Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)

PROPOSISI 1.1 PROPOSISI dan TABEL KEBENARAN KEBENARAN 1.1.1 Proposisi Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi ( preposition).  preposition). Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true ( true)) atau salah ( false),  false), tetapi tidak  dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth (truth value). value). Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.

Contoh 1.1 a) 6 adalah bilangan genap  b) oekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama ") # $ # % & d) !bukota Pro'insi aa *arat adalah emarang e) +#  +f) Kemarin hari hujan g) uhu di permukaan laut adalah #+ derajat "el"ius h) Pemuda itu tinggi i) Kehidupan hanya ada di Planet *umi emuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, " bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota aa *arat seharusnya *andung dan proposisi e bernilai salah karena seharu seharusny snyaa +#  +-. Propos Proposisi isi f sampai sampai ! memang memang tidak tidak dapat dapat langsu langsung ng diteta ditetapkan pkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi/proposisi tersebut tidak mungkin benar  dan salah salah sekali sekaligus gus.. Kita Kita bisa bisa menetap menetapkan kan nilai nilai propos proposisi isi terseb tersebut ut benar benar atau atau salah. salah. 0isalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias  benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuan yang dapat memastikan kebenarannya.

Contoh 1.2 a) am berapa kereta api 1rgo *romo tiba di 2ambir3  b) erahkan uangmu sekarang4 ") 5 $  % 7 d) 5 8   bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat 9anya, 9anya, sedangkan kalimat b adalah kalimat  perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari "ontoh +.+ dan +.# di atas, dapat disimpulkan baha proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat 9anya maupun kalimat perintah. Kalimat " dan d bukan proposisi karena kedua

kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung  peubah ('ariable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. 9etapi 9etapi kalimat :;ntuk sembarang bilangan bulat n  . misalnya,  p?  p? 6 adalah bilangan genap, ;ntuk mendefinisikan p sebagai proposisi :6 adalah bilangan genap=. *egitu juga untuk  q ? soekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama. r  ?  ? # $ # % &. dan sebagainya.

1.1.2 Ta!l K!!naran  @ilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan "ara mereka dihubungkan oleh operator logika. • • •

"isalkan p dan q adalah proposisi. Kon#ungsi p $ % !rnilai !nar #ika p dan q k!duan&a !nar' s!lain itu nilain&a salah (is#ungsi p ) % !rnilai salah #ika p dan q k!duan&a salah' s!lain itu nilain&a !nar N!gasi p' &aitu *  p' !rnilai !nar #ika p salah' dan s!alikn&a

0isalkan  p?  p? +A adalah bilangan prima q? bilangan prima selalu ganjil  jelas baha p baha p bernilai  bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi  p B  p B q? +A adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah. atu atu "ara "ara yang yang prakti praktiss untuk untuk menent menentukan ukan nilai nilai kebenar kebenaran an propos proposisi isi majemu majemuk k adalah adalah menggun menggunaka akan n tabel tabel kebenara kebenaran. n. 9abel abel kebenar kebenaran an menamp menampilk ilkan an hubunga hubungan n antara antara nilai nilai kebenaran dari proposisi atomik. 9abel +.+ menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, 9%true 9%true(benar), (benar), dan % false(salah).  false(salah).  9abel kebenaran konjungsi, disjungsi, ingkaran Ta!l 1.1 9abel

Contoh soal? ika p, ika p, q, r adalah adalah proposisi. *entuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika (p B ) ' (E B r) Penyelesaian? 1da 1da  buah buah prop propos osis isii atom atomi" i" di dalam dalam eksp ekspre resi si logi logika ka dan dan seti setiap ap propo proposi sisi si hanya hanya mempunyai # kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah buah. 9abel 9abel kebenaran dari proposisi (p B ) ' (E B r) ditunjukkan pada tabel +.#.

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing/masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing/masing proposisi atomiknya. adi, sebuah proposisi maje majemu muk k dise disebu butt tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus. Fang dimaks dimaksud ud dengan dengan :semua :semua kasus= kasus= di dalam dalam defini definisi si si atas atas adalah adalah semua semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi di"irikan pada kolom kolom terakhi terakhirr pada pada tabel tabel kebenar kebenaranny annyaa hanya hanya memuat memuat Tru!. Propos Proposis isii kontrad kontradiks iksii di"irikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat +als!.

1.1., -uku / -uku Proposisi Proposisi, Proposisi, dalam kerangka kerangka hubungan hubungan eki'alen eki'alen logika, logika, memenuhi memenuhi sifat/sif sifat/sifat at yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di baah.*eberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b $ ") % ab $ a", yaitu hukum

distri distributi butif, f, sehing sehingga ga kadang/ kadang/kad kadang ang hukum hukum logika logika propos proposisi isi dinama dinamakan kan juga juga huku0 huku al#aar proposisi . .

Hukum/hukum Hukum/hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan membuktikan ke/eki'alenan ke/eki'alenan dua  buah proposisi. elain menggunakan tabel kebenaran, ke/eki'alenan dapat dibuktikan dengan dengan hukum/h hukum/hukum ukum logika logika,, khususny khususnyaa pada propos proposisi isi majemu majemuk k yang yang mempuny mempunyai ai  banyak proposisi atomik. *ila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi atomi", maka table table kebenarannya terdiri dari baris. ;ntuk n yang besar jelas tidak praktis menggun menggunaka akan n tabel tabel kebena kebenaran, ran, misaln misalnya ya untuk untuk n=+< n=+< terd terdap apat at bari bariss di dala dalam m tabe tabell kebenarannya.

2.1 TATOLOI TATOLOI (AN KONTRA(IKSI 2.1.1 Ta Tautologi utologi 9autol utolog ogii adal adalah ah per pernyat nyataa aan n maje majem muk yang ang selalu benar un benar unttuk sem semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan/pernyataan komponennya. ebuah 9autologi yang memuat pernyataan pernyataan !mplikasi !mplikasi disebut !mplikasi Gogis. ;ntuk membuktikan membuktikan apakah suatu pernyataan 9autologi, maka ada dua "ara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai * (benar) maka disebut 9autologi, dan "ara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum kui'alensi Gogika. Contoh: Gihat pada argumen berikut? ika 9ono pergi kuliah, maka 9ini juga pergi kuliah. ika iska tidur, maka 9ini pergi kuliah. Dengan demikian, de mikian, jika 9ono pergi kuliah atau iska tidur, maka 9ini pergi kulah. Diubah ke 'ariabel proposional? 1 9ono pergi kuliah * 9ini pergi kuliah C iska tidur  Diubah Diubah lagi lagi menjadi menjadi ekspre ekspresi si logika logika yang terdir terdirii dari dari premis premis/pr /premi emiss dan kesim kesimpil pilan. an. kspre kspresi si logika logika + dan # adalah adalah premis premis/pr /premi emis, s, sedang sedangkan kan ekspre ekspresi si logika logika  adalah adalah kesimpulan. (+) 1 I * (Premis) (#) C I * (premis) () (1 J C) I * (kesimpulan) 0aka sekarang dapat ditulis? ((1 I *) ʌ (C I *)) I ((1 J C) I *

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan baha pernyataan majemuk ?

((1 I *) ʌ (C I *)) I ((1 J C) I * adalah s!ua !nar (9autologi)#L  (9autologi)#L.. Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran? +. (p ʌ  E) p Pembahasan?

!ni adalah adalah tabel tabel kebenar kebenaran an yang menunju menunjukka kkan n 9auto 9autolog logii dengan dengan alasan alasan yaitu yaitu semua semua  pernyataannya bersifat benar atau 9rue (9). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ E) p s!lalu !nar. #. (p ) ʌ pL p  Pembahasan?

+) (#) () (&) (M) *erdasrkan tabel diatas pada kolom M, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah ****. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk (p ) ʌ pL p  s!lalu !nar Pemb Pembukt uktia ian n deng dengan an "ara "ara kedu keduaa yait yaitu u denga dengan n penja penjaba bara ran n atau atau penur penurun unan an denga dengan n menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum ekui'alensi logika. Contoh? +. (p ʌ )  Penyelesaian? (p ʌ )   E(p ʌ ) '  Ep ' E '  Ep ' 9

Dari pembuktian diatas telah nampaklah baha pernyataan majemuk dari (p ʌ )  adalah tautologi karena hasilnya 9 (true) atau benar. Pembuktian Pembuktian dengan menggunakan menggunakan tabel kebenaran kebenaran dari pernyataan pernyataan majemuk majemuk (pʌ )  yaitu?

Pada tabel diatas nampaklah baha kalimat majemuk (p ʌ )  merupakan merupakan 9autologi. 9autologi. #.  (p ' )  penyelesaian?  (p ' ) E ' (p ' ) E ' ( ' p) 9'p

2.1.2 Kontradiksi Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai "ontoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang memandang nilai kebenaran dari komponen/komp komponen/komponennya. onennya. ;ntuk  ;ntuk  membukt membuktika ikan n apakah apakah suatu suatu pernya pernyataa taan n terseb tersebut ut kontrad kontradiks iksi, i, maka maka ada dua "ara "ara yang digunakan. digunakan. Cara pertama pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan pilihan  bernilai  atau salah maka disebut kontradiksi, dan "ara kedua yaitu dengan melakukan  penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum kui'alensi Gogika. Contoh dari Kontradiksi? +. (1 ʌ E1) Pembahasan?

Dari Dari tabe tabell kebe kebena nara ran n (1 ʌ E1) s!lalu salah. #. P ʌ (Ep ʌ )

diat diatas as dapa dapatl tlah ah disi disimp mpul ulka kan n

bah bahaa

pern pernya yata taan an maje majemu muk  k 

Pembahasan?

!ni adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua  pernyataan bernilai salah ().

,.1 EKI3ALENSI (AN LOIKA Dua Dua atau atau lebi lebih h perny pernyat ataa aan n maje majemu muk k yang yang memp mempuny unyai ai nila nilaii keben kebenar aran an sama sama dise disebu butt ekui'alensi logika dengan notasi : dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekui'alen, jika kedua kedua perny pernyat ataa aan n maje majemu muk k itu itu memp mempuny unyai ai nila nilaii kebe kebena naran ran yang yang sama sama untuk untuk semua semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan/pernyataan komponen/komponennya.

,.1.1 -uku0-uku Ekui)al!nsi Logika 1. -uku Koutati45 ;. -uku N!gasi anda 8In)olusi95

 p ʌ   ʌ p  p '   ' p

E(Ep) p

2. -uku Asosiati45

. -uku P!n&!rapan 8Asorpsi95

 p ʌ 9 p  p '  p

 p ' (P ʌ ) p P ʌ (p ' ) p

7. -uku Ikatan 8(oinasi95

11. -uku T (an +5

P'9 9 P' 

E9  E 9

:. -uku N!gasi5

12. -uku Iplikasi K! And?Or5

P ' Ep 9 P ʌ Ep 

P  Ep ' 

Dengan adanya hukum/hukum diatas, penyelesaian soal/soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekui'alensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan +# (dua belas) hukum/hukum ekui'alensi logika tersebut.

6.1 AL@ABAR PROPOSISI etiap proposisi yang saling eki'alen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya.  Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut: berikut:

a. -uku Id!pot!n 8Id!9 •

 p∨ p ek p •  p∧ p ek p

. -uku Asosiati4 8As9 • •

(p∨)∨r ek p∨(∨r) (p∧)∧r ek p∧(∧r)

•

 p∨∼ p ek 9 •  p∧∼ p ek  • ∼(∼ p) ek p • ∼9 ek 

g. -uku Tr Transposisi ansposisi 8Tr 8 Trans9 ans9 •

 p⇒ ek ∼⇒∼ p

. -uku Koutati4 8Ko9 •

∨

ek ∨ p •  p∧ ek ∧ p

d. -uku (istriuti4 8(ist9 •

 p∨(∧r) ek (p∨)∧(p∨r) •  p∧(∨r) ek (p∧)∨(p∧r)

!. -uku Id!ntitas 8Id9 •

 p∨ ek p •  p∨9 ek 9 •  p∧ ek  •  p∧9 ek p

h. -uku Iplikasi 8Ip9 •

i. -uku Eki)al!nsi 8Eki9 •

 p⇔ ek (p⇒)∧(⇒ p) •  p⇔ ek (p∧)∨(∼∧∼ p)

 #. -uku Eksportasi 8Eksp9 •

(p∧)⇒r ek p⇒(⇒r)

k. -uku (! "organ 8("9 • •

4. -uku Kopl!!n 8Kop9

 p⇒ ek ∼ p∨

∼(p∨)

ek ∼ p∧∼ ∼(p∧) ek ∼ p∨∼

7.1 I"PLIKASI LOIK 8LOICAL I"PLICATION9 I"PLICATION9 7.1.1 Iplikasi 8Proposisi B!rs&arat9 • !mpl !mplik ikas asii

adal adalah ah 0isa 0isalk lkan an ada ada # pern pernya yata taan an p dan dan , untuk untuk menu menunju njukk kkan an atau atau

memb membukt uktik ikan an baha baha jika jika p bern bernil ilai ai benar benar akan akan menj menjadi adika kan n  berni bernila laii benar benar juga, juga, dileta diletakkan kkan kata kata :!K1= :!K1= sebelu sebelum m pernya pernyataa taan n pertam pertamaa lalu lalu dileta diletakkan kkan kata kata :01K1= :01K1= sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan :implikasiNpernyataan, bersyaratNkondisionalNhypotheti"al dengan notasi :◊=. notasi  p ◊  dapat diba"a ? • +. ika p maka  • #.  jika p • . p adalah syarat "ukup untuk  • &.  adalah syarat perlu untuk p •

ontoh !mplikasi ": •

 p ? Pak 1li adalah seorang haji. •  ? Pak 1li adalah seorang muslim.  p O  ? ika Pak 1li adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim. muslim. •  • !mplikasi dari p ke  dinyatakan dengan, p8, ialah proposisi yang bernilai salah  jika dan hanya jika p bernilai benar dan  bernilai salah. Proposisi p disebut anteseden (premisNhipotesa) dan proposisi  disebut konsekuen(konklusiNkesimpulan). k onsekuen(konklusiNkesimpulan). •

ontoh !mplikasi ": • a. ika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah. • b. ika suhu men"apai 7Sadalah himpunan kebenarannya. •

•

;.1 PENKR @"LA- NI3ERSAL •

0isalkan # 0isalkan  # sebuah penyataan, penyataan, dan $ dan $ menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin

menunjukkan menunjukkan baha # baha # bernilai  bernilai benar bena r untuk semua kemungkinan ke mungkinan nilai $ nilai $,, kita tuliskan ∀5 #.  #. (universal quantifier ), ), dan # dan # dikatakan sebagai ruang ∀ $ disebut pengukur jumlah uni'ersal (universal lingku lingkup p ( scope)  scope) dari dari pengukur pengukur jumlah jumlah terseb tersebut. ut. Jariabel riabel  $ dikatakan dikatakan menjadi menjadi 'ariabel 'ariabel terbatas (bound  (bound ) dari pengukur jumlah tersebut. imbol ∀ diba"a :;ntuk semua=. • ;ntuk ;ntuk perny pernyat ataa aan n :emu :emuaa ku"i ku"ing ng puny punyaa ekor ekor== dapat dapat kita kita nyat nyatak akan an dalam dalam kalkulus predikat sebagai ? ∀5 (Ku"ing(5)⇒Punyakor(5)) • •