Matematika 2
November 27, 2017 | Author: Kakasi Hatake | Category: N/A
Short Description
Download Matematika 2...
Description
UNIVERZITET U TUZLI ˇ MASINSKI FAKULTET
Barakovi´c Elvis
Meki´c Edis
Matematika II
ˇ Skolska 2010./2011. godina
Sadrˇ zaj 1 Graniˇ cna vrijednost i neprekidnost funkcije 1.1 Graniˇcna vrijednost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Diferencijalni raˇ cun funkcije jedne promjenljive 2.1 Neposredno diferenciranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Izvod sloˇzene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Izvod implicitne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Izvod parametarski zadane funkcije . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Logaritamski izvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Izvodi viˇseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 L’Hospitalove teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Tangenta i normala na krivu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Intervali monotonosti i ekstremi funkcije . . . . . . . . . . . 2.10 Intervali konveksnosti i konkavnosti funkcije. Prevojne taˇcke funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Taylorov polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcija . . . . . . . . . . . 2.12.1 Definiciono podruˇcje i nule funkcije . . . . . . . . . . 2.12.2 Asimptote funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.3 Grafik i osobine funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Primjene diferencijalnog raˇcuna . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Integralni raˇ cun funkcija jedne promjenljive 3.1 Osnovne formule integriranja. Neposredno integrisanje 3.2 Integracija metodom zamjene promjenljive . . . . . . . 3.3 Metod parcijalne integracije . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Integracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 3.5 Integracija trigonometriskih funkcija . . . . . . . . . . 3.6 Odredeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Nesvojstveni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Primjena odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . .
1 1 8
. . . . . . . . .
10 10 12 14 15 16 17 19 22 22
. . . . . . .
24 25 27 27 28 30 42
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
45 45 48 52 54 59 60 62 63
4 Funkcije viˇ se promjenljivih 4.1 Vrijednost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Graniˇcna vrijednost funkcije dvije promjenljive . . . . . . 4.3 Izvod funkcije dvije promjenljive . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Prvi i drugi totalni diferencijal funkcije dvije promjenljive 4.5 Ekstremi funkcija dvije promjenljive . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
67 67 68 69 75 76
Matematika II 4.6 Uslovni ekstremi funkcija dvije promjenljive . . . . . . . . . . 78 5 Integralni raˇ cun funkcija viˇ se promjenljivih 79 5.1 Dvojni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2 Trostruki integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3 Primjena viˇsestrukih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6 Diferencijalne jednaˇ cine 6.1 Linearne diferencijalne jednaˇcine prvog reda . . . . . . . . . 6.1.1 Jednaˇcine sa razdvojenim promjenljivim . . . . . . . 6.1.2 Homogene diferencijalne jednaˇcine . . . . . . . . . . . 6.1.3 Diferencijalne jednaˇcine koje se mogu svesti na homogenu diferencijalnu jednaˇc´cinu . . . . . . . . . . . 6.2 Linearne diferencijalne jednaˇcine viˇseg reda . . . . . . . . . . 6.2.1 Homogene diferencijalne jednaˇcine drugog reda sa konstantnim koeficijentima . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Nehomogene diferencijalne jednaˇcine drugog reda sa konstantnim koeficijentima . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Jednaˇcine prvog reda sa nekonstantnim koeficijentima . . . . 6.3.1 Linearna diferencijalna jednaˇcina prvog reda . . . . . 6.3.2 Bernulijeva diferencijalna jednaˇcina . . . . . . . . . .
Elvis Barakovi´c
iii
95 . 95 . 95 . 97 . 99 . 100 . 100 . . . .
102 106 106 107
Edis Meki´c
Matematika II
1 1.1
Graniˇ cna vrijednost i neprekidnost funkcije Graniˇ cna vrijednost funkcije
x3 + 4x2 − 9x − 10 Zadatak 1 Izraˇcunati lim . x→+∞ x3 − 3x Rjeˇsenje.
Zadatak 2 Izraˇcunati lim Rjeˇsenje.
x→+∞ x2
9x − 10 . − 3x + 100
Zadatak 3 Izraˇcunati lim (x3 − 3x) i lim (x3 − 3x). x→+∞
x→−∞
Rjeˇsenje.
x2 − 9 . x→3 x2 − 3x
Zadatak 4 Izraˇcunati lim Rjeˇsenje.
x2 − 2x + 1 . x→1 x2 − x
Zadatak 5 Izraˇcunati lim Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
1
Edis Meki´c
Matematika II x3 + 3x2 + 2x . x→−2 x2 − x − 6
Zadatak 6 Izraˇcunati lim Rjeˇsenje.
Zadatak 7 Izraˇcunati lim (1 − x→0 Rjeˇsenje.
√
Zadatak 8 Izraˇcunati lim (x −
x + 1).
√
x→+∞
x2 + 4x).
Rjeˇsenje.
√ √ Zadatak 9 Izraˇcunati lim ( 2x + 1 − 2x − 1). x→+∞
Rjeˇsenje.
Zadatak 10 Izraˇcunati lim
x→+∞
Rjeˇsenje.
Zadatak 11 Izraˇcunati lim
x→3
Elvis Barakovi´c
q
x+
√
x−
√
x .
1 6 − . x − 3 x2 − 9 2
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje.
√
Zadatak 12 Izraˇcunati lim
x→+∞
Rjeˇsenje.
Zadatak 13 Izraˇcunati lim
x→9
Rjeˇsenje.
Zadatak 14 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje.
√
x+7−4 . x2 − 81
√ 3
1 + x2 − 1 . x2
Zadatak 15 Izraˇcunati (a) lim x→0 Rjeˇsenje.
Zadatak 16 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje. Elvis Barakovi´c
1 + x2 − 1 . x
sin 3x , x
sin 5x . x→0 sin 7x
(b) lim
1 − cos x . x2 3
Edis Meki´c
Matematika II
sin 3x √ . x→0 1 − 1−x
Zadatak 17 Izraˇcunati lim Rjeˇsenje.
sin(1 − x) Zadatak 18 Izraˇcunati lim √ . x→1 x−1 Rjeˇsenje.
Zadatak 19 Izraˇcunati lim
x→+∞
Rjeˇsenje.
Zadatak 20 Izraˇcunati lim
x→+∞
Rjeˇsenje.
Zadatak 21 Izraˇcunati lim
x→+∞
Rjeˇsenje. Elvis Barakovi´c
x
2x 2x + 1
x+1 x−1
x2 + x + 1 x2 + 3x + 1
.
2x−3
4
.
x−1
.
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 22 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje.
Zadatak 23 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje.
ln(1 + x) . x
ex − 1 . x
ln(1 + x + x2 ) + ln(1 − x + x2 ) Zadatak 24 Izraˇcunati lim . x→0 x2 Rjeˇsenje.
ex − 1 Zadatak 25 Izraˇcunati lim . x→0 sin x Rjeˇsenje.
Zadatak 26 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje. Elvis Barakovi´c
1 − cos 2x . x sin x 5
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 27 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje.
Zadatak 28 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje.
Zadatak 29 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
tan x − sin x . x3
sin(a + x) − sin(a − x) . x
√
√ 1 + tan x − 1 − tan x . sin x
6
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 30 Data je funkcija f (x) = vrijednost u taˇcki x0 = 2. Rjeˇsenje.
Zadatak 31 Data je funkcija f (x) =
x2 − 4 . Izraˇcunati lijevu i desnu graniˇcnu x−2
x2
vrijednost u taˇckama x1 = −1 i x2 = 1. Rjeˇsenje.
Zadatak 32 Data je funkcija f (x) = vrijednost u taˇcki x0 = 0. Rjeˇsenje.
x . Izraˇcunati lijevu i desnu graniˇcnu −1
ex − 1 . Izraˇcunati lijevu i desnu graniˇcnu x
1
Zadatak 33 Data je funkcija f (x) = xe x−2 . Izraˇcunati lijevu i desnu graniˇcnu vrijednost u taˇcki x0 = 2. Elvis Barakovi´c
7
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje.
1.2
Neprekidnost funkcije
3x Zadatak 34 Dokazati da je funkcija f (x) = neprekidna u taˇcki 1 + x2 x = 1. Rjeˇsenje.
Zadatak 35 Dokazati da je funkcija f (x) = π x= . 4 Rjeˇsenje.
Zadatak 36 Dodefinisati funkciju f (x) = u taˇcki x = 3. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
8
1 + cos 2x neprekidna u taˇcki cos x
x2 − 9 tako da ona bude neprekidna x−3
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 37 Dodefinisati funkciju f (x) = bude neprekidna u taˇcki x = 0. Rjeˇsenje.
√
√ 1+x− 1−x tako da ona 4x
Zadatak 38 Dodefinisati funkciju (ako je mogu´ce) ( 1+x , x 6= −1 f (x) = 1 + x3 a, x = 1. tako da ona bude neprekidna. Rjeˇsenje.
Zadatak 39 Dodefinisati funkciju (ako je mogu´ce) ( sin x , x 6= 0 f (x) = 2x a, x = 0. tako da ona bude neprekidna. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
9
Edis Meki´c
Matematika II
2
Diferencijalni raˇ cun funkcije jedne promjenljive
Definicija 1 Prvi izvod funkcije y = f (x) u oznaci y ′ = f ′ (x) jeste graniˇcna vrijednost df (x) f (x + h) − f (x) = f ′ (x) = lim . h→0 dx h PRAVILA IZVODA (f (x) ± g(x))′ = f ′ (x) ± g ′ (x)
(f (x) · g(x))′ = f ′ (x) · g(x) + g ′ (x) · f (x) ′ f ′ (x) · g(x) − g ′(x) · f (x) f (x) = , (g(x) 6= 0) g(x) (g(x))2 (C · f (x))′ = C · f ′ (x),
(C − konstanta).
TABLICA IZVODA C′ = 0 x =1 ′
(xn )′ = nxn−1 , (n ∈ R) (ex )′ = ex (ax )′ = ax ln a, (0 < a 6= 1) (loga x)′ = (ln x)′ =
2.1
1 , x ln a
1 x
(0 < a 6= 1)
(sin x)′ = cos x (cos x)′ = − sin x 1 (tan x)′ = cos2 x 1 (ctgx)′ = − 2 sin x 1 ′ (arcsin x) = √ , (|x| ≤ 1) 1 − x2 1 (arccos x)′ = − √ , (|x| ≤ 1) 1 − x2 1 (arctan x)′ = , 1 − x2 1 . (arcctgx)′ = 1 1 + x2
Neposredno diferenciranje
Zadatak 40 Na´ci izvod funkcije f (x) = 3x3 − 9x2 + 4x + 100. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
10
Edis Meki´c
Matematika II √ 1 Zadatak 41 Na´ci izvod funkcije f (x) = 3x − 2 x + 4x− 3 . Rjeˇsenje.
Zadatak 42 Na´ci izvod funkcije f (x) = x2 ex . Rjeˇsenje.
Zadatak 43 Na´ci izvod funkcije f (x) = (x2 + x) cos x. Rjeˇsenje.
Zadatak 44 Na´ci izvod funkcije f (x) = tan x. Rjeˇsenje.
Zadatak 45 Na´ci izvod funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Zadatak 46 Na´ci izvod funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
11
x+1 . x−1
x3 . x2 + 1
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 47 Na´ci izvod funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
2.2
1 − ln x . 1 + ln x
Izvod sloˇ zene funkcije
Zadatak 48 Na´ci izvod funkcije f (x) = e2x−1 . Rjeˇsenje.
Zadatak 49 Na´ci izvod funkcije f (x) = sin(x2 + x + 1). Rjeˇsenje.
Zadatak 50 Na´ci izvod funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Zadatak 51 Na´ci izvod funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Zadatak 52 Na´ci izvod funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
12
√
√
2x2 − 1.
xe1−4x .
xex . x + ex
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 53 Na´ci izvod funkcije f (x) = ln Rjeˇsenje.
Zadatak 54 Na´ci izvod funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Rjeˇsenje.
Zadatak 56 Na´ci izvod funkcije f (x) = ln
Elvis Barakovi´c
13
x2 + 1 + x .
x ln x . 1 + ln x
Zadatak 55 Na´ci izvod funkcije f (x) = ln
Rjeˇsenje.
√
x . x−1
r
1 − sin x . 1 + sin x
Edis Meki´c
Matematika II
2.3
Izvod implicitne funkcije
Zadatak 57 Na´ci izvod funkcije x2 + 2y 2 + xy − 4x − y − 100 = 0. Rjeˇsenje.
Zadatak 58 Na´ci izvod funkcije ln x + siny + x2 + y − 4x = 0. Rjeˇsenje.
Zadatak 59 Na´ci izvod funkcije ex + x3 y = sin y. Rjeˇsenje.
Zadatak 60 Na´ci izvod funkcije x + ey = ln x + ln y. Rjeˇsenje.
p y Zadatak 61 Na´ci izvod funkcije arctan = ln x2 + y 2 . x Rjeˇsenje. Elvis Barakovi´c
14
Edis Meki´c
Matematika II
x Zadatak 62 Na´ci izvod funkcije xy = arctan . y Rjeˇsenje.
Zadatak 63 Izraˇcunati y ′(1, 1) ako je 2y = 1 + xy 3 . Rjeˇsenje.
Zadatak 64 Izraˇcunati y ′(0, 1) ako je yey = ex+1 . Rjeˇsenje.
2.4
Izvod parametarski zadane funkcije
Zadatak 65 Na´ci izvod funkcije x(t) = 2t + t2 , y(t) = t2 + 1. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
15
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 66 Na´ci izvod funkcije x(t) = 4 cos 2t, y(t) = 6 sin 2t. Rjeˇsenje.
Zadatak 67 Na´ci izvod funkcije x(t) = Rjeˇsenje.
1 + t3 t , y(t) = 2 . 2 t −1 t −1
Zadatak 68 Na´ci izvod funkcije x(t) = e2t + t, y(t) = et + t2 . Rjeˇsenje.
2.5
Logaritamski izvod
Zadatak 69 Na´ci izvod funkcije f (x) = xx . Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
16
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 70 Na´ci izvod funkcije f (x) = xsin x . Rjeˇsenje.
Zadatak 71 Na´ci izvod funkcije f (x) = (cos x)sin x . Rjeˇsenje.
2.6
Izvodi viˇ seg reda
Zadatak 72 Na´ci drugi i tre´ci izvod funkcije f (x) = 4x3 − 3x + 32 − x + 100. Rjeˇsenje.
1 Zadatak 73 Na´ci drugi i tre´ci izvod funkcije f (x) = sin(2x) − e1−x . 2 Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
17
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 74 Na´ci drugi i tre´ci izvod funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
x3 . x2 − 1
Zadatak 75 Na´ci drugi i tre´ci izvod funkcije f (x) = x2 cos(1 − 7x). Rjeˇsenje.
1 Zadatak 76 Pokazati da funkcija f (x) = x2 ex zadovoljava diferencijalnu 2 jednaˇcinu y ′′ − 2y ′ + y = ex . Rjeˇsenje.
Zadatak 77 Pokazati da funkcija f (x) = e−x cos x zadovoljava diferencijalnu jednaˇcinu y (4) + 4y = 0.
Elvis Barakovi´c
18
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje.
2.7
L’Hospitalove teoreme
Zadatak 78 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje.
Zadatak 79 Izraˇcunati lim x→0 Rjeˇsenje.
ex − 1 . x
eax − ebx . sin x
ln(sin(mx)) . x→0 ln(sin x)
Zadatak 80 Izraˇcunati lim Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
19
Edis Meki´c
Matematika II Zadatak 81 Izraˇcunati lim x ln x. x→0 Rjeˇsenje.
x Zadatak 82 Izraˇcunati lim (x − π) tan . x→π 2 Rjeˇsenje.
1 x
Zadatak 83 Izraˇcunati lim x e − 1 . x→+∞
Rjeˇsenje.
Zadatak 84 Izraˇcunati lim
x→0
Rjeˇsenje.
Zadatak 85 Izraˇcunati lim
x→0
Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
1 1 − . x ex + 1
1 1 − 2 x sin x x
20
.
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 86 Izraˇcunati lim xx . x→0 Rjeˇsenje.
Zadatak 87 Izraˇcunati lim (sin x)tan x . x→0 Rjeˇsenje.
1 Zadatak 88 Izraˇcunati lim e2x + x x . x→0 Rjeˇsenje.
Zadatak 89 Izraˇcunati lim
x→1
Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
x 1 − . x − 1 ln x
21
Edis Meki´c
Matematika II
2.8
Tangenta i normala na krivu (T ) (N)
y − y0 = f ′ (x0 )(x − x0 ) 1 y − y0 = − ′ (x − x0 ) f (x0 )
Zadatak 90 Odrediti jednaˇcinu tangente i normale na krivu f (x) = x4 − x2 + 3 u taˇcki A(1, y). Rjeˇsenje.
Zadatak 91 U kojoj taˇcki parabole f (x) = x2 − 7x + 3 je tangenta paralelna sa pravom 5x − y + 2 = 0. Rjeˇsenje.
2.9
Intervali monotonosti i ekstremi funkcije
Zadatak 92 Odrediti intervale monotonosti i ekstreme funkcije(ako postoje) f (x) = 2x2 − 12x + 11 Elvis Barakovi´c
22
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje.
Zadatak √ 93 Odrediti intervale monotonosti i ekstreme funkcije(ako postoje) f (x) = x2 − x + 10. Rjeˇsenje.
Zadatak 94 Odrediti intervale monotonosti i ekstreme funkcije(ako postoje) x2 + 1 f (x) = 2 . x −4 Rjeˇsenje.
Zadatak 95 Odrediti intervale monotonosti i ekstreme funkcije(ako postoje) f (x) = ln(x2 − 3x + 5). Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
23
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 96 Odrediti intervale monotonosti i ekstreme funkcije(ako postoje) f (x) = (x − 3)e−x . Rjeˇsenje.
2.10
Intervali konveksnosti i konkavnosti funkcije. Prevojne taˇ cke funkcije
Zadatak 97 Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i prevojne taˇcke funkcije(ako postoje) f (x) = x4 − 2x3 − 2x2 . Rjeˇsenje.
Zadatak 98 Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i prevojne taˇcke x2 funkcije(ako postoje) f (x) = . x−2 Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
24
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 99 Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i prevojne taˇcke funkcije(ako postoje) f (x) = (x − 4)ex . Rjeˇsenje.
Zadatak 100 Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i prevojne taˇcke funkcije(ako postoje) f (x) = x ln2 x. Rjeˇsenje.
2.11
Taylorov polinom
(x − a)2 ′′ f (a) 2! 2 (x − a) ′′ (x − a)3 ′′′ f (x) ≈ T3 = f (a) + (x − a)f ′ (a) + f (a) + f (a) 2! 3! f (x) ≈ T2 = f (a) + (x − a)f ′ (a) +
Elvis Barakovi´c
25
Edis Meki´c
Matematika II Zadatak 101 Aproksimirati funkciju f (x) = e4x Taylorovim T2 i T3 polinomima u okolini taˇcke a = 0. Rjeˇsenje.
Zadatak 102 Aproksimirati funkciju f (x) = ln(1 + 4x) Taylorovim T2 i T3 polinomima u okolini taˇcke a = 1. Rjeˇsenje.
Zadatak 103 Aproksimirati funkciju f (x) = sin(2x) Taylorovim T2 i T3 polinomima u okolini taˇcke a = π. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
26
Edis Meki´c
Matematika II Zadatak 104 Aproksimirati funkciju f (x) = polinomima u okolini taˇcke a = 2. Rjeˇsenje.
√
1 + x Taylorovim T2 i T3
2.12
Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcija
2.12.1
Definiciono podruˇ cje i nule funkcije
Zadatak 105 Na´ci definiciono podruˇcje i nule funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Zadatak 106 Na´ci definiciono podruˇcje i nule funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Zadatak 107 Na´ci definiciono podruˇcje i nule funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
27
x . x2 − 1
x3 . x2 + 4
√
x2 − x + 4.
Edis Meki´c
Matematika II Zadatak 108 Na´ci definiciono podruˇcje i nule funkcije f (x) = ln(x2 + 2x + 1). Rjeˇsenje.
Zadatak 109 Na´ci definiciono podruˇcje i nule funkcije f (x) = (x − 1)ex . Rjeˇsenje.
1
Zadatak 110 Na´ci definiciono podruˇcje i nule funkcije f (x) = x2 e x−2 . Rjeˇsenje.
2.12.2
Asimptote funkcije
Zadatak 111 Na´ci asimptote funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Zadatak 112 Na´ci asimptote funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
28
x . x−1
x2
1 . − 3x + 4
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 113 Na´ci asimptote funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
x+8 . x2 − 1
Zadatak 114 Na´ci asimptote funkcije f (x) = √ Rjeˇsenje.
Zadatak 115 Na´ci asimptote funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
29
x2 . x2 − 1
x2 − x − 3 . x−1
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 116 Na´ci asimptote funkcije f (x) = Rjeˇsenje.
2x − 1 . ex
Zadatak 117 Na´ci asimptote funkcije f (x) = ln(1 + x). Rjeˇsenje.
2.12.3
Grafik i osobine funkcije
Zadatak 118 Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije f (x) = x3 − 3x2 + 2. Rjeˇsenje. Definiciono podruˇcje:
Nule i znak:
Elvis Barakovi´c
30
Edis Meki´c
Matematika II
Asimptote:
Parnost funkcije:
Ekstremi i tok:
Intervali konveksnosti i konkavnosti. Prevojne taˇcke:
Grafik:
Elvis Barakovi´c
31
Edis Meki´c
Matematika II
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 Zadatak 119 Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije f (x) = Rjeˇsenje. Definiciono podruˇcje:
x . x2 + 1
Nule i znak:
Asimptote:
Parnost funkcije:
Ekstremi i tok:
Elvis Barakovi´c
32
Edis Meki´c
Matematika II
Intervali konveksnosti i konkavnosti. Prevojne taˇcke:
Grafik:
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 Zadatak 120 Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije f (x) = Rjeˇsenje. Definiciono podruˇcje:
Elvis Barakovi´c
33
x2 − x − 6 . x−2
Edis Meki´c
Matematika II Nule i znak:
Asimptote:
Parnost funkcije:
Ekstremi i tok:
Intervali konveksnosti i konkavnosti. Prevojne taˇcke:
Grafik:
Elvis Barakovi´c
34
Edis Meki´c
Matematika II
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 Zadatak 121 Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije f (x) = Rjeˇsenje. Definiciono podruˇcje:
x3 . 3 − x2
Nule i znak:
Asimptote:
Parnost funkcije:
Ekstremi i tok:
Elvis Barakovi´c
35
Edis Meki´c
Matematika II
Intervali konveksnosti i konkavnosti. Prevojne taˇcke:
Grafik:
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 ln x Zadatak 122 Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije f (x) = . x Rjeˇsenje. Definiciono podruˇcje:
Elvis Barakovi´c
36
Edis Meki´c
Matematika II Nule i znak:
Asimptote:
Parnost funkcije:
Ekstremi i tok:
Intervali konveksnosti i konkavnosti. Prevojne taˇcke:
Grafik:
Elvis Barakovi´c
37
Edis Meki´c
Matematika II
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 Zadatak 123 Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije f (x) = x ln2 x. Rjeˇsenje. Definiciono podruˇcje:
Nule i znak:
Asimptote:
Parnost funkcije:
Ekstremi i tok:
Elvis Barakovi´c
38
Edis Meki´c
Matematika II
Intervali konveksnosti i konkavnosti. Prevojne taˇcke:
Grafik:
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 Zadatak 124 Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije f (x) = x2 ex . Rjeˇsenje. Definiciono podruˇcje:
Elvis Barakovi´c
39
Edis Meki´c
Matematika II Nule i znak:
Asimptote:
Parnost funkcije:
Ekstremi i tok:
Intervali konveksnosti i konkavnosti. Prevojne taˇcke:
Grafik:
Elvis Barakovi´c
40
Edis Meki´c
Matematika II
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 1
Zadatak 125 Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije f (x) = xe− x2 . Rjeˇsenje. Definiciono podruˇcje:
Nule i znak:
Asimptote:
Parnost funkcije:
Ekstremi i tok:
Elvis Barakovi´c
41
Edis Meki´c
Matematika II
Intervali konveksnosti i konkavnosti. Prevojne taˇcke:
Grafik:
3 2 1 -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4
2.13
Primjene diferencijalnog raˇ cuna
Zadatak 126 Broj a > 0 napisati kao zbir dva broja ˇciji je proizvod maksimalan. Rjeˇsenje. Elvis Barakovi´c
42
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 127 Od komada ˇzise duˇzine l sastaviti pravougaonik maksimalne povrˇsine. Rjeˇsenje.
Zadatak 128 Lampa visi iznad sredine okruglog stola polupreˇcnika r. Pri kojoj ´ce visini lampe iznad stola osvijetljenost predmeta koji je na kraju stola biti najbolja? Rjeˇsenje.
Zadatak 129 Na duˇzi AB koja spaja dva izvora svjetlosti (intenziteta p i q) na´ci taˇcku koja je najmanje osvijetljena. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
43
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 130 U zadanu loptu upisati valjak najve´ce zapremine. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
44
Edis Meki´c
Matematika II
3 3.1
Integralni raˇ cun funkcija jedne promjenljive Osnovne formule integriranja. Neposredno integrisanje
Tablica osnovnih integrala: Z xn+1 n x dx = + C, n 6= −1 n+1 Z dx = x + C Z ex dx = ex + C Z ax ax dx = + C (a > 0) ln a Z sin xdx = − cos x + C Z cos xdx = sin x + C Z dx = ln |x| + C Z x dx √ = arcsin x + C 1 − x2 Z dx = tgx + C Z cos2 x dx = −ctgx + C 2 Z sin x dx = arctgx + C 1 + x2 Zadatak 131 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 132 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
Z
4xdx
Z
x−5 dx
45
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 133 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 134 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 135 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 136 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 137 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje: Elvis Barakovi´c
Z
−5dx x11
Z
(x−2 + x − 1)dx
Z
2x3 − x + 10 dx x5
Z
√ √ x x + 3 4 x dx
Z 46
√ √ 7 5x3 x − 2 x3 dx Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 138 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 139 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 140 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 141 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 142 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje: Elvis Barakovi´c
Z
2 x 4 dx 3
Z
(4ex − 23x )dx
Z
x+1 dx x
Z
(2 sin x − 5)dx
Z
√
47
du dx 1 − u2
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 143 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 144 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 145 Izraˇcunati integral: Rjeˇsenje:
3.2
Z
e−2 e 2 − 3 dx x
Z
e−2 e 3− dx sin2 x
Z
x
x
√ 3 ( x − 1) dx x2
Integracija metodom zamjene promjenljive
Zadatak 146 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
48
Z
(7 + 3x)5 dx
Edis Meki´c
Matematika II Z p 3 Zadatak 147 Izraˇcunati dati integral: (2x3 + 1)2 dx Rjeˇsenje:
Zadatak 148 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 149 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 150 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 151 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
49
Z
x2 dx x3 + 4
Z
e9x−7 dx
Z
√ x 4x − 3dx
Z
xe−x dx
2
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 152 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 153 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 154 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 155 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 156 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
50
Z
√
t dt 1 + t2
Z
√
x dx x−3
Z
x2
Z
sin 3x dx 1 + cos 3x
Z
3e2x dx 1 + e2x
x dx −1
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 157 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 158 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 159 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 160 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 161 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
51
Z
sin x cos3 xdx
Z
tgxdx
Z
4x2 ex
Z
ln2 x dx x
Z
dx x ln4 x
3 +6
dx
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 162 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 163 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
3.3
Z √
Z
1 − x2 dx
x2
dx + 2x + 5
Metod parcijalne integracije
Formula za parcijalnu integraciju glasi: Z
udv = uv −
Zadatak 164 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 165 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 166 Izraˇcunati dati integral: Elvis Barakovi´c
52
Z
vdu
Z
xex dx
Z
x2 ex dx
Z
3x sin xdx Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje:
Zadatak 167 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 168 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 169 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
53
Z
x ln xdx
Z
ln xdx
Z
ex sin xdx
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 170 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 171 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
Zadatak 172 Izraˇcunati dati integral: Rjeˇsenje:
3.4
Z
arcsin xdx
Z
ln t dt t
Z
sin2 xdx
Integracija racionalnih funkcija
Zadatak 173 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
Z
5x + 7 dx (x + 1)(x + 2)
54
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 174 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 175 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 176 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 177 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
Z
2x + 1 dx x2 + x
Z
x2
Z
9x + 25 dx x2 + 7x + 10
Z
4x dx 4 − x2
9x + 25 dx + 10x + 9
55
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 178 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 179 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 180 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
Z
x+8 dx x2 + 6x + 9
Z
x3 + 4x2 + 7x + 8 dx x2 − 9
Z
4x + 6 dx (x + 1)2
56
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 181 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 182 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
Z
5x2 + x − 34 dx (x − 2)(x − 3)(x + 4)
Z
2x2 + 6x + 5 dx (x + 2)(x + 1)2
57
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 183 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 184 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 185 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
Z
5x + 2 dx (x + 2)(x2 + 2x + 4)
Z
x−3 dx (x − 1)(x2 + x + 1)
Z
dx 1 − x4
58
Edis Meki´c
Matematika II
3.5
Integracija trigonometriskih funkcija
Zadatak 186 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 187 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 188 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
Zadatak 189 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje: Elvis Barakovi´c
Z
sin10 x cos3 xdx
Z
sin2 x cos4 xdx
Z
cos x dx 1 + cos x
Z
dx 2 sin x − cos x + 3
59
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 190 Rijeˇsiti integral Rjeˇsenje:
3.6
Z
sinn xdx
Odredeni integral
Newton - Leibnizova formula za raˇ cunanje vrijednosti odredenog integrala: Z b f (x)dx = F (x) ba = F (b) − F (a) a
Zadatak 191 Izraˇcunati integral Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
Z
3
1
(3x−2 + 2x − 6)dx
60
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 192 Izraˇcunati integral Rjeˇsenje:
Zadatak 193 Izraˇcunati integral Rjeˇsenje:
Zadatak 194 Izraˇcunati integral Rjeˇsenje:
Zadatak 195 Izraˇcunati integral Elvis Barakovi´c
Z
Z
Z
Z
1 −2
(3x2 − x − 6)dx
4
√
2
π 2 π 3
xdx dx x2 + 4
dx dx 5 + 4 cos x
2
x(ln x + 1)dx 1
61
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje:
3.7
Nesvojstveni integral
Zadatak 196 Izraˇcunati integral Rjeˇsenje:
Zadatak 197 Izraˇcunati integral Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
Z
Z
2
1 dx 2 −1 x
+∞ 1
62
dx √ x x2 + 1
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 198 Izraˇcunati integral Rjeˇsenje:
3.8
Z
+∞ −∞
2xdx x2 + 1
Primjena odredenog integrala
Zadatak 199 Izraˇcunati povrˇsinu lika ograniˇcenog sa krivim y = 3−2x−x2 i y = 0. Rjeˇsenje:
Zadatak 200 Izraˇcunati povrˇsinu lika ograniˇcenog sa krivim y = x2 i x + y = 2. Rjeˇsenje:
Zadatak 201 Izraˇcunati povrˇsinu lika ograniˇcenog sa krivim y = x2 + 4x+ 3 i y = x + 3. Elvis Barakovi´c
63
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje:
Zadatak 202 Izraˇcunati povrˇsinu lika ograniˇcenog sa krivim y = x − 1 i y 2 = 2x + 1. Rjeˇsenje:
Zadatak 203 Izraˇcunati povrˇsinu lika ograniˇcenog sa krivim y 2 = 4x i y = x. Rjeˇsenje:
Zadatak 204 Izraˇcunati povrˇsinu lika ograniˇcenog sa krivim y = x2 , 1 y = x2 i y = 2x. 2 Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
64
Edis Meki´c
Matematika II
√ √ Zadatak 205 √ √ Izraˇcunati duˇzinu luka krive y = ln x izmedu taˇcaka A( 3, ln 3) i B( 8, ln 8). Rjeˇsenje:
Zadatak 206 Izraˇcunati duˇzinu luka na paraboli y 2 = 2x + 1 kojeg odsijeca prava y = x − 1. Rjeˇsenje:
Zadatak 207 Izraˇcunati zapreminu tijela mastalog rotacijom parabole y = x2 oko x−ose, od taˇcake (0, 0) do taˇcke (1, 1). Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
65
Edis Meki´c
Matematika II
π
Zadatak 208 Luk krive y = tgx od taˇcke O(0, 0) do taˇcke A 4 se oko x−ose. Na´ci zapreminu tako dobijene figure. Rjeˇsenje:
, 1 , obr´ce
Zadatak 209 Izraˇcunati povrˇsinu lopte polupreˇcnika r. Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
66
Edis Meki´c
Matematika II
4 4.1
Funkcije viˇse promjenljivih Vrijednost funkcije
Zadatak 210 Data je funkcija f (x, y) = x2 + y 2 − xy + 1. Izraˇcunati : f (0, 0), f (1, 0), f (−1, 0), f (2, 2) i f (10, 10). Rjeˇsenje.
Zadatak 211 Data je funkcija u(x, y) = xy − x − 1. Izraˇcunati : u(0, 1), u(1, 1), u(−1, 1), i u(10, 1). Rjeˇsenje.
Zadatak 212 Data je funkcija u(x, y) = xy + 2x + 1. Izraˇcunati : u(0, 1), u(1, 0), u(−1, 0), u(2, −2) i f (10, 0). Rjeˇsenje.
Zadatak 213 Data je funkcija f (m, n) = em + n + 2m + 1. Izraˇcunati : f (0, 0), f (1, 0), f (−1, 0), f (−2, 2) i f (10, 10). Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
67
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak je funkcija f (x, y) = esin(x+y) . Izraˇcunati : f (0, 0), π 214 Data π π f ,0 i f − ,− . 2 2 2 Rjeˇsenje.
4.2
Graniˇ cna vrijednost funkcije dvije promjenljive
Zadatak 215 Izraˇcunati
1 − cos(x2 + y 2) . x→0,y→0 (x2 + y 2 )x2 y 2 lim
Rjeˇsenje.
Zadatak 216 Izraˇcunati
lim (x2 + y 2 )x
x→0,y→0
2 y2
.
Rjeˇsenje.
Zadatak 217 Izraˇcunati Elvis Barakovi´c
xy 2 . x→0,y→0 x2 + y 2 lim
68
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje.
Zadatak 218 Izraˇcunati Rjeˇsenje.
lim
2xy . + y2
x→0,y→0 x2
x2 1 x+y Zadatak 219 Izraˇcunati lim 1+ . x→+∞,y→a x Rjeˇsenje.
4.3
Izvod funkcije dvije promjenljive
Zadatak 220 Data je funkcija f (x, y) = x2 + y 2. Izraˇcunati : Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
69
∂f ∂f i . ∂x ∂y
Edis Meki´c
Matematika II ∂w Zadatak 221 Data je funkcija w(x, y) = x3 + 3y 2 + xy + 6. Izraˇcunati : ∂x ∂w i . ∂y Rjeˇsenje.
1 Zadatak 222 Data je funkcija u(x, y) = 2x2 + 3y 2 + x − y + 7. Izraˇcunati 2 ∂u ∂u : i . ∂x ∂y Rjeˇsenje.
Zadatak 223 Data je funkcija f (x, y) = 4x3 − 2y 2 − xy 2 + y + 1. Izraˇcunati ∂f ∂f : i . ∂x ∂y Rjeˇsenje.
∂f Zadatak 224 Data je funkcija f (x, y) = e2x + y 2 − 3x − 5. Izraˇcunati : ∂x ∂f i . ∂y Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
70
Edis Meki´c
Matematika II
∂w Zadatak 225 Data je funkcija w(θ, ϕ) = sin θ2 + sin2 ϕ. Izraˇcunati : i ∂θ ∂w . ∂ϕ Rjeˇsenje.
∂f Zadatak 226 Data je funkcija f (x, y) = sin(2x) + cos(2x). Izraˇcunati : ∂x ∂f i . ∂y Rjeˇsenje.
Zadatak 227 Data je funkcija f (x, y) = 2x2 − xy 2 + y + 1. Izraˇcunati : ∂f ∂f (0, 0) i (0, 0). ∂x ∂y Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
71
Edis Meki´c
Matematika II ∂f π Zadatak 228 Data je funkcija f (x, y) = sin 2x−y+1. Izraˇcunati : ,0 ∂x 2 ∂f π i ,0 . ∂y 2 Rjeˇsenje.
Zadatak 229 Data je funkcija f (x, y) = x3 − 2y 2 − xy 2 + 2. Izraˇcunati : ∂2f ∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f , , , i ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Rjeˇsenje.
Zadatak 230 Data je funkcija u(x, y) = e3x −y 2 −sin(−3x)+y+1. Izraˇcunati ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂2u , , , i : ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Rjeˇsenje.
Zadatak 231 Data je funkcija A(m, n) = mn2 + e2m + n. Izraˇcunati : ∂2A i ∂n2 Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
72
∂2A ∂m2
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 232 Pokazati da za funkciju u(x, y) = xy + y 2 vrijedi x
∂u ∂u −y = −2y 2 . ∂x ∂y
Rjeˇsenje.
Zadatak 233 Pokazati da za funkciju z(x, y) = ln(x2 + y) vrijedi x
∂z ∂z + 2y = 2. ∂x ∂y
Rjeˇsenje.
Zadatak 234 Pokazati da za funkciju t(x, y) = ln(x2 + xy + y 2 ) vrijedi x Elvis Barakovi´c
∂t ∂t +y = 2. ∂x ∂y 73
Edis Meki´c
Matematika II
Rjeˇsenje.
Zadatak 235 Pokazati da za funkciju w(x, y) = sin(x2 + y 2 ) vrijedi y
∂w ∂w −x = 0. ∂x ∂y
Rjeˇsenje.
Zadatak 236 Pokazati da za funkciju z(x, y) = ln y
∂z ∂z −x = 0. ∂x ∂y
p x2 + y 2 vrijedi
Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
74
Edis Meki´c
Matematika II Zadatak 237 Provjeriti da li funkcija w(x, y) = (x + 1)ex zadovoljava jednaˇcinu
2 +y
+ sin x − xy
∂w ∂w 2 − 2y + 2y cos x + 2xex+y = 2y 2 − x. ∂y ∂x Rjeˇsenje.
4.4
Prvi i drugi totalni diferencijal funkcije dvije promjenljive
Prvi i drugi totalni diferencijal funkcije z = z(x, y) raˇcunamo po formulama dz =
∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y
∂2z 2 ∂z ∂z ∂2z 2 d z = 2 dx + 2 dxdy + 2 dy ∂x ∂x ∂y ∂y 2
Zadatak 238 Odrediti prvi i drugi totalni diferencijal funkcije z(x, y) = x3 + 3xy 2 + y 2 − x − 12. Rjeˇsenje.
Zadatak 239 Odrediti prvi i drugi totalni diferencijal funkcije z(x, y) = 14x2 + sin(x + y). Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
75
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 240 Odrediti prvi i drugi totalni diferencijal funkcije z(x, y) = 2 2 ex +y + xy 2 − 1. Rjeˇsenje.
4.5
Ekstremi funkcija dvije promjenljive
Zadatak 241 Data je funkcija u(x, y) = x2 + y 2 − 2x. Odrediti ekstreme funkcije (ako postoje). Rjeˇsenje.
Zadatak 242 Data je funkcija z(x, y) = x2 + xy + y 2 − 2x − y. Odrediti ekstreme funkcije (ako postoje). Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
76
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 243 Data je funkcija u(x, y) = x3 + y 3 − 6xy. Odrediti ekstreme funkcije (ako postoje). Rjeˇsenje.
Zadatak 244 Data je funkcija u(x, y) = x3 +3xy 2 −15x−12y +100. Odrediti ekstreme funkcije (ako postoje). Rjeˇsenje.
Zadatak 245 Data je funkcija u(x, y) = xy(x + y − 1). Odrediti ekstreme funkcije (ako postoje). Elvis Barakovi´c
77
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje.
4.6
Uslovni ekstremi funkcija dvije promjenljive
Zadatak 246 Data je funkcija u(x, y) = x2 + y 2 . Odrediti ekstreme funkcije (ako postoje) uz uslov 3x + 2y = 6. Rjeˇsenje.
Zadatak 247 Data je funkcija u(x, y) = 6 − 4x − 3y. Odrediti ekstreme funkcije (ako postoje) uz uslov x2 + y 2 = 1. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
78
Edis Meki´c
Matematika II Zadatak 248 Data je funkcija u(x, y) = xy. Odrediti ekstreme funkcije (ako postoje) uz uslov x2 + y 2 = 8. Rjeˇsenje.
5 5.1
Integralni raˇ cun funkcija viˇse promjenljivih Dvojni integrali
Zadatak 249 Izraˇcunati integral I =
ZZ
xydxdy, gdje je
D
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1.}. Rjeˇsenje:
Zadatak 250 Izraˇcunati integral I =
ZZ
sin(x + y)dxdy, gdje je
D
Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
n π π o D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ ; 0 ≤ y ≤ . . 2 2
79
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 251 Izraˇcunati integral I =
ZZ
D
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤
(x2 √
xdx dxdy, gdje je + y 2 )2
3; 1 ≤ y ≤ 3.}.
Rjeˇsenje:
Zadatak 252Z ZNacrtati oblast D i odrediti granice (u oba poretka) u sljede´cem 0 ≤ x ≤ 1 integralu I = f (x, y)dxdy, gdje je D oblast ograniˇcena sa 1 ≤ y ≤ x D Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
80
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 253Z ZNacrtati oblast D i odrediti granice (u oba poretka) u sljede´cem y = √x integralu I = f (x, y)dxdy, gdje je D oblast ograniˇcena sa y = x D Rjeˇsenje:
Zadatak 254Z ZNacrtati oblast D i odrediti granice (u oba poretka) u sljede´cem y = x+2 integralu I = f (x, y)dxdy, gdje je D oblast ograniˇcena sa y = x2 D Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
81
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 255 Izraˇcunati integral I =
ZZ
e−x dxdy, gdje je D trougao sa
D
vrhovima u koordinatnom poˇcetku, A(1, 1) i B(0, 2). Rjeˇsenje:
Zadatak 256 Izraˇcunati integral I =
ZZ
e
−x y
dxdy, gdje je D krivolinijski
D
trougao OAB omeden parabolom y 2 = x i pravom x = 0 i y = 1. Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
82
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 257 Izraˇcunati integral I =
ZZ
sin(x + y)dxdy, gdje je D oblast
ZZ
x2 dxdy, gdje je D oblast zadana
D
π ograniˇcena sa krivim y = x, y = 2x i x = . 4 Rjeˇsenje:
Zadatak 258 Izraˇcunati integral I = na sljede´ci naˇcin D : |x| + |y| = 1. Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
D
83
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 259 Izraˇcunati integral I =
ZZ
zadana na sljede´ci naˇcin D : x2 + y 2 ≤ r 2 . Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
84
e−x
2 −y 2
dxdy, gdje je D oblast
D
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 260 Izraˇcunati integral I =
ZZ
(x + y)dxdy, gdje je D oblast
D
zadana na sljede´ci naˇcin D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ x + y}. Rjeˇsenje:
Zadatak 261 Izraˇcunati integral I =
ZZ
ln(x2 + y 2 )dxdy, gdje je D oblast
D
ograniˇcene sa x2 + y 2 = e2 i x2 + y 2 = e4 . Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
85
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 262 Izraˇcunati integral I =
ZZ
D
kruˇznicom x2 + y 2 = 6x. Rjeˇsenje:
Zadatak 263 Izraˇcunati integral I =
ZZ
dxdy p , gdje je D oblast ograniˇcene x2 + y 2
xydxdy, gdje je D oblast ograniˇcene
D
krivim x2 + y 2 = 4x, x2 + y 2 = 8x i koordinatnom osom y = 0 za y ≥ 0. Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
86
Edis Meki´c
Matematika II
5.2
Trostruki integrali
Zadatak 264 Izraˇcunati integral I =
ZZZ
xyzdxdydz, gdje je V oblast
V
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 i 0 ≤ z ≤ 1. Rjeˇsenje:
ZZZ
dxdydz , gdje je V oblast 3 V (1 + x + y + z) ograniˇcena sa ravnima x = 0, y = 0, z = 0 i x + y + z = 1. Rjeˇsenje: Zadatak 265 Izraˇcunati integral I =
Elvis Barakovi´c
87
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 266 Izraˇcunati integral I = x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 i x2 + y 2 + z 2 ≤ 1. Rjeˇsenje:
Zadatak 267 Izraˇcunati integral I =
ZZZ
ZZZ p
V oblast ograniˇcena sa x2 + y 2 + z 2 = z. Elvis Barakovi´c
88
xyzdxdydz, gdje je V oblast
V
x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdje je
V
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje:
5.3
Primjena viˇ sestrukih integrala
Zadatak 268 Izraˇcunati povrˇsinu lika ograniˇcenog sa krivim x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x, y = x i y = 0. Rjeˇsenje:
Zadatak 269 Izraˇcunati povrˇsinu lika ograniˇcenog sa krivim y = x, y = −x Elvis Barakovi´c
89
Edis Meki´c
Matematika II i x2 + y 2 = 2x. Rjeˇsenje:
x2 y 2 Zadatak 270 Izraˇcunati povrˇsinu elipse 2 + 2 = 1. a b Rjeˇsenje:
Elvis Barakovi´c
90
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 271 Izraˇcunati zapreminu tijela ograniˇcenog sa povrˇsi x2 + y 2 = 8 i ravnima x = 0, y = 0, z = 0 i x + y + z = 4. Rjeˇsenje:
Zadatak 272 Izraˇcunati zapreminu tijela ograniˇcenog sa povrˇsima x2 + y 2 + z 2 = 4 i x2 + y 2 = 2x. Elvis Barakovi´c
91
Edis Meki´c
Matematika II Rjeˇsenje:
Zadatak 273 Izraˇcunati zapreminu tijela ograniˇcenog sa paraboloidom z = x2 + y 2 i cilindriˇcnim povrˇsima x2 + y 2 = x i x2 + y 2 = 2x i ravni XOY. Rjeˇsenje:
Zadatak 274 Izraˇcunati zapreminu tijela ograniˇcenog sa povrˇsi z = 3 − x2 − y 2 i ravni z = 0. Rjeˇsenje: Elvis Barakovi´c
92
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 275 Izraˇcunati p zapreminu tijela ograniˇcenog sa povrˇsi x2 + y 2 + z 2 = 1 i z = x2 + y 2. Rjeˇsenje:
Zadatak 276 Izraˇcunati zapreminu tijela ograniˇcenog u prvom oktantu√ (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) sa povrˇsi z = 1 − x2 − y 2 i ravnima y = x, y = x 3 i z = 0. Rjeˇsenje: Elvis Barakovi´c
93
Edis Meki´c
Matematika II
Elvis Barakovi´c
94
Edis Meki´c
Matematika II
6
Diferencijalne jednaˇ cine
Jednaˇcina f (x, y, y ′, ..., y n ) = 0 u kojoj je nepoznata funkcija y = y(x) i njeni izvodi y ′, y ′′ , ..., y n, naziva se diferencijalna jednaˇcina n−tog reda.
6.1 6.1.1
Linearne diferencijalne jednaˇ cine prvog reda Jednaˇ cine sa razdvojenim promjenljivim
Jednaˇcina sa razdvojenim promjenljivim je jednaˇcina oblika Z Z P (x)dx + Q(y)dy = C pri ˇcemu je C konstanta. Rjeˇsava se direktnom integracijom, tj. P (x)dx + Q(y)dy = 0. Zadatak 277 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine 3x2 dx + sin ydy = 0. Rjeˇsenje.
Zadatak 278 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine yy ′ + x = 0. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
95
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 279 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine (y ′ )2 = y − 1. Rjeˇsenje.
Zadatak 280 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine 3y ′(x2 − 1) − 2xy = 0. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
96
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 281 Na´ci opˇste i partikularno rjeˇsenje jednaˇcine ey (y ′ + 1) = 1 uz poˇcetni uvjet y(0) = ln 2. Rjeˇsenje.
6.1.2
Homogene diferencijalne jednaˇ cine
y y Homogena diferencijalna jednaˇcina je oblika y ′ = f . Smjenom u = x x ona se svodi na jednaˇcinu sa razdvojenim promjenljivim. Zadatak 282 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine (x − y)ydx − x2 dy = 0. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
97
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 283 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine (x − y)ydx − x2 dy = 0. Rjeˇsenje.
Zadatak 284 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine x2 + y 2 − 2xyy ′ = 0. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
98
Edis Meki´c
Matematika II
6.1.3
Diferencijalne jednaˇ cine koje se mogu svesti na homogenu diferencijalnu jednaˇ c´ cinu
Ovdje ´cemo rjeˇsavati diferencijalne jednaˇcine oblika ax + by + c ′ , (a, b, c, d, e, f ∈ R). y =f dx + ey + f Razlikova´c emo dva sluˇcaja: a b = 0 uvodimo smjenu z = ax + by ili z = dx + ey ˇcime se 1. ako je d e jednaˇcina svodi na jednaˇcinu sa razdvojenim promjenljivim. a b 6= 0 uvodimo smjene x = u + α i y = v + β gdje su α i β 2. ako je d e rjeˇsenja sistema aα + bβ + c = 0 dα + eβ + f = 0
ˇcime se jednaˇcina svodi na homogenu dif. jednaˇcinu. Zadatak 285 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′ = Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
99
2x + 4y + 3 . x + 2y + 1
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 286 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′ = Rjeˇsenje.
6.2 6.2.1
x+y−3 . 2x + y − 5
Linearne diferencijalne jednaˇ cine viˇ seg reda Homogene diferencijalne jednaˇ cine drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Homogena diferencijalna jednaˇcina drugog reda sa konstantnim koeficijentima je oblika y ′′ + py ′ + qy = 0, (p, q ∈ R) Elvis Barakovi´c
100
Edis Meki´c
Matematika II ˇcija je karakteristiˇcna jednaˇcina data sa λ2 + pλ + q = 0. U zavisnosti od prirode rjeˇsenja karakteristiˇcne jednaˇcine, rjeˇsenje homogene diferencijalne jednaˇcine je dato sa: 1. ako je λ1 6= λ2 rjeˇsenje je y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x gdje su C1 i C2 proizvoljne konstante, 2. ako je λ1 = λ2 = λ rjeˇsenje je y = (C1 + C2 x)eλx gdje su C1 i C2 proizvoljne konstante, 1. ako je λ1 λ2 ∈ C i oblika λ1 = α + iβ i λ2 = α − iβrjeˇsenje je y = eαx (C1 cos(βx) + C2 sin(βx)) gdje su C1 i C2 proizvoljne konstante. Zadatak 287 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ − 2y ′ − 3y = 0. Rjeˇsenje.
Zadatak 288 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ − 4y ′ + 4y = 0. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
101
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 289 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ − y ′ + 10y = 0. Rjeˇsenje.
6.2.2
Nehomogene diferencijalne jednaˇ cine drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Nehomogena diferencijalna jednaˇcina drugog reda sa konstantnim koeficijentima je oblika y ′′ + py ′ + qy = f (x),
(p, q ∈ R, f (x) 6= 0)
ˇcije je rjeˇsenje dato sa y = yH + yP Elvis Barakovi´c
102
Edis Meki´c
Matematika II pri ˇcemu je yH rjeˇsenje njoj odgovaraju´ce homogene jednaˇcine a yP odgovaraju´ce partikularno rjeˇsenje koje traˇzimo na sljede´ci naˇcin: 1. ako je f (x) = const. partikularno rjeˇsenje traˇzimo u obliku yp = A, 2. ako je f (x) = Pn (x) partikularno rjeˇsenje traˇzimo u obliku yp = Qn (x), 3. ako je f (x) = Pn (x)eλx partikularno rjeˇsenje traˇzimo u obliku y − P = xk Qn (x)eλx pri ˇcemu je k viˇsestrukost broja λ. Zadatak 290 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ − 2y ′ − 8y = 4. Rjeˇsenje.
Zadatak 291 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ − 2y ′ − 8y = 4. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
103
Edis Meki´c
Matematika II Zadatak 292 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ + 2y ′ + 10y = x2 − x + 5. Rjeˇsenje.
Zadatak 293 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ + 2y ′ − 15y = 8e3x . Rjeˇsenje.
Zadatak 294 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine 4y ′′ − y ′ − 3y = e−2x (x − 4). Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
104
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 295 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ − 3y ′ + 2y = (x2 + x)e3x . Rjeˇsenje.
Zadatak 296 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′′ − 3y ′ + 2y = ex + e2x . Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
105
Edis Meki´c
Matematika II
6.3 6.3.1
Jednaˇ cine prvog reda sa nekonstantnim koeficijentima Linearna diferencijalna jednaˇ cina prvog reda
Linearna diferencijalna jednaˇcina prvog reda je oblika y ′ + p(x)y = q(x) ˇcije je opˇste rjeˇsenje dato sa −
y(x) = e
R
p(x)dx
Z R p(x)dx C + q(x)e
pri ˇcemu je C proizvoljna konstanta. Zadatak 297 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′ + Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
106
1 y + x2 = 0. 1+x
Edis Meki´c
Matematika II
Zadatak 298 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′ + 3x2 y = 1. Rjeˇsenje.
6.3.2
Bernulijeva diferencijalna jednaˇ cina
Bernulijeva diferencijalna jednaˇcina je jednaˇcina oblika y ′ + p(x)y = q(x)y 1−α
(α 6= 0, α 6= 1)
koja se smjenom z = y 1−α svodi na linearnu diferencijalnu jednaˇcinu prvog reda sa nekonstantnim koeficijentima.
Elvis Barakovi´c
107
Edis Meki´c
Matematika II Zadatak 299 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine xy ′ + y − y 2 ln x = 0. Rjeˇsenje.
Zadatak 300 Na´ci opˇste rjeˇsenje jednaˇcine y ′ − y tan x + y 2 cos x = 0. Rjeˇsenje.
Elvis Barakovi´c
108
Edis Meki´c
View more...
Comments
