MATEMATIKA Contoh Persamaan Dan Fungsi Kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT Contoh-contoh soal ! 1. ubahlah persamaan kuadrat berikut ke bentuk ax2 + bx + c = 0, kemudian tentukan nilai a, b, dan c untuk masing-masing persamaan. b. 1x2 – 4 (3x – 2) = 7 – x Penyelesaian 2x2 – 4 (3x – 2) = 7 – x 2x2 – 12x + 8 = 7 – x 2x2 - 12x + 8 – 7 + x = 0 2x2 – 11x + 1 = 0 Jadi, a = 2; b = -11 dan c = 1

2. a. b. c.

a. (x – 2)2 - 8 = 0 Penyelesaian (x – 2)2 - 8 = 0 x2 – 4x + 4 - 8 = 0 x2 - 4x - 4 = 0 Jadi, a = 1; b = -4 dan c = -4

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut. X2 – 2X = X2 – 3X + 2 = 0 2X2 – 5X – 3 = 0

b. X2 – 2X = 0 Penyelesaian ; X2 (X– 2) = 0 X = 0 atau X – 2 = 0 X = 0 atau X = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya (0,2)

a. 2X2 – 5X - 3 = 0 Penyelesaian ; (2X + 1) (X– 3) = 0 2X +1 = 0 atau X – 3 = 0 X = -1/2 atau X = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya (-1/2,3)

c. X2 – 3X + 2 = 0 Penyelesaian ; (X – 1) (X– 2) = 0 X -1 = 0 atau X – 2 = 0 X = 1 atau X = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya (1,2)

3. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dibawah ini ! a. X2 + 6X – 7 = 0 b. 4X2 + 7X + 5 = 0 Penyelesaian : a. X2 + 6X – 7 = 0 D = 62 – 4 (1) (-7) = 36 + 28 = 64 Karena D = 64 > 0 sehingga persamaan X2 + 6X – 7 = 0 mempunyai dua akar real dan berlainan. Disamping itu, nilai D = 64 = (± 8)2 sehingga kedua akar itu merupakan bilangan rasional. [email protected]

b. 4X2 + 7X + 5 = 0 D = 72 – 4 (4) (5) = 49 – 80 = - 31 Karena D = -31 < 0, persamaan 4X2 + 7X + 5 = 0 mempunyai dua akar yang tidak real. 4. tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut ! a. X2 + 4X – 12 = 0 Penyelesaian ; X2 + 4X – 12 = 0 X2 + 4X + 4 - 16 = 0 (X + 2)2 -16 = 0 (X + 2)2 = 16 X + 2 = ± 16 X+2=±4 X = 4 – 2 atau = - 4 – 2 X = 2 atau X = -6 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-6,2). 5. dengan menggunakan rumus a,b,c tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat dari X2 – 4X + 3 = 0 penyelesaian ; Diketahui persamaan kuadrat X2 – 4X + 3 = 0, berarti a = 1, b = -4, dan c = 3, oleh karena itu dengan rumus abc, penyelesaian persamaan kuadrat itu adalah sebagai berikut. X1,2

− b ± b 2 − 4ac 2a −( −4) ± ( −4) 2 − 4(1)( 3) = 2(1)

=

= =

4 ± 16 −12 2

4 ±2 2

Dengan demikian, X1 =

4 ±2 4 ±2 = 3 atau X2 = =1 2 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (1,3) 6. dikethui persamaan kuadrat X2 – (P + 2)X + P = 0, dengan P ∈ R. perlihatkan bahwa persamaan kuadrat itu selain mempunyai dua akar real yang berlainan. Penyelesaian : X2 – (P + 2) X + P = 0, koefisiennya adalah a = 1, b= -(P + 2), & c = P nilai diskriminannya adalah : D = b2 – 4ac = {-(P + 2)}2 – 4 (1) (P) = P2 + 4P + 4 – 4P = P2 + 4 Untuk setiap P ∈ R, nilai D = P2 + 4 selalu positif (mengapa ?). oleh karena itu D > 0 untuk setiap P ∈ R maka persamaan kuadrat X2 – (P + 2)X + P = 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan.

[email protected]

Nyatakan persamaan-persamaan berikut ini kedalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b, dan c. 7. 2X2 = 3X – 8 2X2 = 3X – 8 kedua ruas ditambah dengan -3X + 8 2X2 – 3X + 8 = 0, jadi a = 2, b = -3, dan c = 8 8. X2 = 2(X2 – 3X + 1) X2 = 2X2 – 6X + 2, kedua ruas dikurangi dengan X2 0 = X2 – 6X + 2 = X2 – 6X + 2 = 0 Jadi, a = 1, b = -6, dan c = 2 9. 2X – 3 =

5 kedua ruas dikalikan dengan X X

(2X – 3) X = 5 2X2 – 3X = 5 = 2X2 – 3X - 5 = 0 Jadi, a = 2, b = -3, dan c = -5 10.

2 1 + = 2 kedua ruas dikalikan dengan (x – 1) (x – 2) x −1 x −1

2(x – 2) + (x – 1) = 2 (x – 1) (x – 2) 2x – 4 + x – 1 = 2(x2 – 3x + 2) 3x – 5 = 2x2 – 6x + 4 2x2 – 9x + 9 = 0 Jadi a = 2, b = -9 dan c = 9

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT 1. ubahlah persamaan kuadrat dibawah ini : a. 3x2 + x = 3x – 5 Penyelesaiannya ; [email protected]

3x2 + x = 3x – 5 3x2 + x – (3x – 5) = 0 3x2 + x -3x + 5 = 0 3x2 - 2x + 5 = 0 Jadi ; a = 3 b = -2 c=5 b. 3(x2 – x) = 5x (x – 2) Penyelesaiannya ; 3(x2 – x) = 5x (x – 2) 3x2 – 3x = 5x2 - 10x 3x2 – 3x = (5x2 - 10x) = 0 3x2 – 3x - 5x2 + 10x = 0 - 2x2 + 7x = 0 Jadi ; a = -2 b=7 c=0 2. faktorkan bentuk selisih kuadrat dibawah ini ; m2 – n2 = (m + n) (m – n) a. x2 – 16 = 0 Penyelesaiannya ; x2 – 16 = 0 x2 – 42 = 0 (x + 4) (x – 4) = 0 X + 4 = 0 atau x – 4 = 0 X = -4 atau x = 4 Jadi (-4,4) b. 2x2 – 16 = 0 2(x2 – 8) = 0 2 (x2 – ( 8 )2) = 0 2(x + 8 ) (x - 8 ) = 0 x + 8 atau x - 8 = 0 jadi (-2 2 , 2 2 ) 3. selesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat dibawah ini : a. x2 – 4x + 2 = 0 Penyelesaiannya ; X1,2

− b ± b 2 − 4ac 2a −( −4) ± ( −4) 2 − 4(1)( 2) = 2(1)

=

=

4 ± 16 − 8 2

[email protected]

4± 8 2 4 ±2 2 = 2 =2± 2

=

b.

tentukan nilai x yang memenuhi x +2 + 4 – x = 0 Penyelesaiannya ; x +2 = x – 4 X + 2 = (x – 4) 2 X + 2 = x2 – 8x + 16 0 = x2 – 9x + 14 0 = (x – 7) (x – 2) x = 7 atau x = 2

x +2

+4–x=0

4. persamaan kuadrat x2 – 2x – 1 = 0 mempunyai akar X1 dan X2. Susunlah persamaan kuadrat yang akarnya ; a. 3X1 dan 3X2 Penyelesaian (1) a +β = 3X1 + 3X2 = 3(X1 + X2) = 3 (2) =6 Penyelesaian (2) a +β = 3X1 x 3X2 = 9(X1 x X2) = 9 (-1) = -9 b.

2 2 dan x1 x2

Penyelesaiannya (1) ; a +β

2

2

= x + x 1 2 2 x1 + 2 x 2 = x1 x 2 2 (x 1 + x 2 ) = x 1 x2 =

2( 2) = −4 −1

Penyelesaiannya (1) ; a +β

2

2

= x x x 1 2

[email protected]

4 x1 x 2 4 = -1

=

= −4 Jadi, persamaan kuadratnya x2 + 4x – 4 = 0 5. melengkapi kuadrat sempurna ; x2 – 2x – 8 = 0 penyelesaiannya ; x2 – 2x = 8 x2 – 2x + 1 = 8 + 1 (x – 1)2 = 9 X–1=± 9 X–1=±3 Maka, X1 = 3 + 1 = 4 X2 = -3 + 1 = 2 6. nyatakan fungsi kuadrat berikut ini dalam kuadrat sempurna, lalu tentukan titik koordinatnya ! a. F(x) = x2 + 2x + 4 F(x) = (x2 + 2x + 1) + 3 F(x) = (x + 1)2 + 3 Titik koordinatnya ; (-1, 3) F(x) = 2x2 – 8x + 5 = 2(x2 – 4x) + 5 = 2(x2 – 4x + 4 - 4) + 5 = 2(x2 – 4x + 4) -8 + 5 F(x) = 2(x – 2)2 – 3 Titik koordinatnya ; (2, -3) b.

Tentukan sifat fungsi kuadrat berikut ini definitif positif, definitif negatif atau tidak keduanya ? 7. 2x2 – 4x + 3 Penyelesaiannya ; a =2 D = (-4)2 – 4(2) (3) = 16 – 24 =-8 D