April 15, 2017 | Author: Srđan Radenović | Category: N/A
Download Matematika 5 Zbirka Zadataka(Full Permission)...
ЗБИРК А
Небојша Икодиновић Слађана Димитријевић Сања Милојевић Ненад Вуловић
Математика
ЗАДАТАКА
ЗА 5. РАЗРЕ Д ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
ЗАДАТАКА
МАТЕМАТИКА
Збирка задатака за 5. разред основне школе
ЗБИРК А
ЗБИРК А ЗАД АТАК А
Математика
Математика за
разред основне школе
I SBN 978-86-7762 - 123- 0
9 788677 621230
Небојша Икодиновић Слађана Димитријевић Сања Милојевић Ненад Вуловић
Небојша Икодиновић • Слађана Димитријевић Сања Милојевић • Ненад Вуловић
Математика 5 Збирка задатака са решењима
Математика 5 Збирка задатака са решењима треће издање Аутори: др Небојша Икодиновић, мр Слађана Димитријевић Сања Милојевић, Ненад Вуловић Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу доц. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу Графичко обликовање: „Total idea“, Нови Сад Обликовање корица: Милош Аризовић Прелом: Игор Болта Лектура: Јасна Аничић
Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о. Светозара Ћоровића 15/IV, 11 000 Београд Teл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385
[email protected], www.klett.rs За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Уредник: Александар Рајковић Штампа: Ротографика, Суботица Тираж: 20.000 примерака
Министар просвете Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника у петом разреду основног образовања и васпитања решењем број 650-02-00268-5/2007-06.
Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.
© Klett, 2010. ISBN 978-86-7762-123-0
ПРЕДГОВОР Ова збирка задатака је део уџбеничког комплета за пети разред издавачке куће KLETT. Састоји се из 7 целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и прате начин и динамику излагања у уџбенику. На почетку збирке дат је кратак преглед задатака о скупу природних бројева које су ученици већ радили у нижим разредима. Трудили смо се да задаци у овом делу буду разнолики (по типу, захтевима и тежини захтева) и да омогуће свеобухватно обнављање већ усвојених садржаја. Састављајући задатке, жеља нам је била да баш сваки ученик може да усвоји бар основне делове сваке наставне јединице. Због тога су почетни задаци у сваком поглављу предвиђени као репродукција основних знања и вештина. Код оваквих задатака обично је предвиђено да ученици самостално уписују решења директно у збирку. На тај начин збирка има делимчно радни карактер. Тако ће код сваког ученика бити створен осећај успеха, који ће, надамо се, представљати изазов за решавање наредних, све тежих задатака. Такође, постоје задаци који су типски за одређене области, па је код оваквих задатака решење, делимичнo или у целости, дато непосредно после поставке задатка. За све остале задатке, решења се налазе на крају сваког поглавља. На крају сваке целине налази се кратак тест. Намера нам је била да понудимо ученицима могућност да сами провере у којој мери су савладали одговарајућу целину. Уз захвалност рецензентима на сугестијама и саветима који су збирку учинили бољом, свим решаваоцима задатака, њиховим професорима, па и родитељима који желе да помогну својој деци, желимо пуно успеха у раду.
Аутори
3
САДРЖАЈ Скупови����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Скуп природних бројева – обнављање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 29 Појам скупа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 32 Операције са скуповима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 34 Изрази са више скуповних операција . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 36 Скуп природних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 37 Изрази са променљивом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 39 Тест������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 28 Геометријски објекти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основни геометријски појмови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Делови праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Делови равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Многоугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Конвексност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Кругови и кружнице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 51 52 53 55 57 57 49
Дељивост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам дељивости, делиоци и садржаоци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5, 4 и 25 . . . . . . . . . . . 60 Дељивост бројевима 3 и 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Прости и сложени бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Највећи заједнички делилац . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Најмањи заједнички садржалац . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 73 73 74 75 76 77 72
Угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Кружни лук и тетива . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Упоређивање углова. Надовезивање углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Врсте углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Мерење углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Углови на трансверзали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Тест I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Тест II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79 93 94 94 95 97 99 91
Разломци I део . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Појам разломка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 119 Проширивање и скраћивање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 120 Упоређивање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 123 Сабирање разломака једнаких именилаца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 125 Врсте разломака. Мешовити бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 126 Децимални запис разломка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 126 Приближна вредност броја . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 128 Бројевна полуправа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 129 Тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4
Разломци II део . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца . . . . . . . . . . . 131 150 Сабирање и одузимање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 151 Сабирање и одузимање децималних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 153 Својства сабирања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 155 Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 155 Неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 156 Тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Разломци III део . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Множење и дељење разломака природним бројем . . . . . . . . . . . . . . 157 178 Множење разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 178 Дељење разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 180 Својства множења и дељења . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 181 Множење децималних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 183 Дељење децималних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 183 Бројевни изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 184 Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 186 Неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 188 Аритметичка средина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 190 Размера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 191 Проценти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 192 Тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Осна симетрија . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам осне симетрије . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Осна симетричност једне фигуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Симетрала дужи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Симетрала угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193 203 205 206 207 201
5
Како ћеш користити ову збирку задатака (упутство за ученике)
На почетку сваке лекције су једноставни задаци у којима на предвиђена места треба уписати бројеве или слова. Наводимо три таква примера:
Ако је дата табела бројева, прво рачунај у свесци па резултате упиши на одговарајућа места у табели.
Ако треба нешто да се нацрта или обоји, онда то одмах уради у збирци.
Највише је задатака које ћеш радити у свесци. Један такав је: Када самостално урадиш задатак, провери решење у збирци. Црвеном бојом, поред стране на којој се налазе задаци, означена је страна на којој се налазе решења. На пример, задаци из лекције Упоређивање разломака налазе се на 107. страни, а решења на 123. страни.
6
Желимо ти много успеха у раду! Аутори
СКУПОВИ СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА – ОБНАВЉАЊЕ 1. З апиши цифрама следеће бројеве: 1) двадесет три хиљаде шестсто педесет осам; 2) осам милијарди; 3) милион двадесет; 4) три милиона петнаест хиљада шест; 5) седамнаест хиљада један; 6) шестсто милиона шездесет хиљада шест. 2. О дреди колико следећи бројеви имају јединица, десетица, јединица хиљада, стотина хиљада и јединица милиона: 728 531
1 004 007
2 805
13 905
8 005 501 347
јединица десетица јединица хиљада стотина хиљада јединица милиона 3. Напиши број који има тачно: 1) 5 јединица, 6 десетица и 3 јединице хиљада; 2) 6 стотина, 3 десетице хиљада, 7 јединица и 8 јединица хиљада; 3) 12 десетица и још 13 јединица хиљада и још 18 стотина и још 123 јединице. 4. Којa су тврђења тачна: 1) 11287 287 £1 287; 1278
2) 1 287 = 1 287;
3) 11287 287 1 287? 1287
5. И змеђу бројева стави један од знакова £ или тако да посматрана тврђења буду тачна: 1) 304 427
340 427; 2) 222 483
222 384; 3) 405 324
45 998; 4) 143 889
54 998.
6. О дреди све природне бројеве који задовољавају неједнакости: 1) 172 < >xx; 2) x < 362 ; 3) 11993 993 < 4) 5 243 xx 33425 425. 33 D 615 546 164; 3) 423 613 976 < 423 614 9 D 6; 4) 46 912 773 648 > D 6 002 300 800. 8, а производ цифара је 1142 = 8. Попуни 22. Збир цифара броја 1 142 је 1+1+ 4 + 2 =10 табелу. број збир цифара производ цифара
23
111
4 098
7
1 000
23. Колико има четвороцифрених бројева чији је: 1) збир цифара 3, 2) производ цифара 2? 24. Израчунај збир свих троцифрених бројева чији је збир цифара 5.
8
23 115
0
25. Израчунај разлику четвороцифреног броја чији је производ цифара 1 и највећег троцифреног броја чији је збир цифара 19. 26. Попуни укрштеницу. 1
2
3
4
5
9
6
8
10
11
12
14
15
16
13
17 20
18 21
22 25
26
27 29
19 23
24
28
7
26) који је по реду дан 18. октобар у години која није преступна 27) најмањи троцифрен број чији је збир цифара 6 28) 30) број коме је 2 цифра стотина, 4 цифра јединица, 9 цифра јединица хиљада и 6 цифра десетица
30
ВОДОРАВНО 1) 1002 + 41000 +103 5) 9) 249 + 2328 10) најмањи број 67. десетице 11) 79 7988-22222 222::22 22 12) број који има 55 јединица хиљада, и још 37 десетица и 12 јединица 14) 222222 15) 62515 +1230 16) претходник броја 8 17) најмањи паран број 18) збир цифара броја 12 021 19) најмањи природан број 20) производ збира и разлике бројева 64 и 28 23) највећи двоцифрени број чији је збир цифара 8 24) 20 227 + 20 230 + 20 233 + 20 225 25) 2473
УСПРАВНО 1) 2) н ајвећи број треће хиљаде чији је збир цифара 18, а цифра јединица 4 3) следбеник следбеника броја 329 4) елемент скупа N0, а није елемент скупа N 5) 6) 7) најмањи непаран број који се пише цифрама 4, 5, 6 и 8 8) решење једначине x : 2 31 337 12) најмањи двоцифрен број чији је производ цифара 45 13) ( ) 17) 1 23 916 35 253 0 19) најмањи паран број састављен од цифара 0, 1, 2, 4 и 5 20) 772 + 773 + 774 + 775 21) 9 999 : 909 22) претходник следбеника броја 25 23) број који се добија када се у броју 6 808 цифре највеће и најмање месне вредности замене 24) 25) највећи паран троцифрен број написан цифрама 1 и 2 чији је збир цифара 5 29) најмањи број чији је збир и производ цифара 4 30) највећи једноцифрени број
27. Упиши бројеве 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 и 99, тако да квадрат буде „магичан“. 88
9
28. Постави заграде тако да једнакости буду тачне: 1) 16 + 4 2 - 8 : 4 + 10 =18; 2) 12 : 3 + 24 - 20 : 4 + 6 - 2 : 2 = 5. 29. Дешифровати сабирања ако истим словима одговарају исте, а различитим различите цифре: 1) 2) 3) 4) A BAC ABC A AA ACB ABC CA + AB + CBA + CBA ACA + MACA BBB ABBC BBB CMCC 30. У троугао и око троугла уписани су бројеви тако да је збир два суседна поља у троуглу уписан на одговарајуће место ван троугла (види прву слику). На исти начин попуни празна места. Урађени пример.
1)
2)
3)
31. 1) Бројеве 172, 389, 394, 927, 1 728, 755 заокругли на најближу десетицу. 2) Бројеве 1 820, 2 770, 8 190, 28 110, 36 180, 12 450 заокругли на најближу стотину. 3) Заокругљивањем бројева на најближу десетицу или стотину процени резултате сабирања: 328 + 421, 473 + 899, 5 238 + 424, 2 492 + 1 123, 7 777 + 9 999. 32. Станко је са баком отишао на пијацу. Поред једне тезге видео је натпис да за купљена 3kg спанаћа добијају још 1kg бесплатно. Ако спанаћ кошта 53 динара по килограму, колико су Станко и бака донели кући спанаћа ако су га укупно платили 424 динара? Колико би спанаћа донели да су га платили два пута више? 33. Странице правоугаоника су a и b. Одреди све могуће вредности за обим и површину правоугаоника ако страница a може имати вредности 3 или 4, а страница b може имати вредности 1, 2 или 6. 34. Марко је купио свеске од 60 и 80 листова. Сваки лист обе свеске почео је да нумерише бројевима 1, 2, 3,... док није стигао до последње стране обе свеске. Колико цифара је употребио да би нумерисао обе свеске? 35. Славица живи у улици у којој има 34 куће са леве и 72 куће са десне стране. Куће на левој страни су нумерисане непарним бројевима почевши од броја 1, а са десне стране парним бројевима почевши од броја 2. Колико је цифара употребљено за нумерацију кућа у Славичиној улици? Колико је кућа нумерисано троцифреним бројевима?
10
36. Уместо звездица стави одговарајуће цифре тако да рачун буде тачан: 1) 33 117 2 55 110
2)
37. Испод сваке колоне уписан је збир бројева из те колоне, а поред сваке врсте производ бројева из те врсте (види слику). Упиши бројеве тако да важи:
77 222 000 33366
36
2
3
1
6
6
9
4
2
5
40
20
8
3
6
2
36
1
35
9
11
8
9
3
7
8
8
11
38. Који од следећих низова је низ природних бројева? Како би описао остале? 1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ; 2) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; 3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...; 4) 1, 3, 5, 7, 9, ... . 39. Уочи правило и допиши бројеве који недостају: 1)
2) 3 240 2 852
1 076
253
1
2 164
1 226 815 308
1 019 507
450
40. Уочи правило и одреди следећа три члана низа: 1) 31, 50, 69, 88, 107, 126, 145, ... 4) 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ... 2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... 5) 2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, ... 3) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 6) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
појам СКУПа 1. О пиши речима своство помоћу којег је образован скуп: 1) А={понедељак, уторак, среда, четвртак, петак, субота, недеља}; 2) В={Европа, Азија, Африка, Јужна Америка, Северна Америка, Аустралија, Антарктик} 2. Н абрајањем елемената запиши скупове које чине: 1) имена четири твоја друга или другарице; 3) самогласници у српском језику;
2) слова речи „школа“; 4) првих пет слова абецеде.
3. Н абрајањем елемената запиши скупове које чине: 1) природни бројеви мањи од 7; 2) бројеви треће десетице; 3) непарни бројеви између 15 и 23; 4) непарни бројеви мањи од 30, дељиви са 5. 4. Н абрајањем елемената запиши скупове које чине: 1) двоцифрени бројеви чија је збир цифара 6 A={60, 51, ____, ____, ____, ____}; 2) троцифрени бројеви чији је збир цифара 3 B={300, ____, ____, ____, ____, ____}; 3) двоцифрени бројеви код којих је збир цифара већи од 15 C={79, ____, ____, ____, ____, ____}; 4) двоцифрени и троцифрени бројеви чији је производ цифара 2 D={12, ____, 112, ____, ____}; 5) двоцифрени бројеви код којих је цифра десетица за 3 већа од цифре јединица E={30, 41, ____, ____, ____, ____, ____}.
11
5. Н абрајањем елемената запиши скупове које чине: 1) сви двоцифрени бројеви који се могу записати коришћењем цифара 2, 5 и 7 A={22, 25, 27, ____, ____, ____, ____, ____, ____}; 2) сви троцифрени бројеви који се могу записати цифрама 3, 0 и 1 B={100, 101, 103, ____, ____, ____, ____, ____, ____, 300, 301, 303, ____, ____, ____, ____, ____, ____}. 6. К оја од следећих тврђења су тачна? 2) запета је елемент скупа{ a, b, c, d, e, f }; 1) 2 је елемент скупа{ 5, 1}; 3) 12 није елемент скупа {1, 2, ..., 99, 100}. 7. Д ати су скупови А={1, 2, а, b, 3} и В={c, d, 4, 5, e}. На линијама стави један од знакова Î или тако да тврђења буду тачна. 4 ___ А, 2 ___ А, 3 ___ В, с ___ А, а ___ А, е ___ В, b ___ В, 5 ___ В. 8. Н ацртај Венов дијаграм за скуп М ако је:
, , D ,};, 1) М={7, 14, 21}; 2) М={11, 33, 55, 77, 99}; 3) М={ 4) a Î M, b Î M, c Î M, d Î M и скуп М нема других елемената осим набројаних; 5) s ÎM, gM, hÎM, pÎM, dM, f M и скуп М нема других елемената осим набројаних. 9. Н ацртај Венов дијаграм за скуп чији су елементи бројеви седме десетице дељиви са 3. 10. Запиши набрајањем елемената скуп дат Веновим дијаграмом.
11. Запиши набрајањем елемената скупове дате Веновим дијаграмима.
12
12. На основу Веновог дијаграма са слике десно стави један од знакова Î или тако да тврђења буду тачна. 1___Р, 210___Р, 12___Р, 102___Р, 1 222___Р, 21___Р, 2___Р. 13. Запиши навођењем елемената и Веновим дијаграмом следеће скупове: 1) K={ x | xÎN и x < 5}; 2) L={ n | nÎN₀ и n £ 7}; 3) G={ s | sÎN и 4 £ s < 5}; 4) D={ d | dÎN₀ и d + 4 £ 7}; 5) S={ a | aÎ N и a је паран број пете десетице}. 14. Скуп P={a, e, и, о, у} можемо записати, описујући елементе, овако: P={ x | x је самогласник}. Запиши описујући елементе и Веновим дијаграмом следеће скупове: 1) A={2, 4, 6, 8, 10}; 2) B={11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; 3) C={123, 132, 213, 231, 312, 321}; 4) D={11, 15, 17, 51, 55, 57, 71, 75, 77}. 15. Описујући елементе, као у претходном задатку, запиши скуп природних бројева: 1) који су мањи од 700 A={ x | xÎN и x < _______ };
2) који су већи од 15 B={ x | xÎN и ______ };
3) који су мањи од 378, а већи од 111 A={ x | xÎN и _______ < x < _______ };
4) који су парни и мањи од 88 D=_____________________________;
5) који су решења неједначине а + 16 < 163 E=_____________________________. 16. Која су од следећих тврђења тачна? 1) 0ÎР , ако је P={r | rÎN и r < 4}; 2) 201ÎV , ако је V={x | xÎN₀ и x > 200}; 3) 4ÎR , ако је R={k | k ÎN и k + 3 > 7}; 4) DÎG , ако је G={g | g је геометријска фигура}. 17. Одреди елементе следећих скупова: 1) А је скуп свих природних бројева мањих од 5, а већих од 7; 2) Е је скуп свих бројева који су решења једначине x0 = 2 ; 3) С је скуп свих троцифрених бројева који се пишу само цифром 0. 18. Која су од следећих тврђења тачна? 1) {x | x je број осме стотине и x се пише само цифрама 2, 3 и 8}=Æ; 2) {n | n je број девете стотине и n се пише само цифрама 2, 3 и 8}=Æ; 3) {k | k je број прве стотине и k је број који почиње цифром 2}=Æ. 19. Д ат је скуп А={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Који су од следећих скупова подскупови скупа А: В={1, 3, 5}, C={1}, D={2, 4, 6, 8}, E={0, 1}, F= Æ , G={1, 2, 3, 4, 5, 6}, H={123}.
13
20. Одреди скупове А и В и утврди да ли је ВА:
21. Дат је скуп А={a, b, c, d, e, f}. Која су од следећих тврђења тачна? 2) gA; 3) {b, e}A; 4) {c, f }A; 1) aÎA; 6) dA; 7) { f }A; 8) {e, f }A; 9) {d, b, f, a, e, c}ÎA.
5) {a}ÎA;
22. Нека је А било који скуп. Која су од следећих тврђења увек тачна? 2) 1 Î А; 3) Æ А; 4) Æ Î А; 5) А Æ . 1) А А; 23. О дреди све подскупове скупова: 1) А={3}; 2) B={2, 5}; 3) C={3, 6, 9};
x £ 24 }. 4) D={x | x Î N и 66x
24. Дат је скуп Е={5, 55, 555, 5 555}. Одреди све: 1) једночлане подскупове; 2) двочлане подскупове; 25. Да ли су једнаки скупови: 1) A={1, 2} и B={2, 1}; 3) E={m, e, t, a, r} и F={t, r, e, m, a};
3) трочлане подскупове.
2) C={n, a, d} и D={s, a, n}; 4) G={K, R, E, D, A} и H={d, r, e, k, a}.
26. Одреди који скупови су међусобно једнаки: C={x | xÎN и x £ 3}; AA={ = 1, 2, 1, 2}; BB= = {1, 2, 2}; F={1, 23}. DD={ = 1, 2, 12}; EE= = {3, 3, 1, 3, 2}; 27. А ко је Е = {1, 2, 12, 23, 123, 234} и Н = {234, 123, 1, x, 12, 2} , одреди вредност променљиве х тако да је: 1) Е=Н; x = ____ 2) Н Е. x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ или x = ____ 28. Одреди вредности променљивих p и q тако да важи: p = ___ и q = ___ или p = ___ и q = ___ 1) {1, 3, 5}={3, p, q}; p = ___ и q = ___ 2) {21, 49, p}={7, q, 49}; p = ___ и q = ___ или p = ___ и q = ___ 3) {2, 5, 8} {2, 4, p, q}; p = ___ , а q = ___ или q = ___ 4) {6, 26, q} {26, p}.
14
29. Одреди вредности променљивих x и y тако да скупови А, В и С буду једнаки, ако је:
1,3,5,7,9}, В={5,9, x,1,7} и С ={1,7,9, y,5,3}. А={
30. С куп K чине слова имена Јован, а скуп L слова имена Јована. Запиши елементе ова два скупа и одреди број њихових елемената. Које је од следећих тврђења тачно: KL, K=L или LK? 31. Два скупа која имају различити број елемената не могу бити једнака. Запиши два скупа која имају исти број елемената, а нису једнака. 32. Одреди број елемената скупa А ако je: 1) А={1, 2, 33}; 2) A={1, 1, 1, 1}; 4) A={2, 4, {2}}; 5) A={1, 1, {2, 3, 4, 5}};
3) A={5, 15, 55, 555, 5, 55}; 6) A={{1, 2}}.
33. Одреди број елемената скупа С ако је: 1) С ={x | xÎN и x < 7 342}; 2) С ={x | xÎN и x је двоцифрен број}; 3) C={ p | pÎN₀ и 483 < p < 841}; 4) C={g | gÎN₀ и g+22 < 51}. 34. Који од скупова A, B, C, D, E, F и G имају исти број елемената: A={a, b, c}, B={a, a, c}, C= Æ , D={a, {b, c}}, E={ Æ }, F={{a, b, c}}, G={a, {a}, A}? 35. Одреди елементе и број елемената скупа С ако је: 1) А={1, 2, 2, 3, 4, 5}, B={10, 11, 12, 13, 13, 14} и С={c | c Î N и c=b-a, a Î A, b Î B} N0 и N0 и c=a : b, a Î A, b Î B} 2) A={8, 9, 10, 11, 12}, B={b | b ÎN₀ } и С={c | c ÎN₀ N и c-5 Î B} N и b-2 Î A}, C={c | c ÎN 3) А={a | a Î N N, или }, B={b | b ÎN 36. Одреди вредности променљивих z, r и s знајући да за скупове M={2, 4, 6, 8}, K={4, 6, s} и L={2, 4, z, r} важи: 1) K L, n(L)=3; 2) L M, n(L)=2; 3) L M, n(L)=3; 4) L=M.
операције са скуповима 1. За задате скупове А и В одреди А В ако је: 1) А={1, 2, 3}, B={2, 3, 4}; 2) А={2, 4, 6, 8, 10}, B={3, 6, 9, 12}; 3) А={a, b, c, d}, B={d, b, a, c}; 4) А={p, p, p, q, r, q}, B={r, r, p, p}; 5) А скуп слова имена Бранислав, а В скуп слова имена Бранимир; 6) А ={n | nÎN и x £ 7}, B={x | xÎN₀ и 5 £ x < 9}; 7) А={x | xÎN и x 10}; 8) A={p | pÎN и p > 41}, B={q | qÎN и q > 30}; 9) А= Æ , B={ Æ }.
2. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где уписујемо елементе пресека скупова X и Y.
15
3. На основу Венових дијаграма запиши скупове и њихов пресек.
4. Н ацртај Венове дијаграме скупова: 1) O={12, 14, 16, 18} и I={6, 12, 18}; 2) M={7, 17, 27} и N={47, 37, 27}; 3) А={p, e, k, a, r} и B={r, e, k, a}; 4) V= Æ и U={0}; 5) F={x | x је непаран број прве десетице} и G={x | x је паран број прве десетице}. Који су од скупова дисјунктни? 5. О дреди вредности променљивих тако да је: 1) {1, 3, 7, 9} {2, 5, 7, x}= {3, 7}; 2) {2, 3, 5, 7, 11, 13} {3, 5, x, y}= {3, 5, 7, 13}; 3) {a, 5, 12, 36} {4, b, 12, 15}= {4, 36}; 4) {34, 54, 74, 94} {15, g, 67}= Æ ; 5) {7, 15, 21, 38, 41} {9, 23, h, 38, s}= {15, 38}. 6. З а задате скупове Q и R одреди Q R и број елемената овог скупа ако је: 1) Q={1, 3, 5}, R={7, 9, 11}; 2) Q={1, 4, 5, 7}, R={4, 6, 7, 10}; 3) Q={12, 23, 34, 45}, R={12, 45}; 4) Q={први}, R={други}; 5) Q скуп слова имена МИРОСЛАВ, а R скуп слова имена СОТИР; 6) Q={x | xN и 14 x 21}, R={x | xN и x је паран број друге десетице}; 7) Q={x | xN и x 46}, R={ x | xN и x £100}. 7. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где уписујемо елементе уније скупова X и Y. 8. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек и унију.
9. Зоран и Јован су другови из одељења. Зоран се дружи са Маријом, Тијаном, Јанком, Мирком, Здравком, Петром и Василијем, а Јован са Мирјаном, Јанком, Жељком, Луком, Василијем и Здравком. Одреди унију и пресек скупова имена Зоранових и Јованових другова. 10. Ако је АВ, које су од следећих једнакости увек тачне: 1) A B=A; 2) A B=B; 3) A B=A; 5) A Æ =A; 6) Æ A= Æ ; 7) AÆ = Æ ;
16
4) A B=B; 8) Æ A=A.
11. Одреди елементе скупа Е ако је: 1) P={2, 5, 12, 13}, E P={5}, E P={2, 5, 9, 12, 13, 17}; 2) E {a, b, c, d, e}, E { a, c, d }={a}, n(E)=3; 3) E {5, 36, 59, 117}={5, 26, 36, 59, 84, 117}, n(E)=3. 12. Одреди: 1) n(A B) ако је n(A)=5, n(B)=12 и n(A B)=3; 2) n(A B) ако је n(A)=19, n(B)=17 и n(A B)=23; 3) n(B) ако је n(A)=8, n(A B)=16 и n(A B)=3. 13. Одреди D \ S и S \ D ако је: 1) D={1, 3, 5, 6, 7, 8} и S={2, 4, 7, 8, 9}; 2) D={1, 1, 3, 3, 3, 6, 9} и S={1, 3, 6, 6, 9, 9, 9}; 3) D={маја} и S={м, а, ј, а}; 4) D={3, 12, 22, 32} и S={d | dN, d < 100 и d се пиши само цифрама 2 и 3}; 5) D скуп слова речи НАСТАВНИК, а S скуп слова речи УЧЕНИК; £ z - 2 < 8 } и S={m | mN, m < 12 и m је дељиво са 4}; 6) D={z | zN и 55 7) D={p | pN, p < 1 000, збир цифара броја p је 3} и S={3, 102, 300, 503, 1 200}. 14. На Веновом дијаграму скупова М и Т десно шрафирај сивом бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа М \ T, а црвеном бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа T \ M. 15. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек, унију и разлике.
16. Ако је L={z, v, o, n, k, o} и V={k, o, n, v, o, j}, која су од следећих тврђења тачна: 1) {z, v, o, n, o} L V; 2) {j, o, v, o} L V; 3) z Î L \ V. 17. За скупове А={11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}, B={12, 13, 15, 16, 17} и C={13, 16} одреди СА(В), СА(С) и СВ(С). Одабери произвољне дисјунктне скупове K и L, такве да је K L=А. У том случају одреди СА(K) и СА(L). 18. О дреди вредности променљивих тако да је: 1) {12, 17, 41, 55} \ {12, x, 21, 55}={17}; 2) {a, b, 32} \ {8, 11, 52}={4, 32}; 3) {p, 47, 200} \ {13, 18, r}={47}; 4) {14, 15, 16, f} \ {32, 33, 34, t}={14, 15, 16}. 19. Које су од следећих једнакости увек тачне? 2) A \ Æ = Æ ; 3) Æ \ A=A; 1) A \ Æ =A;
4) Æ \ A= Æ .
17
20. Ако је H X, које су од следећих једнакости увек тачне? 3) H \ X= Æ ; 1) H \ X=H; 2) X \ H= Æ ;
4) X \ H=X?
21. Ако је S D= Æ , чему је једнако S \ D и D \ S? 22. Доврши попуњавање табеле како је започето:
\
23. О дреди елементе скупова А и Е ако је: 1) А Е={1, 3, 14}, A \ E={2, 5, 38}, E \ A={20, 22} Решење: Како је 1 5 3 22 38 14
онда је А={2, ____, ____, ____, ____, ____} E={20, ____, ____, ____, ____}
2) A Е={a, d, f }, СA(E)={e, k} 3) А Е={x x || xxÎN, N, x < 20 и x је дељиво са 3}, A \ E={6, 15}, E \ A={12} 4) А Е={111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222}, A E={111, 222}, A \ E={112, 121, 122} 24. Ако је n(A)=15, а n(B)=7, колико највише, а колико најмање елемената могу имати скупови: 1) A B; 2) A B; 3)A \ B; 4) B \ A? 25. Одреди: 1) n(D P) ако је n(D \ P)=4, n(P \ D)=3 и n(D P)=3; 2) n(K \ U) ако је n(U \ K)=5, n(K U)=12 и n(U K)=3. 26. Одреди оне елементе које скуп А мора садржати ако је: 1) {1, 3, 5} A={1, 2, 3, 4, 5}; 2) А {p, e, t}={p, e, t, a, k}; 4) {2, 3, 4} A={1, 2, 3, 4, 5}. 3) A {p, e, t, a, k}={p, e, t}; 27. Ј адранка и Никола су одлучили да заједно прославе рођендан. Јадранка је позвала 15 другова, а Никола 12. Ако су 5 другова позвали и Јадранка и Никола, колико је укупно гостију позвано? 28. У једном одељењу од 27 ученика свако је морао да се одлучи за учење грађанског васпитања или веронауке. Ако се 14 ученика определило за грађанско васпитање и 17 за веронауку, колико ученика се определило за оба предмета?
18
29. У пошти се налази 115 особа. Њих 24 не шаље ни писма ни разгледнице. Разгледнице су послале 63 особе, а писма 44 особе. Колико особа је послало и писмо и разгледницу, а колико само једно од та два? 30. У једној туристичкој агенцији продају се аранжмани за летовање у Тунису и Египту. У колективу од 109 радника, 37 радника је одлучило да не иде на летовање преко ове агенције. Преостали радници су резервисали 42 аранжмана за Тунис и 34 аранжмана за Египат. Колико радника је резервисало само један, а колико радника оба аранжмана? 31. У европски летњи камп математичара дошло је 73 ученика од којих 38 ученика говори немачки језик, 25 ученика француски, а 12 ученика говори оба језика. Колико ученика не говори ниједан од ова два језика?
ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ операција 1. На основу Веновог дијаграма записати елементе скупова P, Q и R.
2. Нацртај Венов дијаграм и одреди скупове А В С и А В С ако је: 1) A={1, 4, 7, 11, 14}, B={1, 3, 7, 12}, C={5, 7, 13}; 2) A={a, s, d, f, g}, B={a, f, g, k}, C={a, d, f, k}; N и sN k 9 ; 3) 4 x 5. бројева задовољава дате неједнакости: 1) x 15}; 3) A={ x | xÎN и 111 < x < 378}; 4) D={ x | xÎN, x < 88 и x је паран број}; 5) E={ a | aÎN и a je решење једначине а + 16 < 163}. 16. 1) нетачно; 2) тачно; 3) нетачно; 4) тачно. 17. 1) A = 2) E = 3) C = 18. 1) тачно; 2) нетачно; 3) нетачно. 19. B A A, CB A A, B FA A, GB A 20. 1) A = {1, 3, 5} , B = {1, 5} ,BB A A; 2) A = {2, 3, 5} , B = {2, 3, 5} , BB A A; 3) AA = {1, 8, 12} , B = , BB A A; 4) A A = {8, 9} , B= {7, 8, 9} , BB AA; 5) A = {2, 4, 5} , B={0, 3}, BB AA. 21. 1) тачно; 2) тачно; 3) тачно; 4) тачно; 5) нетачно; 6) нетачно; 7) тачно; 8) тачно; 9) нетачно. 22. 1) тачно; 2) нетачно; 3) тачно; 4) нетачно; 5) нетачно.
5{2, 5{9}, 2,{5}, , 2, 2,{6}, , 2,{3, 56}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9}; 3 2) , {2}, 23. 1) , {3}; 5};5 3) , {3}, 2{2}, , 5{3}, , 2, 5{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. 4) , {1}, {4}, 24. 1) {5}, {55}, {555}, {5 555}; 2) {5, 55}, {5, 555}, {5, 5 555}, {55, 555}, {55, 5 555}, {555, 5 555}; 3) {5, 55, 555}, {5, 55, 5 555}, {5, 555, 5 555}, {55, 555, 5 555}. 25. 1) јесу; 2) нису; 3) јесу; 4) нису. 26. A=B, C=E 27. 1) x = 23 ; 2) x =1 или x = 2 или x =12 или xx= 23 или x =123 или x = 234 . 28. 1) p =1 и q = 5 или p = 5 и q =1 ; 2) pp = 7 и q = 21 ; 3) p = 5 и q = 8 или p = 8 и qq= 5 ; 4) pp= 6 , а q = 6 или q = 26 . 29. x = 3 , а yy =1 или yy = 3 или y = 5 или yy = 7 или yy = 9 . 30. K={Ј, о, в, а, н}, L={Ј, о, в, а, н}. n(K)=n(L)=5. Тачна су сва три тврђења. 31.
, n(A)=n(A)=3, A AB
A =1 ; 3)nn(A) A = 4 ; 4)nn(A) A = 3 ; 5)nn(A) A = 2 ; 6)nn(A) A =1. A = 3 ; 2)nn(A) 32. 1)nn(A) C = 90 ; 3)nn(C) C = 357 ; 4) n(C) = 29 . 33. 1) n(C)=7 341; 2)nn(C) 34. n(A)=n(G), n(B)=n(D), n(E)=n(F).
C = 9 ; 2) C={2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12},nn(C) C =10 ; 35. 1) C={5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13},nn(C) C =6 . 3) C={8, 9, 12, 13, 14, 15},nn(C) 36. 1) s=2, а zz=6, = 4, zr Î{2, N 4, 6} = 4, r Î{2, N 4, 6} или zr=6, 2) z=2, r=2 или z=2, r=4 или z=4, r=2 или z=4, r=4; 3)zz=6, = 6, {2, 4, 6} или zr = = 8, {2, 4, 8} = 4, r Î{2, N 4, 6} или zz=8, = 4, r Î{2, N 4, 8} или zr = 4, zr Î N 4, zr Î N 4) z=6, r=8 или z=8, r=6.
33
операције са скуповима 1. 1) AB={2, 3}; 4) AB={p, r}; 7) AB={11, 12};
2) AB={6}; 5) AB={Б, р, а, н, и}; 8) AB={x | xÎN и x > 41};
3) AB={a, b, c, d}; 6) AB={5, 6, 7}; 9)AAB B = .
2.
3. 1)
; ;
3)
2)
;
4)
.
4.
.10
5. 1) x =3 ; 2) x =7 , y =13 или x =13 , y =7 ; 3) a = 4 , b = 36 ; 4) g је било који број који не припада скупу {34, 54, 74, 94}; 5) или . 6. 1)
; 2)
;
, nQ R = 2 ; ; 4) Q R ={први, други}, ï ðâè , äðóãè
3) О, С, Л,, nА,Q В,Т}, 5) Q R = {М, 12, И, 23,Р,34, 45 R = 4
;
; 6) 7) Q R = N . Скуп Q R = N има бесконачно много елемената. 7.
8. 1) 2) 3) 4) 5)
; ; ; ; .
9. Нека је J скуп имена Јованових, а Z скуп имена Зоранових пријатеља. Тада је: Ј Z={Марија, Тијана, Јанко, Мирко, Здравко, Петар, Василије, Мирјана, Жељко, Лука}, Ј Z={Јанко, Здравко, Василије}. 10. 1 ) тачно; 2) нетачно; 3) нетачно; 4) тачно; 5) нетачно; 6) тачно; 7) нетачно; 8) тачно. 11. 1) Å E= {5, 9, 17} ; 2) ; 3) E = {5, 26, 84} или E = {26, 36, 84} или E = {26, 59, 84} или E = {26, 84, 117} . 12. 1)
34
; 2)
3)
.
S \ D ={2,2 , 4,4 ,9}; 1, 33,, 55,, 66}, 9 13. 1) D \ S = {1, 2) D \ S = , S \ D = ; 2 ,23, 23 , 33}; 33 12 S \ D = 3) D \ S={маја}, S \ D ={м, а, ј, а}; 4) D \ S = {12}, {2, 4 7 , 9}, 9 S \ D = 6) D \ S = {7, {4}; 5) D \ S={A, C, T, B}, S \ D ={У, Ч, Е}; S \ D = ={503, 12 , 21, 21, 30 , 210 503, 1200 {12, 30,, 111 111,, 120 120,, 201 201, 210}, 1200}. 7) D \ S = 14.
K T ={2,2 ,4,4 ,7}7 1, 22,, 33,, 44,, 55,, 77,, 88,, 99}, 15. 1) K={2, 3, 4, 7, 8, 9}, T={1, 2, 4, 5, 7}, K T = {1, K \ T = 3 ,8, 8 ,9}, 9T \ K = 1, 55}; {3, {1, a,d, d ,h}, hK T = d ,h}, hK \ T ={a}, {a, {d, 2) K={a, d, h}, T={d, h}, K T = a T \ K = ; 3) K={Ана, Мира, Оља, Ена, Миа}, Т={Ена, Миа}, K Т={Ана, Мира, Оља, Ена, Миа}, K Т={Ена, Миа}, K \ Т={Ана, Мира, Оља}, T \ K = ; 4)
,
, K T = , ,
.
16. 1) тачно; 2) нетачно; 3) тачно. 17. A {11, 14}, A {11, 12, 14, 15, 17}, и L, такве да је K L=А, важи
B
{12, 15, 17}. За дисјунктне скупове K и .
{8, 32, 52 52} или b =4 , a Î {8, 32,, 52 52}; 18. 1) x = 41 2) a = 4 , b Î 8, 11, 32, 8 ,11, 11, 32 13, 18, 47, 200 {13, 200}; 3) r = 200 , p Î 4) t може бити било који број осим 14, 15 и 16, а f Î {14, 16, 32, 32, 33, 33,34, 34, tt}. 14, 15, 16, 19. 1) тачно; 2) нетачно; 3) нетачно; 4) тачно. 20. 1) нетачно; 2) нетачно; 3) тачно; 4) нетачно. 21. S \ D = S , D \ S = D . R \ PP, , SS \ LL. 22. B \ A, A BB, R 23. 1) A={1, 2, 3, 5, 14, 38}, E={1, 3, 14, 20, 22}; 2) А={a, d, e, f, k}, E={a, d, f }; 3) A={3, 6, 9, 15, 18}, E={3, 9, 12, 18}; 4) A={111, 112, 121, 122, 222}, E={111, 211, 212, 221, 222}. 24. 1) највише 22 (ако је A B = ), најмање 15 (ако је B A ); 2) највише 7 (ако је B A ), најмање 0 (ако је A B = ); 3) највише 15 (ако је A B = ), најмање 8 (ако је B A ); 4) највише 7 (ако је A B = ), најмање 0 (ако је B A ). 25. 1)
; 2)
.
26. 1) 2 и 4; 2) а и k; 3) p, e и t. 4) дата једнакост је немогућа јер су у пресеку елементи који нису у првом скупу. 27. Укупно су позвали 22 госта. Користи једнакост 28. За учење оба предмета определила су се 4 ученика. 29. И писмо и разгледницу је послало 16 људи, а њих 75 је послало само једно од то двоје. 30. Оба аранжмана су резервисала 4 радника, а њих 68 један аранжман. 31. 22 ученика не говоре ни немачки ни француски.
35
ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ операција 1. 1) P={1, 2, 3, 4, 8}, Q={3, 4, 6, 7, 9}, R={4, 5, 6, 8}; 2) P={a, d, e}, Q={a, b, d }, R={d, e, f }; 3) P={2, 3, 9}, Q={1, 4, 7, 8, 9}, R={5, 7, 8}. 2.
{1, 11,, 12 12, 13, 1) A B C = 1, 33,, 44,, 55,, 77,, 11 , 13 , 1414}
{7} A B C = 7
2) A B C = {a, a,d, d ,f,f g, , gk,, ks}, s {a, A B C = a,ff}
3) A B C = {3, {9} 3 ,4, 4 ,5, 5 ,6, 6 ,7, 7 ,8, 8 ,9}, 9A B C = 9
3. 1) K L S = {12, 13,, 14 14,, 15 15,, 16 16,, 17 17,, 18 18, 19, 20}; 12 , 13 , 19 , 20
2) K L S = {16}; 16
3)
;
4)
.
4. 1) P ( Q R )={м, и, р, к, о, а, л, с}; 3) ( R P ) ( Q P )={о, к}; 5. 1) 4)
{7};
2)
{10};
3)
{5, 7, 9};
5)
{2, 4, 9, 10};
6)
6. 1)
; 2)
4) 7. 1) G H R
2) R ( Q R )={а, л, е, к, с}; 4) ( Q P ) ( P R )={м, и, р, к, о, а, л, с}.
; 5)
{2, 4, 5}.
{s, k, p}; 3) {h, k, s}; 6)
2) G H R
;
3) (G H) R
; . 4) (G R) \ H
5) H (R \ G)
36
6) (R G) (H \ G)
7) (H \ G) \ (R G)
8) (R G) (H\ (G R))
9) (G R) \ H
10) (H G) (R \ G)
11) ((G R) \ (R G)) \ H 12) CG(R) H
R
8. област III: област VI:
; област IV: A B C ; област V: ; област VII: .
;
9. Као олакшицу приликом решавања овог задатка можемо користити претходни задатак. 4) ; 5) ; 6) ; ; 8) ; 7) 9) 11) 13)
;
10) ;
; 12)
;
.
10. A={5, 6, 7}. 11. K={1, 3, 5}. 12. A={1, 2, 3, 4, 9}, B={4, 5, 6, 9}, C={1, 4, 6, 7, 8}. P = {2, 4, 8}, Q = {3, 8}, R = {3, 4, 5, 6, 7, 8} . или
13. 14.
.
15. 1) 556; 2) 365; 3) 118.
16. 1) 31; 2) а) 14; б) 14; в) 17; г) 28.
17. 1) 2; 2) 8; 3) 12; 4) 6.
СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА 1. 1) 153 +742 = 742 +153 ; 2) 2378 +2713 = 2713+2378 ; 3) 3487 = 8734. 2. 1) 318 + 2 579 138 + 2 579 ; 2) 25316 31623 ; 3)133 + 4 777 = 4 777 +133. 3. 1) 2) 3) 1 275; 4) 1 014.
; ;
4. 1)
; 2) 650 ; 3) 1 300; 4) 1 600.
5. 1) смањи се за 221; 2) повећа се 3 пута; 3) повећа се 5 пута; 4) смањи се за 493; 5) повећа се 8 пута; 6) повећа се за 102; 7) смањи се за 457; 8) смањи се 2 пута; 9) повећа се за 513; 10) повећа се 18 пута. 6. 1) 907 - 307 = 600 ; 2) 907 +723 =1 630; 3) 907 + 364 -726 = 545 . 1630 7. 1) 236 : 2 =118 ; 2) 236 : 4 = 59 ; 3)
; 4)
.
8. 1) 86 ; 2) 2 238 ; 3) 349 ; 4) 169 ; 5) 640 ; 6) 7198 ; 7) 1; 8) 17 . 9. Делилац је број 18 . 11. 1) 2 и 1; 2) 3 и 1; 3) 4 и 2. 13. 1)
; 2)
10. Дељеник је број 2 111.
12. 1) 977 + 283 =1260 ; 2) 10 001- 99 = 9 902 . .
14. 4 291-1924 = 2 367 .
37
15.
.
16.
17.
.
18.
. .
19. 51=17 +17 +17. Ако први сабирак повећамо за 1, а трећи сабирак смањимо за 1 имамо , односно 51=16 +17 +18 , па су тражени бројеви 16, 17 и да је 18. 20.
, па су тражени бројеви 42, 44 и 46.
21.
.
22. 1) x + x + 484 = 4 928 , па је x =2 222 , а тражени бројеви су 2 222 и 2 222 + 484 = 2 706. 1 232, а тражени бројеви су 1 232 и 31 232=3 696. 2) x +3 x = 4 928 , па је x =1232 или . 23. 24. а)
;
б) Више ће имати Марија, и то за
динара.
25. Уштедеће 1290 - 950 =130 динара. 26. За годину дана се потроши 27. Мајстор Гиле је сашио
брашна. одела за ова три месеца.
28. У продавнице је стигло дискова, а ако је остало непродато 42 625 дискова, продато је 130 210 - 42 625 = 87 585 дискова. 29. Први-1628 , други-1 628-416=1212, трећи-(1 628+1 212)+11=2 851. Укупно 1628 +1212 + 2 851= 5 691 путника . 11130 30. У трећем селу живи 11 130- 8 421= 2 709 , у другом 11 130-5 837=5 293, а у првом селу живи 11 130-(2 709+5 293)=3 128 становника. 31. Ако је x број радника у другом погону, тада је 4 x + x + x +13 = 4 933, па је x = 820 . Дакле, у првом погону ради 3 280, у другом 820 и у трећем 833 радника. 32. Ако је x број пошиљки у првој соби после изношења 493 пошиљке, имамо да је 1 117, па је x = 78 . У првој соби је било 571, а у другој 546 пошиљки. x + 493+7 x =1117 33.
34.
38
35. 1) x = 4 ; 2) x =11; 3) x = 7 ; 4) x = 7 ; 5) x = 2 . 36. 1) 12; 2) бесконачно много бројева; 3) ниједан број. 37. 38. После петог скока је у тачки којој је придружен број 15 скокова је у тачки којој је придружен број 91
, а после 13 .
,а 39. З ец ће пронаћи шаргарепу у тачки 110 јер је неће шаргарепу која се налази у тачки 4 јер је . Дакле, зец ће се налазити у тачки 5 на крају свог пута. 40. Хоће. Како у свака 2 скока прескочи дужину 7, после 284 скока доћи ће у тачку 4 одакле ће скоком за дужину 4 стићи до тачке којом је представљен Сиднеј. Дакле, са 285 скокова. У тачку којом је представљена Аделаида кенгур неће доскочити јер после 68 скокова биће у тачки којој је придружен број 760 , а скоком за дужину 4 прескочиће посматрану тачку.
ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ 1. 1) 27; 2) 63; 3) 111; 4) 159; 5) 375; 6) 1 383. 2. 1) 159; 2) 127; 3) 191; 4) 497; 5) 1666; 6) 2 505. 3. 1) 448; 2) 472; 3) 486; 4) 514; 5) 538; 6) 616. 4. 1) 6; 2) 28; 3) 68; 4) 7. 5. 1) 60; 2) 42; 3) 86; 4) 2 180. 6. 1) 7.
; 2)
; 3)
.
n
1
7
12
14
51
a
4
8
12
3n-2
1
19
34
40
151
(a-2)a-4
4
44
116 139 191 395
5
6a-3(a-2)
18
30
42
362-7n 355 313 278 264
13 45
15
21
51
69
a
7
5
9
7
11
15
13
17
9
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
aa+5b-3a
33
20
69
48
113
210
165
278
99
bb+(a-b)(a+b)
49
25
81
49
121
225
169
289
81
12(3b+a)-(14a-6) : 4
97
116
186
205
275
345
364
434
402
(a-(a-b) : 3)7-5
30
23
44
37
58
79
72
93
58
39
8. 1) x +15; 2) 3 x ; 3) 2x+3; 4)
; 5)
9. 1) a +b ; 2) a-b; 3) 2b+(a : 6); 4) 10. a a-1 2a-4 претходник a +1 2a-3 број a a +1 a +2 2a-2 следбеник 11.
a
1 4 1
O = 4a P = aa
3 12 9
5 20 25
; 6)
-12.
; 5) 3a-2 3a-1 3a
7 28 49
. a2 -1 a2 a2 +1
9 36 81
не може бити већа 12. Како је дељеник 2 378 - p 2 378, вредност израза од 6. Ако је имамо да је p =2 005 . Ако редом мењамо вредности . количника, имамо да је 13. 1) Најмања је за k = 9 и то 774, а највећа је за k =1 и то 798 . 2) Најмања је за k = 99 , и то 504, а највећа је за k =10 , и то 771. 14. 1) d -6 , d, d +3 ; 2) d -1 , d + 9 , 2d , 3d -7, 3d . 15. 1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
x
1
3
5
7
9
2x -1
2
5
8
11
14
3x -1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
5
8
11
14
17
20
23
26
3x +2
16. а) 37 - 35 = 37 -15 = 22 бомбоне; б) 37 - 45 = 37 - 20 =17 бомбона. Aко је поделила бомбоне са x другарица, остало јој је 37- x5 бомбона. Највише је могла да почасти 7 другарица. 17. 1) 11500 500 - 2200 =1100 динара; 2) 1500 - 4200 = 700 динара; 1500 3) 1 500 -7200 =100 динара. После x дана преостало му је 11500 500 - x200 динара.
40
ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ OСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ ПОЈМОВИ 1. Упиши или тако да важе односи приказани на слици. 1) A ___a; a
2) A ___ b b;
3) B ___ a; a
4) B ___ b b;
5) C ___ aa;
6) D ___b. b
2. О значи тачке и праве тако да је: p q ={Q } , q r ={P } , p r ={R } .
3. Нацртај праве a и b и изабери тачке A, B, C тако да следећи искази буду тачни: C aa, C b b, A a, a C B A . 4. Упиши речи тачно или нетачно тако да важе односи са слике. 1) A B C _________ 2) B C E _________ 3) E C A _________ 4) A D E _________ 5) A B F _________ 6) A F D _________ 5. Означи изабране тачке праве p тако да је B – D – A, D – A – E, B – A – C, A – C – E. 6. Колико има правих које садрже једну задату тачку? 7. Нацртај четири тачкe A, B, C, D тако да оне одређују тачно: 1) једну праву; 2) четири праве; 3) шест правих. 8. Допуни текст који описује следећу слику. 1) Пресек правих a и b јесте тачка ___. 2) Пресек правих ___ и ___ јесте тачка A. 3) Пресек правих a и ___ јесте тачка B. 4) Тачка D припада правој ___ и не припада правама ___ и ___. 5) Тачка D је између тачака A и ___. 6) Права одређена тачкама B и D сече праву a у тачки ___, праву b у тачки ___ и праву c у тачки ___.
41
Сваку од ових реченица преведи на математички језик. 1) a b ={___} ; 2) ___ ___ = { A} ; 4) D ___, D ___, D ___ ; 5) A D ___ ; 6) p(B , D ) a = {___}, p(B , D ) b = {___}, p(B , D ) c = {___} .
3) a ___ = {B } ;
9. Н ацртај две праве a и b које се секу. Нацртај затим праву p тако да је a b p Æ и праву q тако да је a q Æ, b q Æ и a q b q . Одреди a b q ! 10. Тачке P и Q припадају равни α. Упиши један од знакова или на предвиђена места тако да добијени искази буду тачни. 1) P ___ áα; 2) Q ___ áα; 3) α; 4) p( P , Q )___ α; 5) P ___ p( P , Q ) ; 6) Q ___ p( P , Q ) ; 7) . 11. Упиши један од знакова , или тако да искази буду тачни. 1) S _____ áα; 3) p( P , Q )_____ α; 5) Q _____ áα; 7) p( S , T )_____ α;
2) 4) 6) 8)
{P,Q,R,S, T} _____ áα; Q _____ p( S , R ) ; {P , Q } _____ α; R _____ p( P , Q ) .
12. Упиши један од знакова = или тако да искази буду тачни. 2) { A, B } b _____ Æ; 1) { A, B } a _____ Æ; 3) p( A, B ) a _____ Æ; 4) p( A, B ) b _____ Æ; 5) p( A, B ) a b _____ Æ; 6) p( A, B ) β _____{ A, B } ; 7) p( A, B ) β _____ p( A, B ) . a α, 13. Дата је раван α и праве a и b тако да је a áα, b áα и a b ={O } . Одреди a b α, á α{O } .
14. Означи тачке и праве приказане на слици десно ако је a || b , a c = { A}, b c = {B } .
15. Дата је раван α и у њој праве a и b које се секу. Који искази су тачни? 1) Свака права равни α паралелна са a сече праву b. 2) Не постоји права равни α паралелна и са a и са b. 3) Свака права равни α сече праву a или праву b. 4) Постоји права равни α која сече и праву a и праву b. 16. Нацртај три различите праве a, b , c тако да је: 1) a b c Æ; 2) a b Æ и aa|| c; 3) a b Æ, b c Æ, c a Æ, a b c = Æ.
42
17. Нека су a, b, c различите праве неке равни. Која од реченица је увек тачна? 1) Ако је a || b и b || c, онда је a || c. 2) Ако је a || b и b c Æ, онда је a || c. 3) Ако је a b Æ и b c Æ, онда је a c Æ.
ДЕЛОВИ ПРАВЕ 1. Н а основу слике десно упиши један од знакова = или на предвиђена места тако да добијени искази буду тачни. 1) Aa Bb ____ Æ; 2) Aa Cc ____ Æ; 3) Bb Cc ____ Æ; 4) Oz Aa ____ Æ; 5) Ox Oy ____ Æ; 6) Bb Oy Oy____ Æ.
2. Користећи се сликом лево одреди: 1) Oz Oy = ____; 2) Ox Bb = ____; 3) Ox p(O , B ) = _____; 4) Bb p( A, C ) = ____.
3. На основу слике десно, одреди: 1) Aa Bb = ____; 2) p(B , D ) Cc = ____; 3) Aa Dd = _____; 4) Dd p(B , C ) = ____ . 4. Нацртај полуправе Aa и Bb тако да је: 1) Aa Bb = Æ; 2) Aa Bb ={ A} ;
3) Aa Bb = Aa ;
4) Aa Bb = Aa .
5. Да ли су тачни следећи искази? 1) Пресек две различите праве може бити бесконачан скуп тачака. 2) Пресек две различите полуправе може бити бесконачан скуп тачака. 6. Нацртај две полуправе Aa и Bb чија је унија нека права. Који од исказа је тачан? 1) Aa Bb = Æ; 2) A Bb Bb; 3) B Aa Aa. 7. Колико различитих правих, а колико различитих дужи одређују тачкe A, B , C , D , E приказане на слици? 1) 2) 3)
43
8. На основу слике десно одреди: BF 1) AC АC BF; 2) AD EF EF; 3) FB BE BE; 4) AB BC BC; 5) ( AC BD ) EF; 6) 7) ( AB BC ) (EF BF ).
;
9. Поређај дате дужи по дужини почевши од најкраће.
_____ 9 , односно 1 n 9, n 4, 0 n 5, n 3, n >1, одакле добијамо да је једино решење n= 2 .
Децимални запис разломка 3 5 3 2 23 = 0,3 ; = 0,5 ; 1 =1,3 ; 3 = 3,2 ; = 2,3 ; 10 10 10 10 10 2 51 3 25 б) = 0,02 ; = 0,51; 1 =1,03 ; 4 = 4,25 ; 100 100 100 100
1. а)
в)
126
;
;
;
304 = 3,04 ; 100 ;
.
1 5 1 2 3 15 = = 0,5; = = 0,2; = =1,5; 2 10 5 10 2 10 6 12 3 6 1 5 = =1,2 ; 1 =1 =1,6 ; 13 =13 =13,5 ; 5 10 5 10 2 10 3 6 19 38 67 335 б) = = 0,06 ; 4 = 4 = 4,38 ; = = 3,35; 50 100 50 100 20 100 3 75 5 125 ; = = 0,75 ; = =1,25; 4 100 4 100
2. а)
в)
,
;
;
,
;
.
7 5 1 4 2 2 1 ; 1,5 =1 =1 ; 2, 4 = 2 = 2 ; 101,2 =101 =101 ; 10 10 2 10 5 10 5 11 5 1 25 1 4 1 б) 0,11= ; 45,05 = 45 = 45 ; 2,25 = 2 = 2 ; 31,04 = 31 = 31 ; 100 100 20 100 4 100 25
3. а) 0,7 =
;
в)
;
;
;
.
1 2 5 4 = 0,(3) ; = 0,(6) ; = 0,8 3 ; = 0,(571428) ; 3 3 6 7 12 56 106 б) ; =1, 09 ; = 3,7(3) ; = 2,3(5) ; 11 15 45 7 10 в) 3 = 3,(7) ; ; ; 10 =10,(769230) . 9 13
4. а)
1 5. а) 0,(3) = ; 3
1 5 б) 8,(45) = 8 ; 1,(1) =1 ; 9 11 262 44 в) 33,(786) = 33 ; 404,(044) = 404 . 333 999
6. а) 0,0(6) =
1 ; 15
1,10(1) =1 ;
в)
91 ; 900
б) 0,0(45) =
10,(21) =10
7 ; 33
5 ; 110
;
.
7. 7 dm = 0,7 m, 24 dm = 2, 4 m, 26 cm = 0,26 m, 108 cm =1,08 m, 10 101 mm =10,101 m, 1km 5dm 3cm 6mm =1 000,536m. 1000,536
2mm = 0,002 m,
8. 82cm2 = 0,0082m2 0,01m2 ; 851cm2 = 0,0851m2 0,09m2 ; 2dm2 = 0,02m2 ; 99dm2 = 0,99m2 ; 4,5dm2 = 0,045m2 0,04m2 ; 133dm2 5cm2 13mm2 =1,330513m2 1,33m2 ; 2a 5m2 23dm2 = 205,23m2 . 3
3
38550cm 9. 3m = 3 000dm ; 217cm3 = 0,217dm3 0,2dm3 ; 38 550 3 = 38,55dm3 = 38,6dm3 ; 2,78365m3 = 2 783,65dm3 2 783,6dm3 .
127
10. а) 0,2 0,5 ;
б) 0,02 0,05 ;
в) 0,002 0,005 .
11. а) 0,02 0,2 ;
б) 0,3 > 0,03 ;
в) 0,06 > 0,006 .
12. а) 0,05 > 0,04 ;
б) 2,786 > 2,785 ;
13. а) 0,298 0,307 ;
в) 99, 4562 99, 4568 .
б) 10,583 10,62 ;
в) 0,2 > 0,043.
105 84 175 120 2 1 4 5 , ; 14. A = , , , 210 210 210 210 5 2 7 6 B = 0,6; 6,875; 4,12; 52,344 ,
; ,
.
15. а) 40, 4 > 4, 4 > 4,04 > 0, 44 > 0, 404 > 0, 4 ; б)10,01>1,1>1,001> 0,11> 0,1001> 0,011 . 16. а)
1 1 1 3 2 6 ; д) 10,583 10 ; ђ) 0, 45 . > 0,2 ; б) > 0,16 ; в) = 0,125 ; г) 0,127 > 4 6 8 25 3 13
1 1 m 40 cm; б) l > 1,6 dl ; 4 6 3 д) године > 7,5 месеци. 4
17. а)
в)
1 1 kg = 125 g; г) дана = 8 сати; 8 3
Приближна вредност броја 1. дати број број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале
128
0,7257
55,555...
8,5238
100,00199
645,39645
1
56
9
100
645
0,7
55,6
8,5
100,0
645, 4
0,73
55,56
8,52
100,00
645, 40
0,726
55,556
8,524
100,002
645,396
2. 335,99 : 5 = 67,198 67,20 3. Како је 199,9 : 3 = 66,6... 67 , на малом губитку je Јанко. 4. 2 3
8 15
9 22
132 35
77 108
1
1
0
4
1
0,7
0,5
0, 4
3,8
0,7
0,67
0,53
0, 41
3,77
0,71
0,667
0,533
0, 409
3,771
0,713
дати број број заокругљен на цео део број заокругљен на 1 децималу број заокругљен на 2 децимале број заокругљен на 3 децимале
Бројевна полуправа 1. 3 5
0
1
4 3
33 1 4
4
1
1 2
7 4
2
2
4 15
2
2
1 4
2. а) 0
1 2
1
3 7 2 2 4
б) 3 4
0
7 1 10
1
2
11 2,3 5
3. 0
1 2
2 3 3 4
1
7 6
17 12
1 2 3 7 17 1 1 2 . 2 3 4 6 12 4
129
4. б) 3 5
0
1
331 6
2
4
в)
4 5
0
5 4
1
г)
0
5. б)
1 3
1
2
4 17 3 2 x 3 ; в) x 2 ; 5 20 8 5
2,9 3
4
7 2 г) 1 x 2 . 12 15
6. 0 A 1 D 1 4 2
130
B(1)
C2
1 4
РАЗЛОМЦИ ii ДЕО Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца 1. Допуни шта недостаје: 2 3 а) + ; 7 7 7 3 4 7 г) + 1 ; 5 5 5 3 9 7 е) + + + 1 16 16 16 16 2. Израчунај: 1 а) + 5 ; 3 3 1 5 д) 8 + 3 +1 ; 8 8 8
4 2 6 + ; 9 9 5 2 3 д) + + ; 11 11 11 11
4 11 + ; 15 15 15 1 3 6 ђ) + + 1 7 7 7
б)
в)
.
1 1 3 б) 5 + 5 ; в) 11 + ; 5 11 11 4 2 4 1 1 3 ђ) 4 + 8 + 9 ; е) 2 + 3 + ; 9 9 9 5 5 5
3. Попуни таблице: а) 2 5 + 6 6 1 6 3 6 4 6
;
б)
2 5 г) 3 + 4 ; 9 9 3 7 12 11 ж) 5 + 2 + + 4 . 20 20 20 20
в) +
2
4
7
1 8
+
1 5 1 6 9 7 8 20 3
3
1
3 8
5 8
2 8
2 7 8
4. Нађи збир свих правих разломака са имениоцем 6. 1 2 5. М арко је првог дана на излету препешачио 4 km , а другог дана 6 km . Колико је 5 5 километара Марко укупно препешачио на излету? 6. Допуни шта недостаје: а)
7 1 ; 10 10 10
7. Израчунај: 18 14 а) ; 25 25
б)
б)
11 5 12 12
;
;
в)
в)
13 5 ; 15 15 15 3
;
г)
г)
20
7 2 1 . 20 20
17 7 5 . 18 18 18
131
8. Допуни шта недостаје: 4 4 2 б) 9 4 __ ; а) 5 4 __ ; 9 5 5 9. Израчунај: 5 3 а) 12 3 ; 8 8 10. Израчунај: 1 а) 2 ; 2
3 2 б) 8 2 ; 5 5
1 б) 4 ; 4
11. Одузми: 1 2 а) 3 2 ; 3 3 8 11 д) 12 3 ; 15 15
2 в) 8 ; 3
7 8
3
2
1 3
6 г) 6 3 ; 7
3 д) 8 6 ; 8
5 7 в) 9 2 ; 8 8 1 89 е) 1 ; 99 99
б) 7 8
1
5 9
1 1 г) 7 3 __ . 2 2
;
5 1 в) 20 20 . 7 7
1 3 б) 4 3 ; 4 4 9 21 ђ) 13 8 ; 50 50
12. Попуни таблице: а) –
2 1 в) 8 5 __ 3 3
2 ђ) 10 5 . 5
2 3 г) 6 3 ; 5 5 1 13 ж) 5 . 17 17
в) – 5 7 6 12 7 2 5 7
1 1 7
4
4 7
3
3 7
2 8
6
5
2 8
5 8
4
13. Уместо x стави одговарајући број тако да једнакост буде тачна: 5 x 9 11 8 19 23 x 19 а) б) + ; в) + ; ; 12 12 12 21 21 x 25 25 25 x 3 6 3 x 7 4 x 8 д) 2 +10 12 ; ђ) + . г) 2 1 1 ; 10 10 10 8 8 8 9 9 9 14. Уместо x стави одговарајући број тако да једнакост буде тачна: x 7 6 x 3 2 x б) ; в) 2 + 3 ; а) + 1; 15 15 13 13 13 9 9 5 1 x 11 5 x 16 8 4 8 д) ђ) 2 + x 8 . г) + + ; + ; 10 10 10 10 17 17 17 17 9 9
132
15. Израчунај:
а)
в)
;
;
16. Израчунај: 2 1 4 а) 5 + 3 2 ; 5 5 5 7 9 11 в) 6 1 + 5 ; 12 12 12
б)
;
г)
.
б) 12 г) 21
; 3 17 9 9 5 . 20 20 20
17. Израчунај:
а)
в)
;
б)
;
г)
; .
18. Израчунај обим троугла чије странице имају дужине 5
1 3 7 cm , 6 cm и 7 cm . 10 10 10
3 1 19. Један продавац је продао 12 метара штофа, а други 18 метара штофа. Колико је више 5 5 штофа продао други продавац? Колико су штофа укупно продали? 3 1 20. Б ициклиста је првог дана прешао 15 km , а другог дана за 2 km мање него првог 8 8 дана. Колико километара је прешао бициклиста за два дана?
Сабирање и одузимање разломакА 1. Допуни шта недостаје: 2 1 5 а) + + ; 5 4 20 20 20 1 3 в) + + ; 5 4 20 20 7 3 ; д) + + 10 20 2. Израчунај: 4 1 а) + ; 9 3 3 3 5 д) + + ; 8 4 6
5 3 + ; 6 4 9 3 ђ) + ; 20 4 б)
2 1 4 ; + + 5 2 10 10 10 2 1 г) + ; + 9 6 18 18 5 3 ђ) + + __ 6 8 б)
в)
;
е)
1 8 3 + + . 3 15 5
г)
.
1 2 + ; 2 3
133
3. Израчунај: 2 2 а) 1 + 4 ; 5 7 3 5 г) 2 +7 ; 4 6 4. Попуни таблицу: а) 2 3 + 5 7 3 8 2 3 1 4 5. Израчунај: 1 1 а) 11 + 3 ; 11 3 5 11 г) 7 + 3 ; 12 15
1 5 б) 5 + 3 ; 2 12 4 7 д) 9 + 2 ; 5 8
4 3 +5 ; 15 10 5 11 ђ) 4 +12 . 8 12 в) 3
б) 1 2
+ 8
3
5 6
5
1 2
2 15
6
4 5
5 1 б) 6 + 2 ; 6 2 5 7 д) 14 + 3 ; 6 15
6. Израчунај: 2 4 1 а) 3 +7 + 8 ; 5 7 2
5 12
5 7 в) 5 + 2 ; 9 12 13 11 ђ) 2 +19 . 18 12
3 5 3 б) 2 +7 + 8 ; 4 6 8
1 1 1 в) 1 + 3 + 5 . 2 3 5
7. Допуни дату шему:
8. Допуни шта недостаје: 1 2 5 а) ; 2 5 10 10 10 7 2 ; в) 8 3 24 3 1 ; д) 4 6
134
5 1 5 ; 6 2 6 6 11 2 г) ; 20 5 20 6 1 ђ) . 7 2 б)
9. Израчунај: 5 3 а) ; 6 8 5 4 г) ; 7 21
7 2 ; 8 3 11 2 д) ; 18 9
б)
10. Израчунај: 3 1 а) 5 3 ; 7 4 1 5 г) 14 3 ; 2 7
1 3 б) 12 8 ; 5 4 2 3 д) 8 7 ; 3 4
11. Израчунај: 1 3 2 а) 2 + 4 3 ; 2 4 3 г) 12. Попуни дату шему:
9 13 ; 10 15 4 1 ђ) . 15 6 в)
;
2 4 1 б) 9 + 8 7 ; 3 5 4
в)
д)
ђ)
;
а) 1 8 4 5
3
2 7 в) 9 5 ; 3 8 1 4 ђ) 12 2 . 2 5
; .
б)
4 8 1 15 7 4 20
4 9
1 5 3 4 2 3
2
13. Израчунај вредност израза: а)
;
б)
.
б)
.
14. Израчунај вредност израза: а)
;
15. Израчунај вредност израза: а)
;
16. Број 12 умањи за збир бројева 4
б)
.
2 1 и1 . 5 4
135
17. Број 5
2 5 2 увећај за разлику бројева 6 и 3 . 5 6 3
18. Броју 7
7 4 додај разлику бројева 9 и 6 . 10 15
19. Од броја 20
17 3 5 одузми збир бројева 10 и8 . 20 10 8
20. Збиру бројева 10
2 2 2 1 и 1 додај разлику бројева 8 и 4 . 5 5 5 4
21. Разлици бројева 6
1 4 1 2 и 5 додај збир бројева 4 и 2 . 6 5 4 3
22. Од збира бројева 5 23. Разлици бројева 3
3 7 5 1 и 12 одузми разлику бројева 3 и 2 . 4 9 6 3
1 11 3 5 и додај разлику бројева 7 и . 8 12 4 6
2 1 24. И зрачунај збир четири броја од којих је први 4 , а сваки следећи је за 2 већи од 5 3 његовог претходника. 1 3 7 25. Одреди обим троугла ако су његове странице 4 cm , 6 cm и 8 cm . 2 5 10 3 9 7 26. О бим троугла је 20 cm . Ако су дужине двеју страница 6 cm и 7 cm , одреди 4 20 10 дужину треће странице. 4 1 2 27. Обим троугла је 20 cm . Ако је једна страница 7 cm , друга за 1 cm краћа од прве, 5 2 5 колика је дужина треће странице? 1 3 28. И зрачунај обим правоугаоника чија је дужина 8 m , а ширина је за 1 m краћа од 2 4 дужине. 29. Шта је веће: збир бројева 2
3 7 1 7 и 5 или разлика бројева 14 и 5 ? 4 8 2 8
2 1 4 израчунај: 30. Ако је a18 , b 6 , c 2 3 4 5 б) a b + c ; в) a b c ; a) a + b + c ; 31. Ако је
136
1 2 , b 4 3 израчунај a + b . 5 5
г)
.
5 новца који је понео на екскурзију и остало му је још 700 динара. 12 Колико новца је Марко понео на екскурзију?
32. Марко је потрошио
33. Жељка је прочитала
4 књиге и остало јој је да прочита још 50 страница. Колико 9
страница има књига? 7 укупне количине јагода и остало му је још 40kg јагода. Колико је 15 било килограма јагода у продавници?
34. Трговац је продао
7 3 , а затим од укупне 20 8 количине. Који део од укупне количине је деда Милош морао да врати кући?
35. Деда Милош ја продавао кромпир на пијаци. Прво је продао
36. Бициклиста је за три сата прешао одређену стазу, али тако што је у току првог сата 9 4 прешао , а у току другог укупног пута. Који део пута је прешао у току трећег сата? 20 15 1 1 37. Аутомобилиста је првог сата прешао пута, другог сата пута више него првог, а 9 12 1 трећег сата укупног пута. Колико му је још остало да пређе? 4 4 38. Ученик је прочитао књигу за три дана. Првог дана је прочитао књиге, а другог дана 15 3 за више него првог. Који део књиге је прочитао трећег дана? 10 4 Решење. Први дан: , 15 4 3 8 9 17 други дан: + + , 15 10 30 30 30
трећи дан:
.
7 39. Радник је један посао урадио за три дана. Првог дана је урадио посла, а другог дана 12 3 за мање него првог. Који део посла треба да уради трећег дана? 8 1 3 40. Једна улица је асфалтирана за три дана. Првог дана је асфалтирано km , другог дана km 5 20 1 више него првог дана, а трећег km мање него другог дана. Колика је дужина улице? 20
137
7 41. Камен бачен у бунар падне у воду за три секунде. Прве секунде пређе 4 m а у свакој 10 4 следећој за 9 m више него у претходној секунди. Израчунај дубину бунара. 5 42. Базен пуне две цеви. Одреди који део базена је напуњен за 1 сат ако: 1 1 1) прва цев за 1 сат напуни базена, а друга цев за 1 сат напуни базена; 4 9 5 5 2) прва цев за 1 сат напуни базена, а друга цев за 1 сат испразни базена. 6 8 43. Б азен се једном славином напуни за 8 сати, а другом се испразни за 12 сати. Који део базена је напуњен за 1 сат ако су истовремено отворене обе славине? За које време ће се базен напунити до врха ако су отворене обе славине? Решење. 1 како се базен једном славином напуни за 8 сати, за 1 сат напуни се базена. Друга 8 1 славина испразни базен за 12 сати, а за 1 сат се испразни базена. 12 Ако су отворене обе славине истовремено, прва га пуни, а друга празни, па ће за 1 сат 1 1 3 2 1 бити напуњена базена, што значи да ће се базен напунити до врха 8 12 24 24 24 за 24 сата. 44. Базен пуне две цеви: једна за 6 сати, а друга за 4 сата. Трећа цев га празни за 12 сати. Који део базена је напуњен за 1 сат ако су истовремено отворене све три цеви? 45. Бојан опере очев аутомобил за 21 минут. Бојан и његов брат Воја заједно оперу ауто за 14 минута. За које време би Воја сам опрао очев аутомобил? 46. Један радник заврши неки посао за 12 часова, а други заврши исти посао за 15 часова. За које би време тај посао био завршен ако би радили заједно? 47. Један посао два радника могу да заврше за 15 дана. Ако један радник исти посао може да заврши за 20 дана, за колико би дана исти посао урадио други радник сам? 5 48. Дечак претрчи стазу дужине 500m за 2 минута, а девојчици је за исту стазу потребно 6 1 минута више. За колико минута девојчица претрчи ту стазу? Колико времена јој је 4 потребно да пређе стазу од 1 500m? 3 1 пута. Када пређе још 15km, остаће му још пута до половине 8 10 пута. Колика је дужина целог пута?
49. Бициклиста је прешао
1 3 50. А ко се из једног бурета преспе у друго 12 литра воде, а у треће 15 , онда у сваком 2 4 1 бурету има по 124 литра воде. Колико је било воде у сваком бурету пре пресипања? 2
138
Сабирање и одузимање децималних бројева 1. Допуни шта недостаје:
2. Израчунај: а) 19, 4 +13,9 ; г) 22,22 +11,1; е) 0,54 + 31,178 ;
б) 5,8 +12,31 ; д) 7,6 + 215,67 ; ж) 1,9876 + 2007,01;
в) 23 +16,5 ; ђ) 395, 486 + 4,58 ; з) 105, 4 + 31,023.
3. Попуни таблицу: а) +
1
3
6
б) +
0,32
4,4
0,4
11,3
0,183
13,45
4. Сабери: а) 2,3 + 5,9 + 8,1+ 0,7; г) 0,372 + 9, 49 +17 + 56,2;
2,6
7,91 3,199
б) 4, 4 + 35,82 + 0,276; д) 4,23 + 3,004 + 0,0038.
в) 126,8 +73,72 + 8,357;
5. Допуни шта недостаје:
139
6. Израчунај: а) 55,5 22,2 ; г) 16,87 15,87 ; е) 107,79 103,79 ; и) 10 4,989 ; л) 23,34113,341; 7. Попуни таблицу: а)
б) 9, 4 7,3 ; д) 3, 4 1,29 ; ж) 88,852 4,69 ; ј) 5 3,027 ; љ) 24,24 24,239 ;
8,4
6,39
12,31
7,11
6,38
9,19
3,1
3,82
б) 2,17 +16,9 8, 483; г) ; ђ)
.
9. Ако је a 7,24 ; b 3,6 ; c 0,379 , израчунај: а) a + b + c ; б) a c + b ; в) a + c b ; 10. Израчунај: а) в) д)
45,67 18,2 ; 36,1 0,189 ; 6,6 5,99 ; 3,78 1,396 ; 7,19 0,004 .
б)
4,8
8. Израчунај: a) 24,08 8,792 + 0,97; ; в) д) ;
в) ђ) з) к) м)
; ; .
г)
б) г)
11. Претварањем разломака у децималне бројеве, израчунај: 5 3 б) 4 + 6,21 ; в) 5 3,51; а) 0,6 +1, 4 ; 8 4 7 1 4 д) 5,12 4 ; ђ) 7 0,5 ; е) 5 0,5 ; 20 2 5
; ;
1 г) 6 − 4,515 ; 2 3 ж) 8,8 3 . 4
12. Претварањем децималних бројева у разломке, израчунај: 3 4 1 б) 2 0,5 ; в) 9 0,5 ; а) 8,32 + 9 ; 20 5 2 3 5 1 г) 5,5 − 3 ; д) 3,5 + . 4 8 2
140
.
13. Допуни дату шему:
14. Израчунај: 1 3 а) 0,125 + 0,25 + 0,3 4 10
б)
15. Израчунај: а)
б)
в)
16. Ако је aa 7,6 4,54 и b 3,12 +1,9 , израчунај a + b . 17. Ако је a 15,06 + 4,9 и b 7,5 2,84 , израчунај a b . 18. У пошту су допремљена 4 пакета по 23,7kg , 13,25kg , 0,874kg и 2,396kg. Колика је тежина свих пакета заједно? 19. С а једне њиве је пожњевено 5,25t пшенице, са друге 9,18t и са треће 3,42t пшенице. Колико је укупно тона пожњевено са све три њиве? 20. Израчунај обим троугла ако су странице a 4,7 , b a + 0,9 , c b +1,9. 21. Првог дана продато је 44,58m штофа, другог за 14,75m мање, а трећег 18,4m више него другог дана. Колико је продато штофа за три дана? 22. Броју 19,4 додај разлику бројева 52,17 и 44,444. 23. Од броја 25 одузми збир бројева 4,44 и 19,19. 24. Збиру бројева 7,6 и 18,15 додај разлику бројева 24,3 и 14,57. 25. Од разлике бројева 105,16 и 19,1 одузми збир бројева 52,4 и 14,16. 26. Збиру бројева 9,4 и 4
3 7 додај разлику бројева 5 и 2,25. 8 20
141
27. За колико је збир бројева 11
3 7 и 2,25 већи од разлике бројева 15,1 и 10 ? 4 10
28. М аја је у пекари купила кроасан са виршлом за 42 динaрa, питу са вишњама за 28,5 динара и јогурт за 8,35 динара. Колики кусур треба да јој врати продавац ако му је она дала 100 динара? 29. У првој корпи је 10,125kg грожђа, а у другој 9,45kg. Ако се из прве корпе извади 4,8kg, а у другу дода 1,55kg, колико грожђа ће бити у свакој корпи после премештања? 30. П ланинар је првог сата прешао 34,4km, другог сата за 2,25km више него првог, а трећег 8,64km мање него другог. Колико је километара прешао за три сата? 31. Р азгледајући Париз са Ајфелове куле, Милану је испао двоглед и пао на земљу за четири секунде. У првој секунди двоглед је прешао 4,9m а у свакој следећој за 9,8m више него у претходној секунди. Са које висине је Милан разгледао Париз? 32. Мајка је својим ћеркама поделила џепарац за ужину. Најмлађа ћерка је добила 26,5 динара, средња ћерка за 8,3 динара више од најмлађе, а најстарија је добила као прве две заједно. Колико новца је мајка укупно дала својим ћеркама? 33. Носивост лифта је 300kg. Ако су у лифт ушле две девојчице, једна тежине 40kg и друга која је 1,5kg лакша од ње, и бака, тежине 65,5kg, која носи торбу са пијаце тежине 8,75kg, колико још килограма може да прими лифт? 34. Попуни дате пирамиде ако за a)
a
c
b
важи a + b c :
б) 12,4 3,6
5,11
4,84
7,35
2,14
в)
17,66 4,95
142
7,8 0,75
Својства сабирања 1. Попуни празна поља тако да једнакости буду тачне: 1 3 3 ; + + 7 5 5 1 1 ; в) 13,3 +1 1 + 2 2
2 3 б) 2 + 9 4
а)
2 +2 ; 9
г)
.
2. Попуни таблице и упореди последње две колоне: а) a
b
3 7 7 8 9
3 4 1 4 6
4,11
7,3
2
a +b
b +a
1
б) a
b
c
2 3 1 2 4
5 6 1 3 6
8 9 1 4 8
6,6
0, 4
2,15
3. Користећи својства сабирања, израчунај: 1 2 1 5 3 4 1 а) 4 + 2 ; б) 5 + 8 + 4 +1 ; 2 3 2 9 4 9 4 2 5 г) 3,9 + 5 + 8,6 + 2 . в) 2,75 +7,6 + 3,25 + 4, 4; 3 6 4. Упрости изразе: а) 2 x + 0,3 + 4 x + 2,6 ; 5. Ако је a + b 2,5 израчунај: а) a + b + 0,7 ; ; в)
1 1 б) 3 + 3a + 4 + 4 a . 2 3
б) a 0,9 + b ; г)
.
143
Једначине 1. Доврши започето решавање једначина. 1 2 а) x + 2 3 2 1 x 3 2
x
x
6 6
Провера.
3 5 в) x 8 12 5 3 x + 12 8
3
1 1 1 3 4 2 + + 6 2 6 6 6 3
x
x
+
24
Провера.
24
19 3 19 9 10 5 24 8 24 24 24 12
г) 6,19 x 2,9 x ____ 2,9 x ____ Провера. 6,19 3,29 2,9.
б) 3, 4 + x 15,2 x 15,2 ____ x ____ Провера. 3, 4 +11,8 15,2
2. Попуни празна поља таблице одговарајућим децималним бројевима:
+
5,93
4,32
3,14 8,11
–
2,66
19,4 15,45
7,8
13,5 5
7,11
0,5
3. Попуни празна поља таблице одговарајућим разломцима: 1 2
+ 3
1 3
3 8
4
144
3 4
–
6
5 12
3 10
1 3 3
5 9 5 4 18
1
7 20
3 5
0 7
8 15
4. Реши једначине: 2 5 а) + x ; 7 9 5. Реши једначине: 2 1 а) 15 x 3 ; 9 6
3 1 б) x + 2 ; 5 2
1 3 б) 5 x 2 ; 6 4
в) x 2
5 5 в) 1 + x 3 . 12 6
3 2 5 ; 10 5
5 1 г) a 6 10 . 6 2
6. Реши једначине: а) x + 3,7 9,8;
б) 17,32 + x 31,14 ; в) x 5, 4 1,25 ;
д) 4,2 x 3,35;
ђ) 7,98 x 3,31;
е) 5,19 + y 16,31;
г) x 3,9 6,17 ; ж) x 0,19 2,91.
7. Реши једначине: 2 а) x 3,5 ; 3
1 б) 11,3 a 5 ; 2
1 в) 8 m 5,6; 2
1 г) x + 3 7,9 ; 4
2 д) 3,3 + x 10 ; 5
5 ђ) x 4,8 5 . 6
8. Реши једначине: а)
;
б)
в)
;
г)
д)
;
ђ)
а)
;
б)
в)
;
г)
; ; .
9. Реши једначине:
10. Који број треба додати броју 3
; .
3 4 да би се добио број 14 ? 5 15
11. Који број треба одузети од броја 10
7 5 да би се добио број 1 ? 12 18
145
12. Ком броју треба додати 2
1 4 3 да би се добио збир бројева 4 и 6 ? 2 5 10
13. Који број треба додати разлици бројева 3
1 1 1 и 2 да би се добио број 6 ? 5 4 6
3 3 1 14. За колико треба повећати израз 10 + 5 2 да се добије 15? 5 8 2 5 7 9 и 15. К оји број треба одузети од збира бројева 5 и 10 да би се добио збир бројева 3 6 9 10 2 2 ? 3 3 4 16. А ко неки број саберемо са 1 , па тај збир одузмемо од броја 12, добићемо 4 . Који је 4 9 то број? 3 km мање него првог дана. 4 Ако је укупна дужина пута 150km, колико још километара треба да пређе?
17. Бициклиста је првог дана прешао 52,5km, а другог дана 10
18. А на, Бојана и Виолета су укупно убрале 224kg малина. Ана је убрала 73,6kg, а Бојана за 3 5 kg више од Ане. Колико је килограма убрала Виолета? 5 1 1 зграде. Ако је један окречио зграде, колико 19. Два молера су за један дан окречила 15 20 је окречио други молер?
Неједначине 1. Доврши започето решавање неједначина. 2 7 а) x + 5 10 7 x 10 5 4 xx 10
1 3 б) 3 + x 6 2 4
x
0
146
10
1
x6
x 6
x __
0
4 4
3 3
1
4
2
3
г) x 4,7 0,8 , x 4,7
2 2 5 в) x 2 4 , видиш да је x 2 3 3 6 2 +2 xx 4 6
x __
x6
x 7
6
+2
x 0,8 + 4, __
x __, __
6
6
1 2 5 10 7 2 3 2. Доврши започето решавање неједначина: 0
0
2
5
1 2 1 а) 8 x 6 , x 8 4 3 4 1 __ x 8 3
5 3 5 б) 12 x 5 , x 12 8 4 8
x 12
x 8
6
x __
x 7
6
x __
x __
x __
0
12
1
2
0
8 8 8
5
10
4
__
8
__
5
10
3. Одреди решења неједначина у скупу природних бројева: 3 3 5 2 1 б) 5 + x 10 ; в) x 7 2 ; а) x 9 ; 7 8 6 9 4 1 7 7 5 г) 2 + x 7 ; д) 6 x 1 . 2 9 12 18 4. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 3 3 1 1 а) 5 x 3 ; б) x + 3 5 ; в) 8 x 4 ; 5 4 2 4 7 5 1 3 3 1 д) y 1 4 ; ђ) 6 x 2 ; г) 12 + x 15 ; 12 6 2 4 10 2 3 3 1 4 3 ж) 8 x 3 ; з) x + 3 7 . е) x 5 10 ; 5 4 2 5 10
147
5. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: а) x +1,2 3,7; б) x + 4,39 8,39; в) 3,82 + x 11,32 ; г) x 4, 45 2,15; д) 6,7 x 1, 4 ; ђ) x 5, 45 2,55. 6. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 1 1 3 а) x 4,5 6 ; б) y 0,5 2 ; в) 3,5 + x 7 ; 4 5 4 1 1 4 д) x 2,5 3 ; ђ) 3,3 + x 7 . г) 4 x 0,75 ; 2 5 5 7. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 4 2 2 а) 3 + x 5 + 6 ; 5 3 5
б)
;
г)
в)
; .
8. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: а)
;
б)
в)
;
г)
9. За које је вредности x израз
10. Из скупа
; .
мањи од 10
3 ? 10
издвој елементе који припадају скупу решења неједначине .
11. Које бројеве можеш додати броју 5 12. Које бројеве можеш одузети од 12
7 1 тако да збир буде мањи од 8 ? 9 6
5 2 тако да добијена разлика не буде мања од 2 ? 8 3
13. Од којих бројева можеш одузети збир бројева 2,9 и 6,17 тако да добијена разлика буде већа од 4,23? 7 4 одузмеш неки број увећан за 3,3 добићеш број који је већи од 4 . 12 5 Одреди скуп таквих бројева.
14. Када од броја 10
2 15. Када разлику неког броја и броја 0,6 сабереш са 4 , добићеш број који није већи од 3 4 9 . Одреди скуп таквих бројева. 15
148
Тест 1. Израчунај: 2 4 а) + ; 9 9
б)
2. Израчунај: 7 а) 4 ; 9
3 5 + 5 8
.
5 3 б) 4 1 6 4
.
3. Ако је a 9,38 , b 4,8 и c 0, 432 , онда је a b + c : a) 9,332; б) 5,012; в) 8,9. 4. Вредност израза 3 a) 5 ; 4
јесте:
б) 5;
в) 6
3 ; 4
1 г) 5 . 4
5. Решење једначине 1 a) 1 ; 12
јесте:
б) 4 ;
в) 3
11 . 12
1 4 6. Решење неједначине 4 x 2 јесте: 2 5 7 7 7 1 a) x 1 ; б) x 1 ; в) 1 x 4 . 10 10 10 2 7. Од збира бројева 13
3 5 5 2 и 2 одузми разлику бројева 6 и 4 . 4 9 6 3
_______________________________________________________________ 8. Марко је купио оловку, гумицу и свеску. Оловку је платио 38,25 динара, гумицу за 7,5 динара мање него оловку, а свеску 12,2 динара више него гумицу. Ако је трговцу дао 150 динара, кусур је био: в) 32,75 .
2 1 2. a) 3 , б) 3 ; 3. б) 5,012 ; 9 12 5 ; 8. а) 38,05 . 36
б) 27,85 ;
2 9 1. а) , б) 1 ; 3 40 7 6. б) x 1 ; 10
7. 14
3 4. а) 5 ; 4
Решења:
5. в) 3
11 . 12
a) 38,05 ;
149
РАЗЛОМЦИ ii ДЕО – РЕШЕЊА Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца 2 3 5 4 2 6 4 7 11 3 4 7 2 5 2 3 10 + ; б) + ; в) + ; г) + 1 ; д) + + ; 7 7 7 9 9 9 15 15 15 5 5 5 5 11 11 11 11 1 3 6 10 3 5 3 9 7 24 8 ђ) + + 1 ; е) + + + 1 . 7 7 7 7 7 16 16 16 16 16 16 1 1 4 7 1 1 13 2. а) 5 ; б) 10 ; в) 11 ; г) 7 ; д) 13 ; ђ) 22 ; е) 6 ; ж) 12 . 3 5 11 9 8 9 20 3. а) б) в) 2 5 1 3 5 1 + + 2 4 7 + 6 6 8 8 8 1 3 1 1 1 2 3 5 7 1 3 7 10 3 3 4 3 6 6 5 5 5 8 8 8 8 3 5 2 1 1 1 1 1 3 5 10 1 6 8 13 13 2 3 2 2 6 6 6 9 9 9 9 8 8 8 4 3 7 7 7 7 7 2 4 1 8 10 12 15 2 1 1 1 6 6 20 20 20 20 8 8 8 1. а)
1 2 3 4 5 15 3 1 3 + + + + 2 2 . 5. 10 km . 6 6 6 6 6 6 6 2 5 7 1 6 11 5 6 13 8 5 1 9 7 2 1 6. а) ; б) ; в) ; г) . 10 10 10 12 12 12 15 15 15 3 20 20 20 10 4 3 1 5 7. а) ; б) ; в) ; г) . 25 14 7 18 2 2 4 4 2 1 1 1 1 8. а) 5 4 1 ; б) 9 4 5 ; в) 8 5 3 ; г) 7 3 4 . 5 5 9 9 3 3 3 2 2 2 1 1 4 1 3 1 1 5 3 9. а) 9 9 ; б) 6 ; в) . 10. а) 1 ; б) 3 ; в) 7 ; г) 2 ; д) 1 ; ђ) 4 . 8 4 5 7 2 4 3 7 8 5 2 2 1 6 3 4 12 4 38 19 11 1 5 11. а) ; б) ; в) 6 6 ; г) 2 ; д) 8 8 ; ђ) 4 4 ; е) ; ж) 4 . 3 4 2 8 4 5 15 5 50 25 99 9 17 12. а) б) в) 1 7 5 1 4 3 2 1 1 4 3 – – 3 3 8 9 7 7 7 2 2 8 4 1 2 2 1 4 5 5 2 3 5 2 4 6 5 6 7 8 8 7 7 7 3 8 9 7 8 8 2 1 4 6 5 2 3 2 5 5 7 6 12 11 8 9 8 5 5 3 8 9 7 7 7 7 8 8 5 1 5 6 2 1 4 2 3 2 4 4 1 2 1 5 3 8 7 7 7 3 8 9 7 4.
13. а) x 4 ;
б) x 21;
ђ) x 4 . 4 14. а) x 8 ; б) x 3 ; в) x 7 ; г) x 5 ; д) x 3 ; ђ) x 6 . 9 3 3 1 2 4 5 3 15. а) 2 ; б) ; в) 11 ; г) 3 . 16. а) 5 ; б) 7 ; в) 10 ; 5 4 3 5 5 9 4
150
в) x 4 ;
г) x 9 ;
д) x 4 ;
г) 5
17 . 20
1 4 10 1 17. а) 8 ; б) 10; в) 6 ; г) 8 . 18. 19 . 3 7 11 10 3 4 19. Други је продао 5 m штофа више од првог, а укупно су продали 30 m штофа. 5 5 5 20. 28 km . 8
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА 2 1 8 5 13 2 1 4 5 9 1 3 4 15 19 + + ; б) + + ; в) + + ; 5 4 20 20 20 5 2 10 10 10 5 4 20 20 20 2 1 4 3 7 7 3 14 3 17 5 3 20 9 29 5 г) + + ; д) + + ; ђ) + + 1 . 9 6 18 18 18 10 20 20 20 20 6 8 24 24 24 24 7 7 7 1 23 1 7 2. а) ; б) 1 ; в) 1 ; г) 1 ; д) 1 ; ђ) 1 ; е) 1 . 9 12 24 6 24 5 15 24 11 17 7 27 13 3. а) 5 ; б) 8 ; в) 8 ; г) 10 ; д) 12 ; ђ) 17 . 35 12 30 12 40 24 4. а) б) 2 3 1 5 5 1 3 5 + + 5 7 2 12 6 2 3 31 45 7 2 11 29 19 8 8 11 13 8 40 56 8 15 20 30 30 4 2 1 2 1 31 5 17 1 1 1 4 5 9 3 15 21 6 36 18 18 1 13 19 3 4 13 19 3 6 7 10 12 4 20 28 4 5 60 30 10 1. а)
14 ; 33 33 6. а) 19 ; 70 7. 5. а) 14
1 5 3 б) 9 ; в) 8 ; г) 11 ; 3 36 20 23 1 б) 18 ; в) 10 . 24 30
д) 18
3 ; 10
ђ) 22
23 . 36
1 2 5 4 1 5 1 5 3 2 б) ; в) ; 2 5 10 10 10 6 2 6 6 6 11 2 11 8 3 3 1 9 2 7 д) ; ђ) г) ; 20 5 20 20 20 4 6 12 12 12 11 5 1 11 7 1 ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) . 9. а) 24 24 30 21 18 10 5 9 19 11 11 в) 3 ; г) 10 ; д) ; 10. а) 2 ; б) 3 ; 28 20 24 14 12 8. а)
7 2 21 16 5 ; 8 3 24 24 24 6 1 12 7 5 . 7 2 14 14 14
ђ) 9
7 . 10
151
7 13 ; б) 11 ; 12 60 12. а) 11 15 103 1 120 8 4 8 1 5 15 37 7 3 4 60 20 8 4 4 3 45 9
7 в) 11 ; 15 б)
11. а) 3
5 1 13. а) 1 ; б) 10 . 8 14 16.
17 г) 1 ; 60
1 5 3 4 2 3
.
ђ) 1
29 . 36
3 8 23 1 40 1 8 1 24
2
31 2 ; б) 19 . 42 5
5 ; 24
3
4
14. а) 4
д) 9
15. а) 48
17.
4 37 ; б) 14 . 15 42 .
18.
.
37 19 17 1 1 . 20. 16 . 21. 7 . 22. 17 . 23. 9 . 40 20 60 36 8 3 4 3 1 1 25. 19 cm . 26. 6 cm . 27. 7 cm . 28. 30 m . 24. 31 . 5 5 5 5 2 3 7 1 7 43 13 37 37 29. 2 + 5 14 5 . 30. а) 27 ; б) 15 ; в) 9 ; г) 9 . 4 8 2 8 60 60 60 60 11 31. 5 . 20 5 12 5 7 1 32. 1 му је остало, а то је 700 динара, па закључујемо је 100 динара, 12 12 12 12 што значи да је понео 1200 динара. 19. 1
4 5 1 33. 1 је остало, а то је 50 страница, књиге има 10 страница, а цела књига има 90 9 9 9 страница. 7 8 1 34. 1 је остало, а то је 40kg јагода, од укупне количине је 5kg , а укупна 15 15 15 количина јагода је 75kg . 35. 37. 40. 41.
152
укупне количине. .
36.
.
39.
. . .
1 1 13 5 5 5 + ; б) . 4 9 36 6 8 24 1 1 1 1 1 1 1 44. + . 45. , што значи да би Воја сам опрао ауто за 42 минута. 6 4 12 3 14 21 42 1 1 9 60 20 2 46. + посла се заврши за 1 сат, а цео посао би се завршио за 6 сати, 12 15 60 9 3 3 42. а)
то јест 6 сати и 40 минута. 1 1 1 посла за 1 дан, а цео посао за 60 дана. 15 20 60 5 1 1 3 1 48. 2 + 3 минута, а за 1 500 m потребно јој је 9 9 минута. 6 4 12 12 4 47.
пута је 15 km , а цео пут је 1540 600 km . 1 1 3 3 1 1 1 3 3 50. I буре: 124 +12 +15 152 ll; II буре: 124 12 112 ll ; III буре: 124 15 108 ll. 2 2 4 4 2 2 2 4 4
49.
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА 1. а) 9,5; б) 17,3; в) 4,14; г) 13,7; д) 12,42; ђ) 127,61. 2. а) 33,3; б) 18,11; в) 39,5; г) 33,32; д) 223,27; ђ) 400,066; е) 31,718; ж) 2008,9976; з) 136,423. 3. а) б) + 1 3 6 + 2,6 7,91 3,199 0,32
1,32
3,32
6,32
4,4
7
0,4
1,4
3,4
6,4
11,3
13,9
12,31
7,599
19,21 14,499
0,183 1,183 3,183 6,183 13,45 16,05 21,36 16,649 4. а) 17; б) 40,496; в) 208,877; г) 83,062; д) 7,2378. 5. а) 5,6; б) 2,7; в) 2,38; г) 0,55; д) 6,88; ђ) 4,63. 6. а) 33,3; б) 2,1; в) 27,47; г) 1; д) 2,11; ђ) 35,911; е) 4; ж) 84,162; з) 0,61; и) 5,011; ј) 1,973; к) 2,384; л) 10; љ) 0,001; м) 7,186. 7. а) б)
4,8
1,6
8,4
5,28
6,39
3,19
12,31
9,19
7,11
3,91
6,38
3,26
3,82
0,62
6,22
3,1
153
8. а) 16,258;
б) 10,587;
в) 2,65;
9. а) 11,219;
б) 10,461;
в) 4,019;
г) 3,261.
10. а) 45,78;
б) 51,78;
в) 250,01;
г) 91,492;
11. а) 2; 12. а) 17
б) 10,835; 47 ; 100
б) 2
в) 2,24; 3 ; 10
в) 9 ;
г) 601;
г) 1,985; 3 г) 1 ; 4
д) 4,78;
ђ) 7,1.
д) 4,944.
д) 0,77;
ђ) 7,3;
е) 5;
ж) 5,05.
5 д) 3 . 8
13.
1 16 ; б) 12 . 15. а) 11,05; б) 5,75; в) 3,46. 16. 8,08. 17. 15,3. 18. 40,22kg. 8 45 19. 17,85t. 20. 17,8cm. 21. 122,64m. 22. 27,126. 23. 1,37. 14. а)
24. 35,48.
25. 19,5.
28.
7 16. 16 . 8
27.
динара.
29. I корпа: 10,125 4,8 5,325 kg ;
II корпа: 9, 45 +1,55 11kg .
30.
.
31.
154
.
32.
динара.
33.
.
34.
.
а)
18,66 8,71 9,95 3,6 5,11 4,84
б)
в) 21,89 9,49 12,4 7,35 2,14 10,26
52,38 31,12 21,26 17,66 13,46 7,8 4,95 12,71 0,75 7,05
СВОЈСТВА САБИРАЊА 1. а) 2.
1 3 3 ; б) ; в) 13,3 ; г) 3 . 7 4 8 а)
a
b 3 1 4 1 4 6 7,3
3 7 7 8 9 4,11 2
б)
a
b +a 5 4 28 17 12 18 11, 41
7 18 13 9 24 9,15
7 18 13 9 24 9,15
c
b 5 6 1 3 6 0, 4
2 3 1 2 4 6,6
a +b 5 4 28 17 12 18 11, 41
8 9 1 4 8 2,15
2
2
a +b b + a ;
2 3. а) 6 ; 3 5. а) 3,2;
б) 20;
в) 18;
б) 1,6;
в) 14,91;
5 б) 7a +7 . 6
4. а) 6x + 2,9;
г) 21.
г) 8,095.
ЈЕДНАЧИНЕ 1. а) 2.
1 19 ; б) 11,8; в) ; г) 3,29. 6 24
+
5,93
3,79
3,14
–
3,95
2,66
10,56
4,32
10,25
8,11
7,46
19,4
15,45
16,74
8,84
1,87
7,8
5,66
5,01
13,5
9,55
10,84
2,94
1,86
7,79
5,65
5
11,06
7,11
8,4
0,5
3. + 5 8 4 7 5 5 2 8
1
2
4. а) x
17 ; 63
2 3
5 5 8 5 6 12
2
1 2 5 3 6 3 8 10 1 5 4
9 б) x 1 ; 10
0
–
1 3 4 7 5 3 4 4
5 6 5 2 8 5 2 8
3
в) x 2
4
5 . 12
5. а) x 12
5 7 1 9 20 5 5 4 2 18 8 2 1 3 2 45 4 59 8 8 7 180 15
1 ; 18
б) x 2
3 5 7 1 30 3
0 5
5 ; 12
17 60 1 г) ax 17 . 3
155
6. а) x 6,1; е) xy 11,12 ; 1 7. а) x 4 ; 6 8. а) x 6
73 ; 120
9. а) x 8,9 ; 2 10. x 10 . 3 21 14. x 1 . 40 17.
б) x 13,82 ;
г) x 10,07 ;
д) x 0,85 ;
ђ) x 4,67 ;
ж) x 3,1 . 4 б) a 5 ; 5 б) a 5 б) x 7
1 ; 10
33 ; 40
в) m 2
9 ; 10
в) x 6 в) x
11 ; 15
53 ; 60
г) x 4
13 ; 20
д) xx 7
1 г) x 10 ; 8
1 ; 10
д) x 7
ђ) x 10
13 ; 20
19 . 30
ђ) x 4
11 . 12
5 г) x 3 . 9
11 3 13 . 12. x 8 . 13. x 5 . 36 5 60 29 2 15. x 10 . 16. , x 5 . 36 45 , x 55,75 . Бициклиста треба да пређе још 55,75 km. 11. x 9
18. 19.
в) x 6,65 ;
, x 71,2 . Виолета је убрала 71,2 kg малина. 1 1 1 +x , x . 20 15 60
НЕЈЕДНАЧИНЕ 1 2 1 б) x 3 ; в) 2 x 7 ; 4 3 2 7 1 7 2. а) 8 x 1 ; б) x 6 . 8 4 12 1. а) x
3. а)
3 ; 10
; б)
; в)
г) x 5,5 .
; г)
; д)
2 1 1 1 1 4 4. а) x 1 ; б) x 1 ; в) x 4 ; г) x 3 ; д) y 6 ; ђ) x 3 ; 5 4 4 4 4 5 3 1 1 е) x 15 ; ж) x 5 ; з) x 3 . 5 4 2 5. а) x 2,5 ; б) x 4 ; в) x 7,5 ; г) x 6,6 ; д) x 5,3 ; ђ) x 8 . 3 7 1 3 7 6. а) x 10 ; б) y 2 ; в) x 4 ; г) x 3 ; д) x 5 ; 4 10 4 4 10 4 29 1 3 7. а) x 8 ; б) x 2 ; в) x 10 ; г) x 1 . 15 36 4 4 1 4 7 1 8. а) x 5 ; б) x 7 ; в) y 2 ; г) y 3 . 4 5 10 20 3 19 7 9. x 3 . 10. x 1, 0,25, . 11. x 2 . 9 20 18 23 29 1 12. x 9 . 13. x 13,3 . 14. x 2 . 15. x 5 . 24 60 5
156
1 ђ) x 4 . 2
.
РАЗЛОМЦИ iii ДЕО Множење и дељење разломака природним бројем 1. Допиши шта недостаје: 1 1 1 1 1 1 1 1 17 а) ; = 7 = = 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 б) = = = = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 в) = = = = . 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
;
2. Попуни празна места тако да добијеш тачна тврђења: 1 13 3 3 ; б) 5 = ; а) 3 = = = = = 2 2 4 4 4 10 7 ; г) 6 = в) 10 = = = = = ; 7 3 3 3 5 ; ђ) 2 10 = = д) 51 = 5 = = = = = 4 4 6 3 3. Допиши шта недостаје: 1 1 1 ; а) : 2 = = 3 3 14 в) ; : 5= = 9 3 д) 3 : 8 = ; : 8= = 10 . 4. Допиши шта недостаје: 4 4: 1 ; а) : 4 = = 7 7 2 : в) 2 : 8 = ; : 8= = 7 7 5. Израчунај: 1 а) 2 ; 5 7 г) : 10 ; 3 6. Шта је веће:
1 : 2 ; 5 2 д) 3 : 18 ; 17
б)
5 5 : 9= = 6 49 г) : 3= = 11 3 ђ) 6 : 4 = : 4= 7
б)
18 : : 3= 5 5 10 10 3 г) 6 : 5 = : 7
б)
= =
=
3
.
; ;
= =
.
;
= :
=
=
=
.
7 в) 10 ; 3 2 ђ) 183 . 17
3 5 од 340 или од 400? 4 8
157
Множење разломака 1. Попуни дате таблице, као што је започето: 1 3
1 4
1 5
:
3
300
300
100
420
420
·
108
21
3 5
4
5
108
2. Попуни празна места тако да добијеш тачна тврђења: 1 6 6 6 1 1 1 1 ; б) = : 7 = ; а) = : 3 = = = 7 13 13 7 3 7 73 35 1 35 1 1 21 1 21 = : = = ; г) 5 = = : = в) 27 8 27 4 20 4 20 4 1 5 1 65 д) 5 = = . : = = = 4 12 4 12 3. Допиши шта недостаје: 3 5 35 ; а) = = 4 11 411 17 3 3 в) = ; = = 8 5 5 5 6 5 19 д) 1 = = ; = = 6 13 6 13
2 4 2 б) = ; = 3 9 3 4 11 4 г) = ; = 9 7 7 1 2 ђ) 2 3 = = 2 7 2 7
=
4. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 3 2 2 5 15 3 3 11 ; б) ; в) ; г) а) ; 4 5 7 6 8 5 22 7 5 1 5 8 3 1 2 4 ђ) 3 ; е) 2 3 ; ж) 4 1 . д) 1 ; 7 13 7 13 4 5 7 15 5. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 8 5 25 27 35 33 39 105 б) в) г) ; а) ; ; ; 15 12 36 40 22 65 60 26 3 14 8 19 3 5 1 9 ђ) 1 ; е) 3 3 ; ж) 4 12 . д) 3 ; 4 25 51 100 14 9 91 100
158
=
=
;
.
6. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе: 42 15 5 102 20 27 35 32 39 а) б) ; в) . ; 75 32 28 225 37 255 18 65 12 7. Израчунај: а)
;
б)
;
в)
8. Упореди следеће производе: 4 5 1 1 1 5 3 7 б) 3 и 2 ; а) и ; 9 21 3 5 4 3 5 15 9. Шта је веће:
.
1 1 1 1 в) 4 4 и 8 2 . 2 3 2 5
5 4 7 6 од 2 или од 1 ? 8 9 9 7
10. Докажи да је производ бројева
1 1 и једнак разлици тих бројева. 2 3
3 5 11. Шта је мање, и за колико: производ или разлика бројева 2 и ? 8 6 5 4 12. Шта је веће, и за колико: збир или производ бројева 3 и 2 ? 7 5 4 3 3 m, 3 m и 2 m, колика је запремина собе? Колико 5 4 5 квадратних метара ламината треба купити за под те собе?
13. А ко су димензије собе 4
14. Ако килограм јабука кошта 55 динара, колико треба платити за 1 800 грама?
Дељење разломака 1. Одреди реципрочне вредности следећих бројева: 1 1 1 1 2 33 9 137 а) 1, 4, 10, 101; б) , , , ; в) , , , ; 2 16 105 997 5 67 7 24 2. Допиши шта недостаје: 1 ; а) 1: 11= 2 1 2 : = 7 = = 3 7 3 2 1 1 ђ) 2 : = : = 9 4 4
г)
3 4 = б) 1: = 4 ;
= =
=
;
д)
13 1 13 : = 5 9 5
=
1 13 9 1 г) 1 , 2 , 10 , 22 . 4 15 10 22
7 в) 1: = ; 6 = = =
;
.
159
3. Допиши шта недостаје: 2 3 2 5 = ; а) : = = 7 5 7 3 11 4 5 1 : = = = ; в) 15 5 15 3 5 6 д) 2 : = = 8 7 8 6
=
;
=
4. Израчунај количнике: 4 2 7 6 б) а) : ; : ; 5 3 10 15 45 18 36 27 ђ) ; д) : ; : 8 25 69 23
7 6 7 13 : = = = = ; 11 13 5 3 51 = г) : = = ; 8 2 3 5 1 2 : = = = ђ) 1 : 5 = . 6 4 4
б)
12 8 ; : 25 33 7 7 е) 3 : ; 10 25
56 21 ; : 121 22 85 12 ж) :1 . 91 39
в)
г)
5. Одреди вредност следећих двојних разломака: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6. Израчунај: а)
;
б)
7. Докажи да је количник бројева 5 8. Шта је веће: 2 4 2 4 а) или : ; 7 5 7 5
;
.
2 1 6 и 14 једнак првог броја. 3 6 85
2 7 2 7 б) или : ; 7 5 7 5
9. Упореди следеће количнике: 4 5 1 4 1 5 1 3 и : ; б) 3 : и 3 : ; а) : 9 17 2 19 5 4 6 2 10. Који број треба помножити са 3
в)
2 2 2 2 в) 1 3 или 1 : 3 ? 3 5 3 5 3 2 5 8 в) 4 : 2 и 6 : 3 . 4 3 6 9
3 1 да би добијени производ био 1 ? 10 2
3 11. Украсну траку Маша је поделила на два дела. Један део је целе траке, а други је дуг 5 1 18 cm . Колико је била дуга цела трака? 2 12. Ако је Никола 750g јагода платио 135 динара, колика је цена једног килограма јагода?
160
Својства множења и дељења 1. Користећи асоцијативност и комутативност за множење разломака, израчунај производе: 11 22 75 3 2 8 а) ; б) ; в) г) 2 . ; 45 89 33 16 5 35 2. Израчунај: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3. Користећи дистрибутивност множења у односу на сабирање, израчунај следеће бројевне изразе: 13 16 29 13 3 16 14 22 ; б) ; в) 2 3 ; г) 1 2 . а) 19 45 45 19 11 25 11 25 4. Израчунај: 1 2 2 1 5 2 а) ; 6 5 5 3 6 5 3 3 1 3 3 1 в) 3 1 ; 4 7 4 7 7 2
б) г)
; .
5. Како се мења производ два броја ако се: 4 а) један чинилац помножи са , а други остане непромењен; 5 5 б) један чинилац помножи са , а други остане непромењен; 4 1 в) један чинилац помножи са , а други са 2 ; 2 5 4 г) један чинилац помножи са , а други са ; 4 5 7 7 д) један чинилац помножи са , а други са ; 8 6 9 4 , а други са ? ђ) један чинилац помножи са 14 3 6. Како се мења количник два броја ако се: 2 а) дељеник помножи са , а делилац остане непромењен; 3 3 б) дељеник помножи са , а делилац остане непромењен; 2 3 в) дељеник и делилац помноже са ; 7 5 4 г) дељеник помножи са , а делилац подели са 1 ; 9 5 5 4 д) дељеник подели са , а делилац помножи са 1 ; 9 5
161
5 4 , а делилац помножи са 1 ; 9 5 5 4 е) дељеник подели са , а делилац подели са 1 ; 9 5 3 1 ж) дељеник помножи са , а делилац помножи са ? 11 4
ђ) дељеник помножи са
Множење децималнИХ БРОЈЕВА 1. Попуни таблицу како је започето:
10
0,56943278
5,6943278
100
1 000
10 000
100 000
12,004563 0,000019804 67,2
6 720
95,003 2. Попуни таблицу како је започето:
0,067
0,67
6,7
0,2
67
13, 4
1,7
34,57 50,019 3. Израчунај: а) 50,5; д) 3, 45,88 ;
б) 0,778 ; ђ) 56,898,9 ;
в) 0,60,9; е) 3,0981,01;
г) 1,70, 4 ; ж) 0,00714005,2.
4. Израчунај производе и заокргли их на 2 децимале: 1 7 а) 0,3 ; б) 4 8,33 ; в) (3, 42 0,766)0,8; 4 20 г) 1,1(0,904 0,094) ;
д)
;
5. Упореди следеће производе: а) 5,60,02 и 0,250, 4 ; б) 0,84,08 и 0,74,67 ;
162
ђ)
в) 3,880,36 и 9,70,144.
.
6. Д имитрије је купио 2,5kg кајсија по цени од 74,9 динара по килограму и 1,75kg јабука по цени од 49,9 динара по килограму. Колико је укупно платио то воће? 7. С портска дворана има димензије 51,5m, 20,8m и 6,44m. Колико клима уређаја треба купити за ту дворану ако један покрива простор од 100m3 ? 8. Пешак се креће брзином од 4,5km/h. Колико километара ће прећи за 2 сата и 15 минута?
Дељење децималних бројева 1. Попуни таблицу како је започето: :
10
100
1 000
10 000
639732,54 1987,06 15,001 7,5
0,0075
0,03 2. Попуни таблицу како је започето: :
0,087
0,87
8,7
87
0,87 1,74
19,227
0,221
263,61 3. Израчунај: а) 0,77 : 9 ;
б) 0,76 : 0,3 ;
в) 9,7 : 0, 44 ;
г) 0,0058 : 0,25 ;
д) 6,09 : 0,0609 .
163
4. Израчунај количнике и заокружи их на 2 децимале: 3 11 а) 1 : 0,008 ; б) 6, 4 : 44 ; 5 125 г) (16,8 0,7) : 0,025 ;
д)
;
в) 7,2 : (3,65 2,6); ђ)
.
5. Упореди следеће количнике: а) 0,0505 : 0,05 и 123,25 : 120,75 ; б) 1,326 : 0,5 и 0,7 : 0,307 ; в) 7,6836 : 1,14 и 2,359 : 0,35 . 6. Шта је веће, и за колико: количник бројева 0,2727 и 2,7 или разлика бројева 0,2727 и 0,1727 ? 7. Попуни дате шеме. У ком случају је производ мањи од чинилаца? Зашто? а)
б)
80
0,013
1,22
0,22 5,7
8,45
8. П опуни „пирамиде“ поштујући правило да је производ два суседна поља уписан у поље изнад та два поља. 0,06655 12,1
2,25 0,11
1,5 2
3,1
1,1
9. Површина правоугаоног дворишта је 3,7485a, а ширина тог дворишта је 15,3m. Колико метара плетене жице треба купити да би се то двориште оградило? 10. Површина правоугаоног дворишта је 3,1104a, а дужина тог дворишта је 21,6m. Колико вертикалних делова има у огради тог дворишта ако је растојање између свака два таква дела 0,2m ? 11. Којом брзином треба да вози тракториста да би 45,5km прешао за 1 сат и 24 минута?
164
Бројевни изрази 1. Израчунај вредност израза: 1 3 б) 3 6,6 ; 3 5 2 ђ) 15,61 1,607 ; 3
;
а)
;
д)
в)
;
е)
3 7 г) 4 0,37 ; 4 8 3 ; ж) 4 3,830, 44 . 10
2. Израчунај вредност израза и резултате заокругли на две, а затим и на четири децимале: 1 3 б) 3 : 6,6 ; 3 5
;
а)
в)
;
г) 10
3 3,83 : 0, 44 . 10
3. Израчунај вредност израза: а)
;
б)
в)
;
г)
; .
4. Израчунај вредност израза: ;
а)
1 1 1 б) 2 0,8 : 1, 4 : 0,8 ; 4 10 4
г) 8 : 0,2 18,06 : 0,7 7,5 : 0,05 ;
ђ)
0,758 1 : ; 0, 45 4
е)
в) 12, 40,21 3,210 0,154 ;
д)
;
;
ж) 4,5
0,64 : 0,8 3 : . 0,220 5
5. Сваки од бројева 6 ,
4 7 1 5 , , 1 , 2 и 0,99 представи као збир два једнака сабирка. 5 11 3 7
6. Сваки од бројева 10 ,
5 4 5 , , 2 и 0,68 представи као збир пет једнаких сабирака. 11 5 7
7. Израчунај abc ако је: 5 1 а) a = , b = 0,8, c =1 ; 6 5
3 5 б) a =1 , b = 0,5, c = ; 4 8
1 в) a = , b = 0,9, c = 6,7 . 3
8. Израчунај бројевну вредност израза 3a 7b ако је: 1 2 7 3 5 б) a = 3 , b = 2 ; в) a =1 , b = 6,3 ; а) a = , b = ; 5 7 8 4 9
г) a = 0,09, b = 90,08.
165
1 1 9. Израчунај бројевну вредност израза 6 m 3 n ако је: 5 9 5 9 23 1 б) m = 3 , n = 2 ; в) m =1,27, n = 0,09 . а) m = , n = ; 7 14 24 4 5 10. Израчунај бројевну вредност израза 96,9 : x 2 y ако је: 7 1 7 3 а) x = , y = ; б) x = 5, y = 0,77 ; в) x = 0,12, y = 5 . 3 19 5 11. Израчунај бројевну вредност израза
ако је a =
12. Израчунај бројевну вредност израза
13. Израчунај
28 35 . , b= 37 111
ако је a =
1 2 1 a : b ако је a =1 3 : 1 1 и b 5 5 4 10
6 11 , b = 7,8,иc = c= 11 . 25 44
.
14. И зрачунај вредности израза
,
2 1 C =1 3,6 : 0.25 1,5 и 5 30
,
, па их упореди. 2 5 , B = 1,6 : 0,5 0,2 и 5 4
15. Израчунај вредности израза A , па их упореди. 16. Од производа бројева 5
3 и 1,25 одузми њихову разлику. 5
17. Збир бројева 15,85 и 2
7 подели њиховом разликом. 20
18. Разлику бројева 3,75 и
3 подели њиховим збиром. 4
19. Од производа бројева 3,82 и 5 одузми количник бројева 2,25 и 20. За колико је производ бројева 3
166
5 . 21
3 5 и мањи од њиховог количника? 8 6
21. Одреди број који је: 1 1 а) за 3 већи од 4 ; 3 4 1 в) пет пута мањи од 3 ; 3 22. Израчунај разлику
3 1 броја 1 ; 4 3 1 2 г) од броја 15. 3 5
б)
5 2 опруженог угла и правог угла. 6 3
2 23. Израчунај обим правоугаоника ABCD површине 24cm2 ако је AB = 2 cm. cm 5 4 24. У једном одељењу петог разреда има 35 ученика. Дечаци чине одељења. Колико има 7 девојчица у том одељењу? 25. Б ака је Владу послала у продавницу да купи 2,5l млека, векну хлеба од 800g и 250g маргарина. Дала му је 250 динара и рекла да за остатак купи чоколаду. Ако литар млека стаје 31,3 динара, килограм хлеба 25 динара, а 125g маргарина 44,2 динара, да ли ће Влада моћи да купи своју омиљену чоколаду од 56,2 динара? 2 26. У књижари је било 1 200 књига. Продавац је прве недеље продао књига, а следеће 5 1 недеље преосталих. Колико је књига после тога остало у књижари? 3 1 5 27. Из магацина у коме је било 16 t шећера, једног дана је продато укупне количине, 4 13 4 а другог дана остатка. Колико је шећера остало? 5 1 1 каде, а само врућом каде. Ако су обе 12 18 славине отворене, који део каде се напуни за 6 минута? Ако се после 2 минута пуњења 1 отвори сливник, кроз који у минуту истекне воде која стаје у каду када је она пуна, 24 да ли ће се после 10 минута када прелити?
28. За 1 минут само хладном водом се напуни
29. Иван се бави атлетиком и најбоље резултате постиже у тркама на кратке стазе. На једном од својих тренинга прво је 50m истрчао за 9s. Тим временом није био задовољан 1 и други пут је успео да време скрати за , док га је у трећем покушају умор савладао и 6 13 постигао је време које је другог резултата. За колико је последњи резултат слабији 10 од првог? 30. Никола скупља поштанске маркице. Прве године је скупио 72 маркице, а друге године за трећину више маркица, док се треће године укупан број маркица увећао за две трећине броја маркица сакупљених претходне две године. Колико маркица има Никола после те три године?
167
1 2 књиге, другог дана остатка књиге, а трећег дана 4 5 је прочитавши последњих 36 страна завршила читање. Колико страна има књига коју је
31. Марија је првог дана прочитала Марија читала? 32. Попуни дате шеме: а)
б) ·0,75 82
–0,33 97,2
26
3,53
9,16
2,1
Једначине 1. Доврши започето решавање једначина. а)
2 8 x = 9 15 8 2 x= : 15 9
x=
x=
x=
б) 0,73 x =1,241
9
x =1,241:
x=
x=
: 73
12
Провера. _____________________ 2. Доврши започето решавање једначина.
Провера. _____________________
б) 0,567 : x = 31,5
6 8 а) x : = 2 7 27 8 6 x =2 27 7
x = 0,567 :
x=
x=
x=
x=
x=
27
7
Провера. _____________________
168
: 315
Провера. _____________________
3. Попуни празна поља одговарајућим разломцима.
2 3
:
0,04
3 7
0,073
9,6 16 1 21
7 18
3 74
0
5,61
0 16 1 35
0
4. Реши једначине: 7 а) x = 2,1; 20 г)
;
5. Реши једначине: 1 11 а) 9 : x = 2 ; 2 12 г)
;
0
3 б) 0,5 x = 3,76 ; 5
в) 5
д)
ђ)
;
5 7 x 1 = 2,75 ; 12 9
3 2 б) 5 : x = 2 ; 5 15 7 1 д) x : 1 5,5 = 9 ; 25 4
.
в) ђ) 5
; 5 7 1 : x = 2,75 . 12 9
1 3 7 6. За коју вредност а израз 2 a 3 узима вредност 6 ? 3 4 24 7. За коју вредност m израз
2 узима вредност 8 ? 5
8. Којим бројем треба: а) помножити, б) поделити 2 разлику бројева 4 и 3,5 да се добије количник истих бројева? 3 9. Милица је замислила један број, па га је увећала 2,5 пута. Затим је од тако добијеног производа одузела 9,8 и добила 7,7 . Који број је Милица замислила? 1 10. Одреди број који помножен збиром бројева 0,75 и 1 даје двадесети део броја 17 . 14 11. Који број треба поделити збиром бројева 0,5 и
3 5 да количник буде 4 ? 14 11
169
12. Којим бројем треба поделити разлику бројева 4 и
4 1 да би количник био 0,2 ? 15 7
13. Цена килограма јагода је 128,25 динара, а трешања 85,5 динара. Ако је Марина купила 800g јагода више него трешања, а рачун је износио 530,1 динар, колико трешања је купила Марина? 14. Ненад је прво пешачио 3 сата и 20 минута, а затим је 2,25 сати возио бицикл, и тако прешао 44,75km. Брзина којом се кретао док је возио бицикл за 5km/h је већа од оне када је пешачио. На основу ових података одреди обе брзине којима се Ненад кретао. 15. Отац је 25 година старији од ћерке, а ћеркине године чине
2 очевих година. Колико 7
свако од њих има година? 16. Ј анко и Јована имају заједно 51 бомбону. Ако је
2 3 Јованиних бомбона исто што и 3 4
Јанкових, колико бомбона има свако од њих? 4 17. А лександар, Јелена и Борис имају укупно 3 000 динара. Када Александар потроши 9 6 свог новца, Јелена свог дела, а Борис 500 динара, остану им једнаке суме. Колико 11 новца је имао свако од њих? 18. Именилац једног разломка је за 9 већи од бројиоца истог разломка. Ако се бројиоцу 2 тог разломка дода број 2, а имениоцу одузме број 2, добија се разломак . Који је то 3 разломак? 19. Бројилац једног разломка је за 2 мањи од имениоца истог разломка. Када се од 1 1 10 . бројиоца одузме разломак , а имениоцу дода разломак , добија се разломак 2 4 21 Који је то разломак? 1 књига са прве полице 5 пребаци на другу, на њој ће бити 5 књига мање него на првој полици. Колико је било
20. Н а првој полици има 2 пута више књига него на другој. Када се
књига на свакој од те две полице?
170
неjедначине 1. Доврши започето решавање неједначина. а)
б) x31,5 56,7
2 13 x 3 18 13 x : 18 3 3 x 18
x
x
x 56,7 : ____
x 567 : ____
x _____
12
0
1
0
3 в) x10,5 1,5 5 3 x10,5 1,5 5 x10,5 1,5 0,6
x10,5
x
: 10,5
x
: 105
x
1
г) 2,8( x 1) 4
2 2 3
x 1 :
0
1
0
1
2
2. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 1 3 1 а) 0, 4 x 3 ; б) x3 3 ; 2 4 8 2 1 2 7 77 г) x 0,8 ; в) 8,25 4 x 1 ; 3 4 9 8 90 д)
;
ђ)
.
171
3. Доврши започето решавање неједначина. 3 1 а) x : 4 7 12 1 3 x 4 12
x
x
12
7
1
2
5 1 в) 1 : x 3 14 6
x
x
x
x
;
0
14 14
:
;
x
1 4 15
x 1,7 :
: 10 15 15 x ;
1
x
0
x
1
2 5 1 7 2,1: (4, 4 x ) 5 7 2,1: ( x )
x 2,1:
x
ђ) 2,1: (4, 4 x ) 0,51
x:
0, 45 0,25
x:
x
x
2,5
1
10 28
0
x
1 д) x : 2,5 0, 45 4 1 x : 2,5 0, 45
172
x
3
1 6
0
0
г) 1,7 : x 2
:3
6 6
5 4,9 28 5 x 4,9
б) x :
2
3
4, 4 x
x 4, 4
0
: 0,7
1
x
2
4. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој: 1 3 3 1 37 а) x : 2 1 ; б) 4,2 : x ; в) x : 0,875 ; 3 14 5 3 105 2 19 д) ; ђ) . г) 1 5,2 : x 6 ; 9 45 5. Опиши скуп бројева: 2 а) који помножени са 0,3 дају производ већи од 1 ; 3 3 1 б) који подељени са дају количник који није мањи од ; 5 4 6 в) чија је трострука реципрочна вредност мања од . 7 6. За које је вредности променљиве а: 1 4 3 а) производ 1 a мањи од разлике бројева 1 и 0,6; 2 9 4 5 3 б) збир a већи од производа бројева 2,2 и 1,8; 6 4 1 2 в) количник израза3, 3,5a 4 x и 0,75 за више од 1,2 већи од количника бројева 0,5 и 1 ? 3 3 7. Ана жели мајци за рођендан да поклони букет ружа и парфем. Цена парфема је 1 354,75 динара, украсног папира 45,8 динара, а једне руже 50 динара. Када је сазнала ове цене, Ана је закључила да може да купи највише 7 ружа. Колико новца има Ана ако је најмања новчаница коју има од 100 динара? 8. Мајка је послала Јована да купи: 1l млека, 1 хлеб, 4 јогурта од 2dl и килограм и по јабука. Ако су цене поменутих артикала изражене у динарима: млеко - 58,70, хлеб - 25,00, јогурт (2dl) - 8,50, јабике (1kg) - 67,00, колико најмање (целих) динара треба да да мајка Јовану да би он имао довољно новца да поред наведених намирница сестри и себи купи по сладолед чија је цена 90,00 динара?
Аритметичка средина 1. Израчунај аритметичке средине бројева: 1 а) 1 и 2,3; 5
a
,
aa =
1,2 2
,
aa=
,
a=
173
1 4 и1 ; 3 5
б) 0,3 ,
,
a в) 10
a=
,
a
7 5 и ; 9 12
г)
a=
a= __
1 3 3 , 3 , , 6 и 1,75 . 2 7 4
a= a= __
2. Нина је прочитала књигу за пет дана читајући дневно 48, 53, 39, 57 и 33 стране. Колико страна има књига и колико је страна просечно на дан читала Нина? 3. Б ициклиста је првог сата прешао 13,1km, другог 15,3km, а трећег 12,4km. Којом се просечном брзином кретао бициклиста? 4. З абележене максималне дневне температуре у току једне недеље маја дате су у следећој таблици: понедељак
уторак
среда
четвртак
петак
субота
недеља
20°C
21,5°C
25,6°C
27,4°C
23°C
24,1°C
25,7°C
Колика је у просеку била максимална дневна температура те недеље? 5. Израчунај просечну оцену из математике у одељењу које има 30 ученика ако 6 ученика има одличну оцену, 8 врло добру, 9 добру, 4 довољну, а остали имају слабу оцену. 6. Аритметичка средина непознатог броја и
3 је 1,75. Који је то број? 4
2 1 , а тачки B број 2 . Који број одговара тачки S ако је та тачка 3 2 средиште дужи AB? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу.
7. Тачки A одговара број
174
4 1 8. Т ачки M одговара број 3 , а тачки S број 4 . Који број одговара тачки N ако је тачка S 5 2 средиште дужи MN? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу. 5 1 9. Тачки C одговара број 1 , а тачки S број 1 . Који број одговара тачки D ако је тачка S 6 3 средиште дужи CD? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу. 10. Никола има три оцене из математике и каже да му је просек оцена 4. Које оцене има Никола? Опиши све могућности.
Размера 1. Израчунај размере бројева: а) 12 и 3; б) 4 и 16; в) 18 и 27; г) 5,5 и 110; 12 ________________ ________________ ________________ 12 : 3 = = = 3 1 11 2 и ; 13 7 11 2 11 : = = 13 7 13
д) 3,5 и 0,21; 3,5 : 0,21= 350 : 21=
350
ђ)
=
е) 2
1 1 и5 . 3 7
__________________________
2. Испитаj да ли су следеће размере једнаке: а) 24 : 36 и 14 : 21; Како је 24 : 36= б) 3,7 : 2,5 и
24
=
2
3 2 : ; 7 5
Како је 3,7 : 2,5 =
2,5
=
и 14 : 21=
37
=
и
21
=
3
3 2 3 : = 7 5 7
дате размере су једнаке.
=
дате размере ______ једнаке.
3 4 2 3 в) 1 : и 1 : ; 4 7 3 5 Како је _____________________ и _____________________ дате размере ______ једнаке. г) 4,1: 0,07 и 14,35 : 0,245 . Како је _____________________ и _____________________ дате размере ______ једнаке. 3. У ком односу су површине и обими две собе ако су димензије једне 3,4m и 4,6m, а друге 4,2m и 4,4m?
175
4. Ако је географска карта нацртана у размери: а) 1: 55000 000, б) 1: 100000 100 000 колику раздаљину представља дуж од 5,6cm? Којом дужином је на истој карти предстaвљено растојање од 5km? 5. Подели дуж AB дужине 9cm у размери: а) 1: 1; б) 1: 3 ;
в) 2 : 1 ;
г) 7 : 2 .
6. Јана и Немања треба да поделе 3 500 динара тако да се њихови делови односе као 4 : 3. Које суме ће добити свако од њих? 7. За припрему сока користе се сируп и вода у односу 1: 5 . Ако у бокал сипаш 75ml сирупа, колико воде треба да додаш? Колико литара сoка ће се добити од 350ml сирупа? 8. Реши једначине:
а) x : 3 = 7 : 11;
1 3 2 в) x : = 3 : 1 . 2 5 7
б) 3, 4 : x =1,5 : 2,7 ;
ПРОЦЕНТИ 1. Израчунај:
а)20% од 100;
б) 20% од 10;
2. Израчунај:
а)25% од 80;
б) 20% од 100;
3. Израчунај:
а) 30 % од 100;
б) 5 % од 270 ;
в) 20% од 1 000; в) 50% од 40;
г) 20% од 5.
г) 80% од 25.
в) 43,2 % од 12,56; г) 115 % од 123.
4. У одељењу од 32 ученика 25 % су одлични ученици, а 56,25 % су девојчице. Колико има одличних ученика, а колико девојчица у том одељењу? 5. У одељењу од 32 ученика 25 % су одлични ученици, а од њих 37,5 % су девојчице. Колико има одличних ученика, а колико девојчица са одличним успехом у том одељењу? 6. Одреди број чијих 45 % умањено за 0,34 износи
1 . 5
4 сабрано са 25 % броја r једнако 1. 5 8. Цена фудбалске лопте је 875 динара. Колико ће коштати та лопта након снижења од 15%? 7. Одреди број r ако је 35 % броја 1
9. П осле поскупљења од 20 % цена повратне аутобуске карте Крагујевац–Београд је 660 динара. За колико динара је поскупела карта? 10. После поскупљења од 20 %, па појефтињења од 20 %, како се променила цена артикла? Да ли је он сада скупљи, јефтинији или му је цена иста као првобитна? 11. П осле појефтињења од 10 %, па поскупљења од 10 %, како се променила цена артикла? Да ли је он сада скупљи, јефтинији или му је цена иста као првобитна?
176
Тест 1. Израчунај: а)
1 7 = 8
;
2 б) 5 = 3
;
3 14 б) 1 = 7 25
;
в)
1 : 2= 5
;
1 г) 2 : 4 = 4
.
2. Израчунај: 1 2 а) = 3 5
;
в)
5 0,9 = 9
г) 1,30,602 =
;
.
3. Заокружи слово испред тачних тврђења. а)
2 5 : 1,2 = ; 3 9
3 7 14 б) 1 : = ; 5 4 5
в)
2 3 : 0,5 ; 7 4
г) 1,57 : 0,87 2,095 .
4. Ако је цена једног метра украсне траке 185 динара, колико ће Ана платити за 60cm те траке? Заокружи слово испред тачног тврђења. Анин рачун је износио: а) мање од 100 динара;
б) између 100 и 110 динара;
1 5. Број који је решење једначине 1 x = 3,6 јесте: 2 а) мањи или једнак 1; б) већи од 1, а мањи од 2; 6. Који од бројева 1,
в) више од 110 динара.
в) већи или једнак 2.
3 1 7 3 , 1 је решење једначине 3 x = 2,9 ? 4 3 10 5
То је број _________ . 2 7. Решења неједначине 2,3 x 1 3,1 која припадају скупу 5
јесу:
__________________ .
7. Решење неједначине је сваки број већи од 1
23 22 , а из скупа A то су бројеви 2 и 2 . 30 23
1 6. 1 . 3 7 1 9 10 1 1. а) ; б) ; г) . = 3 ; в) 8 10 16 3 3 2 4 1 2. а) ; б) ; в) ; г) 0,7826 . 15 5 2 3. Тачна тврђења су под а) и в). 4. Рачун износи 111 динара, па је тачно тврђење под в). 2 5. Решење једначине је 2 , па је тачно тврђење под в). 5
Решења:
177
РАЗЛОМЦИ III ДЕО – РЕШЕЊА Множење и дељење разломака природним бројем 1 1 1 1 1 1 1 1 17 7 = 7 = = ; 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 311 1 б) = 11= =8 ; 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 83 24 в) = 8 = = =12 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1. а)
1 13 3 1 2. а) 3 = = =1 ; 2 2 2 2 4 104 40 5 в) 10 = = = 5 ; 7 7 7 7 3 7 57 35 3 д) 51 = 5 = = = 8 ; 4 4 4 4 4
3 35 15 3 5 = = =3 ; 4 4 4 4 7 76 72 г) 6 = = =14 ; 3 3 1 5 17 1710 175 85 1 ђ) 2 10 = 10 = = = = 28 . 6 6 6 3 3 3 б)
1 1 1 5 5 5 б) : 9 = : 2= = ; = ; 3 32 6 6 69 54 14 14 14 49 49 49 16 в) г) : 5= = ; : 3= = =1 ; 9 95 45 11 113 33 33 3 33 33 33 3 45 45 45 17 д) 3 : 8 = : 8 = = ; ђ) 6 : 4 = : 4 = = =1 . 10 10 108 80 7 7 74 28 28
3. а)
4 4:4 1 : 4= = ; 7 7 7 2 16 16 : 8 2 в) 2 : 8 = : 8 = = ; 7 7 7 7
18 18 : 3 6 1 : 3= = =1 ; 5 5 5 5 3 45 45 : 5 9 2 г) 6 : 5 = : 5 = = =1 . 7 7 7 7 7
4. а)
5. а)
2 ; 5
б)
1 ; 10
б)
1 в) 23 ; 3
г)
7 ; 30
д)
6. Веће су три четвртине од 340, него пет осмина од 400, јер је
53 ; 306
ђ) 56
3 5 340 = 255 , а 400 = 250. 4 8
Множење разломака 1. xy
1 3
1 4
300 100 75
1 5
60
420 140 105 84 108 36
27
21
3 5
x:y
4
5
300 100 75
60
3
420 140 105 84 108 36
1 1 1 1 1 2. а) = : 3 = = ; 7 3 7 73 21 35 1 35 35 35 в) ; = : 8= = 27 8 27 278 216
178
27
21
2 . 17
3 5
1 6 6 6 6 б) = : 7 = = ; 7 13 13 137 91 1 1 21 1 21 21 21 г) 5 = = : 20 = = ; 4 20 4 20 4 420 80
д)
1 5 1 65 65 65 65 17 5 = = : 4 = = =1 . 4 12 4 12 12 124 48 48
3. а)
3 5 35 15 = = ; 4 11 411 44
2 4 24 8 б) = = ; 3 9 39 27
г)
4 11 411 44 = = ; 9 7 97 63
д)
4. а) г)
в)
5 6 5 19 95 17 1 = = =1 ; 6 13 6 13 78 78
1 2 5 23 115 3 ђ) 2 3 = = =8 . 2 7 2 7 14 14
3 2 3 1 3 = = ; 4 5 2 5 10
2 5 1 5 5 б) = = ; 7 6 7 3 21
3 11 3 1 3 = = ; 22 7 2 7 14
5 1 5 14 5 2 10 д) 1 = = = ; 7 13 7 13 1 13 13
5 8 26 8 2 8 16 2 ђ) 3 = = = = 2 ; 7 13 7 13 7 1 7 7
17 3 173 51 11 = = =1 ; 8 5 85 40 40
в)
15 3 3 3 9 1 = = =1 ; 8 5 8 1 8 8
3 1 11 16 11 4 44 4 е) 2 3 = = = = 8 ; 4 5 4 5 1 5 5 5
2 4 30 19 2 19 38 3 ж) 4 1 = = = = 5 . 7 15 7 15 7 1 7 7 5. а)
8 5 2 1 2 = = ; 15 12 3 3 9
б)
25 27 5 3 15 = = ; 36 40 4 8 32
в)
35 33 7 3 21 = = ; 22 65 2 13 26
г)
39 105 3 7 21 5 = = = 2 ; 60 26 4 2 8 8
3 14 15 14 3 7 21 1 д) 3 = = = = 2 ; 4 25 4 25 2 5 10 10
ђ)
8 19 8 119 2 7 14 1 = = = ; 51 100 51 100 3 25 75
е) 3
3 5 45 32 5 16 80 3 3 = = = =11 ; 14 9 14 9 7 1 7 7
ж)
.
6. а)
42 15 5 3 1 1 3 ; = = 75 32 28 1 32 2 64
в)
35 32 39 7 4 1 28 1 = = =3 . 18 65 12 9 1 1 9 9
7. а)
102 20 27 2 4 3 24 ; = = 225 37 255 5 37 5 925
;
б)
;
.
в) 8. а)
б)
4 5 1 1 ; 9 21 3 5
9. Како је
1 5 3 7 б) 3 2 ; 4 3 5 15
1 1 1 1 в) 4 4 8 2 . 2 3 2 5
5 4 55 7 6 13 42 5 4 7 6 2 = , а 1 = = , закључујеш да је од 2 веће од од 1 . 8 9 36 9 7 9 36 8 9 9 7
1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 10. Како је = и = = , следи да је = . 2 3 6 2 3 6 6 6 2 3 2 3
179
3 5 95 3 5 74 3 5 11. Како је 2 = , а 2 = , закључујеш да је производ бројева 2 и већи од 8 6 48 8 6 48 8 6 њихове разлике за
95 74 21 7 = = . 48 48 48 16
12. Већи је производ тих бројева за 3
31 . 35
4 13. Запремина собе је 46 m3, а за под треба купити 18 m2 ламината. 5 14. Прво треба да уочиш да је 1 800 g
kg =1
4 551 = 99 динара. 5
4 kg, па стога 1800 грама треба платити 5
дељење разломака 1 1 1 1 1. а) =1 , , , ; 1 4 10 101 2. а) 1: 11= д)
1 ; 11
б) 2 , 16 , 105 , 997 ;
3 4 1 б) 1: = =1 ; 4 3 3
в)
5 1 67 1 7 24 ; =2 , =2 , , 2 2 33 33 9 137
7 6 в) 1: = ; 6 7
13 1 13 139 117 2 : = 9 = = = 23 ; 5 9 5 5 5 5
г)
г)
4 15 100 22 , , , . 5 43 109 485
2 1 2 27 14 2 : = 7 = = =4 ; 3 7 3 3 3 3
2 1 20 1 20 204 80 8 ђ) 2 : = : = 4 = = =8 . 9 4 9 4 9 9 9 9
3. а)
2 3 2 5 25 10 : = = = ; 7 5 7 3 73 21
б)
7 6 7 13 713 91 25 : = = = =1 ; 11 13 11 6 116 66 66
в)
11 4 11 5 111 11 : = = = ; 15 5 15 4 34 12
г)
5 3 5 2 51 5 : = = = ; 8 2 8 3 43 12
5 6 21 7 77 49 1 д) 2 : = = = = 3 ; 8 7 8 6 82 16 16 1 4. а) 1 ; 5 5 5. а) 1 ; 12 6. а)
63 92
3 б) 1 ; 4
в) 1
49 ; 50
4 б) 2 ; 9 б)
23 35
г) в)
16 ; 33
21 ; 88 в)
5 1 11 21 11 4 112 22 ђ) 1 : 5 = : = = = . 6 4 6 4 6 21 321 63 д) 7 г) 2
13 ; 16
ђ)
4 ; 9
е) 13
3 ; 14
5 ж) . 7
1 . 6
235 378
2 1 17 6 2 6 2 6 17 2 2 7. Како је 5 : 14 = = и 5 = = , следи да је количник бројева 5 и 3 6 3 85 5 85 3 85 3 5 3 1 6 првог броја. 14 једнак 6 85
180
8. а) Како је
4 1 (када неки број a множиш бројем мањим од 1, добијаш производ који је 5
мањи од a, док када број a делиш бројем који је мањи од 1, добијаш количник који је 2 4 2 4 већи од a, закључујеш да је : . 7 5 7 5 2 7 2 7 7 б) : јер је 1; 7 5 7 5 5 9. а) Како је
2 2 2 2 2 в) 1 3 1 : 3 јер је 3 1 . 3 5 3 5 5
4 1 5 4 4 5 1 4 , , не рачунајући количнике закључујемо да је : : . 9 2 17 19 9 17 2 19
1 1 5 3 1 5 1 3 б) Како је 3 3 , а , не рачунајући количнике закључујемо да је 3 : 3 : . 5 6 4 2 5 4 6 2 3 2 19 3 57 25 5 8 41 9 41 3 123 53 25 53 в) Како је 4 : 2 = = =1 , а 6 : 3 = = = =1 и 4 3 4 8 32 32 6 9 6 35 2 35 70 70 32 70 3 2 5 8 закључујемо да је 4 : 2 6 : 3 . 4 3 6 9 10.
5 . 11
1 11. 46 cm. 4
12. 180 динара.
Својства множења и дељења 11 ; 17
б)
30 ; 119
3. а) 19 ;
б)
33 ; 80
1. а)
в)
110 ; 801
г)
1 . 5
в) 4
2 ; 19
г) 4
12 . 25
1 2. а) 3 ; 5 4. а)
8 ; 15
б)
45 ; 49
в)
б) 63 ;
в)
; 6 ; 7
г)
1 . 3
г) 20.
5. а) А ко чиниоце означиш са a и b, а производ са P ( P = ab ), тада је нови производ једнак 4 4 P1 = ab = P , то јест мањи је за четвртину производа P. 5 5 5 б) Нови производ је једнак P2 = P, то јест већи је за четвртину производа P. 4 1 в) Нови производ је једнак P3 = a2b = P, то јест једнак је производу P. 2 5 4 г) Нови производ је једнак P4 = a b = P , то јест једнак је производу P. 4 5
181
7 7 49 1 д) Нови производ је једнак P5 = a b = P =1 P, то јест већи је за четрдесет осми 8 6 48 48 део производа P. ђ) Нови производ је једнак P6 =
9 4 6 a b = P, то јест мањи је за седмину производа P. 14 3 7
a 6. а) А ко дељеник означиш са a, делилац са b, а количник са Q ( Q = a : b = ), тада је нови b количник једнак
, то јест мањи је за трећину количника Q.
, то јест већи је за половину количника Q.
б) Нови количник је једнак
в) Нови количник је једнак
, то јест једнак је количнику Q.
г) Нови количник је једнак
, то јест једнак је количнику Q.
д) Нови количник је једнак
, то јест једнак је количнику Q.
ђ) Н ови количник је једнак
, то јест мањи је за педесет
шест осамдесет првих делова количника Q.
е) Н ови количник је једнак
, то јест већи је за педесет
шест двадесет петих делова количника Q.
ж) Нови количник је једнак део количника Q.
182
, то јест већи је за један једанаести
Множење децималних бројева 1.
10
100
1 000
10 000
100 000
0,56943278
5,6943278
56,943278
569, 43278
5 694,3278
56 943,278
12,004563
120,04563
1 200,4563
12 004,563
120 045,63
1 200 456,3
0,000019804
0,00019804
0,0019804
0,019804
0,19804
1,9804
67,2
672
6 720
67 200
672 000
6 720 000
95,003
950,03
9 500,3
95 003
950 030
9 500 300
2.
0,067
0,67
6,7
67
0,2
0,0134
0,134
1,34
13, 4
1,7
0,1139
1,139
11,39
113,9
34,57
2,31619
23,1619
231,619
2 316,19
50,019
3,351273
33,51273
335,1273
3 351,273
3. а) 2,5 ; д) 19,992 ;
б) 6,16 ;
в) 0,54 ;
г) 0,68 ;
ђ) 506,321;
e) 3,12898 ;
ж) 28, 43692.
4. а) 0,075 0,08 ; б) 36,2355 36,24 ; в) 3,3488 3,35 ;
г) 0,891 0,89 ;
д)13,6091 13,61; ђ) 0, 4896 0, 49 . 5. а) 5,60,02 0,250, 4 ; б) 0,84,08 0,74,67 ; 6. 274,575 динара.
в) 3,880,36 = 9,70,144 .
7. Треба купити 69 клима уређаја.
8. 10,125 km.
дељење децималних бројева 1. :
10
100
1 000
10 000
639 732,54
63 973,254
6 397,3254
639,73254
63,973254
1987,06
198,706
19,8706
1,98706
0,198706
15,001
1,5001
0,15001
0,015001
0,0015001
7,5
0,75
0,075
0,0075
0,00075
0,03
0,003
0,0003
0,00003
0,000003
183
2. :
0,087
0,87
8,7
87
0,87
10
1
0,1
0,01
1,74
20
2
0,2
0,02
19,227
221
22,1
2,21
0,221
263,61
3 030
303
30,3
3,03
3. а) 0,08(5);
;
б)
в)
;
г) 0,0232 ;
д) 100 .
4. Израчунај количнике и заокругли их на 2 децимале: а) 200 = 200,00;
б) 0,1451... 0,15;
в) 6,857... 6,86;
г) 700=700,00;
д) 0,888... 0,89;
ђ) 0,333... 0,3 .
5. а) 0,0505 : 0,05 123,25 : 120,75;
б) 1,326 : 0,5 0,7 : 0,307;
в) 7,6836 : 1,14 = 2,359 : 0,35. 6. Количник бројева 0,2727 и 2,7 је за 0,001 већи од разлике бројева 0,2727 и 0,1727 . 7. а)
б) 100
80
0,01
0,013
1,22
0,976
0,22
0,286
7,125
5,7
6,5
8,45
8.
20,925 2,25 1,5 2
9. 79,6 m.
0,06655
9,3 1,5
0,75
0,0055 6,2
2
10. 360 .
0,05 3,1
0,5
12,1
0,11 0,1
110 1,1
100
11. 32,5 km/h.
Бројевни изрази 1. а) 24 ; 2327 д) ; 2500
б) 8,6 ;
в) 4, 48 ;
г) 5,07375 ;
ђ) 24,393 ;
е) 0,2068 ;
ж) 2,6148 .
2. а) 0, 463... 0, 46 ;
184
б) 12,155... 12,16 ;
в) 1,068... 1,07 ;
г) 1,595... 1,60.
3. а)
2 ; 25
4. а) 3
1 б) 1 ; 3
в) 5
21 ; 106
г) 7,617.
16 3 ; б) 3 ; в) 34,004 ; г)164,2 ; д) 2,6 ; ђ) 12 ; 63 20
е) 18 ; ж) 4
1 . 6
4 2 2 7 7 7 = ; = ; 5 5 5 11 22 22 1 2 2 5 5 5 0,99 = 0, 495 0, 495 . 1 = ; 2 =1 1 ; 3 3 3 7 14 14 5 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 6. 10 = 2 2 2 2 2 , = , = , 11 11 11 11 11 11 5 25 25 25 25 25 5 19 19 19 19 19 0,68 = 0,136 0,136 0,136 0,136 0,136 . 2 = , 7 35 35 35 35 35 3 35 5 ; в) 2,01. 8. а) 6 ; б) 25 ; в) 49,725; г) 630,83 . 7. а) 0,8 ; б) 5 64 36 3 23 11 10. а) 289,7; б) 17,29; в) 792,3. 11. . 9. а) 2 ; б) 17 ; в) 7,594. 7 24 12 539 . 13. 2. 12. 2 625 14. Како је A =19,95, B =19, 4, C=15,75, D=23,65, следи да је C B A D . 5. 6 = 3 3 ;
15. Како је A=3,75, B = 3,35 , C = 4,25 , следи да је B A C . 16. 2
13 . 20
47 17. 1 . 135
18.
2 . 3
19. 9,65 .
3 5 19 и мањи је од њиховог количника за 1 . 8 6 80 2 б) 1; в) ; г) 2. 3
20. Производ бројева 3 21. а) 7
7 ; 12
22. 90°. 23. 24,8cm. 24. 15. 25. Како је
, Влада може да купи чоколаду.
26. 480. 27. 2t. 5 каде. Ако се после 2 минута 6 пуњења отвори сливник, после 10 минута када ће преливати.
28. А ко су обе славине отворене за 6 минута се напуни
29. Последњи резултат је за 75 стотинки слабији од првог.
30. 280.
31. 80.
185
32. а)
б) 82 11 13 15 9,16
123
128,4
20,6
26
13,74
19,14
·0,75 129,6 11 5 75 2,8
–0,33 97,2
96,87
3,86
3,53
2,1
1,77
jедначине 1.
а)
2.
2 8 x = 9 15 8 2 x= : 15 9 8 9 x= 15 2 12 x= 5 2 x =2 5 Провера:
б) 0,73 x =1,241
Провера: 1
3. ·
186
x =124,1: 73
x =1,7
Провера: 0,731,7 =1,241
б) 0,567 : x = 31,5
2 3
7 12 0
7 18 0
5,61
3,74
x = 0,567 : 31,5
x = 5,67 : 315
x = 0,018
Провера: 0,567 : 0,018 = 31,5
61 6 124 7 62 8 : = = =2 63 7 63 6 27 27 20 77
0,073
4. а) x = 6 ;
x =1,241: 0,73
2 12 8 = 9 5 15
6 8 а) x : = 2 7 27 8 6 x =2 27 7 62 6 x= 27 7 124 x= 63 61 x =1 63
0
0
3 7 72 185 0
0
0
0
5 33 0 16 1 35
б) x = 6,32 ;
:
0
1 в) x =1 ; 2
г) x = 6 ;
0,04 5 7 27 9 37 0
10
0
9 37 16 1 21
9,6
0
5 112 3 74 0
0
0
1,6
д) x =
37 ; 45
ђ) x = 2
1 . 12
9 5 9 ; б) x = 2 ; в) x = 3 ; 35 8 28 2 2 д) x = 4,8 ; ђ) x = . г) x = 3 ; 3 3 1 3 7 5 7. 6. 2 a 3 = 6 ; a=1 . 3 4 24 56 1 7 8. а) x =1 ; б) x = . 9. 2,5 x 9,8 = 7,7 ; x = 7 . 7 8 7 10. x ; x= . 11. x 15 8 ; x =10 . 12. 9 5. а) x = 3
3 ; m= . 7
;
x =3
2 . 11
13. Ако са x означиш број килограма купљених трешања, задатку одговара следећа , чије решење је x = 2. Дакле, Марина је једначина купила 2kg трешања. 14. А ко са x означиш брзину (број километара по једном сату) којом се Ненад кретао када је пешачио, задатку одговара следећа једначина
, чије решење је
x = 6. Дакле, Ненад је пешачио брзином од 6km/h, док је бицикл возио брзином од 11km/h. 15. Ако са x означиш ћеркине године, задатку одговара следећа једначина чије решење је x = 10. Дакле, ћерка има 10 година, а отац 35 година.
,
16. А ко са x означиш колико Јована има бомбона, задатку одговара следећа једначина , чије решење је x = 27. Дакле, Јована има 27, а Јанко има 24 бомбоне. 17. Ако са x, y, z означиш суме које имају Александар, Јелена и Борис, тим редом, тада услове 5 5 задатка записујеш са следећим једначинама x y z =33000 000 и x = y = z 500 . 9 11 На основу последњег добијаш да је из прве једначине, добијаш
и
. Када то примениш 1000 3 000, одакле је z =1 000,
1100 100. x = 900 , y =1 18. Н ека је a бројилац траженог разломка. Тада је, по услову задатка, именилац једнак a 9 , и важи
a 2 2 2 2 2 = . Одакле добијамо да је a 2 = (a 7) , односно, a 2 = a 7 . (a 9) 2 3 3 3 3
2 14 2 1 14 8 Дакле, a 2 = a . Како је a = a a и = 2 , закључујемо да је 3 3 3 3 3 3 2 1 2 8 1 8 8 1 8 a 2 a = a 2 , односно a = . Дакле, a= : = 8 . Тражени разломак је . 3 3 3 3 3 3 3 3 17
187
19. Ако именилац тог разломка означиш са b, задатку одговара једначина 3 чије решење је b = 5. Дакле, тражени разломак је . 5
,
20. А ко са x означиш број књига на другој полици, задатку одговара једначина 1 1 2 x 2 x = x 2 x 5 , чије решење је x = 25. Дакле, на првој полици је 50, а на 5 5 другој 25 књига.
Неjедначине 1.
а)
2 13 x 3 18 13 2 x : 18 3 13 3 x 18 2 13 x 12 1 x 1 12
б) x31,5 56,7
x 56,7 : 31,5
x 567 : 315
x 1,8
1 11 12
0
0
3 в) x10,5 1,5 5 3 x10,5 1,5 5 x10,5 1,5 0,6
г) 2,8( x 1) 4
x10,5 2,1
x 2,1: 10,5
x 21: 105
x 0,2
188
0,2
1
1,8 2 2 3
2 x 1 4 : 2,8 3 14 14 x 1 : 3 5 14 5 x 1 3 14 5 x 1 3 5 x 1 3 2 x 3
0
1
0
2 3
1
2
5 б) x ; 6
2. а) x 8,75 ; 3.
3 1 а) x : 4 7 12 1 3 x 4 12 7 49 3 x 12 7 7 x ; 4
0
1
5 1 в) 1 : x 3 14 6 5 1 x 1 : 3 14 6 19 19 x : 14 6 19 6 x ; 14 19
0
3 7
1 в) x 1 ; 2
7 ; 10
x : 2,5 0,7
x 0,72,5
x 1,75
1
1 ђ) x 1 . 4
5 4,9 28 5 x 4,9 28 49 5 x 10 28 7 x 8
x 1
1
3 4
3 2 4
3
7 1 8
0 4 15 4 x 1,7 : 2 15 17 34 x : 10 15 17 15 x ; 10 34
г) 1,7 : x 2 x
6 3 = 14 7
1
6 д) x 1 ; 15
б) x :
1 д) x : 2,5 0, 45 4 1 x : 2,5 0, 45 4 x : 2,5 0, 45 0,25
0
г) x
3 4
0
1 7 2,1: (4, 4 x ) 2 5 7 2,1: (4, 4 x ) 10 7 4, 4 x 2,1: 10 4, 4 x 2,1: 0,7 4, 4 x 3 x 4, 4 3 x 1, 4
0
1
3 4
1
ђ) 2,1: (4, 4 x ) 0,51
1,75 2
x
1,4
2 5
2
189
5 4. а) x 2 ; 6
3 в) x ; 5
б) x 7 ;
2 5 5. а) 0,3 x 1 ; x 5 ; 3 9
1 д) x 1 ; 4
г) x 1;
3 1 3 б) x : ; x ; 5 4 20
1 4 3 29 6. а) 1 a 1 0,6 ; a1 ; 2 9 4 40 в)
б) ; a
ђ) x
29 . 34
1 6 1 в) 3 ; x 3 . x 7 2
5 3 38 ; a 2,21,8 ; a 4 6 4 225
5 . 12
7. Најмања новчаница коју Ана има јесте она од 100 динара, а како су све веће новчанице дељиве са 100, закључујемо да Ана поседује цео број стотина динара, и означимо са x ( x N ) тај број стотина. Тада задатку одговарају неједнакости 750 100 x (1354,75 45,8) 850 , одакле добијаш да је 11750,55 1800,55 750,55 100 x 1 800,55, односно x = 18. Дакле, Ана има 1 800 динара. 8. Нека је x сума новца коју је мајка дала Јовану. Тада треба да решиш једначину x (58,7 25 48,5 1,567) 290 . Дакле, мајка треба да да Јовану бар 399 динара.
Аритметичка средина 1. а)
,
,
б) в) 10
7 5 и 9 12
1,2 2,3 , 2
a=
3,5 , 2
,
г)
403 72 43 a= 5 72
a=
a=1,75 ;
a=
190
a=
73 ; 90
1 3 3 , 3 , , 6 и 1,75 2 7 4
87 35 17 a= 2 35
a=
2. Књига има 230 страна, а Нина је читала у просеку 46 страница на дан. 3. 13,6km/h.
6.
x 2
1 5. 3 . 3
4. 23,9°C.
3 4 =1,75 ;
7 7. Тачки S одговара број 1 . 12
x = 2,75 .
1 8. Тачки N одговара број 5 . 5
9. Тачки D одговара број
5 . 6
10. Збир три Николине оцене из математике мора бити 34 =12 , па Николине оцене чине .
један од скупова:
Размера 1. а) 12 : 3 =
12 4 = =4 ; 3 1
г) 5,5 : 110 =
1 ; 20
2. а) Како је 24 : 36 =
б) 4 : 16 =
4 1 = ; 16 4
2 д) 3,5 : 0,21=16 ; 3
в) 18 : 27 = ђ)
18 2 = ; 27 3
11 2 25 : =2 ; 13 7 26
1 1 49 е) 2 : 5 = . 3 7 108
24 2 14 2 = и 14 : 21= = , дате размере су једнаке. 36 3 21 3
б) Како је 3,7 : 2,5 =
3,7 37 12 3 2 3 5 15 1 = =1 и : = = =1 , дате размере нису једнаке. 2,5 25 25 7 5 7 2 14 14
3 4 7 7 49 1 2 3 5 5 25 7 в) Како је 1 : = = = 3 и 1 : = = = 2 , дате размере нису једнаке. 4 7 4 4 16 18 3 5 3 3 9 9 г) Како је 4,1: 0,07 = 3. P1 : P2 =
391 ; 462
4. а) 280m, 1m;
410 410 и 14,35 : 0,245 = , дате размере су једнаке. 7 7
O1 : O2 =
40 . 43
б) 5,6km, 5cm.
5. а) 4,5cm и 4,5cm;
б) 2,25cm и 6,75cm;
в) 6cm и 3cm;
г) 7cm и 2cm.
6. Јана ће добити 2 000, а Немања 1 500 динара. 7. У бокал треба додати 375ml воде, а од 2,1l сока. 10 8. а) x =1 ; 11
б) x = 6,12 ;
2 в) x =1 . 5
191
Проценти 1. а) 20; 2. а) 20; 3. а) 30;
б) 2;
в) 200;
г) 1.
б) 20;
в) 20;
г) 20.
б) 13,5;
в) 5,4;
г) 141,45.
4. У том одељењу има 8 одличних ученика и 18 девојчица. 5. У том одељењу има 8 одличних ученика, а од њих 3 су девојчице. 1 6. 0, 45 x 0,34 = ; x =1,2. 5
4 7. 0,351 0,25r =1; r =1, 48 . 5
8. 743,75 динара. 9. Ако са c означиш цену карте пре поскупљења, онда важи 1,2c = 660. Дакле, цена карте је била 550 динара, то јест карта је поскупела 110 динара. 10. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака 1,2c 0,8 = 0,96c, то јест производ је сада јефтинији. 11. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака 0,9c 1,1= 0,99c , то јест производ је сада јефтинији.
192
ОСНА СИМЕТРИЈА појам осне симетрије 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву.
2. Н ацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p.
193
3. М илица и Јана су конструисале тачку А1 која је осносиметрична тачки A у односу на праву s. Миличина конструкција је приказана на слици лево, а Јанина на слици десно.
Ево како су оне описале своје конструкције. Допиши шта недостаје. Милица: „Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и ___. Затим сам конструисала лукове k2 и k3 кружница истог полупречника чији су центри тачке ___ и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву p( A, N ) означила сам са n. Права n је нормала на праву ___ из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са ___. Најзад, конструисала сам лук k 4 кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж ___. Тражена тачка A1 је пресечна тачка лука k 4 и праве ___.“ Јана: „Најпре сам конструисала лук l1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и ___. Затим сам конструисала лукове l2 и l3 кружница чији су центри редом тачке ___ и N и полупречници дужи MA и NA . Једна тачка пресека ових лукова јесте тачка ___, а друга је тражена тачка A1 .“ Обе конструкције су исправне! Која је једноставнија? 4. Д ате су три неколинеарне тачке A, B , C. За сваку од њих конструиши тачку симетричну у односу на праву одређену преосталим двема тачкама. 5. Нађи слике полуправих Aa, Bb, Cc при осној симетрији у односу на праву s.
194
6. Нађи слику xOy при осној симетрији у односу на праву s.
7. Нађи слику отворене изломљене линије ABCDE при осној симетрији у односу на праву s.
8. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p. 1) 2)
9. Н ацртај туп угао xOy и на краку Ox изабери тачку S различиту од O. Нацртај затим нормалу s на крак Ox и конструиши угао x1O1y1. осносиметричан углу xOy у односу на праву s. Одреди пресек угаоних линија xOy и x1O1y1 и обоји пресек углова xOy и x1O1y1. 10. Нацртај троугао ABC па га пресликај осном симетријом у односу на праву p(B , C ). 11. Нацртај конвексан четвороугао ABCD а затим га пресликај осном симетријом у односу на праву p( A, C ).
195
12. Нацртај троугао ABC и нормалу n из тачке A на праву p(B , C ) . Пресликај троугао ABC осном симетријом у односу на праву n. 13. Н ацртај кружницу k(O,2cm) и праву s која је: 1) не сече; 2) додирује; 3) сече. Пресликај ову кружницу осном симетријом у односу на праву s. 14. Н ацртај троугао ABC и праву s која сече странице AB и BC. Пресликај троугао осном симетријом у односу на праву s. 15. Осном симетријом у односу на праву s тачка A се пресликава у тачку B. Нека је S пресек праве s и дужи AB и нека је C произвољна тачка праве s различита од S. Осном симетријом у односу на праву s: 1) слика дужи AC јесте дуж _____; 2) слика дужи AB јесте дуж _____; 3) слика дужи AS јесте дуж _____; 4) слика дужи CS јесте дуж _____; 5) слика ACS јесте угао _______; 6) слика ASC јесте угао _______; 7) слика CAS јесте угао _______.
ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ једне фигуре 1. 1 ) Колико оса симетрије има полуправа? 2) Колико оса симетрије има права? 3) Колико оса симетрије има затворена изломљена линија приказана на слици десно? Нацртај их!
4) Колико оса симетрије има фигура на слици десно? Нацртај их!
2. К оја од датих слова су осносиметрична? Колико оса симетрије има свако од слова? Наведи још нека ћирилична и нека латинична слова која су осносиметрична.
196
3. Нацртај све осе симетрија следећих фигура.
4. Нацртај бар један троугао који је осносиметричан. 5. Нацртај бар један четвороугао који је осносиметричан. cm. Да ли су фигуре K(A,2cm)K(B,4cm) и K(A,2cm)K(B,4cm) 6. Нацртај дуж AB 5cm осносиметричне? Колико оса симетрије имају ове фигуре? 7. Да ли је полуправа осносиметрична фигура? Да ли је полураван осносиметрична фигура? 8. Д ат је квадрат ABCD. Тачке P , Q , R , S су, тим редом, средишта страница AB , BC , CD , DA . На одговарајућа места упиши шта је потребно. а) Осе симетрије квадрата су: p( A, C ), p( P , R ), p(__, __), p(__, __) . б) Тачка O је средиште дужи:AC AC,, PQ PR,, ____, ____ . в) Тачне су једнакости: OA OB ____ ____ AC ____
OP OQ ____ ____
AB BC PR ____ ____ ____ .
197
СИМЕТРАЛА ДУЖИ 1. Нацртај неку дуж и подели је на осам једнаких делова. 2. Конструиши дуж чија је дужина једнака
3 дужине дужи коју си произвољно изабрао/-ла. 4
3. И забери две тачке А и B. Конструиши праву p, тако да се тачка A пресликава у тачку B при осној симетрији у односу на праву p. 4. О дреди тачку праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B.
5. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљенe од тачака A и B. 1) 2)
6. И забери три неколинеарне тачке и означи их са O, A, B. Конструиши затим кружницу са центром у тачки O тако да постоји тачно једна тачка те кружнице која је подједнако удаљена од тачака A и B. 7. Д ати су троугао ABC и тачка B’. Пресликај дати троугао осном симетријом ако знаш да је при тој симетрији слика тачке B тачка B’.
8. О дреди тачку која је подједнако удаљена од тачака A и B и чије је растојање од тачке T једнако 3cm. Колико има таквих тачака?
198
9. Треба конструисати нормалу на праву p из тачке A која не припада овој правој. Како је Лазар поступио, приказано је на слици лево, а како је Милош, на слици десно.
10. У равни је дата права t и тачка T која јој припада. Конструиши све кружнице полупречника 3cm које додирују праву t у тачки T. 11. Конструиши квадрат ABCD ако су дати теме A и права p којој припадају темена B и D.
12. К онструиши квадрат ABCD ако су дата његова темена A и C.
13. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових страница. Шта запажаш? 14. Дате су три неколинеарне тачке. Нађи тачку која је подједнако удаљена од ових тачака. 15. Нацртај троугао и одреди средишта сваке од његових страница. Нацртај затим дужи које спајају теме са средиштем наспрамне странице. Шта запажаш? 16. Нађи центар кружнице приказане на слици десно.
17. У равни је дата права t, тачка T која јој припада и тачка A која не припада овој правој. Конструиши кружницу која садржи тачку A и праву t додирује у тачки T.
199
СИМЕТРАЛА УГЛА 1. Нацртај неки туп угао и подели га на на осам једнаких делова. 2. К онструиши (без употребе угломера) угао чија је мера: а) 45°; б) 22°30'; в) 11°15'; г) 135°; д) 225°; ђ) 315°. 3. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљене од кракова угла xOy.
4. Нацртај круг и конструиши централни угао који је једнак шеснаестини пуног угла.
5. Д ат је оштар угао xOy и на његовом краку Ox тачка A. Одреди тачку угла xOy која је подједнако удаљена од тачке A и крака Oy.
6. Д ат је угао xOy и на краку Ox тачка P. Конструиши кружницу која додирује краке угла и садржи тачку P. 7. Н ацртај два суплементна угла са заједничким краком и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два суплементна угла са заједничким краком? 8. Н ацртај два комплементна угла са заједничким краком и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два комплементна угла са заједничким краком? 9. Н ацртај две паралелне праве и једну њихову трансверзалу. Конструиши кружницу која додирује све три праве. Колико таквих кружница можеш конструисати? 10. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових унутрашњих углова. Шта запажаш?
200
ТЕСТ – ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи број испред слике на којој су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на праву s.
2. Посматрај слику са десне стране. Тачка A се осном симетријом у односу на праву s пресликава у тачку A ' . Одреди слике следећих фигура при осној симетрији у односу на праву s. 1) Слика дужи AC је __________. 2) Слика дужи A ' S је __________. 3) Слика дужи AA ' је __________. 4) Слика дужи CS је __________. 5) Слика угла ASC је __________. 6) Слика угла ACS је __________. 7) Слика троугла ACS је __________. 8) Слика троугла AA ' S је __________. 3. П раве p и q се осном симетријом у односу на праву s пресликавају редом у праве p ' и q ' . Заокружи број испред тачне реченице. 1) Ако је 2) Ако је 3) Ако је 4) Ако је
p || q , онда је и p '|| q ' . p || s , онда је и p '|| s . p q , онда је и p ' q ' . p s , онда је p p ' .
4. Н ека су A ', B ', C ' слике тачака A, B , C при осној симетрији у односу на праву s. Заокружи број испред тачних реченица. 1) Ако је A B C , могуће је да буде A ' C ' B ' . 2) Ако је троугао ABC оштроугли, троугао A ' B ' C ' може бити тупоугли. 3) Обим троугла A ' B ' C ' може бити већи од обима троугла ABC . 4) Угао ABC може бити мањи од угла A ' B ' C ' . 5. Колико седмоугао, приказан на слици десно, има оса симетрије? 1) две; 2) седам; 3) четрнаест; 4) дванаест. (Заокружи број испред тачног одговора.) 6. П осматрај слику са десне стране. Колико има тачака кружнице k које су подједнако удаљене од тачака P и Q ? 1) ниједна; 2) тачно једна; 3) тачно две; (Заокружи број испред тачног одговора.)
4) бесконачно много.
201
7. Конструиши угао који је једнак
5 α. 8
8. Посматрај слику са десне стране. Ако је права p( A, C ) симетрала угла BAa и a || b, онда је мера угла θ: 1) 140°; 2) 70°; 3) 110°; 4) 100°. (Заокружи број испред тачног одговора.)
8. 3) 1. 3) 2. 1) A ' C ; 2) AS ; 3) AA ' ; 4) CS ; 5) A ' SC ; 6) A ' CS ; 7) ACS ; 8) AA ' S . 3. Све реченице су тачне. 4. Све реченице су нетачне. 5. 2) 6. 3) 7.
Решења: 202
ОСНА СИМЕТРИЈА – РЕШЕЊА појам осне симетрије 1. Осносиметричне фигуре приказане су на сликама под а) и В). 2.
3. Милица: „Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и Q. Затим сам конструисала лукове k2 и k3 кружница истог полупречника чији су центри тачке P и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву p(A,N) означила сам са n. Права n је нормала на праву s из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са S. Најзад, конструисала сам лук k4 кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж SA. Тражена тачка A1 је пресечна тачка лука k4 и праве n.“ Јана: „Најпре сам конструисала лук I1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и N. Затим сам конструисала лукове I2 и I3 кружница чији су центри редом тачке M и N и полупречници дужи MA и NA. Једна тачка пресека ових лукова је тачка A, а друга је тражена тачка A1.“ 4.
5.
203
6. Н ека је X произвољна тачка на краку Ox и Y тачка пресека крака Oy и праве s. Ако су O ' и X ' слике редом тачака O и X при осној симетрији у односу на праву s, онда је x’Oy’ слика xOy при тој осној симетрији. 7.
8. 1)
2)
9.
10.
xOy x1O1 y1 OO1 15. 1) слика дужи AC је дуж BC; 2) слика дужи AB је дуж AB; 3) слика дужи AS је дуж SB; 4) слика дужи CS је дуж CS; BCS 5) слика ACS је ; 6) слика ASC је BSC ; 7) слика CAS је CBS .
204
ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ ЈЕДНЕ ФИГУРЕ 1. 1) Полуправа има једну осу симетрије. То је права на којој се она налази. 2) Права има бесконачно много оса симетрије. Поред те праве осе симетрије су и све праве које су нормалне на њу. 3) Приказана фигура има две осе симетрије. 4) Фигура има четири осе симетрије.
2.
3. У нутар сваке фигуре уписан је број њених оса симетрије.
4. Ево три осносиметрична троугла.
5. Ево два осносиметрична четвороугла.
6. И пресекKK(A,2cm) ( A,2cm) K(B,4cm) K (B , 4 cm)и унијаKK(A,2cm) ( A,2cm) K(B,4cm) K ( B , 4 cm)су осносиметричне фигуре и имају по једну осу симетрије – праву која спаја центре ових кружница.
205
7. П олуправа је осносиметрична фигура и има само једну осу симетрије – праву на којој се налази. Полураван је осносиметрична фигура и има бесконачно много оса симетрије; свака права нормална на граничну праву те полуравни је њена оса симетрије. 8. 1) Осе симетрије квадрата су: p( A, C ), p( P , R ), p(B , D ), p(Q , S ) . 2) Тачка O је средиште дужи: AC, PR, BD, QS. 3) Тачне су једнакости: OA OB OC OD , OP OQ OR OS , AC BD , AB BC PR CD DA QS .
СИМЕТРАЛА ДУЖИ 1. Дуж најпре подели на два једнака дела. Затим, сваку половину дужи подели напола. Најзад, добијене четвртине дужи поново подели напола. 2.
3. Права p, коју треба конструисати јесте симетрала дужи AB. 4. Т ачка праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B је пресек праве p и симетрале дужи AB. 5. Тачке које треба одредити су тачке пресека кружнице и симетрале дужи AB. У првом случају (а) постоје две такве тачке, док у другом (б) такве тачке не постоје. 6. Треба конструисати кружницу са центром у тачки O која додирује симетралу дужи AB. 7. Троугао ABC треба пресликати осном симетријом у односу на симетралу дужи BB ' . 8. Тражене тачке су тачке пресека симетрале дужи AB и кружнице k(T,3cm). 9. Правилније је поступио Милош. Лазар је нацртао нормалу, док ју је Милош конструисао! 10. Н а нормали праве t у T треба одредити тачке O1 и O2 које су на растојању 3cm од T. Кружнице k(O1,3cm) и k(O2,3cm) су тражене кружнице. 11. Тачка C је симетрична тачки A у односу на праву p. Темена B и D припадају правој p и кружници чији је пречник дуж AC. 12. Конструиши најпре симетралу дужи AC и означи на пример са O средиште ове дужи. Темена B и D припадају конструисаној симетрали и кружници k (O , OA) . 13. С иметрале страница троугла секу се у једној тачки. 14. Т ражена тачка је пресечна тачка симетрала дужи које су одређенe двема од ове три тачке. 15. Д ужи које си нацртао/-ла секу се у једној тачки.
206
16. Нацртај две тетиве које нису на паралелним правама. Симетрале ових тетива секу се у центру кружнице. 17. Нацртај нормалу n на праву t у тачки T. Пресечна тачка O симетрале дужи AT и праве n је центар тражене кружнице. Тражена кружница је k (O , OT ) .
СИМЕТРАЛА УГЛА 1. Угао најпре треба поделити на два једнака дела. Затим, сваку половину угла треба поделити на два једнака дела. Најзад, добијене четвртине угла треба поново поделити напола. 2. Угао чија је мера 45° је половина правог угла; дакле, прав угао треба поделити на два једнака дела. Угао од 22°30' је половина угла од 45°, док је угао 11°15' половина угла од 22°30'. Угао чија је мера 135° можеш конструисати као збир правог угла и угла од 45° или као разлику опруженог угла и угла од 45°. Угао од 225° је збир опруженог угла и угла од 45°. Угао од 315° је разлика пуног угла и угла од 45°. 3. Тражене тачке су пресечне тачке дате кружнице и симетрале угла xOy. 4. Тражени централни угао има меру 22°30'. 5. Тражена тачка је пресек нормале на крак Ox у тачки A и симетрале угла xOy . 6. Ц ентар О тражене кружнице је пресек нормале на крак Ox у тачки P и симетрале xOy , док је њен полупречник дуж OP . 7. Симетрале два упоредна (суплементни са заједничким краком) угла су међусобно нормалне. 8. Симетрале два комплементна угла са заједничким краком секу се под углом од 45°. 9. Постоје две такве кружнице.
10. Симетрале унутрашњих углова троугла секу се у једној тачки.
207
CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51 (075.2) (076) МАТЕМАТИКА 5 : збирка задатака са решењима : [за 5. разред основне школе] / Небојша Икодиновић... [и др.]. 3. изд. – Београд : Klett, 2010 (Суботица : Ротографика). - 207 стр. : илустр. ; 30 cm Тираж 20.000. ISBN 978-86-7762-123-0 1. Икодиновић, Небојша [аутор], 1973– COBISS.SR-ID 173761036
