matematika 1 udžbenik

Branimir Daki´c Neven Elezovi´c

OG LE DN IP RIM JE RA K

MATEMATIKA 1 udˇzbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazija i tehniˇckih sˇ kola 1. dio



OG LE DN IP RIM JE RA K Intelektualno je vlasniˇstvo, poput svakog drugog vlasniˇstva, neotudivo, zakonom zaˇsti´ceno i mora se poˇstivati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnaˇzati na bilo koji naˇcin, bez pismenog dopuˇstenja nakladnika.

CIP zapis dostupan u raˇcunalnom katalogu Nacionalne i sveuˇciliˇsne knjiˇznice u Zagrebu pod brojem 858101.

ISBN 978-953-197-845-3 (cjelina) ISBN 978-953-197-846-0 (Dio 1)

OG LE DN IP RIM JE RA K

Branimir Daki´c Neven Elezovi´c

MATEMATIKA 1 udˇzbenik i zbirka zadataka

za 1. razred gimnazija i tehniˇckih sˇ kola

1. dio

1. izdanje

Zagreb, 2013.

Branimir Daki´c, prof. prof. dr. sc. Neven Elezovi´c, 2013.

OG LE DN IP RIM JE RA K

c 

Urednica Sandra Graˇcan, dipl. ing.

Recenzenti ˇ Zeljka Frkovi´c, prof. prof. dr. sc. Ljubo Maranguni´c Lektorica Dunja Apostolovski, prof. Crteˇzi, slog i prijelom Element d.o.o., Zagreb Dizajn Edo Kadi´c

Nakladnik Element d.o.o., Zagreb, Menˇceti´ceva 2 tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701 faks 01/ 6008-799 www.element.hr [email protected]

Tisak STEGA TISAK d.o.o., Zagreb

OG LE DN IP RIM JE RA K

Predgovor Ovaj udˇzbenik namijenjen je vama, uˇcenicima 1. razreda srednje sˇ kole. Uz njega c´ete ponoviti i utvrditi ranija, ali i stjecati nova matematiˇcka znanja.

Kako je sastavljen ovaj udˇzbenik?

U dvije knjige ukupno je devet poglavlja, u svakom poglavlju jedna je tematska cjelina.

Pojedino poglavlje otvara se zanimljivim i poticajnim problemom do cˇijeg rjeˇsenja dolazimo nakon obrade gradiva te cjeline. Zbog toga pozorno prouˇcite pojedini uvodni problem i razmislite o tome kako nove matematiˇcke spoznaje pomaˇzu u njegovu rjeˇsavanju.

Novo gradivo u udˇzbeniku izlaˇze se na vama primjeren i pristupaˇcan naˇcin. Potkrepljuju ga pomno odabrani i potpuno rijeˇseni raznovrsni primjeri od kojih je velik broj vezan uz primjenu matematike u drugim znanostima i u svakodnevnom zˇ ivotu. Sve te primjere potrudite se pozorno i temeljito prouˇciti. Gotovo iza svakog primjera slijedi zadatak cˇije c´e samostalno rjeˇsavanje pridonijeti boljem razumijevanju i usvajanju gradiva. Velik broj ilustracija i slika podiˇze zornost sadrˇzaja.

Ova knjiga sadrˇzava i opseˇznu zbirku zadataka za vjeˇzbu. Zadatci su razvrstani po manjim tematskim cjelinama unutar poglavlja. Na kraju knjige njihovi su rezultati, a sloˇzeniji zadatci imaju naveden i postupak rjeˇsavanja.

I imajte na umu: uspjeˇsno uˇcenje matematike zahtijeva upornost i marljivost, ono mora biti redovito, nikako “kampanjsko”. Nastojte uˇciti sˇ to viˇse samostalno, uz pomo´c udˇzbenika. Tako c´e vaˇse znanje biti temeljitije i trajnije. Ukaˇzimo joˇs i na male, raznovrsne i zanimljive umetke (kutke) kojima je svrha unijeti zˇ ivost u proces uˇcenja. Ti su umetci naznaˇceni posebnim simbolima. Evo njihova tumaˇcenja:

Za radoznale

U ovim kutcima dane su neke napomene i kra´ce dopune neposredno povezane s gradivom koje se upravo obraduje. Poklonite im trenutak pozornosti, ne´ce to zahtijevati poseban dodatni napor, a moˇze pridonijeti proˇsirivanju vaˇsih matematiˇckih vidika.

Kutak plus

OG LE DN IP RIM JE RA K

Kutak plus sadrˇzava dodatne napomene uz teku´ce gradivo. Tim malim dodatcima moˇzete upotpuniti i produbiti svoje znanje. Savjetujemo i vama, koji moˇzda mislite kako ti dodatci nisu za vas: ne odustajte olako. Barem pokuˇsajte razumjeti o cˇemu se radi jer ovdje nije rijeˇc ni o cˇemu nedostupnom.

Istraˇzite

U ovim kutcima nai´ci c´ete na otvorene probleme koje valja istraˇziti. “Otvoreno” znaˇci da vam nije unaprijed propisan put k rjeˇsenju, niti je samo rjeˇsenje predvidivo. Neki od problema pod ovim naslovom mogu se obraditi i kao projektni zadatci ili kao matematiˇcki eseji.

Bez rijeˇci

Dokaze nekih matematiˇckih cˇinjenica moˇzemo izraziti zorno i bez rijeˇci kao svojevrsne matematiˇcke rebuse. Kad kaˇzemo “bez rijeˇci”, podrazumijevamo da je dokaz neke matematiˇcke cˇinjenice predoˇcen bez ikakva pisanog obrazloˇzenja. Dokazu vodi analiza same slike, a na vama je da ga opiˇsete rijeˇcima.

Iz zabavne matematike

Zabavna (ili rekreacijska) matematika priznata je grana matematike. Zabavna je zbog “zabavnih” problema, sˇ to ne znaˇci da su ti problemi sasvim matematiˇcki bezazleni. Uz zadatke u ovim kutcima, u udˇzbeniku c´ete na´ci joˇs cˇitav niz zadataka, ugradenih u samo izlaganje gradiva, koji bi - mogli svrstati u zabavnu matematiku. se takoder

Povijesni kutak

Matematiˇcka znanost ima bogatu i zanimljivu povijest. U svakom pojedinom poglavlju ovog udˇzbenika povijesni kutak ukratko govori o povijesti podruˇcja matematike koje se u tom poglavlju obraduje. Ponekad su to samo male napomene.

Toˇcno-netoˇcno pitalice

Toˇcno-netoˇcno pitalice namijenjene su prije svega za vaˇs samostalan rad. One su pozorno i sustavno osmiˇsljene te sadrˇzajno pokrivaju pojedine cjeline. Nije dovoljno re´ci je li vaˇs odgovor na pojedinu pitalicu toˇcan - “da” i “ne” je ili netoˇcan. Upravo podrobno obrazloˇzenje izbora izmedu ono sˇ to se traˇzi. Zbog toga budite uporni u traganju za rjeˇsenjima. Autori

OG LE DN IP RIM JE RA K

Sadrˇzaj 1. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Prirodni i cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Potencije i algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

Pojam potencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raˇcunanje s potencijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Znanstveni zapis realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebarski izrazi. Potenciranje binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Razlika i zbroj potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rastavljanje na faktore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebarski razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearne jednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- na skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Uredaj 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Svojstva relacije uredaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearne nejednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apsolutna vrijednost realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udaljenost toˇcaka na brojevnom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednadˇzbe i nejednadˇzbe s apsolutnim vrijednostima . . . . . . . . . . . . . .

4. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udaljenost dviju toˇcaka u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povrˇsina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poloviˇste duˇzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 8 17 31 35 36 40 52 59 68 74 79 85 101 102 109 117 121 125 131 132 136 140 143

Definicija i opis vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mnoˇzenje vektora realnim brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rastav vektora u komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektori u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149 150 153 154 159 162

Rjeˇsenja i upute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Potencije i algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - na skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Uredaj 4. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167 168 172 183 187 192

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

OG LE DN IP RIM JE RA K

OG LE DN IP RIM JE RA K

1

BROJEVI

OG LE DN IP RIM JE RA K

Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito bliska, cˇ ime se matematiˇcari bave, moˇzete oˇcekivati odgovor: brojevima! I premda baˇs i nije toˇcan, odgovor nije neobiˇcan. Jer, prva iskustva s matematikom u svakog su cˇ ovjeka vezana uz brojeve i raˇcunanje. A joˇs ne tako davno, prvoˇskolski su se udˇzbenici iz matematike zvali Racˇunice. Kada su ljudi poˇceli rabiti brojeve? Na ovo pitanje nemogu´ce je dati odgovor. Brojevi i njihovo zapisivanje nastajali su i razvijali se u dugotrajnom povijesnom procesu 1 . U ovom poglavlju dat c´ emo pregled skupova brojeva koje smo do sada upoznali.

1.1. Prirodni i cijeli brojevi

Prirodni brojevi su brojevi 1, 2, 3, 4, 5. . . Njima se sluˇzimo pri brojenju ili prebrajanju. Prirodnim brojem iskazujemo brojnost nekog skupa, odgovaramo na pitanje koliko je u skupu cˇlanova. Postoji najmanji prirodni broj, to je broj 1. Ne postoji najve´ci prirodni broj. Iza ma kako velikog prirodnog broja n slijedi ve´ci ( n + 1 ) sˇ to znaˇci da je skup prirodnih brojeva beskonaˇcan. Skup prirodnih brojeva

Skup prirodnih brojeva oznaˇcavamo s N .

N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , n . . .}.

Istraˇzite

PROSTI BROJEVI

Prirodni broj koji osim samoga sebe i broja 1 nema drugih djelitelja zove se prost ili primbroj. Evo svih prostih brojeva koji su manji od 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 ˇ misliˇs, ima li tom ispisivanju Nastavi ovaj niz ispisuju´ci sve proste brojeve manje od 200. Sto kraja? Je li skup prostih brojeva beskonaˇcan?

Starogrˇcki matematiˇcar i fiziˇcar Eratosten “pronalazio” je proste brojeve postupkom prosijavanja. Istraˇzi o kakvom je postupku rijeˇc. Posjeti u svrhu traganja za odgovorom http://element.hr/plus/autosieve/medium. 1

2

Vidjeti prezentaciju O podrijetlu brojeva, www.element.hr/plus (Matematika plus).

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI

1.1

Povijesni kutak ˇ PREDCI? KAKO SU BROJEVE ZAPISIVALI NASI

OG LE DN IP RIM JE RA K

Tijekom ljudske povijesti u raznim druˇstvenim zajednicama razvili su se razliˇciti zapisi prirodnih brojeva. Razlikujemo pozicijski i nepozicijski sustav zapisa. U nepozicijskom svaka znamenka nosi istu brojevnu vrijednost bez obzira na njezino mjesto (poziciju) u zapisu broja. Jedan je takav primjer i rimski zapis. Primjerice, CCXXIX znaˇci broj 100 + 100 + 10 + 10 + (10 − 1) = 229 . Znak C uvijek nosi brojevnu vrijednost 100, a znak X vrijednost 10. U pozicijskim sustavima, kakav je i ovaj naˇs suvremeni, upravo je obrnuto. Znamenke nose brojevne vrijednosti koje ovise o njihovu poloˇzaju (poziciji) u zapisu. Tako primjerice, 333 znaˇci 3 · 100 + 3 · 10 + 3 . Dakle, prva trojka znaˇci 300, druga 30, a tre´ca 3 jedinice.

Druga bitna karakteristika zapisa prirodnog broja jest njegova osnovica ili baza. Danas se u cijelom svijetu rabi dekadski brojevni sustav kojemu je osnovica 10. Vjerojatni razlog je taj sˇ to cˇovjek na obje ruke ima ukupno 10 prstiju. Postoje i brojevni sustavi s drugim osnovicama, primjerice binarni na kojem poˇciva rad elektroniˇckih raˇcunala. Pri zapisivanju brojeva nerijetko su se uzimala slova pisma. Tako je primjerice u rimskom i grˇckom zapisivanju, ali i u staroslavenskoj glagoljici koja se u hrvatskim krajevima zadrˇzala gotovo 10 stolje´ca.

Istraˇzite:

1. Kako su brojeve zapisivali i s njima raˇcunali stari Rimljani? 2. Kako su naˇsi predci zapisivali brojeve koriste´ci se glagoljicom? 3. Navedite joˇs neki primjer nedekadskog brojevnog sustava. Moˇzete li opisati osnovne znaˇcajke binarnog brojevnog sustava?

Zbroj dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodan broj. Kaˇzemo da je skup prirodnih brojeva zatvoren s obzirom na zbrajanje. A je li zatvoren s obzirom na oduzimanje? Drugim rijeˇcima, je li razlika m − n dvaju prirodnih brojeva uvijek prirodni broj? Ne, razlika dvaju prirodnih brojeva od kojih je prvi manji ili jednak drugom nije prirodan broj. To je razlog za proˇsirenje skupa N negativnim cijelim brojevima i nulom.

Negativni cijeli brojevi su se “udoma´cili” u naˇsoj svakodnevnici. Njima zapisujemo temperaturu ispod niˇstice, visinu vodostaja rijeke koja je manja od one iskazane nulom, dubinu mora, stanje na teku´cem ili nekom drugom bankovnom raˇcunu itd. Prirodni brojevi zajedno s negativnim cijelim brojevima i nulom cˇine skup cijelih brojeva. Skup cijelih brojeva

Skup cijelih brojeva oznaˇcavamo sa Z :

Z = {. . . − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . .} 3

1

BROJEVI

Zadatak 1.

Nadmorska visina

OG LE DN IP RIM JE RA K

Mrtvo more je jezero povrˇsine 600 km2 . Nadmorska visina njegove povrˇsine iznosi −418 m . Dno jezera doseˇze −794 m . The Challenger Deep najniˇza je toˇcka na Zemlji, a nalazi se u Tihom oceanu na juˇznom dijelu Marijanske brazde na nadmorskoj visini −10 971 m . Najviˇsa toˇcka iznad razine mora je Mount Everest na granici Tibeta i Nepala. Njezina je nadmorska visina 8848 m.

Planinski vrh Chimborazo u Ekvadoru je najudaljenija toˇcka od srediˇsta Zemlje. Ta udaljenost iznosi 6384.4 km sˇ to je za oko 2 km udaljenije nego Mount Everest. Posljedica je cˇinjenice da Zemlja nije sfera ve´c je spljoˇstena na polovima, a Chimborazo je u blizini ekvatora. 1) Kolika je najve´ca dubina Mrtvog mora?

- nadmorskih visina najniˇze i najviˇse toˇcke na Zemlji? 2) Kolika je razlika izmedu

3) Kolika je udaljenost Mount Everesta od srediˇsta Zemlje?

Za radoznale

ˇ O NULI PRICA

Nula, naoko niˇsta neobiˇcno, broj kao i svaki drugi! Je li uistinu tako? Pogledajmo ove jednakosti:

a + 0 = a,

a · 0 = 0,

a − a = 0,

a0 = 1.

S nulom se ne smije dijeliti, uˇcimo joˇs u osnovnoj sˇ koli. A zaˇsto? Iz

a = b slijedi a = b · 0 , 0

pa imamo ove dvije mogu´cnosti:

(1) ako je a = 0 , onda je 0 = b · 0 i ta je jednakost ispunjena za svaki broj b . Dakle, dijeljenje je tada neodredeno. Rezultat dijeljenja je bilo koji broj b ;

(2) ako je a = 0 , jednakost a = b · 0 nije ispunjena niti za jedan broj b . Naime, s njezine lijeve strane je broj razlicˇ it od nule, a s desne nula. U ovom slucˇ aju dijeljenje nije definirano, ono nije mogu´ce.

Nula je cijeli broj. Ona nije prirodni broj po definiciji.

Prema nekim povjesniˇcarima matematike nulu su uveli Kinezi. Neki drugi pripisuju njezinu pojavu indijskim matematiˇcarima iz 6. st., od kojih potjeˇce i njezina suvremena oznaka. Njezin je naziv latinskog podrijetla (lat. nullus = nijedan).

4

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI

1.1

Kutak plus

GAUSSOVA DOSJETKA

OG LE DN IP RIM JE RA K

Danas, kad gotovo u svakom dˇzepu imamo kalkulator (ne zaboravite da ga imate i na svojem mobilnom telefonu) manje je vaˇzno raˇcunanje “napamet”, ali su dosjetke i snalaˇzljivost u raˇcunanju vjeˇstine koje c´e uvijek biti na cijeni. Jedna je takva, osobito popularna dosjetka vezana uz ime njemaˇckog matematiˇcara Carla Friedricha Gaussa (1777. – 1855.), cˇesto nazivanog princeps mathematicorum (lat. princem svih matematiˇcara). Kad je Gauss bio prvoˇskolac, njegov je uˇcitelj zadao uˇcenicima da izraˇcunaju zbroj ˇ prvih 100 prirodnih brojeva. Zelio ih je zaposliti na neko vrijeme kako bi imao malo mira, ali se nemalo iznenadio jer je ve´c nakon minutu-dvije Gauss dojavio da ima rjeˇsenje. Dobio ga je zdruˇzivˇsi brojeve u parove, prvi s posljednjim ( 1 + 100 ), drugi s pretposljednjim ( 2 + 99 ), tre´ci s pretpretposljednjim ( 3 + 98 ) itd. Takvih parova je 50, a zbroj dvaju pribrojnika u svakom paru je isti, iznosi 101. Konaˇcan je rezultat 50 · 101 = 5050 .

Opisani se Gaussov postupak moˇze proˇsiriti na zbroj ma koliko prvih prirodnih brojeva te se tako dobije:

Gauss kao osmogodiˇsnji djeˇcak

S(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n =

n(n + 1) . 2

Provjeri ovu jednakost za neke brojeve n .

Na isti naˇcin moˇzemo raˇcunati i zbroj prvih n parnih brojeva. No kad ve´c imamo izvedenu formulu za zbroj prvih n prirodnih brojeva, S(n) , moˇzemo postupiti i na ovaj naˇcin: 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = 2(1 + 2 + 3 + . . . + n) = 2 ·

n(n + 1) = n(n + 1). 2

Rijeˇsi zadatke:

1. 2. 3. 4.

Izraˇcunaj zbroj prvih n neparnih prirodnih brojeva. Koliko je 1 + 4 + 7 + . . . + 100 ?

Koliki je zbroj svih troznamenkastih brojeva koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 3? Zbroj prvih n prirodnih brojeva jednak je 3003 . Koliki je n ?

n(n + 1) je prirodan broj za svaki prirodni broj n . Zaˇsto? Kojom znamenkom moˇze taj broj zavrˇsavati? 2 Postoji li takav n za koji je 1 + 2 + 3 + . . . + n = 5555 ?

5. Broj

Bez rijeˇci

Sljede´ce sliˇcice ilustriraju Gaussovu dosjetku u geometrijskoj izvedbi. Moˇzete li je protumaˇciti? ˇ Zelite li se potanje pozabaviti ovom temom, upu´cujemo vas na www.element.hr/plus.

5

1

BROJEVI

Zadatci 1.1.

2.

Ispiˇsi: - cijelih bro1) sve cijele brojeve koji su izmedu jeva k − 1 i k + 5 ; 2) sve neparne cijele brojeve koji su ve´ci od 2k − 1 i manji od 2k + 7, gdje je k cijeli broj; 3) sve parne cijele brojeve ve´ce od 2k − 5 i manje od 2k + 1, gdje je k cijeli broj.

3.

Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke. Ako je Luki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica?

4.

Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnoˇzi s 4. Zatim oduzmi 4 pa dobiveni rezultat podijeli s 4. Koji je broj rezultat? ˇ primjePonovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto c´ujeˇs? Obrazloˇzi!

5.

Neka je d dan, a m mjesec rodenja tvojeg prijatelja. Evo kako c´eˇs odrediti koji je dan njegov rodendan. Zadaj mu neka provede sljede´ci raˇcun: — Podvostruˇci broj d. — Pomnoˇzi dobiveni rezultat s 10. — Dodaj 73. — Pomnoˇzi s 5. — Dodaj broj m. Neka ti sada prijatelj kaˇze rezultat koji je dobio. Oduzmi kriˇsom od tog rezultata broj 365 i dobit c´eˇs datum njegovog rodenja. Obrazloˇzi matematiˇcku pozadinu ovog op´ceg rjesˇ enja.

6.

6

1) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno slijedi iza prirodnog broja n . 2) Zapiˇsi prirodni broj koji neposredno prethodi prirodnom broju n − 2 . Kad zadatak ima rjeˇsenje? 3) Zapiˇsi broj koji je za 2 ve´ci od zbroja brojeva m i n. 4) Zapiˇsi broj koji je dvostruko ve´ci od razlike brojeva a i b . 5) Zapiˇsi broj koji je tri puta manji od umnoˇska brojeva a i b .

Konaˇcno, neka razlici doda iznos sitniˇsa u lipama koji ima u svojem dˇzepu (svakako neka je manji od 100). Nakon ovog raˇcuna zahtijevajte da vam kaˇze rezultat. Dodat c´ emo tom rezultatu 115 i oˇcitati: prve dvije znamenke su godine, a sljede´ce dvije iznos sitniˇsa u dˇzepu vaˇseg prijatelja. Moˇzete li razobliˇciti ovu “ˇcaroliju”?

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnoˇzi s 4. Tom broju neka doda 10 pa rezultat pomnoˇzi s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzme broj dana u neprestupnoj godini.

7.

8.

9.

Na polici se nalazi sˇ est svezaka Op´ce enciklopedije, poredanih slijeva udesno, jedan do drugog. Svaki svezak ima 515 stranica ne raˇcunaju´ci korice. 1) Koliko ukupno stranica ima Op´ca enciklopedija? - 313. stranice dru2) Koliko stranica ima izmedu gog sveska i 127. stranice petog? 3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili? 4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te se zaustavimo na broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili? - brojevima 1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva meduMedu sobno razliˇcita broja. Ispiˇsi sve dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj je zbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cˇega? Obrazloˇzi! Moˇzeˇs li provesti analogno zakljuˇcivanje za tri odabrana broja? Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x + y . Jednako je tako xyz = 100x + 10y + z . Broj 100 zapiˇsi povezuju´ci raˇcunskim operacijama 1) cˇ etiri jedinice; 2) cˇ etiri trojke; 3) cˇ etiri petice.

10. Ispiˇsi redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Poveˇzi te

brojeve znakovima + i − (koriste´ci ih ukupno triput) tako da dobijeˇs 100.

11. Zapiˇsi broj 100 uporabom svih 10 znamenki i uporabom cˇ etiriju osnovnih raˇcunskih operacija.

12. Rijeˇsi rebus: +

O A

H H

O A

H H

O A

A

H

A

H

A

H

PRIRODNI I CIJELI BROJEVI

13. Odredi cˇetiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj jednak 1 258 .

14. Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6 080 . Koji su to brojevi?

15. Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih bro16. Umnoˇzak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tih triju brojeva?

17. Koja je posljednja znamenka umnoˇska 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99?

18. S koliko nula zavrˇsava umnoˇzak 1·2·3·4·. . .·33 ? 19. Koja je posljednja znamenka umnoˇska prvih stotinu prostih brojeva?

20. Prepiˇsi, pa umjesto kvadrati´ca upiˇsi broj tako da dobijeˇs toˇcne jednakosti: 1) −11 + 2)

= −24 ;

− (−45) = 13 ;

3) 23 + 4)

= −1 ;

+ (−17) = −34 ;

5) 33 − (−44) = 6) −75 − 28 = 7) −61 + 8)

21. Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4)

−5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ; 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) ; (−12) · (−11) − (−10) · (−15) ; −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .

22. Raˇcunamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . .

OG LE DN IP RIM JE RA K

jeva jednak je 581. Koliki je zbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva?

1.1

;

;

= 77 ;

− (−111) = −205 .

Ako imamo konaˇcan broj pribrojnika, recimo n , koliki je rezultat ovog zbrajanja?

23. Najviˇsa ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabiljeˇzena je u Libiji 13.9.1922. Iznosila je 57.8 ◦ C ili 136 ◦ F . Najniˇza je izmjerena na Antarktici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je termometar pokazivao −89.2 ◦ C ili −128.6 ◦ F . - najniˇze i najviˇse tempeKolika je razlika izmedu rature ikad izmjerene na Zemlji? U Hrvatskoj je do sada najviˇsa izmjerena temperatura iznosila 42.8 ◦ C ili 109 ◦ F , a izmjerena je 5.8.1998. u Ploˇcama. Najniˇza temperatura izmˇ jerena je u Cakovcu 3.2.1929., a bilo je −35.5 ◦ C ili −31.5 ◦ F . - najviˇse i najniˇze izmjeKolika je razlika izmedu rene temperature u Hrvatskoj?

24. Arhimed je zˇ ivio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr.

Kr. To bismo jednostavnije mogli zapisati: Arhimed je zˇ ivio od − 287. do − 212. g. Koliko je godina poˇzivio Arhimemed? Odgovori na isto pitanje za sljede´ce matematiˇcare: Tales je zˇ ivio od − 620. do − 540. godine. Vitruvije je zˇ ivio od − 75. do 15. godine. Heron je zˇ ivio od 10. do 70. godine.

Iz zabavne matematike LEWIS CARROLL

Lewis Carroll, cˇuven po svojim knjigama o Alisi, pseudonim je Charlesa Dodgsona, engleskog matematiˇcara, profesora na Christ Churchu, najve´cem koledˇzu Sveuˇciliˇsta u Oxfordu. Carroll je rado zabavljao svoje prijatelje raznim igrama s brojevima. Evo jedne od njih: Igru igraju dva igraˇca. Polaze´ci od broja 1 oni naizmjence dodaju prirodne brojeve po volji, ali svaki puta ne ve´ci od 10. Pobjednik je onaj koji prvi dosegne broj 100. Kako treba igrati neki igraˇc kako bi pobijedio u ovoj igri?

7

1

BROJEVI

1.2. Racionalni brojevi

OG LE DN IP RIM JE RA K

Zbroj i razlika svakih dvaju cijelih brojeva cijeli je broj. I umnoˇzak svakih dvaju cijelih brojeva je cijeli broj. No koliˇcnik dvaju cijelih brojeva op´cenito nije cijeli broj. Skup cijelih brojeva nije zatvoren s obzirom na dijeljenje. Ta cˇinjenica name´ce potrebu za proˇsirenjem skupa cijelih brojeva. Tako dobivamo skup racionalnih brojeva.

Racionalni su brojevi koliˇcnici cijelih brojeva. Moˇzemo ih zapisivati u obliku razlomaka. Evo nekoliko primjera racionalnih brojeva: 1:2=

1 , 2

−3 : 4 =

−3 , 4

111 : 25 =

111 , 25

7 : (−33) =

7 . −33

Dijeljenje s nulom nije izvedivo pa u nazivniku razlomka ne smije biti nula. Svaki je cijeli broj ujedno i racionalan. Obrazloˇzi! Skup racionalnih brojeva

Koliˇcnik m : n dvaju cijelih brojeva m i n ( n = 0 ) jest racionalan m . Broj broj. Racionalan broj m : n zapisujemo u obliku razlomka n m je brojnik, a broj n nazivnik razlomka. Skup racionalnih brojeva oznaˇcavamo s Q .

Provedemo li razlomkom zadano dijeljenje cijelih brojeva, dobit c´emo racionalan broj zapisan u decimalnom obliku. Tako je primjerice

3 −17 315 17 = 0.3, = −2.125, = 9.84375, = −0.68. 10 8 32 −25 Svi navedeni primjeri konaˇcni su decimalni brojevi. Postoje i beskonaˇcni decimalni racionalni brojevi: 3 = 3 : 7 = 0.428571428571428571428571 . . . 7 1 = 1 : 3 = 0.3333333333333333333333333333333333 . . . 3 −10 = −10 : 11 = −0.90909090909090909090909090 . . . 11 Valja uoˇciti kako se u decimalnom zapisu svakog od triju navedenih brojeva uzastopce ponavlja skupina znamenki. U prvom primjeru to su znamenke 428571, u drugom je to znamenka 3, a u tre´cem su to znamenke 90. Kaˇzemo da su ovakvi brojevi periodiˇcki. Skupinu znamenki koja se uzastopce ponavlja zovemo period. Ovakve brojeve zapisujemo tako da navedemo sve znamenke jednog perioda, a nad prvu i posljednju znamenku stavimo toˇcku. To je, naravno, viˇse naˇcelno

8

RACIONALNI BROJEVI

1.2

nego praktiˇcno izvedivo rjeˇsenje jer period moˇze ponekad biti toliko velik da ga nema smisla navoditi. Brojeve koji su odabrani za primjere zapisujemo: ˙ ˙ ˙ ˙ 0.42857 1, 0.3, −0.9˙ 0.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Zbog cˇega pri decimalnom zapisu racionalnog broja dolazi do ponavljanja skupine znamenki? Odgovor na ovo pitanje bit c´e sasvim jasan provedete li pisano dijeljenje (ne dijeljenje dˇzepnim raˇcunalom ili bilo kakvim sliˇcnim pomagalom) brojnika i nazivnika u danom razlomku: 26 : 111 = 0.234 260 380 470 26

U ovom trenutku doˇsli smo do poˇcetne pozicije. Ako nastavimo dijeljenje, u koliˇcniku c´e se ponavljati niz znamenki 234. Bez obzira je li decimalni zapis nekog racionalnog broja konaˇcan ili beskonaˇcan, taj je zapis potpuno poznat i moˇze se odrediti bilo koja njegova znamenka.

Primjer 1.

Koja je znamenka na 1001. mjestu iza decimalne toˇcke u decimalnom 3 zapisu broja ? 7

3 ˙ Vidjeli smo da je = 0.42857 1˙ , tj. uzastopce se ponavlja skupina od 6 7 znamenki. Podijelimo li 1001 sa 6, dobit c´emo koliˇcnik 166 i ostatak 5. Stoga c´e se skupina od 6 navedenih znamenki izredati 166 puta i potom c´e slijediti joˇs pet znamenki. Zakljuˇcujemo da je 1001. po redu znamenka 7.

Zadatak 1.

Koja je znamenka u broju

0.123456789101112131415 . . .

na 77. mjestu iza decimalne toˇcke? Je li taj broj racionalan? Obrazloˇzi!

9

1

BROJEVI

Jednakost racionalnih brojeva Prirodno se name´ce pitanje: Kad su dva racionalna broja (razlomka) jednaka? Jednakost racionalnih brojeva

OG LE DN IP RIM JE RA K

a c Racionalni brojevi (razlomci) i jednaki su ako i samo ako je b d umnoˇzak a · d jednak umnoˇsku b · c :

c a = ⇐⇒ a · d = b · c b d

Primjer 2.

Zadatak 2.

Obrazloˇzimo jednakosti:

−45 5 = ; −108 12

1)

2 6 = ; 3 9

1)

2 6 = , jer je 2 · 9 = 3 · 6 . 3 9

2)

−45 5 = , jer je −45 · 12 = 5 · (−108). −108 12

3)

−4 −20 = jer je (−4) · 35 = (−20) · 7 . 7 35

2)

3)

−4 −20 = . 7 35

Odredi broj x tako da vrijedi: 1)

15 35 = ; x 42

2)

5 20 = ; 12 x+1

3) −

3 12 = . 8 x

−2 2 −2 = jer je (−2) · (−5) = 5 · 2 . Oba broja, i i 5 −5 5 2 2 zapisujemo kao − , te su takvi brojevi negativni racionalni brojevi: −5 5 −2 2 2 = =− . 5 −5 5

Primijetimo da vrijedi

10

RACIONALNI BROJEVI

1.2

Kra´cenje i prosirivanje ˇ razlomaka a i svaki broj m razliˇcit od nule vrijedi: b a·m a = . b·m b

OG LE DN IP RIM JE RA K

Za svaki racionalni broj

Ovu jednakost lako je provjeriti. Ona izravno slijedi iz definicije jednakosti razlomaka i svojstava mnoˇzenja cijelih brojeva: (a · m) · b = a · (b · m). Proˇsirivanje i kra´cenje razlomka

proˇsirivanje

←

a a·m = b·m b

→

kra´cenje

ˇ Istaknutu jednakost moˇzemo cˇitati dvostrano. Citamo li je zdesna u lijevo, tada je rijeˇc o proˇsirivanju razlomka, a cˇitamo li je slijeva u desno, tada govorimo o kra´cenju razlomka.

Primjer 3.

Svaki se racionalni broj moˇze kra´cenjem dovesti na oblik u kojem brojnik i nazivnik nemaju zajedniˇckih djelitelja. 4 2·2 2 = = , 6 3·2 3

−

21 3·7 3 =− =− . 28 4·7 4

Od dvaju razlomaka, cˇiji su nazivnici jednaki prirodni brojevi, ve´ci je onaj koji ima ve´ci brojnik. Tako se proˇsirivanje razlomaka moˇze koristiti i za usporedbu razlomaka.

Primjer 4.

Koji je broj ve´ci, x =

3 4 ili y = ? 8 11

Da bismo ih mogli usporediti, brojeve svodimo na zajedniˇcki nazivnik: 3 3 · 11 33 4 4·8 32 x= = = , y= = = . 8 8 · 11 88 11 11 · 8 88 Vidimo da je x > y .

Zadatak 3.

Poredaj po veliˇcini brojeve:

4 14 5 2 7 23 , , , , , . 5 15 6 3 10 30

11

1

BROJEVI

Operacije s racionalnim brojevima

OG LE DN IP RIM JE RA K

Pri zbrajanju racionalnih brojeva razlomke svodimo na zajedniˇcki nazivnik. U tu svrhu moˇzemo uzeti umnoˇzak nazivnika kao zajedniˇcki nazivnik: a c a·d b·c ad + bc + = + = . b d b·d b·d bd Raˇcunaju´ci ovako uvijek c´ emo dobiti ispravan rezultat, ali brojnik i nazivnik dobivenog razlomka vrlo cˇesto c´e se mo´ci skratiti: 5 3 5·8+3·6 58 29 + = = = . 6 8 6·8 48 24 Jednostavniji se raˇcun dobiva ako za zajedniˇcki nazivnik odaberemo najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik nazivnika. U ovom primjeru za zajedniˇcki nazivnik moˇzemo uzeti V(6, 8) = 24 : 5 3 5·4+3·3 29 + = = . 6 8 24 24 Oduzimanje racionalnih brojeva vrˇsimo na analogan naˇcin. Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva

a c ad + bc + = , b d bd

a c ad − bc − = b d bd

Prisjetimo se joˇs definicije umnoˇska i koliˇcnika racionalnih brojeva: a c ac · = . b d bd Posebno, primijetimo da vrijedi a b a·b · = = 1. b a b·a b a Broj nazivamo reciproˇcnim brojem broja i oznaˇcavamo s a b  −1 b a . = a b

Dakle, reciproˇcni broj zadanog racionalnog broja ima zamijenjen brojnik i nazivnik. Primijetimo da je b a =1: . a b

Dijeljenje racionalnih brojeva zato se svodi na mnoˇzenje reciproˇcnim brojem: a c a d ad : = · = . b d b c bc

12

RACIONALNI BROJEVI

1.2

Mnoˇzenje i dijeljenje racionalnih brojeva

a c a d ad : = · = b d b c bc

OG LE DN IP RIM JE RA K

a c ac · = , b d bd

Koliˇcnik dvaju razlomaka moˇze se zapisati u obliku dvojnog razlomka: a a c ad b : = c = . b d bc d Pritom a i d nazivamo vanjskim, a b i c unutarnjim cˇlanovima dvojnog razlomka. Ovo pamtimo kao pravilo: razlomci se dijele tako da se prvi razlomak pomnoˇzi reciproˇcnim razlomkom drugog.

Povijesni kutak

ARITHMETIKA HORVATSZKA – prvi udˇzbenik matematike na hrvatskom jeziku

- pod ˇ Arithmetika horvatszka, sve´cenika Mihalja Siloboda-Bolˇ si´ca (Podgrade Oki´cem 1724. – Sv. Nedelja 1787.) mali je priruˇcnik pisan kajkavskim narjecˇjem i tiskan u Zagrebu 1758. g. Od cˇetiriju ve´cih dijelova, prva tri se bave brojevima i operacijama s njima dok cˇetvrti sadrˇzi praktiˇcne raˇcune vezane uz trgovinu, dugovanja, troˇskove i sl. Knjiˇzica je u puku bila vrlo popularna pa ˇ se u ono doba nevjeˇzi u raˇcunanju govorilo “neka se primi Siloboda”, a ako je ˇ netko bio vjeˇst u raˇcunu pohvalili bi ga da “raˇcuna kao Silobod”. Knjiˇzica je sadrˇzavala i nekoliko zagonetki. Jednu od njih, u izvornom obliku vidite na slici dolje. Tu je odmah dano i rjeˇsenje. Pokuˇsajte ovu zagonetku proˇcitati s razumijevanjem.

ˇ Dodajmo joˇs kako je godine 1766. franjevac Mate Zoriˇci´c, objavio svoju Aritmetiku, knjiˇzicu vrlo sliˇcnu Silobodovoj. Obje aritmetike namijenjene su sˇ irokom puku koji je u raˇcunu bio potpuno neuk sˇ to je, kako piˇse Zoriˇci´c, glavno zlo i uzrok siromaˇstva i bijede u narodu.

13

1

BROJEVI

Zadatci 1.2. 2. 3.

5 5 3 15 prikaˇzi u obliku deciRazlomke , , , 2 4 8 16 malnog broja. Brojeve 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.75 , 0.625 prikaˇzi u obliku razlomka.

1)

x 1 = ; 5 20

2)

x 1 x 5 = − ; 3) − = ? 6 3 24 6

2 , 66 % , 0.666 , Poredaj po veliˇcini brojeve: 3 0.6˙ . 1 ˙ koliko je 1 ? = 0.3, 3 30 6 2 ˙ ˙ Ako je = 0.285714, koliko je 2 ? 7 7

16. Za koji je broj x ispunjena jednakost

9+x 2 = ? 15+x 3

17. Za koji je broj x ispunjena jednakost

123−x 5 = ? 101+x 9

15 oduz32 4 memo isti broj x , dobit c´ emo razlomak . Ko21 liki je x ?

4.

Ako je

18. Ako od brojnika i nazivnika razlomka

5.

Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog broja: 5 3 5 6 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6 11 13 7

19. Ako brojniku razlomka

6.

Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne toˇcke u decimalnom zapisu svakog od cˇ etiriju brojeva iz prethodnog zadatka?

7.

Odredi 303. znamenku u dec. zapisu broja

15 . 37

8.

Odredi 777. znamenku u dec. zapisu broja −

111 . 11

9.

Odredi 1500. znamenku u dec. zapisu broja

3 . 13

10. Za koje su cijele brojeve a brojevi a a+2 , 2 racionalni? 2a − 10 a − 4

a+2 1 , , a a(a − 3)

11. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak 6 cijeli broj. n+1

12. Za koje je cijele brojeve n razlomak broj?

6 cijeli n−1

13. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak n+2 cijeli broj. n−2

1)

2 x = ; 12 3

2)

113 dodamo neki broj, a 212 isti taj broj oduzmemo od nazivnika, dobit c´ emo 2 razlomak . O kojem se broju radi? 3

20. Skrati razlomke:

105 1155 ; 2) ; 168 5775 3 333 333 135 135 4) ; 5) . 5 555 555 234 234

1)

3)

3 x = . 7 21

6 930 ; 12 870

3 11 19 17 67 , , , , ; 4 12 24 18 72 3 13 29 2) , 0.7˙ , , 0.7 , ; 4 16 32 3 11 19 17 67 3) − , − , − , − , − . 4 12 24 18 72 1)

22. Ako je a = 0.3˙ , b = 0.25 , koliko je a + b, a · b,

a ? b

1 , a2 , a

1 1 1 1 1 1 + = 1, + = 2, + = 5, a b b c c a koliko je a + b + c ?

23. Ako je

1 n

4 2 = ; x 5

3)

21. Poredaj po veliˇcini brojeve:

24. Primjenjuju´ci jednakost −

14. Odredi prirodni broj x tako da vrijede jednakosti:

14

15. Za koji cijeli broj x vrijedi:

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

1 1 = n+1 n · (n + 1)

izraˇcunaj: 1 1 1 1 + + + ...+ . 1·2 2·3 3·4 99 · 100

RACIONALNI BROJEVI

1 1 1 1 + + + ...+ . 1·3 3·5 5·7 99 · 100

 4  3  1 · −2 − 0.2 : − ; 1.6 − 5 4 5   4  5 4 − 1.8 : −1 + 0.1 · − ; 2) 5 5 9        2 2 3 2 − 1+ : 1.25 − 1 ; 3) : 0.75 − 2 3 3 3       3 1 2 7 4) − 1.2 1 + 1 : −3 . : 2.5 − 5 2 5 8

27. Izraˇcunaj:

2 3 2 7 1 + − − 7 1) 3 12 4 − 4 5 − ; 3 1 3 4 2 − − 4 2 2 5 2 8 1 4 8 − − 3− 3 − 3 2 −1+ 3 ; 2) 3 15 − 4 2 2 5 20 2 3 1 1 3 − + : 2 − · 4; 3) 5 20 10  2 + 3 1 1 20 25 + − ·5 20 10 8 2  3  11 13 7 − + 2− : 1+ 5 2 7 5 ; 4)  : 7   4 2 13 5 1 :4+ : 1− : 2− 5 3 2 7 7 5  3  16 5  7 13  − + + − : 4 3 12 8 2 . 5) 2     5 3 3 15 5 7 + · − + − ·9 12 4 2 14 4 6

28. Izraˇcunaj:

4 + 0.59 1)  25 ;  3 − 0.15 : 4 4 3

29. Izraˇcunaj: 1)

2+

OG LE DN IP RIM JE RA K

26. Izraˇcunaj: 1)

 5 3 5 3 − 0.8 · − + 0.5 + · 0.6 2 3 4 3 ; 2) 3 2 + 0.875 −  2 3 5 3 2 0.9− −0.7 · 16+0.4− 2.1− − 6 5 3)  4  9 3 2 . 4 3 6 +0.9−1.2 · − : 1.2 : + 5 4 7 7 5 

25. Izraˇcunaj:

1.2

7 : 0.125 + 3.5 2) 24 . 2 − 0.25 3

 2 3 5

2  5  · − 0.25+ · 0.75− · : 3; 1.5+ 5 3 3 20 4

30. Izraˇcunaj: 1)

2)

3)

4)

5)

1 2  7 5 2  7 3 2 − − : − ; 4 10 3 6 10 5  1 3 2  3 2 2  15 25 2 2+ − − − · − : 4; 4 2 2 3 2 4  3 1 2  1 1 2  1 2 − − − ; : 1+ 2 4 2 4 2  5 5 2  2   5 7 2 15 10 − · ; · 2+ − − · 3 4 5 6 10 4 7  11 1 2 12  8 

2 2 15 7 − − − : . · · 12 2 5 15 5 4 5

1

−

31. Izraˇcunaj:

⎞ 1 1 1 − ⎟ 2 3 ⎜ 0.75 2 ; 1) ⎝ : · ⎠ 2 1 1 1.4 1 − 1.2 − 3 3 4 ⎛ ⎞ 1 3 3+ 1− ⎜ 0.875 ⎟ 4 3. 2) ⎝ : ⎠· 1 1 1.2 3.2 − 1 1+ 3 4 ⎛

3+1

32. Izraˇcunaj x iz sljede´cih jednakosti, primjenjuju´ci svojstva osnovnih raˇcunskih operacija s racionalnim brojevima:

1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 ; 32 = (2x−48):2.4 ; 2) (184+x): 5  4  3) 1 : 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) ; 5 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 ; 5) 1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 ; 6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 ; 7) −1.2 · (0.3 + x) = −3.6 ; 10 = 1; 8) [(8x + 24) : 5] : 4 + 6   (100−3x)·4 9) 208 : 112− = 2; 23

15

1

BROJEVI

5 8 = 1; 10) 1 8 −2 0.625 · 25 5   (145−24x):5 11) +24 : 5 = 5 ; 29 4 3 3 15 12) − 1 = 5.625 . 3 8 (5.5 + x) : 21 7 33. Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko je a + 2b − 3c ? 3a − 2b + c (x − 11.875) :

Koje su od sljede´cih tvrdnji toˇcne, a koje netoˇcne? Odgovori, a odgovor obrazloˇzi.

1. Za bilo koji cijeli broj n brojevi n + 2 ,

OG LE DN IP RIM JE RA K

34. Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7 : 8.

Toˇcno-netoˇcno pitalice

35. Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ?

36. Ako su veliˇcine kutova u trokutu u omjeru 1 : 3 : 4 , koliki je najve´ci kut trokuta?

37. Mjere unutarnjih kutova cˇ etverokuta u omjeru su

1 : 2 : 3 : 4 . Kolika je mjera najmanjeg kuta ovog cˇ etverokuta?

38. Ako su a , b i c duljine stranica trokuta i ako je

a : b = 5 : 4 , a : c = 3 : 5 , a opseg trokuta iznosi 156 cm, kolika je duljina najkra´ce stranice ovog trokuta?

39. Broj 2 400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.

40. Broj 697 podijeli na tri dijela, a, b i c tako da je

n + 4 i n + 6 su tri uzastopna parna cijela broja.

2. Zbroj neparno mnogo neparnih cijelih brojeva je neparan broj, a zbroj parno mnogo neparnih cijelih brojeva je paran broj.

3. Broj n omjer je dvostrukog zbroja i umnoˇska brojeva a i b . To moˇzemo zapisati 2(a + b) . u obliku n = ab

4. Postoji ukupno 10 cijelih brojeva za koje je razlomak

15 cijeli broj. n+1

5. Za svaki broj a = 0 broj 0 : a nije definiran, a vrijedi a : 0 = 0 .

6. Brojevi a = brojevi.

4 i b = −0.3˙ 6˙ suprotni su 11

7. Brojevi m = 40 i n = 0.25 medusobno su reciproˇcni.

8. Zbroj svih znamenki u jednom periodu decimalnog zapisa broja

a : b = 3 : 4 i b : c = 3 : 5.

41. Opseg oranice iznosi 2 800 metara. Kolike su

9. U decimalnom zapisu razlomak 1

duljina i sˇ irina oranice ako su u omjeru 5 : 9 ?

42. Za 1.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koli-

ko treba vremena da bi se napunilo 0.9 obujma bazena?

43. Nakon 12 minuta gorenja duljina svije´ce smanji

se s 30 cm na 25 cm. Nakon koliko c´e vremena svije´ca dogorjeti?

44. Ako su od 70 proizvoda 3 s greˇskom, koliko se proizvoda s greˇskom moˇze oˇcekivati u 840?

45. U jednom razredu na pismenom ispitu iz matematike 1/ 3 uˇcenika nije rijeˇsila jedan zadatak, 1/ 4 nije rijeˇsila po dva zadatka, 1/ 6 po po tri zadatka, a 1/ 8 sva cˇetiri zadatka. Koliko je uˇcenika toˇcno rijeˇsilo sve zadatke ako je u razredu manje od 30 uˇcenika?

16

1 jednak je 2. 11

1+

1

1+

1

1+

1 2

je konaˇcan decimalni broj.

10. Zbroj triju uzastopnih prirodnih brojeva djeljivih s 3 jednak je 333. Najve´ci od tih brojeva je 111.

11. Umnoˇzak triju uzastopnih prirodnih bro-

jeva jednak je 1320. Zbroj tih brojeva jednak je 33.

12. Broj n pri dijeljenju sa 7 daje koliˇcnik 21

i ostatak 3. Zbroj znamenki broja n je 6.

REALNI BROJEVI

1.3

1.3. Realni brojevi

OG LE DN IP RIM JE RA K

Iracionalni brojevi

2

Postoje brojevi koji nisu racionalni, koje nije mogu´ce predoˇciti kao koliˇc√ nik dvaju √ cijelih brojeva. Takvi se brojevi zovu iracionalni brojevi. Brojevi 2 , 3, √ 5 i π primjeri su iracionalnih brojeva. Povijest iracionalnih brojeva seˇze do pred kraj staroga vijeka. Pitagora i njegovi uˇcenici suoˇcili su se s cˇinjenicom da racionalni brojevi ne mogu dati odgovor na neka pitanja sˇ to se pojavljuju u geometrijskim problemima. Tako primjerice nisu imali odgovor na jednostavno pitanje: kolika je toˇcno duljina dijagonale kvadrata sa stranicom duljine 1? √ Danas znamo odgovor. Zapisujemo ga kao 2 i zovemo drugi korijen od 2.

1

1

Sama pomisao da postoje brojevi koji nisu racionalni u ono bi doba bila bogohulna i uzdrmala bi temelje Pitagorina uˇcenja. Legenda kaˇze da je jednog Pitagorina uˇcenika samo naslu´civanje kako postoje neracionalni brojevi koˇstalo glave jer su ga bogovi kaznili morskom olujom tijekom koje je potonuo zajedno sa svojom barkom i svojom idejom.

U praktiˇcnim raˇcunima iracionalne brojeve mijenjamo njihovim pribliˇznim vrijednostima, dakle racionalnim brojevima. Kolika √ bi bila duljina dijagonale kvadrata √ s prethodne slike? Najˇceˇsc´e uzimamo 2 ≈ 1.41 , dˇzepno raˇcunalo daje 2 ≈ 1.414213562 , a mogli bismo po potrebi odrediti i ve´ci broj decimala.

F5 F2 F6 F4 F1 F3 Tools Algebra Calc Other Prgm10 Clean up

p MAIN

3.141459265359

RAD AUTO

FUNC

1/30

Osobito je zanimljiv iracionalan broj π . O njemu c´e joˇs biti podosta govora, a sada samo spomenimo kako pri raˇcunanju opsega ( o = 2rπ ) ili povrˇsine ( P = r2 π ) kruga s polumjerom r uzimamo π = 3.14 , a zapravo bi bilo ispravnije pisati π ≈ 3.14 , jer se radi o pribliˇznoj vrijednost tog broja. Dˇzepna raˇcunala pruˇzaju znatno precizniju vrijednost. Matematiˇcarima je poseban izazov prona´ci razlomak koji je sˇ to bliˇzi ovom cˇudesnom broju. Vrlo je poznato jednostavno rjeˇsenje koje se pripisuje Arhimedu: 22 = 3.142857 . . . 7

U tom prikazu prve dvije su decimale iste kao prve dvije decimale broja π . Evo joˇs jednog rjeˇsenja koje bi nakon dijeljenja brojeva u brojniku i nazivniku dalo decimalni broj u kojem se prvih 25 decimala podudara s prvih 25 decimala broja π 1 019 514 486 099 146 = 3.1415926535897932384626433787996 . . . 324 521 540 032 945

17

1

BROJEVI

Kutak plus

KORIJEN IZ 2 NIJE RACIONALAN BROJ √

2 nije racionalan. Dokaˇzimo ovu tvrdnju.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Broj

√ Kad bi 2 bio racionalan broj, mogli bismo ga zapisati u obliku koliˇcnika dvaju prirodnih brojeva. Pa uzmimo da √ m , gdje su m i n prirodni brojevi (jer je 2 pozitivan broj). on to jest, da ga moˇzemo zapisati u obliku razlomka n - moˇzemo pretpostaviti da m i n nisu oba parna. Kad bi oni bili takvi, kratili bismo ih sve dok to moˇzemo, dok Takoder barem jedan od njih ne bude neparan. √ m m2 = 2 i dobijemo 2 = 2 , odnosno m2 = 2n2 . Zakljuˇcujemo da je m2 paran broj. No, n n onda je i m paran. (Zaˇsto?) Dakle, n je neparan. Zapiˇsimo m = 2k pa je 4k2 = 2n2 , odnosno n2 = 2k2 . Slijedi n2 je paran broj, pa je time i n paran. Kvadriramo jednakost

No prirodni je broj √ n ili paran ili neparan; ne moˇze biti jedno i drugo. Do√ovog proturjeˇcnog zakljuˇcka dovela nas je pretpostavka da je 2 racionalan broj. Stoga je ta pretpostavka kriva, tj. 2 nije racionalan broj.

RACIONALNI BROJEVI BLISKI KORIJENU IZ 2 Broj

√

2 rjeˇsenje je jednadˇzbe x2 = 2 , koju moˇzemo napisati kao (x − 1)(x + 1) = 1 ili x − 1 =

x= 1+

1 . Odavde slijedi 1+x

Time dobivamo izraze

1 1+ , 2

x=1+

1+

1 = 1+ 1+x

1

1 2+ 2

,

1+

1

1 2+ 1+x 1

2+

,

1

2+

=1+

1+

1 2

Napiˇsi ih u obliku racionalnog broja i usporedi njihove vrijednosti u odnosu na brojeva dobivenih po istom principu.

1

2+

...

1

2+

1 1+x

1

2+

√

...

1

2+

1 pa je x+1

1

1+

1 2

2 . Izraˇcunaj joˇs nekoliko sljede´cih

ˇ ´ DZEPNOG ˇ ˇ KAKO SE KORIJEN BROJA 2 RACUNA S POMOCU RACUNALA?

Svako dˇzepno raˇcunalo ima tipku za raˇcunanje drugog korijena. „ Kojim « se postupkom taj korijen odreduje? Uvjerimo 1 C se da se jednadˇzba x2 = C moˇze napisati u obliku x = x+ . Odaberimo ovdje C = 2 , no moˇzemo raˇcun 2 x „ « 2 1 2+ = 1.5 . napraviti i za bilo koji drugi C . Krenimo od x = 2 sˇ to c´emo uvrstiti zdesna: x = 2 2 Ponovimo li postupak s ovom vrijednoˇsc´u za x , pa onda ponovno s novoizraˇcunatima, dobit c´emo „ « „ « 1 2 1 2 ˙ ˙ x= 1.5 + = 1.416, x= 1.416 + = 1.414215686 . . . 2 1.5 2 1.416˙ √ Izraˇcunaj sljede´cu vrijednost i usporedi je s decimalnim prikazom broja 2 .

18

REALNI BROJEVI

1.3

Realni brojevi Svaki je prirodni broj ujedno i cijeli broj. Kaˇzemo da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Svaki je cijeli broj racionalan pa kaˇzemo da je skup cijelih brojeva podskup skupa racionalnih brojeva. Dakako, i svaki je prirodni broj (jer je cijeli) racionalan. Udruˇzeni u jedan skup, racionalni i iracionalni brojevi cˇine skup realnih brojeva. Skup realnih brojeva oznaˇcavamo s R .

Medusobni odnosi skupova brojeva mogu se zorno prikazati dijagramom u kojem je skup zapisan na niˇzoj razini podskup skupa sˇ to je na viˇsoj razini i s kojim je povezan crtom. Pozorno razmotrite sliku i protumaˇcite je.

R

Q

I

Z

N

Skup realnih brojeva

Skup realnih brojeva R sastoji se od racionalnih i iracionalnih brojeva. Svaki realni broj a moˇzemo prikazati u (konaˇcnom ili beskonaˇcnom) decimalnom prikazu: a = a0 .a1 a2 a3 . . . pri cˇemu je a0 cijeli broj, a a1 , a2 , a3 . . . neke od znamenki 0, 1, 2, . . . , 9.

Operacije s realnim brojevima

ˇ Cetiri su temeljne operacije s realnim brojevima: zbrajanje, oduzimanje, mnozˇ enje i dijeljenje. Opiˇsimo osnovna svojstva koja imaju te operacije. Posebno c´emo obratiti pozornost na svojstva operacija zbrajanja i mnoˇzenja.

Prvo svojstvo, komutativnost, kaˇze da se dva broja mogu zbrojiti ili pomnoˇziti u bilo kojem poretku. Za bilo koja dva realna broja a i b vrijedi

a + b = b + a,

ab = ba.

Svojstvo asocijativnosti govori o zbrajanju ili mnoˇzenju triju brojeva. Tri se broja mogu zbrojiti ili pomnoˇziti, ne mijenjaju´ci im poredak, na dva razliˇcita naˇcina. Rezultat c´e biti isti. Dakle, za bilo koja tri realna broja a , b i c vrijedi

(a + b) + c = a + (b + c),

(ab)c = a(bc). 19

1

BROJEVI

Primjer 1.

Zbog svojstava asocijativnosti i komutativnosti dozvoljeno je zbrojeve i umnoˇske od triju (ili viˇse) cˇlanova pisati bez zagrada i raˇcunati bilo kojim poretkom! Utvrdi koja smo svojstva i koji poredak koristili u ovom raˇcunu:

OG LE DN IP RIM JE RA K

117 + 149 + 13 = 117 + 13 + 149 = 130 + 149 = 279; 144 + 373 + 156 = 144 + 156 + 373 = 300 + 373 = 673; 45 · 7 · 2 = 45 · 2 · 7 = 90 · 7 = 630.

Sljede´ca svojstva zbrajanja i mnoˇzenja realnih brojeva tiˇcu se dvaju istaknutih brojeva, 0 (nule) i 1 (jedinice). Za bilo koji realan broj a vrijedi

a + 0 = a,

a · 1 = a.

Kaˇzemo da je 0 neutralni element za zbrajanje, a jedinica je neutralni element za mnoˇzenje.

Zbroj brojeva 2 i −2 jednak je nuli. Op´cenito, za svaki broj a postoji realni broj, koji oznaˇcavamo s −a , takav da zbrojen s a daje nulu:

a + (−a) = 0.

Broj −a nazivamo suprotni broj broju a .

Suprotan broj broju 0 je opet 0, dakle −0 = 0 . 0 je jedini broj s tim svojstvom: ako za neki realni broj a vrijedi a = −a , onda mora biti a = 0 . Ne smijemo brkati suprotni broj s negativnim brojem! Ako je a negativan realni broj, onda je njemu suprotan broj −a pozitivan! Primjerice, ako je a = −3 , onda je −a = −(−3) = 3 . Op´cenito je za bilo koji broj a ispunjeno

−(−a) = a.

Za radoznale

Je li broj −a pozitivan ili negativan?

Ovo pitanje povlacˇ i novo pitanje: reci mi kakav je a pa c´ u ti odgovoriti kakav je −a . Ako je a pozitivan, −a je negativan, a ako je a negativan, onda je −a pozitivan

20

REALNI BROJEVI

1.3

Oduzimanje realnih brojeva je isto sˇ to i zbrajanje sa suprotnim brojem:

OG LE DN IP RIM JE RA K

a − b = a + (−b). Primjer 2.

Vrijedi −(a + b) = −a − b . U to c´emo se uvjeriti tako da zbrojimo broj a + b s −a − b : a + b + (−a − b) = a + (−a) + b + (−b) = 0. Dakle, −a − b je suprotni broj za a + b , pa vrijedi −(a + b) = −a − b.

Za svaki broj a razliˇcit od nule postoji realni broj, koji c´emo oznaˇciti s a−1 , za koji vrijedi

a · a−1 = 1.

Broj a−1 nazivamo inverzni ili reciproˇcni broj broju a , a = 0 . Kako je 1 a · = 1 , zakljuˇcujemo da je reciproˇcni broj jednak a

1 a−1 = . a

Dijeljenje realnih brojeva svodi se na mnoˇzenje reciproˇcnim brojem. Ako su a i b realni brojevi, b = 0 , onda je

a:b=a·

1 . b

Svojstvo distributivnosti povezuje operacije zbrajanja i mnoˇzenja. Za sve realne brojeve a , b i c vrijedi:

a(b + c) = ab + ac.

Primjer 3.

U sljede´cim jednakostima koristili smo svojstvo distributivnosti:

29 · 17 + 71 · 17 = (29 + 71) · 17 = 100 · 17 = 1700, 42 · 37 + 33 · 37 + 25 · 37 = (42 + 33 + 25) · 37 = 100 · 37 = 3700.

21

1

BROJEVI

Svojstva zbrajanja i mnoˇzenja realnih brojeva

Operacije zbrajanja i mnoˇzenja realnih brojeva imaju sljede´ca svojstva: a · b = b · a.

OG LE DN IP RIM JE RA K

1. Komutativnost: a + b = b + a, 2. Asocijativnost: (a + b) + c = a + (b + c) ,

(a · b) · c = a · (b · c) .

3. Distributivnost (obostrana) mnoˇzenja prema zbrajanju: a · (b + c) = a · b + a · c , (a + b) · c = a · c + b · c .

4. Postojanje neutralnih elemenata, 0 (nule) za zbrajanje i 1 (jedinice) za mnoˇzenje: x + 0 = x, x · 1 = x. 5. Postojanje suprotnog broja i inverznog broja: 1 a + (−a) = 0 , a· =1 a

Zadatak 1.

(a = 0) .

Primjenjuju´ci svojstva zbrajanja i mnoˇzenja realnih brojeva, izraˇcunaj na sˇ to uˇcinkovitiji naˇcin: 3 4 · 0.24 · ; 4 6

1) 1.73 + 3.65 + 5.27 ;

2) −0.25 · 33 · 4 ;

4) 4.4 · 10.3 + 5.6 · 10.3 ;

5) 0.76 · 4.2 + 0.24 · 4.2 + 4.2 .

3)

Racunanje ˇ s realnim brojevima

Govorili smo o svojstvima raˇcunskih operacija s realnim brojevima. No ako su realni brojevi beskonaˇcni decimalni brojevi, osobito ako su iracionalni, kako s njima raˇcunati? Evo jednog primjera:

Primjer 4.

Kolika je povrˇsina kruˇznog odsjeˇcka ako je duljina polumjera kruga 6 cm, a srediˇsnji kut iznosi 120◦ ?

Povrˇsina odsjeˇcka jednaka je razlici povrˇsina kruˇznog isjeˇcka i povrˇsine trokuta ABS . Isjeˇcku pripada srediˇsnji kut od 120◦ , pa je njegova povrˇsina jednaka tre´cini povrˇsine kruga: Pi = 12π cm2 .

22

S

60

A

B

REALNI BROJEVI

1.3

OG LE DN IP RIM JE RA K

A povrˇsina trokuta ABS jednaka je povrˇsini jednakostraniˇcnog trokuta sa stranicom duljine r = 6 cm: √ P = 9 3 cm2 . Tada je povrˇsina odsjeˇcka jednaka √ Po = Pi − P = (12π − 9 3) cm2 . I zadatak je rijeˇsen. No rezultat, premda sasvim toˇcan, ne daje √ jasnu sliku o veliˇcini povrˇsine kruˇznog odsjeˇcka. Zato c´emo brojeve π i 3 zamijeniti njihovim priblizˇ nim vrijednostima. Te pribliˇzne vrijednosti ovise o tome koliku toˇcnost zˇ elimo posti´ci. U ovom primjeru razumno je procijeniti da je dovoljno √ raˇcunati s pribliˇznim vrijednostima π ≈ 3.14 i 3 ≈ 1.73 . Tada je √ Po = 12π − 9 3 ≈ 37.68 − 15.57 = 22.11 cm2 .

Pri raˇcunanju s realnim brojevima u pravilu raˇcunamo s njihovim pribliˇznim vrijednostima. Valja biti svjestan da tako radimo i kad pri raˇcunu rabimo dˇzepno raˇcunalo, samo sˇ to se onda brojevi uzimaju s boljim pribliˇznim vrijednostima.

Uzmimo naˇs prethodni primjer. Uz pomo´c dˇzepnog raˇcunala raˇcun bi izgledao ovako: √ Po = 12π − 9 3 ≈ 12 · 3.141592654 − 9 · 1.732050808 = 37.69911184 − 15.58845727 = 22.11065457 cm2 .

Usporedimo li ovaj s prethodno dobivenim rezultatom, vidimo da i nema velike razlike.

Brojevni pravac

Cijele brojeve moˇzemo slikovito prikazati na brojevnom pravcu. Taj prikaz nalikuje na prikaz ljestvice termometra. Povucimo horizontalni pravac i odaberimo na njemu jednu istaknutu toˇcku O kojoj pridruˇzimo broj 0. Nekoj toˇcki E desno od nje pridruˇzimo broj 1. Duˇzina OE naziva se jediniˇcna duˇzina, njezina je duljina jedinica mjere. Nanoˇsenjem jediniˇcne duˇzine desno od toˇcke E odredit c´emo poloˇzaj prirodnih brojeva. Ako tu istu duˇzinu nanosimo lijevo od toˇcke O , odredit c´emo poloˇzaj negativnih cijelih brojeva. Tako je udaljenost izmedu svakih dvaju uzastopnih cijelih brojeva jednaka jediniˇcnoj duljini.

-2

-1

O

E

0

1

2

3

23

1

BROJEVI

Ako je temperatura u nekom trenutku bila 0 ◦ C , pa je narasla na 1 ◦ C , tada - toˇcaka je zˇ iva u termometru u meduvremenu poprimila sve vrijednosti izmedu oznaˇcenih s 0 i 1. Kojim brojevima odgovaraju te toˇcke?

OG LE DN IP RIM JE RA K

Pokuˇsajmo odgovoriti na ovo pitanje. Tako se, npr., na polovini udaljenosti izme- 0 i 1 nalazi broj 1 . Podijelimo li jediniˇcnu duˇzinu na pet jednakih dijelova, du 2 1 2 3 4 tada djeliˇsnim toˇckama odgovaraju brojevi , , i . 5 5 5 5 O

2 3

-1

1 5

0

4 5

3 5

2 5

E

2

1

1 2

Gdje se na brojevnom pravcu nalaze racionalni brojevi? Ako su brojevi m i m n prirodni, onda c´emo smjestiti ovako: jediniˇcnu duˇzinu podijelimo na n n jednakih dijelova, i zatim nanesemo m takvih duˇzina udesno, poˇcevˇsi od broja 0. Ako je m negativan, onda duˇzine nanosimo lijevo od broja 0. m

5 3

0

-1

1 n

m n

1 n

Ho´cemo li racionalnim brojevima ispuniti cijeli brojevni pravac? √ √ Konstruirajmo duˇzine s duljinama 2 i 3 . Nanesemo li te duˇzine na√brojevni √ pravac, dobit c´emo toˇcke koje ne odgovaraju racionalnom broju, jer 2 i 3 nisu racionalni. Na slici vidimo √ jednu praktiˇcnu konstrukciju kojom na brojevni pravac smjeˇstamo brojeve oblika n , n ∈ N .

1

0

1

2

3

2

5

Svakom realnom broju odgovara jedna toˇcka na brojevnom pravcu. Isto tako, svakoj toˇcki brojevnog pravca odgovara jedan realni broj. Zato moˇzemo poistovjetiti toˇcke brojevnog pravca s realnim brojevima. Tako i cijeli brojevni pravac nazivamo joˇs realni pravac ili realna os.

24

REALNI BROJEVI

1.3

Povijesni kutak

OG LE DN IP RIM JE RA K

BROJEVI Prirodni brojevi nastali su iz praktiˇcne potrebe za prebrajanjem – koliˇcinskom opisivanjem i vrednovanjem konaˇcnih skupova. Taj je proces trajao tisu´clje´cima, gotovo tijekom cˇitave ljudske povijesti. U davno doba prebrajanje se provodilo pridruˇzivanjem i usporedivanjem broja elemenata nekog skupa sa skupom kamenˇci´ca ili sitnih predmeta izradenih od gline. Zanimljivo je primijetiti kako se viˇsa matematika, ona koja se uˇci na prvim godinama studija, u engleskom govornom podruˇcju zove Calculus, sˇ to potjeˇce od latinskog calculus – kamenˇci´c.

Sustav “zapisivanja” koliˇcina tijekom vremena se unaprjedivao pa su se primjerice nekoliko tisu´clje´ca prije Krista na Bliskom istoku u tu svrhu rabili mali glineni predmeti raznih oblika i veliˇcine. Koliko je ovaj sustav bio sloˇzen govori i podatak da se krajem 4. tisu´clje´ca pr. Kr. rabilo 300 razliˇcitih figurica. Joˇs se jedan naˇcin prebrajanja razvijao tijekom povijesti, a sastojao se u pridruˇzivanju elemenata nekog skupa i ureza na zˇ ivotinjskoj kosti ili drvenom prutu.

Najstariji arheoloˇski nalazi koji to potkrepljuju jesu majmunske kosti nadene u jami Border Cave u planini Lemombo na granici Svazija i Juˇznoafriˇcke ˇ je na njima biljeˇzeno, danas nije mogu´ce znati. Vjeruje se Republike. Sto da su te kosti stare pribliˇzno 37 000 godina. Sliˇcne kosti stare oko 30 000 ˇ skoj arheolog Karl Absolom. godina naˇsao je 1937. godine u srednjoj Ceˇ Spomenimo joˇs i kosti (na slici) koje je u Ishangu na granici Ugande i Konga, svega petnaestak kilometara od ekvatora 1960. godine pronaˇsao belgijski istraˇzivaˇc De Braucourt, a starost im je 20 000 godina. Primijetimo kako se ovakvo zapisivanje rabi joˇs i dandanas pa se takve zabiljeˇske provode pri nekim kartaˇskim igrama, glasovanjima i sl. Kako to izgleda, vidimo na zidu jedne pivnice.

U odnosu na dug put do prirodnih brojeva cijeli, racionalni i ˇ iracionalni brojevi relativno su brzo nastali. Cini se kako su negativne cijele brojeve i nulu uveli Kinezi i to iz praktiˇcne potrebe trgovaˇckog poslovanja. No njihovo sustavno uvodenje u matematiku uslijedilo je znatno kasnije, tek na poˇcetku 17. stolje´ca. Pratilo ih je ponekad i zˇ estoko osporavanje, cˇak i tako velikih matematiˇcara kao sˇ to su bili Descartes i Pascal (Ne postoji ma- kojima Leibniz i Newton, nje od nule). Mnogi drugi, medu spremno su ih prihva´cali.

Racionalni brojevi su znatno stariji od cijelih. Tako je raˇcunanje s razlomcima bilo vrlo sustavno razradeno joˇs u Egiptu, u 4. tisu´clje´cu prije Krista. Da postoje brojevi koji nisu racionalni, spoznali su pitagorejci i to je otkri´ce za njih bilo vrlo neugodno jer se nije uklapalo u njihovo uˇcenje o savrˇsenosti brojeva. Legenda kaˇze kako su bogovi jednog Pitagorina sljedbenika koji se drznuo i pomisliti da postoje joˇs neki brojevi, ne samo racionalni, kaznili stradavanjem u velikoj oluji na moru.

25

1

BROJEVI

Aritmeticka ˇ sredina

Marina je na kraju sˇ kolske godine iz 8 predmeta imala zakljuˇcenu ocjenu odliˇcan, iz 5 predmeta vrlo dobar te iz 2 predmeta dobar. S kojim op´cim uspjehom je Marina zavrˇsila razred? Mogla je imati i bolji uspjeh. Kako?

OG LE DN IP RIM JE RA K

Primjer 5.

Da bismo odredili Marinin op´ci uspjeh moramo izraˇcunati srednju ocjenu svih 15 predmeta. Zbrojit c´emo sve ocjene pa zbroj podijeliti s brojem predmeta: 8·5+5·4+2·3 66 = = 4.4. 15 15 Rezultat 4.4 znaˇci da je Marinin op´ci uspjeh vrlo dobar. Da bi proˇsla s odliˇcnim, potreban je najmanji prosjek 4.5, a to znaˇci da ukupan zbroj njezinih ocjena mora biti jednak najmanje 15·4.5 = 67.5 , odnosno barem 68. Kako je to Marina mogla posti´ci?

Aritmetiˇcka sredina

Prosjek ili aritmetiˇcka sredina n brojeva a1 , a2 , a3 , . . . , an je broj a1 + a2 + a3 + . . . + an A= . n

Dakle, ako je dan neki skup brojˇcanih podataka, tada je njegova aritmetiˇcka sredina broj koji dobijemo dijeljenjem zbroja svih podataka s brojem podataka.

Zadatak 2.

U nekoj nogometnoj momˇcadi od 11 igraˇca petorica imaju po 25 godina, trojica po 23, dvojica po 19 i jedan igraˇc ima 18 godina.

1) Kolika je prosjeˇcna starost igraˇca ove momˇcadi?

2) Ako se tijekom igre umjesto jednog devetnaestogodiˇsnjeg igraˇca uvede zamjena, prosjeˇcna starost momˇcadi je tada 23 godine. Koliko godina ima igraˇc uveden u igru?

26

REALNI BROJEVI

1.3

Postotak i promil

OG LE DN IP RIM JE RA K

U svakodnevnom zˇ ivotu vrlo se cˇesto susrec´emo s postotcima. Postotcima se izraˇzava pove´canje zˇ ivotnih troˇskova, popust u trgovini, kamate na kredite ili sˇ tednju, nagib ceste, stopa gospodarskog rasta itd. Dopunite ovaj niz s joˇs nekoliko svojih primjera. A sˇ to je postotak?

Postotak

Postotak je razlomak s nazivnikom 100. Piˇsemo p = p %. 100

Ako je dan neki iznos x , tada je p % od x jednako

Primjer 6.

p · x. 100

Koliˇcina krvi u ljudskom tijelu iznosi 7 % tjelesne mase.

1) Izraˇcunaj koliˇcinu krvi u svojem tijelu.

2) Ako je masa krvi u tijelu tvojeg prijatelja jednaka 3.64 kg, kolika je njegova tjelesna masa? 3) Pretpostavimo da tvoja tjelesna masa poraste za 1 kg. Za koliko se pove´ca koliˇcina krvi u tvojem tijelu? Izrazi to pove´canje i u postotcima. ˇ znaˇci podatak da je koliˇcina krvi u ljudskom tijelu 7 % tjelesne mase? Sto To znaˇci da na svakih 100 jedinica tjelesne mase imamo 7 jedinica krvi (sedam po sto ili sedam posto ili 7 %). U tijelu mase m (kg) koliˇcina krvi (izraˇzena u kg) jednaka je 7 · m = 0.07m kg. 100 7 Dakle, radi se o proporcionalnosti s koeficijentom = 0.07 . 100 Ako je tjelesna masa neke osobe 60 kg, u njezinom organizmu je koliˇcina 7 · 60 = 0.07 · 60 = 4.2 kg . Koliˇcina krvi osobe cˇija je krvi jednaka 100 tjelesna masa 48 kg iznosi 0.07 · 48 = 3.36 kg .

27

1

BROJEVI

Rijeˇc postotak sama za sebe govori o cˇemu je rijeˇc. Ona je doslovan prijevod strane rijeˇci procent koja se i u hrvatskom jeziku povremeno rabi. No, uz postotke cˇesto se moˇze cˇuti i za promile. Promil

OG LE DN IP RIM JE RA K

Promil je razlomak s nazivnikom 1000. p =p‰ 1000

Ako je dan neki iznos x , tada je p ‰ od x jednako

p · x. 1000

Obrazloˇzite sljede´ci niz jednakosti:

1‰=

Primjer 7.

1 = 0.001 = 0.1 %. 1000

Jedno od vaˇznih svojstava morske vode jest slanost ili salinitet. Iskazuje se u promilima mase pa tako salinitet od 1 ‰ znaˇci da je u 1 kg morske vode sadrˇzan 1 gram soli. Prosjeˇcna slanost svjetskih mora jednaka je 35 ‰ . Crveno more ima slanost 40 ‰ , Baltiˇcko more jedva 6 ‰ . Slanost Jadranskog mora ve´ca je od prosjeka i jednaka je 38 ‰ . Litra morske vode teˇza je od litre cˇiste vode i u Jadranu u prosjeku teˇzi 1 028 g. Sol se iz morske vode dobiva prirodnim putem, isparavanjem u velikim i plitkim bazenima. Proces zapoˇcinje u prolje´ce, a zavrˇsava u jesen berbom soli. U Hrvatskoj su solane na otoku Pagu, u Stonu te u Ninu.

Solana na Pagu zauzima povrˇsinu od 258 ha i godiˇsnje proizvede 20 000 t soli sˇ to je 80 % ukupne doma´ce proizvodnje soli. Odgovori na sljede´ca pitanja:

1) Koliko je soli u 10 litara vode u Jadranskom moru?

2) Koliko nam litara jadranske morske vode treba za 1 kg soli?

3) Kolika je ukupna proizvodnja soli u trima hrvatskim solanama? (Odgovori: 1) 391 g,

28

2) 25.6 l,

3) 25 000 t.)

REALNI BROJEVI

1.3

Zadatci 1.3.

2.

3. 4. 5. 6.

Koji su od sljede´cih √ brojeva racionalni: 11 √ 5 π 2 − , 17 , , − , 5 , √ , −444 ? 15 2 2 5 Izmedu kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalaze sljede´ci brojevi: √ √ √ √ 5π 117 , − 515 , , − 77 , 777 , −15π ? 3

1 svih uˇcenika zavrˇsila razred s 6 2 1 odliˇcnim uspjehom, s vrlo dobrim, s dob3 8 rim. S dovoljnim nije zavrˇsio niti jedan uˇcenik, a 13 uˇcenika upu´ceno je na popravni ispit. Kolika je srednja ocjena uˇcenika koji su uspjeˇsno zavrˇsili sˇ kolsku godinu?

14. U nekoj je sˇ koli

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

22 355 , π, , Poredaj po veliˇcini brojeve: 3.14 , 7 113 √ 9.9 .

Je li broj 0.3333 . . . racionalan ili iracionalan? Obrazloˇzi! Postupaju´ci kao u “Kutku plus” dokaˇzi da broj √ 3 nije racionalan broj. √ √ Dokaˇzi√da je √ broj 2 + 3 iracionalan. Uputa: zapiˇsi 2 + 3 = a , gdje je a racionalan broj.

15. Prosjeˇcna visina djevojˇcica u nekom razredu je

164 cm, a djeˇcaka 172 cm. Ako je prosjeˇcna visina svih u razredu 167 cm, koliki je omjer broja djevojˇcica i broja djeˇcaka u tom razredu?

16. Hotel Plavi Jadran, cˇiji je kapacitet 180 poste-

lja, u 7. i 8. mjesecu bio je popunjen 95 % , u 6. i 9. popunjenost je bila 75 % . U trima zimskim mjesecima hotel je bio zatvoren, a u ostalim mjesecima popunjenost je bila 45 % . Koliki je bio prosjeˇcan mjeseˇcni broj gostiju tog hotela u vremenu kada je hotel bio otvoren? 7 5 i . 12 15 Uvjeri se da je taj broj ve´ci od manjeg, a manji od ve´ceg od tih dvaju brojeva.

17. Odredi aritmetiˇcku sredinu brojeva

7.

Odredi sˇ est brojeva cˇija je aritmetiˇcka sredina jednaka 3, a svaki je sljede´ci od prethodnog ve´ci za 0.4.

8.

Srednja vrijednost 15 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 14. Koji je najmanji, a koji je najve´ci od tih brojeva?

9.

Prosjeˇcna teˇzina djeˇcaka u razredu je 55 kg, a prosjeˇcna teˇzina djevojˇcica 47 kg. Koliki je omjer broja djevojˇcica i broja djeˇcaka ako je prosjeˇcna teˇzina svih uˇcenika tog razreda 49 kg?

18. Koriste´ci se svojstvom aritmetiˇcke sredine odredi pet brojeva koji su ve´ci od

8 5 , a manji od . 6 9

19. Za neku je gradnju potrebno 200 000 komada opeke. Ako je otpad zbog loma 4.5 % koliko komada treba nabaviti?

20. Kava pri prˇzenju gubi 12 % mase. Koliko tre-

10. Koji je od brojeva 28, 30, 26, 37 i 29 aritmetiˇcka

ba sirove kave da bi se prˇzenjem dobilo 10 kg prˇzene?

11. Odredi sedam brojeva cˇija je aritmetiˇcka sredina

21. Netko za prijevoz robe plati 600 kn sˇ to cˇini 1.5 %

sredina ostalih cˇetiriju?

6.6, a svaki je sljede´ci broj od prethodnog manji za 0.2.

12. Prosjeˇcna starost igraˇca jedne nogometne momcˇ adi, njih jedanaestorice, je 25.5 godina. Ako je iz igre iskljuˇcen igraˇc star 20.5 godina, kolika je prosjeˇcna starost igraˇca koji su ostali u igri?

13. U nekom razredu s 30 uˇcenika prosjeˇcna ocjena op´ceg uspjeha je 3.85. S prosjekom 5.0 razred je zavrˇsilo 6 uˇcenika. Kolika je prosjeˇcna ocjena ostalih 24 uˇcenika?

njezine vrijednosti. Koliko vrijedi roba?

22. U nekoj sˇ koli 55 % svih uˇcenika su djevojˇcice. Ostalo su djeˇcaci i njih je za 60 manje nego djevojˇcica. Koliko je uˇcenika u toj sˇ koli?

23. Uˇcenici triju razreda skupljali su stari papir. Raz-

red A skupio je za 20 % ve´cu koliˇcinu od razreda B, a razred B za 20 % manje od razreda C. Ako je ukupno skupljeno 759 kg papira, koliko je skupio pojedini razred?

29

1

BROJEVI

Toˇcno-netoˇcno pitalice

24. U predizbornoj kampanji jedan je politiˇcar obe-

c´ao kako c´e za vrijeme svojeg cˇ etverogodiˇsnjeg mandata ukinuti PDV na knjige koji sada iznosi 20 % i to tako da c´e ga svake godine umanjiti za 5 % u odnosu na prethodnu godinu. Moˇze li taj politiˇcar, bude li izabran, ispuniti svoje obe´canje?

2. Svaki je racionalan broj ujedno i cijeli broj.

3. Broj 0.10100100010000100000 . . . je ra-

OG LE DN IP RIM JE RA K

25. Novine obavjeˇstavaju kako je porast cijene auto-

1. Svaki je iracionalan broj ujedno i realan.

mobilskog goriva tijekom posljednje 3 godine bio redom za 4 %, 5 % i 8 % Tako je u te 3 godine cijena porasla za ukupno 17 %, zakljuˇcuje novinar. No ta je raˇcunica pogreˇsna. Izraˇcunajte koliko je porasla cijena goriva u posljednje tri godine.

26. Odgovori na sljede´ca pitanja:

1) Koliko je uˇcenika u tvojem razredu zavrˇsilo osmi razred s op´cim uspjehom vrlo dobar? Izrazi taj broj u postotcima. 2) Na pismenom ispitu iz matematike u tvojem razredu 32 % uˇcenika ocijenjeno je odliˇcnom ocjenom. Koliki je to broj uˇcenika?

cionalan broj.

4. Broj 3.14159 je iracionalan broj.

5. Zbroj svaka dva iracionalna broja iracionalan je broj.

6. Ako je x−2y=3 , onda je 3x−6y+3=12 . 7. Ako je 5 % nekog broja jednako 75, tada je 80 % tog istog broja jednako 1250.

8. Ako je 1 ‰ od x jednako 11, onda je 1 % od x jednako 110.

27. U morskoj je vodi 0.3 % soli. Koliko kilograma

9. Ako je 2 % od y jednako 22, onda je 2 ‰

28. Od neke svote odbije se 8 % na troˇskove, a os-

10. Aritmetiˇcka sredina 15 uzastopnih prirod-

soli ima u jednom hektolitru morske vode?

tatak se podijeli na 5 osoba. Koliko je iznosila cijela svota ako je svaka osoba dobila po 930 kn?

od y jednako 2.2.

nih brojeva jednaka je 20. Najmanji od tih brojeva je broj 13.

Istraˇzite

ˇ ALKOHOL U KRVI VOZACA

Alkohol u krvi vozaˇca najˇceˇsc´i je uzrok pogubnih prometnih nesre´ca. Prometna policija osobito je stroga u provjerama alkoholiziranosti vozaˇca uz blagdane kakav je primjerice Martinje. Godine 2010. na taj je dan samo na jednoj kontrolnoj toˇcki kod Duge Rese 31 vozaˇc ostao bez vozaˇcke dozvole. Rekorder pri toj provjeri bio je vozaˇc u cˇijoj je krvi ˇ znaˇci taj podatak? izmjereno 3.41 ‰ alkohola. Sto Koncentracija alkohola, iskazana u promilima, u krvi vozaˇca raˇcuna se prema formuli: A · p · 0.79 C= 100 m · k U toj je formuli A koliˇcina popijenog alkohola izraˇzena u ml, p jakost alkohola izraˇzena u postotcima, 0.79 je specifiˇcna teˇzina etilnog alkhola, m tjelesna masa osobe (u kg), a k je koeficijent redukcije koji je za muˇskarce 0.68, za zˇ ene 0.61. Primjerice, ako muˇskarac mase 70 kg popije litru piva jaˇcine 6 %, koncentracija alkohola u njegovoj krvi iznosit 1000 · 6 · 0.79 c´e C = ≈ 1 ‰ . Tolika koliˇcina alkohola u krvi neke osobe izaziva osje´caj zbunjenosti i slabije 100 · 70 · 0.68 orijentacije. Istraˇzite podrobnije kako alkohol utjeˇce na sposobnost vozaˇca. Prouˇcite propise o dopuˇstenoj koliˇcini alkohola u krvi vozaˇca.

30

OPERACIJE SA SKUPOVIMA

1.4

1.4. Operacije sa skupovima

OG LE DN IP RIM JE RA K

Pojam skupa ˇ je to Govorili smo o skupu prirodnih brojeva, skupu racionalnih brojeva. . . Sto skup? Poput drugih temeljnih pojmova (npr., broja, toˇcke, pravca i sl.) taj se pojam ne definira, jer ga je teˇsko raˇscˇlaniti na jednostavnije pojmove, pa to ne´cemo - ako je dobro ni pokuˇsavati. Zadovoljit c´emo se dogovorom da je skup odreden definiran zakon prema kojem odredujemo njegove elemente. Tako je, npr., skup “svih uˇcenika u vaˇsem razredu” dobro definiran. Medutim, skup “svih visokih uˇcenika u vaˇsem razredu” nije dobro definiran, jer nam je nepoznat kriterij “biti visok”. Skupove zorno predoˇcavamo Euler-Vennovim dijagramima.

ili na ovaj naˇcin:

Oznaˇcimo s A skup neparnih prirodnih brojeva manjih od 10. Taj je skup dobro definiran, jer za svaki zadani broj znamo odrediti pripada li mu ili ne. Zapisujemo ga unutar vitiˇcaste zagrade, navode´ci njegove elemente: A = {1, 3, 5, 7, 9},

A = {n : n ∈ N je neparan, n < 10}. ˇ Broj 7 pripada ovom skupu; piˇsemo 7 ∈ A . ( Citaj: 7 je element skupa A , ili 7 pripada skupu A .) Broj 6 mu ne pripada. Piˇsemo 6 ∈ / A.

Neka je B = {3, 5, 9} . Svaki element skupa B pripada skupu A . Kaˇzemo onda da je B podskup skupa A i piˇsemo B ⊆ A . Ako skup A sadrˇzi barem jedan element koji ne pripada skupu B , onda kaˇzemo da je B pravi podskup skupa A i piˇsemo B ⊂ A . Dakle, u ovom je primjeru B ⊂ A .

Tako je, primjerice, (obrazloˇzi!) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Primjer 1.

U skupu A svih cˇetverokuta u ravnini izdvojimo podskupove: B = { skup svih paralelograma } , C = { skup svih pravokutnika } ,

A

B

C

D

D = { skup svih kvadrata } . Obrazloˇzi: D ⊂ C ⊂ B ⊂ A .

31

1

BROJEVI

Neka je sada

OG LE DN IP RIM JE RA K

A = {n ∈ N : n je paran} = {2, 4, 6, 8, 10, 12 . . .}, B = {n ∈ N : n je djeljiv s 3} = {3, 6, 9, 12, 15 . . .}. Za ove skupove ne vrijedi ni A ⊆ B ni B ⊆ A . Medutim, ovi skupovi ipak imaju neke zajedniˇcke elemente, a to su brojevi 6, 12, 18 itd, tj. brojevi djeljivi sa 6. Presjek skupova

Presjek skupova A i B je skup A ∩ B , koji sadrˇzi zajedniˇcke elemente ovih dvaju skupova: A ∩ B = {x : x ∈ A i x ∈ B}.

Za prije navedene skupove je presjek: A ∩ B = {n ∈ N : n je djeljiv s 2 i s 3} = {n ∈ N : n je djeljiv sa 6} = {6, 12, 18, 24 . . .}.

Zadatak 1.

Ako je Vn skup viˇsekratnika prirodnog broja n , odredi skupove 1) V2 ∩ V3 ; 2) V5 ∩ V10 ; 3) V12 ∩ V18 .

Svaki se parni broj moˇze napisati u obliku 2k , gdje je k cijeli broj. Skup svih parnih cijelih brojeva moˇzemo zapisati u obliku A = {n : n = 2k, k ∈ Z}. Oduzmemo li parnom broju 1 , dobit c´emo neparan broj. Svaki neparni broj je oblika 2k − 1 . Skup svih neparnih cijelih brojeva je: B = {n : n = 2k − 1, k ∈ Z}.

Skupovi A i B nemaju zajedniˇckih elemenata. Za njih kaˇzemo da su disjunktni. Njihov presjek A ∩ B je prazan. Piˇsemo: A ∩ B = ∅ . ∅ je oznaka za prazan skup, skup koji nema nijednog elementa. S druge strane, svaki je cijeli broj bilo paran bilo neparan. To znaˇci da se svaki cijeli broj nalazi ili u skupu A ili u skupu B . Kaˇzemo da je unija skupova A i B jednaka skupu cijelih brojeva. Op´cenitije, definiramo: Unija skupova

Unija skupova A i B je skup A ∪ B , koji sadrˇzi one elemente koji se nalaze u barem jednom od ovih dvaju skupova: A ∪ B = {x : x ∈ A ili x ∈ B}.

32

OPERACIJE SA SKUPOVIMA

Primjer 2.

Za skupove brojeva vrijedi: Q ∩ I = ∅ , Q ∪ I = R .

Ako je Dn skup djelitelja prirodnog broja n , odredi skupove: 1) D12 ∪ D18 ; 2) D15 ∪ D30 ; 3) D23 ∪ D41 .

OG LE DN IP RIM JE RA K

Zadatak 2.

1.4

Zadatak 3.

Euler-Vennovim dijagramima uvjeri se u istinitost sljede´cih jednakosti: 1) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; 2) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .

Kutak plus

KOLIKO JE ELEMENATA U SKUPU?

Od 25 uˇcenika nekog razreda njih 20 uˇci engleski jezik, a 18 njemaˇcki jezik. Koliko uˇcenika uˇci oba jezika ako svaki uˇcenik uˇci barem jedan od njih? Oˇcito, kako je 20 + 18 > 25 , onda sigurno ima uˇcenika koji uˇce oba strana jezika. Oznaˇcimo s k(E) broj uˇcenika koji uˇce engleski, a s k(G) broj uˇcenika koji uˇce njemaˇcki jezik. Neka je n = k(E ∩ G) broj uˇcenika koji uˇce oba jezika. Prikaˇzimo dijagramom te skupove:

Oˇcito je k(E ∪ G) = k(E) + k(G) − k(E ∩ G) pa imamo jednadˇzbu 25 = 20 + 18 − n . Odatle slijedi n = 13 .

E

G

Dakle, oba jezika uˇci svega 13 uˇcenika, samo engleski uˇci njih 7, a samo njemaˇcki 5.

Rijeˇsi zadatke:

1. U nekom je razredu 28 uˇcenika. U razne sportske aktivnosti ukljuˇceno ih je 15, a 16 uˇcenika pjeva u pjevaˇckom

- sportaˇsima, niti su cˇlanovi pjevaˇckog zbora. Koliko je uˇcenika zboru sˇ kole. Sedam uˇcenika tog razreda niti su medu ovog razreda ukljuˇceno u obje aktivnosti?

2. Uˇcenici nekog razreda uˇce dva jezika, engleski i njemaˇcki. Engleski uˇce 23 uˇcenika, njemaˇcki 19, a oba jezika uˇci 12 uˇcenika. Koliko je uˇcenika u tom razredu ako svaki uˇci barem jedan od ova dva jezika?

3. U nekoj udruzi umirovljenika

3 cale, a 2 ih je c´elavo. U toj je udruzi 48 muˇskih cˇlanova 4 muˇskih cˇ lanova nosi naoˇ - njima takvih koji 3su c´elavi, a nose i naoˇcale? i svaki je ili c´elav ili nosi naoˇcale. Ima li medu

4. Maturalna zada´ca iz matematike sastojala se od triju zadataka. Prvi je rijeˇsilo 82 % uˇcenika koji su pristupili ispitu, 5.

drugi i tre´ci po 78 %. Prvi i drugi zadatak rijeˇsilo je 62 % maturanata, prvi i tre´ci 66 %, a drugi i tre´ci 60 %. Sva tri zadatka toˇcno je rijeˇsilo 75 uˇcenika. Koliko je uˇcenika rjeˇsavalo ovu zada´cu? - oˇci, 15 svijetlu kosu, 17 ih je teˇzih od 20 kg, a 18 viˇsih od 1.60 m. Dokaˇzi da su Od 20 djeˇcaka 14 ih ima smede - njima barem cˇetvorica koji imaju sve cˇetiri navedene osobine. medu

33

1

BROJEVI

Zadatci 1.4.

2.

Ispiˇsi sve elemente ovih skupova: 1) skup svih djelitelja broja 48; 2) skup svih zajedniˇckih viˇsekratnika brojeva 6 i 9 manjih od 150; 3) skup prostih brojeva manjih od 100; 4) skup svih dvoznamenkastih brojeva cˇije su znamenke 1, 2 ili 3. Dan  je skup  π 0.7 1 S = − √ , 0.11, 3.14159, −101, , . 4 1.23 2 Napiˇsi podskup ovog skupa cˇiji su elementi iracionalni brojevi.

3.

Za prirodni broj n definiramo skup Sn = {x ∈ N : x < n} . Odredi skupove S1 , S10 i S1000 .

4.

Odredi sve skupove X za koje vrijedi X ⊆ {a, b, c} .

5.

ˇ Neka je A ⊆ B . Cemu su jednaki skupovi A∩B , A ∪ B? U kojem su medusobnom odnosu sljede´ci skupovi: 1) A = {n ∈ N : n=3k} , B = {n ∈ N : n=6k} ; 2) A={n∈N : n=4k−1} , B={n∈N : n=2k+4} ?

6.

7.

Odredi neki skup A tako da vrijedi: 1) {1, 2, 3} ∩ A = {1, 2} ; 2) {1, 2, 3} ∩ A = ∅ ; 3) {1, 2, 3} ∩ A = {3, 4} .

8.

Odredi neki skup B tako da vrijedi: 1) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ; 2) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3} .

9.

Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B = {3, 8} , A ∩ C = {8, 9} , B ∩ C = {8} , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 8, 9} , A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Odredi skupove A , B i C.

10. Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {3, 4} ,

34

A∪B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} , A∪C = {1, 2, 3, 4, 5} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7} . Odredi skupove A , B i C.

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

11. Skupovi A , B i C podskupovi su skupa prirodnih brojeva: A = {n : n = 2k − 1, k ∈ N} , B = {n : n = 3k, k ∈ N} , C = {n : n = 4k, k ∈ N} . Odredi skupove A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∩ B , A ∩C, B∩C.

ˇ se moˇze re´ci o skupovima A , B , C za koje 12. Sto vrijedi: 1) A ∪ B = A , 2) A ∪ B = A ∩ B , 3) A ∩ B ∩ C = A , 4) A ∪ B ∪ C = A ?

13. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: A = {x ∈ N : 2 < x < 11} , B = {x ∈ N : 7  x  17} .

14. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je:

A = {x ∈ Z : −12 < x < −1} , B = {x ∈ Z : −2  x  5} .

15. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je: 

 1 A= x∈Q:0 n , onda je am : an = am−n ;

ako je m = n , onda je am : an = 1 ;

ako je m < n , onda je am : an =

1

an−m

.

Tako je, primjerice:

a12 : a15 =

1

a15−12

=

1 . a3

Pri dijeljenju potencija javlja se praktiˇcna potreba za uvodenjem potencije cˇiji je eksponent negativan broj. Ako je a = 0 , onda stavljamo:

a−n =

1 . an

Uz taj dogovor, prijaˇsnji raˇcun moˇzemo nastaviti ovako: 1 a12 : a15 = 3 = a−3 = a12−15. a Op´cenito, moˇzemo pisati: Dijeljenje potencija jednakih baza

Koliˇcnik dviju potencija jednakih baza jednak je potenciji iste baze kojoj je eksponent razlika eksponenata djeljenika i djelitelja.

am : an = am−n .

Zadatak 6.

Obrazloˇzi: 1) 2−3 =

44

1 , 8

2)

 1 −2 3

= 9,

3)

 4  −1 5

=

5 , 4

4) (0.1)−2 = 100 .

ˇ RACUNANJE S POTENCIJAMA

Zadatak 7.

Izraˇcunaj: 1) 2−3 + 3−2 ;

2) 4−2 +

 1 3 2

;

3)

 2 −3 3

+

 3  −2 2

.

U sljede´cim zadatcima primijenili smo pravilo o dijeljenju potencija:

OG LE DN IP RIM JE RA K

Primjer 7.

2.2

1) 10−5 : 10−8 = 10−5−(−8) = 10−5+8 = 103 ;

2) (86 · 4−7 ) : (24 · 16−3 ) = (218 · 2−14 ) : (24 · 2−12 ) = 24 : 2−8 = 212 .

ˇ nam daje formula za dijeljenje potencija ako su eksponenti jednaki? Ako je Sto m = n , tada je am−n = a0 . No, znamo da se u tom sluˇcaju potencije koje dijelimo sastoje od jednakog broja jednakih faktora, pa za svaku bazu a = 0 prirodno proizlazi a0 = 1 .

a0 = 1

Ako je baza potencije nula, onda za svaki prirodni broj n vrijedi 0n = 0 . Medutim, 00 niti 0−n nije definirano za prirodni broj n .

Vidjeli smo kako dijelimo potencije jednakih baza. No dijeliti moˇzemo i potencije razliˇcitih baza, ali tada im moraju biti jednaki eksponenti: n

   a · a · a · ... · a a a a n n a :b = = · · ... · = (a : b)n . b · b · b · ... · b b b b      n

n

Dijeljenje potencija jednakih eksponenata

Koliˇcnik dviju potencija jednakih eksponenata jednak je potenciji s istim eksponentom kojoj je baza koliˇcnik baza djeljenika i djelitelja:

an  a n = . bn b

Zadatak 8.

Provjeri sljede´ce jednakosti: 1) 38 : 124 =

 3 4 4

;

2) 25−5 : 10−10 = 210 .

45

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Za potenciju razlomka s negativnim eksponentom op´cenito vrijedi:

 a −n

 b n a

.

OG LE DN IP RIM JE RA K

b

=

Dakle, potencija razlomka s negativnim eksponentom jednaka je potenciji reciproˇcnog razlomka sa suprotnim eksponentom. Dokaˇzimo to:  n   −n b a 1 1 bn =  n = n = n = . a b a a a bn b Pravilo (am )n = amn vrijedi i ako su m i n cijeli brojevi. Posebno je

(an )−1 = (a−1)n = a−n .

Rijeˇsit c´emo sada nekoliko zadataka kako bismo na primjerima pokazali primjenu raˇcuna s potencijama.

Primjer 8.

Koliki je n ako je

4n+1 + 4n+1 + 4n+1 + 4n+1 = 84 ?

Zbrajamo jednake pribrojnike, pa je

4n+1 + 4n+1 + 4n+1 + 4n+1 = 4 · 4n+1 .

Sada je dana jednakost poprimila oblik

4n+2 = 84 . Obje c´emo strane jednakosti napisati kao potencije iste baze — broja 2, da bismo mogli izjednaˇciti njihove eksponente:  n+2  4 4n+2 = 22 = 22n+4 , 84 = 23 = 212 , pa slijedi 2n + 4 = 12 , tj. n = 4 .

Zadatak 9. 46

Odredi broj n ako je 2 · 22 · 23 · . . . · 2n = 6411 .

ˇ RACUNANJE S POTENCIJAMA

Primjer 9.

2.2

Koji je broj ve´ci: 1) 233 ili 322 ;

2) 4−11 ili 8−8 ?

OG LE DN IP RIM JE RA K

Vrijednosti dviju potencija lako je usporediti ako ih napiˇsemo tako da imaju jednake baze ili jednake eksponente.

1) Zapiˇsimo potencije tako da imaju jednake eksponente: 233 = 811 , a 322 = 911 . Oˇcito je 811 < 911 , pa je dakle 233 < 322 .

2) Ove dvije potencije moˇzemo zapisati kao potencije jednakih baza: 1 1 1 1 4−11 = 11 = 22 ; 8−8 = 8 = 24 . 4 2 8 2 Prva je potencija ve´ci broj.

Zadatak 10. Koji je broj ve´ci: 1) 915 ili 2710 ;

Primjer 10.

2)

2−39 ili 3−26 ?

Izraˇcunajmo: (−23 )4 − 163 + (−42 )3 − (−82 )2 .

Sve pribrojnike moˇzemo napisati kao potencije s bazom 2, vode´ci pritom raˇcuna da je potencija negativnog broja s parnim eksponentom pozitivan broj, a s neparnim eksponentom negativan. Tako onda imamo: (−23 )4 − 163 + (−42 )3 − (−82 )2 = 212 − 212 − 212 − 212 = −2 · 212 = −213 .

Zadatak 11. Izraˇcunaj: Primjer 11.

(−53 )−2 − (−25)−3 − 5−6 .

Koliko znamenki ima broj 164 · 256 ?

Zadani umnoˇzak potencija prikazat c´emo u sljede´cem obliku:

164 · 256 = (24 )4 · (52 )6 = 216 · 512 = 24 · 212 · 512 = 16 · 1012 . Iz posljednjeg se zapisa jednostavno zakljuˇcuje da dani broj ima 14 znamenki.

Zadatak 12. Odredi najmanji prirodni broj n za koji broj 210 · 5n ima toˇcno 13 znamenki. 47

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Primjer 12.

Zapiˇsimo u obliku potencije: 5 · 83 − 6 · 162 + 3 · 45 . Sve se potencije u trima pribrojnicima mogu zapisati kao potencije s bazom 2 te imamo: 5 · 83 − 6 · 162 + 3 · 45 = 5 · (23 )3 − 6 · (24 )2 + 3 · (22 )5

OG LE DN IP RIM JE RA K

= 5 · 29 − 6 · 28 + 3 · 210 . Sada te potencije imaju jednaku bazu, ali ne i jednak eksponent pa ih ne moˇzemo zbrajati. Stoga c´emo ih zapisati tako da imaju i jednake baze i jednake eksponente: 5 · 29 − 6 · 28 + 3 · 210 = 5 · 2 · 28 − 6 · 28 + 3 · 22 · 28 = 10 · 28 − 6 · 28 + 12 · 28 = 16 · 28 = 212 .

Primjer 13.

Izraˇcunajmo

 −3 2 · (2.5)0 + 2−4 3   −1 . 4 − 2 (−0.4) − 5

Imamo redom  −3 2 27 1 55 · (2.5)0 + 2−4 ·1+ 11 3 8 16 16 .  −1 = 25 5 = 20 = 16 4 − (−0.4)−2 − 4 4 4 5

Iz zabavne matematike

ˇ KVADRAT MAGICNI

Magiˇcni je kvadrat posebna igra brojeva o kojoj c´e joˇs biti rijeˇci. U ovom problemu imamo takoder kvadrat koji je pomalo magiˇcan. Tvoj je zadatak precrtati u biljeˇznicu prazni kvadrat i preraspodijeliti u ku´cice upisane izraze tako da umnoˇzak svaka tri u jednom retku ili stupcu te na dvjema dijagonalama kvadrata bude jednak a3 b3 .

48

ˇ RACUNANJE S POTENCIJAMA

2.2

Zadatci 2.2.

5) 6) 7) 8)

2.

Izraˇcunaj: 2) 34 · 36 · 38 ; 1) 23 · 24 · 25 ; 3 5 4) 4 · 43 · 45 ; 3) a · a · a ;  7  3  7 1 1 1 5) · · . a a a

2) a + a − 3a ; 4) 2·48 −4·48 −6 · 48 ;

8.

7

Koliko znamenki ima broj: 1) 211 · 511 ; 4) 47 · 510 ;

9.

2) 225 · 520 ; 3) 210 ·510 ·1015 ; 5) 410 · 2511 ; 6) 811 · 533 ?

Odredi najmanji prirodni broj n za koji broj 2n · 512 ima 15 znamenki.

10. Ako je m = 55 , n = 66 , koliko znamenki ima broj m · n ?

11. Ako je m = 45 , n = 58 , koliko je nula u zapisu broja m · n ?

Pomnoˇzi:

4

6

6

3

2) 5 · 5 ; 3) 10 · 10 ; 2 5) (0.7) · (0.7)3 .

3 1) 3a2 b · 4a3 b2 ; 2) −4x3 y · x2 y3 ; 8   3 3) 5x5 y3 · − x3 y4 ; 10   4 3 4) − a3 b2 · − a2 b3 ; 8 9   3 5 4 ab · − a3 b ; 5) 10 9 1 2 3 4 6) − a bc · abc2 . 2 5 Pomnoˇzi:

2) 34 · 36 · 38 ; 4) 10·102 ·103 ·104 ·105 .

nula zavrˇsava broj 811 · 2516 ?

znamenka umnoˇska a · b ?

14. Ako je m = 4·312 , n = 3·412 , koja je posljednja znamenka broja m + n ?

15. Koliki je n ako je:

1) 44 + 44 + 44 + 44 = 2n ; 2) 55 + 55 + 55 + 55 + 55 = 25n ; 3) 84 + 84 + 84 + 84 = 4n .

16. Obrazloˇzi:

1) 311 − 310 = 2 · 310 ; 2) 44 + 44 + 44 + 44 = 45 ; 1010 − 109 3) = 100 . 108 − 107

17. Koliki je n , ako je

Pomnoˇzi: 1) (−3)3 · (−35 ) ;

12. Koliko znamenki ima broj 210 · 515 ? S koliko 13. Ako je a = 3 · 511 , b = 5 · 311 , koja je posljednja

Pomnoˇzi:

1) 23 · 24 · 25 ; 3) 5 · 55 · 57 ;

6.

4

33 − (−3)3 − 33 ; (−5)4 − 54 − (−5)4 ; −23 − (−2)3 + (−2)3 − 23 ; (−a)2n − a2n ; (−a)2n−1 − a2n−1 .

1) 3 · 3 ; 4) 28 · 2 ;

5.

4

11 · 510 − 12 · 510 + 6 · 510 ; a9 + 2a9 − 3a9 + 4a9 ; 3n6 − 7n6 − 11n6 + 5n6 ; 6x4 − 7x4 + 2x4 − x4 .

5

4.

4

Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4) 5)

3.

7.

Izraˇcunaj: 1) x3 + x3 + x3 ; 3) 35 +4·35 −2·35 ;

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

2) (−2)3 ·(−25 )·(−2)7 ;

3) −102 · (−103 ) · (−10)4 · (−10)5 · (−106 ) .

1) 22 · 43 · 84 = 16n ; 2) 55 · 255 · 1255 = 25n ; 3) 10 · 1003 · 1000n = 100 000 000 0002 .

49

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

18. Potenciraj:

27. Ako je ab2 = 5 , a a2 b5 = 15 , izraˇcunaj a i b .

1) (34 )3 ; 3) (103 )4 ; 5) (a4 )n+1 ;

2) (82 )2 ; 4) (an+1 )3 ; 6) (an−1 )n+1 .

1) (33 )4 · (34 )3 ;

2) (25 )3 · (23 )3 ;

3) (10n+2 )3 · (102 )n−1 ; 4) (4n−1 )2 · (42 )n+1 . 1) (16 · 43 · 82 )5 ;

1) (272 · 81 · 93 )4 ;

2) (162 · 43 · 84 )3 .

2) (93 · 3 · 272 )3 .

1) (ab2 )3 · (a2 b)3 ;

2) (a3 b3 )2 · (a2 b2 )3 ;

3) (a3 b4 )5 · (a5 b4 )3 ;

4) (a2 b3 )4 · (a3 b2 )4 .

32. Ako je x = 2n+1 , y = 5n+1 , koliko znamenki ima broj x2 · y2 ?

33. Podijeli:

1) 411 ili 166 ; 3) 12515 ili 2525 ; 5) 430 ili 820 ;

2) 278 ili 912 ; 4) 275 ili 98 ; 6) 522 ili 333 ?

24. Izraˇcunaj:

(−23 )4 +2·(−24 )3 +3·(−22 )6 ; (−32 )3 +5·(−3)6 −(−33 )2 ; (−27)2 −36 +(−9)3 −(−32 )3 ; (−252 )3 −(1252 )2 −(−54 )3 +6253 ; (−4)3 +(−23 )2 +(−8)2 −26 ; (−92 )3 −813 +(27)4 +(−93 )2 .

25. Zapiˇsi u obliku potencije s bazom 2 sljede´ce bro1) 3 · 26 + 10 · 25 ; 3) 6 · 211 + 5 · 46 ;

2) 11 · 46 + 20 · 210 ; 4) 213 + 4 · 211 ;

5) 20 · 45 + 3 · 213 + 5 · 84 ; 6) 2 · 163 − 3 · 46 + 5 · 84 .

26. Zapiˇsi u obliku potencije s bazom 3 sljede´ce brojeve:

6

9

5

1) 3 + 6 · 3 ; 2) 6 · 3 + 9 ; 5 9 3) 5 · 9 + 12 · 3 ; 4) 39 + 6 · 94 ; 6 11 5) 2 · 9 + 15 · 3 + 2 · 274 .

2) 511 : 56 ;

3) 66 : 65 .

34. Izraˇcunaj: 

   8 3 2 xy ; : 15     6 2 xy ; 2) −3x4 y4 : 11 1)

23. Koji je od sljede´cih brojeva ve´ci:

7

8n

1) 37 : 34 ;

22. Izraˇcunaj:

jeve:

30. Ako je 2m · 3n = a , koliko je 4m+1 · 9n−1 ? 9n 1 te = = 3 , izraˇcunaj m 4m−n 32 27m+n i n . Rezultat provjeri.

21. Zapiˇsi u obliku potencije s bazom 3:

50

29. Ako je 2m−1 · 3m+1 = a , koliko je 62m+1 ?

31. Ako je

20. Zapiˇsi u obliku potencije s bazom 2:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

28. Ako je x2 y3 = 80 , a x3 y4 = 50, izraˇcunaj xy2 .

OG LE DN IP RIM JE RA K

19. Izraˇcunaj i zapiˇsi rezultat u obliku potencije:

Rezultat provjeri.

4 5 3 xy 5

3) (8a8 b8 ) : (16a5 b5 ) ;     9 6 4 4) a b : 18a3 b ; 16     5 3 8 25 2 5 ab : − a b . 5) 24 12

35. Izraˇcunaj: 1)

99 ; 273 · 36

2)

645 ; 83 · 164

3)

1256 . 258 · 53

36. Izraˇcunaj:

275 + 274 ; 98 + 97 + 96 254 − 253 3) 8 . 5 − 57 + 56

1)

2)

167 − 166 ; 810 + 89 + 88

37. Izraˇcunaj:

1) 20 − (−2)−4 ; 3) (0.2)−4 · (−1.6) ;  1 −10 ; 5) 8−3 · 2

2) (−0.25)−2 · 100 ; 4) 0.01 · (−0.5)−3 ;  1 −3  1 −1 6) ·(−4)0 + . 2 2

ˇ RACUNANJE S POTENCIJAMA

38. Izraˇcunaj:

42. Pojednostavni: 

1 1 1) (a−1 b + ab−1 )−2 , za a = , b = ; 3 5 1 2) (a−1 − b−1 )2 · (a + b)−2 , za a = , b = 3 ; 3 3 2 3) a−1 b−2 + a−2 b−1 , za a = , b = − . 3 2

1)



40. Izraˇcunaj: 1) 212 ·

1 · (0.25)5 ; 4

1 · 1254 · (0.04)3 ; 252 1 · 0.045 ; 4) 512 · 25 2)

1 · 85 · 0.25−2 ; 3) 32  1 −2 3−10 · 7−5 · 9 5) ;  1 8 · 49 21 0.04−2 · 1254 · 0.2−1 6) . 4 · 258

 −n 1 ; 9  1−3n 1 : ; 9

a−3 3b−2

−3

4 −1 −2

· (9a b 

)

1) −105, 10−5, (−10)5, −10−5, (−10)−5, 105 ; 2) −0.15, 0.1−5, (−0.1)5, −0.1−5, (−0.1)−5, 0.15.

44. Broj m zapiˇsi u standardnom zapisu: 1) m = 3 · 105 + 8 · 103 + 2 · 10 + 10−1 +10−2 + 10−3 ; 2) m = 1 · 104 + 2 · 103 + 3 · 10 + 10−2 .

Toˇcno-netoˇcno pitalice

Koje su od sljede´cih tvrdnji toˇcne, a koje netoˇcne? Odgovori, a odgovor obrazloˇzi.

1. Posljednja znamenka broja 1313 je 1. 2.

3·104 + 4·104 − 5·104 − 2·104 = 0 .

3.

84 + 84 + 84 + 84 = 47 .

nenti uzastopni prirodni brojevi djeljiv je s 13.

;

 −3 −3

x ; 4y2  −2 3  −3 8a 16a−3 3) · ; b−3 b−2  −3  −5 −2 4a 9a4 · . 4) − 3 2b 27b−4 2) (0.25x−4 y−3 )2 ·

43. Poredaj po veliˇcini brojeve:

4. Zbroj triju potencija broja 3 cˇiji su ekspo-

41. Pojednostavni: 1)

2) 32n+1 :

OG LE DN IP RIM JE RA K

−1   0 −2 −1 5 2 3 1) 6−4· ; 2) − ; 16 3 4  3 −2  2 −2 + 4−1 3· 3−2 − 4 3 3) 4) ;  1 −1  1 −1 ; 2− +5 5 2  2 −3  1 0 −2 · (2.5)0 + 2−4 2 +5· 3 2 5)  2 −2 ; 6)  4 −1 . 3− (−0.4)−2 − 3 5



−n : 52n−1 ;

3) 4n−1 :(2 · 8−n−1 ) ; 4) 272n+1   2n−2  1 : 45n−3 . 5) 16n−1 : 8

39. Izraˇcunaj: 

1 25

2.2

5.

2x−1 − 3x−1 = −x .

6.

210 · 55 = 1015 .

7.

162 + 83 + 44 = 210 .

8.

3x−3 =

1 . 3x3

9. Ako je 2n+1 = a , onda je 4n−1 =

a2 . 16

10. 3 · 104 + 5 · 10 + 10−2 = 3005.01 . 11.

 3 5  4 5  5 5  1 10 · · = . 4 5 6 2

12. (−0.1)3 ·(−0.01)3 ·(−0.001)−3= − 1 . 51

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

2.3. Znanstveni zapis realnog broja Koliko je zlata u Jadranskom moru?

OG LE DN IP RIM JE RA K

Zlato, to vjeˇcno bogatstvo, priroda se potrudila dobro sakriti u svojim njedrima pa se nalazi u brdskim stijenama, u rijeˇcnom sˇ ljunku, duboko pod zemljom i tko zna gdje sve ne. Zlata ima i u morskoj vodi pa ga tako u 1 litri vode Jadranskog mora ima 0.000 000 004 g. Ako znamo da je prosjeˇcna dubina Jadranskog mora d = 240 m , a da mu je povrˇsina P = 138 600 000 000 m2 , kolika je ukupna masa zlata u Jadranskom moru? Ukupnu koliˇcinu vode u Jadranskom moru raˇcunajte po formuli V = P · d.

U ovom zadatku valja se potruditi i biti vrlo toˇcan kako bi se doˇslo do odgovora. Razlog su brojevi koji se ovdje pojavljuju, od kojih je jedan malen (0.000 000 004) a drugi velik (138 600 000 000). Nezgrapnost zapisivanja takvih brojeva potaknula je uvodenje posebnog, znanstvenog zapisa vrlo velikih ili vrlo malih realnih brojeva. Znanstveni zapis realnog broja

Znanstveni zapis realnog broja r je zapis oblika

r = a.bcd · 10n .

Pritom je a jednoznamenkast cijeli broj, b , c i d su prve tri decimalne znamenke broja r , a n je cijeli broj. Broj decimala u znanstvenom zapisu broja ponekad je i ve´ci od 3, ali cijelo je mjesto samo jedno. Primijetimo da je znanstveni zapis nekog broja najˇceˇsc´e njegova pribliˇzna vrijednost.

Primjer 1.

1) Duljina krvnih zˇ ila u ljudskom organizmu pribliˇzno je jednaka 96 000 000 m sˇ to je u znanstvenom zapisu 9.6 · 107 metara. 2) Brzina rasta gljive poslije kiˇse je 0.0000008 m/s . U znanstvenom zapisu je to broj 8 · 10−7 .

3) Obujam Zemlje iznosi pribliˇzno

1 093 000 000 000 000 000 000 = 1.093 · 1021 m3 . 4) Promjer virusa ospica iznosi 0.000 000 251 = 2.51 · 10−7 metara.

52

ZNANSTVENI ZAPIS REALNOG BROJA

Zadatak 1.

2.3

Zapiˇsi sljede´ce podatke uz uporabu znanstvenog zapisa: 1) Japan ima oko 128 000 000 stanovnika. 2) Zemlja je stara 4 600 milijuna godina.

OG LE DN IP RIM JE RA K

3) Masa zrna maka pribliˇzno je jednaka 0.000 000 5 kg.

4) Masa virusa gripe iznosi 707 · 10−15 g.

5) Disk od jednog terabajta sadrˇzi oko 1 099 500 000 000 bajtova.

Vratimo se sada zadatku sa samog poˇcetka. Moˇzemo ga iskazati na sljede´ci naˇcin: Jadransko more ima prosjeˇcnu dubinu d = 240 m = 2400 dm = 2.4 · 103 dm , povrˇsina mu je P = 1.386 · 1011 m2 = 1.386 · 1011 · 102 dm2 = 1.386 · 1013 dm2 . Uzmemo li da u jednoj litri morske vode ima 0.000 000 004 g = 4 · 10−9 g zlata, pitamo se kolika je ukupna masa zlata u Jadranskom moru?

Izraˇcunajmo najprije koliko je litara vode u Jadranskom moru. Obujam vode jednak je V = P · d = 1.386 · 1013 · 2.4 · 103 dm3

= 3.3264 · 1016 dm3 = 3.3264 · 1016 litara.

U jednoj litri je 4 · 10−9 g = 4 · 10−12 kg zlata pa je onda u Jadranu masa od m = 3.3264 · 1016 · 4 · 10−12 = 1.33056 · 105 kg zlata.

Ako rezultat izrazimo u tonama, onda je m = 133.056 t.

Primjer 2.

Uzmemo list papira debljine 0.1 mm i prereˇzemo ga na dva dijela. Svaki od dvaju dobivenih dijelova ponovno prereˇzemo na dva dijela. Zatim svaki od cˇetiriju dijelova ponovno prereˇzemo na dva dijela i tako postupak provedemo ukupno 50 puta. Zamislimo da sve dobivene papiri´ce poslaˇzemo jedan na drugi. Kolika je visina dobivena stupca? Nakon svakog novog rezanja broj papiri´ca se udvostruˇcuje. Tako c´e na kraju taj broj biti jednak 250 = 1 125 899 906 842 624 ≈ 1.126 · 1015 . Kad bismo sve te papiri´ce poslagali jedan na drugi dobili bismo stupac visok 1.126 · 1015 · 10−1 mm = 1.126 · 1015 · 10−1 · 10−6 km = 1.126 · 108 km. Prisjetimo se da je udaljenost Zemlje i Sunca pribliˇzno jednaka 1.5 · 108 km.

53

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Zadatak 2.

U jednoj popularno-znanstvenoj TV emisiji reˇceno je da vidra po jednom cˇetvornom centimetru ima prosjeˇcno 20 000 dlaka, sˇ to je ukupno oko 8 · 109 dlaka. Ovaj se raˇcun pokazuje nevjerodostojnim. Zaˇsto?

OG LE DN IP RIM JE RA K

Primjer 3.

Ako 10 grama pijeska sadrˇzi 3500 zrna, koliko zrna sadrˇzi masa od 100 kg? Rezultat prikaˇzi u znanstvenom zapisu.

8 · 109 = 4 · 105 cm 2 2 · 104 dobit c´emo ukupnu povrˇsinu vidrina tijela. Kako je 1 m 2 = 104 cm 2 , onda je ta povrˇsina jednaka 40 m 2 , sˇ to je nemogu´ce. Podijelimo li

Primjer 4.

Ljudska vlas ima promjer od 10−4 m. Promjer niti paukove mreˇze jednak je 5 · 10−6 m. Koliko je puta ljudska vlas deblja od niti paukove mreˇze? Izraˇcunajmo omjer:

10−4 106 102 = = =20. 5 · 10−6 5 · 104 5 Ljudska je vlas oko 20 puta deblja od niti paukove mreˇze.

Zadatak 3.

Primjer 5.

Iz olujnog oblaka padne 6 500 000 000 000 kapi kiˇse. Proˇcitaj taj broj pa ga prikaˇzi u znanstvenom zapisu. U ljudskom je tijelu oko 6 bilijuna stanica, a u svakoj stanici pribliˇzno 35 000 gena. Koliko je gena u ljudskom organizmu? Raˇcunamo redom: 6 · 1012 · 35 000 = 210 000 · 1012

= 2.1 · 1017 . U ljudskom organizmu ima oko 2.1· 1017 gena.

54

ZNANSTVENI ZAPIS REALNOG BROJA

2.3

Zrnce peludi trave ima masu od 5·10−9 grama. Koliko je zrnaca u 1 g peludi?

Primjer 6.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Ako zrnce peludi trave ima masu od 5 · 10−9 grama, onda je u 1 g peludi 1 · 109 = 2 · 108 zrnaca peludi. 5

Zadatak 4.

U oˇzujku 2013. godine vlasti u Saudijskoj Arabiji upozorile su gradane da se oˇcekuje najezda od 800 milijuna skakavaca. Bio bi to za 45 % ve´ci broj od onoga prije deset godina. Koliki broj skakavaca je napao Saudijsku Arabiju 2003. godine?

Istraˇzite

ZBRINJAVANJE OTPADA

Zbrinjavanje otpada jedan je od najve´cih problema u suvremenom svijetu. Velik je to problem i u nas, posebice u ve´cim gradovima. U Zagrebu je glavno odlagaliˇste otpada smjeˇsteno neposredno uz prigradsko naselje Jakuˇsevac na povrˇsini od 80 hektara. Od 1965. godine, kada je otvoreno, na tom je prostoru odloˇzena tolika koliˇcina otpada da je nastao brijeg visine 45 metara. Na Jakuˇsevcu se u novije vrijeme dnevno zavrˇsi 1000 tona raznovrsnog otpada, a kad bi mu se samo na jedan dan onemogu´cio pristup stvorila bi se kolona kamiona punih otpada duga 15 km.

1) Koliko se otpada svake godine prosjeˇcno odlaˇze na Jakuˇsevcu? Izrazi tu koliˇcinu u kilogramima. 2) Ako pretpostavimo da na Jakuˇsevcu zavrˇsava otpad 500 000 gradana Zagreba, koliko je to godiˇsnje “po glavi”?

3) U Zagrebu se godiˇsnje prikupi 1.1 · 108 kg otpadnog papira. Godˇsnje su potrebe za tim papirom 3.2 · 105 tona, sˇ to znaˇci da ga Hrvatska uvozi. Koliki se dio potreba za otpadnim papirom (izrazi u postotcima) prikuplja u Hrvatskoj? 4) U Hrvatskoj se u godinu dana prikupi 1.5 · 104 tona otpadnog stakla. Ako su godiˇsnje potrebe za otpadnim staklom 9.3 · 107 kg, koliki dio svojih potreba (izraˇzeno u postotcima) Hrvatska uvozi?

55

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Zadatci 2.3.

2.

Zapiˇsi u znanstvenom obliku brojeve

10. Kapljica vode ima prosjeˇcnu masu od 0.08 g. Ko-

1) 500 · 107 ; 3) 500 · 10−7 ;

11. Zrno maka ima masu od 5 · 10−4 g. Koliko je

2) 0.05 · 107 ; 4) 0.05 · 10−7 .

Zapiˇsi u znanstvenom obliku sljede´ce brojeve: −6

1) 1100 · 10 ; 3) 110 · 108 ;

3.

4.

10

2) 0.11 · 10 ; 4) 0.0011 · 10−5 .

Odredi dˇzepnim raˇcunalom rezultat mnoˇzenja i protumaˇci ga: 1) 2) 3) 4) 5)

liko je kapljica vode u 1 m 3 vode?

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

414 515 · 313 616 ; 123 456 789 · 987 654 321 ; 0.000535 : 455 566 ; 0.078865 · 0.000956 ; 9 456 728 : 0.00005 .

zrna u 1 kg maka?

12. Ljudska kosa raste brzinom od 5 · 10−9 m/ s. Koliko centimetara kosa naraste za 10 tjedana?

13. Godiˇsnje se u svijetu rodi oko 130 000 000 djece. Koliko se djece rodi svake minute?

14. Dnevna proizvodnja nafte u svijetu 2005. godine iznosila je oko 7 · 107 barela dnevno. (1 barel = 159 litara).

Obrazloˇzi jednakosti:

1) 108 + 107 = 1.1 · 108 ; 2) 44 · 10−4 · 115 · 10−5 = 5.06 · 10−6 ; 3)

5.

Neka je a = 8.55 · 108 , te b = 9.12 · 105 . 1) Izraˇcunaj a − b . 2) Koliko je a · b ? Rezultate navedi u znanstvenom zapisu.

6.

Neka je a = 2.5 · 10−4 , te b = 6 · 10−3 . 1) Izraˇcunaj b − a . 2) Koliko je b3 ? Rezultate navedi u znanstvenom zapisu.

7.

Neka je a = 4.5 · 10−9 , te b = 6.6 · 105 . 1) Izraˇcunaj a · b . 2) Koliko je a : b ? Rezultate navedi u znanstvenom zapisu.

8.

9.

56

1.3 · 108 3 · 109 = 6 · 107 ; 4) = 245 . 50 5.3 · 105

10

12

11

1) Ako je 2 · 5 = n · 10 , koliki je n ? 2) Ako je 212 · 258 = 6.25 · 10n , koliki je n ? 3) Ako je 410 · 5n = 3.2 · 1016 , koliki je n ?

Pluton je od Zemlje udaljen 4.58 · 109 km. Radiovalovi se sˇ ire brzinom svjetlosti, 3 · 105 km/ s. Koliko c´ e dugo trajati prijenos radijskog signala s Plutona na Zemlju? Rezultat neka bude u znanstvenom zapisu na dvije decimale i to izracˇ unan: 1) u satima; 2) u sekundama.

1) Ako u jednu cisternu stane 2.5 · 104 litara nafte, koliko bi cisterni trebalo za prijevoz ove koliˇcine nafte? 2) Ako je duljina cisterne 10 metara, koliko bi bila duga kolona u koju bi se sloˇzile sve te cisterne?

15. Udio zemalja cˇlanica OPEC-a (engl. Organizati-

on of the Petroleum Exporting Countries) u ukupnoj proizvodnji nafte u svijetu iznosi 40 % . Izracˇ unaj kolika je bila proizvodnja nafte u zemljama OPEC-a 2005. godine, a rezultat izrazi u litrama i u znanstvenom zapisu.

16. Brzina svjetlosti i brzina zvuka

Brzina svjetlosti je oko c = 3 · 108 m/ s. Brzina zvuka je oko 0.2 milje u sekundi. Koliko je puta brˇza svjetlost od zvuka?

17. Pjeˇsice do Mjeseca

Udaljenost Zemlje od Mjeseca je 3.84 · 108 km. Koliko bi vremena trebalo pjeˇsaku koji hoda br- toliku udaljenost? zinom od 4 km/ h da prijede

18. Svjetlosna godina Jedna svjetlosna godina je udaljenost sˇ to je za 365 - svjetlost. Od zvijezde Sjevernjaˇce dana prijede do Zemlje svjetlost putuje 680 godina. Kolika je udaljenost Sjevernjaˇce od Zemlje u metrima?

ZNANSTVENI ZAPIS REALNOG BROJA

19. Proxima Centauri

od poˇcetka 1922. do kraja 1923., u Njemaˇckoj je hiperinflacija podigla cijene s razine 100 na 10 000 000 000. O kakvoj se neda´ci radi ilustriraju i dvije sliˇcice na kojima su prednja i straˇznja strana istog pisma upu´cenog u to vrijeme. Na njima su na ime poˇstarine nalijepljene tri marke od po dvije milijarde maraka, cˇetiri od po 500 milijuna te 50 od po 200 milijuna. Koliko je iznosila poˇstarina za ovo pismo?

OG LE DN IP RIM JE RA K

Proxima Centauri je najbliˇza zvijezda Sunˇcevu sustavu, udaljena je od Zemlje 4.3 svjetlosne godine. Kolika je ta udaljenost u kilometrima?

2.3

20. Rubikova kocka

ˇ Cuvenu Rubikovu kocku valja iz nekog stanja dovesti do toga da su sve njezine strane jednobojne. Broj svih mogu´cih rasporeda boja na vidljivim stranama malih kockica jednak je 43 252 003 274 489 856 000. Prikaˇzi taj broj u znanstvenom zapisu.

24. Inflacijski rekord

Najgora inflacija zadesila je Madarsku u periodu od 1945 do 1946, cijene su se udvostruˇcavale svakih 15 sati. Najve´ca banknota 1944 iznosila je 1000 pengoa, da bi 1946 bila otisnuta novˇcanica od 1 milijarde bilijuna pengoa. Napiˇsi vrijednost te novˇcanice u znanstvenom zapisu.

21. Zagadenje mora

U mnoˇstvu izuma ameriˇckog znanstvenika i izumitelja Benjamina Franklina (1706. – 1790.) mozˇ da je najpoznatiji gromobran. Taj je znanstvenik poznat po izreci “Vrijeme je novac”. Franklin je izraˇcunao da 0.1 cm3 nafte oneˇcisti povrˇsinu vode od 40 m2 . Kolika je pri tom debljina naftne mrlje? Ako je povrˇsina Jadranskog mora jednaka 135 595 km2 , kolika bi koliˇcina nafte po Franklinu pokrila cijelu njegovu povrsˇ inu?

22. Voda u oceanima

Srednja dubina svih oceana na Zemlji je 3.7 · 103 m , a povrˇsina oceana iznosi 3.6 · 1014 m2 . Koliki je obujam vode u oceanima? Uzmi da je 1 L = 1 dm3 .

23. Inflacija Inflacija je jedna od najgorih nepogoda koja mozˇ e zate´ci neku drˇzavu. U nepune dvije godine,

18. kolovoza 1946 uvedena je forinta, 1 forinta vrijedila je 4 · 1029 pengoa. Proˇcitajte taj broj koriste´ci naˇsu skalu.

25. Puˇsaˇci

Uzmimo da je neki pusˇ aˇc poˇceo puˇsiti s 18 godina (tada neka osoba moˇze legalno kupiti cigarete) i da je doˇzivio 70 godina. Pretpostavimo da popuˇsi kutiju od 20 cigareta dnevno. 1) Koliko cigareta je puˇsaˇc popuˇsio za zˇ ivota? 2) Ako je puˇsenje tom puˇsaˇcu skratilo zˇ ivot za 5 godina, koliko je njegov zˇ ivot skratila jedna popuˇsena cigareta?

26. Solarna energija

Povrˇsina od 1 m2 jedne vrste solarnih c´elija moˇze proizvesti 140 W elektriˇcne energije. Jednogodiˇsnja potroˇsnja elektriˇcne energije u Republici Hrvatskoj je 2 100 MW (1 MW = 106 W). Koli-

57

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

28. Raˇcunalo

OG LE DN IP RIM JE RA K

- c raˇcunala IBM Godine 1988. poznati proizvodaˇ pustio je u prodaju raˇcunalo koje izvodi 3.9 · 108 raˇcunskih operacija u sekundi. Bilo je to 15 000 puta brˇze od najbrˇzih stolnih raˇcunala toga vremena. Koliko je operacija u sekundi izvodilo “staro” stolno raˇcunalo?

Na internetskoj adresi http://element.hr/ plus/2/potencije-i-algebarski-izrazi nalazi se nekoliko kvizova koji mogu dobro posluˇziti za uvjeˇzbavanje gradiva o potencijama. Preporuˇcujemo ti da ih proradiˇs.

ka bi bila povrˇsina solarnih c´elija iz kojih bismo dobivali svu ovu energiju?

27. Kineski zid

U Ripleyjevoj knjizi Vjerovali ili ne iz godine - ostaloga stoji kako je Kineski zid, 1932. izmedu jedno od svjetskih cˇuda, vidljiv golim ljudskim okom i s Mjeseca. Ta je gradevina ukupno duga oko 8800 km, a njezina najve´ca sˇ irina je 9.1 metar. Je li tvrdnja vjerodostojna?

Usporedimo vidljivost Kineskog zida s Mjeseca s vidljivoˇsc´ u vlasi ljudske kose s neke udaljenosti d . Uzmimo da je promjer ljudske vlasi 8 · 10−8 km . Postavimo omjer: 5

−8

−3

d : 3.844 · 10 = 8 · 10 : 9.1 · 10 . 3.844 · 105 · 8 · 10−8 Odatle je d = ≈ 3.38 km . 9.1 · 10−3 Dakle, tvrdnja da se Kineski zid vidi s Mjesca odgovara tvrdnji da je ljudska vlas vidljiva na udaljenosti ve´coj od 3 km. Izraˇcunajte s koje je najve´ce udaljenosti iz svemira vidljiv Kineski zid uz pretpostavku da je ljudska vlas vidljiva na najve´coj udaljenosti od 1 m.

Toˇcno-netoˇcno pitalice

Koje su od sljede´cih tvrdnji toˇcne, a koje netoˇcne? Odgovori, a odgovor obrazloˇzi.

1.

−2−2 · (−2)2 = −1 .

2.

(0.1)−2 + (0.1)−2 + (0.1)−2 = 106 .

3.

10−10 − 10−8 = 0.1 . 10−9 − 10−7

4.

(0.1)4 · (0.01)5 = 10−14 .

5.

85 + 85 = 48 .

6.

100 − (−10)−2 = 1.01 .

7. Ako je 2m+1 = x te 2n−1 = y , onda je 4m+n = x2 y2 .

8. Broj 225 · 2515 ima 25 znamenki. 9.

1 · 104 + 2 · 102 + 4 · 10−1 + 10−3 = 10 200.401 .

10. 0.0355 · 108 = 3.55 · 106 .

11. Broj 1234 · 10−9 u znanstvenom zapisu glasi 1.234 · 10−6 .

12. 85 000 · 6440 = 5.474 · 108 .

58

ALGEBARSKI IZRAZI. POTENCIRANJE BINOMA

2.4

2.4. Algebarski izrazi. Potenciranje binoma

OG LE DN IP RIM JE RA K

Algebarski izrazi

ˇ Pri raˇcunanju najˇceˇsc´e rabimo posebne brojeve. Zovemo ih konstantama. Zelimo li, medutim, iskazati neko op´ce matematiˇcko pravilo, neku zakonitost, neko svojstvo ili zapisati neku formulu, koristimo se op´cim brojevima ili varijablama. Prepoznajete li ove zapise:

1 1 a · v, V = B · v, C = C0 · p, s = gt2 ? 2 2 ˇ oni izraˇzavaju? Prvi bismo mogli proˇcitati kao opseg trokuta, drugi kao Sto povrˇsinu trokuta itd. o = a + b + c,

P=

Algebarski izraz je bilo koji izraz koji saˇcinjavaju varijable i konstante povezane osnovnim algebarskim operacijama. Najjednostavniji algebarski izraz je monom. Monom je jednoˇclan, on je umnoˇzak konstanti i varijabli. Evo nekoliko primjera monoma: 1 2 2x, a b, −3abc, r2 π . 2 U monomu 2x broj 2 je konstanta ili koeficijent, a x je varijabla. U monomu 1 2 1 a b broj je koeficijent, a i b su varijable. 2 2

Zbroj dvaju monoma je binom. Izrazi a2 + b2 ,

3xy + 2z,

x3 − 1

primjeri su binoma, dvoˇclanih algebarskih izraza.

Troˇclani izraz, kao sˇ to je izraz 3xy2 −2xy−1 zove se trinom. Op´cenito, viˇseˇclani algebarski izrazi zovu se polinomi.

S polinomima raˇcunamo primjenjuju´ci poznata svojstva raˇcunskih operacija. Pritom se osobita pozornost posve´cuje mnoˇzenju. Ono se zasniva na svojstvu distributivnosti mnoˇzenja prema zbrajanju realnih brojeva: a · (b + c) = a · b + a · c.

Ovo svojstvo primjenjujemo i pri mnoˇzenju viˇseˇclanih algebarskih izraza. Evo kako to izgleda kad mnoˇzimo dva binoma: (a + b) · (c + d) = (a + b) · c + (a + b) · d = a · c + b · c + a · d + b · d.

Svaki cˇlan prvog pomnoˇzili smo sa svakim cˇlanom drugog binoma. Ovo pravilo proˇsiruje se na umnoˇzak dvaju viˇseˇclanih izraza. Primjerice: (x2 − 2x + 3) · (2x − 5) = 2x3 − 5x2 − 4x2 + 10x + 6x − 15 = 2x3 − 9x2 + 16x − 15.

59

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Potenciranje binoma Vidjeli smo kako se potencira umnoˇzak viˇse realnih brojeva. Vrijedi (a · b)n = an · bn . Ova se jednakost proˇsiruje na potenciranje umnoˇska bilo koliko faktora pa op´cenito vrijedi:

OG LE DN IP RIM JE RA K

Umnoˇzak potenciramo tako da potenciramo svaki pojedini faktor umnoˇska.

(a1 · a2 · a3 · . . . · am )n = an1 · an2 · an3 · . . . · anm .

Kako potencirati viˇseˇclani algebarski izraz? Potraˇzimo odgovor na ovo pitanje za najjednostavniji sluˇcaj, za kvadriranje dvoˇclana izraza, za kvadriranje binoma.

Koliko je dakle (a + b)2 ? Imamo redom:

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .

Kvadrat binoma

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

Za kvadriranje razlike dvaju realnih brojeva onda vrijedi:

(a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2a · (−b) + (−b)2 = a2 − 2ab + b2 .

Bez rijeˇci

KVADRAT BINOMA

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 60

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

ALGEBARSKI IZRAZI. POTENCIRANJE BINOMA

Primjer 1.

2.4

U ovom primjeru provedena su kvadriranja nekih dvoˇclanih izraza. 1) (a + 3)2 = a2 + 2a · 3 + 32 = a2 + 6a + 9 ; 2) (2x + 5y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 5y + (5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2 ;

OG LE DN IP RIM JE RA K

3) (x2 − 10y)2 = (x2 )2 + 2x2 · (−10y) + (−10y)2 = x4 − 20x2 y + 100y2 .

Zadatak 1.

Provedi sljede´ca kvadriranja:

1) (ab + 1)2 ;

2) (3x − 4y)2 ;

3)

2

3 2 x+ y ; 3 4

4) (0.1 − 0.2a)2 .

Identitet, koji smo nazvali kvadrat binoma, cˇesto primjenjujemo i u obrnutom smjeru, zdesna u lijevo: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 . Time neke troˇclane izraze zapisujemo u obliku jednoˇclanih. Primjerice: a2 − 8a + 16 = a2 − 2 · 4a + 42 = (a − 4)2 .

Zadatak 2.

Navedeni troˇclani izrazi rezultati su kvadriranja dvoˇclanih izraza. Kojih?

1) 4a2 + 20a + 25 ; 3) x4 − 16x2 + 64 ;

2) 4x2 − 4x + 1 ; 1 4) b2 − b + 1 . 4

Bez rijeˇci

KVADRAT TRINOMA

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) 61

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

OG LE DN IP RIM JE RA K

U ovom dijelu gradiva, a i kasnije tijekom sˇ kolovanja, cˇesto c´emo pri postupanju s raznim algebarskim izrazima rabiti rijeˇc identitet. Identitet je jednakost koja je ispunjena za svaki broj iz nekog istaknutog skupa brojeva. Tako je jednakost (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 primjer identiteta u skupu realnih brojeva. Ona je toˇcna za svaka dva realna broja a i b . U nastavku c´emo upoznati cˇitav niz algebarskih identiteta. Kako se dvoˇclani izraz potencira eksponentom koji je ve´ci od 2? Izraˇcunajmo (a + b)3 : (a + b)3 = (a + b)2 · (a + b) = (a2 + 2ab + b2 ) · (a + b) = a3 + a2 b + 2a2 b + 2ab2 + ab2 + b3

= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .

U slobodnijem izraˇzavanju obiˇcno kaˇzemo da smo kubirali binom, u ovom sluˇcaju zbroj dvaju realnih brojeva. Koriste´ci se prethodnim identitetom moˇzemo odrediti i kub razlike dvaju brojeva: (a − b)3 = (a + (−b))3 = a3 + 3a2 · (−b) + 3a · (−b)2 + (−b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 .

Kub binoma

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi:

(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 .

Primjer 2.

Evo nekoliko primjera kubiranja dvoˇclanih izraza:

1) (2a + 3b)3 = (2a)3 + 3 · (2a)2 · (3b) + 3 · (2a) · (3b)2 + (3b)3 = 8a3 + 36a2 b + 54ab2 + 27b3 ;

2) (5a2 − 1)3 = (5a2 )3 + 3 · (5a2 )2 · (−1) + 3 · 5a2 · (−1)2 + (−1)3

= 125a6 − 75a4 + 15a2 − 1 ; 2 8 3 1 2 1 1 1 3 3) x+ y = x + x y + xy2 + y3 . 3 4 27 3 8 64

Zadatak 3.

Provedi naznaˇceno kubiranje u svakom od sljede´cih zadataka:  3

3

1) (3a + 5) ;

62

2)

3 1 1 x− y ; 2 3

3) (m4 − 3n3 )3 .

ALGEBARSKI IZRAZI. POTENCIRANJE BINOMA

2.4

Kutak plus

POTENCIRANJE BINOMA

OG LE DN IP RIM JE RA K

Vidjeli smo kako se kvadrira i kako se kubira binom. Prirodno se name´ce pitanje: kako odrediti bilo koju potenciju dvoˇclana izraza, odnosno, kako izraˇcunati (a + b)n za bilo koji prirodni broj n ? Imamo redom:

(a + b)4 = (a + b)3 · (a + b) = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .

(a + b)5 = (a + b)4 · (a + b) = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 .

(a + b)6 = (a + b)5 · (a + b) = a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 .

Postupak bismo mogli nastaviti, ali ve´c je i ovo dovoljno za sljede´ci zakljuˇcak.

Prvo, broj cˇlanova polinoma koji dobijemo nakon mnoˇzenja za 1 je ve´ci od eksponenta potencije s lijeve strane pojedine jednakosti. I drugo, u cˇlanovima polinoma, od poˇcetka prema kraju, eksponenti od a padaju, a eksponenti od b rastu. Njihov je zbroj u svakom pribrojniku uvijek jednak eksponentu n potencije (a + b)n . Preostaje joˇs pitanje: kako odrediti koeficijente polinoma? Podimo redom, od kvadrata, te ispiˇsimo koeficijente u jednu trokutastu tablicu: 1

1

1

1

1

4

5

6

2

3

6

10

15

1

3

1

4

10

20

1

5

15

1

6

1

Promotrimo li dobro ovu tablicu, uoˇcit c´emo pravilo ispisivanja brojeva u pojedinom retku. Naime, na poˇcetku i kraju svakog retka je broj 1. Svaki je ostali broj u retku zbroj dvaju brojeva koji se nalaze iznad njega.

Tablicu bismo na vrhu mogli dopuniti koeficijentima od (a + b)1 = 1 · a + 1 · b , a na sam vrh staviti broj 1, (jer je (a + b)0 = 1 ). Tako bi nastao trokut poznat kao Pascalov trokut.

Blaise Pascal (1623. – 1662.), francuski matematiˇcar, fiziˇcar i filozof

Evo kako bismo sada odredili, primjerice, (a + b)7 :

(a + b)7 = a7 + 7a6 b + 21a5 b2 + 35a4 b3 + 35a3 b4 + 21a2 b5 + 7ab6 + b7 .

Rijeˇsi zadatke:

1. Dopiˇsi joˇs cˇetiri retka Pascalova trokuta.

2. Ispiˇsi sve cˇlanove polinoma koji dobijemo izraˇcunavanjem potencije (a − b)9 . 3. Izraˇcunaj (2x − 3y)5 .

4. Odredi 9. cˇlan polinoma koji se dobije potenciranjem binoma (a2 − b3 )10 . ˇ primje´cujeˇs? Obrazloˇzi! 5. Izraˇcunaj zbroj svih brojeva u pojedinom retku Pascalova trokuta. Sto

63

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Zadatci 2.4. Odaberi za x , y i z bilo koje brojeve te provjeri da se nakon njihova uvrˇstavanja u polja tablice dobije magiˇcni kvadrat. Pokaˇzi kako je kvadrat magiˇcan, neovisno o izboru triju brojeva.

6.

Odredi onaj cˇ lan umnoˇska (3a − 5b + 1)(a + 2b − 4ab) koji sadrˇzi ab .

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

7.

Odredi onaj cˇ lan umnoˇska

(2a − 3b)(3a + b)(a − b)

koji sadrˇzi ab2 .

8.

Odredi onaj cˇ lan umnoˇska

(a − b + ab)(a + b − ab)(a + b + ab)

koji sadrˇzi a2 b2 .

9.

2.

Sljede´ce jednakosti vrijede za sve realne brojeve a, b i c . Provjeri. 1) 2) 3) 4)

3.

a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2(ab+ac+bc) ; a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = 0 ; a(b + c) − b(c + a) − c(a + b) = −2bc ; a(b − c) − b(c − a) − c(a − b) = 2(ab − ac) .

Pojednostavni:

1) 2a(3a − 5b) + 2b(2a − 3b) − 6a(a − b) ; 2) x(x − 2y2 ) − y(2x2 − y) + 2xy(x + y) ; 3) 2ab(a−b)−a(a−b2 )−b(a2 −b)+a2 −b2 .

4.

Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

5.

Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

64

(x − 2y)(x + 2y) − (2x − y)(2x + y) ; (x − y)(x + 2y) − (x + y)(2x − y) ; (x − y)(x − 1) − (x + y)(x + 1) ; (2a − 3b)(3a + 2b) − (2a − 3b)(3a − 2b) ; (2x − 5y)(3x + 4y) + (3x + 2y)(4x − 5y) ; (x2 + 1)(y2 − 1) + (x2 − 1)(y2 + 1) .

Ako je 3a−b+2c+5d = 11 te a+5b+2c−d=9 , koliko je a + b + c + d ?

10. Ako je 13x − 52y = 1 , koliko je 11x − 44y ? 11. Ako je u = −2x2 + 6xy − 4y2 te v = 3x2 − 9xy + 6y2 , onda je 3u + 2v = 0 . Provjeri!

12. Ako je (2x − y)(x − 2y) = 4 , koliko je −4x2 + 10xy − 4y2 ?

13. Ako je (3x + 2)(2x − 3) = 11 , koliko je (x − 1)(6x + 1)?

14. Ako je (4x − 2)(3x − 4) = 9 , koliko je (3x − 1)(2x − 3)?

15. Dokaˇzi da je za svaki prirodni broj n broj (2n + 3)(3n − 2) − (3n + 2)(2n − 3)

djeljiv s 10.

16. Dokaˇzi da je za svaki prirodni broj n broj (2n + 3)(3n − 7) − (n + 1)(n − 1) djeljiv s 10.

17. Dokaˇzi da je za svaki prirodni broj n broj

(5n − 2)(3n − 1) − (2n + 3)(2n − 3) djeljiv s 11. (2a − b + 1)(a + b) − (2a + b − 1)(a − b) ; 18. Izraˇcunaj: (a − b + c)(a − c) + (a + b − c)(a + c) ; 123456787 · 123456788 − 123456789 · 123456786. (x − 2y + 3z)(x + y) − (x + 2y − 3z)(x − y) ; (x−2y−1)(x−2y+1)−(x+2y−1)(x+2y+1) ; (2a−b+c)(2a+b−c)−(2a−b−c)(2a+b+c) ; (3a−2b+c)(2a+3b−c)−(2a+3b−c)(3a+2b+c) . Provedi kvadriranja:

ALGEBARSKI IZRAZI. POTENCIRANJE BINOMA

19. 1) (3a + 2b)2 ;

20. 1) 3) 5) 7) 9)

21. 1) 3) 5) 7) 9)

(7a + 3b)2 ; (2a − 1)2 ; (10a − b)2 ; (11a + 1)2 ; 1

2

a+b ; 2 1 2 2 a− ; 2 3 3  1 2 a+ ; 4 6 1 2 a−1 ; 10 3 1 2 a+ b ; 8 6 1 2 2 x2 − y2 ; 2 3 1 1 2 3 2 x− y z ; 6 3 (0.1 + a2 b2 )2 ; (0.2x2 + 0.3y3 )2 ; 2 x2 − 6yz3 )2 ; 3

1

2

a−1 ; 2 2 3 2 a+ b ; 4) 3 4 2 1 ab − c ; 6) 2 4 5 2 8) a+ b ; 5 6 8 5 2 a− b . 10) 15 12  1 2 2) 5x2 y2 + ; 4 2 3 2 a3 + b4 c ; 4) 3 4 6) (a2 b − ab2 )2 ; 8) (0.5a3 − 1)2 ; 1 2 a3 − 2 . 10) 4 2)

22. Provjeri sljede´ca dva identiteta i opiˇsi njihovo znaˇcenje:

1) (−a − b)2 = (a + b)2 ; 2) (a − b)2 = (b − a)2 .

23. Ako je (−2x + 1)2 = 3 , koliko je (4x − 2)2 ? 24. Ako je (−3x + 6)2 = 9 , koliko je (x − 2)2 ? 25. Provjeri sljede´ce identitete: 1) 2) 3) 4)

30. Ako je a2 + b2 = 13 , a + b = 11 , koliko je ab ? 31. Ako je a − b = 3 , a + b = 2 , koliko je a2 + b2 ? 32. Ako je x2 + xy + y2 = 7 i x + y = 2 , koliko je x2 + y2 ?

33. Ako je x2 − xy + y2 = 7 i x − y = 5 , koliko je

OG LE DN IP RIM JE RA K

3) 5) 7) 9)

2) (4a + 5)2 ; 4) (5a + 6)2 ; 6) (4a − 3b)2 ; 8) (6a − 5)2 ; 10) (8a + 3)2 .

2.4

(x − 2y)2 + 8xy = (x + 2y)2 ; (2a + 3b)2 − 24ab = (2a − 3b)2 ; x2 + 9y2 = (x + 3y)2 − 6xy ; 16a2 + 25b2 = (4a + 5b)2 − 40ab .

26. Ako je 2a(2a − 3) = 10 , koliko je (4a − 3)2 ?

27. Ako je (x − 1)(x − 3) = 5 , koliko je (x − 2)2 ?

28. Ako je a + b = 1 , koliko je a(a − 2) + b(b − 2) + 2ab ?

29. Ako je a + b = 3 , ab = −1 , koliko je a2 + b2 ?

xy ?

34. Ako je a2 − a − 1 = 0 , koliko je a4 − 2a3 + a2 ? 35. Za koji je broj k dana jednakost identitet: 1) (4a − 2)4 = k · (2a − 1)4 ; 2) (6a − 3)3 = k · (1 − 2a)3 ?

36. Provjeri: (ka + kb)2 = k2 · (a + b)2 . 37. Ako je x+y =

3 1 , x·y = − , koliko je x2 +y2 ? 5 5

38. Ako je x +

1 1 = 2 , koliko je x2 + 2 ? x x

39. Ako je x +

1 1 = 5 , koliko je x4 + 4 ? x x

40. Ako je a −

1 1 = 3 , koliko je a2 + 2 ? a a

41. Zapiˇsi u obliku kvadrata binoma: 1) 4x2 + 4x + 1 ; 2) x2 − 6x + 9 ; 1 3) a2 − ab + b2 ; 4 9 4) a2 + 3a + ; 4 1 2 5) 4x + x + ; 16 4 9 6) a4 + b4 −a2 b2 ; 9 16 7) a4 b4 − 8a2 b2 + 16 ; 8) 9a2 b4 − 24ab2c3 + 16c6 .

42. Zapiˇsi u obliku kvadrata binoma: 1) 4a2 + 28a + 49 ; 2) 9a2 − 30ab + 25b2 ; 9 1 1 3) a2 + ab + b2 ; 9 2 16 1 4) a2 b2 − 3ab + 9 ; 4

65

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

43. Za koju vrijednost od m se sljede´ci trinomi mogu

3)  4)

a+b 2 a+b 2



2 +



2 −

a−b 2 a−b 2

2 = 2

a2 + b2 ; 2

= ab ;

5) (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 ; 6) (a2 − b2 )(c2 − d2 ) = (ac + bd)2 − (ad + bc)2 ;

prikazati u obliku kvadrata binoma:

7) (ad+bc)2 +(ac−bd)2 = (ad−bc)2 +(ac+bd)2 ;

1) mx2 − 12x + 4 ; 3) x2 − 5x + 4m ?

8) (ad−bc)2 −(ac−bd)2 = (ad+bc)2 −(ac+bd)2 .

2) 16x2 − 8mx + 25 ;

54. Pojednostavni:

44. Izraˇcunaj napamet: 1) 2) 3) 4)

5.22 + 6.82 + 10.4 · 6.8 ; 1102 + 102 − 2200 ; 13.82 + 16.22 + 32.4 · 13.8 ; 15.12 − 30.2 · 5.1 + 5.12 .

45. Za koji realni broj a je polinom 9x2 + 3ax + 1 , kvadrat binoma?

46. Za koji realni broj m je polinom 4x2 − 3mx + 9 , kvadrat binoma?

47. Za koje x izraz x2 − 2x + 3 prima najmanju vrijednost?

48. Za koje x izraz 1 − x − x prima najve´cu vrijed2

nost?

49. Ako je 4x2 + y2 − 4x + 2y + 2 = 0 , koliki su x i y?

50. Ako je 2x2 + 4xy + 4y2 − 2x + 1 = 0 , odredi x i y?

51. Dokaˇzi:

1) (n + 7)2 − n2 je broj djeljiv sa 7 za svaki cijeli broj n ; 2) (n + 2)2 − (n − 2)2 je broj djeljiv s 8 za svaki cijeli broj n .

52. Broj (5k + 1)2 + (5m + 2) je djeljiv s 5 za svaka dva broja k i m .

53. Provjeri vrijede li sljede´ce jednakosti za sve realne brojeve a , b i c :

1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 ) ; 2) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab ;

66



OG LE DN IP RIM JE RA K

5) 16a4 + 24a2 b3 + 9b6 ; 6) 49a6 − 70a3 b4 + 25b8 ; 4 9 4 3 2 a + a b + b2 ; 7) 16 5 25 4 2 2 6 9 8) a b − ab + . 25 5 4

 2  2 1 1 1) 2a + − 2a − ; 4 4

2) 3) 4) 5) 6)

2a(3a − 2b)2 + 6b(2a − 3b)2 ; (2a − 1)2 (a + 1) − (2a + 1)2 (a − 1) ; (x2 − 4)2 − (x + 2)(x − 2)(x2 + 4) ; (a − 2b)2 + (a + 2b)2 ; (2a + 3b)2 − (3a − 2b)2 .

55. Provjeri da za kvadriranje troˇclanog izraza vri-

jedi: (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 +2ab+2bc+2ac . Izraˇcunaj zatim i (a + b + c + d)2 .

56. Kvadriraj sljede´ce trinome: 1) 3) 5) 7)

(a + b − c)2 ; (2a − 3b + c)2 ; (ab − bc − ca)2 ; (2a − 3b + c)2 ;

2) 4) 6) 8)

(a − b − c)2 ; (a − 2b − 3c)2 ; (2ab − b + 3bc)2 ; (3a − 2b − c)2 .

57. Primjenjuju´ci identitete

(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 odredi: 1) (4a + 1)3 ; 3) (ab + 5)3 ; 1 5) (2a2 − )3 ; 6

2) (a − 6)3 ; 4) (3a − 5b)3 ;

6) (2ab − 3cd)3 .

58. Primjenjuju´ci identitete

(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 odredi: 1 1 3 c2 − d 2 ; 1) 2) (3a2 b − 4c3 )3 ; 3 2 2 3 3 3) a2 b2 − c4 ; 4) (2m − 3m )3 ; 3 2 5) (2n + 2m )3 ; 6) (2n+1 − 2n−1 )3 .

ALGEBARSKI IZRAZI. POTENCIRANJE BINOMA

59. Kubiraj: 2 2

64. Zapiˇsi u obliku kuba binoma sljede´ce cˇetveroˇcla3

1) (a b − 5) ; 3) (4a + 3b2 )3 ; 5) (6a4 − 5)3 ;

2

3

2) (2ab − 1) ; 4) (a3 b3 − 3)3 ; 6) (4a2 b3 + 3c4 )3 .

3 1 2 2 a b +1 ; 1) 3 3  2 a+1 ; 3) 3 3  3 2 ab − cd ; 5) 3 4

 3 1 2) a − ; 3 3  1 1 a+ b ; 4) 2 3  3 2 2 1 2 a + b 6) . 5 6

61. Odredi drugi cˇlan nakon provedenog kubiranja binoma: 1) (3a2 b3 − 1)3 ;

2) (4a3 b2 + 11c4 )3 .

62. Odredi tre´ci cˇlan nakon provedenog kubiranja binoma:

ne izraze: 1) a3 + 6a2 + 12a + 8 ; 2) 27a3 − 27a2 + 9a − 1 ; 3) a3 −21a2 +147a−343 ; 4) 125a3+225a2b+135ab2+27b3 ; 5) a6 b6 − 12a4b4 + 48a2b2 − 64 ; 6) 27a6 b3 + 54a4 b2 c3 + 36a2 bc6 + 8c9 ; 1 9 1 ; 7) 27a3 − a2 + a − 2 4 216 1 1 1 1 8) a3 b3 − a2 b2 cd + abc2 d2 − c3 d3 . 8 4 6 27

OG LE DN IP RIM JE RA K

60. Kubiraj: 

2.4

1) (3a2 b − 5)3 ;

2) (4a2 b3 + 11)3 .

63. Za koje cijele brojeve a i b je cˇetveroˇclani izraz kub binoma: 1) 27x3 +ax2 +bx−64 ; 2) ax3 +12x2 +6x+b ; 3) ax3 +150x2 +bx+8 ; 4) x3 +ax2 +48x+b .

65. Zapiˇsi u obliku kuba binoma sljede´ce cˇetveroˇclane izraze: 1) 27m + 3 · 18m + 3 · 12m + 8m ; 2) 8n − 3 · 22n+m + 3 · 2n+2m − 8m ; 3) a3 − 12a2 + 48a − 64 ; 4) 27a3 + 27a2 + 9a + 1 ; 5) 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3 ; 6) 64a6 − 144a4b + 108a2 b2 − 27b3 ; 7) 8a3 + 60a2b2 + 150ab4 + 125b6 ; 8) a9 − 18a6 b2 + 108a3b4 − 216b6 .

Bez rijeˇci

(a + b)2 = (a − b)2 + 4ab. 67

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

2.5. Razlika i zbroj potencija

OG LE DN IP RIM JE RA K

Mnoˇzenjem dvaju viˇseˇclanih algebarskih izraza od kojih jedan ima m , a drugi n cˇlanova dobijemo viˇseˇclani izraz s ukupno m · n pribrojnika. Neki od tih pribrojnika ponekad se mogu zbrojiti ili oduzeti. Jedan poseban primjer u tom smislu je umnoˇzak razlike i zbroja dvaju brojeva: (a − b) · (a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2 .

Rezultat mnoˇzenja je dvoˇclan, on je razlika kvadrata brojeva a i b . Razlika kvadrata

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi jednakost

(a − b) · (a + b) = a2 − b2 .

Primjer 1.

Koriste´ci se gornjim identitetom provedeno je “skra´ceno” mnoˇzenje: 1) (a − 4) · (a + 4) = a2 − 42 = a2 − 16 ;

2) (3x − 8y) · (3x + 8y) = (3x)2 − (8y)2 = 9x2 − 64y2 ; 3)

Zadatak 1.

2  1 2   1 2  2 2 1 2 2 4 2 ab − c · ab + c = ab − c = a b − c . 2 3 2 3 2 3 4 9

1

Zapiˇsi u obliku razlike kvadrata sljede´ce umnoˇske:

1) (2x − 7y) · (2x + 7y) ; 3 2  3 2  3) x − yz · x + yz . 5 3 5 3

2) (a2 − 1) · (a2 + 1) ;

Uoˇcimo kako nam identitet a2 − b2 = (a − b) · (a + b) omogu´cuje zapis razlike kvadrata dvaju brojeva kao umnoˇska njihove razlike i njihova zbroja. Evo nekoliko primjera.

Primjer 2.

1) x2 − 9y2 = x2 − (3y)2 = (x − 3y) · (x + 3y) ; 2) 16a4 −

 1 2  1 1  2 1 · 4a + ; = 4a2 − = (4a2 )2 − 4 2 2 2

3) c6 − 0.01 = (c3 )2 − (0.1)2 = (c3 − 0.1) · (c3 + 0.1) .

68

RAZLIKA I ZBROJ POTENCIJA

Zadatak 2.

2.5

Sljede´ce razlike kvadrata dvaju brojeva zapiˇsi u obliku umnoˇska njihove razlike i njihova zbroja: 1) 9a2 − 25b2 ;

2) 16x4 − 1 ;

3)

1 2 2 a b − 1.44c2 . 4

OG LE DN IP RIM JE RA K

Za razliku tre´cih potencija (kubova) vrijedi identitet koji je poop´cenje razlike kvadrata. Razlika kubova

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi sljede´ca jednakost:

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2 )

Bez rijeˇci

RAZLIKA KVADRATA

Na slikama su prikazana dva geometrijska tumaˇcenja razlike kvadrata. Prouˇcite ih i obrazlozˇ ite.

a2 − b2 = (a − b)(a + b).

1)

2)

69

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Identitet moˇzemo jednostavno provjeriti provedemo li mnoˇzenje naznaˇceno na desnoj strani. Uˇcini to!

OG LE DN IP RIM JE RA K

I ovaj se identitet moˇze iˇscˇitati dvojako. Slijeva u desno prikazujemo razliku kubova kao umnoˇzak dvaju polinoma. Gledamo li zdesna u lijevo, rijeˇc je o “skra´cenom” mnoˇzenju.

Primjer 3.

U sljede´cim primjerima razlike tre´cih potencija zapisane su u obliku umnoˇska dvoˇclanog i troˇclanog izraza:

1) 8a3 − 27b3 = (2a)3 − (3b)3 = (2a − 3b) · ((2a)2 + 2a · 3b + (3b)2 ) = (2a − 3b)(4a2 + 6ab + 9b2 ) ;

2) 125x3 − 1 = (5x)3 − 13 = (5x − 1) · (25x2 + 5x + 1) .

Zadatak 3.

Zapiˇsi u obliku umnoˇska sljede´ce razlike kubova: 1) 27x3 − 125y3 ;

2) a3 − 8 ;

3)

1 3 1 x − . 64 125

Iz izraza za razliku kubova lako se izvede novi identitet – zbroj kubova: a3 +b3 = a3 −(−b)3 = (a−(−b))·(a2 +a·(−b)+(−b)2 ) = (a+b)·(a2 −ab+b2 ). Zbroj kubova

Za svaka dva realna broja a i b vrijedi jednakost:

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2 ).

Primjer 4.

U sljede´cim primjerima zbrojevi tre´cih potencija zapisani su u obliku umnoˇska dvaju faktora: 1) a3 + 0.001 = a3 + (0.1)3 = (a + 0.1)(a2 − 0.1a + 0.01) ; 2)

70

 1 3  1 3  1 1 1  1 4 1 1 1 6 . = x + = x2 + x2 + x − x2 + 8 125 2 5 2 5 4 10 25

RAZLIKA I ZBROJ POTENCIJA

Zadatak 4.

2.5

Zapiˇsi u obliku umnoˇska sljede´ce zbrojeve kubova: 1 3 1 a + b3 ; 27 64

2) 729a6 + 1 ;

3) 0.001x3 + 1 .

OG LE DN IP RIM JE RA K

1)

Kutak plus

RAZLIKA I ZBROJ POTENCIJA Identiteti

a2 − b2 = (a − b) · (a + b);

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2 )

pokazuju kako se razlika kvadrata i razlika kubova dvaju brojeva mogu zapisati u obliku umnoˇska. Lako je provjeriti da vrijede i sljede´ca dva identiteta: a4 − b4 = (a − b) · (a3 + a2 b + ab2 + b3 );

a5 − b5 = (a − b) · (a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 ).

Ovaj induktivni put vodi prema zakljuˇcku:

za svaki prirodni broj n i svaka dva realna broja a i b vrijedi identitet:

an − bn = (a − b) · (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + . . . + a2 bn−3 + abn−2 + bn−1 ).

Kada je rijeˇc o sliˇcnom zapisu zbroja potencija an + bn , onda vrijedi sljede´ci pouˇcak:

zbroj dviju potencija an + bn , cˇiji je eksponent isti prirodni broj n , moˇze se zapisati u obliku umnoˇska ako i samo ako je n neparan broj. Tada vrijedi: a2k+1 + b2k+1 = (a + b) · (a2k − a2k−1 b + a2k−2 b2 − . . . + a2 b2k−2 − ab2k−1 + b2k ).

Rijeˇsi zadatke:

1. Zapiˇsi u obliku umnoˇska polinom a12 − 1 .

2. Zapiˇsi u obliku umnoˇska zbroj potencija x5 + y5 . 3. Dokaˇzi da je razlika 11n − 1 broj djeljiv s 10 za svaki prirodni broj n . 4. Dokaˇzi da je broj 530 − 260 djeljiv s 9. 5. Skrati razlomak:

x8 + x6 + x4 + x2 + 1 . x4 + x3 + x2 + x + 1

71

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Zadatci 2.5.

2.

Pomnoˇzi: 1) (2a − 3)(2a + 3) ; 2) (4a + 5)(4a − 5) ; 3) (ab − 11)(ab + 11) ; 4) (a2 b2 − 7)(a2 b2 + 7) ; 5) (2ab3 + 3)(3 − 2ab3 ) ; 6) (a2 + 6b3 )(a2 − 6b3 ) ;    1 3 1 2 1 3 1 2 a − b c a + bc ; 7) 3 4 3 4    3 3 3 3 3 3 8) a b − 0.1 a b + 0.1 . 5 5

Zapiˇsi u obliku razlike kvadrata sljede´ce umnoˇske: 1) (2ab − 3)(2ab + 3) ; 2) (13x − 12yz)(13x + 12yz) ; 3) (5 − abc)(5 + abc) ; 4) (a2 − 10)(a2 + 10) ; 1 3  1 3  a − bc a + bc ; 5) 2 4 2 4 2 3  2 3  ab + bc ab − bc ; 6) 3 4 3 4  1  1  7) 0.2a − 0.2a + ; 7bc 7bc    3 3 8) 0.1ab2 − 3 0.1ab2+ 3 . 5c 5c

3.

Ako je a2 − b2 = 15 , a − b = 9 , koliko je 1 − 3a − 3b ?

4.

Ako je x2 − y2 = 21 , y = x + 3 , koliko je x + y ?

5.

Ako je (a + b)2 = 11 , (a − b)2 = 13 , koliko je (a2 − b2 )2 ?

6.

Ako je (x + 1)(x − 1) = 3 , koliko je: 1) (x2 − x)(x2 + x) ;

7.

72

2) (x3 − x)(x3 + x) ?

Izraˇcunaj: 1) 2) 3) 4) 5)

6) (a2 + 2b − c3 )(a2 − 2b + c3 ) ; 7) (5a + 3b2 + 4c3 )(5a − 3b2 − 4c3 ) ; 8) (3a2 − 3b2 − 3c2 )(3a2 − 3b2 + 3c2 ) .

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

(a + b + c)(a − b − c) ; (a + b − c)(a − b + c) ; (a − b + c)(a − b − c) ; (a − b − c)(a + b − c) ; (2a − b + 3c)(2a + b − 3c) ;

8.

9.

Napiˇsi u obliku umnoˇska sljede´ce razlike kvadrata: 1) 9 − a2 b2 ; 2) 36a2 b2 − 121 ; 2 4 4) 64a4 − b6 ; 3) a − 81b ; 16 4 4 a b − 1; 6) 64a8 − 1 ; 5) 81 9 2 4 1 7) 0.01x2 − 1.44y4 ; 8) x y − z6 ; 16 25 4 1 25 9) 2.25a4b4 − ; 10) a8 − b8 c12 ; 400 9 64 11) 25a2 − 1 ; 12) 49a2 − 81b2 c2 ; 14) 36a2 b2 − 49 ; 13) 16a4 − 1 ; 4 15) 81a − 16 . Izraˇcunaj napamet: 1) 6.52 − 3.52 ; 3) 44.22 − 34.22 ;

2) 1012 − 1 ; 4) 0.992 − 0.012 .

10. Izraˇcunaj bez uporabe dˇzepnog raˇcunala:  √ √ 15 · 135 + 98.52 − 97.52 ;   1 2) 3 + 522 − 482 ; 16  652 − 562 3) √ ; 522 − 202  0.652 − 0.162 . 4) 0.372 − 0.122

1)

11. Napiˇsi u obliku umnoˇska sljede´ce razlike kvadrata: 1) (a − b)2 − c2 ; 3) (a+b)2 −(c−d)2 ;

2) a2 − (b − c)2 ; 4) 9(a2 − 2b)2 − 16c2 ; 9 4  1 2 a − b − c2 . 5) 25a2−16(b2 −3c)2 ; 6) 16 2

12. Pomnoˇzi:

1) (2a − 1)2 · (2a + 1)2 ; 2) (4 − 4a + a2 )(4 + 4a + a2 ) ; 3) (a − 1)2 (a2 + 1)2 (a + 1)2 ;

RAZLIKA I ZBROJ POTENCIJA

4) (a2 + a + 1)2 · (a2 − a + 1)2 ; 5) (2a2 − 2a − 1)2 · (2a2 + 2a + 1)2 .

2.5

18. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih cijelih brojeva neparan je broj. Dokaˇzi!

13. Izraˇcunaj:

19. Umnoˇzak dvaju uzastopnih parnih brojeva djeljiv je s 8. Dokaˇzi!

20. Umnoˇzak kvadrata prirodnog broja i broja koji

OG LE DN IP RIM JE RA K

1) (a − b)3 · (a + b)3 ; 2) (a2 − 1)3 · (a2 + 1)3 · (a4 + 1)3 .

14. Napiˇsi u obliku umnoˇska: 3

3

1) 27a + 8b ; 3) 8a3 b3 + 1 ; 64 1 12 a + ; 5) 27 125

prethodi tom kvadratu djeljiv je s 12. Dokaˇzi!

3

2) 1 − 64a ; 4) 125a3 − 64b6 ; 8 6 9 1 12 6) a b − c . 27 125

21. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih brojeva djeljiva je s 8. Dokaˇzi!

22. Kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak 0 ili 1. Dokaˇzi!

23. Dokaˇzi da zbroj kvadrata triju uzastopnih cijelih brojeva pri dijeljenju s 3 daje ostatak 2.

24. Ako umnoˇsku dvaju uzastopnih cijelih brojeva

15. Pomnoˇzi:

(a − 2b)(a2 + 2ab + 4b2 ) ; (2a − 3)(4a2 + 6a + 9) ; (4ab − 1)(16a2 b2 + 4ab + 1) ; (7a2 − 4b2 )(49a4 + 28a2b2 + 16b4) ;    3 2 9 4 1 1 2 2 1 2 ab− c a b + abc + c ; 5) 3 4 9 4 16    2 3 1 3 1 3 3 1 6 4 6 a − b a + ab + b . 6) 5 4 25 10 16

1) 2) 3) 4)

16. Ne mnoˇze´ci polinome, izravno zapiˇsi rezultat mnoˇzenja:

(2a+5b)(4a2−10ab+25b2) ; (3a − 1)(9a2 + 3a + 1) ; (4a+7b)(16a2−28ab+49b2 ) ; (a2 + 3b3 )(a4 − 3a2 b3 + 9b6 ) ;  1 5 1  25a2 b2 − ab+ ; 5) 5ab+ 2 2 4 1  1  1 x2 − 1 x4 + x2 + 1 . 6) 2 4 2

1) 2) 3) 4)

17. Zapiˇsi u obliku umnoˇska: 1) a3 − 125b3 ; 3) a9 − 64b6 ; 1 5) a9 b9 − 1 ; 8

2) a6 − b6 ; 4) 27a3 − 8b6 c9 ; 27 6 9 1 a b − c12 . 6) 125 64

dodamo ve´ci od njih, dobit c´ emo kvadrat ve´ceg broja. Dokaˇzi!

25. Ako umnoˇsku triju uzastopnih cijelih brojeva do-

damo srednji broj, dobit c´emo kub srednjeg broja. Dokaˇzi!

26. Kvadrat svakog neparnog broja umanjen za 1 djeljiv je s 8. Dokaˇzi!

27. Ako je svaki od dvaju neparnih cijelih brojeva djeljiv s 3, razlika kvadrata tih brojeva djeljiva je sa 72. Dokaˇzi!

28. Umnoˇzak cˇetiriju uzastopnih cijelih brojeva uvec´ an za 1 potpuni je kvadrat. Dokaˇzi!

29. Dokaˇzi da je broj (6n − 7)2 − (4n − 3)2 djeljiv s 40 za svaki cijeli broj n .

30. Dokaˇzi da je broj (20n + 17)2 − (17n + 20)2 djeljiv s 888 za svaki neparni cijeli broj n .

31. Rijeˇsi u skupu cijelih brojeva jednadˇzbu x2 −y2 = 105 .

32. Kub prirodnog broja pri dijeljenju s 9 daje ostatak 0, 1 ili 8. Dokaˇzi!

33. Razlika kuba neparnog prirodnog broja i samog broja djeljiva je s 24. Dokaˇzi!

34. Dokaˇzi: zbroj kubova triju uzastopnih cijelih brojeva djeljiv je s 3.

73

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

2.6. Rastavljanje na faktore

OG LE DN IP RIM JE RA K

Jedno od svojstava koje vrijedi za raˇcunanje s realnim brojevima jest svojstvo distributivnosti mnoˇzenja prema zbrajanju. Za svaka tri realna broja a , b i c vrijedi: a · (b + c) = a · b + a · c. Ovo se svojstvo moˇze “ˇcitati” i zdesna u lijevo a · b + a · c = a · (b + c). Kaˇzemo tada da smo dvoˇclani izraz a · b + a · c zapisali u obliku umnoˇska, odnosno da smo ga rastavili na faktore.

Primjer 1.

U sljede´cim primjerima rastavili smo na faktore nekoliko polinoma primjenjuju´ci pritom svojstvo distributivnosti: 1) x2 + xy = x · (x + y) ;

2) 3m3 + 3mn = 3m · (m2 + n) ;

3) 6a3 b4 − 9a2 b2 = 3a2 b2 (2ab2 − 3) .

Zadatak 1.

Rastavi na faktore sljede´ce polinome:

1) 4a3 + 12a ;

2) 12x2 y − 30xy2 ;

3) 21a4 b4 + 35a3 b .

Svojstvo distributivnosti mnoˇzenja prema zbrajanju realnih brojeva moˇze se primijeniti i u ovom mnoˇzenju: a · (b + c + d) = a · b + a · c + a · d.

Primjer 2.

Obrazloˇzi sljede´ce jednakosti:

1) a2 b2 + 2a2 b + 3ab2 = ab(ab + 2a + 3b) ;

2) 6x4 y3 − 12x3 y2 + 24x2 y = 6x2 y(x2 y2 − 2xy + 4) .

Zadatak 2.

Rastavi na faktore:

1) 4x2 y3 − 12x2 y2 − 16xy ; 3) 15m3 n3 − 25m2 n2 + 45mn .

74

2) 9a3 b4 + 21a3 b3 − 24a2 b3 ;

RASTAVLJANJE NA FAKTORE

2.6

Prisjetimo se sada kako mnoˇzimo dva dvoˇclana izraza: (a + b) · (c + d) = a · (c + d) + b · (c + d) = ac + ad + bc + bd. Ovaj postupak proveden zdesna u lijevo primijenit c´ emo pri nekim rastavljanjima na faktore cˇetveroˇclanih izraza. Evo jednog primjera:

OG LE DN IP RIM JE RA K

Rastavimo na faktore polinom 2ab + 10a + 3b + 15 . Imamo redom: 2ab + 10a + 3b + 15 = (2ab + 10a) + (3b + 15) = 2a(b + 5) + 3(b + 5) = (2a + 3)(b + 5). Najprije smo zdruˇzili (grupirali) po dva od cˇetiriju cˇlanova i iz svakog od njih izluˇcili zajedniˇcki faktor. Tako smo dobili dvoˇclani izraz u kojem je (b + 5) faktor u svakom od obaju pribrojnika.

Primjer 3.

U sljede´cim primjerima provedeno je rastavljanje na faktore cˇetveroˇclanih algebarskih izraza: 1) 6a4 + 10a3 b + 9ab + 15b2 = 2a3 (3a + 5b) + 3b(3a + 5b) = (2a3 + 3b)(3a + 5b) ;

2) 6x3 − 3x2 y2 − 8xy + 4y3 = 3x2 (2x − y2 ) − 4y(2x − y2 ) = (3x2 − 4y)(2x − y2 ) .

Zadatak 3.

Rastavi na faktore sljede´ce cˇetveroˇclane izraze:

1) a3 + 2a2 b2 + 3ab + 6b3 ;

2) 2x3 + 5x2 y2 − 5y3 − 2xy .

Evo niza raznovrsnih rijeˇsenih primjera u kojima je zadatak rastaviti na faktore neke viˇseˇclane algebarske izraze. Prouˇci pozorno te primjere te se potrudi rijeˇsiti primjerima pridruˇzene zadatke.

Primjer 4.

8a3 b + 8a2 b2 + 2ab3

Tri su pribrojnika, svaki sadrˇzi 2ab kao faktor pa imamo:

8a3 b + 8a2 b2 + 2ab3 = 2ab(4a2 + 4ab + b2 ) = 2ab(2a + b)2 .

Zadatak 4.

Napiˇsi u obliku umnoˇska:

1) −2x4 y + 12x3 y − 18x2 y ;

2) 2a(a − 1)2 + 8a(a − 1) + 8a .

75

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Primjer 5.

24ab − (3a + 2b)2 Kad provedemo kvadriranje i reduciranje, dobit c´emo:

OG LE DN IP RIM JE RA K

−9a2 + 12ab − 4b2 = −(9a2 − 12ab + 4b2 ) = −(3a − 2b)2 .

Zadatak 5.

Rastavi na faktore:

1) (3x − 2y)2 + 24xy ;

Primjer 6.

2) 40xy − (2x + 5y)2 .

2(x + y + 1) − (x + y + 1)2 − 1

Ovaj troˇclani izraz zapisat c´emo u obliku

−[(x + y + 1)2 − 2(x + y + 1) + 1]. U izrazu u uglatoj zagradi sada valja prepoznati −[(x + y + 1) − 1]2 = −(x + y)2 .

Primjer 7.

x2 − 8xy + 16y2 − 1

Uoˇcimo da su prva tri pribrojnika kvadrat od x − 4y , pa nakon sˇ to ih tako zapiˇsemo, imat c´emo razliku kvadrata (x − 4y)2 − 1 . Evo i rjeˇsenja zadatka: x2 − 8xy + 16y2 − 1 = (x − 4y)2 − 1 = (x − 4y − 1)(x − 4y + 1).

Zadatak 6.

Rastavi na faktore:

1) 9a2 − 12ab + 4b2 − 25 ;

Primjer 8.

2) 4a2 − b2 − 2a − b .

(a − 1)3 − (a − 1)(2a − 3)

Primje´cujemo da je (a − 1) zajedniˇcki faktor obaju pribrojnika pa najprije izluˇcimo njega: (a − 1)[(a − 1)2 − (2a − 3)], a nakon toga sredimo izraz u zagradi pa imamo:

(a − 1)(a2 − 4a + 4) = (a − 1)(a − 2)2 .

Zadatak 7. 76

Rastavi na faktore:

(3a + 2)3 − 3(3a + 2)(2a + 1) .

RASTAVLJANJE NA FAKTORE

2.6

Zadatci 2.6. Koriste´ci se svojstvom distributivnosti x · y + x · z = x · (y + z) mnoˇzenja prema zbrajanju realnih brojeva, zapiˇsi u obliku umnoˇska sljede´ce brojevne izraze:

2.

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

1) 2a2 b + 4ab2 ; 2) 3a4 b + 15a2 b2 ; 4) 9a4 b2 − 15a2b3 ; 3) 6a3 b + 8a2 b3 ; 2 3 2 4 5) 10a b c + 5ab c ; 6) 5a3 b2 + 20a2 b4 . 1) 2) 3) 4) 5) 6)

6a2 b2 − 12a2 b + 18ab2 ; 7a3 b + 14a2 b2 − 21a2 b ; 10a3b2 c − 15a2b3 c + 25ab3 c3 ; 33a4b3 c2 − 44a4bc4 + 55a3b2 c4 ; 30a3b3 c2 + 18a2b4 c3 + 6a2 b2 c2 ; 27a2b4 c − 36a3b4 − 63a2 b3 c2 .

3.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

22a3b2 c3 − 33a2b2 c4 + 44a3bc4 ; 21a3b3 + 35a3b3 c − 28a2 b2 c2 ; 2a3 b − 4a2 b2 + 2ab3 ; x6 y2 + 2x4 y4 + x2 y6 ; 4a4 b − 16a3 b2 + 16a2 b3 ; 50x2 y3 − 125x3y4 − 5xy2 .

4.

Zapiˇsi u obliku kvadrata binoma: 1) 2) 3) 4)

(a − 2b)2 + 8ab ; (2a + 3b)2 − 24ab ; (a2 − 4b2 )2 + 16a2 b2 ; 20b2c + (b2 − 5c)2 .

Zapiˇsi u obliku umnoˇska:

5.

6.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

4) a2 b(b + 1) − b(b + 1) ; 5) 2ab(ab − 3) − 4a2 b2 (ab − 3) ; 6) a2 b(ab + b2 ) − ab2 (a2 − ab) .

3

2

2a − 12a + 18a ; x4 y2 − 4x3 y3 + 4x2 y4 ; 16a3b + 48a2 b2 + 36ab3 ; 12a2b − 12a3 b − 3ab ; −2a3 − 4a4 − 2a5 ; 8a(a − 1)2 + 24a(a − 1) + 18a ; 3a(a2 +1)2 −24a(a2+1)+48a ; (x + y − 1)2 − 2(1 − x − y) + 1 ;

1) a(a + b) + 3(a + b) ; 2) a(b − 2) + 2(b − 2) ; 3) ab(a − 1) − a(a − 1) ;

Rastavi na faktore sljede´ce viˇseˇclane izraze:

7.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

(2a − 1)(3a + 2) + (2a − 1)(2a + 3) ; (2a − 4b)(a − b) − (6b − 3a)(a + b) ; (a + 2b)(b + c − 1) + (2a + b)(b + c − 1) ; (a − 3b)(a − b + c) + (a − 3b)(a + b + c) ; (a − b + 1)(2b + c) + (a − b + 1)(b + 2c) ; (3a + 6)(2a − 1) − (2a + 1)(a + 2) .

8.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

(ab − 1)(a + 2b) − (1 − ab)(2a + b) ; (2a − 3)(b2 − 2) + (2a + 3)(2 − b2 ) ; (a2 − ab)(4a − 2b) − (ab − a2 )(2a − 4b) ; (a − b + 1)(2b + c) − (a − b + 1)(b + 2c) ; (1 + abc)(a + b + c) − (1 + abc)(a − b − c) ; (3a+b−2c)(4a−6b)+(6a+2b−4c)(3b−2a) ; a(a − b + 1) + b(a − b + 1) − a + b − 1 ; a(a + b − 1) + b(a + b − 1) − a − b + 1 .

9.

1) 2) 3) 4) 5)

a2 (a + 1) − 2a(a + 1) + a + 1 ; (a − 1)a2 + 2a(a − 1) + a − 1 ; (a2 − b2 )(a + b) − 2(a2 − b2 ) + a − b ; a2 (a2 − 1) + 2a(a2 − 1) + a2 − 1 ; (x−y)(x−y+1)2 −2(x−y)(x−y+1)+x−y .

10. 1) 3a2 + 2a + 4b + 6ab ; 2) 3) 4) 5) 6)

2a3 + 5a2 b2 + 6ab + 15b3 ; a3 b + a2 + b2 + ab3 ; 6a2 bc + 9ab2 + 8ac2 + 12bc ; a3 b + 3a2 − 3ab2 − 9b ; 21a2bc − 7ab3 − 3ac2 + b2 c .

11. 1) 2ab + 4a + b2 + 2b ; 2) 3) 4) 5) 6)

6ab + 9a + 4b + 6 ; 4ab + 20a + 3b + 15 ; 3a2 b + 6ab2 + 2a + 4b ; x3 − 3x2 − 3x + 9 ; a3 − a2 b − 2ab2 + 2b3 ;

77

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

7) 8) 9) 10)

4a2 + 2ab − 2ac − bc ; 6a3 b − 9a2 b2 − 4a + 6b ; 6a3 + 8a2 b2 − 3ab − 4b3 ; x3 − 2x2 + x − 2 .

2) 2a3 − 2a3 b2 + 2ab2 + 3a2 b − 3a2 b3 + 3b3 ; 3) 2a3 − 2a2 b − 2ab2 − 3a2 + 3ab + 3b2 ; 4) 3a3 + 2a3 b + 3a2 b − 3ab2 − 2ab3 − 3b3 .

13. 1) (2a−1)(a+2)2 −8a(2a−1) ; 2) 3) 4) 5)

(a − 2)(a − 1)2 + 4a(a − 2) ; (a+3)(3a+1)2 −12a(a+3) ; (3a−2)(2a−3)2 +24a(3a−2) ; a(a + 1) − (a + 4)(a + 1)2 .

14. Zapiˇsi u obliku umnoˇska sljede´ce razlike kvadrata: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

(a2 + b2 )2 − 4a2 b2 ; (a2 + 1)2 − 4a2 ; (a2 + 6ab)2 − 81b4 ; (a2 + 4b2 )2 − 16a2 b2 ; 16a2b2 − (a2 + 4b2 )2 ; 144a2b2 − (4a2 + 9b2 )2 ; 9(x−3y)2 −25(2x+y)2 ; 4(2x − y)2 − 9(x + 3y)2 ; 9(4x − y)2 − 16(3x + y)2 ; 4a2 (a−5b)2 −25b2 (5a−b)2 .

15. 1) a (b − 1) − b (b − 1) ; 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

78

a2 − 10a + 25 − b2 ; b2 + 6b + 9 − 9c2 ; 1 − 8xy − x2 − 16y2 ; 16x2 − 25y2 − 24ax + 9a2 ; 25 − a2 − 4b2 + 4ab ; a2 −b2 +c2 −d 2 +2ac+2bd ; a2 −b2 +c2 −d 2 −2ac−2bd ; a2 − b2 − c2 − 4a + 2bc + 4 ; a2 b2 − a2 − b2 − 4ab + 1 .

17. 1) 4a2 b2 − 4b2 − a2 + 1 ; 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

a2 b2 − 4a2 − 4b2 + 16 ; x4 − 2x3 + 2x − 1 ; 16x4 − 16x3 + 4x − 1 ; x4 − 2x3 − 2x2 + 2x + 1 ; x4 − 3x3 − 8x2 + 12x + 16 ; (a + 1)4 − a4 + 2a2 − 1 ; (x2 − 2x)2 + 2x2 − 4x + 1 .

18. 1) (ab − 1)2 − (a − b)2 ;

2) 4(ab + 1)2 − (4a + b)2 ; 3) (x2 − y2 )2 − (x + y)2 ; 4) (x2 − y2 )2 − (x − y)2 .

19. 1) a5 b5 − a3 b3 ;

3) a4 b2 + 8ab5 ; 5) 3a4 b8 + 81ab2 ;

2) 2a3 b − 8ab3 ; 4) a6 b3 − a3 b9 ; 6) 64a8 b2 − a2 b2 .

20. 1) a2 + 4ab + 4b2 − 4a2 b2 ;

Rastavi na faktore: 2

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

OG LE DN IP RIM JE RA K

12. 1) a3 − 2ab − a3 b + 2ab2 + a2 b − 2b2 ;

16. 1) a2 − 2ab + b2 − c2 ;

2

x2 (x + y − 1) − x − y + 1 ; 4a2 (x − 1) − 4x + 4 ; 9a2 (b2 − 1) − 4b2 + 4 ; a2 − 4b2 − 9b2 (a2 − 4b2 ) ; a2 − 1 − ab + b ; x2 − xy − y − 1 ; a2 b2 − a2 − ab2 + a ; a2 b − a2 − b2 + 1 ; 4a2 − b2 − 4a + 1 .

2) x2 +y2 −2xy−1 ; 4) (a−b)3 −a+b ;

6) 7) 8) 9) 10)

3) 2xy−x2 −y2 +1 ; 5) (b−a)3 +a−b ;

(a − b)4 − a4 + 2a2 b2 − b4 ; 3(a2 − 4b2 ) − (a − 2b)2 ; 2(a2 − 4b2 ) − (a + 2b)2 ; (3a − 1)2 − 3(9a2 − 1) ; (a2 − b2 )2 − (a − b)4 .

21. 1) x3 − 1 ; 6

4) x + 1 ; 7) x12 − 1 ;

2) x3 + 1 ; 5) x9 − 1 ; 8) x12 + 1 .

3) x6 − 1 ; 6) x9 + 1 ;

ALGEBARSKI RAZLOMCI

2.7

2.7. Algebarski razlomci

OG LE DN IP RIM JE RA K

Algebarski razlomak je uobiˇcajeni naziv za razlomak cˇiji su brojnik i nazivnik polinomi. Primjeri algebarskih razlomaka su razlomci a−b ; a2 + b2

xy ; x2 − 2xy + y2

x3 − x2 + x − 1 x2 − x + 1

Pritom su a , b , x i y realni brojevi uz uvjet da njihov izbor ne daje nulu u nazivniku pojedinog razlomka. Zbog toga u prvom razlomku mora biti a = 0 i b = 0 , u drugom x = y , dok u tre´cem nema ograniˇcenja, razlomak je odreden za svaki realni broj x . S algebarskim razlomcima postupamo jednako kao sˇ to smo postupali s obiˇcnim razlomcima – racionalnim brojevima.

Podsjetimo se kako smo tada obradili i pojmove jednakosti dvaju razlomaka te proˇsirivanja i skra´civanja razlomaka za racionalne brojeve (str. 11. ovog udˇzbenika). Ponovimo ukratko: Za jednakost dvaju razlomaka vrijedi: Jednakost razlomaka

a c = ⇐⇒ a · d = b · c. b d

Odatle proistjeˇce sljede´ca vaˇzna jednakost:

a·m a = , pri cˇemu je m = 0 . b·m b

Zakljuˇcujemo: postoji li u brojniku i nazivniku algebarskog razlomka zajedniˇcki faktor, moˇzemo ga ispustiti. Kaˇzemo da smo razlomak skratili. No promatramo li istu jednakost zdesna u lijevo, re´ci c´emo da smo razlomak proˇsirili.

Primjer 1.

Skratimo razlomke:

1)

x2 − xy ; xy − y2

2)

a3 b − ab3 . a3 b − 2a2 b2 + ab3

1) Najprije brojnik i nazivnik razlomka rastavimo na faktore: x2 − xy = x(x − y),

xy − y2 = y(x − y),

79

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

pa imamo:

x2 − xy x · (x − y) x = = . 2 xy − y y · (x − y) y

OG LE DN IP RIM JE RA K

Tako smo kra´cenjem razlomka dobili znatno jednostavniji, njemu jednak razlomak za sve realne brojeve x i y uz uvjet x − y = 0 , odnosno x = y te y = 0 .

2) Imamo redom: a3 b − ab3 ab(a2 − b2 ) (a − b) · (a + b) = = a3 b − 2a2 b2 + ab3 ab(a2 − 2ab + b2 ) (a − b)2 a+b = . a−b Ovim kra´cenjem dobili smo znatno jednostavniji razlomak, uz uvjet a = 0 , b = 0 i a = b .

Zadatak 1.

Skrati razlomke: 1)

4x2 − 4x + 1 ; 12x3 − 3x

2)

4x2 − 9 . (2x + 3)2 − 24x

Racunanje ˇ s algebarskim razlomcima

Za raˇcunanje s algebarskim razlomcima vrijede sva pravila koja smo upoznali ve´c ranije, pri raˇcunanju s racionalnim brojevima zapisanim u obliku razlomka.

Primjer 2.

Izraˇcunajmo:

1)

a 1 + ; a−1 a−1

2)

2a2

1)

a 1 a+1 + = ; a−1 a−1 a−1

2)

b b 4a 4a = − − 2a2 − ab 2ab − b2 a(2a − b) b(2a − b) =

4a2 b2 − 4a2 b2 − = ab(2a − b) ab(2a − b) ab(2a − b)

=

(b − 2a)(b + 2a) b + 2a =− . ab(2a − b) ab

b 4a . − − ab 2ab − b2

U prvom primjeru zbrajali smo razlomke jednakih nazivnika i rezultat je razlomak s istim tim nazivnikom i brojnikom koji je jednak zbroju brojnika.

80

ALGEBARSKI RAZLOMCI

2.7

OG LE DN IP RIM JE RA K

U drugom primjeru razlomci nemaju jednake nazivnike pa moramo odrediti “najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik” dvaju nazivnika. Rastavili smo ih na faktore te odredili zajedniˇcki nazivnik ab(2a − b) , najmanji izraz koji kao faktore sadrˇzi i jedan i drugi nazivnik. Nakon provedenog zbrajanja kratili smo dobiveni rezultat. Pritom valja primijetiti kako su 2a − b i b − 2a suprotni brojevi pa je rezultat njihova dijeljenja jednak −1 .

Zadatak 2.

Odredi najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik sljede´cih izraza:

1) a2 b , 2ab , 3ab2 ; 3) 3x2 − 3xy , 5x2 y + 5xy2 , x3 y − xy3 ;

2) ab , a − b , a2 − b2 ; 4) ab3 −a3 b , a2 −2ab+b2 , ab2 +a2 b .

5) a3 b2 − a2 b3 , 3a3 − 6a2 b + 3b3 , 2a2 b + 4ab2 + 2b3 ; 6) x3 − y3 , x3 y − 2xy2 + xy3 , x3 y2 − x2 y3 ;

- ve´c poznata praZa mnoˇzenje i dijeljenje algebarskih razlomaka vrijede takoder vila i postupci koje primjenjujemo pri raˇcunanju s realnim brojevima.

Primjer 3.

Izraˇcunajmo:

1)

a2 b2 a2 − b2 · ; a−b ab

2)

a b

−

b 1 1 : − . a a b

1) Umnoˇzak dvaju razlomaka je razlomak cˇiji brojnik je umnoˇzak brojnika, a nazivnik umnoˇzak nazivnika dvaju razlomaka koje mnoˇzimo. Imamo dakle: a2 b2 a2 − b2 a2 b2 (a − b)(a + b) · = · a−b ab a−b ab a2 b2 (a − b)(a + b) = = ab(a + b); ab(a − b) 2) Najprije trebamo “srediti” izraze unutar zagrada. Zatim provodimo naznaˇceno dijeljenje tako da prvi razlomak mnoˇzimo s razlomkom koji je reciproˇcan drugom:  a b   1 1  a2 − b2 b − a : = − − : b a a b ab ab a2 − b2 ab = · = −a − b. ab b−a

Zadatak 3.

Izraˇcunaj:

1)

x y  1 1 ; : − − y2 x2 x y

2)

a3 − a2 a2 + 4a + 4 . · a2 + 2a a − a2

81

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Zadatci 2.7. Skrati razlomke:

2.

3.

4.

5.

a2 − 4 ; 2a − 4 a2 − 4 ; 3) 2a2 − 4a 4a2 − 6a 5) ; 4a2 − 9

a2 − 4 ; a2 − 2a 4a2 − 9 4) ; 4a2 + 6a 4a2 − 9 6) . 6a − 4a2

a2 + ab ; ab + b2 a3 b − ab3 3) ; ab2 − a2 b

a2 b + ab2 ; a2 − b2 a3 b − ab3 4) 4 2 . a b − a2 b4

a2 − b2 1) ; (a + b)2 a3 + b3 ; 3) 2 a − b2 (a2 −b2 )2 5) ; (a+b)2

(a − b)2 2) 2 ; a − b2 a2 −b2 4) 3 3 ; a −b a4 −b4 6) 2 2 . a −b

1)

1)

x − 2x + 1 ; 2x2 − 2x 4a2 − 4a + 1 3) ; 4a2 − 1 16a2 − 24a + 9 5) ; 9 − 16a2 1)

9.

1)

2)

3)

4)

2)

2

a + 4a + 4 ; a2 − 4 4a2 − 9 4) ; 2 4a − 12a + 9 25a2 − 9 . 6) 25a2 + 30a + 9 2)

Koliko je: a2 − 2ab + b2 3 1) , za a = −0.5 , b = − ? 2 ab − b 2

5) 6)

1 2 3 4 5 + + + + ; x x x x x 2x 2 + ; x+1 x+1 b a − ; a−b a−b 1 1 + ; a−b b−a a2 b2 − ; a−b a−b a2 2ab b2 + + . a+b a+b a+b

1 1 1 − + ; x xy y 1 y x 3) 2 − 2 2 − 2 ; y xy x

10. 1)

1 1 x−y x−y − ; + ; 2) a2 −b2 b2 −c2 x y x−y x+y 3a − 1 3b − 1 3) − − ; 4) ; 2 2 xy xy a2 b ab2 2x + 1 a 2 2x − ; 6) − ; 5) 2x − 2 3x − 3 2a − 4 a2 − 2a

12. 1)

2)

4)

a3 b − ab3 3 3) 3 , za a = , b = −0.4 ? 2 2 3 a b − 2a b + ab 8

5)

6.

Ako je

x + 3y x − 2y = 3 , koliko je ? 2x + y 3x − y

7.

Ako je

2 c 3 a+b+c b = , = , koliko je ? a 3 b 4 a−b−c

8.

Ako je

y 1 1 x + x = + y , x = y , koliko je + ? y x x y

1 1 − ; x2 y xy2 4 2 1−x − − ; 4) x 2x 3x 2)

11. 1)

a2 + b2 − c2 + 2ab 1 2 , za a = , b = , a+b+c 4 3 c = −0.25 ?

2)

82

2

2)

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

Izraˇcunaj:

3)

x y − ; x2 −xy xy−y2 2 a−4 + 2 ; 2a−4 a −2a a2 − b2 a−b − 2 ; a3 + b3 a − ab + b2 2a−1 a − ; 2a−4 3a−6 2 x+1 − . x − 3 2x − 6

2a−2 a+3 − ; 2a−6 3a−9 3a2 2 2) − ; 6a+4 9a+6 b 4a 3) − ; 2a2 −ab 2ab−b2

13. 1)

ALGEBARSKI RAZLOMCI

9a ; 3ab+2b2 3a+5 a−25 + ; 5) 5a−25 a2 −5a 1−6a 8 6) + . 4a2 −6a 6a−9

14. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

15. 1) 2) 3) 4) 5)

16. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

4b

3a2 +2ab

−

17. Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 

1 1 + a b



3 : (a + b) , za a = −1 , b = 0.8 . 4

18. Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza 

a b − b a



·

2 ab , za a = −1.2 , b = 1 . a−b 5

OG LE DN IP RIM JE RA K

4)

2.7

a−1 1 + 2 ; 6a−4 3a −2a 2 a+1 − ; 3a−9 2a2 −6a a−1 a − ; a2 −2a a2 −4 4−a 2 − 2 ; 2a−4 a −2a a−1 2a − 3 − 2 ; 2 a − 4 2a − 4a a+b a−b − 2 . a2 b − ab2 a b + ab2 2x − 1 3 + 2 ; 2 2x + 2x x −1 a − 12b 4b ; + a2 − 16b2 a2 − 4ab 3a − 3 4a − 3 − ; 2a2 − 3a 6a − 9 12 − y 6 − 2 ; 6y − 36 y − 6y a−6 2 + . 4 − a2 2a − a2

x+2 4x x−2 + 2 − 2 ; 2 x +2x x −2x x −4 x+2 2−x 5x3 +8 + + ; 2x−4 3x+6 24−6x2 2a+b 16a 2a−b − 2 2+ 2 ; 2 2a −ab 4a −b 2a +ab 3 2x − 1 2 + 2 − ; 2x2 + 2x x −1 x x+3 x 9 + + ; x 3 − x x2 − 3x 1 x−9 3 − 2 + . x x − 9 3x − x2

19. Izraˇcunaj vrijednost brojevnog izraza

    2 a−1 b−1 1 a− : b− , za a = , b = . b+1 a+1 4 3

20. Ako je

a+b ? a−b

21. Ako je

a−b ? a

22. Ako je

a+b b a−b a = 5 , koliko je , , , b b a a

a b b a+b = 3 , koliko je , , , b b a+b a

2 a a = , koliko je ? a−b 3 b

1 1 1 + = , a(b + 1) b(a + 1) (a + 1)(b + 1) 1 1 koliko je + ? a b

23. Ako je

24. Pomnoˇzi razlomke:

x2 + 2x 2x · ; x+2 x+1 x 4x2 −1 3) · ; 2x−1 4x 3x−1 3x 5) · 2 ; 3x+1 9x −1

1)

x − 1 2x + 2 · ; x + 1 x2 − x x2 − 1 x 4) ; · x2 2x + 2 x2 +4x+4 x2 6) · 2 . 4x x −4 2)

25. Podijeli razlomke:

a2 −4 a+2 ; : 4a2 2a−4 x2 −1 x2 −x 3) 2 : ; x +1 x2 +x

1)

3a 9a2 : 2 ; 2 9a −1 6a −2a a2 −3a (a−3)2 4) ; : (a+3)2 a2 +3a 2)

83

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

x2 −1 x2 −x : ; 2x+2 (x+1)2 x2 +4x+4 1 : 6) 2 . x −4x+4 (x2 −4)2 Izraˇcunaj: 5)

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

  a2 + 4 8 a− ; · 4 4 − a2   a+2 1 a − 4a3 − ; · 2 a 2a + 1 a −1   2 a 3a − 3a2 − 2 ; · 3a 2a − 2 2a + 4   2 a+4 a2 − ; · 3 a a−2 a −8   10a − 9 1 − 2a 2a − ; · 2a − 1 9 − 4a2   a−3 a+1 1− ; · 2 2a + 2 a + 5a   3x x2 − 1 1− ; · x+1 1 − 4x2   9 x−1 · x− ; 1 − 9x2 4   a+1 1 − 4a2 : a− ; 6 3     1 1 4 + a2 − 4− : . a 2 a

 2 a + 2a 2a − 1 −1 · 2 ; a+2 a −9   a 4a2 − 1 ; 1− · 2 2a − 1 a − 2a + 1   2 1 a − 4a + 4 a− ; · 2−a a2 − 1   1 2 1 − 2 ; : 2 2 a − 2a a − 4 a + 4a + 4   4ab a2 −b2 1− ; : (a+b)2 a2 +2ab+b2   3 (a − b)2 a b − a2 b2 + ab3 ; 1+ · 4ab a3 + b3   ab b 2b − . : 2 2 2 a −b 2a − 2b a − b2 

27. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

84

2) 3)



2 2a  2a2 + 2a 4 − − ; · 3 − a 1 − a2 a −1 a−1  a2 − b2   a2 − b2   b a 2 a− · a+ + − ; ab ab a b     3 12 x 1− ; : 2 − x−3 x − 3x (3 − x)2  2a  (a + b)2 a−b · 4 + ; a2 − b2 a2 + 2ab + b2 9a − b4  x−3 6x − 18  5x − 15 − 3 : 3 . 2 x − 3x + 9 x + 27 4x + 108 a2

OG LE DN IP RIM JE RA K

26. 1)

28. 1)

4)

5)

29. 1)

1+

a3 − 1 1

;

a a+1 2a ; 2) 1 a+ 1 − a2 a+ a ⎛ ⎞ a−

⎜ 3) ⎜ ⎝1 − ⎛

⎜ 4) ⎝1 −

1

1−

a2 a−1

⎟ a3 + 1 ⎟· ; ⎠ a2 ⎞

1 ⎟ a ⎠ · a3 + 1 . a+ a−1 1

1 1 1 − 1− 3 2 a−1 · a ; 30. 1) a 1 1 1 + 1+ 3 2 a a+1 a 1 1 b 2 + c2 − a 2 − 1+ 2bc 2) a b + c · ; 1 1 c+b−a + a b+c abc a+b a−b 1 − b+ a − b a + b a; · 3) 1 a2 + b2 a+ 1− 2 2 b a −b 4)

a3 + b3 a3 − b3 − . ab ab a−b+ a+b− a−b a+b

ˇ LINEARNE JEDNADZBE

2.8

OG LE DN IP RIM JE RA K

2.8. Linearne jednadˇzbe

- i gospodin Mati´c imaju osam k´ceri koje su se radale - svake dvije godine Gospoda po jedna. Gospodin Mati´c dvije je godine stariji od svoje supruge koja je imala 25 godina kada je rodila prvo dijete. Njih desetero zajedno imaju ukupno 151 godinu. Koliko je godina najstarijoj k´ceri?

Ovo je jedan od onih problema koji se svode na rjeˇsavanje linearne jednadˇzbe s jednom nepoznanicom. Takve su jednadˇzbe oblika ax + b = 0. S x je oznaˇcena nepoznanica, veliˇcina koju treba odrediti, a i b su realni brojevi, koeficijenti jednadˇzbe.

Najˇceˇsc´e jednadˇzbe nemaju ovaj jednostavan oblik pa ih primjenom svojstava jednakosti trebamo do tog oblika privesti. Uglavnom se radi o ova tri jednostavna svojstva:

1. Ako s obje strane jednakosti dodamo isti broj, dobit c´emo toˇcnu (ekvivalentnu) jednakost. Drugim rijeˇcima, ako su m i n realni brojevi te m = n , onda je m + k = n + k za svaki realni broj k .

2. Ako jednakost pomnoˇzimo realnim brojem razliˇcitim od nule, dobit c´emo

toˇcnu (ekvivalentnu) jednakost. Drugim rijeˇcima, ako su m i n realni brojevi te m = n , tada za svaki realni broj k = 0 vrijedi m · k = n · k .

3. Ako je a = b i b = c , onda je a = c . Rijeˇcima: ako su dva broja jednaka tre´cem, onda su i medusobno jednaki.

85

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Linearna jednadˇzba

Linearna jednadˇzba je svaka jednadˇzba koja se moˇze svesti na oblik

a · x = b,

OG LE DN IP RIM JE RA K

gdje je a = 0 . Broj x =

b rjeˇsenje je ove jednadˇzbe. a

Dvije jednadˇzbe su ekvivalentne ako imaju isto rjeˇsenje.

Linearnu jednadˇzbu rjeˇsavamo tako da je uzastopnom primjenom svojstava jednakosti realnih brojeva svodimo na jednostavniju, ali ekvivalentnu jednadˇzbu.

Pokaˇzimo na primjerima kako se rjeˇsava linearna jednadˇzba:

Primjer 1.

Rijeˇsimo jednadˇzbu

1+

x−1 2x − 1 5 = − . 2 3 6

Prebacimo sve cˇlanove jednadˇzbe koji sadrˇze nepoznanicu na lijevu stranu jednadˇzbe, a ostale na desnu: x − 1 2x − 1 5 − = −1 − . 2 3 6 Zbrojimo izraze na lijevoj i na desnoj strani: 3x − 3 − 2(2x − 1) 11 =− . 6 6 −x − 1 11 Tako se dobije = − , odnosno −x − 1 = −11 , te je x = 10 6 6 rjeˇsenje dane jednadˇzbe.

No kod ovakvih jednadˇzbi gdje su neki cˇlanovi razlomci, cˇeˇsc´e se postupa na sljede´ci naˇcin: odredi se najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik nazivnika svih razlomaka u jednadˇzbi, te se obje strane mnoˇze tim brojem. Tako se rijeˇsimo razlomaka. U naˇsem bi primjeru to izgledalo ovako:     x−1 2x − 1 5 6 1+ =6 − . 2 3 6 Odmah se dobije 6+3x−3 = 4x−2−5 , te se dalje nastavlja s rjeˇsavanjem na poznati naˇcin.

Zadatak 1.

86

Rijeˇsi jednadˇzbu:

1−

3x − 1 x+1 5 = − . 4 3 6

ˇ LINEARNE JEDNADZBE

Primjer 2.

2.8

Rijeˇsimo jednadˇzbu: x+1 1 x−1 − 2 = 2 . 2 2x + x 4x − 1 2x − x

OG LE DN IP RIM JE RA K

Najprije rastavimo na faktore nazivnike triju razlomaka: x+1 1 x−1 − = . x(2x + 1) (2x − 1)(2x + 1) x(2x − 1) Zatim odredimo najmanji zajedniˇcki viˇsekratnik triju nazivnika. To je broj x(2x−1)(2x+1) . Njime pomnoˇzimo jednadˇzbu (svaki njezin cˇlan). Tako dobijemo: (x + 1)(2x − 1) − x = (x − 1)(2x + 1). No ova jednadˇzba nije ekvivalentna zadanoj. Zaˇsto? Zato sˇ to bi brojevi 1 1 0, i − mogli biti njezina rjeˇsenja, ali nijedan od njih ne moˇze biti 2 2 rjeˇsenje zadane jednadˇzbe. Nastavimo s rjeˇsavanjem i dobijemo x = 0 .

Za x = 0 u dva od triju razlomaka dane jednadˇzbe imamo nulu u nazivniku. Stoga jednadˇzba nema rjeˇsenja.

Zadatak 2.

Rijeˇsi jednadˇzbu:

x−2 1 3 − = . 2 x − x 2x x−1

Istraˇzite

ˇ KVADRAT MAGICNI

U “ku´cice” kvadrata n × n treba upisati brojeve 1, 2, 3, . . . , n2 tako da zbroj brojeva u svakom retku, svakom stupcu te n2 · (n2 + 1) na dvjema dijagonalama bude jednak. Zbroj svih brojeva u kvadratu je 1 + 2 + 3 + . . . + n2 = (objasni 2 2 n · (n + 1) . zaˇsto!), pa ta magiˇcna suma iznosi 2 Jedan od najpoznatijih magiˇcnih kvadrata nalazi se na cˇuvenoj grafici (duborezu) Melancholia njemaˇckog umjetnika Albrechta D¨urera (1471. – 1528). Magiˇcni broj toga kvadrata iznosi 4 · 17 = 34. 2 U srednja dva polja posljednjeg retka upisani su brojevi 15 i 14. To nije sluˇcajno jer je 1514. godina kada je Melancholia nastala, a i godina je smrti umjetnikove majke. Imamo i druge brojne primjere magiˇcnih kvadrata. Posebno je zanimljiv magiˇcni kvadrat 8 × 8 Benjamina Franklina (1706. – 1790.) Zbog cˇega? Otkrijte to sami. Istraˇzite i zanimljivu povijest magiˇcnih kvadrata.

87

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

a+c Formulom P = · v izraˇcunavamo povrˇsinu trapeza. Pritom su a i 2 c duljine osnovica trapeza, a v duljina njegove visine.

Primjer 3.

Iz ove formule izrazimo duljinu stranice c trapeza.

OG LE DN IP RIM JE RA K

a+c 2 Najprije jednadˇzbu P = · v pomnoˇzimo s . Tako dobijemo 2 v 2·P 2·P = a + c . Zatim nalazimo c = − a. v v

Time je zadatak rijeˇsen.

Zadatak 3.

Iz jednadˇzbe s = v · t + s0 izrazi t . Moˇzete li jednadˇzbi dodijeliti neko fizikalno znaˇcenje?

Zadatak 4.

Evo jednog jednostavnog zadatˇci´ca. Precrtaj u biljeˇznicu kvadrat 3 × 3 i u ku´cice upiˇsi rjeˇsenja ovih 9 jednadˇzbi tako da kvadrat bude magiˇcan. 1. 2 +

x 1 = (2x − 4) ; 2 2

x−2 x−3 x−1 − = ; 2 3 4 x 2x − 1 1x − =1− ; 3. 3 2 3 9

2.

x − 0.1 x − 0.2 = ; 2 3 x − 4 

x 1 1− = 1+ ; 5. 3 1 − 2 2 4 4.

6.

8.

1−x 3x − 7 4x − 12 − = ; 5 3 2 x x 1− 3 =1+ x; 2 − 3 2 6

1+

7.

x − 0.1 x + 0.1 x + 0.5 − =2− ; 2 3 6

9. 1 −

1 1 1  1 + 3x 1− x− = . 2 2 2 8

Jednadˇzbe s parametrom

Osim nepoznanice x u linearnoj se jednadˇzbi moˇze pojaviti i neki op´ci broj, koji zovemo parametar. Rjeˇsavaju´ci takvu jednadˇzbu ne oˇcekujemo da c´e njezino rjeˇsenje biti konkretan realni broj, ve´c c´e ono ovisiti o parametru. Zbog toga rjeˇsavanje jednadˇzbi s parametrom zahtijeva svojevrsnu raspravu. Kakvu, bit c´e oˇcito iz sljede´ceg rijeˇsenog primjera.

88

ˇ LINEARNE JEDNADZBE

Primjer 4.

2.8

Rijeˇsimo jednadˇzbu a2 (x + 1) = x + a. Pritom je broj a realni parametar. Zadana je jednadˇzba ekvivalentna jednadˇzbi a2 x + a2 = x + a, 2

odnosno

2

OG LE DN IP RIM JE RA K

a x − x = a − a . Dalje je

(a2 − 1)x = a(1 − a), i konaˇcno (a − 1)(a + 1)x = a(1 − a) .

1. Za a = 1 jednadˇzba prima oblik 0 · 2 · x = 1 · 0. Ova je jednakost ispunjena za svaki realni broj x . Kaˇzemo da jednadˇzba ima beskonaˇcno mnogo rjeˇsenja, ona je stoga neodredena.

2. Za a = −1 jednadˇzba prima oblik −2 · 0 · x = −1 · 2 . Ova jednakost nije ispunjena niti za koji realni broj x . Naime, s njezine je lijeve strane nula, a s desne −2 . Zato za a = −1 jednadˇzba nema rjeˇsenja.

3. Za a = 1 i a = −1 rjeˇsenje jednadˇzbe je x = −

a . a+1

Iz zabavne matematike

ˇ RAVNOTEZA

Sam Loyd (1841. – 1911.) jedan je od najpoznatijih autora matematiˇckih zagonetki. U knjizi Cyclopedia of 5000 puzzles, tricks and conundrums nailazimo na ovaj zadatak:

Na vagi s dvjema pliticama u ravnoteˇzi se nalaze s jedne strane 3 kockice - zvrk s i jedan zvrk, a s druge strane 12 kuglica. U ravnoteˇzi je takoder jednom kockicom i 8 kuglica. Ako je na lijevoj plitici jedan zvrk, koliko kuglica treba staviti na desnu pliticu kako bi vaga bila u ravnoteˇzi? Evo rjeˇsenja:

Ako na obje strane vage prema drugoj slici dodamo po tri kockice, zbog prethodne ravnoteˇze to c´e znaˇciti da bi u ravnoteˇzi bile 4 kockice i 8 kuglica s 12 kuglica. Zakljuˇcujemo da su kuglica i kockica jednake teˇzine. Stoga na desnu stranu vage valja staviti devet kuglica kako bi sa zvrkom na lijevoj strani vaga bila u ravnoteˇzi.

U komentaru ove zagonetke Loyd kaˇze: U ovoj zagonetki nalazimo izvrsnu zornu ilustraciju naˇcela supstitucije i dodavanja jednakih iznosa na obje strane jednadˇzbe bez naruˇsavanja ravnoteˇze. Ujedno se pokazuje istinitom algebarsko pravilo da su stvari jednake istome i same jednake.

89

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Zadatak 5.

Rijeˇsi jednadˇzbu a2 (x − 1) − 1 = x + 2a i provedi raspravu ovisnosti rjeˇsenja o vrijednosti realnog parametra a .

Zadatak 6.

Rijeˇsi jednadˇzbu

mx − 1 mx + m = . Pritom je m realni parametar. x+m x−1

OG LE DN IP RIM JE RA K

Provedi raspravu o rjeˇsenju te jednadˇzbe.

Problemi prvog stupnja

Vratimo se sada zadatcima cˇ ije se rjeˇsavanje svodi na rjeˇsavanje linearne jednadˇzbe s jednom nepoznanicom. Takve zadatke cˇ esto zovemo jednostavno problemi prvog stupnja s jednom nepoznanicom. Oni u sebi sadrˇze neki stvaran, praktiˇcni problem s kojim se susre´cemo u svakodnevnom zˇ ivotu. Naˇzalost, za rjeˇsavanje problemskih zadataka nema posebnih recepata. No ipak, bilo bi dobro slijediti neka jednostavna pravila. Navedimo ih u najkra´cem obliku:

• Dobro prouˇci zadatak. Ako je potrebno, proˇcitaj ga i nekoliko puta sve dok ti ne postane kristalno jasan.

• Pri analizi problema koristi zorne predodˇzbe: crtaj skice, dijagrame, tablice i sl. To c´e sigurno pridonijeti boljem sagledavanju i razumijevanju problema. • Za veliˇcine koje se pojavljuju u zadatku pozorno odaberi oznake. Neka odabir oznaka asocira na veliˇcine koje predstavljaju. Nepoznanicu standardno oznaˇci s x .

• Prevedi problem na njegov matematiˇcki zapis (jednadˇzbu) te ga rijeˇsi. • Kritiˇcki se postavi prema rjeˇsenju. Razmisli: ima li ono smisla?

• Provjeri zadovoljava li dobiveno rjeˇsenje sve uvjete zadatka.

Na viˇse primjera, koje valja pozorno prouˇciti, prikazat c´ emo rjeˇsenja nekoliko raznovrsnih i tipiˇcnih problema 1. stupnja. To c´ e zasigurno doprinijeti boljem razumijevanju i uspjeˇsnijem rjeˇsavanju sliˇcnih zadataka. No najprije rijeˇsimo uvodni zadatak.

- djevojˇcica ima x godina, ostalih sedam imaju redom x + 2 , x + 4 , Ako najmlada x + 6 , x + 8 , x + 10 , x + 12 i x + 14 godina.

- Mati´c prvu je djevojˇcicu rodila kad joj je bilo 25 godina, pa ona sada Gospoda ima 25 + (x + 14) godina ( 25+ godine najstarije k´ceri). A gospodinu Mati´cu su dvije godine viˇse, 27 + (x + 14) godina.

90

ˇ LINEARNE JEDNADZBE

2.8

Zbrojimo godine svih deset cˇlanova obitelji Mati´c: (8x + 56) + [25 + (x + 14)] + [27 + (x + 14)] = 151.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Jednadˇzba koju smo dobili je linearna jednadˇzba s jednom nepoznanicom. - k´ceri. Rijeˇsimo je, odredimo nepoznanicu x , dob najmlade Zbrojimo najprije brojeve s lijeve strane jednadˇzbe. Tako dobijemo:

10x + 136 = 151. - Mati´ceva k´ci ima godinu i pol Odatle je 10x = 15 , te je x = 1.5 . Najmlada dana. Najstarijoj je onda 15.5.

Primjer 5.

Na nekoj je farmi 470 kokica i zeˇci´ca. Ukupno imaju 1240 nogu. Koliko je zeˇci´ca na toj farmi?

Svaki zeˇci´c ima cˇetiri, a svaka kokica dvije noge. Oznaˇcimo li sa z broj zeˇci´ca na farmi, tada je broj kokica jednak 470 − z. Broj nogu zeˇci´ca je z · 4 , a broj nogu kokica 2 · (470 − z). Vrijedi jednakost: 2(470 − z) + 4z = 1240. Iz ove jednostavne linearne jednadˇzbe nalazimo z = 150. Na farmi je 150 zeˇci´ca.

Zadatak 7.

Vlasnik antikvarijata kupio je dvije knjige za ukupno 225 kn, a potom ih prodao i zaradio 40 % . Po kojoj je cijeni kupio pojedinu knjigu, ako je na prvoj zaradio 25 %, a na drugoj 50 %?

Zadatak 8.

Atletiˇcari Ante i Mate trˇce od mjesta A do mjesta B koja su udaljena 9 km. Ante trˇci brzinom od 9 km/ h, a Mate 12 km/ h. Kad Mate stigne do B , on se okrene i trˇci natrag, ususret Anti.

Nakon kojoj c´e udaljenosti od mjesta B Mate susresti Antu?

Primjer 6.

Kada je otac imao 33, sinu su bile 3 godine. No sada je otac tri puta stariji od sina. Koliko je godina ocu, koliko sinu? Neka je od vremena kada je ocu bilo 33, a sinu 3 godine proˇslo x godina. Sada otac ima 33 + x, a sin 3 + x godina. No otac je tri puta stariji od sina. Zapiˇsimo tu cˇ injenicu jednadˇzbom: 33 + x = 3(3 + x). Iz te jednadˇzbe slijedi x = 12. Dakle, otac sada ima 45 godina, a sin 15.

91

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Zadatak 9.

- dvaju pristaniˇsta A i B brod prevali za 6 Plove´ci niz rijeku, put izmedu sati. U povratku, plove´ci uzvodno, brodu za isti put treba 9 sati. Ako je brzina broda na mirnoj vodi 18 km/ h, kolika je brzina rijeˇcnog toka?

OG LE DN IP RIM JE RA K

Primjer 7.

Prije pet godina otac je bio 5 puta stariji od sina, a za 3 godine bit c´ e stariji tri puta. Koliko je godina ocu?

Oznaˇcimo s v brzinu rijeˇcnog toka (nepoznanicu), s d udaljenost dvaju pristaniˇsta A i B . udaljenost d

B

A

brzina nizvodno

brzina uzvodno

18+v

18 - v

vrijeme 6 sati

9 sati

Kad brod plovi nizvodno, njegova se brzina uve´cava za brzinu rijeˇcnog toka i iznosi 18 + v . A kad plovi uzvodno, ona se za tu brzinu umanjuje i jednaka je 18 − v . - put d jednak. Zbog toga moˇzemo zapisati No u oba je sluˇcaja prijedeni jednadˇzbu (18 + v) · 6 = (18 − v) · 9. Iz nje se lako dobije v = 3.6 km/ h.

Primjer 8.

Iz dvaju gradova medusobno udaljenih 132 km, krenu istovremeno i istom cestom jedan drugom ususret dva automobila kre´cu´ci se jednolikim brzinama od 75 km/ h, odnosno 90 km/ h. Nakon koliko c´e se vremena automobili susresti? - put s , Automobili se susretnu t sati nakon polaska. Pritom jedan prijede s a drugi put 132 − s . Pri jednolikom gibanju je t = pa moˇzemo zapisati v jednadˇzbu: s 132 − s = . 75 90 Rjeˇsenje ove jednadˇzbe je s = 60 km. Zakljuˇcujemo: prvi je automobil do trenutka susreta preˇsao 60 km, a drugi 60 72 s = = 0.8 sati ili 48 minuta. 72 km. Za to im je trebalo t = = v 75 90

92

ˇ LINEARNE JEDNADZBE

2.8

Zadatak 10. Iz mjesta A u mjesto B vozi kamion brzinom 60 km/ h. Nakon sˇ to je preˇsao 20 km, iz A krene automobil voze´ci brzinom 80 km/ h. Nakon koliko vremena c´e automobil susti´ci kamion? Koliki je put pritom prevalio automobil?

Ako bi se bazen punio vodom kroz jednu slavinu, punjenje bi trajalo a sati. Ako bi se punio drugom, napunio bi se nakon b sati. Koliko bi trajalo punjenje bazena objema odvrnutim slavinama?

OG LE DN IP RIM JE RA K

Primjer 9.

1 Nakon sat vremena prvom bi se slavinom napunilo obujma bazena. a A nakon sˇto bismo sat vremena bazen punili samo drugom slavinom, 1 napunilo bi se obujma. b

Nakon sat vremena punjenja bazena objema slavinama popunjenost bazena 1 1 1 je + njegova obujma, sˇto moˇzemo zapisati kao . a b x Primjerice, ako bi bilo a = 4 sata, b = 6 sati, tada bismo imali: 1 1 5 1 + = = 4 6 12 x 12 te je x = = 2.4 sata, odnosno 2 sata i 15 minuta. 5 Op´cenito je

1 a+b 1 1 1 + = te je = i konaˇcno a b x ab x ab x= . a+b

Zadatak 11. Iz jedne pune cisterne kapaciteta 32 hl teku´cina istjeˇce brzinom 0.2 hl u minuti.

Iz druge pune cisterne kapaciteta 36 hl teku´cina istjeˇce brzinom 0.3 hl u minuti. Nakon koliko vremena c´ e u objema cisternama biti jednako mnogo teku´cine?

Primjer 10.

Rade´ci dnevno po 8 sati, 6 radnika zavrˇsi neki posao za 15 dana. Koliko sati dnevno bi trebalo raditi 8 radnika kako bi isti posao dovrˇsili za 10 dana?

Za 15 dana, rade´ci dnevno 8 sati, 6 radnika potroˇsi 15 · 6 · 8 = 720 sati. Osmorici radnika za isti posao treba isto toliko sati pa je 10 · 8 · x , gdje je x broj sati dnevnog rada svakog od osmorice radnika. Dakle, 720 = 80x, te je x = 9 sati.

93

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Zadatak 12. Jedan radnik radi neki posao i planira ga dovrˇsiti za 8 sati. No nakon 2 sata pridruˇzi mu se drugi radnik i oni zavrˇse posao nakon 3 sata rada.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Koliko bi vremena trebalo drugom radniku da je sam radio taj posao?

Primjer 11.

U svjeˇzim je smokvama 80 % vode, a u suhim 20 % . Koliko c´e se suhih smokava dobiti suˇsenjem 120 kg svjeˇzih?

U 120 kg svjeˇzih smokava nalazi se 0.8 · 120 = 96 kg vode.

Ostatak, 24 kg, suha je tvar. No tih 24 kg suhe tvari cˇini 80 % u masi suhih smokava. Dakle,

Primjer 12.

24 = 0.8 · x , odakle se dobije x = 30 kg.

Prva slitina sadrˇzi 40 % bakra, druga 32 % . S kolikom masom prve slitine treba mijeˇsati 5 kg druge kako bi se dobila slitina s 35 % bakra? Oznaˇcimo s x masu prve slitine. U toj je masi x · 0.4 kg bakra.

U 5 kg druge slitine masa bakra jednaka je 5 · 0.32 .

Pomijeˇsamo li ove dvije slitine dobit c´emo smjesu cˇija je masa jednaka x + 5 , a koliˇcina bakra bit c´e (x + 5) · 0.35 .

Postavimo jednadˇzbu: x · 0.4 + 5 · 0.32 = (x + 5) · 0.35. Njezino je rjeˇsenje x = 3 .

Dakle, zˇ elimo li da smjesa dviju slitina ima 35 % bakra, onda s 5 kg druge valja pomijeˇsati 3 kg prve slitine.

94

ˇ LINEARNE JEDNADZBE

2.8

Zadatci 2.8.

2.

Rijeˇsi jednadˇzbe: x−1 x x x−2 x ; 2) + =1− ; 1) 1 + = 2 3 2 3 6 x+1 x−1 2x − 3 x x 3) + = 1 ; 4) 1 − = − ; 2 3 3 2 6 x−1 x−1 x+1 5) − = ; 2 3 4 x 2x − 3 x − 1 − =1− ; 6) 3 2 6     x−1 1 x+2 7) 2 1 − = x− . 3 2 3

5)

5.

9) (x − 2)3 − (x + 2)3 = (1 − 3x)(1 + 4x) ;

10) (x − 2)3 (x + 5) − 8 = (x + 2)2 (x2 − 5x − 2) .

6.

0.2x−0.02 0.3x−1 1.5x−1 − =3− , x0 =1 . 0.05 0.5 0.01

1 − 3x , koliko je x ? 1 + 3x p+x , koliko je x ? y= 1 + px a−b c= , koliko je a ? 1 − ab 1 1 1 = + , koliko je z ? x y z mx1 + nx2 c= , izraˇcunaj n . m+n

1) Ako je y =

2) Ako je 3) Ako je

4) Ako je

2

(x−1)(x+1) (2x+1) 1 − = 1 − x , x0 =2 ; 3 12 4  

59 x x 1 x 1 x − −3 = , x0 = − 1 ; 3) + − 2 3 5 4 7 6 84 1 2 − 3x 0.01 − x −2 = ; x0 = 0.808 ; 4) 0.02 2 0.01

4.

8) (3x − 1)2 − 5(2x + 1)2 = (x − 1)2 − (6x − 3)(2x + 1) ;

Provjeri je li dani broj x0 rjeˇsenje dane jednadˇzbe: 1 x − 0.2 = 0.1 , x0 = ; 1) 2x − 3 50 2)

3.

7) (x − 3)(x + 4) − 2(3x − 2) = (x − 4)2 ;

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

5) Ako je

7.

Temperaturne skale po Celsiusu (C ◦ ) i Fahren5 heitu (F ◦ ) vezane su relacijom C ◦ = (F◦ −32) . 9 Izrazi iz te jednakosti F.

8.

Povrˇsinu trapeza raˇcunamo po formuli P = v . Izrazi iz te formule duljinu visine v .

9.

Oploˇsje kvadra s bridovima duljina a , b i c racˇ una se po formuli O = 2(ab + bc + ca) . Izrazi iz te formule duljinu brida c . Kolika je duljina brida b ? Moramo li ponovno raˇcunati? Zaˇsto?

Za koju je vrijednost realnog broja k rjeˇsenje 0.1x − 1 0.2x − k − = 0.6 broj 1? jednadˇzbe 3 2

a+c · 2

1 Za koju vrijednost broja m je broj − rjeˇsenje 2 1 mx − 1 3 + =1− ? jednadˇzbe 3 4 x Rijeˇsi sljede´ce jednadˇzbe: 1) (x + 3)(3x − 1) − (x + 2)(2x − 1) = (x + 2)2 ; 2) 3(x − 1)(x − 2) − 2(x − 2)(x − 3) −(x − 3)(x − 4) = 0 ;

3) (5x − 1)2 − (3x − 1)2 = (4x − 3)(4x + 3) ; 4) 4(x − 1)(x − 3) − 3(x + 1) = (2x − 3)2 ; 5) (4x − 1)(x + 3) − 3(x − 2) = (2x − 3)2 ; 6) (x + 5)(x + 2) − 3(4x − 3) = (x − 5)2 ;

2 je harmonijska sredina bro+ 1y jeva x i y . Ako su zadani brojevi h i x , koliki je y ?

10. Broj h =

1 x

95

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Rijeˇsi jednadˇzbe: 3 − 4x 4+x =2− ; 8 5 x 2−x =1+ ; 2) x − 3 2

OG LE DN IP RIM JE RA K

11. 1)

1 − 2x 7x − 5 =1− ; 5 2 x+3 16 − x = ; 4) 2x − 6 − 3 2 3) 2 − 3x +

5) 6) 7) 8) 9)

12. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

13. 1) 2)

5x − 1 3 − 2x x + 1 − =1− ; 3 2 6 2x + 3 1 x−1 x− − =1+ ; 5 2 10     1 x 1 1 x 1 1 − + − = ; 3 2 4 6 9 8 2     1 x 1 1 2 − 1− = 2+ x ; 4 2 6 8 3     1 x 2 1 x+6 1 − . − 1− = 3 2 3 2 6 36

1 0.12 − x 0.01 + 3x + =4 ; 0.03 0.02 2 x − 0.5 x − 0.25 x − 0.125 + + = 0; 2 4 8 1−x 2−x 1− 2− 3 − 5 =1 1 ; 4 3 15 12 − x 9x − 3 3x − +1 19 15 − 5 = ; 9 6 90 5x − 1 2x − 1 3x + x− 8 3 − = 5; 3 2 x + 1.2 x − 0.8 0.3x − 0.4x − 5 4 − = 0.45 . 5 4

(x − 3)(2x − 5) (x − 2)2 − = 3 − (x − 4) ; 2 4 x (x + 1)(x − 2) (2x − 3)2 − =1+ ; 2 8 2

3) 1 −

96

  x−3 4) 2x(3x−2)−3 1 − (2 − x)(2x + 3) − 2 = 13 ;     3x − 1 x+3 5) 3 x − − 1−2 x− 4 5 = 5x − 2 ;    x x 1 x 1 x x − − −2 6) − = . 2 4 3 3 4 2 3

5x (2x − 3)2 (3x − 2)(2x + 3) = − ; 3 6 2



14. 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2  2 2x − 15 2x − 3 − = 4; 6 6  2  2 3x 1 1 3x 1 − + − =1 ; 2 3 2 2 9  2  2 1 1 5x + − 4x + = (3x − 1)2 ; 2 2  2  2  2 1 1 1 5x − − 4x − = 3x − ; 2 2 3  2  2 x 3 x 1 1 − + − =1 ; 2 4 2 4 2  2  2  2 3x 1 x 2 1 1 − + − = ; x− 4 2 4 3 2 3  2  2  x 3 x 1 x 2 + − − =5 1+ . 2 4 3 4 6

1 2 3 − = ; x 6 − 2x 3x − x2 2−x 1 3 = ; − 2) 2 x−1 x−x 2x

15. 1)

4 5 9 − ; = 2 x x−x 2x − 2 1 4x 1 − = 2 ; 4) 2x 1 − 2x 4x − 1 3)

5)

2 5 2 + = ; x x2 − x 3x − 3

2x+3 5x−4 4x−1 − =1− ; 2x−1 6x−3 10x−5 x+3 x+3 1 7) − = ; 2x2 −6x 3x2 −9x 6x

6)

8)

3x+5 1−2x x+3 − = ; 8x2 −2x 12x2 +3x 16x2 −1

ˇ LINEARNE JEDNADZBE

10)

16. 1) 2) 3) 4) 5)

1 7 2x + 1 − = ; 2 9x − 1 1 − 3x 6x + 2 2x2 + 1 1 1 − 3x = . − 2x − 4x2 6x − 3 3x 1 x 3x − 1 + 2 = ; 6x − 3 4x − 1 2x + 1

x+5 x−5 x + 25 − = 2 ; x2 − 5x 2x2 − 10x 2x − 50 x−3 x x+3 − = 2 ; 2x2 − 6x 3x2 + 9x 6x − 54 2x 3 − 2x x−1 − = 2 ; 2x2 + x 2x2 − x 4x − 1 1 x−1 x+1 = 2 ; + 2 1 − 4x2 2x + x 2x − x

4(x + 9) x+3 x−3 6) + = 2 ; 5x2 − 45 5x2 − 15x x + 3x 7)

5 1 3 − = ; 2 2 + 2x 30x − 6x 25x − 1

10x2

15 2x + 1 3x − 1 + = ; 8) 2 12x − 15 32x − 50 8x + 10 2x − 1 1 − 3x 2 9) − = ; 6x2 − 4x 9x2 + 6x 3x 1 3x − 1 x − . 10) = 6x − 3 1 − 4x2 2x + 1

17. Rijeˇsi sljede´ce jednadˇzbe u kojima je a parametar, a x nepoznanica:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

a(a2 − x) = a − x ; a2 (x − 1) = 2ax − 4 ; a2 (x − 1) = x + a ; 9a2 (x + 1) = 4 + 6ax ; a2 (x − 1) = ax − 1 ; a2 (2x − 1) = −4 − 4ax .

18. Uz raspravu o ovisnosti rjeˇsenja o realnom parametru a rijeˇsi jednadˇzbe:

a−1 1 a − = ; x+1 x x−a a 1 a+1 2) + = ; x−1 x−a x (1 − a)2 (1 + a)2 3) = ; x−a x+a

1)

(1 + a)3 (1 − a)3 = ; 1 − ax 1 + ax ax − 1 ax + 1 a−1 5) − = 2 ; ax − a2 ax + a2 x − a2 a x+a x−a + = 2 . 6) 2 x − 1 x2 + x x −x

4)

OG LE DN IP RIM JE RA K

9)

2.8

19. Rijeˇsi jednadˇzbe:

x 1+a 1 − a 1) x = 1−a; a− 1+a a+

a−x x+1 a +x 2) 1 − a − x = a2 ; 1+ a+x 1−

ax 1+ a −x 3) ax = 1+ 1+ a+x 1−

1 1 − a x ; 1 1 + a x

x+a x−a + a x+a = a + x . 4) x −  2 x a x−a 1− x+a

20. Ako zrakoplov za 4 sata leta preleti 3 200 km, koliki put c´e preletjeti za 5 sati?

21. Neki automobil troˇsi 5.2 litre goriva za put od 90

km. Koliko c´ e goriva taj automobil potroˇsiti za 225 km?

22. Gospodin Brzi´c svojim automobilom za 35 mi-

- 45.5 km. Uz uvjet da automobil ne nuta prijede zakaˇze, koliko c´ e daleko dospjeti gospodin Brzi´c za 6 sati neprekidne i jednolike voˇznje?

23. U jednoj brzoj praonici automobila za 25 minuta operu 8 automobila. Koliko im vremena treba da operu 12 automobila?

24. Rade´ci dnevno po 8 sati, Roko za dva dana zaradi 240 kuna. Koliko c´e Roko zaraditi za 12 sati rada?

25. Baka Marija je 2.5 kg banana platila 15 kuna. Koliko bi platila 2 kg?

26. Vrijedna tipkaˇcica za 5 minuta otipka 140 rijeˇci. Koliko joj vremena treba da otipka 630 rijeˇci?

27. Omjer broja osobnih automobila i broja svih drugih vozila koji se kre´cu autocestom je 15 : 4 .

97

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

Ako u nekom vremenu tom autocestom prode 88 vozila koja nisu osobni automobili, koliko bi osobnih automobila trebalo pro´ci u istom vremenu?

42. Zbroj dvaju brojeva iznosi 531. Ako ve´ci broj po-

28. Udaljenost od 100 km na zemljovidu je predo-

je za 4 od znamenke jedinica. Ako tom broju pribrojimo broj zapisan istim znamenkama, ali u obrnutom poretku, dobit c´ emo 154. O kojem je dvoznamenkastom broju rijeˇc?

43. Znamenka desetica dvoznamenkastog broja ve´ca

OG LE DN IP RIM JE RA K

cˇ ena udaljenoˇsc´ u od 2.5 cm. Kolika udaljenost na zemljovidu odgovara stvarnoj udaljenosti od 39 km? - ckom taboru priprema kajganu ta29. Kuhar u izvidaˇ - ca planira 7 jaja. Koliko ko da na svaka tri izvidaˇ je kuhar zamutio jaja ako kani nahraniti 60 izvi- ca? daˇ

dijelimo manjim, dobit c´emo koliˇcnik 6 i ostatak 20. Koji su to brojevi?

30. U mjenjaˇcnici “Najbolji teˇcaj” za 100 kruna do-

biju se 354 kune. Ako neki kaput stoji 335 kruna, kolika je njegova cijena u kunama ravnamo li se po teˇcaju iz navedene mjenjaˇcnice?

44. Nazivnik razlomka za 700 je ve´ci od brojnika. 3 Nakon kra´cenja dobije se razlomak . Kojim je 7 brojem kra´cen razlomak?

45. Koliki je vanjski kut trokuta ABC pri vrhu A ?

31. U nekom je razredu 12 odlikaˇsa, sˇ to cˇini 37.5 %

broja svih uˇcenika tog razreda. Koliko taj razred ima uˇcenika?

32. Ako cijena neke koˇsulje nakon sniˇzenja od 15 %

iznosi 204 kune, kolika je bila cijena te koˇsulje prije sniˇzenja?

33. Cijena knjige umanji se za 20 %, a potom joˇs i

za 25 % nove cijene. Koliko je ukupno umanjena poˇcetna cijena knjige?

34. Trostruki broj x umanjen za pet daje isti rezultat kao isti taj dvostruki uve´can za sedam. O kojem je broju rijeˇc?

35. Dvostruki najmanji od tri uzastopna neparna broja za 15 je ve´ci od najve´ceg. Koliki je zbroj tih triju brojeva?

36. Zbroj dvaju brojeva od kojih je ve´ci za 3 manji

od dvostrukog manjeg je 333. Koji su to brojevi?

37. Zbroj cˇetvrtine i sˇ estine nekog broja za 5 je manji od polovine tog broja. Koji je to broj?

38. Zbroj dvaju brojeva je 30, a razlika njihovih kvadrata je 120. Koji su to brojevi?

39. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih cijelih brojeva iznosi 128. Koji su to brojevi?

40. Ako od umnoˇska triju uzastopnih neparnih cije-

lih brojeva oduzmemo kub srednjeg od tih triju brojeva, dobit c´ emo 60. Koji su to brojevi?

41. Ako umnoˇsku triju uzastopnih parnih prirodnih brojeva pribrojimo njihov udvostruˇcen zbroj i oduzmemo kub srednjeg broja, dobit c´emo 20. Koji su to brojevi?

98

46. Razlika duljina hipotenuze i jedne katete pravokutnog trokuta je 8 cm, a duljina je druge katete 36 cm. Kolika je povrˇsina ovog trokuta?

47. Opseg pravokutnika je 80 m. Njegova je dulja

stranica tri puta dulja od kra´ce. Kolika je povrˇsina tog pravokutnika?

48. Duljina igraliˇsta oblika pravokutnika za 8 je me-

tara ve´ca od sˇ irine. Kad duljinu pove´camo za 2 m, a sˇ irinu za 1 m, povrˇsina igraliˇsta pove´ca se za 46 m2 . Kolike su duljina i sˇ irina igraliˇsta?

49. Tri brata imaju zajedno 58 godina. Koliko je ko-

3 broja godina najmjem od njih godina ako su 4 2 - jednake broja godina srednjeg, odnosno ladeg 3 1 broja godina najstarijeg brata? 2

50. Perica ima u dˇzepu 50 kn sitniˇsa od po 1, 2 i 5

kuna. Novˇci´ca od 5 kn dva je puta viˇse nego od onih po 2 kn, a novˇci´ca po 1 kn dva je puta manje nego onih po 2 kn. Koliko novˇci´ca po 5 kn ima Perica?

51. Uˇze duljine 10 m prerezano je na dva dijela. Ve´ci je dio za 0.5 m kra´ci od dvostrukog kra´ceg. Kolike su duljine dvaju komada?

ˇ LINEARNE JEDNADZBE

2.8

52. Jedan je komad zˇ ice dulji od drugog 54 metra. Kad od svakog komada odreˇzemo po 12 m, dulji c´e komad biti cˇ etiri puta dulji od kra´ceg. Koliko su dugaˇcki ti komadi zˇ ice?

53. Na dvije police su 72 knjige. Kad s prve na drugu

OG LE DN IP RIM JE RA K

premjestimo 6 knjiga, na prvoj c´e biti dvaput viˇse knjiga nego na drugoj. Koliko je knjiga na svakoj polici?

54. Na kolodvoru stoje dvije kompozicije vlaka. Jed-

na ima 12 vagona viˇse nego druga. Kad bismo svaku kompoziciju umanjili za 6 vagona, u jednoj bi ostalo 3 puta viˇse vagona nego u drugoj. Koliko je vagona u kojoj kompoziciji?

55. Uˇcenici jednog razreda uˇce dva strana jezika. Od

63. U morskoj je vodi 4.5 % soli. Koliko slatke vo-

de valja uliti u 40 litara morske kako bi u tako pomijeˇsanoj vodi bilo 2 % soli?

64. Ako u 60 litara alkohola koncentracije 75 % ulije-

mo 30 litara alkohola koncentracije 90 %, kolika c´ e biti koncentracija alkohola u smjesi?

njih 32 prvi strani jezik uˇci ih 24, a drugi 28. Ako svaki od uˇcenika uˇci barem jedan strani jezik, koliko uˇcenika uˇci oba jezika? Izrazi taj broj i u postotcima.

65. Pomijeˇsamo li vru´cu vodu temperature 76 ◦ C i

56. Na jednom pisanom ispitu koji sadrˇzi 40 pitanja

66. Mijeˇsamo tri vrste kave. Uzmemo li 120 kg po

za toˇcan odgovor dobije se 20 bodova, a za netoˇcan oduzima 5 bodova. Ako je neki ispitanik odgovorivˇsi na sva pitanja sakupio 425 bodova, na koliko je pitanja dao pogreˇsan odgovor?

hladnu temperature 12 ◦ C , dobit c´emo 96 litara vode s temperaturom 40 ◦ C . Koliko je pritom uzeto vru´ce vode?

cijeni 40 kn za kilogram i 150 kg po cijeni 36 kn za kilogram, koliko moramo uzeti kave po 45 kn za kilogram zˇ elimo li da cijena mjeˇsavine bude 42 kn za kilogram?

57. Ako se posuda puni prvom slavinom, napunit c´e

se za 18 minuta, a ako se puni drugom, bit c´ e puna za 27 minuta. Otvorimo li obje slavine, koliko 5 c´ e vremena pro´ci dok u posudi bude njezina 6 obujma?

58. Vodom iz prve slavine bazen se napuni za m sati,

67. Jedna vrsta duˇsiˇcne kiseline koncentracije je 30 %,

59. Teku´cinom iz prve slavine posuda se napuni za

68. Dva automobila, jedan stalnom brzinom od 100

a vodom iz druge za n sati. Ako se istovremeno ukljuˇce obje slavine, za koliko c´e se vremena napuniti bazen?

10 minuta, a teku´cinom iz druge za 15 minuta. Ako otvorimo ove dvije i joˇs jednu, tre´cu slavinu, posuda c´ e se napuniti za 4 minute. Koliko bi vremena bilo potrebno da se posuda napuni teku´cinom samo iz tre´ce slavine?

60. Svjeˇze smokve sadrˇze 72 % vode, a suhe 20 %.

Koliko se suhih smokava dobije suˇsenjem 20 kg svjeˇzih?

61. U svjeˇzim je gljivama 88 % vode, a u suhim svega 8 %. Koliko bismo svjeˇzih gljiva trebali ubrati zˇ elimo li nakon suˇsenja imati 3 kg suhih gljiva?

62. Suˇsenjem oraha gubi se 25 % njihove mase. Od

koje c´e se mase svjeˇzih oraha nakon suˇsenja dobiti 3 kg suhih oraha?

druga 55 %. Koliko koje vrste treba pomijeˇsati kako bi se dobilo 100 litara kiseline koncentracije 50 %?

km/ h drugi 115 km/ h u isto vrijeme krenu autocestom iz Splita za Zagreb. Nakon koliko vremena c´e biti udaljeni 5 km? - put od ku´ce do sˇ kole za 20 69. Ivica biciklom prijede minuta. No ako bi brzinu pove´cao za 5 km/ h, u sˇkolu bi stizao za 15 minuta. Koliko je Iviˇcina ku´ca udaljena od sˇ kole? - polovinu puta, a potom 70. Vozaˇc za 1 sat prijede - za ubrza za 15 km/ h i drugu polovinu prijede 45 minuta. Kojom je brzinom vozaˇc vozio prvu polovinu puta? - put izmedu - Rijeke i Zag71. Putniˇcki vlak prijede 2 4 reba za 2 sata, a teretni za 4 sata. Ako je 5 3

99

2

POTENCIJE I ALGEBARSKI IZRAZI

putniˇcki vlak brˇzi od teretnog za 26 km/ h, kolika je udaljenost Zagreba i Rijeke?

72. Iz mjesta M krene pjeˇsak, a nakon 2 sata u istom

Koje su od sljede´cih tvrdnji toˇcne, a koje netoˇcne? Odgovori, a odgovor obrazloˇzi.

1.

x2 − 4 = x − 2 je toˇcna jednakost za x+2 svaki broj x .

2.

b a·b =a· . c c

3.

a+b ak + b = za svaki k = 0 . ck + d c+d

4.

a+b ak + bk = za svaki k = 0 . ck c

OG LE DN IP RIM JE RA K

smjeru za njim se uputi biciklist. Brzina kretanja pjeˇsaka je 4.5 km/ h, a biciklist za 45 minuta pri- 9 km. Koliki je put preˇsao pjeˇsak u trenutku jede kad ga je biciklist dostigao?

Toˇcno-netoˇcno pitalice

73. Iz dvaju gradova istovremeno krenu jedan dru-

gom ususret dva automobila, jedan brzinom 60 km/ h, drugi 80 km/ h. Ako su gradovi udaljeni 448 km, nakon koliko c´ e se vremena automobili susresti? - put od mjesta A 74. Plove´ci niz rijeku, brod prijede do mjesta B za 6 sati. Uzvodno mu za isti put treba 10 sati. Ako je brzina broda po mirnoj vodi 16 km/ h, kolika je brzina rijeke?

75. Plove´ci uzvodno, brod preplovi put od mjesta M

do mjesta N za 6 sati i 15 minuta. Obratno plovec´ i brodu za isti put treba 3 sata i 45 minuta. Ako je brzina rijeke 4 km/ h, kolika je brzina broda po mirnoj vodi?

1 76. Baka Marta iz pune sˇ alice crne kave otpije pa 6 1 do vrha dolije mlijeko. Zatim otpije i opet do 3 1 bijevrha dolije mlijeko. Otpije potom joˇs 2 le kave i do vrha dolije mlijeko. Koliko je tada mlijeka u sˇ alici?

1 77. Raˇcunalni virus prvoga dana pojede svih poda2 taka pohranjenih na raˇcunalu,drugog dana pojede 1 preostalih podataka, a tre´ceg dana nestane joˇs 3 1 od onoga sˇ to je joˇs ostalo. Koliko je podataka 3 ostalo na raˇcunalu?

78. Ani je pukla ogrlica. Jednu tre´cinu perlica naˇsla

je na podu, jednu cˇetvrtinu na stolu, jednu petinu na naslonjaˇcu, a jedna se sˇ estina zadrˇzala na niti. Na kraju su nedostajale 3 perlice. Koliko je perlica bilo na ogrlici prije njezinog raspadanja?

5. Broj −1 rjeˇsenje je jednadˇzbe 1−x 1+x − = 0. 2 4

1−

6. Broj −0.9 rjeˇsenje je jednadˇzbe x 3

4

−

x 3 4

1 =1 . 8

x+1 3x − 1 = 1+ 3 2 18 19 je broj ve´ci od i manji od . 5 5

7. Rjeˇsenje jednadˇzbe

8. Da bi broj −2 bio rjeˇsenje jednadˇzbe x mx − 1 x + 4 − =1− , 3 2 6 m mora biti jednak −5 .

9. Za m = 1 jednadˇzba m(m2 − x) = m − x nema rjeˇsenja.

10. Za m =

1 jednadˇzba 2

m(2m2 − x) =

je neodredena.

11. Ako je t =

m−x 2

vt uv , onda je u = . u−v t−v

12. Iz formule K = c(1 + nt) slijedi t=

100

K+c . cn

OG LE DN IP RIM JE RA K

OG LE DN IP RIM JE RA K

OG LE DN IP RIM JE RA K

VEKTORI

OG LE DN IP RIM JE RA K

5

• Koje sve sile djeluju na skijaˇsa koji se spuˇsta niz strmu padinu? O cˇ emu ovise veliˇcine tih sila? Koji je njihov smjer? Kako odrediti rezultantu svih tih sila?

• Ako cˇ amcem prelazimo rijeku, kako posti´ci da put prelaska bude najkra´ci? Treba uzeti u obzir da na cˇ amac, uz snagu naˇsih zaveslaja ili snagu motora, djeluje i rijeka koja ga povlaˇci nizvodno.

To su samo neka od mnoˇstva pitanja na koja u fizici traˇzimo odgovore. Takvi odgovori u fizici (ali i u drugim prirodnim znanostima) zahtijevaju odredena matematiˇcka znanja. U ovim primjerima to je znanje o vektorima.

5.1. Definicija i opis vektora ˇ je vektor? Sto

Veliˇcine, kao sˇ to su duljina, povrˇsina, masa i mnoge druge izraˇzavaju se iznosom, koliˇcinom, brojem. Kaˇzemo da su to skalarne veliˇcine ili jednostavno skalari. Neke druge veliˇcine osim iznosa imaju i dodatnu bitnu osobinu − smjer djelovanja. Takve su primjerice brzina, ubrzanje, sila. Za njih kaˇzemo da su vektorske veliˇcine. Ako su A i B dvije razliˇcite toˇcke ravnine, njima je odredena duˇzina AB . Zapisom BA dana je ista duˇzina. Duˇzina AB (ili BA ) ima svoju duljinu. Duljina duˇzine skalarna je veliˇcina i zapisuje se kao |AB|.

Ako su A i B dvije toˇcke ravnine kojima je odredena duˇzina, ali pritom razlikujemo redoslijed pa je toˇcka A prva, poˇcetna toˇcka (hvatiˇste), a toˇcka B druga, zavrˇsna toˇcka (kraj) duˇzine, tada za duˇzinu kaˇzemo da je usmjerena duˇzina ili vektor.

150

DEFINICIJA I OPIS VEKTORA

5.1

Usmjerenost duˇzine odraˇzava se i u oznaci pa umjesto − → oznake AB , koja se rabi za zapis duˇzine, piˇsemo AB . Time je naznaˇceno da je toˇcka A poˇcetna, a toˇcka B zavrˇsna toˇcka tog vektora.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Ponekad se vektor zapisuje malim slovom nad koje se − → stavi strelica. Tako moˇzemo pisati v = AB .

Duljina, smjer i orijentacija vektora

- duljinom, smjerom i orijentacijom. Opiˇsimo Svaki je vektor potpuno odreden ova tri vaˇzna pojma. − → • Duljina vektora AB je udaljenost njegove poˇcetne i zavrˇsne toˇcke. Dakle, − → to je duljina duˇzine AB . Duljinu vektora oznaˇcavamo s | AB | te je − → | AB | = |AB|. − → • Kaˇzemo da pravac p koji prolazi toˇckama A i B sadrˇzi vektor AB ili da − → vektor AB leˇzi na pravcu p . Pravac p , ali i svaki pravac koji mu je paralelan → - smjer vektora − odreduje AB . Za vektore koji imaju isti smjer re´ci c´emo da su kolinearni. • Duljinom i smjerom vektor joˇs uvijek nije odreden. Moramo zadati njegov poˇcetak i njegov kraj. Time je odredena orijentacija vektora. U zapisu vektora orijentacija je istaknuta redoslijedom navodenja poˇcetne i zavrˇsne toˇcke. Na crteˇzu vektora orijentacija se razabire iz strelice koja se uvijek crta pri − → zavrˇsnoj toˇcki. Tako iz zapisa AB vidimo da je ovaj vektor orijentiran od A prema B . Uvedimo joˇs i pojam suprotni vektori. Za dva vektora kaˇzemo da su suprotni ako imaju istu duljinu i smjer, ali suprotnu orijentaciju. Suprotni − → vektor vektoru a piˇsemo kao −a . Vektor suprotan vektoru AB je vektor − → BA .

Primjer 1.

Nacrtan je jednakokraˇcan trapez ABCD . Na slici su istaknuti neki vektori odre- vrhovima trapeza. deni −→ −→ Primijetimo da su vektori AD i BC jednake duljine, ali nisu istog smjera. − → −→ Istog smjera su vektori AB i CD (oni leˇze na paralelnim pravcima). No ta dva vektora nemaju jednake duljine. Vekto− → −→ ri AB i CD imaju suprotnu orijentaciju.

151

5

VEKTORI

Zadatak 1.

Na slici je jednakostraniˇcan trokut ABC . Toˇcke A1 , B1 i C1 poloviˇsta su njegovh stranica. Duˇzine A1 B1 , B1 C1 i A1 C1 paralelne su stranicama AB, BC , odnosno AC i od njih su upola kra´ce.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Provjeri sljede´ce tvrdnje: −→ −−→ 1) Vektori AC i C1 A1 su istog smjera i imaju jednaku orijentaciju. −−→ −−→ 2) Vektori AC1 i A1 C imaju istu duljinu, nisu istog smjera i nisu iste orijentacije. −→ −−→ 3) Vektori BC i B1 C1 su vektori istog smjera i suprotne orijentacije. −−→ −−→ 4) Vektori AC1 i B1 A1 imaju istu duljinu, isti smjer i istu orijentaciju. Odredenost i jednakost vektora

- duljinom, smjerom i orijentacijom. Vektor je odreden Dva su vektora jednaka ako imaju istu duljinu, isti smjer i istu orijentaciju.

Zadatci 5.1. 1.

Koje su od sljede´cih veliˇcina vektorske, a koje skalarne: temperatura, obujam, brzina, masa, ubrzanje, sila, elektriˇcni napon?

2.

Dan je paralelogram ABCD . Toˇcka O sjeciˇste je njegovih dijagonala. Promatramo skup vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka vrh paralelograma ili toˇcka O .

1) Ispiˇsi sve vektore koji imaju jednak smjer kao −→ i vektor AO . Ispiˇsi sve vektore koji imaju −→ jednaku orijentaciju kao i vektor AO . 2) Ispiˇsi sve vektore koji imaju jednak smjer kao −→ i vektor BD . Ispiˇsi sve vektore koji imaju −→ jednaku orijentaciju kao i vektor BD .

152

3.

Koliko ima vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka neka dva vrha trokuta ABC ?

4.

Koliko ima vektora kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka vrhovi cˇ etverokuta ABCD ako je taj cˇ etverokut paralelogram, a koliko ako nije paralelogram?

5.

Nacrtaj pravilan sˇ esterokut ABCDEF . Neka je S sjeciˇste dijagonala tog sˇ esterokuta. Ispiˇsi sve vektore kojima su poˇcetna i zavrˇsna toˇcka neki vrh sˇ esterokuta ili toˇcka S , a koji su −→ 1) jednaki vektoru BC ; − → 2) suprotni vektoru SA .

ˇ MNOZENJE VEKTORA REALNIM BROJEM

5.2

5.2. Mnoˇzenje vektora realnim brojem

OG LE DN IP RIM JE RA K

Jedna od jednostavnih i prirodnih raˇcunskih operacija je mnoˇzenje vektora realnim brojem. ˇ bi, primjerice, za zadani vektor a znaˇcilo Sto 1 3a ili − a ? 2 Vektor 3a je vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor a , ali tri puta ve´ce duljine.

1 Vektor − a je vektor istog smjera, suprotne 2 orijentacije kao i vektor a te je upola kra´ci od vektora a . Mnoˇzenje vektora realnim brojem

Neka je dan vektor v i neka je x realan broj razliˇcit od nule. Tada je umnoˇzak x · v vektor sa sljede´cim svojstvima:

1) |x · v| = |x| · |v| .

Rijeˇcima: Vektor x · v je |x| puta dulji od vektora v .

2) Smjer vektora x · v isti je kao i smjer vektora v .

3) Orijentacija vektora x · v za x > 0 jednaka je orijentaciji vektora v , a suprotna orijentaciji vektora v ako je x < 0 .

Nul-vektor

Vektor kojem se podudaraju poˇcetna i zavrˇsna toˇcka zove se nul-vektor. Oznaˇcavamo ga s 0 . Duljina nul-vektora jednaka je nuli i to je jedini vektor s ovim svojstvom. Nema smisla govoriti o smjeru i orijentaciji nul-vektora, a po dogovoru se uzima da je nul-vektor kolinearan sa svakim vektorom. Za umnoˇzak 0 · v vrijedi:

|0 · v| = |0| · |v| = 0, pa je 0 · v nul-vektor, jer samo nul-vektor ima duljinu jednaku nuli.

153

5

VEKTORI

Jedinicni ˇ vektor Za vektor v kaˇzemo da je jediniˇcni vektor ako je njegova duljina jednaka 1, dakle ako je |v| = 1 .

OG LE DN IP RIM JE RA K

Podijelimo li bilo koji vektor v (osim nul-vektora) njegovom duljinom, dobit c´emo jediniˇcni vektor v0 :

v0 =

v . |v|

Ovako definiran jediniˇcni vektor kolinearan je s vektorom v , ima dakle isti smjer kao i v , a ima i jednaku orijentaciju kao i vektor v . Jediniˇcnim se zove jer mu je duljina jednaka 1. Provjerimo: ) ) ) v ) |v| | v0 | = )) )) = = 1. |v| |v|

5.3. Zbrajanje vektora

Vratimo se sada problemu plova cˇamca pri prijelazu rijeke. Neka cˇamac plovi brzinom od 2 m/ s okomito na njezin tok, a brzina rijeˇcnog toka neka je 1 m/ s. Kako izgleda put kojim plovi cˇamac? Ovaj problem dakako nije nov, nije novo ni njegovo rjeˇsenje. Znali su ga joˇs stari Grci.

Predoˇcimo vektorima v1 i v2 brzine gibanja cˇamca i rijeke. Vektori su medusobno okomiti, a prvi je dvostruko dulji, jer je i brzina cˇamca dva puta ˇ ve´ca. Camac c´e se kretati po pravcu kojem pripa- sa v1 da dijagonala pravokutnika koji je odreden i v2 .

Iznos te brzine jednak je duljini dijagonale pravokutnika. Izraˇcunat c´emo je primjenom Pitagorina pouˇcka: * √ |v| = | v1 |2 + | v2 |2 = 5 ≈ 2.24 m/ s. Prije pribliˇzno 400 godina nizozemski znanstvenik Simon Stevin (1540.–1620.) rjeˇsavao je probleme gibanja tijela na koje istovremeno djeluje viˇse sila. Mnogo prije nego li je pojam vektora uˇsao u matematiku, odgovorio je na pitanje: Moˇze li se djelovanje dviju (ili viˇse) sila zamijeniti djelovanjem samo jedne sile s istim uˇcinkom?

154

ZBRAJANJE VEKTORA

5.3

Djelovanje dviju sila predstavljenih vektorima F1 i F2 moˇze se zamijeniti djelovanjem samo → − jedne sile predstavljene vektorom F . Pritom → − je F dijagonala paralelograma kojemu su F1 i F2 susjedne stranice.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Na ovaj naˇcin opravdana je sljede´ca definicija zbrajanja vektora: Zbroj dvaju vektora — pravilo paralelograma

−→ −→ Zbroj dvaju vektora OA i OB s −→ istim poˇcetkom O je vektor OC takav da je OC dijagonala paralelograma OACB : −→ −→ −→ OA + OB = OC .

Kako c´emo zbrajati vektore a i b koji imaju poˇcetke u razliˇcitim toˇckama?

Neka je O poˇcetna toˇcka vektora a i neka je A zavrˇsna toˇcka istog vektora. Konstruirajmo vektor jednak vektoru b s poˇcetkom u toˇcki O (vidi sliku gore). −→ −→ −→ −→ Zbroj vektora OA + OB je vektor c = OC . A kako je OB = b , onda je a + b = c . Primijetimo da se definirano zbrajanje vektora moˇze opisati na joˇs jedan naˇcin. Istaknimo na gornjoj slici trokut OAC . −→ −→ Oˇcito je OB = b = AC . Vidimo da zbrajanje vektora a i b moˇzemo protumaˇciti na sljede´ci naˇcin: kraj vektora a poˇcetak je vektora b . Njihov je zbroj vektor kojemu je poˇcetak u poˇcetku vektora a , a kraj u kraju vektora b . Za vektore kod kojih se zavrˇsetak jednoga podudara s poˇcetkom drugog kaˇzemo da su ulanˇcani ili da se nadovezuju. Zbroj dvaju vektora — pravilo trokuta

Vektori a i b su ulanˇcani ako se zavrˇsetak prvoga podudara s poˇcetkom drugoga.

− → −→ Zbroj dvaju ulanˇcanih vektora AB i BC je −→ vektor AC koji spaja poˇcetnu toˇcku prvog sa zavrˇsnom toˇckom drugog vektora.

155

5

VEKTORI

Svojstva zbrajanja vektora

OG LE DN IP RIM JE RA K

Zbrajanje vektora ima svojstva koja su sliˇcna svojstvima raˇcunskih operacija s brojevima. (1) Za svaka dva vektora a i b vrijedi svojstvo komutativnosti:

a + b = b + a.

Uvjeri se u toˇcnost ove tvrdnje oslanjaju´ci se na pravilo paralelograma pri zbrajanju vektora. (2) Za svaka tri vektora a , b i c vrijedi svojstvo asocijativnosti:

(a + b) + c = a + (b + c).

Neka su dana tri vektora a , b i c . Dovedimo ih u ulanˇcan polozˇ aj: poˇcetak vektora b je u zavrˇsetku vektora a , a poˇcetak vektora − → −→ c u zavrˇsetku vektora b . Oznaˇcimo joˇs: a = AB , b = BC , −→ − → −→ −→ c = CD . Onda vrijedi: (a + b) + c = ( AB + BC ) + CD = −→ −→ −→ AC + CD = AD .

Zbrajaju´ci u drugom poretku, imamo: − → −→ −→ − → −→ −→ a + (b + c) = AB + ( BC + CD ) = AB + BD = AD . Vrijedi dakle (a + b) + c = a + (b + c).

Primjer 1.

Neka je dan pravilni sˇ esterokut ABCDEF i neka je S sjeciˇste njegovih dijagonala. Odredimo vektore:

− → −→ 1) AB + CD ; − → − → 4) SD + CS ;

− → −→ 2) AS + DE ; − → −→ 5) AF + CD ;

Promatrajmo sliku i slijedimo zapise:

− → −→ − → − → − → 1) AB + CD = AB + BS = AS ; − → −→ − → − → − → 2) AS + DE = AS + SF = AF ; −→ −→ −→ −→ − → 3) BC + EF = BC + CB = BB = 0 ; − → − → − → − → − → 4) SD + CS = SD + SF = SE ; → − → − → −→ − → − 5) AF + CD = BS + SE = BE ; − → − → − → − → − → 6) AF + SC = AF + FS = AS .

156

−→ −→ 3) BC + EF ; − → − → 6) AF + SC .

ZBRAJANJE VEKTORA

Zadatak 1.

5.3

Neka je dan pravilni sˇ esterokut kao na slici u prethodnom primjeru. Izraˇcunaj: − → −→ 1) CS + BC ; − → −→ 4) AF + DC ;

− → − → 2) AB + SE ; − → −→ 5) SE + CD ;

− → − → 3) FS + DS ; −→ −→ 6) AD + CB .

OG LE DN IP RIM JE RA K

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora svodi se na zbrajanje vektora. Ako su dana dva vektora a i b , tada je po definiciji:

a − b = a + (−b).

Dva se vektora oduzimaju tako da se prvom vektoru pribroji suprotan drugi vektor.

Opiˇsimo kako se za zadane vektore a i b konstruira njihova razlika, vektor − → a − b . Neka ta dva vektora imaju zajedniˇcki poˇcetak: toˇcku A i neka je a = AB −→ −→ i b = AC . Onda je CA = −b i imamo: −→ − → −→ a + (−b) = −b + a = CA + AB = CB .

Dva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedniˇcko hvatiˇste. Razlici odgovara vektor kojem je poˇcetak u zavrˇsetku drugog, a zavrˇsetak u zavrˇsetku prvog vektora. Oduzimanje vektora

Razlika dvaju vektora a − b jest vektor koji je zbroj vektora a i suprotnog vektora vektoru b : a − b = a + (−b).

Zadatak 2.

Neka je dan pravilni sˇ esterokut kao u primjeru 1. Odredi:

− → − → 1) AB − AS ; − → −→ 4) BS − DC ;

−→ − → 2) FC − AB ; − → −→ 5) AB − BC ;

− → − → 3) AS − AF ; − → −→ 6) AB − ED .

157

5

VEKTORI

Zadatci 5.3.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

158

Dan je paralelogram ABCD . Neka je toˇcka S sjeciˇste njegovih dijagonala. Izraˇcunaj: − → −→ − → − → 1) SD + CD ; 2) AS + BS ; −→ −→ − → − → 3) AD + CB ; 4) AB + SD ; − → − → − → − → 5) AB + BS ; 6) BS + CS .

−→ − → 5) AC − SC ;

8.

− → − → 6) AS − SD .

Neka su A , B , C , D , E , F vrhovi pravilnog sˇ esterokuta. Provjeri jednakosti: − → −→ −→ −→ −→ − → 1) AB − DC = BC ; 2) BC − ED = AF ; −→ −→ − → − → −→ −→ 3) CD − FE = BA ; 4) AF − DE = BC .

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

Toˇcka S sjeciˇste je dijagonala paralelograma ABCD . Izraˇcunaj: − → − → − → 1) AS + BS + CS ; − → − → −→ 2) AB + CS + BD ; − → −→ −→ 3) AB + AC + AD ; − → − → − → − → 4) SA + SB + SC + SD . Neka je ABCDEF pravilan sˇ esterokut i neka je S sjeciˇste njegovih dijagonala. Izraˇcunaj: − → − → − → − → 1) AB + EF ; 2) AB + SD ; −→ − → − → −→ 3) BC + ES ; 4) CS + EF ; −→ − → −→ − → 5) DE + SC ; 6) CF + AS . Toˇcka S sjeciˇste je dijagonala pravilnog sˇ esterokuta ABCDEF . Izraˇcunaj: − → − → − → − → −→ − → 1) AB + SD + SF ; 2) AB + CD + EF ; − → − → − → − → − → − → 3) AB + AS + AF ; 4) SB + SD + SF . Odredi zbroj vektora: −→ −→ −→ − → 1) AC + DB + CD + BA ; − → −→ −→ −→ 2) AB + CD + BC + DE .

Moˇze li zbroj vektora biti vektor manje duljine nego sˇ to je duljina svakog pojedinog pribrojnika? Moˇze li razlika vektora biti manje duljine od njihova zbroja? Nacrtaj paralelogram ABCD i odredi njegovo srediˇste S . Izraˇcunaj: −→ −→ − → −→ 1) BC − DC ; 2) AB − BC ; − → − → − → − → 3) AS − BS ; 4) BS − SD ;

9.

Nacrtaj neka tri vektora a , b i c te konstruiraj sljede´ce vektore: 1) a + b − c ; 2) a − b + c ; 3) a − b − c .

10. Toˇcka T teˇziˇste je trokuta ABC . Odredi zbroj − → − → −→ vektora TA + TB + TC .

11. Pojednostavni:

− → −→ −→ −→ 1) AB − BC − CD − DA ; − → −→ −→ −→ −→ −→ 2) ( AB − BC ) − ( CD + AD ) + ( CB − CD ) .

12. Dan je trapez ABCD .

Dokaˇzi da je vektor −→ −→ − → AC + DB kolinearan s vektorom AB .

13. Toˇcka O srediˇste je pravilnog peterokuta ABCDE . −→ −→ −→ −→ Dokaˇzi da su vektori OA + OB + OC i OD + −→ OE kolinearni.

14. Srednjica trokuta je duˇzina koja spaja poloviˇs-

ta dviju stranica trokuta. Srednjica je paralelna tre´coj stranici i od nje je upola kra´ca. Dokaˇzi!

15. Srednjica trapeza duˇzina je koja spaja poloviˇsta

njegovih krakova. Srednjica je paralelna osnovi1 cama i njezina je duljina s = (a + c) , gdje su 2 a i c duljine osnovica trapeza. Dokaˇzi!

16. Ako je P poloviˇste duˇzine AB , a O neka toˇcka u −→ −→ 1 −→ ravnini, tada je OP = ( OA + OB ) . Dokaˇzi! 2

17. Dokaˇzi da je duˇzina MN koja spaja poloviˇsta M i N dijagonala AC i BD trapeza ABCD paralelna s osnovicama trapeza.

RASTAV VEKTORA U KOMPONENTE

5.4

5.4. Rastav vektora u komponente Neka je zadan vektor v i neka su a i b dva nekolinearna vektora.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Prikaˇzimo vektor v kao zbroj dvaju vektora, jednog koji ima isti smjer kao i vektor a i drugog cˇiji je smjer isti kao i smjer vektora b . Kaˇzemo da vektor v treba rastaviti u komponente po vektorima a i b . Postavimo vektore v , a i b tako da imaju zajedniˇcki poˇcetak O i neka je T kraj vektora v . Konstruirajmo paralelogram OATB . −→ Vektor OA kolinearan je s vektorom a pa postoji broj α takav −→ da je OA = α · a .

−→ Jednako tako vektor OB kolinearan je s vektorom b pa postoji broj β takav da −→ je OB = β · b . Tako je konaˇcno v = αa + βb. Iz opisanog postupka vidimo da je rastav nekog vektora po danim komponentama uvijek provediv. Rastav vektora na komponente

Neka su a i b nekolinearni vektori. Svaki se vektor v moˇze prikazati u obliku v = αa + βb.

Kaˇzemo da smo vektor v rastavili u komponente po vektorima a i b . Za dana tri vektora taj je prikaz jedinstven. Kaˇzemo joˇs da smo vektor v prikazali kao linearnu kombinaciju vektora a i b .

Primjer 1.

Tijelo na kosini. Na tijelo na kosini  . Ona se rastavlja djeluje sila teˇze F  p okomitu na dvije komponente: F  a koja djeluje na podlogu, te silu F u smjeru kosine.

 p pritiˇsc´e tijelo na podlogu i Sila F ne sudjeluje u gibanju tijela. Sila  a uzrokuje kretanje tijela i djeluje F u smjeru gibanja. Primijetimo da je njezin iznos to ve´ci sˇ to je ve´ci kut α.

159

5

VEKTORI

OG LE DN IP RIM JE RA K

Tijelo na koloturi djeluje svojom teˇzinom tako da se konopci napnu. Ovdje se sila teˇze rastavlja na dvije komponente u smjeru napetih konopaca. Primijetimo da na kra´ci konopac djeluje sila ve´ceg iznosa.

Sjetimo se sada naˇseg skijaˇsa. Pri spuˇstanju niz padinu na njega djeluje viˇse sila. Pokuˇsajte ih opisati.

Primjer 2.

Zadatak 1.

Dan je paralelogram ABCD . Toˇcke P i Q poloviˇsta su njegovih stra− → −→ −→ nica BC i CD . Vektore AP , AQ i PQ rastavimo u komponente po − → −→ vektorima a = AB i b = AD . Promotrimo sliku. Zakljuˇcujemo: − → − → − → AP = AB + BP = a + 12 b ; −→ −→ −→ AQ = AD + DQ = 12 a + b ; −→ Sada joˇs prikaˇzimo i vektor PQ kao linearnu kombinaciju vektora a i b . − → −→ −→ −→ −→ − → Najprije zakljuˇcujemo: AP + PQ = AQ te je PQ = AQ − AP = 1   a + 12 b) = − 12 a + 12 b . 2 a + b − (

Dan je kvadrat ABCD . Toˇcke M , N , P i Q poloviˇsta su njegovih stranica. Neka je −→ −→ e = AM i f = AQ . Prikaˇzi sljede´ce vektore kao linearnu kombinaciju vektora e i f : −→ −→ 1) AN ; 2) AQ ; −→ −→ 5) BQ ; 6) PQ .

160

−→ −→ 3) NP ; 4) AC ;

RASTAV VEKTORA U KOMPONENTE

5.4

Zadatci 5.4. Dan je paralelogram ABCD . Prikaˇzi vektore −→ −→ − → AC i BD kao linearnu kombinaciju vektora AB −→ i AD .

2.

Dan je paralelogram ABCD . Prikaˇzi vektore −→ − → −→ AD i AB kao linearnu kombinaciju vektora AC −→ i BD .

3.

4.

7.

Dan je kvadrat ABCD . Toˇckama E i F dijagonala BD kvadrata podijeljena je na tri sukladna − → − → −→ dijela. Izrazi vektore AE , AF i EF kao line− → −→ arnu kombinaciju vektora v1 = AB i v2 = AD .

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

−→ Dan je paralelogram ABCD . Neka je AC = a , −→ − → −→ −→ BD = b . Izrazi vektore AB , BC i CD kao linearnu kombinaciju vektora a i b .

Toˇcke E, F, G i H poloviˇsta su stranica parale− → −→ lograma ABCD . Ako je AE = a , AH = b provjeri sljede´ce jednakosti: − → −→ 1) AF = 2a + b ; 2) AC = 2a + 2b ; −→ −→ 3) AG = a + 2b ; 4) BD = 2b − 2a .

8.

Neka je ABCDEF pravilan sˇ esterokut. Izrazi −→ −→ vektore BC i BD kao linearnu kombinaciju − → − → vektora AB i AF .

9.

Toˇcke A , B , C , D , E i F vrhovi su pravil− → −→ nog sˇ esterokuta. Ako je AF = e1 , AC = e2 , − → −→ − → prikaˇzi vektore AB , AD i AE kao linearnu kombinaciju vektora e1 i e2 .

10. Neka su M , N i P poloviˇsta stranica BC , AC i

5.

6.

Stranica BC trokuta ABC toˇckama P i Q podi− → jeljena je na tri jednaka dijela. Izrazi vektore AP −→ − → i AQ kao linearnu kombinaciju vektora AB = c −→ i AC = b . Toˇcke D, E i F poloviˇsta su stranica BC , AC i −→ − → AB trokuta ABC . Prikaˇzi vektore AD , BE i −→ − → CF kao linearnu kombinaciju vektora AB = c −→ i AC = b .

−→ −→ AB trokuta ABC . Prikaˇzi vektore AM , BN i −→ − → CP kao linearne kombinacije vektora AB = e1 −→ i AC = e2 .

11. U trokutu ABC toˇcke M i N poloviˇsta su strani− → −→ −→ ca AB i AC . Prikaˇzi vektore AB , AC i MN −→  = CM i kao linearnu kombinaciju vektora m −→ n = BN .

12. Toˇcka M poloviˇste je stranice BC , a toˇcka N stranice CD paralelograma ABCD . Prikaˇzi vek− → −→ tore AB i AD kao linearne kombinacije vektora −→ −→ AM i AN .

161

5

VEKTORI

5.5. Vektori u koordinatnom sustavu

OG LE DN IP RIM JE RA K

Vektori se mogu vezati uz koordinatni sustav. Tada se svaki vektor ravnine prikazuje kao linearna kombinacija dvaju jediniˇcnih vektora kojima je smjer odreden koordinatnim osima.

Prvom, koji oznaˇcavamo s i , poˇcetna je toˇcka ishodiˇste koordinatnog sustava, a kraj toˇcka (1, 0) . Drugom jediniˇcnom vektoru, oznaˇcavamo ga s j , poˇcetak je ishodiˇste, a zavrˇsetak toˇcka (0, 1) .

−→ Uzmimo sada bilo koji vektor OT s poˇcetkom u ishodiˇstu i krajem u toˇcki T(x, y) i rastavimo ga na komponente po vektorima i i j .

Nacrtajmo pravokutnik OT1 TT2 .

−−→ Vektor OT1 je kolinearan s vektorom i i ima duljinu |x| . Moˇzemo ga zapisati u obliku −−→ OT1 = x ·i .

−−→ Analogno, vektor OT2 je kolinearan s vektorom j i ima duljinu |y| . Moˇzemo ga −−→ zapisati u obliku OT2 = y · j .

Konaˇcno je

−→ OT = xi + yj.

−−→ Neka je sada T1 T2 neki vektor u koordinatnoj ravnini kojem je poˇcetna toˇcka T1 (x1 , y1 ) , a zavrˇsna T2 (x2 , y2 ) . −−→ −−→ −−→ Oˇcito je T1 T2 = OT2 − OT1 . −−→ −−→ No OT2 = x2i + y2j i OT1 = x1i + y1j pa imamo: − − → OT = (x2i + y2j) − (x1i + y1j) = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 )j.

−→ Dakle, OT = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 )j.

162

VEKTORI U KOORDINATNOM SUSTAVU

U ravnini su zadane toˇcke A(−1, 1), B(4, −1) i C(−3, 4) . Odredimo − → −→ zbroj i razliku vektora AB i AC . − → −→ Najprije odredimo vektore AB i AC : − → AB = (xB − xA )i + (yB − yA )j = 5i − 2j, −→ AC = (xC − xA )i + (yC − yA )j = −2i + 3j. Sada je: − → −→ AB + AC = (5i − 2j) + (−2i + 3j) = 3i + j − → −→ AB − AC = (5i − 2j) − (−2i + 3j) = 7i − 5j. Nacrtajte sliku i provjerite rjeˇsenje.

OG LE DN IP RIM JE RA K

Primjer 1.

5.5

Zadatak 1.

U ravnini su zadane toˇcke A(−2, 2) , B(0, −1) i C(1, 1) . Odredi zbroj i razliku − → −→ vektora AB i AC i rezultat provjeri na slici. Vektor u koordinatnom sustavu

−→ Za svaku toˇcku T(x, y) vektor OT , kojem je poˇcetak ishodiˇste koor−→ dinatnog sustava moˇze se prikazati u obliku OT = xi + yj. −−→ Vektor T1 T2 s poˇcetkom u toˇcki T1 (x1 , y1 ) i zavrˇsetkom u toˇcki T2 (x2 , y2 ) ima prikaz −−→ T1 T2 = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 )j. Dva su vektora v1 = x1i + y1j i v2 = x2i + y2j jednaka ako i samo ako je x1 = x2 i y1 = y2 .

Primjer 2.

Dane su toˇcke A(−1, 3) , B(2, 1) i C(3, −1) . Odredimo toˇcku D(x, y) − → −→ tako da vrijedi AB = CD . − → Najprije zapiˇsimo AB = 3i − 2j .

−→ Zatim je CD = (x − 3)i + (y + 1)j .

− → −→ Kako je AB = CD , slijedi x − 3 = 3 i y + 1 = −2. Zakljuˇcujemo x = 6 , y = −3 te je D(6, −3) .

163

5

VEKTORI

Zadatak 2.

Pokaˇzi da toˇcke A(−4, 3) , B(0, 1) i C(2, 0) leˇze na jednom pravcu.

OG LE DN IP RIM JE RA K

− → −→ Uputa: Dovoljno je pokazati da su vektori AB i BC kolinearni, tj. da postoji − → −→ broj k = 0 takav da je AB = k · BC .

Duljina vektora

−−→ Duljina vektora T1 T2 kojem je toˇcka T1 (x1 , x2 ) poˇcetna, a toˇcka T2 (x2 , y2 ) zavrˇsna, jednaka je duljini duˇzine T1 T2 . Vrijedi dakle:

−−→ | T1 T2 | = |T1 T2 |  = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

Primjer 3.

Odredimo jediniˇcni vektor e vektora kojemu je poˇcetna toˇcka A(5, −1) , a zavrˇsna B(1, 2) . Jediniˇcni vektor vektora v je vektor

e =

v . |v|

− → Najprije izraˇcunajmo duljinu vektora AB . * √ − → | AB | = (−4)2 + 32 = 25 = 5.

− → 3 −4i + 3j 4 AB  = = − i + j . Sada je e= − → 5 5 5 | AB | +  2  2 3 4 Lako je provjeriti: |e| = + = 1. 5 5

Zadatak 3.

164

−→ Odredi jediniˇcni vektor vektora MN ako je M(3, −1) , N(−2, 4) .

VEKTORI U KOORDINATNOM SUSTAVU

5.5

Toˇcno-netoˇcno pitalice

OG LE DN IP RIM JE RA K

Koje su od sljede´cih tvrdnji toˇcne, a koje netoˇcne? Odgovori i odgovor obrazloˇzi. − →

1. Duljina vektora AB jednaka je duljini duˇzine AB .

2. Kolinearni vektori su vektori koji imaju isti smjer i jednaku duljinu. 3. Zbroj dvaju suprotnih vektora je nul-vektor.

4. Jediniˇcni vektor vektora v je vektor istog smjera kao i vektor v a duljina mu je 1.

− →

−→

−→

− →

−→

−→

5. Za svake tri toˇcke A, B i C vrijedi: AB − AC = BC .

→ −

6. Za svake tri toˇcke A, B i C vrijedi: AB + BC + CA = 0 . − →

−→

7. Dane su toˇcke A(1, −2), B(4, −1), C(3, 3) . Ako je a = AB , b = AC , onda je a + b = 5i + 6j .

8. Duljina vektora v = −6i + 8j je 10.

9. Vektori a = −2i + 3j i b = 4i − 6j su kolinearni.

165

5

VEKTORI

Zadatci 5.5.

2.

3. 4.

Dane su toˇcke A(4, 0) , B(1, 3) , C(−2, −1) , − → −→ −→ −→ D(1, −1) . Odredi vektore AB , BC , CD , BD −→ i AC . Dobivene rezultate provjeri crtanjem u koordinatnoj ravnini. Dane su toˇcke A(−1, −3) , B(4, 1) i C(2, 4) . − → −→ −→ Odredi vektore AB , BC i CA . Prikaˇzi toˇcke A , B i C u koordinatnoj ravnini i provjeri je li dobro rijeˇsen zadatak.

Dane su toˇcke A(−2, 0) , B(0, 1) i C(4, 3) . Pro−→ − → vjeri da je BC = 2 · AB .

Toˇcke A(−1, 1) , B(2, −1) , C(5, −3) pripadaju - da je jednom pravcu. Provjeri! Provjeri takoder toˇcka B poloviˇste duˇzine AC .

5.

Toˇcke A(101, −49) , B(−51, 27) , C(77, −37) pripadaju jednom pravcu, odnosno, kolinearne su. Provjeri!

6.

Dane su toˇcke A(−2, 4) , B(5, 1) , C(3, 5) . Pro− → −→ −→ → − vjeri: AB + BC + CA = 0 .

7.

Dane su toˇcke A(−1, 1) , B(2, −1) , C(x, −3) . Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke C tako da sve tri toˇcke pripadaju jednom pravcu.

8.

Dane su toˇcke A(−5, −3) , B(−2, y) , C(4, 0) . Odredi nepoznatu koordinatu toˇcke B tako da toˇcke A , B i C budu kolinearne.

9.

Ako su A(1, −1) , B(3, 2) i C(−2, 3) tri uzastopna vrha paralelograma ABCD , odredi koordinate cˇetvrtog vrha D .

10. Ako su A(2, 1) , B(−2, 4) i D(0, −3) tri vrha paralelograma ABCD , odredi koordinate vrha C .

11. Toˇcke A(0, 3) i B(2, 2) dva su vrha paralelograma ABCD , toˇcka S(3, 4) sjeciˇste je njegovih dijagonala. Odredi koordinate vrhova C i D .

12. Toˇcke B(1, −2) i C(3, 2) vrhovi su paralelogra-

 1 3 ma ABCD , toˇcka S − , sjeciˇste je njegovih 2 2 dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelograma.

13. Toˇcke A(−1, −1) , B(3, −2) i C(5, 2) tri su

uzastopna vrha paralelograma ABCD . Kolika je duljina dijagonale BD ?

166

14. Toˇcke A(3, 2) , B(1, −2) i D(5, 1) tri su vrha pa-

ralelograma ABCD . Kolika je duljina dijagonale AC ?

OG LE DN IP RIM JE RA K

1.

15. Odredi jediniˇcni vektor istog smjera i orijentacije − → kao i vektor AB ako je A(3, 1) , B(−1, −2) .

16. Odredi jediniˇcni vektor koji ima isti smjer, ali su-

− → protnu orijentaciju od vektora AB ako je A(−4, 9) , B(−2, 5) .

17. Toˇcke A(−1, 1) , B(3, −2) , C(7, 7) vrhovi su

trokuta ABC . Odredi vektor u smjeru simetrale unutarnjeg kuta pri vrhu A ovog trokuta. − →

18. Odredi vektor v kolinearan s vektorom AB , gdje je A(2, −1) , B(−1, 3) ako je |v| = 20 .

19. Dane su toˇcke A(1, 1) , B(2, 2) , C(0, 3) i D(5, 8) . −→ Prikaˇzi vektor AD kao linearnu kombinaciju − → −→ vektora AB i AC . −→

20. Vektor AD prikaˇzi kao linearnu kombinaciju − → −→ vektora AB i AC ako je A(−2, 1) , B(−1, −1) , C(1, 2) i D(1, 9) .

21. Dane su toˇcke A(1, 3) , B(2, 2) , C(3, 5) i D(4, 7) . − → Vektor AB prikaˇzi kao linearnu kombinaciju −→ −→ vektora BC i BD .

22. Dani su vektori a = 3ı − j , b = i − 2j ,

c = −ı + 7j . Vektor v = a + b + c prikaˇzi kao linearnu kombinaciju vektora a i b .

23. Odredi |a − 3b| i |3a − 2b| ako je a = ı − 3j , b = 2ı − 5j .

24. Dani su vektori a = −ı + 2j , b = 3ı + 4j i c = −2ı + j . Odredi vektor v kolinearan s c , a duljine jednake duljini vektora a + b .

OG LE DN IP RIM JE RA K

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

1. Brojevi

1.

2.

1) Sljedbenik broja n je broj n + 1 . 2) Prethodnik broja n − 2 je (n − 2) − 1 = n − 3 . 3) To je broj m + n + 2 . 4) To je broj 2(a − b) . ab . 5) To je broj 3 1) To su brojevi k , k + 1 , k + 2 , k + 3 , k + 4 . 2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i 2k + 5 . 3) To su brojevi 2k − 4 , 2k − 2 , 2k .

13. n + (n + 1)+ (n +2)+ (n+3) = 4n + 6 = 1 258 , odatle je n = 313 , te su traˇzeni uzastopni brojevi 313, 314, 315, 316. 14. (2n − 4) + (2n − 2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 10n = 6 080 , te je n = 608 . Zakljuˇcujemo da je rijeˇc o brojevima 1 212 , 1 214 , 1 216 , 1 218 , 1 220 .

15. 679. 16. 48.

3.

4n + 9 .

17. 5.

4.

[(n + 1) · 4 − 4] : 4 = (4n + 4 − 4) : 4 = n .

18. Sa sedam nula.

5.

Prati niz zapisa: 2d → 20d → (20d + 73) → (20d+73)·5 → (100d+365+m) → (100d+m) . Rezultat je cˇ etveroznamenkast broj cˇije su prve dvije znamenke redni broj dana, a posljednje dvije redni broj mjeseca rodenja.

19. Broj 2 jedini je paran prost broj. Svi su ostali - njima je i broj 5, neparni. prosti brojevi, a medu Zbog toga umnoˇzak zavrˇsava nulom.

6.

Oznaˇcimo sa n broj godina, a sa s koliˇcinu sitniˇsa. Slijedi niz zapisa: 4n → 4n + 10 → (4n + 10) · 25 → (4n + 10) · 25 − 365 → (4n + 10) · 25 − 365 + s = 100n + s − 115 . Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit c´emo 100n + s . Oˇcigledno, prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su sitniˇsa.

7.

1) 3090 ; 2) 1360 ; 3) 239 ; 4) prvi svezak, stranica 91 .

8.

Odaberemo li primjerice brojke 2 i 5, dvoznamenkasti brojevi su 22, 25, 52 i 55. Njihov zbroj je 154 i on je djeljiv s 22. Op´cenito, odaberemo li dvije razliˇcite znamenke x i y , svi dvoznamenkasti brojevi su xx , xy , yx , i yy , a njihov zbroj je xx + xy + yx + yy = 10x + x + 10x + y + 10y + x + 10y + x = 22x + 22y = 22 · (x + y).

9.

Primjerice: 111 − 11 , 33 · 3 + 3/3 , (5 + 5 + 5 + 5) · 5 .

10. Primjerice: 123 − 45 − 67 + 89 . 11. Primjerice: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 .

168

12. 90909 + 10101 = 101010 .

OG LE DN IP RIM JE RA K

Rjeˇsenja 1.1

20. 1) −13 ; 2) −32 ; 3) −24 ; 4) −17 ; 5) 77 ; 6) −103 ; 7) 138; 8) −316 .

21. 1) 81 ;

2) 56 ;

3) −18 ;

4) −45 .

22. Ako je n paran broj onda imamo (1−2)+(3−4) n n +(5 − 6) + . . .+ [(n − 1) − n] = · (−1) = − ; 2 2 Ako je n neparan broj onda imamo (0 + 1) + (−2 + 3) + (−4 + 5) + . . . + [−(n − 1) + n] = n n ·1= . 2 2 23. Na Zemlji: 57.8 ◦ C − (−89.2 ◦ C) = 147 ◦ C ili 136 ◦ F − (−128.6 ◦ F) = 264.6 ◦ F ; U Hrvatskoj: 42.8 ◦ C − (−35.5 ◦ C) = 78.3 ◦ C ili 109 ◦ F − (−31.5 ◦ F) = 140.5 ◦ F .

24. Arhimed: −212−(−287) = 75 ; Tales: −540− (−620) = 80 ; Vitruvije: 15 − (−75) = 90 ; Heron: 70 − 10 = 60 . Rjeˇsenje problema iz Zabavne matematike (Lewis Carrol), str. 7: Drugi igraˇc odabire uvijek onaj broj koji je razlika broja 11 i onog koji je odabrao prvi igraˇc. Dodgson je razradio ovu ideju te stvorio igru koja je poznata kao Arithmetical Croquet.

BROJEVI

Rjeˇsenja 1.2

7.

5.

8.

0.

9.

9.

3.

4. 5.

OG LE DN IP RIM JE RA K

6.

2.

3 19 11 67 17 , , , , ; 4 24 12 72 18 13 29 3 , ; 2) 0.7 , , 0.7˙ , 4 16 32 11 3 17 19 67 3) − , − , − , − , − . 72 12 4 18 24 1 7 1 1 = 3 , a2 = , a + b = , a·b = , a 9 12 12 a 4 = . b 3 1 1 1 a = , b = −1 , c = , a + b + c = − . 2 3 6 99 . 100 1 1 1 1 Imamo + + +...+ = 1 ·3  3 · 5  5 · 7  99 · 100 1  1 1 1 1 1 

− − 1− + +. . .+ = 2 3  3 5 99 101 1 1 50 1− = . 2 101 101 5 1 1) −2 ; 2) ; 3) − ; 4) 4 . 2 12 6 7 2 4 1) 0; 2) − ; 3) ; 4) ; 5) . 5 5 3 5 1) 25; 2) 14; 1 1) 3; 2) 2; 3) . 8 2 1 1 1) 0; 2) 0; 3) ; 4) ; 5) . 3 2 4 2 1) 1 ; 2) . 25 41 1) x = 2.9 ; 2) x = 72 ; 3) x = . 9 4) x = 4 ; 5) x = −3.1 ; 6) x = 0.34 ; 7) x = 2.7 ; 8) x = 7 ; 9) x = 18 ; 9 5 10) x = 10 ; 11) x = 0 ; 12) x = . 8 2 7 − . 3 135 = 63 + 72 .

21. 1)

5 3 15 5 = 2.5 , = 1.25 , = 0.375 , = 2 4 8 16 0.9375 . 1 1 3 1 0.5 = , 0.25 = , 0.125 = , 0.75 = , 2 4 8 4 5 0.625 = . 8 Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema 2 najve´cem su: 66 % = 0.66 , 0.666 , = 0.6˙ . 3 6 1 ˙ = 0.03˙ ; 2 = 2.85714 2˙ . 30 7 5 3 1) = 0.83˙ ; 2) = 0.2˙ 7˙ ; 6 11 5 6 ˙ ˙ = 0.38461 3) 5˙ ; 4) = 0.85714 2˙ . 13 7 1) 3; 2) 2; 3) 1; 4) 4.

1.

1

22.

23.

24.

25.

26.

1 je racionalan broj za sve cijele brojeve 10. Broj a a+2 a, a =  0 . Broj je racionalan za sve a(a − 3) a a , a = 0 i a = 3 . Broj je racionalan 2a − 10 a+2 je racionalan za za sve a , a = 5 . Broj 2 a −4 sve a , a = −2 i a = 2 . 11. −7 , −4 , −3 , −2 , 0, 1, 2, 5.

12. n ∈ {−5, −2, −1, 0, 2, 3, 4, 7} .

27.

28.

29.

30.

31.

32.

n+2 n−2+4 4 = = 1+ te n−2 n−2 n−2 je n ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6} .

13. Zapiˇsimo

14. 1) x = 8 ;

2) x = 10 ;

3) x = 9 .

15. 1) x = 4 ;

2) x = −2 ;

3) x = −20 .

16. x = 3 .

17. x = 43 . 18. x = 11 .

19. x = 17 . 5 1 7 3 15 20. ; ; ; ; . 8 5 13 5 26

33.

34.

35. x : y = 35 : 33 . 36. 90◦ . 37. 36◦ . 38. b = 36 cm. 39. 450, 750, 1200.

169

1

ˇ RJESENJA ZADATAKA

40. a : b : c = 9 : 12 : 20 , dijelovi su redom 9k , 12k i 20k te iz 41k = 697 dobijemo k = 17 i a = 153 , b = 204 , c = 340 . 41. 500 metara i 900 metara. 42. 4.5 sati. 44. 36.

45. Najmanji prirodni broj djeljiv sa 3, 4, 6 i 8 je broj 24 (sljede´ci je 48). Dakle, barem jedan zadatak netoˇcno je rijeˇsio ukupno 21 uˇcenik pa je sve zadatke rijeˇsilo samo troje.

Rjeˇsenja 1.3 1. 2.

3.

4. 6.

11 , 5 , −444 . 15 √ √ 10 < 117 < 11 , −23 < 515 < −22 , √ 5π 5 < < 6 , −9 < − 77 < −8 , 27 < 3 √ 777 < 28 , −48 < −15π < −47 . −

Poredani po veliˇcini dani brojevi cˇ ine niz: 3.14 , 355 22 √ , , 9.9 . π, 113 7 Odgovor je neizvjestan, ne znaju se ostale znamenke danog broja. √ √ Pretpostavimo da je 2 +√ 3 = a , pri √ cˇ emu je a racionalan broj. Tada je 3 = a − √2 . Kvadriramo ovu jednakost pa imamo a2 − 2 2a = 1 . √ a2 − 1 . Kako je s lijeve strane Dalje je 2 = 2a ove jednakosti iracionalan, a s desne racionalan broj (Zaˇsto?), ona je proturjeˇcna. Dakle, pretpostavka je bila pogreˇsna i zakljuˇcujemo kako je dani broj iracionalan.

7.

2, 2.4, 2.8, 3.2, 3.6, 4.

8.

Srednji je broj 14, najmanji je 7, a najve´ci 21.

9.

Ako je m broj djeˇcaka, a c broj djevojˇcica, tada 55m + 47c iz = 49 slijedi c = 3m . m+c 10. 30. 11. 6, 6.2, 6.4, 6.6, 6.8, 7, 7.2. 25.5 · 11 − 20.5 12. = 26 godina. 10 3.85 · 30 − 6 · 5 = 3.5625 . 13. 24

170

15. Omjer brojeva djevojˇcica i djeˇcaka u tom razredu je 5 : 3 . 16. U mjesecima kada je hotel radio, prosjeˇcan mjeseˇcni broj gostiju bio je jednak 2 · 0.95 + 2 · 0.75 + 5 · 0.45 · 180 = 113. 9

OG LE DN IP RIM JE RA K

43. Za 1 sat.

14. 4.04.

53 . I sada je 120 5 50 53 7 56 = < < = . 12 120 120 15 120 121 61 31 63 127 8 5 < < < < < < . 18. 6 144 72 36 72 144 9 19. 209 425.

17. Aritmetiˇcka sredina je

20. 11.4 kg. 21. 40 000.

22. U sˇ koli je 600 uˇcenika, 330 djevojˇcica i 270 djecˇaka. 23. 264, 220, 275 kg.

24. Ne, ne moˇze. Uz navedene uvjete umanjenje c´e biti 18.55 %. Kad bi svake godine umanjenje bilo za 5 % u odnosu na poˇcetno stanje, onda bi iznosilo 20 %. 25. Prve godine cijena je porasla za 4 % te je iznosila 1.04c , gdje je c cijena goriva prije poskupljenja. Naredne godine doˇslo je do poskupljenja za 5 % te je nova cijena jednaka 1.04c + 1.04c · 0.05 = 1.04c · 1.05 = 1.092c . I konaˇcno, nakon novog poskupljenja za 8 % cijena iznosi 1.092c+ 1.092 ·0.08 = 1.092 ·1.08c = 1.17936c . Ukupno poskupljenje dakle nije 17 % ve´c je gotovo 18 %.

27. 0.3 kg.

28. 5054 kn.

Rjeˇsenja 1.4 1.

2.

1) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} ; 2) {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144} ; 3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} ; 4) {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} .  1 π SI = − √ , 2 4

BROJEVI

S1 = {x ∈ N : x < 1} = ∅ ; S10 = {x ∈ N : x < 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; S1000 = {x ∈ N : x < 1000} = {1, 2, 3, . . . , 997, 998, 999} .

4.

X∈ {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

5.

A ∩ B = A, A ∪ B = B.

6.

1) B ⊆ A ; skup A sadrˇzi brojeve djeljive s 3, a skup B brojeve djeljive sa 6; 2) A ∩ B = ∅ ; skup A sadrˇzi neparne brojeve, a skup B parne.

7.

1) A je bilo koji skup koji sadrˇzi brojeve 1 i 2, ali ne i broj 3; 2) A je bilo koji skup koji ne sadrˇzi niti broj 1 niti broj 2 niti broj 3; 3) takav skup A ne postoji.

8.

1) B je skup koji sadrˇzi brojeve 4 i 5 (i moˇzda joˇs neki od brojeva 1, 2 ili 3); 2) B moˇze sadrˇzavati samo neke od brojeva 1 , 2 ili 3.

9.

A={1, 2, 3, 8, 9} , B={3, 4, 8} , C={5, 6, 7, 8, 9} .

18. X = {1, 2, 3} , X = {1, 2, 3, 4} , X = {1, 2, 3, 5} , X = {1, 2, 3, 4, 5} .

OG LE DN IP RIM JE RA K

3.

1

10. A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 6, 7} , C = {3, 4, 5} . 11. A ∪ B={n : n = 2k − 1 ili n = 3k, k ∈ N} ; A ∪ C = {n : n = 2k − 1 ili n = 4k, k ∈ N} ; B ∪ C = {n : n = 3k ili n = 4k, k ∈ N} ; A ∩ B = {n : n = 6k − 3, k ∈ N} ; A ∩ C = ∅ ; B ∩ C = {n : n = 12k, k ∈ N} . 12. 1) B ⊆ A ; 2) A = B ; 4) B ⊆ A i C ⊆ A .

3) A ⊆ B i A ⊆ C ;

13. A ∪ B = {x ∈ N : 2 < x  17} ; A ∩ B = {x ∈ N : 7  x < 11} .

14. A ∪ B = {x ∈ Z : −12 < x  5} ; A ∩ B = {−2} .  1 1 15. A ∪ B = x ∈ Q : −  x  ; 2 2   1 A∩B= x∈Q:0