matematika 3

STEPENI REDOVI – ZADACI ( I deo) ∞

DEF:

∞

∑ an (t-t0)n je stepeni red , ako stavimo t-t0=x, dobijamo

∑a

n =0

n

xn =a0+a1x+…+anxn+…

n =0

n

Delimična suma reda je Sn(x)= ∑ a k x k ; a n-ti ostatak je Rn(x)= k =0

∞

∑a

n+k

x n+k

k =0

Ako postoji R tako da je x R divergira. Interval (-R,R) je interval konvergencije reda . konvergira divergira

-R

R

divergira

Za x=R i x=-R, radimo posebno , koristeći kriterijume za konvergenciju brojnih redova. Košijeva formula: lim

n→∞

an =R a n +1

1

Korena formula:

=R

lim n an

to jest

n →∞

1 = lim n an R n→∞ ∞

Važe sledeće teoreme:

Neka je S(x)=

∑a

n

xn

n =0

∞

1) lim S(x)= lim x→ x0 b

2)

∫ a

x→ x0

∞

∑ a n xn = n =0

( ∑ a n xn)dx = n =0

∞

∑( n =0

∞

∑ ( lim anxn)=S(x0) n =0

x→ x0

b

∫

anxndx)

a

3) Stepeni red se na intervalu konvergencije može diferencirati član po član

RAZVOJI ∞

e =∑ x

n =0

xn gde je (- ∞