Matematička analiza 1

µ MATEMATICKA ANALIZA, I Nikica Ugleši´c

i

ii

Sadrµ zaj PREDGOVOR

v

1 SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI µ 1.1 OSNOVE MATEMATI CKE LOGIKE . . . . . . 1.1.1 Logiµcki sud . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Operiranje sudovima . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 SKUPOVI I RELACIJE . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Operiranje skupovima . . . . . . . . . . . 1.2.3 Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Funkcijska kompozicija . . . . . . . . . . . 1.3.3 Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Kardinalni broj . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 REALNI BROJEVI . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Prirodni i cijeli brojevi . . . . . . . . . . . 1.4.2 Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Apsolutna vrijednost realnog broja . . . . 1.4.4 Potenciranje . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Kombinatoriµcke osnove . . . . . . . . . . 1.4.6 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 KOMPLEKSNI BROJEVI . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Pojam i osnovne operacije . . . . . . . . . 1.5.2 Geometrijski prikaz kompleksnog broja . . 1.5.3 Trigonometrijski zapis kompleksnog broja 1.5.4 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2 4 4 4 5 6 8 9 9 10 11 12 13 14 14 21 27 28 31 37 40 40 41 42 44

iv 2 KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST 2.1 ELEMENTARNE FUNKCIJE . . . . . . . . . . . 2.1.1 Zadavanje funkcija iz R u R . . . . . . . . . 2.1.2 Globalna svojstva realnih funkcija . . . . . 2.1.3 Osnovne elementarne funkcije . . . . . . . . 2.1.4 Razredba elementarnih funkcija . . . . . . . 2.1.5 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA . . . . . 2.2.1 Niz realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Svojstva konvergentnih (pod)nizova . . . . 2.2.3 Red realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Nekoliko kriterija za konvergentnost realnog 2.2.5 Funkcijski niz . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Funkcijski red . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 NEPREKIDNE FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Graniµcna vrijednost u beskonaµcnosti . . . . 2.3.2 Graniµcna vrijednost u to µcki . . . . . . . . . 2.3.3 Neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Svojstva neprekidne funkcije na segmentu . 2.3.5 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

µ SADRZAJ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

µ 3 INFINITEZIMALNI RACUN 3.1 DERIVACIJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Derivabilnost i njezino znaµcenje . . . . . . . . . . 3.1.2 Derivacije elementarnih funkcija . . . . . . . . . 3.1.3 Diferencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Osnovni teoremi diferencijalnoga racµuna . . . . . 3.1.5 Taylorova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Deriviranje funkcijskog reda . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Odre†ivanje funkcijskog tijeka . . . . . . . . . . . 3.1.8 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 NEODREÐENI INTEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Pojam i osnovna svojstva neodre†enog integrala 3.2.2 Osnovne integracijske metode. . . . . . . . . . . 3.2.3 Integriranje nekih klasa elementarnih funkcija . . 3.2.4 Integriranje funkcijskog reda . . . . . . . . . . . 3.2.5 Vjeµzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 ODREÐENI INTEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Pojam i osnovna svojstva odre†enog integrala . . 3.3.2 Neki pribliµzni integracijski postupci. . . . . . . . 3.3.3 Nepravi integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Nekoliko primjena odre†enog integrala . . . . . . 3.3.5 Vjeµzbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 47 50 52 58 60 61 61 64 69 71 75 77 79 81 81 82 86 91 96

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 97 97 101 106 110 114 118 120 131 132 133 137 140 145 148 148 148 157 161 166 175

PREDGOVOR Ova skripta sadrµze matematiµcko gradivo što ga obuhva´ca predmet pod uobiµcajenim nazivom Matematiµ cka analiza, I, a predaje se kao temeljni matematiµcki predmet na svim Prirodoslovno-matematiµckim fakultetima. Radi se, dakako, o strogom fundiranju potpuno ure†enog polja realnih brojeva i o analizi realnih funkcija jedne realne varijable. Gradivo se dijeli na tri velike cjeline - poglavlja: Skupovi. Funkcije. Realni brojevi; Konvergencija i neprekidnost; In…nitezimalni raµ cun (Diferencijalni i integralni raµ cun). Svako se poglavlje dalje dijeli na glavne teme - odjeljke, a ovi opet na osnovne tematske jedinice - pododjeljke. Oznaµcavanje prati poglavlja i odjeljke. Primjerice, Teorem 3.2.7 znaµci: sedmi teorem u drugomu odjeljku tre´cega poglavlja. Obradu svake tematske jedinice prate odgovaraju´ci primjeri, a svaki se odjeljak svršava pododjeljkom ”Vjeµ zbe” sa zadacima za provjeru ispravne usvojenosti izloµzenoga gradiva. Tako ova skripta sadrµze i malu ali netrivijalnu zbirku - vjeµzbenicu. Na kraju skripata nalazi se detaljno Pojmovno kazalo. µ Veliku zahvalnost dugujem dr. sc. Branku Cervaru koji je narisao sve crteµze i bitno poboljšao gra…µcki izgled konaµcnoga teksta. Prirodni nastavak ovih skripata jesu auktorova skripta Matematiµcka analiza, II, i Matematiµcka analiza, III, koja ´ce, tako†er, biti dostupna na ”web-stranicama” Fakulteta prirodoslovno-matematiµckih znanosti u Splitu. Unaprijed zahvaljujem svakom µcitatelju koji ´ce mi ukazati na neku pogrješku ili propust i predloµziti ispravak ili poboljšanje. U Splitu, mjeseca rujna, g. G. 2000. Nikica Ugleši´c [elektroniµcka adresa: [email protected]]

v

vi

PREDGOVOR

Poglavlje 1

SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI 1.1 1.1.1

µ OSNOVE MATEMATICKE LOGIKE Logiµ cki sud

Za sporazumijevanje i obavješ´civanje rabimo, uglavnom, raznovrsne jeziµcne reµcenice. Za ”strogo matematiµcko” komuniciranje ne trebaju µcak ni sve izjavne reµcenice (izreke). Ono što je ovdje neophodno jesu neke smislene izjave, odnosno, logicµki sudovi. De…nicija 1.1.1 Logiµ cki sud(kra´ce i nadalje: sud) je smislena izjavna recenica podrediva naµ µ celu iskljuµ cenja tre´ ceg. Dakle, svaki sud ima toµ cno jednu istinosnu vrijednost, tj. ili jest istinit ili nije istinit. (Za sud koji nije istinit kaµzemo i da je neistinit ili laµ zan.) Primjer 1.1.1 Koje od sljede´cih reµcenica (ni)su sudovi? (a) Je li zrakoplov sletio? (b) Jutro je pametnije od veµceri. (c) Brod je jedrenjak. (d) Svaki brod je jedrenjak. (e) Zemlja se vrti oko svoje osi. (f) Umijte se! (a) Nije, jer nije izjavna reµcenica; (b) Nije, jer ta reµcenica nema smisla (u doslovnom znaµcenju ukljuµcenih rijeµci); (c) Nije, jer nije podrediva naµcelu iskljuµcenja tre´ceg - ne moµze joj se odrediti istinosna vrijednost, jer nije kazano o kojemu brodu je rijeµc; (d) Jest, i to laµzan - ima brodova koji nisu jedrenjaci; (e) Jest, i to istinit; (f) Nije, jer nije izjavna reµcenica. Sudove ´cemo oznaµcavati velikim (malo nagnutim) latinskim slovima A, B, C, ... Jednostavnosti radi, ako je sud A istinit pisat ´cemo ¿A = > (i 1

2

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

µcitati: tau a jest te), a ako je neistinit pisat ´cemo ¿A = ? (i µcitati: tau a nije te).

1.1.2

Operiranje sudovima

(i) Konjunkcija. Neka su A i B sudovi. Novi sud u oznaci A ^ B (µcitamo: a i be) de…niramo ovako: ¿(A^B) = > toµcno onda kad je ¿A = > i ¿B = >. Znakom ^ (µcitamo: i) oznaµcenu logiµcku operaciju nazivamo konjunkcijom. Zgodno je pripadnu istinosnu vrijednost pregledno prikazati tzv. tablicom istinosne vrijednosti. ¿(A ^ B) :

AÂB > ?

> > ?

? ? ?

(ii) Disjunkcija. Neka su A i B sudovi. Novi sud u oznaci A _ B (µcitamo: a ili be) de…niramo ovako: A _ B je laµzan toµcno onda kad su oba suda A i B laµzna. (¿(A _ B) =? µcim je ¿A =? i ¿B =?.) Operaciju oznaµcenu znakom _ (µcitamo: ili) nazivamo (inkluzivnom, ukljuµcivom) disjunkcijom. Odgovaraju´ca tablica istinosnih vrijednosti jest ¿(A _ B) :

AÂB > ?

> > >

? > ?

(iii) Ekskluzivna disjunkcija. Neka su A i B sudovi. Novi sud u oznaci A Y B (µcitamo: ili a ili be) de…niramo ovako: A Y B je istinit to cµno onda kad je jedan i samo jedan od sudova A, B listinit. (Za A Y B se kaµze i: Bilo A, bilo B, ali ne ob(a)oje.) Operaciju oznaµcenu znakom Y (µcitamo: ili - ili) nazivamo ekskluzivnom (iskljuµ civom) disjunkcijom. Pripadna tablica istinosnih vrijednosti jest ¿(A Y B) :

AÂB > ?

> ? >

? > ?

(iv) Implikacija. Ako su A i B sudovi, onda A ) B (µcitamo: a povlaµci be) oznaµcuje sud koji je laµzan to µcno onda kad je sud A istinit, a sud B laµzan. Znakom ) (µcitamo: povlaµci; implicira) oznaµcenu operaciju nazivamo impliµ kacijom. (Cesto se za A ) B kaµze i: ”Iz A slijedi B”; ”A je nuµzdan uvjet za B”; ”B je dovoljan uvjet za A”.) Pripadna tablica istinosnih vrijednosti jest ¿(A ) B) :

AÂB > ?

> > >

? ? >

µ 1.1. OSNOVE MATEMATICKE LOGIKE

3

(iv) Ekvivalencija. Ako su A i B sudovi, onda A , B (µcitamo: a vrijedi (jest) onda i samo onda ako be vrijedi (jest)) oznaµcuje sud koji je istinit toµcno onda kad oba suda A, B imaju istu istinosnu vrijednost. Znakom , (µcitamo: ekvivalentno) oznaµcenu operaciju nazivamo ekvivalencijom. µ (Cesto se za A , B kaµze i: ”A je nuµzdan i dovoljan uvjet za B”; ”A je ekvivalent(an)no B”.) Pripadna tablica istinosnih vrijednosti jest > > ?

AÂB > ?

¿(A , B) :

? ? >

(v) Negacija. Neka je A sud. Novi sud pod oznakom :A (µcitamo: nije a) de…niramo ovako: ¿(:A) = > to µcno onda kad je ¿A = ?. Operaciju oznaµcenu znakom : (µcitamo: nije; non) nazivamo negacijom. Odgovaraju´ca tablica istinosnih vrijednosti jest ¿(:A) :

A :A

> ?

? >

Primjer 1.1.2 Izjavna reµcenica ”x se je rodio prije y” nije sud. Ona postaje sudom µcim se za nepoznanice (varijable) x i y uvrste odre†ene osobe. Tako, primjerice, za x = Arhimed i y = Gauss dobivamo istinit sud ”Arhimed se je rodio prije Gaussa”. De…nicija 1.1.2 Izjavnu reµ cenicu koja sadrµ zi jednu ili više nepoznanica i koja postaje sudom kad sve te nepoznanice poprime odre† ene vrijednosti, nazivamo otvorenom reµ cenicom ili (logiµ ckim) predikatom. Uobiµcajilo se odnos me†u nepoznanicama u predikatu oznaµcavati velikim slovom. Tako se predikat iz prethodnoga primjera oznaµcuje s P(x; y), gdje je P odnos ”se je rodio prije”, a varijable x i y smiju biti bilo koje osobe (umrli ili tjelesno µzivi ljudi). Ponekad, jednostavnosti radi, oznaku odnosa me†u nepoznanicama rabimo i kao oznaku cijeloga predikata. Ako je P predikat, onda je (8x)P novi predikat: ”Za svaki(o) x je P”. Znak 8 oznaµcuje neodre†enu zamjenicu (za) svaki(o), a nazivamo ga univerzalnim kvanti…katorom. Nadalje, ako je P predikat, onda je (9x)P novi predikat: ”Postoji x tak(av)o da je P”. Znak 9 oznaµcuje neodre†enu zamjenicu (postoji) neki(o), a nazivamo ga egzistencijalnim kvanti…kaµ torom. Cesto se rabi i oznaka (9!x)P za novi predikat: ”Postoji toµcno jedan (tj. jedan i samo jedan) x tak(av)o da je P ”. Napokon, de…nirajmo i formulu (predikatne algebre): To je svaki izraz F sastavljen, na logiµcki dopustiv naµcin, od sudova, predikata, kvanti…katora zagrada, znakova > i ? i operatora ^, _, Y, ), ,, :. Re´ci ´cemo da su dvije formule F i G istovrijedne ili ekvivalentne i pisati F = G, ako je ¿F = ¿G za svaki mogu´ci izbor njihovih varijabla.

4

1.1.3

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Vjeµ zbe

1. Dokazati da su sudovi (formule) A Y B i :(A , B) istovrijedni. 2. Popuniti tablicu istinosne vrijednosti tzv. She¤erove operacije " : Ako su A i B sudovi onda je A " B sud istinit to µcno onda kad je barem jedan sudova A, B istinit. Usporediti sud A " B sa sudom :(A ^ B). 3. Popuniti tablicu istinosne vrijednosti tzv. Lukasiewiczeve operacije # : Ako su A i B sudovi onda je A # B sud istinit to µcno onda kad su oba suda A, B laµzna. Usporediti sud A # B sa sudom :(A _ B). 4. Provjeriti istovrijednost ovih formula: (a) :((8x)P(x)) = (9x):P (x); (b) :((9x):P(x)) = (8x)P (x). 5. Provjeriti je li identicµki istinita (dakle, tautologija, tj. istinita za svaku mogu´cu vrijednost svojih varijabla) neka od ovih formula: (a) (9x)(8y)P(x; y) ) (8y)(9x)P(x; y); (b) (8y)(9x)P(x; y) ) (9x)(8y)P(x; y).

1.2 1.2.1

SKUPOVI I RELACIJE Skup

Skup uzimamo za osnovni matematiµcki pojam, dakle, ne de…niramo ga, tj. ne svodimo na neke ”jednostavnije” pojmove. (Njegova svojstva se zadaju aksiomatski - u što se ovdje ne ´cemo upuštati.) Intuitivno smijemo tek zamišljati da ”je skup ujedinjenje bilo koje mnoµzine objekata - elemenata u jednu cjelinu”. Svaki skup je posve odre†en svojim µclanovima - elementima. Skupove ´cemo oznaµcavati velikim (malo nagnutim) latinskim slovima S, A, X, ¢ ¢ ¢ , a njihove elemente malim ”italik”-slovima s, a, x, ¢ ¢ ¢ . (Pazit ´cemo da ne do†e do zabune pri oznaµcavanju skupova i sudova!) Ako je s element skupa S, pisat ´cemo s 2 S, a ako t nije element skupa S pisat ´cemo t 2 = S. Pretpostavljamo da su svi elementi danog skupa me†usobno razliµciti, tj. da skup ne sadrµzi neki element u više primjeraka. Skupovima smatramo i ”mnozµine koje ne sadrzµe nikakve objekte” - to su tzv. prazni skupovi. Za prazan skup smijemo, dakle, re´ci da je skup bez elemenata. Skup S se µcesto opisuje (zadaje) nekim svojstvom - predikatom P - koje se moµze primijeniti na neku mnoµzinu objekata. Tada se elementima od S smatraju svi promatrani objekti sa svojstvom P i piše se: S = fs j P (s)g (µcita se: S je skup svih elemenata s što imaju svojstvo P). Ako skup X ”nema mnogo” elemenata, primjerice, ako su x, y, z, w svi elementi skupa X, onda pišemo X = fx; y; z; wg. De…nicija 1.2.1 Re´ci ´ cemo da je Y podskup ili dio skupa X, oznaka: Y µ X (znak µ µ citamo: je sadrµ zan u), odnosno, da je X nadskup skupa

1.2. SKUPOVI I RELACIJE

5

Y , oznaka: X ¶ Y (znak ¶ µ citamo: sadrµzi), ako je svaki element skupa Y ujedno element skupa X , tj. y 2 Y ) y 2 X. Primjerice, fy j y je pravokutnikg µ fx j x je paralelogramg.

Re´ci ´cemo da je skup Y jednak skupu X i pisati Y = X, ako je Y µ X i Y ¶ X. U protivnom, re´ci ´cemo da je skup Y razliµcit od skupa X i pisati Y 6= X. Oµcigledno je Y = X onda i samo onda ako je X = Y . Tako†er, Y 6= X , X 6= Y . Primijetimo da iz navedenih de…nicija izravno slijedi da je (”svaki”) prazan skup podskup svakog skupa, te da je jedinstven. Uobiµcajena oznaka za prazni skup jest ;. Ako je ispunjeno Y µ X i Y 6= X, onda kaµzemo da je Y pravi podskup od X i ponekad to istiµcemo oznakama Y $ X ili Y ½ X. De…nicija 1.2.2 Svakim skupom X je posve odre†en njegov tzv. partitivni skup, oznaka: 2 X (µ citamo: dva na iks ), elementi kojega su svi podskupovi od X. Na primjer, ako je X = fx; y; zg onda je 2 X = f;; fxg; fyg; fzg; fx; yg; fx; zg; fy; zg; X g:

1.2.2

Operiranje skupovima

De…nicija 1.2.3 Neka je U skup iSneka su A i B podskupovi od U. Pod unijom skupova A i B, oznaka: A B, podrazumijevamo podskup fx 2TU j x 2 A _ x 2 Bg skupa U . Presjekom skupova A i B, oznaka: A B, smatramo podskup fx 2 U j x 2 A ^ x 2 Bg od U . Podskup fx 2 U j x 2 A^x 2 = Bg od U nazivamo razlikom skupa A od skupa B i oznacµujemo s A n B. Razliku U n A nazivamo komplementom skupa A (u skupu U ) i, kad god ne moµ ze do´ ci do zabune, oznaµ cujemo s Ac . T Ako je A B = ;, kaµzemo da suTskupovi A i B disjunktni ili da se ne sijeku. U protivnom, tj. kad je A B 6= ;, govorimo da se skupovi A i B sijeku. Uniju disjunktnih skupova nazivamo disjunktnom unijom. Donji crteµz je jednostavna ilustracija upravo de…niranih skupovnih operacija. A B

A B

A B

Unija, presjek i razlika.

Jednostavno je dokazati da su unija i presjek asocijativne operacije. To dopušta de…nirati uniju i presjek od više (od dva) skupova, te istraµziti pripadne zakonitosti (v. § 1.2.4 Vjeµzbe).

6

1.2.3

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Relacije

Dvoµclane skupove, npr. X = fx; yg, obiµcno nazivamo parovima. Dogovorimo li se da ´cemo jednom elementu para, recimo x, dati ”prvenstvo” pišu´ci ga uvijek ispred onoga drugogoga - y, dobivamo ure†eni par (x; y). Prema tomu, dok za parove vrijedi fx; yg = fy; xg, za ure†ene parove je (x; y) = (x0 ; y0 ) , (x = x0 ^ y = y 0 ). Po dogovoru, ure† enim parom smatramo i ”par” (x; x). De…nicija 1.2.4 Neka su X i Y neprazni skupovi. Direktnim (ili Kartezijevim) produktom skupa X skupom Y , u oznaci X £Y , smatramo skup svih ure†enih parova (x; y) elemenata x 2 X i y 2 Y . Dakle, X £ Y = f(x; y) j x 2 X ^ y 2 Y g. U sluµ caju X = ; _ Y = ; stavljamo X £ Y = ;. Primijetimo da direktni produkt nije komutativan. T Naime, iz de…nicije slijedi T X £ Y = Y £ X , X = Y , kao i (X £ Y ) (Y £ X) = (6=); , X Y = (6=);. Posebice je vaµzan direktni produkt skupa X samim sobom, tj X £ X ´ X 2 = f(x; x0 ) j x; x0 2 Xg. De…nicija 1.2.5 Binarnom relacijom na skupu X smatramo svaki podskup R µ X £ X. Ako je ure†eni par (x; x0) 2 R, pišemo xRx0 ili R(x; x0 ) i govorimo da je element x u relaciji R s elementom x0 . Za µcitateljevu vjeµzbu neka bude, primjerice, X skup svih stanara neke zgrade, a R relacija na X zadana odnosom ”biti mla†i”. Ili, na istom skupu X, neka druga relacija R0 bude zadana odnosom ”stanovati na višem katu”. U našim ´ce razmatranjima biti vaµzne neke posebne binarne relacije. Za binarnu relaciju R na skupu X kaµzemo da je re‡eksivna, ako je xRx za svaki x 2 X; re´ci ´cemo da je R simetriµ cna ako, za svaki par x; y 2 X, iz xRy slijedi yRx; re´ci ´cemo da je R tranzitivna ako, za svaka tri elementa x; y; z 2 X, iz xRy ^ yRz slijedi xRz. Binarnu relaciju R na skupu X koja je re‡eksivna, simetriµcna i tranzitivna nazivamo razredbenom (ili ekvivalencijskom ili klasi…kacijskom) relacijom i obiµcno ju oznaµcujemo znakom » (tilda). Za dva elemanta koji su u relaciji » kaµzemo da su me† usobno ekvivalentni. Primijetimo da se skup X na kojumu je zadana neka razredbena relacija » cijepa na disjunktne podskupove, tzv. razrede (ili razredbene klase), tako da se X moµze prikazati, na jedinstven naµcin, kao disjunktna unija tih razreda. U isti razred ulaze svi oni (i samo oni) elementi koji su me†usobno ekvivalentni. Pripadni skup svih razreda oznaµcujemo s X/» i nazivamo kvocijentnim skupom (od X po »). Primjer 1.2.1 Neka je X skup svih hrvatskih drµzavljana do (ukljuµcivo) sto godina starosti, a relacija » na X neka je zadana odnosom ”imati jednako godina”. Lako se provjeri da je » razredbena relacija, pa je X =

1.2. SKUPOVI I RELACIJE

7

S S S X0 ¢ ¢ ¢ X 100 ´ 100 n=0 Xn unija disjunktnih razreda X0; X1; ¢ ¢ ¢ ; X100, gdje podskup X n tvore svi hrvatski drµzavljani koji imaju n godina (a nemaju n+1 godina). (Ovdje smo koristili pojam cijeloga broja i nekoliko pripadnih oznaka, što ´cemo ih de…nirati u (pod)odjeljku §1.4.1 ovoga poglavlja.) Vrlo vaµzna vrsta binarne relacije R na skupu X jest i relacija djelomiµ cnog (ili parcijalnog) ure†aja · (µcitamo: manje ili jednako). To je svaka relacija koja je re‡eksivna, tranzitivna i antisimetriµ cna, tj. za svaki par x; y 2 X , iz x · y ^ y · x slijedi x = y. Ako je x · y i x 6= y, rabit ´cemo za to kra´cu oznaku x < y. Ponekad ´cemo x · y ( x < y) zapisivati i kao y ¸ x (y > x). Skup X na kojemu je zadana relacija djelomicµnog ure†aja · nazivamo djelomiµ cno (ili parcijalno) ure†enim skupom i oznaµcujemo s (X; ·). Ako relacija · zadovoljava i uvjet: za svaki par x; y 2 X je x · y ili y · x, onda kaµzemo da je · relacija potpunog (ili totalnog) ure†aja ili da je ure†ajna relacija, a (X; ·) tada nazivamo (potpuno) ure†enim skupom . Primijetimo da (razredbena) relacija » iz Primjera 1.2.1 nije ure†ajna e skup svih razrednih predstavnika (iz svakoga razreda po relacija. Neka je X e stavljaju´ci jedan) kvocijentnoga skupa X/», pa de…nirajmo relaciju · na X x · y onda i samo onda kad x nije stariji od y. Lako se provjeri da je tada e ·) ure†en skup. (X;

De…nicija 1.2.6 Neka je (X; ·) parcijalno ure†en skup i A µ X njegov neprazan podskup. Re´ ci ´cemo da je element m 2 X donja me†a skupa A, ako je m · a za svaki a 2 A. Re´ci ´cemo da je skup A ome†en odozdol, ako postoji barem jedna donja me†a od A. Kad je A ome†en odozdol, za donju me†u m od A ´cemo re´ ci da je najve´ ca donja me†a ili in…mum 0 skupa A, ako je m · m za svaku donju me†u m0 od A. Tvrdnja 1.2.1 Ako in…mum skupa A postoji, onda je jedinstven. Dokaz. Kad bi postojala dva in…muma skupa A, recimo m0 i m1, moralo bi vrijeditti m0 · m1 i m1 · m0 . Sada antisimetriµcnost relacije · povlaµci m0 = m1. Jedinstvenost in…muma od A u (X; ·) dopušta za njega posebnu oznaku - inf A. Ako donja me†a m 2 X skupa A pripada skupu A, tj. m 2 A, onda kaµzemo da je m najmanji element ili minimum skupa A. Sliµcno Tvrdnji 1.2.1 vrijedi: Tvrdnja 1.2.2 Ako minimum skupa A postoji, onda je jedinstven, oznaka: min A, i min A = inf A.

8

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Na posve sliµcan naµcin se defniraju pojmovi gornja me†a; odozgor ome†en skup ; najmanja gornja me†a ili supremum (sup A), te na jve´ ci element ili maksimum (max A) nepraznog podskupa A parcijalno ure†enog skupa (X; ·). Primjerice, gornja me†a skupa A je svaki element m 2 X za koji je a · m, za svaki a 2 A. Za skup A µ X kaµzemo da je ome†en µcim je ome†en odozdol i ome†en odozgor. De…nirajmo, napokon, i ove vazµne podskupove parcijalno ure†enog skupa (X; ·): segment [a; b] = fx 2 X j a · x · bg; interval ha; bi = fx 2 X j a < x < bg; poluzatvoreni (slijeva i zdesna) intervali [a; bi = fx 2 X j a · x < bg i ha; b] = fx 2 X j a < x · bg. Analogno se de…niraju i podskupovi [a; ¢i, ha; ¢i, h¢; b], h¢; bi od X. Primjerice, [a; ¢i = fx 2 X j a · xg. Ako je Y µ X i ako je parcijalni ure†aj na Y naslje†en od onoga na X (dakle, pripadna relacija ·Y je presjek relacije · s Y £TY ), onda za pripadne T segmente, intervale, ¢ ¢ ¢ na Y vrijedi: [a; b]Y = [a; b] Y , ha; biY = ha; bi Y , ¢ ¢ ¢ . Ovi ´ce podskupovi do´ci do posebnog izraµzaja pri izgradnji i opisivanju skupa realnih brojeva. Neka je (X; ·) ure†en skup, a A i A0 neka su podskupovi od X. Ako je, za svaki x 2 A i svaki x0 2 A0, x · x0 (x < x0), pisat ´cemo A · A0 (A < A0). De…nicija 1.2.7 Neka je (X; ·) ure†en skup. Prerezom u skupu X smatramo svaki podskup B (ekvivalentno, svaki ure†eni par (X n B; B)) za koji je ispunjeno: (i) B 6= ; ^ B 6= X; (ii) X n B < B; (iii) B nema najmanjega elementa. Prerezi ´ce imati kljuµcnu ulogu u konstrukciji iracionalnih brojeva.

1.2.4

Vjeµ zbe

1. Neka su A; B; S C podskupovi S S skupa S U. Dokazati T sljede´ T ce jednakosti: T T (i) (AS B) CS= A (BT C) ; T (A B) C = A (B C); (ii) A S B = B = B S A; T B A ;SA T (iii) A T(B S C) = (A T B) S \(A T C); A S(B C) = (A B) (A C); T (iv) A S ; = A; A T; = ;; (v) A S U = U ; A T U = A; (vi) A A = A; A A = A; (vii) (AcS )c = A; T T S (viii) (A B)c = Ac B c; (A B)c = Ac B c. 2. Neka su A1 ; B1 µ X i A2; B 2 µ X. Dokazati da je

1.3. FUNKCIJE

9

S S A1 £ (A B ) = (A £ A ) 2 2 1 2 S S(A1 £ B2); (A1 B1)T£ A2 = (A1 £ A2) T(B1 £ A2); (ii) A1 £ T(A2 B2) = (A1 £ A2) T(A1 £ B2); (A1 B1) £ A2 = (A1 £ A2) (B1 £ A2). 3. Dokazati da je, za svaki skup X , relacija odre† ena odnosom ”biti podskup” (µ) na partitivnom skupu 2 X jedna relacija parcijalnog ure†aja. 4. Neka je (X; ·) (parcijalno) ure†en skup. Je li presjek dvaju segmenata, intervala, ¢ ¢ ¢ u X opet segment, interval, ¢ ¢ ¢ ? Što se moµze re´ci o uniji i razlici dvaju segmenata, intervala, ¢ ¢ ¢ ? (i)

1.3 1.3.1

FUNKCIJE Funkcija

Funkcija jest jedan od najvaµznijih matematiµckih pojmova. De…nirat ´cemo ga sasvim op´cenito, tj. na skupovnoj razini. De…nicija 1.3.1 Pod funkcijom podrazumijevamo svaki ure†eni troslog (X; f; Y ), pri µ cemu su X i Y skupovi, a f je bilo koje pravilo po kojemu se svakom elementu x 2 X pridruµ zuje toµcno jedan element y 2 Y . Uobiµcajeni zapis za funkciju (X; f; Y ) jest f : X ! Y ili x 7! y = f (x) i pritom µcesto kaµzemo da je f funkcija iz skupa X u skup Y . (Kad su u nekom razmatranju X i Y zadani i nepromjenjivi, µcesto se, jednostavnosti radi, i samo pravilo f naziva funkcijom.) Primijetimo da iz de…nicije izravno proizlazi Y 6= ;, dok je X = ; mogu´ce. (Dodatno moµzemo postulirati i ”praznu funkciju” X ! ;, premda nam taj pojam ovdje ne ´ce trebati.) Za danu funkciju f : X ! Y , skup X nazivamo de…nicijskim podrucjem (ili domenom, oznaka: Df ), skup Y vrijednosnim podruµ cjem (ili µ kodomenom, oznaka: Rf ), a element y = f (x) vrijednoš´cu (na elementu x) funkcije f. Ponekad se kazµe da je x nezavisna varijabla (ili argument), a y zavisna varijabla funkcije f . Slikovito se funkciju najµceš´ce prikazuje kao na crteµzu: f

X

Y x

y=f(x)

Funkcijin graf je skup Gf = f(x; f (x)) j x 2 X g µ X £ Y . Primjerice (slikovito):

10

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI X Y (x,f(x))

y=f(x)

Gf

Y x

X

Re´ci ´cemo da je funkcija f1 : X1 ! Y1 jednaka funkciji f2 : X2 ! Y2 i pisati f1 = f2 , ako je X1 = X 2, Y1 = Y2 i f1 (x) = f2(x) za svaki x 2 X1 = X2. Oµcito, ako je f1 = f2 onda je i f2 = f1 . Istaknimo sada nekoliko vaµznih primjera: 1. Neka je X µ Y , a i : X ! Y neka je funkcija odre†ena pravilom (8x 2 X ) i(x) = x. To je tzv. inkluzija (ili ulaganje) koju ´cemo µcesto oznaµcavati s i : X ,! Y . Posebice, ako je X = Y dobivamo tzv. identiµ cku funkciju (ili identitetu) 1Y : Y ! Y , 1Y (y) = y. (Primijetimo da su, op´cenito, inkluzija i identiteta me†usobno razliµcite, jer su im domene razliµcite.) 2. Neka su funkcije p X : X £ Y ! X i pY : X £ Y ! Y de…nirane redom pravilima pX (x; y) = x i p Y (x; y) = y, (x; y) 2 X £ Y . To su tzv. projekcije iz direktnoga produkta X £ Y na faktore X i Y redom. U 3. Neka je U neprazan S T skup, a X = 2 partitivni skup od U. Tada su binarne operacije , i  funkcije iz X £ X u X. (Sasvim op´cenito, binarna operacija na skupu X je svaka funkcije iz X £ X u X.)

1.3.2

Funkcijska kompozicija

De…nicija 1.3.2 Neka su f : X ! Y i g : Y ! Z funkcije. Pod kompozicijom funkcije f s funkcijom g podrazumijevamo funkciju h : X ! Z zadanu pravilom h(x) = g(f (x)) za svaki x 2 X. Zapisujemo to kao h = g±f ili kra´ ce h = gf . Funkcijsku kompoziciju ilustrira sljede´ci crteµz: X

x

f

Y

g

Z

y=f(x) z=g(f(x))

h=gf

Tvrdnja 1.3.1 Funkcijska kompozicija je asocijativna, tj. ako su f : X ! Y , g : Y ! Z i h : Z ! W funkcije, onda je h(gf) = (hg)f. Dokaz. Za svaki x 2 X je (h(gf ))(x) = h((gf)(x)) = h(g(f(x))) = (hg)(f(x)) = ((hg)f )(x), dakle, h(gf) = (hg)f.

1.3. FUNKCIJE

11

Tvrdnja 1.3.2 Za svaku funkciju f : X ! Y je f 1X = f i 1 Y f = f , gdje su 1X i 1Y pripadne identitete. (Dokaz prepuštamo µcitatelju.) Neka su X 0 µ X, Y 0 µ Y (pod)skupovi i neka za funkcije f 0 : X 0 ! Y 0 i f : X ! Y vrijedi (8x0 2 X 0 ) f 0 (x0) = f (x0 ). Tada kaµzemo da je f 0 suµ zenje (ili restrikcija) funkcije f , odnosno, da je f proširenje (ili ekstenzija) funkcije f 0 . Ako je, posebice, Y 0 = Y onda pišemo f 0 = f jX0 . Primijetimo da je, za svaku funkciju f : X ! Y , suµzenje na svaki podskup X 0 µ X jednoznaµcno odre†ena tim podskupom. Me†utim, analogna tvrdnja za proširenje nije istinita.

1.3.3

Inverzna funkcija

De…nicija 1.3.3 Neka su dani funkcija f : X ! Y i podskupovi A µ X; B µ Y . Slikom skupa A po funkciji f smatramo skup f[A] = fy = f (x) j x 2 Ag µ Y . U sluµ caju A = X i f [X] = fyg (jednoµ clan skup), funkciju f nazivamo konstantnom funkcijom (ili konstantom) u element y 2 Y i oznaµ cujemo f = cy , a u sluµ caju f[X] = Y - surjektivnom funkcijom (ili surjekcijom ili preslikavanjem ”na”). Obratnom slikom (ili originalom) skupa B po funkciji f smatramo skup f ¡1[B] = fx j f (x) 2 Bg µ X. (Oprez! U oznaci f ¡1[B] dio f ¡1 ne oznaµcuje funkciju iz Y u X. Ovaj f ¡1 se ipak moµze interpretirati kao funkcija, ali iz Y u 2X , stavljaju´ci y 7! f ¡1(y) = f ¡1[fyg]. Nama ´ce, inaµce, u ovim predavanjima f ¡1 sluzµiti za oznaµcavanje tzv. inverzne funkcije - v. Teorem 1.3.1.) Ako je (8y 2 Y ) f ¡1[fyg] = fxg jednoµ clan podskup od X, onda kaµ zemo da je f injektivna funkcija (ili injekcija ili ”1-1”-preslikavanje). Primjer 1.3.1 Jednostavno je provjeriti da je svaka inkluzija i : X ,! Y injekcija, a svaka projekcija pX (pY ) : X £ Y ! X(Y ) surjekcija. De…nicija 1.3.4 Re´ ci cemo da je funkcija f : X ! Y bijekcija (ili obostrano jednoznaµ cna funkcija), ako je f injekcija i surjekcija. Iz De…nicije 1.3.3 izravno slijedi: f : X ! Y je injekcija , ((8x; x0 2 X) f (x) = f(x0 ) ) x = x0 ); f : X ! Y je surjekcija , ((8y 2 Y )(9x 2 X) f (x) = y). Ovo skupa s De…nicijom 1.3.4 odmah povlaµci: f : X ! Y je bijekcija , ((8y 2 Y )(9!x 2 X) f (x) = y). Teorem 1.3.1 Funkcija f : X ! Y je bijekcija onda i samo onda, ako postoji funkcija g : Y ! X takva da je gf = 1X i f g = 1Y . Funkcija g je, tako†er, bijekcija, jedinstvena je, a nazivamo ju inverznom funkcijom funkcije f i oznaµ cujemo s f ¡1.

12

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Dokaz. Neka je f : X ! Y bijekcija. Budu´ci da tada za svaki x 2 X postoji toµcno jedan y 2 Y za koji je f(x) = y, mogu´ce je de…nirati funkciju g : Y ! X pravilom g(y) = x cµim je y = f(x). Za kompozicije dobivamo: gf (x) = g(y) = x = 1X (x), za svaki x 2 X, i f g(y) = f (x) = y = 1Y (y), za svaki y 2 Y . Obratno, neka za f : X ! Y postoji g : Y ! X tako da je gf = 1X i f g = 1Y . Ako je y 2 Y , uzmimo x = g(y) 2 X , pa ´ce biti f(x) = f g(y) = 1 Y (y) = y. Prema tomu, f je surjekcija. Ako su x; x0 2 X takvi da je f (x) = f (x0) 2 Y , onda je x = 1X (x) = gf (x) = gf (x0 ) = 1X (x0 ) = x0 . Slijedi da je f je injekcija, dakle i bijekcija. Za dokaz jedinstvenosti, pretpostavimo da postoje dvije funkcije g; g 0 : Y ! X takve da je gf = 1X = g0 f i f g = 1Y = f g0 . Tada je, za svaki y 2 Y , g(y) = 1X (g(y)) = (g 0 f)(g(y)) = g0 ((f g)(y)) = g 0(1Y (y)) = g0 (y), dakle, g = g0 .

1.3.4

Kardinalni broj

De…nicija 1.3.5 Neka su X; Y skupovi. Re´ci ´cemo da je X ekvipotentan (ili da ima jednako mnogo elemenata kao) Y , ako postoji neka bijekcija f : X ! Y. Ekvipotentnost skupova je, oµcito, razredbena relacija na klasi1 svih skupova, pa se skupovi svrstavaju u disjunktne ekvipotencijske razrede. Razred kojemu pripada skup X nazivamo kardinalnim brojem (ili glavnim brojem ili potencijom) skupa X i oznaµcujemo s jXj ili s card X. De…nicija 1.3.6 Re´ci c´emo da je skup X beskonac µan, ako postoje pravi 0 0 podskup X ½ X i bijekcija f : X ! X . Ako skup X nije beskonaµ can, re´ci ´cemo da je konac µan. Primijetimo da De…nicija 1.3.6 izravno povlaµci konaµcnost praznoga skupa ;. Teorem 1.3.2 Neka su X i Y ekvipotentni skupovi, tj. jXj = jY j. Tada je X (bes)konaµ can toµ cno onda kad je Y (bes)konaµ can. Dokaz. Po De…nicijama 1.3.6 i 1.3.5, za dokaz obiju ekvivalencija, dovoljno je dokazati samo jednu implikaciju. Neka je X beskonaµcan. Tada postoje X 0 ½ X i bijekcija f : X ! X 0 . Budu´ci da jXj = jY j, postoji i neka bijekcija g : X ! Y . Neka je Y 0 = g[X 0] pa je sigurno Y 0 ½ Y pravi podskup. De…nirajmo funkciju g 0 : X 0 ! Y 0 kao suµzenje g jX0 . Tada je g 0 dobro de…nirana i oµcito je bijektivna. Napokon, kompozicija h = g0 f g¡1 : Y ! Y 0 je bijekcija (kao kompozicija triju bijekcija, v. §1.3.5 Vjeµzbe, Zadatak 4.), pa je i Y beskonaµcan skup. 1 Pojam ”skup svih skupova” vodi k protuslovlju. Mnozµina svih skupova ne tvori skup nego op´cenitiji objekt, tzv. klasu.

1.3. FUNKCIJE

13

De…nicija 1.3.7 Re´ ci ´ cemo da je kardinalni broj skupa X manji ili jednak od kardinalnog broja skupa Y i pisati jXj · jY j (ili card X · card Y ), ako postoji neka injekcija f : X ! Y . Ako je jXj · jY j, a X i Y nisu ekvipotentni (tj. jX j 6= jY j), re´ci ´cemo da je kardinalni broj od X manji od kardinalnog broja od Y i pisati jXj < jY j. Primijetimo da X µ Y povlaµci jXj · jY j, jer je inkluzija i : X ,! Y injektivna funkcija. Lako je provjeriti da je ova relacija · re‡eksivna i tranzitivna, dok njenu antisimetriµcnost jamµci tzv. Cantor-Bernsteinov teorem, dokaz kojega je vrlo netrivijalan, a djelomice se zasniva na §1.4.6, Zadatak 1. Prema tomu, · je ure†ajna relacija na klasi svih kardinalnih brojeva. Teorem 1.3.3 Ako je X konaµ can, a Y beskonaµ can skup, onda je jXj < jY j. Lema 1.3.1 Neka je X µ Y . Ako je X beskonaµ can skup onda je takav i Y , a ako je Y konacµan skup onda je takav i X . Dokaz. Ako je X beskonaµcan, onda postoje pravi podskup X 0 ½ X T i bijekcija f : X ! X 0 . Neka je Y 0 disjunktna unija X 0 (Y n X), pa je Y 0 ½ Y pravi podskup. De…nirajmo funkciju g : Y ! Y 0 pravilom f na X i inkluzijom na Y n X, tj. (8y ´ x 2 X 0 ) g(y) = f (x) i (8y 2 Y n X ) g(y) = y. Trivijalno je provjeriti da je g bijekcija, što znaµci da je Y beskonaµcan skup. S druge strane, ako je Y konaµcan skup onda takav mora biti i svaki njegov podskup X, jer bi protivna pretpostavka dovela, na opisani naµcin, do zakljuµcka da je Y beskonaµcan - protuslovlje. Dokaz (Teorema 1.3.3). Budu´ci da je · ure†ajna relacija, to je ili jXj · jY j ili jY j · jXj. Pretpostavimo da je jY j · jX j, tj. da postoji neka injekcija g : Y ! X. Za sliku g[Y ] µ X tada vrijedi jg[Y ]j = jY j. Po Teoremu 1.3.2, skup g[Y ] je beskonaµcan pa je, po Lemi 1.3.1, i skup X beskonaµcan - protuslovlje. Prema tomu, mora vrijediti jXj · jY j. Napokon, budu´ci da je, po Teoremu 1.3.2, jXj 6= jY j, to mora biti jXj < jY j.

1.3.5

Vjeµ zbe

1. Neka je f : X ! Y funkcija i neka su A; B µ X i C; D µ Y . Dokazati ove formule: S S S S (i) f [A T B] = f [A] T f[B]; f ¡1 [C T D] = f ¡1 [C] T f ¡1[D]; (ii) f [A B] µ f [A] f[B]; f ¡1 [C D] = f ¡1 [C] f ¡1[D]; (iii) f [A n B] ¶ f[A]Tn f [B]; f ¡1 [C n D] = f ¡1[C] n f ¡1[D]; ¡1 (iv) f [f [C]] = C f [X] µ C; f ¡1 [f[A]] ¶ A. T Dokaµzimo npr. (ii): Ako je u prvoj formuli T iz (ii) slika f [A B] = ; nemamo T što dokazivati. Stoga, neka je y 2 f [A B] 6= ;. Tada postoji x 2 A B za koji je f (x) = y. Nu, tadaTje x 2 A i x 2 B, pa je f(x) 2 f[A] i f(x) 2 f [B], dakle, dokazati. Da T y = f (x) 2 T f [A] f [B], što je i trebalo T T je mogu´ce f [A B] 6= f [A] f[B] pokazuje sluµcaj A B = ;, a f[A] f [B] 6= ;.

14

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Primjerice, aka su A = fa; a0 g; B = fb; b0 g µ X disjunktni podskupovi i T Y =Tfyg, onda je, za svaku funkciju f : X ! Y , f[A B] = f [;] = ; i f [A] f[B] = Y 6= ;. T Za dokaz druge formule iz (ii), neka je, najprije, x 2 f ¡1 [C D]. Tada T postoji y 2 C D za koji je f (x) = y. Dakle, y 2 C i y 2 D i f (x) = y, što T povlaµci x 2 f ¡1[C] i x 2 f ¡1[D], tj. x 2 f ¡1[C] f ¡1[D]. Obrat se moµze dokazati µcitaju´ci prethodno zakljuµcivanje natraške. 2. Neka su f : X ! Y i g : Y ! Z funkcije. Tada vrijedi: (a) Ako je gf : X ! Z injekcija onda je i f injekcija: (b) ako je gf :X ! Z surjekcija onda je i g surjekcija. 3. Dokazati da je, za svaku bijekciju f : X ! Y , (f ¡1)¡1 = f. 4. Dokazati da je kompozicija gf od bijekcija g i f opet bijekcija. 5. Neka je X skup. Za svaki podskup A µ X de…nirajmo tzv. karakteristiµ cnu funkciju½ ÂA : X ! f0; 1g podskupa A stavljaju´ci 1; x 2 A ÂA(x) = . 0; x 2 X n A Dokazati da je funkcija F : 2X ! ff j f : X ! f0; 1gg ´ f0; 1g X, odre†ena pravilom F (A) = ÂA za svaki A 2 2X , bijekcija. (Prema tomu, partitivni skup 2X i skup f0; 1g X svih funkcija iz X u dvoµclani skup su ekvipotentni.) 6. Dokazati da je jY j · jXj µcim postoji neka surjekcija f : X ! Y. ¯ ¯ 7. Dokazati da je, za svaki skup X , jXj < ¯2X ¯. (To povlacµi da nema najve´cega kardinalnog broja.)

1.4

REALNI BROJEVI

Skup realnih brojeva ima temeljnu ulogu u cijeloj matematici, a u matematiµckoj analizi posebice. Uobiµcajila su se dva pristupa ovomu skupu: induktivni (konstruktivni), koji polazi od Peanovih aksioma za skup prirodnih brojeva, i aksiomatski (deduktivni), koji pretpostavlja dobro poznavanje nekih algebarskih struktura. Mi ´cemo se drµzati (starijega) induktivnoga pristupa.

1.4.1

Prirodni i cijeli brojevi

Prihva´camo, kao ”iskustvenu µcinjenicu”, obstojnost barem jednog skupa N koji udovoljava ovim trima uvjeta: (P1) N sadrzµi barem jedan element - oznaµcit ´cemo ga znakom 1 i nazvati brojem jedan (ili jedinicom); (P2) Postoji injektivna funkcija s : N ! N, takva da je, za svaki n 2 N , s(n) 6= 1; (P3) Ako za podskup M µ N vrijedi: (i) (ii)

1 2 M; (8n 2 N) n 2 M ) s(n) 2 M,

1.4. REALNI BROJEVI

15

onda je M = N. Uvjete (P1), (P2) i (P3) nazivamo Peanovim aksiomima. Posebice, aksiom (P3) nazivamo naµ celom potpune (ili matematiµ cke) indukcije. Pokazuje se da, u biti - glede algebarske i ure†ajne strukture (koju ´cemo u skupu N izgraditi), postoji samo jedan skup N s navedenim svojstvima. Taj ´cemo skup istaknuti oznakom N i nazvati skupom prirodnih brojeva, a njegove elemente n 2 N prirodnim brojevima. Teorem 1.4.1 s[N ] ´ fs(n) j n 2 N g = N n f1g.

S Dokaz. Neka je M = f1g s[N ], pa je 1 2 M. Uzmimo bilo S koji n 2 N i pretpostavimo da je n 2 M. Tada je s(n) 2 s[N ] µ f1g s[N ] = M. SadaS po naµcelu potpune indukcije (P3) zakljuµcujemo da je M = N , tj. f1g S s[N ] = N . Budu´ci da je, po (P2), s(n) 6= 1 za svaki n 2 N , to je f1g s[N ] disjunktna unija, pa mora biti s[N ] = N n f1g. Korolar 1.4.1 Skup prirodnih brojeva N je beskonacµan.

Dokaz. Primijetimo da, po (P2) (injektivnost funkcije s) i Teoremu 1.4.1, postoji bijekcija f : N ! N n f1g odre†ena pravilom s, tj. f (n) = s(n) za svaki n 2 N . Budu´ci da je N n f1g ½ N pravi podskup, to su uvjeti iz De…nicije 1.3.6 ispunjeni. (Tvrdnju ovoga korolara se moµze dokazati i bez poziva na Teorem 1.4.1. Naime, µcinjenica da je skup N beskonaµcan slijedi izravno iz aksioma (P2).) Da bismo mogli korektno de…nirati (uobiµcajene) operacije, tj. zbrajanje i mnoµzenje u skupu N ; valja uoµciti jedno njegovo vrlo korisno svojstvo - tzv. naµ celo de…nicije indukcijom koje slijedi iz aksioma (P3). Iskazat ´cemo ga u posebnom (jednostavnijem) sluµcaju ovim teoremom (bez dokaza): Teorem 1.4.2 Neka je X skup, x 2 X i neka je, za svaki n 2 N , dana funkcija fn : X ! X . Tada postoji toµ cno jedna funkcija g : N ! X za koju je: (i) g(1) = x; (ii) (8n 2 N ) g(s(n)) = fn(g(n)). Za funkciju g tada kaµ zemo da je induktivno de…nirana (ili rekurzivno zadana). (U primjenama µ cesto nastupa posebni sluµ caj f1 = ¢ ¢ ¢ = fn = ¢ ¢ ¢ !) N s

1 s(1)=2

g(1)=x g(s(2))=f1(x)

n s(n)=n +

g(n) g(s(n))=fn(g(n))

N N

∃! g

X

16

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Teorem 1.4.3 (a) Postoji toµ cno jedna funkcija + : N £ N ! N , +(m; n) ´ m + n (µcitamo: ”em više en” ili ”em plus en”), koju zovemo zbrajanjem, s ovim svojstvima: (i) (8m 2 N ) m + 1 = s(m); (ii) (8m; n 2 N ) m + s(n) = s(m + n). (b) Postoji tocµno jedna funkcija ¢ : N £ N ! N , ¢(m; n) ´ m ¢ n (cµitamo: ”em puta en”), koju zovemo mnoµ z enjem, s ovim svojstvima: (i) (8m 2 N ) m ¢ 1 = m; (ii) (8m; n 2 N ) m ¢ s(n) = (m ¢ n) + m. Dokaz. Neka je m 2 N . Uzmimo X = N , x = s(m) i fn = s : N ! N za svaki n 2 N , pa primijenimo Teorem 1.4.2. Postoji, dakle, jedinstvena funkcija g ´ gm : N ! N za koju je gm(1) = s(m) i gm (s(n)) = s(gm (n)) za svaki n 2 N . Oznaµcimo li gm (n) ´ m + n, dobivamo jednakosti iz uvjeta (i) i (ii) u (a). Prema tomu, funkcija gm je traµzeno zbrajanje s µcvrstim m, tj. ”+”: fmg £ N ! N . Budu´ci da smo m odabrali po volji, to je funkcija + dobro de…nirana na cijelom N £ N . Sliµcno postupamo i u dokazivanju tvrdnje (b). Neka je m 2 N . Uzmimo X = N , x = m i fn ´ f : N ! N zbrajanje s m, tj. f(n) = n + m, za svaki n 2 N , pa primijenimo Teorem 1.4.2. Postoji, dakle, jedinstvena funkcija g ´ hm : N ! N za koju je hm (1) = m i, za svaki n 2 N , hm (s(n)) = f (hm(n)) = hm(n) + m. Oznaµcimo li hm (n) ´ m ¢ n, dobivamo jednakosti iz uvjeta (i) i (ii) u (b). Prema tomu, funkcija hm je traµzeno mnoµzenje s µcvrstim m, tj. ”¢”: fmg £ N ! N . Budu´ci da smo m odabrali po volji, to je funkcija ¢ dobro de…nirana na cijelom N £ N . Primijetimo da se injektivna funkcija s iz aksioma (P2) moµze interpretirati pomo´cu zbrajanja. Naime, s(n) = gn(1) = n + 1, n 2 N .

Radi lakšeg sporazumijevanja najµceš´ce se koriste sljede´ci (indijsko-arapski) znakovi za nekoliko ”poµcetnih” prirodnih brojeva (u zagradama navodimo njihova hrvatska imena): s(1) = 1 + 1 ´ 2 (dva), s(2) = 2 + 1 ´ 3 (tri), s(3) = 3 + 1 ´ 4 (µcetiri), s(4) = 4 + 1 ´ 5 (pet), s(5) = 5 + 1 ´ 6 (šest), s(6) = 6 + 1 ´ 7 (sedam), s(7) = 7 + 1 ´ 8 (osam), s(8) = 8 + 1 ´ 9 (devet), s(9) = 9 + 1 ´ 10 (deset), itd. (Znak 0 nam, zasebice, za sada ne oznaµcuje nikakav objekt! Uvest ´cemo ga pri izgradnji skupa cijelih brojeva. Znakove 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 nazivamo decimalnim znamenkama, a njihovu ´cemo praktiµcnu vaµznost shvatiti prigodom uvo†enja tzv. decimalnoga sustava zapisivanja cijelih brojeva.) Nije teško dokazati da su binarne operacije + i ¢ na N asocijativne i komutativne, tj. da za svaki m; n; p 2 N vrijedi (m + n) + p = m + (n + p) i m + n = n + m, kao i (m ¢ n) ¢ p = m ¢ (n ¢ p) i m ¢ n = n ¢ m. (Asocijativnost dopušta ispuštanje zagrada, tj. pisanje m+ n+ p i m ¢ n ¢ p.) U budu´ce ´cemo µcesto ispuštati znak za mnoµzenje i pisati m ¢ n kao mn. Nadalje, pokazuje se da je zbrajanje distributivno (slijeva i zdesna) s obzirom na mnoµzenje,

1.4. REALNI BROJEVI

17

tj. za svaki m; n; p 2 N je m(n + p) = mn + mp i (m + n)p = mp + np. Napokon, potpunom indukcijom (po m) nije teško dokazati istinitost ovih triju tvrdnja: (8m; n 2 N ) m + n 6= n; (8m; n; p 2 N ) m + n = m + p ) n = p; (8m; n; p 2 N ) mn = mp ) n = p. Sada prelazimo na ure†ivanje skupa N . Neka je m; n par prirodnih brojeva. De…niramo: m < n (cµitamo: em je manji(e) od en) ako postoji p 2 N takav da je m + p = n. Iz prethodnih µcinjenica proizlazi da je p jedinstven i potpuno odre†en brojevima m i n, pa oznaµcujemo p ´ n ¡ m (µcitamo: ” en manje em” ili ”en minus em”). Nadalje, o µcito je da m < n povlaµci m 6= n (dakle, < nije re‡eksivna relacija), te da m < n ^ n < m ne moµze biti istinit sud. Relaciju · na N , za koju ´cemo dokazati da je ure† ajna relacija, de…niramo kako slijedi: m · n , (m < n _ m = n). Jednostavno je provjeriti da se radi o parcijalnom ure†aju, te da, za svaki m; n; p 2 N , m · n ) m +p · n + p, tj. relacija · je uskla†ena (kompatibilna) sa zbrajanjem. Teorem 1.4.4 (N ,·) je ure†en skup i · je jedini ure†aj na N koji je uskla†en sa zbrajanjem i u kojemu je 1 = min N .

Dokaz. Najprije dokazujemo da je 1 = min(N ; ·). Prvo, 1 · 1 jer je 1 = 1. Nadalje, 1 < 1 + 1 = s(1) pa je 1 · s(1). Sada se indukcijom lako pokaµze da je 1 · s(n) za svaki prirodan broj n. Budu´ci da je s[N ] = N nf1g (v. Teorem 1.4.1), to je 1 · n za svaki n 2 N . Time je tvrdnja dokazana. Sada dokazujemo da je · potpuni ure†aj, tj. da za svaki par m; n prirodnih brojeva vrijedi m · n ili n · m. Dovoljno je uzeti bilo koji m 2 N i dokaz provesti potpunom indukcijom po n 2 N . Za n = 1 je tvrdnja istinita, toµcnije, 1 · m jer je 1 = min(N ; ·). Pretpostavimo da je tvrdnja istinita za bilo koji n pa dokazµimo njezinu istinitost za n + 1. Ako je m · n onda je po tranzitivnosti, zbog n · n +1, i m · n + 1. Ako je pak n < m, onda postoji p takav da je n + p = m. To povlaµci, zbog 1 · p i uskla† enosti relacije · s operacijom +, da je n + 1 · n + p = m. Time je i ova tvrdnja dokazana. Preostaje dokazati jedinstvenost. Pretpostavimo da je i ·0 ure†ajna relacija na N , koja je uskla†ena sa zbrajanjem i za koju je 1 = min(N ; ·0 ). Treba dokazati da je, za svaki par m; n prirodnih brojeva, m ·0 n onda i samo onda kad je m · n. Neka je prvo m · n. Ako je m = n onda, zbog re‡eksivnosti ure†ajne relacije, mora biti m ·0 n. Ako je m 6= n, tj. m < n, onda postoji p za koji je m + p = n. Pretpostavimo protivno, tj. da ne vrijedi m ·0 n. Budu´ci da je ·0 ure†ajna relacija, mora biti n ·0 m, a zbog n 6= m zapišimo to kao n n za svaki n 2 N . Me†utim, ovo bi omogu´cilo konstrukciju injekcije f : N ! X, pa bismo smjeli zakljuµciti da je jN j · jXj - protuslovlje. Teorem 1.4.6 dopušta sljede´cu de…niciju: De…nicija 1.4.1 Neka je X konaµcni i neprazni skup, a n prirodni broj. Re´ci ´cemo da skup X ima n elemenata i pisati (cardX ´) jXj = n, ako je X ekvipotentan poµ cetnomu komadu [1; n]N od N . De…nicija 1.4.2 Re´ ci c´emo da je skup X prebrojiv ako je ekvipotentan nekom podskupu od N . U protivnom ´cemo re´ ci da je skup X neprebrojiv. Lako je provjeriti istinitost ovih tvrdnja: (i) Svi konaµcni skupovi i skup prirodnih brojeva N jesu prebrojivi; (ii) Skup N £ N je prebrojiv; (iii) Svaki beskonaµcni podskup A µ N je ekvipotentan skupu N ; (iv) Svaki beskonaµcni prebrojiv skup X je ekvipotentan skupu N . Dokaµzimo, ilustracije radi, tvrdnju (ii)! Pokazat ´cemo da je direktni produkt N £ N ekvipotentan skupu N . U tu svrhu promatrajmo sljede´ci zapis skupa N £N: ... (1,3)

...

(1,n) ...

(2,1)

(2,2)

(2,3) ...

... (2,n) ...

(3,1)

(3,2)

(3,3) ...

... (3,n) ...

(4,1)

(4,2) ... ...

...

...

...

(1,2)

...

(1,1)

...

... (m,n) ... ...

(m,2) ... ...

(m,1)

20

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

De…nirajmo funkciju f : N ! N £ N pravilom što ga pokazuju strjelice: f (1) = (1; 1), f (2) = (2; 1), f (3) = (1; 2), f (4) = (1; 3), f (5) = (2; 2), f (6) = (3; 1), f (7) = (4; 1), f (8) = (3; 2), f (9) = (2; 3), f (10) = (1; 4), ¢ ¢ ¢ . (f se moµze propisati i neovisno o shemi!) Lako se vidi da je f bijekcija. Sazµmimo ukratko glavne µcinjenice o skupu N : Postoji toµ cno jedan skup prirodnih brojeva N = f1; 2; 3; ¢ ¢ ¢ ; n; ¢ ¢ ¢ g (beskonaµ can) s binarnim operacijama + (zbrajanje) i ¢ (mnoµzenje); koje su asocijativne i komutativne, + je distributivna s obzirom na ¢, i s diskretnim ure†ajem · koji se dobro ponaša prema + i ¢ i u kojemu je 1 = min(N ; ·): Dobivenu strukturu ´ cemo oznaµ citi s (N ; +; ¢; ·). Sada ´cemo dobivenu strukturu proširiti na tzv. skup cijelih brojeva. Sjetimo se da u sluµcaju m < n u N postoji p 2 N takav da je m+p = n. Pisali smo p ´ n ¡ m. Jasno je da ”¡” ne moµze biti operacija na N jer u sluµcaju n · m ne znamo što bi ”n ¡ m” znaµcilo. Ovo vodi na zamisao da se skup N razumno proširi. U tu svrhu promatrajmo skup N i njegov preslik N 0 = f1 0; 20 ; 30 ; ¢ ¢ ¢ ; n0; ¢ ¢ ¢ g, gdje nam crtice ”0 ” sluµze za formalno razlikovanje preslika od izvornika. Oznaµcimo znakom 0 novi objekt (ne pripadaSN niSN 0), nazovimo ga nulom (ili ništicom), pa promatrajmo skup Z = N 0 f0g N . Na skupu Z µzelimo izgraditi strukturu sliµcnu onoj na njegovu podskupu N i to tako da se postoje´ca struktura na N ne izmijeni, tj. struktura na Z treba biti proširenje one na podskupu N . Najprije de…niramo zbrajanje na Z, koje ´cemo opet oznaµciti znakom +, tj. + : Z £ Z ! Z. Ako su m; n 2 N (m0 ; n0 2 N 0 ), neka m + n (m0 + n0 ) u Z bude isto što i u N (N 0 ). Ako je m 2 N i n0 2 N 0, neka bude 8 µcim je n < m < m ¡ n, m + n0 = n0 + m = 0; µcim je n = m : : 0 (n ¡ m) ; µcim je m < n Napokon, de…niramo m + 0 = m = 0 + m, n0 + 0 = n0 = 0 + n0 i 0 + 0 = 0. Lako se provjeri da je zbrajanje Z proširenje zbrajanja na N i da je saµcuvalo sva dobra svojstva. Pokazuje se prikladnim oznaµciti N 0 kao ¡N i n0 kao ¡n, pa se ”¡” mozµe interpretirati kao nova binarna operacija (oduzimanje) na Z. Mnozµenje na Z de…niramo kako slijedi: Ako su m; n 2 N , neka m ¢ n u Z bude isto što i m ¢ n ´ mn u N ; ako su m 2 N i ¡n 2 ¡N , stavljamo m¢(¡n) = (¡n)¢m = ¡(mn); ako su ¡m; ¡n 2 N , neka bude (¡m)¢(¡n) = mn; napokon, neka bude 0 ¢ m = m ¢ 0 = 0 ¢ (¡n) = (¡n) ¢ 0 = 0 ¢ 0 = 0, za svaki m 2 N i svaki ¡n 2 ¡N . Nije teško provjeriti da je ovo mnoµzenje proširenje mnoµzenja na N , te da naslje†uje njegova korisna svojstva. I u Z ´cemo pojednostavniti zapisivanje cµesto pišu´ci m ¢ n kao mn. Ure†aj · na Z uvodimo najprije globalno zahtjevom ¡N ·f0g · N , tj. ¡m · 0 · n za svaki ¡m 2 ¡N i svaki n 2 N . Nadalje, u N µ Z neka bude

1.4. REALNI BROJEVI

21

ure† aj · naslje†en od (N ; ·), dok u ¡N obrnimo taj ure†aj, tj. ¡m · ¡n u Z kad god je n · m u N . Z s operacijama + i ¢ i ure†ajem · nazivamo skupom cijelih brojeva i oznaµ cujemo sa (Z ; +; ¢; ·), a njegove elemente nazivamo cijelim brojevima. Jednostavnosti radi, obiµ cno se piše samo Z , a µzeli li se istaknuti elemente i ure†aj, piše se Z = f¢ ¢ ¢ ; ¡n; ¢ ¢ ¢ ; ¡2; ¡1; 0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; n; ¢ ¢ ¢ g. Neka µcitatelj dokaµze ove jednostavne tvrdnje: (i) Skup Z je ekvipotentan skupu N , dakle, jZ j = @0 ; (ii) Ure†eni skup (Z ; ·) nema najmanjega elementa.

1.4.2

Racionalni brojevi

Promatrajmo direktni produkt Z £ N = f(m; n) j m 2 Z ; n 2 N g i na njemu binarnu relaciju » de…niranu pravilom: (m; n) » (m0 ; n0 ) , mn0 = m0 n: Lako se provjeri da je » razredbena relacija, pa se skup Z £N po njoj cijepa na disjunktne razrede [(m; n)] µ Z £ N . Oznaµcimo slovom Q skup svih tih razreda, tj. Q = f[(m; n)] j m 2 Z ; n 2 N g. Na skupu Q de…niramo binarne operacije + (zbrajanje) i ¢ (mnoµ zenje) i relaciju · (manje ili jednako) kako slijedi: [(m1 ; n1)] + [(m2; n2)] = [(m1 n2 + m2 n1 ; n1n2)]; [(m1 ; n1)] ¢ [(m2; n2 )] = [(m1m2 ; n1n2)]; [(m1 ; n1)] · [(m2; n2)] , m1n2 · m2n1; gdje na desnim stranama de…nicijskih jednakosti stoje operacije i ure†aj na Z . Pokazuje se da su operacije + i ¢ i relacija · na Q dobro de…nirane, tj. da ne ovise o izboru predstavnika ekvivalencijskih razreda. Primjerice, za zbrajanje, neka je [(m01; n01)] = [(m1; n1 )] i [(m02 ; n02)] = [(m2; n2)]. Tada je, po de…niciji, [(m01 ; n01)] + [(m02; n02)] = [(m01 n02 + m02 n01 ; n01n02)], pa budu´ci da je, po relaciji », (m01 n02 + m02n01) ¢ (n1n2) = m01 n02 n1 n2 + m02n01 n1 n2 = = m1n2n01n02 + m2n1n01n02 = (m1n2 + m2n1) ¢ (n01n02), to je [(m01 ; n01)] + [(m02; n02)] = [(m1 ; n1)] + [(m2; n2)]. Nadalje, pokazuje se da su operacije + i ¢ asocijativne i komutativne, da je + obostrano distributivna na ¢, da je · ure†ajna relacija, te da se · dobro ponaša prema + i ¢. Skup Q s operacijama + i ¢ i ure†ajem · nazivamo poljem (ili potpuno ure†enim poljem) racionalnih brojeva i oznaµ cujemo s (Q ; +; ¢; · ), a njegove elemente nazivamo racionalnim brojevima (ili razlomcima). Jednostavnosti radi, tu strukturu oznaµ cujemo samo (podebljanim) slovom Q .

22

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Primijetimo da je pravilom m 7! [(m; 1)], m 2 Z , dobro de…nirana injektivna funkcija iz Z u Q . To dopušta da se poistovje´cenjem elementa m 2 Z s elementom [(m; 1)] 2 Q skup Z shvati podskupom skupa Q , dakle, Z µ Q . Štoviše, pri ovomu poistovje´cenju ostaju saµcuvane operacije + i ¢, kao i ure†aj · na Z , pa je struktura (Q ; +; ¢; ·) proširenje strukture (Z ; +; ¢; ·). Sada se smije ½ pojednostavniti zapisivanje racionalnih brojeva: 0; µcim je m = 0 [(m; n)] ´ m0 ; cim je m 6= 0 ; µ n0 gdje je (m0 ; n0 ) 2 [(m; n)] i M(m0 ; n0 ) = 1 (tj. m0 i n0 su relativno prosti, v. §1.4.6 Zadatak 8). Uobiµcajilo se pisati ± Q = fq = m n j m 2Z;n2 N g » ; gdje je » prije navedena ekvivalencijska relacija na Z £ N i M(m; n) = 1. Na skupu Q se prirodno de…nira proširenje oduzimanja ”¡” na Z . Osim toga, na Q nf0g moµzemo de…nirati novu operaciju ¥ (dijeljenje), ¥(q1; q2) ´ q1 : q2 ´ qq12 , stavljaju´ci q1 : q2 = m n ´ q; m2 1 pri µcemu je (m; n) 2 [(m1n2; m2 n1 )] i M(m; n) = 1, a q1 = m n1 i q2 = n2 . Dodatno se de…nira i 0 : q = 0 za svaki q 2 Q nf0g, dok se ”q : 0” ne mozµe jednoznaµcno osmisliti. Neka µcitatelj provjeri istinitost sljede´ce tvrdnje: q1 : q2 = q3 , q1 = q2 ¢ q3, q1 ; q2; q3 2 Q , q2 6= 0. Navedimo još dva svojstva skupa racionalnih brojeva: (i) Skup Q je ekvipotentan skupu N , tj. jQ j = @0; (ii) Ure†eni skup (Q ; ·) je svuda gust, tj. (8q1; q2 2 Q ) q1 < q2 ) (9q 2 Q )q1 < q < q2 . (Izravna posljedica jest beskonaµcnost svakog nepraznog intervala < q1 ; q2 >Q u (Q ; ·).) Da bismo dokazali (i), sjetimo se da je N ekvipotentan svomu direktnom kvadratu, tj. skupu N £ N . Budu´ci da su N i Z ekvipotentni, lako se pokaµze da su i N £N i Z £N ekvipotentni, pa su onda i skupovi N i Z £N ekvipotentni. Primijetimo da je funkcija f : Z £ N ! Q , f(m; n) = m n , surjekcija, što skupa s prethodnim jamµci obstojnost neke surjekcije iz N na Q . No budu´ci da je N µ Q mora biti jQ j = jN j ´ @0. Za (ii) je dovoljno primijetiti da je q1+q2 2< q1; q2 >Q µcim je q1 < q2 . 2 Racionalne brojeve je je pogodno prikazati pomo´cu toµcaka nekog pravca. U tu svrhu, uµcvrstimo bilo koju to µcku O (ishodište) odabranoga pravca i toµcku E1, razliµcitu od O, na ”desnoj” zraci odre†enoj toµckom O. Toµcki O pridruµzimo cijeli broj 0, a toµcki E1 prirodni broj 1. Nanose´ci duzµinu OE 1 ¡ ¡! uzastopce na odabranu zraku OE1 i pridruµzuju´ci tako dobivenim toµckama redom (·) prirodne brojeve, preslikat ´cemo skup prirodnih brojeva injektivno u skup svih to µcaka te zrake. Preslikavaju´ci na isti naµcin preostale cijele brojeve (¡N ) na ”lijevu” zraku, smjestit ´cemo Z u skup svih toµcaka

1.4. REALNI BROJEVI

23

odabranoga pravca. Pritom se µcuva ure†aj, tj. m < n u Z toµcno onda kad je Em ”lijevo od” En . Poznatim naµcinom dijeljenja duµzine moµzemo, nadalje, svakom racionalnom broju q = m µiti jedinstvenu to cµku Eq n pridruz na odabranomu pravca. (Pritom za q 2< k; l >Q , k; l 2 Z , k < l, dijelimo duµzinu Ek El !) Tako se i Q injektivno i µcuvaju´ci ure†aj preslika u skup svih toµcaka promatranoga pravca. O -1

E2 2

E1 1 3_

0

2

Budu´ci da je Q svuda gust, moglo bi se pomisliti da je na opisani naµcin svakoj toµcki na odabranomu pravcu pridruµzen neki racionalan broj, tj. da je opisana funkcija iz Q u skup svih toµcaka na tomu pravcu surjektivna. Da se radi o zabludi pokazuje ovaj jednostavni primjer. N O 0

M E1 T 1

Konstruirajmo kvadrat ¤OE1MN nad ”osnovnom” duµzinom OE1, pa za¡¡! rotirajmo njegovu dijagonalu OM oko toµcke O polaµzu´ci ju na zraku OE1. Tako ´ce se toµcka M preslikati u neku toµcku T odabrane zrake. Kad bi toµcka T bila slika nekog racionalnog broja q, vrijedilo bi q2(´ q ¢ q) = 12 + 12 = 2 p 1 (Pitagorin pouµcak), što je uobiµcajeno pisati kao q = 2 2 ´ 2 (v. Teorem 1.4.12). Našu ´ce pretpostavku sada lako oboriti sljede´ca lema (prije vidi §1.4.6 Vjeµzbe, Zadatak 2.): Lema 1.4.1 Kvadrat n2 ´ n¢ n prirodnog broja n je (ne)paran onda i samo onda, ako je n (ne)paran. Dokaz. Prvo dokazujemo dovoljnost. Neka je n 2 N paran, tj. n = 2k za neki k 2 N . Tada je i n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2 ) paran. Ako je n neparan, tj. n = 2k ¡ 1, onda je i n2 = (2k ¡ 1)2 = 4k2 ¡ 4k + 1 = 2(2k2 ¡ 2k) + 1 neparan. Za dokazivanje nuzµnosti, neka je n2 = 2k paran. Kad n ne bi bio paran, bio bi neparan (svaki prirodan broj je ili paran ili neparan), pa bi, po dokazanoj dovoljnosti, i n2 bio neparan - protuslovlje. Na isti naµcin se zakljuµcuju u sluµcaju n2 neparan. Vratimo se našemu da toµcki T odgovara p razmatranju, tj. pretpostavci p racionalni broj q ´ 2. To bi znaµcilo da je 2 ´ m n za neke m; n 2 N m2 2 i M(m; n) = 1. Tada bi bilo 2 = n2 , tj. m = 2n2, pa bi po Lemi 1.4.1 bilo m = 2k2 za neki k 2 N . To bi dalje povlaµcilo da je n2 = 2k2, pa bi i n bio paran, tj. n = 2l za neki l 2 N . Napokon, slijedilo bi 1 = M(m; n) = M(2k; p 2l) ¸ 2 - protuslovlje. Prema tomu, toµcka T (koja odgovara ”veliµcini” 2) nije slika racionalnog broja po opisanom p preslikap vanju. Drugim rijeµcima, tretiramo li 2 kao (neki novi) ”broj”, 2 2 = Q. Zato se kaµze da u skupu Q postoje praznine.

24

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Upravo dakazana µcinjenica navodi na novo proširenje u slijedu N ½ Z ½ Q . U tu svrhu, sjetimo se prereza B u ure†enom skupu (X; ·) (v. De…niciju 1.2.7). Promatrajmo ure†eni skup (Q ; ·) i prereze u njemu. Oznacµimo s R skup svih prereza B u (Q ; ·). Primijetimo da se i svaki racionalan broj smije smatrati takvim prerezom, jer je mogu´ce poistovje´cenje (bijekcija) Q 3 q ´ Bq =< q; ¢ >Q = fq0 2 Q j q < q0 g. (Naime, Bq = Bq0 , q = q0 , pa je, za svaki q 2 Q , zapravo inf Bq = q ) To povlaµci da je Q µ R pa R nije prazan. Štoviše, prethodno razmatranje pokazuje da i R n Q 6= ;. p Zaista, budu´ci da 2 (= 2 pQ ) odgovara prerezu B = fq 2 Q j q2 > 2g u µ (Q ; ·), to smijemo drµzati 2 2 R. Cesto je korisno prereze u (Q ; ·), tj. elemente skupa R, oznaµcavati dvojako - kao elemente r 2 R i kao odgovaraju´ce podskupove r ´ B µ Q : Sada ´cemo na skupu R de…nirati ure†aj · i operacije + (zbrajanje) i ¢ (mnoz µenje), što ´ce biti proširenja onih na Q . Za dva prereza B1 ´ r1; B 2 ´ r2 2 R stavljamo: r1 · r2 , B2 µ B1; r1 + r2 ´ B 1 + B2 = fq1 + q2 j q1 2 B1; q2 2 B2g (za što se lako pokazµe da je prerez B ´ r u Q ); za mnoµzenje, neka su najprije r1 > 0 i r2 > 0 (tj. B1 > f0g i B2 > f0g), pa de…nirajmo r1 ¢ r2 ´ B1 ¢ B2 ´ fq1 ¢ q2 j q1 2 B1; q2 2 B2 g (što je opet neki prerez B ´ r u Q i r > 0); ako je r1 < 0 i r2 > 0 (r1 > 0 i r2 < 0), neka bude r1 ¢ r2 = ¡((¡r1) ¢ r2) (r1 ¢ r2 = ¡(r1(¡ ¢ r2 )), gdje je ¡ri ´ ¡Bi = f¡qi j qi 2 Bi g, i = 1; 2. (Dakako da su na desnim stranama dviju prvih de…nicijskih jednakosti operacije na Q . Provjeru neovisnosti o izboru reprezentanata prepuštamo µcitatelju.) Nije teško provjeriti da se po inkluziji i : Q ,! R µcuvaju operacije + i ¢ kao i ure†aj · iz Q .

Skup R s ovako de…niranim operacijama + i ¢ i ure†ajem · nazivamo poljem (ili potpuno ure† enim poljem ) realnih brojeva i oznaµ cujemo s (R ; +; ¢; ·), a njegove elemente nazivamo realnim brojevima: Kao i do sada, jednostavnosti radi, najµ ceš´ce ´ cemo ispuštati oznake za strukturu i pisati samo R . Istaknimo skupove, odnosno, proširenja što smo ih ovdje konstruirali: N ½ Z ½ Q ½ R . Pokazuje se da svakoj to µcki T brojevnog pravca odgovara toµcno jedan realan broj r i obratno, pa se kaµze da skup R , za razliku od Q , nema praznina (v. Teorem 1.4.9): Pritom je < u R isto što i ”biti lijevo” na brojevnom pravcu. Komplement R n Q ´ J nazivamo skupom iracionalnih brojeva, a p njegove elemente iracionalnim brojevima. Dakle, 2 je primjer iracionalnoga (realnog) broja.

1.4. REALNI BROJEVI

25

Sada ´cemo se pozabaviti nekim vaµznim temeljnim svojstvima skupa realnih brojeva. Teorem 1.4.7 Svaki neprazni i odozdol (odozgor) ome†eni skup A µ R ima in…mum inf A (supremum sup A). Dokaz. Neka je A odozdol ome†en nekom donjom me†om m 2 R , tj. m · a za svaki a 2 A. Po de…nicijama skupa R i ure†aja · na njemu, m je pojednostavljena oznaka za prerez Bm koji smijemo oznaµciti kao < m; ¢ >Q µ Q (iako, op´cenito, m 2 = Q ), dok je skup A, zapravo, skup fBa j a 2 Ag prereza Ba =< a; ¢ >Q S µ Q . Budu´ci da je fmg · A, to je Ba µ Bm za svaki a 2 A, dakle, i B ´ Ba µ Bm . Skup A je neprazan pa su takvi i Ba, a2A

dakle, i B. Nadalje, Q nB S T ¶ Q nBm 6= ; i Q nBa < B a za svaki a 2 A, pa je i Q nB = Q n( Ba) = (Q nBa) < Ba za svaki a 2 A. Slijedi zakljuµcak da a2A

a2A

je B prerez u (Q ; ·). (Naime, B nema minimalnoga elementa. U protivnom, taj bi pripadao nekom Ba pa bi bio i min Ba , što proturjeµci µcinjenici da je Ba prerez.) Kao i do sada, pojednostavnimo oznaku B =< b; ¢ >Q ´ b 2 R , pa je b · a za svaki a 2 A, jer je Ba µ B za svaki a 2 A. Prema tomu, b je donja me†a skupa A. Neka je b0 bilo koja donja me†a skupa A, kojoj neka pripada prerez B 0 . Tada jeSb0 · a za svaki a 2 A, pa je B 0 ¶ Ba za svaki a 2 A. Stoga je B0 ¶ B = Ba , dakle, b0 · b, pa je b najve´ca donja a2A

me†a od A, tj. b = inf A. Savim slicµno se dokazuje tvrdnja o supremumu nepraznog i odozgor ome†enog skupa A. Naredna dva teorema donose još dva vaµzna svojstva skupa realnih brojeva .(Prvi od njih vrijedi i u Q ½ R .) Moµze se dokazati da su oni zajedno ekvivalentni Teoremu 1.4.7. Teorem 1.4.8 (Arhimedov aksiom) Neka su a; b 2 R , a > 0. Tada postoji n 2 N takav da je na > b. b (n-1)a na a 2a Skica: 0 Dokaz. Lako bismo mogli teorem dokazati primjenom Teorema 1.4.7, ali ´cemo radije iskoristiti de…niciju ure†enoga polja R kao proširenja od Q pomo´cu prereza. Primijetimo, najprije, da za svaki r 2 R postoje neki q 2 Q takav da je r < q (r je neki prerez B u (Q ; ·), a ure†aj na R je proširenje onoga na Q ). Nadalje, za svaki r 2 R + (´ fr 2 R j r > 0g) postoji neki q 2 Q + (´ fq 2 Q j q > 0g) takav da je q · r. Zaista, budu´ci da je 0 < r, to za pripadne prereze vrijedi B $ B0, tj. B0 n B 6= ;. Postoji, dakle, neki q 2 B0 n B µ Q što onda povlaµci da je 0 < q · r. Ovo nam pokazuje da je dovoljno teorem dokazati u sluµcaju a; b 2 Q . Štoviše, po uskla†enosti konstruiranih struktura od N do Q , dovoljno je teorem dokazati 1 kad je a = m i b = p, m; p 2 N . Ako je m · p uzmimo n = p2 + 1. Tada

26

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI 2

2

1 je na = n ¢ m ¸ np = p p+1 > pp = p = b. Ako je, pak, m > p onda postoji k 2 N takav da je m = p + k. Biraju´ci n = (p + k)2 dobivamo (p+k) 2 1 n na = n ¢ m = p+k = p+k = p + k > p = b.

Teorem 1.4.9 (Cantorov aksiom) Neka je za svaki n 2 N dan segment [an; bn] µ R i T neka n · m povlaµ ci [am ; bm ] µ [an; bn ] (tj. an · am · bm · bn ). Tada je [an ; b n] 6= ;. n2N

Skica:

a1

a2

a3

....

a

b

...

b3 b2

b1

Dokaz. Ovaj teorem ´cemo, za razliku od prethodnoga, dokazati primjenom Teorema 1.4.7. Oznaµcimo A ´ fan j n 2 N g i B ´ fb n j n 2 N g pa je o µcito ; 6= A · B 6= ; (podskupovi od R ). Po Teoremu 1.4.7 postoji sup A ´ a 2 R (svaki element od B je gornja me†a od A). Jasno, an · a za svaki n 2 N . Tvrdimo da je a · bn za svaki n. Kad, naime, ne bi bilo tako, postojao bi neki n0 2 N za koji bi bilo a > bn0 , što bi znaµcilo da bn0 nije gornja me†a od A - protuslovlje. Slijedi da je an · a · bn za svaki n, tj. T a 2 [an ; bn ] za svaki n. Time je teorem dokazan. (Moµze se pokazati da je [an; bn] = [a; b] pri µcemu je a = sup A i b = inf B.) n2N

Sjetimo se da skupovi N ½ Z ½ Q imaju ”jednako mnogo” (@0 ) elemenata, tj. da su ekvipotentni, dakle, beskonaµcni i prebrojivi. Dokazat ´cemo da smo proširenjem skupa Q iracionalnim brojevima - prerezima do R pridodali ”mnogo više” elemenata, tj. da je skup realnih brojeva beskonaµcan i neprebrojiv. Najprije dokaµzimo ovaj teorem:

Teorem 1.4.10 U svakom intervalu ha; bi realnih brojeva, a < b, postoji neki racionalan broj, tj, ha; biQ 6= ;. Dokaz. Obicµno se ovaj teorem dokazuje primjenom Arhimedova aksioma (Teorem 1.4.8), ali mi ´cemo ga dokazati jednostavnije, tj. izravno, jer to dopušta pristup pomo´cu prereza. Dokaz je, zapravo, sadrµzan u ”uvodu” dokaza Teorema 1.4.8, tj. u dokazu za ”reduciranje” Arhimedova aksioma s R na Q . Zaista, tamo dokazana µcinjenica da, za svaki realni broj r > 0, postoji q 2 Q takav da je 0 < q · r, moµze se na oµcit naµcin (uzmimo r0 = r2 ) pojaµcati do 0 < q < r. Prema tomu, za svaki r 2 R je h0; riQ 6= ;. Sada primijetimo da ista konstrukcija vrijedi za svaki ure†eni par a < b u R . Teorem 1.4.11 Skup iracionalnih brojeva J (dakle i R ¾ J) nije prebrojiv. Dokaz. Dokazat ´cemo da je svaki interval ha; biJ , a < b 2 R , neprebrojiv skup. Dokaz se zasniva na ovoj Tvrdnji: Ne postoji surjekcija iz N na ha; bi, a; b 2 R , a < b. Da bismo Tvrdnju dokazali, promatrajmo bilo koju funkciju f : N ! ha; bi. Naµcelo de…nicije indukcijom dopušta, za svaki n 2 N , de…nirati segment In ´ [an; bn ] ½ ha; bi tako da bude In+1 µ In i f (n) 2 ha; bi n In .

1.4. REALNI BROJEVI

27

Opišimo induktivni korak n 7¡! n + 1 eksplicite: Neka su segmenti I1 ¶ ¢ ¢ ¢ ¶ In ; za koje je f (k) 2 ha; bi n£Ik za svaki ¤ an +bn ; b ; k 2 [1; n]N , ve´c de…nirani. Ako je f (n+1) · n 2 h an ; uzmimo Iin+1 = a +f (n+1)

ako je an < f (n+1) < bn; uzmimo In+1 = an ; n 2 ; ako je f (n+1) ¸ £ ¤ n bn ; uzmimo In+1 = an ; an +b : 2 T Po Cantorovu aksiomu (Teorem 1.4.9) postoji neki realni broj x 2 In 6= n2N

;: Po konstrukciji mora biti f (n) 6= x za svaki n 2 N : Naime, za svaki n 2 N je x 2 In; a f(n) 2 = In: Zakljuµcujemo da za svaku funkciju f : N ! ha; bi postoji neka toµcka x 2 ha; bi n f[N ]: Time je tvrdnja dokazana. Tvrdnja povlaµci da interval ha; bi µ R nije prebrojiv skup. Budu´ci da je S ha; biQ ha; biJ disjunktna unija u kojoj je ha; biQ prebrojiv skup, to ha; biJ mora biti neprebrojiv. (Lako se dokaµze da je unija od dva prebrojiva skupa prebrojiv skup!)

1.4.3

Apsolutna vrijednost realnog broja

Apsolutnom vrijednoš´cu na skupu realnih brojeva smatramo funkciju k: R ! R de…niranu pravilom ½ x; x ¸ 0 k (x) ´ jxj = : ¡x; x < 0 De…nicija izravno povlaµci daS je, za svaki x 2 R , x · jxj i jxj ¸ 0, tj. vrijednosni skup k [R ] = R + f0g. Pritom je jxj = 0 , x = 0. Primijetimo da je, za svaki x 2 R , x = 1 ¢ jxj ´ +jxj µcim je x ¸ 0, odnosno, x = (¡1) ¢ jxj ´ ¡jxj µcim je x · 0, pa u tom smislu µcesto kaµzemo da je realni broj x > 0 pozitivan (ili da ima predznak plus - ”+”), a da je realni broj x < 0 negativan (ili da ima predznak minus - ”¡”). (Broju 0 2 R ne pridijeljujemo predznak!) Graf apsolutne vrijednosti je prikazan na crteµzu dolje. Y

X O

Budu´ci da je x2 = (¡x)2 (x2 ´ x ¢ x), to je jxj2 = x2. Nadalje, j ¡ xj = jxj i posebice jx¡yj = jy ¡xj, za svaki par x; y 2 R . Navest ´cemo još neka vaµzna svojstva apsolutne vrijednosti: (i) (8x 2 R )(8r 2 R + ) jxj < r , ¡r < x < r (tj. x 2< ¡r; r >); (ii) (8x; y 2 R ) jx + yj · jxj + jyj (trokutna nejednakost) n n P P i, op´cenito, (8n 2 N )(8x1; ¢ ¢ ¢ ; xn 2 R ) j xi j · jxi j (

n P

i=1

i=1

ri ´ r1 + ¢ ¢ ¢ + rn, v. pododjeljak 1.4.4);

i=1

28

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

(iii) (iv)

(8x; y 2 R ) jx ¡ yj ¸ jxj ¡ jyj; (8x; y 2 R ) jx ¢ yj = jxj ¢ jyj

i, op´cenito, (8n 2 N )(8x1 ; ¢ ¢ ¢ ; xn 2 R ) (

n Q

i=1

j

n Q

i=1

xi j =

ri ´ r1 ¢ : : : ¢ rn , v. pododjeljak 1.4.4);

n Q

i=1

jxi j

x jxj (8x; y 2 R , y 6= 0) j j = ; y jyj Dokazµimo npr. (ii): Ako je x + y ¸ 0 onda je jx + yj = x + y · jxj + jyj, a ako je x + y < 0 onda je opet jx + yj = ¡(x + y) = (¡x) + (¡y) · j ¡ xj + j ¡ yj = jxj + jyj. Op´ci sluµcaj se sada rutinski dokazuje potpunom indukcijom. (v)

1.4.4

Potenciranje

Asocijativnosti zbrajanja i mnoµzenja u R dopuštaju da se, primjenom naµcela de…niranja indukcijom, de…niraju zbroj i umnoµzak od bilo koliko, ali konaµ cno, realnih brojeva. Tako je za zbroj (ili sumu) od n realnih brojeva n P (pribrojnika) x1; : : : ; xn, n 2 N , u oznaci: xi ´ x1 +: : :+xn , rekurzivna de…nicija ova: 1 P x i = x 1; i=1

Pritom je ( n P

n P

i=1

i=1

k+1 P

xi = (

i=1

xi ) ¢ y =

xi = nx.

n P

k P

i=1

xi ) + xk+1 ;

k 2N :

(xi y). Posebice, za x1 = : : : = xn ´ x, dobivamo

i=1

i=1

Umnoµ zak (ili produkt) od n realnih brojeva (faktora) x1; : : : ; xn, n Q n 2 N , u oznaci: xi ´ x1 ¢ : : : ¢ xn, rekurzivno de…niramo ovako: 1 Q

i=1

x i = x 1;

i=1 k+1 Q i=1

xi = (

k Q

i=1

xi ) ¢ xk+1;

k2N:

Ako je pritom x1 = : : : = xn ´ x, onda se umnoµzak

n Q

i=1

xi naziva n-tom

potencijom broja x i oznaµcuje kao xn ; za x se kaµze da je baza, a za n da je eksponent potencije xn . Po de…niciji je, dakle, x1 = x i xk+1 = xk ¢ x, k 2 N . Odatle potpunom indukcijom zakljuµcujemo: (?) xm ¢ xn = xm+n ; (xm)n = xm¢n ; (x ¢ y)n = xn ¢ yn ; te da, za ma koje x; y 2 R i m; n 2 N ., iz 0 · x < y i n 2 N slijedi xn < yn . Nadalje, ako je x > 1 (0 · x < 1) onda je i xn > 1 (0 · xn < 1). Napokon, za svaki x 2 R je xm < xn µcim je m < n u N . Potenciranje prirodnim eksponentima (R ! R , x 7! xn, n 2 N ) proširujemo na negativne cjelobrojne eksponente (¡n 2 Z ), ali za x 6= 0, stavljaju´ci: x¡n = x1n i x0 = 1. Pokazuje se da i dalje vrijede jednakosti (?).

1.4. REALNI BROJEVI

29

Konaµcnim funkcijskim kompozicijama sastavljenim od potenciranja, mnoµzenja i zbrajanje dobivamo vrlo vaµzan skup funkcija S iz R u R - tzv. polinome. Tocµna de…nicija jest ova: Neka su dani n 2 N f0g i a0; a1 ; : : : ; an 2 R , an 6= 0. Funkciju n P p : R ! R ; p(x) = aixi ´ an xn + : : : + a1x + a0; i=0

nazivamo polinomom (n-toga stupnja). Brojeve a0; a1; : : : ; an nazivamo koe…cijentima polinoma p. (Oni posve odre† uju taj polinom.)

U toµcki 1.4.1 smo spomenuli decimalni naµ cin zapisivanja prirodnih brojeva navode´ci oznake (i nazive): 1 (jedan), 2 (dva), ¢ ¢ ¢ , 9 (devet) i 10 (deset). Cijeli broj 0 nazvali smo nulom ili ništicom. Brojeve 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 nazivamo i decimalnim znamenkama. Decimalni zapis prirodnog (pa onda i cijelog i racionalnog) broja zasniva se na ovoj µcinjenici: Za svaki m 2 N postoji jedan jedini polinom p kojemu su koe…cijenti decimalne znamenke i za koji je p(10) = m. Ako je takav polinom p odre†en koe…cijentima a0; a1 ; : : : ; an, tj. p(x) = anxn +: : : + a1x +a0, onda je pripadni decimalni zapis broja m = p(10) upravo anan¡1 : : : a1 a0 . Primjerice, prirodni broj 7 ¢(10)3 +4 ¢(10)2 +0 ¢(10)1 +5 ima decimalni zapis 7405. Dakle, broj 10 je ”baziµcan” za decimalni sustav - odatle naziv!. Na isti naµcin zapisujemo i negativne cijele brojeve (¡m) stavljaju´ci znak ”¡” ispred zapisa (za m). Napomenimo da se pored decimalnoga rabe i neki drugi sustavi za zapisivanje cijelih brojeva. Primjerice, binarni sustav u kojemo ulogu ”baziµcnoga” broja preuzima broj 2, pa taj sustav ima samo dvije binarne znamenke - 0; 1. Osvrnimo se sada i na decimalno zapisivanje racionalnih brojeva. Ako m je racionalan broj q = 10 n (m 2 Z , n 2 N ), nazivamo ga decimalnim brojem. Neka je m > 0 i neka je njegov decimalni zapis ak ak¡1 ¢ ¢ ¢ a1 a0 , tj. m = ak 10k + ¢ ¢ ¢ + a1 10 +a0. Tada je q = ak 10k¡n + ¢ ¢ ¢ +a1101¡n + a0 10¡n, pa se za decimalni zapis decimalnoga broja q uzima: ak ¢ ¢ ¢ an; an¡1 ¢ ¢ ¢ a0, kad je k ¸ n; 0; ak ¢ ¢ ¢ a0, kad je k = n ¡ 1; 0; 0 ¢ ¢ ¢ 0ak ¢ ¢ ¢ a0, kad je k · n ¡ 2 (n ¡ k ¡ 1 ništica od zareza do ak ). U sluµcaju m < 0 postupamo kao i u sluµcaju m > 0 dodaju´ci znak ”¡” ispred zapisa. Primjerice, 347; 18 je decimalni zapis (decimalnoga broja) 3 ¢ 102 + 4 ¢ 10 + 7 + 1 ¢ 10¡1 + 8 ¢ 10¡2 = 34718 ; ¡0; 695 je decimalni zapis 102 ¡1 ¡2 ¡3 ¡695 broja ¡6 ¢ 10 ¡9 ¢ 10 ¡5 ¢ 10 = 103 ; 0; 000201 je decimalni zapis broja 2 ¢ 10 ¡4 + 0 ¢ 10 ¡5 + 1 ¢ 10¡6 = 201 106 . Postoje, me†utim, i nedecimalni racionalni brojevi, npr. 13 . Ipak, moµze se pokazati (v. §1.4.6 Vjeµzbe, Zadatak 12.) da je svaki racionalan broj ili decimalan ili dopušta tzv. periodiµ cki decimalni zapis (neke znamenke ili neke skupine znamenaka iza zareza se pravilno ponavljaju). Primjerice, 1 _ 1219 ´ 1; 2313131 ¢ ¢ ¢ ´ 1; 23_ 1. _ ´ 0; 333 ¢ ¢ ¢ ´ 0; 3; 3

990

30

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Sada bi trebalo ”otkriti” pogodna tehniµcka pravila (sheme) za izvo† enje racµunskih operacija (+; ¡; ¢; ¥) u skupu Q s decimalnim zapisom njegovih elemenata. No, ona su µcitatelju dobro poznata iz osnovne škole, pa ´cemo ih ovdje ispustiti. Sjetimo se da smo potenciranje bili de…nirali samo za cjelobrojne eksponente. Sljede´ci ”teorem o jedinstvenosti baze” jamµci mogu´cnost potenciranja racionalnim eksponentom (tzv. korijenovanje). Teorem 1.4.12 Neka su dani a 2 R , a ¸ 0, i n 2 N . Tada postoji toµ cno n jedan x 2 R , x ¸ 0, takav da je x = a. U dokazu ´cemo trebati neka svojstva (”neprekidnost”) mnoµzenja i potenciranja realnih brojeva, koja ´cemo iskazati dvjema lemama. Lema 1.4.2 Neka su x; y; ² 2 R , ² > 0. Tada postoje ±1; ±2 2 R , ±1 > 0 i ±2 > 0, takvi da vrijedi: (8s; t 2 R ) (jsj < ±1 ^ jtj < ±2) ) j(x + s)(y + t) ¡ xyj < ²: ² ² Dokaz. Uzmimo ±1 = minf1; 2(1+jyj) g i ±2 = 2(1+jxj) , pa su ±1 > 0 i ±2 > 0 i vrijedi: j(x+s)(y +t) ¡xyj = j(x+s)t +syj · jtj(jxj + jsj) +jsjjyj < jtj(jxj + 1) + jsj(1 + jyj) · ±2 (jxj + 1) + ±1(1 + jyj) · ²2 + 2² = ².

Lema 1.4.3 Za svaki x; ² 2 R , ² > 0 i svaki n 2 N postoji ± 2 R , ± > 0, takav da vrijedi: (8s 2 R ) jsj < ± ) j(x + s)n ¡ xnj < ²: Dokaz. Dokazujemo potpunom indukcijom. Za n = 1 je j(x+s)1 ¡x1 j = jsj, pa je dovoljno uzeti neki ± < ². Pretpostavimo da je tvrdnja istinita za bilo koji n 2 N . Neka je y = xn, pa po Lemi 1.4.2 postoje brojevi ±1 > 0 i ±2 > 0 takvi da iz jsj < ±1 i jtj < ±2 slijedi j(x + s)(xn + t) ¡ xn+1 j < ². Po induktivnoj pretpostavci, za ±2 > 0 postoji ±3 > 0 takav da jsj < ±3 povlaµci j(x + s)n ¡ xn j < ±2. Neka je ± = minf±1 ; ±3g, pa je ± > 0 i, za svaki s 2 R , iz jsj < ± slijedi jsj < ±1 i j(x + s)n ¡ xnj < ±2 . Uzmimo t = (x + s)n ¡ xn , pa to, skupa s prethodnim, jamµci da jsj < ± povlaµci j(x+ s)n+1 ¡xn+1 j = j(x+ s)(x +s)n ¡xn+1j = j(x+ s)(xn + t) ¡ xn+1j < ². Dokaz. (Teorema 1.4.12) Neka je A = fr j r ¸ 0 ^a < rn g µ R . Budu´ci da r > maxfa; 1g povlaµci rn > r > a, to je A 6= ;. Nadalje, f0g · A pa je A ome†en odozdol. Po teoremu 1.4.7 postoji inf A ´ x i oµcito je x ¸ 0. Tvrdimo: xn = a. Pretpostavimo protivno, tj. xn 6= a, dakle, ili xn > a ili xn < a. Tada bi bio ² = ja¡xnj > 0. Odabravši za taj ², po Lemi 1.4.3, broj ± > 0 dobili bismo da, za svaki s 2 R , vrijedi: jsj < ± ) j(x + s)n ¡ xn j < ². Sada, ako bi bilo xn > a, bilo bi xn ¡a = ², dakle, x > 0. Uzmimo s < 0 tako da bude jsj < ± i jsj < x. To ´ce povlaµciti 0 < x+s < x i 0 < xn ¡(x+ s)n =

1.4. REALNI BROJEVI

31

jxn ¡ (x + s)n j < ² = xn ¡ a, dakle, a < (x + s)n. Proizlazi da je x + s 2 A, što protuslovi µcinjenici x + s < x = inf A. Preostaje mogu´ci xn < a, pri cµemu ² = a ¡ xn. Uzmimo takav s > 0 da bude s · ±, pa ´ce biti x < x + s i 0 < (x + s)n ¡ xn = j(x + s)n ¡ xn j < ² = a ¡ xn . Slijedi da je (x + s)n < a pa je x + s 2 A. Budu´ci da je x = inf A i s > 0, to postoji r 2 A takav da je x · r < x + s. Nu, po de…niciji za A mora biti a < rn < (x + s)n; što protuslovi ve´c dokazanoj nejednakosti a > (a +s)n: Ovime smo dokazali obstojnost realnoga broja x ¸ 0 za koji je xn = a: Dokazµimo i njegovu jedinstvenost! Pretpostavimo da pored x postoji i broj y ¸ 0 za koji je y n = a: Kad bi bilo y < x; bilo bi i a = y n < xn = a - nemogu´ce, a isto povlaµci i pretpostavka y > x: Preostaje x = y: Teorem 1.4.12 jamµci valjanost potenciranja racionalnim eksponentom q=m n 2Q: p m 1 aq ´ a n = (am ) n ´ n am. 1 1 Lako se vidi da je (a n )m = (am) n . Nadalje, nije teško dokazati da sva provila za potenciranje cjelobrojnim eksponenetima (?) ostaju valjana i pri potenciranju racionalnim eksponentima. Napokon, potenciranje racionalnim eksponentom se proširuje na potenciranje realnim eksponentom r 2 R kako slijedi: ar = inffaq j q 2 Q , q > rg. Opet se sva pravila za potenciranje (?) oµcuvaju.

1.4.5

Kombinatoriµ cke osnove

Naµcelo de…nicije indukcijom dopušta de…nirati funkciju f : N ! N pravilom f (1) = 1, i f (n+1) = f(n)¢(n+1). To je tzv. faktorijel-funkcija i obiµcno ju se oznaµcuje s f (n) = n! (”en-faktorijel”). Dakle, 1! = 1, 2! = 1!¢2 = 1¢2 = 2, 3! = 2! ¢ 3 = 1 ¢ 2 ¢ 3 = 6, ¢ ¢ ¢ , (n + 1)! = n! ¢ (n + 1) = 1 ¢ 2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ n ¢ (n + 1). Korisno je dodatno de…nirati 0! = 1. Vrlo vaµznu ulogu imaju prirodni brojevi koji S se dobivaju pomo´cu n!faktorijela na sljede´ci naµcin: Neka su n; k 2 N f0g, k · n. Broj k!(n¡k)! ¡ ¢ oznaµcujemo s nk (µcitamo: en povrh ka) i nazivamo binomnim koe…cijentom (v. Teorem 1.4.14). Lako je dokazati sljede´ca svojstva binomnih koe…cijenata: ¡ ¢ ¡ ¢ (i) n0 = 1, n1 = n; ¡ ¢ ¡ n ¢ (ii) nk = n¡k (simetriµ cnost), što¡ povla ¢ ¡nµc¢i ¡da ¢za binomne ¡ n ¢ ¡koe…cijente ¢ ¡n¢ n n n , , , ¢ ¢ ¢ , 0 1 2 n¡2 , n¡1 , n vrijedi: ¡n¢ ¡n¢ ¡n¢ ¡ n ¢ ¡n¢ ¡ n ¢ = , = , = n¡2 , ¢ ¢ ¢ ; ¡n¢ 0 ¡ n ¢n ¡1n+1¢ n¡1 2 (iii) k + k+1 = k+1 , k < n. Koriste´ci (iii) se, indukcijom po n, dokazuje da je svaki binomni koe…cijent zaista prirodan broj. Binomne koe…cijente je zgodno prikazati pomo´cu

32

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

sljede´ce sheme, tzv. Pascalova trokuta: n=0(k=0) n=1(k=0,1) n=2(k=0,1,2) n=3(k=0,1,2,3) n=4(k=0,1,2,3,4) n=5(k=0,1,2,3,4,5) n=6(k=0,1,2,3,4,5,6) n=7(k=0,1,2,3,4,5,6,7)

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

(Svaki ”unutrašnji” µclan u (n + 1)-vom retku jest zbroj ”gornjih susjeda” iz n-toga retka, a ”rub” tvore jedinice!) Teorem 1.4.13 Za svaki par x; y 2 R i svaki n 2 N vrijedi tzv. binomna formula: ¡ ¢ ¡ n ¢ 2 n¡2 (x + y)n = xn + nxn¡1y + n2 xn¡2y 2 + ¢ ¢ ¢ + n¡2 x y + nxy n¡1 + yn n ¡ ¢ n ¡ ¢ P P n n¡k k n k n¡k ´ y = . k x k x y k=0

k=0

Dokaz. Ilustracije radi, sjetimo se ove formule u dobro poznatim sluµcajevima n = 1; 2; 3: (x + y)1 = x + y, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 , (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 . Budu´ci da ´cemo teorem dokazati potpunom indukcijom, prvi je korak naµcinjen. Provedimo induktivni korak n 7! n + 1: (x + y)n+1 = (x + y)n (x + y) =( ind ukt ivna pr et p o st a vka) n ¡ ¢ P n n¡k k ( y )(x + y) = k x k=0

n ¡ ¢ P n

k=0

k

n ¡ ¢ P n n¡k k+1 y = k x

xn+1¡k y k +

xn+1 +

n ¡ ¢ P n k

k=1

k=0

xn+1¡k y k +

n¡1 P¡ k=0

¢

n k

xn¡k y k+1 + yn+1 =

(” p o m iµcem o ” ind eks k u k+ 1 u d ru g o j s u m i, pa u pr ibr o j nicim a m o r a k p o s t a ti k -1 )

xn+1 + n+1

x

+

xn+1 + n+1 P¡ k=0

n ¡ ¢ P n

k=1 n P

(

k

xn+1¡k y k +

¡n¢

+

k

n ¡ P

n ¢ n¡(k¡1) (k¡1)+1 y k¡1 x

k=1 n ¢ n+1¡k k y k¡1 )x

¡

k=1 n ¡ P n+1¢ n+1¡k k y k x k=1

+ yn+1 =( s vo js t vo

+ y n+1 =

(iii) )

+ yn+1 =

n+1¢ n+1¡k k y , k x

µcime je tvrdnja dokazana. Jednakost

n ¡ ¢ P n

k=0

k

xn¡k yk =

n ¡ ¢ P n

k=0

k

xk y n¡k je

posljedica uoµcene simetriµcnosti binomnih koe…cijenata i, dakako, komutativnosti zbrajanja i mnozµenja u R . Korolar 1.4.2 (i) (ii)

n ¡ ¢ P n

k=0

k

=

(x ¡ y)n =

2n ;

n P

(¡1)k

k=0

¡n¢ n¡k k y ; k x

1.4. REALNI BROJEVI (iii)

n P

k=0

33

(¡1)k (nk ) = 0.

Dokaz. Tvrdnja (i) slijedi iz Teorema 1.4.13 zamjenom y sa ¡y, tj. (x ¡ y)n = (x + (¡y))n , dok se (ii) dobiva iz Teorema 1.4.14 u sluµcaju x = y = 1. Tvrdnja (iii) se dobiva iz (i) stavljaju´ci y = x. De…nicija 1.4.3 Permutacijom (ili premjestbom) n-tog reda nazivamo svaku bijekciju [1; n]N ! [1; n]N . Izjednaµcuju´ci takvu bijekciju s njezinom ure†enom (po domeni) slikom, smijemo re´ci da je permutacija n-toga reda svaki n-slog (ili ure†ena n-torka) (i1; ¢ ¢ ¢ ; in ) me†usobno razliµcitih (dakle, svih) elemenata od [1; n]N , tj. smijemo re´ci da je permutacija n-toga reda svaki ure†aj skupa [1; n]N . Broj ij , 1 · j · n, nazivamo j-tom koordinatom sloga (i1; ¢ ¢ ¢ :in ). Oµcito je da se gornja de…nicija moµze formalno prenijeti na svaki konacµni skup X = fx1 ; ¢ ¢ ¢ ; xng, pa tada govorimo o permutaciji skupa X. Primjer 1.4.1 Popišimo sve permutacije skupa X = fa; b; cg. To su: (a; b; c), (a; c; b), (b; a; c), (b; c; a), (c; a; b), (c; b; a). Teorem 1.4.14 Kardinalni broj Pn skupa svih permutacija n-toga reda jest n!. Dokaz. Po de…niciji (komentaru) je svaka permutacija n-tog reda neki element (i1; ¢ ¢ ¢ :in ) direktnoga produkta [1; n]N £ ¢ ¢ ¢ £ [1; n]N ´ ([1; n]N )n kojemu su sve koordinate me†usobno razliµcite. Za prvu koordinatu imamo, dakle, n mogu´cnosti izbora, za drugu - n ¡ 1, ¢ ¢ ¢ , za zadnju ( n-tu) - jednu mogu´cnost. Po ”produktnom pravilu” (v. §1.4.6 Vjeµzbe, Zadatak 25.) je Pn = n ¢ (n ¡ 1) ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1 = n!. Re´ci ´cemo da su u permutaciji (i1; ¢ ¢ ¢ :ij ; ¢ ¢ ¢ ; ik ; ¢ ¢ ¢ ; in) koordinate ij i ik , 1 · j < k · n, tvore inverziju, ako je ik < ij . Primjerice, u permutaciji tre´cega reda (3; 1; 2) inverziju tvore 3 i 1 te 3 i 2, dok u permutaciji (1; 2; 3) nema inverzija. Ako u permutaciji (i1; ¢ ¢ ¢ :i n) ima ukupno paran broj (ukljuµcuju´ci ništicu) inverzija, govorimo o parnoj permutaciji, a u protivnom o neparnoj permutaciji. Primjerice, (2; 3; 1) ima to µcno dvije inverzije pa je to parna permutacije, dok je (3; 2; 1) neparna permutacija jer ima ukupno tri inverzije. Radi li se o permutacijama konaµcnog skupa X, jXj = n, najprije treba indeksirati njegove elemente zapisom X = fxi j i 2 [1; n]N g, tj. odrediti ”osnovnu permutaciju” (x1; ¢ ¢ ¢ ; xn ), a dalje se radi vode´ci raµcuna samo o indeksima. (Indeksirati elemente skupa X, jXj = n, zapravo znaµci odabrati neku bijekciju f : [1; n]N ! X i zapisati X = ff (i) = xi j i 2 [1; n]N g = fx1; ¢ ¢ ¢ ; xn g. Da se svaki konaµcan skup moµze indeksirati slijedi iz Teorema 1.4.6)

34

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

De…nicija 1.4.4 Kombinacijom n-tog reda i r-tog razreda smatramo svaki r-µ clani podskup fi1; ¢ ¢ ¢ ; ir g od [1; n]N , dopuštaju´ ci i sluµ caj r = 0, tj. prazni podskup ; ½ [1; n]N . De…nicija se na oµcit naµcin prenosi na svaki konaµcni skup X = fx1; ¢ ¢ ¢ ; xn g, pa se tada govori o kombinaciji r-toga razreda skupa X. Primijetimo da mora biti 0 · r · n. Primjer 1.4.2 Popišimo sve kombinacije drugoga razreda skupa X = fa; b; cg. To su: fa; bg; fa; cg; fc; ag. Teorem 1.4.15 Kardinalni broj Knr ¡skupa svih kombinacija n-tog reda i ¢ r-tog razreda jest binomni koe…cijent nk .

Dokaz. Za r = 0 i r = n postoje, za svaki n 2 N , jedinstveni podskupovi ; i [1; n]N od [1; n]N redom, što se slaµze s (n0 ) = 1 = (nn). Ako je n = 1 to su i jedini podskupovi od [1; n]N = f1g. Neka je sada n ¸ 2 i 1 · r · n ¡ 1. Primijetimo da se svaka permutacija moµze dobiti izborom neke kombinacije permutiraju´ci tu kombinaciju i njezin komplement. Budu´ci da - [1; n]N ima ukupno Knr (=?) r-cµlanih podskupova, - svaki r-µclani skup ima ukupno Pr permutacija, - svaki (n ¡ r)-µclani skup ima ukupno Pn¡r permutacija, to produktno pravilo povlaµc¡i: ¢Pn = Knr ¢ Pr ¢ Pn¡r . n! Slijedi: Knr = r!(n¡r)! = nk . De…nicija 1.4.5 Varijacijom n-tog reda i r-tog razreda smatramo svaki r-slog (i1 ; ¢ ¢ ¢ ; ir ) me†usobno razliµ citih elemenata od [1; n]N , dopuštaju´ci i sluµ caj r = 0, tj. ”prazni slog” ;. De…nicija se prirodno prenosi na svaki konaµcni skup X = fx1; ¢ ¢ ¢ ; xng, pa tada govorimo o varijaciji r-toga razreda skupa X. Primijetimo da zbog razliµcitosti elemenata mora biti 0 · r · n. Primjer 1.4.3 Popišimo sve varijacije drugoga reda skupa X = fa; b; cg. U prethodnomu primjeru smo ispisali sve pripadne kombinacije drugoga razreda: fa; bg; fa; cg; fb; cg. Preostaje ih permutirati, što daje: (a; b); (b; a), (a; c); (c; a), (b; c), (c; b). Korolar 1.4.3 Kardinalni broj Vnr skupa svih varijacija n-tog reda i r-tog razreda jest n ¢ (n ¡ 1) ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ (n ¡ r + 1) ´ (n)r . Dokaz. Iz De…nicije 1.4.5 proizlazi da su varijacije isto što i permutacije odgovaraju´cih kombinacija. Prema tomu, Teoremima 1.4.15 i 1.4.16 i produktnom pravilu zakljuµcujemo: n! Vnr = Knr ¢ Pr = r!(n¡r)! ¢ r! = n ¢ (n ¡ 1) ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ (n ¡ r + 1).

1.4. REALNI BROJEVI

35

U §1.1.2 smo postulirali da skup ne smije sadrµzavati me†usobno jednakih elemenata, tj. da se elementi smiju pojavljivati samo kao ”jedinstveni primjerci”. Prakticµne potrebe, me†utim, nalaµzu promatranje i takvih ”skupova” u kojima se elementi pojavljuju u više primjeraka. To vodi k pojmu multiskupa M (nad nekim skupom S). Ne ulaze´ci u tanµcine, M = fns ¢ s j s 2 S, S ns 2 N f0gg, gdje ns ¢ s kazuje da se element s 2 S pojavljuje u ns primjeraka u multiskupu M. Primjerice, ako je skup S = fa; b; c; dg, jedan multiskup nad njim mozµe biti M = f2 ¢ a; 3 ¢ b; 1 ¢ c; 0 ¢ dg = fa; a; b; b; b; cg. Ovdje ´ce nas, u prvom redu, zanimati multiskupovi nad poµcetnim komadima [1; k]N skupa prirodnih brojeva, tj. M = fn1 ¢ 1; ¢ ¢ ¢ ; nk ¢ kg, n1 ; ¢ ¢ ¢ ; nk 2 N . Pritom zbroj n1 + ¢ ¢ ¢ + nk = n smatramo kardinalnim brojem jMj toga multiskupa. Svrsishodno je takav multiskup oznaµciti s M(n; n1; ¢ ¢ ¢ ; nk ). Primjerice, k = 3 i n1 = 2, n2 = 4, n3 = 1 posve odre†uju multiskup M(7; 2; 4; 1) = f2 ¢ 1; 4 ¢ 2; 1 ¢ 3g = f1; 1; 2; 2; 2; 2; 3g od 7 elemenata. De…nicija 1.4.6 Permutacijom s ponavljanjem (n = n1 + ¢ ¢ ¢ + nk )toga reda nazivamo svaki ure†aj multiskupa M(n; n1; ¢ ¢ ¢ ; nk ). (Pritom, dakako, ne razlikujemo ure†aje u kojima primjerci istih elemenata me†usobno mijenjaju mjesta.) De…nicija se prirodno prenosi na svaki konaµcni skup X = fx1; ¢ ¢ ¢ ; xk g, pa tada govorimo o permutacijama s ponavljanjem skupa X ili o permutacijama multiskupa M ´ X(n; n1; ¢ ¢ ¢ ; nk) = fn1 ¢ x1; ¢ ¢ ¢ ; nk ¢ xk g, n = n1 + ¢ ¢ ¢ + nk. Primjer 1.4.4 Neka je M multiskup (od) svih slova rijeµci TATA, tj. M = f2¢A; 2¢Tg = fA,A,T,Tg. Ispišimo sve njegove permutacije. To su: AATT, ATAT, ATTA, TAAT, TATA, TTAA. (Uo µcimo: k = 2, n1 = 2, n2 = 2, n = 4). Teorem 1.4.16 Kardinalni broj Pn;n1;¢¢¢ ;nk skupa svih permutacija s ponan! vljanjem (n = n1 + ¢ ¢ ¢ + nk )-toga reda jest n1!¢¢¢n . k! Dokaz. Pretpostavimo li da su u multiskupu M(n; n1; ¢ ¢ ¢ ; nk ) svi elementi me†usobno razliµciti, smjeli bismo ga poistovjetiti s poµcetnim komadom [1; n]N , pa bi ukupan broj permutacija bio Pn = n!. Me†utim, n1 primjeraka elementa 1 ne razlikujemo, pa tako ni njihove permutacije kojih je Pn1 = n1!. Isto vrijedi za n2 primjeraka elementa 2, : : : ; nk primjeraka elementa k. Primijenjuju´ci produktno pravilo dobivamo n! Pn = Pn;n1 ;¢¢¢ ;nk ¢ Pn1 ¢ ¢ ¢ Pnk , pa je Pn;n1;¢¢¢ ;nk = n1 !¢¢¢n . k! Napomena 1.4.2 Jednostavnosti radi, u oznaku za kardinalni broj permutacija s ponavljanjem µcesto upisujemo samo one od brojeva ni, i 2 f1; ¢ ¢ ¢ ; kg, koji su ve´ci od 1 (1! = 1). Primjerice, multiskup M = X(12; 5 ¢ a; 1¢b; 1¢c; 1¢d; 1¢e; 2¢f; 1¢g) = fa; a; a; a; a; b; c; d; e; f; f; gg ima P12;5;1;1;1;1;2;1 = 12! P12;5;2 = 5!2! = 2652 permutacija.

36

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Promatrajmo opet po µcetni komad [1; n]N ure†enoga skupa prirodnih brojeva N . Neka se, za svaki i 2 [1; n]N , multiskup Mi sastoji od r primjeraka, r 2 N , broja i. Dakle, M1 = f1; ¢ ¢ ¢ ; 1 j r primjerakag = fr ¢ 1g, : : :, n S Mn = fr ¢ ng. Neka je multiskup M = Mi = fr ¢ 1; ¢ ¢ ¢ ; r ¢ ng. Primijei=1

timo da je M = M(nr; r; ¢ ¢ ¢ ; r).

De…nicija 1.4.7 Kombinacijom s ponavljanjem n-tog reda i r-tog razreda nazivamo svaki r-µ clani podmultiskup multiskupa M(nr; r; ¢ ¢ ¢ ; r), dopuštaju´ci i sluµ caj r = 0 - praznoga podmultiskupa. De…nicija se na o cµit nacµin prenosi na svaki konacµni skup X = fx1; ¢ ¢ ¢ ; xn g. Pritom govorimo o kombinacijama s ponavljanjem r-toga razreda skupa X ili o kombinacijama r-toga razreda multiskupa M ´ X(nr; r¢ x1 ; ¢ ¢ ¢ ; r ¢ xn ). Primjer 1.4.5 Popišimo sve kombinacije s ponavljanjem tre´cega razreda skupa X = fa; bg. Ovdje je n = 2 i r = 3, pa je pripadni multiskup M = fa; a; a; b; b; bg. Traµzene kombinacije jesu: fa; a; ag, fa; a; bg, fa; b; bg, fb; b; bg. Napomena 1.4.3 Primijetimo da se u De…niciji 1.4.7 ništa bitno ne mijenja ako se umjesto multiskupa M(nr; r; ¢ ¢ ¢ ; r) uzme bilo koji multiskup M(m; r1; ¢ ¢ ¢ ; rn), pri µcemu je minfri j i 2 [1; n]N g ¸ r (r1 + ¢ ¢ ¢ + rn = m). Sliµcno, smije se raditi i u svakom multiskupu M ´ X (m; r1 ¢ x1; ¢ ¢ ¢ ; rn ¢ xn ) nad skupom X = fx1; ¢ ¢ ¢ ; xn g, µcim se naglasi o kojemu razredu r · minfri j i 2 [1; n]N g je rijeµc. 0

Teorem 1.4.17 Kardinalni broj Knr skupa svih kombinacija ¡ ¢ s ponavljanjem n-tog reda i r-tog razreda jest binomni koe…cijent r+n¡1 . r

Dokaz. Budu´ci da su kombinacije s ponavljanjem de…nirane kao podmultiskupovi, moµze ih se indeksiranjem interpretirati i kao neke kombinacije (bez ponavljanja). Razmišljajmo ovako: U bilo kojoj kombinaciji s ponavljanjem n-tog reda u r-tog razreda, budu´ci da ure†aj nije bitan, smijemo poredati prvo sve primjerke (ako ih ima) broja 1, za njima sve primjerke (ako ih ima) broja 2 itd. do svih primjeraka (ako ih ima) broja n. Sada svakom primjerku broja 1 pridruµzimo njegov redni broj, tj. broj njegova mjesta u postavljenomu poretku (s lijeva na desno), svakom primjerku broja 2 njegov redni broj više 1 itd. svakom primjerku broja n njegov redni broj više n ¡1. Tako dobivamo kombinaciju (bez ponavljanja) (r + n ¡ 1)-vog reda i r-tog razreda. Nu, vrijedi i obratno, tj. obratnim postupkom se svakoj kombinaciji (r + n ¡ 1)-vog reda i r-tog razreda pridruµzuju jedinstvena kombinacija s ponavljanjem n-tog reda¡ u r-tog ¢ razreda. Po Teoremu 1.4.16 sada zakljuµcu0 r jemo: Knr = Kr+n¡1 = r+n¡1 . r

1.4. REALNI BROJEVI

37

De…nicija 1.4.8 Varijacijom s ponavljanjem n-tog reda i r-tog razreda nazivamo svaki r-slog iz multiskupa M(nr; r; ¢ ¢ ¢ ; r), dopuštaju´ci i sluµ caj r = 0 - prazni slog. De…nicija se prirodno prenosi na svaki konaµcni skup X = fx1; ¢ ¢ ¢ xn g pa tada govorimo o varijacijama s ponavljanjem r-toga razreda skupa X ili o varijacijama r-toga razreda multiskupa M ´ X (nr; rx1; ¢ ¢ ¢ ; rxn). Primijetimo da Napomena 1.4.3 vrijedi i za De…niciju 1.4.8. Zaista, ništa se bitno ne mijenja, ako se umjesto multiskupa M(nr; r; ¢ ¢ ¢ ; r) uzme bilo koji multiskup M(m; r1; ¢ ¢ ¢ ; rn), gdje je minfri j i 2 [1; n]N g ¸ r. Isto tako, smije se rabiti svaki multiskup M ´ X(m; r1 ¢ x1; ¢ ¢ ¢ ; rn ¢ xn ) nad skupom X = fx1 ; ¢ ¢ ¢ ; xng, µcim se odredi razred r · minfri j i 2 [1; n]N g. Primjer 1.4.6 Popišimo sve varijacije s ponavljanjem tre´cega razreda skupa X = fa; bg. Ovdje je n = 2 i r = 3 pa je pripadni multiskup M = fa; a; a; b; b; bg. Preostaje permutirati sve kombinacije s ponavljanjem iz Primjera 1.4.5. Tako dobivamo: (a; a; a), (a; a; b), (a; b; a), (b; a; a), (a; b; b), (b; a; b), (b; b; a), (b; b; b). 0

Korolar 1.4.4 Kardinalni broj Vnr skupa svih varijacija s ponavljanjem n-tog reda i r-tog razreda jest potencija nr . Dokaz. Dovoljno bi bilo primijetiti da su varijacije s ponavljanjem, zapravo, permutacije odgovaraju´cih kombinacija s ponavljanjem, pa onda izvu´ci traµzeni zakljuµcak. Ipak, korolar ´cemo dokazati izravno. Budu´ci da je svaka varijacija s ponavljanjem neki ure†eni r-slog iz multiskupa M(nr; r; ¢ ¢ ¢ ; r), moµze ju se dobiti tako da se na prvo mjesto stavi bilo koji broj iz [1; n]N , na drugo mjesto isto tako itd. na r-to mjesto opet bilo koji broj. Po 0 0 produktnomu pravilu slijedi Vnr = n ¢ ¢ ¢ n (r puta), dakle, Vnr = nr .

1.4.6

Vjeµ zbe

1. Neka su X , Y i Z skupovi i X µ Y µ Z. Ako je jXj = jZj onda je i jY j = jZj. (Ova µcinjenica se koristi u dokazu antisimetriµcnosti relacije · na klasi svih kardinalnih brojeva; v. De…niciju 1.3.7) Dokaz. Budu´ci da je jX j = jZj, postoji neka bijekcija f : Z ! X. Naµcelo de…nicije indukcijom dopušta de…nirati funkcije f 1 = 1Z i f n+1 = if f n : Z ! Z, n 2 N , gdje je i : X ,! Z inkluzija.SDe…nirajmo funkciju g : Z ! Y pravilom g(z) = f (z) za svaki z 2 Z 0 ´ f n(Z n Y ) i g(z) = z za svaki n2N

z 2 Z n Z 0 . Nije teško provjeriti da je g bijekcija, dakle, jY j = jZj. 2. Re´ci ´cemo da je broj n 2 N paran (neparan), ako postoji k 2 N takav da je n = 2k (n = 2k ¡ 1). Dokazati da je svaki prirodni broj ili paran ili neparan, te da je skup svih parnih (neparnih) prirodnih brojeva ekvipotentan skupu N .

38

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

3. Potpunom indukcijom dokazati ove tvrdnje: n P (i) k = n(n+1) 2 ; (ii)

(iii) (iv)

k=1 n P

(2k ¡ 1) = n2 ;

k=1 n P

n(n+1)(2n+1) ; 6 k=1 n n P P 2 2 k3 = ( k)2 (= n (n+1) ); 4 k=1 Sk=1 3

k2 =

(v) (8n 2 N f0g)(9k 2 N ) n + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 9k. 4. Re´ci ´cemo da m 2 N dijeli n 2 N (ili da je n djeljiv s m) i pisati m=n, ako postoji k 2 N takav da je n = mk. Oµcito je da je svaki n 2 N djeljiv s 1 i s n. Re´ci ´cemo da je prirodni broj p, p ¸ 2, prost broj (ili prim-broj), ako je p djeljiv samo s 1 i s p. Dokazati da je svaki prirodni broj n jednak umnošku nekih prostih brojeva, te da je skup P svih prostih brojeva ekvipotentan skupu N . 5. Broj k 2 N nazivamo zajedniµ ckim (više)kratnikom od m; n 2 N , ako m=k i n=k. Dokazati da je, za svaki m; n 2 N , skup svih zajedniµckih višekratnika od m i n neprazan i da ima minimalni element, tzv. najmanji zajedniµ cki (više)kratnik V (m; n) brojeva m i n. 6. Broj l 2 N nazivamo zajedniµ ckom mjerom od m; n 2 N , ako l=m i l=n. Dokazati da je, za svaki m; n 2 N , skup svih zajedniµckih mjera od m i n neprazan i da ima maksimalni element, tzv. najve´ cu zajedniµ cku mjeru M(m; n) brojeva m i n. 7. Pojmovi najmanjega zajedniµckog višekratnika V (m; n) i najve´ce zajedniµcke mjere M(m; n) se proširuju (po uzoru na 5. i 6.) na svaki par cijelih brojeva m; n 2 Z n f0g. Dokazati: (i) V (m; n) = V (n; m) i M(m; n) = M(n; m); (ii) Svaka zjedniµcka mjera od m i n dijeli M(m; n); (iii) V (m; n) dijeli svaki zajedniµcki višekratnik od m i n; (iv) V (km; kn) = kV (m; n). 8. Re´ci ´cemo da su cijeli brojevi m; n 2 Z nf0g relativno prosti, ako je M(m; n) = 1. Dokazati: (a) M(m; n) = 1 ) (9k; l 2 Z ) mk + nl = 1; (b) M(m; n) = 1 ) mn=V (m; n). 9. Dokazati: (8m; n 2 Z nf0g) V (m; n)M(m; n) = mn. 10. Neka je [(m; n)] ekvivalencijski razred u skupu (Z nf0g) £ N de…niran u §1.4.2. Dokazati da postoje m0 ; n0 2 (Z nf0g) £ N takvi da je (m0; n0 ) 2 [(m; n)] i M(m0 ; n0 ) = 1. 11. Dokazati da u skupu racionalnih brojeva Q ne postoje minimalni ni maksimalni element, te da, za svaki q 2 Q , ne postoji neposredni sljedbenik ni neposredni prethodnik od q. 12. Dokazati da i u skupovima N , Z i Q ne vrijedi Cantorov aksiom (v. Teorem 3.1.9).

1.4. REALNI BROJEVI

39

13. Dokazati da za svaki q 2 Q postoji ili decimalni ili periodiµcki decimalni zapis i obratno, tj. ako realni broj dopušta decimalni ili periodiµcki decimalni zapis onda je on racionalan. 14. Realni broj a 2 R nazivamo algebarskim brojem, ako postoji polinom x 7! p(x) = an xn +¢ ¢ ¢+a1x+a0 s racionalnim koe…cijentima an; ¢ ¢ ¢ ; a1; a0 2 Q kojemu je a nulto µcka, tj. za koji je p(a) = p 0. Preostale realne brojeve nazivamo transcendentnima. (Primjerice, 2 je algebarski broj, dok je, za svaki krug, omjer njegova opsega i promjera transcendentan broj ”pi” ¼ ¼ 3; 14159 ¢ ¢ ¢ .) Dokazati da je Q pravi podskup skupa A svih algebarskih brojeva, te da je A prebrojiv, tj. jA j = @0. 15. Dokazati da je skup svih transcendentnih brojeva ekvipotentan skupu iracionalnih brojeva J. p 16. Dokazati da je broj p1 ¢ ¢ ¢ pk iracionalan µcim su p 1; ¢ ¢ ¢ ; pk me†usobno razliµciti prosti brojevi. p p 17. Dokazati da, za svaki n 2 N , iz n 2 Q slijedi n 2 N . 18. Dokazati da je, za svaki x 2 R , jxj = maxf¡x; xg. x 19. Dokazati da je funkcija f : R ! h¡1; 1i, f (x) = 1+jxj , bijekcija i odre¡1 diti f . 20. Neka su x; y 2 R takvi da je, za svaki ² > 0, x < y + ². Dokazati da je tada x · y. 21. Neka je podskup A µ R neprazan: Dokazati da je realni broj x0 in…mum (supremum) od A, x0 = inf A (x0 = sup A) onda i samo onda, ako udovoljava ovim dvama uvjetima: (a) (8a 2 A) x0 · a ((8a 2 A) a · x0 ); (b) (8² > 0)(9a 2 A) a < x0 + ² ((8² > 0)(9a 2 A) x0 ¡ ² < a): 22. Dokazati tzv. Bernoullijevu nejednakost: (8h 2 h¡1; ¢i)(8n 2 N ) (1 + h)n ¸ 1 + nh. Pritom je, za svaki n ¸ 2, (1 + h)n = 1 + nh , h = 0. 23. Izraq c u µclanu c ¢ ab binomnoga razvoja µcunati koe…cijent q 2

7

za ( ba + 10 ab8 )n. 24. Zapisati brojeve 8, 15 i 37 u binarnomu i trinarnomu sustavu. 25. Neka su X i Y konaµcni skupovi, a X £ Y direktni produkt. Dokazati da za pripadne kardinalne brojeve vrijedi tzv. produktno pravilo (ili kombinacijsko nac µelo ): jX £ Y j = jXj ¢ jY j. 26. Dokazati Teorem 1.4.14, tj. tvrdnju Pn = n!, potpunom indukcijom. 27. Deseteroµclana udruga izabire svoje troµclano povjerenstvo. Koliko razliµcitih (glede µclanstva) povjerenstava moµze izabrati? 28. Koliko se razliµcitih ”rijeµci” moµze dobiti premještaju´ci slova u rijeµci MATEMATIKA? 29. Pet jabuka treba razdijeliti (ne reµzu´ci plodove) sedmorici. Koliko je mogu´cih razdioba? 30. Novµci´c se baca pet puta uzastopce. Na koliko se naµcina mogu pojaviti rezultati (ili pismo - P ili glava G) tih bacanja?

40

1.5

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

KOMPLEKSNI BROJEVI

Pored u prethodnomu odjeljku konstruiranoga potpuno ure†enog polja realnih brojeva R , vrlo vazµnu ulogu u matematiµckoj analizi ima i polje kompleksnih brojeva C (bez ure†aja) što ´cemo ga ovdje izgraditi.

1.5.1

Pojam i osnovne operacije

De…nicija 1.5.1 Poljem kompleksnih brojeva nazivamo direktni produkt R £R = f(x; y) j x; y 2 R g zajedno s operacijama zbrajanja i mnoµ zenja, kao i oduzimanja i dijeljenja, de…niranima kako slijedi: (i) (x1 ; y1 ) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2); (ii) (x1 ; y1 ) ¢ (x2; y 2) = (x1x2 ¡ y1y2; x1 y2 + y1x2); (iii) (x1 ; y1 ) ¡ (x2; y2) = (x1 ¡ x2; y1 ¡ y2); +y1y2 ¡x1 y2 +y1 x2 (iv) (x1 ; y1 ) : (x2 ; y2) = ( x1xx22+y ; x2 +y2 ), (x2; y 2) 6= (0; 0). 2 2

2

2

2

Operacije na desnim stranama de…nicijskih jednakosti jesu one na R . Polje kompleksnih brojeva oznaµcujemo slovom C ; njegove elemente nazivamo kompleksnim brojevima i obiµcno oznaµcujemo slovom z. Pri mnoµzenju (x1; y1 ) ¢ (x2; y2) ´ z1 ¢ z2 u C najµceš´ce ispuštamo (kao i u R ) oznaku ”¢” i pišemo z1z2, a za dijeljenje (x1; y1 ) : (x2; y2) ´ z1 : z2 u C µcesto rabimo (kao i u R ) razlomaµcku oznaku zz12 . Prvu koordinatu x kompleksnog broja z = (x; y) nazivamo realnim dijelom, a drugu y - imaginarnim dijelom kompleksnoga broja z; pišemo: x = Re(z), y = Im(z). Poistovjetimo li R sa R £ f0g = f(x; 0) j x 2 R g ½ C , polje kompleksnih brojeva postaje prirodnim proširenjem polja realnih brojeva (u skupovnom i strukturnom smislu). Naime, lako se provjeri da su tada operacije ”+”, ”¢”,”¡” i ”¥” u C proširenja odgovaraju´cih operacija u R te da zbrajanje i mnoµzenje naslje†uju sva dobra svojstva (asocijativnost, komutativnost, distributivnost). Napokon, valja primijetiti da se u C ne moµ ze uvesti ure†aj koji bi bio uskla†en s operacijama. Budu´ci da ini ure†aji i nisu vaµzni, to se nijednoga posebno ne istiµce. U praksi se µceš´ce operira kompleksnim brojevima u zapisu drugaµcijem od navedenoga. Da bismo ga upoznali, promatrajmo jednadµzbu x2 + 1 = 0 u skupu R (v. §1.5.4 Vjeµzbe, Zadatak 6.). Oµcito je da ona nema rješenja. Uvedimo u razmatranje novi objekt (izvan R ) kojemu dopuštamo ”mnoµzenje” sa samim sobom rezultat kojega neka bude broj ¡1. Nazovimo taj objekt imaginarnom jedinicom i oznaµ p cimo slovom i. Dakle, po de…niciji je i2 = ¡1, odnosno (formalno) i ´ ¡1. Nazovimo skup R i = fyi j y 2 R g svih formalnih ”umnoµzaka” yi, y 2 R , skupom imaginarnih brojeva, a njegove elemente yi imaginarnim brojevima. Neka je C ´ R + R i = fx + yi j x; y 2 R g skup svih formalnih ”zbrojeva” x + yi, x 2 R , yi 2 R i: De…nirajmo zbrajanje i mnoµzenje, te oduzimanje i dijeljenje, u C kao pripadne operacije binomima a + b u R , vode´ci raµcuna o tomu da su ovdje a i

1.5. KOMPLEKSNI BROJEVI

41

b ”nezbrojivi” i da je i2 = ¡1, i3 = ¡i, i4 = 1, i5 = i, ¢ ¢ ¢ , tj. i4n+k = ik za svaki n 2 N , te ik = i; ¡1; ¡i; 1 µcim je k = 1; 2; 3; 4 redom. Dodatno de…niramo i i0 = 1. Sada se C ´ R + R i smije poistovjetiti s C = R £ R , x + yi ´ z = (x; y), jer se operacije (i)-(iv) na C podudaraju s odgovara0 0 ju´cima (i) -(iv) na C: 0

(i) 0 (ii) 0 (iii) 0 (iv)

z1 + z2 ´ (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2) + (y 1 + y2)i; z1 ¢ z2 ´ (x1 + y1i) ¢ (x2 + y2i) = (x1x2 ¡ y1y2 ) + (x1y2 + y1x2 )i; z1 ¡ z2 ´ (x1 + y1 i) ¡ (x2 + y2 i) = (x1 ¡ x2) + (y 1 ¡ y2)i; z1 x 1x 2+y1 y2 +y1 x2 1i ´ xx12 +y + ¡x1xy22+y i, z2 ´ x2 + y2i 6= 0 + 0i. 2 +y2 i = x22+y22 z2 2 2

Za svaki z = x + yi 2 C de…niramo pripadni konjugurani kompleksni broj z = x + (¡y)i ´ x ¡ yi. Primijetimo da je z = z, pa brojeve z; z nazivamo konjugirano p umnozµak zz = S kompleksnim parom. Nadalje, 2 2 + zz = x + y 2 R f0g. Nenegativni realni broj x2 + y 2 nazivamo apsolutnom vrijednoš´ cu ili modulom kompleksnoga broja z = x + yi i oznacµujemo s jzj. Uoµcimo da je zz = jzj2 i da je jzj = 0 , z = 0 + 0i(´ 0 2 C ). 0

Primijetimo da, zbog (ii) , pri potenciranju kompleksnih brojeva smijemo primjenjivati binomnu formulu (Teorem 1.4.14), tj. da z = x + yi vrijedi: ¡ ¢ ¡ n ¢ 2 n¡2 n¡2 zn = xn + nxn¡1 yi + n2 xn¡2y 2i2 + ¢ ¢ ¢ + n¡2 x y i + n¡1 n¡1 n n nxy i + y i = ¢ ¢ ¢ = a + bi, a; b 2 R .

1.5.2

Geometrijski prikaz kompleksnog broja

U §1.4.2 smo realne brojeve geometrijski interpretirali pomo´cu toµcaka nekog pravca, tj. potpuno ure†eno polje R smo na pogodan naµcin poistovjetili s (brojevnim) pravcem. Budu´ci da je C = R £R , mogu´ce je polje kompleksnih brojeva poistovjetiti s (brojevnom ili Gaussovom) ravninom. Naime, svakom kompleksnom broju z = (x; y) ´ x + yi odgovara jedinstvena toµcka T = (x; y) u (koordinatnoj, v. §2.2.2) ravnini - i obratno. Ri yi

T=(x,y)=x+iy=z z

O

x

z

R

Uoµcimo da je modul jzj od z euklidska udaljenost toµcke T , koja u kompleksnoj ravnini odgovara broju z, od ishodišta O = (0; 0):

42

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI Ri (y1+y2)i y2i

Ri z1+z 2

z2

y1i

z1 x2

O

z2

y2 i

z1

y1 i

R

x1 x1+x2

O

R x1-x2 (yy-y2)i

-z2

x2 z1-z2

-y2i

Napokon, primijetimo da operacije ”+” i ”¡” u C dopuštaju u kompleksnoj ravnini jednostavan slikovit prikaz (paralelogramsko pravilo): Rabe´ci gornju interpretaciju, lako se pokaµze da i za kompleksne brojeve vrijedi trokutna nejadnakost (8z1; z2 2 C ) jz1 + z2j · jz1j + jz2j.

1.5.3

Trigonometrijski zapis kompleksnog broja

Radi lakšeg operiranja kompleksnim brojevima, korisno je usvojiti još jedan naµcin njihova zapisivanja. Neka je dan z = x+yi 2 C , z 6= 0. Argumentom kompleksnoga broja z nazivamo kutnu mjeru ' 2 R kuta izme†u pozitivne (”desne”) zrake brojevnoga pravca i zrake OT; O = (0; 0) i T = (x; y), i pišemo: arg(z) = '; pritom smatramo da je ' < 0 µcim ga mjerimo gibaju´ci se kao satna kazaljka, a u suprotnom da je ' > 0. Po dogovoru stavljamo arg(0) = 0. Primijetimo da je ' = arg(z) , ' +p k ¢ 2¼ = arg(z),Sk 2 Z . Jednostavnosti radi, ovdje ´cemo modul jzj = x2 + y 2 2 R + f0g kompleksnog broja z oznaµcavati slovom r. Ri

z=x+iy

yi

r ϕ O

R x

Argument arg(z) = ' 2 [0; 2¼ > (koji se u praksi najµceš´ce istiµce) od z = x + yi se lako izraµcuna iz jednadµzbe tan ' = xy , x 6= 0 (o trigonometrijskim funkcijama v. § 3.1.3), vode´ci raµcuna o predznacima koordinata x i y; ako je x = 0, tj. z = yi 6= 0, onda je ' = ¼2 µcim je y > 0 i ' = 3¼ cim je y < 0. 2 µ Primijetimo da je sada x = r cos ' i y = r sin ', pa dobivamo prikaz z = r(cos ' + i sin '), što nazivamo trigonometrijskim zapisom kompleksnoga broja z. Budu´ci da su z1 = x1 + y 1i i z2 = x2 + y2 i jednaki to µcno onda kad je x1 = x2 i y1 = y2 , to je z1 = z2 onda i samo onda kad je r1 = r2 i '1 = '2 + k ¢ 2¼, k 2 Z . Prakticµnost trigonometrijskoga zapisa kompleksnog broja pokazuju naredni teoremi. Teorem 1.5.1 Za svaki par z1; z2 2 C je

1.5. KOMPLEKSNI BROJEVI (i) (ii)

43

z1 ¢ z2 = r1r2(cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)); z1 r1 z2 = r2 (cos('1 ¡ '2 ) + i sin('1 ¡ '2)). 0

Dokaz. z1 ¢ z2 = r1(cos '1 + i sin '1) ¢ r2(cos '2 + i sin '2 ) = (po (ii) ) = r1r2(cos '1 cos '2 ¡sin '1 sin '2 +i(sin '1 cos '2 +cos '1 sin '2)) = (adicijski teorem) = r1r2(cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)), µcime je tvrdnja (i) dokazana. Sasvim sliµcno se dokazuje tvrdnja (ii). Korolar 1.5.1 Neka su dani n 2 N i z1; ¢ ¢ ¢ ; zn 2 C . Tada je n n n n n n Q Q P P Q Q zk = rk (cos 'k + i sin 'k ) i j zk j = jzk j: k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

Posebice, za z1 = ¢ ¢ ¢ = zn ´ z dobivamo tzv. Moivreovu formulu zn = rn(cos n' + i sin n') i jzn j = jzjn:

Dokaz. Primijenjuju´ci Teorem 1.5.1(i), dokaz se provodi indukcijom po n. Za tvrdnju o apsolutnim vrijednostima trebamo i osnovnu trigonometrijsku relaciju cos2 ® + sin2 ® = 1. Trigonometrijski zapis kompleksnog broja je posebno pogodan za potenciranje racionalnim eksponentom q = m n . Jasno, temeljni zadatak jest p 1 n izraµcunati potenciju z , n 2 N , koju ´cemo i ovdje (kao i R ) oznaµ citi s n z p i nazvati n-tim korijenom kompleksnoga broja z. Dakle, w = n z toµcno onda kad je wn = z. Sljede´ci teorem pokazuje kako se za dani z = a + bi odre†uje njegov n-ti korijen w = x + yi. Teorem 1.5.2 Neka su dani z = a + bi = ½(cos à + i sin Ã) 2 C i n 2 N . p Tada w = n z ima n razlicµitih vrijednosti w1 ; ¢ ¢ ¢ ; wn, koje odre†ujemo po formuli p Ã+k¢2¼ wk+1 = n ½(cos Ã+k¢2¼ ); k = 0; 1; ¢ ¢ ¢ ; n ¡ 1; n S+ i sin n p gdje je n ½ n-ti korijen u R + f0g.

Dokaz. Treba odrediti kompleksni broj w = x + yi = r(cos ' + i sin ') takav da je wn = z, tj. rn(cos n' + i sin n') = ½(cos à + i sin Ã) (v. Korolar 1.5.1). Mora, dakle, biti rn = ½ (u R ) i n' = à + k ¢ 2¼, k 2 Z , tj. r = n p½ ¸ 0 i ' = Ã+k¢2¼ , k 2 Z . Periodic nost trigonometrijskih funkcija µ n cos i sin povlaµci da samo za n uzastopnih vrijednosti od k, primjerice, za k 2 f0; 1; ¢ ¢ ¢ ; n ¡ 1g, dobivamo razliµcite vrijednosti za w. Teorem 1.5.2 pokazuje da jednadµzba wn ¡z = 0 u C ima toµcno n razliµcitih rješenja - korijena. Nadalje, iz navedene formule se vidi da su ti korijeni vrhovi pravilnoga n-torokuta upisanoga središnjoj kruµznici s polumjerom p n ½ (v. § 2.3.4). p 6 Primjer 1.5.1 Izra c unajmo ¡8. Budu´ci da = 8¢(cos ¼+i sin ¼) µ p p je z =¼¡8 k¼ p ¼+k¢2¼ ¼ k¼ to je 6 ¡8 = 6 8(cos ¼+k¢2¼ +i sin ) = 2(cos( + 6 6 6 3 )+i sin( 6 + 3 )), za k = 0; 1; 2; 3; 4; 5. Prema tomu,

44

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI p p p w1 = 2(cos ¼6 + i sin ¼6 ) = 26 + 22 i; p p w2 = 2(cos ¼2 + i sin ¼2 ) = 2i; p p p 5¼ 6 2 w3 = 2(cos 5¼ + i sin ) = ¡ + 6 6 2 i; p2 p p 7¼ 6 2 w4 = 2(cos 7¼ 6 + i sin 6 ) = ¡p 2 ¡ 2 i; p 3¼ w5 = 2(cos 3¼ 2 + i sin 2 ) = ¡ p 2i; p p 11¼ 6 2 w6 = 2(cos 11¼ z). 6 + i sin 6 ) = 2 ¡ 2 i (v. crteµ

Ri

w2 w1

w3

R -1 w4

1 w6

O w5

1.5.4

Vjeµ zbe

1. Dokazati sljede´ce relacije o konjugiranju kompleksnih brojeva: (i) z1 + z2 = z1 + z2; (ii) z1 ¢ z2 = z1 ¢ z2 ; (iii) z1 ¡ z2 = z1 ¡ z2; (iv) ( zz 12 ) = zz 12 , z2 6= 0; (v) z = z, (vi) z = z , z 2 R . 2. Odrediti sve z 2 C takve da je (a) z = z 2; (b) z = z 3. 3. Odrediti podskup A kompleksne ravnine C elementi z kojega ispunjaju uvjet (a) jz ¡ 1j < 1; (b) jzj + Re(z) · 2; (c) jz ¡ 2j + jz + 2j = 6; (d) jz2 + 1j ¡ 2jzj = 0. n 4. Odrediti Re(z) i Im(z), ako je z = ( 1+i 1¡i ) i n 2 N . n 5. Neka je p(z) = anz + ¢ ¢ ¢ + a1z + a0 kompleksni polinom (p : C ! C ) s realnim koe…cijentima a0 ; a1; ¢ ¢ ¢ ; an (2 R ). Dokazati: p(z) = 0 , p(z) = 0. 6. Jednadµ zbom u (nepraznom) skupu Y nazivamo svaku relaciju f(f(x); g(x)) j x 2 X g \ ¢Y µ Y £ Y na Y , pri µcemu su f; g : X ! Y funkcije, a ¢Y µ Y £ Y dijagonala. Re´ci ´cemo jednadµzba ima rješenje ako joj pripadna relacija nije prazna. Pritom rješenjem (ili korijenom) dane jednadµzbe nazivamo svaki element x0 2 X koji udovoljava pripadnoj relaciji. Riješiti jednadµ zbu znaµci odrediti podskup X0 µ X što ga tvore sva njezina rješenja. Riješiti jednadµ zbu u skupu A µ X znaµci odrediti presjek X0 \ A, tj. riješiti jednadµzbu f((f jA)(x); (gjA)(x)) j x 2 Ag \ ¢Y , pri µcemu su f jA; gjA : A ! Y pripadna funkcijska suµzenja. Uobiµcajilo se, jednostavnosti radi, jednadµzbu f(f(x); g(x)) j x 2 Xg \ ¢Y zapisivati samo kao uvjet za njezino rješenje, tj. kao formalnu jednakost f (x) = g(x) u skupu Y (usp. zadatke 2. i 3.(c),(d)!) Ako je f (x0) 6= g(x0 )

1.5. KOMPLEKSNI BROJEVI

45

za svaki x0 2 X (x0 2 A), govorimo da jednadµzba f(x) = g(x) nema rješenja (u skupu A). Neka je p : C ! C polinom p(z) = z 3 ¡ 3z 2 + 3z ¡ 1. Riješiti jednadµzbu p(z) = 0 u skupu R ´ R £ f0g µ C . 7. Nejednadµ zbom u (nepraznom) parcijalno ure†enom skupu (Y; ·) nazivamo svaku od relacija f(f (x); g(x)) j x 2 Xg \ TY µ Y £ Y , f(f (x); g(x)) j x 2 Xg \ (TY n ¢Y ) µ Y £ Y , f(f (x); g(x)) j x 2 Xg \ T Y µ Y £ Y , f(f (x); g(x)) j x 2 Xg \ T Y n ¢Y ) µ Y £ Y , na Y , pri µcemu su f; g : X ! Y funkcije, a TY = f(y; y0 ) j y; y0 2 Y; y · y 0 g µ Y £ Y , T Y = f(y; y0 ) j y; y0 2 Y; y 0 · yg µ Y £ Y . Sada se posve sliµcno, po uzoru na jednadµzbu, de…niraju svi pripadni pojmovi u svezi s rješidbom dane jednadµzbe (usp. zadatak 3.(a) i (b)). Neka je funkcija f :pC ! R zadana pravilom f (z) = jz ¡ 1j. Riješiti nejednadµzbu f(z) ¸ 2 u skupu R + £ R ½ C .

46

POGLAVLJE 1. SKUPOVI. FUNKCIJE. REALNI BROJEVI

Poglavlje 2

KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST 2.1

ELEMENTARNE FUNKCIJE

U ovomu odjeljku ´cemo se baviti najvaµznijim funkcijama (v. §1.3.1) iz R (v. §1.4.1-2) u R , tj. najvaµznijim realnim funkcijama jedne realne varijable. Posebnu pozornost ´cemo posvetiti onim funkcijama što imaju veliku vaµznost u tehniµckoj primjeni i praksi.

2.1.1

Zadavanje funkcija iz R u R

Uobiµcajeno je da se (realnom) funkcijom naziva i bilo koji analitiµcki (algebarski) izraz što sadrµzi varijablu (parametar, neovisnu promijenjivu veliµcinu) x i opisuje pravilo, tj. konaµcni redoslijed algebarskih ili inih operacija, po kojimu se odre†uje pridruzµena joj (i o njoj ovisna) velicµina y: Tako se, primjerice, zapisi q 2 3 y = x2 ; y = 2x¡3 ; y = x+5 1¡x ; nazivaju funkcijama iz R u R . Da bismo se s tim sasvim sloµzili, tj. da bi sve bilo u skladu s De…nicijom 1.3.1; drzµat ´cemo se ovoga dogovora: Neka je y = f (x) zapis u kojemu analitiµcki izraz f (x) sadrµzi (samo jednu) varijablu x. Tada taj zapis de…nira funkciju f : X ! R , pri µcemu je X µ R podskup koji tvore svi oni elementi x 2 R za koje izraz f (x) odre†uje jedinstveni realni broj, a f je pravilo što ga propisuje izraz f (x). U tomu sluµcaju govorimo da je funkcija f : X ! R zadana analitiµ cki zapisom y = f (x). Primjer 2.1.1 Odredimo funkciju f : X ! R iz analitiµckoga zapisa y = 2x¡3 . x+5 2x¡3 U izrazu x+5 se primijenjuju sve µcetiri osnovne raµcunske operacije. Znamo da su +, ¡, i ¢ de…nirane za svaki ure†en par realnih brojeva, dok je dijeljenje 47

48

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

de…nirano za svaki ure†en par (a; b), b 6= 0. Slijedi da je de…nicijsko podruµcje X traµzene funkcije f : X ! R skup fx 2 R j x + 5 6= 0g, tj. X = R nf¡5g, a f je pravilo x 7! f (x) = y propisano izrazom 2x¡3 x+5 . Primjer 2.1.2 Odre†uju li analitiµcki izrazi

1

1 2 x + 1¡x

i

x¡x2 1+x

istu realnu funk-

ciju? Ne vode´ci raµcuna o vrijednostima što ih smije poprimiti varijabla x, formalno dobivamo 2 1 1 = 1¡x+2x = x¡x 1+ 2 1+x , x

1¡x

x(1¡x)

pa oba izraza odre†uju isto pravilo f . Me†utim, domene su im razliµcite, jer prvi izraz ima smisla na R nf¡1; 0; 1g, a drugi na R nf¡1g. Dani analitiµcki izrazi, dakle, ne odre†uju istu realnu funkciju. Funkciju f : X ! R se moµze zadati i gra…µ cki , tj. njezinimSgrafom Gf = f(x; f(x)) j x 2 Xg µ R 2 . Primjerice, skup f(x; ¡x) j x < 0g f(x; x) j x ¸ 0g µ R 2 (v. crteµz) jest graf funkcije jj : R ! R , jj(x) = jxj, tzv. apsolutne vrijednosti ili norme na R (v. §1.4.3). Y x

-x

O

x X

U tehniµckoj praksi je gra…µcko zadavanje realnih funkcija vrlo uµcestalo. Svakom se elementu (x; y) danoga skupa G ½ X £ Y µ R 2 pridijeljuje, u odabranom koordinatnom sustavu, jedinstvena toµcka T = (x; y) i time de…nira funkcije f : X ! R , f(x) = y. (Jasno, ne moµze svaki podskup G µ R 2 posluµziti za ovu svrhu! U novije vrijeme te skupove-grafove crtaju automatske naprave, odnosno, elektroniµcka raµcunala.) Ako je de…nicijsko podruµcje realne funkcije konaµcni skup X µ R (ne ”prevelikoga” kardinalnog broja), mogu´ce je eksplicite popisati sve vrijednosti varijable x i pripadne vrijednosti y (ovisne o x). Tada se popuni odgovaraju´ca tablica, primjerice, x 0 1 2 3 4 5 : y ¡1 1 3 5 7 9 Polaze´ci od takve tablice, kazµemo da je tabliµ cno zadana funkcija f : X ! R , x 7! f (x) = y. Ponekad se tabliµcno ”zadaju” i neke funkcije domene kojih su beskonaµcni skupovi, s uputama (pravilima) za izraµcunavanje (najµceš´ce, tek pribliµ znih) vrijednosti kojih nema u tablicama. Te pribliµzne vrijednosti su samo, za stanovite potrebe zadovoljavaju´ce, aproksimacije toµcnih vrijednosti promatrane funkcije, koje ne moµzemo ili ne znamo ili ih se ”ne isplati” posvema toµcno odrediti. Najµceš´ca i najjednostavnija uputa je tzv. linearna interpolacija (ekstrpolacija) koja se moµze saµzeto opisati kako slijedi. Neka su funkciji f : X ! R , X µ R , poznate samo vrijednosti u to µckama x1; ¢ ¢ ¢ ; xn 2 X, n 2 N , (koje smo poredali po veliµcini, tj x1 < ¢ ¢ ¢ <

2.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE

49

xn) i neka je x0 2 X n fx1; ¢ ¢ ¢ ; xng. Tada ”nepoznatu” vrijednost f(x0 ) aproksimiramo vrijednoš´cu y0 , y0 ¼ f (x0), na ovaj naµcin: )¡f (x i ) y0 = f(xi ) + f (xxi+1 (x0 ¡ xi), µcim je xi < x0 < xi+1 , i 2 [1; n ¡ 1]N ; i+1 ¡x i y0 = f(x1 ) +

f(x2 )¡f(x1 ) (x0 ¡ x1), µcim je x0 < x1 ; x2 ¡x1 f(xn )¡f (xn ¡1 ) (x0 ¡ xn ), µcim je x0 > xn. x n¡x n¡1

y0 = f(xn ) + Dobro poznate srednjoškolske ”Logaritamske tablice” sadrµze nekoliko vaµznih primjera tabliµcno ”zadanih” funkcija. Primjer 2.1.3 Neka je funkcija f : [0; 6] ! R ”zadana” tablicom x 0 1 2 3 4 5 . y ¡1 1 3 5 7 9 Odredimo, rabe´ci linearnu interpolaciju i linearnu ekstrapolaciju, pribliµzne vrijednosti za f (2; 5) i f(5; 8). Budu´ci da je x3 = 2 < 2; 5 < 3 = x4, to prva formula (interpolacija) daje f(2; 5) ¼ 3 + 5¡3 3¡2 (2; 5 ¡ 2) = 4. Za drugu vrijednost trebamo (desnu) ekstrapolaciju (5; 8 > 5 = x6 ): f(5; 8) ¼ 9 + 9¡7 5¡4 (5; 8 ¡ 5) = 10; 6. Promatrajmo sada jednadµzbu F (x; y) = 0 u kojoj dano pravilo F povezuje realne nepoznanice x i y. Ako se na nekom podskupu X µ R svakom elementu x 2 X moµze pridruµziti toµcno jedan element y 2 R tako da ure†eni par (x; y) zadovaljava polaznu jednadzµbu, onda kaµzemo da je jednadzµbom F (x; y) = 0 implicitno zadana funkcija f : X ! R , f (x) = y. U tomu je sluµcaju, dakle, F(x; f(x)) = 0 za svaki x 2 X. U praksi se µcesto pojavljuje slucµaj da jednadzµba F(x; y) = 0 dopušta, za svaki x iz nekog podskupa X µ R , više (od jedne) vrijednosti za y, pa se tada kaµze da ta jednadµzba odre†uje više implicitno zadanih funkcija. (Pitanje o obstojnost implicitne funkcije je vrlo vaµzno i mi ´cemo ga sasvim op´cenito riješiti u Matematiµckoj analizi, II.) Primjer 2.1.4 Neka je F(x; y) = x2 + y 2 ¡ 1, x; y 2 R . Tada jednadµzba F (x; y) = 0 odre†uje na segmentu p X = [¡1; 1] dvije implicitno zadane funkcije f1;2 : X ! R , f1;2(x) = § 1 ¡ x2 (v. crteµz).

Y

y1

O O

Gf

2

x

X

y2

Gf

1

Promatrajmo dvije funkcije Á; Ã : T ! R de…nirane na istomu skupu T µ R . Za svaki t 2 T oznaµcimo pripadne funkcijske vrijednosti s x = Á(t) i y = Ã(t). Ako je funkcija Á injektivna, njezino suµzenje Á : T ! Á[T] ´ X

50

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

je bijekcija, pa postoji njoj inverzna funkcija Á¡1 : X ! T , Á¡1 (x) = t µcim je x = Á(t). Tada je dobro de…nirana kompozicija ÃÁ¡1 ´ f : X ! R , f (x) = (ÃÁ¡1)(x): Pritom kazµemo da je dobivena funkcija f : X ! R parametarski zadana jednadµzbama x = Á(t) i y = Ã(t) (ili funkcijama Á i Ã). Prijelaz s jednadµzaba x = Á(t) i y = Ã(t) na eksplicitni oblik y = f (x) nazivamo eliminacijom parametra t. Primjer 2.1.5 Neka su funkcije Á; Ã : R ! R zadane pravilima Á(t) = t¡1, Ã(t) = t2 + 1. Budu´ci da je Á bijekcija, postoji Á¡1 : R ! R i oµcito je Á¡1 (x) = x + 1. Prema tomu, jednadµzbama x = t ¡ 1, y = t2 + 1 je parametarski zadana funkcija f : R ! R , f (x) = (ÃÁ¡1)(x) = Ã(Á¡1 (x)) = Ã(x + 1) = (x + 1)2 + 1 = x2 + 2x + 2: Napomenimo da je u praksi ponekad vrlo teško ili µcak nemogu´ce eliminirati parametar t. Zbog toga je razra†ena tehnika za analiziranje parametarski zadane funkcije preko pripadnog parametra.

2.1.2

Globalna svojstva realnih funkcija

Ovdje ´cemo razvrstati funkcije iz X u R , X µ R , prema nekim njihovim (globalnim) svojstvima. De…nicija 2.1.1 Re´ci ´cemo da je funkcija f : X ! R , X µ R , ome†ena, ako (9M 2 R + )(8x 2 X) jf (x)j · M: Ako funkcija nije ome†ena, kaµzemo da je neome†ena. Re´ ci ´cemo da je funkcija f ome†ena odozgor (ome†ena odozdol ), ako (9M 2 R )(8x 2 X) f(x) · M ((9m 2 R )(8x 2 X) f (x) ¸ m): Geometrijski interpretirano, graf Gf ome†ene funkcije f leµzi ”nad” X u pruzi izme†u R £ f¡Mg i R £ fMg, odnosno, slika f [X] je sadrµzana u segmentu [¡M; M]. Oµcito je funkcija f ome†ena onda i samo onda, ako je ome†ena odozgor i odozdol.

1 Primjer 2.1.6 Pokaµzimo da je funkcija f : R nf0g ! R , f (x) = jxj neome†ena + (v. graf Gf ). U tu je svrhu dovoljno za svaki r 2 R prona´ci neki x 6= 0 tako da bude f (x) = jf (x)j > r. Taj uvjet povlaµ - ci da,® za dani r, mora biti jxj < 1r . Uzmemo li, dakle, bilo koji x 2 ¡ 1r ; 1r n f0g, dobivamo 1 f (x) = jxj > r.

Y

_ 1

x

m Ox

X _ 1

m

2.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE

51

De…nicija 2.1.2 Neka je domena X µ R funkcije f : X ! R simetriµ cna s obzirom na ishodište O (0 2 R ) realnoga brojevnog pravca. Re´ ci ´cemo da je funkcija f parna (neparna), ako je (8x 2 X ) f(¡x) = f(x) ((8x 2 X) f (¡x) = ¡f(x)): Iz de…nicije slijedi da je graf parne funkcije osno simetriµcan s obzirom na Y -os, a graf neparne funkcije - centralno simetricµan s obzirom na ishodište O (v. crteµze). Y

Y O

X

O

X

Parna i neparna funkcija.

Primjer 2.1.7 Funkcija f : X ! R ; f (x) = xn , n 2 N (v. §1.4.4), je parna µcim je n paran, a neparna µcim je n neparan. Naime, f (¡x) = (¡x)n = (¡1)n xn = (¡1)n f (x), pa je tvrdnja oµcigledno istinita. (To opravdava nazive ”parna” i ”neparna” funkcija.) De…nicija 2.1.3 Re´ ci ´ cemo da je funkcija f : X ! R , X µ R , uzlazna ili rastu´ ca (silazna ili (o)padaju´ ca), ako µ cuva (obr´ce) ure†aj · na X naslje† en od R , tj. ako, (8x1; x2 2 X) x1 < x2 ) f (x1) · f (x2) (f (x1) ¸ f (x2)): Ako, posebice, (8x1; x2 2 X) x1 < x2 ) f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)); onda kaµzemo da je funkcija f strgo uzlazna (strogo silazna). Re´ci ´ cemo da je funkcija f monotona (strogo monotona), ako je uzlazna ili silazna (strogo uzlazna ili strogo silazna). Napokon, re´ci ´cemo da je funkcija f po dijelovima monotona na intervalu ha; bi µ X , ako postoji konacµno mnogo tocµaka x0 = a < ¢ ¢ ¢ < xi < ¢ ¢ ¢ < b = xn takvih da je na svakomu podintervalu hxi¡1; xi i, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n, funkcija (suµzenje) f monotona. (Ovo se moµze poop´citi do prebrojivo mnogo podintervala!) Sasvim sliµ cno se po dijelovima monotonost de…nira na neome†enom intervalu, odnosno, na R ; dopuštaju´ci pritom prebrojivo mnogo podintervala. Primjer 2.1.8 Promatrajmo funkciju f : R ! R zadanu pravilom Y 8 x1 X O 1 Lako se pokaµze da je funkcija f uzlazna, ali ne strogo uzlazna (v. graf Gf ). S druge strane, apsolutna vrijednost jj : R ! R , x 7! jxj, nije monotona

52

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

ali jest po dijelovima monotona funkcija. (Ona je na h¢; 0] strogo silazna, a na [0; ¢i strogo uzlazna.) De…nicija 2.1.4 Re´ci c´emo da je funkcija f : X ! R , X µ R , periodic µna, ako (9P > 0)(8x 2 X) x § P 2 X ) f(x § P ) = f(x): Svaki takav broj P nazivamo funkcijskim periodom (od f ), a najmanji period oznaµ cujemo s P0 i nazivamo osnovnim periodom. Primjer 2.1.9 Promatrajmo funkciju f : R ! R , f (x) = x ¡ [x], gdje je [x] tzv. ”najve´ce cijelo” od x, tj. [x] = k µcim je k · x < k + 1, k 2 pZ . Primjerice, [¡2; 38] = ¡3 = [¡3], [0] = 0 = [ 12 ], [2] = 2 = [2; 38] = [ 3 9]. (Primijetimo da je funkcijska slika ”najve´cega cijelog” [R ] = Z .) Budu´ci da je, za svaki x 2 R , 0· x ¡ [x] < 1, to je f[R ] = [0; 1i (v. crteµz dolje). Nadalje, za svaki n 2 N je oµcito f(x + n) = f (x), x 2 R . Prema tomu, f je periodiµcna funkcija kojoj je period P svaki prirodni broj n. Napokon, jednostavna provjera pokazuje da funkcija f nema perioda manjeg od 1, pa je njezin osnovni period P0 = 1. Y 1

-2

2.1.3

-1

O

1

2

X

Osnovne elementarne funkcije

Ovdje ´cemo de…nirati nekoliko vrsta jednostavnih realnih funkcija koje su temeljne za daljnju nadgradnju, a vrlo su vaµzne u tehniµckoj primjeni i praksi. De…nicije nekih od njih ne ´ce biti najkorektnije, što je posljedica relativno oskudne teorijske podloge što smo ju dosad pripremili. (Primjerice, trigonometrijske funkcije se mogu sasvim korektno de…nirati tek kad se dobro prouµci konvergencija u normiranim vektorskim prostorima.) (i) Konstantna funkcija. Za svaki r 2 R postoji konstantna funkcija (v. De…niciju 1.3.3) cr : R ! R , cr (x) = r za svaki x 2 R . (ii) Op´ca potencija . Promatrajmo analitiµcki izraz y = xr u kojemu je r 2 R (u potenciji xr ) unaprijed odabran i nepromjenjiv eksponent (v. § 1.4.4). Prisjetimo se: Ako je r = n 2 N onda je potencija xn dobro de…nirana za svaki x 2 R ; ako je r = 0 onda je x0 = 1 za svaki x 6= 0 (00 je formalni zapis koji se ne S moµze na dobar naµcin jednoznaµcno odrediti.); ako je r = k 2 Z n(N f0g) ´ 1 ¡N onda je xk = x¡k i ima smisla za svaki x 6= 0; ako je r = m n 2 Q nZ , m 1 M(m; n) = 1, onda je x n = (x n )m i mogu nastupiti ova µcetiri sluµcaja: m m x n je dobro de…niran za svaki x µcim je n neparan i m prirodan; x n je m dobro de…niran za svaki x 6= 0 µcim je n neparan i m negativan; x n je dobro

2.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE

53 m

de…niran za svaki x ¸ 0 µcim je n paran i m prirodan; x n je dobro de…niran za svaki x > 0 µcim je n paran i m negativan; napokon, ako je r 2 R n Q onda je xr dobro de…niran za svaki x ¸ 0 µcim je r > 0, odnosno, za svaki x > 0 µcim je r < 0. Zakljuµcujemo da, za svaki r 2 R , postoji funkcija f : Xr ! R , Xr µ R , zadana pravilom f(x) = xr . Ne preciziraju´ci dani eksponent r, tu funkciju f nazivamo op´ com potencijom. (Primijetimo da su konstanta c 1 i op´ca potencija f s eksponentom r = 0 razlicµite funkcije, jer je X0 = R nf0g.) Na crteµzima dolje p su grafovi op´cih potencija f : Xr ! R za r 2 f1; 2; 3; 0; p p ¡1; ¡2; 12 ; 13 ; ¡ 12 ; ¡13 ; 2; 3; ¡ 2g. Pritom je X1 = X2 = X3 = X 1 = R , 3 X0 = X¡1 = X¡2 = X¡ 1 = R r f0g, X 1 = Xp2 = Xp3 = [0; ¢i. 3

2

Y

r=2

r=3

1

r=2

Y r=-2

r=1 1

r=0

-1 -1

1

X

r=-2 r=-1

r=-1 O -1

X

r=3 1 r= _ 2

Y

Y

r= 3

1 r= _ 3

1

r= 2

-1

O -1

1

X

1

O

X 1

Primijetimo da za svaku op´cu potenciju f : Xr ! R postoji podskup Ar µ Xr na kojemu je f injektivna. Tada je suµzenje fjAr : Ar ! f[Ar ] bijektivno pa postoji pripadna inverzna funkcija. Teorem 2.1.1 ”Inverzna” funkcija op´ce potencije je opet op´ca potencija. 1 Preciznije, ako je f (x) = xr onda je f ¡1 (y) = y r , kad god ti izrazi maju smisla. 1

Dokaz. (f ¡1f )(x) = f ¡1(f (x)) = f ¡1 (xr ) = (xr ) r = x = 1Ar (x), 1 1 x 2 Ar µ Xr ; (f f ¡1)(y) = f (f ¡1(y)) = f (y r ) = (y r )r = y = 1f[Ar ](y), y 2 f[Ar ] µ R . Napomena 2.1.1 Budu´ci da promatramo funkcije iz R u R , smijemo, a i uobiµcajilo se, oznaµcavati varijable x i y od f i f ¡1 (redom) istim slovom x. Dakle, umjesto f ¡1(y) ubudu´ce ´cemo pisati f ¡1 (x).

54

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Primjer 2.1.10 (a) Za r = 1 je f(x) = x1 = x = 1 R (x) = f ¡1(x), tj. f = f ¡1 = 1 R . 1 p (b) Za r = 2 je f (x) = x2, a f ¡1(x) = x 2 ´ x cµim je x ¸ 0. p 1 (c) Za r = 3 je f (x) = x3 , a f ¡1 (x) = x3 ´ 3 x za svaki x 2 R. Na koncu, primijetimo da je, za svaki r 6= 0, pripadna op´ca poten2k cija neome†ena funcija, te da je parna za svaki r = 2n¡1 , a neparna za 2k¡1 svaki r = 2n¡1 , gdje su n 2 N , k 2 Z . (U drugomu sluµcaju, kao i za svaki iracionalni eksponent, pripadna op´ca potencija je nenegativna, dakle, i ome†ena odozdol.) Neka µcitatelj za vjeµzbu odredi koje su op´ce potencije strogo uzlazne, a koje strogo silazne funkcije. (iii) Eksponencijalna funkcija. Sjetimo se da je potencija ax, u kojoj je baza a 2 R + unaprijed odabrana i nepromjenjiva, dobro de…nirana za svaki x 2 R . (v. §1.4.4). Pritom je 1x = 1 za svaki x. Odabravši, dakle, bilo koji a > 0 i a 6= 1, tako dobivamo eksponencijalnu funkciju (s bazom a) expa : R ! R , expa (x) = ax. Primijetimo da je exp a[R ] µ R + i expa (0) = a0 = 1. Najvaµznija svojstva ove funkcije su dana Teoremom 1.4.13 (Tamo navedena svojstva za x = m n 2 Q vrijede i za sve x 2 R .) Posebice, eksponencijalna funkcija je strogo uzlazna µcim je a > 1, a strogo silazna µcim je 0 < a < 1. To povlaµci da je (svaka) eksponencijalna funkcija injektivna, odnosno, da je njezino suµzenje f : R ! expa [R ], f (x) = expa(x), bijekcija. Posobno su u primjeni vaµzne eksponencijalne funkcije s bazama 10 - dekadska i e (¼ 2; 718281828 ¢ ¢ ¢ - transcendentan broj, v. Primjer 2.2.7) - prirodna. Na sljede´cemu crteµzu su grafovi eksponencijalnih funkcija s bazama 2, 10, i 12 . Budu´ci da je ( 1a )x = a¡x, to su grafovi eksponencijalnih funkcija exp 1 i exp a a simetriµcni s obzirom na Y -os. Uoµcimo i to da je eksponencijalna funkcija neome†ena (premda je ome†ena odozdol). Y a= 1_2 a=2 a=10 2 1

O

1

X

(iv) Logaritamska funkcija. U (iii) smo zakljuµcili da je funkcija f : R ! expa [R ], f (x) = expa (x), bijektivna. Postoji, dakle, njoj inverzna funkcija f ¡1 : expa [R ] ! R , koju nazivamo logaritamskom funkcijom (po bazi a) i oznaµcujemo s f ¡1 ´ loga , odnosno, f ¡1(x) ´ loga x. Prema tomu, za svaku bazu a je loga 1 = 0 i vrijedi: (8x 2 R ) (log a ± exp a)(x) = log a(ax) = x; (8x 2 R +) (expa ± loga )(x) = aloga x = x. Odatle dobivamo (1) logb x = log1a b log a x, odnosno (za x = a),

2.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE

55

(2) log b a = log1 b . a Navedimo još nekoliko svojstava logaritamske funkcije: (3) (8x; y 2 R + ) log a(xy) = log a x + log a y; (4) (8x; y 2 R + ) log a( xy ) = log a x ¡ loga y; (3) (8x 2 R + )(8y 2 R ) loga (xy) = y loga x. Na sljede´cem crteµzu su grafovi logaritamskih funkcija po bazama 2, 10 i 12 . Y a=2 1

O

a=10

X

1

-1

_ a= 1 2

U sluµcaju a = 10 uobiµcajilo se zapis pripadne logaritamske funkcije x 7! log10 x (inverzne funkcije od x 7! exp10 x = 10x) skratiti na lg x (ponegdje log x). To je tzv. Briggsov ili dekadski logaritam. Radi µceste praktiµcne uporabe ova se funkcija ”zadaje” i tabliµcno (v. npr. srednjoškolski priruµcnik ”Logaritamske tablice”). Veliku vaµznost imaju i tzv. prirodni logaritmi, tj. vrijednosti loge x logaritamske funkcije po bazi e (inverzne funkcije od x 7! expe x = ex). Njezin standardni (kra´ci) zapis jest x 7! ln x (”logaritam naturalis”). Po formuli (1) dobivamo lg x ln x ln x = ; lg x = i ln 10 = (lg e)¡1 (¼ 2; 302585): lg e ln 10 Oµcigledno je lg x > ln x µcim je 0 < x < 1, a lg x < ln x µcim je x > 1. Napokon, primijetimo da se op´ca potencija x 7! xr moµze dobiti komponiranjem logaritamske i eksponencijalne funkcije i mnoµzidbe konstantom, tj. xr = ar loga x . Posebice, xr = 10r lg x = er ln x. (v) Trigonometrijske funkcije. Promatrajmo u pravokutnoj koordinatnoj ravnini (O; i; j) središnju jediniµcnu krµznicu K ¢ ¢ ¢ x2 + y2 = 1. Y 1 sinx

T x=(cosx,sinx) x

X -1

O

cosx

A=(1,0)

-1

y

Oznaµcimo toµcku (1; 0) na K slovom A. Za svaku toµcku T na K neka AT oznaµcuje pripadni kruµzni luk (od A do T na K u geometrijski pozitivnom smjeru). Jasno je da se svakom realnom broju x 2 [0; 2¼i moµze pridijeliti y

toµcno jedna toµcka Tx na toj kruµznici tako da luµcna duljina l(ATx) bude jednaka x. Dakle, Tx oznaµcuje kraj ”namotanoga” od A na kruµznicu K segmenta [0; x]. Ako je x 2 [2¼; ¢i, onda mu na isti naµcin pridijelimo toµcku Tx na K ”namataju´ci” segment segment [0; x] (”više puta”) na tu kruµznicu. Napokon, ako je x 2 h¢; 0i postupimo na isti naµcin ”namataju´ci” od toµcke

56

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

A na K segment [0; ¡x] u geometrijski negativnom smjeru. Oµcito je da ´ce biti Tx0 = Tx onda i samo onda kad je x0 = x + k ¢ 2¼, k 2 Z . Oznaµcuju´ci koordinate tocµke Tx s (cos x; sin x), dobivamo dvije periodicµne funkcije (P0 = 2¼): sin : R ! R (sinus), x 7! sin x; cos : R ! R (kosinus), x 7! cos x. Grafovi su im na crteµzu dolje. Primijetimo da je sin[R ] = [¡1; 1] = cos[R ]. G ctg Y Gctg Y 1

Gsin

Gsin Ο

Gcos

π

Gcos

X

O

π

X

−1

G tg Gtg Funkcije sin i cos su, dakle, ome†ene i po dijelovima monotone. Primijetimo još da je sin neparna, a cos parna funkcija.

Pomo´cu sin i cos ´cemo de…nirati još dvije trigonometrijske funkcije: x tan : Xtan ! R (tangens), tan x = sin cos x ; x cot : Xcot ! R (kotangens), cot x = cos sin x , gdje je Xtan = R nfx j cos x = 0g = R nf(2k ¡ 1) ¼2 j k 2 Z g, a Xcot = R nfx j sin x = 0g = R nfk¼ j k 2 Z g. (Ponegdje se u knjigama funkcija tan zapisuje kao tg, a funkcija cot kao ctg.) Lako se provjeri da su funkcije tan i cot neome†ene i periodicµne s osnovnim periodom P0 = ¼. Nadalje, obje te funkcije su neparne, a nije teško dokazati da je tan po dijelovima strogo uzlazna, a cot po dijelovima strogo silazna funkcija. Pripadni T grafovi su na crtezµu gore. Primijetimo da je cot x = (tan x)¡1 , x 2 Xtan Xcot . (Pomo´cu (cos x)¡1 i (sin x)¡1 se mogu de…nirati još dvije trigonometrijske funkcije sekans i kosekans - u što ovdje ne ´cemo ulaziti.) Trigonometrijske funkcije su me†usobno povezane mnogim algebarskim relacijama (µcitatelju poznatima iz srednje škole), primjerice,q sin2 x + cos2 x = 1, sin 2x = 2 sin xcos x, cos 2x = x 2 2 cos2 x ¡ sin2 x, tan x2 = § 1¡cos cuju 1+cos x i dr. (Pritom sin , cos , ¢ ¢ ¢ ne oznaµ odgovaraju´ce funkcijske kompozicije sin ± sin, cos ± cos, ¢ ¢ ¢ nego potencije; tj. sin2 x ´ (sin x)2, cos2 x ´ (cos x)2 ,¢ ¢ ¢ .) (vi) Ciklometrijske funkcije. Trigonometrijske funkcije nisu bijektivne pa, strogo sude´ci, nemaju inverznih funkcija. Ipak, odgovaraju´cim suµzenjima njihovih domena i kodomena mogu´ce je posti´ci bijektivnost pripadnih restrikcija, koje onda dopuštaju invertiranje, pa u tomu smislu govorimo o inverznim funkcijama trigonometrijskih funkcija, tj. o tzv. ciklometrijskim ili arkus-funkcijama (ciclus = kruµznica, arcus = luk). Najprije promatrajmo suµzenje sin j[¡ ¼2 ; ¼2 ] : [¡ ¼2 ; ¼2 ] ! R koje je, po de…niciji, injektivna funkcija sa slikom sin[[¡ ¼2 ; ¼2 ]] = [¡1; 1]. Stoga je funkcija S : [¡ ¼2 ; ¼2 ] ! [¡1; 1], S(x) = sin x, bijektivna, pa postoji inverzna joj funkcija S ¡1 ´ ArcS : [¡1; 1] ! [¡ ¼2 ; ¼2 ]. Napokon, proširenjem inkluzijom

2.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE

57

kodomene na cijeli R , ”inverznom” funkcijom polazne funkcije sin smatramo funkciju arkus-sinus, arcsin : [¡1; 1] ! R , arcsin x = ArcS(x). Sasvim sliµcno, polaze´ci od funkcije cos, dolazimo da bijekcije C : [0; ¼] ! [¡1; 1], C(x) = cos x. Njezina inverzna funkcija jest C¡1 ´ ArcC : [¡1; 1] ! [0; ¼]. Sada ”inverznom” funkcijom od cos smatramo funkciju arkus-kosinus, arccos : [¡1; 1] ! R , arccos x = ArcC(x). Pripadni grafovi su na sljede´cemu crteµzu. Yπ Garccos π/2 −1

Garcsin

O 1

X

−π/2

- ¼ ¼® Primijetimo da je suµzenje tangensa na ® ¡ 2 ; 2 µ Xtan bijekcija. Slijedi da funkcija T ´ tan jh¡ ¼ ; ¼ i : ¡ ¼2 ; ¼2 ! R , T (x) = tan x, ima inverznu 2 2 ® funkciju T ¡1 ´ ArcT : R ! ¡ ¼2 ; ¼2 . Proširuju´ci inkluzijom kodomenu na R , ”inverznom” funkcijom od tan smatramo funkciju arkus-tangens, arctan : R ! R , arctan x = ArcT(x). Na sliµcan naµcin, polaze´ci od funkcije cot, dolazimo do bijekcije Ct ´ cot jh0;¼i : h0; ¼i ! R , Ct(x) = cot x. Njezina je inverzna funkcija Ct¡1 ´ ArcCt : R ! h0; ¼i. Sada ”inverznom” funkcijom polazne funkcije cot smatramo funkciju arkus-kotangens, arccot : R ! R , arccot x = ArcCt(x). Pripadni grafovi su na ovomu crteµzu. πY Garccot π/2

X Garctan

O −π/2

Uoµcimo da su sve ciklometrijske funkcije ome†ene. Osim toga, arcsin i arctan su strogo uzlazne, a arccos i arccot strogo silazne funkcije. Sliµcno trigonometrijskima i ciklometrijske funkcije su me†uovisne (vode´ci racµuna o pripadnim domenama). Tako dobivamo p p x 1¡x2 arcsin x = ¼2 ¡arccos x = arccos 1 ¡ x2 = arctan p1¡x = arccot 2 x i dr. De…nicija 2.1.5 Osnovnim elementarnim funkcijama smatramo sve funkcije što smo ih de…nirali pod (i), (ii), (iii), (iv), (v) i (vi):

58

2.1.4

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Razredba elementarnih funkcija

De…nicija 2.1.6 Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se moµze konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suµ zenja primijenjuju´ ci (konaµ cno puta) zbrajanje, oduzimanje, mnoµzenje, dijeljenje i funkcijsko komponiranje. Pritom se osnovne racµunske operacije na realnim funkcijama f; g : X ! R de…niraju na prirodni naµ cin: (1) (f + g)(x) = f (x) + g(x); (2) (f ¡ g)(x) = f (x) ¡ g(x); (3) (f ¢ g)(x) = f (x) ¢ g(x); f f (x) (4) ( )(x) = cim je g(x) 6= 0. µ g g(x) p 2 Primjer 2.1.11 Funkcija f : [0; ¢i ! R , f (x) = 3 x ¡2 ¢ sin 4 x + 1, jest elementarna, jer je f = (f1 ± (f2 ¡f3 )) ¢ (f 4 ± f5) +f6, gdje su f1 = exp3, f 2 = kvadriranje (op´ca potencija x 7! x2), f3 = c2 (konstanta u 2), f4 = sin, f 5 = 1 µcetvrto korjenovanje (op´ca potencija x 7! x 4 ), f6 = c1 (konstanta u 1). Skup svih elementarnih funkcija se obiµcno dijeli S na ove podskupove: (i) Polinomi. Polinom (n-toga stupnja, n 2 N f0g) smo de…nirali u §1.4.4 kao funkciju p : R ! R , p(x) = an xn + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0, pri cµemu su a0 ; a1; ¢ ¢ ¢ ; an 2 R i an 6= 0 µcim je n 2 N . (Primijetimo da je p = ca0 konstantna funkcija u a0 µcim je n = 0.) (ii) Racionalne funkcije. Re´ci ´cemo da je f : X ! R , X µ R , racionalna funkcija ako je p(x) f(x) = ; q(x) pri µcemu su p i q polinomi. Pritom je, dakako, X = R nfx j q(x) = 0g, što µ je komplement nekoga konaµcnog podskupa od R . Cesto se toµcke u kojima racionalna funkcija f nije de…nirana, tj. nultoµcke od q, nazivaju polovima od f . Ako oba polinoma p i q imaju racionalne koe…cijente, onda kaµzemo da je f = pq racinalna funkcija s racionalnim koe…cijentima. Ako je polinom p stupnja n, polinom q stupnja m i n ¸ m, onda polinomskim dijeljenjem p : q dobivamo da je pripadna racionalna funkcija f = pq zbroj nekoga polinoma s (stupnja n ¡ m) i prave racionalne funkcije rq u smislu da je stupanj k polinoma r manji od m, k < m. Ocµigledna je cµinjenica da svaki polinom jest racionalna funkcija. (iii) Algebarske funkcije. Elementarne funkcije koje se mogu dobiti komponiranjem op´cih potencija s racionalnim eksponentima i racionalnih funkcija s racionalnim koe…cijentima nazivamo algebarskim r³ funkcijama. ´5 2 +1 Primjerice, f : X ! R ; X µ R ; f (x) = 4 2xx3¡5x ; jest algebarska p p funkcije, dok g1;2 : R ! R ; g1(x) = (x4 + 7) 2 ; g2 (x) = 3x + 2; to nisu.

2.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE

59

Oµcito je da su racionalne funkcije s racionalnim koe…cijentima ujedno algebarske funkcije. Algebarske funkcije koje nisu racionalne nazivamo iracionalnim funkcijama. (iv) Transcendentne funkcije. Elementarne funkcije koje nisu algebarske nazivamo transcendentnima. Prema tomu, me†u ove se ubrajaju sve eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i ciklometrijske, kao i ve´cina racionalnih funkcija (sve one kojima je neki koe…cijent iracionalan). Vaµzne transcendentne funkcije jesu i tzv. hiperbolne funkcije, koje se dobiju pomo´cu prirodne eksponencijalne funkcije kako slijedi: x ¡x sinh : R ! R , sinh x = e ¡e , (sinus hiperbolni); 2 ex +e¡x cosh : R ! R , cosh x = 2 , (kosinus hiperbolni); sinh x tanh : R ! R , tanh x = cosh x , (tangens hiperbolni); x coth : R nf0g ! R , coth x = cosh sinh x , (kotangens hiperbolni). (Ponegdje su njihove oznake sh, ch, th i cth redom.) Nazivi ukazuju na neku svezu s trigonometrijskim funkcijama. Ona se oµcituje u relacijama što me†usobno povezuju hiperbolne funkcije (koje su vrlo sliµcne - ”dualne” onima što me†usobno povezuju trigonometrijske funkcije). Primjerice, coth x = 2 2 (tanh x)¡1, cosh2 x¡sinh q x = 1, sinh 2x = 2 sinh xcosh x, cosh 2x = sinh x+ x¡1 2 2 cosh2 x, tanh x2 = § cosh cuju pocosh x+1 i dr. (I ovdje cosh , sinh , ¢ ¢ ¢ oznaµ tenciranje, a ne funkcijsko komponiranje!) Grafovi hiperbolnih funkcija su na crteµzima dolje. Y Gcth Gch Y 1 1

Gth O

O

X

X

-1

Gsh

Gcth

Primijetimo da su funkcije sinh, cosh i coth neome† ene, dok je tanh ome†ena funkcija. (cosh jest ome†ena odozdol, jer je ve´ca ili jednaka od c 1.) Nadalje, cosh je parna, a sinh, tanh i coth su neparne funkcije. Pogledajmo sada što se moµze re´ci o invertiranju hiperbolnih funkcija, koje daje tzv. area-funkcije. Lako se provjeri da je funkcija sinh : R ! R bijekcija pa postoji inverzna joj funkcija (sinh)¡1 ´ arsh : R ! R (area-sinus hiperbolni). Funkcija cosh nije injektivna, ali jest injektivno njezino suzµenje cosh j[0;¢i : [0; ¢i ! R i pritom je cosh[[0; ¢i] = cosh R = [1; ¢i. Tada je funkcija Ch : [0; ¢i ! [1; ¢i, Ch(x) = cosh x, bijekcija s inverznom funkcijom Ch¡1 : [1; ¢i ! [0; ¢i. Sada ”inverznom” funkcijom od cosh smatramo proširenje inkluzijom od Ch¡1 na kodomenu R , tj. arch : [1; ¢i ! R , arch(x) = Ch¡1(x) (area-kosinus hiperbolni). Funkcije tanh i cothSsu injektivne sa slikama tanh[R ] = h¡1; 1i i coth[R nf0g] = R n[¡1; 1] = h¢; ¡1i h1; ¢i. Prema tomu, funkcije Th : R ! h¡1; 1i, Th(x) =

60

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

S tanh x, i Cth : R nf0g ! h¢; ¡1i h1; ¢i, Cth(x) = coth x, jesu bijekcije. Inveznu funkciju Th¡1 smatramo ”inverznom” funkcijom od tanh i pišemo: arth : h¡1; 1i ! R , arth(x) = Th¡1(x), (area-tangens hiperbolni). S ¡1 Inverznu funkciju Cth : h¢; ¡1i h1; ¢i ! R nf0g proširujemo inkluzijom kodomene do ”inverzne” funkcije od coth stavljaju´ci S ¡1 arcth : h¢; ¡1i h1; ¢i ! R , arcth(x) = Cth (x), (area-kotangens hiperbolni). Pripadni grafovi su na crteµzima: Y Y Garcth

Garch O

-1 1

Garsh

X

O 1

Garcth

X

Gar th

Primijetimo da area-funkcije nisu ome†ene (premda je arch nenegativna, pa je ome†ena odozdol). Nadalje, arsh, arth i arcth su neparne funkcije. I area-funkcije su me†usobno povezane odgovaraju´ cim relacijama: p 2 p x x 2 arsh(x) = § arch x + 1 = arth px2 +1 = arcth x+1 (+ za x > 0, a ¡ za x < 0) i dr. Budu´ci da su hiperbolne funkcije de…nirane pomo´cu prirodne eksponencijalne funkcije, treba oµcekivati da area-funkcije dopuštaju analitiµcke zapise pomo´cu prirodne logaritamske funkcije. Zaista, lako je izvesti sljede´cpe sveze: p arsh(x) = ln(x+ x2 + 1), x 2 R ; arch(x) = ln(x+ x2 ¡ 1), x 2 [1; ¢i; 1 x+1 arth(x) = 12 ln 1+x 1¡x , x 2 h¡1; 1i; arcth(x) = 2 ln x¡1 , x 2 R n [¡1; 1].

2.1.5

Vjeµ zbe

1. Odrediti funkciju f : X ! R , X µ R , implicitno zadanu jednadµzbom lg(x ¡ 1) + lg(y + 1) ¡ 1 = 0: 2. Odrediti funkciju f : X ! R , X µ R , f(x) = y, parametarski zadanu t ¡t jednadµzbama x = e +e y = t + et ; t 2 R : 2 ; 3. Odrediti de…nicijsko podruµcje X µ R funkcije f : X ! R zadane izrazom: 2¡4+lg(¡x) p 2 (a) f (x) = x 1+ ; (b) f(x) = ln arcsin x+1 5¡x : x ¡4 4. Provjeriti bijektivnost i odrediti inverznu funkciju od p p p p 3 3 2 f : R ! R ; f (x) = x + 1 + x + x ¡ 1 + x2: 5. Odrediti de…nicijsko podruµ p p cje X µ R i dokazati da je realna funkcija (a) x 7¡! 5 (x ¡ 1)2 + 5 (x + 1)2 parna; (b) x 7¡! loga 1+x 1¡x neparna. Nadalje, dokazati da je funkcija x 7! g1 (x) = f (x) + f(¡x) parna, a funkcija x 7! g2 (x) = f (x) ¡ f(¡x) neparna, za svaku funkciju f de…niranu na simetriµcnom skupu X µ R . Na temelju toga dokazati da je svaka funkcija f : X ! R , X µ R simetriµcan, zbroj neke parne i neke neparne funkcije.

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

61

6. (a) Dokazati da je funkcija x 7¡! sin x + 12 sin 2x + 13 sin 3x periodiµcna i odrediti joj osnovni period. 1+f (x¡a) (b) Ako za funkciju f : X ! R vrijedi f (x) = 1¡f (x¡a) , x 2 X (a je bilo koja konstanta), dokazati da je f periodiµcna funkcija. 7. Neka je f : R + ! R uzlazna funkcija. (a) Dokazati da je funkcija g : R ! R , g(x) = f (x2n ), n 2 N , silazna na R ¡ i uzlazna na R + ; (b) Moµze li se što zakljuµciti o monotonosti funkcije x 7¡! h(x) = f (x2n+1 ); n2N? 8. Toµcnom rašµclambom na osnovne elementarne funkcije, dokazati da je 2 funkcija f : X ! R , X µ R , f (x) = ¡1 + arctan 5(3x+1) , elementarna.

2.2

KONVERGENCIJA REALNIH NIZOVA I REDOVA

Konvergencija je jedan od temeljnih pojmova u matematiµckoj analizi. Primjerice, neke od osnovnih elementarnih funkcija (trigonometrijske) mogu´ce je sasvim korektno de…nirati tek kad se strogo zasnuje konvergencija realnih redova. Osim toga, na dobro zasnovanoj konvergenciji je mnogo lakše de…nirati i eksponencijalnu funkciju i, posebice, istraµziti njezina vaµzna svojstva. Logiµcki bi, dakle, ovaj odjeljak trebao biti prvi u ovomu poglavlju. Nu, to bi onda zahtijevalo drugaµciji temeljni teorijski pristup, koji bi bio preop´cenit za našu konaµcnu svrhu.

2.2.1

Niz realnih brojeva

De…nicija 2.2.1 Svaku funkciju de…niranu na skupu prirodnih brojeva, a : N ! Y , nazivamo nizom (u skupu Y ). Vrijednost a(n) 2 Y , n 2 N , oznaµ cujemo s an i nazivamo n-tim µ clanom toga niza. Uobiµ cajilo se i sam niz oznaµ citi s (an) ili, ponekad, s a1; a2 ; ¢ ¢ ¢ ; an ; ¢ ¢ ¢ . U sluµ caju Y = R govorimo o nizu realnih brojeva (ili o realnom nizu) (an ). Vaµzno je imati na umu bitnu razliku izme†u niza (an) u skupu Y , tj. funkcije a : N ! Y , od skupa svih njegovih vrijednosti fan j n 2 N g, tj. slike a[N ] µ Y ! Primjer 2.2.1 Ispišimo ”nekoliko prvih” µclanova realnoga niza (an ), pri µcemu je: ½ 1¡n ½ 2n, n · 3 , nneparan n2 n (a) an = 2n+1 ; (b) an = ; (c) an = p . 1 , nparan 11, n ¸ 4 n 25 (a) a1 = 13 , a2 = 45 , a3 = 97 itd. ili 13 ; 45 ; 97 ; 16 9 ; 11 ; ¢ ¢ ¢ ; 1 2 1 (b) a1 = 0, a2 = 2 , a3 = ¡3 , a4 = 4 itd. ili 0; 12 ; ¡ 23 ; 14 ; ¡ 35 ; 16 ; ¢ ¢ ¢ ; p p p (c) a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 11 = a5 = ¢ ¢ ¢ itd. ili 2; 4; 6; 11; 11; ¢ ¢ ¢ :

62

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Pod (c) je dan primjer tzv. stacionarnog niza, tj. niza (an ) za koji vrijedi: (9r 2 R )(9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) an = r: De…nicija 2.2.2 Re´ci ´ cemo da je niz realnih brojeva (an ) uzlazan ili rastu´ ci (silazan ili (o)padaju´ ci, monoton, strogo uzlazan, strogo silazan, strogo monoton) µ cim je takva pripadna funkcija a : N ! R . Sljede´ci teorem je izravna posljedica prethodne de…nicije. Teorem 2.2.1 Da bi realni niz (an) bio uzlazan (silazan, strogo uzlazan, strogo silazan ) nuµzno je i dovoljno da je, za svaki n 2 N , an · an+1 (an ¸ an+1 , an < an+1 , an > an+1). n n Primjer 2.2.2 Niz (an), an = ¡ 10 , je strogo silazan, jer je an = ¡ 10 > n+1 ¡ 10 = an+1 za svaki n 2 N . n

Primjer 2.2.3 Niz (an ), an = (¡1)n +n , nije monoton, jer je, primjerice, a1 = 0 < 32 = a2 > 23 = a3 . Zadrµzavaju´ci se još malo na ovomu primjeru, prikaµzimo nekoliko µclanova toga niza na brojevnom pravcu: a1 a3 a5 a7... a6 a 4 a2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 2 0 1 Primije´cujemo da se oni ”sve više pribliµ zavaju” broju 1 kako se n pove´cava. Odaberemo li, naime, bilo koju (kako god malu) ²-okolinu od 1 u R , tj. simetriµcni interval h1 ¡ ²; 1 + ²i, ² > 0, u njoj ´ce se na´ci skoro svi (tj. svi osim konaµcno mnogo njih) µclanovi promatranoga niza (an). Ako je npr. ² = 0; 2, radi se o okolini h0; 8; 1; 2i izvan koje su a1; ¢ ¢ ¢ ; a5, a u njoj su svi µc¯lanovi an za koje je n ¸ 6. Zaista, u tomu slucµaju mora biti ¯ ¯ (¡1) n+n ¯ ¯1 ¡ ¯ < 0; 2, tj. 1n < 0; 2 , dakle n > 5. Smanjuju´ci broj ² > 0, tj. n okolinu, pove´cava se broj onih µcanova an što su izvan te okoline, ali, ma kako malen bio taj ², izvan nje ih je uvijek samo konaµcno mnogo. Ovaj primjer motivira sljede´cu de…niciju:

De…nicija 2.2.3 Re´ci ´cemo da je toµ cka a0 2 R graniµ cna vrijednost (ili limes) realnog niza (an), ako je ispunjen ovaj uvjet: (8² > 0)(9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) jan ¡ a0j < ²: Ovo ´ cemo skra´ ceno zapisivati kao (an) ! a0 . Primjer 2.2.4 (a) Svaki stacionarni niz (an), an = a0 µcim je n ¸ n0, ima graniµcnu vrijednost a0. (b) Pokaµzimo da niz ( nc ), za ma koji c 2 R , ima za graniµcnu vrijednost 0 2 R , tj. ( nc ) ! 0! Uzmimo bilo koji ² > 0. Treba odrediti broj n0 2 N (ovisan o ²) koji ´ce udovoljiti uvjetu iz De…nicije 3.2.3. Promatrajmo nejednakost jan ¡ a0 j < ², koja bi u ovomu primjeru trebala biti j nc ¡ 0j < ², tj.

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

63

jcj n

< ². To povlaµci da treba biti n > jcj ² , što je, po Arhimedovu aksiomu (v. Teorem 1.4.8), mogu´ce: Odaberemo li, dakle, n0 = [ jcj ² ] + 1 (v. Primjer 3.1.9)), de…nicijskom uvjetu ´ce biti udovoljeno. Teorem 2.2.2 Svaki realni niz (an ) dopušta najviše jednu graniµ cnu vrijednost. Dokaz. Pretpostavimo protivno, tj. da vrijedi (an ) ! a00, (an) ! a000 ja00 ¡a0 j i a00 6= a000 . Tada je broj ² = 0 2 0 > 0, pa su U 0 = ha00 ¡ ²; a00 + ²i i U 00 = ha000 ¡ ²; a000 + ²i disjunktne ²-okoline od a00 i a000 redom. Po de…niciji bi svaka od okolina U 0 i U 00 trebala sadrµzavati skoro sve µclanove promatranoga niza (an ), što je protuslovlje. De…nicija 2.2.4 Za niz koji ima graniµ cnu vrijednost kaµ zemo da konvergira (ili teµ zi ) prema toj vrijednosti, odnosno, da je konvergentan. U protivnom, kaµzemo da niz divergira ili da je divergentan. µ Cim niz (an ) konvergira prema broju a0, tj. (an) ! a0, Teorem 2.2.2 (limesova jedinstvenost) dopušta to zapisati kao (operativnu) jednakost lim(an) = a0. Uvedimo nazive i zapise i za dva posebna slucµaja divergentnih nizova. Prvo, ako za realni niz (an) vrijedi (8r 2 R + )(9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) an > r; re´ci ´cemo da (an) divergira prema plus beskonaµ cnom i pisati (an ) ! +1 ili lim(an ) = +1. Drugo, ako za realni niz (an ) vrijedi (8r 2 R ¡ )(9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) an < r; re´ci ´cemo da (an ) divergira prema minus beskonaµ cnom i pisati (an) ! ¡1 ili lim(an ) = ¡1. Primjerice, nizovi (n), (3n ¡5) i (n2 ¡1) divergiraju prema +1, dok nizovi (¡n), (¡3n + 5), i (¡n2 + 1) divergiraju prema ¡1. (Pozor! +1 i ¡1 su samo oznake. To nisu realni brojevi. Mogu´ce S je, me†utim, proširiti R do skupa R = R f¡1; +1g stavljaju´ci ¡1 < x < +1, za svaki x 2 R , i proširuju´ci odgovaraju´cu algebarsku strukturu sa R na R ovako: x + (§1) = §1 = (§1) + x, (¡1) + (¡1) = ¡1, (+1)+(+1) = +1; x¢(§1) = ¨1 = (§1)¢x za x < 0, x¢(§1) = §1 = (§1) ¢ x za x > 0, (¡1) ¢ (¡1) = +1 = (+1) ¢ (+1), (¡1) ¢ (+1) = ¡1 = (+1) ¢ (¡1); zbrojevi (¡1) + (+1) i (+1) +(¡1), kao i umnošci 0¢(§1) i (§1)¢0 se ne mogu jednoznaµcno de…nirati. Za upravo promatrane nizove bi se sada moglo re´ci da konvergiraju proširenomu skupu realnih brojeva R .) De…nicija 2.2.5 Neka je (an) realni niz. Re´ci ´ cemo da je toµ cka r 2 R gomilište od (an), ako svaka okolina od r sadrµzi beskonacµno mnogo cµlanova toga niza. Simboliµ cki se taj uvjet zapisuje ovako: (8² > 0)(8n 2 N )(9n0 2 N ) n0 ¸ n ^ jan0 ¡ rj < ²:

64

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Primijetimo da je, za svaki konvergentni niz, njegova graniµcna vrijednost ujedno njegovo jedino gomilište, dok obratno ne vrijedi. Primjer 2.2.5 Promatrajmo niz (an), an = n(1 ¡ (¡1)n ). Uoµcimo da je an = 2n µcim je n neparan, a an = 0 µcim je n paran, tj. (an) = 2; 0; 6; 0; 10; 0; ¢ ¢ ¢ . Oµcigledno je da niz (an ) divergira premda ima toµcno jedno gomilište r = 0. De…nicija 2.2.6 Podnizom realnog niza (an ), tj. funkcije a : N ! R , smatramo svaku kompoziciju a ± n : N ! R , pri µ cemu je n : N ! N strogo uzlazna funkcija (niz u N ): Primijetimo da je podniz realnog niza opet realni niz. Op´ cenito, k-ti µ clan promatranoga podniza je realni broj (a ± n)(k) = a(n(k)) ´ an(k) , k 2 N . Uobicµajilo se an(k) zapisivati kao ank , a sam podniz kao (ank ). U Primjeru 2.2.5 je npr. jedan podniz (ank ) = 2; 6; 10; 14; ¢ ¢ ¢ , koji divergira prema +1 (strogo uzlazna funkcija je n : N ! N , n(k) ´ nk = 2k ¡ 1). Uoµcimo da taj niz ima i konstantni, dakle konvergentni, podniz (amk ) = 0; 0; 0; ¢ ¢ ¢ (strogo uzlazna funkcija je m : N ! N , m(k) = 2k). n

n Primjer 2.2.6 Promatrajmo realni niz (an), an = (¡1) n+1 . Tada je an = n n ¡ n+1 µcim je n = 2k¡1 (neparan), a an = n+1 µcim je n = 2k (paran). Prema tomu, ovaj niz ima barem dva (po µclanovima komplementarna) konvergentna 2k podniza: (a2k¡1 ) = (¡ 2k¡1 2k ) ! ¡1 i (a2k ) = ( 2k+1 ) ! 1. Primijetimo da su toµcke ¡1 i 1 gomilišta od (an ) koji divergira.

2.2.2

Svojstva konvergentnih (pod)nizova

Teorem 2.2.3 Ako realni niz (an ) konvergira onda je ome†en. Dokaz. Neka je lim(an ) = a0. Tada postoji postoji n0 2 N takav da je fan j n ¸ n0g µ ha0 ¡ 1; a0 + 1i. Neka je b = maxfjan ¡ a0jSj n 2 f1; ¢ ¢ ¢ ; n0 ¡ 1gg i c = maxf1; bg. Tada je a[N ] = fa1 ; ¢ ¢ ¢ ; an0 ¡1 g fan j n ¸ n0g µ [a0 ¡c; a0 + c], pa je funkcija a : N ! R , tj. jest (an) ome†en. Teorem 2.2.4 Realni niz (an) ima gomilište r onda i samo onda, ako postoji podniz (ank ) koji konvergira prema r. Dokaz. Neka je r gomilište od (an). Traµzeni podniz ´cemo konstruirati indukcijom. Za k = 1 neka je µclan an1 2 hr ¡ 1; r + 1i. (U De…niciji 2.2.5 uzmimo ² = 1 i n = 1, pa takav n1 ´ n0 ¸ 1 postoji.) Pretpostavimo ® da postoje prirodni brojevi n1 < ¢ ¢ ¢ < nk za koje je ani 2 r ¡ 1i ; r + 1i 1 za svaki i 2 [1; k]N . Po De…niciji 2.2.5, za ² = k+1 i n = nk + 1, postoji D E 0 1 ;r+ 1 n ´ nk+1 ¸ nk + 1 > nk takav da je ank+1 2 r ¡ k+1 k+1 . Time smo konstruirali podniz (ank ) za koji je o µcito lim(ank ) = r. Obratno, neka

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

65

je (an) realni niz s konvergentnim podnizom (ank ) ! r. Uzmimo bilo koje ² > 0 i n 2 N . Budu´ci da postoji k0 2 N takav da je ank 2 hr ¡ ²; r + ²i µcim je k ¸ k0, to biraju´ci n0 = nk ¸ n (vrijednosti nk strogo rastu µcim indeksi k rastu) dobivamo an0 2 hr ¡ ²; r + ²i. Dakle, niz (an) ima za gomilište toµcku r. Korolar 2.2.1 Neka su (an) niz u R i a0 2 R . Tada je lim(an) = a0 tocµno onda kad je, za svaki podniz (ank ), lim(ank ) = a0. Posebice, ako dva komplementarna podniza (ank ) i (an; n 6= nk ) od (an ) konvergiraju prema istoj graniµ cnoj vrijednosti a0, onda i niz (an) konvergira prema a0 . Dokaz. Dovoljnost je o µcigledna (uzmimo nk = k), a nuµznost vrijedi po Teoremu 2.2.2 i Teoremu 2.2.4. Dodatna tvrdnja je oµcita posljedica De…nicija 2.2.3 i 2.2.4 i Teorema 2.2.2. Teorem 2.2.5 Svaki realni niz (an ) ima monotoni podniz. Dokaz. Neka je N = fn j n · n0 ) an · an0 g µ N . Skup N je ili beskonaµcan ili konaµcan. Ako je N beskonaµcan, mogu´ce je odabrati strogo uzlazni niz (nk) u N, tj. nk < nk+1 za svaki k 2 N . Tada je, po de…niciji od N, ank · ank+1 za svaki k 2 N , pa je pripadni podniz (ank ) uzlazan. Ako je skup N konaµcan, onda postoji n1 2 N , fn1 g > N . Odaberimo neki n2 2 N takav da je n2 > n1 i an2 < an1 . (Takav n2 postoji; u protivnom bi slijedilo n1 2 N -što nije!) Jasno je da n2 2 = N. Nastavljaju´ci induktivno, dobivamo nk < nk+1 2 = N za svaki k 2 N , tj. strogo uzlazni niz (nk) u N nN. Njemu tada odgovara ank > ank+1 za svaki k 2 N , tj. strogo silazni podniz (ank ). Teorem 2.2.6 Ako je realni niz monoton i ome†en onda konvergira. Potpunije, ako je (an) silazan i ome†en odozdol onda je lim(an) = inf a[N ], a ako je (bn ) uzlazan i ome†en odozgor onda je lim(bn) = sup b[N ]. Dokaz. Promatrajmo prvi sluµcaj, tj. niz a1 ¸ a2 ¸ ¢ ¢ ¢ ¸ an ¸ ¢ ¢ ¢ ¸ c u R . Tada postoji a0 ´ inf a[N ] 2 R (v. Teorem 1.4.7), pa je a0 · an za svaki n 2 N . Nadalje, za svaki ² > 0 postoji neki n0 2 N takav da je a0 + ² > an0 , tj. a0 > an0 ¡². Budu´ci da je niz (an) silazan, to je a0 · an · an0 < an0 + ² cµim je n ¸ n0. Prema tomu, n ¸ n0 povlacµi an ¡ ² < a0 < an + ², tj. jan ¡ a0 j < ², pa je lim(an) = a0 ´ inf a[N ]. Posve sliµcno se dokazuje drugi sluµcaj. Korolar 2.2.2 (Bolzano-Weierstrassov teorem) Svaki ome†eni niz realnih brojeva (an) ima konvergentni podniz (odnosno, ima gomilište). Dokaz. Neka je niz (an ) u R ome†en. Po Teoremu 3.2.5, (an) ima neki monotoni podniz (ank ). Budu´ci da se ome†enost µcuva, to je podniz (ank ) ome†en i monoton, pa po Teoremu 2.2.6 i konvergira.

66

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Primjer 2.2.7 (Broj e.) Neka je (an ) niz u R zadan pravilom an = (1 + n1 )n. Dokazat ´cemo da je ovaj niz strogo uzlazan i ome†en odozgor pa, po Teoremu 3.2.6, konvergira. Vidjet ´cemo da je njegova graniµcna vrijednost lim((1 + 1n )n) ´ e, 2; 71828 < e < 2; 71829. (Moµze se pokazati da je broj e iracionalan; štoviše, e je transcendentan broj, no dokazati tu tvrdnju vrlo je netrivijalno.) Broj e ima nezaobilaznu ulogu u matematiµckoj analizi (v. npr. §3.1.3, (iii) i (iv)). Pokaµzimo najprije da je niz ((1 + 1n )n) ome†en odozgor. Po binomnoj formuli (v. Teorem 1.4.14) je, za svaki n 2 N , n n P P 1 1 2 k¡1 (1 + n1 )n = (nk ) ¢ 1n¡k ¢ ( 1n )k = 1 + k! ¢ 1 ¢ (1 ¡ n )(1 ¡ n ) ¢ ¢ ¢ (1 ¡ n ) · 1+

n P

k=1

k=0

1 k!

· 1+

n P

k=1

k=1

1

2k¡1

= 1 + 2(1 ¡ 21n ) < 3,

pri µcemu smo iskoristili nejednakost 2k¡1 · k! za svaki k 2 N . Da je ovaj niz strogo uzlazan proizlazi iz sljede´cega: n n ¡ n+1 ¢ P P P ¡n+1¢ n+1 1 1 (1 + n1 )n = (nk) ¢ n1k · ¢ < ¢ (n+1) k = k k (n+1) k k=0 n+1 P ¡n+1¢ ¢ (n+1)1n +1¡k k k=0

k=0

= (1 +

k=0

1 n+1, n+1 )

¡ ¢ 1 gdje smo iskoristili nejednakost (nk) ¢ n1k · n+1 ¢ (n+1) k za svaki par k · n k 5 4 625 iz N . Primijetimo da je a4 = ( 4 ) = 256 ' 2; 4414, pa je 2; 4414 < e < 3. Odre†enjem dovoljno male gornje me†e b < 3 i dovoljno ”dalekog” µclana an, dobiva se po volji dobra racionalna pribliµzna vrijednost za broj e. Po Korolaru 2.2.2 ima smisla govoriti o najmanjemu, odnosno, najve´cemu gomilištu realnog niza (an). Najmanje gomilište nazivamo limesom inferiorom i oznaµcujemo s lim inf(an), a najve´ce - limesom superiorom, lim sup(an). Oµcito je lim inf(an ) · lim sup(an), a lako se dokazµe da ome† eni niz (an) konvergira onda i samo onda kad je lim inf(an ) = lim(an) = lim sup(an). Ako niz (an) nije ome†en odozdol (odozgor), po dogovoru stavljamo lim inf(an ) = ¡1 (lim sup(an) = +1). Nadalje, ako (an) nije ome†en odozdol i nema gomilište, a ome†en je odozgor, stavljamo lim inf(an ) = lim sup(an) = ¡1. Sliµcno, ako (an ) nije ome† en odozgor i nema gomilište, a ome†en je odozdol, stavljamo lim inf(an) = lim sup(an) = +1. Primjer8 2.2.8 (a) Za niz (an), n , n = 3k ¡ 2 < ¡ n+1 1 an = ; n = 3k ¡ 1 ; k 2 N ; : n+1n n , n = 3k je lim inf(an ) = ¡1, a lim sup(an ) = 1. (b) Za½niz (an), 1 n ; n neparan ; an = ¡n, n paran

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

67

je lim inf(an) = ¡1, a lim sup(an) = 0. (c) Za niz (an), an = 2n, je lim inf(an) = lim sup(an) = +1 (= lim(an ) u R ), tj. niz (2n) divergira prema +1). Teorem 2.2.7 Neka realni nizovi (an), (bn ) i (cn ) udovoljavaju ovim dvama uvjetima: (i) (9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) an · cn · bn ; (ii) lim(an) = a0 = lim(b n). Tada je i lim(cn ) = a0 . Dokaz. Po (ii), za svaki ² > 0 postoje n00; n000 2 N takvi da je jan ¡a0j < ² µcim je n ¸ n00, odnosno, jbn ¡ a0j < ² µcim je n ¸ n000. Ukljuµcuju´ci i uvjet (i), dobivamo da je, za svaki n ¸ maxfn0 ; n00; n000 g, a0 ¡² < an · cn · b n < a0 +², dakle, jcn ¡ a0j < ². To upravo znaµci da je lim(cn) = a0. Primjer 2.2.9 Istraµzimo konvergira li ili ne niz ( sinn n ). 1 Budu´ci da je, za svaki n 2 N µ R , ¡1 · sin n · 1, to je i ¡ n1 · sin n · n. 1 sin n Oznaµcimo an = ¡1 n , bn = n i c n = n , n 2 N. Po Primjeru 2.2.4(b) je lim(an) = 0 = lim(bn ). Sada po Teoremu 2.2.7 zakljuµcujemo da je i lim( sinnn ) ´ lim(cn ) = 0. Naredni teorem jamµci dobro ponašanje graniµcnih vrijednosti prema osnovnim raµcunskim operacijama. Teorem 2.2.8 Ako su (an ) i (bn ) konvergentni realni nizovi, onda je (i) lim(an § bn ) = lim(an ) § lim(bn ); (ii) lim(an ¢ bn) = lim(an ) ¢ lim(bn); a lim(an) (iii) lim( n ) = ;µ cim su svi bn 6= 0 i lim(bn ) 6= 0. bn lim(bn) (U zagradama na lijevoj strani se radi o operacijama funkcijama a; b : N ! R ; v. § 1.1.4) Dokaz. Dokazati gornje tvrdnje nije trivijalno. One, zapravo, slijede iz neprekidnosti osnovnih raµcunskih operacija - o µcemu ´ce biti rijeµci u višim analizama (v. i Lemu 1.4.2). Ipak, primjerice, pokaµzimo dobro ponašanje realnih limesa na zbrajanje! Neka je, dakle, lim(an ) = a0 i lim(bn ) = b0. Trebamo dakazati: (8² > 0)(9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) j(an + bn ) ¡ (a0 + b0)j < ²: Za ma koji ² > 0 uzmimo ²0 = 2² = ²00. Tada postoje n00 ; n000 2 N takvi da je jan ¡ a0j < ²0 µcim je n ¸ n00, odnosno, jbn ¡ b 0j < ²00 µcim je n ¸ n000 . Neka je n0 = maxfn00; n000 g. Sada je, za svaki n ¸ n0 (v. §1.4.3), j(an + b n) ¡ (a0 + b0 )j = j(an ¡ a0) + (bn ¡ b0 )j · jan ¡ a0j + jbn ¡ b0j < ²0 + ²00 = ². Bez dokaza navodimo i dobro ponašanje konvergentnih nizova prema potenciranju. (Ono slijedi iz neprekidnosti potenciranja, o µcemu ´ce biti rijeµci u višim analizama; v. i Lemu 1.4.3)

68

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Teorem 2.2.9 Neka su (an ) i (bn ) konvergentni realni nizovi i neka je pritom an > 0 za svaki n 2 N i lim(an) > 0. Tada je lim(abnn ) = lim(an )lim(bn ) : Posebice, ako je niz (bn ) konstantan, tj. (b n) = (r) za neki r 2 R , onda je lim(arn ) = lim(an )r : Primjer 2.2.10 Istraµzimo konvergira li ili ne niz (an ), ako je (a) an = an+b cn+d , a; b; c; d 2 R, cn + d 6= 0; n¡1 P k2 (b) an = n3 ; k=0

(c) an = aqn¡1, q 2 R. (a) U sluµcaju a = c = 0 slijedi d 6= 0, pa dobivamo konstantni niz ( db ). Neka je a 6= 0 6= c. Tada je µ b¶ ³ ´ a+ lim(a)+lim( b ) an+b a lim(an ) = lim cn+d = lim c+ nd = lim(c)+lim( nd ) = a+0 c+0 = c , n

n

pri µcemu smo iskoristili Teorem 2.2.8 i Primjer 2.2.4(b). Ako je a 6= 0 = c onda je lim(an) = §1 (ovisno o predznaku konstante a) u R , a ako je a = 0 6= c onda je lim(an ) = 0. (Neka µcitatelj poop´ci ovaj primjer na p(n) an = q(n) , gdje su p i q polinomi!) n¡1 P 2 (n¡1)n(2n+) (b) Po Zadatku 3.(iii) u §1.4.6 je k = . Stoga je 6 ³ ´ k=0 ¡ ¢ 1 (1 ¡ 1 )(2 + 1 ) = 1 ¢ 1 ¢ 2 = 1 , lim(an ) = lim (n¡1)n(2n+1) = lim 3 6 n n 6 3 6n pri µcemu smo opet iskoristili Teorem 2.2.8 i Primjer 2.2.4(b). (c) (aqn¡1) ´ a; aq; aq2 ; aq3; ¢ ¢ ¢ je tzv. geometrijski niz (s konstantom a i koliµcnikom q). Ako je a = 0 radi se o konstantnomu nizu (0) ! 0. Ako je a 6= 0, jednostavno razmatranje pokazuje sljede´ce: jqj < 1 ) lim(aqn¡1) = 0; jqj > 1 ) (aqn¡1) nije ome†en pa divergira; q = 1 ) lim(aqn¡1) = lim(a) = a (konstantni niz); q = ¡1 ) (aqn¡1) = ((¡1)n a) ´ ¡a; a; ¡a; a; ¢ ¢ ¢ - ome†en i divergira (dva gomilišta: ¡a, a). Sada ´cemo pokazati da se nizu u R moµze ustanoviti konvergentnost i bez odre†ivanja graniµcne vrijednosti. To ´ce biti vaµzan (ne samo tehniµcki) dobitak, jer je µcesto bitno znati samo to konvergira li dani niz bez obzira na to koja toµcka mu je limes. De…nicija 2.2.7 Re´ci ´cemo da je realni niz (an) Cauchyjev ako udovoljava ovomu uvjetu: (8² > 0)(9n0 2 N )(8n 2 N )(8k 2 N ) n ¸ n0 ) jan+k ¡ anj < ²: Teorem 2.2.10 Niz (an) u R konvergira toµ cno onda kad je Cauchyjev. (To je tzv. potpunost euklidskoga prostora realnih brojeva R .)

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

69

Dokaz. Neka realni niz (an) konvergira; tj. neka postoji lim(an ) = a0 2 R . Tada za svaki ² > 0 postoji neki n0 2 N takav da je jan ¡ a0j < 2² µcim je n ¸ n0. Jasno, za svaki k 2 N je n + k > n ¸ n0 pa je i jan+k ¡ a0j < 2² . Prema tomu, jan+k ¡anj = j(an+k ¡a0)+(a0 ¡an )j · jan+k ¡a0j+ja0 ¡anj < 2² + ²2 = ², što dokazuje da je (an) Cauchyjev niz. Obratno, neka je (an ) u R Cauchyjev niz. Najprije ´cemo dokazati da je tada (an) ome†en. Za ² = 1 postoji n0 2 N takav da je jan+k ¡ anj < 1 µcim su n; k 2 N i n ¸ n0 . Slijedi da je skup fan j n ¸ n0 g sadrµzan u intervalu han0 ¡ 1; an0 + 1i. Po tomu zakljuµcujemo, kao u dokazu Teorem 2.2.3, da postoji c 2 R + takav da je a[N ] µ [an0 ¡ c; an0 + c]. Dakle, niz (an ) jest ome†en. Po Bolzano-Weierstrassovu teoremu (Korolar 2.2.2), (an ) dopušta neki konvergentni podniz (ank ). Neka bude lim(ank ) = a0 2 R . Dokaµzimo da je tada i lim(an ) = a0 ! Odaberimo bilo koji ² > 0. Budu´ci da je niz (an ) Cauchyjev, to postoji n0 2 N takav da da bude jam ¡an j < ²2 cµim su m; n ¸ n0 (m ´ n + k): Iz lim(ank ) = a0 slijedi obstojnost nekoga k0 2 N za koji je jank ¡a0j < 2² µcim je k ¸ k0 . Uzmimo k00 2 N takav da je k00 ¸ k0 i nk00 ¸ n0 (obstojnost mu slijedi iz strogo uzlazne funkcije što de…nira podniz). Sada je jan ¡ a0j = j(an ¡ ank ) + (ank ¡ a0)j · jan ¡ ank j + jank ¡ a0 jj < ²2 + ²2 = ² µcim je n ¸ n0 , tj. lim(an) = a0. Primjer 2.2.11 Pokaµzimo da realni niz (an ), an = Po Teoremu 2.2.10, dovoljno je pokazati da je (

n P

k=1

n P

k=1

1 2k¡1 ,

1 ) 2k¡1

konvergira.

Cauchyjev niz. U

tu svrhu najprije primijetimo da je, za svaki m 2 N , 1 + 12 + ¢ ¢ ¢ + 21m = 1 ¢

1 ) 2m+1 1 1¡ 2

1¡(

1 = 2(1 ¡ 2m+1 ) < 2.

Sada je lako pokazati da se, biraju´ci dovoljno veliki n 2 N , razlika jan+p ¡anj moµze uµciniti po volji malom (kakav god bio p). Zaista, n+p P 1 1 1 jan+p ¡ anj = = 21n (1 + 12 + ¢ ¢ ¢ + 2n +p¡1 ) < 21n ¢ 2 = 2n¡1 . 2k¡1 k=n+1

To potvr†uje da je promatrani niz Cauchyjev.

2.2.3

Red realnih brojeva

Red realnih brojeva predstavlja smisleno poop´cenje (konaµcnog) zbrajanja na ”zbrajanje” neizmjerno (ali prebrojivo) mnogo pribrojnika. Pritom se name´cu dva pitanja: Pod kojim ´ce uvjetima takav beskonaµcni ”zbroj” postojati kao (jedinstveni) realni broj (?); µcuvaju li se pritom dobra svojstva obiµcnoga (konaµcnoga) zbrajanja (?). De…nicija 2.2.8 Pod redom realnih brojeva (kra´ce: realnim redom) podrazumijevamo svaki ure†eni par ((an); (sk )) realnih nizova (an) i (sk ), pri

70

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

cemu je sk = a1 + ¢ ¢ ¢ + ak ´ µ

k P

n=1

an. Broj an nazivamo n-tim µ clanom, a

broj sk k-tim djelomiµ cnim zbrojem (ili k-tom parcijalnom sumom ) toga cemo ubudu´ ce zapisivati kao P reda. Jednostavnosti radi, red ((an); (sk )) ´ an ili, ponekad, kao a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an + ¢ ¢ ¢ (pri µcemu + nije uobiµcajeno zbrajanje u R nego samo sugestivna oznaka; v. Primjer 2.2.12(a)). P Primijetimo da je u redu an ´ ((an); (sk )) niz (sk) posve odre†en nizom (an ), jer je, za svaki k 2 N , jednoznaµcno odre†en zbroj a1 + ¢ ¢ ¢ + ak . Nadalje, o µcito je sk+1 = sk + ak+1.

P De…nicija 2.2.9 Re´ci ´cemo da red realnih brojeva an konvergira (ili da niz (an ) dopušta zbrajanje, odnosno, da je (an ) zbrojiv ili sumabilan), ako pripadni niz djelomiµ cnih zbrojeva (sk ) konvergira. P U tomu sluµ caju granicµnu vrijednost s ´ lim(sk ) nazivamo sumom reda an i pišemo 1 P P s= an. Ako red an ne konvergira, kaµ zemo da divergira. n=1

P Primjer 2.2.12 (a) Promatrajmo realni red an, an = 1 kad je n neparan i an = ¡1 kad je n paran, tj. an = (¡1)n¡1. Rabe´ci znak +, njegov formalni zapis izgleda ovako: 1 + (¡1) + 1 + (¡1) + ¢ ¢ ¢ + 1 + (¡1) + ¢ ¢ ¢ : Kad bi ovdje znak + bio zbrajanje u R , smjeli bismo po asocijativnosti najprije zbrojiti sve parove a2n¡1 + a2n = 0, pa bismo dobili nulred koji, oµcito, konvergira i suma bi mu bila 0. S druge strane, smjeli bismo najprije zbrojiti sve parove a2n + a2n+1 = 0 (”preµzivio” bi a1 = 1), pa bi red konvergirao i suma bi mu bila 1. Prema tomu, + ovdje ne oznacµuje zbrajanje. (b) Promatrajmo geometrijskiPniz (an ) = (aqn¡1) kad je a = 1P i q = 12 (v. Primjer 2.2.10(c)): Pripadni red an je tzv. geometrijski red aqn¡1 = P 1 k ¡1 1 cnih zbrojeva (sk ), sk = 1 +¢ ¢ ¢+ 2k¡1 = 22k¡1 :Budu´ci 2n¡1 s nizom djelomiµ 1 2k ¡1 1 da je lim(an ) = lim( 2n¡1 ) = 0, to je lim(sk ) = lim( 2k¡1 ) = lim(2 ¡ 2k¡1 )= P 1 1 lim(2)¡lim( 2k¡1 ) = 2¡0 = 2; pa geometrijski red 2n¡1 konvergira i suma 1 P 1 mu je s ´ cenito, za geometrijski 2n¡1 = 2. Nije teško pokazati da, op´ n=1 P n¡1 red aq vrijedi sljede´ce: 1 P n¡1 P a ; (1) aq konvergira µcim je jqj < 1 i suma mu je aqn¡1 = 1¡q n=1 P n¡1 (2) aq divergira µcim je jqj ¸ 1 (lim(sk ) = §1 (ovisno o predznaku konstante a 6= 0) kad je q ¸ 1, dok (sk ) nema graniµcne vrijednosti u R kad je q · ¡1). P P Promatrajmo sada realni red Pan i, za bilo koji p 2 N , red P ap+n (´ ap+1 +ap+2 ¢ ¢ ¢+ap+n +¢ ¢ ¢P ): Red ap+n nazivamo ostatkom reda an (nakon p-toga µclana). Ako an konvergira, tj. ako postoji lim(sk ) ´ s,

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

71

P onda oµcito konvergira, za svaki p 2 N , i red ap+n , i za pripadne sume lako dobivamo: 1 p 1 p 1 P P P P P s= an = an + an = an + ap+n : n=1

n=1

n=p+1 1 P

n=1

1 P

n=1

U tomu sluµcaju i broj Rp ´ ap+n = an nazivamo ostatkom (konn=1 n=p+1 P vergentnog) reda an (nakon p-toga cµlana). No, oµcito je da vrijedi i P obratno, ap+n konvergira, onda konvergira P tj. ako za neki p 2 N red P i red an. Slijedi zakljuµcak o konvergenciji reda an : 1 P lim(sk ) ´ s = an , (9niz (Rp) u R ) ^ lim(Rp ) = 0: n=1

Primijenimo li tu µcinjenicu na niz (an); dobivamo: lim(an ) = lim(sn ¡ sn¡1 ) = lim((s ¡ sn¡1 ) ¡ (s ¡ sn )) = lim(Rn¡1 ¡ Rn ) = lim(Rn¡1) ¡ lim(Rn ) = 0 ¡ 0 = 0. Time smo dokazali ovaj vaµzni teorem:

P Teorem 2.2.11 (Nuµzni uvjet za konvergiranje reda) Ako realni red an konvergira onda je lim(a ) = 0. Ili, ekvivalentno, ako je lim(a ) = 6 0 onda n n P red an divergira. P

1 : Iako n je nuµznomu uvjetu za njegovu konvergentnost udovoljeno, P tj. lim( n1 ) = 1 0 (v. Primjer 2.2.4(b)), pokazat ´cemo n divergira. P 1 da harmonijski red Pretpostavimo protivno, tj. da red ci da konvergira n konvergira. To znaµ pripadni niz parcijalnih suma (sk ), sk = 1 +¢ ¢ ¢ + k1 . Postoji, dakle, graniµcna vrijednost lim(sk ) ´ s 2 R . Po Korolaru 3.2.1 i svaki njegov podniz (skl ) konvergira prema istoj graniµcnoj vrijednosti s = lim(skl ). Promatrajmo podniz (skl ) odre†en strogo uzlaznom funkcijom l 7! kl = 2l , tj. podniz s2; s4; ¢ ¢ ¢ ; s2l ; ¢ ¢ ¢ i uoµcimo da je, za svaki l 2 N , s2l > 2l . Zaista (pojašnjenja radi uzmimo dostatno veliki l), s2l = 1 + 12 + ( 13 + 14 ) + ¢ ¢ ¢ + ( 2l¡11+1 + ¢ ¢ ¢ + 2l¡1 +(21l¡1 ¡1) + 21l ) > 1 + 12 + ( 14 + 14 ) + ¢ ¢ ¢ + ( 21l + ¢ ¢ ¢ + 21l ) = l¡1 1 + 12 + 24 + ¢ ¢ ¢ + 2 2l = 1 + l ¢ 12 > 2l Po pretpostavci, niz (s2l ) konvergira pa je ome†en odozgor, što onda povlaµci da je i niz ( 2l ) < (s2l ) ome†en odozgor. Time smo upali u protuslovlje jer je lim( 2l ) = +1 u R . Primjer 2.2.13 Promatrajmo tzv. harmonijski red

2.2.4

an, an =

Nekoliko kriterija za konvergentnost realnog reda P

Za red an u R kaµzemo da P je red P s pozitivnim µ clanovima kad god je svaki an ¸ 0, nP 2 N . Neka su an i bn dva reda s pozitivnim µclanovima. P Re´ci ´cemo da b n majorira (ili da je majoranta od) an ako postoji n 2 N takav da je a · b c im je n ¸ n . (Ekvivalentno je re´ci da tada µ 0 n n 0 P P an minorira (ili da je minoranta od) bn .)

72

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

P Teorem 2.2.12 an red s pozitivnim µclanoP (Poredbeni kriterij) Neka je vima. Ako a ima konvergentnu majorantu onda i on konvergira, a ako n P an ima divergentnu minorantu onda i on divergira. P P Dokaz. Neka konvergentni red bn majorira red an. Ne smanjuju´ci op´cenitost, smijemo pretpostaviti da je n0 = 1, tj. 0 · an · bn za svaki k P n 2 N . Uo µcimo da su nizovi djelomiµcnih zbrojeva (sk ), sk = an , i (t k), n=1

tk =

k P

n=1

bn , uzlazni i da je sk · t k za svaki k. Budu´ci da postoji lim(t k),

to jePniz (sk ) ome† en odozgor. Po Teoremu 2.2.6 postoji i lim(sk ), tj. i red an konvergira. Drugu tvrdnju se, pretpostavivši protivno, dokazuje sasvim sliµcno, što vodi u protuslovlje. Primjer 2.2.14 Promatrajmo redove s pozitivnim µclanovima P P 1 , i 1 an , an = (n+1) bn , b n = n(n+1) . 2

P 1 1 Primijetimo da je, za svaki n 2 N , an = (n+1) bn 2 < n(n+1) = bn , pa P P majorira an . Nadalje, red bn konvergira. Zaista, budu´ci da je bn = 1 1 ¡ 1 , n 2 N , njegovi djelomi cni zbrojevi tvore niz (t ), t = = µ k 1 n(n+1) n n+1 1 1 1 1 ¡ 2 , t2 = 1 ¡ 3 , ¢ ¢ ¢ , t k = 1 ¡ k+1 , k 2 N , koji konvergira prema lim(tk ) = 1 P P 1 1 1= n(n+1) . Po Teoremu 2.2.12 konvergira i red (n+1)2 . Osim toga, n=1 P 1 P 1 budu´ci da je cujumo da konvergira i (n+1)2 ostatak R1 reda n2 , zakljuµ P 1 red n2 . Sljede´ci teorem donosi malo poboljšanu formulaciju poredbenoga kriterija:

P P Teorem 2.2.13 Neka su an i bn redovi s pozitivnim cµlanovima i neka S an je b n > 0 µ cim je n ¸ n0 2 N . Ako postoji lim( bn ) ´ r 2 [0; ¢i f+1g;onda vrijedi: (i) r 2 h0; ¢iP) oba reda ili konvergiraju ili divergiraju; P (ii) r = 0 i aP bnP divergira; n divergira ) (iii) r = +1 i an konvergira ) bn konvergira. P 1 p . Usporedit ´cemo ga s Primjer 2.2.15 Istraµzimo konvergira li red n P1 harmonijskim redom koji divergira (v. Primjer 2.2.13). n P 1 Primijetimo da p divergira. Ili, je p1n ¸ n1 za svaki n 2 N , pa po Teoremu 2.2.12 i red n 1 P 1 1 p divergira. koriste´ci Teorem 2.2.13(ii), lim( pn1 ) = lim( pn ) = 0 pa n n

Navest ´cemo još tri kriterija (dovoljna uvjeta) za konvergiranje realnog reda s pozitivnim µclanovima:

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

73

P Teorem 2.2.14 Neka je an red s pozitivnim µ clanovima i neka je an > 0 cim je n ¸ n0 2 N . Tada vrijedi: µ (i) D’Alembertov kriterij µ ½ ¶ ½ P 1 divergira (ii) Cauchyjev kriterij½ µ ¶ ½ P p 1 divergira (iii) Raabeov kriterij µ ½ ¶ ½ P 1 konvergira Dokaz. Dokazat ´cemo samo tvrdnju o konvergenciji u (i). Pod danim pretpostavkama, postoje neki n1 ¸ n0 ¸ 2 i q 2 h0; 1i takvi da bude an+1 an · q µcim je n ¸ n1 . Primijetimo da je tada a a ¢¢¢an ¡1 an a a an an = ann1 ann1 +1 ¢ an = an1 ¢ na1n+1 ¢ ann 1+2 ¢ : : : ¢ an¡1 · an1 qn¡n1 : +1 ¢¢¢an ¡1 an +1 1

1

1

a

1

1 Stavivši a ´ qn1n¡1 dobivamo an · aqn¡1 , za svaki n ¸ n1 , pa je geometrijP n¡1 ski red aq P konvergentna majoranta promatranoga reda. Po Teoremu 2.2.12, red an konvergira.

Primjer 2.2.16 Promatrajmo red ³ ´ ¡ n+1 ¢ an+1 bivamo lim an = lim 3n =

P

n 3n¡1 .

Po D’Alembertovu kriteriju do-

< 1 pa red konvergira. (Sliµcno, po ³ np ´ p Cauchyjevu kriteriju dobivamo lim( n an ) = lim 1¡n1 = 13 < 1 (v. §3.2.7 1 3

3

n

Vjezµbe, zadatak 1.(e)), a po Raabeovu kriteriju dobivamo lim n((1¡ an+1 an )) = 2n¡1 lim( 3 ) = +1 > 1, pa slijedi isti zakljuµcak.) Raabeov kriterij pomogne ponekad ³ kad ´ D’Alembertov kriterij ne donese an+1 odluku, tj. u ponekom sluµcaju lim an = 1. P 1¢3¢5 1¢3¢5¢7 Primjer 2.2.17 Istraµziti konvergira li red an ´ 12 +1¢3 2¢4 + 2¢4¢6 + 2¢4¢6¢8 +¢ ¢ ¢ . Oznacµimo 1!! = 1 i 2!! = 2, te za svaki n 2 N , n ¸ 2, (2n ¡ 1)!! = 1 ¢ 3 ¢ : : : ¢ P P (2n¡1)!! (2n ¡1) i (2n)!! = 2 ¢ 4 ¢: : : ¢ (2n). Sada se an moµze zapisati kao (2n)!! . Primijetimo da je poµ D’Alembertovu kriteriju ¶ lim( an+1 an ) = lim

(2n+1)!! (2n+2)!! (2n¡1)!! (2n)!!

= lim( 2n+1 2n+2 ) = 1 - ne znamo odgovor.

Me†utim, po Raabeovu kriteriju je n lim n((1 ¡ an+1 an )) = lim( 2n+2 ) = pa promatrani red divergira.

1 2

< 1,

De…nicija 2.2.10 P Re´ci ´ cemo da realni red ako konvergira red janj.

P

an apsolutno konvergira

74

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Za redove s pozitivnim µclanovima je, o µcito, apsolutna konvergencija isto što i konvergencija. Apsolutna konvergencija jest nešto novo za redove s beskonaµcno mnogo negativnih µclanova. Teorem 2.2.15 Ako realni red gira.

P

an apsolutno konvergira onda i konver-

Dokaz. Neka je uk zbroj svih pozitivnih, a ¡vk zbroj svih negativnih cµlanova u k-tomu djelomiµcnom zbroju sk P = a1 + ¢ ¢ ¢ + ak. Tada za k-ti djelomiµcni zbroj tk = ja1j + ¢ ¢ ¢ + jak j reda janj vrijedi tk = uk + vk , dok je sk = uk ¡ vk . Nizovi (uk ), (vk ) i (tk ) su uzlazni i uk · tk , vk · tk , k 2 N . 1 P P Budu´ci da red an apsolutno konvergira, postoji lim(t k) ´ t = janj n=1

pa su nizovi (uk ) i (vk ) ome†eni. Po Teoremu 2.2.6, nizovi (uk ) i (vk ) konvergiraju. Neka je lim(uk ) = u, a lim(vk ) = v. Po Teoremu 2.2.8(i) slijedi da je lim(sk ) = lim(uk ¡ vk ) = u ¡ v. Prema tomu, i niz (sk ) konvergira, tj. P red an konvergira. Narednim primjerom (Primjer 2.2.18(b)) ´cemo pokazati da tvrdnja obratna Teoremu 2.2.15 ne vrijedi, tj. da ima konvergentnih redova koji ne konvergiraju apsolutno. Za takve se redove ponekad kaµze da konvergiraju uvjetno (ili relativno). Me†u redovima što imaju beskonaµcno mnogo negativnihP µclanova posebno je vaµzan tzv. alterniraju´ ci red. To je svaki realni red an s alterniraju´cim predznacima svojih µclanova, tj. ili su svi a2n¡1 ¸ 0 i svi a2n · 0 ili su svi a2n¡1 · 0 i svi a2n ¸ 0. Stoga se µcesto takav red formalno zapisuje kao P an ´ a1 ¡ a2 + a3 ¡ a4 + ¢ ¢ ¢ + (¡1)nan + ¢ ¢ ¢ ; pri µcemuPsu ili svi an > 0 ili svi an < 0, n 2 N . To onda vodi k uobiµcajenomu zapisu (¡1)n¡1an za alterniraju´ci reda . Konvergencija alterniraju´ceg reda se najµceš´ce ispituje tzv. Leibnizovim kriterijem: P Alterniraju´ci red (¡1)n¡1an konvergira cµim je udovoljeno ovim dvama uvjetima: (1) (9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) jan+1j · janj; (2) lim(an) = 0. Da bismo se u to uvjerili, dovoljno je potvrditi prvi sluµcaj, tj. a2n¡1 ¸ 0 i a2n · 0. Tada je, po (1), a2n¡1 + a2n ¸ 0, pa je 2k P s2k = an = s2k¡2 + a2k¡1 + a2k ¸ s2k¡2 ; k 2 N ; n=1

dakle, niz (s2k ) je uzlazan. Nadalje, s2k = s2k¡1 + a2k · s2k¡1 · s1 = a1; k 2 N ; što znaµci da je niz (s2k ) ome†en odozgor. Po Teoremu 2.2.6, niz (s2k ) konvergira, tj. postoji lim(s2k ) ´ s 2 R : Sliµcno se zakljuµcuje da je niz (s2k¡1 ) silazan i ome†en odozdol pa postoji lim(s2k¡1). Budu´ci da je lim(a2n) = lim(an) = 0, mora biti lim(s2k¡1) = lim(s2k ) = s, pa oba komplementarna

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

75

podniza od (sk ) konvergiraju prema istoj to µcki s. Po Korolaru 2.2.1 je i 1 P lim(sk ) = s = (¡1)n¡1an. ¥ n=1

P 1 1 Primjer 2.2.18 (a) (¡1)n¡1 2n¡1 = 1 ¡ 12 + 14 ¡ 18 + 16 ¡¢ ¢ ¢ je alterniraju´ci red kojiP (i) apsolutno konvergira (v. Primjer 2.2.12(b)). (b) (¡1)n¡1 n1 = 1 ¡ 12 + 13 ¡ 14 + 15 ¡¢ ¢ ¢ je tzv. alterniraju´ ci harmonijski red. Po Primjeru 2.2.13 on ne konvergira apsolutno. Me†utim, taj red konvergira jer ispunja oba uvjeta Leibnizova kriterija: jan+1j = an+1 = 1 1 1 n+1 < n = an = janj, za svaki n 2 N, i lim(an ) = lim( n ) = 0. 1 1 1 1 1 1 1 1 (c) Red 1 ¡ 2 ¡ 4 + 8 + 16 ¡ 32 ¡ 64 + 128 + 256 ¡ ¢ ¢ ¢ (nije alterniraju´ci red) kovergira apsolutno. (Pripadni red apsolutnih vrijednosti se podudara s odgovaraju´cim u (a).)

2.2.5

Funkcijski niz

Neka je X µ R , a R X skup svih funkcija iz X u R . Funkcijski niz de…niramo po De…niciji 2.2.1 kao niz u skupu R X . Dakle, funkcijski niz (fn) je funkcija f : N ! R X, pri µcemu je fn ´ f (n) : X ! R , tj. fn 2 R X, za svaki n2N. De…nicija 2.2.11 Re´ci ´cemo da funkcijski niz (fn ) u R X konvergira u toµ cki x0 2 X prema funkciji f0 2 R X , ako realni niz (fn (x0)) konvergira prema toµ cki f0 (x0) 2 R . Ako je A µ X i ako funkcijski niz (fn) konvergira u svakoj toµcki x 2 A prema prema funkciji f 0, onda kazµemo da funkcijski niz (fn ) konvergira po toµ ckama (ili konvergira obiµ cno) na skupu A prema funkciji f0. Ovo kra´ce zapisujemo kao lim(fn (x)) = f0 (x), x 2 A. Simboliµ cki se de…nicijski uvjet moµ ze zapisati ovako: (8x 2 A)(8² > 0)(9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) jfn (x) ¡ f0 (x)j < ²: Napokon, u sluµ caju A = X govorimo da funkcijski niz (fn) konvergira po toµ ckama (ili obiµ cno) prema funkciji f0. Primjer 2.2.19 (a) Promatrajmo funkcijski niz (fn ), fn : R ! R , fn(x) = nx nx x nx ci da je 1+nx+x 2 = 1 x2 ; to je lim( 1+nx+x 2 ) = x za svaki 1+n+x2 . Budu´ n +1+ n

x 2 R : Prema tomu, niz (f n) konvergira po toµckama prema identiteti f0 = 1R : R ! R . (b) Neka je (gn ) funkcijski niz; gn : R ! R , gn(x) = xn (v. crteµz dolje). Uoµcimo da je (v. 8 Primjer 2.2.10(c)) 0, jxj < 1 > > < 1, x=1 lim(xn) = : +1, x>1 > > : ne postoji, x · ¡1 Zato smijemo re´ci da, za bilo koji X µ RT, funkcijski niz (gn jX) konvergira po to µckama na (svakom) skupu A µ X h¡1; 1] prema svakoj funkciji g : X ! R za koju je

76

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST ½

0, x 2 A ^ jxj < 1 : 1, x 2 A ^ x = 1 U najpovoljnijem sluµcaju, dakle, na ovaj se primjer moµze gledati kao na funkcijski niz (gn jh¡1;1] ) u R h¡1;1] koji konvergira po to µckama prema funkciji g0 : h¡1; 1] ! R , g0 (x) = 0 za svaki x 6= 1 i g0 (1) = 1. Gg2 Y g(x) =

Gg1

Gg4 1

Gg0

O

1

X

G g3 Konvergencija po to µckama se pokazuje preslabom za neke potrebe (v. npr. Teorem 2.3.15). Jedno od pravih pojaµcanja se uvodi ovako: De…nicija 2.2.12 Re´ ci ´ cemo da funkcijski niz (f n) u R X konvergira jednoliko (ili uniformno) prema funkciji f0 , ako je udovoljava ovomu uvjetu: (8² > 0)(9n0 2 N )(8x 2 X)(8n 2 N ) n ¸ n0 ) jfn (x) ¡ f0 (x)j < ²: Re´ci ´cemo da (fn ) konvergira jednoliko na skupu A µ X prema f0, ako niz pripadnih suµ zenja (fn jA) konvergira jednoliko prema suµzenju f0jA. Primjer 2.2.20 Funkcijski niz (f n), fn : R ! R , fn(x) = sinnnx , konvergira jednoliko prema funkciji f0 : R ! R ; f0 = c 0 (tj. prema nulkonstanti; f0(x) = 0 za svaki x 2 R ). Zaista, kakav god ² > 0 odabrali, moµze se na´ci takav n0 2 N da bude j sinnnx j · 1n < ² za svaki x i svaki n ¸ n0. (Dovoljno je uzeti n0 = [ 1² ] + 1.) Teorem 2.2.16 Jednolika konvergencija funkcijskog niza povlaµ ci njegovu konvergenciju po toµ ckama, ali ne i obratno. Dokaz. Budu´ci da broj n0 u uvjetu jednolike konvergencije ovisi samo o broju " > 0; dok u uvjetu konvergencije po toµckama ovisi o " i o toµcki x; prva tvrdnja je o µcito istinita. Da, op´cenito, konvergencija po toµckama ne povlaµci jednoliku konvergenciju vidi se po Primjeru 2.2.19(b). Tamo smo pokazali da funkcijski niz (gn jh¡1;1] ); gn(x) = xn ; konvergira po tocµkama prema funkciji g0 : h¡1; 1] ! R , g0 (x) = 0 za svaki x 6= 1 i g0(1) = 1: Pokaµzimo sada da ta konvergencija nije jednolika, tj. da postoji " > 0 takav da se, koji god n0 2 N odabrali, uvjet jednolike konvergencije ne moµze 1 ispuniti! Uzmimo " = pa neka je n0 bilo koji prirodni broj. Uoµcimo da 2 tada postoje neki x 2 h¡1; 1i i n > n0 za koje je jgn (x) ¡ g0(x)j = jxn ¡ 0j = xn > 12 : Zaista, za svaki n 2 N i svaki x > 0 je xn = (1 + (x ¡ 1))n > 1 + n(x ¡ 1) (v. Zadatak 22 u §1.4.6), pa se za traµzeni x smije uzeti bilo koji element

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

77

£ ® 1 od 1 ¡ 2n ; 1 µcim je n > n0. To pokazuje da se ne moµze udovoljiti uvjetu jednolike konvergencije.

2.2.6

Funkcijski red

Funkcijski red se de…nira sliµcno brojevnom redu (v. De…niciju 2.2.8). De…nicija 2.2.13 Pod redom realnih funkcija (kra´ ce: funkcijskim redom ) na X µ R podrazumijevamo svaki ure†eni par ((fn); (sk )) funkcijskih nizova (fn ) i (sk ) u R X pri µ cemu je k P sk = f1 + ¢ ¢ ¢ + fn ´ f n: n=1 P Uobiµ cajilo se funkcijski red ((fn); (sk )) kra´ ce zapisivati kao fn ili, ponekad, kao f1 + ¢ ¢ ¢ + fn + ¢ ¢ ¢ (+ ovdje nije funkcijsko zbrajanje nego samo sugestivna oznaka; usp. Primjer 2.2.12(a)). Funkciju fn nazivamo n-tim clanom, a funkciju sk k-tim djelomiµ µ P cnim zbrojem (ili k-tom parcijalnom sumom) funkcijskoga reda fn . P De…nicija 2.2.14 Re´ci ´cemo da funkcijski red fn u R X konvergira u P toµ cki x0 2 X prema funkciji s : X ! R , ako red realnih brojeva fn(x0 ) P konvergira prema broju s(x0 ). Ako je A µ X i funkcijski red Pfn konvergira u svakoj toµ cki x 2 A prema funkciji s, onda kaµzemo da red f n konvergira po toµ ckama (ili obiµ cno) na skupu A prema funkciji s i pišemo 1 P P sjA = fn jA. Posebice, ako je A = X , govorimo da red f n konvergira n=1

1 P po toµ ckama (ili obiµ cno) prema funkciji s i pišemo s = fn. Napokon, n=1 P re´ci ´ cemo daP funkcijski red fn apsolutno konvergira (na skupu A µ X), ako red jfn j konvergira po toµ ckama (na skupu A). (Svakom S funkcijom f : X ! R je posve odre†ena funkcija jf j : X ! R + f0g ½ R , jf j(x) = jf (x)j.)

P Primijetimo da, po De…nicijama 2.2.13, 2.2.9 i 2.2.11, funkcijski red fn u R X konvergira u toµcki x0 2 X (konvergira po to µckama na skupu A µ X) prema funkciji s 2 R X, ako i samo ako pripadni funkcijski niz djelomiµcnih zbrojeva (sk ) konvergira u to cµki x0 (konvergira po to cµkama na skupu A) prema funkciji s. P Konvergentnost, odnosno, divergentnost funkcijskog reda fn ( u nekoj toµcki x 2 X ili na nekom podskupu A µ X) istraµzujemo na naµcin sliµcan onomu za brojevne redove. Pritom najµceš´ce rabimo P poznate kriterije za redove s pozitivnim cµlanovima primijenjuju´ci ih na jfn(x)j. To onda znacµi da, P zapravo, ispitujemo konvergentnost (divergentnost) P funkcijskoga reda jfn j, tj. apsolutnu konvergentnost polaznoga reda fn.

78

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

P Primjer 2.2.21 Promatrajmo funkcijski red fn , fn : R nf1g ! R , f1 (x) = n 1 x = : Cauchyjev kriterij, primjerice, daje 1¡x ; fn+1(x) (1¡x)n+1 r ¯ ¯ ¯ ¯ p ¯ xn¡1 ¯ ¯ x ¯ lim( n jfn(x)j) = lim( n ¯ (1¡x) ci konvergentnost u n ¯) = ¯ 1¡x ¯ ; što povlaµ x j < 1. Odatle slijedi da promatrani svakoj toµcki x 2 R nf1g za koju je j 1¡x - ® funkcijski red konvergira (apsolutno) na skupu A = ¢; 12 . Posebice treba P ispitati ponašanje reda fn ”na rubu” od A, tj. u toµcki x = 12 . Pripadni P 1 brojevni red jest fn( 2 ), tj. 2 + 2 + ¢ ¢ ¢ + 2 + ¢ ¢ ¢ , koji oµcito divergira.

Kako za funkcijske nizove, tako je i za funkcijske redove od posebne vaµznosti jednolika konvergencija. P De…nicija 2.2.15 Re´ ci ´cemo da funkcijski red fn u R X jednoliko (ili uniformno) konvergira prema funkciji s : X ! R , ako pripadni funkcijski niz djelomiµ cnih P zbrojeva (sk ) jednoliko konvergira prema funkciji s. Ako je A µ X i red fnP jA jednoliko konvergira prema suµ zenju sjA, onda kaµ zemo da funkcijski red fn jednoliko (ili uniformno) konvergira na skupu A prema funkciji s. Operativni zapis jednolike konvergencije funkcijskog reda izgleda ovako: k P (8² > 0)(9k0 2 N )(8x 2 X)(8k 2 N ) k ¸ k0 ) j fn(x) ¡ s(x)j < ²: n=1

Kako za funkcijske nizove (v. Teorem 2.2.16) tako i za funkcijske redove, jednolika konvergencija povlaµci konvergenciju po toµckama, ali ne i obratno. Sljede´ci teorem donosi jedan od najpraktiµcnijih dostatnih uvjeta za jednoliku konvergenciju. P Teorem 2.2.17 (Weierstrassov kriterij) Ako funkcijski red fn u R X ima P na skupu A µ X konvergentnu majorantu an u R (tj. (9n0 2 N )(8x 2 A) P jfn (x)j · an µ cim je n ¸ n0), onda red f n apsolutno i jednoliko konvergira na A. P Dokaz. Jasno je da obstojnost takve konvergentne majorante an u R povlaµci apsolutnu, dakle i po to c kama, konvergenciju na skupu A funkciµ P jskoga reda f n u R X . Pokaµzimo još da je ta konvergencija jednolika! Odaberimo bilo koji ² > 0. Uvedimo uobiµcajene oznake: k 1 k 1 P P P P sk = fn jA; s = fn jA; ¾k = an ; ¾ ´ an : n=1

n=1

n=1

n=k+1

n=k+1

n=1

Tada je, za svaki x 2 A, 1 1 1 P P P js(x) ¡ sk(x)j = j fn(x)j · jfn (x)j · an = ¾ ¡ ¾k ¸ 0: n=k+1

Budu´ci da je lim(¾k ) = ¾, to postoji k0 2 N (ovisan, dakle, samo o ² a ne i o toµcki x) takav da je j¾ ¡ ¾k j = ¾ ¡ ¾k < ² µcim je k ¸ k0. Me†u funkcijskim redovima u R R posebno je vaµzan tzv. potencijski red

2.2. KONVERGENCIJA NIZOVA I REDOVA

79

P

fn; fn : R ! R ; f n(x) = anxn; S an realna konstanta (za svaki n). Ponekad se ovdje dopušta i n 2 N f0g pod uvjetom da P f0 bude konstantna funkcija c a0 . Uobicµajeni zapis potencijskog reda jest an xn. Istraµzuju´ci (ne)konvergentnost potencijskog reda, lako se dolazi do zakljuµcka da ona ovisi o brojevnomu nizu (an ); to µcnije, o njegovu najve´cem (v. pododjeljak 3.2.2). Stoga se svakom Pgomilištu n potencijskom redu a x pridijeljuje njegov konvergencijski polumjer n S ½ 2 R + f+1g kako slijedi: 8 p 1 , lim sup( n janj) 2 R + n f0g > n < lim sup( p janj) p n ½= : +1, lim sup( janj) = 0 > p : n 0, P lim sup( janj) = +1 Pokazuje se da potencijski red anxn konvergira u svakoj toµcki x 2 h¡½; ½i i divergira u svakoj toµcki x 2 R n[¡½; ½] µcim je ½ > 0. U toµcki x 2 f¡½; ½g mogu´ce je, ovisno o konkretnom redu, konvergiranje ili divergiranje (v. Primjer 2.2.22). Ako je ½ = +1, potencijski red konvergira u svakoj toµcki x 2 R , dok u sluµcaju ½ = 0, potencijski red divergira za svaki x 6= 0. Štoviše, vrijedi ovaj teorem (ne ´cemo ga dokazati): P Teorem 2.2.18 Potencijski red anxn konvergira apsolutno i jednoliko na svakom segmentu [¡r; r] µ cim je r < ½, a divergira na R n[¡½; ½]. P1 n Primjer 2.2.22 Promatrajmo potencijski red nx . q Uoµcimo da je lim sup( n 1n ) = 1 (v. §3.2.7 Vjeµzbe, Zadatak 1.(e)) pa je i P1 n pripadni konvergencijski polumjer ½ = 11 = 1. Stoga potencijski red nx konvergira po toµckama na intervalu h¡1; 1i, apsolutno i jednoliko konvergira S 1 1 na svakom segmentu [¡1 + m ;1 ¡ m ], m 2 N , a divergira na h¢; ¡1i h1; ¢i. Napokon, za x = ¡1 ovaj red postaje alterniraju´cim harmonijskim redom P 1 n (¡1) n koji konvergira (usp. Primjer 2.2.18(b)), a za x = 1 dobivamo P1 P1 n harmonijski red koji divergira (v. Primjer 2.2.13). Prema tomu, n nx konvergira po to cµkama na [¡1; 1i, a divergira na R n [¡1; 1i.

2.2.7

Vjeµ zbe

1. Odrediti graniµcne vrijednost sljede´cih (konvergentnih) realnih nizova (an): p b (a) an = cnn , c > 1; (b)pan = n c, c > 0; (c) an = ncn , b > 0, c > 1; n 1 (d) an = cn! ; (e) an = n n; (f) an = p . n n! Rješenje. (a) Budu´ci da je c > 1, to je c = 1 + h za neki h > 0. Za n ¸ 2 2 dobivamo cn = (1 + h)n = 1 + nh + (n2 )h2 ¢ ¢ ¢ + hn ¸ h2 n(n ¡ 1). Sada je 1 0 · lim( cnn ) · lim( h2 n ) = lim( h22 ) lim( n¡1 ) = h22 ¢ 0 = 0, pa je traµzena 2

n(n¡1)

graniµcna vrijednost 0. b (c) Primijetimo da je ncn = (

n )b , 1 (c b )n

b

pa je, po (a) i Teoremu 2.2.9, lim( ncn ) =

0b = 0. (Preostalo: (b) 1; (d) 0; (e) 1; (f) 0.)

80

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

2. Neka je (an ) realni niz i an 6= 0 za svaki n 2 N . Dokazati sljede´ce implikacije: (a) lim(an ) = +1 ) lim(1 + a1n )an = e; (b) lim(an ) = ¡1 ) lim(1 +

1 an an )

(c) lim(an ) = 0 ) lim((1 + an )

1 an

= e;

) = e;

ln(1+a ) lim( an n )an

(d) lim(an ) = 0 ) = 1. 3. Neka je A µ R i neka je a0 = inf A ili a0 = sup A. Tada postoji niz (an ) u A takav da je lim(an) = a0. (Naputak: Ako je a0 = inf A onda (8² > 0)(9a 2 A) a < a0 + ², pa se moµze uporabiti niz (²n ), ²n = 1n .) P 4. Pokazati da realni red an, an = ln(1+ n1 ), divergira iako je lim(an ) = 0. 5. (a) Neka je (an ) bilo koji niz decimalnih znamenaka (tj. an 2 P an f0; 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; 9g). Dokazati da realni red bn, b n = 10 n , konvergira. Dokaz. Budu´ci da je 0 · an · 9 za svaki n 2 N , to je (v. Primjer 9 P an P 9 P 9 1 n¡1 3.2.12(b)) 0 · = 1¡101 = 1, pa po Teo10n · 10n = 10 ( 10 ) 10 1 P an P an remu 2.2.12 red konvergira i to prema nekom x ´ n 10 10n 2 [0; 1]. n=1

Primijetimo da je niz (an) tada, zapravo, (beskonaµcni) decimalni zapis broja x = 0; a1a2a3 ¢ ¢ ¢ anan+1 ¢ ¢ ¢ . (Zato se kaµze i da je (an) niz decimalnih znamenaka broja x. Obratno, moµze se pokazati da za svaki x 2 [0; 1] postoji neki niz decimalnih znamenaka (an ) s mogu´com nejedinstvenoš´cu kako slijedi: Ako je 0; a1a2a3 ¢ ¢ ¢ an an+1 ¢ ¢ ¢ = x = 0; b1b2 b3 ¢ ¢ ¢ bn bn+1 ¢ ¢ ¢ onda postoji n0 2 N takav da je an = bn za n · n0, an0+1 = bn0+1 ¡ 1 te an = 9 i bn = 0 za n ¸ n0 + 2.) P n n (b) Konvergira li red an, a2n¡1 = ( 2n¡1 )2n¡1 i a2n = ( 2n+1 )2n+1? (Naputak: Primijeniti Cauchyjev kriterij.) Osim toga, pokazati da je lim( a2n+1 cinjenicu. a2n ) > 3 i raspraviti tu µ p 6. Dokazati da funkcijski niz (fn ), fn : [0; ¢i ! R , fn (x) = n 1 + xn, konvergira po toµckama prema funkciji f0 : [0; ¢i ! R , f0(x) = 1 za x · 1 i f0(x) = x za x > 1. 7. Dokazati da funkcijski niz (f n) u R R , fn(x) = (1 + nx )n, konvergira po toµckama prema funkciji f0 = expe 2 R R . Je li ta konvergencija jednolika? P x2 8. Dokazati da funkcijski red f n u R R , fn (x) = ln(1+ nln(1+n) ), jednoliko konvergira na svakom segmentu [¡c; c] µ R , ali ne i na cijelom R . P 9. Odrediti konvergencijski polumjer potencijskoga reda an xn : n (a) an = 1 za svaki n; (b) an = n12 ; (c) an = nn! . P n S 10. Pokazati da potencijski red x , n 2 N f0g (usp. zadatak 9.(a)) jednoliko konvergira na svakom segmentu [¡r; r] za r 2 h0; 1i, ali ne i na k P k+1 1 j = jxj intervalu h¡1; 1i. (Naputak: j xn ¡ 1¡x ¸ 2k+11j1¡xj ¸ 1 µcim je j1¡xj x dovoljno blizu 1.)

n=0

2.3. NEPREKIDNE FUNKCIJE

2.3

81

NEPREKIDNE FUNKCIJE

U ovomu odjeljku se bavimo funkcijama iz X u R , X µ R , koji su neprekidne (neprekinute, kontinuirane). Govore´ci intuitivno i opisno, radi se o funkcijama kojima se vrijednost f (x0), u svakoj toµcki x0 2 X, po volji malo razlikuje od vrijednosti f (x) µcim je toµcka x dovoljno blizu x0. Prije nego prije†emo na glavnu temu, poop´cit ´cemo pojam graniµcne vrijednosti s nizova na sve promatrane realne funkcije, a potom de…nirati i pojam graniµcne vrijednosti (limesa) u toµcki x0:

2.3.1

Graniµ cna vrijednost u beskonaµ cnosti

De…nicija 2.3.1 Neka je f : X ! R funkcija, pri µ cemu je X µ R neome†en odozdol (odozgor); tj, X sijeµ ce svaki interval h¢; bi (ha; ¢i). Re´ci ´ cemo da je toµ cka y0 2 R graniµ cna vrijednost (ili limes) funkcije f kad x teµ zi prema ¡1 (+1); ako je ispunjen ovaj uvjet: (8² > 0)(9x0 2 X)(8x 2 X ) x · x0 (x ¸ x0) ) jf (x) ¡ y 0j < ²: Ovo ´ cemo kra´ce zapisivati kao lim f = y 0 (lim f = y0 ) ili, ponekad, kao ¡1

lim f (x) = y0 ( lim f(x) = y0 ).

x!¡1

+1

x!+1

Po de…niciji, dakle, lim f = y0 (lim f = y0) znaµci da se sve vrijednosti f (x), ¡1T +1 T x 2 X h¢; x0] (x 2 X [x0; ¢i), nalaze u intervalu hy0 ¡ ²; y0 + ²i (v. crtezµ). Y Gf y0+ε y0 y0 ε

-

O

x0

X

x Primjer 2.3.1 Promatrajmo funkciju f : R nf0g ! R , f (x) = x+sin x . Budu´ci da je sin ome†ena funkcije (j sin xj · 1 za svaki x 2 R ; v. §3.1.3(v))), x to je broj x+sin blizu 1 kad je jxj dostatno velik. Razumno je, stoga, x o µcekivati da bi obje graniµcne vrijednosti od f u beskonaµcnosti (x ! ¡1 i x ! +1) mogle postojati i biti jednake broju y 0 = 1. Zaista, odabravši bilo koji ² > 0, dovoljno je uzeti neki x0 < ¡¯ 1² (x¯ 0 >¯ 1² ) pa ´ce, za svaki ¯ x+sin 1 < ²: Prema x · x0 (x ¸ x0) biti jf (x) ¡ 1j = ¯ x x ¡ 1 ¯ = ¯ sinx x ¯ · jxj tomu, lim f = lim f = 1. ¡1

+1

Napomena 2.3.1 Primijetimo da se u sluµcaju X = N pojam graniµcne vrijednosti funkcije f ´ a : N ! R kad x ´ n ! +1 podudara s pojmom graniµcne vrijednosti realnoga niza (an ) (usp. De…niciju 2.2.3). Prema tomu, lim(an) je tek posebani sluµcaj od lim f. Kako i za nizove (v. Teorem 2.2.2), +1

tako se i u op´cem sluµcaju moµze lako dokazati jedinstvenost graniµcnih vrijednosti lim f i lim f µcim postoje. ¡1

+1

82

2.3.2

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Graniµ cna vrijednost u toµ cki

De…nicija 2.3.2 Neka je f : X ! R , X µ R , funkcija, a x0 2 R toµ cka sa 1 sijece skup X n fx g, tj. za svaki ± > 0 svojstvom da svaka njena okolina µ 0 T neka je (X n rfx0 g) hx0 ¡ ±; x0 + ±i 6= ;. Re´ ci ´ cemo da je toµ cka y0 2 R graniµ cna vrijednost (ili limes) funkcije f u toµ cki x0 ako je ispunjen ovaj uvjet: T (8² > 0)(9± > 0)(8x 2 (X n fx0g) hx0 ¡ ±; x0 + ±i) jf(x) ¡ y 0j < ²: Ovo ´ cemo kra´ ce zapisivati kao limf = y0 ili, ponekad, kao lim f(x) = y 0. x0

x!x0

Primjer 2.3.2 Pokaµzimo da funkcija f : R ! R , 8 x + 1, x 2 h¢; 1i < f(x) = 1, x = 1 ; : ¡x2 + 3x, x 2 h1; ¢i ima graniµcnu vrijednost u toµcki x0 = 1 (v. crteµz). Uoµcimo da su vrijednosti f (x) blizu 2 µcim je x blizu 1, pa bi mogla postojati traµzena graniµcna vrijednost (y0) i biti y 0 = 2. Primijetimo da je, za svaki x 6= 1, jf (x) ¡ 2j = ½ jx ¡ 1j, x 0 pa uzmimo neki 2 j ¡ x + 3x ¡ 2j, x > 1p ± > 0 za koji vrijedi ± · 4²+1¡1 () T ± < ²). Sada se lako provjeri da 2 je jf(x) ¡ 2j < ² za svaki x 2 (R n f1g) h1 ¡ ±; 1 + ±i. Dakle, uistinu je lim f = 2: 1

2+ε

Y

2 2−ε

Gf

1

1−δ

1+δ

1

O

X

Napomena 2.3.2 Lako se vidi da je limf jedinstven µcim postoji. Nadalje, x0

primijetimo da toµcka x0, u kojoj se promatra graniµcna vrijednost realne funkcije f , ne mora pripadati njezinu de…nicijskom podruµcju X. Ako je x0 2 X i postoji limf = y 0, mogu´ce je, naravno, f (x0) 6= y 0 (v. prethodni Primjer 2.3.2).

x0

Sljede´ci crteµzi opisuju nekoliko zanimljivih sluµcajeva: 1 Pod okolinom toµcke x u R smatramo svaki nadskup svakog intervala što sadrzµi tu toµcku. Više o tomu i srodnim pojmovima u 5.1.2.

2.3. NEPREKIDNE FUNKCIJE Y

(a)

y0

X

Y

(b)

Y Gf

y0

Gf Gf

x0 X ∃ limf=y 0

O

x0

x0

0 ∃ limf=y x

x0 X

Y

0) x0 X, ∃ limf=f(x x

Y

f(x0 )

X

(f)

∃limf x 0

Gf

(e)

x0

f(x0)

Gf

x0 X ∃ limf x

x 0 X,

X

∃limf=y0

x0 X

0

Gf

xo

O

X

0

(d)

f(x0 )

O

(c)

x0

O

Y

83

X

x0 O Teoremi što slijede poop´cuju Teoreme 2.2.7, 2.2.8 i 2.2.9, a i dokazuju se na sliµcan naµcin.

x0

O

0

X

Teorem 2.3.1 Neka su f; g; h : X ! R , X µ R , funkcije s ovim svojstvima: (1) lim f = y 0 = lim g; x0 x0 T (2) (9± > 0)(8x 2 (X n fx0g) hx0 ¡ ±; x0 + ±i) f (x) · h(x) · g(x). Tada i funkcija h ima limes u toµ cki x0 i h = lim y0. x0

Teorem 2.3.2 Neka funkcije f; g : X ! R , X µ R , imaju graniµ cne vrijednosti u toµ cki x0 (kad x ! ¡1, x ! +1). Tada je (i) lim(f § g) = lim f § lim g (lim(f § g) = lim f § lim g); (ii)

(iii) (iv)

x0

x0

x0

§1

§1

§1

lim(f ¢ g) = limf ¢ limg (lim(f ¢ g) = lim f ¢ lim g); x0 x0 x0 §1 §1 §1 lim f lim f f f x §1 lim( ) = 0 ; lim g 6= 0 (lim( ) = ; lim g 6= 0); x0 g §1 g limg x0 lim g §1 x0 lim g g lim(f ) = (limf ) x0 ; f > c0 x0 x0 lim g g (lim(f ) = (lim f )§1 ; lim f §1 §1 §1

§1

ilimf > 0 x0

> 0):

Primjer 2.3.3 Promatrajmo funkcije f; g : R nf0g ! R , f (x) = sinx x , g(x) = sinx2x : Kad se varijabla x pribliµzuje x0 = 0 obje funkcijske vrijednosti teµze k formalnom izrazu ” 00 ”. Stoga ima smisla istraµziti moµzebitnu obstojnost pripadnih graniµcnih vrijednosti. Budu´ci da je f i g parne funkcije, dostatno je promatrati x > 0 blizu 0: Za takve x je, po de…niciji trigonometrijskih funkcija (v. §3.1.3(v)), 0 < sin x < x < tan x, odnosno, 1 < sinx x < 1 sin x ci da je lim cos = 1 (= cos 0), to po Teoremu cos x , tj. cos x < x < 1. Budu´ 0

3.3.1 dobivamo lim f ´ lim

= 1. Da bismo istraµzili isto za g, sjetimo se 0 da je sin 2x = 2 sin x cos x pa primijenimo dobiveno i Teorem 2.3.2. Dakle, lim g ´ lim sinx2x = lim 2 sin xx cos x = lim 2 ¢ lim sinxx ¢ lim cos x = 2 ¢ 1 ¢ 1 = 1. sin x x!0 x

0

x!0

x!0

x!0

x!0

x!0

84

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Neka je f : X ! R , X µ R , funkcija i neka je x0 2 R toµcka sa svojstvom iz De…nicije 2.3.2. Ako vrijedi T (8y > 0)(9± > 0) f[(X n fx0g) Thx0 ¡ ±; x0 + ±i] µ hy; ¢i ((8y < 0)(9± > 0) f [(X n fx0 g) hx0 ¡ ±; x0 + ±i] µ h¢; yi), onda kaµzemo da funkcija f divergira u toµ cki x0 prema +1 (¡1) i pišemo lim f = +1 (lim f = ¡1). (Ovi ”limesi” ne postoje u R !) Crteµz x0

x0

dolje prikazuje tipiµcni primjer. Y

Gf

x0

O

X

Primjer 2.3.4 Promatrajmo logaritamsku funkciju log a : R + ! R (v. §3.1.3(iv)) i toµcku x0 = 0. Funkcija log a je inverzna funkcija eksponencijalne funkcijje expa : R ! R + ½ R (v. §3.1.3(iii)). Obje su strogo silazne kad je (0 1. Zato je log a x > y , x < ay; a < 1 (loga x < y , x < ay; a > 1): Prema tomu, koliko god velik bio jyj, moµze se na´ci ± > 0, npr. ± = ay , takav da bude f [h0; ±i] µ hy; ¢i, a < 1 (f[h0; ±i] µ h¢; yi, a > 1): Dakle, lim loga = +1 µcim je a < 1 i lim loga = ¡1 0 0 cµim je a > 1. Za danu funkciju f : X ! R , X µ R , mogu se pored limf promatrati x0

i tzv. limesi slijeva i zdesna u to µcki x0 . Toµcna de…nicija jest kako slijedi: Re´ci ´cemo da je y 0 2 R graniµ cna vrijednost slijeva (zdesna) funkcije f u toµ cki x0 2 R , ako T (8² > 0)(9± > 0)(8x T 2 X hx0 ¡ ±; x0i) ((8x 2 X hx0 ; x0 + ±i)) jf (x) ¡ y 0j < ². To kra´ce zapisujemo kao lim f = y0 ( lim f = y0 ). Za ilustraciju je dobro x0 ¡0

x0 +0

pogledati sluµcaj na crteµzu (f), gdje je lim f = f (x0) dok limes zdesna u x0 x0 ¡0

ne postoji ((b), gdje je limes slijeva u x0 ne postoji (u R ) dok je lim f = y0). x 0+0

Po sliµcnosti s prije de…niranim ”divergiranjem”, mogu se sada formalno de…nirati i (u R nepostoje´ci) ”limesi” lim f = ¡1 i lim f = +1 ( lim f = ¡1 i lim f = +1). x0 ¡0

x0¡0

x0 +0

x0 +0

x Primjer 2.3.5 Promatrajmo funkciju f : R nf0g ! R , f (x) = jxj . Odredit ´cemo joj graniµcne vrijednosti slijeva i zdesna u toµcki x0 = 0. lim f = x x!0 ¡x

lim

= ¡1;

x x!0 x

lim f = lim 0+0

0¡0

= 1: (Primijetimo da je, zapravo, f (x) = ¡1

za x < 0, a f (x) = 1 za x > 0, tj. f je tzv. funkcija signum (predznak), f ´ sgn; v. graf na crteµzu.)

2.3. NEPREKIDNE FUNKCIJE Y

85

Gsgn

+1

X

O -1

Vezu izme†u graniµcne vrijednosti i onih slijeva i zdesna donosi ovaj teorem: Teorem 2.3.3 Neka funkcija f : X ! R , X µ R , ima graniµ cne vrijednosti slijeva i zdesna u toµ cki x0. Ako su one jednake onda postoji i graniµ cna vrijednost od f u x0 i vrijedi lim f = lim f = lim f: x 0¡0

x 0+0

x0

Dokaz. Tvrdnja je izravna posljedica odgovaraju´cih de…nicija. Primijetimo da moµze postojati lim f i kad lim f ili lim f ne postoje, tj. x0

x0 ¡0

x0 +0

nemaju smisla (ovisno o de…nicijskomu podrucµju X). Da se graniµcna vrijednost realne funkcije moµze svesti na graniµcnu vrijednost realnog niza, te time znatno olakšati njezino odre†ivanje, potvr†uje ovaj teorem: Teorem 2.3.4 Za funkciju f : X ! R , X µ R , vrijedi lim f = y0(§1) (svaka od 32 = 9 varijacija je apriori mogu´ca) x0 (x!§1)

onda i samo onda ako, za svaki niz (xn ) u X n fx0g (u X ), lim(xn) = x0(§1) ) lim(f (xn )) = y0(§1) (3 ¢ 3 = 9 mogu´cnosti): Dokaz. Dokazt ´cemo tvrdnju u sluµcaju x0 i y0. Preostale se dokazuju analogno. Neka je, dakle, limf = y0 pa promatrajmo bilo koji niz (xn ) x0

u X n fx0g što konvergira prema x0. (Primijetimo da, po De…niciji 2.3.2, takav niz postoji!) Trebamo dokazati da niz (f (xn)) konvergira prema y0, tj. da (8² > 0)(9n0 2 N )(8n 2 N ) n ¸ n0 ) jf(xn ) ¡ y0j < ²: Budu´ci da je limf = y0, to za svaki ² > 0 postoji neki ± > 0 takav da je jf (x)¡y0 j < ² µcim x0

je jx¡x0 j < ±, x 2 X nfx0g. Zbog lim(xn ) = x0 postoji neki n0 2 N takav da je jxn ¡ x0j < ± µcim je n ¸ n0. To zajedno povlaµci da je jf (xn )¡ y0j < ² µcim je n ¸ n0, tj. lim(f (xn)) = y0 . Obratno, neka za svaki niz (xn) u X n fx0g koji konvergira prema x0, odgovaraju´ci niz (f (xn)) konvergira prema y0. Trebamo dokazati da je tada y0 graniµcT na vrijednost od f u toµcki x0, tj. da (8² > 0)(9± > 0)(8x 2 (X n fx0 g) hx0 ¡ ±; x0 + ±i) jf (x) ¡ y0j < ²: Pretpostavimo protivno, tj. da (9² > 0)(8± > 0)(9x 2 X n fx0g) jx¡x0j < ± ^ jf (x) ¡y0j ¸ ²: Uzimaju´ci, za svaki n 2 N , broj ±n = n1 > 0, dobivamo niz (xn ) u X n fx0 g za koji vrijedi jxn ¡ x0j < n1 i jf (xn) ¡ y0j ¸ ². To znaµci da (xn ) konvergira prema x0 i da (f(xn )) ne konvergira prema y0 - protuslovlje.

86

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Primjer 2.3.6 Sluµze´ci se Teoremom 2.3.4 odredimo sljede´ce graniµcne vrijednosti: p p 2+4 1 x 2 2 (a) lim ¡x x+2 ; (b) lim( x + 1 ¡ x + 4x); (c) lim (1 + x ) . ¡2

§1

+1

(a) Odaberimo bilo koji niz (xn ) u R nf¡2g koji konvergira prema ¡2. Tada 2 +4 (2¡xn )(2+x n ) n je lim( ¡x ) = lim(2 ¡ xn ) = lim(2) ¡ lim(xn) = xn +2 ) = lim( xn +2 2 +4 ¡x 2 ¡ (¡2) = 4: Dakle, lim x+2 = 4. ¡2

(b) Odaberimo bilo koji niz (xn ) u R n h¡4; 0i koji divergira prema ¡1 (+1): Tada postoji neki np cim je n ¸ n0. 0 2 N takav da je x n < 0 (xnp> 0) µ p p 2 2 Sjetimo se da je a = ¡ at µcim je t < 0 (t a = at µcim je t > 0). Prema tomu, u sluµcp aju lim(xn) = ¡1 je p pn2 lim( x2n + 1 ¡ x2n + 4xn ) = lim( p 2 1¡4x )= xn +1+

lim(

1 xn ¡4 q q ¡ 1+ 12 ¡ 1+ x4n xn

)=

¡4 ¡1¡1

= 2;

dok za lim(x p n) = +1 p dobivamo 2 lim( xn + 1 ¡ x2n + 4xn ) = lim( p 1 x n ¡4 q q 1+ 12 + 1+ x4n xn

xn +4xn

1¡4x pn ) x2n +1+ x2n +4xn

=

¡4 ) = 1+1 = ¡2: p p p p Dakle, lim( x2 + 1 ¡ x2 + 4x) = 2, a lim( x2 + 1 ¡ x2 + 4x) = ¡2.

lim(

¡1

+1

(c) Ovdje ´cemo upotrijebiti sljede´cu µcinjenicu (neka ju µcitatelj sam dokaµze!): Ako u Teoremu 2.3.4 za funkciju f postoji broj a takav da je suµzenje f jX\h¢;a] (f jX\[a;¢i ) monotona funkcija, onda se uvjet ”ako za svaki niz (xn) u X, (xn) ! ¡1 ((xn ) ! +1)” smije oslabiti do ”ako za niz T T T T (¡n) u (¡N ) (X h¢; a]) ((n) u N (X [a; ¢i))”: Budu´ci da je funkcija x 7! (x+ x1 )x, x > 0, uzlazna i budu´ci da traµzimo njezin limes kad x ! +1, dostatno je uporabiti niz (n), n 2 N . Dakle, lim (1 + 1x )x = lim(1 + n1 )n = e (v. Primjer 2.2.7):

2.3.3

+1

Neprekidnost

De…nicija 2.3.3 Re´ci ´ cemo da je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna u toµ cki x0 2 X, ako za svaki interval Iy što sadrµzi toµ cku f (x0) postoji T interval Ix što sadrµzi toµ cku x0 tako da bude f[X Ix] µ Iy. Re´ci ´cemo da je funkcija f neprekidna na skupu A µ X µ cim je neprekidna u svakoj toµcki x 2 A. U sluµ caju A = X kaµ zemo da je f neprekidna funkcija ili da je preslikavanje. Ako funkcija f nije neprekidna (u toµ cki x0), kaµ zemo da je prekidna (u toµ cki x0). p S Primjer 2.3.7 Pokaµzimo da je op´ca potencija ¢ : R + f0g ! R ; x 7! p 1 x ´ x 2 (drugi korijen, v. §3.1.3(ii)), neprekidna funkcija. Promatrajmo bilo koju toµcku x ¸ 0. Neka je Iy ´ ha; bi bilo koji p interval što sadrµzi to µcku p x (v. graf na crteµzu dolje). Budu´ci da je ¢ strogo uzlazna funkcija,

2.3. NEPREKIDNE FUNKCIJE

87

- 2 2® to za traµzeni interval I , što sadr z i to c ku x, smijemo uzeti a ;S b µcim µ µ x - 2 2® + f0g ´ je a ¸ 0, odnosno, ¡a ; b c im je a < 0. Zaista, tada je (R µ T T p p - 2 2® p [0; ¢i) ¢[[0; ¢i I ] = ¢[ a ; b ] µ ha; bi = I , a ¸ 0; ¢[[0; ¢i Ix] = x y p £ 2® ¢[ 0; b ] µ [0; bi µ ha; bi = Iy, a < 0; Y

G

b

x0

a

O

a2

b2

x0

X

Ocµito je da se De…nicija 3.3.3 u metricµkim terminima moµze iskazati ovako: Teorem 2.3.5 Funkcija f : X ! R , X µ R , je neprekidna u toµ cki x0 2 X onda i samo onda, ako vrijedi: (8² > 0)(9± > 0)(8x 2 X) jx ¡ x0j < ± ) jf (x) ¡ f (x0)j < ²: Sada po Teoremu 2.3.5 i De…niciji 3.3.3 dobivamo izravnu vezu izme†u neprekidnosti i graniµcne vrijednosti u toµcki: Teorem 2.3.6 Neka je f : X ! R , X µ R , funkcija, a x0 2 X neka je toµ cka kojoj svaka okolina sijeµ ce X n fx0 g. Tada je f neprekidna u x0 ako i samo ako postoji lim f i lim f = f (x0). x0

x0

Korolar 2.3.1 Funkcija f : X ! R , X µ R , je neprekidna u tocµki x0 2 X onda i samo onda, ako za svaki niz (xn) u X koji konvergira prema x0, odgovaraju´ci niz (f (xn )) konvergira prema f (x0). Dokaz. Ako svaka okolina od x0 sijeµce skup X n fx0g, tvrdnja slijedi izravno iz Teorema 2.3.6 i Teorema 2.3.4. Ako pak nije takav sluµcaj, onda svaki niz (xn), koji konvergira prema x0, mora biti stacionaran s µclanovima xn = x0 za n ¸ n0 , pa je tvrdnja o µcigledno istinita. Korolar 2.3.2 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , strogo monotono preslikavanje. Tada je i njezina ”inverzna” funkcija f ¡1 : f[X ] ! R strogo monotono preslikavanje. Dokaz. Ovaj korolar slijedi iz Korolara 2.3.1 i Teorema 2.2.6. Pokaµzimo to poblizµe! Najprije, lako se vidi da stroga monotonost povlaµci injektivnost, pa postoji ”inverzna” funkcija f ¡1 : f [X] ! R koja je, tako†er, strogo monotona. Dokaµzimo da je funkcija f ¡1 neprekidna! Neka T je y 2 f [X] bilo koja toµcka. Ako postoji interval hc; di takav da je f[X ] hc; di = fyg, onda je oµcito da je f ¡1 neprekidna u to µcki y. Ako nije takav sluµcaj, tj. ako svaka okolina od y sijeµce skup f [X] n fyg, onda mogu nastupiti sljede´ca tri sluµcaja:

88

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

®T ¤T (1) (9± > 0)(8±0 ,0 < ±0 · ±) y ¡ ±0 ; y + ± 0 f [X] = y ¡ ±0; y f [X] % fyg; ®T £ ®T (2) (9± > 0)(8±0 ,0 < ±0 · ±) y ¡ ±0 ; y + ± 0 f [X] = y; y + ±0 f [X] % fyg; T T (3) (8± > 0) hy ¡ ±; yi f [X] 6= ; 6= hy; y + ±i f [X]. Ad (1). Neka je (yn) bilo koji niz u f [X] koji konvergira prema y, lim(yn) = y. Ne smanjuju´ci op´cenitost, smijemo pretpostaviti da je niz (yn ) uzlazan. Primijetimo da je y = f (x) i yn = f(xn ) za neke x; xn 2 X , n 2 N . Budu´ci da je f injekcija, to je x = f ¡1 (y) i xn = f ¡1(yn ), n 2 N . Tada je (xn ) monotoni niz u X , koji je k tomu i ome†en (npr. s x1 i x). Po Teoremu 2.2.6, niz (xn) konvergira. Jasno je da u ovomu sluµcaju mora biti lim(xn ) · x µcim je niz (xn) uzlazan, odnosno, lim(xn ) ¸ x µcim je niz (xn ) silazan. Budu´ci da je funkcija f neprekidna, po Korolaru 2.3.1 slijedi: f(lim(xn )) = lim(f (xn)) = lim(yn ) = y = f(x). Sada, po injektivnosti, mora biti lim(xn) = x. Napokon, f ¡1(lim(yn )) = f ¡1(y) = x = lim(xn ) = lim(f ¡1(yn )), pa po Korolaru 2.3.1 zakljuµcujemo da je funkcija f ¡1 neprekidna u toµcki y. Ad (2). Dokazuje se posve sliµcno prethodnomu sluµcaju (1). Ad (3). U ovomu sluµcaju treba promatrani niz (yn) u f[X] koji konvergira prema y, lim(yn) = y, rašµclaniti (kad god je to mogu´ce) na dva komplementarna podniza: (ynk ) ! y, y nk < y, i (ymk ) ! y, ymk > y (barem jedan od njih postoji). Dalje se postupa kao sluµcaju (1), odnosno, (2). Neprekidnost realnih funkcija što ih ovdje prouµcavamo moµze se opisati i pomo´cu tzv. prirasta. Štoviše, pripadna raµcunska tehnika je vrlo pogodna za suptilniju analizu u tzv. in…nitezimalnom raµcunu što predstoji. Neka su dane funkcija f : X ! R , X µ R , i toµcka x0 2 X . Za svaku toµcku x 2 X , razliku x ¡ x0 = ¢x0 x ´ ¢x nazivamo varijablinim prirastom u toµ cki x0, a razliku f (x)¡f (x0 ) = f (x0 +¢x)¡f(x0) = (¢x0 f )(x) ´ ¢f (x0)(x) - funkcijskim prirastom u toc µki x0. (U drugomu se, zapravo, radi o funkcijinu prirastu u toµ cki x = x0 + ¢x s obzirom na toµ cku x0 , pa se navedeni naziv ne smije shvatiti doslovno!) Primijetimo da se, za µcvrsti x0 , ¢f (x0) moµze smatrati kako funkcijom varijable x, tako i funkcijom varijable ¢x (imaju´ci na umu µcinjenicu da se pritom radi o dvjema razliµcitim domenama). Pritom ´cemo, kad god ne bude moglo do´ci do zabune, tj. kad god bude jasno o kojoj se toµcki x0 radi, skra´civati zapis ¢f(x0 )(x) u ¢f (x) ili u ¢f (¢x) ve´c prema tomu kako nam bude korisnije gledati na funkciju ¢f (x0). Teorem 2.3.7 Neka je f : X ! R funkcija, a x0 2 X µ R toµ cka kojoj svaka okolina sijeµ ce skup X n fx0g. Tada je f neprekidna u toµ cki x0 , ako i samo ako je lim ¢f = 0. (Ovdje, dakako, lim ¢f oznaµ cuje lim ¢f (¢x) = 0

lim ¢f (x)!).

x!x0

0

¢x!0

2.3. NEPREKIDNE FUNKCIJE

89

Dokaz. Neprekidnost od f u toµcki x0 je, po Teoremu 2.3.6, ekvivalentna jednakosti lim f = f (x0). Ova je, po prethodnomu razmatranju, tj.

x0

lim f (x) = lim f(x0 + ¢x), ekvivalentna jednakosti lim f (x0 +

x!x0

¢x!0

¢x!0

¢x) = f (x0 ). Budu´ci da je f(x0 ) konstanta, to se smije zapisati i kao lim (f(x0 + ¢x) ¡ f (x0)) = 0, tj. lim ¢f (x) ´ lim ¢f = 0. ¢x!0

¢x!0

0

Napomena 2.3.3 Napomena 2.3.4 Pomo´cu Korolara 2.3.1 i 2.3.2 i Teorema 2.3.7 lako se dokaµze da su sve osnovne elementarne funkcije neprekidne, tj. da su preslikavanja. Teorem 2.3.8 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna u toµ cki x0, a funkcija g : Y ! R , f[X ] µ Y µ R , neprekidna u toµ cki y0 = f(x0 ). Tada je u toµ cki x0 neprekidna i kompozicija gf : X ! R . Dokaz. Neka je dan bilo koji ² > 0. Budu´ci da je g neprekidna u y0, to postoji neki ± > 0 takav da je jg(y) ¡ g(y0 )j < ² µcim je jy ¡ y0j < ±. Po neprekidnosti od f u x0 postoji neki ±0 > 0 za koji je jf(x) ¡ f (x0)j = jy ¡ y0 j < ± µcim je jx ¡ x0j < ±0 . Prema tomu, jgf (x) ¡ gf (x0)j = jg(y) ¡ g(y0 )j < ² µcim je jx ¡x0j < ±0 . (Napomenimo da, strogo govore´ci, pod ovdje navedenim pretpostavkama kompozicija gf ”ne” postoji. Ovdje se, zapravo, radi o kompoziciji X ! f [X] ,! Y ! R , pri µcemu je f[X ] ,! Y inkluzija f (x) 7! i(f (x)) = f (x). Dakle, funkciju f smo interpretirali kao funkciju if : X ! Y .) Pored upravo dokazanoga, vrlo je vaµzan i sljede´ci teorem (kojega ´cemo u potpunosti dokazati tek u Matematiµckoj analizi, II): Teorem 2.3.9 Neka su f; g : X ! R , X µ R , neprekidne u toµ cki x0 (na skupu A µ X). Tada su u toµcki x0 (na skupu A) neprekidne i funkcije f + g, f f ¡ g, f ¢ g i, kad je g(x0 ) 6= 0 (g(x) 6= 0 za svaki x 2 A), . g Za odre†ivanje graniµcne vrijednosti kompozicijske funkcije µcesto rabimo ovaj teorem: Teorem 2.3.10 Neka su funkcije f : X ! R , X µ R , i g : Y ! R , Y µ R , takve da je f [X] µ Y . Ako je lim f = y0 2 Y i g neprekidna u y0, onda je x0

lim gf = g(lim f ) = g(y0). x0

x0

Dokaz. De…nirajmo funkciju f~ : X ! R pravilom ½ f (x), x 6= x0 f~(x) = : y0, x = x0 Po Teoremu 2.3.6 je funkcija f~ neprekidna u toµcki x0, a po Teoremu 2.3.9 je i kompozicija gf~ neprekidna u x0 . Po de…niciji je (gf~)j(Xnfx0g) = (gf)j(X nfx0 g) ~ 0 ) = g(y0). Sada tvrdnja vrijedi po Teoremu 2.3.6. i g f(x

90

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Primjer 2.3.8 Odredimo graniµcnu vrijednost realne funkcije x 7! ln(1 + 1 x) x u tocµki x0 = 0. Primijenit ´cemo Teorem 3.3.10 i µcinjenicu da se x ( 1x ) kad x ! 0 ponaša isto kao 1x (x) kad x ! §1. Budu´ci da je lim(1 + x1 )x = lim(1 + +1

1 x x)

¡1

= e (v. Primjer 2.2.6(c) i §3.2.7, Zadatak 2.(a) i (b)); to je

1 x

1

lim ln(1 + x) = ln((lim 1 + x) x ) = ln((lim 1 + x1 )x) = ln e = 1: 0

0

0

Praktiµcnih potreba radi, korisno je razvrstati raznovrsne ”prekide u toµcki” realnih funkcija sluµze´ci se graniµcnim vrijednostima. Po Teoremima 2.3.6 i 2.3.3 smijemo re´ci da je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna u toµcki x0, u kojoj limesi slijeva i zdesna imaju smisla, toµcno onda kad je udovoljeno ovim uvjetima: (i) 9 lim f ^ 9 lim f ; (ii)

(iii)

x 0¡0

x0 +0

lim f = lim f

x0 ¡0

x0 +0

(= lim f ; v. Teorem 2.3.3); x0

lim f = f(x0 ). x0

Prema tomu, ako u promatranom sluµcaju nije udovoljeno barem jednom od uvjeta (i), (ii) ili (iii), funkcija f je prekidna u toµcki x0. Ako f udovoljava uvjetima (i) i (ii), ali ne uvjetu (iii), kaµzemo da funkcija f ima u toµcki x0 uklonjiv prekid. Ako vrijedi samo uvjet (i), govorimo o prekidu prve vrste, a ako ne vrijedi uvjet (i) - o prekidu druge vrste u to µcki x0 . Primjer 2.3.9 (a) Promatrajmo funkciju f : R ! R , ( ¯ ¯ ¯x¯ ¯ jxj ¯ ; x 6= 0 f(x) = : 0, x = 0 Funkcija f ima u toµcki x0 = 0 uklonjiv prekid, jer je lim f = 1 = lim f = 0¡0

0+0

lim f 6= f(0) = 0: Primijetimo da je f (x) = 1 za svaki x 6= 0 i f(0) = 0. Mo´ci 0 ”ukloniti prekid” funkciji f u ( toµcki x0 = 0 znaµci mo´ci de…nirati neprekidnu f (x), x 6= 0 funkciju f~ : R ! R , f~(x) = lim f = 1; x = 0 : 0

(b) Neka je funkcija f : R ! R zadana pravilom Y ½ x 1 jxj ; x 6= 0 : f (x) = 0, x = 0 O

X

-1

Funkcija f ima u to µcki x0 = 0 prekid prve vrste (v. crtkani ”dodatak” grafu na crteµzu gore), jer je lim f = ¡1 6= 1 = lim f . 0¡0

0+0

(c) Neka je funkcija f : R ! R zadana pravilom

2.3. NEPREKIDNE FUNKCIJE

91 Y

f(x) =

½

x; 1 x¡1 ;

x ·1 : x >1

Gf 1

1

X

Funkcija f ima u toµcki x0 = 1 prekid druge vrste (v. graf), jer je lim f = 1, 1¡0

dok je lim f = +1 (ne postoji). 1+0

(d) Promatrajmo funkciju 8 <

y1; f : R ! R , f(x) = y2; : sin x1 ;

Y

x 0

y1

Gf

O

X

y2

Funkcija f ima u toµcki x0 = 0 prekid druge vrste, jer je lim f = y1, dok 0¡0

lim f ne postoji. (Ništa bitno se ne mijenja ni kad je lim f = y1 = y 2 = 0+0

0¡0

f (0) 2 [¡1; 1]!) Napomena 2.3.5 Primijetimo da µcim funkcijama iz Primjera 3.3.9 iz de…nicijskih podruµcja izbacimo ”loše” toµcke x0 , dobivamo suµzenja koja su neprekidne funkcije. To je posljedica µcinjenice da su ti primjeri konstruirani pomo´cu elementarnih funkcija, koje su sve neprekidne (v. Napomenu 3.3.3 i Teoreme T.3.3.8 i 3.3.9).

2.3.4

Svojstva neprekidne funkcije na segmentu

U ovomu pododjeljku ´cemo iskazati i dokazati najvaµznija svojstva realnih preslikavanja. Posebno vazµni rezultati se dobivaju suµzenjem realnog preslikavanja na domenu koja je segment. Teorem 2.3.11 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X. Tada je njezino suµ zenje f j[a;b] ome†ena funkcija, tj. postoje neki c; d 2 R takvi da je f[[a; b]] µ [c; d]. Dokaz. Dokaµzimo da je funkcija f j[a;b] : [a; b] ! R ome† ena odozgor! Pretpostavimo protivno, tj. f j[a;b] nije ome†ena odozgor. Tada za svaki n 2 N postoji neki xn 2 [a; b] takav da je f (xn) > n. Po Korolaru 2.2.2, dobiveni niz (xn ) ima konvergentni podniz (xnk ). Neka je lim(xnk ) = x0 2 [a; b] (v. Teorem 2.2.6 i Tvrdnju 1.2.2). Po Korolaru 2.3.1 mora biti lim(f (xnk )) = f (x0) pa je niz (f (xnk )) ome†en (v. Teorem 2.2.3), a to protuslovi pretpostavci f (xnk ) > nk . Dakle, suµzenje f j[a;b] jest odozgor ome†ena funkcija. Na posve sliµcan naµcin se dokaµze da je fj[a;b] i odozdol ome†ena funkcija.

92

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

Teorem 2.3.12 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X. Tada njezino suµzenje f j[a;b] poprima svoju svoju najmanju vrijednost (minimum) i svoju najve´cu vrijednost (maksimum), tj. (9x1 ; x2 2 [a; b])(8x 2 [a; b]) f (x1) · f (x) · f (x2): Dokaz. Po Teoremu 2.3.11 je skup A ´ f [[a; b]] = ff (x) j x 2 [a; b]g µ R ome†en. Po Teoremu 1.4.7, postoje m ´ inf A; M ´ sup A 2 R : (v. crteµz) Y

Gf [a,b]

M A=f[[a,b]] m

X x1

a

O

x2

b

Tvrdimo da je M = max A 2 A (m = min A 2 A) pa ´ce to biti i traµzena najve´ca (najmanja) vrijednost od f na [a; b]! U tu svrhu, odaberimo bilo koji niz (yn ) u A što konvergira prema sup A = M. (Lako se vidi takav niz postoji!) Neka je (xn ) bilo koji pripadni niz u [a; b] u smislu f(xn ) = yn, n 2 N . Po Korolaru 2.2.2, Teoremu 2.2.6 i Tvrdnji 1.2.2, postoji konvergentni podniz (xnk ) od (xn) s limesom lim(xnk ) ´ x0 2 [a; b]. Po Korolaru 3.3.1 mora biti lim(f (xnk )) = f(x0 ), a po Korolaru 2.2.1, lim(yn ) = lim(ynk ) = lim(f (ynk )). Slijedi da je M = f(x0 ) 2 A, što smo i tvrdili. Posve sliµcno se dokazuje da je m = min A 2 A. Sada za m; M 2 A postoje neki x1; x2 2 [a; b] za koje je f(x1 ) = m i f (x2) = M. Budu´ci da je, za svaki x 2 [a; b], m = f (x1) · f (x) · f (x2) = M, to je m minimum, postignut u tocµki x1, a M maksimum, postignut u to µcki x2 , funkcije f na [a; b]. Napomena 2.3.6 Pretpostavku o preslikavanju na segmentu u Teoremima 2.3.11. i 2.3.12 nije mogu´ce zamijeniti preslikavanjem na intervalu ha; bi, (ni na ha; b] ili [a; bi), kako pokazuje primjer na crteµzu. Y

Gf

O

a

X b

Teorem 2.3.13 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna i uzlazna, a A µ X neprazan i odozdol (odozgor) ome†en podskup sa svojstvom inf A 2 X (sup A 2 X ): Tada je i f [A] µ R neprazan i odozdol (odozgor) ome†en skup i pritom vrijedi f (inf A) = inf f [A] (f (sup A) = sup f [A]). Za silazno preslikavanje f vrijedi dualna tvrdnja: f (inf A) = sup f [A] (f (sup A) = inf f [A]). Dokaz. Dovoljno je dokazati jednu (bilo koju) od µcetiri mogu´cnosti. Pa, neka je f uzlazno prelikavanje i neka je ; 6= A µ X ome†en odozdol i

2.3. NEPREKIDNE FUNKCIJE

93

inf A ´ x0 2 X . Tada je, za svaki a 2 A, x0 · a. Budu´ci da je funkcija f uzlazna, to je f (x0) · f (a) za svaki a 2 A pa je f(x0 ) donja me†a skupa skupa f [A] µ R . Prema tomu, skup f [A] je neprazan i ome†en odozdol pa ima in…mum inf f [A] ´ y0 2 R (v. Teorem 1.4.7) i pritom je f (x0) · y0. Preostaje dokazati f (x0) = y 0. Kad tako ne bi bilo, bilo bi f(x0 ) < y0. Uzmimo tada ² = y 0 ¡ f(x0 ) > 0 i primijetimo da y0 2 = hf (x0) ¡ ²; f(x0 ) + ²i. Po neprekidnosti od f uTx0 , postoji neki ± > 0 za koji je f (x) 2 hf (x0) ¡ ²; f (x0) + ²i µcimTje x 2 X hx0 ¡ ±; x0 + ±i. Budu´ci da je x0 = inf A, to postoji neki a 2 A [x0 ; x0 + ±i. Slijedi f(a) < f (x0 )+² = y0 pa y0 ne moµze biti in…mum od f[A] - protuslovlje. Napomena 2.3.7 (a) Teorem 2.3.13 smo, zapravo, ve´c koristili u Primjeru 2.3.7 (b). (b) Da je pretpostavka inf A 2 X (sup A 2 X) nuµzna za ome†enost funkcijske slike f[A] pokazuje primjer na crteµzu. Y Gf

A

O

x1

x2

X

A X= x2=supAeX

Teorem 2.3.14 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X. Tada je slika f [[a; b]] µ R segment (koji u sluµ caju konstantnog suzµenja f j[a;b] degenerira u tocµku). Dokaz. Po Teoremu 2.3.12 postoje x0; x00 2 [a; b], x0 · x00 , takvi da je, za svaki x 2 [a; b], f (x0 ) · f (x) · f(x00 ) ili f (x0 ) ¸ f (x) ¸ f (x00). Zanemaruju´ci trivijalni sluµcaj konstantnog suµzenja, mora biti x0 < x00 i f (x0) 6= f (x00 ). Oznaµcimo y 0 = minff (x0 ); f(x00 )g i y00 = maxff(x0 ); f (x00 )g. Treba dokazati f [[a; b]] = [y0 ; y 00 ]. Budu´ci da je f[[a; b]] µ [y 0 ; y 00] i y 0; y 00 2 f [[a; b]] o µcito ispunjeno, preostaje dokazati f [[a; b]] ¶ hy 0 ; y 00i. Neka je y0 2 hy 0 ; y 00 i bilo koja toµcka. Treba dokazati da postoji tocµka x0 2 [a; b] za koju je f (x0) = y0. 0 00 Uzmimo x1 = x +x 2 . Ako je f(x1 ) = y0 onda smo gotovi, a ako nije tako onda je ili f (x1) < y0 ili f (x1) > y0 . Tada promatrajmo onaj ”polusegment” 00 0 0 00 [x01; x001] segmenta [x0; x00 ] (tj. x001 ¡x01 = x ¡x 2 ) za koji je f (x1) < y 0 < f (x1 ). 0 00 Nastavljaju´ci induktivnim postupkom, dobivamo silazni niz ([xn; xn]) podsegmenata od [x0 ; x00] µ [a; b]. Po aksiomu (Teorem 1.4.7), priT Cantorovu 0 00 padni presjek je neprazan, tj. n2N [x n; xn ] 6= ;. Štoviše, po konstrukciji (u (n + 1)-vom koraku uzimamo polusegment iz n-tog koraka) taj presjek jest jedna jedina to µcka x0 2 [x0 ; x00] (inaµce bi bio neki segment - što proturjeµci konstrukciji). Tvrdimo da je f (x0) = y0. Naime, kad tako ne bi bilo, bilo bi ili f (x0) < y0 ili f (x0) > y0: U sluµcaju f (x0) < y0 postojao

94

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

bi, po neprekidnosti od f u x0, neki ± > 0 takav da je i f(x) < y0 µcim je x 2 hx0 ¡ ±; x0 + ±i. To bi dalje povlaµcilo obstojnost nekog n 2 N sa svojstvom f (x00n) < y 0 - protuslovlje. Na isti nacµin se pobija pretpostavka f (x0) > y0. Ovime je teorem dokazan. Neposredne posljedice prethodnoga teorema jesu ova dva vaµzna korolara: Korolar 2.3.3 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X. Tada fj[a;b] poprima sve vrijednosti izme†u svoga minimuma i svoga maksimuma. Nadalje, ako je f (x0) < c (f (x0) > c), c 2 R , u toµcki x0 2 [a; b], onda postoji podsegment [x1 ; x2] µ [a; b] što sadrµ zi toµ cku x0 takav da je f(x0 ) < c (f(x0 ) > c) za svaki x0 2 [x1; x2]. Korolar 2.3.4 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X i neka je sgn f (a) 6= sgn f (b). Tada postoji barem jedna toµcka x0 2 [a; b] za koju je f (x0) = 0. Y

Gf a

X O

x0

b

Prisjetimo se konvergencije (po toµckama) funkcijskog niza i Primjera 2.2.19(b), koji je je pokazao da limes takvoga niza moµze biti prekidna funkcija iako su mu svi µclanovi neprekidne funkcije. Prema tomu, konvergencija po toµckama, op´cenito, ne µcuva neprekidnost. Sljede´ci teorem ´ce pokazati da, naprotiv, jednolika konvergencija µcuva neprekidnost. Teorem 2.3.15 Neka funkcijski niz (fn ), fn : X ! R , X µ R , jednoliko konvergira prema funkciji f0 : X ! R . Ako je svaka funkcija fn, n 2 N , neprekidna u toµ cki x0, onda je i funkcija f0 neprekidna u toµ cki x0 . Nadalje, ako je svaka funkcija fn neprekidna na skupu A µ X , onda je i funkcija f0 neprekidna na skupu A. Dokaz. Po de…niciji jednolike konvergencije (fn ) ! f0 , za svaki ² > 0 postoji neki n0 2 N takav da je jfn (x) ¡ f0(x)j < ²3 za svaki n ¸ n0 i svaki x 2 X. Posebice, za n = n0 je jfn0 (x) ¡ f 0(x)j < ²3 za svaki x 2 X, a još za x = x0 je jf n0 (x0) ¡ f0 (x0)j < ²3 . Funkcija fn0 je neprekidna u ² toµcki xT cim je 0 pa postoji neki ± > 0 takav da je jfn0 (x) ¡ f n0 (x 0)j < 3 µ x 2 X hx0 ¡ ±; x0 + ±i. Sve zajedno, dobili smo da za svaki ² > 0 postoji neki ± > 0 takav da je jf0(x) ¡ f0(x0 )j = jf0(x) ¡ fn0 (x) + fn0 (x) ¡ fn0 (x0) + fn0 (x0) ¡ f 0(x0)j · jf0(x) ¡ fn0 (x)j + jfn0 (x) ¡ fn0 (x0 )j + jfn0 (x0 ) ¡ f0(x0 )j < 3² + ²3 + ²3 = ² µcim je x 2 X i jx ¡ x0j < ±, a to upravo znaµci da je f 0 neprekidna u x0.

2.3. NEPREKIDNE FUNKCIJE P

95

fn funkcijski red, fn : X ! R , X µ R , koji 1 P jednoliko konvergira prema funkciji s ´ fn : X ! R . Ako je svaka Korolar 2.3.5 Neka je

n=1

funkcija fn , n 2 N , neprekidna u toµ cki x0 (na skupu A µ X), onda je i funkcija s neprekidna u toµ cki x0 (na skupu A). P Dokaz. Budu´ci da funkcijski red fn jednoliko konvergira prema funkciji s, to znacµi da pripadni funkcijski niz djelomicµnih zbrojeva (sk ) jednoliko konvergira prema funkciji s. Svaka funkcija fn , n 2 N , je neprekidna u toµcki x0 (na skupu A) pa je i svaka funkcija sk = f1 + ¢ ¢ ¢ + fk , k 2 N , neprekidna u x0 (na A) (v. Teorem 2.3.9). Sada zakljucµak slijedi po Teoremu 2.3.15. P Korolar 2.3.6 Neka je an xn, n 2 N [ f0g, potencijski red s konvergen1 P cijskim polumjerom ½ > 0. Tada je njegova suma x 7! an xn neprekidna funkcija na intervalu h¡½; ½i.

n=0

Dokaz. Neka je x0 2 h¡½; ½i bilo koja toµcka. Tada je jx0j < ½ pa postoji neki r 2 hjx0j; ½i. Slijedi da je x0 2 h¡r; ri ½ h¡½; ½i. Po Teoremu P 2.2.18, potencijski red an xn jednoliko konvergira na segmentu [¡r; r], pa 1 P onda i na intervalu h¡r; ri, prema funkciji s : h¡½; ½i ! R , s(x) = an xn. n=0

Budu´ci da je svaka funkcija x 7! an xn, n ¸ 0 (a0x0 = a0), neprekidna, po Korolaru 2.3.5 slijedi da je i suµzenje sj[¡r;r] neprekidna funkcija. Posebice je funkcija s neprekidna u toµcki x0. P U razmatranju o konvergentnosti potencijskog reda an xn (v. § 3.2.6) primijetili smo da na rubu f¡½; ½g njegova konvergencijskog intervala h¡½; ½i treba moµzebitnu konvergentnost (divergentnost) posebno istraµziti. S tim u svezi navodimo (bez dokaza) ovaj teorem: P Teorem 2.3.16 Ako potencijski red an xn konvergira i u rubnoj toµ cki x = ¡½ (x = ½), onda on jednolikoP konvergira na svakom segmentu [¡½; r] ([¡r; ½]), 0 < r < ½. Konvergira li anxn u objema rubnim toµ ckama ¡½ i ½, onda on i jednoliko konvergira na segmentu [¡½; ½]. Izravno iz toga teorema i Korolara 2.3.5 slijedi ovaj ”Abelov teorem o graniµcnoj vrijednosti”:

Korolar 2.3.7 Neka je ½ > 0 konvergencijski polumjer i s : h¡½; ½i ! R , 1 P P s(x) = an xn , suma potencijskoga reda an xn : Ako taj red konvern=0

gira i u rubnoj toµcki x = ¡½ (x = ½), onda je lims = (lims = ½

1 P

n=0

¡½

1 P

(¡1)nan½n

n=0

an½n); tj. preslikavanje s dopušta neprekidno proširenje na

[¡½; ½i (h¡½; ½]):

96

POGLAVLJE 2. KONVERGENCIJA I NEPREKIDNOST

2.3.5

Vjeµ zbe

1. Odrediti sljede´ce graniµcne vrijednosti: 2 r (a) lim xe x , r > 0; (b) lim (lnxx) ; (c) lim(1 + 1x)x; (d) lim +1

(e)

3 lim( 1¡x 3 1

+1

¡

1 1¡x );

2. Funkciji x 7! f(x) =

+1

(f) lim 0

1

1¡cos x x2 ;

e x +a2 +a 1 e x +2

(g) lim arcsin(x+2) x2 +2x ; ¡2

p 1+x¡1 p ; 3 1+x¡1 0 x¡1 (h) lim lnx¡e . e

odrediti limese slijeva i zdesna u to µcki

x = 0. Moµze li se odabrati neki a 2 R za koji bi postojao lim f ? 0

3. Istraµziti ponašanje funkcije x 7! f (x) = arctan(1+ 1x ) pri rubnim toµckama njezina de…nicijskog podruµcja X µ R . 4. Dokazati da je funkcija f : R + ! R , f (x) = xx, neprekidna. 5. Dokazati da je tzv. ½ Dirichletova funkcija 0, x 2 Q f : R ! R , f (x) = , prekidna u svakoj toµcki x 2 R . 1; x 2 R n Q 6. Postoji li i (ako postoji) 8 koja2 je to konstanta a 2 R s kojom funkcija < 1 ¡ x , x 2 h¢; 0i f : R ! R , f (x) = a; x = 0 , postaje preslikavanjem? : 1 + x, x 2 h0; ¢i 7. Dopušta li funkcija f : R nf0g ! R , f(x) = x2 sin x1 , neprekidno proširenje na cijeli R ? 1 8. Dopušta li funkcija f : R nf1g ! R , f (x) = arctan x¡1 , neprekidno proširenje na cijeli R ? 9. Pokazati da funkcijski niz (fn), fn : R ! R ,½fn (x) = e¡nx, konvergira po 0; x 6= 0 toµckama prema funkciji f0 : R ! R , f0 (x) = , te obrazloµziti 1, x = 0 zašto f0 ima prekid u to µcki x = 0. P 10. Zakljuµciti da potencijski red an xn , an = lnnn , konvergira prema 1 P ln n xn. neprekidnoj funkciji s : [¡1; 1i ! R , s(x) = n n=1

Poglavlje 3

INFINITEZIMALNI µ RACUN 3.1

DERIVACIJA

Do deriviranja kao nove matematiµcke tehnike (”omjeri neizmjerno malih promjenjivih veliµcina”) prvi je, koliko se zna, došao I. Newton (prije godine 1669.) rješavaju´ci problem odre†ivanja trenutne brzine neke toµcke, što se nejednoliko giba po pravcu. Do istoga je otkri´ca nešto poslije došao i G.W. Leibniz rješavaju´ci problem odre†ivanja tangente u bilo kojoj toµcki neke krivulje. Pokazalo se da deriviranje ima široku i nezaobilaznu primjenu u svim prirodnim i tehniµckim znanostima i, dakako, u tehniµckoj i tehnološkoj praksi. Ovdje ´cemo iskazati toµcnu de…niciju i pokazati primjenu na istrazµivanje vaµznih svojstava realnih funkcija jedne realne varijable.

3.1.1

Derivabilnost i njezino znaµ cenje

De…nicija 3.1.1 Re´ ci ´ cemo da je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna u toµ cki x0 2 X (ili da ima derivaciju u toµ cki x0), ako funkcija f (x) ¡ f (x 0) f^ : X n fx0g ! R ; f^(x) = ; x ¡ x0 ima granicµna vrijednost u tocµki x0, tj. ako postoji limf^. Drugim rijecµima, x0 f je derivabilna u x0 ako postoji f (x) ¡ f (x0) lim ´ f 0(x0 ); x 2 X n fx0 g: (1) x!x 0 x ¡ x0 0 Broj f (x0) nazivamo derivacijom funkcije f u toµ cki x0. Re´ ci ´ cemo da je funkcija f derivabilna na skupu A µ X, ako je f derivabilna u svakoj toµ cki x 2 A. U sluµ caju A = X kratko kaµ zemo da je funkcija f derivabilna. Primijetimo da, za na skupu A µ X derivabilnu funkciju f , postoji funkcija (f jA)0 : A ! R , x 7! f 0 (x), koju nazivamo derivacijom funkcije f na skupu A. U sluµ caju A = X govorimo o derivaciji f 0 funkcije f. Napokon, 97

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

98

derivabilnu funkciju f : X ! R kojoj je derivacija f 0 : X ! R preslikavanje (tj. neprekidna) nazivamo neprekidno derivabilnom funkcijom. Napomena 3.1.1 Za toµcku x0 2 X µ R se kaµze da T je izolirana toµ cka u skupu X, ako postoji ² > 0 takav da je (X n fx0 g) hx0 ¡ ²; x0 + ²i = ;. Primjerice, svaka to µcka n 2 N µ R je izolirana u skupu N ; u skupu S f 1n j n 2 N g f0g µ R nije izolirana samo toµcka 0; u intervalu ha; bi µ R nema izoliranih toµcaka. Primijetimo da je, po samoj de…niciji, svaka realna funkcija neprekidna u svakoj izoliranoj toµcki x0 svoga de…nicijskog podruµcja. Derivabilnost, naprotiv, u takvoj izoliranoj toµcki po de…niciji nema smisla. Prema tomu, ako funkcija ima derivaciju u nekoj toµcki, onda ta toµcka nije izolirana u pripadnomu de…nicijskom podruµcju. Iskoristimo li oznake x ¡ x0 = ¢x i f (x) ¡f (x0) = ¢f(x) ´ ¢y (v. §3.3.3), formulu (1) moµzemo zapisati na još dva naµcina: f (x0 + ¢x) ¡ f(x0 ) f 0 (x0) = lim ; (10 ) ¢x!0 ¢x ¢f (x) ¢y f 0 (x0) = lim ´ lim : (1 00 ) ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x Primjer 3.1.1 Ispitajmo derivabilnost funkcije f : R ! R , f (x) = x2 (kvadriranje). Neka je x0 2 R bilo koja to µcka (u R nema izoliranih toµcaka). Po (1 0), primjerice, dobivamo da je (x +¢x)2 ¡x 2 0) lim f (x0+¢x)¡f(x = lim 0 ¢x 0 = ¢x ¢x!0

2 lim 2x0 ¢¢x+(¢x) ¢x ¢x!0

¢x!0

= lim (2x0 + ¢x) = 2x0: ¢x!0

Prema tomu, funkcija f je derivabilna u svakoj toµcki x0 i f 0(x0 ) = 2x0. Za x = 0 je f 0 (0) = 0, za x = ¡1 je f 0(¡1) = ¡2 itd. Dobivenu derivaciju zapisujemo kao (x2)0 = 2x, x 2 R . Primjer 3.1.2 (Newtonov pristup) Neka je zapisom s = f (t) i uvjetom f (0) = 0, pri µcemu s oznaµcuje prije†eni put a t vrijeme, dan zakon po kojemu se tocµka (”tvarna µcestica”) P giba po pravcu. Neka je pritom f : [0; ¢i ! R derivabilna funkcija. Odredimo brzinu v(t0) toµcke P u trenutku t0. Toµcka P ´ce do trenutka t 0 prevaliti put s0 = f (t 0), a do trenutka t put s = f (t). Srednja brzina promatrane toµcke u vremenskomu segmentu [t 0; t] za t0 < t ([t; t 0] za t 0 > t) je, po de…niciji, (t0 ) ¹v(t) = f(t)¡f ´ ¢s t¡t0 ¢t ; ¢t = t ¡ t0; ¢s ´ ¢f (t) = f(t) ¡ f(t0 ): Ova brzina ¹v(t) je to bliµza traµzenoj brzini v(t0) u trenutku t 0 što je promatrani vremenski segment kra´ci. Stoga smijemo postulirati da je v(t0) = lim v¹ = lim ¢s ¢t : t0

¢t!0

No, to znaµci da je v(t0) = f 0 (t0), tj. ”brzina je derivacija puta po vremenu”. Pozabavimo se sada pobliµze ”problemom tangente” (Leibnizov pristup).

3.1. DERIVACIJA

99

Neka je u ravnini s koordinatnim sustavom (O; i; j) dana krivulja C jednadµzbom y = f (x), pri µcemu je funkcija f : [a; b] ! R derivabilna u toµcki x0 2 ha; bi. Odredimo (algebarski) tangentu t krivulje C u tocµki T0 = (x0; f(x0 )). Neka je x 2 [a; b], x 6= x0, pa je T = (x; f (x)) 2 C i T 6= T0 . To µcke T0 i T odre†uju jedinstvenu sekantu sT krivulje C (v. crteµz dolje). Njezin smjerovni koe…cijent (v. § 2.3.1) jest 0) ks T = f (x)¡f(x : x¡x0 Pustimo li da se to µcka T ”pribliµzuje” po krivulji C (nepomiµcnoj) to µcki T0, tj. da x ! x0 , sekanta sT ´ce se ”pribliµzavati” tangenti t. Prema tomu, za smjerovni koe…cijent od t mora vrijediti sljede´ce: (x 0) kt = lim ksT = lim f(x)¡f = f 0 (x0); x¡x 0 x!x0

T !T0

tj. ”tangentin smjerovni koe…cijent jest funkcijina derivacija u promatranoj toµcki”. Slijedom toga, za tangentinu jednadµzbu (u toµcki T0 = (x0 ; f (x0)) 2 C) dobivamo t ¢ ¢ ¢ y ¡ f (x0) = f 0 (x0)(x ¡ x0): (2) 0 (Tangenta u T0 moµze postojati i kad je lim f = +1 (¡1), o µcemu sad x0

ne ´cemo raspravljati (v. pododjeljak 4.1.7, Primjer 4.2.27), i tada joj je jednadµzba x = x0 .) Normalom u toµ cki T0 = (x0; f (0 )) krivulje C nazivamo pravac n kroz toµcku T0 okomit na pripadnu tangentu t. Slijedi da je normalina jednadµzba 1 n ¢ ¢ ¢ y ¡ f(x0 ) = ¡ f0 (x (x ¡ x0 ); f 0(x0 ) 6= 0 (x = x0; f 0 (x0) = 0): (3) 0) (Ako je tangentina jednadµzba x = x0 onda je pripadna normalina jednadµzba y = f (x0).) n

Y

s T

y Gf

ϕs

T0

t ϕt

f(x0 )

O

x0

x x

X

Primjer 3.1.3 Odredimo tangentinu i normalinu jednadµzbu u toµcki T0 = (2; y0) parabole y = x2 . U Primjeru 4.1.1 smo odredili derivaciju f 0 funkcije f (x) ´ y = x2 i dobili f 0 (x) = 2x. Uvrštenjem u (2) i (3) dobivamo traµzene jednadµzbe: t ¢ ¢ ¢ y ¡ f(2) = f 0 (2)(x ¡ 2), dakle, y = 4x ¡ 4; n ¢ ¢ ¢ y ¡ f (2) = ¡ f01(2) (x ¡ 2), dakle, y = ¡ 14 x + 12 . Geometrijsko znaµcenje derivacije kao tangentina smjerovnog koe…cijenta dopušta tzv. ”gra…µcko deriviranje” gra…µcki (grafom Gf ) zadane funkcije f : X ! R , X µ R , što je prikazano na ovim crteµzima:

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

100 Y

Gf A A'

f(x) f '(x)

J

tgϕ=f'(x)

ϕ

ϕ

-1

x A Gf

O A1' A'2 A1

A3 A'4

O

X

A'eGf'

A'5 Gf

Y

-1

t

A5 X

A2 A4 A'3

Teorem 3.1.1 Ako je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna u toµ cki x0 onda je f neprekidna u x0. Dokaz. derivabilnost funkcije f u toµcki x0 povlaµci lim (f(x) ¡f(x0 )) =

lim ¢f (x) = lim ( ¢f(x) ¢ ¢x) = lim ¢x x!x0

¢x!0

¢f (x) x!x0 ¢x

x!x 0

¢ lim ¢x = f 0 (x0) ¢ 0 = 0, pa x!x0

je, po Teoremu 2.3.7, funkcija f neprekidna u toµcki x0. Po Teoremu 3.1.1 slijedi da funkcije nema derivacije u toµckama u kojima je prekidna. No, derivabilnost je bitno jaµce svojstvo od neprekidnosti, tj. neprekidnost funkcije f u to µcki x0 ne povlaµci njezinu derivabilna u toj to µcki (v. Napomenu 3.1.1 i naredni Primjer 3.1.4). Pomo´cu limesa s lijeva i s desna (v. §3.3.2) mogu se de…nirati derivacije s lijeva i s desna: Re´ci ´cemo da je funkcija f : X ! R , X µ R , u toµ cki x0 2 X derivabilna s lijeva (s desna) ako funkcija f (x) ¡ f(x0 ) f^ : X n fx0 g ! R ; f^(x) = ; x ¡ x0 ima u toµcki x0 graniµcna vrijednost s lijeva (s desna), tj. ako postoji lim f^ x0 ¡0

( lim f^). Pripadni limes tada nazivamo derivacijom s lijeva (s desna) x0 +0

funkcije f u toµ cki x0. Oµcito je da je funkcija f, koja je derivabilna s lijeva i s desna u toµcki x0 , derivabilna u x0 ako i samo ako se te derivacije s lijeva i s desna podudaraju. (Taj je broj onda f 0 (x0).) Primjer 3.1.4 Funkcija x 7! f(x) = jxj, x 2 R , (apsolutna vrijednost) je neprekidna. Posebice, ona je neprekidna u toµcki x = 0. Me†utim, lim f^ = lim f(0+¢x)¡f(0) = lim j¢xj ¢x ¢x = x0¡0

¢x!0¡0 ¢x!0¡0 ¡¢x = lim (¡1) = ¡1; ¢x!0¡0 ¢x ¢x!0¡0 lim f^ = lim f (0+¢x)¡f(0) = lim j¢xj ¢x 0+0 ¢x!0+0 ¢x!0+0 ¢x

lim

=

3.1. DERIVACIJA lim ¢x ¢x!0+0 ¢x

=

101

lim (1) = 1.

¢x!0+0

Prema tomu, funkcija f je u toµcki x = 0 derivabilna s lijeva i s desna, ali budu´ci da pripadne derivacije nisu jednake, to f nije derivabilna u x = 0.

3.1.2

Derivacije elementarnih funkcija

Ovdje ´cemo odrediti derivacije nekih (osnovnih) elementarnih funkcija (v. §3.1.3) i izvesti nekoliko osnovnih derivacijskih pravila. Tvrdnja 3.1.1 Derivacija konstantne funkcije cr : R ! R , r 2 R , je nulkonstanta c0 , tj. (8r 2 R )(8x 2 R ) c0r (x) = 0: (4) Dokaz. ¢cr (x) = r ¡ r = 0 ) c0r (x) = lim

¢x!0

¢cr (x) ¢x

= lim 0 = 0. ¢x!0

Tvrdnja 3.1.2 Derivacija prirodne potencije x 7! xn, n 2 N , je funkcija x 7! nxn¡1, tj. (8n 2 N )(8x 2 R ) (xn)0 = nxn¡1: (5) Dokaz. Po Teoremu 1.4.14 je ¢f (x) = (x + ¢x)n ¡ xn = n n P P (nk )xn¡k (¢x)k ¡ xn = (nk)xn¡k (¢x)k = k=0 n P

k=1

(nk )xn¡k (¢x)k k=2

+ nxn¡1

¢f (x) ¢x!0 ¢x

Stoga je f 0(x) = lim

¢ ¢x.

n P

(n)xn¡k (¢x)k¡1 +nxn¡1) ¢x!0 k=2 k

= lim (

= nxn¡1.

Tvrdnja 3.1.3 Derivacija trigonometrijske funkcije sin jest cos, a funkcije cos jest ¡ sin, tj. (8x 2 R ) sin0 x = cos x; (6) 0 (8x 2 R ) cos x = ¡ sin x: (7) Dokaz. (¢ sin)(x) = sin(x + ¢x) ¡ sin x = 2 sin x+¢x¡x cos x+¢x+x = 2 2

2 sin ¢x 2 cos(x +

¢x 2 )

=

¢x 2 ¢x 2

sin

¢ ¢x ¢ cos(x +

¢x 2 ):

Po tomu je (v. i Primjer

2.3.3, Napomenu 2.3.4 i Teorem 2.3.9) (¢ sin)(x) ¢x ¢x!0

sin0 x = lim

= lim

¢x !0 2

¢x 2 ¢x 2

sin

¢ lim cos(x + ¢x 2 ) = 1 ¢ cos x = cos x: ¢x!0

Sasvim sliµcno se dokazuje i tvrdnja pod (7). Tvrdnja 3.1.4 Eksponencijalna funkcija x 7! expa (x) ima derivaciju x 7! expa (x) ln a, tj. (8x 2 R ) (ax)0 = ax ln a: (8) Posebice je (8x 2 R ) (ex)0 = ex: (9)

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

102

Dokaz. Budu´ci da je ¢(ax) = ax+¢x ¡ ax = ax(a¢x ¡ 1), to je (ax)0 = ¢x ax (a¢x ¡1) lim = ax ¢ lim a ¢x¡1 : Uvrstimo li a¢x ¡1 = t, dobivamo a¢x = ¢x

¢x!0

¢x!0 ln(t+1) t + 1, ¢x = ln a i ¢x ! 0 , t ! 0. Prema tomu (v. t 1 Teorem 2.3.10), (ax)0 = ax lim ln(t+1) = ax ln a lim 1 t!0 ln a t!0 ln(t+1) t x a ln a:

Primjer 2.3.6, = ax ln a ln1e =

Naredni teorem redovito rabimo pri odre†ivanju derivacija ve´cine elementarnih funkcija. Teorem 3.1.2 (Deriviranje i osnovne raµcunske operacije) Neka su funkcije f; g : X ! R , X µ R , derivabilne (na skupu A µ X ; u tocµki x0 2 X). Tada f su derivabilne (na A; u x0) i funkcije f + g, f ¡ g, f ¢ g, (g(x) 6= 0) i g vrijedi: (f + g)0 (f ¡ g)0 (f ¢ g)0 (cr ¢ g)0 f ( )0 g

f 0 + g0; f 0 ¡ g0; f 0 ¢ g + f ¢ g0 ; cr ¢ g 0 (f = cr - konstantna funkcija); f0 ¢ g ¡ f ¢ g0 = : g2 = = = =

(10) (11) (12) (13) (14)

Dokaz. Sve formule (10)-(14) se dokazuju sliµcno. Dokazµimo, primjerice, onu posljednju! ( fg )0 (x) = lim

f (x+¢x) f (x) g(x+¢x) ¡ g (x)

=

¢x ¢x!0 f(x+¢x)g(x)¡f(x)g(x+¢x)+f(x)g(x)¡f (x)g(x) lim g(x+¢x)g(x)¢x ¢x!0 f (x+¢x)g(x)¡f (x)g(x) f(x)g(x+¢x)¡f(x)g(x) ¡ ¢x ¢x lim = g(x+¢x)g(x) ¢x!0 lim

¢x!0

f (x+¢x)¡f (x) ¢g(x)¡f (x)¢ lim g(x+¢x)¡g(x) ¢x ¢x ¢x!0

lim g(x+¢x)¢g(x)

¢x!0

=

=

f 0 (x)g(x)¡f (x)¢g 0 (x) . g(x)2

Primijetimo da u sluµcaju konstantne funkcije f = cr , po (4) i (14) dobivamo cr cr ¢ g0 r 0 g 0(x) ( )0 = ¡ 2 ; tj: ( ) = ¡r ¢ ; g g g(x) g(x)2 a u sluµcaju g = cr dobivamo (usp. (13) za f = c 1 ) r f 0 f0 f (x) 0 f 0 (x) ( ) = ; tj: ( ) = : cr cr r r Tvrdnja 3.1.5 Derivacije trigonometrijskih funkcija tan i cot jesu: 1 (8x 2 Xtan ) tan0 x = ; cos2 x 1 (8x 2 Xcot ) cot0 x = ¡ 2 ; sin x

(15) (16)

3.1. DERIVACIJA

103 (14)

0

sin 0 x¡sin x¢cos x Dokaz. tan0 x = ( cos ) (x) = sin x¢coscos 2x 1 . Na isti naµ c in se dokazuje formula (16): 2 cos x

(6),(7) cos2 x+sin 2 x = cos2 x

=

Tvrdnja 3.1.6 Derivacija negativne cijele potencije x 7! x¡n, n 2 N , je funkcija x 7! ¡nx¡n¡1 , tj. (8n 2 N )(8x 2 R nf0g) (x¡n)0 = ¡nx¡n¡1: (14)

n 0

(5)

(x ) nx Dokaz. (x¡n )0 = ( x1n )0 = ¡ (x = ¡nx¡n¡1. n )2 = ¡ x2n n¡1

Ponekad je korisno, prije eksplicitnog odre†ivanja derivacije neke funkcije f , formalno izraziti funkcijski prirast ¢f (x) u toµcki x0, x = x0+¢x, pomo´cu vrijednosti f 0 (x0). Pretpostavimo da je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna u toµcki x0 . De…nirajmo novu funkciju x ¡ x0 7! ®(x ¡ x0 ), x 2 X n fx0g, propisom 0) 0 ®(x ¡ x0 ) = f (x)¡f(x ¡ f 0 (x0); tj: ®(¢x) = ¢f(x) x¡x0 ¢x ¡ f (x0 ): Oµcito ( je tada lim ®(x ¡ x0) = lim ®(¢x) = 0 x!x 0 ¢x!0 : (17) ¢y ´ ¢f (x) = (f 0 (x0) + ®(¢x))¢x Teorem 3.1.3 (Derivacija funkcijske kompozicije) Ako je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna u toµ cki x0, a funkcija g : Y ! R , Y µ R , derivabilna u toµ cki y0 = f (x0) 2 Y ¶ f [X], onda je i funkcijska kompozicija gf : X ! R , derivabilna u x0 i pritom je (gf)0 (x0) = g 0(f (x0))f 0 (x0): (18) Dokaz. Neka je x 2 X, x 6= x0, i ¢x = x ¡ x0. Oznaµcimo y ´ f (x), ¢y ´ f (x) ¡ f (x0), z ´ (gf)(x), ¢z ´ (gf )(x) ¡ (gf)(x0). Tada je ¢y = f (x0 +¢x) ¡ f (x0), tj. f(x0 + ¢x) = y0 + ¢y, pa je ¢z = (gf)(x0 + ¢x) ¡ (gf )(x0) = g(f (x0 +¢x))¡g(f(x0 )) = g(y0+¢y)¡g(y0). Sada je (gf )0 (x0) = g(y0 +¢y)¡g(y0) (17) 1 (g 0(y ) + ®(¢y))¢y = lim ¢x 0 ¢x ¢x!0 ¢x!0 ¢y lim ®(¢y)) ¢ lim ¢x = g 0 (y0 )f 0 (x0) + ( lim ®(¢y))f 0 (x0). ¢x!0 ¢x!0 ¢x!0 ¢z ¢x!0 ¢x

lim

= lim

= (g 0(y0 ) +

Budu´ci da je funkcija f neprekidna u to µcki x0 (v. Teorem 3.1.1), to ¢x ! 0 povlaµci ¢y ! 0, pa (17) povlacµi lim ®(¢y) = lim ®(¢y) = 0. ¢x!0

¢y!0

Primjer 3.1.5 Derivirajmo funkciju x 7! h(x) = cos(sin x), x 2 R . Primijetimo da je h = gf , pri µcemu je f = sin i g = cos. Dakle, po (18), h0 (x) = cos0 (sin x) ¢ sin0 x = ¡ sin(sin x) ¢ cos x. Tvrdnja 3.1.7 Ovo su derivacije hiperbolnih funkcija: (8x 2 R ) (8x 2 R )

sinh0 x = cosh x cosh0 x = sinh x

(19) (20)

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

104

1 cosh2 x coth0 x = ¡

tanh0 x =

(8x 2 R )

(21)

1 sinh2 x Dokaz. Dokaµzimo npr. formulu (19)! (8x 2 R n f0g) x

¡x

sinh 0 x = ( e ¡e )0 2 1 x ¡x 2 (e ¡ e (¡1)) =

(22)

(13),(11) 1 (9),(18) = 2 ((ex)0 ¡ (e¡x)0 ) = ex +e¡x = cosh x. 2

Teorem 3.1.4 (Derivacija inverzne funkcije) Neka je injektivna funkcija f : X ! R ; X µ R , derivabilna u toµ cki x0 i f 0(x0 ) 6= 0. Ako je pripadna ”inverzna” funkcija f ¡1 : f [X] ! R neprekidna u toµ cki y 0 = f (x0), onda je f ¡1 derivabilna u toµ cki y0 i pritom je (f ¡1 )0 (y0) =

1 : f 0(x0 )

(23)

Dokaz. Budu´ci da je f ¡1 inverzna funkciji f i y0 = f (x0), to je ¡1(y) = f ¡1(y + ¢y) ¡ f ¡1(y ) = x + ¢x ¡ x = ¢x 0) = x0 i ¢f 0 0 0 0 cµim je f(x0 + ¢x) = y0 + ¢y = y. Zbog injektivnosti funkcije f je ¢y 6= 0 toµcno onda kad je ¢x 6= 0, a zbog neprekidnosti funkcije f ¡1 u toµcki y0 i neprekidnosti funkcije f u toµcki x0 (v. Teorem 3.1.1), ¢y ! 0 toµcno ¡1 onda kad ¢x ! 0. Prema tomu, (f ¡1)0 (y 0) = lim ¢f¢y(y) = lim ¢x ¢y = f ¡1 (y

¢y!0

lim

¢y!0

1

¢y ¢x

= lim

¢x!0

1

¢y ¢x

=

1 lim

¢y ¢x!0 ¢x

=

¢y!0

1 . f 0 (x0 )

Tvrdnja 3.1.8 Ovo su derivacije ciklometrijskih funkcija i area-funkcija: 1 (8x 2 h¡1; 1i) arcsin0 x = p ; (24) 1 ¡ x2 1 (8x 2 h¡1; 1i) arccos0 x = ¡ p ; (25) 1 ¡ x2 1 (8x 2 R ) arctan0 x = ; (26) 1 + x2 1 (8x 2 R ) arccot0 x = ¡ ; (27) 1 + x2 1 (8x 2 R ) arsh0 x = p ; (28) 1 + x2 S 1 (8x 2 h¢; ¡1i h1; ¢i) arch0 x = p 2 ; (29) x ¡1 1 (8x 2 h¡1; 1i) arth 0 x = ; (30) 1 ¡ x2 S 1 (8x 2 h¢; ¡1i h1; ¢i) arcth0 x = ¡ 2 : (31) x ¡1 Dokaz. Dostatno je, ilustracije radi, primjenom Teorema 3.1.4, dokazati prvu formulu. (23) arcsin0 x = sin10 y = cos1 y = p 1 2 = p 1 2 . 1¡sin y

1¡x

(Funkcije arcsin i arccos nisu derivabilne u toµckama x = ¡1 i x = 1!)

3.1. DERIVACIJA

105

1 Tvrdnja 3.1.9 Logaritamska funkcija x 7! log a x ima derivaciju x 7! , x ln a tj. 1 (8x 2 R +) log0a x = : (32) xln a Posebice je 1 (8x 2 R +) ln 0 x = : (33) x (23)

Dokaz. log0a x =

1 (ay )0

=

1 ay ln a

=

1 x ln a .

Tvrdnja 3.1.10 Derivacija op´ce potencije x 7! xr , r 2 R , je funkcija x 7! rxr¡1 kad god je ova dobro de…nirana (usp. (5) i Tvrdnju 3.1.6) tj. (xr )0 = rxr¡1: (34) xr

Dokaz. Dostatno je tvrdnju dokazati za x 2 h0; ¢i. Po §3.1.3(iv) je = er ln x. Prema tomu, (18),(9)

(13);(33)

(xr )0 = (er ln x)0 = er ln x(r ln x)0 = er ln x ¢ xr = xr ¢ (Op´ca potencija nije derivabilna u to µcki x = 0 µcim je r < 1!)

r x

= rxr¡1.

Tvrdnja 3.1.11 Neka su dane funkcije f; g; h : X ! R , X µ R , i neka je h(x) = f (x)g(x) ´ (f g)(x). Ako su f, g i h derivabilne u toµ cki x0 , onda derivacija h0(x0 ) dopušta zapis 0 (x ) 0 (f g)0 (x0) = (g0 (x0) ¢ ln f (x0) + g(x0) ¢ ff(x )f (x0)g(x0 ) : (35) 0) Dokaz. Prikaµzimo funkciju h kao kompoziciju logaritamske i eksponencijalne funkcije (koje ukljuµcuju f, g i mnoµzenje). Prvo, neka je ¹ : X ! R , ¹ = g ¢ (ln ±f ), tj. f

ln

g

¹

x 7! f (x) 7! ln f (x); x 7! g(x); x 7! ¹(x) = g(x) ¢ ln f(x). Tada je h ´ f g jednaka funkcijskoj kompoziciji expe ±¹, tj. exp ¹ x 7! ¹(x) 7!e expe (¹(x)) = eg(x)¢ln f (x) = f (x)g(x) = h(x). Primijenimo li pravila (9), (18), (12) i (33) dobit ´cemo (35).

Napomena 3.1.2 Ako je funkcija f : X ! R , X µ R , zadana implicitno jednadµzbom F(x; y) = 0 (v. §3.1.1) i ako je derivabilna u toµcki x0, onda derivaciju f 0 (x0) odre†ujemo formalnim deriviranjem jednadµzbe F(x; y) = 0 (deriviraju´ci y pišemo y0 ´ f 0 (x) i uvrštavamo x = x0 ) i sre†ivanjem. Primjer 3.1.6 Odredimo derivaciju u toµcki x = 0 funkcije x 7! f (x) = y implicitno zadane jednadµzbom 2y ¡ xy + x2 ¡ 2 = 0. Formalno deriviraju´ci jednadµzbu dobivamo: (2y ¡xy +x2 ¡2)0 = 00 ) 2y ¢ ln 2 ¢ y 0 ¡(y +xy 0) +2x = y0¡2x0 0 0 0 ) y0 = 2yy¡2x ln 2¡x , pa je f (x 0) ´ y0 = 2y0 ln 2¡x 0 . Vrijednost f(0) ´ y0 dobivamo uvrštenjem u jednadµzbu. Dakle 2y0 ¡ 0 ¢ y0 + 0 2 ¡ 2 = 0 ) 2y0 = 1 = 1 . 2 ) y0 = 1. Napokon, f 0 (0) ´ y00 = 211¡2¢0 = 2 ln ln 2¡0 2 ln 4

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

106

3.1.3

Diferencijal

U pododjeljku §4.1.2 smo pokazali da za prirast f (x)¡f(x0) = (¢x0 f )(x) ´ ¢f (x) derivabilne (u toµcki x0) funkcije f : X ! R , X µ R , x = x0 + ¢x, vrijedi formula (17): ¢f(x) = f 0 (x0)¢x + ®(¢x)¢x, pri µcemu je lim ®(¢x) = 0. ¢x!0

To navodi da se funkciji derivabilnoj u toµcki x0 pridijeli (lokalno) linearna funkcija što ju odre†uje derivacija f 0 (x0). Tako se dolazi do tzv. diferencijabilnosti, odnosno, diferencijala promatrane funkcije u to µcki x0: Za funkcije jedne varijable, što ih sada proucµavamo, bit ´ce razvidno da su diferencijabilnost i derivabilnost ekvivalentna svojstva. Da je diferencijabilnost, op´cenito, jaµce svojstvo od derivabilnosti uoµcit ´cemo uskoro prouµcavaju´ci realne funkcije više varijabla. De…nicija 3.1.2 Re´ci ´ cemo da je funkcija f : X ! R , X µ R , diferencijabilna u toµ cki x0, ako postoji broj a 2 R takav da je f (x) ¡ f(x0) = a ¢ (x ¡ x0) + r(x ¡ x0); pri µ cemu za funkciju x ¡ x0 7! r(x ¡ x0 ), x 6= x0, mora vrijediti r(x ¡ x0) lim = 0 (”ostatak” r(x¡x0) teµzi k 0 bitno brµ ze od x¡x0). x!x0 x ¡ x0 Re´ci ´cemo da je funkcija f diferencijabilna, ako je diferencijabilna u svakoj tocµki x 2 X . Razvidno je (v.(17)) da je funkcija f diferencijabilna u x0 µcim je derivabilna u x0. Naime, za traµzeni broj a smijemo uzeti f 0 (x0), pa je r(x¡x0) = ®(x ¡ x0 ) ¢ (x ¡ x0) i uvjetu je udovoljeno. S druge strane, lako je dokazati da je broj a jedinstven µcim je f diferencijabilna u x0, a onda je f (x) ¡ f (x0) r(x ¡ x0) a = lim + lim = f 0 (x0): x!x0 x!x0 x ¡ x0 x ¡ x0 Prema tomu, funkcija f je diferencijabilna (u toµcki x0 ) toµcno onda kad je derivabilna (u x0 ). Pripadnu linearnu funkciju nazivamo diferencijalom funkcije f u toµ cki x0 i oznaµcujemo s df (x0) : R ! R ; df(x0 )(x) = f 0 (x0) ¢ x: (36) Primijetimo da je, po (17), 0 )(¢x) lim ¢f (x)¡df(x = lim r(¢x) ¢x ¢x = lim ®(¢x) = 0: ¢x!0

¢x!0

¢x!0

Primjer 3.1.7 Odredimo diferencijale df (x0), u svakoj toµcki x0 2 R , osnovnih elementarnih funkcija sin, potencije s eksponentina 2 i linearne funkcije s koe…cijentom k, tj. funkcija x 7! sin x, x 7! x2 (kvadriranje) i x 7! kx (k 2 R konstanta). Neka je x0 2 R bilo koja toµcka (promatrane funcije su derivabilne). Vrijednosti df(x0 )(x) traµzenih diferencijala df (x0) jesu redom: d(sin x0 )(x) = sin0 x jx=x0 ¢x = cos x0 ¢ x; d(x20)(x) = (x2)0 jx=x0 ¢x = 2x0x; d(kx0)(x) = (kx)0 jx=x0 ¢x = kx.

3.1. DERIVACIJA

107

Primijetimo da je diferencijal linearne funkcije, u svakoj to µcki x0 2 R , jednak toj funkciji. Da bismo što jednostavnije operirali diferencijalom, iskoristimo cµinjenicu (v. Linearnu algebru) df (x0) 2 Hom(R ; R ) » =R, tj. da je df (x0) vektor u dualnomu prostoru (svih linearnih funkcija) od R . Ako s d 2 hom(R ; R ) oznaµcimo bazni vektor dualan vektoru e = 1 2 R , smijemo pisati df (x0) = f 0(x0 )d, a za njegove vrijednosti df (x0)(x) = f 0 (x0)dx, x 2 R . Pojednostavnjuju´ci zapisivanje, kad god ne moµze do´ci do zabune, uobiµcajilo se diferencijal df(x0 ) tretirati kao funkciju od x ¡ x0 = ¢x, x 2 R , i pisati df (x0)(¢x) ´ df (x) = f 0 (x)dx, pa ´cemo se i mi toga drµzati. Na taj se naµcin gornji primjeri mogu zapisati kako slijedi: d sin x = cos xdx, dx2 = 2xdx, d(kx) = kdx. Primijetimo da takvo skra´ceno zapisivanje dopušta zapisati derivaciju kao koliµcnik dy f 0(x) = df(x) dx ´ dx : Pritom na veliµcinu dx smijemo gledati kao na ”neizmjerno mali” ¢x jer je f 0(x0 )¢x = df (x0)(¢x) ´ df (x) = f 0(x)dx. Radi boljega poimanja, korisno je pojasniti diferencijalovo geometrijsko (x) znaµcenje (v. crteµz dolje). Budu´ci da je f 0 (x0 ) = dfdx , x = x0 +¢x, dx = ¢x, tangentin smjerovni koe…cijent (t u toµcki (x0 ; f (x0)) 2 Gf , v. (2)); slijedi da je vrijednost pripadnoga diferencijala df (x0)(dx) ´ df (x) = f 0 (x0)dx ”prirast do tangente” t, dok je ¢f (x) pripadni funkcijski prirast, tj. ”prirast do grafa” Gf !) Y

D f(x0+

Gf

x)

B A

f(x0)

t

α

f(x 0)

df(x0 )

X

x0 x 0+ x Teorem 4.1.2 ima svoj lokalni diferencijalni analogon. O

Teorem 3.1.5 (Diferencijal i osnovne raµcunske operacije) Neka su funkcije f; g : X ! R , X µ R , diferencijabilne u toµcki x0. Tada za pripadne diferencijale u x0 vrijedi: dcr (x0 ) = c0

(f ´ cr ; c0 ¡ konstantne funkcije);

d(f + g)(x0 ) = df (x0) + dg(x0 );

(39) (40)

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

108

(41)

d(f ¡ g)(x0) = df(x0 ) ¡ dg(x0);

(42)

d(f ¢ g)(x0) = g(x0)df(x0 ) + f (x0)dg(x0);

(43)

d(cr ¢ g)(x0) = cr dg(x0 ) (f = cr );

f g(x0 )df(x0 ) ¡ f (x0)dg(x0) d( )(x0) = g g(x0)2

(44)

(g(x0) 6= 0):

Dokaz. Dokaµzimo, primjera radi, formulu (42)! Uzmimo bilo koji x 2 R . (12)

Tada je u Hom(R ; R ) d(f ¢ g)(x0 )(x) = (f ¢ g)0 (x0)dx = (f 0 (x0)g(x0) + f (x0)g0 (x0))dx = g(x0)f 0 (x0)dx + f(x0 )g 0(x0 )dx = g(x0)df(x0 )(x)+ f (x0)dg(x0)(x) = (g(x0)df(x0 ) + f (x0)dg(x0))(x). Primjer 3.1.8 Odredimo funkciji x 7! f (x) = ex sin x diferencijal u bilo ko(42)

joj toµcki x0 2 R . df(x0 )(x) = (sin x0 d(ex0 )+ex0 d(sin x0))(x) = sin x0 ex0 dx+ ex0 cos x0dx = ex0 (sin x0+cos x0)dx. Ili skra´ceno, d(ex sin x) = (ex sin x)0 dx = ex(sin x + cos x)dx Teorem 3.1.6 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna u toµ cki x0 0 i neka je f (x0) = 6 0. Tada je ¢f (x) lim = 1: ¢x!0 df(x) Dokaz. Po (17) i (36) je lim ®(dx) = 0: Prema tomu,

dx!0

f 0(x0 )dx+®(dx)dx = 1 + f®(dx) 0(x0 ) i f 0 (x 0)dx ¢f(x) 1 lim = 1 + f 0(x lim ®(dx) = 0) dx!0 ¢x!0 df (x)

¢f (x) df (x)

=

1:

Teorem 3.1.6 potvr†uje da je funkcijin prirast ¢f (x0)(¢x) ´ ¢f(x) ´ ¢y pribliµzno jednak diferencijalovoj vrijednosti df (x0)(¢x) ´ df (x) ´ dy cµim je varijablin prirast ¢x = dx dostatno malen. Pišemo ¢y ¼ dy. Ova se µcinjenica µcesto primijenjuje u pribliµznom izraµcunavanju funkcijskih vrijednosti, kao i u procjenjivanju pogrješaka koje su posljedica netoµcnih mjerenja. Ako je npr. poznata funkcijina vrijednost y0 = f (x0), njezina se vrijednost u toµcki x = x0 + dx (f derivabilna u x0 i dx dostatno malen) smije aproksimirati po formuli f (x0 + dx) = y0 + ¢y ¼ y0 + dy: (45) Nadalje, ako je varijabla x izmjerena s pogrješkom koja apsolutno ne premašuje jdxj, onda se najve´ca apsolutna pogrješka funkcijine vrijednosti y = f (x) smije procijeniti kao j¢yj ¼ jdyj = jf 0 (x)j dx; (46) relativna pogrješka kao ¢y dy ¼ ; (47) y y a postotna pogrješka kao ¢y dy ¢ 100% ¼ ¢ 100%: (48) y y

3.1. DERIVACIJA

109

Primjer 3.1.9pIzraµcunajmo neku pribliµznu (racionalnu) vrijednost iracionalnoga broja 4 84 rabe´ci aproksimaciju diferencijalom. U rješavanju ovakvoga zadatka treba voditi racµuna o trima stvarima: Prvo, da se odabere što je mogu´ce jednostavnija elementarna funkcija f (primjerena danom zadatku); da se odabere odgovaraju´ca to µcka x0 za koju se (toµcna) vrijednost f (x0) moµze lako izraµcunati; i tre´ce, da x0 + dx bude dana varijablina vrijednost sprelativno malim dx. 1 1 14 Primijetimo, najprije, da je 4 84 = (81 + 3) 4 = 3(1 + 27 ) . Stoga se (ne zahtijevamo li bolju aproksimaciju), kao prikladan izbor name´cu 1 1 funkcija x 7! f (x) = 3(1+x) 4 i toµcka x0 ´ 0, pri µcemu je dx = 27 = x0 +dx. Tada, primijenjuju´ci formulu (45) dobivamo: p 4 1 ) 14 = f (0 + 1 ) ¼ f (0) + f 0(0) ¢ 1 = 84 = 3(1 + 27 27 27 1 3 1 1 109 3(1 + 0) 4 + 3 ¢ 27 = 3 + 36 = 36 ¼ 3; 028. 4(1+0) 4

Neka je f : X ! R , X µ R , derivabilna (ekvivalentno, diferencijabilna) funkcija. Tada u svakoj toµcki x postoji diferencijal df (x) : R ! R , df (x)(x) = f 0 (x)dx, pa je dobro de…nirana funkcija df : X ! Hom(R ; R ), x 7! df (x). Budu´ci da je Hom(R ; R ) izomorfan vektorskomu prostoru R , Hom(R ; R ) » = R , to na df smijemo gledati i kao na funkciju iz X u R . Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna na skupu A µ X, tj. neka postoji funkcija (f jA)0 : A ! R , x 7! f 0 (x). Ako je funkcija (f jA)0 derivabilna u toµcki x0, onda kaµzemo da je funkcija f dvaput derivabilna u toµ cki x0, a vrijednost ((f jA)0 )0 (x0) ´ f 00 (x0) nazivamo drugom derivacijom funkcije f u toµ cki x0. Re´ci ´cemo da je funkcija f dvaput derivabilna na A ako je f dvaput derivabilna u svakoj to µcki x 2 A. Pripadnu funkciju nazivamo drugom derivacijom funkcije f na skupu A i oznaµcujemo s (f jA)00 : A ! R . U sluµcaju A = X govorimo o dvaput derivabilnoj funkciji f i o njezinoj drugoj derivaciji f 00 ´ (f 0 )0 : X ! R . Nastavljaju´ci induktivno, ima smisla govoriti o tre´ coj, µ cetvrtoj, ¢ ¢ ¢ ; n-toj, ¢ ¢ ¢ derivaciji funkcije f (na skupu A; u toµ cki x0). Pripadne oznake su f 000, (4) (n) f , ¢ ¢ ¢ , f , ¢ ¢ ¢ . Dakle (v. Teorem 1.4.2), f (n) (x0 ) = (f (n¡1) )0 (x0); n 2 N (f (0) ´ f): (50) Primjer 3.1.10 Odredimo (ako postoje) sve derivacije f (n) : R ! R , n 2 N , funkcije f : R ! R , f(x) = erx. Budu´ci da je f funkcijska kompozicija mnoµzenja konstantom (r) s (prirodnom) eksponencijalnom funkcijom (expe ), to je f derivabilna funkcija. Sliµcno vrijedi i za njezine derivacije. Pritom dobivamo: f 0 (x) = rerx, f 00(x) = (rerx)0 = r2erx , ¢ ¢ ¢ , f (n) (x) = (rn¡1erx)0 = rn erx, ¢ ¢ ¢ . Posve sliµcno se za funkciju f : X ! R , X µ R , de…niraju diferencijali viših redova (u toµcki x0). Pretpostavimo da je f diferencijabilna

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

110

funkcija. Drugim diferencijalom funkcije f u toµ cki x0 nazivamo diferencijal d(df )(x0 ) funkcije-diferencijala df : X ! Hom(R ; R ) » = R u toµcki x0. Radi se, dakle, o linearnoj funkciji, koju oznaµcujemo s d2f (x0) : R ! R , odre†enoj ”koe…cijentom” f 00(x0 )dx, tj. d2f (x0) = d(df (x))jx=x0 = d(f 0 (x)dx)jx=x0 = f 00 (x0)dx, (odnosno, d2 f(x0 ) = (f 00 (x0)dx)d 2 Hom(R ; R )) s vrijednostima d2f (x0)(x) ´ d2 f(x) = (f 00(x0 )dx)dx ´ f 00 (x0)dx2 ; (51) 2 Veliµcina dx = dx¢dx nosi obavijest o još jednoj zamjeni prostora Hom(R ; R ) prostorom R . Pritom kaµzemo da je funkcija f dvaput diferencijabilna u toµ cki x0 . Ako je f dvaput diferencijabilna u svakoj toµcki x 2 X onda za nju kaµzemo da je dvaput diferencijabilna funkcija. U tom sluµcaju postoji funkcija (drugi diferencijal od f) d2f : X ! Hom(R ; Hom(R ; R )) » = Hom(R ; R ) » = R ; x 7! d2 f(x): n Op´cenito, n-ti diferencijal d f(x0) : R ! R funkcije f u toµ cki x0, n 2 N , n ¸ 2, de…niramo kao diferencijal (n ¡ 1)-voga diferencijala od f , dn¡1f : X ! R , u x0, tj. dn f(x0 ) = d(dn¡1 f)(x0). Stoga vrijedi formula (dxn ´ (dx)n ) dnf (x0)(x) ´ dn f (x) = f (n) (x0)dxn ; (52) pri µcemu veliµcina dxn = dxn¡1 ¢ dx nosi obavijest o n zamjena prostora Hom(R ; R ) prostorom R . Obstojnoš´cu n-tog diferencijala od f (u x0) de…nira se n puta diferencijabilnost funkcije f (u toµ cki x0). Razvidno je da su ta svojstva ekvivalentna odgovaraju´coj derivabilnosti. Po (52), formula (38) ima sljede´ce poop´cenje na svaki n 2 N : dn f(x) f (n) (x) = : (53) dxn Neka je jednadµzbama x = '(t) i y = Ã(t) parametarski zadana funkcija x 7! f (x) = y (v. §3.1.1). Budu´ci da se, op´cenito, parametar t ne moµze eliminirati, odredit ´cemo derivaciju od f u toµcki x0 = '(t0) (µcim postoji) pomo´cu diferencijala od ' i à u toµcki t0. dy à 0 (t0 )dt à 0 (t0 ) f 0 (x0 ) = dx ´ dÃ(t) '0 (t0) 6= 0; d'(t) = ' 0(t0)dt = '0 (t0 ) ; što se kra´ce i op´cenito zapisuje kao y_ y 0 ´ f 0(x) = ; x_ = '0 (t); y_ = Ã0 (t): (54) x_ Na sliµcan naµcin dobivamo (ako postoje) i derivacije viših redova, primjerice (dx i dt tretiramo kao konstante), y 00

d(y0 dx) dx2

= y Ä x _ ¡ y_ x Ä y 00 = ; 3 x_

3.1.4

=

d2y dx 2

=

d( xy__ dx) dx¢dx

d( y_ ) = dxx_ 00

=

dt( yx__ dt) xdt _ 00

=

:: :: y x¡ _ y_x x_ 2

x_

x_ 6= 0; x Ä = ' (t); yÄ = Ã (t):

; tj. (55)

Osnovni teoremi diferencijalnoga raµ cuna

Ovdje ´cemo dokazati nekoliko temeljnih teorema o vaµznim svojstvima derivabilnih funkcija.

3.1. DERIVACIJA

111

Teorem 3.1.7 (Fermatov teorem) Neka suµzenje f jha;bi funkcije f : X ! R , X µ R , poprima u toµ cki x0 2 ha; bi µ X svoju najmanju ili najve´cu vrijednost. Ako je f derivabilna u x0 onda je f 0 (x0) = 0. Dokaz. Pretpostavimo da je f (x0) minimum od fjha;bi , tj. f (x0) · f (x) za svaki x 2 ha; bi. Zapisuju´ci x = x0 +¢x dobivamo f(x0 +¢x)¡f (x0) ¸ 0. Budu´ci da je f derivabilna u x0 2 ha; bi, to je f derivabilna s lijeva i s desna u x0 i pripadne se derivacije podudaraju s f 0 (x0), tj. f (x 0+¢x)¡f (x0 ) f (x 0+¢x)¡f(x0 ) lim = f 0 (x0) = lim : ¢x ¢x ¢x!0¡0

¢x!0+0

Primijetimo da je nazivnik ¢x u derivaciji s lijeva stalno negativan (x < x0 ), dok je u derivaciji s desna stalno pozitivan (x > x0). Budu´ci da su brojnici stalno pozitivni, to je derivacija s lijeva od f u x0 manja ili jednaka nula, a ona s desna ve´ca ili jednaka nula. Slijedi zakljuµcak f 0 (x0) = 0. U sluµcaju maksimuma f (x0) dokazuje se na isti naµcin. Teorem 3.1.8 (Rolleov teorem) Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X i derivabilna na intervalu ha; bi : Ako je f (a) = f (b) onda postoji toµ cka x0 2 ha; bi takva da je f 0 (x0) = 0. Dokaz. Po Teoremu 2.3.12, suµzenje fj[a;b] postiµze na [a; b] svoju najmanju i svoju najve´cu vrijednost, tj. postoje x1; x2 2 [a; b] takvi da je, za svaki x 2 [a; b], f(x1 ) · f(x) · f (x2). Ako je f (x2) = f (x1) onda je fj [a;b] konstantna funkcija c f(x1 ) , pa je (f jha;bi )0 = c0jha;bi - dokaz gotov. Neka je f (x2) 6= f (x1), tj. f (x1) < f(x2 ). Tada ne mogu obje te vrijednosti biti jednake f (a) (= f (b)). Pretpostavka f(x1 ) 6= f (a) povlaµci a 6= x1 6= b, tj. x1 2 ha; bi, a pretpostavka f (x2) 6= f (a) povlaµci a 6= x2 6= b, tj. x2 2 ha; bi. Po Teoremu 3.1.7 zakljuµcujemo da je x1 ili x2 traµzena to µcka x0. Teorem 3.1.9 (Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti) Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X i derivabilna na intervalu ha; bi : Tada postoji tocµka x0 2 ha; bi takva da je f (b) ¡ f (a) f 0 (x0) = : (56) b¡ a Dokaz. Promatrajmo funkciju g : X ! R ; g(x) = f (x)¡ f(b)¡f(a) (x¡a) b¡a (v. crtezµ dolje). Funkcija g je neprekidna na [a; b] i derivabilna na ha; bi i k tomu je g(a) = f (a) = g(b). Y f(a)+

Gf

f(b)-f(a) (x-a)=g (x) b-a

f(x) X a

c1 O

x

c2

b

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

112

Po Teoremu 3.1.8, postoji neka to µcka x0 2 ha; bi u kojoj je g0 (x0) = 0 = (a) f 0(x0 ) ¡ f(b)¡f(a) ; tj. f 0 (x0) = f (b)¡f : b¡a b¡a

Lagrangeova formula (56) se moµze napisati na nekoliko naµcina. Tako npr. mnoµzenjem formule (56) faktorom b ¡ a dobivamo 0 f (b) ¡ f (a) = f 0 (x0)(b ¡ a): (56 ) 0¡a (b ¡ a) i 0 < x0 ¡a ´ # < 1; smijemo Nadalje, budu´ci da je x0 = a + xb¡a b¡a pisati 00 f (b) ¡ f (a) = f 0 (a + #(b ¡ a))(b ¡ a); 0 < # < 1: (56 ) Napokon, oznaµcimo li a = x i b = x + ¢x, dobivamo 000 ¢f (x) = f (x + ¢x) ¡ f (x) = f 0(x + #¢x)¢x; 0 < # < 1: (56 ) Teorem 3.1.10 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X i derivabilna na intervalu ha; bi. Ako je f 0 (x) = 0 za svaki x 2 ha; bi, onda je suµ zenje f j[a;b] konstantna funkcija. Dokaz. Odaberimo bilo koji x 2 ha; b]. Tada su na segmentu [a; x] ispunjeni uvjeti Teorema 3.1.9 pa postoji toµcka x0 2 ha; xi µ ha; bi za koju je f (x) ¡ f(a) = f 0(x0 )(x ¡ a). Po pretpostavci je f 0 (x0) = 0, što sada povlaµci f(x) = f (a) za svaki x 2 ha; b].

Korolar 3.1.1 Neka su funkcije f; g : X ! R , X µ R , neprekidne na segmentu [a; b] µ X i derivabilne na intervalu ha; bi. Ako je f 0 (x) = g 0 (x) za svaki x 2 ha; bi onda je suµzenje (f ¡ g)j[a;b] konstantna funkcija. Dokaz. Funkcija h ´ f ¡g : X ! R udovoljava uvjetima Teorema 3.1.10 jer je, na ha; bi, h0 = f 0 ¡ g0 = 0. Slijedi da je funkcija f ¡ g konstantna na [a; b].

Lagrangeovu formulu ´cemo sada upotrijebiti u dokazu tzv. L’Hospitalova pravila, što ga rabimo za odre†ivanje graniµcnih vrijednosti u mnogim sluµcajevima tzv. neodre†enih oblika: 0 1 ; ; 0 ¢ 1; 1 ¡ 1; 00 ; 11; 10: 0 1 (1 ovdje oznaµcuje bilo +1 bilo ¡1!) Primjerice, neodre†eni oblik 00 se javlja pri odre†ivanju graniµcne vrijednosti lim fg µcim je lim f = 0 = lim g, x0

x0

x0

a 10 pri odre†ivanju lim f g µcim je lim f = 1 i lim g = 0. Sljede´ci teorem razmatra samo oblik njega.

x0 0 0 , dok

x0

x0

se preostali dopustivim preinakama svode na

Teorem 3.1.11 (L’Hospitalovo pravilo) Neka za funkcije f; g : X ! R , X µ R , vrijedi limf = 0 = lim g. Ako postoji interval I takav da je x0 2 I µ x0

x0

X i da su f i g neprekidno derivabilne na I, pri µ cemu je g0 (x) 6= 0 za svaki x 2 I, onda je f f0 lim = lim 0 : (57) x0 g x0 g

3.1. DERIVACIJA

113

U dokazu ´cemo trebati ovu lemu: Lema 3.1.1 Neka je funkcija g : X ! R , X µ R , derivabilna u toµ cki x0 0 i neka je g(x0) = 0, a T g (x0 ) 6= 0. Tada postoji neki ² > 0 takav da su na skupu A² = (X n fx0g) hx0 ¡ ²; x0 + ²i sve vrijednosti g(x) 6= 0.

Dokaz. Pretpostavimo protivno, tj. da za svaki ² > 0 postoji neki x² 2 A² za koji je g(x²) = 0. Biraju´ci ² = n1 , n 2 N , dobivamo tako niz (xn), xn 2 A 1 µ X n fx0 g, koji konvergira prema x0, dok je (g(xn)) n

0) konstantan nulniz (0). Tada je i ( g(xxnn)¡g(x ) = (0). Po pretpostavci, postoji ¡x0

g 0(x0 ) = lim

x!x 0

g(x)¡g(x0 ) x¡x0

i g 0(x0 ) 6= 0: Zbog lim(xn ) = x0 mora biti (v.

0) Teorem 2.3.4) i g0 (x0) = lim( g(xxnn)¡g(x ) = lim(0) = 0; što je protuslovlje. ¡x0

Dokaz. (Teorema 4.1.11.) Po Teoremu 3.1.1 slijedi da su funkcije f i g neprekidne na intervalu I pa je f (x0) = lim f = 0 i g(x0) = lim g = 0 x0

x0

(v. T Teorem 2.3.6). Po Lemi 3.1.1 zakljuµcujemo da postoji podskup A² = I hx0 ¡ ²; x0 + ²i µ X, ² > 0, takav da je g(x) 6= 0 za svaki x 2 A² n fx0g: (x) Dakle, kvocijent fg(x) je de…niran µcim je x 2 A² n fx0g. Štoviše, lim x0

f g

=

lim f (x)¡f(x0) x!x0 g(x)¡g(x0 ) 0

= lim x0

f (x)¡f (x 0) x¡x 0 g(x)¡g(x0) x¡x 0

= ((9x1 ; x2 2 hx; x0i); v. Teo-

0

f (x0 ) 1) 0 0 rem 3.1.9) = lim fg0 (x (x 2) = g 0(x0) = (f ; g neprekidne na I) = x0

0

lim f 0 x0

lim g0

= (Teorem

x0

2.3.2(iii); g 0 (x) 6= 0; x 2 A²) = lim fg0 . x0

Napomena 3.1.3 Postoje razne varijante i poop´cenja upravo dokazanoga teorema. Tako npr. L’Hospitalovo pravilo vrijedi i za neodre† ene oblike §1 cne vrijednosti kad x ! §1 kao i u sluµcajevima kad se granicµne §1, za graniµ vrijednosti (derivacije) zamijene graniµcnim vrijednostima slijeva ili zdesna (derivacijama slijeva ili zdesna). Napomena 3.1.4 L’Hospitalovo pravilo se smije primijeniti više puta uzastopce, µcim prethodna primjena opet daje oblik 00 ( 1 1 ) i ako nove funkcije udovoljavaju postavljenim uvjetima. Napomena 3.1.5 Ako se u odre†ivanju graniµcne vrijednosti pojavi neki od preostalih (prije navedenih) neodre†enih oblika i ako se µzeli primijeniti L’Hospitalovo prvilo, treba taj neodre†eni oblik pogodnom transformacijom svesti na oblik 00 ili na oblik 1 1: 1¡cos 4x (57) 4x (57) 4x = lim 4 sin = lim 16 cos 2 2x 2 x 0 x!0 ( 0 ) x!0 ( 00 ) x!0

Primjer 3.1.11 lim

= 8.

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

114 Primjer 3.1.12

2 (57) (57) 2 lim x¡x +1 = lim ¡e2x¡x ¡1 = lim e ¡x x!¡1 e x!¡1 x!¡1 ( +1 ) ( ¡1 )

= 0.

Primjer 3.1.13 Odredimo graniµcnu vrijednost lim f funkcije x 7! f (x) = x!0

xx. Budu´ci da je de…nicijsko podruµcje od f skup R + , tj. skup svih x > 0, to je traµzena graniµcna vrijednost isto što i pripadna graniµcna vrijednost zdesna, lim f = lim f . (Graniµcna vrijednost u 0 slijeva nema smisla!) Prema tomu, x!0

x!+0

lim f = lim xx =0

x!0

x!0+0

lim ex ln x

(0 ) x!0+0

Budu´ci da je lim xln x

x!0+0

to je lim

x!0+0

= (0¢(¡1))

xx

=

e0

lim

x!0+0

=

1 x

3.1.5

1 x ¡ x12

.

= lim (¡x) = 0, x!0+0

= 1.

x!1

ln x+1¡1 x¡1 x!1 ln x+ x

lim

x!0+0 ( ¡1 +1 )

x Primjer 3.1.14 lim ( x¡1 ¡ ln1x )

lim

e0+0

(e0(¡1) )

ln x (57)

lim lim(x ln x)

=

ln x 1 x!1 ln x+1¡ x

= lim

= (1¡1)

(57)

= lim

(0 0)

x!1

x ln x¡x+1 (57) = x!1 (x¡1) ln x ( 0 ) 0

lim

1 x 1+ 1 x x2

= 12 .

Taylorova formula

Sjetimo se da se polinomske vrijednosti izracµunavaju relativno kratkim raµcunom što ukljuµcuje samo zbrajanje i mnoµzenje realnih brojeva. Zbog te praktiµcne jednostavnosti, polinomi su vrlo pogodna preslikavanja za aproksimiranje onih preslikavanja vrijednosti kojih zahtijevaju mnogo sloµzenije raµcune. Primijetimo da Lagrangeova formula daje pribliµznu vrijednost funkcije f (derivabilne na intervalu I) u toµcki x po formuli f(x) = f (x0) + R0(x); R0(x) = (x ¡ x0)f 0(x0 + #(x ¡ x0)); 0 < # < 1: Drugim rijeµcima, suµzenje fjI se aproksimira polinomom p nultoga stupnja (konstantnom funkcijom p = cf (x0) ), pri µcemu funkcija R0, tzv. ostatak, predstavlja aproksimacijsku pogrješku. Ako je funkcija f na I derivabilna n + 1 puta, puno bolju aproksimaciju daje tzv. Taylorova formula, koja poop´cuje Lagrangeovu ukljuµcuju´ci postoje´ce derivacije viših redova. Postoje li derivacije od f po volji visokog reda, aproksimiranje preuzima tzv. Taylorov red. Teorem 3.1.12 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , na intervalu ha; bi µ X derivabilna n + 1 puta, te neka je x0 2 ha; bi bilo koja toµ cka. Tada za svaki x 2 ha; bi vrijedi Taylorova formula: ( 0 f (n )(x 0) 0) f(x) = f (x0) + f (x (x ¡ x0 )n + Rn(x) 1! (x ¡ x0) + ¢ ¢ ¢ + n! (58) (n+1) (x +#(x¡x )) 0 0 n+1 n+1¡p Rn (x) = f (x ¡ x ) (1 ¡ #) ; 0 p¢n! pri µ cemu se u ostataku n-toga reda Rn (x) pojavljuju neki p 2 N i # 2 R , 0 < # < 1.

3.1. DERIVACIJA

115

Dokaz. Odaberimo bilo koju toµcku x0 2 ha; bi. Ako je x 2 ha; bi i x = x0, nemamo, oµcito, što dokazivati. Promatrajmo sluµcaj x > x0. Pretpostavimo da je f 0 (x ) f (n)(x ) f(x) = f(x0) + 1! 0 (x ¡ x0) + ¢ ¢ ¢ + n! 0 (x ¡ x0 )n + Rn(x); pri µcemu je Rn(x) = (x ¡ x0)ph(x), za neki p 2 N i vrijednost h(x) neke funkciju h : hx0 ; bi ! R . Treba, naravno, za dani p, odrediti funkciju h: U tu svrhu, za bilo koji µcvrsti x 2 hx0; bi, de…nirajmo funkciju gx ´ g : [x0; bi ! R stavljaju´ci 0 (n) g(t) = f (t) + f 1!(t) (x ¡ t) + ¢ ¢ ¢ + f n!(t) (x ¡ t)n + (x ¡ t)p h(x): Primijetimo da je g(x0 ) = g(x) (= f(x)) i da je g derivabilna na hx0 ; xi, 0 00 (n ) g 0(t) = f 0 (t) ¡ f 1!(t) + f 1!(t) (x ¡ t) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ f n!(t) n(x ¡ t)n¡1+ (n+1) f (n+1) (t) (x ¡ t)n ¡ p(x ¡ t)p¡1h(x) = f n! (t) (x ¡ t)n ¡ p(x ¡ t)p¡1h(x): n! Prema tomu, funkcija g na segmentu [x0; x] ispunja uvjete Rolleova teorema, pa postoji neka tocµka t0 ´ x0 + #(x ¡ x0) 2 hx0 ; xi, 0 < # < 1, takva da je g 0(t0 ) = 0. Slijedi: (n +1)(x +#(x¡x )) 0 0 0= f (x¡x0¡#(x¡x0 ))n ¡p(x¡x0¡#(x¡x0))p¡1h(x); tj. n! (n+1)

(x0+#(x¡x0)) h(x) = f (x ¡ x0)n+1¡p(1 ¡ #)n+1¡p : p¢n! Dakle, ostatak Rn (x) je zaista odre†en navedenim izrazom. Na isti se naµcin tvrdnja dokazuje kad je x < x0. Navedeni zapis za Rn (x) se naziva ostatkom u Schlömilchovu obliku. Ako je p = 1, ostatak Rn (x) poprima tzv. Cauchyjev oblik: f (n+1) (x0 + #(x ¡ x0)) Rn (x) = (x ¡ x0)n+1(1 ¡ #)n; (59) n! a ako je p = n + 1 - tzv. Lagrangeov oblik: f (n+1) (x0 + #(x ¡ x0)) Rn (x) = (x ¡ x0)n+1: (60) (n + 1)! Po Taylorovoj formuli (58), ostatak Rn (x) jest razlika n P f (k)(x) k f (x) ¡ k! (x ¡ x0 ) : k=0

Pripadni polinom, dakle, to bolje aproksimira funkciju f u to µcki x što je ostatak Rn(x) manji. To vodi na sada lako dokaziv teorem:

Teorem 3.1.13 Neka funkcija f : X ! R , X µ R , ima na intervalu I µ X sve derivacije (f jI )(n) , n 2 N , i neka je x0 2 I bilo koja toµ cka. Tada je, za svaki x 2 I; 0 f (n) (x 0) 0) f(x) = f (x0) + f (x (x ¡ x0 )n + ¢ ¢ ¢ 1! (x ¡ x0) + ¢ ¢ ¢ + n! 1 P f(n) (x) (61) n ´ n! (x ¡ x0 ) n=0

onda i samo onda, ako niz (Rn(x)) konvergira prema nuli, lim(Rn(x)) = 0.

Potencijski red u (61) nazivamo Taylorovim redom (ili razvojem) funkcije f u toµcki x0 . Ako je x0 = 0, govorimo o Maclaurinovu redu (ili razvoju) funkcije f , tj. o

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

116 0

f (x) = f (0) + f 1!(0) x + ¢ ¢ ¢ + f

(n)(0)

n!

xn + ¢ ¢ ¢ ´

1 P

n=0

f (n) (0) n n! x :

(62)

Napomena 3.1.6 µZeli li se u Taylorov red razviti bilo koju elementarnu funkciju, dostatno je uvrstiti odgovaraju´ce derivacije u desnu stranu formule (61) te odrediti konvergencijski interval dobivenoga reda. Formula (61) ´ce vrijediti u svakoj toµcki x toga intervala, tj. bit ´ce lim(Rn (x)) = 0. Ovo, me†utim, ne vrijedi za svaku po volji mnogo puta derivabilnu funkciju! Naime, ako funkcija f nije elementarna, mogu´ce je da, u nekoj toµcki x 2 X, njezin Taylorov red konvergira ali ne prema f (x), tj. mogu´ce je i lim(R n(x)) 6= 0. Primjer takve funkcije jest ( 1

e¡ x2 , x 6= 0 ; 0; x = 0 kojoj sve derivacije u x0 = 0 išµcezavaju (neka to µcitatelj provjeri!) pa Maclaurinov0 red (n) f(0) + f 1!(0) x + ¢ ¢ ¢ + f n!(0) xn + ¢ ¢ ¢ = 0 + 0 + ¢ ¢ ¢ + 0 + ¢ ¢ ¢ konvergira na R prema c 0. Dakle, 1 (n) P f (0) n f(x) 6= n! x ( = 0) za svaki x 6= 0. f : R ! R ; f (x) =

n=0

Primjer 3.1.15 Razvijmo u Maclaurinov red funkciju sin. Primijetimo da iz sin0 = cos, sin00 = ¡sin, sin 000 = ¡ cos i sin(4) = sin induktivno slijedi sin(2n¡1) = (¡1)n¡1 ¢ cos i sin(2n) = (¡1)n ¢ sin za svaki n 2 N . Prema tomu, sin 0 = sin(2n) 0 = 0 i sin (2n¡1) 0 = (¡1)n¡1 pa dobivamo Maclaurinov razvoj (za bilo koji n 2 N ): (¡1)n¡1 2n¡1 3 0 4 sin x = 0 + 1!1 x + 2!0 x2 + ¡1 + 3! x + 4! x + ¢ ¢ ¢ + (2n¡1)! x 3

0 x2n (2n)!

5

2n¡1

x ¡ x + x ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n¡1 x + R2n (x) = 1! + R2n (x). 3! 5! (2n¡1)! Istraµzimo ponašanje (pod)niza pripadnih ostataka (R2n (x)) u bilo kojoj to µcki x 2 R. Primijenimo li Lagrangeov oblik (s x0 = 0), dobit ´cemo (2n+1) n +1 cos(#x) R2n (x) = sin (2n+1)!(#x) x2n+1 = (¡1)(2n+1)! x2n+1 pa je n+1

2n+1

cos(#x)j 2n+1 jxj jR2n (x)j = j(¡1)(2n+1)! jx j · (2n+1)! . Za promatrani x, uzmimo n0 = [jxj] + 1 pa je jxj < n0. Tada je, za dovoljno veliki n (n ¸ n20 ); jxj2n+1 jxj jxj jxj lim( (2n+1)! ) = lim( jxj 1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ n0 ¢ : : : ¢ 2n+1 ) = jxjn0 n0!

jxj 2n +1¡n0

jxjn0

lim( (n0+1)¢¢¢(2n+1) ) · n0 ! lim(j nx0 j2n+1¡n0 ). Budu´ci da je j nx0 j < 1 to pripadni geometrijski niz (j nx0 j2n+1¡n0 ) konver2n+1

jxj gira prema 0, što povlaµci lim(jR2n (x)j) · lim( (2n+1)! ) · 0. Stoga je i lim(R2n(x)) = 0. Budu´ci da je pripadni komplementarni podniz (R2n¡1(x)) konstantni nulniz (0), slijedi, napokon, zakljuµcak da je lim(Rn (x)) = 0. Prema tomu, Teorem 4.1.13 daje 1 1 P P x 2n¡1 x2n+1 sin x = (¡1)n¡1 (2n¡1)! = (¡1)n (2n+1)! ; x 2R : n=1

n=0

3.1. DERIVACIJA

117

Primijetimo da smo do istoga zakljuµcka mogli do´ci i primjenom D’Alembertova kriterija (sin je elementarna funkcija!). Naime, za svaki x 2 R je x 2n+1

2

x lim(j (2n+1)! j) = lim( 2n(2n+1) ) = 0 < 1, x 2n ¡1 (2n¡1)!

pa pripadni red konvergira (apsolutno) na cijelom R . Izraµcunajmo (procijenimo) još i sin 1 pomo´cu pripadnoga polinoma petoga stupnja (tj. prvih šest µclanova Maclaurinova reda): 3 5 1 sin 1 = 1!1 ¡ 13! + 15! + R6(1) = 1 ¡ 16 + 120 + R6(1), dakle, 7

1 sin 1 ¼ 1 ¡ 16 + 120 ¼ 0; 8417 s pogrješkom jR6(1)j · j1j 7! < 0; 0002. ¡4 Prema tomu, sin 1 = 0; 8417 § 2 ¢ 10 ili sin 1 2 h0; 8415; 0; 8419i.

Postupaju´ci kao u Primjeru 3.1.15, za funkciju cos dobivamo: 1 P 2 4 x2n x2n cos x = 1 ¡ x2! + x4! ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n (2n)! + ¢¢ ¢ = (¡1)n (2n)! ; n=0

x 2R

Primjer 3.1.16 Za funkciju expe se lako dobiva pripadni Maclaurinov red: 1 n P 2 n x ex = 1 + 1!x + x2! + ¢ ¢ ¢ + xn! + ¢ ¢ ¢ = x 2R : n! ; Uvrstimo li x = 1, dobivamo e = 1+

1 1!

1 +¢ ¢¢ = + 2!1 + ¢ ¢ ¢ + n!

n=0

1 P

n=0

1 n! ;

što je još jedan zapis za broj e (usp. Primjer 3.2.7). Primjer 3.1.17 Moµze se dokazati da u apsolutno konvergentnom realnom redu smijemo komutirati ”pribrojnike”, tj. da µclanovi smiju izmjenjivati mjesta, te da to vrijedi i za apsolutno konvergentne redovep kompleksnih brojeva. De…niramo li funkciju (iz R u C ) x 7! eix, i ´ ¡1, pomo´cu Maclaurinova reda za expe (Primjer 3.1.16) formalnom zamjenom x à ix, dobivamo 1 P (ix) 2 (ix) n (ix) n eix = 1 + ix x 2R : 1! + 2! + ¢ ¢ ¢ + n! + ¢ ¢ ¢ = n! ; n=0

Taj red konvergira apsolutno, za svaki x 2 R , prema ejxj pa smijemo komutirati pribrojnike. Sumiramo li zasebno realne i zasebno imaginarne µclanove, dobivamo ³ ´ ³ ´ 2 x2n + ¢ ¢ ¢ +i x ¡ x 3 + ¢ ¢ ¢ (¡1)n x 2n +1 + ¢ ¢ ¢ eix = 1 ¡ x2! + ¢ ¢ ¢ + (¡1)n (2n)! 1! 3! (2n+1)! 1 1 P P 2n 2n+1 x x = (¡1)n (2n)! + i( (¡1)n (2n+1)! ) = cos x + i sin x, x 2 R . n=0

n=0

(Dobili smo, dakle, i tre´ci, eksponencijalni zapis kompleksnog broja (usp. §1.5.3): z = r(cos ' + i sin ') = rei'.) Primijetimo da je e¡ix = ei(¡x) = cos x + i sin(¡x) = cos x ¡ i sin x. Dobivene zapise za eix i e¡ix nazivamo Eulerovim formulama. Iz njih izravno slijedi ix ¡ix ix ¡ix cos x = e +e , sin x = e ¡e 2 2

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

118

(Neka µcitatelj usporedi ove formule s de…nicijskim formulama hiperbonih funkcija u §3.1.4(iv)!) Primjer 3.1.18 Razvijmo u Maclaurinov red funkciju f : h¡1; ¢i ! R , f (x) = ln(1 + x). S Uvrstimo li u formulu (62) vrijednosti f (n) (0), n 2 f0g N , desna strana postaje funkcijskim redom P 2 3 n n x ¡ x2 + x3 ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n¡1 xn + ¢ ¢ ¢ ´ (¡1)n¡1 xn : Izravnim ispitivanjem njegove apsolutne konvergentnosti (ili konvergentnosti pripadnoga niza (Rn (x))) dobivamo podruµcje h¡1; 1] (v. Primjer 2.2.22). Prema tomu, 1 P n ln(1 + x) = (¡1)n¡1 xn ; x 2 h¡1; 1] : n=1

Napomena 3.1.7 Primijetimo da dobiveni Maclaurinov red za funkciju x 7! ln(1 + x) moµze posluµziti za izraµcunavanje prirodnih logaritama ln x kad je x 2 h0; 2]. Za izraµcunavanje prirodnih logaritama ln x kad je x 2 h2; ¢i rabimo Maclaurinov razvoj funkcije f : h¡1; 1i ! R , f (x) = ln 1+x 1¡x . (Neka a µcitatelj odredi taj red! Pritom smije iskoristiti µcinjenicu ln b = ln a ¡ ln b (vode´ci raµcuna o de…nicijskim podruµcjima) i rezultat iz Primjera 3.1.18.) S Primjer 3.1.19 Neka je dan bilo koji broj ® 2 R n(f0g N ). Promatrajmo funkciju f : h¡1; ¢i ! R ; f(x) = (1 +x)® : Maclaurinov S red ove funkcije nazivamo binomnim redom (U sluµcaju ® ´ m 2 f0g N dobivamo polinom m-toga stupnja!) Postupaju´ci kao u prethodnim primjerima, lako se dobiva ®(®¡1)¢¢¢(®¡n+1) n ® (1 + x)® = 1 + 1! x + ¢¢ ¢ + x +¢ ¢¢ ´ n! 1 P n (® x 2 h¡1; 1i ; n )x ; n=0 ¡ ¢ ¡¢ ¡ ¢ ®(®¡1) ¡ ¢ ®(®¡1)¢¢¢(®¡n+1) pri µcemuSsu a0 = 1, a1 = ®, a2 = 2 , ¢ ¢ ¢ , an = , ¢ ¢¢ , n! n 2 f0g N , tzv. op´ ci binomni koe…cijenti (usp. §1.4.5). Nije teško pokazati da binomni red konvergira i toµcki x = ¡1 µcim je ® > 0; kao i u toµcki x = 1 µcim je ® > ¡1.

3.1.6

Deriviranje funkcijskog reda

P Neka funkcijski red fn , fn : X ! R , konvergira (po toµckama) na intervalu P I µ X što sadrµzi toµcku funkcijskoga reda fn (u Px0. 0PodPderivacijom toµ cki x0), oznaka: ( fn) (( fn )0 (x0)), podrazumijevamo derivaciju s0 1 P (s0 (x0)) pripadne sume s : I ! R , s(x) = f n(x), (u toµcki x0 ). Budu´ci da n=1

funkcija s najµceš´ce nije elementarna ili ne dopušta pogodan analitiµcki zapis, to je tehniµcki teško istraµzivati njezina svojstva. Velika je olakšica kad je za to dostatno poznavanje odgovaraju´cih svojstava pripadnih P µcnlanova fn funkcijskoga reda. Promatrajmo, prvo, potencijski red anx . O deriviranju potencijskog reda govori ovaj teorem:

3.1. DERIVACIJA

119

P Teorem 3.1.14 Potencijski red an xn dopušta deriviranje ”µ clan po µ clan”, tj. P P ( anxn)0 = (anxn)0 odnosno, 1 1 1 P P P ( anxn)0 = nan xn¡1 (= (n + 1)an+1 xn ), n=0

n=1

n=0

na svomu konvergencijskom intervalu, ukljuµ cuju´ ci i rubne toµ cke kad u njima oba ta reda konvergiraju. (Zapis u zagradi istiµce da je derivacija potencijskog reda opet potencijski red!) Cjeloviti dokaz Teorema 3.1.14 bi izišao iz okvira ovih skripata. Navest c emo, ipak, ideju i redosljed glavnih koraka. Najprije se dokazuje da poten´ P P P cijski redovi an xn i (an xn )0 = bnxn, bn = (n + 1)an+1 , imaju isti konvergencijski polumjer ½, tj.pda je (v. §3.2.6) p p n lim sup( jan j) = lim sup( n njan j) = lim sup( n (n + 1)jan+1j). p n Ta se jednakost izvodi iz µcinjenice lim( n) = 1 (v. §3.2.7, Zadatak 1.(e)) i ove tvrdnje (koju ne dokazujemo): ako je lim(cn ) = c > 0 i lim sup(dn) = d i onda je lim sup(cn dnP ) = cd. (Osim toga, Pkoristin se i jednostavna µcinjenica da potencijski redovi (n + 1)an+1 xn i nan x imaju isti konvergencijski polumjer.) U drugomu koraku se dokazuje da se razlika 1 P j s(x+¢x)¡s(x) ¡ nanxn¡1j; ¢x s(x) =

1 P

n=0

n=1

n

anx i x; x + ¢x 2 h¡½; ½i, moµze uµciniti po volji malom µcim je

prirast ¢x dostatno malen, što upravo znaµci da je s0(x) =

1 P

nan xn¡1 za

n=1

svaki x 2 h¡½; ½i. To se postiµze tako da se za s(x+¢x) i s(x) uvrste pripadni redovi, da se na (x + ¢x)n primijeni binomna formula itd. U posljednjem koraku P se pokazuje da vrijedi i zaPtocµku x = ¡½ (x = ½) µcim P ista tvrdnja P n n¡1 n redovi an (¡½) i nan (¡½) ( an ½ i nan½n¡1) konvergiraju.

Primjer 3.1.20 Odredimo konvergencijsko P n¡1 podruµcje i sumu funkcijskoga n¡1 reda + 2x + ¢ ¢ ¢ + nx + ¢ ¢ ¢ ´ P nx : Primijetimo da je funkcijski red P 1n¡1 nx zapravo potencijski red (n + 1)xn . Nadalje, njegov je op´ci µclan, funkcija gn : R ! R , gn(x) = nxn¡1, derivacija funcije fn : R ! R , fn(x) = P P n P xn.PLako se provjeri da potencijski redovi fn ´ x i (n + 1)xn P n¡1 (= nx ´ gn ) konvergiraju na intervalu h¡1; 1i. Po Teoremu 3.1.14 i Primjeru 3.3.12 (s poop´cenjem) sada dobivamo 1 1 P P 1 0 1 nxn¡1 = ( xn)0 = ( 1¡x ) = (1¡x) 2: n=1

n=0

Moµze se dokazati da pravilo iz Teorema 3.1.14. vrijedi i pod nešto op´cenitijim uvjetima: P Teorem 3.1.15 Neka je fn funkcijski red, pri µ cemu je svaka funkcija fn : X ! R , X µ R , neprekidno derivabilna na segmentu I µ X. Ako

120

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

red 1 P

P (fnjI ) konvergira (po toµ ckama) prema funkciji s : I ! R , s(x) = P 0 fn(x), i ako red (f njI ) jednoliko konvergira prema funkciji u : I !

n=1

1 P R , u(x) = fn0 (x), onda je funkcija s derivabilna i vrijedi s0 = u, tj. n=1 P P ( (fnjI ))0 = (fn jI )0 .

3.1.7

Odre†ivanje funkcijskog tijeka

Temeljito istraµzivanje vaµznih svojstava dovoljno puta derivabilne funkcije moµze se relativno lako provesti prouµcavaju´ci upravo njezine derivacije. Primjerice, pokazuje se da je funkcija uzlazna ondje gdje joj je derivacija pozitivna, da ima lokalno ekstremnu vrijednost u to cµki u kojoj joj derivacija išµcezava i druga derivacija ne išµcezava itd. Teorem 3.1.16 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna na intervalu I µ X. Tada je fjI uzlazna ako i samo ako je f 0(x) ¸ 0 za svaki x 2 I. Dokaz. Prvo dokaµzimo dovoljnost! Neka je f 0 (x) ¸ 0 za svaki x 2 I. Promatrajmo bilo koje dvije toµcke x1; x2 2 I, x1 < x2. Treba dokazati da je f (x1 ) · f (x2). Po Lagrangeovu teoremu postoji neki x0 2 hx1; x2i takav da je f (x2) ¡ f(x1 ) = (x2 ¡ x1 )f 0 (x0). Budu´ci da je x2 ¡ x1 > 0 i f 0 (x0) ¸ 0, to je f (x2) ¡ f(x1 ) ¸ 0, dakle, f (x1) · f (x2). Obratno, neka je f jI derivabilna i uzlazna. Promatrajmo bilo koju toµcku x0 2 I. Treba dokazati da je f 0 (x0) ¸ 0. Primijetimo da je, zbog uzlaznosti, (8x 2 I, x 6= x0 ) f(x)¡f (x0 ) (x 0) ¸ 0. Zbog derivabilnosti je tada i f 0 (x0 ) = lim f (x)¡f ¸ 0. x¡x0 x¡x 0 x!x 0

Posve slicµno Teoremu 3.1.15 dokazuje se i ovaj teorem:

Teorem 3.1.17 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna na intervalu I µ X. Tada je f jI silazna ako i samo ako je f 0(x) · 0 za svaki x 2 I. Primjer 3.1.21 Odredimo najve´ce intervale na kojima je polinom p : R ! R ; p(x) = x3 ¡ 3x + 8; monoton. Po Teoremima 4.1.15 i 4.1.16, zadatak se svodi na rješavanje nejednadµzba p 0(x) ¸ 0 i p0 (x) · 0. Budu´ci da je p0 (x) = 3x2 ¡3, dobivamo p0 (x) ¸ 0 , jxj ¸ 1 i p 0(x) · 0 , jxj · 1. Prema tomu, p raste na h¢; ¡1] i [1; ¢i, a pada na [¡1; 1]. Sljede´cu µcinjenicu ´cemo trebati poslije - u suptilnijoj analizi lokalnih ekstrema (v. De…niciju 3.1.3). Lema 3.1.2 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna u toµ cki 0 0 x0 . Ako je f (x0 ) < 0 (f (x0) > 0) onda postoji neki ² > 0 takav da je f (x) > f (x0) (f (x) < f (x0)) za svaki x 2 hx0 ¡ ²; x0 i i f (x) < f(x0 ) (f(x) > f (x0)) za svaki x 2 hx0; x0 + ²i.

3.1. DERIVACIJA

121

Dokaz. Obstojnost f 0 (x0) povlaµci funkcijinu de…niranost na nekom intervalu hx0 ¡ r; x0 + ri µ X, r > 0. Po de…niciji je (x 0) f 0 (x0) = lim f(x0 +¢x)¡f , ¢x ¢x!0

što povlaµci da za svaki h > 0 postoji neki ² > 0, ² · r, takav da je jf 0 (x0) ¡ f(x0 +¢x)¡f (x 0) j < h µcim je j¢xj · ². Slijedi, ako je f 0 (x0) < 0, onda je ¢x (x 0) f 0 (x0) + h < 0 µcim je jf 0 (x0)j > h, pa je tada i f(x0 +¢x)¡f < 0. Dakle, ¢x f (x0 + ¢x) > f (x0) µcim je ¢x < 0, a f (x0 + ¢x) < f (x0) µcim je ¢x > 0. Sliµcno se zakljuµcuje u sluµcaju f 0(x0 ) > 0. De…nicija 3.1.3 Re´ ci ´ cemo da funkcija f : X ! R , X µ R , ima u toµ cki x0 2 X lokalni minimum, odnosno, lokalni maksimum,T ako postoji interval I što sadrµ zi x0, takav da je, za svaki x 2 (X n fx0 g) I, f (x0) < f (x), odnosno, f (x0) > f(x). Zajedniµ cki naziv za vrijednost f (x0), koja je lokalni minimum ili lokalni maksimum, jest lokalni ekstrem. Napomena 3.1.8 Nijedan od lokalnih minimuma (lokalnih maksimuma) ne mora, op´cenito, biti najmanja (najve´ca) vrijednost promatrane funkcije. Primjerice, µcak ni ome†eno preslikavanje s (i beskonaµcno) mnogo lokalnih ekstrema ne mora imati (globalni) ekstrem . Ali ni obratno, µcak za preslikavanje na segmentu, minimum (maksimum) nije nuµzno najmanji (najve´ci) lokalni minimum (lokalni maksimum). Napomena 3.1.9 Po Fermatovu teoremu (Teorem 3.1.7), ako funkcija f ima u toµcki x0 lokalni ekstrem i ako postoji f 0 (x0) onda je f 0(x0 ) = 0. p 3 Primjer 3.1.22 Funkcija f : R ! R , f (x) = 1 ¡ x2, ima u to pµcki x0 = 0 lokalni (i globalni) maksimum (v. graf). Naime, f (0) = 1 > 1 ¡ 3 x2 = f (x) 1 za svaki x 6= 0. Me†utim, f nije derivabilna u 0. (f 0 (x) = ¡ 23 ¢ p 3 x za svaki x 6= 0; lim

x!0¡0

f (x)¡f (0) x¡0

= +1; lim

x!0+0

f (x)¡f(0) x¡0

= ¡1.)

Y 1

Gf X -1

O

1

De…nicija 3.1.4 Re´ ci ´cemo da je toµ cka x0 kriti µ cna toµ cka funkcije f : X ! R , X µ R , ako je f neprekidna u x0 i ili f nije derivabilna u x0 ili je f 0 (x0) = 0. Pritom, u sluµ caju f 0 (x0) = 0, x0 nazivamo i stacionarnom toµ ckom funkcije f . Lako je dokazati sljede´ci teorem:

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

122

Teorem 3.1.18 (Nuµzdan uvjet za ekstrem) Ako je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna u toµ cki x0 i ako postoji interval I takav da je x0 2 I µ X i f(x0 ) jest lokalni ekstrem, onda je x0 kriticµna tocµka od f . Primijetimo da obrat toga teorema ne vrijedi, jer iz f 0 (x0) = 0 ne slijedi da je vrijednost f (x0) lokalni ekstrem. Primjerice, za prirodnu potenciju x 7! f (x) = x3 (kubiranje) je f 0 (0) = 0, ali f (0) nije njezin lokalni ekstrem.

Da bismo u dvama sljede´cim teoremima pojednostavnili iskaze i dokaze dogovorimo se o ovomu: Re´ci ´cemo da funkcija f : X ! R , X µ R , prolazom kroz toµ cku x0 mijenja predznak, ako postoji ² > 0 takav su vrijednosti od f j(X \hx0¡²;x0 i) stalnog i protivnog predznaka vrijednostima od f j(X\hx0;x0+²i) . Naprotiv, ako su promatrane funkcijske vrijednosti stalnog i istog predznaka, kaµzemo da f prolazom kroz toµ cku x0 ne mijenja predznak. Teorem 3.1.19 (Prvi dostatni uvjet za ekstrem) Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna na intervalu I µ X. Ako prolazom kroz toµ cku x0 2 I derivacija (fjI )0 mijenja predznak, onda funkcija f ima u x0 lokalni ekstrem. Pritom, ako se, porastom varijable x, predznak od f 0 promijeni iz negativnoga u pozitivni, f u x0 ima lokalni minimum, a u protivnom - lokalni maksimum. Dokaz. Po pretpostavci, postoji ² > 0 takav da su vrijednosti od (fjhx0 ¡²;x0 i )0 stalnog i protivnog predznaka vrijednostima od (f jhx0;x0+²i )0 , hx0 ¡ ²; x0 + ²i µ I µ X: Neka je, recimo, f 0 (x) > 0 za svaki x 2 hx0 ¡ ²; x0i, a f 0 (x) < 0 za svaki x 2 hx0 ; x0 + ²i. Treba dokazati da je f (x0 ) lokalni maksimum, tj. da je f (x0) > f (x) za svaki x 2 hx0 ¡ ²; x0 + ²i n fx0 g. Promatrajmo bilo koji x 2 hx0 ¡ ²; x0i. Po Lagrangeovu teoremu postoji neki x1 2 [x; x0] za koji je f (x0) ¡f(x) = f 0 (x1)(x0 ¡x). Zbog f 0 (x1)(x0 ¡x) > 0 slijedi f (x0) > f (x). Promatrajmo sad bilo koji x 2 hx0; x0 + ²i. Lagrangeov teorem daje f (x) ¡ f (x0) = f 0 (x2)(x ¡ x0) za neki x2 2 [x0; x]. Zbog f 0 (x2)(x ¡ x0) < 0 opet slijedi f (x0) > f (x). Posve sliµcno se dokazuje kad f 0 prolazom kroz x0 mijenja predznak od ”¡” na ”+”. Teorem 3.1.20 (Drugi dostatni uvjet za ekstrem) Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , dvaput derivabilna u svojoj kritiµ cnoj toµ cki x0 i neka je f 00(x0 ) 6= 0. Tada funkcija f ima u toµ cki x0 ekstrem, i to maksimum µ cim je 00 00 f (x0 ) < 0, odnosno, minimum µ cim je f (x0 ) > 0. Dokaz. Budu´ci da postoji f 00 (x0), to po derivacijinoj de…niciji postoje neki ² > 0 i f 0 (x) za svaki x 2 hx0 ¡ ²; x0 + ²i ´ I µ X. Primijetimo da je kritiµcna toµcka x0 stacionarna jer po pretpostavci mora biti f 0 (x0) = 0. Razmotrimo sluµcaj f 00 (x0) > 0. Najprije, f 0(x)¡f 0 (x0 ) f 0(x) 0 < f 00 (x0) = lim = lim x¡x0 , x¡x 0 x!x0

x!x0

3.1. DERIVACIJA

123

pa je sgn f 0 (x) = sgn(x¡x0) za svaki x iz dostatno malog ²1-intervala I1 µ I oko toµcke x0 , 0 < ²1 · ². Dakle, ako je x < x0 onda je f 0 (x) < 0, a ako je x > x0 onda je f 0(x0 ) > 0. To znacµi da derivacija (f jI )0 prolazom kroz tocµku x0 mijenja predznak od ”¡” na ”+” pa, po Teoremu 3.1.18, funkcija f ima u toµcki x0 lokalni minimum: Posve sliµcno se dokaµze da u sluµcaju f 00 (x0) < 0 funkcija f ima u toµcki x0 lokalni maksimum. Primjer 3.1.23 Promatrajmo skup svih valjaka što se mogu upisati (naµcinom oslikanim na crteµzu dolje) u dani stoµzac odre†en baznim polumjerom r i visinom h. Kolika je visina onoga valjka što ima najve´ci obujam.

h y

x

r

Oznacµimo li s x polumjer, 0 · x · r, a s y visinu, 0 · y · h, upisanog valjka, dobivamo relaciju x : r = (h ¡ y) : h, tj. x = r(h¡y) h . Slijedi da je obujam upisanog valjka dan formulo 2 V = ¼x2y = ¼r y(h ¡ y)2. h2 Naš se zadatak, dakle, svodi na odre†ivanje ekstremnih vrijednosti (posebice, maksimuma) realne funkcije y 7! g(y) = V na segmentu [0; h]. Primijetimo da je funkcija g neprekidna (polinom), nenegativna i nekonstantna i da je g(0) = g(h) = 0. Po Teoremu 2.3.12, g poprima ekstremne vrijednosti na [0; h], pa je njezina najmanja vrijednost 0, a najve´ca vrijednost joj je pozitivna i postiµze se u nekoj toµcki y0 2 h0; hi : Budu´ci da je g derivabilna, po Fermatovu teoremu mora biti g 0 (y0 ) = 0. Da bismo ju odredili, riješimo jednadµzbu g 0(y) = 0, tj. 2 g0 (y) = ¼r h2 (h ¡ y)(h ¡ 3y) = 0; što daje y1 = h, y2 = h3 . Prvo rješenje otpada jer je g(h) = 0. Preostaje, dakle, ono drugo, tj. y0 = h3 . Da bismo se i formalno uvjerili da je najve´ci 2h 00 h obujam Vmax = g( h3 ) = 4¼r 27 , provjerimo je li g ( 3 ) < 0 (v. Teorem 3.1.19)! Zaista, 2 00 h ¼r2 h g00 (y) = 2¼r h2 (3y ¡ 2h) ) g ( 3 ) = ¡ h2 < 0. De…nicija 3.1.5 Re´ ci ´ cemo da je funkcija f : X ! R , X µ R , konveksna (konkavna) na intervalu ili segmentu I µ X, ako f (x1 )+f (x2 ) 2 (8x1; x2 2 I) x1 < x2 ) f ( x1+x 2 )¸ 2 f(x1 )+f(x2 ) 2 ((8x1 ; x2 2 I) x1 < x2 ) f ( x1 +x ): 2 )· 2 U sluµ caju stroge nejednakosti > ( tx0 (x). Budu´ci da je f neprekidna na [a; b], po Korolaru 3.3. postoji podsegment [x1 ; x2 ] µ [a; b] što sadrµzi toµcku x takav da je, za svaki x0 2 [x1; x2], f (x0) > t x0 (x0 ). Nadalje, po Teoremu 3.12. postoji x¤ 2 [x1; x2] takav da je f(x¤ ) = max(fj[x1; x2]). Budu´ci da je f derivabilna u x0, slijedi da pripadna sekanta nad [x0; x¤] (ili [x¤; x0]) nije sva “ispod” grafa Gf nad

3.1. DERIVACIJA

125

tim segmentom. Prema tomu, funkcija f j[a; b] nije konveksna - protuslovlje. Posve sliµcno se dokazuje u sluµcaju konkavne funkcije. Dostatnost. Neka je (8x0 2 ha; bi)(8x 2 [a; b]) f (x) · tx0 (x). Dokazat ´cemo da je funkcija f j[a; b] konveksna dokazuju´ci da je, za svaki par x1 · x2 u [a; b], pripadna sekanta “ispod” grafa Gf nad [x1; x2]. Pretpostavimo protivno, tj. da postoji neki podsegment [x1; x2] µ [a; b] za koji pripadna sekanta nije sva “ispod” grafa Gf . Budu´ci da je f neprekidna, tada bi postojao podsegment [x01 ; x02 ] µ [x1; x2] nad kojim bi sekanta bila strogo “iznad” grafa Gf . Štoviše, zbog derivabilnosti, postojao bi podsegment [x001 ; x002] µ [x01; x02] unutar kojega bi svaka sekanta bila strogo “iznad” grafa Gf . Slijedom toga, suµzenje f j[x001 ; x002 ] bi bila strogo konkavna funkcija pa bi, po dokazanoj nuµznosti, postojale toµcke x0 2 hx001 ; x002 i µ ha; bi i x 2 [x001 ; x002 ] µ [a; b] sa svojstvom f (x) > tx0 (x) - protuslovlje. Posve sliµcno se dokazuje konkavnost u sluµcaju (8x0 2 ha; bi)(8x 2 [a; b]) f (x) ¸ tx0 (x). Lema 3.1.4 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X i derivabilna na intervalu ha; bi ´ I. Tada je (8x0 2 ha; bi)(8x 2 [a; b]) f (x) · tx0 (x) (f (x) ¸ tx0 (x)) ako i samo ako je derivacija f 0 silazna (uzlazna) funkcija. Dokaz. Neka vrijedi (8x0 2 ha; bi)(8x 2 [a; b]) f (x) · tx0 (x). Tvrdimo da je tada derivacija f 0 silazna funkcija, t.j. (8x1; x2 2 ha; bi) x1 < x2 ) f 0 (x1) ¸ f 0 (x2). Pretpostavimo protivno, tj. da postoji toµckovni par x1 < x2 za koji je f 0 (x1) < f 0 (x2). Tada postoji toµcka x 2 hx1; x2i za koju vrijedi ili t x1 (x) < f (x) < t x2 (x) ili tx1 (x) > f (x) > tx2 (x), što protuslovi pretpostavci f(x) · tx1 (x) i f(x) · t x2 (x). Obratno, neka je f 0 silazna funkcija, tj. neka za svaki par x1 < x2 u ha; bi bude f 0 (x1) ¸ f 0 (x2). Tvrdimo da je tada (8x0 2 ha; bi)(8x 2 [a; b]) f (x) · tx0 (x). U protivnom, postojale bi toµcke x0 2 ha; bi i x¤ 2 [a; b] za koje bi bilof (x¤) > tx0 (x¤). Tada bi postojao i segment [x1; x2] oko x¤ sa svojstvom (8x 2 [x1; x2]) f (x) > tx0 (x). Zakljuµcujemo da bi nekom podsegmentu funkcija f morala rasti brµze od tangente tx0 . To bi povlaµcilo da (9x0 > x0 ) f 0 (x0 ) > f 0 (x0) µcim je x¤ > x0 ili (9x0 < x0 ) f 0 (x0 ) < f 0 (x0) µcim je x¤ < x0, što se protivi pretpostavci o silaznosti derivacije f 0. Sliµcno se dokazuje dualna tvrdnja.

126

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

Teorem 3.1.21 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , neprekidna na segmentu [a; b] µ X i dvaput derivabilna na intervalu ha; bi. Tada je f konveksna (konkavna) onda i samo onda, ako je f 00 (x) · 0 (f 00 (x) ¸ 0) za svaki x 2 ha; bi. Dokaz. Po Lemama 4.3.3. i 4.3.4., f j[a; b] je konveksna (konkavna) funkcija ako i samo ako je derivacija f 0 j ha; bi silazna (uzlazna) funkcija. Po Teoremu 3.1.16. (Teoremu 3.1.15.), derivacija f 0 j ha; bi je silazna (uzlazna) funkcija ako i samo ako je druga derivacija f 00j ha; bi · 0 (f 00 j ha; bi ¸ 0). De…nicija 3.1.6 Re´ci ´ cemo da funkcija f : X ! R , X µ R , ima u toµ cki x0 2 X obratište (ili in‡eksiju), ako postoji ² > 0 takav da je f na [x0 ¡ ²; x0] µ X strogo konveksna, a na [x0; x0 + ²] µ X strogo konkavna ili obratno. Toµ cku T ´ (x0; f (x0)) nazivamo in‡eksijskom toµ ckom na grafu Gf . Po Teoremu 3.1.20 slijedi da za dvaput derivabilnu funkciju f s obratištem u toµcki x0 mora vrijediti f 00(x0 ) = 0. Primijetimo da je taj uvjet nuzµdan ali ne i dostatan za obstojnost in‡eksijske toµcke. Kao (protu)primjer moµze posluµziti potencija x 7! x4 u toµcki x0 = 0. S tim u svezi, jednostavno je dokazati ovaj teorem: Teorem 3.1.22 Neka je funkcija f : X ! R , X µ R , dva puta derivabilna na ha; bi µ X i neka je x0 2 ha; bi. Ako je f 00 (x0) = 0 i ako prolazom kroz toµcku x0 druga derivacija f 00 mijenja predznak, onda funkcija f ima obratište u toµ cki x0. (Ekvivalentan uvjet, pored f 00 (x0 ) = 0, jest da prva derivacija 0 f ima u x0 lokalni ekstrem, odnosno, da f 0 prolazom kroz x0 ne mijenja predznak - usp. Teorem 3.1.18) Sljede´ci teorem malo pobliµze razluµcuje lokalni ekstrem od in‡eksije poop´cuju´ci tako Teoreme 3.1.19 i 3.1.21. Teorem 3.1.23 Neka funkcija f : X ! R , X µ R , ima na intervalu hx0 ¡ ²; x0 + ²i, ² > 0, derivaciju (n ¡ 1)-vog reda i n-tu derivaciju u toµ cki x0 , n ¸ 2. Tada vrijedi: (i) Ako je f 0 (x0) = ¢ ¢ ¢ = f (n¡1) (x0) = 0, f (n) (x0) 6= 0 i n paran, onda funkcija f ima u toµ cki x0 lokalni ekstrem i to lokalni maksimum kad je f (n) (x0) < 0, a lokalni minimum kad je f (n) (x0) > 0; (ii) Ako je f 00 (x0) = ¢ ¢ ¢ = f (n¡1) (x0) = 0, f (n) (x0) 6= 0 i n neparan, onda u toµ cki x0 funkcija f ima obratište. Dokaz. Ako je n = 2, tvrdnja je istinita po Teoremu 3.1.19. Neka je n ¸ 3. Primijenimo na f i x0 Taylorovu formulu s Lagrangeovim ostatkom Rn¡2(x), x = x0 + ¢x (v. Teorem 3.1.12, (58) i (60)): 0 f (n¡2) (x 0) 0) n¡2 + f (x0 + ¢x) = f (x0) + f (x 1! ¢x + ¢ ¢ ¢ + (n¡2)! (¢x)

3.1. DERIVACIJA +f

127

(n¡1) (x +#¢x) 0

(¢x)n¡1, 0 < # < 1. Pretpostavka povlaµci (n ¡1) (x +#¢x) 0 f(x0 + ¢x) ¡ f (x0) = f (n¡1)! (¢x)n¡1. Sada primjenom Leme 3.1.2 zakljuµcujemo (za j¢xj dostatno malen) da je, u sluµcaju f (n) (x0) < 0, f (n¡1) (x0 + #¢x) > f (n¡1) (x0) = 0; µcim je ¢x < 0, a f (n¡1) (x0 + #¢x) < 0; cµim je ¢x > 0, dok je, u sluµcaju f (n) (x0) > 0, f (n¡1) (x0 + #¢x) < 0; µcim je ¢x < 0 i f (n¡1) (x0 + #¢x) > 0; µcim je ¢x > 0. Po pretpostavci je n paran pa je n ¡ 1 neparan. Dakle, (n¡1) (x +#¢x) 0 f(x0 + ¢x) ¡ f(x0 ) = f (n¡1)! (¢x)n¡1 < 0; µcim je f (n) (x0) < 0, a f(x0 + ¢x) ¡ f (x0) > 0; µcim je f (n) (x0) > 0. Time je tvrdnja (i) dokazana. (ii). Opet ´cemo primijeniti pripadnu Taylorovu formulu s Lagrangeovim ostatkom Rn¡2(x), x = x0 + ¢x, koja se sada svodi na f (n¡1)(x0+#¢x) f(x0 + ¢x) = f (x0) + f 0 (x0)¢x + (¢x)n¡1. (n¡1)! Promatrajmo pripadnu tangentu t u x0 (v. dokaz Teorema 3.1.20) t : : : g(x) = f (x0) + f 0 (x0)(x ¡ x0). Primijetimo da je (n ¡1) (x +#¢x) 0 f(x0 + ¢x) ¡ g(x0 + ¢x) = f (n¡1)! (¢x)n¡1. (n¡1)!

Po Lemi 3.1.2 slijedi (za j¢xj dostatno malen) da je, u sluµcaju f (n) (x0) < 0, f (n¡1) (x0 + #¢x) > f (n¡1) (x0) = 0; µcim je ¢x < 0, a f (n¡1) (x0 + #¢x) < 0; µcim je ¢x > 0, dok je, u sluµcaju f (n) (x0) > 0, f (n¡1) (x0 + #¢x) < 0; µcim je ¢x < 0 i f (n¡1) (x0 + #¢x) > 0; µcim je ¢x > 0. Budu´ci da je n neparan to je n ¡ 1 paran, pa je (¢x)n¡1 > 0. Slijedi: (n ¡1) (x +#¢x) 0 f(x0 + ¢x) ¡ g(x0 + ¢x) = f (n¡1)! (¢x)n¡1 > 0;

µcim je f (n) (x0 ) < 0 i ¢x < 0; f(x0 + ¢x) ¡ g(x0 + ¢x) < 0; cµim je f (n) (x0 ) < 0 i ¢x > 0; f(x0 + ¢x) ¡ g(x0 + ¢x) < 0; µcim je f (n) (x0 ) > 0 i ¢x < 0; f(x0 + ¢x) ¡ g(x0 + ¢x) > 0; µcim je f (n) (x0 ) > 0 i ¢x > 0. Prema tomu, u sluµcaju f (n) (x0) < 0, na dostatno malom intervalu je lijevo od x0 funkcijski graf strogo ”iznad” tangente t, a desno od x0 strogo ”ispod” tangente t. Obratno je, pak, u sluµcaju f (n) (x0) > 0. Zakljuµcujemo da postoji neki ± > 0 takav da je, u sluµcaju f (n) (x0) < 0, funkcija f strogo konkavna na [x0 ¡ ±; x0] a strogo konveksna na [x0; x0 + ±], dok je u sluµcaju f (n) (x0) > 0 upravo obratno. Slijedi da u oba sluµcaja, µcim je dakle f (n) (x0 ) 6= 0, funkcija f ima u toµcki x0 in‡eksiju. Primjer 3.1.25 Odredimo lokalne ekstreme i obratišta za funkciju

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

128

f : R ! R , f(x) = ¡ 12 x2e¡x. Primijetimo da funkcija f (umnoµzak eksponencijalne funkcije i polinoma ) ima n-tu derivaciju f (n) za svaki n 2 N . Prva, druga i tre´ca derivacija od f jesu redom 2 f 0 (x) = ( x2 ¡ x)e¡x, 2 f 00 (x) = (¡ x2 + 2x ¡ 1)e¡x, 2 f 000 (x) = ( x2 ¡ 3x + 3)e¡x . Jednadµzba f 0 (x) = 0 ima za rješenja x1 = 0 i x2 = 2. Budu´ci da je f 00(0) = ¡1 < 0 i f 00 (2) = e¡2 > 0, funkcija f ima u toµcki 0 lokalni maksimum f (0) = 0, a u toµcki 2 lokalni (2) = ¡2e¡2. Jednadµzba f 00 (x) = 0 p minimum fp ima za rješenja p p x3 =p2 ¡ 2pi x4 = 2 + 2. Budu´ p ci da pje f 000 (2 ¡ 2) = ¡ 2e¡2+p 2 < 0 pi f 000 (2 + 2) = 2e¡2¡p 2 > 0, funkcija f ima tocµkama 2 ¡ 2 i 2 + 2 p obratišta. (U toµcki 2 ¡ 2 je prijelaz iz konkavnosti u konveksnost, a u 2 + 2 - iz konveksnosti u konkavnost.) p p p Ordinate in‡eksijskih topµcaka jesu f(2 ¡ 2) = (¡3 + 2 2)e¡2+ 2 i f(2 + p p 2) = (¡3 ¡ 2 2)e¡2¡ 2. Pri crtanju funkcijinog grafa dobro nam koriste i pravci (µcim postoje) prema kojima taj graf ”konvergira”. Toµcna de…nicija jest ova: De…nicija 3.1.7 Neka je dana funkcija f : X ! R , X µ R . Re´ci ´ cemo da funkcija f , odnosno njezin graf Gf , ima za asimptotu pravac p ¢ ¢ ¢ g(x) = kx + l, x 2 R , ako je lim jf ¡ gj = 0: 1

Pritom 1 oznaµ cuje bilo ¡1 bilo +1. (Primijetimo da X ne smije biti ome†en!) Ako je pritom k = 0, tj. g = c l , govorimo o vodoravnoj (ili horizontalnoj ) asimptoti, a ako je k 6= 0 - o kosoj asimptoti. U sluµ caju pravca p ¢ ¢ ¢ x = a, asimptotski uvjet jest lim f = 1; a§0

tj. da barem jedna od graniµ cnih vrijednosti funkcije f u toµ cki a, slijeva a ¡ 0 ili zdesna - a + 0, divergira prema ¡1 ili +1. Pritom kaµzemo da je p uspravna (ili vertikalna) asimptota od f, odnosno Gf . Y

Y p

O

Gf l

X l

x +1 y +1

O

x y p

Y

x +1 y l Gf p

Gf

c-0

+1

X

X O

a

Po De…niciji 3.1.7 je pravac p ¢ ¢ ¢ y = kx+l asimptota od Gf toµcno onda kad je lim jf (x) ¡ kx ¡ lj = 0 ili (63) x!¡1

3.1. DERIVACIJA

129 (64)

lim jf(x) ¡ kx ¡ lj = 0:

x!+1

Dijele´ci te relacije varijablom x i graniµcnim prijelazima x ! §1 dobivamo smjerovni koe…cijent k i odsjeµcak na Y -osi l: f (x) k = lim ; l = lim (f (x) ¡ kx); (65) x!1 x x!1 pri µcemu 1 oznaµcuje +1 ili ¡1. 2

x Primjer 3.1.26 Za racionalnu funkciju x 7! f (x) = 1+x odredimo pripadne asimptote. Primijetimo da je de…nicijsko podruµcje promatrane funkcije skup X = R nf¡1g. Za graniµcnu vrijednost u polu ¡1, lim f , dobivamo x2 x!¡1¡0 1+x

lim

(i

= ¡1

x2 x!¡1+0 1+x

lim

¡1

= +1), pa je pravac x = ¡1 uspravna

asimptota. Obstojnost neke kose ili vodoravne asimptote provjeravamo formulama (64), tj. x lim f(x) x = lim 1+x = 1 = k; x!1

x!1

¡x x!1 1+x

lim (f (x) ¡ kx) = lim

x!1

= ¡1 = l.

Prema tomu, pravac p ¢ ¢ ¢ y = x ¡ 1 jest kosa asimptota za f (v. crteµz). Y

X -1 O

-1

1

Radi lakšeg i cjelovitijeg istraµzivanja funkcijina tijeka i crtanja pripadnoga grafa Gf korisno je drµzati se sljede´cih naputaka, koji saµzimlju sva prethodna razmatranja: - odrediti de…nicijsko podruµcje X µ R (kad nije eksplicite navedeno); - istraµziti (ne)ome†enost; - istraµziti parnost i neparnost (kad god to ima smisla); - istraµziti (ne)periodiµcnost (kad god to ima smisla); - istraµziti ponašanje u blizini ”rubnih” toµcaka de…nicijskoga podruµcja; - odrediti sjecišta s koordinatnim osima (ako postoje); - istraµziti (ne)prekidnost; - istraµziti ponašanje u blizini prekidnih toµcaka; - odrediti asimptote (ako postoje); - istraµziti (ne)derivabilnost i odrediti kritiµcne toµcke; - istraµziti (ne)monotonost po intervalima; - odrediti lokalne ekstreme (ako postoje); - istraµziti (ne)konveksnost i (ne)konkavnost po intervalima; - odrediti in‡eksijske toµcke.

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

130

Primjer 3.1.27 Istraµzimo tijek i nacrtajmo graf realne funkcije zadane analitiµckim zapisom p y = 3 2x2 ¡ x3 . Iz zapisa slijedi da je X = R , tj. da se radi o funkciji f : R ! R , f (x) = p 3 2x2 ¡ x3. Jednostavnim uvidom otkrivamo da funkcija f nije parna ni neparna ni periodiµcka. Graf Gf presijeca Y -os (x = 0) u toµcki f(0) = 0, a X-os (f(x) = 0) u toµckama x1 = x2 = 0 i x3 = 2. Dakle, 0 i 2 su tzv. nultoµ cke funkcije f , pri µcemu je 0 dvostruka, a 2 jednostruka ili obiµcna nulto µcka. Budu´ci da je f elementarna funkcija, ona je neprekidna. Istraµzimo joj granicµno ponašanje q u 1! lim f = lim(x ¢ 3 2x ¡ 1) ) (lim f = +1; lim f = ¡1). 1

1

1

x2

¡1

+1

Posebice, funkcija q f nije ome†ena. Za asimptote, pogledajmo f(x) lim x = lim( 3 x2 ¡ 1) = ¡1 = k; 1 1 q q 3 2 ¡1+1 ( 0 ) (1¢0) 0 3 2 lim(f (x) ¡ kx) = lim(x( x ¡ 1 + 1)) = lim x 1 = 1 1 1 x p 1 2 ¢ ¡2 x2 3¢ 3 ( 2 x ¡1) lim = 23 , ¡1

pri µcemu smo rabili L’Hospitalovo pravilo (v. Teorem 3.1.11 i Napomenu 3.1.3). Dakle, pravac y = ¡x+ 23 je traµzena (kosa) asimptota. Primijenjuju´ci formalna derivacijska pravila ³ ´0 za elementarne funkcije, dobivamo 0 2 3 13 4¡3x f (x) = (2x ¡ x ) = ¢¢ ¢ = p , x 2 R nf0; 2g. 3 2 3

x(2¡x)

Primijetimo da f nije derivabilna u toµckama x = 0 i x = 2 pa su to dvije njezine kritiµcne toµcke. Tre´ca kritiµcna toµcka x = 43 je stacionarna (rješenje za f 0 (x) = 0). Nejednad µzba f 0 (x) > 0 postaje, mnoµze´ci ju s pozitivnim (0 6= x 6= 2) izrazom p 3x 3 x(x ¡ 2)2, nejednad - 4µz®bom x(4 ¡ 3x) > 0: Prema tomu, funkcija f je uzlazna na intervalu 0; 3 . Sliµcnom tehnikom se dobiva da je f silazna na S -4 ® h¢; 0i ; ¢ . 3 Lako se provjeri da postoji ² > 0 takav da je f(x) > f(0) = 0 za svaki x 2 h¡²; ²i n f0g (primjerice, ² = 1); pa funkcija f ima u kritiµcnoj (i svojoj dvostrukoj nul-) to µcki 0 lokalni minimum. S druge strane, prolazom kroz kritiµcnu (i svoju obiµcnu nul-) to µcku 2 funkcija f mijenja predznak, pa u njoj ne postoji lokalni ekstrem. (Poslije ´cemo vidjeti da funkcija f ima u tocµki 2 obratište.) Za istraµzivanje u tre´coj kritiµcnoj (stacionarnoj) toµcki 43 smijemo rabiti derivacije viših redova. Budu ³ ´ ´ci da je 2 0 ¡8 p f 00(x) = 13 (4 ¡ 3x)(x(2 ¡ x2))¡ 3 = ¢ ¢ ¢ = , x 2 R nf0; 2g, 3 2 9x(2¡x)

f 00( 43 )

4 3

x(2¡x) maksimum f( 43 ) = 23 .

to je < 0, pa f ima u toµcki lokalni Primijetimo da je f 00 (x) 6= 0 za svaki x iz svojega de…nicijskog podruµcja, pa funkcija f nema in‡eksije ni u jednoj toµcki u kojoj je dvaput derivabilna. Rješavaju´ ci nejednadµzbu f 00(x) > 0, mnoµze´ci ju pozitivnim izrazom 9x(2 ¡ p 3 2 x) x(2 ¡ x)2, dobivamo ekvivalentnu nejednadµzbu ¡8(2¡x) > 0. Njezino

3.1. DERIVACIJA

131

rješenje jest svaki x > 2. To znaµci da je funkcija f strogo konkavna na [2; ¢i. Na isti naµcin se dobiva da je f strogo konveksna na h¢; 0] i na [0; 2]. (Oprez! Funkcija f nije konveksna i na njihovoj uniji h¢; 2]; f nije konveksna ni konkavna ni na jednom intervalu što sadrµzi toµcku x = 0 ili to µcku x = 2.) Napokon, budu´ci da prolazom kroz toµcku 2 funkcije f od konveksne postaje konkavnom, to f ima obratište u (svojoj nul-) toµcki 2: Y _2 3 4 3

O

3.1.8

_2 3

2

X

Vjeµ zbe

1. Dokazati da je svaka toµcka x 2 Q ½ R neizolirana toµcka od Q . 2. Derivirati gra…µcki prirodnu potenciju x 7! x2 (kvadriranje): 2 3. Derivirati po de…niciji funkciju x 7! ex . p ¼ 4. Izraµcunati f 0 (e 6 ) ako je f : X ! R , X µ R , f (x) = 3 sin(ln x). 5. Neka su pravci t i n redom tangenta i normala u bilo kojoj toµcki na astroidi x = a cos3 ', y = a sin3 ', ' 2 [0; 2¼i (v. Primjer ??). Dokazati da je 4d(t; O)2 + d(n; O)2 = a2 , pri µcemu je O = (0; 0) ishodište, a d oznaµcuje udaljenost. 6. Neka je kuglin polumjer (izmjeren s pogrješkom) r = 3 cm §0; 1 mm. Odredit (do na pogrješku) kuglin obujam V . Rješenje. Oznaµcimo r0 = 3 cm i dr = ¢r = 0; 1 mm = 0; 01 cm. Po formuli (45) je 3 0 V = f (r) = 4¼r 3 = f (r0 ) § f (r0)dr = 4¼33 2 3 3 § 4¼3 ¢ 0; 01 = (36 § 0; 36)¼ cm . 7. Neka je jednadµzbama x = t + ln t i y = t2 parametarski zadana funkcija x 7! f(x) = y. Odrediti tangentu pripadnoga grafa Gf kojoj je smjerovni koe…cijent k = 1. Rješenje. Neka u diralištu (x0; y0) parametar ima vrijednost t0. Po formuli (2) iz §4.1.1 je (54)

1 = f 0 (x0) = ( yx__ )(t 0) =

2t0 1+ t1

0

=

2t20 t0 +1

) (t0 )1 = 1, (t0)2 = ¡ 12 .

Budu´ci da je (t0)2 = ¡ 12 izvan de…nicijskoga podruµcja (t 2 R +), traµzeno rješenje se dobiva za t0 = 1. Dakle, x0 = 1 + ln 1 = 1 i y0 = 1 2 = 1, pa je tangentina jednadµzba y = x. 8. Koliko µclanova Maclaurinova razvoja elementarne funkcije f(x) = ln(1 + x) treba uzeti da bi se broj ln 2 izraµcunao s toµcnosti do 10¡5 (tj. da apsolutna pogrješka ne bude ve´ca od 10¡5)? 9. Odrediti sumu s : X ! R potencijskoga reda

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

132 P (n+1)(n+2)

xn (usp. Primjer 3.1.20). 10. Smije funkcijski red P lisinse nx (a) ( n ¡ sin(n+1)x n+1 ), x 2 [0; 2¼]; P n (b) sin x, x 2 [0; ¼2 ¡ ²], ² > 0, derivirati ”µc£lan po ® µclan”? Pojasnite što se zbiva u primjeru (b) kad se ¼ dopusti x 2 0; 2 . 11. Neka je½funkcija f : R ! R zadana pravilom x2 sin 1x , x 6= 0 f(x) = . 0; x=0 Dokazati da postoji neki ² > 0 takav su vrijednosti f (x) < 0 za x 2 h¡²; 0i i f (x) > 0 za x 2 h0; ²i. Nadalje, dokazati da je funkcija f derivabilna, ali da nije monotona ni na jednom intervalu što sadrµzi to µcku x = 0 . Je li f 0 neprekidna u to µcki x = 0? 12. Dokazati ovaj Darbouxov teorem: Ako je funkcija f : X ! R , X µ R , derivabilna na segmentu [a; b] µ X i ako je f 0 (a) 6= f 0 (b), onda derivacija f 0 poprima svaku vrijednost izme†u f 0 (a) i f 0(b). (Primijetimo da f 0 ne mora biti neprekidna!) 13. Nekom pravokutniku dva vrha lezµe na grafu Gf , f (x) = x2x+1 , a druga dva na asimptoti toga grafa. Posve odrediti te vrhove pod uvjetom da pravokutnikova površina bude najve´ca. 14. Racµunom potvrditi da su x1 = 2 i x2 = 3 in‡eksijske tocµke za polinom p(x) = (2x ¡ 3)(x ¡ 3)5. Odrediti i pripadne intervale na kojima je p konveksan, odnosno, konkavan. 15. Provjerom potvrditi da su pravci x = 2; y = 3 i y = x2 + 4 asimptote za p 3 6 + x ¡1 . funkciju x 7! f(x) = 3 + x 4(x¡2) 2 16. Istraµziti funkcijin tijek i nacrtati pripadni graf: 1 (a) f (x) = xjxj ¡ 1; (b) f(x) = x + sin x; (c) f (x) = e x . 17. Istraµziti kakva svojstva ima funkcije f : R ! R u i ”blizu” toµcke x = 0, ako je f (0) = 0 i: 1 1 (a) f (x) = e¡ x2 , x 6= 0; (b) f (x) = xe¡ x2 , x 6= 0; (c) f (x) = x2 (2 + sin x12 ), x 6= 0; (d) f (x) = x2 sin 1x , x 6= 0; (e) f (x) = x2 (1 + x2 sin x1 ), x 6= 0. 2

3.2

NEODREÐENI INTEGRAL

In…nitezimalni raµcun, kako smo ve´c spomenuli, vuµce korijene iz Newtonovih i Leibnizovih radova o problemima ”trenutne” brzine i krivuljine tangente. Od tada pa do danas, skoro triipolstoljetna teorija, primjena i praksa pokazuju da se mnogi tehniµcko-tehnološki, a i ini problemi svode na probleme in…nitezimalnoga raµcuna. Me†u njima, pak, mnogi se svode na ovo pitanje: Je li dana realna funkcija f : X ! R , X µ R , derivacija neke realne funkcije g : X ! R ? Nadalje, ako je odgovor na to pitanje potvrdan, zadatak je odrediti funkciju g, tj. riješiti jednadµzbu (u skupu realnih funkcija R X )

3.2. NEODREÐENI INTEGRAL

133

g 0 = f, pri µcemu se za dani f traµzi g. Pokazat ´cemo da ta jednadµzba ili nema rješenja ili ih ima beskonaµcno mnogo. Skup svih pripadnih rješenja ´cemo nazvati (neodre†enim) integralom funkcije f i pritom ´cemo govoriti da smo funkciju f integrirali. Pokazat ´ce se da je integriranje tehniµcki neusporedivo sloµzeniji raµcun-postupak od deriviranja, premda se, na neki naµcin, radi o obratnomu raµcunu. Ovdje ´cemo, jednostavnosti radi i kad to ne bude imalo zasebnog utjecaja, nazivom interval i oznakom I obuhvatiti sve mogu´cnosti (v. 1.1.3): ha; bi, ha; b], [a; bi, [a; b], h¢; bi, ¢ ¢ ¢ , h¢; ¢i = R . Štoviše, ponekad ´ce I oznaµcavati i neku uniju disjunktnih intervala, jer ´ce, najµceš´ce, de…nicijska podruµcja promatranih funkcija biti ili intervali ili razlike nekih intervala i prebrojivih podskupova od R .

3.2.1

Pojam i osnovna svojstva neodre†enog integrala

De…nicija 3.2.1 Neka su dani interval (ili njihova unija) I, prebrojiv podskup A ½ I funkcija f : X ! R , pri µ cemu je I n A µ X µ R . Svaku neprekidnu funkciju F : I ! R sa svojstvom F 0 (x) = f (x) za svaki x 2 I nA, nazivamo primitivnom funkcijom za funkciju f na intervalu I. Primjer 3.2.1 F :R !R , 8 Funkcija 2 x > x < ¡2 < ¡ 2 + 2, 2 F(x) = x ¡ 4, 2 · x < 2 , > : x2 ¡ 2, x ¸2 2 je primitivna 8 funkcija za funkciju f : R nf¡2g ! R , x < ¡2 < ¡x; f(x) = 2x; ¡2 < x < 2 , : x, x¸2

Notation 3.2.1 Lema 3.2.1 Zadatak 3.2.2 jer je F 0 (x) = f(x) za svaki x 2 R nf¡2; 2g (v. crteµz). (Ovdje je I = R , X = R nf¡2g, A = f¡2; 2g.) Y

Gf

Gf

Gf

2 -2

GF

O

X

2

GF

Primijetimo da je ista 8 funkcija F primitivna funkcija8i za funkcije < ¡x, x · ¡2 < ¡x, x < ¡2 f1;2 : R ! R , f1(x) = 2x; ¡2 < x < 2 , f2 (x) = 2x; ¡2 · x < 2 , : : x; x ¸ 2 x; x ¸ 2 kao i za mnoge druge koje se smiju razlikovati od f , f1 ili f2 po vrijednostima u toµckama ¡2 i 2.

134

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

Primjer 3.2.2 Za funkciju f : R ! R , f (x) = 2x, su izme†u ostalih i ove funkcije primitivne (na I = R ): p F1(x) = x2, F2(x) = x2 ¡ 3, F3(x) = x2 + 5 (A = ;). 1 Funkcija x 7! G(x) = arcsin x je primitivna za funkciju x 7! g(x) = p1¡x 2 na I = X = h¡1; 1i, A = ;. (Primijetimo da se ovdje za I smije uzeti i [¡1; 1i, h¡1; 1], [¡1; 1] redom, s pripadnim suµzenjima od arcsin, µcim je A = f¡1g, f1g, f¡1; 1g redom.) Funkcija x 7! H(x) = 1x je primitivna za funkciju x 7! h(x) = ¡ x12 na I = X = R nf0g, A = ;. Napokon, primijetimo i to da je funkcija F1(x) = x2 primitivna ne samo za funkciju f (x) = 2x nego i za funkcije ½ ½ 2x, x 6= 1 2x, x 2 =N f 1(x) = , f2(x) = 0, x = 1 0, x 2 N Jedan od temeljnih teorema matematiµcke analize jest onaj o dovoljnim uvjetima za obstojnost primitivne funkcije. Mi ´cemo ga iskazati i dokazati (u posebnom sluµcaju) u idu´cemu odjeljku po uvo†enju pojma odre†enog integrala. A ovdje ´cemo dokazati da je, grubo govore´ci, dostatno poznavati jednu (bilo koju) primitivnu funkciju za danu funkciju f da bi se znale i ”sve” ostale njezine primitivne funkcije. No, to podrazumijeva pretpostavku da su te primitivne funkcije derivabilne (na cijelom intervalu) i da im se derivacije podudaraju (ali ne nuzµno s f jI u svakoj tocµki!). Teorem 3.2.3 Ako za danu funkciju f : X ! R , X µ R , postoji primitivna funkcija F : I ! R , I µ X, onda je svaka funkcija G : I ! R , G = F +cr jI , gdje je c r konstantna funkcija u (bilo koji) r 2 R , primitivna za funkciju f . Štoviše, ako su F; G : I ! R derivabilne primitivne funkcije za f i pritom je F 0 = G0 , onda je G = F + c r jI , za neki r 2 R . (Saµzeto: ”Derivabilna primitivna funkcija je jednoznaµ cno odre†ena do na aditivnu konstantu”.) Dokaz. Jasno, dostatno je dokazati drugu tvrdnju. Neka su F i G bilo koje dvije derivabilne primitivne funkcije za f na I i neka je F 0 = G0 . Tada je funkcija H : I ! R , H = G ¡ F , derivabilna i H 0 = c0jI . Promatrajmo bilo koje dvije to µcke x1 ; x2 2 I, x1 < x2. Suµzenje Hj[x1 ;x2 ] ima derivaciju jednaku nulkonstanti c 0jI pa je, po Teoremu 3.1.10, Hj[x1 ;x2 ] neka konstantna funkcija c r j[x1 ;x2 ] . Prema tomu, (G¡F)j[x1;x2] = c r j[x1 ;x2 ] ) G(x) = F(x)+r, x 2 [x1; x2]. Budu´ci da su F i G neprekidne funkcije i x1 ; x2 2 I bilo koje toµcke, to je G = F + cr jI . De…nicija 3.2.2 Za danu funkciju f : X ! R , X µ R , skup svih njezinih primitivnih funkcija na intervalu (ili njihovoj uniji) I nazivamo R neodre†enim integralom funkcije f na intervalu I i oznaµ cujemo s f(x)dx. U Rskladu s Teoremom 3.1.1, ima smisla pisati f (x)dx = F(x) + c; x 2 I n A;

3.2. NEODREÐENI INTEGRAL

135

gdje F neka (bilo koja) primitivna funkcija za f na I, a c oznaka za op´cu konstantu. Uobiµcajilo se funkciju f nazvati integrandom (ili podintegralnom funkcijom), x - integracijskom varijablom, a c - integracijskom konstantom. R Primjer 3.2.3 (a) sin xdx = ¡ cos x + c, jer je (¡ cos x + c)0 = sin x, x 2R . R dx 1 (b) p1¡x jer je (arcsin x+c)0 = p1¡x 2 = arcsin x+c, 2 , x 2 h¡1; 1i. µ½ ¶ ½ 2 R R 2x, x ¸ 0 x + c, x ¸ 0 (c) 2jxjdx = dx = , ¡2x, x < 0 ¡x2 + c, x < 0 µ½ ¶ ½ 0 x2 + c, x ¸ 0 2x, x ¸ 0 jer je = = 2 jxj, x 2 R . 2 ¡x + c, x < 0 ¡2x; x < 0 (Funkcija x 7! 2jxj nije derivabilna u toµcki x = 0, dok njezina primitivna funkcija to jest. Ta derivacija je 0, jer postoje derivacije slijeva i zdesna i obje išµcezavaju.) µ½ ¶ ½ R 2; x < 3 2x + c; x < 3 (d) dx = , 1; x > 3 x + c, x > 3 µ½ ¶0 ½ 2x + c; x < 3 2; x < 3 jer je = . x + c, x > 3 1; x > 3 (U ovomu primjeru nije svaka primitivna funkcija de…nirana u toµcki x = 3. Naime, tek je posebnim izborom konstanata c 2 = c 1 + 3 (c je op´ca oznaka!) mogu´ce udovoljiti uvjetu o neprekidnosti primitivne funkcije u toµcki x = 3. U takvomu sluµcaju, ipak, primitivna funkcija nije derivabilna u toj toµcki, jer joj je derivacija slijeva u toµcki 3 jednaka 2, a ona zdesna - 1.) Istinitost sljede´cega teorema je oµcigledna. R Teorem 3.2.4 Neka je f (x)dx = F (x) + c, tj. F 0 (x) = f (x) za svaki x 2 I n AR (oznake iz De…nicija 4.3.1 i 4.3.2) Tada na I n A vrijedi: (i) ( Rf (x)dx)0 = f (x) (”deriviranjem integrala dobivamo integrand”); (ii) d( R f(x)dx) = f (x)dx (”diferenciranje poništava integriranje”); (iii) dF(x)) = F (x) + c (”integriranje poništava diferenciranje do na konstantu”). Naredni teorem tvrdi da je neodre†eni integral primjer linearnog operatora (funkcionala). Teorem 3.2.5 Neka funkcije fi : X ! R , X µ R , i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n, n 2 N , dopuštaju primitivne funkcije na intervalu I µ X , te neka su ¸1; ¢ ¢ ¢ ; ¸n 2 R konstante. Tada i funkcija ¸1 f1 + ¢ ¢ ¢ + ¸nfn : X ! R dopušta primitivnu funkciju na I i vrijedi R R R (¸1f1(x) +¢ ¢ ¢ + ¸n fn(x))dx = ¸1 f1 (x)dx+ ¢ ¢ ¢ +¸n fn(x)dx +c; (1) tj. neodre†eni integral µ cuva (do na aditivnu konstantu) linearnu kombinaciju.

136

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

R Dokaz. Neka je Fi bilo koja primitivna funkcija za fi na I, tj. fi(x)dx = Fi (x) + c i, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n. Budu´ci da je Fi0(x) = f (x) za svaki x 2 I n Ai i Ai ½ I prebrojiv, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n, to je S (¸1F1 + ¢ ¢ ¢ + ¸nFn)0(x) = (¸1f1 + ¢ ¢ ¢ + ¸n fn )(x), x 2 I n ( ni=1 Ai). Sn Primijetimo da je i skup A ´ i=1 Ai ½ I prebrojiv. Slijedi da je (neprekidna) funkcija ¸1F1 + ¢ ¢ ¢ + ¸nFn : I ! R primitivna funkcija za funkciju ¸1 f1R + ¢ ¢ ¢ + ¸n fn : X ! R . Prema tomu (i k je oznaka za konstantu), (¸R1 f1(x) + ¢ ¢ ¢ + ¸nfn (x))dx = R ¸1F1(x) + ¢ ¢ ¢ + ¸nFn (x) + k = ¸1(R f1 (x)dx ¡ c1) + ¢ ¢ ¢R+ ¸n ( f n(x)dx ¡ c n) + k = ¸1 f1(x)dx + ¢ ¢ ¢ + ¸n fn (x)dx + c, c ´ k ¡ (¸1 c1 + ¢ ¢ ¢ + ¸n cn ). Napomenimo da u budu´ce u jednakostima sliµcnima onoj u Teoremu 3.2.5, op´cu konstantu c (c 1; c2; k; ¢ ¢ ¢ ) najµceš´ce ne ´cemo zapisivati, tj. u takvim ”jednakostima” ´cemo dopuštati da se lijeva i desna strana smiju razlikovati do na aditivnu konstantu. Teorem 3.2.5 o cµito povla R R µci: R R (f (x) § g(x))dxR = f(x)dx § g(x)dx; (¸f (x))dx = ¸ f (x)dx. R R R 3 (1) R Primjer 3.2.4 (4 cos x + x2 ¡ 3)dx = 4 cos xdx + 12 x3 dx ¡ 3 dx = 4 4 4 sin x + x8 ¡ 3x + c. (Jer, sin0 x = cos x, ( x4 )0 = x3 i (x)0 = 1.)

Neka µcitatelj provjeri (deriviranjem, v. §4.1.2) toµcnost ove tablice osnovnih integrala (na de…nicijskim podruµcjima podintegralnih funkcija): R R 0 ¢ dx = c; dx = x + c; R r xr+1 x dx = + c, r 6= ¡1; r+1 R ¡1 R dx x dx ´ = ln jxj + c; x R x x e dx = e + c; R x ax a dx = + c, 0 < a 6= 1; ln a R R R sin xdx = ¡cos x + c; R sinh xdx = cosh x + c cos xdx = sin x + c; cosh xdx = sinh x + c R 1 R 1 dx = tan x + c; dx = tanh x + c 2 cos x cosh2 x R 1 R 1 dx = ¡coth x + c 2 dx = ¡ cot x + c; sin x sinh2 x R 1 dx = arctan x + c1 = ¡ arccot x + c2; 1 + x2 R 1 p dx = arcsin x + c1 = ¡arccos x + c2 ; 1 ¡ x2 ½ ¯ ¯ R 1 ¯ 1 + x¯ arth x + c1, jxj < 1 1 ¯ ¯ + c; dx = = 2 ln ¯ arcth x + c2 jxj > 1 1 ¡ x2 1 ¡ x¯

(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),(80 ) (9),(90 ) (10),(100 ) (11),(110 ) (12) (13) (14)

3.2. NEODREÐENI INTEGRAL

137

p 1 p dx = arsh x + c = ln jx + x2 + 1j + c2; (15) 1 x2 + 1 R p 1 p dx = arch x + c1 = ln jx + x2 ¡ 1j + c2 . (16) 2 x ¡1 Neodre†ene integrale od (2) do (16) nazivamo tablic µnim integralima. R

3.2.2

Osnovne integracijske metode.

Neodre†ene integrale elementarnih funkcija što se mogu prikazati kao linearne kombinacije podintegralnih funkcija iz tablice gore, lako odre†ujemo primjenom Teorema 3.2.5. U takvim sluµcajevima kaµzemo da smo funkciju integrirali izravno (ili neposredno). R px R 7 (4) 12 2 p Primjer 3.2.5 (a) 2xp x 6 dx = 13 x 6 x + c; 3 x dx = 2 R R 2 x+cos2 x (1) R dx R (11),(10) (b) sin2 xdxcos2 x = sin dx = sin 2 x + cosdx2 x = sin2 x cos 2 x = ¡ cot x + tan x + c. Skup svih izravno integrabilnih funkcija proširujemo primjenom dvaju jednostavnih postupaka: uvo†enjem nove varijable (supstitucija) i prepoznavanjem diferencijala nekog umnoška (parcijalna integracija). Supstitucija se sastoji u tomu da se nekom dopustivom zamjenom integracijske varijable ili podintegralnog izraza polazni integral svede na neke od onih tabliµcnih. O tomu govore dva naredna teorema. Teorem 3.2.6 Neka za funkciju f postoji neka primitivna funkcija na intervalu I. Nadalje, neka je ' : J ! I, J - interval, strogo monotona i derivabilna surjekcija. Tada je R f(x)dx = ©('¡1(x)) + c; (17) gdje je © primitivna funkcija za funkciju Á ´ (f ') ¢ '0 na J. Drugaµ cijim zapisom, R R ((f') ¢ '0)(t)dt ´ Á(t)dt = ©(t) + c: Dokaz. Budu´ci da stroga monotonost realne funkcije povlaµci injektivnost, to je funkcija ' bijektivna. Postoji, dakle, inverzna funkcija '¡1 : I ! J za koju se lako dokaµze da je, tako†er, strogo monotona. Primijetimo da neprekidnost i stroga monotonost funkcije ' povlaµce neprekidnost inverzne funkcije '¡1 (v. Korolar 2.3.2). Nadalje, budu´ci da je ' i derivabilna, po Teoremu 3.1.4 zakljuµcujemo da je i '¡1 derivabilna. Ukratko, strogo monotona i derivabilna surjekcija ' ima inverznu funkciju '¡1 koja je, tako†er, strogo monotona i derivabilna. Po pretpostavci, postoji neka primitivna funkcija F za f na I. Tada je F 0(x) = f (x), x 2 I n A. Neka je B = '¡1[A] ½ J , pa je i B prebrojiv skup. Dokaµzimo da je F ' ´ © primitivna funkcija za (f ') ¢ '0 ´ Á na intervalu J! Zaista, za svaki t 2 J n B je ©0(t) = (F')0(t) = F 0('(t)) ¢ '0 (t) = f('(t)) ¢ '0(t) = ((f') ¢ '0 )(t) = Á(t),

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

138

pri µcemu smo iskoristili Teorema 3.1.3. Primijetimo da je ©'¡1 = (F')'¡1 = F pa je ©'¡1 primitivna funkcija za f na I. Teorem 3.2.6 jamµci da se, pod navedenim uvjetima, zadani integral smije 0 rješavati R zamjenom R x = '(t) i 0dx = ' (t)dt, tj. ´ R f (x)dx = f ('(t)) ¢ ' (t)dt Á(t)dt = ©(t) + c = ©('¡1(x)) + c = F(x) + c. Dakako, temeljna zamisao je u tomu da Rse na†e zamjenska funkcija ', koja ´ce poluµciti funkciju Á, tako da integral Á(t)dt bude ”tehniµcki” bitno jednostavniji (što bliµzi nekom tabliµcnom integralu) od polaznoga (netabliµcnog) R R f (x)dx. Naravno, idealno je ako se ”iz prve” za Á(t)dt dobije neki tabliµcni integral. R p 3 Primjer 3.2.6 (a) 1+px x dx = [x = t6; dx = 6t5dt] = R 1+t2 R R 2 (4) (1) R 4 5 4 2 t 3 ¢ 6t dt = 6(t + t )dt = 6 p t dt + 6 t dt = p p 5 3 6 ¢ t5 + 6 ¢ t3 + c = [t = 6 x] = 65 ¢ 6 x5 + 2 x + c; R dx R cos tdt R (b) = 3 = [x = sin t; dx = cos tdt] = 3 2 2 (1¡x

)2

(1¡sin

t) 2

dt (10) cos 2 t =

tan t + c = [t = arcsin x] = tan(arcsin x) + c = x px tan(arctan p1¡x + c; 2) +c = 1¡x2 R R dx dx (c) x2 +2x+2 = (x+1)2 +1 = [x = t ¡ 1; dx = dt] R (12) = t2dt = arctan t + c = [t = x + 1] = arctan(x + 1) + c. +1 (Podrazumijeva se, bez izriµcitog naglašavanja, da primjer pod (a) ima smisla samo za x > 0, a primjer pod (b) - samo za jxj < 1. S tim u svezi, primijetimo da funkcije t 7! t6 i sin nisu monotone, ali njihova suzµenja na R + i h¡1; 1i, redom, jesu strogo monotona.) Teorem 3.2.7 Neka je G primitivna funkcija za funkciju g na intervalu J , tj. G0 (t) = g(t), t 2 J n B, te neka je à : I ! J, I - interval, strogo monotona i derivabilna surjekcija. Tada je R g(Ã(x)) ¢ Ã0 (x)dx = G(Ã(x)) + c: (18) Drugim rijeµ cima, ako je f(x)dx = g(Ã(x))dÃ(x) za svaki x 2 I, pri µ cemu funkcije g i à imaju navedena svojstva, onda funkcija f = (gÃ) ¢ Ã0 ima na I primitivnu funkciju R R F = GÃ,0 tj. f(x)dx ´ g(Ã(x)) ¢ à (x)dx = G(Ã(x)) + c: Dokaz. Teorem 3.2.7 je, zapravo, preformulacija prethodnoga Teorema 3.2.6 u smislu da se umjesto zamjenske funkcije x = '(t) uvodi zamjenska funkcija t = Ã(x) = '¡1(x). Rp R p Primjer 3.2.7 (a) 2x + 3dx = 12 2x + 3¢2dx = [t = 2x+3; dt = 2dx] 3 R p R 1 p = 12 tdt = 12 t 2 dt = 12 ¢ t32 + c = 13 (2x + 3)3 + c. 2 R R (b) cos 5xdx = 15 cos 5x ¢ 5dx = [t = 5x; dt = 5dx] =

3.2. NEODREÐENI INTEGRAL 1 R5

139

R

cos tdt = 15 sin t + c = 15 sin 5x + c. R 1 2xdx xdx 2 (c) (1+x ¢ 2 )r = 2 r = [t = 1 + x ; dt = 2xdx] = ( 2 (1+x ) ( 1 1 ln(1 + x 2) + c, R r=1 ln jtj + c, r = 1 2 1 dt 2 = ¡r+1 = . r 1 t (1+x2 )¡r+1 1 2 t + c, r 6= 1 2 ¢ ¡r+1 + c, r 6= 1 2¢ ¡r+1 (d) Odredimo, po Teoremu 3.2.7, primitivnu funkciju F za f ako je g op´ca potencija t 7! g(t) = tr . r+1 Po (4) i (5) je, redom, G(t) = tr+1 kad je r 6= ¡1 i G(t) = ln jtj kad je t = ¡1. Dakle, ( Ã(x)r+1 R R r 6= ¡1 . r+1 + c, f (x)dx ´ g(Ã(x))¢Ã0(x)dx = G(Ã(x))+c = ln jÃ(x)j + c, r = ¡1 Ili, u praktiµcnijem zapisu, R f 0 (x) f (x) dx = ln jf (x)j + c i R r+1 f(x)r f 0 (x)dx = f (x) r+1 + c; r 6= ¡1:

Parcijalna integracija se sastoji u tomu da se pogodnim izborom realnih funkcija x 7! g(x) i x 7! h(x); takvih da je g(x)h0 (x)dx = f (x)dx, iR primjenom diferencijala na produktnu funkciju x 7! g(x)h(x), integral f (x)dx ili bitno pojednostavni ili da postane nepoznanicom u lako rješivoj jednadµzbi. Teorem 3.2.8 Ako su funkcije g; h : I ! R , I - interval (ili njihova unija), neprekidno derivabilne, onda vrijedi R R g(x)h0 (x)dx = g(x)h(x) ¡ h(x)g0 (x)dx: (19) Dokaz. Ovdje se najprije pozivamo na Teoreme 2.3.2 i 2.3.4, što ´cemo ih dokazati (neovisno o ovomu) u sljede´cemu odjeljku, koji jamµce obstojnost primitivnih funkcija na I za gh0 i hg0 . Tada primjenom formule (1), Teorema 3.1.5R i Teorema 3.2.4R dobivamo R 0 0 g(x)h (x)dx + h(x)g (x)dx = (g(x)h0 (x) + g0 (x)h(x))dx = R (g ¢ h)0 (x)dx = g(x)h(x), što je ekvivalentno formuli (19). Uobiµcajilo se uvesti pokrate g(x) = u i h(x) = v pa formula (19) ima i zapis R R udv = uv ¡ vdu: R Primjer 3.2.8 (a) xexdx = [u = x; dv = exdx; du = dx; R R (19) v = exdx = ex] = xex ¡ exdx = xex ¡ ex + c. R (19) (b) ln xdx = [u = ln x; dv = dx; du = dx ; v = x] = x R R = (ln x)x ¡ x dx x = x ln x ¡ dx = x ln x ¡ x + c. R (19) (c) x2 cos xdx = [u = x2; dv = cos xdx; du = 2udu; v = sin x] = R (19) x2 sin x ¡ 2 x sin xdx = [u = x; dv = sin xdx; du = dx; v = ¡ cos x] =

140

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

R x2 sin x ¡ 2(¡xcos x + cos xdx) = x2 sin x + 2x cos x + 2 sin x + c. (d)R Odredimo, za svaki n 2 N , integral dx (1+x2 )n ´ In : Za n = 1 se radi o tabliµcnomu integralu (12),tj. I1 = arctan x + c. Neka n ¸ 2. Tada R je dx R 1+x2je¡x2 R R x2 dx dx = (1+x2 )n (1+x 2) n dx = (1+x 2) n¡1 ¡ (1+x2 )n , tj. R x2 dx In = In¡1 ¡ (1+x 2) n . R x2 dx Primijenimo parcijalnu integraciju na (1+x 2 )n , n ¸ 2, uzevši u = x; dv = R xdx xdx ¡1 (1+x 2) n ; du = dx; v = (1+x2 )n = 2(n¡1)(1+x2 )n ¡1 (v. Primjer 3.2.7(c)). Slijedi, R x2dx R ¡x 1 dx = + = 2 n 2 n¡1 (1+x ) 2(n¡1)(1+x ) 2(n¡1) (1+x2 )n ¡1 ¡x 1 + 2(n¡1) In¡1. 2(n¡1)(1+x2 )n¡1 Dobili smo, dakle, rekurzivnu formulu x 2n¡3 In = 2(n¡1)(1+x (20) 2 )n¡1 + 2(n¡1) In¡1: Primjerice, za n = 2 i n = 3 je, redom, R dx x 1 x 1 I2 ´ (1+x 2 2 = 2(1+x2 ) + 2 I1 = 2(1+x2 ) + 2 arctan x + c, R dx ) x 3 x 3x 3 I3 ´ (1+x2)3 = 4(1+x 2 )2 + 4 I2 = 4(1+x 2) 2 + 8(1+x 2) + 8 arctan x + c.

3.2.3

Integriranje nekih klasa elementarnih funkcija

Integralni raµcun, tj odre†ivanje primitivnih funkcija je, kao što smo ve´c mogli primijetiti, tehniµcki sloµzen posao. Jedna poteško´ca proizlazi iz µcinjenice da primitivna funkcija za (i relativno jednostavnu) elementarnu funkciju ne mora biti elementarna. Druga, pak, jest sama bit integralnoga raµcuna, tj. i kad je primitivna funkcija elementarna (tada se kaµze da je integral elementarno rješiv), njezino je odre†ivanje, osim u rijetkim sluµcajevima (tabliµcni ili njima vrlo sliµcni integrali) samo po sebi tehniµcki sloµzen posao. Ovdje ´cemo pokazati nekoliko tehnika integriralnoga raµcuna u sluµcaju elementarno rješivih integrala. (i) Integriranje racionalnih funkcija. Polinom (tj. cijelu racionalnu funkciju) x 7! p(x) integriramo po formuli (1). Budu´ci da se svaka racinalna funkcija x 7! f (x) = p(x) ze zapisati kao q(x) moµ zbroj od polinoma (prikljuµcuju´ci u ovomu razmatranju k njima i konstantne funkcije) i prave racionalne funkcije, neka je odmah stupanj m od p manji od stupnja n od q. Osim toga, smijemo pretpostaviti da polinomi p i q nemaju zajedniµckih nultoµcaka (realnih ili kompleksnih). Naime, po tzv. ”Osnovnom teoremu algebre”, koji tvrdi da svaki (nekonstantni) polinom ima barem jednu nultoµcku, slijedi da svaki polinom p dopušta faktorizaciju p(x) ´ amxm + ¢ ¢ ¢ + a1 x + a0 = am (x ¡ x1) ¢ ¢ ¢ (x ¡ xm ), gdje su x1; ¢ ¢ ¢ ; xm 2 C . Ako se pritom ne µzeli operirati kompleksnim brojevima, onda se ne istiµcu linearni faktori x ¡ xi, xi 2 C , (koji se uvijek _ javljaju s parovima konjugirano kompleksnih nulto µcaka xi, xj = xi ), nego

3.2. NEODREÐENI INTEGRAL

141

ih se ”skriva” u pripadnim kvadratnim faktorima tipa x2 + bx + c. Osim toga, višekratne nultoµcke se, obiµcno, ne rastavlja, tj. tada se piše (x ¡ xi )s i i (x2 + bx + c)kj , gdje su si i kj pripadne kratnosti: Temeljna zamisao jest da se polazna (prava) racionalna funkcija f = pq prikaµze kao zbroj jednostavnijih racionalnih funkcija, koje u nazivnicima imaju prirodne potencije navedenih linearnih ili kvadratnih faktora iz faktorizacije od q. Pritom se rabi tzv. metoda neodre†enih koe…cijenata, koja se, u biti, temelji na µcinjenici da su dva polinoma jednaka onda i samo onda kad su im koe…cijenti uz iste potencije jednaki. Neka je, dakle, q(x) ´ bn xn + ¢ ¢ ¢ + b1 x + b0 = bn (x ¡ x1)s1 ¢ ¢ ¢ (x ¡ xr )sr (x2 + c1 x + d1 )k1 ¢ ¢ ¢ (x2 + c l x + dl )kl , r l P P pri µcemu su si; kj 2 N , i = 1; ¢ ¢ ¢ ; r, j = 1; ¢ ¢ ¢ ; l, si + 2 kj = n, i=1

j=1

a x1 ; ¢ ¢ ¢ ; xr sve realne i me†usobno razliµcite nultoµcke od q, dok su svi kvadratni trinomi x2 + cj x + dj me†usobno razliµciti i bez realnih nultoµcaka. Tada, za svaki i i svaki j, postoje realni brojevi Aisi , Bjkj i Cj kj takvi da je p(x) q(x) =

A1s1 A2s2 Arsr 1 A11 A21 Ar1 bn ( x¡x1 +¢ ¢ ¢+ (x¡x 1) s1 + x¡x2 +¢ ¢ ¢+ (x¡x2 )s2 +¢ ¢ ¢+ x¡xr +¢ ¢ ¢+ (x¡x r ) sr + B1k 1 x+C1k1 B2k2 x+C2k2 B11x+C 11 B21 x+C21 x 2c1 x+d1 + ¢ ¢ ¢ + (x2 c1x+d1 )k1 + x 2c2 x+d2 + ¢ ¢ ¢ + (x 2c2 x+d2)k 2 + ¢ ¢ ¢ + Blkl x+Clk l Bl1 x+Cl1 (21) x 2cl x+dl + ¢ ¢ ¢ + (x2 cl x+dl ) kl ).

Koe…cijenti Ais i , Bjkj i Cjkj se odre† uju tako da se jednakost (21) pomnoµzi polinomom q(x) i potom izjednaµce koe…cijenti uz iste potencije. Kao zakljuµcak, rastav (21) i formula (1) povlaµce da se integriranje (prave) racionalne R funkcije, p(x) dx, svodi na izraµcunavanje sljede´ca tri (tipiµcna) neodre†ena q(x) integrala: R dx R (x+b)dx R dx ; ; s 2 k (x¡a) (x +cx+d) (x2 +cx+d) k ; gdje su s; k 2 N i a; b; c; d 2 R . Prvi od njih zamjenom x ¡ a = t postaje tabliµcnim integralom (4) ili (5). Drugi rješavamo kako slijedi: R (x+b)dx R (2x+c)dx R (c¡2b)dx 1 1 = ¡ 2 k 2 k (x +cx+d) 2 (x +cx+d) 2 (x2+cx+d)k : Prvi integral na desnoj strani se zamjenom x2 + cx + d = t opet svodi tabliµcni integral (4) ili (5), a za drugi integral na desnoj strani primijetimo da je c2 ¡ 4d < 0 pa je 2 2 x¡ c x2 + cx + d = (x ¡ c2 )2 + d ¡ c4 = (d ¡ c4 )(( q 2 2 )2 + 1). Sada zamjenom

x¡ c q 2 2 d¡ c4

d¡ c4

= t dobivamo integral iz Primjera 3.2.8(d): Napokon,

tre´ci integral je istoga tipa kao upravo promatrani drugi integral na desnoj strani gore. R x3+2x2 +3x¡6 Primjer 3.2.9 Izraµcunajmo integral (x+1)(x 2 +2x+3)2 dx: Budu´ci da se integrira prava racinalna funkcija i kvadratni trinom x2 + 2x + 3 nema realnih nultoµcaka, smijemo odmah prije´ci na ”rastavljanje na

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

142 parcijalne razlomke” (21):

¯

x3 +2x 2+3x¡6 A Bx+C Dx+E ¯¢(x+1)(x2+2x+3)2 (x+1)(x2 +2x+3) 2 = x+1 + x 2+2x+3 + (x2 +2x+3)2 x 3+2x 2+3x¡6=A(x 2+2x+3) 2+(Bx+C)(x+1)(x2 +2x+3)+(Dx+E)(x+1)

=(A+B)x4 +(4A+3B+C)x3 +(10A+5B+3C+D)x2 +(12A+3B+5C+D+E)x+(9A+3C+E)

Izjednacµavanjem koe…cijenata uz iste potencije dobivamo 0 = A+B 1 = 4A + 3B + C 2 = 10A + 5B + 3c + D 3 = 12A + 3B + 5C + D + E ¡6 = 9A + 3C + E Rješenje ovoga linearnog sustava (v. §2.1.4) je A = ¡2, B = 2, C = 3, D = 3, E = 3. Prema tomu (v. i Primjer 3.2.7(d)), R x3+2x2 +3x¡6 R ¡2 R R 3x+3 dx = x+1 dx + x22x+3 dx + (x2+2x+3) 2 dx = (x+1)(x2 +2x+3)2 R +2x+3 R R 2x+2 1 3 2x+2 ¡2 ln jx + 1j + x2 +2x+3 dx + x2 +2x+3 dx + 2 (x2 +2x+3)2 dx = R 2 ¡1 dx ¡2 ln jx + 1j + ln(x2 + 2x + 3) + 2(( x+1 + 32 ¢ (x +2x+3) = ¡1 p )2 +1) 2 p 2+2x+3 3 p ¡ = ln x(x+1) 2 arctan x+1 + c. 2 + 2(x2 +2x+3) 2 (Neka µcitatelj provjeri ovaj ishod deriviranjem!) (ii) Integriranje kompozicije trigonometrijske i racionalne funkcije. Ovaj R tip neodre†enog integrala se obiµcno oznaµcuje s R(sin x; cos x)dx; R gdje R je R op´ca oznaka za razlomaµcki izraz. U trivijalnom sluµcaju sin xdx i cos xdx dobivamo dva tabliµcna integrala (8) i (9). Nadalje, po Teoremu 3.2.7 (v. dobivamo R i PrimjerR3.2.7(d)) sin x tan xdx = dx = ¡ ln j cos xj + c; cos x R R cos x = ln j sin xj + c; R cot xdx = sin x dx sin x ¢ cos xdx = 12 sin2Rx + c. U op´cem sluµcaju se integral R(sin x; cos x)dx svodi na integral racinalne R funkcije, tj. na p(t) q(t) dt, p i q polinomi, koji se onda rješava tehnikom iz prethodnoga razmatranja (pod (i)). Najop´cenitija zamjenska funkcija jest x 7! Ã(x) = tan x2 ´ t (x ´ '(t) = 2 arctan t). Ona povlaµci: 2t 1¡t2 2t 1¡t2 2dt sin x = 1+t 2 ; cos x = 1+t2 ; (tan x = 1¡t2 ; cot x = 2t ) dx = 1+t2 :(22) Ako je funkcija R ”parna”, tj. ako je R(¡ sin x; ¡cos x) = R(sin x; cos x); mogu´ce je to svo†enje provesti zamjenskom funkcijom à = tan, tj. t = tan x (x = arctan t) koja povlaµci: t2 1 1 dt 2 sin2 x = 1+t (23) 2 ; cos x = 1+t 2 ; (cot x = t ); dx = 1+t2 : Napokon, u najjednostavnijim slu c ajevima µ R R R(sin x) cos xdx i R(cos x) sin xdx

3.2. NEODREÐENI INTEGRAL

143

rabimo, redom, zamjenske funkcije à = sin i à = cos, tj. t = sin x; dt = cos xdx; t = cos x; dt = ¡ sin xdx

(24) (240 )

2dt R R 2 +1 (22) R 1+t2 Primjer 3.2.10 (2+cosdxx) sin x = = tt3 +3t dt = ¢ ¢ ¢ = 1¡t2 2t (2+ 1+t2 ) 1+t2 R R 1 dt 1 2tdt 1 2 1 x 2x 3 t + 3 t2 +3 = 3 ln jt(t + 3)j + c = 3 ln j tan 2 ¢ (tan 2 + 3)j + c.

Budu´ci da funkcija sin ima samo prebrojivo diskretnih nultoµcaka, promatrani se integral moµze izraµcunati i ovako: R R R (24 0) dx sin xdx sin xdx = = = 2 2 x) sin x x) (2+cos R (2+cos R dt x) sin1 xR dt (2+cos R x)(1¡cos dt 1 1 dt (2+t)(1¡t2) = ¢ ¢ ¢ 3 t+2 + 6 t¡1 ¡ 2 t+1 = ¢ ¢ ¢ = 1 6

2

(t¡1) ln j (t+2) (t+1)3 j + c =

1 6

2

(cos x¡1) ln j (cos x+2) j + c. (cos x+1) 3

Napomena 3.2.1 (a) Primijetimo da se izraµcunavanjem neodre† enog integrala razliµcitim metodama (ili samo razliµcitm zamjenskim funkcijama) mogu dobiti ”razliµcite” primitivne funkcije. Ali, kao što znamo, one se mogu razlikovati u najviše prebrojivo mnogo toµcaka i do na aditivnu konstantu. To npr. znaµci da su na svakom intervalu I ½ R , na kojemu su oba rezultata iz Primjera 3.2.10 de…nirana, ona i me†usobno jednaka do na aditivnu konstantu. (b) Posve sliµcno integriranju kompozicije trigonometrijske i racionalne funkcije, R integrira se i kompozicija hiperbolne i racionalne funkcije, R(sinh x; cosh x). (iii) Integriranje nekih klasa iracionalnih funkcija. Primitivna funkcija za iracionalnu funkciju nije, op´cenito, elementarna R funkcija, tj. neodre†eni integral f (x)dx iracionalne funkcije f nije, op´cenito, elementarno rješiv. Ovdje ´cemo razmatrati samo neke elementarno rješive tipove neodre†enih integrala iracionalnih funkcija. Najprije promotrimo najjednostavnijemtipiµcne sluµcajeve. Prvi tip je integral m1 R k R(x n 1 ; ¢ ¢ ¢ ; x nk )dx; mi; ni ; k 2 N ; i = 1; ¢ ¢ ¢ ; k: (R je, kao i do sada, op´ca oznaka za racionalni izraz.) Ovaj se integral svodi na integral racionalne funkcije zamjenskom funkcijom (v. i Primjer 3.2.6(a)) t 7! '(t) = tn ´ x; n = V (n1 ; ¢ ¢ ¢ ; nk ): (V oznaµcuje najmanji zajednicµki višekratnik, v. § 1.4.6, Zadatak 5.) Istom se tehnikom izraµcunava i drugi tipiµcni integral (poop´cenje prvoga) mk m1 R n1 ; ¢ ¢ ¢ ; ( ax+b ) nk )dx; R(( ax+b ) mi ; ni; k 2 N ; i = 1; ¢ ¢ ¢ ; k; cx+d cx+d stavljaju´ci ax+b n n = V (n1; ¢ ¢ ¢ ; nk ): cx+d = t ; Primjer 3.2.11

R

q 8¡ 64x¡1 x q dx 3 ( 64x¡1 )2 x

= [n = 6;

64x¡1 x

= t6 ; x =

1 ; 64¡t6

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

144

R 8¡t3 R 6t5 dt 6t5 dt tdt dx = (64¡t ¢ = ¡6 6 )2 ] = 4 2 2 2(t2+2t+4)(t2¡2t+4) 2 = t (64¡t ) (t¡2)(t+2) R A1 A2 A3 B1 t+C1 B2t+C2 B3 t+C3 ¡6 ( t¡2 + t+2 + (t+2) 2 + t2+2t+4 + t2 ¡2t+4 + (t2 ¡2t+4)2 ) = ¢ ¢ ¢ (v. (i)). Sada se integralom R pozabavimo p R(x; ax2 + bx + c)dx: Zamjenskom funkcijom x 7! Ã(x) = p2ax+b 2

jb ¡4acj

´ t svodimo ga na jedan od

ovih: R p R p R p (a) R(t; 1 ¡ t2 )dt; (b) R(t; t 2 ¡ 1)dt; (c) R(t; t2 + 1)dt. Proslijediti moµzemo na nekoliko naµcina. Primjerice, zamjenama (a) t = sin z; (b) t = sin1 z ; (c) t = tan z dobivamo integrale racionalnih funkcija (od) trigonometrijskih funkcija - (ii), a tzv. p Eulerovim zamjenama p p (a) 1 ¡ t2 = z(1 ¡ t); (b) t2 ¡ 1 = t + z; (c) t 2 + 1 = t + z odmah dobivamo integrale racionalnih funkcija - (i). Sljede ´ci tipiµcni integral što ga promatramo jest R p(x) p dx; q(x)

pri µcemu je p bilo koji polinom, a q reducirani kvadratni polinom zadan bilo kojim od pravila 1 ¡ x2 , x2 ¡ 1, x2 +1. Poznate µcinjenice iz diferencijalnoga raµcuna jamµce da se pripadna primitivna funkcija moµze odrediti rješavanjem jednadRµzbe p R pp(x) dx = (An¡1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + A1x + A0) q(x) + B pdx ; q(x)

q(x)

gdje je n stupanj od p, po nepoznanicama (neodre†enim koe…cijentima) A0, ¢R¢ ¢ , An¡1, B. Oµcito, polazni integral se tada svodi na tabliµcni integral pdx . Postavljena jednadµzba se rješava tako da joj se obje strane deriviq(x) p raju, pomnoµze s q(x) te izjednaµce koe…cijenti uz iste potencije dobivenih polinoma. Ovomu pripada i integral R tipu p(x) p dx; m 2 N ; m x ¢

q(x)

jer se zamjenom x = Primjer 3.2.12

R

1 t

na njega svodi.

p dx x+ x 2+6x+10

R

dx = (x+3) 2+1 R p dt] = t¡3+dt = t2 +1 z 2+1 dt = ¡ 2z 2 dz] =

=

p

x+

[x + 3 = t; x = t ¡ 3; dx = p 2 [ t2 + 1 = t + z; t = 1¡z 2z ; 2 R R ¡ z2z+1 2 dz z+3 = ¢ ¢ ¢ = 16 (1 + z(3z¡1) )dz = ¢ ¢ ¢ = 2 1¡z 1¡z 2 1 6 (z

2z

¡3+

2z

+z

+ 10 ln j3z ¡ 1j ¡ ln jzj) + c, 3p p gdje je z = t2 + 1 ¡ t = x2 + 6x + 10 ¡ x ¡ 3.

p R 2 2 +9) R x2 4x2 + 9dx = xp(4x 2 +9 dx = 4x p R dx (Ax3 + Bx2 + Cx + D) 4x2 + 9 + E p4x 2 +9 .

Primjer 3.2.13

R

4 2 4x p +9x dx 4x 2+9

=

3.2. NEODREÐENI INTEGRAL

145

Deriviranjem dobivamo p x2 4x2 + 9 = p 4x p E (3Ax2 + 2Bx + C) 4x2 + 9 + (Ax3 + Bx2 + Cx + D) p4x , 2+9 + 4x2 +9 p pa mnoµzenjem s 4x2 + 9 i sre†ivanjem slijedi 4x4 + 9x2 = 16Ax4 +12Bx3 + (27A + 8C)x2 + (18B +4D)x+ (9C + E). Izjednaµcavanjem odgovaraju´cih koe…cijenata dobivamo linearni sustav s jedin9 stvenim rješenjem: A = 14 , B = 0, C = 32 , D = 0, E = ¡ 81 32 . Prema tomu, p R 2p R dx 3 2 + 9 ¡ 81 p x 4x2 + 9dx = ( x4 + 9x ) 4x = ¢ ¢¢ = 32 32 4x2 +9 p p 1 81 3 2 2 32 (8x + 9x) 4x + 9 ¡ 64 ln j2x + 4x + 9j + c: Razmotrimo, napokon, tzv. binomni integral, tj. R s x (a + bxr )pdx; p; r; s 2 Q : (25) Op´cenito, on nije elementarno rješiv. Skup svih elementarno rješivih binomnih integrala karakterizira ovaj teorem: Teorem 3.2.9 Binomni integral (25) je elementarno rješiv onda i samo s+1 onda, ako je barem jedan od brojeva p, s+1 r , r + p cijeli broj. Dokaz. Dokazati nuµznost je vrlo zahtjevno, a i zašlo bi izvan okvira ovih skripata. Stoga ´cemo dokazati samo ( bitno jednostavniju) dovoljnost. Primijenimo prvo supstituciju t = xr , što povlaµci R R s 1 1 s 1 x (a + bxr )pdx = [x = t r ; dx = 1r t r ¡1dt] = 1r t r (a + bt)p t r ¡1dt = R R 1 p s+1 a+bt p s+1 r ¡1dt = 1 r +p¡1 dt. r (a + bt) t r ( t ) t Ako je p cijeli broj onda zamjena t = zn, n - (najmanji) nazivnik od s+1 r , svodi taj integral na integral racionalne funkcije; ako je, pak, s+1 cijeli broj r onda zamjena a+bt = zn, n - (najmanji) nazivnik od p, svodi taj integral na integral racionalne funkcije; ako je, napokon, s+1 r +p cijeli broj onda zamjena a+bt = z n, n - (najmanji) nazivnik od p, vodi k integralu racionalne funkcije. t R p Primjer 3.2.14 3 3x ¡ x3 dx = R 1 p 1 p ]= x 3 (3 ¡ x2) 3 dx = [p = 13 , r = 2, s = 13 ; t = x2, x = t, dx = 2dt t R R 1 2 1 1 1 3¡t 3 3 + 3 ¡1 s+1 2 1 1 3¡t 3 ( ) t dt = [ + p = + = 1 2 Z ] = ( ) dt = 2 t r 3 3 R 2 t z3 3 , t = 3 , dt = ¡9z 2dz ] = ¡ 9 [ 3¡t = z dz = 3 3 2 3 2 z +1 (z +1) 2 (z +1) Rt 9 ( A + B Cz+D + Ez+F )dz = ¢ ¢ ¢ (v. (i)). + 2 z+1 (z+1)2 z2 ¡z+1 (z 2¡z+1) 2

3.2.4

Integriranje funkcijskog reda

Pod integralom (konvergentnog) funkcijskog reda

P

fn smatramo neo1 P dre†eni integral (ako postoji) pripadne sume x ! 7 s(x) = f n(x). Bun=1

du´ci da, op´cenito, s nije elementarna funkcija, to je izraµcunavanje integrala

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

146 R

1 R P ( fn(x))dx vrlo netrivijalni zadatak. Ipak, u posebnom n=1 P sluµcaju jednoliko konvergentnog reda fn (v. §3.2.6) neprekidnih funkcija fn , integral funkcijskoga reda se dopušta integriranje ”µclan po µclan”. Ako su pritom preslikavanja fn elementarno integrabilna, zadatak postaje i praktiµcno rješiv. Dokaµzimo prvo odgovaraju´ci teorem.

s(x)dx ´

Teorem 3.2.10 Ako su fn : [a; b] ! R preslikavanja, n 2 N ; i funkcijski red 1 P P fn jednoliko konvergira prema funkciji s : [a; b] ! R ; s(x) = fn, onda n=1

s dopušta primitivnu funkciju na [a; b] i ona se moµze dobiti integriranjem ”µ clan po µ clan”, tj. 1 1 R R R P P s(x)dx ´ ( f n(x))dx = f n(x)dx + c. n=1 P n=1 Posebice, za potencijski red an xn na njegovu konvergencijskom intervalu vrijedi 1 1 1 R P P R P an n+1 ( an xn )dx = an xn dx = + c. n+1 x n=0

n=0

n=0

Dokaz. U op´cemu sluµcaju se lako zakljuµci da s dopušta primitivnu funkciju. (Neprekidnost svih funkcija fn i jednolika konvergencija povlaµce neprekidnost funkcije s (v. Korolar 2.3.5), pa se smiju primijeniti Teoremi 3.3.2 i 3.3.4 što ´cemo ih dokazati u idu´cemu odjeljku.) Dokazati valjanost same formule o integrabilnosti ”µclan po µclan”, u op´cemu je sluµcaju popriliµcno sloµzeno. Zato ´cemo ovdje razmatrati samo poseban sluµcaj potencijskog P an n+1 reda. Slicµno dokazivanju Teorema 3.1.14, prvo se dokaµze da red n+1 x P n ima isti kovergencijski polumjer ½ kao i polazni red an x . Nadalje, lako se P P vidi da konvergencija brojevnoga reda an½n ( an (¡½)n ) povlaµci konverP an n+1 P an genciju brojevnoga reda ( n+1 (¡½)n+1). Prema tomu, funkcin+1 ½ P an n+1 jski red konvergira u svim toµckama u kojima konvergira pon+1 x 1 1 P P an n+1 )0 = P a x n tencijski red anxn. Po Teoremu 3.1.14 je ( n n+1 x n=0

n=0

na konvergencijskomu intervalu h¡½; ½i. Dakle, funkcija S : h¡½; ½i ! R , 1 P an n+1 S(x) = , jest primitivna funkcija funkcije s : h¡½; ½i ! R , n+1 x n=0

s(x) =

1 P

n=0

an xn na intervalu h¡½; ½i.

Primjer 3.2.15 Razvijmo u potencijski red (ne rabe´ci Maclaurinovu formulu) funkciju arctan j[¡1;1] : [¡1; 1] ! R . Prisjetimo se, prvo, sume geometrijskoga reda 1 P 1 (¡1)nx2n ´ 1 ¡ x2 + x4 ¡ x6 + ¢ ¢ ¢ = 1+x jxj < 1. 2, n=0

1 , pa je Drugo, derivacija arctan 0 x = 1+x 2 1 P arctan0 x = (¡1)n x2n, jxj < 1. n=0

3.2. NEODREÐENI INTEGRAL Prema tomu,

R

arctan x = 1 R P

147

1 R P T.4.2.8 arctan0 xdx + c = ( (¡1)n x2n)dx + c =

n 2n

(¡1) x dx + c =

n=0

1 P

n=0

n=0

2n+1 (¡1)n x2n+1

+ c, x 2 h¡1; 1i.

Budu´ci da 0 = 0, to je c = 0. Osim toga, primijetimo da funkciP je arctan 2n+1 jski red (¡1)n x2n+1 konvergira i u toµckama x = ¡1 i x = 1. Postavlja se pitanje, konvergira li on u tim toµckama, redom, prema funkcijskim vrijednostima arctan(¡1) (= ¡¼4 ) i arctan 1 (= ¼4 ) ili prema nekim drugim toµckama (?). Nu, temeljem Korolara 2.3.7 i µcinjenice da je funkcija arctan preslikavanje (neprekidna, posebice u toµckama ¡1 i 1), smijemo napokon zakljuµciti da je 1 P 2n+1 arctan x = (¡1)n x2n+1 ; x 2 [¡1; 1]: n=0

Integriranjem funkcijskih, posebice potencijskih, redova mogu se izraµcunati mnogi elementarno nerješivi integrali. Primjer 3.2.16 Izraµcunajmo neodre†eni integral funkcije 2 (a) f : R ! R , f (x) = e¡x ; (b) g : R nf0g ! R , g(x) =

sin x x .

(a) Budu´ ci da je (v. Primjer 4.1.16) Zadatak 3.2.11 ex = e

¡x 2

= 2

1 P

n=0

1 P

n=0 1 P

(¡x2 )n n!

=

n=0

4

xn n!

2

n

´ 1 + 1!x + x2! + ¢ ¢ ¢ + xn! + ¢ ¢ ¢ , x 2 R , 2n

(¡1)n xn! ´ 2n

1 ¡ x1! + x2! + ¢ ¢ ¢ + (¡1)n xn! + ¢ ¢ ¢ , x 2 R . Prema tomu, 1 1 R ¡x2 R P 2n 2n T.4.2.8 P R e dx = ( (¡1)n xn! )dx = (¡1)n xn! dx = 1 P

n=0

n=0

n=0

x2n+1

(¡1)n (2n+1)n! + c.

(b) Sjetimo se da je (v. Primjer 4.1.16) 1 P 3 5 x 2n+1 x2n+1 sin x = (¡1)n (2n+1)! ´ x ¡ x3! + x5! ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n (2n+1)! +¢¢¢ , x 2 R , n=0

pa je

f(x) = 2

sin x x 4

=

1 P

2n

x (¡1)n (2n+1)! ´

n=0

2n

x 1 ¡ x3! + x5! ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n (2n+1)! + ¢ ¢ ¢ , x 2 R nf0g. Uoµcimo da funkcijski red na desnoj strani konvergira i u to µcki x = 0 i to prema broju 1. Budu´ci da je i lim sinx x = 1 (v. Primjer 2.3.3), to funkcijski x!0 P x 2n red (¡1)n (2n+1)! konvergira prema (neprekidnoj) funkciji ½ sin x x , x 6= 0 . g : R ! R , g(x) = 1, x = 0

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

148

Po De…niciji 3.2.1, funkcije f i g imaju istu primitivnu funkciju na R . Slijedi, 1 R sin x R R R P T.4.2.8 x2n dx = f (x)dx = g(x)dx = ( (¡1)n (2n+1)! )dx = x 1 R P

n=0

3.2.5

(¡1)

n

x 2n (2n+1)! dx

Vjeµ zbe

=

1 P

n=0

n=0

(¡1)

n

x2n+1 (2n+1)(2n+1)!

+ c.

1. Odrediti onu primitivnu funkciju F za funkciju sin koja u to µcki x = ¼ ima vrijednost 7. R Rješenje: sin xdx = ¡ cos x + c, pa iz F(¼) = 7 slijedi c = 7 + cos ¼ = 6. Dakle, F (x) = ¡ cos x + 6. 2. Primjenom integracije sljede´ce rekurzivne formule: R n x parcijalne R n¡1 dokazati n x x (a) x e dx = x e ¡ n x e dx, n 2 N ; R R n¡1 (b) cosn xdx = cos nx sin x + n¡1 cosn¡2 xdx, n 2 N . n 3. Izraµcunati neodre†eni integral funkcije x 7! f (x) = cos1 x . 4. Provjeriti toµcnost ove formule (pod uvjetom jaj 6= jbj): R 1 1 (cos ax ¢ cos bx)dx = 2(a¡b) sin(a ¡ b)x + 2(a+b) sin(a + b)x + c. Koja se formula dobiva u sluµcaju jaj = jbj? 5. Provjeriti toµcnost ovoga p raµcuna: Rp 1 ¡ x2dx = 12 (x 1 ¡P x2 + arcsin x) + c. sinpnx 6. Smije li se funkcijski red clan po µclan” na R ? n n integrirati ”µ P 1 7. Izraµcunati integral funkcijskoga reda fn, fn (x) = n4 +x 2. R cos x 8. Izraµcunati dx (nije elementarno rješiv!). x

3.3

ODREÐENI INTEGRAL

Pojam odre†enog integrala je, povijesno, tijesno povezan s problemom izraµcunavanje ploštine ”krivocrtnog” ravninskog lika. On (ne i njegov naziv), dakle, davno prethodi pojmu neodre†enog integrala. Temeljnu ideju (na konkretnim primjerima) nalazimo ve´c kod starogrcµkoga genija Arhimeda. Sam naziv je došao mnogo poslije i tek kad se shvatila duboka povezanost tih dvaju pojmova, koju su, dakako, otkrili I. Newton i G.W. Leibniz. Grubo govore´ci, konkretno izraµcunavanje površine ”krivocrtnog” ravninskog lika, kao i mnštvo srodnih problema u matematici, …zici i tehnici, svodi se na izraµcunavanje vrijednosti neode†enog integrala (primitivne funkcije) - odatle naziv odre†eni integral, iako na prvi pogled, po de…nicijama, ta dva pojma nemaju ”ništa” zajedniµcko.

3.3.1

Pojam i osnovna svojstva odre†enog integrala

Za toµcno de…niranje odre†enog integrala trebamo, prvo, malo tehniµcke pripreme. Najprije ´cemo taj pojam de…nirati za neke ome† ene (realne) funkcije de…nirane na segmentu [a; b] ½ R . U tu svrhu, svaki konaµcni skup D ´

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

149

fx0; x1; ¢ ¢ ¢ ; xn g ½ [a; b] sa svojstvom fa; bg µ D, n 2 N , nazvat ´cemo rastavom (ili razdiobom) promatranoga segmenta [a; b]. Jednostavnosti radi, pretpostavljat ´cemo da navedeni zapis poštuje ure†aj na R , tj. da je a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b. Neka D ´ D([a; b]) oznaµcuje skup svih rastava D segmenta [a; b]. Primijetimo da je relacija µ (”biti podskup”) relacija parcijalnog ure†aja na D. Ako su D1; D2 2 D i D1 µ D2, kaµzemo da D2 pro…njuje (ili da je pro…njenje od) D1 . Uoµcimo da je parcijalno ure†eni skup (D; µ) usmjeren, tj. da za svaki par D1; D2 2 DSpostoji neki D 2 D koji pro…njuje D1 i D2 . (Takav je, primjerice, D = D1 D2.) Primjer 3.3.1 Skup D1 = f0; 12 ; 34 :1g je rastav segmenta [0; 1], S a skup 1 1 D2 = f0; 4 ; 2 ; 1g je drugi rastav toga segmenta. Njihova unija D1 D2 ´ D = f0; 14 ; 12 ; 34 :1g je tre´ci rastav koji pro…njuje oba prethodna. Neka je f : [a; b] ! R ome†ena funkcija. Svakom rastavu D ´ fx0; x1; ¢ ¢ ¢ ; xn g 2 D([a; b]) moµzemo pridijeliti broj, tzv. integralnu sumu (funkcije f), n P S(f ; D; »1 ; ¢ ¢ ¢ ; »n ) ´ S» (f; D) = f (»i )(xi ¡ xi¡1), i=1

pri cµemu su tocµke »i 2 [xi¡1 ; xi ], i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n, odabrane po volji, a » je pokrata za ure†eni n-slog (»i ). Jasno, drugaµcijim odabirom to µcaka »i dobivamo, za istu funkciju i isti rastav, novu integralnu sumu. De…nicija 3.3.1 Neka je f : [a; b] ! R ome†ena funkcija. Re´ ci ´ cemo da je funkcija f integrabilna (u Riemannovu smislu ili R-integrabilna) ako postoji broj J (f ) ´ J 2 R takav da, za svaki ² > 0, postoji neki rastav D0 segmenta [a; b] sa svojstvom da, za svaki rastav D što pro…njuje D0 i svaku integralnu sumu S» (f ; D), bude jS» (f ; D) ¡ Jj < ². Ili, simboliµ cki, f je integrabilna ako (9J 2 R )(8² > 0)(9D 0 2 D)(8D 2 D)(8S» (f ; D)) D ¶ D 0 ) jS» (f ; D) ¡ J j < ². Broj J nazivamo (Riemannovim) odre†enim integralom funkcije f . Za funkciju g : X ! R , X µ R , kaµzemo da je integrabilna na segmentu [a; b] µ X ako je njezino suµzenje f ´ gj[a;b] : [a; b] ! R integrabilna funkcija. Uobiµ cajilo se odre†eni integral J ´ J (f ) oznaµ cavati kao Rb R R f(x)dx ili f (x)dx ili, kra´ce, f: a

[a;b]

[a;b]

(Poslije ´cemo se uvjeriti da ta oznaka ima svoj puni smisao!) Pritom se kaµ ze da je a (b) donja (gornja) integralova granica, a segment [a; b] integracijsko podruµ cje. Primijetimo da nije sasvim o µcito je li De…nicija 3.3.1 posve korektna. Naime, nije izravno vidljivo da je broj J jedinstven. Zato ´cemo to sada provjeriti. Pretpostavimo da i broj K ima svojstvo što ga ima broj J iz

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

150

De…nicije 3.3.1. Tada, za svaki ² > 0, postoji neki dostatno …ni rastav D sa svojstvom (8S» (f ; D)) jS» (f ; D) ¡J j < ²2 ^ jS» (f ; D) ¡Kj < ²2 . Slijedi da je, za svaki ² > 0, jK ¡ J j < ², dakle, K = J (v. §1.4.6, Zadatak 20.). Izravno iz De…nicije 3.3.1 slijedi da za svaku funkciju f : [a; a] ! R odre†eni integral išµcezava, tj. Ra f (x)dx = 0. a

U svrhu prepoznavanja integrabilnih funkcija, ustanovljuju se odgovaraju´ci kriteriji. Ovdje ´cemo ustanoviti samo dva: jedan nuµzni i dovoljni i jedan dovoljni. Neka je, dakle, f : [a; b] ! R ome†ena funkcija i neka je D = fx0 ; ¢ ¢ ¢ ; xng bilo koji rastav segmenta [a; b]. Tada postoje brojevi mi ´ infff(x) j x 2 [xi¡1 ; xi ]g, Mi ´ supff (x) j x 2 [xi¡1; xi]g, te n P s(f; D) ´ mi(xi ¡ xi¡1 ), S(f; D) ´

i=1 n P

i=1

Mi(xi ¡ xi¡1), i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n.

Broj s(f ; D) (S(f; D)) nazivamo donjom (Darbouxovom) sumom (gornjom sumom) funkcije f za dani rastav D. Nadalje, postoje brojevi m ´ infff (x) j x 2 [a; b]g, M ´ supff (x) j x 2 [a; b]g i pritom je oµcito da za svaki rastav D i svaku integralnu sumu S» (f ; D) vrijedi m(b ¡ a) · s(f; D) · S» (f ; D) · S(f ; D) · M(b ¡ a). Primijetimo i da D1 µ D2 2 D([a; b]) povlaµci s(f; D1) · s(f; D2) · S(f; D2) · S(f; D1). Uoµcimo da postoje i brojevi (v. Teorem 1.4.7) J¤(f ) ´ supfs(f; D) j D 2 D([a; b])g, J ¤(f) ´ inffS(f; D) j D 2 D([a; b])g: J¤(f ) ´ J¤ nazivamo donjim (Riemannovim) integralom, a J ¤(f) ´ J ¤ gornjim (Riemannovim) integralom funkcije f. Pritom je (v. i crteµz dolje), za svaki rastav D, J ¤ ¡ J¤ · S(f ; D) ¡ s(f ; D), i, oµcito, J¤ · J ¤ , te J¤ · J · J ¤ µcim J postoji. 3 Y _ J*>s(f;D)= Σ1 mi(xi -xi-1) Gf 3 M1 _ J* 0. Po pretpostavci postoji (jedinstveni) broj J 2 R takav da vrijedi: (8² > 0)(9D0 2 D)(8D 2 D([a; b]))(8S» (f ; D)) D ¶ D0 ) jS» (f ; D) ¡ Jj < ². To i prethodno razmatranje povlaµce da, za svaki D ¶ D0, smijemo integralnu sumu S» (f ; D) zamijeniti pripadnom donjom s(f ; D) ili gornjom S(f; D) sumom. Dakle, js(f ; D) ¡ J j < ² i jS(f; D) ¡ Jj < ². Sada, odabravši ² = ±2 , dobivamo jJ¤ ¡J ¤j · js(f ; D)¡S(f ; D)j · js(f ; D)¡Jj+jJ ¡S(f ; D)j < ±2 + ±2 = ±, pa mora biti J¤ = J ¤, dakle i J¤ = J ¤ = J. Obratno, neka za ome†enu funkciju f : [a; b] ! R vrijedi J¤(f ) = J ¤(f ). Dokazat ´cemo da je f integrabilna, tj. da je J(f) = J¤(= J ¤). Odaberimo bilo koji ² > 0. Po de…niciji za J¤ i J ¤, postoje rastavi D¤; D¤ 2 D([a; b]) takvi da je J¤ ¡ ²3 < s(f; D¤) i J ¤ + 3² > S(f ; D ¤). S Neka je D0 = D¤ D¤ pa je D rastav od [a; b] koji pro…njuje D¤ i D¤. Budu´ci da se pro…njenjem donja (gornja) suma ne moµze smanjiti (pove´cati), to za svaki …niji rastav D ¶ D0 vrijedi J¤ ¡ ²3 < s(f; D) · J ¤ + 3² , dakle, S(f ; D) ¡ s(f; D) < J ¤ + ²3 ¡ (J¤ ¡ ²3 ) = 2² 3. Prema tomu, dobili smo da J¤ = J ¤ povlacµi sljede´ce: (8² > 0)(9D0 2 D)(8D 2 D([a; b])) D ¶ D0 ) js(f ; D) ¡ S(f; D)j < 2² 3. Budu´ci da je svaka integralna suma izme†u (·) pripadne donje i gornje sume, to je i js(f ; D) ¡ S» (f ; D)j < 2² 3. Napokon, da postoji trazµeni broj J = J(f ) i da je J = J¤(= J ¤) slijedi iz jS» (f ; D) ¡ J ¤j = jS» (f ; D) ¡ J¤ j · ² jS» (f ; D) ¡ s(f ; D)j + js(f; D) ¡ J¤j < 2² 3 + 3 = ². Teorem 3.3.2 Ako je ome†ena funkcija f : [a; b] ! R neprekidna na skupu [a; b] n A, gdje je A ½ [a; b] prebrojiv, onda je f integrabilna funkcija. Dokaz. U punoj op´cenitosti, dokaz iskazanoga teorema probija okvir ovih skripata. (Trebalo bi, naime, de…nirati pojmove kao što su Jordanova i Lebesgueova mjera i usvojiti neke sloµzenije topološke µcinjenice, a to se sve sustavno obra†uje na višim godinama matematiµckoga studija.) Ovdje ´cemo dokazati samo posebni sluµcaj toga teorema, ali još uvijek dovoljno op´cenit da pokrije vrlo široku klasu realnih funkcija (obuhva´caju´ci, dakako, sve elementarne i mnoge neelementarne funkcije): Svaka po dijelovima monotona funkcija f : [a; b] ! R je integrabilna.

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

152

Najprije primijetimo da po dijelovima monotonost povlaµci ome†enost realne funkcije f na segmentu [a; b] (v. §3.1.2). Naime, ako je f po dijelovima monotona, onda postoji rastav a = a0 < a1 < ¢ ¢ ¢ < an¡1 < an = b takav da su suµzenja fj[ai¡1;ai ] monotone (dakle i ome†ene) funkcije, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n. Dokaz posebnoga sluµcaja našega teorema rašµclanjujemo na dokaze ovih dviju tvrdnja: (i) Monotona funkcija f : [a; b] ! R je integrabilna; (ii) Ako su suµzenja od f : [a; b] ! R na podsegmente [a; c] i [c; b] integrabilne funkcije, onda je i f integrabilna funkcija i vrijedi: R R R f (x)dx = f(x)dx + f (x)dx. [a;b]

[a;c]

[c;b]

Dokaz za (i). Pretpostavimo da je funkcija f uzlazna. Tada je f (a) · f (x) · f (b) za svaki x 2 [a; b]. Aka je D = fx0 ; ¢ ¢ ¢ ; xng rastav od [a; b], onda je f (xi¡1 ) · f (x) · f(xi ) za svaki x 2 [xi¡1 ; xi ] i svaki i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n. Neka je, u skladu s prethodnim oznakama, mi ´ f (xi¡1 ) i Mi ´ f (xi ) (mi+1 = Mi), pa je n n P P s(f ; D) = f (xi¡1)¢xi i S(f; D) = f (xi)¢xi , ¢xi ´ xi ¡ xi¡1. i=1

Stoga je

i=1

js(f ; D) ¡ S(f; D)j = S(f; D) ¡ s(f ; D) = ¢x ¢

n P

i=1

(f (xi ) ¡ f (xi¡1 )) ·

b¡a k (f(b) ¡

n P

i=1

(f(xi ) ¡ f (xi¡1))¢xi ·

f(a)),

pri µcemu je ¢x = maxf¢xi j i = 1; ¢ ¢ ¢ ; ng · b¡a k za neki k 2 N . Ovo povlacµi da za svaki ² > 0 postoje n0 2 N i odgovaraju´ci rastav D0 segmenta [a; b]; takvi da je js(f ; D) ¡ S(f; D)j < ². Po tomu zakljuµcujemo da su za funkciju f donji i gornji Riemannov integral jednaki, J¤ = J ¤. Sada Teorem 3.3.1. povlaµci prvu tvrdnju u sluµcaju uzlazne funkcije f . Posve sliµcno se tvrdnja dokazuje kad je funkcija f silazna. Dokaz za (ii). Budu´ci da su suµzenja fj [a;c] i f j[c;b] integrabilne funkcije, za svaki ² > 0 postoje rastavi D1 = fx0 = a; x1 ; ¢ ¢ ¢ ; xk¡1; xk = cg od [a; c] i D2 = fxk = c; xk+1; ¢ ¢ ¢ ; xk+n¡1; xk+n = bg od [c; b] takvi da je, s uobiµcajenim oznakama, k P js(f j[a; c]; D1) ¡ S(f j[a; c]; D1)j = (Mi ¡ mi )¢xi < 2² , i=1 k+n P

js(f j[c; b]; D2 ) ¡ S(fj[c; b]; D2)j = (Mi ¡ mi )¢xi < 2² . i=k+1 S Primijetimo da je D1 D 2 ´ D rastav od [a; b], pa zbrajanjem relacija odozgor dobivamo nejednakost k+n P (?) jJ¤ ¡ J ¤ j · js(f; D) ¡ S(f ; D)j = (Mi ¡ mi )¢xi < ². i=1

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

153

Po Teoremu 3.3.1., to znaµci da je funkcija f integrabilna, tj. postoji J ´ Rb f (x)dx. Nadalje, oµcito je da vrijede i ove tri nejednakosti a

k P

i=1

mi ¢xi ·

Pk+n

Rc a

i=k+1 mi ¢xi

k+n P i=1

mi¢xi ·

Rb a

f (x)dx · ·

Rb c

k P

i=1

Mi¢xi,

f (x)dx ·

f(x)dx ·

k+n P

k+n P

Mi¢xi ,

i=k+1

Mi¢xi.

i=1

Iz njih, po (?), lako zakljuµcujemo da je, za svaki ² > 0, Rb Rc Rb j f (x)dx ¡ ( f (x)dx + f (x)dx)j < ², a

a

c

što, konaµcno, dokazuje tvrdnju (ii).

Uobicµajena geometrijska interpretacija odre†enog integrala jest ova: Neka S je f : [a; b] ! R ; f ([a; b]) µ R + f0g, ome†eno (i nenegativno) preslikavanje. Po Teoremu 3.3.1 slijedi da je funkcija f integrabilna, a po Teoremu 3.3.2 da je Rb J = f (x)dx = J¤ = J ¤. a

Oznacµimo slovom P ploštinu pseudotrapeza odre†enoga krivuljom (grafom) y = f (x) i pravcima y = 0, x = a i x = b. Svaku donju sumu s(f ; D), D 2 D([a; b]), smijemo shvatiti zbrojem ploština svih (pseudotrapezu) upisanih pravokutnika, odre†enih rastavom D, a svaku gornju sumu S(f; D) zbrojem ploština svih pripadnih opisanih provokutnika (v. crteµz dolje). Gf

Y

O

X

a

b

Oµcito je (8D 2 D) s(f ; D) · P · S(f; D), što onda povlaµci J¤ · P · J ¤. Slijedi, zbog J¤ = J ¤ , formula za površinu Rb P = f (x)dx: (1) a

Primijetimo da ima smisla de…nirati i Ra Rb f (x)dx = ¡ f (x)dx; a < b: b

a

Pritom se kaµze da odre†eni integral zamjenom svojih granica mijenja predznak. Sljede´ci teorem slijedi izravno iz De…nicije 3.3.1 (usp. i opis gore). Teorem 3.3.3 Ako je funkcija f : X ! R , X µ R , integrabilna na segmentu [a; b] µ X, onda je

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

154 (i)

f integrabilna i na svakom podsegmentu [c; d] µ [a; b]; Rd Rr Rd (ii) f(x)dx = f (x)dx + f (x)dx, c; d; r 2 [a; b]; c

c

(iii) m(b ¡ a) ·

Rb a

r

f (x)dx · M(b ¡ a), pri cµemu je m = infff (x) j

x 2 [a; b]g, a M = supff (x) j x 2 [a; b]g.

Sada ´cemo iskazati i dokazati tzv. Osnovni teorem integralnoga raµ cuna, koji onda izravno vodi k tzv. Newton-Leibnizovoj formuli što izraµcunavanje odre†enog integrala svodi na odre†ivanje primitivne funkcije, tj. pripadnoga neodre†enog integrala. Teorem 3.3.4 Ako je funkcija f : [a; b] ! R integrabilna onda je funkcija Rx F : [a; b] ! R ; F(x) = f (t)dt a

derivabilna u svakoj toµ cki x0 u kojoj je funkcija f neprekidna i pritom je F 0 (x0) = f (x0). Ako je skup svih prekidnih toµ caka funkcije f prebrojiv, onda je F primitivna funkcija za f. Dokaz. Pretpostavimo da je funkcija f neprekidna u toµcki x0, tj. da (8² > 0)(9± > 0)(8x 2 [a; b]) jx ¡ x0j < ± ) jf (x) ¡ f (x0)j < ². Prema tomu, na svakom segmentu [x0 ¡ j¢xj; x0 + j¢xj], j¢xj < ±, po Teoremu 3.3.3(iii) vrijedi x0 +¢x R 1 f(x0 ) ¡ ² · ¢x f(t)dt · f (x0) + ² (neovisno o sgn ¢x). x0

Po Teoremu 3.3.3(ii) je tada x 0+¢x R Rx0 1 f(x0 ) ¡ ² · ¢x ( f(t)dt ¡ f (t)dt) · f (x0) + ², tj. a

a

1 f(x0 ) ¡ ² · ¢x (F(x0 + ¢x) ¡ F (x0)) · f(x0 ) + ². To povlaµci da za j¢xj ! 0, dakle i ² ! 0, postoji graniµcna vrijednost (x0) F 0 (x0) ´ lim F(x0 +¢x)¡F = f(x0 ). ¢x ¢x!0

Da bismo dokazali i drugu tvrdnju, tj. da je F primitivna funkcija za f , dostatno je dokazati da je F preslikavanje. U tu svrhu, promatrajmo bilo koju toµcku x0 2 [a; b]. Po Teoremu 2.3.6, dovoljno je potvrditi da je limF = F(x0 ). Zaista, Rx limF = lim f (t)dt = lim x0

x!x0 a

=

x R0 a

f (t)dt + lim

¢x!0

x0

¢x!0 x0 +¢x R x0

x0 +¢x R a

x0 +¢x Rx0 R f (t)dt = lim ( f(t)dt + f (t)dt)

f (t)dt =

¢x!0 a

x R0

x0

f (t)dt = F (x0).

a

Naime, po Teoremu 3.3.3(iii) je m0¢x ·

x0 +¢x R x0

f(t)dt · M0¢x (za neke

m0 ¸ inf f i M0 · sup f na [a; b]); pa ¢x ! 0 povlaµci

x 0+¢x R x0

f (t)dt ! 0.

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

155

Neka je funkcija f : [a; b] ! R integrabilna i neprekidna u svim toµckama osim, moµzda, u prebrojivo mnogo njih. Tada je, po upravo dokazanom teoremu, funkcija Rx F : [a; b] ! R ; F (x) = f (t)dt; a

primitivna za funkciju f . Primijetimo da je F(a) = 0 pa je F(b) =

Rb

f (t)dt =

a

F (b) ¡ F(a). Pokaµzimo da to vrijedi i za svaku inu primitivnu funkciju. Teorem 3.3.5 Neka je skup prekidnih toµ caka integrabilne funkcije f : [a; b] ! R prebrojiv. Tada vrijedi Newton-Leibnizova formula: Rb f(x)dx = F (b) ¡ F(a);

(2)

a

pri µ cemu je F : [a; b] ! R bilo koja primitivna funkcija za f .

Dokaz. Neka je F bilo koja primitivna funkcija za f . Oznaµcimo s F1 Rx primitivnu funkciju za f iz dokaza Teorema 3.3.4, tj. F1(x) = f (t)dt. Po a

Teoremu 3.2.3, funkcije F i F1 se razlikuju do na aditivnu konstantu, tj. Rb F (x) = F1(x) + c za svaki x 2 [a; b]. Prema tomu, f (x)dx = F1(b) = a

F1(b) ¡ F1(a) = (F1 (b) + c) ¡ (F1(a) + c) = F(b) ¡ F(a). Pomo´cu Newton-Leibnizove formule, koju zapisujemo i u oblicima ¯ Rb f (x)dx = [F(x)]ba = F (x) ¯ba ; a

moµzemo lako izraµcunati odre†eni integral svake funkcije kojoj umijemo na´ci neodre†eni integral, odnosno, primitivnu funkciju. Primjer 3.3.2 Izraµcunajmo odre†eni integral J =

R5

¡1

(3x2 ¡ 2x + 5)dx.

Po dobivenoj formuli¯ i svojstvima neodre†enog integrala slijedi: J = (x3 ¡ x2 + 5x) ¯5¡1 = (5 3 ¡ 52 + 5 ¢ 5) ¡ ((¡1)3 ¡ (¡1)2 + 5(¡1)) = 125 ¡ (¡7) = 132.

Primjer 3.3.3 Izraµcunajmo ploštinu ravninskoga lika ome† enoga krivuljom 2 y = x5 i pravcima y = 0, x = 4 i x = 8 (v. crteµz). Y 10

y= _15 x2

P

O 4

P =

R8 4

x2 5 dx

=

1 5

R8 4

X 8 3

x2dx = 15 [ x3 ]84 =

1 448 3 3 15 (8 ¡ 4 ) = 15

(kvadratnih jedinica).

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

156

Primjer 3.3.4 Izraµcunajmo integral

R9 4

pdx . x¡1

Najprije pripadni neodre†eni R dx izraµcunajmo R integral: R p 2t 1 2 p = [x = t ; dx = 2tdt; t = x] = dt = 2 (1 + t¡1 )dt = t¡1 x¡1 p p 2(t + ln jt ¡ 1j) + c = 2( x + ln j x ¡ 1j) + c. Sada, primjenom Newton-Leibnizove formule, dobivamo: ¯ R9 dx p p p = 2( x + ln j x ¡ 1j) ¯94 = 2((3 + ln 2) ¡ (2 + ln 1)) = 2(1 + ln 2). x¡1 4

Primijetimo da se provedeni postupak moµze skratiti. Naime, kad god se za izraµcunavanje pripadnog neodre†enog integrala rabi neka zamjenska funkcija, treba u tu zamjenu ukljuµciti i integralove granice (i ”zaboraviti” polaznu varijablu). U našemu primjeru bismo tako dobili R9 dx p p [x = t2; dx = 2tdt; t = x; x1 = 4 ) t1 = 2; x2 = 9 ) t2 = 3] = x¡1 4 R3 2

2t t¡1 dt

= ¢ ¢ ¢ = [2(t + ln jt ¡ 1j)]32 = ¢ ¢ ¢ = 2(1 + ln 2).

Promatrajmo neprekidnu funkciju f : [a; b] ! R , a < b, kojoj je F : [a; b] ! R primitivna funkcija. Tada je, po Teoremu 3.3.4, funkcija F derivabilna pa na nju smijemo primijeniti Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti (Teorem 3.1.9): (9x0 2 ha; bi) F (b) ¡ F (a) = F 0 (x0)(b ¡ a), tj. Rb (9x0 2 ha; bi) f(x)dx = f (x0)(b ¡ a). a

Time smo dobili tzv. teorem o srednjoj vrijednosti integralnog raµ cuna.

Teorem 3.3.6 Za svako preslikavanje f : [a; b] ! R , a < b, postoji barem jedna tocµka c 2 ha; bi takva da je Rb 1 f (c) = b¡a f (x)dx: (3) a

Y

f(c)

O

X a

c

b

Napomena 3.3.1 De…nicija odre†enog integrala

R

[a;b]

f´

Rb

f (x)dx ome†e-

a

ne funkcije f : [a; b] ! R , a < b, dopušta de…nirati i odre†eni integral suµzenja te funkcije na bilo koji od intervala [a; bi, ha; b] ili ha; bi i to na isti naµcin, tj. R R R def. R f= = f = f. [a;bi

ha;b]

ha;bi

[a;b]

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

157

Napomena 3.3.2 Odre†eni integral ome†ene funkcije f : X ! R , X µ R , kojoj je de…nicijsko podruµcje X konaµcna unija disjunktnih (do na ”rubne” toµcke) segmenata ili intervala, de…nira se kao odre†eni integral trivijalnoga proširenja ½ f (x), x 2 X ~ ~ f : [a; b] ! R , f(x) = , 0, x 2 [a; b] n X te funkcije na neki (bilo koji) segment [a; b] što sadrµzi X. Prema tomu, n n n R R R R S P P (X = [ai ; b i], bi · ai+1 ) ) f = f~ = f~ = f. i=1

3.3.2

X

[a1 ;bn ]

i=1 [ai ;bi ]

i=1 [ai ;bi ]

Neki pribliµ zni integracijski postupci.

R µ Cest je sluµcaj da nismo u mogu´cnosti ekspilicite izraµcunati intrgral f (x)dx; Rb dakle, ”ni” pripadni odre†eni integral f (x)dx (kad postoji). (Izraµcunati a

konkretan odre†eni integral po de…niciji je, op´cenito, ”nemogu´ca” zada´ca!) Osim toga, ponekad se zbog sloµzenosti ili mukotrpnosti samog izraµcunavanja zadovoljavamo i relativno lako dobivenim neto cµnim rezultatom, ako je dostatno blizu toµcnoga rezultata. Kaµzemo da se u takvim sluµcajevima odre†eni integral procjenjuje, grublje ili …nije, ve´c prema potrebi. Jednu grubu procjenu daje formula Rb m(b ¡ a) · f(x)dx · M(b ¡ a) a

iz Teorema 3.3.3(iii).

Primjer 3.3.5 Procijenimo integral

¼=2 R ¼=4

sin x x dx:

Funkcija f : [ ¼4 ; ¼2 ] ! R je integrabilna jer je neprekidna. Po Teoremu 2.3.12, funkcija f poprima na segmentu [ ¼4 ; ¼2 ] svoju najmanju i najve´cu vrijednost; tj. m ´ inf f = min f , M ´ sup f = max f (na [ ¼4 ; ¼2 ]). Primijetimo da je f x x silazna funkcija. Naime (v. T.3.1.2), f 0 (x) = x cos x¡sin = cos (x¡tan x) · x2 x2 ¼ ¼ 0, x 2 [ 4 ; 2 ]. Slijedi da f ekstremne vrijednosti poprima na ”rubu”, tj. sin

¼

sin

¼

p

min f = f( ¼2 ) = ¼ 2 = 2¼ , max f = f ( ¼4 ) = ¼ 4 = 2 ¼ 2 . Napokon, po 2 4 Teoremu 3.3.3(iii.) dobivamo procjenu ¼=2 ¼=2 p p R sin x R sin x 2 ¼ ¼ 2 2 ¼ ¼ 1 2 ( ¡ ) · dx · ( ¡ ), tj. · dx · ¼ 2 4 x ¼ 2 4 2 x 2 : ¼=4

¼=4

Bolje (…nije) procjene odre†enog integrala (pseudotrapezove ploštine) postizµu se posebno prilago†enim postupcima - numeriµckim metodama, bit kojih se sastoji u dobro pogo†enom odabiru jednostavnih ravninskih likova što sveukupno pribliµzno prekrivaju promatrani psedotrapez. Sada ´cemo upoznati neke od tih postupaka. (a) Aproksimacija pravokutnicima. Integralne sume

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

158 J¡ =

n¡1 P

n P

f(xi )¢x i J+ =

i=0

f(xi )¢x

i=1 Rb

to bolje aproksimiraju integral J =

(4)

f (x)dx što je pripadni ekvidistantni

a

rastav D …niji. Ako je funkcija f neprekidna, pozitivna i uzlazna, pribliµzna vrijednost J¡ jest zbroj ploština svih pravokutnika s bazama duljine ¢x upisanih u pseudotrapez y = f (x), y = 0, x = a, x = b, a pribliµzna vrijednost J+ - zbroj ploština svih pravokutnika opisanih tomu pseudotrapezu (v. crteµz). Y

Gf

yn

J+

y1 y0

O

Jb=a+n ∆x

a a+∆x

X

Ako je funkcija f i monotona, oµcito je J¡ · J · J+ ili J+ · J · J¡.

(b) Trapezna formula. Ako se sve susjedne toµcke Ti = (xi; yi), yi = f (xi), i = 0; 1; ¢ ¢ ¢ ; n, spoje duµzinama, jednadµzbe tih duµzina (na pripadnim pravcima) jesu i¡1 y ¡ yi¡1 = yi¡y ¢x (x ¡ xi¡1), x 2 [x i¡1 ; x i], i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n. Time se dobiva poligonalna crta koja pribliµzno ”prati” funkcijski graf Gf . Rb Slijedi da se traµzeni integral J = f(x)dx moµze aproksimirati odre†enim a

integralom funkcije kojoj je graf upravo ta poligonalna crta. Dakle, n xi¡1R+¢x n P i¡1 ¢x P J¼ ( yi¡y (x ¡ x ) + y )dx = (yi + yi¡1) i¡1 i¡1 ¢x 2 i=1

xi¡1

n J ¼ ¢x( y0 +y + 2

ili

i=1

n¡1 P i=1

yi ) ´ JT

(5)

Dobiveni izraz za pribliµznu vrijednost JT nazivamo trapeznom formulom jer je aproksimacija dobivena upisivanjem trapeza (jednakih visina ¢x) µcim su yi¡1 i y i istog predznaka (v. idu´ci crteµz). Primijetimo da je J¡ + J+ JT = 2 pa, prema tomu, trapezna formula, tj. JT bolje aproksimira integral J od aproksimacija J¡ ili J+ pravokutnicima. (c) Tangentna formula. Neka je funkcija f : [a; b] ! R derivabilna na ha; bi. Ako se svaki dio grafa Gf nad segmentom [xi¡1; xi]; zamijeni pripadnim dijelom tangente u toµcki Ti¡ 1 = ( xi¡12+xi ; yi¡ 1 ), yi¡ 1 = f( xi¡12+xi ), i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n, 2

2

2

dobiva se još jedna aproksimacija za J =

Rb a

f (x)dx, ovaj put trapezima

(visine ¢x) opisanim promatranomu pseudotrapezu (v. crteµz dolje).

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

159 Gf

Y

Jt JT O xi

∆x

∆x xi+1 xi+2

X

Budu´ci da je ordinata yi¡ 1 srednjica i-toga trapeza, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n, izravno se 2 dobiva pribliµzna formula n P J ¼ ¢x yi¡ 1 ´ Jt: (6) i=1

2

(d) Simpsonova formula. Aproksimirajmo sada svaki dio grafa Gf nad podsegmentom [xi¡1; xi] parabolinim lukom što prolazi toµckama Ti¡1, Ti¡ 1 i 2 Ti, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n (v. crteµz dolje). (Budu´ci da je ovdje parabolina os usporedna s Y -osi, jednadµzba te parabole jest y = ai x2 +bi x+ ci , pa je posve odre†ena bilo kojim trima svojim toµckama.) Izraµcunaju li se i zbroje odre†eni integrali pripadnih kvadratnih polinoma, dobiva se pribliµzna vrijednost n¡1 n P P J ¼ ¢x yi + 4 yi¡ 1 ) ´ JS : (7) 6 (y0 + yn + 2 i=1

2

i=1

Y

Gf

Js

O

X

xi ∆x xi+1

Izraz JS nazivamo Simpsonovom formulom. Zanimljivo je da vrijedi JS = 13 (JT + 2Jt ); što pokazuje da Simpsonova formula daje najbolju (od promatranih) aproksiRb maciju odre†enog integrala J = f(x)dx. a

Potpunosti radi, navest ´cemo (bez dokaza) i procjene pogrješaka R§, RT , Rt i R S redom razmatranih postupaka. Ako funkcija f ima neprekidnu i ome†enu µcetvrtu derivaciju f (4) i M4 = supfjf (4) (x)j j x 2 [a; b]g, onda je procjena pogrješke Simpsonovom formulom M4 (b ¡ a)(¢x)4 = M4(b¡a) 5 jRS j · 2880 (8) 2880n4 Pogrješka aproksimacijom pravokutnicima jest 2 jR§ j · M21 (b ¡ a)¢x = M1 (b¡a) ; (9) 2n pri µcemu f ima neprekidnu i ome†enu derivaciju f 0 i M1 = supfjf 0 (x)j j x 2 [a; b]g. Napokon, ima li funkcija f neprekidnu i ome†enu drugu derivaciju f 00 i M 2 = supfjf 00 (x)j j x 2 [a; b]g, onda je M2 (b¡a)3 2 2 jRT j · M i (10) 12 (b ¡ a)(¢x) = 12n2 3

M2 (b¡a) 2 2 jRt j · M : (11) 24 (b ¡ a)(¢x) = 24n2 Relacije (8)-(11) potvr†uju da je, zaista, najbolja aproksimacija integrala J broj JS pa zatim brojevi Jt, JT i J¡ (ili J+ ) redom. Neto µcnost ovisi o

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

160

k ¢x = b¡a n . Ako n ! 1 onda ¢x ! 0, pa pogotovo (¢x) ! 0 za neki k 2 N , k ¸ 2. To ponovno pokazuje da, za n ! 1, RS najbrµze teµzi k nula jer ovisi o (¢x)4.

Primjer 3.3.6 Izraµcunajmo pribliµzno integral

R1

2

ex dx Simpsonovom for-

0

mulom, tako da pogrješka bude manja od 0; 1. Zahtjev jRS j < 0; 1 uvjetuje odabrati takav n 2 N da bude q M4 (b¡a)5 M4 ¡1 , tj. n > 4 M4 . = < 10 288 2880n4 2880n4

Budu´ci da je 2 2 (ex )(4) = 4(4x3 + 2x2 + 6x + 1)ex ; 2 2 (ex )(5) = 8(4x4 + 2x3 + 12x2 + 3x + 3)ex > 0, 2 to je funkcija (ex )(4) pozitivna, neprekidna i uzlazna na [0; 1]; pa poprima 2 najve´cu vrijednost u toµcki x = b = 1. Dakle, M4 = 4(4 +2 +6 +1)e1 = 52e. Slijedi da treba uzeti neki q q 4 = 4 M4 ¼ 0; 84, n> 4 M 288 288 pa ve´c n=1 zadovoljuje: Sada Simpsonova formula daje 1 0 1 0;25 J ¼ JS = b¡a ) ¼ 1+2;718+4¢1;284 ¼ 1; 5, 6 (y 0 +y1 +4y 1 ) = 6 (e +e +4e 6 2

dakle, J = 1; 5 § 0; 1 ili J 2 h1; 4; 1; 6i. (Neka µcitatelj provjeri sljede´ci podatak: Ako je n = 10 onda se dobiva J 2 h1; 4626; 1; 4628i.) Osim numeriµckoga pribliµznog integriranja, postoji i gra…µ cko pribliµzno integriranje, koje, jasno, nema alternative ako je funkcija f : [a; b] ! R zadana samo gra…µcki. Stoga je praktiµcarima vaµzno ovladati i tom tehnikom. Sam postupak poµcinje izborom pogodnog, ali što grubljeg, rastava D = fx0; ¢ ¢ ¢ ; xng koji dopušta pribliµzno (ploštinski) zamijeniti svaki pseudotrapez nad [xi¡1 ; xi ] jednim pravokutnikom nad [xi¡1; xi ] visine yoi = f(xoi), xoi 2 [xi¡1; xi], i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n. Gledano cjelovito, funkcijin graf Gf se zamijenjuje stubastom ”krivuljom” odre†enom gornjim osnovicama dobivenih pravokutnika. Prema tomu, pribliµzna vrijednost odre†enog integrala J = Rb f (x)dx ´ce biti a

J ¼ JG =

n x Ri P

i=1 xi¡1

yiodx =

n P

i=1

yio(xi ¡ xi¡1):

Opišimo i samu tehniku gra…µckoga integriranja. Promatrajmo i-ti pravokutnik, tj. onaj nad [xi¡1; xi ] visine yoi. Trokutu s vrhovima O = (0; 0), Ei = (0; y oi), F = (¡1; 0) pridruµzimo trokut s vrhovima Ai = (xi¡1 ; 0), Bi = (xi ; 0), Ci = (xi; hi), pri µcemu se hi dobiva iz uvjeta da trokuti OEi F i AiBi Ci budu sliµcni (v. crteµz).

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

Y hi y0 Ei

161

Ci

i

Bi Ai X O xi-1 xi Ta sliµcnost povlacµi d(F; O) : yio = (xi ¡xi¡1 ) : hi pa je hi = yoi(xi ¡xi¡1). To znacµi da je hi mjerni broj (kvadratnih) jedinica za površinu promatranoga i-tog pravokutnika. Slijedom toga, zbroj n P hi = JG ¼ J: F

-1

i=1

Korisno je i sam zbroj

n P

hi odrediti gra…µcki. U tu svrhu se trokut Ai+1 Bi+1 Ci+1

i=1

0 zamijenjuje sukladnim trokutom A0i+1 B0i+1 Ci+1 usporednih stranica, pri µcemu je A0i+1 = Ci0 , i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n ¡ 1, i C10 = C1. Tada je, naime, ordinata h0i+1 i+1 n P P 0 toµcke Ci+1 jednaka zbroju hj pa je, u konaµcnici, h0n = hi (v. sljede´ci j=1

primjer).

i=1

Primjer 3.3.7 Neka µcitatelj prouµci primjer gra…µckoga integriranje na crteµzu dolje. Y JG

O

X

-1

Napomena 3.3.3 Primijetimo da poligonalna crta A1C1C20 ¢ ¢ ¢ Cn0 aproksiRx mira graf primitivne funkcije x 7! F(x) = f (x)dx. Pritom su ”prijelomne” a

toµcke C1, C20 , : : :, Cn0 to bliµze odgovaraju´cim toµckama na grafu GF što je Rxi Rxi o bolje aproksimiran integral f(x)dx integralom yi dx, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n. tj. xi¡1

xi¡1

što je bolja aproksimacija promatranih pseudotrapeza pripadnim pravokutnicima.

3.3.3

Nepravi integral

Sjetimo se da smo odre†eni integral de…nirali za ome†ene realne funkcije na segmentu, a potom proširili i na njihova suµzenja na intervalima. Sada ´cemo pokušati taj pojam proširiti, kod god bude imao smisla, i na neome†ene funkcije, kao i na funkcije s neome† enim de…nicijskim podruµcjem. U svakom od tih sluµcajeva, govorit ´cemo o nepravom integralu.

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

162

Najprije ´cemo razmotriti najednostavniji sluµcaj. Neka je, za svaki ² > 0, suµzenje fj[a;b¡²] (neome†ene) funkcije f : [a; b] ! R integrabilna funkcija, a · b ¡ ² < b, i neka je lim f = 1 (bilo ¡1 bilo +1). Oznaµcimo Jd (f; ²) ´ Jd(²) =

b b¡² R a

(fj[a;b¡²] )(x)dx:

Tada pripadni nepravi integral funkcije f de…niramo kao graniµcnu vrijednost R Rb def. f ´ f (x)dx = lim Jd (²): (12) ²!0 a [a;b] R Pritom kaµzemo da nepravi integral f konvergira cµim navedena granicµna [a;b]

vrijednost postoji (6= §1), a da divergira µcim ta graniµcna vrijednost ne postoji. Primijetimo da je, zapravo, Jd (²) = F (b ¡ ²) ¡ F (a) µcim je F primitivna funkcija za f. Uoµcimo i da vrijednost f(b) ne igra nikavu ulogu. Drugim rijeµcima, posve je svejedno je li de…nicijsko podruµcje funkcije f segment [a; b] ili interval [a; bi. Pridodajmo i op´ci kriterij za konvergenciju (dokaz je jednostavan) ovakvoga nepravog integrala: Rb0 (8² > 0)(9± > 0)(8a0; b 0 2 hb ¡ ±; bi) j f (x)dxj < ²: a0

Sliµcno postupamo i u sluµcaju integrabilnosti na svakom podsegmentu [a + ²; b] pod ”smetnjom” lim f = 1. Oznaµcivši a

Jl (f; ²) ´ Jl (²) =

Rb

(f j[a+²;b] )(x)dx;

a+²

de…niramo R Rb def. f ´ f (x)dx = lim Jl (²):

(13)

²!0

a

[a;b]

Primijetimo da je ovdje, zapravo, J l (²) = F (b)¡F (a+²) µcim je F primitivna funkcija za f . Pripadni kriterij za konvergenciju je isti kao u prethodnom sluµcaju, s tim da se odabiru a0; b0 2 ha; a + ±i. Tre´ci sluµcaj nastupa kad je ”smetnja” u nekoj toµcki c 2 ha; bi, lim f = 1 c§0

(bilo slijeva ili zdesna u c). Tada se problem svodi na dva prethodna sluµcaja, tj. promatraju se suµzenja od f na [a; c] i na [c; b], R pa ako pripadni nepravi integrali konvergiraju onda i nepravi integral f konvergira. Pripadna [a;b]

formula se, u sluµcaju lim f = 1 i lim f = 1, tj. lim f = 1, moµze zapisati ovako:

c¡0

R

[a;b]

f´

Rb

a

def.

c

c+0

f (x)dx = lim

c¡² R

²!0 a

f(x)dx + lim

Rb

±!0 c+±

f (x)dx:

(14)

Napokon, sada je oµcito kako postupiti u ”op´cem” sluµcaju, tj. kad postoji (najviše) konaµ cno mnogo tocµaka ci 2 [a; b] u kojima je lim f = 1, i = ci §0

1; ¢ ¢ ¢ ; n. Razmotrimo sada mogu´cnost integriranja na neome†enom de…nicijskom podruµcju. Pretpostavimo, prvo, da je, za svaki b 2 R , b ¸ a, suµzenje fj[a;b]

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

163

funkcije f : [a; ¢i ! R integrabilna funkcija. Oznaµcimo Rb J (f; b) ´ J (b) = (f j[a;b] )(x)dx: a

Nepravi integral funkcije f tada de…niramo kao graniµcnu vrijednost +1 R R def. f´ f (x)dx = lim J(b): b!+1

a

[a;¢i

Kao i prije, kaµzemo da nepravi integral

+1 R

(15)

f(x)dx konvergira ako postoji

a

(6= §1) pripadna graniµcna vrijednost, a u protivnom da divergira. Jasno, ako je F primitivna funkcija od f , onda je J(b) = F(b) ¡ F(a). Pripadni kriterij za konvergenciju se lako dokazµe, a glasi ovako: bR0 (8² > 0)(9a0 ¸ a)(8b0 ¸ a0) j f (x)dxj < ²: a0

Analogno postupamo u sluµcaju funkcije f : h¢; b] ! R kojoj je integrabilno svako suµzenje f j[a;b] , a 2 R , a · b. Oznaµcivši, dakle, Rb J (f; a) ´ J(a) = (fj[a;b])(x)dx; a

de…niramo nepravi integral funkcije f kao graniµcnu vrijednost R Rb de f. f´ f (x)dx = lim J(a): h¢;b]

a!¡1

¡1

(16)

Dakako, J (a) = F(b)¡F(a) µcim je F primitivna funkcija za f . Odgovaraju´ci kriterij za konvergenciju je u biti isti, s tim da se traµzi neki b0 · b i onda S uzme bilo koji a0 · b 0. Napokon, ako je funkciji f : h¢; b 0] [a0; ¢i ! R , b0 · a0, integrabilno svako suµzenje f j([a;b0 ][[a0;b]) , onda se nepravi integral funkcije f svodi na dva prethodna neprava integrala. (U podsluµcaju b 0 = a0, tj. f : R ! R , smijemo odabrati bilo koju toµcku d 2 R i promatrati pripadna suµzenja na h¢; d] i na [d; ¢i.) Pripadnu formulu moµzemo zapisati ovako: bR0 +1 R R def. f´ f (x)dx + f (x)dx = h¢;b0][[a0 ;¢i

lim

¡1

Rb0

a!¡1 a

a0

f(x)dx + lim

Rb

b!+1 a0

f (x)dx:

(17)

Preostaje najop´cenitiji sluµcaj: neome†ena funkcija f : X ! R , X µ R , s neome†enim de…nicijskim podruµcjem X. I ovdje pretpostavljamo obstojnost najviše konaµcno mnogo toµcaka c i 2 X u kojima je lim f = 1, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n, ci §0

i integrabilnost svakoga suzµenja f j[a;b] pri µcemu (nijedna) ci 2 = [a; b] µ X. To povlaµci da se nepravi integral funkcije f moµze de…nirati pomo´cu konaµcno mnogo graniµcnih vrijednosti oblika (12)-(15): Primjerice, za f : R !R R s jedinom tocµkom c u kojoj je limf = 1, pripadni nepravi integral f c

de…niramo izrazom +1 c¡² R Rb0 R def. f (x)dx = lim f(x)dx + lim f (x)dx+ ¡1

a!¡1 a

²!0 b 0

R

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

164 +lim

Ra0

±!0c+±

f (x)dx + lim

Rb

b!+1a0

f(x)dx,

pri µcemu je a · b0 < c < a0 · b, i a0; b0 …ksni. Primjer 3.3.8 Neka je dana funkcija f : X ! R kojoj je graf Gf na donjem crteµzu. De…nirajmo nepravi integral funkcije f . Y

a O b0 c1

c2 d0 c3

d

X

a0 b

Ovdje je vazµno uoµciti da je X = R , lim f = +1, lim f = ¡1, lim f = +1 c1¡0

c2 ¡0

c2 +0

i lim f = ¡1. U skladu s prethodnim razmatranjem, odaberimo toµcke a, c3 §0

a0, b, b0 , i d0 tako da bude a · b 0 < c 1, c1 < d < c2 ; c2 < d0 < c 3 < a0 < b, pa nepravi integral funkcije f ima ovaj zapis: +1 c1R¡² R Rb0 Rd f (x)dx = lim f(x)dx + lim f(x)dx + f (x)dx+ a!¡1 a

¡1

lim

c2R¡±

±!0 d

+lim

²!0 b 0 Rd0

f(x)dx + lim

´!0 c2+´

Ra0

½!0 c +½ 3

f(x)dx + lim

c1

f(x)dx + lim

Rb

b!+1a0

c3R¡¹

¹!0 d 0

f (x)dx.

f (x)dx+

Primijetimo da moµze nastupiti i ovakav sluµcaj (v. Primjer 3.3.10(b)): Nepravi integrali c2R¡² d R0 lim f (x)dx i lim f(x)dx ²!0 d

²!0 c +² 2

divergiraju, a ipak postoji graniµcna vrijednost c2R¡² Rd0 lim ( f (x)dx + f(x)dx). ²!0

d

c2+²

d

c2+²

Moµze se, naime, pritom dogoditi i da bude c2R¡² Rd0 lim ( f (x)dx + f(x)dx) = F(d0 ) ¡ F (d) ²!0

µcim je F primitivna funkcija za f , pa bi se smjelo uvjetno re´ci da ”postoji Rd0 odre†eni integral” f (x)dx. Slicµno, mogu´ce je da nepravi integrali d

lim

Rd0

²!0 c2+²

f (x)dx)

i lim

c3R¡²

²!0 d 0

f (x)dx)

divrgiraju, a da postoji graniµcna vrijednost cR c3R¡² 3¡² Rd0 lim ( f (x)dx + f(x)dx) = lim f (x)dx. ²!0 c +² 2

d0

²!0c +² 2

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

165

To je temeljni razlog za razliµ cito oznaµ cavanje svake graniµcne vrijednosti u nepravom integralu. U svezi s ovim, de…nira se tzv. glavna vrijednost nepravog integrala. Primjerice, za funkciju f : [a; b] ! R s jedinom ”integracijskom smetnjom” u to µcki c 2 ha; bi, limf = ¡1(+1) i c¡0

limf = +1(¡1), glavnom vrijednoš´cu pripadnoga nepravog integrala nazic+0

vamo graniµcnu vrijednost c¡² R Rb Rb lim ( f (x)dx + f(x)dx) ´ V:P:( f (x)dx). ²!0 a

c+²

a

Ako pak funkcija f : [a; b] ! R ima jedine ”integracijske smetnje” na rubu, tj. limf = ¡1(+1) i limf = +1(¡1), onda se glavna vrijednost pria

b

padnoga nepravog integrala de…nira kao b¡² R Rb lim f (x)dx ´ V:P:( f(x)dx). ²!0 a+²

a

Napokon, za funkciju f : R ! R , integrabilnu na svakom segmentu, glavnom vrijednoš´cu pripadnog nepravog integrala nazivamo graniµcnu vrijednost +1 Ra R lim f (x)dx ´ V:P:( f (x)dx). a!+1 ¡a

¡1

Primjer 3.3.9 Istraµzimo konvergira li nepravi integral

+1 R 0

dx : x ln2 x

Najprije odredimo toµcan zapis toga nepravog integrala. De…nicijsko S podrucµje X funkcije x 7! f (x) = x ln12 x jest skup R + n f1g = h0; 1i h1; ¢i. Budu´ci da je lim f = +1 = limf i da su 0, 1 i neome†eno integracijsko 0 1 podruµcje jedine ”smetnje”, naš nepravi integral ima ovaj zapis: +1 1¡± R dx Rd dx R dx Ra dx Rb dx = lim + lim + lim + lim , 2 2 2 2 x ln x x ln x x ln x x ln x x ln2 x ²!0 ²

0

´!0 1+´

±!0 d

b!+1 a

pri cµemu je ²; ±; ´ > 0, 0 < d < 1 i 1 < a · b. Primijetimo da je R dx = ln1x + c x ln2 x pa je F : X ! R , F(x) = ¡ ln1x , primitivna funkcija za f . Budu´ci da je limF = §1, to promatrani nepravi integral divergira. Neka se µcitatelj 1§0

uvjeri (kako izravnim raµcunom tako i primjenom kriterija za konvergenciju) da prvi i µcetvrti nepravi integral (pribrojnik) u zapisu gore konvergiraju. Primjer 3.3.10 Istraµzimo konvergira li nepravi integral: R1 dx R1 dx (a) p ; (b) . x x3 ¡1

0

(a)

R1 0

(b)

R1

dx p x

¡1

dx x3

= lim

R1

²!0 ²

dx p x

¡² R

dx 3 ²!0 ¡1 x

= lim

p p = lim [2 x]1² = 2lim(1 ¡ ²) = 2. ²!0

+ lim

²!0

R1 dx

3 ±!0 ± x

¡1 ¡² ¡1 1 = lim [ 2x 2 ]¡1 + lim [ 2x 2 ]± = (¡1) + (+1), ²!0

±!0

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

166

pa ovaj nepravi integral divergira. (Neka µcitatelj provjeri konvergenciju (divergenciju) tih nepravih integrala i pomo´cu danoga kriterija!) S druge strane, primijetimo da je ¡² R Rb dx ¡1 ¡² ¡1 b 1 1 1 1 1 lim ( dx + 3 x x 3 ) = lim ([ 2x2 ]a + [ 2x 2 ]²) = lim ( 2a2 ¡ 2b2 ) = 2 ( a2 ¡ b2 ), ²!0 a

²

²!0

²!0

za svaki a < 0 i svaki b > 0. Posebice, za a = ¡1 i b = 1, dobivamo njegovu glavnu vrijednost ¡² R1 R dx R1 dx V:P:( dx ) = lim ( 3 x x3 + x3 ) = 0. ¡1

3.3.4

²!0 ¡1

²

Nekoliko primjena odre†enog integrala

U ovomu pododjeljku ´cemo pokazati kako se odre†eni integral primijenjuje na rješavanje nekih, preteµzito geometrijskih, zada´ca. Na poµcetku trebamo malo detaljnije upoznati neke pojmove u svezi s krivuljom (v. §2.3.4; (18)-(30)), premda sama de…nicija ne´ce, a na ovoj razini ni ne moµze, biti sasvim matematicµki korektna. Dakako, da ´ce graf Gf neprekidne funkcije f : [a; b] ! R , derivabilne svuda osim, moµzda, u konaµcno mnogo to µcaka, biti i dalje osnovni primjer ravninske krivulje. De…nicija 3.3.2 Neka je u ravnini ¾ dan pravokutni koordinatni sustav (O; i; j) (v. §2.2.2). Re´ ci ´cemo da je skup ¡ µ ¾ ´ R 2 (ravninska) krivulja ako postoje interval I µ R i ure†eni par (Á; Ã) neprekidnih funkcija Á; à : I ! R , takvi da je ¡ = f(Á(t); Ã(t)) j t 2 Ig. Zapis x = Á(t), y = Ã(t) nazivamo parametarskim jednadµ zbama, a surjekciju r : I ! ¡, r(t) = (Á(t); Ã(t)), - neprekidnom parametrizacijom krivulje ¡. (Da bismo bili posve korektni, treba pridodati uvjet o konaµ cnosti tzv. singularnog skupa ft 2 I j r¡1 [fr(t)g] 6= tg!) Re´ ci ´ cemo da je krivulja ¡ jednostavna ako se funkcije Á i à mogu odabrati tako da funkcija r bude bijektivna. Ako je I segment [a; b] i r(b) = r(a), onda za ¡ kaµzemo da je zatvorena krivulja. Jednostavnu krivulju _

¡ nazivamo (ravninskim) lukom i µ cesto oznaµ cujemo s AB, pri µ cemu je A = r(a) i B = r(b), govore´ ci pritom da su toµ cke A i B krajevi (ili rub) _

od AB. Ako je bijektivnost funkcije r narušena samo u toµ ckama a i b, tj. r(a) = r(b), onda kaµ zemo da je ¡ jednostavno zatvorena krivulja. Re´ ci ´ cemo da je krivulja ¡ glatka ako se funkcije Á i à mogu odabrati tako da budu neprekidno derivabilne i da bude Á0 (t)2 + Ã0 (t)2 6= 0 u svakoj toµcki t 2 I. U tom sluµcaju kaµ zemo da je r(t) = (Á(t); Ã(t)), t 2 I, glatka parametrizacija krivulje ¡. Ako uvjetu Á0 (t)2 +Ã0 (t)2 6= 0 nije udovoljeno u najviše konaµ cno mnogo toµ caka t1 ; ¢ ¢ ¢ ; t n 2 I, onda kaµ zemo da je krivulja ¡ po dijelovima glatka. (Napomenimo da uvjet Á0 (t)2 + Ã0 (t)2 6= 0 znaµ ci obstojnost krivuljine tangente u toµ cki r(t) 2 ¡!)

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

167

Shvatimo li koordinate toµcke T = (Á(t); Ã(t)) 2 ¡, t 2 I, komponentama radijus-vektora r(t) = rT te to µcke (v. crteµz dolje), dobivamo vektorsku parametarsku jednadµ zbu krivulje ¡: ¡ : : : r(t) = Á(t)i + Ã(t)j; t 2 I: R A Y a T t rA b B rT rB X O Primjer 3.3.11 Neka je f : [a; b] ! R preslikavanje, derivabilno svuda osim, moµzda, u konaµcno mnogo toµcaka. Tada su y = f (t), x = i[a;b] (t) = t, t 2 [a; b], (Ã = f , Á = i[a;b] - inkluzija) parametarske jednadµzbe po dijelovima glatkoga luka (grafa) ¡ = Gf . (Funkcija r : [a; b] ! Gf , r(t) = (t; f (t)), je bijekcija!) Pripadna vektorska jednadµzba je r(t) = ti + f (t)j, t 2 [a; b]. Dakako da je i y = f(x), x 2 [a; b], jednadµzba te krivulje, ali u pravokutnim (Kartezijevim) koordinatama. Primjer 3.3.12 Neka je u ravnini ¾, pored Kartezijeva (O; i; j), dan i polarni koordinatni sustav (O; i; Á) (v. §2.3.5). Neka je g : [®; ¯] ! R preslikavanje, derivabilno svuda osim, moµzda, u konaµcno mnogo toµcaka. Tada je ½ = g('), ' 2 [®; ¯], polarna jednadµzba po dijelovima glatke krivulje (grafa) ¡ ´ Gg = f(½; ') j ½ = g('); ' 2 [®; ¯]g u pripadnomu polarnom sustavu. Kao što znamo, parametarske jednadµzbe te krivulje jesu x = g(') cos ', y = g(') sin ', ' 2 [®; ¯]. Primjerice, elipsa E : : : x = a cos ', y = b sin ', ' 2 [0; 2¼] (v. §2.3.4 (20)), je glatka jednostavno zatvorena krivulja, dok je astroida A : : : x = a cos3 ', y = a sin3 ', ' 2 [0; 2¼] (v. §2.3.4 (28)), po dijelovima glatka jednostavno zatvorena krivulja. (Uvjetu (x0)2 + (y 0)2 6= 0 nije udovoljeno u to µckama ' 2 f0; ¼2 ; 3¼ 2 ; 2¼g.) Napomena 3.3.4 (Glatkoj) krivulji se moµze pridijeliti više (glatkih) parametrizacija. Npr. kruµznici K : : : x2 + y2 = 4 su x = 2 cos(nt), y = 2 sin(nt), t 2 [0; 2¼ n ], parametarske jednadµzbe za svaki n 2 N . Nije teško dokazati da, za svaki luk _ AB, A 6= B, svaka parametrizacija µcuva rub, tj. r[fa; bg] = fA; Bg (premda nije nuµzno r(a) = A i r(b) = B). Napomena 3.3.5 ”Dodavanjem jedne dimenzije” se De…nicija 3.3.2 prirodno proširuje na de…niciju prostorne krivulje (v. §6.3.1). (a) Ploština ravninskog lika (kvadratura). U pododjeljku 4.4.1 smo Rb pokazali da se odre†eni integral f (x)dx, f neprekidna i f(x) ¸ 0 za svaki a

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

168

x 2 [a; b], smije interpretirati kao ploština pseudotrapeza što ga odre†uje krivulja y = f(x) nad segmentom [a; b] (v. (1) i Teorem 3.3.5 (2)). Y Gf

D X

O b

a

Ako je ravninski lik ome†en zatvorenom krivuljom ili se prostire i na donju poluravninu, onda za izraµcunavanje njegove ploštine rabimo dva ili više odre†enih integrala, tj. ”snalazimo se” od sluµcaja do sluµcaja. Primjerice, ploština ravninskoga lika D na crteµzu dolje jest Y

Gg D

Gf O

P(D) =

a

Rb

a

f(x)dx ¡

Rb

a

X

b

Rb g(x)dx = (f(x) ¡ g(x))dx; a

dok za ploštinu ravninskoga lika D na ovoj skici treba staviti Y

Gf D a

O

P(D) =

Rc

a

c

f(x)dx ¡

Rb

b

X

g(x)dx:

c

Kad je krivulja zadana ”inverznom” funkcijom, tj. jednadµzbom x = h(y), y 2 [c; d] (v. crteµz dolje)), ploština pripadnoga pseudotrapeza D se izraµcuna po formuli Y d

x=h(y) D c

O

P(D) =

X

Rd

h(y)dy:

c

Rb Napomena 3.3.6 Oznaµcimo li u formuli za ploštinu, P(D) = f (x)dx, a R umnoµzak f (x)dx kao dP, smijemo pisati P(D) = dP . Geometrijski [a;b]

se broj dP smije interpretirati kao ploština ”in…nitezimalnog” (”neizmjerno malog”) pseudotrapeza nad segmentom [x; x+dx], koji se onda smije aproksimirati trapezom s osnovicama f (x) i f(x) + ¢f (x) i visinom dx (v.crteµz). Zaista,

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

169

Y f(x)

Gf dP

O

x+dx

x dx f (x)+f(x)+¢f(x) dx = 2

X ¢f (x)dx

f (x)dx + ¼ f (x)dx = dP 2 pri µcemu smo umnoµzak ¢f (x)dx dvaju neizmjerno malih brojeva zanemarili u zbroju s f(x)dx. Stoga se o dP = f(x)dx govori kao o ”ploštinskom elementu” ravninskoga lika D. ”Zbrajanjem” (tj. integriranjem) svih ploštinskih elemenata nad segmentom [a; b] dobivamo traµzenu ploštinu P (D). Na isti naµcin ´cemo, poslije, svaki podintegralni izraz pomo´cu kojega izraµcunavamo ploštinu (duljinu, obujam (volumen), ...) zvati analognim imenom. µ Cesto se formalnim izraµcunavanjem tih ”elemenata” vrlo lako dolazi do korisnih formula za izraµcunavanje trazµenih veliµcina. (Ipak, ispravnost tako dobivene formule treba potvrditi korektnim dokazom!) Neka je ravninska krivulja ¡ zadana u polarnim koordinatama jednadµzbom ½ = g('), ' 2 [®0; ¯ 0]. l

ρ=g(ϕ)

dP dϕ ϕ

β

p

α

O

Izraµcunajmo ploštinu pseudotrokuta odre†enoga krivuljom ¡ i pravcima ' = ®, ' = ¯. Za ”ploštinski element” uzimamo pripadni kruµzni isjeµcak od ' do ' + d' polumjera g('), tj. l½ ½ ¢ d' ¢ ½ g(')2d' dP = = = ; 2 2 2 gdje su l i ½ op´ce oznake, redom, za lucµnu duljinu i polumjer. Slijedi R¯ P (D) = 12 g(')2d': (18) ®

Isti rezultat bismo dobili i strogim izvodom, tj. pomo´cu pripadnih donjih i gornjih suma: n n 1 P 2 1 P m (' ¡ ' ) · P (D) · Mi2('i ¡ 'i¡1 ) i i i¡1 2 2 i=1

i=1

za svaki rastav f'0 ; ¢ ¢ ¢ ; 'ng segmenta [®; ¯] (pod pretpostavkom da je funkcija g 2j[®;¯] integrabilna!). Primjer 3.3.13 Izraµcunajmo ploštinu ravninskoga lika D ome†enoga polarnom osi i prvim ”zavojem” Arhimedove spirale ½ = a', a > 0.

O p0

p

1 2aπ

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

170 P (D) =

1 2

2¼ R

a2'2d' =

0

(Uocµimo da je P(D) = 2¼a!)

a2 2

¢

¼(2¼a) 2 , 3

¯

' 3 ¯2¼ 3 0

=

4¼3 a2 . 3

što je tre´cina ploštine kruga s polumjerom

(b) Duljina ravninskog luka (rekti…kacija). Neka je ravninski luk _

¡ ´ AB (dopuštamo i B = A) zadan parametarskim jednadµzbama x = Á(t), y = Ã(t), t 2 [a; b], pri µcemu je A = (Á(a); Ã(a)) i B = (Á(b); Ã(b)). Oznacµimo s D = D([a; b]) skup svih rastava segmenta [a; b]. Bijekcija (do _

na rub) r : [a; b] ! AB, r(t) = (Á(t); Ã(t)), pridruµzuje svakom rastavu D = ft 0; ¢ ¢ ¢ ; tng 2 D toµckovni skup fM0; ¢ ¢ ¢ ; Mng na ¡, M0 = A = r(t0 = a), ¢ ¢ ¢ , Mn = B = r(tn = b). Toµcke Mi dijele luk ¡ na n podlukova _

Mi¡1Mi , i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n. Spojimo li svaki par susjednih toµcaka; Mi¡1 i Mi, duµzinom, dobivamo poligonalnu crtu ”upisanu” luku ¡. Pridijelimo sada svakom rastavu D broj n P L(r; D) = d(Mi¡1 ; Mi ); i=1 °¡¡¡¡¡!° ° ° pri µcemu d(M i¡1; Mi ) oznaµcuje duljinu pripadne duµzine, tj. °Mi¡1Mi °. _

De…nicija 3.3.3 Re´ci ´cemo da ravninski luk ¡ ´ AB, zadan jednadµ zbom _ r : [a; b] ! AB, r(t) = (Á(t); Ã(t)); t 2 [a; b], ima duljinu (ili da je rekti…kabilan), ako je skup fL(r; D) j D = D([a; b])g µ R ome†en: Tada broj supfL(r; D) j D = D([a; b])g nazivamo duljinom luka ¡ i oznacµujemo s L(¡). (Treba napomenuti da ova de…nicija nije posve korektna! Naime, trebalo bi prije dokazati da promatrani supremum ne ovisi o odabranoj parametrizaciji r, što bi nas odvelo izvan zadanih okvira.) Usredoto µcimo se sada na efektivno izraµcunavanje duljine po dijelovima glatkog ravninskog luka. _

Teorem 3.3.7 Neka je ¡ ´ AB po dijelovima glatki ravninski luk zadan pripadnom parametrizacijom r : [a; b] ! ¡, r(t) = (Á(t); Ã(t)); t 2 [a; b]. Tada je njegova duljina Rb p 0 L(¡) = Á (t)2 + Ã0 (t)2dt: (19) a

Dokaz. Po De…niciji 3.3.2, funkcije Á; Ã : [a; b] ! R su neprekidno derivabilne svuda osim, moµzda, u konaµcno mnogo to µcaka i pritom je Á0(t)2 + Ã0 (t)2 6= 0. Neka je D = ft0 ; ¢ ¢ ¢ ; t ng bilo koji rastav od [a; b] i neka je Mi = r(ti) ´ (xi ; y i), i = 0; ¢ ¢ ¢ ; n, M0 = A, Mn = B (v. crteµz).

3.3. ODREÐENI INTEGRAL Y M1

171

a ti Mi

M 0=A

b R M n-1

O

M n=B

X

Po De…niciji 3.3.3, rastavu D pridijeljujemo broj L(r; D), n n p P P 0 · L(r; D) = d(Mi¡1; M i) = (xi ¡ xi¡1 )2 + (yi ¡ yi¡1 )2 = i=1

i=1

n p P (T.3.1.9) (Á(ti ) ¡ Á(ti¡1 ))2 + (Ã(t i) ¡ Ã(t i¡1))2 =

i=1 n p P

(Á0 (¿ i)(ti ¡ ti¡1))2 + (Ã0 (~¿ i)(ti ¡ ti¡1))2 =

i=1 n p P i=1

Á0(¿ i )2 + Ã0 (~¿ i)2(ti ¡ t i¡1 ),

pri cµemu su ¿ i; ~¿ i 2 hti¡1; t ii, i = 1; ¢ ¢ ¢ ; n. Neka je mÁ0 = minfjÁ0 (t)j j t 2 [a; b]g, a MÁ0 = maxfjÁ0(t)j j t 2 [a; b]g, te neka su sliµcno de…nirani i brojevi mÃ0 i MÃ0 . (Svi oni postoje jer su funkcije Á0 i Ã0, pa onda i jÁ0 j i jÃ0 j neprekidne na segmentu [a; b].) Slijedi da je n q P L(r; D) · MÁ20 + MÃ20 (ti ¡ ti¡1) = i=1 q q n P MÁ20 + MÃ20 (ti ¡ ti¡1) = (b ¡ a) MÁ20 + MÃ20 , i=1 S što znaµci da je skup fL(r; D) j D 2 D([a; b])g µ R + f0g ome†en, pa po De…niciji 3.3.3 luk ¡ ima duljinu L(¡) q= supfL(r; D) j D 2 D([a; b])g. Posve slicµno se mozµe pokazati da je (b ¡a) m2Á0 + m2Ã0 donja me†a promatranoga skupa. Dokaµzimo da se traµzeni supremum moµze izraµcunati po formuli (19)! Pretpostavimo, na trenutak, da je luk ¡ gladak. Odaberimo po volji toµcku _ Mt = (Á(t); Ã(t)) na ¡, t 2 [a; bi, pa promatrajmo ”podluk” AMt i njegovu duljinu oznaµcimo s L(t). (Lako se vidi da svaki ”podluk” ima duljinu µcim luk ima duljinu.) Nadalje, za po volji mali ¢t > 0; t +¢t 2 [a; b], promatrajmo toµcku Mt+¢t na ¡. Rabe´ci oznake za priraste, smijemo pisati L(t + ¢t) = L(t)+¢L(t) pri µcemu ¢L(t) oznaµcuje luµcnu duljinu za \ Mt Mt+¢t. Oznaµcimo, jednostavnosti radi, minimume i maksimume od jÁ0 j i jÃ0 j na [t; t + ¢t] opet s mÁ0 , M Á0 , mÃ0 i MÃ0 . Po prije dokazanom slijedi q q ¢t m2Á0 + m2Ã0 · ¢L(t) · ¢t MÁ20 + MÃ20 , tj. q q m2Á0 + m2Ã0 · ¢L(t) · MÁ20 + MÃ20 . ¢t Budu´ci da su funkcije jÁ0 j i jÃ0j neprekidne, to je lim jmÁ0 j = jÁ0(t)j = ¢t!0

lim jMÁ0 j i lim jmÃ0 j = jÃ0 (t)j = lim jMÃ0 j. Posve sliµcno se zakljuµcuje na

¢t!0

¢t!0

¢t!0

segmentu [t ¡ ¢t; t] za t 2 ha; b]. Prema tomu, p 0 p lim ¢L(t) Á (t)2 + Ã0 (t)2, tj. L0 (t) = Á0 (t)2 + Ã0 (t)2. ¢t = ¢t!0

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

172

Primijetimo da je L(0) = 0, pa Teoremu 3.3.4 povlaµci Rt p 0 L(t) = Á (t)2 + Ã0 (t)2 dt. a

Budu´ci da je Mb = B, to je L(¡) = L(b) pa je u sluµcaju glatke krivulje teorem dokazan. Ako je krivulja po dijelovima glatke, onda je izvod za formulu (19) ”problematiµcan” u najviše konaµcno toµcaka, a to, kao što znamo, ne narušava valjanost dobivene integralne formule. (Smije se re´ci i da je duljina po dijelovima glatke krivulje jednaka (konaµcnom) zbroju duljina svojih maksimalnih glatkih dijelova.) Pozivaju´ci se na prijašnji dogovor (v. Napomenu 3.3.6), smijemo ”podluk” nad segmentom p [t; t + dt] smatrati ”luµcnim elementom” i pisati dL = Á0 (t)2 + Ã0(t)2dt: Ako je ravninski luk ¡ zadan jednadµzbom y = f(x), x 2 [a; b], pri µcemu je funkcija f neprekidno derivabilna, onda iz parametrizacije x = t, y = f (t), t 2 [a; b], dobivamo Rb p L(¡) = 1 + f 0 (x)2dx: (20) a

Ako je, pak, luk ¡ zadan (jednadµzbom) u polarnim koordinatama ½ = g('), ' 2 [®; ¯], g neprekidno derivabilna, onda parametrizacija x = g(') cos ', y = g(') sin ', daje (x0 )2 + (y 0 )2 = g(')2 + g0 (')2. Slijedi, R¯ p L(¡) = g(')2 + g0 (')2d': (21) ®

(c) Obujam rotacijskog tijela (kubatura). Neka je f : [a; b] ! R neprekidna i nenegativna funkcija. Tada graf Gf posve odre†uje pseudotrapez nad segmentom [a; b]. Vrtnjom oko X -osi taj pseudotrapez oblikuje geometrijsko tijelo koje nazivamo rotacijskim tijelom. Za dostatno mali dx, pripadni njegov dio odre†en segmentom [x; x + dx] µ [a; b] aproksimirat ´cemo krnjim stošcem visine dx i baznih polumjera f (x) i f(x + dx) = f (x) + ¢f (x) (v. crteµz)

Y

Y

y+∆y y

O dP

O

x

x+dx

X

dV

X

Z

Za pripadni ”volumenski element” tada dobivamo: 2 2 dV = ¼dx 3 (f(x) + f (x)(f (x) + ¢f (x)) + (f(x) + ¢f (x)) ) = ¼dx 2 2 2 3 (3f (x) + 3f (x) ¢ ¢f (x) + (¢f(x)) ) ¼ ¼f (x) dx, gdje smo pribrojnike 3f (x)¢¢f (x) i (¢f (x))2 ispustili jer su zanemarivo mali prema 3f(x)2. (Ovo povlaµci da smo za promatrani ”volumenski element” smjeli odabrati i valjak visine dx i baznog polumkera f (x)!) Prema tomu, traµzeni obujam (zapremina) rotacijskoga tijela jest

3.3. ODREÐENI INTEGRAL V =¼

Rb

173

f (x)2dx:

(22)

a

Primjer 3.3.14 Izraµcunajmo kuglinu zapreminu. Svaku kuglu smijemo smatrati rotacijskim tijelom, pri cµemu podrazumijevamo da se odgovaraju´ci polukrug vrti oko svoga promjera. Za rješenje ove 2 2 2 zada´ce, promatrajmo kruµznicu p K ... x + y = R . Dostatno je promatrati samo funkciju x 7! f(x) = R2 ¡ x2, x 2 [0; R] (pripadnu cµetvrtinu kruga, v. crteµz). Po formuli (22) dobivamo Y X O

-R

+R

RR 3 V = 2 ¢ ¼ (R2 ¡ x2)dx = 2¼[R2 x ¡ x3 ]R 0 = 0

4¼R3 3 .

Ako je krivulja ¡ zadana parametarskim jednadµzbama x = Á(t), y = Ã(t), t 2 [a; b], i ako je à ¸ 0 i Á neprekidno derivabilna, onda je obujam pripadnoga rotacijskog (oko X-osi, nad [a,b]) tijela dan formulom (izravno iz (22)) Rb V = ¼ Ã(t)2 Á0 (t)dt: (23) a

Ako je, pak, krivulja ¡ zadana polarnom jednadµzbom ½ = g('), ' 2 [®; ¯], g neprekidno derivabilna, onda parametrizacija x = g(') cos ', y = g(') sin ', daje dx = (g 0(') cos ' ¡ g(') sin ')d'. Slijedi, R¯ V = g(')2(g0 (') cos ' ¡ g(') sin ') sin2 'd': (230 ) ®

Napokon, po analgiji s formulom (23), za obujam pripadnoga rotacijskog tijela što nastaje vrtnjom oko Y -osi dobivamo Ã(b) Rb R VY = ¼ Á(t)2Ã0 (t)dt = ¼ (Áá1 )2 (y)dy: (24) a

Ã(a)

(d) Ploština rotacijske plohe (komplanacija). Pod pretpostavkama iz prethodnoga razmatranja (u (c)), promatrajmo sada samo plašt (bez osnovica) pripadnoga rotacijskog tijela, tzv. rotacijsku plohu. Da bismo joj izraµcunali ploštinu P, izraµcunajmo prvo njezin ”ploštinski element” dP. Opet ´cemo za aproksimiranje uzeti krnji stoµzac, tj. njegov plašt. Dakle, radi se o plaštu krnjega stošcap baznih polumjera f (x) i f (x)+ ¢f (x) i visine dx. Njegova izvodnica je s = (dx)2 + (¢f (x))2 pa je dP = ¼(2f (x) + ¢f(x))ds) ¼ 2¼f (x)ds; pri µcemu smo pribrojnik ¢f (x)ds ispustili jer zanemariv prema 2f(x)ds. Sada u skladu s Napomenom 3.3.6 i koriste´ci (20) dobivamo p Rb P = 2¼ f(x) 1 + f 0 (x)2dx: (25) a

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

174

U sluµcaju po dijelovima glatkog luka zadanog odgovaraju´com parametrizacijom x = Á(t), y = Ã(t), t 2 [a; b], dobivamo (f (x) ¸ 0) p Rb P = 2¼ jÃ(t)j Á0 (t)2 + Ã0(t)2dt; (26) a

a ako je krivulja zadana u polarnim koordinatama, tj. ½ = g('), ' 2 [®; ¯], onda je p R¯ P = 2¼ jg(') sin 'j g(')2 + g0 (')2d': (27) ®

Primjer 3.3.15 Izraµcunajmo loptinu (sferinu) ploštinu. Kao p i u primjeru 3.3.14, dostatno je promatrati kruµzniµcin dio y = f(x) = R2 ¡ x2, x 2 [0; R]; i primijeniti formulu (25). Nu, budu´ci da je taj raµcun mnogo jednostavniji u polarnim koordinatama, primijenit ´cemo formulu (27). (Polu)kruµznica ima tada jednadµzbu ½ = R, ' 2 [0; ¼], pa je traµzena ploština R¼ p R¼ P = 2¼ R sin ' R 2 + 02d' = 2¼R2 sin 'd' = 4¼R2 . 0

0

Napomena 3.3.7 O plohi, op´cenitije, i njezinoj ploštini bit ´ce više rijeµci u Matematiµckoj analizi III.

(e) Teµ zište ravninskog lika. Promatrajmo pseudotrapez odre† en neprekidnom i nenegativnom funkcijom f : [a; b] ! R . Ne pojašnjavaju´ci detaljnije …ziµcke razloge, recimo da se momenti (s obzirom na X-os i Y -os) toga lika de…niraju izrazima Rb Rb MX = 12 f (x)2dx; MY = xf (x)dx: a

a

To povlaµci da se koordinate njegova tezµišta (”masenoga središta”) T = (»; ´), » = MPY i ´ = MPX , mogu izraµcunati po formulama Rb Rb xf(x)dx f (x)2 dx 1 » = ab ; ´ = ¢ ab : (28) R 2 R f (x)dx f (x)dx a

a

Primjer 3.3.16 Odredimo tezµište za polukrug. Jednostavnosti radi, neka je polukrug odre†en (polu)kruµznicom x 7! p y = f(x) = R2 ¡ x2, x 2 [¡R; R]. Zbog simetriµcnosti je » = 0. Da bismo izraµcunali ´, izraµcunajmo prvo moment MX . Rb RR 3 2 3 MX = 12 f (x)2dx = 12 (R 2 ¡ x2)dx = 12 [R2 x ¡ x3 ]R ¡R = 3 R . a

¡R

Budu´ci da je pripadna ploština P = 4 3¼

¢ R ¼ 0; 4244R.

RR p 2 R ¡ x2 dx =

¡R

1 ¼R2 , 2

to je ´ =

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

175

Pridodajemo, bez dokaza, i odgovaraju´ce formule za momente u polarnim koordinatama: R¯ R¯ MX = 13 g(')3 sin 'd'; MY = 13 g(')3 cos 'd': ®

®

Pomo´cu njih i (18) se lako izraµcunavaju teµzišne koordinate ravninskih likova zadanih u polarnom sustavu. Napomena 3.3.8 Formule (28) su uporabljive i za odre†ivanje teµzišta tvarnih tijela koja su homogena (jednolike gusto´ce) i relativno tanka, tj. kojima je jedna dimenzija (”debljina”) zanemariva prema drugim dvjema (”duµzini” i ”širini”). To su, primjerice, raznovrsne tanke plo µce, ravni limovi i sl. Naime, masa takvog tijela je (kao što znamo iz …zike) razmjerna ploštini pripadnog lika pa se isti faktor (gusto´ca) pojavljuje u brojnicima i nazivnicima ne mijenjaju´ci formule (28). Primijetimo, nadalje, da mnoµze´ci formule (28) faktorom 2¼P i primijenjuju´ci formulu (22) dobivamo tzv. Guldinov teorem 2¼´P = V; tj. obujam odgovarajuæega rotacijskog (oko X-osi) tijela jednak je umnošku pripadne ploštine i opsega kruµznice što ju opisuje teµzište.

3.3.5

Vjez µbe.

1. Izraµcunati donju i gornju sumu za suµzenje f kvadriranja x 7! x2 na segmentu [¡1; 2] s obzirom na rastav: (a) D = f¡1; 0; 2g; (b) D = f¡1; 0; 1; 32 ; 2g. Rješenje za (a): Budu´ci da je m1 = f(0), m2 = f (0), M1 = f (¡1), M2 = f (2), to je 2 P s(f ; D) = mi (xi ¡ xi¡1) = 0(0 ¡ (¡1)) + 0(2 ¡ 0) = 0, S(f ; D) =

i=1 2 P

i=1

Mi(xi ¡ xi¡1 ) = 1(0 ¡ (¡1)) + 4(2 ¡ 0) = 9.

2. Izraµcunati integral

R2

x2 dx te ga usporediti s ishodima u zadatku 1.

¡1

3. Procijeniti integral J =

R8 2

[16; 2 < J < 23; 1.].

x ln x dx

pomo´cu Teorema 3.3.3(iii).

4. Pribliµzno izraµcunati integral J =

R7 p 2 2x ¡ sin xdx trapeznom formulom 1

kad je n = 6, odnosno, kad je n = 12. [J T ¼ 33; 72 za n = 6; JT ¼ 33; 74 za n = 12.] 5. Istraµziti konvergira li nepravi integral: p ¡R 3 R¼ dx ; (b) (a) cot xdx (V:P: =?). 4 1¡x ¡1

0

µ POGLAVLJE 3. INFINITEZIMALNI RACUN

176 Rješenje za (a):

p ¡R 3

dx = ¢ ¢ ¢ = 4 a!¡1 a 1¡x p p 3) = ¢ ¢ ¢ = ln(2¡ 3) + ¼ . + 12 arctan x]¡ a 4 12 +1 1 R P 1 konvergenciju i izraµcunati ( )dx x 2+n4 0 n=1

¡1 1 x+1 lim ([ ln j x¡1 j a!¡1 4

6. Provjeriti

dx 1¡x4

p ¡R 3

= lim

(usp. 4.2.5, Zadatak 7.). 7. Razviti u Maclaurinov red funkciju Rx F : [0; ¢i ! R , F(x) = ln(1+t) dt, F(0) = 0, t 1 P

pa znaju´ci da je 8. Izraµcunati

n=1

R1

0

1 n2

sin x x dx

0

=

¼ 6

izraµcunati F(1).

s toµcnoš´cu do na 10¡5 (v. Primjer 3.2.16(b)).

_

9. Neka je ¡ = AB parabolin luk: y = x2, A = (¡1; y1), B = (1; y2). Pokazati da su r1;2 : [e¡1 ; e] ³ ¡, r1(t) = (ln t; ln2 t) i r2 (t) = (¡ ln t; ln 2 t), parametrizacije za ¡ i da je r1(e¡1) = A = r2(e) i r1(e) = B = r2(e¡1). Jesu li te parametrizacije glatke? 10. Izracµunati ploštinu ravninskoga lika D ome†enoga krivuljom y = (1 ¡ x2) ln(1 ¡ x) i pozitivnim dijelom X-osi. Rješenje: Krivulja je de…nirana nad intervalom [0; 1i i y < 0 za svaki x 6= 0, a y = 0 za x = 0: Nadalje, lim (1 ¡x2) ln(1 ¡x) = ¢ ¢ ¢ = 0, pa je lik D posve x!1

odre†en i njegova ploština je R1 P(D) = ¡ (1 ¡ x2) ln(1 ¡ x)dx. 0

Me†utim, budu´ci da je podintegralna funkcija de…nirana [0; 1i, taj integral treba riješavati kao nepravi integral. Dakle, 1¡² R parc. integracija P(D) = lim (¡ (1 ¡ x2) ln(1 ¡ x)dx) = ²!0

¡lim([(x ¡ ²!0

0

x3

1¡² + 13 3 ) ln(1 ¡ x)]0

3

3

¡lim(( ²3 ¡ ²2 + 23 ) ln ² ¡ ²9 + ²!0

1¡² R

0 ²2 7 ¡ 2 18

x3¡3x x¡1 dx) =

¡ 23 ln ²) =

¢¢ ¢ =

7 18

(kvadratnih jedinica).

11. Izraµcunati duljinu L lanµcanice y = a cosh od to µcke A = (0; a) do to µcke p B = (a arch ha ; h), (a i h su konstante, ha ¸ 1). [L = h2 ¡ a2.] 12. Izracµunati obujam rotacijskoga tijela nastaloga vrtnjom lika ome†enoga: (a) astroidom x = a cos3 t, y = a sin3 t, oko Y -osi; (b) kruµznicom (x ¡ p)2 + (y ¡ q)2 = R2, jqj ¸ R, oko X -osi (torus). 32 ¼a2 ; (b) V = 2¼ 2R2q (provjeriti ishod Guldinovim teoremom).] [(a) VY = 105 13. Izraµcunati ploštinu rotacijske plohe nastale vrtnjom kardioide ½ = 2a(1+ 2 cos ') oko polarne osi. [P = 128 5 ¼a .] ¼ R2 p 14. Izraµcunati integral 1 ¡ a2 sin2 xdx, a 2 h0; 1i konstanta (eliptiµ cki 0

x a

3.3. ODREÐENI INTEGRAL

177

integral druge vrste). Rješenje: Taj integral nije elementarno rješiv. Izraµcunat ´cemo ga razvojem podintegralne funkcije u (binomni) red: 1 ¡1¢ P 1 2 2 n 2 2 2 (1 ¡a2 sin2 x) 2 = n (¡a sin x) , a sin x · 1, (v. Primjer 3.1.19). n=0

Budu´ci da je ¡1 ¢ ¡1 ¢ j n2 (¡a2 sin2 x)n j · j n2 a2nj P¡ 1 ¢ 2n 2 i budu´ci da red apsolutno konvergira, Weierstrassov kriterij (Teon a rem 2.2.17) povlaµci jednoliku konvergenciju promatranoga funkcijskog reda. Sada Teorem 4.2.8. (u verziji za odre†eni integral) dopušta integriranje ”µclan po µclan”, tj. ¼ ¼ 1 ¡1 ¢ R2 p R2 2n P 2 2 n 2 2 1 ¡ a sin xdx = ( n (¡a ) sin xdx). 0

n=0

0

Parcijalnom integracijom dobivamo ¼ R2 2n sin xdx = ¢ ¢ ¢ = ¼2 ¢ (2n¡1)!! (2n)!! , n ¸ 1, 0

pri µcemu je (2n ¡ 1)!! = 1 ¢ 3 ¢ : : : ¢ (2n ¡ 1), a (2n)!! = 2 ¢ 4 ¢ : : : ¢ (2n). Uvrštenjem i sre†ivanjem napokon proizlazi ¼ 1 R2 p P a2n (2n¡1)!! 2 1 ¡ a2 sin2 xdx = ¼2 (1 ¡ 2n¡1 ( (2n)!! ) ). 0

n=1

Indeks Aditivna konstanta, 134 Aksiom Arhimedov, 25 Cantorov, 26 Aproksimacija pravokutnicima, 157 Apsolutna vrijednost kompleksnog broja, 41 realnog broja, 27 Argument kompleksnog broja, 42 Arhimedova spirala, 169 Asimptota, 128 kosa, 128 uspravna, 128 vodoravna, 128

Diferencijal drugi, 110 n-ti, 110 Diferencijal funkcije u toµcki, 106 Disjunkcija ekskluzivna, 2 inkluzivna, 2 Disjunktna unija skupova, 5 Disjunktni skupovi, 5 Djelomiµcni zbroj reda, 70 Domena, 9 Duljina luka, 170 Duljina ravninskog luka, 170

Baza potencije, 28 Broj algebarski, 38 decimalan, 29 e, 66 glavni, 12 Imaginaran, 40 kardinalan, 12 neparan, 23, 37 paran, 23, 37 racionalan, 21 transcendentan, 38, 66

Eksponent potencijin, 28 Ekvipotentni skupovi, 12 Ekvivalencija, 3 Ekvivalentne formule, 3 Eliptiµcki integral druge vrste, 176 Eulerove zamjene, 144 Formula binomna, 32 Eulerova, 117 Lagrangeova, 112 Moivreova, 42 Newton-Leibnizova, 154, 155 predikatne algebre, 3 rekurzivna, 140 Simpsonova, 159 tangentna, 158 Taylorova, 114 trapezna, 158 Funkcija, 9 (strogo) konkavna, 123

Derivacija funkcije, 97 funkcijske kompozicije, 103 funkcijskog reda, 118 inverzne funkcije, 104 slijeva, 100 višeg reda, 109 zdesna, 100 178

INDEKS (strogo) konveksna, 123 algebarska, 58 arcus-sinus, 57 area-kosinus hiperbolni, 59 area-kotangens hiperbolni, 60 area-sinus hiperbolni, 59 area-tangens hiperbolni, 60 arkus-kosinus, 57 arkus-kotangens, 57 arkus-tangens, 57 bijektivna, 11 ciklometrijska, 56 deferencijabilna u toµcki, 106 derivabilna, 97 derivabilna na skupu, 97 derivabilna u toµcki, 97 diferencijabilna, 106 Dirichletova, 96 divergentna u to µcki, 84 dvaput derivabilna, 109 dvaput diferencijabilna, 110 eksponencijalna, 54 elementarna, 58 faktorijel, 31 hiperbolna, 59 identiµcka, 10 implicitno zadana, 49 induktivno de…nirana, 15 injektivna, 11 integrabilna, 149 inverzna, 11 iracionalna, 59 karakteristiµcna, 14 konstantna, 11, 52 kosinus, 56 kosinus hiperbolni, 59 kotangens, 56 kotangens hiperbolni, 59 logaritamska, 54 monotona, 51 neome†ena, 50 neparna, 51 neprekidna, 86 neprekidna na skupu, 86

179 neprekidna u to µcki, 86 neprekidno derivabilna, 98 ome†ena, 50 ome†ena odozdol, 50 ome†ena odozgor, 50 op´ca potencija, 52 padaju´ca, 51 parametarski zadana, 50 parna, 51 periodiµcna, 52 podintegralna, 135 prava racionalna, 58 prekidna u toµcki, 86 R-integrabilna, 149 racionalna, 58 sinus, 56 sinus hiperbolni, 59 strogo monotona, 51 surjektivna, 11 tablicµno zadana, 48 tangens, 56 tangens hiperbolni, 59 transcendentna, 59 trigonometrijska, 55 uzlazna, 51 zadana analitiµcki, 47 zadana gra…µcki, 48 Funkcijski prirast, 88 Gomilište niza, 63 Graf funkcijin, 9 Gra…µcko integriranje, 160 Graniµcna vrijednost funkcije u toµcki, 82 niza, 62 Graniµcna vrijednost slijeva, 84 zdesna, 84 Imaginarna jedinica, 40 Implikacija, 2 In…mum, 7 In‡eksija, 126

180 Inkluzija, 10 Integracijska konstanta, 135 Integracijska varijabla, 135 Integral binomni, 145 donji (Riemannov), 150 elementarno rješiv, 140 funkcijskog reda, 145 gornji (Riemannov), 150 neodre†eni, 134 nepravi, 161 odre†eni, 149 Riemannov, 149 tabliµcni, 137 Integralna suma, 149 Intengrand, 135 Interval otvoreni, 8 poluzatvoreni, 8 Jednadµzba, 44 Klasa, 12 Kodomena, 9 Koe…cijent binomni, 31 op´ci binomni, 118 Kombinacija n-tog reda i r-tog razreda, 33 Kombinacija s ponavljanjem n-tog reda i r-tog razreda, 35 Kombinacije s ponavljanjem multiskupa, 36 Kombinacijsko naµcelo, 39 Kompleksni broj, 40 eksponencijalni zapis, 117 trigonometrijski zapis, 42 Komplement skupa, 5 Kompozicija, 10 Konjugirano kompleksni par, 41 Konjunkcija, 2 Konvergencija jednolika, 76 obiµcna, 75

INDEKS po toµckama, 75, 76 uniformna, 76 Konvergencija reda apsolutna, 77 jednolika, 78 obiµcna, 77 po toµckama, 77 uniformna, 78 Kriterij Cauchyjev, 73 D’Alembertov, 73 Leibnizov, 74 poredbeni, 72 Raabeov, 73 Weierstrassov, 78 Krivulja glatka, 166 jednostavna, 166 jednostavno zatvorena, 166 po dijelovima glatka, 166 ravninska, 166 zatvorena, 166 Kvanti…kator egzistencijalni, 3 univerzalni, 3 L’Hospitalovo pravilo, 112 Leibnizov pristup, 98 Limes funkcije, 81 inferior, 66 niza, 62 superior, 66 Linearna ekstrapolacija, 48 interpolacija, 48 Logaritam Briggsov, 55 dekadski, 55 prirodni, 55 Logiµcki sud, 1 Logiµcki predikat, 3 Lokalni ekstrem, 121

INDEKS maksimum, 121 minimum, 121 Majoranta reda, 71 Maksimum, 7 funkcije, 92 Me†a donja, 7 najve´ca donja, 7 Me†a gornja, 7 najmanja gornja, 7 Metoda neodre†enih koe…cijenata, 141 Minimum, 7 funkcije, 92 Minoranta reda, 71 Mnoµzenje prirodnih brojeva, 16 Modul kompleksnog broja, 42 Multiskup, 34 Nacµelo de…nicije indukcijom, 15 Naµcelo potpune indukcije, 14 Nadskup, 4 Najmanji element, 7 Najve´ci element, 7 Negacija, 3 Nejednadµzba, 44 Nejednakost Bernoullijeva, 39 trokutna, 27 Neodre†eni oblici, 112 Nepravi integral glavna vrijednost, 165 V.P., 165 Newtonov pristup, 98 Niz (strogo) monoton, 62 (strogo) silazan, 62 (strogo) uzlazan, 62 Cauchyjev, 68 divergentan, 63 funkcijski, 75

181 geometrijski, 68 konvergentan, 63 realnih brojeva, 61 stacionaran, 62 u skupu X, 61 Normala krivulje, 99 Nultoµcka funkcije, 130 Obratna slika, 11 Obujam rotacijskog tijela, 172 Operacija binarna, 10 Lukasiewiczeva, 4 She¤erova, 4 Osnovni teorem integralnog raµcuna, 154 Osnovni teorem algebre, 140 Ostatak Cauchijev oblik, 115 Lagrangeov oblik, 115 reda, 70 Schlomilchov oblik, 115 Otvorena reµcenica, 3 Parametrizacija krivulje neprekidna, 166 Parcijalna integracija, 139 Pascalov trokut, 31 Peanovi aksiomi, 14 Period funkcije, 52 osnovni, 52 Permutacija multiskupa, 35 n-tog reda, 32 neparna, 33 parna, 33 s ponavljanjem, 35 skupa, 33 Ploština rotacijske plohe, 173 Ploština ravninskog lika, 167 Poµcetni komad, 18 Podniz

182 realnog niza, 64 Podrucµje integracijsko, 149 Podruµcje de…nicijsko, 9 vrijednosno, 9 Podskup, 4 Pogrješka apsolutna, 108 postotna, 108 relativna, 108 Polinom, 29 Polje kompleksnih brojeva, 40 realnih brojeva, 24 Polumjer konvergencijski, 79 Potencija, 28 Potpuno ure†eno polje racionalnih brojeva, 21 realnih brojeva, 24 Potpunost euklidskog prostora, 68 Prametrizacija krivulje glatka, 166 Prazan skup, 4 Prekid druge vrste, 90 prve vrste, 90 uklonjiv, 90 Prerez, 8 Presjek skupova, 5 Preslikavanje, 86 Primitivna funkcija, 133 Proširenje funkcije, 11 Produkt direktni, 6 Kartezijev, 6 Produktno pravilo, 39 Pro…njenje rastava, 149 Projekcija, 10 Rastav ekvidistantni, 158 segmenta, 149

INDEKS Rastav na parcijalne razlomke, 141 Ravninski luk, 166 Razlika skupova, 5 Razredi, 6 Razvoj Maclaurinov, 115 Taylorov, 115 Red alterniraju´ci, 74 alterniraju´ci harnonijski, 75 apsolutno konvergentan, 73 binomni, 118 divergentan, 70 funkcijski, 77 geometrijski, 70 harmonijski, 71 konvergentan, 70 Maclaurinov, 115 potencijski, 78, 118 realnih brojeva, 69 realnih funkcija, 77 relativno konvergentan, 74 s pozitivnim cµlanovima, 71 Taylorov, 115 uvjetno konvergentan, 74 zbrojiv, 70 Rekti…kabilan luk, 170 Relacija antisimetriµcna, 7 binarna, 6 potpunog ure†aja, 7 razredbena, 6 re‡eksivna, 6 simetriµcna, 6 tranzitivna, 6 ure†ajna, 7 Relativno prosti brojevi, 38 Rješenje jednadµzbe, 44 Rotacijsko tijelo, 172 Segment, 8 Skup, 4 (potpuno) ure†en, 7 beskonaµcan, 12

INDEKS cijelih brojeva, 21 diskretno ure†en, 18 iracionalnih brojeva, 24 konaµcan, 12 kvocijentni, 6 neprebrojiv, 19 ome†en odozdol, 7 ome†en, 8 ome†en odozgor, 7 parcijalno ure†en, 7 partitivni, 5 prebrojiv, 19 svuda gust, 22 Slika skupa, 11 Sljedbenik, 18 Suµzenje funkcije, 11 Suma donja, 150 gornja, 150 Suma reda, 70 Supremum, 7 Supstitucija, 137 Sustav binarni, 29 Tablica osnovnih integrala, 136 Tangenta krivulje, 99 Tautologija, 4 Teµzište ravninskog lika, 174 Teorem Abelov, 95 Bolzano-Weierstrassov, 65 Cantor-Bernsteinov, 13 Darbouxov, 132 Fermatov, 111 Guldinov, 175 L’ Hospitalov, 112 Lagrangeov, 111 o srednjoj vrijednosti, 111, 156 Rolleov, 111 Toµcka in‡eksijska, 126 izolirana, 98

183 kriticµna, 121 stacionarna, 121 Unija skupova, 5 Varijabla nezavisna, 9 zavisna, 9 Varijablin prirast, 88 Varijacija n-tog reda i r-tog razreda, 34 Varijacija s ponavljanjem n-tog reda i r-tog razreda, 36 Varijacije s ponavljanjem multiskupa, 36 Višekratnik, 38 najmanji zajedniµcki, 38 Zajedniµcka mjera, 38 najve´ca, 38 Zbrajanje prirodnih brojeva, 15 Znamenke binarne, 29 decimalne, 16, 29