) nema rjeˇsenje, a rjeˇsenje sustava 2) je −6  x < − , pa je rjeˇsenje 2 3 polazne nejednadˇzbe −6  x < − ; 2

149

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

3) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x+1 2 − 0 x 3 3x + 3 − 2x 0 3x x+3  0. 3x Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   x + 3  0, x  −3 x + 3  0, x  −3 1) ili 2) 3x > 0, x > 0; 3x < 0, x < 0. Rjeˇsenje sustava 1) je x > 0 , a sustava 2) je x  −3 , pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe x  −3 ili x > 0 ; 4) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2x − 1 −30 x+2 2x − 1 − 3x − 6 0 x+2 −x − 7  0. x+2 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi.   −x − 7  0, x  −7 −x − 7  0, x  −7 ili 2) 1) x + 2 < 0, x < −2. x + 2 > 0, x > −2; Sustav 1) nema rjeˇsenje, a rjeˇsenje sustava 2) je −7  x < −2 , pa je rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe −7  x < −2 ; 5) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 1−x −10 2x + 3 1 − x − 2x − 3 0 2x + 3 −3x − 2  0. 2x + 3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ −3x − 2  0, x  − 2 ⎨ −3x − 2  0, x  − 2 3 3 ili 2) 1) 3 3 ⎪ ⎪ ⎩ 2x + 3 < 0, x < − . ⎩ 2x + 3 > 0, x > − ; 2 2 2 3 Rjeˇsenje sustava 1) je x  − , a sustava 2) je x < − , pa je rjeˇsenje polazne 3 2 3 2 nejednadˇzbe x < − ili x  − ; 2 3

150

3 6) Nejednadˇzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. 2 x−1 − 0 2x − 1 3 3x − 3 − 3 − 4x + 2 0 6x − 3 −x − 1  0. 6x − 3 Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadˇzbi. # # −x − 1  0, x  −1 −x − 1  0, x  −1 1 1 1) ili 2) 6x − 3 > 0, x > ; 6x − 3 < 0, x < . 2 2 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x > , a sustava 2) je x  −1 , pa je rjeˇsenje polazne 2 1 nejednadˇzbe x  −1 ili x > . 2

Zadatak 27.

1) (1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x) > 0 ; 3)

Rjeˇsenje.

x−1 < 0; (x + 2)(x + 3)

2) (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) < 0 ; 4)

(x + 1)(x + 2) > 0. x−3

ˇ 1) Cetiri su mogu´cnosti ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − x > 0, x < 1 1 − x < 0, x > 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 1) 2) 1 − 2x > 0, x < 1 − 2x < 0, x > ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎩ 1 − 3x > 0, x < ; ⎩ 1 − 3x > 0, x < ; 3 3 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − x > 0, x < 1 1 − x < 0, x > 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 4) 3) 1 − 2x < 0, x > 1 − 2x > 0, x < ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 − 3x < 0, x > 1 ; ⎩ 1 − 3x < 0, x > 1 ; 3 3 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x < , sustav 2) nema rjeˇsenja, sustav 3) nema rjeˇsenja, 3 1 a rjeˇsenje sustava 4) je < x < 1 . Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja sustava 2 1 1 1)–4), to jest x < ili < x < 1 ; 3 2 ˇ 2) Cetiri su mogu´cnosti ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 < 0, x < − 2 ⎪ 2x + 1 < 0, x < − 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 1) 2) 3x + 1 < 0, x < − 3x + 1 > 0, x > − ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 < 0, x < − ; ⎩ 4x + 1 > 0, x > − 1 ; 4 4

151

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 > 0, x > − 2x + 1 > 0, x < − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 3) 4) 3x + 1 < 0, x < − 3x + 1 > 0, x > − ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 > 0, x > − ; ⎩ 4x + 1 < 0, x > − 1 ; 4 4 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x < , sustav 2) nema rjeˇsenja, rjeˇsenje sustava 3) je 2 1 1 − < x < − , a sustav 4) nema rjeˇsenja. Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja 4 3 1 1 1 sustava 1)–4), to jest x < − ili − < x < − ; 2 3 4 ˇ 3) Cetiri su mogu´cnosti # # x − 1 < 0, x < 1 x − 1 < 0, x < 1 x + 2 < 0, x < −2 x + 2 > 0, x > −2 1) 2) x + 3 < 0, x < −3; x + 3 > 0, x > −3; # # x − 1 > 0, x > 1 x − 1 > 0, x < 1 x + 2 < 0, x < −2 x + 2 > 0, x > −2 3) 4) x + 3 > 0, x > −3; x + 3 < 0, x > −3; Rjeˇsenje sustava 1) je x < −3 , a sustava 2) −2 < x < 1 , sustavi 3) i 4) nemaju rjeˇsenja. Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest x < −3 ili −2 < x < 1 ; ˇ 4) Cetiri su mogu´cnosti ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 < 0, x < − 1 ⎪ 2x + 1 < 0, x < − 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 1) 2) 3x + 1 < 0, x < − 3x + 1 > 0, x > − ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 < 0, x < − ; ⎩ 4x + 1 > 0, x > − 1 ; 4 4 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + 1 > 0, x > − 2x + 1 > 0, x < − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 3) 4) 3x + 1 < 0, x < − 3x + 1 > 0, x > − ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 4x + 1 > 0, x > − ; ⎩ 4x + 1 < 0, x > − 1 ; 4 4 1 Rjeˇsenje sustava 1) je x < , sustav 2) nema rjeˇsenja, rjeˇsenje sustava 3) je 2 1 1 − < x < − , a sustav 4) nema rjeˇsenja. Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja 4 3 1 1 1 sustava 1)–4), to jest x < − ili − < x < − ; 2 3 4 ˇ 3) Cetiri su mogu´cnosti # # x + 1 < 0, x < −1 x + 1 < 0, x < −1 x + 2 < 0, x < −2 x + 2 > 0, x > −2 1) 2) x − 3 < 0, x < 3; x − 3 > 0, x > 3; # # x + 1 > 0, x > −1 x + 1 > 0, x < −1 x + 2 < 0, x < −2 x + 2 > 0, x > −2 3) 4) x − 3 > 0, x > 3; x − 3 < 0, x > 3;

152

3 Rjeˇsenje sustava 1) je x > 3 , sustav 2) nema rjeˇsenje, rjeˇsenje sustava 3) je −2 < x < −1 , a sustav 4) nema rjeˇsenje. Rjeˇsenje zadatka je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest −2 < x < −1 ili x > 3 .

Zadatak 28.

Rijeˇsi sustave nejednadˇzbi: x−1  0; 3 x−1 3) −1 < < 1; x+1

1) −1 

Rjeˇsenje.

1)

2x − 1  2; 2 1 2x + 3 1 4)  < . 3 3x − 4 2 2) 1 <

2) x−1 0/ ·3 −1  3 −3  x − 1  0

x − 1  −3 x  −2

i x−1 i x 2 2 5 3 0 4) 1 2x + 3 1  < 3 3x − 4 2 2x + 3 1 2x + 3 1 − 0 i − 0 13 4 i x− i x > −10 x< 3 3 13 −10 < x  − 3 −1 <

153

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 29.

Rjeˇsenje.

Rijeˇsi sljede´ce sustave nejednadˇzbi: ⎧ x+1 ⎪ ⎪ >1−x ⎨ x 1) 1 x ⎪ ⎪ < ⎩ 1+ x−1 (x − 1)2 ⎧ x+1 x ⎪ < ⎨ x x + 1 3) 1 ⎪ ⎩ 4x + 1 + x x+1 2) 1 1 ⎪ ⎩ < x−1 x+1 ⎧ 1 x ⎪ < ⎨ 1− 2 x − 1 x + 1 4) x 1 ⎪ ⎩ x+1< − 0.25 + 1−x 4

1) Svaku pojedinu nejednadˇzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x+1 1 x −1+x>0 1+ − 0 0 0 x ⎪ x−2 ⎪ ⎩ 0 , je x > 0 , a druge, zbog (x − 1)2 > 0 za x = 1 , je x < 2 , x = 1 . Rjeˇsenje polaznog sustava je presjek ovih rjeˇsenja, to jest 0 < x < 2 ali x = 1 ; 2) Svaku pojedinu nejednadˇzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x 1 1 1 >0 − 0 0 0 ⎨ x(x + 1) ⎪ 2 ⎪ ⎩ 0 sustav je ekvivalentan uniji dvaju sustava nejednadˇzbi # # x + 1 < 0, x < −1 x + 1 > 0 x > −1 x>0 x 0, x > 1; x − 1 < 0, x < 1; Rjeˇsenje sustava je −1 < x < 0

154

3 3) Svaku pojedinu nejednadˇzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli. x+1 x 1 − 0, x > 4; ⎧ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2x − 1 > 0, x > ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ 1 4) 2x + 1 > 0, x > − ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x − 4 < 0, x < 4;

1 Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest x < − ili 2 1 < x < 4; 2 3) Sredimo nejednadˇzbu x4 + 3x3 + 3x2 + 9x >0 x3 − x2 x[x2 (x + 3) + 3(x + 3)] >0 x2 (x − 1) >0

+ ,) * (x + 3) (x2 + 3) >0 x(x − 1) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: # # x + 3 > 0, x > −3 x + 3 > 0, x > −3 x > 0, x < 0, 1) 2) x − 1 > 0, x > 1; x − 1 < 0, x < 1; # # x + 3 < 0, x < −3 x + 3 < 0, x < −3 x > 0, x < 0, 4) 3) x − 1 < 0, x < 1; x − 1 > 0, x > 1; Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest −3 < x < 0 ili x > 1 ; 4) Sredimo nejednadˇzbu 3x3 + x2 >0 3x4 − x3 + 9x2 − 3x x2 (3x + 1) >0 x[x2 (3x − 1) + 3(3x − 1)] x(3x + 1) >0 (3x − 1) (x2 + 3) ) *+ , >0

Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi:

157

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

⎧ x  0, ⎪ ⎪ ⎨ 3x + 1  0, 1) ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 < 0, ⎧ x  0, ⎪ ⎪ ⎨ 3x + 1  0, 3) ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 > 0,

1 x− 3 1 x< ; 3 1 x− 3 1 x> ; 3

⎧ x  0, ⎪ ⎪ ⎨ 3x + 1  0, 2) ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 > 0, ⎧ x  0, ⎪ ⎪ ⎨ 3x + 1  0, 4) ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 < 0,

1 x− 3 1 x> ; 3 1 x− 3 1 x< ; 3

1 Rjeˇsenje polaznog sustava je unija rjeˇsenja sustava 1)–4), to jest x  − ili 3 1 0 ; x+1 x −1 2 2x + 1 x−3  ; x+3 2x − 1 1 x − ; 4x2 + 6x 2x 2x2 − 3x 2 2x − 1 1−  . 2x + 1 x

2) 1 − 4) 6) 8) 10)

1) Sredimo nejednadˇzbu x x2 + 1 1 − 2 − x+1 x −1 2 2x2 − 2x − 2x2 − 2 − x2 + 1 2(x2 − 1) −x2 − 2x − 1 2(x2 − 1) −(x + 1)2 2(x2 − 1)

>0 >0 >0 >0

−(x + 1)2 > 0 , cˇije je rje2(x2 − 1) sˇ enje svaki realni broj x za koji vrijedi x2 − 1 < 0 , to jest svaki realni broj x , −1 < x < 1 ; Zadana nejednadˇzba je ekvivalentna nejednadˇzbi

158

3 2) Sredimo nejednadˇzbu 1 x−2 − (x − 1)2 x−1 x2 − 2x + 1 − x + 2 − x + 1 (x − 1)2 x2 − 4x + 4 (x − 1)2 (x − 2)2 (x − 1)2 1−

Nejednadˇzba je ekvivalentna nejednadˇzbi svaki realni broj x , x = 1 ; 3) Sredimo nejednadˇzbu

0 0 0 0

(x − 2)2  0 , pa je njezino rjeˇsenje (x − 1)2

x−3 2x + 1 − 0 x+3 2x − 1 4x2 − 1 − x2 + 9 0 (2x − 1)(x + 3) >0

+ ,) * 3x2 + 8 0 (2x − 1)(x + 3) Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎨ 2x − 1 > 0, x > ⎨ 2x − 1 < 0, x < 1 2 2 1) 2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x + 3 > 0, x > −3; ⎩ x + 3 < 0, x < −3; 1 ; jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ; 2 4) Sredimo nejednadˇzbu x < −3 ili x >

x+1 x+2 − 0 x+2 x+3 x2 + 4x + 3 − x2 − 4x − 4 0 (x + 2)(x + 3) 0, x > −2 x + 2 < 0, x < −2 1) 2) x + 3 > 0, x > −3; x + 3 < 0, x < −3; x < −3 ili x > −2 , jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ;

159

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

5) Sredimo nejednadˇzbu x 1 −1− 1 1) 2) x + 1 < 0, x < −1; x + 1 > 0, x > −1; # # x > 0, x > 0, x − 1 < 0, x < 1 x − 1 > 0, x > 1 4) 3) x + 1 > 0, x > −1; x + 1 < 0, x < −1; x < −1 ili 0 < x < 1 ; 6) Sredimo nejednadˇzbu x x+1 −1+ 1 x − 1 < 0, x < 1 1) 2) x + 1 > 0, x > −1; x + 1 < 0, x < −1; Slijedi x < −1 ili x > 1 . Jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ; 7) Sredimo nejednadˇzbu 1 x−1 x+1 − 2 − 2 1 x − 1 < 0, x < 1 1) 2) x + 1 > 0, x > −1; x + 1 < 0, x < −1; # # x < 0, x < 0, x − 1 < 0, x < 1 x − 1 > 0, x > 1 4) 3) x + 1 > 0, x > −1; x + 1 < 0, x < −1;

160

3 −1 < x < 0 ili x > 1 ; 8) Sredimo nejednadˇzbu 1 3 2x − 3 − + >0 4x2 + 6x 2x 2x2 − 3x 4x2 − 12x + 9 − 4x2 + 9 + 12x + 18 0

+,)* 36 0, 1) 2) 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩ 2x − 3 < 0, x < ; ⎩ 2x − 3 > 0, 2 ⎧ ⎧ x > 0, x > 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 3 2x + 3 > 0, 2x + 3 < 0, x < − 4) 3) 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎩ 2x − 3 > 0, x > ; 2x − 3 < 0, 2 3 3 − < x < 0 ili x > ; 2 2 9) Sredimo nejednadˇzbu 1 2 x+2 + − x(x + 2) x − 2 x(x − 2) x − 2 + 2x2 + 4x − x2 − 4x − 4 x(x + 2)(x − 2) x2 + x − 6 x(x + 2)(x − 2) x2 − 4 + x − 2 x(x + 2)(x − 2) (x − 2)(x + 2) + (x − 2) x(x + 2)(x − 2) (x − 2)(x + 3) x(x + 2)(x − 2) x+3 x(x + 2)

3 x>− 2 3 x> ; 2 3 x>− 2 3 x< ; 2

0 0 0 0 0  0 (x = 2) 0

Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: # # x > 0, x > 0, x + 3  0, x  −3 x + 3  0, x  −3 1) 2) x + 2 > 0, x > −2; x + 2 < 0, x < −2; # # x < 0, x < 0, x + 3  0, x  −3 x + 3  0, x  −3 3) 4) x + 2 > 0, x > −2; x + 2 < 0, x < −2; Rjeˇsenje je svaki realni broj x , −3  x < −2 ili x > 0 i x = 2 ;

161

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

10) Sredimo nejednadˇzbu 2x − 1 2 − 2x + 1 x 2x2 + x − 2x − 4x2 + 1 x(2x + 1) −2x2 + x + 1 x(2x + 1) 1 − x2 − x2 + x x(2x + 1) (1 − x)(1 + x) − x(1 − x) x(2x + 1) 1−x x(2x + 1) 1−

0 0 0 0 0 0

Nejednadˇzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadˇzbi: ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ x < 0, ⎨ x < 0, 1 − x  0, x  1 1 − x  0, x  1 1) 2) 1 ⎪ ⎪ ⎩ 2x + 1 < 0, x < − ; ⎩ 2x + 1 > 0, x > − 1 ; 2 2 ⎧ ⎧ x > 0, x > 0, ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 − x  0, x  1 1 − x  0, x  1 3) 4) ⎪ ⎪ ⎩ 2x + 1 > 0, x > − 1 ; ⎩ 2x + 1 < 0, x < − 1 ; 2 2 1 1 x  −1 ili − < x < 0 ili x  . 2 2

Rjeˇsenja zadataka 3.3 Zadatak 1.

Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 1) a = −2 , b = −3 ; √ √ 3) a = 1 − 2 , b = 1 + 2 .

Rjeˇsenje.

162

a|b| − b|a| za: |a| − |b| 2 1 2) a = − , b = ; 2 3

−2 · 3 + 3 · 2 0 −2| − 3| − (−3)| − 2| = = = 0; | − 2| − | − 3| 2−3 −1 - 1 -2- 2 - 11 2 2 1 2 − -- -- − --− -− · − · − 2 3 3 2 2 3 3 2 3 - - 2) = = = 4; - 1- -21 2 1 -− - − - − − - 2- -32 3 6 √ √ √ √ √ √ √ √ (1− 2)|1+ 2|−(1+ 2)|1− 2| (1− 2)(1+ 2)−(1+ 2)( 2−1) √ √ √ √ 3) = |1− 2|−|1+ 2| 2−1−1− 2 1−2−2+1 = = 1. −2 1)

3 Zadatak 2.

Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza a|a − b| − b|a + b| za: |a − b| − |a + b| 1) a = −1 , b = −3 ; √ √ 3) a = 2 , b = − 3 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 3.

Rjeˇsenje.

2 1 2) a = − , b = − ; 2 3 √ √ √ √ 4) a = 2 − 3 , b = 2 + 3 .

(−1) · 2 + 3 · 4 −10 (−1)| − 1 − (−3)| − (−3)| − 1 + (−3)| = = = 5; | − 1 − (−3)| − | − 1 + (−3)| 2−4 −2    -  1 -- 1 2 2 -- 1 2 1 1 2 7 − − − − -- − − − + − -− · + · 2 2 3 3 2 3   - 2) = 2 6 3 6 - 1 - - 1 1 7 2 2 -− − − - − -− + − − - 2 6 6 3 2 3 1 14 − + 14 1 28 − 3 25 12 18 = = − = = ; −1 18 12 - 36 36 √ --√ √ -√ √ -√ -√ √ √ √ √ √ 2 - 2 − (− 3)- − (− 3) - 2 + (− 3)2( 2 + 3) + 3( 3 − 2) -√ √ √ √ √ 3) = √ -- --√ √ -2+ 3− 3+ 2 - 2 − (− 3)- − - 2 + (− 3)√ √ √ 2+ 6+3− 6 5 5 2 √ = = √ = 4 2 -2 2 2 √ √ √ -√ √ √ √ -√ -- √ √ √ √ -( 2 − 3) -( 2 − 3) − ( 2 + 3)- − ( 2 + 3) -( 2 − 3) + ( 2 + 3)-√ 4) √ √ √ √ -- -- √ √ √ --( 2 − 3) − ( 2 + 3)- − -( 2 − 3) + ( 2 + 3)√ √ √ √ √ √ √ √ 2 6−6−4−2 6 −5 ( 2 − 3) · 2 3 − ( 2 + 3) · 2 2 √ √ √ √ √ = = √ = 2( 3 − 2) 3− 2 √ 2 3−2 2 √ √ √ −5( 3 + 2) = = −5( 3 + 2) . 1 1)

Koliko je: -6 8√ 2) |1 − 2| ; 1) - − -- ; 7 9 √ √ ˙ ; 3) | 2 − 1.414| ; 4) | 6 − 2.4˙ 5| √ √ √ √ 5) |1 + 2 − 5| ; 6) |1 − 2 − 5| ? -6 8- 8 6 1) - − -- = − , jer je 6 · 9 < 7 · 8 ; 7 9 9 7 √ √ √ 2) |1 − 2| = 2 − 1 , jer je 1 < 2 ; √ √ √ 3) | 2 − 1.414| = 2 − 1.414 , jer je 2 > 1.414 ; √ √ √ ˙ = 2.4˙ 5˙ − 6 ; 4) 6 ≈ 2.449 < 2.4˙ 5˙ , te je stoga | 6 − 2.4˙ 5| √ √ √ √ 5) |1 + 2 − 5| = 1 + 2 − 5 ; √ √ √ √ 6) |1 − 2 − 5| = −1 + 2 + 5 .

163

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 4.

Izraˇcunaj: √ √ |x − 1| − |y + 1| , za x = 2, y = − 3 ; |x + y| √ √ |a−b| − |a+b| , za a=2− 2, b=3− 3 . 2) |a+b−1| √ √ √ √ √ √ −( 3 − 2) 2 − 1 − ( 3 − 1) | 2 − 1| − | − 3 + 1| √ √ √ √ √ = = √ = −1 ; 1) | 2 + − 3| 3− 2 3− 2 √ √ √ √ √ √ √ √ |2− 2−(3− 3)|−|2− 2+(3− 3)| |2− 2−3 + 3|−|2− 2 + 3− 3| √ √ √ √ 2) = |2− 3)−1|√ 3−1| √ √ 2+(3− √ |2−√2 + 3− √ √ √ | − 1 − 2 + 3| − |5 − 2 − 3| 1 + 2 − 3 − (5 − 2 − 3) √ √ √ √ = = |4 − 2 − 3| 4− 2− 3 √ √ √ √ √ 2 2−4 1+ 2− 3−5+ 2+ 3 √ √ √ √ . = = 4− 2− 3 4− 2− 3 1)

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Izraˇcunaj: .√ .√ √ √ ( 2 − 3)2 − ( 3 − 2)2 ; 1) .√ √ .√ . √ (1− 2)2 − ( 2− 3)2 − ( 3−2)2 ; 2) .√ . √ . √ (1− 2)2 − ( 2−2)2 + (2 2−3)2 . 3) .√ .√ -√ √ √ √ -- --√ √ -1) ( 2 − 3)2 − ( 3 − 2)2 = - 2 − 3- − - 3 − 2√ √ √ √ = 3 − 2 − ( 3 − 2) = 0 ; . .√ .√ √ √ 2) (1 − 2)2 − ( 2 − 3)2 − ( 3 − 2)2 √ -- --√ √ -- --√ = -1 − 2- − - 2 − 3- − - 3 − 2√ √ √ √ √ √ √ √ √ = 2−1−( 3− 2)−(2− 3) = 2−1− 3+ 2−2+ 3 = 2 2−3 ; .√ . √ . √ 3) (1 − 2)2 − ( 2 − 2)2 + (2 2 − 3)2 - - √ - √ √ -- --√ √ √ - = -1 − 2- − - 2 − 2- + -2 2 − 3- = 2 − 1 − (2 − 2) + 3 − 2 2 √ √ √ = 2 − 1 − 2 + 2 + 3 − 2 2 = 0. Izraˇcunaj:

√ 1) ||x| − 1| za x = 1 − 2 ; √ √ 2) ||x − 2| − 2| za x = 2 ; 3) |||x − 1| − 2| − 3| za x = π ; √ 4) |1 − |1 − |1 − x||| za x = 2 ;

√ 3; √ 6) |x − 1| + |x − 2| − |x − 3| za x = 5 . - -√ - -√ √ √ - - 1) -|1 − 2| − 1- = - 2 − 1 − 1- = - 2 − 2- = 2 − 2 ; 5) |x − 3| − |x − 2| − |x − 1| za x =

Rjeˇsenje.

164

3 -√ √ -- -√ -- -√ √ √ -2) -| 2 − 2| − 2- = -2 − 2 − 2- = -2 − 2 2- = 2 2 − 2 ; 3) |||π − 1| − 2| − 3| = ||π − 1 − 2| − 3| = |π − 3 − 3| = 6 − π ; -- √ √ ---- -√ ------ -√ --- 4) -1 − -1 − -1 − 2--- = -1 − -1 − ( 2 − 1)-- = -1 − -2 − 2-- = -1 − 2 + 2√ = -√ 2 −-1 ; -√ - -√ √ √ √ - - 5) - 3 − 3- − - 3 − 2- − - 3 − 1- = 3 − 3 − (2 − 3) − ( 3 − 1) √ √ √ √ = 3 − 3 − 2 + 3 − 3 + 1 = 2 − - -√ - -√ - √ 3; -√ √ √ - - 6) - 5 − 1- + - 5 − 2- − - 5 − 3- = 5 − 1 + 5 − 2 − (3 − 5) √ √ √ = 2 5 − 3 − 3 + 5 = 3 5 − 6.

Zadatak 7.

Koliko je: 1) |x − 1| za x > 1 ; 1 3) |2x + 1| za − < x < 0 ; 2 5) |3x + 2| za x < −1 ?

2) |2 − x| za x < 2 ; 3 4) |3 − 2x| za x > ; 2

Rjeˇsenje.

1) x − 1 ;

4) 2x − 3 ;

Zadatak 8.

Koliko je:

2) 2 − x ;

3) 2x + 1 ;

5) −3x − 2 .

1) |x − 1| + |x + 2| za −2 < x < 1 ; 1 2) |3 − x| − |1 − 2x| za x < ; 2 3) |x − 2| − |2x + 3| , ako je −1 < x < 1 ; 4) |3x + 2| − |1 − 4x| , ako je x < −1 ; 5) |3x + 4| − |2 − 3x| za x ∈  −3, −2 ; 6) |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| za −3 < x < −2 ? Rjeˇsenje.

1) | )x *+ − 1, | + | )x *+ + 2, | = 1 − x + x + 2 = 3 ; 0

2) | 3 − x | − | 1 − 2x | = 3 − x − 1 + 2x = x + 2 ; ) *+ , ) *+ , >0

>0

3) | )x *+ − 2, | − | )2x*+ + 3, | = 2 − x − 2x − 3 = −3x − 1 ; 0

4) | 3x + 2 | − | 1 − 4x | = −3x − 2 − 1 + 4x = x − 3 ; ) *+ , ) *+ , 0

5) | )3x*+ + 4, | − | 2 − 3x | = −3x − 4 − 2 + 3x = −6 ; ) *+ , 0

6) | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 | = −x − 1 − x − 2 + x + 3 = −x . ) *+ , ) *+ , ) *+ , − 31 ?  √ 1) x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 = |x − 2| = (x − 2 < 0 za x  2) = 2 − x ;

165

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

2)

 √ 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2 = |3x + 1| =

3x + 1 .

Zadatak 10. Rjeˇsenje.

Zadatak 11. Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

√ √ 2 −6x+9− x2 +6x+9 . Koliko je f (x) za −3 < Dana je funkcija f (x)= x √ x < 3 ? Izraˇcunaj f (− 8) .   Najprije zapiˇsimo f (x) = (x − 3)2 − (x + 3)2 = |x − 3| − √|x + 3| . Za −3 < je f (x) √ = 3 − x − x − 3 = −2x . A jer je −3 < − 8 < 3 , to je √x < 3 √ f (− 8) = 2 8 = 4 2 . √ √ 2 Dana je funkcija f (x) = √x2 + 4x √ + 4 + x − 4x + 4 . Koliko je f (x) , za −2 < x < 2 ? Izraˇcunaj f ( 2 − 3) .   Najprije zapiˇsimo f (x) = (x + 2)2 + (x − 2)2 = |x +√2| + |x √− 2| . Za −2 0 za − 1 < x < 0) = |x + 1 − 2| = |x − 1| = (x − 1 < 0 za − 1 < x < 0) = −x + 1 ; 2) |1 − |1 − x|| = (1 − x > 0 za 0 < x < 1) = |1 − 1 + x| = |x| = (x > 0 za 0 < x < 1) = x ; 3) |1 − |1 + x|| = (1 + x < 0 za x < −2) = |1 − (−1 − x)| = |x + 2| = (x + 2 < 0 za x < −2) = −x − 2 ; 4) ||x + 1| − x − 1| = (x + 1 < 0 za x < −1) = | − x − 1 − x − 1| = | − 2x − 2| = (−2x − 2 > 0 za x < −2) = −2x − 2 = −2(x + 1) .

1)

Rjeˇsenje.

  1 = 3x + 1 > 0 za x > − 3

(|x| − 1) · (x − 1) ; x2 − 2|x| + 1 x(x − 2) + |x − 2| 4) . |x − 1|(x − 2) 2)

1) Za x > 1 imamo razlomak x2 − (x − 1) − 1 x2 − x + 1 − 1 x2 − x x(x − 1) x = = 2 = = , 2 2 x −1 x −1 x −1 (x − 1)(x + 1) x+1 a za x < 1 razlomak

3 (x − 1)(x + 1) + x − 1 x2 − (−x + 1) − 1 x2 + x − 1 − 1 x2 − 1 + x − 1 = = = 2 2 x −1 x −1 x2 − 1 (x − 1)(x + 1) x+2 (x − 1)(x + 2) = , = (x − 1)(x + 1) x+1 x = −1 ; 2) Za x < 0 i x = −1 imamo razlomak −(x + 1) · (x − 1) (−x − 1) · (x − 1) x−1 = , =− x2 + 2x + 1 (x + 1)2 x+1 a za x > 0 i x = 1 vrijednost razlomka je jednaka (x − 1) · (x − 1) (x − 1)2 = 1. x2 − 2x + 1 (x − 1)2 3) Za x  0 i x = −1 imamo razlomak x(1 − x) − x + 1 x − x2 − x + 1 x−1 (1 − x)(1 + x) 1−x = =− , = = x2 + 2x + 1 (x + 1)2 (x + 1)2 x+1 x+1 za 0  x < 1 razlomak x(1 − x) − x + 1 (1 − x)(1 + x) (x − 1)(x + 1) x+1 = , =− =− x2 − 2x + 1 (x − 1)2 (x − 1)2 x−1 a za x > 1 vrijednost razlomka jednaka je x(x − 1) − x + 1 (x − 1)(x − 1) (x − 1)2 = = = 1. 2 2 x − 2x + 1 (x − 1) (x − 1)2 4) Za x < 1 razlomak je jednak (x − 2)(x − 1) x(x − 2) − x + 2 = = −1 , (−x + 1)(x − 2) −(x − 1)(x − 2) za 1 < x < 2 vrijednost razlomka jednaka je x(x − 2) − x + 2 (x − 2)(x − 1) = = 1, (x − 1)(x − 2) (x − 1)(x − 2) a za x > 2 dobije se razlomak (x − 2)(x + 1) x+1 x(x − 2) + x − 2 = = . (x − 1)(x − 2) (x − 1)(x − 2) x−1

Rjeˇsenja zadataka 3.4 Zadatak 1.

Odredi udaljenost toˇcaka A i B ako je: 1) A(3) , B(7) ; 3) A(−11) , B(−1.1) ;  1  1 5) A −3 , B −1 ; 4 3

Rjeˇsenje.

1 ; 2) A(−7) , B 2 3 5 4) A , B ; 5 3

6) A(−2.3) , B(3.45) .

1) |AB| = |xB − xA | = |7 − 3| = 4 ; -1 1 2) |AB| = |xB − xA | = - + 7-- = 7 ; 2 2 3) |AB| = |xB − xA | = | − 1.1 + 11| = 9.9 ;

167

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

- 5 3 - 16 ; 4) |AB| = |xB − xA | = -- − -- = 3 5 15 - 4 13 - 23 ; 5) |AB| = |xB − xA | = --− + -- = 3 4 12 6) |AB| = |xB − xA | = |3.45 + 2.3| = 5.75 .

Zadatak 2.

Odredi koordinatu x toˇcke T(x) i prikaˇzi tu toˇcku na brojevnom pravcu ako je: 1) |x| = 1 ;

Rjeˇsenje.

2) |x| = 2.5 ;

1 3) |x| = 3 . 3

1) T(−1) ili T(1) ; 2) T(−2.5) ili T(2.5) ;  10   10  3) T − ili T . 3 3

Zadatak 3.

Prikaˇzi na brojevnom pravcu skup svih toˇcaka T(x) za cˇ ije koordinate x vrijedi: 1) |x| < 2 ;

Rjeˇsenje.

1 2) |x|  4 ; 2

3) |x|  3 ;

4) |x| >

5 . 4

1) −2 < x < 2 ; 2) x  −

9 9 ili x  ; 2 2

3) −3  x  3 ; 4) x < −

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

168

5 5 ili x > . 4 4

Odredi koordinatu x toˇcke T(x) koja je od toˇcke: 1) A(−1) udaljena za 3; 2) B(2.2) udaljena za 1.7; 1  3 udaljena za 0.4; 4) D udaljena za 0.5. 3) C −2 5 2 1) |x − (−1)| = |x + 1| = 3 . Imamo dva sluˇcaja 1) x + 1 = −3 , x = −4 , T(−4) ili 2) x + 1 = 3 , x = 2 , T(2) ; 2) |x − 2.2| = 1.7 . Imamo dva sluˇcaja 1) x − 2.2 = −1.7 , x = 0.5 , T(0.5) ili 2) x − 2.2 = 1.7 , x = 3.9 , T(3.9) ; - 3- 13 2 3) --x + 2 -- = --x + -- = 0.4 = . Imamo dva sluˇcaja 5 5 5 13 2 13 2 11  11  1) x + = − , x = −3 , T(−3) ili 2) x + = , x=− , T − ; 55 5 5 5 5 11 4) --x − -- = 0.5 = . Imamo dva sluˇcaja 2 2 1 1 1 1 1) x − = − , x = 0 , T(0) ili 2) x − = , x = 1 , T(1) . 2 2 2 2

3 Zadatak 5.

Odredi koordinatu x toˇcke T(x) i tu toˇcku prikaˇzi na brojevnom pravcu ako je: 1) |x − 1| = 2 ; 4) |x − 3| = 1 ;

Rjeˇsenje.

2) |x + 3| = 1 ; 3 5) |2x − 1| = ; 4

3) |x + 11| = 11 ; 1 6) |3x + 2| = . 3

1) x − 1 = −2 , x = −1 , T(−1) ili x − 1 = 2 , x = 3 , T(3) ;

2) x + 3 = −1 , x = −4 , T(−4) ili x + 3 = 1 , x = −2 , T(−2) ;

3) x + 11 = −11 , x = −22 , T(−22) ili x + 11 = 11 , x = 0 , T(0) ;

4) x − 3 = −1 , x = 2 , T(2) ili x − 3 = 1 , x = 4 , T(4) ;

1 1 1 3 7 3 ili 2x − 1 = , 2x = , 5) 2x − 1 = − , 2x = , x = , T 4  4 8 8 4 4 7 7 x= , T ; 8 8

 7 7 7 1 5 1 ili 3x + 2 = , 3x = − , 6) 3x + 2 = − , 3x = − , x = − , T − 3 3 9 9 3 3 5 5 x=− , T − . 9 9

Zadatak 6.

Prikaˇzi na brojevnom pravcu skup svih toˇcaka T(x) za cˇ ije koordinate x vrijedi: 1) |x − 3|  2 ;

2) |x + 1| > 2 ;

4) |x + 5|  2 ;

5) |2 − x| < 4 ;

3) |x + 2|  2 ; 2 6) |2x + 3| > . 3

169

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

1) To su sve toˇcke koje su od toˇcke A udaljene najviˇse 2 tj. za cˇ ije koordinate x vrijedi 1  x  5 ;

2) To je skup toˇcaka koje su od toˇcke A(−1) udaljenije od 2 , tj. za cˇije koordinate x vrijedi x < −3 ili x > 1 ;

3) To su sve toˇcke koje su od toˇcke A(−2) udaljene najviˇse 2 tj. za cˇije koordinate x vrijedi −4  x  0 ;

4) To je skup toˇcaka koje su od toˇcke A(−5) udaljene najmanje 2 , tj. za cˇije koordinate x vrijedi x  −7 ili x  −3 ;

5) To je skup toˇcaka koje su od toˇcke A(2) udaljene manje od 4 , tj. za cˇije koordinate x vrijedi −2 < x < 6 ; 3 -1 2 =⇒ -x + - > . To je skup toˇcaka koje su od toˇc6) |2x + 3| > 2 3   3 3 11 1 ke A − ili udaljenije od , tj. za cˇ ije koordinate x vrijedi x < − 2 3 6 7 x>− . 6

Zadatak 7.

Odredi toˇcku T(x) za koju je: 1) |x − 1| = |x + 3| ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

1) Rijeˇc je o poloviˇstu duˇzine AB , A(1) , B(−3) , a to je toˇcka T(−1) ; 2) Rijeˇc je o poloviˇstu duˇzine AB , A(−2) , B(−4) , a to je toˇcka T(−3) . Koriste´ci se udaljenoˇsc´u toˇcaka rijeˇsi sustav nejednadˇzbi: 1) 2  |x − 2| < 4 ;

Rjeˇsenje.

170

2) |x + 2| = |x + 4| .

2) 1 < |2x + 3| < 7 ;

3)

5 1  |1 − x|  . 2 2

1) To je presjek skupa toˇcaka koje su od toˇcke A(2) udaljene najmanje 2 i skupa toˇcaka koje su od toˇcke A(2) udaljene manje od 4 , tj. ( −∞, 0] ∪ [4, +∞ )∩ ( −2, 6 ) , odnosno  −2, 0] ∪ [4, 6 ; 1 -3 -- 7 2) 1 < |2x + 3| < 7 , < -x + - < . To je presjek skupa toˇcaka koje su od 2 2 2     3 3 1 toˇcke A − i skupa toˇcaka koje su od toˇcke A − udaljene viˇse od 2 2 2

3 7 , tj. ( −∞, −2 ∪  −1, +∞ ) ∩ ( −5, 2 ) , odnosno 2  −5, −2 ∪  −1, 2 ; 1 3) To je presjek skupa toˇcaka koje su od toˇcke A(1) udaljene najmanje i sku (  2 5 1 3 pa toˇcaka koje su od toˇcke A(1) udaljene njviˇse , tj. −∞, ∪ , +∞ 2 2 2    3 1 3 7 3 7 ∩ − , ∪ , , odnosno − , . 2 2 2 2 2 2

udaljene manje od

Zadatak 9.

Odredi poloviˇste P(x) duˇzine AB ako je: 1) A(5) , B(11) ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 10.

2) A(−3) , B(1) ;

 11   5  3) A − , B − . 9 6

11 + 5 = 8 , P(8) ; 2 −3 + 1 2) xP = = −1 , P(−1) ; 2  5 11 37   − + − 9 6 = − 18 = − 37 , P − 37 . 3) xP = 2 2 36 36 1) xP =

Rjeˇsenje.

Ako je P1 poloviˇste duˇzine AB , A(−4) , B(3) , a P2 poloviˇste duˇzine CD , C(−3) , D(5) , kolika je udaljenost toˇcaka P1 i P2 ?  1 1 −4 + 3 −3 + 5 = − , P 1 − , xP 2 = = 1 , P2 (1) , xP 1 = 2 2 2 2  1 - 3 |P1 P2 | = --1 − − -- = . 2 2

Zadatak 11.

Odredi toˇcku A(x) koja je simetriˇcna toˇcki B(−3) s obzirom na toˇcku C(−1) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

−3 + x = −1 slijedi x = 1 . Toˇcka je A(1) . 2  1  1 simetriˇcna je toˇcki B(x) s obzirom na toˇcku C −3 . Odredi Toˇcka A − 4 2 toˇcku B . 1 − +x 1 −1 + 4x 7 = −3 , = − , −1 + 4x = C je poloviˇste duˇzine AB . Iz 4 2 2 8 2  27  27 −28, x = − , slijedi B − . 4 4 1 , C(5) . Odredi duljinu duˇzine P1 P2 gdje je P1 Dane su toˇcke A(−3), B 2 poloviˇste duˇzine AB , a P2 poloviˇste duˇzine BC . C je poloviˇste duˇzine AB . Iz

1  5 5 2 xP 1 = = − , P1 − , 4 - 4 -2 - 11 5 |P1 P2 | = - + - = 4 . 4 4 −3 +

xP 2

1  11  +5 11 2 = , P2 , = 2 4 4

171

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 14. Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

Rjeˇsenje.

Toˇcka P1 (−2) poloviˇste je duˇzine AB , a toˇcka P2 (3) poloviˇste je duˇzine BC . Ako je B(0) , odredi duljinu duˇzine AC . xA + 0 = −2 , xA = −4 , A(−4) , 2 0 + xC = 3 , xC = 6 , C(6) , 2 |AC| = |6 − (−4)| = 10 . Toˇcka C(1) simetriˇcna je toˇcki A(−2) s obzirom na toˇcku B . Toˇcka D simetriˇcna je toˇcki C s obzirom na A , a E je simetriˇcna D s obzirom na C . Odredi poloˇzaj toˇcke E na brojevnom pravcu. 1 −2 + 1 =− . 2 2 1 + xD Toˇcka A je poloviˇste duˇzine CD , −2 = , xD = −5 , D(−5) . 2 −5 + xE , xE = 7 , E(7) . Toˇcka C je poloviˇste duˇzine DE , 1 = 2

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC , xB =

Toˇcka T2 (−2) poloviˇste je duˇzine T1 T3 . Toˇcka T3 poloviˇste je duˇzine T2 T4 , toˇcka T4 poloviˇste je duˇzine T3 T5 , toˇcka T5 poloviˇste je duˇzine T4 T6 itd. Kolika je duljina duˇzine T1 T100 ? |T1 T3 | = 2|T1 T2 | , |T1 T4 | = 3 · |T1 T2 | , |T1 T5 | = 4 · |T1 T2 | . T1 T100 | = 99 · |T1 T2 | .

Zato je

Zadatak 17.

Toˇcka T2 (−2) poloviˇste je duˇzine T1 T3 . Toˇcka T3 poloviˇste je duˇzine T1 T4 , toˇcka T4 poloviˇste je duˇzine T1 T5 , toˇcka T5 poloviˇste je duˇzine T1 T6 itd. Konaˇcno, toˇcka T10 poloviˇste je duˇzine T1 T11 . Kolika je duljina duˇzine T1 T11 ?

Rjeˇsenje.

|T1 T3 | = 2 · |T1 T2 | , |T1 T4 | = 4 · |T1 T2 | = 22 · |T1 T2 | , |T1 T5 | = 8 · |T1 T2 | = 23 |T1 T2 | . Zato je |T1 T11 | = 29 · |T1 T2 | = 512|T1 T2 | .

Rjeˇsenja zadataka 3.5 Zadatak 1. Rjeˇsenje.

Zadatak 2. Rjeˇsenje.

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

172

1) |x| = 10; 4) | − x| = 2;

2) |x| = 0.5; 5) |x| = 0;

3) |x| = −1; 6) |x| = π .

1) x = −10 ili x = 10 ; 2) x = −0.5 ili x = 0.5 ; 3) nema rjeˇsenja; 4) x = −2 ili x = 2 ; 5) x = 0 ; 6) x = −π ili x = π ; 1) |x| = x; 1) x  0 ;

2) |x| = −x. 2) nema rjeˇsenja.

1) |x − 1| = 2; 4) |x + 1| = 2;

2) |x − 2| = 1; 5) |x + 3| = 3;

1) x = −3 ili x = −1 ; 2) x = 1 ili x = 3 ; 4) x = 1 ili x = −3 ; 5) x = 0 ili x = −6 ;

3) |x − 3| = 3; 6) |x − 1| = −1. 3) x = 6 ili x = 0 ; 6) nema rjeˇsenja.

3 Zadatak 4.

1) |2x + 3| = 7; 4) |2x + 1| =

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

3 4;

2) |3x − 1| = 2;

3) |4x + 3| = 8;

5) |5x − 2| = 0.75;

6) |4x + 1| = 0.

1) 2x + 3 = 7 , 2x = 4 , x = 2 ili −2x − 3 = 7 , −2x = 10 , x = −5 ; 1 2) 3x − 1 = 2 , 3x = 3 , x = 1 ili −3x + 1 = 2 , −3x = 1 , x = − ; 3 11 5 3) 4x + 3 = 8 , 4x = 5 , x = ili −4x − 3 = 8 , −4x = 11 , x = − ; 4 4 3 1 1 3 7 7 4) 2x + 1 = , 2x = − , x = − ili −2x − 1 = , −2x = , x = − ; 4 4 8 4 4 8 5) 5x − 2 = 0.75 , 5x = 2.75 , x = 0.55 ili −5x + 2 = 0.75 , −5x = −1.25 , x = −0.25 ; 1 1 6) 4x + 1 = 0 , 4x = −1 , x = − ili −4x − 1 = 0 , −4x = 1 , x = − . 4 4 1) |2x − 3| = |x + 1|; 3) |4x + 5| = |2x − 3|; 5) |2x − 5| = |3x − 5|;

2) |3x + 1| = |2x − 1|; 4) |2x + 1| = |2x − 1|; 6) |4x + 1| = | − x|.

2 . 3 2) Iz 3x + 1 = 2x − 1 slijedi x = −2 , a iz 3x + 1 = −2x + 1 je x = 0 .

1) Iz 2x − 3 = x + 1 slijedi x = 4 , a iz 2x − 3 = −x − 1 je x =

1 3) Iz 4x + 5 = 2x − 3 slijedi x = −4 , a iz 4x + 5 = −2x + 3 je x = − . 3 4) Jednakost 2x + 1 = 2x − 1 nema rjeˇsenja, a iz 2x + 1 = −2x + 1 slijedi x = 0. 5) Iz 2x − 5 = 3x − 5 slijedi x = 0 , a iz 2x − 5 = −3x + 5 je x = 2 . 1 1 6) Iz 4x + 1 = −x slijedi x = − , a iz 4x + 1 = x je x = − . 5 3

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

1) |2x − 1| = x − 1; 3) |4x − 5| = 2x − 1; 5) |2x − 3| = 2x − 5;

2) |3x + 2| = x − 2; 4) |2x + 1| = 2x + 1; 6) |x + 1| = −x + 1.

1) Za 2x − 1  0 je 2x − 1 = x − 1 , slijedi x = 0 sˇ to ne moˇze biti rjeˇsenje 2 1 jer je x  . Za 2x − 1 < 0 je −2x + 1 = x − 1 , slijedi x = sˇ to ne moˇze 2 3 1 biti rjeˇsenje jer je x < . 2 2) Za 3x + 2  0 je 3x + 2 = x − 2 , slijedi x = −2 sˇ to ne moˇze biti rjeˇsenje 2 jer je x  − . Za 3x + 2 < 0 je −3x − 2 = x − 2 , slijedi x = 0 sˇ to ne moˇze 3 2 biti rjeˇsenje jer je x < − . 3 5 3) Za 4x − 5  0 , x  je 4x − 5 = 2x − 1 , slijedi x = 2 . Za 4x − 5 < 0 , 4 5 x < je −4x + 5 = 2x − 1 , slijedi x = 1 . 4

173

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

1 4) Za 2x + 1  0 , x  − dobivamo 2x + 1 = 2x + 1 , sˇ to vrijedi za svaki 2 1 1 1 x  − . Za 2x + 1 < 0 , x < − je −2x − 1 = 2x + 1 , slijedi x = − . 2 2 2 5) Za 2x − 3  0 je 2x − 3 = 2x − 5 , −3 = −5 sˇ to ne moˇze biti. Za 2x − 3 < 0 je −2x + 3 = 2x − 5 , slijedi x = 2 sˇ to ne moˇze biti rjeˇsenje jer je 3 x< . 2 6) Za x + 1  0 , x  −1 je x + 1 = −x − 1 , slijedi x = 0 . Za x + 1 < 0 je −x − 1 = −x + 1 , −1 = 1 sˇ to ne moˇze biti.

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

174

1) 3) 5) 7)

||x| − 1| = 2 ; ||x| − 2| = 1 ; ||x − 1| − 2| = 3 ; ||2x+1|−3|=2 ;

2) 4) 6) 8)

||x| + 3| = 4 ; ||x − 1| + 1| = 3 ; ||x + 1| − 2| = 1 ; ||3x − 1| − 2| = 1 .

1) |x| − 1 = −2 ili |x| − 1 = 2 odnosno |x| = −1 ili |x| = 3 . Prva jednakost nema rjeˇsenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjeˇsenja druge jednakosti su x = −3 ili x = 3 ; 2) |x| + 3 = −4 ili |x| + 3 = 4 odnosno |x| = −7 ili |x| = 1 . Prva jednakost nema rjeˇsenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjeˇsenja druge jednakosti su x = −1 ili x = 1 ; 3) |x| − 2 = −1 ili |x| − 2 = 1 odnosno |x| = 1 ili |x| = 3 . Rjeˇsenja prve jednakosti su x = −1 ili x = 1 , a druge x = −3 ili x = 3 . Sva rjeˇsenja polazne jednakosti su x1 = −3 , x2 = −1 , x3 = 1 , x4 = 3 ; 4) |x−1|+1 = −3 ili |x−1|+1 = 3 odnosno |x−1| = −4 ili |x−1| = 2 . Prva jednakost nema rjeˇsenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjeˇsenja druge jednakosti su x = −1 ili x = 3 ; 5) |x−1|−2 = −3 ili |x−1|−2 = 3 odnosno |x−1| = −1 ili |x−1| = 5 . Prva jednakost nema rjeˇsenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjeˇsenja druge jednakosti su x = −4 ili x = 6 ; 6) |x + 1| − 2 = −1 ili |x + 1| − 2 = 1 odnosno |x + 1| = 1 ili |x + 1| = 3 . Rjeˇsenja prve jednakosti su x = −2 ili x = 0 , a druge x = −4 ili x = 2 . Sva rjeˇsenja polazne jednakosti su x1 = −4 , x2 = −2 , x3 = 0 , x4 = 2 ; 7) |2x+1|−3 = −2 ili |2x+1|−3 = 2 odnosno |2x+1| = 1 ili |2x+1| = 5 . Rjeˇsenja prve jednakosti su x = −1 ili x = 0 , a druge x = −3 ili x = 2 . Sva rjeˇsenja polazne jednakosti su x1 = −3 , x2 = −1 , x3 = 0 , x4 = 2 ; 8) |3x−1|−2 = −1 ili |3x−1|−2 = 1 odnosno |3x−1| = 1 ili |3x−1| = 3 . 2 4 2 Rjeˇsenja prve jednakosti su x = ili x = 0 , a druge x = − ili x = . Sva 3 3 3 2 2 4 rjeˇsenja polazne jednakosti su x1 = − , x2 = 0 , x3 = , x4 = . 3 3 3 Rijeˇsi jednadˇzbe: -x − 1- 1 -= ; 1) -x − 2- 2 - 2−x - 1 -= ; 3) 2x + 1 - 3

- x+1 - = 1; 2) -2x − 3 - - 2x + 1 - - 2x + 1 -. 4) = x−3 - - x−5 -

3 Rjeˇsenje.

Ovakve nejednadˇzbe rjeˇsavaju se na temelju cˇinjenice |a| = |b| ako i samo ako je a = b ili a = −b . 1) |x − 1| 1 = / · 2|x − 2|, x = 2 |x − 2| 2 2|x − 1| = |x − 2| |2x − 2| = |x − 2| 2x − 2 = x − 2 ili 2x − 2 = −x + 2 . Rjeˇsenje prve jednakosti je x = 0 , a 4 druge x = . 3 4 Rjeˇsenja polazne jednakosti su x = 0 ili x = ; 3 Moˇze se postupati i na ovaj naˇcin: -x − 1- 1 - = slijedi x − 1 = 1 ili x − 1 = − 1 . Iz prve jednadˇzbe slijedi Iz x − 2- 2 x−2 2 x−2 2 4 x = 0 , a iz druge x = . 3 2) |x + 1| 3 = 1 / · |2x − 3|, x = |2x − 3| 2 |x + 1| = |2x − 3| x + 1 = 2x − 3 ili x + 1 = −2x + 3 . Rjeˇsenje prve jednakosti je x = 4 , a 2 druge x = . 3 2 Rjeˇsenja polazne jednakosti su x = ili x = 4 ; 3 3) |2 − x| 1 1 = / · 3|2x + 1|, x = − |2x + 1| 3 2 |6 − 3x| = |2x + 1| 6 − 3x = 2x + 1 ili 6 − 3x = −2x − 1 . Rjeˇsenje prve jednakosti je x = 1 , a druge x = 7 . Rjeˇsenja polazne jednakosti su x = 1 ili x = 7 ; 1 4) Jedno od rjeˇsenja je x = − , tada jednakost poprima oblik 0 = 0 . Uzmimo 2 1 sada x = − : 2 |2x + 1| |2x + 1| = |x − 3| |x − 5| 1 1 = / · |x − 5| · |x − 3|, x = 3, x = 5 |x − 3| |x − 5| |x − 3| = |x − 5| x − 3 = x − 5 ili x − 3 = −x + 5 . Prva jednakost nema rjeˇsenja, a rjeˇsenje druge je x = 4 . 1 Rjeˇsenja polazne jednakosti su x = − ili x = 4 ; 2

175

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

176

Rijeˇsi jednadˇzbe: - - x - - 2x - = 1; + 1) 2x − 1 - - 2x − 1 1)

- - x−1 - - x+1 - = 3. 2) − 2x − 1 - - 2x − 1 -

|x| |2x| 1 + = 1 / · |2x − 1| x = |2x − 1| |2x − 1| 2 |x| + |2x| = |2x − 1| |3x| = |2x − 1| 3x = 2x − 1 ili 3x = 1 − 2x , rjeˇsenje prve jednakosti je x = −1 , a druge 1 x= ; 5 1 Rjeˇsenja polazne jednadˇzbe su x1 = −1 , x2 = ; 5 Moglo se i ovako: - - x - - 2x -+- 2x − 1 - - 2x − 1 - = 1, - x - + 2 - x - = 1, - 2x − 1 - 2x − 1 - x - = 1, 3 -2x − 1 - x - 1 - 2x − 1 - = 3 , 1 3x = 2x − 1 ili −3x = 2x − 1 , x = −1 ili x = . 5 2) |x − 1| |x + 1| 1 + = 3 / · |2x − 1| x = |2x − 1| |2x − 1| 2 |x − 1| − |x + 1| = 3|2x − 1| |x − 1| − |x + 1| − 3|2x − 1| = 0 1 x − 1 = 0 za x = 1 , x + 1 = 0 za x = −1 , 2x − 1 = 0 , x = . Pogledaj2 mo predznake zadanih izraza unutar cˇ etiri intervala koje na brojevnom pravcu - brojevi −1 , 1 i 1 . odreduju 2 a) x < −1 ; x − 1 < 0 , x + 1 < 0 , 2x − 1 < 0 ; 1 −x + 1 + x + 1 + 6x − 3 = 0 , x = , nije u zadanom intervalu pa nije rjeˇsenje; 6 1 b) −1  x < ; x − 1 < 0 , x + 1  0 , 2x − 1 < 0 ; 2 3 −x + 1 − x − 1 + 6x − 3 = 0 , x = , nije u zadanom intervalu pa nije rjeˇsenje; 4 1 c)  x < 1 ; x − 1 < 0 , x + 1 > 0 , 2x − 1  0 ; 2 3 −x + 1 − x − 1 − 6x + 3 = 0 , x = , nije u zadanom intervalu pa nije rjeˇsenje; 8

3 d) x  1 ; x − 1  0 , x + 1 > 0 , 2x − 1 > 0 ; 1 x − 1 − x − 1 − 6x + 3 = 0 , x = , nije u zadanom intervalu pa nije rjeˇsenje; 6 Jednadˇzba nema rjeˇsenja.

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

Odredi sve realne brojeve x koji zadovoljavaju sustav nejednadˇzbi: 1- 3 3 2 -1  |3x + 2| < ; 3) < -3x − --  . 1) 1  |x − 2| < 3 ; 2) 2 4 3 2 4 1) Najprije rijeˇsimo nejednadˇzbu |x − 2|  1 . Ona je ekvivalentana sustavu nejednadˇzbi: x − 2  −1 ili x − 2  1 a njihovo je rjeˇsenje x  1 ili

x  3.

Rijeˇsimo zatim i drugu nejednadˇzbu |x − 2| < 3 . Ona je ekvivalentna nejednadˇzbi: −3 < x − 2 < 3 cˇije je rjeˇsenje −1 < x < 5. Rjeˇsenje zadatka je presjek ovih dvaju skupova rjeˇsenja: x ∈  −1, 1] ∪ [3, 5 ; 1 2) Najprije rijeˇsimo nejednadˇzbu |3x + 2|  . Ona je ekvivalentana sustavu 2 nejednadˇzbi: 1 2 5 3x  − 2

3x + 2  −

ili 3x + 2  ili 3x  −

3 2

1 2

a njihovo je rjeˇsenje x−

5 6

ili

1 x− . 2

3 Rijeˇsimo zatim i drugu nejednadˇzbu |3x + 2| < . Ona je ekvivalentna 4 nejednadˇzbi: −

3 3 < 3x + 2 < , 4 4

−

11 5 < 3x < − 4 4

cˇije je rjeˇsenje −

5 11 6 ili 3x −

a njihovo je rjeˇsenje 7 . 18 3 1 -Rijeˇsimo zatim i drugu nejednadˇzbu -3x − -  . Ona je ekvivalentna 2 4 nejednadˇzbi: x

1 3 3  3x −  , 4 2 4

−

1 5  3x  ; 4 4

cˇije je rjeˇsenje −

5 1 x . 12 12

Rjeˇsenje zadatka je presjek ovih dvaju skupova rjeˇsenja:  1 1! 7 5 x ∈ − ,− , ∪ . 12 18 18 12

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

178

2 1 = ; |2x − 1| 3|2x − 1| 2 3 3) +1= ; |3x − 6| |2x − 4| 1 2x 5) −1= . |1 − 2x| |4x − 2| 1) 1 −

2 1 −1= ; |x − 2| 2|x − 2| 2x − 1 x 4) +1= ; |4 − 2x| |x − 2|

2)

1 pa jednakost postaje 2 1 2 1− = / · 3(2x − 1) 2x − 1 3(2x − 1) 6x − 3 − 3 = 2 4 x= . 3 1 Za 2x − 1 < 0 , x < pa jednakost postaje 2 2 1 = / · 3(1 − 2x) 1− 1 − 2x 3(1 − 2x) 3 − 6x − 3 = 2 1 x=− ; 3

1) Za 2x − 1 > 0 , x >

3 2) Za x − 2 > 0 , x > 2 pa jednakost postaje 2 1 −1= / · 2(x − 2) x−2 2(x − 2) 4 − 2x + 4 = 1 1 nije rjeˇsenje; x=− 2 Za x − 2 < 0 , x < 2 pa jednakost postaje 2 1 −1= / · 2(2 − x) 2−x 2(2 − x) 4 − 4 + 2x = 1 1 x= ; 2 3) Za x − 2 > 0 , x > 2 pa jednakost postaje 2 3 +1= / · 6(x − 2) 3(x − 2) 2(x − 2) 4 + 6x − 12 = 9 17 x= ; 6 Za x − 2 < 0 , x < 2 pa jednakost postaje 2 3 +1= / · 6(2 − x) 3(2 − x) 2(2 − x) 4 + 12 − 6x = 9 7 x= ; 6 4) Za 2 − x > 0 , x < 2 pa jednakost postaje 2x − 1 x +1= / · 2(2 − x) 4 − 2x 2−x 2x − 1 + 4 − 2x = 2x 3 x= ; 2 Za 2 − x < 0 , x > 2 pa jednakost postaje 2x − 1 x +1= / · 2(x − 2) 2(x − 2) x−2 2x − 1 + 2x − 4 = 2x 5 x= ; 2 1 5) Za 1 − 2x > 0 , x < pa jednakost postaje 2 x 1 −1= / · 1 − 2x 1 − 2x 1 − 2x 1 − 1 + 2x = x x = 0;

179

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Za 1 − 2x < 0 , x >

1 pa jednakost postaje 2

1 x −1= / · 2x − 1 2x − 1 2x − 1 1 − 2x + 1 = x 2 x= . 3

Zadatak 12.

1) |x|  1; 4) |x|  −1;

Rjeˇsenje.

Zadatak 13. Rjeˇsenje.

2) |x| > 2; 5) |x| 

3) |x| < 0;

1 2;

6) |x| < 0.1

1) 0  x  1 ;

2) x < −2 ili x > 2 ; 3) nema rjeˇsenja; 1 1 4) vrijedi za svaki x ∈ R ; 5) x  − ili x  ; 6) −0.1 < x < 0.1 . 2 2

1) |x − 1|  2; 4) |x + 2|  1;

2) |x − 1| > 1; 5) |x + 5|  3;

3) |x + 1| < 3; 6) |x − 3| < 0.

1) −2  x − 1  2 , −1  x  1 ; 2) za x − 1  0 =⇒ x  1 i x − 1 > 1 =⇒ x > 2 rjeˇsenje je x > 2 , za x − 1 < 0 , x < 1 nema rjeˇsenja; 3) −1 < x + 1 < 3 , −2 < x < 2 ; 4) za x + 2  0 =⇒ x  −2 i x + 2  1 =⇒ x  −1 rjeˇsenje je x  −1 , za x + 2 < 0 =⇒ x < −2 i −x − 2  1 =⇒ x  −3 rjeˇsenje je x  −3 ; 5) −3  x + 5  3 , −8  x  −2 ; 6) nema rjeˇsenja. |2 − x|  1; 1 − |x − 2| 1 2 4) 1 − < . |1 − 2x| |6x − 3|

3 < 2; 1 + |x − 1| 2 1 3) −1< ; |x − 2| |4 − 2x|

Zadatak 14.

1)

Rjeˇsenje.

1)

2)

3 < 2 / · 1 + |x − 1| 1 + |x − 1| ) *+ , >0

3 < 2 + 2|x − 1| 2|x − 1| > 1 1 |x − 1| > 2 x−1 odnosno 2 2 x<

180

1 2

ili

x>

3 ; 2

3 0

+ ,) * |x − 2| 2)  1 . Odavde slijedi: 1 − |x − 2| )*+, >0

1 − |x − 2| > 0;

|x − 2| < 1

to jest, x − 2 > −1 ili x − 2 < 1 x > 1 ili x < 3 x ∈ 1, 3 Uz ovaj uvjet sredimo polaznu nejednadˇzbu |x − 2|  1 / · (1 − |x − 2|) 1 − |x − 2| |x − 2|  1 − |x − 2| 1 |x − 2|  2 1 1 ili x − 2  x−2− 2 2 5 3 ili x  x 2 2  (   3 5 Uz gornji uvjet rjeˇsenje polazne nejednadˇzbe je 1, ∪ ,3 ; 2 2 No mogli smo rjeˇsavanje provesti i na drugi naˇcin. Dana nejednadˇzba ekviva2|x − 2| − 1 lentna je nejednadˇzbi  0 . Odavde slijedi 2|x − 2| − 1  0 i 1 − |x − 2| 1 1 − |x − 2| > 0 , odnosno |x − 2|  i |x − 2| < 1 , druga mogu´cnost otpada. 2 Iz ovih nejednadˇzbi dobije se uvjet 1  |x − 2| < 1 2 koji je ekvivalentan sustavu nejednadˇzbi 1  −x + 2 < 1 2 a njihovo je rjeˇsenje 10, za x=2

4 − 2|x − 2| < 1 3 |x − 2| > 2

181

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

x−2 odnosno 2 2 1 x< ili 2

4) 1−

x>

7 ; 2

1 1 2 / · 3|2x − 1|, x = < |2x − 1| 3|2x − 1| 2 ) *+ , >0, za x= 12

3|2x − 1| − 3 < 2 5 |2x − 1| < ; 3 −

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

5 < 2x − 1 < 3 1 − 3

5 , 3

−

1; 3) 2x + 1 -

4 . 3

2 8 < 2x < , 3 3

- x - 1 - ; 2) x + 1- 2 - x+1 - 1 - . 4) 2x − 3 - 2

1) 1  2 / · |x − 1|, x = 1 |x − 1| ) *+ ,

>0, za x=1

2|x − 1|  1, 1 |x − 1|  ; 2 − 2)

1 1 3 1  x − 1  , x = 1 odnosno  x  , x = 1 ; 2 2 2 2 |x| |x + 1| ) *+ ,



1 / · 2|x + 1|, x = −1 2

>0, za x=−1

2|x|  |x + 1| 2|x| − |x + 1|  0 Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izraz jednak je nuli za x = 0 , a drugi za x = −1 . Brojevi −1 i 0 odreduju tri intervala unutar kojih c´emo razmatrati predznake zadanih izraza. 1) x < −1 ; x < 0 , x + 1 < 0 −2x+ x+ 1  0 , x  1 , nije rjeˇsenje jer se ne nalazi u promatranom intervalu.

182

3 2) −1 < x < 0 ; x < 0 , x − 1 > 0 (zbog uvjeta x = −1 ) 1 −2x − x − 1  0, 3x  −1, x  − . 3  ( 1 1 Iz −1 < x < 0 i x  − slijedi da je rjeˇsenje x ∈ − , 0 . 3 3 3) x  0 ; x  0 , x − 1 > 0 2x − x − 1  0, x  1. Iz x  0 i x  1 slijedi da je rjeˇsenje x ∈ [0, 1] .   1 Konaˇcno rjeˇsenje je unija pojedinih sluˇcaja, a to je x ∈ − , 1 , odnosno 3 1 −  x  1; 3 3) |x − 1| 1 > 1 / · |2x + 1|, x = − |2x + 1| 2 ) *+ , >0, za x=− 12

|x − 1| > |2x + 1| |x − 1| − |2x + 1| > 0 Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izraz 1 1 tri jednak je nuli za x = 1 , a drugi za x = − . Brojevi − i 1 odreduju 2 2 intervala unutar kojih c´emo razmatrati predznake zadanih izraza. 1 1) x < − ; x − 1 < 0 , 2x + 1 < 0 2 −x + 1 + 2x + 1 > 0, x > −2. 1 1 Iz x < − i x > −2 slijedi da je rjeˇsenje −2 < x < − 2 2 1 1 2) − < x < 1 ; x − 1 < 0 , 2x + 1 > 0 (zbog uvjeta x = − ) 2 2 −x + 1 − 2x − 1 > 0, −3x > 0, x < 0. 1 1 Iz − < x < 1 i x < 0 slijedi da je rjeˇsenje − < x < 0 . 2 2 3) x  1 ; x − 1  0 , 2x + 1 > 0 x − 1 − 2x − 1 > 0, −x > 2, x < −2. Nema rjeˇsenja. 1 Konaˇcno rjeˇsenje je unija pojedinih sluˇcaja, a to je x ∈  −2, 0 , x = − ; 2 4) |x + 1| 3 1 / · 2|2x − 3|, x =  |2x − 3| 2 2 ) *+ , >0, za x= 32

2|x + 1|  |2x − 3| 2|x + 1| − |2x − 3|  0

183

3

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izraz 3 3 odreduju tri jednak je nuli za x = −1 , a drugi za x = . Brojevi −1 i 2 2 intervala unutar kojih c´emo razmatrati predznake zadanih izraza. 1) x < −1 ; x + 1 < 0 , 2x − 3 < 0 −2x − 2 + 2x − 3  0, −5  0; Tvrdnja nije istinita, nema rjeˇsenja. 3 2) −1  x < ; x + 1  0 , 2x + 1 < 0 2 1 2x + 2 + 2x − 3  0, 4x  1, x  . 4 3 1 1 3 Iz −1  x < i x  slijedi da je rjeˇsenje  x < . 2 4 4 2 3 3) x > ; x + 1 > 0 , 2x − 3 > 0 2 2x + 2 − 2x + 3  0, 5  0. 3 Istinita tvrdnja, rjeˇsenje je svaki x > . 2 1 3 Konaˇcno rjeˇsenje je unija pojedinih sluˇcaja, a to je x  , x = . 4 2

184

4 Rjeˇsenja zadataka 4.1 Zadatak 1.

Nacrtaj trokut ABC , A(4, −2) , B(−3, 2) , C(0, −4) . Nacrtaj potom trokut simetriˇcan zadanom s obzirom na os apscisa i odredi koordinate njegovih vrhova.

Rjeˇsenje.

A (4, 2) , B (−3, −2) , C (0, 4) .

Zadatak 2.

Nacrtaj trokut simetriˇcan trokutu ABC , A(−3, 0) , B(0, −5) , C(3, 3) s obzirom na ishodiˇste koordinatnog sustava i odredi koordinate vrhova tog trokuta.

Rjeˇsenje.

A (3, 0) , B (0, 5) , C (−3, −3) .

Zadatak 3.

Toˇcke (1, 1) , (5, 1) i (5, −3) tri su vrha kvadrata. Odredi koordinate cˇetvrtog vrha i koordinate srediˇsta kvadrata.

Rjeˇsenje.

ˇ Cetvrti je vrh toˇcka (1, −3) , a srediˇste kvadrata je (3, −1) .

185

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 4.

Toˇcke A i B susjedni su vrhovi kvadrata ABCD . Odredi vrhove C i D ako je: 1) A(4, −2), B(4, 4);

Rjeˇsenje.

2) A(−3, 1), B(5, 1).

1)

C(−2, 4) , D(−2, −2) ili C(10, 4) , D(10, −2) ; 2)

C(5, −7) , D(−3, −7) ili C(5, 9) , D(−3, 9) .

Zadatak 5.

Toˇcke A i C suprotni su vrhovi kvadrata ABCD . Odredi ostale vrhove kvadrata ako je: 1) A(1, −6), C(1, 2); 3) A(0, −5) , C(5, 0) .

Rjeˇsenje.

1)

B(5, −2) , D(−3, −2) ;

186

2) A(−3, 2), C(3, −2);

4 2)

B(−2, −3) , D(2, 3) ; 3)

B(5, −5) , D(0, 0) .

Zadatak 6.

Kolike su duljine ortogonalnih projekcija duˇzine AB na koordinatne osi ako je: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

Zadatak 7.

A(−3, −2) , B(3, −1) ; A(−2, 1) , B(5, −3) ; A(−2, 3) , B(3, −3) ; A(−1, −4) , B(−1, 2) ?

1) Duljina ortogonalne projekcije duˇzine jedinica. 2) Duljina ortogonalne projekcije duˇzine jedinice. 3) Duljina ortogonalne projekcije duˇzine jedinica. 4) Duljina ortogonalne projekcije duˇzine jedinica.

AB na os x je 6 jedinica, a na os y 1 AB na os x je 7 jedinica, a na os y 4 AB na os x je 5 jedinica, a na os y 6 AB na os x je 0 jedinica, a na os y 6

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) u ravnini kojima koordinate zadovoljavaju uvjet: 1) x = −1 ; 3 4) y  − ; 2

2) y = 2 ;

3) x  3 ;

5) 2x−3>0 ;

6) 3y + 5 < 0 .

187

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

1) Pravac paralelan s osi ordinata, a prolazi toˇckom (−1, 0) ;

2) Pravac paralelan s osi apscisa, prolazi toˇckom (0, 2) ;

U sljede´cim cˇetirima zadatcima danim nejednakostima odredene su poluravnine. Uoˇci da rub poluravnine pripada ili ne pripada poluravnini. To ovisi je li nejednakost stroga ili nije. 3) 4)

5)

Zadatak 8.

Odredi skup svih toˇcaka T ravnine kojima koordinate x i y zadovoljavaju uvjet: 1) x + y > 0 ;

188

6)

2) x − y  0 .

4 Rjeˇsenje.

1) Kad bi bila zadana jednakost x + y = 0 , odnosno y = −x , potraˇzili bismo sve toˇcke ravnine tipa T(x, −x) , dakle toˇcke kojima su koordinate suprotni brojevi. Sve takve toˇcke pripadaju simetrali II. i IV. kvadranta. No mi imamo uvjet y > −x , pa je rijeˇc o poluravnini kojoj je granica pravac y = −x .

2) Sliˇcno kao u prethodnom zadatku, rijeˇc je o poluravnini iznad granice y = x , ali sada je ukljuˇcena i granica.

Zadatak 9.

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) ravnine kojima kooordinate x i y zadovoljavaju sustav nejednadˇzbi:

 1)  2) Rjeˇsenje.

(x + 1)(x − 2)  0; (y − 1)(y + 2)  0; (2x − 3)(x + 3)  0; (2y + 5)(y − 2)  0.

1) Rjeˇsimo prvu nejednadˇzbu: (x + 1)(x − 2)  0 1) x + 1  0, x − 2  0 x2

2) x + 1  0, x − 2  0 x  −1

Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe je svaki realni broj x , x  −1 ili x  2 . Skup - uvjetom (x + 1)(x − 2)  0 , stoga je unija dviju toˇcaka ravnine sˇto je odreden poluravnina.

189

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Sada rjeˇsimo drugu nejednadˇzbu: (y − 1)(y + 2)  0 1) y − 1  0, y + 2  0 −2  y  1

2) y − 1  0, ∅

y+20

Rjeˇsenje druge nejednadˇzbe je svaki realni broj y , −2  y  1 , sˇ to u ravnini - jednu prugu. odreduje

No rijeˇc je o sustavu nejednadˇzbi, pa kao njegovo konaˇcno rjeˇsenje valja nam odrediti presjek pojedinih rjeˇsenja.

2) Rjeˇsimo prvu nejednadˇzbu: (2x − 3)(x + 3)  0 1) 2x − 3  0, x + 3  0 3 x  , x  −3 2 3 −3  x  2

190

2) 2x − 3  0, x + 3  0 3 x  , x  −3 2 ∅

4 3 Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe je svaki realni broj x , −3  x  . Skup toˇcaka 2 - uvjetom (2x − 3)(x + 3)  0 je pruga. ravnine sˇto je odreden

Sada rjeˇsimo drugu nejednadˇzbu: (2y + 5)(y − 2)  0 2y + 5  0, y − 2  0 5 y− , y2 2 ∅

2y + 5  0, y − 2  0 5 y− , y2 2 5 − y2 2

5 Rjeˇsenje druge nejednadˇzbe je svaki realni broj y , −  y  2 , sˇ to u ravnini 2 - jednu prugu. odreduje

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek pojedinih rjeˇsenja. Skup toˇcaka je kvadrat, presjek dviju pruga.

191

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 10.

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) ravnine za koje vrijedi: 1) x(y − 1)  0 ; 3) (2x + 3)(y − 2) < 0 ;

Rjeˇsenje.

2) (x + 1)y  0 ; 4) (x − 3)(y + 1) > 0 .

1) Rjeˇsenje su sve toˇcke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x  0 i y  1 ili x  0 i y  1.

2) Rjeˇsenje su sve toˇcke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x  −1 i y  0 ili x  −1 i y  0 .

3 3) Rjeˇsenje su sve toˇcke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x < − i y > 2 ili 2 3 x > − i y < 2. 2

4) Rjeˇsenje su sve toˇcke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x > 3 i y > −1 ili x < 3 i y < −1 .

Zadatak 11.

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) ravnine za koje je: 1) |x| < 1 ; 3) |x + 1|  2 ;

192

2) |y|  2 ; 4) |y − 2|  1 .

4 Rjeˇsenje.

1) Iz |x| < 1 slijedi −1 < x < 1 , pa je rjeˇsenje pruga bez granica (slika)

2) Uvjet |y|  2 znaˇci y  −2 ili y  2 , te imamo za rjeˇsenje uniju dviju zatvorenih poluravnina (slika);

3) Uvjet |x+1|  2 znaˇci x+1  −2 ili x+1  2 odnosno x  −3 ili x  1 , te imamo za rjeˇsenje uniju dviju zatvorenih poluravnina (slika);

4) Iz |y − 2|  1 slijedi −1  y − 2  1 odnosno 1  y  3 , pa je rjeˇsenje pruga (slika).

Zadatak 12.

Prikaˇzi grafiˇcki skup svih uredenih parova (x, y) realnih brojeva x i y za koje je: 1) |x|  2 i |y|  2 ; 3) |x + 1| > 2 i |y − 1| > 3 ; 5) |x − 1| > 2 ili |y + 1| < 3 ;

Rjeˇsenje.

2) |x|  3 ili y  1 ; 4) |2x − 5|  1 ili |y + 2| > 2 ; 6) |x|  3 i |y + 1|  2 .

1) Rjeˇsenje je presjek dvaju pruga: −2  x  2 i −2  y  2 , tj. kvadrat (na slici zelenom).

193

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

2) Rjeˇsenje je presjek pruge −3  x  3 i zatvorene poluravnine za y  1 (na slici zelenom).

3) Iz |x + 1| > 2 proizlazi x + 1 < −2 ili x + 1 > 2 odnosno x < −3 ili x > 1 . Iz |y − 1| > 3 proizlazi y − 1 < −3 ili y − 1 > 3 odnosno y < −2 ili y > 4 . Rjeˇsenje je presjek poluravnina x < −3 , x > 1 s poluravninama y < −2 , y > 4 (na slici zelenom).

4) Konaˇcno rjeˇsenje je unija rjeˇsenja pojedinih nejednadˇzbi. Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe |2x − 5|  1 je −1  2x − 5  1 odnosno pruga 2  x  3.

Rjeˇsimo i drugu nejednadˇzbu. Iz |y + 2| > 2 slijedi y + 2 < −2 ili y + 2 > 2 , odnosno rjeˇsenja su poluravnine y < −4 i y > 0 .

Unija svih toˇcaka ravnine koje pripadaju dobivenoj prugi ili poluravninama je konaˇcno rjeˇsenje (na slici zelenom).

194

4

5) Konaˇcno rjeˇsenje je unija rjeˇsenja pojedinih nejednadˇzbi. Rjeˇsimo prvu nejednadˇzbu. Iz |x − 1| > 2 slijedi x − 1 < −2 ili x − 1 > 2 odnosno x < −1 ili x > 3 .

Rjeˇsimo i drugu nejednadˇzbu. Iz |y + 1| < 3 slijedi −3 < y + 1 < 3 odnosno pruga −4 < y < 2 .

Unija svih toˇcaka ravnine koje pripadaju dobivenim poluravninama iz prve jednadˇzbe ili dobivenoj prugi iz druge jednadˇzbe je konaˇcno rjeˇsenje.

195

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

6) Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja pojedinih nejednadˇzbi. Iz |x|  3 slijedi −3  x  3 (pruga).

Rjeˇsimo drugu nejednadˇzbu. Iz |y + 1|  2 slijedi −2  y + 1  2 odnosno dobije se pruga −3  y  1 .

Toˇcke ravnine koje pripadaju objema dobivenim prugama je konaˇcno rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Nacrtaj skup svih toˇcaka T(x, y) ravnine kojima kooordinate x i y zadovoljavaju sustav nejednadˇzbi: 1) 1  |x − 1| < 3 ; 3) x · y  0 i |x|  1 ; 5) x · y  0 i 1 < |x|  2 ;

Rjeˇsenje.

196

2) 1 < |y + 1|  3 ; 4) x · y  0 i |y| < 2 ; 6) x · y  0 i 1  |y|  2 .

1) Iz 1  |x−1| < 3 imamo sustav dviju nejednadˇzbi |x−1|  1 i |x−1| < 3 . Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe je x − 1  −1 ili x − 1  1 odnosno x  0 ili x  2 (dvije zatvorene poluravnine).

4

Rjeˇsenje druge nejednadˇzbe je −3 < x − 1 < 3 odnosno pruga −2 < x < 4 .

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja prve i druge nejednadˇzbe.

2) Iz 1 < |y+1|  3 imamo sustav dviju nejednadˇzbi |y+1| > 1 i |y+1|  3 . Rjeˇsenje prve nejednadˇzbe je y + 1 < −1 ili y + 1 > 1 odnosno y < −2 ili y > 0 (dvije poluravnine).

Rjeˇsenje druge nejednadˇzbe je −3  y + 1  3 odnosno pruga −4  y  2 .

197

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja prve i druge nejednadˇzbe.

3) Uvjet x · y  0 zadovoljavaju sve toˇcke iz II. i IV. kvadranta zajedno s toˇckama na koordinatnim osima.

Uvjet |x|  0 zadovoljavaju sve toˇcke T(x, y) , za koje vrijedi x  −1 ili x  1.

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja prve i druge nejednadˇzbe.

4) Uvjet x · y  0 zadovoljavaju sve toˇcke iz I. i III. kvadranta zajedno s toˇckama na koordinatnim osima.

198

4 Uvjet |y| < 2 zadovoljavaju sve toˇcke T(x, y) , za koje vrijedi −2 < y < 2 .

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja prve i druge nejednadˇzbe.

5) Uvjet x · y  0 zadovoljavaju sve toˇcke iz II. i IV. kvadranta zajedno s toˇckama na koordinatnim osima.

Uvjet 1 < |x|  2 zadovoljavaju sve toˇcke T(x, y) , za koje vrijedi x < −1 ili x > 1 i −2  x  2 odnosno −2  x < −1 ili 1 < x  2 .

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja prve i druge nejednadˇzbe.

199

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

6) Uvjet x · y  0 zadovoljavaju sve toˇcke iz I. i III. kvadranta zajedno s toˇckama na koordinatnim osima.

Uvjet 1  |y|  2 zadovoljavaju sve toˇcke T(x, y) , za koje vrijedi y  −1 ili y > 1 i −2  y  2 odnosno −2  y  −1 ili 1  y  2 .

Konaˇcno rjeˇsenje je presjek rjeˇsenja prve i druge nejednadˇzbe.

Zadatak 14.

- pojedini skup toˇcaka istaknut u koordinatnoj Zapiˇsi uvjete kojima je odreden ravnini: 1)

2)

y

1

y

x

x

-1 -1

3)

y

4) 2

x -1

200

y

x

4 Rjeˇsenje.

1) x  1 ; 2) x + 1 > 0 i y + 1 > 0 ; 4) |x|  2 i |y|  2 .

3) −1 < y  2 ;

Rjeˇsenja zadataka 4.2 Zadatak 1.

Rjeˇsenje.

Odredi udaljenost |AB| toˇcaka A i B ako je: 1) A(1, 2) , B(4, 6) ; 2) A(−3, 5) , B(5, −1) ; 3) A(1, −2) , B(−1, 2) ; 4) A(−3, 0) , B(0, −4) ; 5) A(−3, 1) , B(5, 5) ; 6) A(−11, 8) , B(9, −7) .  √ 1) |AB| = (4 − 1)2 + (6 − 2)2 = 9 + 16 = 5 ;  √ 2) |AB| = (5 − (−3))2 + (−1 − 5)2 = 64 + 36 = 10 ;  √ √ √ √ 3) |AB| = (−1 − 1)2 + (2 − (−2))2 = 4 + 16 = 20 = 4 · 5 = 2 5 ;  √ 4) |AB| = (0 − (−3))2 + (−4 − 0)2 = 9 + 16 = 5 ;  √ √ √ 5) |AB|√= (5 − (−3))2 + (5 − 1)2 = 64 + 16 = 80 = 16 · 5 = 4 5;  √ 6) |AB| = (9 − (−11))2 + (−7 − 8)2 = 400 + 225 = 25 .

Zadatak 2.

Toˇcke (0, −2) , (−4, 8) i (3, 1) pripadaju kruˇznici sa srediˇstem u toˇcki (−2, 3) . Provjeri!

Rjeˇsenje.

A = (0, −2) , B = (−4, 8) i C = (3, 1) , O = (−2, 3) .  √ √ |AO| = (−2 − 0)2 + (3 − (−2))2 = 4 + 25 = 29  √ √ |BO| = (−2 − (−4))2 + (3 − 8)2 = 4 + 25 = 29  √ √ |CO| = (−2 − 3)2 + (3 − 1)2 = 25 + 4 = 29 √ Svaka od triju danih toˇcaka jednako je, za r = 29 , udaljena od toˇcke (−2, 3) , tj. srediˇsta kruˇznice.

Zadatak 3.

Dokaˇzi da toˇcke A , B i C pripadaju jednom pravcu: 1) A(4, −2) , B(1, 2) , C(−2, 6) ; 2) A(1, −1) , B(5, 1) , C(11, 4) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

1) |AB| = 5 , |BC| = 5 , |AC| = 10 , te je |AC| = |AB| + |BC| , dapaˇce, toˇcka B poloviˇste je duˇzine AC . √ √ √ 2) Izraˇcunamo |AB| = 2 5 , |BC| = 3 5 , |AC| = 5 5 , te vidimo da je |AB| + |BC| = |AC| , sˇ to znaˇci da toˇcke A , B i C pripadaju jednom pravcu. Provjeri da je trokut ABC jednakokraˇcan ako su njegovi vrhovi toˇcke: 1) A(0, −3) , B(2, 3) , C(6, −1) ; 2) A(3, −1) , B(9, 5) , C(2, 6) .  √ √ 1) |AB| = (2 − 0)2 + (3 − (−3))2 = 4 + 36 = 40 ;  √ √ |AC| = (6 − 0)2 + (−1 − (−3))2 = 36 + 4 = 40 ; √ |AB| = |AC| = 40 – trokut je jednakokraˇcan;  √ √ 2) |AB| = (9 − 3)2 + (5 − (−1))2 = 36 + 36 = 72 ;

201

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

 √ √ (2 − 3)2 + (6 − (−1))2 = 1 + 49 = 50 ;  √ √ |BC| = (2 − 9)2 + (6 − 5)2 = 49 + 1 = 50 ; √ |AC| = |BC| = 50 – trokut je jednakokraˇcan.

|AC| =

Zadatak 5. Rjeˇsenje.

Zadatak 6. Rjeˇsenje.

Zadatak 7. Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Toˇcke A(−3, 1) i C(2, −4) nasuprotni su vrhovi kvadrata. Kolika je povrˇsina kvadrata? √ √ 50 = 5 2 , te je duljina Duljina dijagonale kvadrata jednaka je |AC| = √ |AC| 5 2 stranice kvadrata a = √ = √ = 5 . Stoga je povrˇsina kvadrata jednaka 2 2 P = a2 = 25 kv. jed. Duˇzina MN , M(−4, −3) , N(2, 5) , promjer je kruga. Kolika je povrˇsina kruga?  √ |MN| = 2r , |MN| = (2 − (−4))2 + (5 − (−3))2 = 36 + 64 = 10 , 2r = 10 , r = 5 , P = r2 π = 25π . Izraˇcunaj povrˇsinu jednakostraniˇcnog trokuta kojem su toˇcke A(0, 5) i B(2, 1) dva vrha.  Duljina stranice trokuta jednaka je a = |AB|√= (2 − 0)2 + (1 − 5)2 = √ √ √ 3 2 a = 5 3. 4 + 16 = 20 . Povrˇsina trokuta iznosi P = 4 Koriste´ci se obratom Pitagorina pouˇcka dokaˇzi da je trokut ABC pravokutan ako je: 1) A(2, 2) , B(6, 4) , C(5, 6) ; 2) A(5, 3) , B(4, 6) , C(−4, 0) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 9. Rjeˇsenje.

Zadatak 10. 202

1) |AB|2 = (6 − 2)2 + (4 − 2)2 = 16 + 4 = 20 , |BC|2 = (5 − 6)2 + (6 − 4)2 = 1 + 4 = 5 , |AC|2 = (5 − 2)2 + (6 − 2)2 = 9 + 16 = 25 , te je |AB|2 + |BC|2 = |AC|2 ; 2) |AB|2 = (4 − 5)2 + (6 − 3)2 = 1 + 9 = 10 ; |BC|2 = (−4 − 4)2 + (0 − 6)2 = 64 + 36 = 100 , |AC|2 = (−4 − 5)2 + (0 − 3)2 = 81 + 9 = 90 ; |BC|2 = |AB|2 + |AC|2 , hipotenuza je stranica |BC| . Toˇcke A(4, 3) , B(5, 1) , C(3, 0) vrhovi su jednakokraˇcnog pravokutnog trokuta. Provjeri! |AB|2 = (5 − 4)2 + (1 − 3)2 = 1 + 4 = 5 , |AC|2 = (3 − 4)2 + (0 − 3)2 = 1 + 9 = 10 , |BC|2 = (3 − 5)2 + (0 − 1)2 = 4 + 1 = 5 ; √ |AB| = |BC| = 5 – trokut je jednakokraˇcan. |AB|2 + |BC|2 = |AC|2 – trokut je pravokutan. Koliki je polumjer kruˇznice opisane trokutu ABC ako je A(−1, −3) , B(9, 7) , C(−3, 3) ?

4 Rjeˇsenje.

Kako je |AB|2 = (9 − (−1))2 + (7 − (−3))2 = 100 + 100 = 200 , |BC|2 = (−3 − 9)2 + (3 − 7)2 = 144 + 16 = 160 , |AC|2 = (−3 − (−1))2 + (3 − (−3))2 = 4 + 36 = 40 , |BC|2 + |AC|2 = |AB|2 , pa je trokut pravokutan. Hipotenuza pravokutnog trokuta promjer je trokutu opisane kruˇznice √ (Talesov pouˇcak). Ovdje je hipotenuza stranica AB √ , njezina je duljina 10 2 , pa je duljina polumjera opisane kruˇznice jednaka 5 2 .

Zadatak 11.

Odredi duljinu polumjera i koordinate srediˇsta kruˇznice opisane trokutu ABC ako je A(5, 5) , B(5, −1) , C(−2, −2) .

Rjeˇsenje.

Srediˇste kruˇznice opisane trokutu je toˇcka S(x, y) jednako udaljena od svih triju vrhova trokuta. No vrhovi A i B imaju istu apscisu pa c´e ordinata srediˇsta biti jednaka y = 2 , odnosno toˇcka oblika S(x, 2) . Iz uvjeta |SB| = |SC| dobije se (x − 5)2 + (2 − (−1))2 = (x + 2)2 + (−2 − 2)2 x2 − 10x + 25 + 9 = x2 + 4x + 4 + 16 −14x = −14 x = 1. Dakle, srediˇste kruˇznice je toˇcka S(1, 2) . Polumjer kruˇznice je  √ r = |AS| = (1 − 5)2 + (2 − 5)2 = 16 + 9 = 5.

Zadatak 12.

Odredi koordinate srediˇsta i duljinu polumjera kruˇznice opisane trokutu ABC ako je A(−3, 1) , B(−1, −3) , C(3, −3) .

Rjeˇsenje.

Neka je S(x, y) srediˇste kruˇznice. Tada mora vrijediti |AS| = |BS| = |CS| . Vrhovi B i C imaju istu ordinatu pa c´e apscisa srediˇsta biti jednaka x = 1 . Dakle, srediˇste je oblika S(1, y) . Iz uvjeta |AS| = |BS| dobije se (1 − (−3))2 + (y − 1)2 = (1 − (−1))2 + (y − (−3))2 16 + y2 − 2y + 1 = 4 + y2 + 6y + 9 −8y = −4 1 y= . 2  1 Tako je srediˇste kruˇznice toˇcka S 1, . 2 2

2

2

Joˇs izraˇcunamo r = |AS| = (1 + 3) +

Zadatak 13.



1 −1 2

2 = 16 +

65 1 = . 4 4

Odredi koordinate srediˇsta i polumjer kruˇznice opisane trokutu ABC ako je A(−3, 2) , B(5, −2) , C(1, 6) .

203

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

Mora vrijediti |AS| = |BS| = |CS| , S(x, y) . |AS| = |BS| (x − (−3))2 + (y − 2)2 = (x − 5)2 + (y − (−2))2 x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 10x + 25 + y2 + 4y + 4 16x − 8y − 16 = 0 8y = 16x − 16 y = 2x − 2, |AS| = |CS| 2

(x − (−3)) + (y − 2)2 = (x − 1)2 + (y − 6)2 x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 2x + 1 + y2 − 12y + 36 8x + 8y − 24 = 0 8y = 24 − 8x y = 3 − x. Izjednaˇcimo li jednadˇzbe dobivene iz gornjih uvjeta dobijemo 2x − 2 = 3 − x 5 x= . 3 5 4 5 4 Uvrstimo li x = u y = 3 − x dobijemo y = ; S , ; 3 3 3  3  √ 2  2  4 5 10 2 196 4 200 +3 + −2 = + = = . r = |AS| = 3 3 9 9 9 3

Zadatak 14. Rjeˇsenje.

Zadatak 15. Rjeˇsenje.

204

Toˇcke A(2, 1) , B(7, 1) , C(8, 4) i D(3, 4) vrhovi su paralelograma. Provjeri! √ |AB| = 52 + 02 = 5 , √ √ |BC| = 12 + 32 = 10 ,  |CD| = (−5)2 + 02 = 5 √ √ |AD| = 12 + 32 = 10 . √ |AB| = |CD| = 5 , |BC| = |AD| = 10 – cˇ etverokut je paralelogram. Toˇcke A(−3, −2) , B(2, 0) , C(1, 4) i D(−4, 2) vrhovi su paralelograma. Provjeri! Kolike su duljine dijagonala tog paralelograma? √ √ √ |AB| = 52 + 22 = 25 + 4 = 29  √ √ |BC| = (−1)2 + 42 = 1 + 16 = 17 ,  √ √ |CD| = (−5)2 + (−2)2 = 25 + 4 = 29 ,  √ √ |AD| = (−1)2 + 42 = 1 + 16 = 17 , dakle cˇ etverokut ABCD je paralelogram. Duljine njegovih dijagonala jednake su √ √ √ |AC| = 42 + 62 = 16 + 36 = 52 ,

4 |BD| =

 √ √ (−6)2 + 22 = 36 + 4 = 40 .

Zadatak 16.

Toˇcke A(−2, −1) , B(1, 0) , C(2, 3) i D(−1, 2) vrhovi su romba. Provjeri te odredi povrˇsinu romba.

Rjeˇsenje.

Najprije provjeravamo da je cˇ etverokut ABCD romb. Dovoljno je pokazati da su sve cˇetiri stranice tog cˇetverokuta jednake duljine.  √ |AB| = 32 + (−1)2 = 10 ,  √ |BC| = (−1)2 + 32 = 10 ,  √ |CD| = (−3)2 + (−1)2 = 10 , √ √ |AD| = 12 + 32 = 10 ; √ Uistinu, |AB| = |BC| = |CD| = |AD| = 10 . Duljine su dijagonala romba √ √ √ e = |AC| = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 ,  √ √ f = |BD| = (−2)2 + 22 = 4 + 4 = 8 , a kako je romb cˇetverokut s okomitim dijagonalama, njegova povrˇsina jednaka 1 je P = ef = 8 . 2

Zadatak 17.

ˇ Cetverokut ABCD je pravokutnik. Provjeri to i odredi povrˇsinu pravokutnika ako je: 1) A(−3, 0) , B(3, −6) , C(6, −3) , D(0, 3) ; 2) A(−2, 1) , B(0, −3) , C(8, 1) , D(6, 5) .

Rjeˇsenje.

1) |AB|2 = 62 + (−6)2 = 36 + 36 = 72 , |BC|2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 , |CD|2 = (−6)2 + 62 = 36 + 36 = 72 , |AD|2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 . Dakle, cˇ etverokut ABCD jest paralelogram. No joˇs je i |AC|2 = 92 + (−3)2 = 81 + 9 = 90 , |BD|2 = (−3)2 + 92 = 9 + 81 = 90 , sˇ to znaˇci da je pravokutnik. Njegova je povrˇsina √ √ P = |AB||BC| = 6 2 · 3 2 = 36. 2) |AB|2 = 22 + (−4)2 = 4 + 16 = 20 , |BC|2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80 , |CD|2 = (−2)2 + 42 = 4 + 16 = 20 , |AD|2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80 . Dakle, cˇ etverokut ABCD jest paralelogram. No joˇs je i |AC|2 = 102 + 02 = 100 , |BD|2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 , sˇ to znaˇci da je pravokutnik. Njegova je povrˇsina √ √ P = |AB||BC| = 2 5 · 4 5 = 40.

205

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 18. Rjeˇsenje.

Zadatak 19.

Odredi na osi apscisa toˇcku koja je od toˇcke A(3, 6) udaljena 10. Neka je T(x, 0) toˇcka na osi apscisa. Iz uvjeta |AT| = 10 dobijemo jednadˇzbu (x − 3)2 + 36 = 100 , odnosno (x − 3)2 = 64 . Odatle je |x − 3| = 8 pa imamo dva rjeˇsenja, dvije toˇcke: T1 (−5, 0) i T2 (11, 0) . Na osi ordinata odredi toˇcku koja je od toˇcke A(3, 2) udaljena 5.

Rjeˇsenje.

Neka je T(0, y) toˇcka na osi ordinata. Iz uvjeta |AT| = 5 dobijemo jednadˇzbu 9 + (y − 2)2 = 25 , odnosno (y − 2)2 = 16 . Odatle je |y − 2| = 4 pa imamo dvije toˇcke T1 (0, −2) i T2 (0, 6) koje zadovoljavaju postavljene uvjete.

Zadatak 20.

Toˇcka T(x, 2x − 6) jednako je udaljena od toˇcaka A(0, 4) i B(8, 0) za svaˇ je skup svih toˇcaka T s ovim ku vrijednost realnog broja x . Dokaˇzi! Sto svojstvom? Rijeˇsi isti zadatak ako je: 1) A(−2, 3) , B(6, −5) , T(x + 1, x − 2) ; 2) A(−1, 2) , B(3, 0) , T(x, 2x − 1) .

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

Jednostavno izraˇcunamo |AT|2 = x2 + (2x − 10)2 = 5x2 − 40x + 100 , te |BT|2 = (x − 8)2 + (2x − 6)2 = 5x2 − 40x + 100 . Oˇcito, |AT| = |BT| . Skup svih toˇcaka T je pravac, simetrala duˇzine AB . 1) |AT|2 = (x + 1 + 2)2 + (x − 2 − 3)2 = (x + 3)2 + (x − 5)2 , |BT|2 = (x + 1 − 6)2 + (x − 2 + 5)2 = (x − 5)2 + (x + 3)2 . |AT| = |BT| . 2) |AT|2 = (x+1)2 +(2x−1−2)2 = x2 +2x+1+4x2 −12x+9 = 5x2 −10x+10 , |BT|2 = (x − 3)2 + (2x − 1)2 = x2 − 6x + 9 + 4x2 − 4x + 1 = 5x2 − 10x + 10 . |AT| = |BT| . Odredi na osi apscisa toˇcku koja je jednako udaljena od toˇcaka: 1) A(−1, 1) i B(5, 3) ;

Rjeˇsenje.

2) A(−3, −2) i B(1, 4) .

1) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(x, 0) toˇcka koju traˇzimo, dobije se (x + 1)2 + 1 = (x − 5)2 + 9, x2 + 2x + 1 + 1 = x2 − 10x + 25 + 9, 12x = 32, 8 x= . 3 8  Tako smo dobili toˇcku T , 0 . 3 2) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(x, 0) toˇcka koju traˇzimo, dobije se (x + 3)2 + 4 = (x − 1)2 + 16, x2 + 6x + 9 + 4 = x2 − 2x + 1 + 16, 8x = 4, 1 x= . 2

206

4 Tako smo dobili toˇcku T

Zadatak 22.

1 2

Odredi na osi ordinata toˇcku koja je jednako udaljena od toˇcaka: 1) A(−3, −1) i B(5, 1) ;

Rjeˇsenje.

 ,0 .

2) A(3, 3) i B(5, −1) .

1) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(0, y) toˇcka koju traˇzimo, dobije se 9 + (y + 1)2 = 25 + (y − 1)2 , 9 + y2 + 2y + 1 = 25 + y2 − 2y + 1, 4y = 16, y = 4. Tako smo dobili toˇcku T(0, 4) . 2) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(0, y) toˇcka koju traˇzimo, dobije se 9 + (y − 3)2 = 25 + (y + 1)2 , 9 + y2 − 6y + 9 = 25 + y2 + 2y + 1, −8y = 8, y = −1. Tako smo dobili toˇcku T(0, −1) .

Zadatak 23. Rjeˇsenje.

Odredi toˇcku T(x, x) koja je jednako udaljena od toˇcaka A(5, −2) i B(6, 5) . Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane toˇcke, a T(x, x) toˇcka koju traˇzimo, dobije se (x − 5)2 + (x + 2)2 = (x − 6)2 + (x − 5)2 (x + 2)2 = (x − 6)2 x2 + 4x + 4 = x2 − 12x + 36 16x = 32 x=2 Tako smo dobili toˇcku T(2, 2) .

Zadatak 24.

Dane su toˇcke M(−2, −5) i N(2, −2) . Odredi na osi ordinata toˇcku T tako da kut < )MTN bude pravi.

Rjeˇsenje.

Primijenit c´ emo obrat Pitagorinog pouˇcka, tj. potraˇziti toˇcku T(0, y) tako da vrijedi |MT|2 + |NT|2 = |MN|2 . |MT|2 = 4 + (y + 5)2 |NT|2 = 4 + (y + 2)2 |MN|2 = 16 + 9 = 25.

207

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Iz gornjeg uvjeta dobijemo jednadˇzbu 4 + (y + 5)2 + 4 + (y + 2)2 = 25 8 + y2 + 10y + 25 + y2 + 4y + 4 = 25



2

2y + 14y + 12 = 0

·

1 2

y2 + 7y + 6 = 0. Polinom s lijeve strane rastavimo na faktore te imamo (y + 1)(y + 6) = 0 . Dvije toˇcke rjeˇsenja su zadatka: T1 (0, −6) i T2 (0, −1) .

Zadatak 25.

Dane su toˇcke M(4, −2) i N(7, 2) . Odredi na osi apscisa toˇcku T tako da kut < )MTN bude pravi.

Rjeˇsenje.

Primijenit c´ emo obrat Pitagorinog pouˇcka, tj. potraˇziti toˇcku T(x, 0) tako da vrijedi |MT|2 + |NT|2 = |MN|2 . |MT|2 = (x − 4)2 + 4 |NT|2 = (x − 7)2 + 4 |MN|2 = 9 + 16 = 25. Iz gornjeg uvjeta dobijemo jednadˇzbu (x − 4)2 + 4 + (x − 7)2 + 4 = 25 x2 − 8x + 16 + x2 − 14x + 49 + 8 − 25 = 0 2x2 − 22x + 48 = 0

 ·

1 2

x2 − 11x + 24 = 0. Polinom s lijeve strane rastavimo na faktore te imamo (x − 3)(x − 8) = 0 . Dvije toˇcke rjeˇsenja su zadatka: T1 (3, 0) i T2 (8, 0) .

Rjeˇsenja zadataka 4.3 Zadatak 1.

Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC ako su zadani njegovi vrhovi: 1) 2) 3) 4)

Rjeˇsenje.

A(−3, 0) , B(3, −2) , C(1, 4) ; A(−2, 1) , B(4, −3) , C(0, 5) ; A(−2, −2) , B(5, 0) , C(1, 4) ; A(0, −5) , B(5, 0) , C(−3, 3) .

1) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−3(−2 − 4) + 3(4 − 0) + 1(0 + 2)| 2 1 P = |18 + 12 + 2| 2 P = 16; P=

208

4 2) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−2(−3 − 5) + 4(5 − 1) + 0(1 + 3)| 2 1 P = |16 + 16| 2 P = 16; P=

3) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−2(0 − 4) + 5(4 + 2) + 1(−2 − 0)| 2 1 P = |8 + 30 − 2| 2 P = 18; P=

4) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |0(0 − 3) + 5(3 + 5) − 3(−5 − 0)| 2 1 P = |40 + 15| 2 55 . P= 2 P=

Zadatak 2.

Koriste´ci se formulom za povrˇsinu trokuta koji je zadan koordinatama svojih vrhova provjeri da toˇcke A , B i C pripadaju jednom pravcu: 1) A(−2, 4) , B(2, 2) , C(6, 0) ; 2) A(−4, −1, ) , B(2, 1) , C(5, 2) .

Rjeˇsenje.

1) Toˇcke A , B i C pripadaju istom pravcu ako je PABC = 0 . Provjerimo: 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−2(2 − 0) + 2(0 − 4) + 6(4 − 2)| 2 1 P = |−4 − 8 + 12| 2 P = 0; P=

Povrˇsina trokuta jednaka je nuli, a to znaˇci da sve tri toˇcke, A , B i C pripadaju jednom pravcu.

209

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

2) Toˇcke A , B i C pripadaju istom pravcu ako je PABC = 0 . Provjerimo: 1 P = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 P = |−4(1 − 2) + 2(2 + 1) + 5(−1 − 1)| 2 1 P = |4 + 6 − 10| 2 P = 0; Povrˇsina trokuta jednaka je nuli, a to znaˇci da sve tri toˇcke, A , B i C pripadaju jednom pravcu.

Zadatak 3.

Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke C tako da ta toˇcka pripada pravcu AB : 1) A(−1, 4) , B(1, 0) , C(x, −4) ; 2) A(1, −2) , B(3, 1) , C(7, y) .

Rjeˇsenje.

1) Iz uvjeta PABC = 0 dobije se: 1 0 = (xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )) 2 1 0 = (−1(0 + 4) + 1(−4 − 4) + x(4 − 0)) 2 1 0 = (−4 − 8 + 4x) 2 0 = 2x − 6 x = 3; 2) Iz uvjeta PABC = 0 dobije se: 1 0 = (xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )) 2 1 0 = (1(1 − y) + 3(y + 2) + 7(−2 − 1)) 2 1 0 = (1 − y + 3y + 6 − 21) 2 1 0 = (2y − 14) 2 0=y−7 y = 7.

Zadatak 4. Rjeˇsenje.

210

Toˇcke A(−4, 3) , B(5, y) i C(2, 1) pripadaju jednom pravcu. Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B . Iz uvjeta PABC = 0 slijedi 1 0 = (xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )) 2 1 0 = (−4(y − 1) + 5(1 − 3) + 2(3 − y)) 2 1 0 = (−4y + 4 − 10 + 6 − 2y) 2 y = 0.

4 Zadatak 5. Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Toˇcke A(−2, −3) , B(x, 3) i C(2, 9) pripadaju jednom pravcu. Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B . Iz uvjeta PABC = 0 slijedi 1 0 = (xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )) 2 1 0 = (−2(3 − 9) + x(9 + 3) + 2(−3 − 3)) 2 1 0 = (12 + 12x − 12) 2 x = 0. Odredi povrˇsinu paralelograma ABCD ako su dana tri njegova vrha: 1) B(3, 3) , C(−2, 4) , D(−5, 0) ; 2) A(−3, 1) , C(5, −3) , D(2, 0) .

Rjeˇsenje.

1) Povrˇsina paralelograma dvostruko je ve´ca od povrˇsine trokuta BCD , tj. P = 2 · PBCD ) : 1 P = 2 · |xB (yC − yD ) + xC (yD − yB ) + xD (yB − yC )| 2 P = |3(4 − 0) − 2(0 − 3) − 5(3 − 4)| P = |12 + 6 + 5| P = 23; 2) Povrˇsina paralelograma dvostruko je ve´ca od povrˇsine trokuta ACD , tj. P = 2 · PACD ) : 1 P = 2 · |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 P = |−3(−3 − 0) + 5(0 − 1) + 2(1 + 3)| P = |9 − 5 + 8| P = 12.

Zadatak 7. Rjeˇsenje.

Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC kojem su zadani vrhovi A(−2, −2) i C(7, 3) , te poloviˇste P(2, −1) stranice AB . Povrˇsina trokuta ABC dvostruko je ve´ca od povrˇsine trokuta APC . Stoga je PABC = 2 · PAPC 1 PABC = 2 · |xA (yP − yC ) + xP (yC − yA ) + xC (yA − yP )| 2 PABC = |−2(−1 − 3) + 2(3 + 2) + 7(−2 + 1)| PABC = |8 + 10 − 7| PABC = 11.

Zadatak 8.

Izraˇcunaj povrˇsinu cˇ etverokuta ABCD ako su zadani njegovi vrhovi: 1) A(−4, 0) , B(−1, −3) , C(3, −2) , D(2, 5) ; 2) A(−3, −3) , B(5, 2) , C(1, 1) , D(−2, 3) ; 3) A(1, 1) , B(1, −2) , C(3, −1) , D(4, 3) .

211

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

1) P = PABC + PACD ; 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |−4(−3 + 2) − 1(−2 − 0) + 3(0 + 3)| 2 1 PABC = |4 + 2 + 9| 2 15 ; PABC = 2 1 PACD = |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 1 PACD = |−4(−2 − 5) + 3(5 − 0) + 2(0 + 2)| 2 1 PACD = |28 + 15 + 4| 2 47 ; PACD = 2 15 47 + = 31; P= 2 2 PABC =

2) P = PABC + PACD ; 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |−3(2 − 1) + 5(1 + 3) + 1(−3 − 2)| 2 1 PABC = |−3 + 20 − 5| 2 PABC = 6; 1 PACD = |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 1 PACD = |−3(1 − 3) + 1(3 + 3) − 2(−3 − 1)| 2 1 PACD = |6 + 6 + 8| 2 PACD = 10; P = 6 + 10 = 16; PABC =

3) P = PABC + PACD ; 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 = |1(−2 + 1) + 1(−1 − 1) + 3(1 + 2)| 2 1 = |−1 − 2 + 9| 2 = 3;

PABC = PABC PABC PABC

212

4 1 |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 1 = |1(−1 − 3) + 3(3 − 1) + 4(1 + 1)| 2 1 = |−4 + 6 + 8| 2 = 5;

PACD = PACD PACD PACD

P = 3 + 5 = 8.

Zadatak 9. Rjeˇsenje.

Izraˇcunaj povrˇsinu peterokuta kojem su vrhovi toˇcke A(−3, 1) , B(−2, −3) , C(3, −2) , D(5, 2) i E(1, 5) . P = PABC + PACD + PADE . 1 PABC = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |−3(−3 + 2) − 2(−2 − 1) + 3(1 + 3)| 2 1 PABC = |3 + 6 + 12| 2 21 PABC = ; 2 1 |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| 2 1 = |−3(−2 − 2) + 3(2 − 1) + 5(1 + 2)| 2 1 = |12 + 3 + 15| 2 = 15; 1 = |xA (yD − yE ) + xD (yE − yA ) + xE (yA − yD )| 2 1 = |−3(2 − 5) + 5(5 − 1) + 1(1 − 2)| 2 1 = |9 + 20 − 1| 2 = 14; 79 21 + 15 + 14 = . P= 2 2

PACD = PACD PACD PACD PADE PADE PADE PADE

Zadatak 10.

Izraˇcunaj duljinu visine na stranicu AB trokuta ABC ako su vrhovi trokuta toˇcke A(−3, 2) , B(1, −1) i C(−3, −3) .

Rjeˇsenje.

Najprije izraˇcunamo povrˇsinu trokuta i duljinu stranice |AB| , a zatim iz 1 P = |AB| · v nalazimo v . 2 1 PABC = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |−3(−1 + 3) + 1(−3 − 2) − 3(2 + 1)| 2

213

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

1 |−6 − 5 − 9| 2 PABC = 10;  |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2  |AB| = (1 + 3)2 + (−1 − 2)2 √ |AB| = 16 + 9 PABC =

|AB| = 5 2P v= |AB| 20 v= 5 v = 4.

Zadatak 11.

Izraˇcunaj duljinu visine na stranicu BC trokuta ABC ako su vrhovi trokuta toˇcke A(1, 4) , B(−3, −2) i C(9, 3) .

Rjeˇsenje.

Najprije izraˇcunamo povrˇsinu trokuta i duljinu stranice |BC| , a zatim iz 1 P = |BC| · v nalazimo v . 2 1 PABC = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 PABC = |1(−2 − 3) − 3(3 − 4) + 9(4 + 2)| 2 1 PABC = |−5 + 3 + 54| 2 PABC = 26;  |BC| = (xC − xB )2 + (yC − yB )2  |BC| = (9 + 3)2 + (3 + 2)2 √ |BC| = 144 + 25 |BC| = 13; 2P v= |BC| 52 v= 13 v = 4.

Zadatak 12. Rjeˇsenje.

214

Odredi apscisu x toˇcke A(x, 2) ako je A jedan vrh trokuta ABC , ostala dva vrha su toˇcke B(4, −1) i C(0, 5) , a povrˇsina trokuta jednaka je 12. A(x, 2) , B(4, −1) i C(0, 5) Iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 12 imamo 1 PABC = |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 12 = |x(−1 − 5) + 4(5 − 2) + 0(2 + 1)| 2

4 1 |−6x + 12| 2 12 = |−3x + 6| 4 = |x − 2| . 12 =

Dobili smo jednadˇzbu |x − 2| = 4 , a njezina su rjeˇsenja x1 = 6 i x2 = −2 . Tako imamo toˇcke A1 (6, 2) i A2 (−2, 2) .

Zadatak 13. Rjeˇsenje.

Odredi ordinatu y toˇcke C(−1, y) ako je C vrh trokuta ABC , ostala dva vrha su toˇcke A(3, −1) i B(1, 2) , a povrˇsina trokuta iznosi 5. Iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 5 imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 5 = |3(2 − y) + 1(y + 1) − 1(−1 − 2)| 2 1 5 = |6 − 3y + y + 1 + 3| 2 1 5 = |2y − 10| 2 5 = |y − 5| .

PABC =

Dobili smo jednadˇzbu |y − 5| = 5 , a njezina su rjeˇsenja y1 = 10 i y2 = 0 . Tako imamo toˇcke C1 (−1, 10) , C2 (−1, 0) .

Zadatak 14.

Jedan vrh ABC je toˇcka A(−2, 4) , vrh B je ishodiˇste, a vrh C leˇzi na pravcu y − 2 = 0 . Odredi koordinate vrha C ako je povrˇsina trokuta jednaka 5 kv. jed.

Rjeˇsenje.

Toˇcka B je ishodiˇste, odnosno ima koordinate (0, 0) . Iz uvjeta da toˇcka C leˇzi na pravcu y − 2 = 0 , zakljuˇcujemo da su koordinate toˇcke (x, 2) . Sada iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 5 imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 5 = |−2(0 − 2) + 0(2 − 4) + x(4 − 0)| 2 1 5 = |4 + 4x| 2 5 = |2x + 2| .

PABC =

3 7 Dobili smo jednadˇzbu |2x + 2| = 5 , a njezina su rjeˇsenja x1 = i x2 = − . 2 2     3 7 , 2 i C2 − , 2 . Tako imamo toˇcke C1 2 2

Zadatak 15.

Jedan vrh ABC je u ishodiˇstu koordinatnog sustava, drugi je na pravcu x + 1 = 0 , a tre´ci je toˇcka (5, −1) . Ako je povrˇsina trokuta jednaka 8 kv. jed., odredi koordinate nepoznatog vrha trokuta.

Rjeˇsenje.

Toˇcka A je ishodiˇste A(0, 0) , B leˇzi na pravcu x + 1 = 0 , B(−1, y) , a toˇcka C ima koordinate (5, −1) . Sada iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 8

215

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 8 = |0(y + 1) − 1(−1 − 0) + 5(0 − y)| 2 1 8 = |1 − 5y| 2 16 = |1 − 5y| .

PABC =

Dobili smo jednadˇzbu |5y − 1| = 16 , a njezina  su rjeˇ senja y1 = −3 i 17 17 y2 = − . Tako imamo toˇcke B1 (−1, −3) i B2 −1, . 5 5

Zadatak 16.

Dva su vrha trokuta ABC toˇcke A(−2, 2) i B(4, 0) , a tre´ci je vrh na simetrali prvog i tre´ceg kvadranta. Ako je povrˇsina tog trokuta jednaka 8, odredi koordinate vrha C .

Rjeˇsenje.

Vrh C je na simetrali prvog i tre´ceg kvadranta, tj. na pravcu y = x , pa su mu koordinate jednake (x, x) . Sada iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 8 imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 8 = |−2(0 − x) + 4(x − 2) + x(2 − 0)| 2 1 8 = |2x + 4x − 8 + 2x| 2 1 8 = |8x − 8| 2 2 = |x − 1| .

PABC =

Dobili smo jednadˇzbu |x − 1| = 2 , a njezina su rjeˇsenja x1 = −1 i x2 = 3 . Tako imamo toˇcke C1 (−1, −1) , C2 (3, 3) .

Zadatak 17.

Dva su vrha trokuta ABC toˇcke A(−2, 1) i C(4, 3) , a tre´ci je vrh na simetrali drugog i cˇ etvrtog kvadranta. Ako je povrˇsina tog trokuta jednaka 13, odredi koordinate vrha B .

Rjeˇsenje.

Vrh B je na simetrali drugog i cˇ etvrtog kvadranta, tj. na pravcu y = −x , pa su mu koordinate jednake (x, −x) . Sada iz uvjeta da je povrˇsina trokuta jednaka 13 imamo 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 13 = |−2(−x − 3) + x(3 − 1) + 4(1 + x)| 2 1 13 = |2x + 6 + 2x + 4 + 4x| 2 1 13 = |8x + 10| 2 13 = |4x + 5| .

PABC =

216

4 9 Dobili smo jednadˇzbu |4x + 5| = 13 , a njezina su rjeˇsenja x1 = 2 i x2 = − . 2  9 9 Tako imamo toˇcke B1 (2, −2) , B2 − , . 2 2

Zadatak 18.

Toˇcke A(−3, 2) i B(5, 0) vrhovi su na osnovici jednakokraˇcnog trokuta ABC . Odredi tre´ci vrh trokuta ako mu je povrˇsina jednaka 34.

Rjeˇsenje.

Neka je C(x, y) tre´ci vrh trokuta. Povrˇsina trokuta jednaka je 34, te imamo: 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 34 = |−3(0 − y) + 5(y − 2) + x(2 − 0)| 2 1 34 = |3y + 5y − 10 + 2x| 2 1 34 = |2x + 8y − 10| 2 34 = |x + 4y − 5|

PABC =

No trokut je jednakokraˇcan, sˇ to znaˇci |AC| = |BC| : |AC|2 = |BC|2 (x + 3)2 + (y − 2)2 = (x − 5)2 + (y − 0)2 x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 10x + 25 + y2  16x − 4y − 12 = 0 :4 4x − y − 3 = 0 y = 4x − 3 Tako smo dobili sustav dviju jednadˇzbi s rjeˇsenjima koja su koordinate toˇcke C : y = 4x − 3 34 = |x + 4y − 5| 34 = |x + 4(4x − 3) − 5| 34 = |17x − 17| 1

◦

34 = −17x + 17 2 = −x + 1 x = −1, y = −7 =⇒ C1 (−1, −7)

2◦

34 = 17x − 17 2=x−1 x = 3, y = 9 =⇒ C2 (3, 9)

Dvije su toˇcke rjeˇsenja zadatka, C1 (−1, −7) i C2 (3, 9) .

Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

Vrhovi cˇ etverokuta ABCD su toˇcke A(−3, 1) , B(−1, −5) , C(5, −3) i D(3, 3) . 1) Dokaˇzi da je ovaj cˇ etverokut kvadrat. 2) Kolika je povrˇsina ovog kvadrata? ˇ 1) Cetverokut ABCD c´e biti kvadrat ako ima sve stranice jednake duljine i dijagonale jednake duljine.  √ √ |AB| = (−1 + 3)2 + (−5 − 1)2 = 4 + 36 = 40;  √ √ |BC| = (5 + 1)2 + (−3 + 5)2 = 36 + 4 = 40;

217

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA



√ √ 4 + 36 = 40;  √ √ |AD| = (3 + 3)2 + (3 − 1)2 = 36 + 4 = 40;  √ √ |AC| = (5 + 3)2 + (−3 − 1)2 = 64 + 16 = 80;  √ √ |BD| = (3 + 1)2 + (3 + 5)2 = 16 + 64 = 80; √ √ |AB| = |BC| = |CD| = |AD| = 40 ; |AC| = |BD| = 80 , 2) P = |AB|2 = 40 kv. jed. |CD| =

Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

(3 − 5)2 + (3 + 3)2 =

Vrhovi cˇ etverokuta ABCD su toˇcke A(−5, 3) , B(3, −1) , C(5, 3) i D(−3, 7) . 1) Dokaˇzi da je ovaj cˇ etverokut pravokutnik. 2) Kolika je povrˇsina tog pravokutnika? ˇ 1) Cetverokut ABCD c´ e biti pravokutnik ako ima nasuprotne stranice jednake duljine i dijagonale jednake duljine.  √ √ |AB| = (3 + 5)2 + (−1 − 3)2 = 64 + 16 = 80;  √ √ |BC| = (5 − 3)2 + (3 + 1)2 = 4 + 16 = 20;  √ √ |CD| = (−3 − 5)2 + (7 − 3)2 = 64 + 16 = 80;  √ √ |AD| = (−3 + 5)2 + (7 − 3)2 = 4 + 16 = 20;  √ |AC| = (5 + 5)2 + (3 − 3)2 = 100 = 10;  √ |BD| = (−3 − 3)2 + (7 + 1)2 = 36 + 64 = 10; √ √ |AB| = |CD| = 80 , |BC| = |AD| = 20 , |AC| = |BD| = 10 ; √ √ √ 2) P = |AB| · |BC| = 80 · 20 = 1600 = 40 kv. jed. Vrhovi cˇ etverokuta ABCD su toˇcke A(−1, 1) , B(0, −2) , C(5, 1) i D(4, 4) . 1) Dokaˇzi da je ovaj cˇ etverokut paralelogram. 2) Kolika je povrˇsina tog paralelograma? ˇ 1) Cetverokut je paralelogram ako su mu nasuprotne stranice jednake duljine. Nadimo duljine stranica:  √ √ |AB| = (0 + 1)2 + (−2 − 1)2 = 1 + 9 = 10;  √ √ |BC| = (5 − 0)2 + (1 + 2)2 = 25 + 9 = 34;  √ √ |CD| = (4 − 5)2 + (4 − 1)2 = 1 + 9 = 10;  √ √ |AD| = (4 + 1)2 + (4 − 1)2 = 25 + 9 = 34; √ √ |AB| = |CD| = 10 , |BC| = |AD| = 34 . 2) P = 2 · P(ACD) = |xA (yC − yD ) + xC (yD − yA ) + xD (yA − yC )| P = |−1(1 − 4) + 5(4 − 1) + 4(1 − 1)| P = |3 + 15| P = 18. kv. jed.

218

4 Rjeˇsenja zadataka 4.4 Zadatak 1.

Rjeˇsenje.

Odredi poloviˇste duˇzine AB ako je: 1) A(−3, −3) , B(7, 5); 2) A(−4, 1) , B(3, −1).   7−3 5−3 1) P , , P(2, 1) ; 2 2     3 − 4 −1 + 1 1 , , P − ,0 ; 2) P 2 2 2

Zadatak 2.

Odredi koordinate toˇcaka koje su simetriˇcne toˇckama A(−4, 0) , B(1, −3) , C(3, 4) i D(−1, 5) s obzirom na toˇcku S(−1, 1) .

Rjeˇsenje.

Neka su A , B , C i D redom toˇcke simetriˇcne toˇckama A , B , C i D . S(−1, 1) je poloviˇste duˇzina AA , BB , CC i DD . Sada iz formule za poloviˇste duˇzine imamo redom: xA = 2xS − xA = −2 + 4 = 2, yA = 2yS − yA = 2 − 0 = 2, A (2, 2); B (−3, 5);

xB = 2xS − xB = −2 − 1 = −3, yB = 2yS − yB = 2 + 3 = 5,

xC = 2xS − xC = −2 − 3 = −5, yC = 2yS − yC = 2 − 4 = −2, C (−5, −2); xD = 2xS − xD = −2 + 1 = −1, yD = 2yS − yD = 2 − 5 = −3, D (−1, −3).

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

Toˇcka A (−3, −5) simetriˇcna je slika toˇcke A , toˇcka B (2, 0) toˇcke B , a toˇcka C (−1, 4) toˇcke C s obzirom na toˇcku S(−2, −1) . Odredi koordinate toˇcaka A, B i C. S(−1, 1) je poloviˇste duˇzina AA , BB i CC . Sada iz formule za poloviˇste duˇzine imamo redom: xA = 2xS − xA = −4 + 3 = −1, yA = 2yS − yA = −2 + 5 = 3, A(−1, 3); xB = 2xS − xB = −4 − 2 = −6, yB = 2yS − yB = −2 − 0 = −2, B(−6, −2); xC = 2xS − xC = −4 + 1 = −3, yC = 2yS − yC = −2 − 4 = −6, C(−3, −6).

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Toˇckama B i C duˇzina AD podijeljena je na tri jednaka dijela. Odredi koordinate toˇcaka: 1) C i D , ako je A(−3, 2) , B(0, 1) ; 2) A i C , ako je B(2, −3) , D(5, 4) ; 3) A i D , ako je B(2, −1) , C(3, 1) . 1) Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xC = 2xB − xA = 0 + 3 = 3,

yC = 2yB − yA = 2 − 2 = 0,

C(3, 0);

Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xD = 2xC − xB = 6 − 0 = 6, yD = 2yC − yB = 0 − 1 = −1, D(6, −1); 2) Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xC =

2+5 7 −3 + 4 1 xB + xD yB + yD = = , yC = = = , C 2 2 2 2 2 2



7 1 , 2 2

 ;

219

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: 1 7 xA = 2xB − xC = 4 − = , 2 2

13 1 yA = 2yB − yC = −6 − = − , 2 2

 A

1 13 ,− 2 2

 ;

3) Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xA = 2xB − xC = 4 − 3 = 1,

yA = 2yB − yC = −2 − 1 = −3,

A(1, −3);

Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xD = 2xC − xB = 6 − 2 = 4,

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

yD = 2yC − yB = 2 + 1 = 3,

D(4, 3).

Toˇckama B , C i D duˇzina AE podijeljena je na cˇetiri jednaka dijela. 1) Ako je B(−3, 3) i D(1, −1) , odredi koordinate toˇcaka A, C i E ; 2) ako je C(−1, 2) i E(3, 6) , odredi koordinate toˇcaka A , B i D ; 3) ako je D(10, 0) i E(12, 1) , odredi koordinate toˇcaka A , B i C . 1) Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xC =

−3 + 1 xB + xD = = −1, 2 2

yC =

3−1 yB + yD = = 1, 2 2

C(−1, 1);

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xA = 2xB − xC = −6 + 1 = −5,

yA = 2yB − yC = 6 − 1 = 5,

A(−5, 5);

Toˇcka D je poloviˇste duˇzine CE pa imamo: xE = 2xD − xC = 2 + 1 = 3,

yE = 2yD − yC = −2 − 1 = −3,

E(3, −3);

A(−5, 5) , C(−1, 1) , E(3, −3) ; 2) Toˇcka D je poloviˇste duˇzine CE pa imamo: −1 + 3 2+6 xC + xE yC + yE = = 1, yD = = = 4, 2 2 2 2 Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo:

xD =

xB = 2xC − xD = −2 − 1 = −3,

yB = 2yC − yD = 4 − 4 = 0,

D(1, 4);

B(−3, 0);

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xA = 2xB − xC = −6 + 1 = −5,

yA = 2yB − yC = 0 − 2 = −2,

A(−5, −2);

A(−5, −2) , B(−3, 0) , D(1, 4) ; 3) Toˇcka D je poloviˇste duˇzine CE pa imamo: xC = 2xD − xE = 20 − 12 = 8,

yC = 2yD − yE = 0 − 1 = −1,

C(8, −1);

Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xB = 2xC − xD = 16 − 10 = 6,

yB = 2yC − yD = −2 − 0 = −2,

B(6, −2);

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xA = 2xB − xC = 12 − 8 = 4,

yA = 2yB − yC = −4 + 1 = −3,

A(4, −3);

A(4, −3) , B(6, −2) , C(8, −1) .

Zadatak 6. 220

Toˇckama B , C i D duˇzina AE podijeljena je na cˇetiri sukladna dijela. Ako su zadane toˇcke A(−7, 5) i C(−3, 3) , odredi koordinate toˇcaka B , D i E .

4 Rjeˇsenje.

Toˇcka B je poloviˇste duˇzine AC pa imamo: xB =

−7 − 3 xA + xC = = −5, 2 2

yB =

5+3 yA + yC = = 4, 2 2

B(−5, 4);

Toˇcka C je poloviˇste duˇzine BD pa imamo: xD = 2xC − xB = −6 + 5 = −1,

yD = 2yC − yB = 6 − 4 = 2,

D(−1, 2);

Toˇcka D je poloviˇste duˇzine CE pa imamo: xE = 2xD − xC = −2 + 3 = 1,

yE = 2yD − yC = 4 − 3 = 1,

E(1, 1);

B(−5, 4) , D(−1, 2) , E(1, 1) .

Zadatak 7. Rjeˇsenje.

Duˇzina MN , M(1, 5) , N(7, 3) , promjer je kruˇznice. U kojoj je toˇcki srediˇste kruˇznice? Kolika je duljina polumjera? Srediˇste je poloviˇste duˇzine MN : 1+7 3+5 xM + xN yM + yN = = 4, yS = = = 4, 2  2 2 2 √ r = |SM| = (4 − 1)2 + (4 − 5)2 = 10.

xS =

Zadatak 8. Rjeˇsenje.

S(4, 4);

Odredi srediˇste kruˇznice kojoj je promjer duˇzina AB , A(−4, −2) , B(4, 4) . Kolika je povrˇsina kruga omedenog tom kruˇznicom? Srediˇste je poloviˇste duˇzine AB : −4 + 4 −2 + 4 xA + xA yA + yA = = 0, yS = = = 1, 2  2 2 2 √ r = |SA| = (0 + 4)2 + (1 + 2)2 = 16 + 9 = 5;

xS =

S(0, 1);

P = r2 π = 25π .

Zadatak 9.

Izraˇcunaj udaljenosti poloviˇsta P duˇzine AB do toˇcaka A i B i uvjeri se da 1 vrijedi |PA| = |PB| = |AB| . 2

Rjeˇsenje.   2  2 xB + xA yB + yA + yA − xA − 2 2     2  2 2  2 2xA − xB − xA xA − xB 2yA − yB + yA yA − yB = + = + 2 2 2 2   1 1 1 (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = [(xA − xB )2 + (yA − yB )2 ] = 4 4 4 1 1 1 = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = |BA| = |AB|. 2 2 2

 |PA| = (xA − xP )2 + (yA − yP )2 =

221

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

  2  2 xB + xA yB + yA + yB − xB − 2 2     2  2 2  2 2yB − yB + yA yB − yA 2xB − xB − xA xB − xA = + = + 2 2 2 2   1 1 1 (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = [(xB − xA )2 + (yB − yA )2 ] = 4 4 4 1 1 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = |AB|. 2 2

 |PB| = (xB − xP )2 + (yB − yP )2 =

Zadatak 10.

Ako su A(−1, −1) i B(3, 0) dva susjedna vrha, a S(1, 2) sjeciˇste dijagonala paralelograma ABCD , odredi vrhove C i D . Izraˇcunaj povrˇsinu paralelograma.

Rjeˇsenje.

Dijagonale paralelograma se raspolovljavaju pa je toˇcka S srediˇste duˇzina AC i BD . Imamo: yC = 2yS − yA = 4 + 1 = 5, C(3, 5); xC = 2xS − xA = 2 + 1 = 3, xD = 2xS − xB = 2 − 3 = −1, yD = 2yS − yB = 4 − 0 = 4, D(−1, 4); 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 = |−1(0 − 5) + 3(5 + 1) + 3(−1 − 0)| = |5 + 18 − 3|

P = 2 · PABC = 2 ·

= 20 kv. jed.

Zadatak 11.

Toˇcke A(−1, −4) i B(6, −3) dva su vrha paralelograma ABCD , a toˇcka S(3, −1) sjeciˇste je dijagonala. 1) Odredi koordinate vrhova C i D paralelograma. 2) Kolike su duljine dijagonala paralelograma? 3) Izraˇcunaj povrˇsinu paralelograma.

Rjeˇsenje.

1) Dijagonale paralelograma se raspolovljavaju pa je toˇcka S srediˇste duˇzina AC i BD . Imamo: xC = 2xS − xA = 6 + 1 = 7, yC = 2yS − yA = −2 + 4 = 2, C(7, 2); xD = 2xS − xB = 6 − 6 = 0, yD = 2yS − yB = −2 + 3 = 1, D(0, 1); 2)

 √ (7 + 1)2 + (2 + 4)2 = 64 + 36 = 10;  √ √ √ |BD| = (0 − 6)2 + (1 + 3)2 = 36 + 16 = 50 = 5 2; |AC| =

3) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 = |−1(−3 − 2) + 6(2 + 4) + 7(−4 + 3)|

P = 2 · PABC = 2 · = |5 + 36 − 7| = 34 kv. jed.

222

4 Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadan je cˇ etverokut ABCD , A(−2, −1) , B(6, −3) , C(4, 3) , D(0, 5) . Poloviˇsta stranica cˇ etverokuta vrhovi su paralelograma. Provjeri! Dokaˇzi da je povrˇsina cˇ etverokuta ABCD dva puta ve´ca od povrˇsine paralelograma. Neka su P1 , P2 , P3 i P4 redom poloviˇsta stranica AB , BC , CD i AD . −2 + 6 = 2, 2 6+4 = 5, = 2 4+0 = 2, = 2 −2 + 0 = −1, = 2

−3 − 1 = −2, 2 −3 + 3 = 0, = 2 3+5 = 4, = 2 −1 + 5 = 2, = 2

xP 1 =

yP 1 =

P1 (2, −2)

xP 2

yP 2

P2 (5, 0)

xP 3 xP 4

yP 3 yP 4

P3 (2, 4) P4 (−1, 2)

Neka je sada P poloviˇste duˇzine P1 P3 , a P poloviˇste duˇzine P2 P4 . 2+2 −2 + 4 = 2, yP = = 1, P(2, 1) 2 2 5−1 0+2 = 2, yP = = 2, P (2, 1) xP  = 2 2 P = P , a to znaˇci da je cˇ etverokut P1 P2 P3 P4 paralelogram. xP =

P(ABCD) = P(ABD) + P(BCD) 1 = |xA (yB −yD )+xB (yD −yA )+xD (yA −yB )| 2 1 + |xB (yC −yD )+xC (yD −yB )+xD (yB −yC )| 2 1 = |−2(−3 − 5) + 6(5 + 1) + 0(−1 + 3)| 2 1 + |6(3 − 5) + 4(5 + 3) + 0(−3 − 3)| 2 1 1 = |16 + 36| + |−12 + 32| 2 2 = 26 + 10 = 36 P(P1 P2 P3 P4 ) = 2 · P(P1 P2 P3 ) = |xP1 (yP2 − yP3 ) + xP2 (yP3 − yP1 ) + xP3 (yP1 − yP2 )| = |2(0 − 4) + 5(4 + 2) + 2(−2 − 0)| = |−8 + 30 − 4| = 18 P(ABCD) = 36 , P(P1 P2 P3 P4 ) = 18 kvadratnih jedinica.

Zadatak 13.

Povrˇsina paralelograma ABCD jednaka je 14 kvadratnih jedinica. Ako su A(1, −1) i B(5, −2) dva vrha, a sjeciˇste dijagonala leˇzi na pozitivnom dijelu osi x , odredi vrhove C i D .

Rjeˇsenje.

Toˇcka S je poloviˇste dijagonale AC i nalazi se na osi x , pa je toˇcka C jednako udaljena od osi x kao i toˇcka A , i nalazi se s druge strane osi x , odnosno

223

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

ima ordinatu yC = 1 , C(xC , 1) . Isto tako zakljuˇcujemo D(xD , 2) . Pomo´cu formule za povrˇsinu trokuta 1 P(ABC) = P = 7, 2 odredimo apscisu toˇcke C : 1 7 = |1(−2 − 1) + 5(1 + 1) + xC (−1 + 2)| 2 14 = | − 3 + 10 + xC | 14 = |7 + xC |; Dobili smo jednadˇzbu |xC + 7| = 14 , xC = 7 , C(7, 1) ; Sada iz formule za srediˇste imamo: 1+7 xA + xC = = 4, S(4, 0) xS = 2 2 xD = 2xS − xB = 8 − 5 = 3, D(3, 2).

Zadatak 14.

Rjeˇsenje.

Kolike su duljine srednjica trokuta ABC ako su vrhovi trokuta toˇcke: 1) A(−3 , 1) , B(3, −5) , C(5, 7) ; 2) A(−4, 0) , B(6, −5) , C(0, 3) ? 1) 1 |AB| = 2 1 |B1 C1 | = |BC| = 2 1 |A1 C1 | = |AC| = 2 |A1 B1 | =

√ 1 1√ 1 √ (3 + 3)2 + (−5 − 1)2 = 72 = · 6 2 = 3 2; 2 2 2 √ √ √ 1 1 1 (5 − 3)2 + (7 + 5)2 = 148 = · 2 37 = 37; 2 2 2 √ 1 1 1 (5 + 3)2 + (7 − 1)2 = 100 = · 10 = 5. 2 2 2

Zadatak 15.

Toˇcke A1 (2, −3) , B1 (6, −6) , C1 (6, 0) poloviˇsta su stranica trokuta. Odredi koordinate vrhova trokuta.

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo vrhove trokuta s A(xA , yA ) , B(xB , yB ) , C(xC , yC ) , i neka je A1 poloviˇste od BC , B1 od AC , i C1 od AB . Tada imamo sustav jednadˇzbi ⎫ xA + xB = 12, ⎪ ⎬ xB + xC = 4, / · (−1) + ⎪ ⎭ xA + xC = 12 xA + xB − xB − xC + xA + xC = 20, iz kojeg se dobije xA = 10 , xB = 2 , xC = 2 . Iz sustava ⎫ yA + yB = 0, ⎪ ⎬ yB + yC = −6, / · (−1) + ⎪ ⎭ yA + yC = −12 yA + yB − yB − yC + yA + yC = −6 slijedi yA = −3 , yB = 3 , yC = −9 . Vrhovi trokuta su toˇcke A(10, −3) , B(2, 3) , C(2, −9) .

224

4 Zadatak 16.

Toˇcke P(1, −1) , Q(0, 4) i R(4, 2) poloviˇsta su stranica trokuta. Odredi koordinate vrhova trokuta.

Rjeˇsenje.

Oznaˇcimo vrhove trokuta s A(xA , yA ) , B(xB , yB ) , C(xC , yC ) , i neka je P poloviˇste od BC , Q od AC , i R od AB . Tada imamo sustav jednadˇzbi ⎫ xA + xB = 8, ⎪ ⎬ xB + xC = 2, / · (−1) + ⎪ ⎭ xA + xC = 0 xA + xB − xB − xC + xA + xC = 6, iz kojeg se dobije xA = 3 , xB = 5 , xC = −3 . Iz sustava

⎫ ⎪ ⎬ yB + yC = −2, / · (−1) + ⎪ ⎭ yA + yC = 8 yA + yB = 4,

yA + yB − yB − yC + yA + yC = 14 slijedi yA = 7 , yB = −3 , yC = 1 . Vrhovi trokuta su toˇcke A(3, 7) , B(5, −3) , C(−3, 1) .

Zadatak 17. Rjeˇsenje.

Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta ABC ako su toˇcke A1 (5, 2) , B1 (2, 3) i C1 (1, 1) poloviˇsta njegovih stranica. Odredimo vrhove trokuta. Imamo sustav jednadˇzbi: ⎫ xA + xB = 2, ⎪ ⎬ xB + xC = 10, / · (−1) + ⎪ ⎭ xA + xC = 4 xA + xB − xB − xC + xA + xC = −4, iz kojeg se dobije xA = −2 , xB = 4 , xC = 6 . ⎫ yA + yB = 2, ⎪ ⎬ yB + yC = 4, / · (−1) + ⎪ ⎭ yA + yC = 6 yA + yB − yB − yC + yA + yC = 4 slijedi yA = 2 , yB = 0 , yC = 4 . A(−2, 2) , B(4, 0) , C(6, 4) 1 |xA (yB − yC ) + xB (yC − yA ) + xC (yA − yB )| 2 1 = |−2(0 − 4) + 4(4 − 2) + 6(2 − 0)| 2 1 = |8 + 8 + 12| 2 = 14.

P=

225

4

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Moˇzemo i izravno raˇcunati povrˇsinu trokuta A1 B1 C1 , a povrˇsina trokuta ABC je cˇetiri puta ve´ca od povrˇsine trokuta A1 B1 C1 . 1 P(A1 B1 C1 ) = |xA1 (yB1 − yC1 ) + xB1 (yC1 − yA1 ) + xC1 (yA1 − yB1 )| 2 1 = |5(3 − 1) + 2(1 − 2) + 1(2 − 3)| 2 1 = |10 − 2 − 1| 2 7 = 2 7 P = 4 · = 14 . 2

226

Zadatak 18.

Dan je trokut ABC , A(−1, 1) , B(3, −1) , C(5, 3) . Toˇcka A1 poloviˇste je stranice BC , toˇcka B1 stranice AC , a toˇcka C1 stranice AB . Izraˇcunaj opsege i povrˇsine trokuta ABC i A1 B1 C1 i pokaˇzi da je opseg prvoga dvostruko, a povrˇsina cˇetverostruko ve´ca od opsega, odnosno povrˇsine drugog.

Rjeˇsenje.

Najprije odredimo poloviˇsta A1 , B1 , C1 stranica BC , AC i AB trokuta ABC .   3 + 5 −1 + 3 , A1 , A1 (4, 1) 2 2   −1 + 5 1 + 3 B1 , , B1 (2, 2) 2 2   −1 + 3 1 − 1 , C1 , C1 (1, 0). 2 2 Potom izraˇcunamo:  √ |AB| = (3 + 1)2 + (−1 − 1)2 = 20  √ |BC| = (5 − 3)2 + (3 + 1)2 = 20  √ |AC| = (5 + 1)2 + (3 − 1)2 = 40  √ |A1 B1 | = (2 − 4)2 + (2 − 1)2 = 5  √ |B1 C1 | = (1 − 2)2 + (0 − 2)2 = 5  √ |A1 C1 | = (1 − 4)2 + (0 − 1)2 = 10. Usporedimo sada opsege i povrˇsine: √ √ √ √ √ √ √ √ O(ABC) = 20 + 20 + 40 = 2 5 + 2 5 + 2 10 = 2(2 5 + 10), √ √ √ √ √ O(A1 B1 C1 ) = 5 + 5 + 10 = 2 5 + 10; 1 1 P(ABC) = | − 1(−1 − 3) + 3(3 − 1) + 5(1 + 1)| = |4 + 6 + 10| = 10, 2 2 1 5 1 O(A1 B1 C1 ) = |4(2 − 0) + 2(0 − 1) + 1(1 − 2)| = |8 − 2 − 1| = . 2 2 2 Time je tvrdnja zadatka dokazana.

5 Rjeˇsenja zadataka 5.1 Zadatak 1. Rjeˇsenje.

Zadatak 2.

Koje su od sljede´cih veliˇcina vektorske, a koje skalarne: temperatura, obujam, brzina, masa, ubrzanje, sila, elektriˇcni napon? Vektroske veliˇcine su: brzina, ubrzanje, sila. Skalarne veliˇcine su: temperatura, obujam, masa, elektriˇcni napon. Dan je paralelogram ABCD . Toˇcka O sjeciˇste je njegovih dijagonala. Promatramo skup vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka vrh paralelograma ili toˇcka O .

−→ 1) Ispiˇsi sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor AO . Ispiˇsi sve −→ vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor AO . −→ 2) Ispiˇsi sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor BD . Ispiˇsi sve −→ vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor BD . Rjeˇsenje.

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

Zadatak 4. Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

−→ −→ −→ 1) Jednak smjer kao i vektor AO imaju vektori: OA , AC , −→ −→ Jednaku orijentaciju kao i vektor AO imaju vektori: AC i −→ −→ −→ 2) Jednak smjer kao i vektor BD imaju vektori: DB , DO , −→ −→ Jednaku orijentaciju kao i vektor BD imaju vektori: BO i

−→ CA , −→ OC . −→ OD , −→ OD .

−→ −→ OC , CO . −→ −→ OB , BO .

Koliko ima vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka neka dva vrha trokuta ABC ? − → −→ − → −→ −→ −→ Ima ih 6. To su vektori AB , AC , BA , BC , CA i CB . Koliko ima vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka vrhovi cˇetverokuta ABCD ako je taj cˇ etverokut paralelogram, a koliko ako nije paralelogram? − → −→ − → − → −→ Ima ih 12 (za bilo koji cˇ etverokut). To su vektori: AB , AC , AS , BA , BC , −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ BD , CA , CB , CD , DA , DB i DC . Nacrtaj pravilan sˇ esterokut ABCDEF . Neka je S sjeciˇste dijagonala tog sˇ esterokuta. Ispiˇsi sve vektore kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka neki vrh sˇ esterokuta ili toˇcka S , a koji su −→ 1) jednaki vektoru BC ; − → 2) suprotni vektoru SA .

227

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

D

E

F

− → − → − → 1) AS , SD , FE ;

C

S A

B

− → − → −→ −→ 2) AS , SD , BC , FE .

Rjeˇsenja zadataka 5.2 Zadatak 1.

Dan je paralelogram ABCD . Neka je toˇcka S sjeciˇste njegovih dijagonala. Izraˇcunaj: − → −→ − → − → −→ −→ 1) SD + CD ; 2) AS + BS ; 3) AD + CB ; − → − → − → − → − → − → 5) AB + BS ; 6) BS + CS . 4) AB + SD ;

Rjeˇsenje.

D

E

F

C

S A

B

− → −→ −→ −→ −→ − → − → − → − → 1) SD + CD = BC + CD = BD ; 2) AS + BS = AS + SE = −→ −→ −→ − → − → − → − → − → −→ 3) AD + CB = AD + DS = AS ; 4) AB + SD = AB + BC = − → − → − → − → − → − → − → − → 5) AB + BS = AS ; 6) BS + CS = BS + SF = BF .

Zadatak 2.

− → AE ; −→ AC ;

Toˇcka S sjeciˇste je dijagonala paralelograma ABCD . Izraˇcunaj: − → − → − → 1) AS + BS + CS ; − → − → −→ 2) AB + CS + BD ; − → −→ −→ 3) AB + AC + AD ; − → − → − → − → 4) SA + SB + SC + SD .

Rjeˇsenje.

D

C

S A

B

− → − → − → − → − → − → − → − → − → − → 1) AS + BS + CS = BS + AS + CS = BS + AS + SA = BS ; − → − → −→ −→ − → − → −→ −→ − → − → 2) AB + CS + BD = BD + AB + CS == BD + DC + CS = BS ; −→ −→ − → −→ −→ − → −→ −→ −→ − → 3) AB + AC + AD = AC + AB + AD = AC + AB + BC = 2 AC ;

228

5 − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → 4) SA + SB + SC + SD = SA + SC + SB + SD = SA + AS + SB + BS = 0 .

Zadatak 3.

Neka je ABCDEF pravilan sˇ esterokut i neka je S sjeciˇste njegovih dijagonala. Izraˇcunaj: − → − → − → − → −→ − → 1) AB + EF ; 2) AB + SD ; 3) BC + ES ; − → − → −→ − → −→ − → 4) CS + EF ; 5) DE + SC ; 6) CF + AS .

Rjeˇsenje. F

1) 3) 4) 6)

Zadatak 4.

− → − → AB + EF −→ − → BC + ES − → − → CS + EF −→ − → CF + AS

A

= = = =

B

− → − → − → −→ −→ 2) AB + SD = AB + BC = AC ; − → −→ SD = ED ; −→ − → −→ −→ 5) DE + SC = DE + ED = 0 ;

Toˇcka S sjeciˇste je dijagonala pravilnog sˇ esterokuta ABCDEF . Izraˇcunaj: − → − → − → − → −→ − → 1) AB + SD + SF ; 2) AB + CD + EF ; − → − → − → − → − → − → 3) AB + AS + AF ; 4) SB + SD + SF . D

E

F

1) 2) 3) 4)

C

S A

Rjeˇsenje.

C

S

− → −→ − → SC + CB = SB ; − → −→ − → ES + BC = ES + − → − → −→ CS + SA = CA ; −→ − → −→ CF + FE = CE .

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

D

E

B

− → − → − → − → −→ − → − → AB + SD + SF = AB + BC + CS = AS ; − → −→ −→ − → − → − → AB + CD + EF = AB + BS + SA = 0 ; − → − → − → − → −→ −→ −→ AB + AS + AF = AB + BC + CD = AD ; − → − → − → − → −→ − → SB + SD + SF = SB + BC + CS = 0 .

Odredi zbroj vektora: −→ −→ −→ − → 1) AC + DB + CD + BA ; − → −→ −→ −→ 2) AB + CD + BC + DE . −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ − → −→ −→ − → 1) AC + DB + CD + BA = ( AC + CD ) + DB + BA = AD + DB + BA = − → − → AB + BA = 0 ; − → −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ −→ −→ − → 2) AB + CD + BC + DE = ( AB + BC )+( CD + DE ) = AC + CE = AE .

229

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 6.

Moˇze li zbroj vektora biti vektor manje duljine nego sˇ to je duljina svakog pojedinog pribrojnika? Moˇze li razlika vektora biti manje duljine od njihova zbroja?

Rjeˇsenje.

Zbroj vektora moˇze biti vektor manje duljine nego sˇ to je duljina svakog poje− → − → dinog pribrojnika, npr: AB + BA = 0 (A = B) . − → − → Razlika vektora moˇze biti manje duljine od njihova zbroja, npr: AB + AB = − → − → − → 2 AB , AB − AB = 0 (A = B) .

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

Zadatak 9.

Nacrtaj paralelogram ABCD i odredi njegovo srediˇste −→ −→ − → −→ 1) BC − DC ; 2) AB − BC ; 3) − → − → −→ − → 4) BS − SD ; 5) AC − SC ; 6) −→ −→ −→ −→ −→ 1) BC − DC = BC + CD = BD ; − → −→ − → −→ −→ − → −→ 2) AB − BC = AB + DA = DA + AB = DB ; − → − → − → − → − → 3) AS − BS = AS + SB = AB ; − → − → − → − → 4) BS − SD = BS − BS = 0 ; −→ − → −→ − → − → 5) AC − SC = AC + CS = AS ; − → − → − → − → − → − → − → 6) AS − SD = AS − BS = AS + SB = AB .

D

C

S B

A

Neka su A , B , C , D , E , F vrhovi pravilnog sˇ esterokuta. Provjeri jednakosti: − → −→ −→ −→ −→ − → 1) AB − DC = BC ; 2) BC − ED = AF ; −→ −→ − → − → −→ −→ 3) CD − FE = BA ; 4) AF − DE = BC . − → −→ − → − → − → − → 1) AB − DC = AB − SB = AB + BS = − → −→ AS = BC ; −→ −→ −→ − → −→ − → 2) BC − ED = BC − SC = BC + CS = − → − → F BS = AF ; −→ −→ −→ − → −→ − → 3) CD − FE = CD − SD = CD + DS = − → − → CS = BA ; → −→ − → − → − → − → − → −→ − 4) AF − DE = AF − SF = AF + FS = AS = BC .

E

2) a − b + c ;

D

C

S

A

Nacrtaj neka tri vektora a , b i c te konstruiraj sljede´ce vektore: 1) a + b − c ;

230

S . Izraˇcunaj: − → − → AS − BS ; − → − → AS − SD .

3) a − b − c .

B

5 Rjeˇsenje.

1)

a + b -c c

a +b

b a

2)

3) c

a-b +c b

c a-b a

Zadatak 10. Rjeˇsenje.

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

b

a

a-b -c b

a-b a

− → − → −→ Toˇcka T teˇziˇste je trokuta ABC . Odredi zbroj vektora TA + TB + TC . − → − → −→ − → Konstruiramo paralelogram ADBT . Tada je: TA + TB + TC = ( TA + − → −→ −→ −→ TB ) + TC = TD + TC = 0 .

Pojednostavni: − → −→ −→ −→ 1) AB − BC − CD − DA ; − → −→ −→ −→ −→ −→ 2) ( AB − BC ) − ( CD + AD ) + ( CB − CD ) . − → −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ 1) AB − BC − CD − DA = AB + CB + DC + AD = AB + CB + AD + DC −→ −→ − → −→ −→ − → − → − → − → = AB + CB + AC = AB + AC + CB = AB + AB = 2 AB ; − → −→ −→ −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ −→ −→ 2) ( AB − BC )−( CD + AD )+( CB − CD ) = AB − BC − CD − AD + CB − CD −→ −→ −→ − → −→ −→ − → −→ −→ −→ = AB + CB + DC + DA + CB + DC = DA + AB + 2( DC + CB ) −→ −→ −→ = DB + 2 DB = 3 DB . −→ −→ Dan je trapez ABCD . Dokaˇzi da je vektor AC + DB kolinearan s vektorom − → AB . −→ −→ −→ −→ − → −→ − → −→ Zapiˇsimo: AC = AD + DC = AD + k · AB , DB = AB − AD . Tada je −→ −→ − → AC + DB = (k + 1) AB .

231

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 13. Rjeˇsenje.

Zadatak 14. Rjeˇsenje.

Zadatak 15.

Rjeˇsenje.

Zadatak 16.

232

Toˇcka O srediˇste je pravilnog peterokuta ABCDE . Dokaˇzi da su vektori −→ −→ −→ −→ −→ OA + OB + OC i OD + OE kolinearni. −→ −→ D Vektor OA + OC kolinearan je s vek−→ torom OB . Oni leˇze na pravcu OB , te −→ −→ −→ je i vektor OA + OB + OC na pravcu E C OB . −→ −→ OD + OE ima smjer simetrale stranice O ED a ona leˇzi na pravcu OB . −→ −→ −→ −→ Dakle, vektori OA + OB + OC i OD + −→ B A OE leˇze na pravcu OB , tj. kolinearni su. Srednjica trokuta je duˇzina koja spaja poloviˇsta dviju stranica trokuta. Srednjica je paralelna tre´coj stranici i od nje je upola kra´ca. Dokaˇzi! Neka su M i N poloviˇsta stranica AC i BC tro−→ −→ −→ − → kuta ABC . Tada je AM + MN + NB = AB , te −→ −→ −→ CM + MN + NC = 0 . Zbrojimo li ove dvije jed−→ − → nakosti dobit c´emo izravno 2 MN = AB , odnosno → −→ 1− MN = AB . 2 Srednjica trapeza duˇzina je koja spaja poloviˇsta njegovih krakova. Srednjica je 1 paralelna osnovicama i njezina je duljina s = (a + c) , gdje su a i c duljine 2 osnovica trapeza. Dokaˇzi! Neka su M i N poloviˇsta krakova AD , odnosno BC , −→ −→ trapeza ABCD . Moˇzemo zapisati: AM + MN + −→ − → −→ −→ −→ −→ NB = AB , te DM + MN + NC = DC . Nakon −→ zbrajanja ovih dviju jednakosti dobijemo 2 MN = → −→ − → −→ −→ 1 − AB + DC , a odatle MN = ( AB + DC ) . Kako 2 − → −→ su vektori AB i DC kolinearni, iz ove jednakosti izravno slijedi tvrdnja iskazana u zadatku. −→ Ako je P poloviˇste duˇzine AB , a O neka toˇcka u ravnini, tada je OP = −→ 1 −→ ( OA + OB ) . Dokaˇzi! 2

5 Rjeˇsenje.

Zadatak 17. Rjeˇsenje.

−→ −→ − → −→ Zbrojimo li jednakosti OP = OA + AP i OP = −→ − → −→ −→ −→ OB + BP , dobit c´emo 2 · OP = OA + OB , a odatle −→ −→ 1 −→ OP = ( OA + OB ) . 2 Dokaˇzi da je duˇzina MN koja spaja poloviˇsta M i N dijagonala AC i BD trapeza ABCD paralelna s osnovicama trapeza. −→ −→ −→ 1 −→ 1 −→ Kako je AM = AC = ( AD + DC ) te AN = 2 2 → −→ −→ −→ −→ → 1 − 1 − ( AB + AD ) , to je MN = AN − AM = ( AB − 2 2 −→ − → −→ DC ) . No, vektori AB i DC su kolinearni, tj. postoji − → −→ takav realni broj k , k = 0 , za kojega je AB = k· DC . −→ −→ 1 Stoga je MN = (k − 1) DC . 2

C

D N

M

A

B

Rjeˇsenja zadataka 5.3 Zadatak 1. Rjeˇsenje.

−→ −→ Dan je paralelogram ABCD . Prikaˇzi vektore AC i BD kao linearnu kombi− → −→ naciju vektora AB i AD . D

−→ − → −→ − → −→ AC = AB + BC = AB + AD ; −→ − → −→ − → −→ BD = BA + AD = − AB + AD . B

A

Zadatak 2. Rjeˇsenje.

−→ − → Dan je paralelogram ABCD . Prikaˇzi vektore AD i AB kao linearnu kombi−→ −→ naciju vektora AC i BD . D

−→ 1 −→ 1 −→ AD = AC + BD ; 2 2 − → 1 −→ 1 −→ AB = AC − BD . 2 2 A

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

C

C

B

−→ −→ − → Dan je paralelogram ABCD . Neka je AC = a , BD = b . Izrazi vektore AB , −→ −→ BC i CD kao linearnu kombinaciju vektora a i b . − → 1 1 AB = a − b ; D 2 2 −→ 1 1 BC = a + b ; 2 2 a b −→ − → 1 1 CD = − AB = b − a ; 2 2 B A −→ −→ 1 1  DA = − BC = − a − b . 2 2

C

233

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 4.

Rjeˇsenje.

Zadatak 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 6.

Rjeˇsenje.

234

Toˇcke E, F, G i H poloviˇsta su stranica paralelograma ABCD . − → −→ AE = a , AH = b provjeri sljede´ce jednakosti: − → −→ 1) AF = 2a + b ; 2) AC = 2a + 2b ; −→ −→ 3) AG = a + 2b ; 4) BD = 2b − 2a .

Ako je

− → − → − → −→ − → −→ 1) AF = AB + BF = 2a + b ; 2) AC = AB + BC = 2a + 2b ; −→ −→ −→ 3) AG = AD + DG = 2b + a = a + 2b ; −→ − → −→ 4) BD = BA + AD = −2a + 2b = 2b − 2a . Stranica BC trokuta ABC toˇckama P i Q podijeljena je na tri jednaka dije− → −→ − → la. Izrazi vektore AP i AQ kao linearnu kombinaciju vektora AB = c i −→  AC = b . −→  BC = b − c , − → − → 1 −→ 1 AP = c + BP = c + BC = c + (b − c) = 3 3 1 2 b + c , 3 3 −→ −→ 2 −→ 2 AQ = c + BQ = c + BC = c + (b −c) = 3 3 2 1 b + c . 3 3

A

c

b

P

B

C

Q

Toˇcke D, E i F poloviˇsta su stranica BC , AC i AB trokuta ABC . Prika−→ − → −→ − → zˇ i vektore AD , BE i CF kao linearnu kombinaciju vektora AB = c i −→  AC = b . − → −→ −→ AB = c , AC = b BC = b − c −→ 1 −→ 1 1 AD = c + BC = c + (b − c) = b + 2 2 2 1 c ; 2 − → − → − → 1 BE = BA + AE = −c + b ; 2 −→ −→ − → 1 CF = CA + AF = −b + c . 2

C

E

D

b A

c F

B

5 Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

Zadatak 8.

Dan je kvadrat ABCD . Toˇckama E i F dijagonala BD kvadrata podijeljena je − → − → −→ na tri sukladna dijela. Izrazi vektore AE , AF i EF kao linearnu kombinaciju − → −→ vektora v1 = AB i v2 = AD .

− → −→ −→ − → −→ AB = v1 , AD = v1 , BD = BA + AD = −v1 + v2 − → − → 1 −→ 1 2 1 AE = AB + BD = v1 + (−v1 + v2 ) = v1 + v2 ; 3 3 3 3 − → − → 2 −→ 2 1 2 AF = AB + BD = v1 + (−v1 + v2 ) = v1 + v2 ; 3 3 3 3 − → 1 −→ 1 1 1 EF = BD = (−v1 + v2 ) = − v1 + v2 . 3 3 3 3 −→ −→ Neka je ABCDEF pravilan sˇ esterokut. Izrazi vektore BC i BD kao linearnu − → − → kombinaciju vektora AB i AF .

Rjeˇsenje.

D

E

F

C

S A

B

−→ − → − → − → − → − → − → BC = BS + SC = SC + BS = AB + AF ; −→ −→ −→ − → − → − → − → − → BD = BC + CD = ( AB + AF ) + AF = AB + 2 AF .

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

− → Toˇcke A , B , C , D , E i F vrhovi su pravilnog sˇ esterokuta. Ako je AF = e1 , − → −→ − → −→ AC = e2 , prikaˇzi vektore AB , AD i AE kao linearnu kombinaciju vektora e1 i e2 . −→ −→ − → AB = e2 + CB = e2 + OA − − → − → − → = e2 + OF + FA = e2 − AB − e1 − → − → 1 1 =⇒ 2 AB = e2 − e1 =⇒ AB = e2 − e1 ; 2 2 − → −→ −→ −→ AD = AC + CD = e1 + AF = e1 + e2 ; − → − → − → 1 3 1 1 AE = AB + BE = e2 − e1 + 2e1 = e1 + e2 . 2 2 2 2

E

F

D

C

O e1

e2 A

B

235

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 10.

Rjeˇsenje.

Zadatak 11. Rjeˇsenje.

Neka su M , N i P poloviˇsta stranica BC , AC i AB trokuta ABC . Prika−→ −→ −→ − → zˇ i vektore AM , BN i CP kao linearne kombinacije vektora AB = e1 i −→ AC = e2 . −→ BC = e1 − e1 ; −→ − → −→ 1 −→ 1 −→ AM = AB + BM = e1 + CB = e1 − BC = 2 2 1 1 1 e1 − (e1 − e1 ) = e1 + e2 ; 2 2 2 −→ − → −→ 1 BN = BA + AN = e2 − e1 ; 2 → −→ −→ − → −→ 1 − 1 CP = CA + AP = − AC + AB = e1 − e2 . 2 2

236

N e2

A

M

e1 P

U trokutu ABC toˇcke M i N poloviˇsta su stranica AB i AC . Prikaˇzi vektore − → −→ −→ −→ −→  = CM i n = BN . AB , AC i MN kao linearnu kombinaciju vektora m − → − − → AB = 2AM − → −→ − − → AB = 2(AC + CM) − → −→ AB = 2AC + 2 m − → − − → AB = 2 · 2AN + 2 m − → − → AB = 4(AB + n) + 2 m → − m −3AB = 4n + 2 − → 2 4  AB = − n − m 3 3 −→ − − → AC = 2AN −→ − → − − → AC = 2(AB + BN) −→ − → AC = 2AB + 2n −→ − − → AC = 2 · 2AM + 2n −→ −→  ) + 2n AC = 4(AC + m −→ −3AC = 4 m + 2n −→ 2 4  − n AC = − m 3 3

Zadatak 12.

C

C

N

m n

A

M

B

−−→ − − → − − → MN = MA + AN −−→ 1 − → 1 −→ MN = BA + AC 2 2 → 1 −→ −−→ 1− MN = − AB + AC 2 2 −−→ 2  1 4 2  1 4  +  − n − m MN = − − n − m 2 3 3 2 3 3 −−→ 2 1 2 1  − m  − n MN = n + m 3 3 3 3 −−→ 1 1  MN = n − m 3 3

Toˇcka M poloviˇste je stranice BC , a toˇcka N stranice CD paralelograma − → −→ −→ ABCD . Prikaˇzi vektore AB i AD kao linearne kombinacije vektora AM i −→ AN .

B

5 N

D

Rjeˇsenje.

C M B

A

− → 1 −→ − − → AB + AD = AM / · 2 2 → − − → −→ 1 − AD + AB = AN / · (−1) 2 − → −→ − − → 2AB + AD = 2AM

⎫ ⎪ ⎬

−→ 1 − → − − →⎪ − AD − AB = −AN ⎭ 2

− → − → 1 −→ − AB + AD = AM 2 → − − → −→ 1 − AD + AB = AN / · (−2) 2 ⎫ − → 1 −→ − − → ⎪ ⎬ AB + AD = AM 2 + −→ − → − − →⎪ ⎭ − 2AD − AB = −2AN

+

− → − − →   2 3 −→ − − AD = AM − 2AN · − 2 3 −→ − → 4− − → 2− AD = − AM + AN 3 3

→ − − → − − →  2 3− AB = 2AM − AN · 2 3 − → 4− − → 2− − → AB = AM − AN 3 3

Rjeˇsenja zadataka 5.4 Zadatak 1.

− → Dane su toˇcke A(4, 0) , B(1, 3) , C(−2, −1) , D(1, −1) . Odredi vektore AB , −→ −→ −→ −→ BC , CD , BD i AC . Dobivene rezultate provjeri crtanjem u koordinatnoj ravnini.

Rjeˇsenje. A(4, 0),

B(1, 3),

C(−2, −1),

D(1, −1)

 √ √ − → − → AB = (1 − 4)ı + (3 − 0)j = −3ı + 3j, |AB| = (−3)2 + (3)2 = 18 = 3 2;  −→ −→ BC = (−2 − 1)ı + (−1 − 3)j = −3ı − 4j, |BC| = (−3)2 + (−4)2 = 5  − − → − − → CD = (1 − (−2))ı + (−1 − (−1))j = 3ı, |CD| = (−3)2 = 3  −→ −→ BD = (1 − 1)ı + (−1 − 3)j = −4j, |BD| = (−4)2 = 4  √ −→ −→ AC = (−2 − 4)ı + (−1 − 0)j = −6ı − 1j, |AC| = (−6)2 + (−1)2 = 37; y 3

B

2 1 -2 -1

C

Zadatak 2.

-1 -2

x

A 1

2

3

4

5

D

− → −→ Dane su toˇcke A(−1, −3) , B(4, 1) i C(2, 4) . Odredi vektore AB , BC i −→ CA .

237

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Prikaˇzi toˇcke A , B i C u koordinatnoj ravnini i provjeri je li dobro rijeˇsen zadatak. Rjeˇsenje.

A(−1, −3),

B(4, 1),

C(2, 4)

 √ − → − → AB = (4 − (−1))ı + (1 − (−3))j = 5ı + 4j, |AB| = 52 + 42 = 41;  √ −→ −→ BC = (2 − 4)ı + (4 − 1)j = −2ı + 3j, |BC| = (−2)2 + 32 = 13  √ −→ − − → CA = (−1 − 2)ı + (−3 − 4)j = −3ı − 7j, |CD| = (−3)2 + (−7)2 = 58 y

4

C

3 2 1 -2 -1

A

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

-1

B 1

2

3

4

x 5

-2 -3

−→ − → Dane su toˇcke A(−2, 0) , B(0, 1) i C(4, 3) . Provjeri da je BC = 2 · AB . A(−2, 0),

B(0, 1),

C(4, 3)

− → AB = (0 − (−2))ı + (1 − 0)j = 2ı + j −→ BC = (4 − 0)ı + (3 − 1)j = 4ı + 2j − → −→ 2 · AB = 2 · (2ı + j) = 4ı + 2j = BC

Zadatak 4. Rjeˇsenje.

Toˇcke A(−1, 1) , B(2, −1) , C(5, −3) pripadaju jednom pravcu. Provjeri! - da je toˇcka B poloviˇste duˇzine AC . Provjeri takoder − → −→ Dovoljno je pokazati da su vektori AB i BC kolinearni, tj. da postoji broj − → −→ k = 0 takav da je AB = k · BC . − → AB = (2 − (−1))ı + (−1 − 1)j = 3ı − 2j −→ BC = (5 − 2)ı + (−3 − (−1))j = 3ı − 2j − → −→ AB = BC =⇒ k = 1 =⇒ toˇcke su kolinearne, B je poloviˇste od AC.

Zadatak 5. 238

Toˇcke A(101, −49) , B(−51, 27) , C(77, −37) pripadaju jednom pravcu, odnosno, kolinearne su. Provjeri!

5 Rjeˇsenje.

− → −→ Dovoljno je pokazati da su vektori AB i BC kolinearni, tj. da postoji broj − → −→ k = 0 takav da je AB = k · BC . − → AB = (−51 − 101)ı + (27 − (−49))j = −152ı + 76j −→ BC = (77 − (−51))ı + (−37 − 27)j = 128ı − 64j − → −→ AB = k · BC −152ı + 76j = k · (128ı − 64j) 19 Ako postoji takav k onda mora vrijediti −152 = 128k , odnosno k = − . 16 19 Provjerimo da li je k = − traˇzeni k : 16 19 −152ı + 76j = − · (128ı − 64j) 16 −152ı + 76j = 152ı + 76j =⇒ toˇcke su kolinearne

Zadatak 6. Rjeˇsenje.

Zadatak 7. Rjeˇsenje.

− → −→ −→ → − Dane su toˇcke A(−2, 4) , B(5, 1) , C(3, 5) . Provjeri: AB + BC + CA = 0 . A(−2, 4), B(5, 1), C(3, 5) − → AB = (5 − (−2))ı + (1 − 4)j = 7ı − 3j −→ BC = (3 − 5)ı + (5 − 1)j = −2ı + 4j −→ CA = (−2 − 3)ı + (4 − 5)j = −5ı − j − → −→ −→ AB + BC + CA = 7ı − 3j − 2ı + 4j − 5ı − j = 0 Dane su toˇcke A(−1, 1) , B(2, −1) , C(x, −3) . Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke C tako da sve tri toˇcke pripadaju jednom pravcu. − → −→ Mora vrijediti AB = k · BC , k = 0 . − → AB = (2 − (−1))ı + (−1 − 1)j = 3ı − 2j −→ BC = (x − 2)ı + (−3 − (−1))j = (x − 2)ı − 2j − → −→ AB = k · BC =⇒ −2 = k · (−2) =⇒ k = 1 3 = k · (x − 2) 3 = 1 · (x − 2) 3=x−2 x=5

Zadatak 8.

Dane su toˇcke A(−5, −3) , B(−2, y) , C(4, 0) . Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B tako da toˇcke A , B i C budu kolinearne.

239

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

Zadatak 9. Rjeˇsenje.

− → −→ Mora vrijediti AB = k · AC , k = 0 . − → AB = (−2 − (−5))ı + (y − (−3))j = 3ı + (y + 3)j −→ AC = (4 − (−5))ı + (0 − (−3))j = 9ı + 3j − → −→ 1 AB = k · AC =⇒ 3 = k · 9 =⇒ k = 3 (y + 3) = k · 3 1 y+3= ·3 3 y+3=1 y = −2 Ako su A(1, −1) , B(3, 2) i C(−2, 3) tri uzastopna vrha paralelograma ABCD , odredi koordinate cˇetvrtog vrha D . A(1, −1), B(3, 2), C(−2, 3), D(x, y), − → − − → AB = DC (paralelogram) (3 − 1)ı + (2 + 1)j = (−2 − x)ı + (3 − y)j 2ı + 3j = (−2 − x)ı + (3 − y)j 2 = −2 − x =⇒ x = −4 3 = 3 − y =⇒ y = 0 =⇒ D(−4, 0)

Zadatak 10. Rjeˇsenje.

Ako su A(2, 1) , B(−2, 4) i D(0, −3) tri vrha paralelograma ABCD , odredi koordinate vrha C . A(2, 1), B(−2, 4), C(x, y), D(0, −3), − → − − → AB = DC (paralelogram) (−2 − 2)ı + (4 − 1)j = (x − 0)ı + (y + 3)j − 4ı + 3j = xı + (y + 3)j − 4 = x =⇒ x = −4 3 = y + 3 =⇒ y = 0 =⇒ C(−4, 0).

240

5 Zadatak 11. Rjeˇsenje.

Toˇcke A(0, 3) i B(2, 2) dva su vrha paralelograma ABCD , toˇcka S(3, 4) sjeciˇste je njegovih dijagonala. Odredi koordinate vrhova C i D . A(0, 3),

B(2, 2),

S(3, 4),

C(xC , yC ),

D(xD , yD )

C, D =? − → − → AS = SC

− → − → BS = SD

(3−0)ı+(4−3)j=(xC −3)ı+(yC −4)j 3ı + 1j = (xC − 3)ı + (yC − 4)j

(3−2)ı+(4−2)j=(xD −3)ı+(yD −4)j ı + 2j = (xD − 3)ı + (yD − 4)j

3 = xC − 3 =⇒ xC = 6 1 = yC − 4 =⇒ yC = 5

1 = xD − 3 =⇒ xD = 4 2 = yD − 4 =⇒ yD = 6

=⇒ C(6, 5)

Zadatak 12.

=⇒ D(4, 6)

 1 3 Toˇcke B(1, −2) i C(3, 2) vrhovi su paralelograma ABCD , toˇcka S − , 2 2 sjeciˇste je njegovih dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelograma.

Rjeˇsenje. A(xA , yA ),

B(1, −2),

 1 3 , S − , 2 2

C(3, 2),

D(xD , yD )

A, D =? − → − → AS = SC  1  3    1 3 − − xA ı + − yA j = 3 + ı + 2 − Br)j 2 2 2 2  3   1 7 1 − yA j = ı + j − − xA ı + 2 2 2 2 1 7 =⇒ xA = −4 − − xA = 2 2 1 3 − yA = =⇒ yA = 1 2 2 =⇒ A(−4, 1) − → − → BS = SD     1 3 1 3 j − − 1 ı + ( + 2)j = xD + ı + yD − 2 2 2 2   7 3 1 3 j − ı + j = xD + ı + yD − 2 2 2 2 3 1 − = xD + =⇒ xD = −2 2 2 3 7 = yD − =⇒ yD = 5 2 2 =⇒ D(−2, 5)

241

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 13. Rjeˇsenje.

Toˇcke A(−1, −1) , B(3, −2) i C(5, 2) tri su uzastopna vrha paralelograma ABCD . Kolika je duljina dijagonale BD ? A(−1, −1),

B(3, −2),

C(5, 2),

D(xD , yD )

|BD| =? − → − − → AB = DC (3 + 1)ı + (−2 + 1)j = (5 − xD )ı + (2 − yD )j 4ı − j = (5 − xD )ı + (2 − yD )j 5 − xD = 4 =⇒ xD = 1 2 − yD = −1 =⇒ yD = 3 =⇒ D(1, 3) −→ BD = (1 − 3)ı + (3 + 2)j = −2ı + 5j  √ √ −→ |BD| = (−2)2 + 52 = 4 + 25 = 29

Zadatak 14. Rjeˇsenje.

Toˇcke A(3, 2) , B(1, −2) i D(5, 1) tri su vrha paralelograma ABCD . Kolika je duljina dijagonale AC ? A(3, 2),

B(1, −2),

D(5, 1),

C(xC , yC ),

|AC| =? − → − − → AB = DC (1 − 3)ı + (−2 − 2)j = (xC − 5)ı + (yC − 1)j − 2ı − 4j = (xC − 5)ı + (yC − 1)j xC − 5 = −2 =⇒ xC = 3 yC − 1 = −4 =⇒ yC = −3 =⇒ C(3, −3) −→ AC = (3 − 3)ı + (−3 − 2)j = −5j  √ −→ |AC| = 0 + 52 = 25 = 5

Zadatak 15. Rjeˇsenje.

− → Odredi jediniˇcni vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor AB ako je A(3, 1) , B(−1, −2) . A(3, 1),

B(−1, −2),

− → AB = (−1 − 3)ı + (−2 − 1)j = −4ı − 3j  √ − → |AB| = (−4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 5

242

5 → 1 1 − e = − → · AB = 5 (−4ı − 3j) |AB| 4 3 e = − ı − j 5 5

Zadatak 16.

Odredi jediniˇcni vektor koji ima isti smjer, ali suprotnu orijentaciju od vektora − → AB ako je A(−4, 9) , B(−2, 5) .

Rjeˇsenje. A(−4, 9),

B(−2, 5),

− → AB = (−2 + 4)ı + (5 − 1)j = 2ı − 4j  √ √ √ − → |AB| = 22 + (−4)2 = 4 + 16 = 20 = 2 5 → 1 1 − √ e = − → · AB = 2 5 (2ı − 4j) |AB| 1 2 e = √ ı − √ j 5 5

Zadatak 17.

Toˇcke A(−1, 1) , B(3, −2) , C(7, 7) vrhovi su trokuta ABC . Odredi vektor u smjeru simetrale unutarnjeg kuta pri vrhu A ovog trokuta.

Rjeˇsenje. A(−1, 1),

B(3, −2),

C(7, 7),

s =? √ − → AB = (3 + 1)ı + (−2 − 1)j = 4ı − 3j = 16 + 9 = 5 4 3 1 e1 = (4ı − 3j) = ı − j 5 5 5 −→ AC = (7 + 1)ı + (7 − 1)j = 8ı + 6j √ −→ |AC| = 64 + 36 = 10 4 3 1 (8ı + 6j) = ı + j e2 = 10 5 5 s = k( e1 + e2 ), k ∈ R   4 3 4 3 8 s = k ı − j + ı + j = kı 5 5 5 5 5

Zadatak 18.

− → Odredi vektor v kolinearan s vektorom AB , gdje je A(2, −1) , B(−1, 3) ako je |v| = 20 .

243

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

− → v = kAB, |v| = 20, A(2, −1), B(−1, 3) − → AB = (2 − 1)ı + (3 + 1)j = −3ı + 4j √ − → |AB| = 9 + 16 = 5 1 e = − → |AB| − → 1 3 4 AB = (−3ı + 4j) = − ı + j 5 5  5 3 4 v = ±|v| · e = ±20 − ı + j 5 5 v1 = −12ı + 16j v2 = 12ı − 16j

Zadatak 19. Rjeˇsenje.

−→ Dane su toˇcke A(1, 1) , B(2, 2) , C(0, 3) i D(5, 8) . Prikaˇzi vektor AD kao − → −→ linearnu kombinaciju vektora AB i AC . − → AB = (2 − 1)ı + (2 − 1)j = ı + j −→ AC = (0 − 1)ı + (3 − 1)j = −ı + 2j −→ AD = (5 − 1)ı + (8 − 1)j = 4ı + 7j −→ − → −→ AD = α AB + β AC α (ı + j) + β (−ı + 2j) = 4ı + 7j (α − β )ı + (α + 2β )j = 4ı + 7j

α −β =4 α + 2β = 7

2 −

− 3β = −3 =⇒ β = 1 α − 1 = 4 =⇒ α = 5 −→ − → −→ AD = 5AB + AC

Zadatak 20. 244

−→ − → −→ Vektor AD prikaˇzi kao linearnu kombinaciju vektora AB i AC ako je A(−2, 1) , B(−1, −1) , C(1, 2) i D(1, 9) .

5 Rjeˇsenje. − → AB = (−1 + 2)ı + (−1 − 1)j = ı − 2j −→ AC = (1 + 2)ı + (2 − 1)j = 3ı + j −→ AD = (1 + 2)ı + (9 − 1)j = 3ı + 8j − → −→ −→ AD = α AB + β AC

α (ı − 2j) + β (3ı + j) = 3ı + 8j (α + 3β )ı + (−2α + β )j = 3ı + 8j α + 3β = 3/ · 2 − 2α + β = 8 2α + 6β = 6 − 2α + β = 8 7β = 14 =⇒ β = 2

α + 6 = 3 =⇒ α = −3 −→ − → −→ AD = −3AB + 2AC

Zadatak 21.

− → Dane su toˇcke A(1, 3) , B(2, 2) , C(3, 5) i D(4, 7) . Vektor AB prikaˇzi kao −→ −→ linearnu kombinaciju vektora BC i BD .

Rjeˇsenje. − → AB = (2 − 1)ı + (2 − 3)j = ı − j −→ BC = (3 − 2)ı + (5 − 2)j = ı + 3j −→ BD = (4 − 2)ı + (7 − 2)j = 2ı + 5j − → −→ −→ AB = α BC + β BD α (ı + 3j) + β (2ı + 5j) = ı − j (α + 2β )ı + (3α + 5β )j = ı − j

α + 2β = 1/ · (−3) 3α + 5β = −1 − 3α − 6β = −3 3α + 5β = −1

245

5

ˇ RJESENJA ZADATAKA

− β = −4 =⇒ β = 4

α + 8 = 1 =⇒ α = −7 − → −→ −→ AB = −7BC + 4BD

Zadatak 22. Rjeˇsenje.

Dani su vektori a = 3ı − j , b = i − 2j , c = −ı + 7j . Vektor v = a + b + c prikaˇzi kao linearnu kombinaciju vektora a i b . a = 3ı − j b = ı − 2j c = −ı + 7j v = αa + βb v = a + b + c v = 3ı − j +ı − 2j −ı + 7j = 3ı + 4j 3ı + 4j = α (3ı − j) + β (ı − 2j) 3ı + 4j = (3α + β )ı + (−α − 2β )j 3α + β = 3/ · 2 − α − 2β = 4 6α + 2β = 6 − α − 2β = 4 5α = 10 =⇒ α = 5 6 + β = 3 =⇒ β = −3 v = 2a − 3b

Zadatak 23. Rjeˇsenje.

Odredi |a − 3b| i |3a − 2b| ako je a = ı − 3j , b = 2ı − 5j . |a − 3b| =? |3a − 2b| =? a = ı − 3j b = 2ı − 5j a − 3b = ı − 3j − 3(2ı − 5j) = −5ı + 12j  √ |a − 3b| = (−5)2 + 122 = 169 = 13 3a − 2b = 3(ı − 3j) − 2(2ı − 5j) = −ı + j  √ |3a − 2b| = (−1)2 + 12 = 2

246

5 Zadatak 24. Rjeˇsenje.

Dani su vektori a = −ı + 2j , b = 3ı + 4j i c = −2ı + j . Odredi vektor v kolinearan s c , a duljine jednake duljini vektora a + b . a = −ı + 2j b = 3ı + 4j c = −2ı + j v = αc |v| = |a + b| a + b = −ı + 2j + 3ı + 4j = 2ı + 6j  √ √ √ |a + b| = 22 + 62 = 40 = 2 10 =⇒ α = ±2 10  √ |c| = (−2)2 + 12 = 5 1 1 e = · c = √ (−2ı + j) |c| 5 √ √ 1 v = ±2 10 · √ (−2ı + j) = ±2 2(−2ı + j) 5 √ √ v1 = −4 2ı + 2 2 √ √ v2 = 4 2ı − 2 2j

247

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenja zadataka 6.1 Zadatak 1.

Nacrtaj grafove sljede´cih jednadˇzbi: 1) 3) 5) 7) 9) 11)

x + y = 8; x = −1 ; 3x + 4y = 6 ; 3x = −9 ; 3x + 2y = 0 ; x + 4 = 0;

2x − y = 0 ; 2y + 1 = 0 . x + y = 0; −2y = 1 . 2y = 5 ; 4x − 6y = 15 .

2) 4) 6) 8) 10) 12)

Rjeˇsenje. 1) y

2)

3)

y

y

8 2 1

x

8

4)

-1

x

-1 -2

5) y

6)

y

x

-1 2

7)

3 2

y

x

x

2

8)

y

x

-1

9) y

y 3 2

x

-3

10)

11)

y

x

-1 2

-13 2

12)

y

y

5 2 x

248

-4

x

x

1

-5 2

15 4

x

6 Zadatak 2.

Dane su toˇcke A i B . Napiˇsi jednadˇzbu pravca odredenog tim dvjema toˇckama ako je: 1) A(2, −1) , B(5, 2) ; 2) A(−4, −4) , B(2, 5) ; 3) A(−1, 0) , B(5, −4) .

Rjeˇsenje.

1) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: −1 = 2a + b, 2 = 5a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = −2a − 1 i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, dobit c´emo 2 = 5a − 2a − 1 . Odatle je a = 1 i potom b = −3 . Jednadˇzba pravca glasi y = x − 3 ; 2) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: −4 = −4a + b, 5 = 2a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = 4a − 4 i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, 3 i potom b = 2 . Jednadˇzba dobit c´emo 5 = 2a + 4a − 4 . Odatle je a = 2 3 pravca glasi y = x + 2 ; 2 3) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: 0 = −a + b, −4 = 5a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = a i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, dobit 2 2 c´emo −4 = 5a + a . Odatle je a = − , pa je i b = − . Jednadˇzba pravca 3 3 2 2 glasi y = − x − . 3 3

Zadatak 3.

- dvjema toˇckama: Odredi jednadˇzbu pravca koji je odreden 1) A(−3, −3) , B(5, −3) ; 2) A(−4, 2) , B(−4, −5) ; 3) A(−1, 1) , B(5, −5) .

Rjeˇsenje.

1) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: −3 = −3a + b, −3 = −a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = 3a − 3 i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, dobit c´emo −3 = −a + 3a − 3 . Odatle je a = 0 , a b = −3 . Jednadˇzba pravca glasi y = −3 . Uoˇcimo li odmah da toˇcke A i B imaju istu y koordinatu i stoga odreduju pravac paralelan s x -osi, i bez raˇcunanja zakljuˇcujemo da jednadˇzba tog pravca glasi y = −3 ; - pravac pa2) Obje toˇcke imaju istu x koordinatu koja iznosi −4 pa odreduju ralelan s y -osi zadan jednadˇzbom x = −4 ;

249

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

3) Uvrˇstavanjem koordinata toˇcaka A i B u jednadˇzbu y = ax + b , dobijemo sustav: 1 = −a + b, −5 = 5a + b. Ako iz prve jednadˇzbe izrazimo b = a + 1 i to uvrstimo u drugu jednadˇzbu, dobit c´emo −5 = 5a + a + 1 . Odatle je a = −1 , a b = 0 . Jednadˇzba pravca glasi y = −x .

Zadatak 4. Rjeˇsenje.

Dokaˇzi da toˇcka B(−2, 0) pripada pravcu AC , A(−3, 2) , C(1, −6) te da je |BC| = 3 · |AB| . Jednadˇzba pravca AC glasi: −6 − 2 y−2= · (x + 3) =⇒ y − 2 = −2x − 6 =⇒ y = −2x − 4; 1+3 B(−2, 0) ∈ AC ⇐⇒ 0 = −2 · (−2) − 4 ⇐⇒ 0 = 0 =⇒ toˇcka B pripada pravcu AC  √ √ |AB| = (−2 + 3)2 + (0 − 2)2 = 1 + 4 = 5  √ √ |BC| = (1 + 2)2 + (−6 − 0)2 = 9 + 36 = 3 5 =⇒ |BC| = 3 · |AB|

Zadatak 5.

Dokaˇzi da toˇcke P(2, 1) i Q(5, 0) pripadaju pravcu AB , A(−1, 2) , B(8, −1) , te da duˇzinu AB dijele na tri jednaka dijela.

Rjeˇsenje.

Jednadˇzba pravca AB glasi: −1 − 2 1 5 y−2= (x + 1) =⇒ y = − x + . 8+1 3 3 U dobivenu jednadˇzbu pravca uvrstimo koordinate toˇcke P : 1 5 1= − ·2+ =⇒ 1 = 1. 3 3 Dakle, toˇcka P pripada tom pravcu. Na isti naˇcin provjerimo da i toˇca Q pripada tom pravcu: 1 5 0= − ·5+ =⇒ 0 = 0. 3 3 Pogledajmo sada duljine duˇzina AP , PQ i QB :  √ √ |AP| = (2 + 1)2 + (1 − 2)2 = 9 + 1 = 10;  √ √ |PQ| = (5 − 2)2 + (0 − 1)2 = 9 + 1 = 10;  √ √ |QB| = (8 − 5)2 + (−1 − 0)2 = 9 + 1 = 10. √ =⇒ |AP| = |PQ| = |QB| = 10. Dakle, toˇcke P i Q dijele duˇzinu AB na tri jednaka dijela.

Zadatak 6.

250

Toˇcke A(−3, −2) , B(−1, y) i C(1, 6) pripadaju jednom pravcu. 1) Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B . 2) Odredi jednadˇzbu pravca koji je simetriˇcan pravcu AC prema osi apscisa. 3) Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga taj pravac zatvara s koordinatnim osima?

6 Rjeˇsenje.

Jednadˇzba pravca AC glasi: y+2=

6+2 (x + 3), 1+3

y + 2 = 2(x + 3) =⇒ y = 2x + 4.

1) Uvrstimo koordinate toˇcke B u dobivenu jednadˇzbu pravca i slijedi da je: y = 2 · (−1) + 4 = 2 =⇒ B(−1, 2); 2) Pravac simetriˇcan pravcu AC prema osi apscisa prolazi toˇckama A (−3, 2) i C (1, −6) pa je njegova jednadˇzba: y−2=

−6 − 2 (x − 3), 1+3

y − 2 = −2(x − 3) =⇒ y = −2x − 4;

3) Pravac sijeˇce koordinatne osi u toˇckama (0, 4) i (−2, 0) te je: P=

Zadatak 7.

Rjeˇsenje.

| − 2| · |4| = 4 kv. jed. 2

Toˇcke A(−4, 0) , B(0, −2) i C(x, −5) pripadaju jednom pravcu. 1) Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke C . 2) Odredi jednadˇzbu pravca koji je simetriˇcan pravcu AC prema osi ordinata. 3) Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga taj pravac zatvara s koordinatnim osima? Jednadˇzba pravca AB glasi: y−0=

−2 − 0 (x + 4), 0+4

1 =⇒ y = − x − 2. 2

1) Uvrstimo koordinate toˇcke C u dobivenu jednadˇzbu pravca i slijedi da je 1 −5 = − · x − 2, 2

1 x = 3, 2

x = 6 =⇒ C(6, −5);

2) Pravac simetriˇcan pravcu AB prema osi ordinata prolazi toˇckama A (4, 0) i B (0, −2) pa je njegova jednadˇzba: A(-4, 0) , B(0, -2) y−0=

−2 − 0 (x − 4), 0−4

y=

1 x − 2; 2

3) Pravac sijeˇce koordinatne osi u toˇckama (−4, 0) i (0, −2) , te je: P=

Zadatak 8.

Rjeˇsenje.

| − 4| · | − 2| 8 = = 4 kv. jed. 2 2

Toˇcke A(−3, −2) i B(−1, 4) leˇze na pravcu p . 1) Nacrtaj pravac p u koordinatnom sustavu. 2) U kojim toˇckama pravac p sijeˇce koordinatne osi? 3) Odredi jednadˇzbu pravca koji je simetriˇcan pravcu p prema osi apscisa. 1) Jednadˇzba pravca AB glasi: y+2=

4+2 (x + 3), −1 + 3

y + 2 = 3(x + 3) =⇒ y = 3x + 7.

251

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA y 7 -7 3

x

 7  7 =⇒ M − , 0 ; 3 3 x = 0 =⇒ y = 3 · 0 + 7, y = 7 =⇒ N(0, 7) ; 3) Pravac simetriˇcan pravcu AC prema osi apscisa prolazi toˇckama A (−3, 2) i B (−1, −4) pa je njegova jednadˇzba: −4 − 2 (x + 3), y − 2 = −3(x + 3) =⇒ y = −3x − 7. y−2= −1 + 3

2) y = 0 =⇒ 0 = 3x + 7,

Zadatak 9.

Rjeˇsenje.

Zadatak 10. Rjeˇsenje.

252

x=−

Kako glasi jednadˇzba pravca AB ako je A(2, 2) , B(−4, −1) ? 1) Odredi apscisu toˇcke C(x, −5) tako da ta toˇcka pripada pravcu AB . 2) U kojim toˇckama pravac AB sijeˇce koordinatne osi? 3) Kolika je udaljenost pravca AB od ishodiˇsta? Jednadˇzba pravca AB glasi: −1 − 2 1 y−2= (x − 2) =⇒ y = x + 1. −4 − 2 2 1) Uvrstimo koordinate toˇcke C u jednadˇzbu pravca i dobijemo: 1 1 −5 = x + 1, x = −6, x = −12 =⇒ C(−12, −5); 2 2 1 2) y = 0 =⇒ 0 = x + 1, x = −2 =⇒ M(−2, 0) ; 2 1 x = 0 =⇒ y = · 0 + 1, y = 1 =⇒ N(0, 1) ; 2 3) Udaljenost pravca od ishodiˇsta izraˇcunat c´emo tako da prvo nademo povrˇsinu trokuta kojeg pravac zatvara s koordinatnim osima: | − 2| · |1| P= = 1 kv. jed. 2 |MN| · d Ta je povrˇsina jednaka P = odnosno, 2 2P 2 2 d= =  =√ . |MN| 5 (0 + 2)2 + (1 − 0)2 Toˇckom A(2, −3) prolazi pravac s nagibom a = presijeca os x ? Zadatak rijeˇsi grafiˇcki.

1 2

. U kojoj toˇcki taj pravac

U jednadˇzbu pravca y = ax + b uvrstimo koordinate toˇcke A i vrijednost koeficijenta smjera a i dobijemo: 1 −3 = · 2 + b =⇒ b = −4. 2 1 Jednadˇzba pravca glasi y = x − 4 . Uvrstimo li u tu jednadˇzbu x = 0 dobit 2 c´emo y = −4 , N(0, −4) .

6

Zadatak 11.

Toˇckom A(−4, 0) prolazi pravac s nagibom a = 2 . U kojoj toˇcki taj pravac presijeca os y ? Zadatak rijeˇsi grafiˇcki.

Rjeˇsenje.

U jednadˇzbu pravca y = ax + b uvrstimo koordinate toˇcke A i vrijednost koeficijenta smjera a i dobijemo: 0 = 2 · (−4) + b =⇒ b = 8. Jednadˇzba pravca glasi y = 2x + 8. Uvrstimo li u tu jednadˇzbu x = 0 dobit c´emo y = 8 , N(0, 8) .

Zadatak 12. Rjeˇsenje.

Toˇckom A(0, 3) prolazi pravac s nagibom a = 32 . Toˇcke E(x, 6) , F(−6, y) pripadaju tom pravcu. Odredi njihove nepoznate koordinate. Prvo nadimo jednadˇzbu pravca: y = ax + b =⇒ y =

3 x + b. 2

U jednadˇzbu uvrstimo koordinate toˇcke A : 3=

3 · 0 + b =⇒ b = 3. 2

Jednadˇzba pravca glasi: y=

3 x + 3. 2

U tu jednadˇzbu uvrstimo ordinatu toˇcke E : 3 3 x + 3, x = 3, x = 2 =⇒ E(2, 6). 2 2 Potom u jednadˇzbu pravca uvrstimo apscisu toˇcke F : 6=

y=

Zadatak 13.

3 · (−6) + 3, 2

y = −6 =⇒ F(−6, −6).

Pravac prolazi toˇckama A(−2, 4) i B(x, 6) . Odredi apscisu toˇcke B ako je koeficijent smjera pravca jednak 23 .

253

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje.

Prvo nadimo jednadˇzbu pravca: y = ax + b =⇒ y =

2 x + b. 3

U jednadˇzbu uvrstimo koordinate toˇcke A : 2 16 4 = · (−2) + b =⇒ b = . 3 3 Jednadˇzba pravca glasi: 2 16 y= x+ . 3 3 U tu jednadˇzbu uvrstimo ordinatu toˇcke B i dobijemo: 16 2 6 = x + , 18 = 2x + 16, x = x = 1 =⇒ B(1, 6). 3 3

Zadatak 14. Rjeˇsenje.

Pravac prolazi toˇckama A(2, −1) i B(−2, y) . Odredi ordinatu toˇcke B ako je koeficijent smjera pravca jednak − 43 . Prvo nadimo jednadˇzbu pravca: 3 y = ax + b =⇒ y = − x + b. 4 U jednadˇzbu uvrstimo koordinate toˇcke A : 3 1 −1 = − · 2 + b =⇒ b = . 4 2 Jednadˇzba pravca glasi: 3 1 y=− x+ . 4 2 U tu jednadˇzbu uvrstimo apscisu toˇcke B i dobijemo: 1 3 y = − · (−2) + , y = 2 =⇒ B(−2, 2). 4 2

Zadatak 15. Rjeˇsenje.

Toˇckom A(−1, 2) prolazi pravac s nagibom a = − 32 . Toˇcke E(x, 4) , F(2, y) pripadaju tom pravcu. Odredi njihove nepoznate koordinate. Prvo nadimo jednadˇzbu pravca: 2 y = ax + b =⇒ y = − x + b. 3 U jednadˇzbu uvrstimo koordinate toˇcke A : 4 2 2 = − · (−1) + b =⇒ b = . 3 3 Jednadˇzba pravca glasi: 2 4 y=− x+ . 3 3 U tu jednadˇzbu uvrstimo ordinatu toˇcke E i dobijemo: 4 2 4 = − x + ., 12 = −2x + 4, x = −4 =⇒ E(−4, 4) 3 3 Uvrstimo li u jednadˇzbu pravca apscisu toˇcke F dobijemo: 4 2 y = − · 2 + , y = 0 =⇒ F(2, 0). 3 3

254

6 Zadatak 16.

Rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) x − 3y > 3 ; 3) 3x − 5y > 15 . 5) −4x + y < 4 ;

Rjeˇsenje.

Zadatak 17.

2) 2x + 3y  6 ; 4) x + y  2 ; 6) 2x + 5y  5 .

1 2 x − 1; 2) y  − x + 2 ; 3 3 2 5) y < 4x + 4 ; 6) y  − x + 1 . 5

1) y <

Zadatak 18.

1) y < −x ;

2) x + 1  0 ; 2) x  −1 ;

3) y 

4) y  2 − x ;

3) 2y  3 .

3 . 2

Iscrtaj u koordinatnoj ravnini skup svih rjeˇsenja nejednadˇzbe: 1) 3x − 5y + 15  0 ; 3) 3x − 4y − 12  0 ;

Rjeˇsenje.

3 x − 3; 5

Prikaˇzi grafiˇcki u koordinatnoj ravnini skup svih rjeˇsenja nejednadˇzbe: 1) x + y < 0 ;

Rjeˇsenje.

3) y <

1) y 

3 x + 3; 5

2) 2x + 3y − 6  0 ; 4) x + 3y + 3  0 .

2 2) y  − x + 2 ; 3

3

3) y 

3 x − 3; 4

1 4) y  − − 1 . 3

2 3

-5

255

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

4 -3

Zadatak 19.

Rjeˇsenje.

-3

-1

Odredi skup rjeˇsenja sustava nejednadˇzbi: # # x + 3y + 2  0, x − 4y − 4  0, 1) 3x − 2y + 6  0, 2) x + y − 4  0, 4x + y − 3  0; 3x − 2y − 2  0. ⎧ 1 2 ⎪ ⎪ ⎨ y  −3x − 3, 3 1) y  x + 3, ⎪ ⎪ ⎩ 2 y  −4x + 3;

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎨ y  4 x − 10, y  −x + 4, 2) ⎪ ⎪ ⎩ y  3 x − 1. 2

3 2

-2

2 -1

4

-1

Rjeˇsenja zadataka 6.2 Zadatak 1.

Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−1) = −2 , f (3) = 6 . Koliki je nagib te funkcije? U kojoj toˇcki graf funkcije sijeˇce os y ?

Rjeˇsenje.

Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit c´emo jednadˇzbe: −2 = −a + b 6 = 3a + b Oduzmemo li prvu od druge dobit c´emo: 4a = 8, a = 2. Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadˇzbu dobijemo: −2 = −2 + b, b = 0, te je f (x) = 2x . Nagib je 2. Graf funkcije je pravac koji prolazi ishodiˇstem.

256

6 Zadatak 2.

Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−5) = 2 , f (4) = −7 . Koliki je nagib te funkcije? U kojoj toˇcki graf funkcije sijeˇce os y ?

Rjeˇsenje.

Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit c´emo jednadˇzbe 2 = −5a + b −7 = 4a + b. Oduzmemo li prvu jednadˇzbu od druge dobijemo: −9 = 9a, a = −1. Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadˇzbu dobijemo: 2 = −5 · (−1) + b, b = −3. Slijedi da je f (x) = −x − 3 . Nagib je −1 . Graf funkcije sijeˇce os y u toˇcki (0, −3) .

Zadatak 3. Rjeˇsenje.

Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−5) = 5 , f (4) = 4 . Koliki je nagib te funkcije? U kojoj toˇcki graf funkcije sijeˇce os y ? Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit c´emo jednadˇzbe: 5 = −5a + b 4 = 4a + b. Oduzmemo li prvu jednadˇzbu od druge dobijemo: 1 −1 = 9a, a = − , 9 Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadˇzbu dobijemo:  1 40 5 = −5 · − , + b, b = 9 9 40 1 1 . Nagib je − . Graf funkcije sijeˇce os y u toˇcki s te je f (x) = − x + 9 9 9 40 . ordinatom y = 9

Zadatak 4.

Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−2) = 1 , f (2) = 3 . Koliki je nagib ove funkcije?

Rjeˇsenje.

Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit c´emo jednadˇzbe: 1 = −2a + b 3 = 2a + b.

257

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Oduzmemo li prvu jednadˇzbu od druge dobijemo: 1 2 = 4a, a = . 2 Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadˇzbu dobijemo: 1 1 = −2 · + b, b = 2, 2 1 1 te je f (x) = x + 2 . Nagib je jednak . 2 2

Zadatak 5.

Odredi linearnu funkciju f (x) = ax + b ako je f (−1) + f (1) = 4 , f (−1) − f (1) = 2 .

Rjeˇsenje.

f (−1) + f (1) = a · (−1) + b + a · 1 + b = 4 =⇒ 2b = 4 =⇒ b = 2 . f (−1) − f (1) = a · (−1) + b − a · 1 − b = 2 =⇒ −2a = 2 =⇒ a = −1 . f (x) = −x + 2 .

Zadatak 6.

Odredi linearnu funkciju f (x) = ax+b ako je f (1)+f (2) = 3 , f (1)−f (2) = 5.

Rjeˇsenje.

Zadatak 7. Rjeˇsenje.

f (1) + f (2) = a · 1 + b + a · 2 + b = 3 =⇒ 3a + 2b = 3 ; f (1) − f (2) = a · 1 + b − a · 2 − b = 5 =⇒ a = −5 ; −15 + 2b = 3 =⇒ b = 9 ; a = −5 ; f (x) = −5x + 9 . Ako je f linearna funkcija te ako je f (1) = 1 , f (3) = 5 , koliko je f (−1) i f (7) ? Uvrstimo li dane uvjete dobijemo dvije jednadˇzbe s dvije nepoznanice: a·1+b=1 a·3+b=5 Odavde slijedi a = 2 i b = −1 . Linearna funkcija je f (x) = 2x − 1 te je: f (−1) = 2 · (−1) − 1 = −3 f (7) = 2 · 7 − 1 = 13.

Zadatak 8. Rjeˇsenje.

Ako je f linearna funkcija te ako je f (−1) = 1 i f (0) = −3 , koliko je f (2) i f (−2) ? Uvrstimo li dane uvjete dobijemo dvije jednadˇzbe s dvije nepoznanice: a · (−1) + b = 1 a · 0 + b = −3 Odavde slijedi a = −4 i b = −3 . Linearna funkcija je f (x) = −4x − 3 te je: f (2) = −4 · 2 − 3 = −11 f (−2) = −4 · (−2) − 3 = 5.

258

6 Zadatak 9.

Ako x naraste od 0 na 1, vrijednost linearne funkcije naraste od 2 na 3. Kolika je promjena vrijednosti ove funkcije kad x naraste od 3 na 11?

Rjeˇsenje.

Za x = 0 vrijednost funkcije f (0) = 2 , a za x = 1 vrijednost funkcije je f (1) = 3 . Uvrstimo li dobiveno imamo: a·0+b=2 a·1+b=3 Odavde slijedi b = 2 i a = 1 , tj. f (x) = x + 2 . Nagib funkcije je a = 1 . Δf (x) = a · Δx = 1 · 8 = 8 .

Zadatak 10.

Kada x naraste od −1 na 1, vrijednost linearne funkcije padne od 1 na −3 . Kolika je promjena vrijednosti ove funkcije kad x naraste od 2 na 5?

Rjeˇsenje.

Za x = −1 vrijednost funkcije f (−1) = 1 , a za x = 1 vrijednost funkcije je f (1) = −3 . Iz f (x) = ax + b slijedi: a · (−1) + b = 1 a · 1 + b = −3 te je a = −2 i b = −1 , tj. f (x) = −2x − 1 . Nagib funkcije je a = −2 , Δf (x) = −2 · 3 = −6 .

Zadatak 11.

Rjeˇsenje.

Zadatak 12.

Rjeˇsenje.

Zadatak 13.

Rjeˇsenje.

2 3 . Poredaj po veliˇcini brojeve: Dana je linearna funkcija f (x) = x + 7 11       3 1 7 f − , f (−1.5) , f 1 , f (0) , f (−0.7) , f . 4 5 8 7 1 3 Kako je −1.5 < − < −0.7 < 0 < < 1 , a funkcija je rastu´ca, onda su u 4 8 5 istom poretku i vrijednosti funkcije za ove brojeve. 1 2 . Poredaj po veliˇcini brojeve: Dana je linearna funkcija f (x) = − x +         21  22 3 2 5 11 7 f , f , f , f , f . 5 3 6 12 9 2 5 7 11 3 , a funkcija je padaju´ca, onda su u vrijednosti Kako je < < < < 4 3 6 9 12 funkcije za ove brojeve u obrnutom poretku. Dane su linearne funkcije: 1 f 1 (x) = x ; f 2 (x) = 3x ; 2

3 3 f 3 (x) = x ; f 4 (x) = x ; f 5 (x) = x . 4      2   4 4 4 4 Poredaj po veliˇcini brojeve: f 1 − , f2 − , f3 − , f4 − , 9 9 9 9   4 f5 − . 9 Nije potrebno izraˇcunavati vrijednosti funkcije ve´c samo usporediti nagibe pojedinih funkcija. Tako onda zakljuˇcujemo:           4 4 4 4 4 f1 − < f3 − < f4 − < f5 − < f2 − . 9 9 9 9 9

259

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 14.

Dane su linearne funkcije: 2 4 1 f 1 (x) = − x ; f 2 (x) = −2x ; f 3 (x) = − x ; f 4 (x) = −x ; f 5 (x) = − x . 3 3         2  5 5 5 5 5 Poredaj po veliˇcini brojeve f 1 , f2 , f3 , f4 , f5 . 7 7 7 7 7

Rjeˇsenje.

Nije potrebno izraˇcunavati vrijednosti funkcije ve´c samo usporediti nagibe pojedinih funkcija. Tako onda zakljuˇcujemo:           5 5 5 5 5 < f3 < f4 < f1 < f5 . f2 7 7 7 7 7

Zadatak 15.

Zadana je funkcija f (x) = 2x + 1 . 1) Nacrtaj graf ove funkcije. 2) Odredi njezinu nul-toˇcku. 3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost f (x)  −1 ? 4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste od −1 na 2? f (x2 ) − f (x1 ) = 2 za svaka dva razliˇcita realna broja x1 i 5) Uvjeri se da je x2 − x1 x2 . Rjeˇsenje svakog dijela zadatka potkrijepi slikom i opiˇsi rijeˇcima.

Rjeˇsenje.

1)

1 -1

1 2) 2x + 1 = 0 =⇒ x0 = − ; 2 3) f (x)  −1 =⇒ 2x + 1  −1 =⇒ 2x  −2 =⇒ x  −1 ; 4) f (2) − f (−1) = 5 − (−1) = 6 .

Zadatak 16.

1) 2) 3) 4) Rjeˇsenje.

1 x − 1. 4 Nacrtaj graf ove funkcije. Odredi njezinu nul-toˇcku. Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost |f (x)|  2 ? Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste od −4 na 6?

Zadana je funkcija f (x) =

1)

4 -1

2)

260

1 x − 1 = 0 =⇒ x0 = 4 ; 4

6 1 1 x − 1  2 =⇒ − 1  x  3 =⇒ − 4  x  12 ; 4 4 1 5 4) f (6) − f (−4) = − (−2) = . 2 2

3) |f (x)|  2 =⇒ − 2 

Zadatak 17.

Rjeˇsenje.

3 Zadana je funkcija f (x) = − x + 3 . 2 1) Nacrtaj graf ove funkcije. 2) Odredi njezinu nul-toˇcku. 3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost | f (x)|  4 ? 4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste od −1 na 3? 1) 3

2

3 2) − x + 3 = 0 =⇒ x0 = 2 ; 2 3 3 3) | f (x)|  4 =⇒ −4  − x + 3  4 =⇒ −7  − x  1 2 2 14 3 2 14 =⇒  x  − =⇒ −  x  ; 3 2 3 3 3 12 9 = −6 . 4) f (3) − f (−1) = − + 3 − − 3 = − 2 2 2

Zadatak 18.

1 Zadana je funkcija f (x) = − x − 1 . 2 1) Nacrtaj graf ove funkcije. 2) Odredi nul-toˇcku ove funkcije. 3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost f (x)  1 ? 4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste od −4 na 3? 1 f (x2 ) − f (x1 ) = − za svaka dva razliˇcita realna broja x1 5) Uvjeri se da je x2 − x1 2 i x2 . Rjeˇsenje svakog dijela zadatka potkrijepi slikom i opiˇsi rijeˇcima.

Rjeˇsenje. 1)

1

-

5 2

261

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

1 2) Nul-toˇcku x0 odredujemo iz uvjeta f (x0 ) = 0 , dakle iz − x0 − 1 = 0 . 2 Dobije se x0 = −2 . 1 3) Rjeˇsenje nejednadˇzbe f (x) = − x − 1  1 je svaki broj x, x  −4 . 2 1 Grafiˇcki, promatramo onaj dio pravca y = − x − 1 koji pripada poluravnini 2 y  1 , te je rjeˇsenje nejednadˇzbe skup apscisa svih toˇcaka tog polupravca.

-4

-2

-1

Najjednostavnije je rjeˇsenja vidjeti kao interval koji je ortogonalna projekcija tog polupravca na os apscisa. 5 7 4) Izraˇcunamo: f (3) − f (−4) = − − 1 = − . Tu promjenu pratimo na osi 2 2 ordinata, i ona je predoˇcena iscrtavanjem intervala. 1 1 1 − x2 − 1 + x1 + 1 − (x2 − x1 ) f (x2 ) − f (x1 ) 1 2 2 2 5) = = =− . x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 2

Zadatak 19.

Kojim funkcijama pripadaju sljede´ci grafovi? 1) 2) y

y

3

2 1

x

x

-3

3)

4) y

-1

Rjeˇsenje.

262

3 2

x

y 2 3

x

1) Iz grafa funkcije oˇcitamo da je f (−3) = 0 i f (0) = −3 . Slijedi da je −3 · a + b = 0 i a · 0 + b = 3 , odnosno b = 3 i a = 1 ; f (x) = x + 3 ; 2) Iz grafa funkcije oˇcitamo da je f (1) = 0 i f (0) = 2 . Slijedi da je 1 · a + b = 0 i a · 0 + b = 2 , odnosno b = 2 i a = −2 ; f (x) = −2x + 2 ; 3 = 0 i f (0) = −1 . Slijedi da je 3) Iz grafa funkcije oˇcitamo da je f 2 3 2 2 · a + b = 0 i a · 0 + b = −1 , odnosno b = −1 i a = ; f (x) = x − 1 ; 2 3 3

6 4) Iz grafa funkcije oˇcitamo da je f (3) = 0 i f (0) = 2 . Slijedi da je 2 2 3 · a + b = 0 i a · 0 + b = 2 , odnosno b = 2 i a = − ; f (x) = − x + 2 . 3 3 

Zadatak 20.

Rjeˇsenje.

2x − 1, ako je x  0 −2x − 1, ako je x > 0 1 Izraˇcunaj: f (−3.5) , f (11) , f (−2) , f (0) , f , f (−9) , f (1000) . 2

Zadana je funkcija f (x) =

f (−3.5) = 2 · (−3.5) − 1 = −8 , f (11) = −2 · 11 − 1 = −23 , f (−2) = 2 · (−2) − 1 = −5 , f (0) = 2 · 0 − 1 = −1 , 1 1 = −2 · − 1 = −2 , f 2 2 f (−9) = 2 · (−9) − 1 = −19 , f (1000) = −2 · 1000 − 1 = −2001 . #

Zadatak 21.

Rjeˇsenje.

Zadatak 22.

2x + 3, x  −1 1, −1 < x < 2 −x + 3, x  2 Izraˇcunaj: f (−3.5) , f (11) , f (−0.317) , f (0) , f (1.111) , f (−9) , f (1000) . Zadana je funkcija f (x) =

f (−3.5) = 2 · (−3.5) + 3 = −4 , f (11) = −11 + 3 = −8 , f (−0.317) = 1 , f (0) = 1 , f (1.111) = 1 , f (−9) = 2 · (−9) + 3 = −15 , f (1000) = −1000 + 3 = −997 . Prikaˇzi grafiˇcki funkcije:  3x, x1 1) f (x) = x + 2, x>1 # 3) f (x) =

−2x + 3, 1 x − 2, 2

# 2) f (x) = 

x2

4) f (x) =

x>2

x + 2, 1 − x + 2, 3

x0

−3x − 4, −x − 2,

x  −1 x > −1

x>0

Rjeˇsenje. 3

3

2

1

-2

6

4

263

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 23.

Prikaˇzi grafiˇcki funkcije: # x + 3, x0 3, 02 # 2) f (x) = # 3) f (x) =

−2x + 2, 2x − 2, 2,

x1 12

−2x − 3, 3x − 8, x − 2,

x1 13

⎧ ⎪ ⎨ −2x − 6, −2, 4) f (x) = ⎪ ⎩ 1 x − 3, 2

x  −2 −2 < x  2 x>2

Rjeˇsenje. 3 6

2 -3

2

-3 1

Zadatak 24.

-2

2

Opiˇsi funkcije kojima pripadaju sljede´ci grafovi: 1) 2)

y

y

2

x -2 -1

x -1

2

3)

4

-2

4)

y 1 -1

y 1

x (2,-2)

-2

#

1) 3)

264

x

-1 -2

Rjeˇsenje.

2

2x + 2, x  0 2, 0 < x  2 f (x) = −x + 4, x > 4 # −2x − 2, x  0 2x − 2, 0 < x  1 f (x) = −2x + 2, x > 1

#

2) 4)

−2x − 4, x  −1 −2, −1 < x  2 −x, x > 2 # x + 1, x  −1 −2x − 2, −1 < x  0 f (x) = −2, x > 0

f (x) =

6 Zadatak 25.

Koriste´ci se grafiˇckim prikazom funkcija f (x) = 2x + 1 i g(x) = x − 3 , rijeˇsi nejednadˇzbe: 1)

2x + 1  0; x−3

2) (2x + 1)(x − 3)  0 .

Rjeˇsenje.

( 1 1) − , 3 ; 2 

Zadatak 26.

  1 2) −∞, − ∪ [3, +∞ . 2

Dane su linearne funkcije f (x) = x + 1 i g(x) = 2x − 3 . Prikaˇzi te funkcije grafiˇcki, te koriste´ci se slikom zapiˇsi rjeˇsenja sljede´cih nejednadˇzbi: f (x)  0; g(x) f (x) 4)  0. g(x)

1) f (x)g(x)  0 ;

2)

3) f (x)g(x)  0 ; Rjeˇsenje.

1) Rjeˇsenje nejednadˇzbe f (x) · g(x)  0 je svaki realni broj x za koji su vrijednosti funkcija f i g suprotni brojevi. Promatranjem grafova funkcija f  3 i g vidjet c´emo da je to svaki x , x ∈ −1, . Za svaki x iz tog intervala je 2 f (x)  0 a g(x)  0 .

1 -1

2

-3

Primijeti da je za svaki x < −1 i f (x) < 0 i g(x) < 0 pa je f (x) · g(x) > 0 . 3 Jednako tako je za x > i f (x) > 0 , i g(x) > 0 , te je f (x) · g(x) > 0 . 2 ! 3 2) x ∈  −∞, −1] ∪ , +∞ ; 2 3 ! 3) x ∈  −∞, −1] ∪ , +∞ ; 2  3! 4) x ∈ −1, . 2

Zadatak 27.

Rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) (3x − 1)(2x + 5) < 0 ; 4−x  0; 3) 2x + 7

2) (2x + 3)(−3x + 2) > 0 ; −x − 1 4)  0. −5x + 8

265

6

ˇ RJESENJA ZADATAKA

Rjeˇsenje. 1)

<

3)

2)

5

3

4)

<