Matematika 2 - analiza

D.1. (def. metričkog prostora) Pretpostavimo da je dat neprazan, potpuno amorfan skup X i neka je dato preslikavanje XxX→R (X2→R). Uredjeni par (X, d) se naziva metrički prostor ako preslikavanje d na skupu X yadovoljava sledeći sistem (aksioma): 1. 0≤d(x,y)≤+∞ - aksioma nenegativnosti i konačnosti 2. d(x,y)=0  x=y 3. d(x,y)=d(y,x) – aksioma simetrije 4. d(x,z)≤d(x,y) + d(y,z) – nejednakost trougla Primeri: (1) Pomenuti skup X- nosač, preslikavanje d – metrika, za date x, y d(x, y) – rastojanje x, y (R, | |); x, y R, d(x,y) = |x-y| (2) (R2, d); x, yR2 x = (x1, x2) y = (y1, y2); d(x, y)= ( x1  y1 ) 2  ( x2  y 2 ) 2 (3) (R2, dp), pR, p>1; x, y  R2 x = (x1, x2) y = (y1, y2); dp(x, y)= p ( x1  y1 ) p  ( x2  y 2 ) p - Euklidovsko rastojanje (prirodno) (4) (Rn, d) nN x = (x1,..., xn) y = (y1,..., yn), d ( x, y ) 

n

 (x k 1

k

 yk ) 2

T.1. (o ekvivalentnosti metričkih prostora nad konačno dimenyionim prostorima) Pretpostavimo da su data 2 metrička prostora (Rn, d1) i (Rn, d2), tada su svake dve metrike meĎusobno ekvivalentne što drugačije rečeno ynači sledeće: niz (Xk)Rn konvergira po metrici d1  konvergira po metrici d2. (5) c[a, b], -∞ 0 - neki proizvoljno izabrani broj h obostrano teži nuli (može biti i poz. i negativno). Postoji obostrani izvod funkcije. D. (jednostrani izvod) (a) Neka važe iste pretpostavke kao u prethodnoj definiciji. Ako u relaciji (*) dozvolimo da h teži nuli, ali samo za sledeće vrednosti 0