MATEMATIKA 3 - formule - pravac i kružnica

Ivan Marinković 3.A FORMULE ZA MATEMATIKU 3 TEHNIČKA ŠKOLA ŽUPANJA

KUT DVA PRAVCA

√𝐴1 2 + 𝐵1 2 ∙ √𝐴2 2 + 𝐵2 2

PRAVAC I KRUŽNICA Jasna Vinković, prof.

|𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 |

cos 𝜌 =

ako je dan implicitni oblik

JEDNOSTAVNI OBLIK JEDNADŽBE PRAVCA

𝑝1 … 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑙1 𝑝2 … 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑙2

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑡𝑔 𝜌 = |

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑙

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑘1 − 𝑘2 | 1 + 𝑘1 𝑘2 ako je dan eksplicitni oblik

𝑘 − koef. smjera 𝑙 − odsječak na y-osi

eksplicitni oblik 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

UVJET OKOMITOSTI 𝑘1 = −

1 𝑘2

𝑘1 = 𝑘2 (𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑛𝑖)

implicitni oblik UVJET PARALELNOSTI SEGMETNI OBLIK JEDNADŽBE PRAVCA 𝑥 𝑦 + =1 𝑚 𝑛

- pravac prolazi kroz točke: |𝑚𝑛| 2

𝑑(𝑇1 , 𝑇0 ) =

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑙 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑘 𝑦2 − 𝑦1 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑥2 − 𝑥1

𝛼 − 𝑝𝑟𝑖𝑘𝑙𝑜𝑛𝑖 𝑘𝑢𝑡 𝑝𝑟𝑎𝑣𝑐𝑎

𝑦 − 𝑦0 = 𝑘(𝑥 − 𝑥0 ) JEDNADŽBA PRAVCA KROZ DVIJE TOČKE 𝑦2 − 𝑦1 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1

VEKTORI SMJERA PRAVCA

𝑦=−

𝐴 𝐶 𝑥− 𝐵 𝐵

√𝐴2 + 𝐵2

SIMETRALA DUŽINE

JEDNADŽBA PRAVCA ZADANOG KOEFICIJENT SMJERA I JEDNOM TOČKOM

𝑠⃗ = 𝜆(𝑖⃗ + 𝑘𝑗⃗) 𝑠1 = 𝑖⃗ + 𝑘𝑗⃗ ⃗⃗⃗⃗

|𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶|

-> udaljenost točke T0(x0,y0) od pravca p danog jednadžbom 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

PRIKLONI KUT PRAVCA

𝑦 − 𝑦1 =

𝐵1 = 𝜆𝐵2

UDALJENOST TOČKE OD PRAVCA

𝑚 − 𝑜𝑑𝑠𝑗𝑒č𝑎𝑘 𝑛𝑎 𝑥 − 𝑜𝑠𝑖 𝑛 − 𝑜𝑑𝑠𝑗𝑒č𝑎𝑘 𝑛𝑎 𝑦 − 𝑜𝑠𝑖

𝑃∆ =

𝐴1 = 𝜆𝐴2 ,

𝑘𝐴𝐵 =

𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴

𝑘𝑠 = −

1 𝑘𝐴𝐵

SIMETRALE PARA PRAVCA 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1

±

𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2

√𝐴1 2 + 𝐵1 2

√𝐴2 2 + 𝐵2 2

POVRŠINA TROKUTA 𝑃 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) 𝑃 =𝑠∙𝑟 𝑃=

𝑎𝑏 2

1 𝑃 = 𝑎𝑏 sin 𝛾 2 𝑃=

𝑠= 𝑃=

𝑎+𝑏+𝑐 2

𝑎𝑏𝑐 4𝑅

𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 2

|𝑆𝐵| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝑆 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝑆 )2 1 𝑃 = |𝑥𝐴 (𝑦𝐵 − 𝑦𝐶 ) + 𝑥𝐵 (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 ) + 𝑥𝐶 (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 )| 2

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija

KRUŽNICA

𝜶

𝑟 2 = (𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 𝑞)2 JEDNOSTAVNI OBLIK JEDNADŽBE KRUŽNICE 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑝 − 2𝑦𝑞 + 𝑐 = 0 TANGENTA I NORMALA KRUŽNICE (𝑥0 − 𝑝)(𝑥 − 𝑝) + (𝑦0 − 𝑞)(𝑦 − 𝑞) = 𝑟 𝑦 − 𝑦0 =

2

𝑦0 − 𝑞 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥0 − 𝑝

MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVIJU KRUŽNICA 1. nemaju zajedničkih točaka 𝑑 > 𝑟1 + 𝑟2 2. dodiruju se u jednoj točki (izvana!) 𝑑 = 𝑟1 + 𝑟2 3. dodiruju se iznutra 𝑑 = 𝑟1 − 𝑟2 4. sjeku se u dvije točke 𝑑 < 𝑟1 + 𝑟2 5. nema zajedničkih točaka, jedna se nalazi unutar druge 𝑑 < 𝑟1 − 𝑟2 UVJET DODIRA PRAVCA I KRUŽNICE 𝑟 2 (1 + 𝑘 2 ) = (𝑘𝑝 − 𝑞 + 𝑙)2 𝑝 … 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑙 𝑘 … 𝑦 = (𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 𝑞)2 = 𝑟 2

0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 2𝜋 3 3𝜋 4 5𝜋 6 𝜋 7𝜋 6 5𝜋 4 4𝜋 3 3𝜋 2 5𝜋 3 7𝜋 4 11𝜋 6

2𝜋

𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐭𝐠 𝜶 𝐜𝐭𝐠 𝜶 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330°

360°

0 1 2 √2 2 √3 2 1

1 √3 2 √2 2 1 2

0 √3 3

0

-

√3 2 √2 2 1 2 0 1 − 2 √2 − 2 √3 − 2

1 − 2 √2 − 2 √3 − 2 -1 √3 − 2 √2 − 2 1 − 2

-1

0

√3 2 √2 − 2 1 − 2

1 2 √2 2 √3 2

0

1

−

√3

1 √3

−√3 -1 √3 3 0 √3 3

−

1 √3 3 0 −

√3 3

-1 −√3 √3

1

1

√3

√3 3

-

0

−√3

√3 3

-1

-1

−

√3 3

0

−√3

-